handbook cell(2)

UIT-D

Comisión de Estudio 2

Cuestión 16/2

MANUAL "SOBRE INGENIERÍA DE TELETRÁFICO"

Ginebra, diciembre de 2002

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PREFACIO

La primera edición del Manual sobre Ingeniería de Teletráfico ha siso realizada conjuntamente por: • La Unión Internacional de Telecomunicaciones <http://www.itu.int> y los • Congresos Internacionales de Teletráfico <http://www.i-teletraffic.org>.

Este Manual aborda la teoría básica de la ingeniería de teletráfico. El conocimiento general de matemáticas que se requiere es de cálculo elemental de probabilidades. El propósito del presente Manual es permitir a los ingenieros comprender las Recomendaciones del UIT-T sobre ingeniería de tráfico, evaluar las herramientas y los métodos disponibles y mantenerse actualizados con respecto a las nuevas prácticas. Comprende las siguientes partes: • Introducción: Capítulos 1 y 2, • Nociones generales de matemáticas: Capítulos 3 a 6, • Modelos de pérdidas en las telecomunicaciones: Capítulos 7 a 11, • Modelos de retraso de comunicación de datos: Capítulos 12 a 14, • Mediciones: Capítulo 15.

El propósito de este libro es servir tanto de Manual como de libro de texto. Ello significa que el lector podrá, por ejemplo, estudiar los capítulos sobre modelos de pérdida sin haber leído previamente los capítulos sobre las nociones generales de matemáticas.

El Manual se basa en la experiencia de su editor, Villy B. Iversen, acumulada en los numerosos años de enseñanza del tema en la Universidad Técnica de Dinamarca y en los cursos de capacitación de la UIT organizados en los países en desarrollo. La Comisión de Estudio 2 del UIT-T (Grupo de Trabajo 3/2) examinó las Recomendaciones sobre ingeniería de tráfico. Numerosos ingenieros de la comunidad internacional del teletráfico, y también estudiantes, aportaron sus ideas para la realización del Manual. En el sitio <http://www.com.dtu.dk/teletraffic>, abierto a los comentarios y las ideas que se nos puedan aportar, el lector encontrará material de apoyo, como programas informáticos, ejercicios, documentación técnica avanzada y estudios de casos.

El Manual, realizado por iniciativa de la Comisión 3 (Países en desarrollo y asuntos relativos a la UIT), de los Congresos Internacionales de Teletráfico (TIC) fue examinado y adoptado por la Comisión de Estudio 2 del UIT-D en 2001. La Oficina de Desarrollo de las Telecomunicaciones agradece a los Congresos Internacionales de Teletráfico, así como a todos los Estados Miembros, Miembros de Sector y Expertos que contribuyeron a la presente publicación.

Hamadoun I. Touré Director Oficina de Desarrollo de las Telecomunicaciones Unión Internacional de Telecomunicaciones

C:\DOCUMENTS AND SETTINGS\IVAN BERNAL\MIS DOCUMENTOS\IB DOCS\EPN\LIBRO DE TRAFICO\133000S1.DOC (133000)05.11.06 01.12.06

MANUAL SOBRE INGENIERÍA DE TELETRÁFICO

Comisión de Estudio 2/16 del UIT-D y Congresos

Internacionales de Teletráfico

Diríjase a: Villy B. Iversen

COM Center Technical University of Denmark Building 343, DK-2800 Lyngby Tel.: 4525 3648 Fax.: 4593 6581

correo-e: [email protected] www.tele.dtu.dk/teletraffic

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NOTACIONES α Tráfico transportado por fuente o por canal

A Tráfico ofrecido = Ao

Ac Tráfico transportado = Y

Al Tráfico perdido

B Congestión de llamadas B Carácter de la ráfaga c Constante C Congestión de tráfico = congestión de carga

Cn Número de Catalán

d Dimensión del segmento en tráfico de velocidad múltiple D Probabilidad de retardo o llegada determinística o proceso de servicio E Congestión temporal

E1,n(A) = E1 Fórmula B de Erlang = fórmula 1 de Erlang

E2,n(A) = E2 Fórmula C de Erlang = fórmula 2 de Erlang

f Función de mejora g Número de grupos h Intervalo de tiempo constante o tiempo de servicio H(k) Fórmula de Palm-Jacobæus I Congestión temporal inversa I = 1/E

Jv(z) Función de Bessel modificada de orden v

k Accesibilidad = capacidad de búsqueda. Número máximo de clientes en un sistema de fila de espera

K Número de enlaces en una red de telecomunicación o número de nodos en una red de fila de espera

L Longitud media de fila de espera

Lkφ Longitud media de fila de espera cuando la fila de espera es mayor que cero

L Variable estocástica para longitud de fila de espera m Valor medio (promedio) = m1

mi i-ésimo momento (no central)

m'i i-ésimo momento central

mr Tiempo de vida residual medio

M Proceso de llegada de Poisson n Número de servidores (canales) N Número de trenes de tráfico o tipos de tráfico p(i) Probabilidades de estado, promedios de tiempo


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p {i, t | j, t0} Probabilidad de estado i en el tiempo t, dado el estado j en el tiempo t0P(i) Probabilidades de estado acumuladas P(i) = ∑ −∞=

i

xxp )(

q(i) Probabilidades de estado relativas (no normalizadas) Q(i) Valores acumulados de q(i): Q(i) = ∑ −∞=

i

xxp )(

Q Constante de normalización r Parámetro de reserva (reserva línea de enlace) R Tiempo de respuesta medio s Tiempo de servicio medio S Número de fuentes de tráfico t Instante de tiempo T Variable estocástica para un instante de tiempo U Función de carga v Varianza V Tiempo de espera virtual

ω Tiempo medio de espera para clientes con demora

W Tiempo medio de espera para todos los clientes W Variable estocástica para tiempo de espera y Velocidad de llegada. Proceso de Poisson: y = λ Y Tráfico transportado Z Grado de curtosis (factor de irregularidad)

α Tráfico ofrecido por fuente

β Tráfico ofrecido por fuente en reposo

γ Velocidad de llegada para una fuente en reposo

ε Factor de forma de Palm

ν Multiplicador de Lagrange

κi i-ésimo acumulante

λ Velocidad de llegada de un proceso de Poisson

Λ Velocidad de llegada total a un sistema

μ Velocidad de servicio, tiempo de servicio medio inverso

π(i) Probabilidades de estado, valores medios de llegada de cliente

Ψ(i) Probabilidades de estado, valores medios de salida de cliente

ρ Relación de servicio

σ2 Varianza, σ = desviación normal

τ Intervalo de retardo constante o intervalo de tiempo constante


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ÍNDICE Página CAPÍTULO 1 - Introducción a la Ingeniería de Teletráfico.................................................... 11 1.1 Modelados de sistemas de telecomunicación ............................................................... 11 1.1.1 Estructura del sistema................................................................................................... 12 1.1.2 Estrategia operativa ...................................................................................................... 13 1.1.3 Propiedades estadística del tráfico................................................................................ 13 1.1.4 Modelos ........................................................................................................................ 15 1.2 Sistemas telefónicos convencionales............................................................................ 16 1.2.1 Estructura del sistema................................................................................................... 16 1.2.2 Comportamiento del usuario......................................................................................... 17 1.2.3 Estrategia de la operación............................................................................................. 18 1.3 Redes de comunicación ................................................................................................ 19 1.3.1 Red telefónica ............................................................................................................... 19 1.3.2 Redes de datos .............................................................................................................. 21 1.3.3 Redes de área local ....................................................................................................... 22 1.4 Sistemas de comunicación móviles .............................................................................. 23 1.4.1 Sistemas celulares......................................................................................................... 23 1.5 Recomendaciones de la UIT sobre ingeniería de tráfico .............................................. 25 1.5.1 Ingeniería de tráfico en la UIT...................................................................................... 26 1.5.2 Caracterización de la demanda de tráfico..................................................................... 26 1.5.3 Objetivos de grado de servicio ..................................................................................... 32 1.5.4 Controles de tráfico y dimensionamiento ..................................................................... 37 1.5.5 Supervisión de la calidad de funcionamiento ............................................................... 44 1.5.6 Otras Recomendaciones................................................................................................ 45 1.5.7 Programa de trabajo para el Periodo de Estudios 2001-2004....................................... 45 1.5.8 Conclusiones................................................................................................................. 46 CAPÍTULO 2 - Conceptos de tráfico y de grado de servicio .................................................. 47 2.1 Concepto de tráfico y unidad [erlang] .......................................................................... 47 2.2 Variaciones de tráfico y concepto de hora cargada ...................................................... 50 2.3 Concepto de bloqueo .................................................................................................... 55 2.4 Generación de tráfico y reacción de los abonados........................................................ 57 2.5 Introducción al grado de servicio ................................................................................. 63 2.5.1 Comparación de GoS y QoS......................................................................................... 65 2.5.2 Características especiales de la QoS............................................................................. 65 2.5.3 Calidad de funcionamiento de la red ............................................................................ 66 2.5.4 Configuraciones de referencia ...................................................................................... 66 CAPÍTULO 3 - Teoría de las probabilidades y estadísticas .................................................... 69 3.1 Funciones de distribución ............................................................................................. 69 3.1.1 Caracterización de las distribuciones............................................................................ 69 3.1.2 Tiempo de vida residual................................................................................................ 71


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Página 3.1.3 Cargas de tráfico basadas en tiempos de ocupación inferiores a x............................... 74 3.1.4 Tiempo de recurrencia hacia adelante .......................................................................... 75 3.1.5 Distribución de la j-ésima variable estocástica k más grande....................................... 77 3.2 Combinación de variables estocásticas......................................................................... 77 3.2.1 Variables estocásticas en serie...................................................................................... 78 3.2.2 Variables estocásticas en paralelo ................................................................................ 79 3.3 Suma estocástica........................................................................................................... 79 CAPÍTULO 4 - Distribuciones de los intervalos de tiempo .................................................... 83 4.1 Distribución exponencial .............................................................................................. 83 4.1.1 Mínimo de k variables aleatorias distribuidas exponencialmente ................................ 84 4.1.2 Combinación de distribuciones exponenciales............................................................. 85 4.2 Distribuciones pronunciadas......................................................................................... 86 4.3 Distribuciones planas.................................................................................................... 88 4.3.1 Distribución hiperexponencial...................................................................................... 88 4.4 Distribuciones de Cox .................................................................................................. 90 4.4.1 Prueba polinomial......................................................................................................... 92 4.4.2 Principios de descomposición ..................................................................................... 93 4.4.3 Importancia de la distribución de Cox.......................................................................... 95 4.5 Otras distribuciones temporales.................................................................................... 95 4.5.1 Distribuciones con gran densidad en los extremos....................................................... 96 4.6 Observaciones de la distribución de tiempo de vida .................................................... 96 CAPÍTULO 5 - Procesos de llegada ........................................................................................ 99 5.1 Descripción de procesos puntuales............................................................................... 99 5.1.1 Propiedades básicas de la representación del número .................................................. 100 5.1.2 Propiedades básicas de la representación del intervalo ................................................ 101 5.2 Características del proceso puntual .............................................................................. 103 5.2.1 Condición de estacionario (Homogeneidad del tiempo) .............................................. 103 5.2.2 Independencia ............................................................................................................... 103 5.2.3 Regularidad................................................................................................................... 104 5.3 Teorema de Little.......................................................................................................... 104 CAPÍTULO 6 - El proceso de Poisson .................................................................................... 107 6.1 Características del proceso de Poisson ......................................................................... 107 6.2 Distribuciones del proceso de Poisson ......................................................................... 107 6.2.1 Distribución exponencial .............................................................................................. 108 6.2.2 Distribución de Erlang-k............................................................................................... 110 6.2.3 Distribución de Poisson ................................................................................................ 111 6.2.4 Derivación estática de las distribuciones del proceso de Poisson ................................ 114 6.3 Propiedades del proceso de Poisson ............................................................................. 116 6.3.1 Teorema de Palm (Teorema de la superposición) ........................................................ 116 6.3.2 Teorema de Raikov (Teorema de la descomposición) ................................................. 117


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Página 6.3.3 Distribución uniforme – una propiedad condicional .................................................... 118 6.4 Generalización del proceso de Poisson estacionario .................................................... 118 6.4.1 Proceso de Poisson interrumpido.................................................................................. 118 CAPÍTULO 7 - Sistemas de pérdidas de Erlang, fórmula B ................................................... 123 7.1 Introducción.................................................................................................................. 123 7.2 Distribución de Poisson ................................................................................................ 124 7.2.1 Diagrama de transición de estado ................................................................................. 124 7.2.2 Obtención de las probabilidades de estado................................................................... 125 7.2.3 Características de tráfico de la distribución de Poisson................................................ 126 7.3 Distribución de Poisson truncada ................................................................................. 127 7.3.1 Probabilidades de estado............................................................................................... 127 7.3.2 Características de tráfico de la fórmula B de Erlang .................................................... 128 7.3.3 Generalización de la fórmula B de Erlang.................................................................... 130 7.4 Procedimientos normales para diagramas de transición de estado............................... 134 7.4.1 Evaluación numérica .................................................................................................... 135 7.4.2 Evaluación de la fórmula B de Erlang.......................................................................... 136 7.5 Principios de dimensionamiento................................................................................... 138 7.5.1 Dimensionamiento con probabilidad de bloqueo fija................................................... 138 7.5.2 Principios de mejora (principio de Moe) ...................................................................... 139 CAPÍTULO 8 - Sistemas de pérdidas con accesibilidad completa.......................................... 143 8.1 Introducción.................................................................................................................. 143 8.2 Distribución binomial ................................................................................................... 145 8.2.1 Ecuaciones de equilibrio............................................................................................... 146 8.2.2 Características del tráfico binomial .............................................................................. 148 8.3 Distribución de Engset.................................................................................................. 150 8.3.1 Probabilidades de estado............................................................................................... 150 8.3.2 Características del tráfico del sistema Engset............................................................... 150 8.4 Evaluación de la fórmula de Engset ............................................................................. 154 8.4.1 Fórmula de recursión en n ............................................................................................ 154 8.4.2 Fórmula de recursión en S ............................................................................................ 154 8.4.3 Fórmula de recursión en n y S ...................................................................................... 155 8.5 Relaciones entre E, B, y C ............................................................................................ 156 8.6 Distribución de Pascal (Binomial negativa) ................................................................. 158 8.7 Distribución de Pascal truncada.................................................................................... 159 CAPÍTULO 9 - Teoría de desbordamiento.............................................................................. 163 9.1 Teoría de desbordamiento............................................................................................. 164 9.1.1 Probabilidad de estado de sistemas de desbordamiento ............................................... 164 9.2 Método equivalente de Wilkinson-Bretschneider ........................................................ 167 9.2.1 Análisis preliminar........................................................................................................ 167 9.2.2 Aspectos numéricos ...................................................................................................... 169


