guialaboratorio

Guıa para Analisis de Experimentos

Laboratorios de Fısica

Preparado por:

Prof. EULER EUGENIO CORAL

Programa de FısicaFacultad de Ciencias Basicas

Universidad del Atlantico

Marzo de 2010

Guıa para Analisis de Experimentos

Laboratorios de Fısica

Preparado por:

Prof. EULER EUGENIO CORAL

Programa de FısicaFacultad de Ciencias Basicas

Universidad del Atlantico

Marzo de 2010

Contenido

1 Introduccion 1

1.1 Enfoque del Trabajo de Laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Magnitudes Fısicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Las Unidades Basicas del SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Sistema de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Prefijos para los Multiplos y Submultiplos . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6 Factores de Conversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.7 Analisis Dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.8 Orden de Magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.9 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Mediciones y Errores 9

2.1 El proceso de medicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Tipos de medicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Cifras significativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Operaciones con cifras significativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4.1 Criterio de aproximaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4.2 Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4.3 Multiplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5 Errores Experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5.1 Errores Sistematicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5.2 Errores Aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

E. E. Coral Guıa para Analisis de Experimentos

ii CONTENIDO

2.6 Calculo de Errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.6.1 Error Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.6.2 Incertidumbre relativa y porcentaje de error . . . . . . . . . . 15

2.6.3 Calculo practico de la incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . 16

2.7 Propagacion de errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.7.1 Incertidumbre en funciones de una sola variable . . . . . . . . 18

2.7.2 Funciones de dos o mas variables . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.7.3 Metodo general para calcular errores . . . . . . . . . . . . . . 20

2.8 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.9 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Tratamiento estadıstico de medidas 25

3.1 Como se minimiza este error? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.1 Valor Promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.2 Desviacion de la Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.3 Desviacion Promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.4 Desviacion Estandar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.5 La Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.6 Incertidumbre Estandar de la Media . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.7 Error Relativo Porcentual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Analisis de error para N pequeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.1 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.1 Construccion del Histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.2 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Evaluacion de Experimentos 35

4.1 Analisis de graficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2 Linealizacion de graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Guıa para Analisis de Experimentos E. E. Coral

CONTENIDO iii

4.2.1 Ecuacion lineal y mınimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.2 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3 Graficos no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3.1 Funcion Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3.2 Funcion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3.3 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3.4 Linealizacion de modelos conocidos . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.4 Analisis de graficos con ayuda de calculadoras . . . . . . . . . . . . . 45

4.4.1 Calculadoras Cassio FX95MS Y FX100MS . . . . . . . . . . . 46

4.4.2 Calculadora Cassio FX350ES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.5 Uso de programas de computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Referencias bibliograficas 49


Lista de figuras

2.1 Medicion de una magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Errores aleatorios y sistematicos en un ejercicio de practica de tiro.a)Alta precision y exactitud: Debido a que las marcas de losdisparos estan muy cerca unas deotras, podemos decir que los er-rores aleatorios son pequenos (buena precision). Debido a que ladistribucion de disparos esta centrada en el blanco, los errores sis-tematicos tambien son pequenos (buena exactitud). b) Alta pre-cision y baja exactitud: Los errores aleatorios son todavıa pequenos,pero los sistematicos son mucho mas grandes [Pleaseinsertintopream-ble]los disparos estan sistematicamente corridos hacia la derecha. c)Baja precision y Buena exactitud: En este caso, los erroresaleatorios son grandes, pero los sistematicos son pequenos, los dis-paros estan muy dispersos, pero no estan sistematicamente corridosdel centro del blanco. d) Baja precision y baja exactitud: Aquıambos errores son grandes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1 Ejemplo de un Histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Histograma para los datos del ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1 Ejemplo de una figura bien realizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2 Grafica de la funcion y = kxn en papel logarıtmico . . . . . . . . . . . 41

4.3 Grafica de la funcion y = Aekx en papel semilogarıtmico . . . . . . . 42

4.4 Decrecimiento exponencial del Voltaje de un condensador . . . . . . . 43

4.5 Linealizacion de los datos de la tabla 4.2 dibujados en papel semilog. 43

4.6 La pantalla en el modo Regresion Lineal presenta dos columnas x y y. 46


Lista de tablas

1.1 Unidades basicas del SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Definicion de las Unidades basicas del SI . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Sistemas de Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Multiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Submultiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6 Algunos Factores de conversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.7 Algunos ordenes de Magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1 Ejemplo de cifras significativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Ejemplo de aproximaciones con cifras significativas . . . . . . . . . . 12

3.1 Mediciones del tiempo de reaccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Intervalos para el histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.1 Datos para analisis de un comportamiento lineal . . . . . . . . . . . . 39

4.2 Datos para la descarga de un condensador . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3 Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.4 Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.5 Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48


Capıtulo 1

Introduccion

1.1 Enfoque del Trabajo de Laboratorio

El objetivo del trabajo en el laboratorio es familiarizarse con el aspecto fenomeno-logico de la Fısica. En cierta forma, el estudiante comprobara las leyes y principiosque se imparten en el curso teorico o que han sido estudiadas previamente por el.Por otro lado y de acuerdo a la orientacion del profesor, el estudiante podra llegara las leyes a partir del experimento.

Los experimentos propuestos no se realizaran siguiendo una serie de instruccionescomo se ha hecho tradicionalmente. El estudiante debe recordar permanentementeque la Fısica es una disciplina cientıfica y que en su formacion, debe hacer destacar suespıritu cientıfico y es aquı, en el Laboratorio de Fısica, en donde debe apropiarsede esto, ya que los experimentos propuestos son ante todo un problema que losestudiantes deben resolver, y para lograr soluciones satisfactorias, deben investigarla bibliografıa citada, leer otras guıas de laboratorio, navegar en la Internet, etc. Masconcretamente, el estudiante debe ser conocedor del Metodo Cientıficoy aplicarlo ensu investigacion.

El trabajo en el laboratorio corresponde a una parte de la investigacion que losestudiantes van a realizar para resolver su problema experimental. Basicamente losestudiantes van al laboratorio a medir las magnitudes de las propiedades del sistemafısico que van a investigar. Pero, como se insinuaba en el parrafo anterior, antes ydespues de las mediciones, se requiere una buena dedicacion de tiempo estudiando yentendiendo el problema de laboratorio, para esto, los estudiantes deberan conocerpreviamente los siguientes aspectos:


2 Capıtulo 1. Introduccion

a) Conceptos teoricos involucrados en el tema que se va a experimentar

b) El sistema que se va a estudiar.

c) Las variables o propiedades que se van a medir.

d) Distinguir la variable dependiente de la variable independiente.

e) Las unidades en que se van a medir las variables.

f) Los factores que pueden afectar las mediciones.

El estudiante debe tener en cuenta todo lo que acontece en el laboratorio, lo masaconsejable es que tome nota de todo lo que suceda, especialmente de su propioprocedimiento. Cada estudiante debe tener una libreta de apuntes. Al finalizarla practica de laboratorio, cada grupo debe entregar un preinforme de los datosmedidos en el formato que aparece al final de esta guıa.

Para evaluar los datos experimentales se debe tener el conocimiento basico de lasTeorıa de Errores y Analisis de Graficos, temas que se van a exponer en una formabreve en esta guıa. El reporte de sus resultados se debe entregar en un informe quepresente el formato de Artıculo Cientıfico que tambien se incluye en esta guıa.

1.2 Magnitudes Fısicas

Magnitud es toda cantidad que se puede medir. Medir significa comparar. Cuandomedimos cualquier magnitud como, por ejemplo, una longitud o la intensidad deuna corriente electrica, en realidad estamos comparando esa magnitud con otra dela misma especie que consideramos arbitrariamente como patron. Por ejemplo, aldeterminar una masa desconocida en la balanza, lo que hacemos es comparar esamasa con masas patrones (las “pesas” de la balanza). Estas pesas, a su vez, hansido comparadas (o calibradas) con algun patron secundario y al seguir la cadena decomparaciones se llega hasta el patron universal de masa (kilogramo) que se conservaen la Oficina Internacional de Pesas y Medidas (BIPM) en Sevres, cerca de Parıs,donde fue adoptado mediante convenios internacionales.

De igual forma, se definen patrones para otras magnitudes que se consideranmagnitudes fundamentales, puesto que las unidades de una de ellas no se puedeexpresar una en funcion de las otras. Existen diferentes sistemas que definen lasunidades de estas magnitudes. Uno de estos, el Sistema Internacional de Unidades(SI) vigente en la mayorıa de los paıses desde 1960, considera siete unidades basicaspartir de las cuales se pueden derivar todas las restantes unidades de medida de otrascantidades, ver tabla 1.1.


1.3 Las Unidades Basicas del SI 3

Tabla 1.1: Unidades basicas del SI

Magnitud Unidad Sımbololongitud metro mmasa kilogramo kgtiempo segundo stemperatura Kelvin Kcantidad de sustancia mol molintensidad de la corriente Ampere Aintensidad de la luz bujıa o candela cd

1.3 Las Unidades Basicas del SI

La definicion de las unidades basicas ha venido cambiando por la necesidad de tenerpatrones o referencias mas estables y precisas a traves del tiempo. La definicionactual de las unidades basicas del SI aprobada por la Conferencia General de Pesasy Medidas (CGPM) en 1983 se muestran en la tabla 1.2.