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Página 9.2.3 Probabilidades de bloqueo de paquetes ........................................................................ 170 9.3 Método de equivalencia de Fredericks y Hayward....................................................... 171 9.3.1 Separación del tráfico ................................................................................................... 173 9.4 Otros métodos basados en espacio de estados.............................................................. 174 9.4.1 Modelos de tráfico BPP................................................................................................ 174 9.4.2 Método de Sander ......................................................................................................... 174 9.4.3 Método de Berkeley...................................................................................................... 175 9.5 Procesos de llegada generalizados................................................................................ 175 9.5.1 Proceso de Poisson interrumpido.................................................................................. 175 9.5.2 Proceso de llegada Cox-2 ............................................................................................. 177 CAPÍTULO 10 - Sistemas de pérdidas multidimensionales.................................................... 179 10.1 Fórmula de Erlang-B multidimensional ....................................................................... 179 10.2 Procesos de Markov reversibles ................................................................................... 182 10.3 Sistemas de pérdidas multidimensionales .................................................................... 184 10.3.1 Limitación de clase ....................................................................................................... 184 10.3.2 Procesos de tráfico generalizados................................................................................. 186 10.3.3 Tráfico multisegmento.................................................................................................. 186 10.4 Algoritmo de convolución para sistemas de pérdidas .................................................. 189 10.4.1 El algoritmo .................................................................................................................. 190 10.4.2 Otros algoritmos ........................................................................................................... 199 CAPÍTULO 11 - Dimensionamiento de las redes de telecomunicaciones .............................. 201 11.1 Matrices de tráfico ........................................................................................................ 201 11.1.1 Método de factor doble de Kruithof ............................................................................. 202 11.2 Topologías .................................................................................................................... 204 11.3 Principios de encaminamiento...................................................................................... 204 11.4 Métodos de cálculo de extremo a extremo aproximados.............................................. 204 11.4.1 Método del punto fijo ................................................................................................... 204 11.5 Métodos de cálculo exactos de extremo a extremo ...................................................... 205 11.5.1 Algoritmo de convolución ............................................................................................ 205 11.6 Control de carga y protección de servicio .................................................................... 205 11.6.1 Reserva de líneas de enlace .......................................................................................... 206 11.6.2 Protección del canal virtual .......................................................................................... 207 11.7 Principio de Moe .......................................................................................................... 207 11.7.1 Equilibrio de los costos marginales de equilibrado ...................................................... 207 11.7.2 Tráfico transportado óptimo ......................................................................................... 208 CAPÍTULO 12 - Sistemas de espera ....................................................................................... 211 12.1 Sistema de espera de Erlang M/M/n............................................................................. 211 12.2 Características del tráfico de sistemas de demora ........................................................ 213 12.2.1 Fórmula C de Erlang..................................................................................................... 213 12.2.2 Longitudes media de puesta en fila .............................................................................. 215


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Página 12.2.3 Tiempos de espera medios............................................................................................ 217 12.2.4 Funciones mejora para M/M/n...................................................................................... 218 12.3 Principio de Moe para sistemas de espera .................................................................... 219 12.4 Distribución del tiempo medio de espera para M/M/n, FCFS...................................... 220 12.4.1 Tiempo de respuesta con un solo servidor.................................................................... 222 12.5 Modelo máquina - reparador de Palm .......................................................................... 223 12.5.1 Sistemas terminales ...................................................................................................... 224 12.5.2 Probabilidades en régimen permanente con servidor único ......................................... 226 12.5.3 Estados de los terminales y características del tráfico.................................................. 228 12.5.4 Modelo máquina – reparador con n servidores............................................................. 230 12.6 Optimización del modelo de máquina - reparador ....................................................... 232 CAPÍTULO 13 - Teoría aplicada de puesta en fila de espera.................................................. 235 13.1 Clasificación de modelos de filas de espera ................................................................. 235 13.1.1 Descripción del tráfico y la estructura .......................................................................... 235 13.1.2 Estrategia de las filas de espera: tipos y organización.................................................. 236 13.1.3 Prioridad de los clientes................................................................................................ 237 13.2 Resultados generales en la teoría de puesta en fila de espera....................................... 238 13.3 Fórmula de Pollaczek-Khintchine para M/G/1............................................................. 239 13.3.1 Deducción de la fórmula Pollaczek-Khintchine ........................................................... 239 13.3.2 Periodo de ocupado para M/G/1................................................................................... 240 13.3.3 Tiempo de espera para M/G/1 ...................................................................................... 241 13.3.4 Longitud de la fila de espera limitada: M/G/1/k........................................................... 242 13.4 Sistemas prioritarios de puesta en fila de espera: M/G/1 ............................................. 242 13.4.1 Combinación de diversas clase de clientes................................................................... 242 13.4.2 Tipos de filas de espera que conservan la utilización de un circuito............................ 244 13.4.3 Tipos de puesta en fila de espera no preferentes .......................................................... 245 13.4.4 Criterio de puesta en fila SJF........................................................................................ 248 13.4.5 M/M/n con prioridad sin apropiación........................................................................... 249 13.4.6 Criterio de puesta en fila con derecho preferente ......................................................... 250 13.5 Sistemas de puesta en fila con tiempos de utilización constante.................................. 252 13.5.1 Antecedentes del sistema M/D/n .................................................................................. 252 13.5.2 Probabilidades de estado y tiempos medios de espera: M/D/1..................................... 253 13.5.3 Tiempos medios de espera y periodo ocupado: M/D/1 ................................................ 254 13.5.4 Distribución del tiempo de espera: M/D/1, FCFS ........................................................ 255 13.5.5 Probabilidades de estado: M/D/n.................................................................................. 257 13.5.6 Distribución del tiempo de espera: M/D/n, FCFS ........................................................ 257 13.5.7 Proceso de llegada de Erlang-k: Ek/D/r......................................................................... 258 13.5.8 Sistema de puesta en fila finito: M/D/1/k ..................................................................... 259 13.6 Sistema de puesta en fila con un solo servidor: GI/G/1................................................ 260 13.6.1 Resultados generales..................................................................................................... 260


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Página 13.6.2 Probabilidades de estado: GI/M/1................................................................................. 261 13.6.3 Características del sistema GI/M/1 ............................................................................... 262 13.6.4 Distribución del tiempo de espera: GI/M/1, FCFS ....................................................... 263 13.7 Sistema de puesta en fila con retorno al punto de origen y compartición

de procesador ................................................................................................................ 263 CAPÍTULO 14 - Redes de filas de espera ............................................................................... 267 14.1 Introducción a las redes de puesta en fila de espera ..................................................... 267 14.2 Sistemas simétricos de puesta en fila de espera............................................................ 268 14.3 Teorema de Jackson...................................................................................................... 269 14.3.1 Suposición de independencia de Kleinrock.................................................................. 272 14.4 Redes de puesta en fila de una sola cadena .................................................................. 272 14.4.1 Algoritmo de convolución para una red de puesta en fila cerrada ............................... 272 14.4.2 Algoritmo de valor medio............................................................................................. 277 14.5 Redes de puesta en fila BCMP...................................................................................... 280 14.6 Redes de puesta en fila multidimensionales ................................................................. 281 14.6.1 Sistema de puesta en fila de un solo servidor M/M/1 ................................................... 281 14.6.2 Sistema de puesta en fila M/M/n................................................................................... 283 14.7 Redes cerradas de puesta en fila con múltiples cadenas............................................... 283 14.7.1 Algoritmo de convolución ............................................................................................ 284 14.8 Otros algoritmos para redes de puesta en fila............................................................... 287 14.9 Complejidad.................................................................................................................. 287 14.10 Atribución de la capacidad óptima ............................................................................... 287 CAPÍTULO 15 - Mediciones de tráfico................................................................................... 291 15.1 Principios y métodos de medición................................................................................ 291 15.1.1 Mediciones continuas ................................................................................................... 292 15.1.2 Mediciones discretas..................................................................................................... 292 15.2 Teoría del muestreo ...................................................................................................... 293 15.3 Mediciones continuas en un periodo ilimitado............................................................. 295 15.4 Métodos de exploración en un periodo ilimitado ......................................................... 299 15.5 Ejemplo numérico......................................................................................................... 301


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CAPÍTULO 1

Introducción a la Ingeniería de Teletráfico

La teoría de teletráfico se define como la aplicación de la teoría de las probabilidades a la solución de problemas concernientes a la planificación, evaluación de la calidad de funcionamiento, operación y mantenimiento de sistemas de telecomunicación. En forma más general, la teoría de teletráfico se puede considerar como una disciplina de planificación en la que los medios (procesos estocásticos, teoría de puesta en fila y simulación numérica) se toman de la investigación de las operaciones.

El término teletráfico abarca todo tipo de tráfico de comunicación de datos y de tráfico de telecomunicaciones. La teoría estará primordialmente ilustrada con ejemplos de sistemas de comunicación telefónica y datos. Sin embargo, los medios formulados son independientes de la tecnología y aplicables en otras áreas como tráfico de caminos, tráfico aéreo, cintas de fabricación y montaje, distribución, gestión de talleres y almacenamiento, y toda clase de sistemas de servicio.

El objetivo de la teoría del teletráfico puede formularse así: Lograr calcular el tráfico en unidades bien definidas mediante modelos matemáticos y

determinar la relación existente entre calidad de servicio y capacidad del sistema, de tal manera que la teoría se convierta en una herramienta útil para la planificación de las inversiones.

El cometido de la ingeniería de teletráfico es diseñar del modo más rentable posible sistemas cuya calidad de servicio se hayan definido previamente cuando se conoce la demanda de tráfico y la capacidad de los elementos del sistema. Asimismo, la teoría del teletráfico ha de establecer métodos específicos para controlar que la calidad de servicio en un momento dado cumple los requisitos, y determinar qué acciones de emergencia concretas se han de tomar cuando los sistemas se encuentran sobrecargados o se producen fallos técnicos. Para ello se precisan métodos de previsión de la demanda (por ejemplo, a partir de mediciones de tráfico) y métodos para calcular la capacidad de los sistemas, y la especificación de los parámetros cuantitativos para medir la calidad de servicio.

Cuando se pasa de la teoría a la práctica, surge una serie de problemas respecto a las decisiones que han de adaptarse a corto y largo plazo.

Las decisiones a corto plazo engloban, por ejemplo, la determinación del número de circuitos en un grupo de enlace, el número de empleados en consolas de conmutación, la cantidad de sendas abiertas en un supermercado y la atribución de prioridades a trabajos de un sistema informático.

Las decisiones a largo plazo abarcan, por ejemplo, decisiones relativas a la creación y ampliación de redes de datos y de telecomunicaciones, la adquisición de cables, sistemas de transmisión, etc.

La aplicación de la teoría en relación con la concepción de nuevos sistemas puede ayudar a comparar distintas soluciones eliminando así las menos acertadas en una fase inicial sin tener que elaborar prototipos.

1.1 Modelados de sistemas de telecomunicación Para el análisis de un sistema de telecomunicación, se debe establecer un modelo para describir la totalidad (o parte) del sistema. Este proceso de modelado es fundamental especialmente para nuevas aplicaciones de la teoría del telegráfico pues se requiere conocimiento tanto del sistema técnico como de las herramientas matemáticas y la aplicación del modelo en un medio informático.


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Figura 1.1

Los sistemas de telecomunicación son sistemas complejos hombre/máquina. El cometido de la teoría de teletráfico es el de configurar sistemas óptimos para

conocimiento de las necesidades y hábitos del usuario

Leyendas de la figura 1.1

1) HOMBRE Estocástica

2) Tráfico Demandas del usuario

3) MÁQUINA Determinística

4) Estructura Soporte físico

5) Estrategia Soporte lógico

Este modelo contiene tres elementos principales (véase la figura 1.1): • la estructura del sistema, • la estrategia operacional, y • las propiedades estadísticas del tráfico.

1.1.1 Estructura del sistema Esta parte se determina técnicamente y, en principio, es posible obtener algún nivel de detalles en la descripción, por ejemplo en el nivel de componente. Los aspectos de viabilidad son estocásticos pues los errores se producen al azar y estarán considerados como tráfico de alta prioridad. La estructura del sistema viene dado por el sistema físico o lógico que normalmente se presenta en manuales. En sistemas de tráfico de caminos, las carreteras, las señales de tránsito, rotondas, etc., configuran la estructura.


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1.1.2 Estrategia operativa Un sistema físico determinado (por ejemplo un sistema de tráfico vial que utiliza rotondas de distribución) se puede utilizar de diferentes maneras para adaptar el sistema de tráfico a la demanda. En ingeniería vial, se aplica con reglas y estrategias de tránsito que podrían ser distintas para el tráfico de la mañana y el tráfico de las primeras horas de la noche.

En una computadora, esta adaptación tiene lugar mediante el sistema de operación y por intervención del operador. En un sistema de telecomunicación las estrategias se aplican a fin de dar prioridad a las tentativas de llamada con el objeto de encaminar el tráfico a su destino. En centrales telefónicas con control de programa almacenado (SPC, stored program control), las tareas asignadas al procesador central se dividen en clases con diferentes prioridades. La prioridad más elevada se asigna a las llamadas aceptadas seguida de nuevas tentativas de llamada mientras que el control de rutina del equipo tiene baja prioridad. Los sistemas telefónicos clásicos utilizaban lógica por conexión alámbrica para introducir estrategias mientras que en los sistemas modernos éstos se efectúan por soporte lógico, que permiten el empleo de estrategias más flexibles y adaptativas.

1.1.3 Propiedades estadística del tráfico Las demandas del usuario están modeladas por las propiedades estadísticas del tráfico. Sólo efectuando mediciones sobre sistemas reales es posible determinar que el modelado teórico está de acuerdo con la realidad. Este proceso debe ser necesariamente de naturaleza iterativa (véase la figura 1.2). El modelo matemático se establece a partir de un profundo conocimiento del tráfico. Se calculan entonces las propiedades del modelo y se las comparan con los datos medidos. Si no están en conformidad satisfactoria entre sí, se deberá efectuar una nueva iteración del proceso.

Parece natural dividir la descripción de las propiedades de tráfico en procesos estocásticos para la llegada de tentativas de llamada y procesos que describen tiempos (de ocupación) del servicio. Se supone normalmente que estos dos procesos son independientes entre sí, lo cual significa que la duración de una llamada es independiente del tiempo de llegada de la llamada. Existen modelos que describen el compartimiento del usuario que experimenta bloqueo, es decir, que se lo rechaza el servicio y puede efectuar una nueva tentativa de llamada un poco más tarde (intentos de llamada repetidos). En la figura 1.3 se ilustra la terminología aplicada generalmente en la teoría de teletráfico.