Tabla 1.2: Definicion de las Unidades basicas del SI

Magnitud Unidad Definicionlongitud metro Distancia recorrida por la luz en el vacıo durante un

intervalo de 1/299.792.458 s - 17a. CGPM, 1983.masa kilogramo Masa de un cilindro de PLATINO-IRIDIO que se

conserva en la BIPM en Parıs - 3a. CGPM, 1901.tiempo segundo Duracion de 9.192.631.770 vibraciones en la transi-

cion de dos niveles hiperfinos del atomo de 123Cs-13a. CGPM, 1968.

temperatura Kelvin Es 1/273,16 de la temperatura termodinamica delpunto triple del agua - 13a. CGPM 1968.

1.4 Sistema de unidades

Es importante senalar que existen varios grupos de unidades asociadas a las mag-nitudes basicas longitud, masa, tiempo, conocidas como sistemas de unidades.Como ya se indico anteriormente el SI es el mas utilizado en la actualidad, peroexisten paıses como los de habla inglesa que usan diferentes sistemas de medicion,



(ver tabla 1.3). El estudiante debe estar en capacidad de pasar las unidades de unsistema a otro aplicando los factores de conversion de unidades.

Tabla 1.3: Sistemas de Unidades

Sistema Longitud Masa TiempoSI m kg sCGS cm g sINGLES pie slug s

1.5 Prefijos para los Multiplos y Submultiplos

Los prefijos son nombres que se les da a ciertas potencias de 10 cuando usamosnotacion cientıfica y sirven para determinar los multiplos y submultiplos de la unidadprincipal. Para utilizarlos, basta con expresar una cantidad en notacion cientıfica yreemplazar la potencia por el sımbolo correspondiente seguido de la unidad basica.

Tabla 1.4: Multiplos

Factor Prefijo Sımbolo1024 yotta Y1021 zetta Z1018 exa E1015 peta P1012 tera T109 giga G106 mega M103 kilo k102 hecto h101 deca d

Tabla 1.5: Submultiplos

Factor Prefijo Sımbolo10−1 deci d10−2 centi c10−3 mili m10−6 micro µ10−9 nano n10−12 pico p10−15 femto f10−18 atto a10−21 zepto z10−24 yocto y

1.6 Factores de Conversion

Para pasar de un sistema de unidades a otro es necesario conocer la relacion quehay entre los distintos sistemas. Muchas veces tambien necesitamos pasar multiplosy submultiplos a la unidad fundamental o viceversa. Algunas factores de conversionentre el Sistema Ingles y el SI se encuentran en la tabla 1.6.


1.7 Analisis Dimensional 5

Tabla 1.6: Algunos Factores de conversion

Longitud masa1 m = 39,37 in = 3,281 ft =102 cm 1 lb = 0,454 kg = 16 oz1 in = 0,0254 m = 2,54 cm 1 oz = 28,35 g = 0,0625 lb1 ft = 0,3048 = 30,48 cm = 12 in 1Kg = 103 g = 2.2 lb1 mi = 5280 ft = 1609 m = 1,609 km

1.7 Analisis Dimensional

Para verificar si una ecuacion esta bien formulada, se debe tener en cuenta lasvariables que operan en dicha ecuacion. Al hacer un analisis dimensional, las di-mensiones se pueden tratar como cantidades algebraicas. Los sımbolos empleadospara denotar las dimensiones de longitud, masa y tiempo son respectivamente L,M y T. Dos cantidades que se suman, al igual que los terminos a ambos lados deuna ecuacion, deben tener las mismas dimensiones. Como ejemplo, mostremos quela ecuacion x = vt, es dimensionalmente correcta. Por ser x es una longitud tienedimension L y t tiene dimension T . La velocidad por medirse en metros sobresegundo, tiene dimensiones de L/T , por tanto

L =L

T.T (1.1)

L = L (1.2)

Al cancelar T en la derecha, las unidades tienen la misma dimension que en laizquierda.

1.8 Orden de Magnitud

Cuando queremos hacer calculos aproximados de ciertas cantidades, es importanteaproximar los factores que intervienen en las operaciones, a la potencia de 10 mascercana. De esta forma, se dice, que la potencia de 10 representa el orden de mag-nitud de una cantidad. El orden de magnitud tambien sirve para referirse en formaoral o escrita de ciertas cantidades cuyas cifras son enormes o muy pequenas, comola masa de un electron o la masa del sol y su distancia a la tierra. Algunos ejemplosse dan en la tabla 1.7.



Tabla 1.7: Algunos ordenes de Magnitud

Cantidad magnitud Orden de MagnitudRadio de la orbita tierra-sol 1.5× 1011 m 1011 mMasa del electron 9.11× 10−31 kg 10−31 kgEdad promedio de un estudiante 5.7× 108 s 108 s

1.9 Ejercicios

Conversion de Unidades

1. ¿Cuales de las siguientes unidades no son fundamentales:a)m, b)m/s, c)oC, d)litros, e) m/s2, f)Newton (N), g) s, h)kg.

2. ¿Cual es su estatura en pies?

3. Un cohete alcanzo una altura de 300 km. ¿A cuanto equivale esta distanciaen millas?

4. ¿Cuantos segundos tiene un ano?

5. La rapidez de la luz en el vacıo es aproximadamente 3.00×108 m/s. ¿Cuantoskm viajara un pulso de un laser en una hora?

6. Un ano luz es la distancia que recorre la luz en un ano a 300.000 km/s. ¿Cuales esta distancia? Exprese la distancia de la tierra al sol en anos luz.

7. Un auto viaja a 72 km/h. ¿A cuantos m/s viaja?

8. Una certificacion de buceo se realiza a 40 pies. ¿Cuantos metros debe bajar elbuzo a pulmon libre para certificarse?

9. ¿Cual es su peso en libras?

10. 1 cm3 equivale a 1 ml. ¿Cuantos litros hay en 1m3?

Orden de magnitud

11. ¿Cual es el orden de magnitud de su edad en meses, dıas y segundos?

12. Estime el numero de veces que el corazon de un humano late en una vidapromedio de 70 anos.


1.9 Ejercicios 7

13. El radio promedio de la tierra es de 6.37×106 m, y el de la luna es de 1.74×108

cm. Con estos datos calcule la razon entre el area superficial de la tierra y dela luna.

14. Determine el numero aproximado de ladrillos necesarios para cubrir los cuatrolados de una casa de tamano regular.

15. Una persona utiliza 200 litros de agua por dıa aproximadamente. ¿Cual debeser el orden de magnitud en metros cubicos del volumen de un recipiente capazde abastecer de agua a la ciudad de Barranquilla en un dıa?

Determine el orden de magnitud de los resultados de las siguientes operaciones.

16. (3× 108 m/s) (3× 105 s)

17. 7000/0,0035

18. (0,501 × 0,042)/420.000.000

19. Suponga que un proton tiene la forma de un cubo cuya arista es del orden de10−13 cm. ¿Cual es el orden de magnitud del volumen del cubo?

20. Deseando construir un modelo del sistema solar, un estudiante representa elsol por medio de una pelota de balompie. El sabe que el orden de magnituddel radio del sol es de 109 m y el de la tierra es de 107 m, siendo la distancia dela tierra al sol del orden de 1011 m. ¿Cual deberıa ser entonces, en este modelo,el orden de magnitud de la esfera que representa la tierra?, ¿La distancia deesta esfera a la pelota de balompie?

Analisis Dimensional

Diga si las ecuaciones siguientes son dimensionalmente correctas. (v es velocidad,a es aceleracion, t es tiempo, A es area, T periodo y r radio)

21. v2 = v20 + 2at

22. x = xo+ vt

23. x = at

24. v = vo+ ax

25. A = πr2

26. t =√

2xa



27. v =√

2ax− v0t

28. T = 2π√

lg

29. ¿Cuales son las unidades de las constantes en la ecuacion x = At2 + Bt + C,para que sea dimensionalmente correcta?

30. Muestre que si x = At3 + Bt es dimensionalmente correcta cuando x tieneunidades de longitud y t tiene unidades de tiempo, entonces la derivada dx/dttiene unidades de longitud sobre unidades de tiempo.

31. ¿Cual es el valor de los exponentes para que la ecuacion v2 = kamsn seadimensionalmente correcta?

32. ¿Para que valores de m y n la ecuacion x = kamtn es dimensionalmente co-rrecta?


Capıtulo 2

Mediciones y Errores

2.1 El proceso de medicion

Medir es comparar una magnitud desconocida con otra llamada patron. Al realizaruna medicion de cierta magnitud, se obtiene un numero acompanado de una unidadasociada a la magnitud respectiva. En el caso mas general, este resultado debe iracompanado por otro numero que representa la incertidumbre en la medicion.

2.2 Tipos de medicion

Las mediciones pueden obtenerse de dos formas:

Mediciones Directas: Son el resultado de comparar directamente una magni-tud desconocida con un instrumento de medida calibrado segun un patron estable-cido previamente. El resultado se mide directamente en una escala numerica queposee el instrumento.

Mediciones Indirectas: Se obtienen a traves de una operacion entre dos o masmediciones directas o a traves de una funcion de las cantidades medidas. Por ejemplola densidad se obtiene como funcion de la masa y el volumen de una sustancia.

2.3 Cifras significativas

El Numero de cifras que debe tener el escalar que representa una magnitud medida,esta muy relacionado con el numero de divisiones que tenga la escala del instrumentode medida. Por ejemplo, si ustedes miden cierta longitud con una cinta metrica


10 Capıtulo 2. Mediciones y Errores

que solo esta graduada en metros (m), el resultado serıa un entero que representacuantas veces cabe la unidad patron en esa longitud y es una cifra que tiene certezaen su medida. Pero si existe cierta fraccion de la longitud que no se puede medirdirectamente con el instrumento, ustedes tendran que hacer uso de la apreciaciona simple vista, dando en este caso, un unico decimal que es incierto. Por ejemplo:2,4 m de longitud. En este caso decimos que hay dos cifras significativas.

Si ahora usamos una cinta metrica divida en decımetros dm, al reportar el re-sultado de la medicion en metros m, el numero de cifras ciertas corresponde a losmetros y a los decımetros. Pero si el extremo de la magnitud a medir se ubica entreuna division de un decımetro y el siguiente, podremos ahora apreciar una fraccionmas pequena imaginando diez divisiones en este espacio cuyo valor serıa una cifradudosa dada en centımetros cm. Por ejemplo, la medicion de la fig. 2.1 se puedereportar como L = 2,46 m. Aunque este resultado esta por encima de la mitad delintervalo de 1 dm, las mediciones 2,45 m o 2,47 m, tambien son validos, ya que laultima cifra siempre va a ser incierta. De esta manera podemos decir que hay trescifras significativas en esta medicion.

Figura 2.1: Medicion de una magnitud

Veamos como mejora la medicion de la misma magnitud, pero usando ahora unacinta metrica dividida en centımetros cm. Al reportar el resultado en m, estamosseguros de la posicion de los metros, los decımetros y los centımetros, pero podemoshacer una apreciacion del orden de los milımetros, obteniendo ası una ultima cifradudosa o incierta. Ejemplo: 2,463 m. En este caso la cifra apreciada esta por debajode la mitad de la division mas pequena, los cm. Un resultado aceptable tambienpodrıa ser 2,462 m o 2,464 m. En este caso, tenemos una medicion con cuatrocifras significativas. Escribir una quinta cifra carece de sentido ya que no hay masdivisiones en nuestro instrumento de medicion. Para tener una cifra segura en laposicion de los milımetros, debemos usar una cinta metrica graduada en milımetrosy tendrıamos ası una cuarta posicion decimal como cifra apreciada, o cifra incierta,para un total de 5 cifras significativas, por ejemplo: 2,3638 m.

Como se puede ver en los ejemplos anteriores, el resultado de una medicionva acompanado de un numero de cifras que tienen certeza y una ultima cifra quesiempre es dudosa. Estas son las llamadas cifras significativas.


2.4 Operaciones con cifras significativas 11

En una medicion se debe tener en cuenta que los ceros a la izquierda no soncifras significativas, mientras que los ceros intermedios y ceros a la derecha si soncifras significativas.

Cuando se tenga un numero muy grande de ceros a la izquierda la mejor manerade expresar el resultado de la medicion es usando potencias de diez, pero conservandoel mismo numero de cifras significativas. Algunos ejemplos se dan en la tabla 2.1.

Tabla 2.1: Ejemplo de cifras significativas

Magnitud Numero de cifras significativas0,012 mm 20,1204 g 41,0200 s 54,34 ×104 m 3

2.4 Operaciones con cifras significativas

2.4.1 Criterio de aproximaciones

Al realizar operaciones resultan numeros con muchas cifras decimales. Algunas deestas cifras deben ser eliminadas (redondeo) para dejar las mas significativas, deacuerdo al siguiente criterio:

1. La cifra que queda se aumenta en una unidad si la cifra contigua que se quitaes > 5.

2. Si la primera cifra que se elimina es < 5, la que queda se deja igual.

3. Si la primera cifra que se elimina es = 5 y no existen otros dıgitos a su derechao son solamente ceros, el numero que queda se aumenta en 1 siempre y cuandola cifra resultante sea impar.

2.4.2 Suma

Cuando se suman dos o mas numeros con distintas cifras significativas, los decimalesdel resultado debe igualar al operando que posea el menor numero de estos, usandoel criterio anterior. Ver ejemplo en la tabla 2.2



Tabla 2.2: Ejemplo de aproximaciones con cifras significativas

numero original aproximacion descripcion20,45 20,45 Menor No. de decimales40,1368 40,14 Elimina 6 y 8. 3 aumenta en 120,5500 20,55 Elimina ceros, 5 no cambia60.6952 60,69 Elimina 5 y 2, 9 no cambia30,365 30,37 Elimina 5, 6 aumenta en imparSuma = 172,1970 Suma = 172,20 Aproxima a dos cifras decimales

2.4.3 Multiplicacion

Al multiplicar o dividir dos cantidades, el resultado debe tener el mismo numero decifras significativas del operando que tenga el menor numero de ellas.

Ejemplo

Para calcular el volumen de un cilindro circular recto donde r = 4, 5 cm, h = 55, 7 cm.Sabemos que V = πr2 × h. El numero π = 3,14159..., ¿Cuantas cifras le asignamosal este numero irracional? Como vemos r tiene dos cifras significativas, h tiene tres,por lo tanto, asignamos a π el mismo numero de cifras significativas de h, es decir,3,14.

Valor obtenido con la calculadora: V = 3541.6845cm3

Valor obtenido segun el criterio dado: V = 3, 5× 103cm3

Para expresar las dos cifras significativas hemos usado potencias de diez.

2.5 Errores Experimentales

En general, todo procedimiento de medicion tiene imperfecciones que dan lugar aun error en el resultado de la medicion, lo que hace que el resultado sea solo unaaproximacion del valor real de la magnitud medida. De acuerdo a la naturalezade los errores experimentales, se acostumbra a dividirlos en dos clases: ErroresSistematicos y Errores Aleatorios.


2.5 Errores Experimentales 13

2.5.1 Errores Sistematicos

Se deben a diversas causas y se repiten constantemente cuando las mediciones serealizan en las mismas condiciones. Los resultados se ven afectados en el mismosentido. Estos errores se pueden detectar facilmente y se pueden eliminar si seconoce la causa. Algunas fuentes de error sistematico son:

a) Errores de calibracion de los instrumentos de medida. Ajuste del cero, escalainapropiada, construccion defectuosa.

b) Condiciones de trabajo no apropiadas (presion, temperatura, humedad, lumi-nosidad, frecuencia de la red).

c) Tecnicas imperfectas. Generalmente por falta de experiencia del experimen-tador o por falta de planeacion de los procedimientos.

d) Formulas incorrectas. Cuando se hacen aproximaciones, los resultados exper-imentales no son exactamente los esperados en la teorıa.

2.5.2 Errores Aleatorios

Se deben a perturbaciones pequenas o fluctuaciones y no es posible detectar la causaque los produce. Si un experimento se repite en condiciones identicas, los resultadosde la medicion no son siempre los mismos cuando se presenta este error. Paradisminuir el error aleatorio, se debe realizar un numero determinado de medicionesy realizar un tratamiento estadısticos de los resultados. Se puede dar una idea decomo se presentan estos errores:

a) Errores de apreciacion. Se presentan al leer en la escala de un instrumentohaciendo estimacion de una fraccion de la division mas pequena de la escala.Al realizar varias mediciones esta apreciacion varıa aleatoriamente.

b) Condiciones de trabajo. La variacion de las condiciones ambientales, vibra-ciones de la mesa de trabajo, senales electromagneticas.

c) Falta de definicion de la cantidad a medir. Como el diametro de una esfera yaque esta no es una esfera perfecta.

Segun el tipo de error, las mediciones se pueden clasificar en:

Precisas.- Son aquellas mediciones que tienen errores aleatorios pequenos.

Exactas.- Son aquellas mediciones que tienen errores sistematicos pequenos.

Esto se puede observar claramente en la figura 2.2,



(a) (b)

(c) (d)

Figura 2.2: Errores aleatorios y sistematicos en un ejercicio de practicade tiro. a)Alta precision y exactitud: Debido a que las marcas delos disparos estan muy cerca unas deotras, podemos decir que los erroresaleatorios son pequenos (buena precision). Debido a que la distribucionde disparos esta centrada en el blanco, los errores sistematicos tambienson pequenos (buena exactitud). b) Alta precision y baja exactitud:Los errores aleatorios son todavıa pequenos, pero los sistematicos son mu-cho mas grandes –los disparos estan sistematicamente corridos hacia laderecha. c) Baja precision y Buena exactitud: En este caso, loserrores aleatorios son grandes, pero los sistematicos son pequenos, losdisparos estan muy dispersos, pero no estan sistematicamente corridosdel centro del blanco. d) Baja precision y baja exactitud: Aquı amboserrores son grandes.


2.6 Calculo de Errores 15

2.6 Calculo de Errores

2.6.1 Error Absoluto

En una medicion la ultima cifra resulta siempre incierta. Esto quiere decir que nuncavamos a obtener el valor real de una medida, pero nos aproximamos a el mejorandoel procedimiento e instrumentos de medicion. Toda medicion va acompanada deuna incertidumbre y su determinacion nos dice que tan cerca estamos de valor realde la magnitud. Definimos el error absoluto ε, como la diferencia entre el valor realVR y el valor observado VO o valor medido, en la forma

ε = ‖VR − VO‖ (2.1)

Se expresa como el valor absoluto ya que podemos acercarnos al VR por exceso opor defecto, es decir, que esta diferencia puede ser positiva o negativa. Pero ¿comocalcular el error absoluto si jamas conoceremos el valor verdadero? En la practicael error absoluto se define con relacion a una medida arbitraria. Por eso definimosla incertidumbre ∆V tal que para cualquier VO se cumple que

ε = ‖VR − VO‖ ≤ ∆V (2.2)

Si podemos determinar ∆V , entonces para cualquier medicion experimental VOse cumple que el valor real de la cantidad satisface la desigualdad:

VO −∆V ≤ VR ≤ VO + ∆V (2.3)

Esto quiere decir, que al hacer una medicion, lo que estamos buscando es unintervalo donde se encuentra el valor mas probable del valor real. En otras palabras,buscamos los lımites Superior e Inferior de una magnitud. Una forma mas util deexpresar este intervalo de medicion es

VR = VO ±∆V (2.4)

Esta es la manera como deben reportarse el valor de una medicion de cualquiermagnitud, sea directa o indirecta.