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Figura 1.2

La teoría de teletráfico es una disciplina inductiva. Para observaciones de sistemas reales se establecen modelos teóricos, de los que se derivan parámetros, que pueden ser

comparados con observaciones correspondientes del sistema real. Si están de acuerdo, el modelo se convalida. En caso contrario, se debe elaborar el

modelo en mayor grado. Este método científico de trabajo se denomina espiral de experimentación


1) Observación

2) Modelo

3) Deducción

4) Datos

5) Verificación


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Figura 1.3

Ilustración de la terminología aplicada para un proceso de tráfico. Nótese la diferencia entre intervalos de tiempo e instantes de tiempo. Los términos llegada y llamada se utilizan

como sinónimos. El tiempo entre llegadas y el tiempo entre salidas, son los intervalos de tiempo entre llegadas o salidas, respectivamente


1) Tiempo entre llegadas

2) Ocupado

3) Tiempo de ocupación

4) Tiempo de reposo

5) Reposo

6) Tiempo de llegada

7) Tiempo de salida

8) Tiempo

1.1.4 Modelos Los requisitos generales de un modelo son: 1) Debe ser posible verificar el modelo sin mayor dificultad, como así también determinar los

parámetros del modelo a partir de los datos observados. 2) Debe ser viable presentar el modelo para dimensionamiento práctico.

Se está buscando una descripción de, por ejemplo, las variaciones observadas en la cantidad de llamadas establecidas en curso en una central telefónica, que varían incesantemente debido a que las llamadas son establecidas y terminadas. Aun cuando por hábitos comunes, las variaciones diarias siguen un diagrama predecible para el comportamiento del abonado, es imposible prever las tentativas de llamadas individuales o la duración de las llamadas establecidas. En la descripción, es por tanto necesario métodos estadísticos. Se dice que los eventos de tentativas de llamada tienen lugar conforme a un proceso estocástico, y el tiempo de llegada entre tentativas de llamada se describe a través de las distribuciones de probabilidad que caracterizan el proceso estocástico.

Una alternativa al modelo matemático es un modelo de simulación o un modelo físico (prototipo). En un modelo de simulación de computadora es común utilizar directamente los datos recopilados o


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bien utilizar distribuciones estadísticas. Sin embargo, hay más demanda de recursos para trabajar con simulación pues el modelo de simulación no es general. Cada caso individual debe ser simulado. La elaboración de un prototipo llevará aún más tiempo que un modelo de simulación.

En general, se prefieren los modelos matemáticos pero a menudo es necesario aplicar simulación para desarrollar el modelo matemático. A veces se elaboran prototipos para efectuar la prueba final.

1.2 Sistemas telefónicos convencionales En esta sección se da una breve descripción sobre qué sucede cuando una central telefónica tradicional recibe una llamada. La descripción se dividirá en tres partes: Estructura, estrategia y tráfico. Es muy común distinguir entre centrales de abonados (conmutadores de acceso, centrales locales, (LEX) y centrales de tránsito (TEX)) debido a la estructura jerárquica conforme a la cual se diseñan la mayoría de las redes telefónicas nacionales. Los abonados se conectan a centrales locales o a conmutadores de acceso (concentradores) que se conectan a centrales locales. Por último, los conmutadores de tránsito se utilizan para interconectar centrales locales o para aumentar la disponibilidad y fiabilidad.

1.2.1 Estructura del sistema Se examinará aquí una central telefónica del tipo de barras cruzadas. Si bien este tipo se encuentra, en la actualidad, fuera de servicio una descripción de su funcionamiento permite una buena ilustración sobre las tareas que son necesarias efectuar en una central digital. El equipo en una central telefónica convencional comprende trayectos de señales vocales y trayectos de control. (Véase la figura 1.4.)

Figura 1.4

Estructura fundamental de un sistema de conmutación


1) Trayectos de señales vocales

2) Abonado

3) Etapa de abonado

4) Selector de grupo


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5) Conjuntor

6) Procesador

7) Trayectos de control

8) Registrador

Los trayectos de señales vocales están ocupados durante el tiempo total de la llamada (3 minutos de promedio) mientras que los trayectos de control sólo están ocupados durante la fase de establecimiento de la llamada (entre 0,1 a 1 s). El número de trayectos de señales vocales es, por tanto, considerablemente más grande que el número de trayectos de control. El trayecto de una señal vocal es una conexión de una determinada entrada (abonado) a una determinada salida. En un sistema con división en el espacio los trayectos de señal vocal están integrados por componentes pasivos (como relés, diodos o circuitos VLSI). En un sistema con división en el tiempo los trayectos de señales vocales se componen de uno o varios segmentos de tiempo específicos dentro de una trama. Los trayectos de control son responsables del establecimiento de la conexión. Normalmente, esto sucede en una cantidad de etapas en la que cada una de ellas es llevada a cabo por un dispositivo de control: un microprocesador, o un registrador.

Las tareas del dispositivo de control son las siguientes: • Identificación del abonado originante (quien desea efectuar una conexión (acceso de

entrada)). • Recepción de la información digital (dirección, acceso de salida). • Búsqueda de una conexión en estado de reposo entre los accesos de entrada y de salida. • Establecimiento de la conexión. • Liberación de la conexión (efectuada a veces por el propio trayecto de la señal vocal).

Asimismo, se debe tener en cuenta la tarificación de las llamadas. En centrales convencionales el trayecto de control se establece sobre relés o dispositivos electrónicos y las operaciones lógicas vienen dadas por un dispositivo lógico cableado. Las modificaciones en las funciones requieren cambios físicos que son difíciles y costosos.

En centrales digitales los dispositivos de control son procesadores. Las funciones lógicas se llevan a cabo mediante programas, y las modificaciones se consideran más sencillas de aplicar. Las restricciones están mucho menos limitadas, así como la complejidad de las operaciones lógicas comparadas con la lógica cableada. Las centrales controladas por soporte lógico también se denominan sistemas con control de programa almacenado (SPC, stored program control).

1.2.2 Comportamiento del usuario Considérese un sistema telefónico convencional. Cuando el abonado A inicia una llamada el gancho conmutador se levanta y el par de hilos del abonado se pone en cortocircuito. Esta operación activa un relé en la central. El relé identifica al abonado y un microprocesador en el circuito de abonado elige un cordón sin conexión. El abonado y el conductor se conectan a través de un circuito conmutador. Esta terminología se originó en el tiempo en el que un operador manual por medio de un cordón se conectaba con el abonado. El operador manual corresponde al registrador. El cordón tiene tres salidas.

El registrador se acopla al cordón a través de otro circuito conmutador. Por tanto, el abonado se conecta al registrador (selector de registro) a través del cordón. Esta fase tiene efecto en menos de un segundo.


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El registrador envía al abonado el tono de invitación a marcar, quien marca el número de teléfono deseado del abonado B, el cual es recibido y mantenido por el registrador. La duración de esta fase depende del abonado.

Un microprocesador analiza la información de cifras y por medio de un selector de grupo establece una conexión con el abonado deseado, que puede pertenecer a la misma central, a una central vecina o a una central remota. Por otra parte, es común distinguir entre centrales con las que existe enlace directo, y aquéllas que no lo tienen. En este último caso debe haber una conexión a través de una central en un nivel superior de jerarquía. La información de cifras se entrega por medio de un transmisor codificado a un receptor codificado de la central deseada que transmite entonces la información a los registradores de la central.

El registrador ha cumplido entonces su cometido y se libera de modo tal que queda en reposo para otras tentativas de llamada. Los microprocesadores trabajan muy rápido (alrededor de 1 - 10 ms) e independientes de los abonados. El cordón está ocupado durante la totalidad de la llamada y se hace cargo del control de la llamada cuando el registrador se libera. Se ocupa de, por ejemplo, diferentes tipos de señales (ocupado, referencia, etc.), impulsos para tarificación, y liberación de la conexión cuando la llamada se suprime.

Puede suceder que una llamada no pasa como está previsto. El abonado puede efectuar un error, colgar repentinamente, etc. Asimismo, existen límites de capacidad en el sistema. Esto se tratará en el Capítulo 2. Las tentativas de llamada hacia un abonado tienen lugar aproximadamente de la misma manera. Un receptor codificado en la central del abonado B recibe las cifras y se establece una conexión a través del circuito de conmutación de grupo y al circuito de conmutación local a través del abonado B con utilización de los registradores de la central receptora.

1.2.3 Estrategia de la operación El trayecto de las señales vocales funciona normalmente como sistemas de pérdidas mientras que el trayecto de control funciona como sistemas de espera (véase el Capítulo 2).

Si no hay cordón disponible ni registrador en reposo el abonado no tendrá tono de marcación sin importar cuánto tiempo se encuentra a la espera. Si la central no tiene salida disponible para el abonado B deseado, se emitirá un tono de ocupado al abonado A llamante. Independientemente de cualquier espera adicional no se establecerá ninguna conexión.

Si un microprocesador (o todos los microprocesadores de un tipo específico cuando haya varios) está ocupado, la llamada esperará entonces hasta que el microprocesador esté desocupado. Debido al tiempo de retención muy corto el tiempo de espera es a menudo tan breve que los abonados no lo notan. Si varios abonados se encuentran esperando el mismo microprocesador, obtendrán normalmente el servicio en ordenamiento aleatorio independiente del tiempo de llegada.

El modo por el cual los dispositivos de control del mismo tipo y los cordones comparten el trabajo es a menudo cíclico, tal que presentan aproximadamente el mismo número de tentativas de llamada. Esto constituye una ventaja pues asegura la misma cantidad de uso y en razón que el abonado muy raramente tendrá otra vez un trayecto de control o cordón con defectos si la tentativa de llamada se repite.

Si un trayecto de control está ocupado durante más de un tiempo determinado, se efectuará una desconexión forzada de la llamada. Esto hace imposible que una simple llamada bloquee partes vitales de la central, como por ejemplo un registrador. Asimismo, sólo es posible generar durante un tiempo limitado el tono de llamada al abonado B y con ello bloquear momentáneamente este teléfono en cada tentativa de llamada. Una central debe funcionar y operar independientemente del comportamiento del abonado.


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La cooperación entre las diferentes partes tiene lugar conforme a reglas estrictas y bien definidas, denominadas protocolos, que en sistemas convencionales se determina por la lógica de conexiones y en sistemas de control de soporte lógico por lógicas de programas.

Los sistemas digitales (por ejemplo, la RDSI = Red digital de servicios integrados), en el que el sistema telefónico completo está digitalizado de abonado a abonado (2 · B + D = 2 × 64 + 16 kbit/s por abonado), (RDSI-BE = RDSI de banda estrecha) por supuesto funciona diferentemente que los sistemas convencionales descritos anteriormente. Sin embargo, las herramientas fundamentales de teletráfico para la evaluación son las mismas en ambos sistemas. Lo mismo también abarca los futuros sistemas de banda ancha (RDSI-BA) que estarán basados en el modo de transferencia asíncrono (ATM).

1.3 Redes de comunicación Existen diferentes clases de redes de comunicaciones: redes telefónicas, redes de télex, redes de datos, Internet, etc. Actualmente la red telefónica sigue siendo la más extendida y a menudo otras redes están integradas físicamente en la red telefónica. En futuras redes digitales se planifica integrar una numerosa cantidad de servicios en la misma red (RDSI, RDSI-BA).

1.3.1 Red telefónica La red telefónica ha sido tradicionalmente construida como un sistema jerárquico. Cada abonado se conecta a un preselector o a veces a una central local (LEX). Esta parte de la red se denomina red de acceso. El preselector de abonado se conecta a una central local principal específica que a su vez se conecta a una central de tránsito (TEX) en la cual hay normalmente una, como mínimo, para cada código de área. Las centrales de tránsito están normalmente conectadas en una estructura poligonal (véase la figura 1.5). Las conexiones entre las centrales de tránsito conforman una red de tránsito jerárquica. Existen otras conexiones entre dos centrales locales (o preselectores de abonado) que pertenecen a diferentes centrales de tránsito (centrales locales) si la demanda de tráfico es suficiente para justificarla.

Figura 1.5

Existen tres estructuras de redes básicas: poligonal, en estrella y en anillo. Las redes poligonales se aplican cuando hay algunas centrales grandes (parte superior de la jerarquía,

también denominadas redes en malla), mientras que las redes en estrella son adecuadas cuando hay numerosas centrales pequeñas (parte inferior de la jerarquía). Las redes en anillo

se aplican, por ejemplo, en sistemas de fibra óptica


1) Red poligonal


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2) Red en estrella

3) Red en anillo

Una conexión entre dos abonados en diferentes zonas de tránsito pasará normalmente por las siguientes centrales:

USUARIO → LEX → TEX → TEX → LEX → USUARIO

Los grupos de enlace de tránsito individuales se basan en sistemas de transmisión analógicas o digitales, y, a menudo, se utilizan equipos de multiplexación.

Doce canales analógicos de 3 kHz cada uno conforman un sistema de frecuencia portadora de primer orden (múltiplex en frecuencia), mientras que 32 canales digitales de 64 kbit/s cada uno integran un sistema MIC de primer orden de 2,048 Mbit/s. (Múltiplex por impulsos codificados, múltiplex en el tiempo.)

La anchura de 64 kbit/s se obtiene de una muestra de la señal analógica a una velocidad de 8 kHz y una exactitud de amplitud de 8 bits. Dos de los 32 canales en un sistema MIC se utilizan para señalización y control.

Figura 1.6

En una red de telecomunicación todas las centrales se disponen típicamente en una jerarquía de tres niveles. Las centrales locales o centrales de abonado (L), a las que los usuarios se

conectan, están vinculados con centrales principales (T), que a su vez se conectan a centrales interurbanas (I). Una zona interurbana integra así una red en estrella. Las centrales interurbanas se interconectan en una red poligonal. En la práctica las dos estructuras de red están mezcladas, pues cuando hay suficiente tráfico

se establecen grupos de enlace directos entre dos centrales cualesquiera. En la red danesa futura sólo habrá dos niveles, pues

las centrales T e I se fusionarán

Por razones de seguridad y viabilidad se dispondrá casi siempre de dos trayectos no consecutivos mínimo entre dos centrales cualesquiera y la estrategia será utilizar primero las conexiones más económicas. La jerarquía en la red digital danesa se reduce a sólo dos niveles. El nivel superior con centrales de tránsito comprende una red poligonal totalmente conectada mientras que las centrales locales y los preselectores de abonados se conectan a tres centrales de tránsito diferentes por razones de seguridad y viabilidad.


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La red telefónica se caracteriza por el hecho de que antes que dos abonados cualesquiera se puedan comunicar, se debe crear un vínculo bilateral completo (dúplex completo), y que la conexión exista durante el tiempo total de la comunicación. Esta propiedad se conoce como red telefónica con conexión en contraste con, por ejemplo Internet que es sin conexión. Cualquier red que presenta, por ejemplo, conmutación de líneas o conmutación de circuitos es con conexión. En la disciplina de planificación de red, el objetivo es optimizar las estructuras de red y el encaminamiento del tráfico conforme a las demandas del mismo, los requisitos de viabilidad y servicio, etc.

Ejemplo 1.3.1: Las redes VSAT (Maral, 1995 [77]) Las redes VSAT (Maral, 1995 [77]) es utilizada por ejemplo por organizaciones multinacionales para la transmisión de señales vocales y datos entre diferentes divisiones de noticias de radiodifusión, en situaciones de catástrofe, etc. Estas pueden ser conexiones punto a punto o conexiones de punto a multipunto (distribución y difusión). El terminal de muy pequeña abertura (VSAT, very small aperture terminal) (estación terrena) es una antena con un diámetro de 1,6 a 1,8 metros. El terminal es económico y portátil. Es así posible prescindir de la red telefónica pública. Debido a condiciones reglamentarias restrictivas, esta tecnología tiene hasta el momento una difusión muy limitada en toda Europa. Las señales se transmiten desde un terminal VSAT a otro terminal VSAT a través de un satélite. El satélite está en una posición fija a 35 786 km sobre el ecuador y, por tanto, las señales experimentan un retardo de propagación de unos 125 ms por salto. La anchura de banda disponible se divide por lo general en canales de 64 kbit/s, y las conexiones pueden ser unidireccionales o bidireccionales.

En su versión más simple, todos los terminales transmiten directamente a los otros, y el resultado es una red global en malla. La anchura de banda disponible se puede asignar de antemano (asignación fija) o en forma dinámica (asignación por demanda). La asignación dinámica permite mejor utilización pero requiere mayor control.

Debido a la pequeña parábola (antena) y a la atenuación típica de unos 200 dB en cada sentido, es prácticamente imposible evitar el error de transmisión, por lo que se utilizan códigos de corrección de errores y esquemas de retransmisión posibles. Un sistema más fiable se obtiene mediante la introducción de un terminal principal (concentración de llamadas) con una antena de 4 a 11 metros de diámetro. La comunicación tiene lugar a través del terminal principal. Luego, ambos saltos (VSAT → terminal principal y terminal principal → VSAT) se tornan más fiables pues el terminal principal puede recibir las señales débiles y amplificarlas de modo que el VSAT en recepción obtiene una señal más fuerte. El inconveniente de este procedimiento es que el retardo de propagación es ahora de 500 ms. La solución del terminal principal permite también centralizar el control y supervisión del sistema. En razón que toda la comunicación pasa a través del terminal principal, la estructura de red constituye una topología en estrella.

1.3.2 Redes de datos La red de datos se diseña conforme al mismo principio excepto que la duración de la fase de establecimiento de la conexión es más breve. Otra clase de red de datos viene dada en las denominadas redes de distribución de paquetes, que funcionan conforme al principio de almacenamiento y retransmisión (véase la figura 1.7). Los datos que han de ser transmitidos no se enviarán directamente del transmisor al receptor sino que efectuará por pasos de central a central. Esto puede crear demoras pues las centrales que son computadoras funcionan como sistemas de retardo (transmisión sin conexión).

Si el paquete tiene una longitud fija máxima, la red tiene la indicación conmutación de paquetes (por ejemplo, protocolo X.25). En X.25 un mensaje se divide en un número de paquetes que no necesariamente sigue el mismo trayecto a través de la red. El encabezamiento de protocolo del paquete contiene un número de secuencias tal que los paquetes se pueden disponer en correcto


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orden en el receptor. Asimismo, se utilizan códigos de corrección de errores y se verifica la corrección de cada paquete en el receptor. Si el paquete es correcto se devuelve un acuse de recibo al nodo precedente, el cual, en ese momento, puede suprimir su copia del paquete. Si el nodo precedente no recibe un acuse de recibo en un intervalo de tiempo determinado, se retransmite una nueva copia del paquete (o de un conjunto completo de paquetes). Por último, hay un control completo de todo el mensaje de transmisor a receptor. De esta manera se obtiene una transmisión muy fiable. Si el mensaje completo se envía en un solo paquete, se denomina conmutación de mensajes.

Figura 1.7

Red datagrama: Principio de almacenamiento y retransmisión para una red de datos con conmutación de paquetes

Leyenda de la figura 1.7

1) NODO CENTRAL

En razón que las centrales en una red de datos son computadoras, es viable introducir estrategias avanzadas para el encaminamiento del tráfico.

1.3.3 Redes de área local Las redes de área local (LAN, local area network) son un tipo muy especial e importante de redes de datos en el que todos los usuarios de un sistema informático están vinculados al mismo sistema de transmisión digital, por ejemplo un cable coaxial. Por lo general, sólo un usuario por vez puede utilizar el medio de transmisión y obtener algunos datos transmitidos a otro usuario. Como el sistema de transmisión tiene una capacidad amplia comparada con la demanda de los usuarios, cada uno de ellos tiene la sensación de ser el único usuario del sistema. Existen diversas clases de redes de área local. Con la aplicación de estrategias adecuadas para el principio de control de acceso al


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medio se tiene en cuenta la asignación de capacidad en el caso de muchos usuarios que compiten por la transmisión. Existen dos tipos principales de redes de área local: la red de acceso múltiple en sentido portador/detección de colisión (CSMA/CD, carrier sense multiple access/collision detection) (Ethernet) y las redes testigo. La red CSMA/CD es una de las más ampliamente utilizadas. Todos los terminales están haciendo escucha permanente al medio de transmisión y tienen conocimiento cuando está libre y cuando está ocupado. Al mismo tiempo, un terminal puede ver qué paquetes están dirigidos a su propio terminal y necesitan, por tanto, ser almacenados. Un terminal que desea transmitir un paquete lo hará si el medio está desocupado. Si el medio estuviera ocupado el terminal espera un tiempo aleatorio antes de efectuar un nuevo intento. Debido a la velocidad de propagación finita es posible que dos (o aún más) terminales inicien la transmisión dentro de un intervalo breve, de modo tal que dos o más mensajes pueden chocar en el medio de transmisión. Este fenómeno se conoce como colisión. Teniendo en cuenta que los terminales están haciendo escucha en todo momento, pueden detectar inmediatamente que la información transmitida es diferente de la recibida y deducir que se ha producido una colisión. Los terminales que intervienen detienen inmediatamente la transmisión y efectuarán más tarde un nuevo intento en un intervalo aleatorio.

En una red de área local del tipo testigo, sólo podrá transmitir información el terminal que en ese momento posea el testigo. El testigo estará rotando entre los terminales conforme a reglas predefinidas.

Las redes de área local también funcionan con técnicas basadas en ATM (modo de transferencia asíncrono). Asimismo, las LAN inalámbricas se están convirtiendo en sistemas de uso común. Las condiciones de propagación en redes de zona local no son importantes debido a las pequeñas distancias geográficas entre los usuarios. En una red de datos de satélite, por ejemplo, el retardo de propagación es grande comparado con la longitud de los mensajes y en esas aplicaciones se utilizan otras estrategias que las empleadas en redes de zona local.

1.4 Sistemas de comunicación móviles En estos últimos años se ha visto una enorme expansión de los sistemas de comunicación móviles cuyos medios de transmisión son canales radioeléctricos (inalámbricos) analógicos o digitales en contraste con los sistemas de cable convencionales. El espectro de frecuencias electromagnéticas se divide en diversas bandas reservadas para fines específicos. Para comunicaciones móviles se asigna un subconjunto de esas bandas. Cada banda corresponde a un número limitado de canales radiotelefónicos, y es aquí donde surge el recurso limitado en los sistemas de comunicación móviles. La utilización óptima de este recurso es un aspecto esencial en la tecnología celular. En los puntos siguientes se describe un sistema representativo.

1.4.1 Sistemas celulares Estructura. Cuando una determinada zona geográfica ha de ser cubierta con telefonía móvil, se debe instalar en ella una adecuada cantidad de estaciones de base. Una estación de base está constituida por una antena y un equipo transmisor/receptor o un enlace radioeléctrico con una central telefónica móvil (MTX), que es parte de la red telefónica tradicional. Una central telefónica móvil es común a todas las estaciones de base en una determinada zona de tráfico. Las ondas radioeléctricas se amortiguan cuando se propagan en la atmósfera y, por tanto, una estación de base sólo puede cubrir una zona geográfica limitada que se denomina célula (no se debe confundir con las células ATM). Mediante la transmisión de las ondas radioeléctricas con una potencia adecuada es posible adaptar la zona de cobertura de modo tal que todas estaciones de base cubran exactamente la zona de tráfico planificada sin demasiada superposición entre estaciones vecinas. No es posible utilizar la misma frecuencia radioeléctrica en dos estaciones de base vecinas pero si en dos estaciones de base sin una frontera común, permitiendo entonces la reutilización de canales.


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Figura 1.8

Sistema de comunicación móvil celular. Dividiendo las frecuencias en 3 grupos (A, B y C) se pueden reutilizar los canales como se muestra en la figura

En la figura 1.8 se muestra un ejemplo. Se puede disponer de un determinado número de canales por célula conforme al volumen de tráfico dado. La dimensión de la célula depende del volumen de tráfico. En zonas densamente pobladas como grandes ciudades, las células serán pequeñas mientras que en zonas escasamente pobladas las células serán grandes.

La atribución de canales es un problema muy difícil. Además de las restricciones indicadas anteriormente existen también otras. Por ejemplo, debe haber cierta distancia entre los canales en la misma estación de base (restricción de canal vecino) y hay otras limitaciones para evitar interferencia.

Estrategia. En sistemas de telefonía móvil debe existir una base de datos con información relativa a todos los abonados. Cualquier abonado puede tener un papel activo o pasivo en el circuito según esté encendido o apagado su radioteléfono. Cuando el abonado enciende el radioteléfono, se le asigna automáticamente un canal de control y se produce su identificación. El canal de control es una canal radioeléctrico utilizado por la estación de base para fines de verificación. El resto de los canales son canales de tráfico de usuario.

Una petición de llamada a un abonado móvil (abonado B) se produce de la siguiente manera. La central telefónica móvil recibe la llamada del otro abonado (abonado A, fijo o móvil). Si el abonado B tiene su radioteléfono apagado, se informa al abonado A que el abonado B no está disponible. Si el abonado B tiene el equipo encendido, el número se presenta entonces en todos los canales de control en la zona de tráfico. El abonado B reconoce su propio número e informa, a través del canal de control, en qué célula (estación de base) se encuentra. Si hay un canal de usuario desocupado se asigna y la MTX pasa la llamada.

Una petición de llamada de un abonado móvil (abonado A) se inicia por la operación de desplazamiento del abonado del canal de control a un canal de tráfico de usuario cuando se establece la llamada. La primera fase que comprende la lectura de las cifras y la comprobación de disponibilidad del abonado B es, en algunos casos, establecida por el canal de control (señalización de canal común).


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Un abonado tiene la facultad de poder trasladarse libremente dentro de su propia zona de tráfico. Cuando se aleja de la estación de base es detectado por la central telefónica móvil (MTX) que supervisa constantemente la relación señal/ruido y puede trasladar la llamada a otra estación de base y a otro canal de usuario cuando se requiere mejor calidad. Esta es una cooperación entre la MTX y el equipo de abonado que se produce automáticamente sin que sea notado por el abonado. Esta operación se denomina traspaso a transferencia de llamadas, y, por supuesto, requiere la existencia de un canal de usuario libre en la nueva célula. En razón que es inadecuado tener que interrumpir una llamada existente, el traspaso de llamadas tiene mayor prioridad que las nuevas. Esta estrategia se puede efectuar dejando en reserva uno o dos canales desocupados para el traspaso de llamadas.

Cuando un abonado sale de su zona de tráfico se produce la denomina de itinerancia. La MTX en la nueva zona puede conocer la MTX original a partir de la identidad del abonado. Se envía entonces un mensaje a la MTX de origen con información sobre la nueva posición. Las llamadas de llegada al abonado entran siempre a la MTX de origen la que encamina la llamada a la nueva MTX. Las llamadas salientes serán tratadas de la manera usual.

Un sistema inalámbrico digital difundido es el GSM, que se puede utilizar en toda Europa Occidental. La Unión Internacional de Telecomunicaciones está elaborando un sistema móvil global sobre comunicaciones personales universales (UPC, universal personal communication), en el que los abonados se comunican con cualquier parte del mundo (IMT-2000).

Los sistemas de búsqueda de personas son sistemas primitivos unilaterales. El teléfono digital sin cordón europeo (DECT, digital european cordless telephone), es una norma para teléfonos inalámbricos. Se pueden conectar localmente en compañías, centros comerciales, etc. En el futuro, surgirán equipos que pueden ser aplicados a los sistemas DECT y GSM. El sistema DECT está constituido por células muy pequeñas mientras que el GSM es un sistema con células más grandes.

Se han diseñado también sistemas de comunicación por satélite en el que la estación de satélite se comunica con una estación de base. El primer sistema de este tipo fue Iridium que estaba integrado por 66 satélites de tal modo que siempre había más de un satélite disponible en una determinada ubicación dentro del alcance geográfico del sistema. Los satélites tienen órbitas de sólo unos pocos centenares de kilómetros por encima de la Tierra. El sistema Iridium no tuvo éxito, pero surgieron sistemas más modernos como Inmarsat.

1.5 Recomendaciones de la UIT sobre ingeniería de tráfico La siguiente sección está basada en el documento (Villen, 2002 [101]). La Unión Internacional de Telecomunicaciones (UIT) es una organización patrocinada por las Naciones Unidas para promover las telecomunicaciones internacionales. Tiene tres Sectores básicos: • el Sector de Normalización de las Telecomunicaciones (UIT-T), • el Sector de Radiocomunicaciones (UIT-R) y • el Sector de Desarrollo de las Telecomunicaciones (UIT-D).

La función principal del Sector UIT-T es elaborar normas internacionales para telecomunicaciones. Estas normas se denominan Recomendaciones. Si bien la tarea original del UIT-T estaba limitada a facilitar el interfuncionamiento internacional, su alcance ha sido ampliado para incluir redes nacionales, y las Recomendaciones del UIT-T se emplean ampliamente en la actualidad como normas nacionales de hecho y como referencias.

El objetivo de la mayoría de las Recomendaciones es asegurar el interfuncionamiento compatible de los equipos de telecomunicaciones en un entorno multioperacional y de vendedores múltiples. Asimismo, hay Recomendaciones sobre la buena práctica para la explotación de las redes. En este grupo están las Recomendaciones sobre ingeniería de tráfico.


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El Sector UIT-T está dividido en Comisiones de Estudio. La Comisión de Estudio 2 (CE2) se ocupa de los aspectos operacionales de la prestación de servicios, redes y calidad de funcionamiento. Cada Comisión de Estudio se divide en Grupos de Trabajo. El Grupo de Trabajo 3 de la Comisión de Estudio 2 (GT 3/2) es responsable de la ingeniería de tráfico.