2.6.2 Incertidumbre relativa y porcentaje de error

Muchas veces necesitamos saber que tan significativa es ∆V respecto a VO. Porejemplo, una incertidumbre de ±1cm en la longitud de un cuaderno es significativo.



Pero si medimos la distancia entre la tierra y la luna o el tamano de una bacteria conel mismo error, este carece completamente de sentido. Es por esto que es necesariocomparar la incertidumbre estimada con el valor medido en la forma

εR =∆V

VO(2.5)

Esta es la incertidumbre relativa que tambien se puede reportar como un por-centaje al multiplicar por 100 en la forma

εR =∆V

VO× 100 (2.6)

2.6.3 Calculo practico de la incertidumbre

Al cuantificar la incertidumbre de una cierta magnitud x debemos, en principio,tener en cuenta todos los tipos de incertidumbres que esten presentes. Una formade obtener el valor de la incertidumbre total es mediante la suma de los cuadradosde todas las incertidumbres presentes de acuerdo a la siguiente ecuacion,

(∆x)2 =N∑n=1

∆x2n (2.7)

Por lo general en el laboratorios es frecuente encontrar las siguientes incertidum-bres:

a Incertidumbre de escala (∆xe)

b Incertidumbre de calibracion (∆xc)

c Incertidumbre estadıstica o aleatoria (∆xa)

Para este caso, el calculo de la incertidumbre viene dado por

∆x =√

(∆xe)2 + (∆xc)2 + (∆xa)2 (2.8)

Normalmente se atribuye como incertidumbre de escala de una medida a la mitadde la division mas pequena. Por ejemplo, si ustedes miden con una regla graduada enmilimetros entonces la incertidumbre atribuida es ± 0.5 mm (± 0.05 cm) (pero estono es adecuado del todo ya que depende del estado de los bordes del objeto a medir).


2.6 Calculo de Errores 17

Ası, considerando que solo existe esta incertidumbre, si se determina que una longi-tud tiene 15,00 cm entonces el resultado de la medicion es L = (15, 00 ± 0.05) cm,lo que quiere decir que su valor verdadero se encuentra en el intervalo

14, 95 cm < L < 15, 05 cm

Una manera mas adecuada de proceder, considerando que su instrumento estabien calibrado, es determinar los valores lımites entre los cuales ustedes consideranque se encuentra la magnitud a medir. Por ejemplo, observando en la figura 2.1,se puede apreciar que la longitud L esta entre L1 = 2, 40 cm y L2 = 2.50 cm. Conestos lımites podemos asignar un valor central en el intervalo dado por

L =L1 + L2

2(2.9)

por tanto, para los valores dados tenemos

L =2, 50 + 2, 40

2= 2, 45 cm

en donde 5 es la cifra incierta en la medicion.

De la misma manera, podemos asignar a la medicion el valor de la incertidumbremediante la ecuacion

∆L =L1 − L2

2(2.10)

y para el presente caso tenemos

∆L =2, 50− 2, 40

2=

0, 10

2= 0, 05 cm

que es igual a la mitad de la division mas pequena. El resultado final de lamedicion es

L = (2, 45± 0, 05) cm

La incertidumbre es, de esta manera, una medida del grado de confiabilidad denuestra medicion y nos sirve para evaluar su calidad que normalmente se expresamediante el porcentaje de error



εr =0, 05

2, 45× 100 = 0, 02× 100 = 2%

Se aclara al estudiante que este metodo empleado es meramente didactico, yaque al usar procedimientos de metrologıa para calcular la incertidumbre en unamedicion, se encuentra que el metodo es mucho mas refinado que el que se exponeen estas notas.

2.7 Propagacion de errores

Al hacer una medida indirectamente, como por ejemplo, el area de un campo defutbol, en donde se deben medir por separado el largo y el ancho, es obvio que elerror involucrado en ambas cantidades conlleva a un error en el area calculada. Espor esta razon que necesitamos conocer como se propaga el error en una medicionindirecta al hacer una operacion entre dos cantidades medidas directamente o atraves de una funcion de una o mas variables.

2.7.1 Incertidumbre en funciones de una sola variable

Supongamos que la medida de una magnitud es x = x0 ± ∆x y queremos calcularel valor de z mediante la funcion z = f(x). Es de esperarse que z = z0±∆z, dondez0 = f(x0) y el intervalo ±∆x alrededor de x0 genera un intervalo ±∆z alrededorde z0.

Como ejemplo tomemos el caso de z = x2. Reemplazando x por x0 ±∆x obten-emos

z = z0 ±∆z = (x0 ±∆x)2 = x20 ± 2x0∆x+ (∆x)2 (2.11)

Como ∆x es pequeno, entonces (∆x)2 << 1, y podemos despreciarlo en laecuacion anterior para obtener

∆z = 2x0∆x (2.12)

En forma general, para obtener la incertidumbre en un funcion de un variablebasta con calcular el diferencial de la funcion z = f(x)

dz =df(x)

dxdx (2.13)


2.7 Propagacion de errores 19

y escribirlo en forma de incertidumbre

∆z =df(x)

dx∆x (2.14)

2.7.2 Funciones de dos o mas variables

Sean x y y dos magnitudes que se han medido independientemente una de otra consus respectivos incertidumbres

x = x0 ±∆x ; y = y0 ±∆y (2.15)

a) Para la suma y la resta de x y y se tiene

s = x+ y = x0 ±∆x+ y0 ±∆y = (x0 + y0)± (∆x+ ∆y) (2.16)

s = s0 ±∆s (2.17)

Por tanto, la incertidumbre en la suma es

∆s = ∆x+ ∆y (2.18)

b) El producto de x y y es

p = x.y = (x0 ±∆x)(y0 ±∆y) = x0y0 ± (y0∆x+ x0∆y) + ��∆x∆y (2.19)

p = p0 + ∆p (2.20)

La incertidumbre es

∆p = y0∆x+ x0∆y (2.21)

El error relativo sobre p es

∆p

p0

=∆x

x0

+∆y

y0

(2.22)



c) La division de x y y

d = d0 ±∆d =x

y=

x0 ±∆x

y0 ±∆y(2.23)

∆d = d− d0 =x0 ±∆x

y0 ±∆y− x0

y0

=y0∆x− x0∆y

y20 + y0∆y

(2.24)

Si despreciamos en el denominador el termino y0∆y y asumimos el signo nega-tivo en ∆y para que el resultado sea consistente con el incrementeo del error, laincertidumbre relativa es

∆d

d0

=∆x

x0

+∆y

y0

(2.25)

d) En forma general, para el producto de dos o mas variables elevadas a distintaspotencias, como se muestra en la ecuacion siguiente,

z = xmyn (2.26)

obtenemos primero el logaritmo de la funcion

logz = mlogx+ n logy (2.27)

y luego sacamos el diferencial

dz

z= m

dx

x+ n

dy

y(2.28)

y por tanto la incertidumbre relativa es

∆z

z= m

∆x

x+ n

∆y

y(2.29)

Dado el caso en que los exponentes sean negativos se toman los valores absolutosya que en una operacion matematica las incertidumbres siempre se incrementan.

2.7.3 Metodo general para calcular errores

Siempre que tengamos una funcion de la forma


2.8 Ejemplo 21

s = f(x, y, z) (2.30)

obtenemos primero el diferencial total

ds = ‖∂f∂x‖dx+ ‖∂f

∂x‖dy + ‖∂f

∂z‖dz (2.31)

Luego convertimos los diferenciales en incertidumbres

∆s = ‖∂f∂x‖∆x+ ‖∂f

∂x‖∆y + ‖∂f

∂z‖∆z (2.32)

El metodo implica que se deben conocer las cantidades x, y y z, ademas deobtener las derivadas parciales de la funcion f evaluada en las cantidades x0, y0, z0.

2.8 Ejemplo

Determinacion de la densidad de una esfera aparentemente de acero. El diametrose midio con un micrometro de precision ±0.01mm: d = (15.538 ± 0.005)mm Lamasa se midio con una balanza de precision ±0.05 g: m = (15.2± 0.1) g

La densidad obtenida con una calculadora es

ρ =m

V=

m43π(d

2)3

=6m

πd3= 7, 73855038

g

cm3(2.33)

Calculo de la incertidumbre

logρ = log6

π+ logm+ logd3 (2.34)

o

∆ρ

ρ=

∆m

m+ 3

∆d

d(2.35)

∆ρ = ρ(∆m

m+ 3

∆d

d) = 7, 73855(

0, 1

15, 2+ 3× 0, 005

15, 538) = 0, 05838

g

cm3(2.36)

El valor calculado esρ = (7.74± 0.06)

g

cm3



Ahora calculemos la incertidumbre aplicando la derivada de respecto a m y a d

∂ρ

∂m=

6

πd3

∂

∂m(m) =

6

πd3= 0, 509 cm3 (2.37)

∂ρ

∂d=

6m

π

∂

∂d(d−3) =

−18m

πd4= −14, 941

g

cm4(2.38)

∆ρ = ‖ ∂ρ∂m‖∆m+ ‖∂ρ

∂d∆d = 0, 059× 0, 1 + 14, 941× 0, 005 = 0.05837

g

cm3(2.39)

Por tanto el valor calculado es

ρ = (7.74± 0.06)g

cm3

2.9 Problemas

1. Determine el numero de cifras significativas en los siguientes numeros: 23 cm;3,589 s; 4,67103 m/s; 0,0032 m; 1,007 m; 0,015 µs

2. ¿Cual de los siguientes tiene el mayor numero de cifras significativas: 0,254cm; 0,00254 ×102 cm; 254 ×103 cm?