1.5.1 Ingeniería de tráfico en la UIT Si bien el Grupo de Trabajo 3/2 tiene la responsabilidad global de la ingeniería de tráfico, algunas Recomendaciones sobre este tema o relacionados con el mismo fueron elaboradas (o se están elaborando) por otras Comisiones. La Comisión de Estudio 7 se ocupa de la serie X de Recomendaciones con ingeniería de tráfico para redes de comunicación de datos, la Comisión de Estudio 11 ha elaborado algunas Recomendaciones (Serie Q) sobre los aspectos de tráfico relacionados con el diseño de sistemas de conmutación y señalización digitales, y algunas Recomendaciones de la Serie I, elaboradas por la Comisión de Estudio 13, tratan sobre aspectos de tráfico relacionados con la arquitectura de red de la RDSI-BA y RDSI-BE así como de redes basadas en el protocolo Internet (IP). Dentro de la Comisión de Estudio 2, el Grupo de Trabajo 1 es responsable de las Recomendaciones sobre encaminamiento y el Grupo de Trabajo 2 de las Recomendaciones sobre gestión de tráfico de red.

Esta sección se centrará en las Recomendaciones producidas por el Grupo de Trabajo 3/2. Están comprendidas en la Serie E (numeradas entre E.490 y E.799) y constituyen el cuerpo principal de las Recomendaciones del UIT-T sobre ingeniería de tráfico.

Estas Recomendaciones se pueden clasificar conforme a las cuatro tareas de ingeniería de tráfico principales: • caracterización de la demanda de tráfico; • objetivos de grado de servicio (GoS); • controles y dimensionamiento de tráfico; • supervisión de calidad de funcionamiento.

En la figura 1 se ilustra la interrelación entre esas cuatro tareas. La primera tarea en ingeniería de tráfico es caracterizar la demanda de tráfico y especificar los objetivos de GoS (o calidad de funcionamiento). El resultado de esas dos tareas son el elemento de partida para dimensionar los recursos de red y establecer los controles de tráfico apropiados. Por último, se requiere la supervisión de la calidad de funcionamiento para verificar si los objetivos de GoS que se han alcanzado son utilizados como realimentación de todo el proceso.

En los § 1.5.2, 1.5.3, 1.5.4 y 1.5.5 se describirán en detalle las cuatro tareas mencionadas. Cada sección proporciona un panorama general de la tarea y resume las Recomendaciones conexas. En el § 1.5.6 se hace un resumen de algunas otras Recomendaciones, en el § 1.5.7 se describe el programa de trabajo actual y en el § 1.5.8 se formulan algunas conclusiones.

1.5.2 Caracterización de la demanda de tráfico La caracterización de tráfico se efectúa por medio de modelos que se aproximan al comportamiento estadístico de tráfico de red en una gran población de usuarios. Los modelos de tráfico adoptan hipótesis simplificadas referentes a los procesos de tráfico complicados. Utilizando esos modelos la demanda de tráfico se caracteriza por un conjunto de parámetros limitado (valor medio, varianza, índice de dispersión de cuentas, etc.). El modelado de tráfico consiste básicamente en identificar qué simplificación de hipótesis se pueden efectuar y qué parámetros son pertinentes desde el punto de vista de las repercusiones de la demanda de tráfico sobre la calidad de funcionamiento de la red.

Las mediciones de tráfico se efectúan para confirmar esos modelos, efectuando las modificaciones que sean necesarias. No obstante, como no es necesario que los modelos sean modificados


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frecuentemente, el propósito más usual de mediciones de tráfico es estimar los valores que toman los parámetros definidos en los modelos de tráfico en cada segmento de red durante cada periodo de tiempo.

Como complemento a la modelización del tráfico y mediciones de tráfico, se requiere también la previsión de tráfico dado que, para fines de planificación y dimensionamiento, no es suficiente caracterizar la demanda presente de tráfico, sino que es necesario también predecir las demandas de tráfico para el periodo de tiempo previsto en el proceso de planificación.

Figura 1.9

Tareas de ingeniería de tráfico


1) Caracterización de la demanda de tráfico

2) Objetivos de grado de servicio

3) Modelado de tráfico

4) Medición de tráfico

5) Requisito de QoS


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6) Objetivos de GoS de extremo a extremo

7) Previsión de tráfico

8) Asignación a componentes de red

9) Controles de tráfico y dimensionamiento

10) Controles de tráfico

11) Dimensionamiento

12) Supervisión de calidad de funcionamiento

De esta manera, las Recomendaciones de la UIT abarcan estos tres aspectos de caracterización de tráfico: Modelado de tráfico, mediciones de tráfico y previsión de tráfico.

Modelado de tráfico Las Recomendaciones sobre modelado de tráfico se enumeran en el Cuadro 1.1. No son Recomendaciones específicas sobre modelado de tráfico para la red telefónica con conmutación de circuitos clásica. El único servicio proporcionado por esta red es telefonía. Otros servicios, como fax, no tienen repercusión importante sobre la demanda de tráfico total. Cada llamada se basa en una sola conexión simétrica bidireccional punto a punto a 64 kibt/s el tráfico se caracteriza por el régimen de llamadas y el tiempo medio de ocupación en cada par origen-destino. El proceso de llegada de la llamada de Poisson (para rutas diferentes) y la distribución exponencial negativa de la duración de la llamada son las únicas premisas necesarias. Estas hipótesis se explican directamente en las Recomendaciones sobre direccionamiento.

Cuadro 1. 1 − Recomendaciones sobre modelado de tráfico

Rec. Fecha Título

E.711 10/92 Modelado de la demanda de los usuarios E.712 10/92 Modelado del tráfico del plano de usuario E.713 10/92 Modelado del tráfico del plano de control E.716 10/96 Modelado de la demanda de usuario en la RDSI-BA E.760 03/00 Modelado de tráfico de movilidad de los terminales

En la RDSI-BA y RDSI-BE así como en la red basada en el IP el problema es mucho más complejo. Hay una gran variedad de servicios, cada uno de los cuales con diferentes características, distintos diagramas de llamada y diferentes requisitos de QoS. Las Recomendaciones E.711 y E.716 explican cómo se debe caracterizar una llamada, en la RDSI-BE y RDSI-BA, por un conjunto de características de conexión (o atributos de llamada) y por un diagrama de llamada.

Las características de conexión son, por ejemplo, las siguientes: modo de transferencia de la información (conmutación de circuitos o conmutación de paquetes), configuración de la comunicación (punto a punto, multipunto, difusión), régimen de transferencia, simetría (unidireccional, bidireccional simétrica o bidireccional asimétrica), requisitos de QoS, etc.

El diagrama de llamada se define en términos de la secuencia de eventos ocurridos en la llamada y en los tiempos entre esos eventos. Se describe por un conjunto de variables de tráfico, que se expresan como variables estadísticas, es decir, como momentos o cuantiles de distribuciones de variables aleatorias que indican la cantidad de eventos o tiempos entre eventos. Las variables de


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tráfico se pueden clasificar en variables de tráfico de nivel de llamada (o nivel de conexión) y variables de tráfico de nivel de paquete (o nivel de transacción o, en ATM, nivel de célula).

Las variables de tráfico de nivel de llamada se relacionan con los eventos que ocurren durante el establecimiento de la llamada y la fase de liberación. Se pueden dar como ejemplo el número medio de nuevas tentativas de llamada si la comunicación no se estableció, y el tiempo medio de retención de llamada.

Las variables de tráfico de nivel de paquete se relacionan con eventos que ocurren durante la fase de transferencia de la información y describen el proceso de llegada del paquete y la longitud del mismo. La Recomendación E.716 describe una serie de métodos para definir las variables de tráfico de nivel de paquete.

Una vez que cada tipo de llamada haya sido modelada, se caracteriza la demanda del usuario conforme a las Recomendaciones E.711 y E.716, mediante el proceso de llegada de las llamadas de cada tipo. Basada en la caracterización de la demanda de usuario efectuada en las Recomendaciones E.711 y E.716, las Recomendaciones E.712 y E.713 explican cómo modelar el tráfico ofrecido a un grupo de recursos en el plano de usuario y en el plano de control, respectivamente.

Por último, la Recomendación E.760 se ocupa del problema del modelado de tráfico en redes móviles donde no sólo la demanda de tráfico por usuario es aleatoria sino también el número de usuarios que está servido en cada momento por una estación de base o por una central local. La Recomendación proporciona métodos para estimar la demanda de tráfico en la zona de cobertura de cada estación de base y modelos de movilidad para estimar el traspaso de llamadas y la rapidez de actualización de las ubicaciones.

Mediciones de tráfico Las Recomendaciones sobre mediciones de tráfico se enumeran en el cuadro 1.2. Como se indica en el mismo, muchas Recomendaciones se ocupan de las mediciones de tráfico y de calidad de funcionamiento. Estas Recomendaciones se pueden clasificar en aquéllas que tratan aspectos generales y operacionales (E.490, E.491, E.502 y E.503), las que se ocupan de aspectos técnicos (E.500 y E.501) y las que incluyen los requisitos de medición para redes específicas (E.502, E.505 y E.745). La Recomendación E.743 está relacionada con estas últimas, en particular con la Recomendación E.505.

Se examinarán en primer lugar las Recomendaciones sobre aspectos generales y de funcionamiento. La Recomendación E.490 es una introducción a la serie sobre mediciones de tráfico y de calidad de funcionamiento. Incluye una visión general de todas esas Recomendaciones y explica la utilización de mediciones para corto plazo (acciones de gestión de tráfico de red), plazo medio (mantenimiento y reconfiguración) y largo plazo (ampliaciones de la red).

La Recomendación E.491 destaca la utilidad de las medidas de tráfico por destino para fines de planificación de la red y describe dos métodos complementarios para obtenerlas: registro detallado de llamadas y mediciones directas.

La Recomendación E.504 describe los procedimientos operativos necesarios para efectuar mediciones: tareas que efectuará el operador (por ejemplo, definir el encaminamiento de salida y la programación de los resultados medidos) y las funciones que proporcionará el sistema que soporta la interfaz hombre-máquina.

Una vez que las mediciones se hayan realizado tendrán que ser analizadas. La Recomendación E.503 presenta un panorama general de la posible aplicación de las mediciones y describe los procedimientos operacionales necesarios para el análisis.


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Referente a las Recomendaciones E.500 y E.501 sobre aspectos técnicos generales se señala que la Recomendación E.500 establece los principios de medida de la intensidad de tráfico. El concepto tradicional de hora cargada, que fue utilizado en redes telefónicas, no se puede extender a las redes modernas multiservicios. Así, la Recomendación E.500 proporciona los criterios para seleccionar la longitud y el periodo de lectura para cada aplicación. Estos criterios se pueden resumir como sigue:

Cuadro 1.2 − Recomendaciones sobre mediciones de tráfico. Las Recomendaciones marcadas * incluyen mediciones de tráfico y de calidad de funcionamiento

Rec. Fecha Título

E.490* 06/92 Medidas y evaluación del tráfico - Examen general E.491 05/97 Medidas de tráfico por destino E.500 11/98 Principios de medida de la intensidad de tráfico E.501 05/97 Estimación del tráfico ofrecido en la red

E.502* 02/01 Requisitos de las medidas de tráfico para las centrales digitales de telecomunicación

E.503* 06/92 Análisis de datos de las medidas de tráfico E.504* 11/88 Administración de las medidas de tráfico E.505* 06/92 Medidas de la calidad de funcionamiento de la red de señalización por

canal común E.743 04/95 Medidas de tráfico para el dimensionamiento y la planificación del sistema

de señalización Nº 7 E.745* 03/00 Requisitos de las mediciones en el nivel de célula para la red digital de

servicios integrados de banda ancha a) Ser lo suficientemente grande para obtener mediciones confiables: la intensidad media de

tráfico en un periodo (t1, t2) se puede considerar una variable aleatoria con el valor esperado A. La intensidad de tráfico medida A (t1, t2) es una muestra de esta variable aleatoria. En la medida que (t2 − t1) aumenta, A(t1, t2) converge a A. Así, la longitud del periodo de lectura t2 − t1 debe ser suficientemente grande de modo tal que A(t1, t2) esté situada dentro de un intervalo de confianza estrecho respecto a A. Otra razón para escoger periodos de lectura extensos es que puede no ser útil para recursos dimensionales en intervalos de cresta de tráfico muy breves.

b) Ser lo suficientemente breve de modo tal que el proceso de intensidad de tráfico sea aproximadamente estacionario durante el periodo, es decir que el proceso de intensidad de tráfico real se puede aproximar a un modelo de intensidad de tráfico estacionario. Cabe señalar que en el caso de tráfico en ráfagas si se utiliza un modelo de tráfico simple (por ejemplo Poisson), el criterio (b) puede conducir a un periodo de lectura excesivamente corto incompatible con el criterio (a). En estos casos se deben utilizar modelos alternativos que permitan periodos de lectura más largos.

La Recomendación E.500 indica también cómo obtener la intensidad diaria de la cresta de tráfico sobre los periodos de lectura medidos, proporciona el método para calcular las intensidades de tráfico de carga normal y de carga elevada para cada mes y, en base a ellas los valores representativos anuales para cargas normales y elevadas.

Teniendo en cuenta que el tráfico ofrecido es el que se requiere para dimensionamiento y que el tráfico transportado es el que se obtiene mediante mediciones, la Recomendación E.501


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proporciona los métodos para estimar el tráfico ofrecido para un grupo de circuitos y la demanda de tráfico de origen-destino basado en mediciones de grupo de circuitos. Para el tráfico ofrecido a un grupo de circuitos, la Recomendación contempla que éstos sean de trayecto único, así como que pertenezcan a una disposición de grupo de circuitos de explotación intensa/final. En la estimación se tiene en cuenta el fenómeno de tentativas de llamada repetidas. Si bien en la Recomendación sólo se refiere a redes de conmutación de circuitos con conexiones de régimen única, algunos de los métodos proporcionados se pueden extender a otros tipos de redes. Aunque el problema puede ser mucho más complejo en redes de servicios múltiples, las centrales modernas proporcionan, además de grupos de circuitos, mediciones de tráfico (como el número de tentativas de llamadas total, bloqueadas, completas y satisfactorias por servicio y por par origen-destino) que pueden ayudar a estimar el tráfico ofrecido.

El tercer grupo de Recomendaciones sobre mediciones está formado por las Recomendaciones E.502, E.505 y E.745 que especifican los requisitos de mediciones de tráfico y de calidad de funcionamiento en centrales de la RTPC y RDSI-BE (E.502), centrales de la RDSI-BA (E.745) y nodos de redes de señalización de canal común del SS Nº 7 (E.505).

Por último, la Recomendación E.743 es complementaria de la Recomendación E.505 en la misma se identifica el subconjunto de las mediciones especificadas en la Recomendación E.505 que son útiles para el dimensionamiento y planificación del SS Nº 7, y explica cómo obtener la entrada requerida para esos fines mediante las mediciones efectuadas.

Previsión del tráfico La previsión del tráfico es necesaria para los estudios estratégicos como, por ejemplo, decidir sobre la introducción de un nuevo servicio, así como para la planificación de la red, es decir, para la planificación del equipo y la provisión del circuito y de las inversiones de la planta. Las Recomendaciones sobre previsiones del tráfico se enumeran en el cuadro 1.3. Si bien el título de las dos primeras de ellas se refieren al tráfico internacional, también se aplica al tráfico dentro de las fronteras de un país.

Las Recomendaciones E.506 y E.507 tratan de la previsión de los servicios tradicionales para los cuales hay datos históricos. La Recomendación E.506 formula directrices sobre los requisitos previos para la previsión: datos de base, no sólo datos de tráfico y de llamadas sino también datos económicos, sociales y demográficos que son de vital importancia. Como la serie de datos puede ser incompleta, se recomiendan estrategias para tratar los datos faltantes. Se presentan diversos métodos de predicción: métodos directos, basados en el tráfico medido en el periodo de referencia, frente a métodos compuestos basados en actas de contabilidad, y procedimientos descendentes frente a procedimientos ascendentes.

La Recomendación E.507 proporciona una visión general de las técnicas matemáticas existentes para la previsión: modelos de ajuste de curvas, modelos de auto-regresión, auto-regresión integrada con media móvil (ARIMA), modelos de espacio de estado con filtro Kalman, modelos de regresión y modelos econométricos. Asimismo, describe métodos para la evaluación de los modelos de previsión y para la elección del más apropiado en cada caso, que depende de los datos disponibles, la longitud del periodo de previsión, etc.


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Cuadro 1.3 − Recomendaciones sobre previsión de tráfico

Rec. Fecha Título

E.506 06/92 Previsiones del tráfico internacional E.507 11/88 Modelos para la previsión del tráfico internacional E.508 10/92 Previsiones para nuevos servicios de telecomunicación

La Recomendación E.508 se ocupa de la previsión de nuevos servicios de telecomunicación de los cuales no hay datos históricos. Se describen técnicas tales como investigación de mercado, opinión de expertos y econometría sectorial. Asimismo, aconseja cómo combinar las previsiones obtenidas de diversas técnicas, cómo verificar las previsiones y cómo ajustarlas cuando se inicia la aplicación del servicio y se efectúan las primeras mediciones.

1.5.3 Objetivos de grado de servicio El grado de servicio (GoS) se define en las Recomendaciones E.600 y E.720 como un número de parámetros de ingeniería de tráfico para proporcionar una medida de suficiencia de la planta bajo condiciones especificadas; estos parámetros de GoS se pueden expresar como probabilidad de bloqueo, probabilidad de retardo, etc. El bloqueo y el retardo se producen en razón que la capacidad de tratamiento de tráfico de una red o de un componente de red es finito y la demanda de tráfico es estocástica por naturaleza.

El GoS es la parte conexa de tráfico de calidad de funcionamiento de la red (NP, network performance) definido como la capacidad de una red o parte de una red para proporcionar las funciones conexas a comunicaciones entre usuarios. La calidad de funcionamiento de la red no sólo comprende el GoS (denominado también calidad de funcionamiento de la capacidad de tráfico) sino también otros aspectos relacionados con el tráfico como seguridad de servicio, calidad de funcionamiento de transmisión y tasación.

Los objetivos de la NP y, en particular, los objetivos del GoS, se derivan de los requisitos de calidad de servicio (QoS), como se indica en la figura 1.9. La calidad de servicio es un conjunto de características que determinan el grado de satisfacción del usuario de un servicio. Los parámetros QoS están orientados al usuario y se describen en términos independientes de la red. Los parámetros NP, derivados de ellos, están orientados a la red, es decir utilizable en la especificación de los requisitos de calidad de funcionamiento para redes particulares pero, si bien determinan finalmente la QoS (observada por el usuario) no describen necesariamente la calidad en modo significativo para los usuarios.

Los requisitos de QoS determinan los objetivos de GoS de extremo a extremo. A partir de los objetivos de extremo a extremo, una división proporciona los objetivos de GoS para cada etapa o componente de la red. Esta división depende de la estrategia del operador de la red. Así, la Recomendaciones de la UIT sólo especifican la división y asignación de los objetivos de GoS a las distintas redes que pueden tener que cooperar para establecer una llamada (por ejemplo, red nacional de origen, red internacional y red nacional de terminación en una llamada internacional).

Para obtener una visión general de la red en estudio y para facilitar la segmentación del GoS, las Recomendaciones de la UIT proporcionan las denominadas conexiones de referencia. Una conexión de referencia está constituida por uno o más diagramas simplificados del trayecto que una llamada (o conexión) pueda tener en la red, incluidos los puntos de referencia apropiados donde se definen las interfaces entre entidades. En algunos casos un punto de referencia define una interfaz entre dos operadores. Las Recomendaciones dedicadas a proporcionar conexiones de referencia se enumeran en el cuadro 1.4. La Recomendación E.701 proporciona conexiones de referencia para


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la RDSI-BE, la Recomendación E.751 para redes móviles terrestres, la Recomendación E.752 para sistemas marítimos y aeronáuticos, la Recomendación E.755 para servicios UPT, y la Recomendación E.651 para redes basadas en el IP. En esta última, se proporcionan conexiones de referencia generales para las conexiones de extremo a extremo y más detalladas para la red de acceso en el caso de sistemas híbridos de fibra óptica/cable coaxial (HFC). A título de ejemplo, en la figura 1.10 (tomada de la figura 6.2 de la Recomendación E. 651) se presenta la conexión de referencia para una llamada IP a la RTPC/RDSI o de la RTPC/RDSI a IP.

Cuadro 1.4 − Recomendaciones sobre conexiones de referencia

Rec. Fecha Título

E.701 10/92 Conexiones de referencia para ingeniería de tráfico E.751 02/96 Conexiones de referencia para la ingeniería de tráfico de las redes móviles

terrestres E.752 10/96 Conexiones de referencia para ingeniería de tráfico de sistemas móviles

marítimos y aeronáuticos. E.755 02/96 Conexiones de referencia para determinar la calidad de funcionamiento y el

grado de servicio del tráfico de la telecomunicación personal universal E.651 03/00 Conexiones de referencia para ingeniería de tráfico de redes de acceso con

protocolo Internet.

El criterio explicado anteriormente para definir los objetivos de GoS comenzó a ampliarse en la elaboración de la Recomendación E.720, dedicada a la RDSI-BE. Las Recomendaciones sobre objetivos de GoS para la RTPC, que son generalmente más antiguos, siguen un criterio diferente y se pueden considerar actualmente como una excepción dentro del conjunto de Recomendaciones de GoS. Se iniciará este panorama general con las nuevas Recomendaciones que están enumeradas en el cuadro 1.5. Las Recomendaciones E.720 y E.721 están dedicadas a servicios con conmutación de circuitos en la RDSI-BE. La Recomendación E.720 proporciona directrices generales y la Recomendación E.721 presenta parámetros y valores objetivo de grado de servicio. Los parámetros de grado de servicio de extremo a extremo recomendados son:

• Retardo de preselección

• Retardo de selección ulterior

• Retardo de la señal de respuesta

• Retardo de liberación de llamada

• Probabilidad de bloqueo de extremo a extremo.


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Figura 1.10

Conexión de referencia IP a RTPC/RDSI o RTPC/RDSI a IP


1) Red de acceso IP

2) Pasarela RTPC/RDSI

3) RTPC/RDSI

4) a) Interfuncionamiento directo con RTPC/RDSI

5) Red núcleo IP

6) b) Interfuncionamiento con RTPC/RDSI a través de la red de núcleo IP

Después de definir estos parámetros, la Recomendación E.721 proporciona valores objetivo para carga normal y elevada, como se define en la Recomendación E.500. Para los parámetros de retardo se indican los valores objetivo para el retardo medio y para el 95% del cuartil. Para los parámetros que dependen de la longitud de la conexión, se recomiendan diferentes conjuntos de valores objetivo para las conexiones locales, interurbanas e internacionales. La Recomendación proporciona conexiones de referencia, caracterizadas por una gama típica del número de nodos de conmutación, para los tres tipos de conexiones.

Basado en los parámetros de GoS relacionados con el retardo y los valores objetivo que figuran en la Recomendación E.721, la Recomendación E.723 identifica los parámetros y valores objetivo de grado de servicio para redes del sistema de señalización N° 7. Los parámetros identificados constituyen los retardos incurridos por el mensaje de dirección inicial (IAM) y por el mensaje de respuesta (ANM). Los valores objetivo compatibles con los indicados en la Recomendación E.721 vienen dados para las conexiones locales, interurbanas e internacionales. El número típico de nodos de conexión de las conexiones de referencia proporcionadas en la Recomendación E.721 se complementan en la Recomendación E.723 con el número típico de puntos de transferencia de la señal.

Los valores objetivo proporcionados en la Recomendación E.721 se refieren a llamadas que no invocan servicios de la red inteligente (RI). La Recomendación E.724 especifica los retardos incrementales que se permiten cuando éstos se invocan. Se proporcionan topologías de referencia para las clases de servicio más destacadas, tales como indagación de base de datos, redireccionamiento de llamada, tentativas de establecimiento múltiples, etc. Se proporcionan valores objetivo del retardo incremental para el procesamiento de un servicio RI único para algunas


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clases de servicio así como el retardo total de la selección ulterior incremental para procesamiento de todos los servicios RI.

Cuadro 1.5 − Recomendaciones sobre objetivos de GoS (excepto para la RTPC)

Rec. Fecha Título

E.720 11/98 Concepto de grado de servicio en la RDSI E.721 05/99 Parámetros y valores objetivo de grado de servicio de red para servicios con

conmutación de circuitos en la RDSI en evolución E.723 06/92 Parámetros de grado de servicio para redes del sistema de señalización N° 7 E.724 02/96 Parámetros y objetivos de grado de servicio en los servicios de red inteligente E.726 03/00 Parámetro y valores objetivo de grado de servicio para la RDSI-BA E.728 03/98 Parámetros de grado de servicio para la señalización de la RDSI-BA E.770 03/93 Concepto de grado de servicio de tráfico en la interconexión de redes móviles

terrestres y fijas E.771 10/96 Parámetros de grado de servicio de la red y valores objetivo para los servicios

móviles terrestres públicos con conmutación de circuitos E.773 10/96 Concepto de grado de servicio en sistemas móviles marítimos y aeronáuticos E.774 10/96 Parámetros de grado de servicio de red y valores objetivo en los servicios

móviles marítimos y aeronáuticos E.775 02/96 Concepto de grado de servicio en telecomunicaciones personales universales E.776 10/96 Parámetros de grado de servicio de red para las telecomunicaciones personales

universales E.671 03/00 Retardo posterior a la selección en redes telefónicas públicas conmutadas y

redes digitales de servicios integrados que utilizan telefonía por Internet para una porción de la conexión

La Recomendación E.726 es el equivalente a la Recomendación E.721 pero referido a la RDSI-BA. Como la RDSI-BA es una red con conmutación de paquetes, se distinguen los parámetros de GoS de nivel de llamada y de nivel de paquete (en este nivel de célula). Los parámetros de GoS en nivel de llamada son análogos a los que se definen en la Recomendación E.721. Los parámetros de GoS en nivel de célula de extremo a extremo son:

• Retardo de transferencia de célula

• Variación de retardo de célula

• Relación de bloques de células con muchos errores

• Relación de pérdida de célula

• Retardo de transmisión de trama

• Relación de descarte de trama

Mientras que los requisitos de QoS en nivel de llamada puede ser similar para todos los servicios (quizá con la excepción de los servicios de emergencia), los requisitos de QoS en nivel de célula pueden ser diferentes en función del tipo de servicio: los requisitos de demora para servicios de señales vocales y de vídeo son muchos más rigurosos que para servicios de datos. Así, los valores objetivo para el nivel de célula deben ser dependientes del servicio. Estos valores objetivo se dejan


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para ulterior estudio y se proporcionan los valores objetivo para los parámetros de GoS en nivel de llamada para conexiones locales, interurbanas e internacionales.

La Recomendación E.728, que se refiere a la señalización de la RDSI-BA, se basa en los parámetros en nivel de llamada relacionados con el retardo que figuran en la Recomendación E.726. La Recomendación E.728 es análoga a la Recomendación E.723 y su relación con la Recomendación E.726 es también análoga a la Recomendación E.723 y a la Recomendación E.721.

En la serie de redes móviles hay tres pares de Recomendaciones análogas al par E.720/E.721: Las Recomendaciones E.770 y E.771 para redes móviles terrestres, las Recomendaciones E.773 y E.774 para sistemas marítimos y aeronáuticos y las Recomendaciones E.775 y E.776 para servicios UPT. Todas ellas se refieren a servicios con conmutación de circuitos. En las mismas se analizan las características de los servicios correspondientes que hace necesario especificar valores objetivo menos rigurosos para los parámetros de GoS definidos en la Recomendación E.721 y, asimismo, define otros parámetros de GoS que son específicos para esos servicios. Por ejemplo, en las Recomendaciones E.770 y E.771 sobre redes móviles terrestres, las razones para disponer de parámetros menos rigurosos son: las limitaciones de la interfaz radioeléctrica, la necesidad de autenticación de terminales y búsqueda del usuario llamado, y la necesidad de interrogar el punto de partida y (en el caso de itinerancia) las bases de datos de la red visitada para obtener el número de encaminamiento. Un parámetro de GoS adicional en redes móviles terrestres es la probabilidad de traspaso de llamadas no satisfactorias. Los valores objetivo se indican para llamadas fijas a móviles, móviles a fijas y móviles a móviles considerando las conexiones locales, interurbanas e internacionales.

La elaboración de Recomendaciones sobre parámetros y valores objetivo de grado de servicio para redes basadas en el protocolo Internet se ha iniciado recientemente. La Recomendación E.671 sólo abarca un aspecto que fue necesario proporcionar asesoramiento urgente. Se trataba de la especificación de valores objetivo para el retardo posterior a la selección en redes telefónicas públicas conmutadas y redes digitales de servicios integrados cuando una porción de la conexión con conmutación de circuitos se reemplaza por telefonía IP y el usuario no nota este cambio. La Recomendación E.671 determina que el retardo de extremo a extremo debe ser en este caso igual al especificado en la Recomendación E.721.

Por ultimo, se examinarán las Recomendaciones de GoS dedicadas a la RTPC, que figuran en el cuadro 1.6. La Recomendaciones E.540, E.541 y E.543 se pueden considerar como el complemento de la Recomendación E.721 sobre redes telefónicas públicas conmutadas pero organizada de distinta manera como se indicó anteriormente. Están centradas en conexiones internacionales como era usual en la antigua Recomendación de la UIT. La Recomendación E.540 especifica la probabilidad de bloqueo de la parte internacional de una conexión internacional, la Recomendación E.541 la probabilidad de bloqueo de extremo a extremo de una conexión internacional, y la Recomendación E.543 la probabilidad de pérdida interna y retardos de una central telefónica internacional. Es necesario revisar esas Recomendaciones para decidir si deben suprimidas, y ampliar a la vez el alcance de la Recomendación E.721 para incluir redes telefónicas públicas conmutadas.