3. ¿Cual de estas numeros tiene 3 cifras significativas: 305,0 cm; 0,0500 mm;1,00081 kg?

4. Efectue la suma de los siguientes numeros: 756; 37,2; 0,83 y 2,5.

5. Si se mide la longitud y el ancho de una placa rectangular 15,30 cm y 12,80cm respectivamente, calcule el area de la placa.

6. Calcule el area y la circunferencia de un cırculo de radio igual a 4,65 cm.

7. Obtenga el producto de 3,2 × 3,563

8. Obtenga la suma de 4, 67× 103 y 2, 2× 102

9. Usando un metro de madera para medir un lado de mi escritorio, estoy segurode que su longitud no es menor a 142,3 cm ni mayor que 142,6 cm. Enuncie estamedicion como un valor central ± incertidumbre. ¿Cual es la incertidumbrerelativa de la medicion?


2.9 Problemas 23

10. Para realizar mediciones de tension y corriente en un circuito utilizo un vol-tımetro y un amperımetro de aguja. Estoy seguro de que la lectura del am-perımetro esta entre 1,24 y 1,25 A, y la del voltımetro entre 3,2 y 3,4 V. Expresecada medida como un valor central ± incertidumbre, y evalue la incertidumbrerelativa de cada medicion.

11. Si se puede leer un metro de madera con una incertidumbre absoluta de ± 1mm, cual es la distancia mas corta que puedo medir para que la incertidumbrerelativa no exceda el a) 1%, b) 5%?

12. Se utiliza un termometro graduado en 1/5 grado Celsius para medir la tem-peratura del aire exterior. Medida con una aproximacion de 1/5 de grado, latemperatura de ayer fue de 22,4◦, y la de hoy es de24,8◦. ¿Cual es la incer-tidumbre relativa en la diferencia de temperaturas entre ayer y hoy?

13. El reloj del laboratorio tiene un segundero que se mueve por pasos de unsegundo. Lo uso para medir un cierto intervalo de tiempo. Al principio delintervalo marcaba las 09:15:22, y al final las 09:18:16. ¿Cual es la incertidumbrerelativa del intervalo medido?

14. En el escritorio mencionado en el problema 1, se mide ahora su ancho, y seobserva que la medida cae entre 78.2 y 78.4 cm. ¿Cual es la incertidumbreabsoluta en el area calculada de la cubierta del escritorio?

15. Para medir la resistencia de un resistor, se miden la caıda de tension entresus terminales y lacorriente que circula por el. La lectura del voltımetro es de(15,2 ± 0,2) V, y la lectura del amperımetro es de (2,6 ± 0,1) A. Cual es laincertidumbre absoluta de la resistencia calculada como R = V/I?

16. Un pendulo simple se usa para medir la aceleracion de la gravedad, usandoT = 2π(l/g)1/2 . El perıodo T medido fue de (1,24 ± 0,02) seg. y la longitudde (0,381 ± 0,002) m. ¿Cual es el valor resultante de g con su incertidumbreabsoluta y relativa?

17. Un experimento para medir la densidad de un objeto cilındrico utiliza laecuacion ρ = m/πr2l. Los valores medidos son: masa, m = (0,029 ± 0,005)kg, radio, r = (8, 2 ± 0, 1)mm y longitud, l = (15, 4 ± 0, 1)mm, ¿cual es laincertidumbre absoluta del valor calculado de la densidad?

18. Use el metodo general para calculo de incertidumbres en funciones y obtengala incertidumbre de la medida indirecta de

z =x

x2 + 1



19. La distancia focal f de una lente delgada se mide usando la ecuacion

1/o+ 1/i = 1/f

en donde

distancia al objeto: o = (0, 154± 0, 002)mdistancia a la imagen: i = (0, 382± 0, 002)m

¿Cual es el valor calculado de la distancia focal, su incertidumbre absoluta ysu incertidumbre relativa?

20. Use la identidad trigonometrica para sen(a ± b) para demostrar que el errorobtenido en el calculo indirecto z = senx es ∆z = (cosx)∆x, teniendo encuenta que para angulos pequenos sendx ≈ dx y cosdx ≈ 1. ( Asuma quex = x0 ±∆x)

21. Se mide experimentalmente la longitud de onda de la luz, usando la ecuacionλ = dsenθ. La medida de θ es de 13o 34’ ± 2’. Suponiendo que el valor ded = 1420 × 10−9m no tiene error, ¿cual es el error absoluto y relativo en elvalor de λ

22. Se da un valor como 14,253 ± 0,1. Reescrıbalo con el numero adecuado decifras significativas. Si el valor se diera como 14,253 ± 0,15, ¿como deberıaescribirse?

23. Se da un valor como 6,74914 ± 0,5 %. Enuncielo como un valor ± incertidum-bre absoluta, ambos con el numero adecuado de cifras significativas.


Capıtulo 3

Tratamiento estadıstico demedidas

Los errores aleatorios se presentan como resultado de fluctuaciones o variaciones enla medida. Estos errores no se pueden eliminar ya que no podemos determinar lacausa que los producen. Estas variaciones se pueden observar cuando ustedes hacenuna serie de mediciones y se encuentra que todos los valores varıan al menos en suultima cifra.

3.1 Como se minimiza este error?

Una manera de minimizar los errores aleatorios se obtiene realizando una serie deN mediciones.

x1, x2, x3, ... , xN (3.1)

3.1.1 Valor Promedio

Una vez se tiene un numero de datos (N ≥ 10) obtenemos el valor promedio o valormas probable, que tambien es conocido como media aritmetica.

x =x1 + x2 + x3 + ...+ xN

N=

1

N=

N∑n=1

xn (3.2)


26 Capıtulo 3. Tratamiento estadıstico de medidas

3.1.2 Desviacion de la Media

La desviacion nos indica que tan alejada esta una medida del valor promedio de ungrupo de mediciones. Si d1 es la desviacion de la primera medida (x1) y d2 para lasegunda medida (x2), entonces, la desviacion de la media se puede expresar como:

d1 = x1 − xd1 = x2 − x...

...

d1 = xn − x (3.3)

Observe que el valor de las desviaciones de la media puede tener valores tantopositivos como negativos y que la suma algebraica de todas las desviaciones debeser cero.

3.1.3 Desviacion Promedio

La desviacion promedio es una indicacion de la precision de los instrumentos emplea-dos al hacer las mediciones. Instrumentos altamente precisos daran una desviacionpromedio muy baja. Por definicion la desviacion promedio es la suma de los valoresabsolutos de las desviaciones dividida por el numero de lecturas. Teoricamente, estadebe tender a cero ya que las mediciones se ubican a la izquierda y derecha del valorpromedio.

d =‖d1‖+ ‖d2| + ‖d3‖+ ...+ ‖dN‖

N=

1

N

N∑n=1

‖dn‖ (3.4)

3.1.4 Desviacion Estandar

Cuando el conjunto de medidas se aleja mucho del promedio, la medida es pocoprecisa y se dice que hay alta dispersion de los datos. Por el contrario, cuando elconjunto de medidas esta mas concentrado en torno al valor promedio, se dice que laprecision de la medida es alta y los valores medidos tienen una distribucion de bajadispersion. Cuantitativamente la dispersion de un conjunto de medidas se puedecaracterizar por la desviacion estandar del conjunto definido como

S =

√d2

1 + d22 + d2

2 + ...+ d2N

N − 1=

√√√√ 1

N − 1

N∑n=1

d2n (3.5)


3.1 Como se minimiza este error? 27

La desviacion estandar S caracteriza un intervalo en donde hay el 68,27% deprobabilidad de que un valor medido se encuentre dentro de este intervalo. Porejemplo, si se realizan 100 mediciones, se encuentra que lo valores se distribuyen detal forma que:

El 68,27% estan entre x − S y x + SEl 95,45% estan entre x− 2S y x+ 2SEl 99,73% estan entre x− 3S y x+ 3S

3.1.5 La Varianza

La varianza es una cantidad conveniente en muchos computos por cuanto tiene lapropiedad aditiva.

V = S2 (3.6)

La desviacion estandar, sin embargo, tiene la ventaja de tener las mismas unidadesde la variable haciendo facil la comparacion de magnitudes.

3.1.6 Incertidumbre Estandar de la Media

A medida que se realizan mas medidas, la compensacion de los errores aleatoriosentre si van mejorando y la media del conjunto de medidas, , va a tener una mejorprecision. La incertidumbre estandar de la media se define como

∆x = Sm =S√N

(3.7)

3.1.7 Error Relativo Porcentual

El error relativo indica la calidad de la medicion y viene dado por

εr =∆x

x× 100% (3.8)



3.2 Analisis de error para N pequeno

El analisis estadıstico anterior se puede aplicar con confianza a un numero de datosdel orden de N = 100. Para medidas en el Laboratorio es aplicable a partir deN = 10. En el caso en que N es menor que 10 se procede de la manera siguiente:supongamos que tenemos N = 5 medidas, calculamos el promedio de los cinco valoresde acuerdo a la ecuacion dada (ecuacion 3.2)

a =a1 + a2 + a3 + a4 + a5

5(3.9)

La incertidumbre se calcula restando al maximo de estos valores el valor mınimode los mismos y dividendo entre 2

∆a =amax − amin

2(3.10)

Finalmente el intervalo de medicion se puede escribir

a = a±∆a (3.11)

3.2.1 Ejemplo

Se mide el tiempo de caıda de un cuerpo desde cierta altura. Los resultados de las4 mediciones realizadas con un cronometro son:

t1 = 12, 0s; t2 = 12, 5s; t3 = 13, 0s; t4 = 12, 8s

El valor promedio del tiempo segun la calculadora es:

t =12, 0 + 12, 5 + 13, 0 + 12, 8

4= 12, 575s

Redondeando obtenemos

t = 12, 6s


3.3 Histograma 29

La incertidumbre obtenida de acuerdo a ecuacion 3.10 es

∆t =13, 0− 12, 0

2= 0, 5s

y por la ecuacion 3.11 intervalo de la medicion obtenido es

t = (12, 6 ± 0, 5)s

En resumen podemos decir que cuando:

N = 1 Se realiza la medida y el error de apreciacion.