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Cuadro 1.6 − Recomendaciones sobre objetivos de GoS en la RTPC

Rec. Fecha Título

E.540 11/98 Grado de servicio global de la parte internacional de una conexión internacionalE.541 11/88 Grado de servicio global en las conexiones internacionales (de abonado a

abonado) E.543 11/88 Grado de servicio en las centrales telefónicas internacionales digitales E.550 03/93 Grado de servicio y nuevos criterios de calidad de funcionamiento en las

centrales telefónicas internacionales en condiciones de fallo

Los valores objetivo de los parámetros especificados en todas las Recomendaciones de GoS suponen que la red y sus componentes son plenamente operacionales. Por otra parte las Recomendaciones sobre disponibilidad se ocupan de la intensidad de fallos y la duración de las averías de componentes de red, sin considerar la fracción de tentativas de llamada que está bloqueada debido al fallo. La Recomendación E.550 combina conceptos de los aspectos de disponibilidad y congestión de tráfico y define nuevos parámetros de calidad de funcionamiento y valores objetivo que tienen en cuenta ambos efectos en una central telefónica.

1.5.4 Controles de tráfico y dimensionamiento

Una vez que la demanda de tráfico haya sido caracterizada y se hayan establecido los objetivos de GoS, la ingeniería de tráfico debe proporcionar un diseño eficaz en función de los costos y una explotación de la red que satisfaga la demanda de tráfico, así como el cumplimiento de los objetivos de GoS. La contribución de la ingeniería de tráfico en el diseño y explotación de las redes es el dimensionamiento de la red así como los controles de tráfico. El dimensionamiento de la red asegura que ésta tenga los recursos suficientes como para atender la demanda de tráfico. Incluye el dimensionamiento de los elementos físicos de la red y de los elementos lógicos como, por ejemplo, los trayectos virtuales de una red ATM. Los controles de tráfico son también necesarios para asegurar que se satisfacen los objetivos de GoS. Entre los controles de tráfico se pueden distinguir:

• Encaminamiento de tráfico: Los diagramas de encaminamiento describen la ruta fijada y las reglas de selección de ruta para cada par origen-destino. Puede ser jerárquicas o no jerárquicas, fijas o dinámicas. Los procedimientos dinámicos incluyen métodos de encaminamiento dependientes del tiempo, en los cuales el diagrama de encaminamiento se altera en un tiempo fijo sobre una base previamente planificada y un encaminamiento dependiente del estado o dependiente del evento, al cual la red alterna automáticamente el diagrama de encaminamiento basado en las condiciones de red presente. En el UIT-T, el encaminamiento está bajo la responsabilidad del Grupo de Trabajo 1/2. Las Recomendaciones E.170 a E.177 y E.350 a E.353, que tratan aspectos de encaminamiento, están fuera del alcance de esta sección. No obstante, en las Recomendaciones sobre ingeniería de tráfico presentadas se hace referencia continua al tema de encaminamiento. El diseño de encaminamiento está basado, por una parte, en consideraciones de ingeniería de tráfico: por ejemplo, los esquemas de encaminamiento alternativo se basan en consideraciones de eficacia en función de los costos, los métodos de encaminamiento dinámicos están basados en consideraciones de resistencia frente a sobrecargas concentradas o condiciones de fallo, o referente a errores de previsión de tráfico. Por otra parte, el dimensionamiento de la red se efectúa teniendo en cuenta los métodos y diagramas de encaminamiento.

• Controles de gestión del tráfico de red: Estos controles aseguran que se mantiene la capacidad de la red bajo cualquier sobrecarga o condición de fallo. Los controles de gestión de tráfico pueden ser de protección o de expansión. Los controles de protección, tal como


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bloqueo de código o espaciamiento de llamadas, asegura que la red no consume recursos en procesar llamadas que serán fallidas o limita el flujo de llamadas que requiere muchos recursos de red (rebasamiento de llamadas). Los controles de expansión reencaminan el tráfico hacia aquellas partes de la red que no están sobrecargadas. La gestión de tráfico se efectúa, por lo general, en centros de gestión de tráfico donde la supervisión de la calidad de funcionamiento de la red en tiempo real se lleva a cabo por compilación y presentación del tráfico y datos de calidad de funcionamiento en tiempo real. Los controles usualmente son activados por un operador sobre una base previamente planificada (cuando se prevé un evento especial) o en tiempo real. En el UIT-T, la gestión de tráfico de la red está bajo la responsabilidad del Grupo de Trabajo 2/2. Las Recomendaciones E.410 a E.417, que tratan de este tema, están fuera del alcance de esta sección. No obstante, en las Recomendaciones sobre ingeniería de tráfico se hace referencia a la gestión del tráfico. Por ejemplo, los requisitos de medición especificados en las Recomendaciones sobre medición de tráfico y calidad de funcionamiento incluyen mediciones en tiempo real requeridas para la gestión de tráfico de la red.

• Métodos de protección del servicio: Son controles de tráfico en el nivel de llamada que supervisan el grado de servicio para determinados flujos de tráfico mediante una restricción discriminatoria del acceso a grupos de circuitos con baja capacidad de línea desocupada. La protección de servicio se utiliza para proporcionar estabilidad en redes con esquemas de encaminamiento no jerárquicos limitando el tráfico de desbordamiento a una ruta alternativa que se comparte con el tráfico preferente. Se utiliza también para equilibrar el GoS entre flujos de tráfico que requieren diferentes anchuras de banda o para dar servicio prioritario a un tipo de tráfico.

• Controles de tráfico en el nivel de paquete: Estos controles aseguran que se satisfacen los objetivos de GoS en el nivel de paquete de las llamadas aceptadas bajo cualquier condición de la red y que se efectúa una diferenciación del grado de servicio eficaz en función de los costos entre servicios con diferentes requisitos de QoS en el nivel de paquete.

• Señalización y controles de la red inteligente (RI): En razón que estas redes constituyen el sistema nervioso de la totalidad de la red, un objetivo clave en el diseño y explotación de las mismas es maximizar su resistencia, es decir, su capacidad para soportar sobrecargas de tráfico y fallos de elementos de la red. Esto se lleva a cabo por medio de redundancia de elementos de red y por un conjunto de controles de congestión y sobrecarga, como se explica en la Recomendación E.744 que se comentará más adelante.

Las Recomendaciones sobre dimensionamiento y controles de tráfico se pueden clasificar conforme se trata de redes con conmutación circuitos, redes con conmutación de paquetes o señalización y redes con estructura de RI.

Redes con conmutación de circuitos Las Recomendaciones sobre controles de tráfico y dimensionamiento de redes con conmutación de circuitos se enumeran en el cuadro 1.7. Estas Recomendaciones se ocupan de los métodos de dimensionamiento y protección del servicio teniendo en cuenta los métodos de encaminamiento de tráfico.


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Cuadro 1.7 − Recomendaciones sobre controles y dimensionamiento de tráfico de redes con conmutación de circuitos

Rec. Fecha Título

E.510 10/45 Determinación del número de circuitos necesarios en explotación manual E.520 11/88 Determinación del número de circuitos necesarios en explotación automática y

semiautomática, sin posibilidad de desbordamiento E.521 11/88 Cálculo del número de circuito de un haz utilizado para cursar el tráfico de

desbordamiento E.522 11/88 Número de circuitos de un haz de gran utilización E.524 05/99 Aproximaciones del tráfico de desbordamiento para flujos de tráfico no

aleatorios E.525 06/92 Diseño de redes para controlar el grado de servicio E.526 03/93 Dimensionamiento de haces de circuitos con servicios portadores

multiintervalo y sin entradas de desbordamiento E.527 03/00 Dimensionamiento de un haz de circuitos con servicios portadores

multiintervalo y tráfico de desbordamiento E.528 02/96 Dimensionamiento de los sistemas de equipos de multiplicación de circuitos

digitales E.529 05/97 Dimensionamiento de redes que utilizan objetivos de GoS de extremo a

extremo E.731 10/92 Métodos para dimensionar recursos que funcionan en el modo conmutación de

circuitos

Con excepción de la Recomendación E.510 que sólo tiene valor histórico, las Recomendaciones E.520, E.521, E.522 y E.524 abordan aspectos de dimensionamiento de grupos de circuitos o combinaciones de grupos finales/ de gran utilización que llevan conexiones de régimen único (o segmento único). Los métodos de protección del servicio no se consideran en esas Recomendaciones.

• La Recomendación E.520 se ocupa del dimensionamiento de grupos de circuitos de trayecto único (véase la figura 1.11a)).

Figura 1.11 − Ejemplos de disposiciones de grupos de circuitos.


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• Las Recomendaciones E.521 y E.522 proporcionan métodos para el dimensionamiento de disposiciones de encaminamientos alternativas simples como se muestra en la figura 1.11b), donde sólo existen rutas de primera y segunda selección y donde la totalidad del rebasamiento de tráfico de un grupo de circuitos se ofrece al mismo grupo de circuitos. La Recomendación E.521 proporciona métodos para el dimensionamiento del grupo final que satisface los requisitos de GoS para determinados tamaños de los grupos de circuitos de gran utilización y la Recomendación E.522 aconseja cómo dimensionar los grupos de gran utilización para reducir al mínimo el costo total de la instalación.

• La Recomendación E.524 proporciona aproximaciones de desbordamientos para flujos de tráfico no aleatorios que permiten el dimensionamiento de disposiciones más complejas (es decir, sin las limitaciones previamente mencionadas) como se muestra en la figura 1.11c). Se describen y comparan diversos métodos en lo que se refiere a exactitud y complejidad.

La Recomendación E.525 presenta métodos de protección del servicio para redes que llevan conexiones de régimen único. Describe las aplicaciones y los métodos disponibles: división de grupos de circuitos, reserva de circuitos (denominado también reserva de líneas de enlace o, en redes con conmutación de paquetes, reserva de anchura de banda) y circuitos virtuales. Las Recomendaciones proporcionan métodos para evaluar la probabilidad de bloqueo de cada flujo de tráfico para grupos de circuitos de trayecto único y para conexiones de encaminamiento alternativo que tienen en cuenta el dimensionamiento de los grupos de circuitos y el umbral que define los métodos de protección. Se efectúa una comparación de los métodos de protección de servicio disponibles en lo que se refiere a la eficacia, protección contra sobrecargas, resistencia y repercusión del factor de curtosis.

Las Recomendaciones E.526 y E.527 se ocupan del dimensionamiento de grupos de circuitos que llevan conexiones multiintervalos (o de tarifas múltiples). En ambas Recomendaciones se consideran métodos de protección de servicio. La Recomendación E.526 examina grupos de circuitos de trayecto único mientras que la Recomendación E.527 se ocupa de esquemas de encaminamiento alternativo.

En el cuadro 1.8 se resumen los elementos contemplados en cada una de las Recomendaciones mencionadas anteriormente. La Recomendación E.528 abarca el dimensionamiento de un tipo de grupo de circuitos particular pero muy importante donde se utiliza el equipo de multiplicación de circuitos digitales (DCME, digital circuit multiplication equipment) para obtener ganancias de multiplexación estadística. El DCME en comunicaciones por satélite ahorra circuitos mediante la interpolación de ráfagas de señales vocales de diferentes canales aprovechando los silencios existentes en una conversación. Se presentan métodos de dimensionamiento para grupos de circuitos que proporcionan integración de tráfico que contiene voz, facsímil y datos en banda telefónica.

Cuadro 1.8 − Elementos considerados en las Recomendaciones E.520 a E.527 sobre dimensionamiento de grupos de circuitos. * Solo circuitos simples

Recomendación E.520 E.521 E.522 E.524 E.525 E.526 E.527

Encaminamiento alternativo No Sí* Sí* Sí Sí No Sí Protección de servicio No No No No Sí Sí Sí Conexiones multiintervalo No No No No No Sí Sí


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La Recomendación E.731 se dedica también al dimensionamiento de grupos de circuitos y presenta características especiales de la RDSI-BE que pueden tener repercusiones en ingeniería de tráfico. Además de las conexiones multiintervalo y los métodos de protección de servicio, la Recomendación estudia la repercusión de la negociación de atributos (de atributos que afectan la elección de grupos de circuitos o del número de circuitos requerido), de reserva de servicio (reserva de recursos exclusivos o de recursos compartidos con servicios según demanda) y de conexiones de punto a multipunto.

La Recomendación E.529 recopila todos los métodos sobre dimensionamiento de grupos de circuitos o conexión de encaminamiento alternativo que figuran en las Recomendaciones descritas anteriormente para dar directrices sobre dimensionamiento de toda la red empleando objetivos de GoS de extremo a extremo. Se describen métodos de dimensionamiento para redes con encaminamiento de tráfico fijo, dependiente del tiempo, dependiente del estado o dependiente del evento. Se indican los principios para la descomposición de las redes en bloques que pueden ser considerados estadísticamente independientes, y se describe el procedimiento iterativo requerido para la optimización de la red.

Redes con conmutación de paquetes En el cuadro 1.9 se enumeran las Recomendaciones sobre los controles de tráfico y dimensionamiento de redes con conmutación de paquetes. Se examinan las redes digitales de servicios integrados de banda ancha que utilizan la tecnología ATM pero la mayoría de los métodos descritos se aplican a otras redes con conmutación de paquetes, como por ejemplo redes basadas en el protocolo Internet en las que se controla la admisión de conexiones.

El control de admisión de conexiones (CAC, connection admission control) establece una división entre el nivel de paquete y el nivel de conexión. Cuando un usuario solicita la instalación de una nueva conexión , el CAC decide si ésta puede ser admitida mientras se satisface el GoS en el nivel de paquete de las conexiones nueva y existente. Esta decisión se efectúa generalmente mediante la asignación de recursos (típicamente anchura de banda) a cada conexión y se rechazan nuevos pedidos cuando los recursos no son suficientes.

Cuadro 1.9 − Recomendaciones sobre controles de tráfico y dimensionamiento de redes con conmutación de paquetes

Rec. Fecha Título

E.735 05/97 Marco para el control del tráfico y dimensionamiento en la RDSI-BA E.736 05/97 Métodos para el control de tráfico en el nivel de célula en la RDSI-BA E.737 05/97 Métodos de dimensionamiento en la RDSI-BA

Así: • Perspectiva a nivel de paquete: como el CAC asegura que los objetivos de GoS en el nivel

de paquete se satisfacen independientemente del régimen de conexiones ofrecido a la red, el nivel de paquete se hace independiente del tráfico ofrecido a nivel de conexión y del dimensionamiento de la red.