N < 10 Se calcula el promedio y el error maximo.

N ≥ 10 Se realiza tratamiento estadıstico (Calculo de promedio y error estandar).

3.3 Histograma

En la seccion anterior se explico que al relizar N mediciones de una magnitud x elmejor valor de la medicion es el valor promedio y que la desviacion estandar nosinforma como se distribuyen los N datos alrededor de este valor. Si se analizandetenidamente los datos, se encuentra que hay unos que se repiten mas que otros.Si se agrupan de acuerdo al numero de repeticiones, se puede observar que los demayor frecuencia son los que estan cerca del valor promedio. Esto nos da la ideade que hay valores que tienen mas probabilidad de obtenerse que otros al hacerla siguiente medicion. Entonces podemos preguntarnos, ¿Cual es la probalilidad deobtener un dato en el intervalo x y x+∆x? Si agrupamos los datos por intervalos deancho ∆x y contamos el numero de datos en ese intervalo y ahora hacemos un graficoxy en donde los intervalos se colocan en la abcisa y las frecuencias en la ordenada,obtenemos un Histograma de las mediciones. En el histograma se puede observarclaramente como se dispersa el conjunto de mediciones al rededor del valor medio yse puede entender mejor el signifidado de la desviacion estandar y de probabilidad dela medicion. En teorıa de probabilidades, cuando se hace un numero muy grande demediciones, se habla de funcion de distribucion de probabilidades f(x) y un graficode x en funcion de f(x) describe una curva que comunmente se le conoce comocampana de Gauss.

En la figura 3.1, se muestra esquematicamente un histograma. En el se han dibu-jado 6 rectangulos cuyas bases corresponden al ancho de los intervalos de mediciony cuyas alturas representan la frecuencia o numero dedatos en el intervalo. El areade estos rectangulos representa la probabilidad de obtener cualquier valor, dentrode ese intervalo, al hacer una medicion.



Figura 3.1: Ejemplo de un Histograma

3.3.1 Construccion del Histograma

Para construir un histograma, se van a seguir los siguientes pasos:

1. Se ordenan los datos recopilados de menor a mayor y se establece la frecuenciade los datos que se repiten.

2. Calcular el Rango de la variable restando al dato mayor el dato menor.

Rango = dato mayor − dato menor (3.12)

3. Elegir un numero impar de intervalos para el histograma que este comprendidoentre 7 y 15.

4. Calcular el ancho ∆x de los intervalos.

∆x =Rango

Numero de intervalos(3.13)

5. Si el cociente anterior no es un numero entero, puede ampliarse el rango de lavariable escogiendo un valor mayor que dato mayor y un valor menor que elmenor valor y obtener un nuevo rango y el ancho del intervalo

∆x =Nuevo Rango

Numero de intervalos=x>xmax − x<xminNo. intevalos

(3.14)


3.3 Histograma 31

6. Determinar los extremos de los intervalos de tal forma que el primero seacerrado y el segundo abierto.

7. Obtener la frecuencia contando el numero de datos en cada intervalo.

8. Calcular las marcas, en donde las marcas son los puntos medios de cada inter-valo.

9. Elegir unidades arbitrarias sobre los ejes, para representar las frecuencias enordenadas y los anchos de los intervalos en abscisas.

10. Dibujar los rectangulos correspodientes.

3.3.2 Ejemplo

En la tabla 3.1 se muestran los datos experimentalmente del tiempo de reaccion deuna persona, medidos cuando se solto una regla entre sus dedos la cual debıa agarrarcuando la veıa cayendo. Se desea saber: a) el tiempo de reaccion promedio t, b) ladesviacion estandar S, c) la distribucion de los datos mediante un histograma, d) elsignificado fısico de t, S y t± S.

Tabla 3.1: Mediciones del tiempo de reaccion

t(s) frecuencia0,185 10,186 10,191 20,193 10,203 20,204 20,205 20,211 30,219 40,220 30,223 20,224 20,230 10,233 20,234 20,235 1



Solucion:

a) Haciendo uso de la ecuacion 3.2 se tiene

t = 0, 214 s

Por tanto el valor medido es t = (0, 214 ± 0, 015) s

b) Con la ecuacion 3.5 se tiene

S = 0, 015 s

c) Para el histograma, obtenemos primero el rango de los datos

RANGO = 0, 250− 0, 180 = 0, 070

y

∆t =0, 070

7= 0, 010

Por tanto, construimos el histograma comenzando en 0,180 s con intervalos deancho 0,010 s en los que las frecuencias estan dados en la tabla 3.2

Tabla 3.2: Intervalos para el histograma

Intervalos Rangos Frecuencia1 0,180 - 0,190 22 0,190 - 0,200 33 0,200 - 0,210 64 0,210 - 0,220 75 0,220 - 0,230 76 0,230 - 0,240 57 0,240 - 0,250 2

d) El valor 0,214 s es el valor mas probable, es decir se puede considerar como elvalor que se encuentra mas cercano al valor verdadero de t.

El valor S = 0,015 s es una medida de la dispersion de los valores medidos.Con este valor podemos calcular el porcentaje de error, como se ve es un valormuy adecuado para caracterizar el intervalo de dispersion.

El intervalo de la medicion es


3.4 Ejercicios 33

t = (0, 214± 0, 015)s

y significa que el 68,27% de los 31 datos estan entre 0, 199s y 0, 229s . Es decir0,6827 × 31 = 21 datos.

Si observamos la tabla de datos, estos valores estan en el comienzo del intervalo3 y el final del 5 (entre 0,200 y 0,230) en donde se encuentran 20 datos, (6datos en el intervalo 3, 7 en el 4 y 7 en el 5).

Figura 3.2: Histograma para los datos del ejemplo

3.4 Ejercicios

1. Se mide 10 veces la temperatura del interior de una caja, con un Multımetro.Los valores expresados en ◦C son los siguientes: 44,6 - 44,1 - 44,3 - 44,7 - 44,9- 45,0 - 45,1 - 44,2 - 44,4 - 44,8 Hallar el valor mas probable.

2. Se mide 35 veces la corriente que circula por un circuito con un galvanometro.Los valores obtenidos, expresados en mA (miliamperes), son los siguientes:21,90 - 22,00 - 21,86 - 21,93 - 22,01 - 21,71 - 21,76 - 21,83 - 21,82 - 21,75 -21,48 - 21,85 - 21,76 - 21,87 - 21,74 - 21,80 - 21,74 - 21,65 - 21,84 - 21,59 -21,83 - 21,68 - 21,84 - 21,63 -21,67 - 21,94 - 21,64 - 21,82 - 21,66 - 21,73 -21,82 - 21,72 -21,73 - 21,79 - 21,76 Determine : a) el valor mas probable, b)el grado de tolerancia que admiten , c) la aproximacion de los resultados endeterminaciones futuras, d) trace el histograma correspondiente.



3. En el ejercicio anterior, ¿Dentro de que lımites hay un probabilidad del 68in-cluida una medida particular?

4. ¿Que lımites dan una probabilidad del 95% ?

5. En una serie de 1500 medidas el promedio fue 637 Unid. y el error fue S = 11.¿Cuantas medidas dan un resultado mayor de 659 Unid?


Capıtulo 4

Evaluacion de Experimentos

4.1 Analisis de graficas

Esta seccion tiene como objetivo, dar a conocer el procedimiento de analisis de datosexperimentales mediante las graficas en un plano cartesiano. Normalmente se de-sean analizar un sistema observando el comportamiento de alguna de sus propiedadesmientras se modifica otra propiedad asignandole variaciones iguales a voluntad; porejemplo,al comprimir el aire mientras se infla la rueda de una bicicleta, se aumentala presion y como consecuencia de esto, disminuye el volumen. Si se logran medir lapresion y el volumen y se recolectan los datos en una tabla se tendrıa una buena in-formacion. Pero una tabla de datos no es suficiente para entender el comportamientodel sistema. Se requiere llevarlos a un plano cartesiano xy, en donde x correspondea la variable independiente que es la que se modifica a voluntad (abcisa) y y serala variable dependiente (ordenada), que es la que vamos a analizar respecto a laotra. Esto sugiere que debe haber una relacion funcional entre las variables. Lo queimporta de aquı en adelante es encontrar una ecuacion matematica que se ajusta ala forma de la curva trazada por los puntos en el papel milimetrado.

¿Como realizar un buen grafico?

Al realizar un experimento y obtener una tabla de datos, siga los siguientes pasospara obtener un buen grafico un papel milimetrado:

1. Observe el rango de sus datos en cada columna de la tabla.

2. Trace un plano cartesiano en papel milimetrado y escoja una escala para cadauno de ellos de acuerdo al rango de los datos en su tabla. Los ejes no deben ser


36 Capıtulo 4. Evaluacion de Experimentos

ni demasiado grandes ni demasiado pequenos. Las escalas no necesariamentecomienzan en cero. El primer valor en un eje puede estar cerca al valor masbajo de cada columna. Las escalas no siempre son iguales.

3. Elegir el eje horizontal para la variable independiente y el vertical para lavariable dependiente.

4. Escoja escalas de facil lectura, por ejemplo de 2 en 2, de 5 en 5, de 10 en10 y escriba en el eje solamente los numeros mas representativos de la escala.Nunca coloque los datos de la tabla.

5. Al final de los ejes deben escribirse los nombres de las variables (ya sea consu nombre completo o con su representacion simbolica), con sus respectivasunidades, por ejemplo t(s) y x(m).

6. Comience a ubicar la pareja de coordenadas xy en el grafico, dibujando unpunto pequeno sobre el papel, solo la huella de la punta del lapiz. Para re-saltarlo se encierra en un cırculo o un cuadradito, etc. No trace lıneas guıaspara ubicar los puntos, las lıneas del papel milimetrado lo guiaran.

7. Normalmente no se unen los puntos, pero si lo desean, puede trazar suavementela forma de la curva.

Figura 4.1: Ejemplo de una figura bien realizada


4.2 Linealizacion de graficos 37

4.2 Linealizacion de graficos

El objetivo de realizar graficas de dos variables experimentales es conocer la relacionmatematica que existe entre ellas dos. Las formas de las curvas que se percibenen la grafica, pueden estar asociadas con alguna de las siguientes ecuaciones quenormalmente son las mas comunes en este nivel.

y = Ax+B (4.1)

y = Ax2 +Bx+ C (4.2)

y = Ax3 +Bx2 + Cx+D (4.3)

y = Axn, n < 0 o n > 0 (4.4)

y = Ax−1 (4.5)

y = Aekx (4.6)

Si ustedes dibujan previamente las formas de las curvas que representan estasecuaciones les sera facil asociar las curvas experimentales con alguna de estas ecua-ciones.

Ejercicio. Usen papel milimetrado para dibujar las curvas correspondientes alas ecuaciones anteriores, asignandole valores arbitrarios a la variable x.

4.2.1 Ecuacion lineal y mınimos cuadrados

Si al dibujar en un plano cartesiano una serie de datos experimentales (parejas xy)y los puntos obtenidos se pueden hacer corresponder con una linea recta, entoncesla ecuacion matematica asociada es la lineal, ecuacion 4.1. Escribamos ahora estaecuacion en en la forma habitual y = mx + b, donde m es la pendiente de la rectaque se obtiene graficamente tomando dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) que se encuentrenen la mejor lınea que une todos los puntos (interpolar)

m =y2 − y1

x2 − x1

(4.7)

b es es punto de interseccion o intercepto de la recta con el eje y y se obtienedirectamente del grafico.

Use este metodo cuando quiera hacer calculos rapidos y aproximados o no dispongade otra herramienta.

Existe un metodo estadıstico para encontrar la relacion lineal de una serie demediciones, conocido como mınimos cuadrados. Se puede aplicar este metodo paraencontrar m y b siempre y cuando se aprecie que los puntos del grafico tienen esta



tendencia. Las calculadoras Cassio traen incluido el modo LR (regresion lineal) paracalcular estos parametros. Existen programas de computador para analisis de datosexperimentales como Excel y Origin que ademas de graficar, ofrecen la posibilidadde encontrar la ecuacion que mas se ajuste a los datos.

Cuando no se tiene una calculadora o un computador disponibles, es facil hallarla ecuacion de la lınea recta aplicando las siguientes ecuaciones que se obtienen pormınimos cuadrados (Ver libro Experimentacion pag. 128, cap. 6 y Apendice 2 pag.172 ):

Para obtener la pendiente,

m =n∑ni (xiyi) −

∑ni xi

∑ni yi

n∑ni x

2i −

[∑ni xi

]2 (4.8)

y para obtener el intersecto,

b =n∑ni x

2i

∑ni yi −

∑ni xi

∑ni (xiyi)

n∑ni x

2i −

[∑ni xi

]2 (4.9)

Tambien es posible obtener las incertidumbres en m y b con las ecuaciones:

Incertidumbre en m

∆m =σ√n√

n∑ni x

2i −

[∑ni xi

]2(4.10)

Incertidumbre en b

∆b = ∆m

√∑ni x

2i

n(4.11)

En donde σ es la desviacion estandar obtenida con el analisis por mınimos cuadra-dos, dada por

σ =

√∑ni (yi −mxi − b)2

n− 2(4.12)

Si ustedes saben usar un lenguaje de programacion como Qbasic, TurboPascal,C++, se puede realizar un programa usando ecuaciones 4.8 a 4.12 para calcular estosvalores. ¡Intentelo!


4.2 Linealizacion de graficos 39

4.2.2 Ejemplo

Como ejemplo, vamos a ilustrar el metodo analizando los siguientes datos que sesuponen tienen un comportamiento lineal.

Tabla 4.1: Datos para analisis de un comportamiento lineal

n x y x2 xy (y −mx− b)2

1 2 4.5 4 9 0.092 3 5.0 9 15 0.363 4 7.5 16 30 0.254 5 8.0 25 40 0.165 6 10.0 36 60 0.04∑ni = 20 35 90 154 0.90

Para m tenemos

m =5× 154− 20× 35

5× 90− 202=

70

50= 1, 40

y para b

b =90× 35− 20× 15

5× 90− 202=

70

50= 1, 40

La ecuacion de la lınea recta que se ajusta a estos datos es

y = 1.40 + 1.40x ; 2 ≤ x ≤ 6

Los errores respectivos para A y B con σ = 0.55 son:

∆m = 0.17 ≈ 0.2

∆b = 0.35 ≈ 0.4

Por tanto

m = 1.40± 0.17

b = 1.40± 0.35



4.3 Graficos no lineales

Cuando obtengan un grafico que no presenta forma lineal (el resto de las ecuacionescitadas arriba), el metodo que se sigue es el de linealizacion, que consiste en trans-formar de alguna manera la supuesta ecuacion que ajusta a sus datos hasta obteneruna forma lineal y ası, aplicarle el metodo de mınimos cuadrados. Por ejemplo, parala ecuacion cuadratica 4.2 y = Ax2 +Bx+ C la forma lineal es

y − Cx

= Ax+B (4.13)

Si al termino de la derecha le llamamos z, la ecuacion toma la forma

z = Ax+B (4.14)

Al realizar un grafico de z en funcion de x, dandole valores arbitrarios a x,debemos obtener la lınea recta que se ajusta a los datos experimentales. El valordel coeficiente B es la interseccion de la recta en el grafico de z vs. x y el coeficienteA es la pendiente. C es el valor inicial de y en x = 0.

4.3.1 Funcion Potencial

En muchos casos el grafico de una serie de datos x, y no se ajustan con una formalineal, ni a una funcion cuadratica, entonces, probando con la funcion y = Ax2n enla siguiente forma lineal

Para linealizar la funcion, aplicamos el logaritmo decimal en la siguiente forma:

y = Axn =⇒ log y = log(Axn)

log y = logA+ log xn

log y = logA+ n log x (4.15)

Si hacemos Y = log y , X = log x, b = log A y m = n la ecuacion 4.15 toma laforma lineal:

Y = mX + b (4.16)

Para observar la linealidad en forma logarıtmica, se hace el grafico log y vs.log x o los datos de las variables se llevan directamente a un papel logarıtmico


4.3 Graficos no lineales 41

( papel log-log) como se muestra en la figura 4.3. Los valores de m y b se obtienenpor el metodo de mınimos cuadrados. Cuando se ha dibujado el grafico en papel log-log, recuerde que al calcular la pendiente, los valores usados deben ser los logarimosde los datos.

Figura 4.2: Grafica de la funcion y = kxn en papel logarıtmico

4.3.2 Funcion exponencial

Si la funcion es de forma exponencial de base e, se linealiza aplicando el logaritmonatural o neperiano (ln) a ambos lados de la ecuacion:

y = Aekx =⇒ ln y = ln(Aekx)

ln y = lnA+ ln ekx

ln y = lnA+ k ln ex

ln y = lnA+ kx (4.17)

la ecuacion resultante es de forma lineal, en donde ahora: Y = ln y, X = x,m = k y b = lnA. Al realizar la grafica de lny vs. x obtenemos una lınea recta,siempre y cuando esa sea la curva que se ajuste a los datos experimentales. Encaso contrario, se deja a un lado y se prueba con otra ecuacion. Un ejemplo deeste tipo de linealizacion se muestra en la figura 4.4 en donde se ha usado papelsemilogarıtmico (semi-log) para observar el comportamiento lineal .



Figura 4.3: Grafica de la funcion y = Aekx en papel semilogarıtmico

4.3.3 Ejemplo

Los siguientes datos muestran el resultado de la medicion de la descarga en funciondel tiempo de un elemento electronico llamado condensador o capacitor. Los datosse obtuvieron midiendo el voltaje cada 2 segundos.

Tabla 4.2: Datos para la descarga de un condensador

Voltaje(V ) Tiempo(s)50,0 0,0033,5 2,0022,5 4,0015,1 6,0010,1 8,006,8 10,004,5 12,003,0 14,002,0 16,001,4 18,00

Al realizar la grafica del voltaje contra el tiempo, (ver figura 4.4), se observauna curva decreciente. Asumimos hipoteticamente que la ecuacion es de la formay = Aekx. Para confirmar esto, realizamos un grafico de ln x contra t,(figura 4.5).Como se puede observar, la serie de puntos dibujados muestra una tendencia linealen la forma de la ecuacion 3.3, lo que sugiere que nuestra hipotesis es verdadera.


4.3 Graficos no lineales 43

Figura 4.4: Decrecimiento exponencial del Voltaje de un condensador

Figura 4.5: Linealizacion de los datos de la tabla 4.2 dibujados en papel semilog.



Aplicando el metodo de mınimos cuadrados y comprobando con una calculadora, seencuentra que la ecuacion de la recta es

ln y = −0, 2x+ 3, 91

donde ln A = 3, 91 , por tanto

A = ln−1 (3, 91) = e3,91

luego

A = 50

Para la pendiente tenemos

k = −0, 2

Por tanto la ecuacion del grafico es:

y = 50e−0,2x

Ahora, usando las variables de los datos iniciales se tiene:

V = 50e−0,2t, 0 ≤ t ≤ 18s

4.3.4 Linealizacion de modelos conocidos

En la mayorıa de experimentos que ustedes van a realizar, ya conocen de antemanoel modelo matematico del sistema que se estudiara. Para la comprobacion de losmodelos se pueden basar en los siguientes procedimientos.

Terminos lineales sencillos

Existen algunos modelos en donde los terminos se pueden representar directamentecomo terminos lineales, por ejemplo la funcion

v2 = 19, 62x (4.18)


4.4 Analisis de graficos con ayuda de calculadoras 45

Si hacemos Y = v2 y 4X = x, al graficar Y contra X obtendremos una lınearecta de pendiente 19,62 (Unidades). Tambien se puede usar la forma equivalente

x =1

19, 62v2 (4.19)

tomando como variable vertical a x y como variable horizontal a v2.

Variables Combinadas

Existen algunos casos de graficos no lineales en donde no es inmediato obtener eltermino lineal. Para lograrlo, se recurre a realizar operaciones en ambos lados dela ecuacion hasta obtener terminos donde aparecen las variables combinadas quevienen a representar las variables X y Y en la forma lineal. Un ejemplo es el casodel periodo para el pendulo fısico que viene dado por:

T = 2π

√h2 + k2

gh(4.20)

Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuacion y luego multiplicando por h setiene

h2 =g

4π2T 2h− k2 (4.21)

Esta forma de la ecuacion ya es lineal, pero si despejamos h2 obtenemos unaforma lineal mas sencilla

T 2h =4π2

gh2 +

4π2

gk2 (4.22)

Haciendo Y = h2 , X = T 2h, m = 4π2

gy b = −k2, tenemos una relacion lineal y

un grafico de h2 contra T 2h sera el de una lınea recta.

4.4 Analisis de graficos con ayuda de calculadoras

Se puede usar una calculadora Cassio para obtener los parametros m y b de una seriede datos experimentales cuya grafica tiene comportamiento lineal, ya sea dibujadaen papel milimetrado, logarıtmico o semilogarıtmico.



4.4.1 Calculadoras Cassio FX95MS Y FX100MS

Digite las teclas para entar en el modo REG.

Aparecera el siguiente menu 1(Lin), 2(Log), 3(Exp).

Presione para entrar en el modo de Regresion Lineal.

Inicie siempre el ingreso de datos con .

Para introducir la pareja de datos (x,y), por ejemplo (2; 4,5), digite: 2 4.5

Repitan el paso anterior para introducir las siguientes parejas de datos.

Para obtener los valores de la pendiente y el intercepto, la calculadora usa laformula y = B+Ax, donde A y B corresponden al intercepto y la pendiente respec-tivamente.

Pendiente:

Intercepto:

4.4.2 Calculadora Cassio FX350ES

Todos los calculos estadısticos se realizan en el modo STAT. Para entrar a este modo,presiones las teclas: MODE 2

Para seleccionar el modo de Regresion lineal, presione de nuevo la tecla 2 .Aparecera la pantalla que se observa en la figura 4.6

Figura 4.6: La pantalla en el modo Regresion Lineal presenta dos columnas x y y.

Como observa el cursor aparece en la columna x. Si quiere mover el cursor ala columna y utilice las teclas del cursor. La ecuacion lineal en la calculadora esy = A+Bx.

Para ingresar los datos en x, escriba el numero, por ejemplo 12.3 y luego la tecla= , el cursor baja para esperar el siguiente dato.


4.5 Uso de programas de computador 47

Ubique el cursor en eje y para ingresar los datos de esta columna en la mismaforma que en x.

Borre la pantalla presionando AC .

Para obtener la pendiente A presione las teclas en el orden: SHIFT 1 7 1

Para obtener el intercepto B presione las teclas en el orden: SHIFT 1 7 2

Si desean obtener mas informacion pueden descargar el manual completo de lacalculadora vistando la pagina de internet: http://www.instructionsmanuals.com/u2/pdf/calculadoras/Casio-FX350ES-es.pdf

4.5 Uso de programas de computador

Si saben usar programas graficadores para computador tales como Excel, Originpara Windows o los equivalentes en Linux (Ubutu), intenten usarlos y repetir lorealizado anteriormente para comparar resultados. Estos programas tienen subruti-nas para realizar la regresion lineal y son capaces de dibujar las graficas que ustednecesite evaluar y se puede obtener la ecuacion que se ajusta a sus datos. Cualquierinformacion se puede obtener a traves de Internet.



4.6 Ejercicios

Use los conceptos de linealizacion y mınimos cuadrados anteriormente mencionadospara encontrar las ecuaciones que relacionan los datos de x y y en las siguientestablas:

Tabla 4.3:Ejercicio 1

x y0 101 122 153 194 245 306 377 458 549 6410 75


x y0 51 82 143 224 375 616 1007 1668 2739 45010 273


x y1 12,52 6,33 4.24 3.15 2,56 2,17 1,88 1,69 1,410 1,3


Anexo 1 49

Anexo 1. Modelo de informe de laboratorio

ESCRIBA EL TITULO ADECUADO DEL EXPERIMENTO REALIZADO

J. M. Sarmiento, K. Fonseca, A. Bermudez, L. M. MontesUniversidad del AtlanticoDepartamento de Fısica

Fecha de entrega: junio 2 de 2010

RESUMEN

Describa brevemente el contenido de la practica, con un espacio no mayor de 10renglones, en el cual se viertan los principales aspectos de lo que se realizo, como serealizo, para que se realizo y que se obtuvo, de tal manera que al lector se le brindela oportunidad de decidir si le interesa o no conocer el contenido del reporte consolo leer el resumen.

1. INTRODUCCION

Se plantean los objetivos del trabajo y la motivacion. Tambien se hace unapresentacion general del trabajo que estan presentando.

2. DISCUSION TEORICA

Escriba en forma resumida los aspectos mas fundamentales de la teorıa y quele sirvan de base para la consecucion de los objetivos, presentando la relacion delas variables dependientes e independientes, enunciando y enumerando las leyes oecuaciones que rigen el fenomeno.

3. METODOS EXPERIMENTALES

Escriba el procedimiento seguido paso a paso en forma de parrafo, haciendo unadescripcion del equipo de laboratorio usado, como se instalaron los dispositivos.Observe todos los detalles de los equipos como rangos de medicion, precision de laescala de medida, marca de los aparatos, etc. Se recomienda que culmine esta partecon un diagrama o dibujo indicando la localizacion de los aparatos. Al escribir useun lenguaje impersonal y en pasado (Se realizo..., se construyo..., etc.)

4. ANALSIS DE RESULTADOS Y DISCUSION

Escriba aquı los resultados obtenidos indicando cuales de las ecuaciones de laseccion 2 los llevaron a ellos. Interprete los resultados comparandolos con los es-perados teoricamente. Escriban los errores obtenidos. Justifique sus discrepanciasobtenidas. Coloque aquı las graficas realizadas numerandolas y escriba sus respec-tivos comentarios y analisis.


50 Anexo 1

5. CONCLUSION

Escriba aquı lo que aprendio de su analisis, indicando si se cumplio el objetivoplenamente y de las respectivas recomendaciones para futuras experiencias.

REFERENCIAS

Escriban las referencias bibliograficas consultadas para elaborar el informe en elsiguiente esquema:

1. A. U. TOR (iniciales del nombre y apellido), nombre del texto, editorial,paginas, fecha.

2. ...

Nota: Cuando la guıa de laboratorio tenga preguntas, redacte sus respuestas enlas respectivas secciones de su informe sin que aparezcan como respuestas directasa las preguntas.


Referencias bibliograficas

[1] D. C. BAIRD. “Experimentacion, una introduccion a la teorıa de mediciones yal diseno de experimentos”. 2a. Ed. Prentice-Hall Interamericana, S. A. 1991.

[2] Vicenzo Giamberardino, Teorıa de los errores. Editorial Reverte.

[3] B. J. Brinkworth. An Introduction to Experimentation. The English UniversityPress Ltd. London, 1971.

[4] Saez R. S., Font A. L. Incertidumbre de la medicion : Teorıa y Practica. Con-sultores C. A. Maracay, Venezuela 2001.

[5] J. Mahecha Gomez, Manual de Laboratorio de Fısica I. Editorial Universidadde Antioquia, 1992.

[6] C. Brito de Cruz, H. L. Fragnito. Guıa para Fısica Experimental. IFGW, Uni-versidad de Campinas, Brasil. 1997. (Bajado pagina de Internet).

[7] Ignacio Cruz Encinas; Trabajo en el Laboratorio. Departamento de Fısica uni-versidad de Sonora. 1997 (Bajado de la Internet).

[8] Michel Valero. Guıas de Experimentos de Fısica General, Departamento deFısica. Universidad del Valle, Cali – Colombia, 1996.

[9] Bureau International des Poids et Mesures. 8th edition 1998. Pag. Internethttp : //www.bipm.org/fr/si/si brochure/

[10] Alexander Caneva Rincon, Teorıa de Errores. Pag. Internet http ://newton.javeriana.edu.co/articulos/cifra/cifrahtm.

10.

[11] M. S. Aguirre, S. J. Meza. Fısica I, Mecanica y Termodinamica.Universidad Nacional del Nordeste, Argentina. Pag. Internet: http ://exa.unne.edu.ar/departamentos/dpto fisica.php


52 Referencias

[12] Para ampliar el conocimiento. http : //www.librosintinta.com/busca/calculo+de+ la+ incertidumbre/pdf/


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