• Perspectiva a nivel de conexión: como el CAC, al decidir la aceptación de una conexión, tiene en cuenta todos los controles aplicado en el nivel de paquete, resume todos los controles en el nivel de paquete en una cantidad de recursos requerido por una conexión. Permite que el nivel de conexión de una red con conmutación de paquetes sea similar a la de una red con conmutación de circuitos: la cantidad de recursos requeridos por una conexión denominada anchura de banda efectiva o equivalente (o, en ATM, velocidad de célula equivalente) es igual al número de intervalos requerido por una conexión de


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intervalos múltiples en una red con conmutación de circuitos. Los controles de tráfico en el nivel de conexión y el dimensionamiento de la red deben asegurar que los requisitos de GoS a nivel de conexión, típicamente las probabilidades de bloqueo de conexión especificadas, se satisfacen teniendo en cuenta la anchura de banda efectiva que se debe asignar a cada conexión.

En la práctica, esta separación entre nivel de paquete y nivel de conexión no es tan completa como se describió anteriormente: la anchura de banda efectiva de una conexión depende de la capacidad del enlace físico o lógico en el que está transportada (con excepción de las características de tráfico en el nivel de paquete de la conexión) mientras que a su vez, la capacidad de los enlaces se debe dimensionar teniendo en cuenta la anchura de banda efectiva de las conexiones. Se hace necesario un proceso iterativo entre el nivel de conexión y el nivel de paquete para el dimensionamiento de la red.

La Recomendación E.735 es el marco para el control de tráfico y el dimensionamiento en la RDSI-BA. Presenta los conceptos descritos anteriormente, define qué es una conexión y qué es un recurso y analiza estrategias para la configuración lógica de la red.

La Recomendación 736 se centra en el nivel de paquete. Proporciona métodos para la evaluación de la calidad de funcionamiento en el nivel de paquete, propone estrategias de multiplexación posibles (asignación de velocidad máxima, multiplexación de la envolvente de velocidad y compartición de velocidad estadística) y analiza las repercusiones y aplicación de cada una de ellas. Basado en este análisis, la Recomendación proporciona métodos para controles en el nivel de paquete. Se debe destacar la importancia de los métodos para el control de admisión de la conexión y para la integración (o segregación) de servicios con requisitos de QoS diferentes sea por recursos exclusivos o por compartición de los mismos recursos e implantación de prioridades de pérdidas y/o retardos. Estudia también las técnicas adaptativas de gestión de recursos para controlar el flujo de paquetes de servicios con requisitos de retardo no rigurosos.

La Recomendación E.737 proporciona métodos para el dimensionamiento de la red y grupos de circuitos y examina los controles de tráfico en el nivel de conexión, en particular los métodos de protección del servicio. Asimismo, se tienen en cuenta los métodos de encaminamiento de tráfico. Como la anchura de banda efectiva de una conexión se modela conforme al número de intervalos de una conexión de intervalos múltiples, esta Recomendación no es muy diferentes de las que se ocupan del dimensionamiento de redes con conmutación de circuitos. No obstante, la Recomendación aborda algunas características que son particulares de las redes con conmutación de paquetes; la iteración mencionada anteriormente entre el dimensionamiento de la red y la anchura de banda efectiva; la discretización de la anchura de banda requerida en múltiplos de una unidad de cuantificación de la anchura de banda, dado que los modelos de intervalos múltiples sólo utilizan números enteros de intervalos; y las repercusiones sobre el dimensionamiento de servicios con diferentes requerimientos de QoS en el nivel de paquete. En el cuadro 1.10 se enumeran las Recomendaciones sobre controles de tráfico y dimensionamiento de redes de señalización y redes inteligentes (RI). Las Recomendaciones E.733 y E.734 abordan el dimensionamiento y la Recomendación E.744 los controles de tráfico.


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Cuadro 1.10 − Recomendaciones sobre controles de tráfico y dimensionamiento de señalización y redes con estructura de red inteligente

Rec. Fecha Título

E.733 11/98 Métodos de dimensionado de recursos de las redes con sistemas de señalización N° 7

E.734 10/96 Métodos de asignación y dimensionado de los recursos de red inteligente (RI) E.744 10/96 Requisitos de control del tráfico y de congestión en redes del sistema de

señalización N° 7 y redes con estructura de red inteligente

La Recomendación E.733 proporciona una metodología para la planificación y dimensionamiento de redes del sistema de señalización N° 7. La metodología tiene en cuenta que la eficacia de los enlaces de señalización no debe ser el factor de consideración principal pues la calidad de funcionamiento de la red en condiciones de fallo y sobrecarga de tráfico tiene mayor importancia. La Recomendación describe el tráfico y el periodo de referencia que, conforme con las Recomendaciones E.492 y E.500, se deben utilizar para dimensionar el número de enlaces de señalización y para asegurar que no se supere la capacidad de los elementos de conmutación de la red. Describe los factores para determinar la máxima utilización del enlace que asegure el cumplimiento de los objetivos de retardo de extremo a extremo descritos en la Recomendación E.723. Se describen los valores iniciales utilizados y se dan los métodos para determinar el número de enlaces de señalización y la capacidad de conmutación requerida.

La Recomendación E.734 describe los métodos de asignación y dimensionamiento para redes inteligentes. Examina los nuevos factores de ingeniería de tráfico que se han de considerar: servicios con periodos de referencia fuera del horario laboral normal, situaciones de las llamadas masivas producidas por algunos servicios, rápida implantación de nuevos servicios con predicción incierta. Este último factor hace necesario aplicar procedimientos de asignación y dimensionamiento suficientemente flexibles para proporcionar, los más rápidamente posible, los recursos requeridos cuando se implantan nuevos servicios o las modificaciones solicitadas por el usuario. La Recomendación proporciona criterios para la asignación de recursos tanto para la ubicación de los elementos específicos de la RI como para la segmentación de la funcionalidad de la red inteligente (tal como lógica de servicio) entre esos elementos. Asimismo, proporciona métodos para el dimensionamiento de los nodos de la RI y del soporte de la subred de señalización y analiza la repercusión sobre el dimensionamiento de la red con conmutación de circuitos.

Los procedimientos de control de congestión y tráfico para el sistema de señalización N° 7 y redes con estructura de RI se especifican en las Recomendaciones de la serie Q y de la serie E.410. Estos procedimientos dejan, por lo general, que los valores de los parámetros clave se especifiquen como parte de la aplicación. Dado que la solidez es un requisito fundamental de la señalización y de las redes con estructura de RI es esencial una correcta aplicación de esos controles.

La Recomendación E.744 proporciona directrices para esta aplicación, indicando cómo se deben ajustar los parámetros de control en diferentes tipos de redes. Esta Recomendación también presta asesoramiento sobre los requisitos que se han de establecer en nodos de señalización y nodos RI referentes a las necesidades para controles de sobrecarga en el nivel de nodo y cómo se deben interrelacionar estos controles con los controles en el nivel de red. Por último, la Recomendación establece los principios básicos para mantener armonizados diferentes sistemas y controles a fin de permitir la interconexión de productos de distintos fabricantes y realizaciones de la red con un alto grado de confianza que los procedimientos de control funcionen correctamente.


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1.5.5 Supervisión de la calidad de funcionamiento Una vez que la red sea operacional, se requiere la supervisión continua del GoS. Aunque la red esté correctamente dimensionada, hay situaciones de sobrecarga y fallo no consideradas en el dimensionamiento donde las operaciones de gestión de tráfico de la red han de ser tomadas en breve tiempo (minutos, horas). En situaciones consideradas en el dimensionado, los errores de previsión de tráfico o aproximaciones efectuadas en los modelos de dimensionamiento pueden conducir a un GoS diferente del previsto. Para detectar estos problemas y para producir la realimentación necesaria para la caracterización del tráfico y diseño de la red es necesario efectuar la supervisión del grado de servicio. En función de los problemas detectados, las reconfiguraciones de red, modificaciones de los diagramas de encaminamiento o ajuste de los parámetros de control de tráfico se pueden efectuar a plazo medio (semanas, meses). Se puede evaluar también la urgencia de la planificación de ampliaciones de la red a largo plazo. Las Recomendaciones E.490, E.491, E.502, E.503, E.504, E.505 y E.745, comentadas en el § 4.2, se refieren a las mediciones de tráfico y de calidad de funcionamiento. En esta sección se comentarán las Recomendaciones E.492 y E.493 indicadas en el cuadro 1.11, que son las únicas relacionadas con mediciones de calidad de funcionamiento.

Cuadro 1.11 − Recomendaciones sobre mediciones de calidad de funcionamiento (para Recomendaciones que se refieren a mediciones de tráfico

y de calidad de funcionamiento, véase el cuadro 1.2)

Rec. Fecha Título

E.492 02/96 Periodo de referencia del tráfico E.493 02/96 Supervisión del grado de servicio

La Recomendación E.492 proporciona la definición de periodos de referencia de tráfico a los fines de recoger mediciones para la supervisión del grado de servicio en redes y componentes de redes. Esta Recomendación está estrechamente relacionada con la Recomendación E.500, que define los periodos de lectura para las mediciones de intensidad de tráfico requeridas para el dimensionamiento de la red. Estos periodos de lectura deben ser compatibles con los utilizados para supervisión de calidad de funcionamiento una vez que la red sea operacional. La Recomendación E.492 define también los periodos de carga normal y elevada que son representativas de cada mes. El propósito de estas definiciones, también compatibles con las que figuran en la Recomendación E.500, es identificar el día y el periodo de lectura que se ha de utilizar para comparar el GoS supervisado con los valores objetivos de GoS especificados para carga normal y elevada.

La Recomendación E.493 expone cómo efectuar la supervisión de GoS de extremo a extremo teniendo en cuenta las limitaciones prácticas. La medición de las probabilidades de bloqueo o de mala operación es directa. Sin embargo, como en una supervisión continua no son factibles las mediciones directas de los retardos de extremo a extremo, la Recomendación propone métodos de aproximación de los retardos de extremo a extremo (valor es medio y 95% del cuantil) por medios de mediciones locales tomadas en modo autónomo en cada elemento de red. Los métodos propuestos no requieren coordinación entre los elementos de red para tomar las mediciones. La Recomendación explica también cómo aplicar los métodos propuestos a la supervisión de cada parámetro de GoS a nivel de conexión definidos en las Recomendaciones sobre objetivos de grado de servicio.


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1.5.6 Otras Recomendaciones Hay pocas Recomendaciones cuyo alcance no se agrupa en algunos de los temas considerados en la clasificación efectuada. Estas Recomendaciones se enumeran en el cuadro 1.12.

La Recomendación E.600 proporciona una lista de los términos y definiciones de ingeniería de tráfico utilizados en todo el conjunto de Recomendaciones sobre este tema.

Las Recomendaciones E.700 y E.750 son Recomendaciones introductorias a las Recomendaciones de la serie E.700/749 sobre ingeniería de tráfico para la RDSI-BA y RDSI-BE y a las Recomendaciones de la serie E.750/799 sobre ingeniería de tráfico para redes móviles, respectivamente.

Cuadro 1.12 − Recomendaciones que no se agrupan en ninguna de las divisiones consideradas en la clasificación

Rec. Fecha Título

E.523 11/88 Perfiles típicos de distribución de tráfico para corrientes de tráfico internacional E.600 03/93 Términos y definiciones de ingeniería de tráfico E.700 10/92 Marco de las Recomendaciones de E.700 E.750 03/00 Introducción a las Recomendaciones de la E.750 sobre aspectos de ingeniería

de tráfico de las redes que soportan servicios de telecomunicaciones personales

La Recomendación E.523 proporciona perfiles de tráfico de 24 horas normalizado para los flujos de tráfico entre países en diferentes ubicaciones de tiempo relativas. Esta información basada en la medición puede ser útil para los países que no disponen de mediciones. Los perfiles se refieren al tráfico telefónico y no se deben utilizar para tráficos de datos pues los perfiles pueden ser muy diferentes.

1.5.7 Programa de trabajo para el Periodo de Estudios 2001-2004

Los trabajos de la UIT se planifican en periodos de cuatro años llamados periodos de estudios. En el pasado, las Recomendaciones elaboradas durante un periodo de estudios eran aprobadas y publicadas al final del mismo. Actualmente, los métodos de trabajo son más dinámicos: las Recomendaciones se pueden aprobar y publicar en cualquier momento, el programa de trabajo preparado para un periodo de estudios se puede actualizar a lo largo del mismo de acuerdo con las necesidades.

El programa de trabajos para el periodo 2001-2004 pone de relieve la ingeniería de tráfico para comunicaciones personales, redes IP y señalización. Se han definido tres Cuestiones (es decir temas de estudio), una para cada asunto. Los títulos de las Cuestiones son:

• Ingeniería de tráfico para comunicaciones personales

• Ingeniería de tráfico para redes de señalización basadas en el protocolo Internet y en el sistema de señalización N° 7

• Ingeniería de tráfico para redes que soportan servicios basados en el protocolo Internet.

Para cada Cuestión se ha formado un Grupo de Expertos. El Grupo de Expertos, coordinado por un Relator se encarga de la elaboración de las Recomendaciones relacionadas con la Cuestión.

La estructura de los Grupos de Trabajo y el programa de trabajos para el Periodo de Estudios 2001-2004 figura en el anexo 1.


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1.5.8 Conclusiones Se ha dado un panorama general de las Recomendaciones sobre ingeniería de tráfico elaboradas por la UIT. Detrás de este amplio conjunto de Recomendaciones hay una gran cantidad de trabajo efectuado por especialistas del todo el mundo sobre ingeniería de tráfico. Este conjunto de Recomendaciones tiene la intención de constituir una valiosa ayuda para los ingenieros a cargo del diseño y operaciones de redes de telecomunicaciones. No obstante, el grupo de Recomendaciones sobre ingeniería de tráfico no puede ser nunca un conjunto completo, pues continuamente aparecen nuevas tecnologías, nuevos servicios y nuevos métodos de teletráfico que necesitan ser incorporados a las Recomendaciones.

El autor desea alentar a los expertos en teletráfico a contribuir a la preparación de nuevas Recomendaciones y a la revisión de las antiguas. Las Recomendaciones de la UIT se pueden considerar como un puente entre la actividad de investigación de teletráfico y la práctica diaria de ingeniería de tráfico efectuada por los operadores. Un método innovador tiene gran posibilidad de ser utilizado en la práctica si figura en una Recomendación de la UIT. Es muy valioso que el investigador contribuya con la UIT a fin de ampliar sus ideas. La práctica operativa diaria obtendrá también beneficios de esta contribución. Los métodos de trabajos actuales como, por ejemplo, el uso extensivo del correo electrónico facilita la cooperación informal de los investigadores con el trabajo de la UIT.


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CAPÍTULO 2

Conceptos de tráfico y de grado de servicio

Los costos de un sistema telefónico se pueden dividir en costos que dependen de la cantidad de abonados y costos que dependen de la cantidad de tráfico en el sistema.

A la hora de planificar un sistema de telecomunicaciones, el objetivo es ajustar el volumen de los equipos de manera que pueda darse respuesta a las variaciones en el tráfico sin que surjan problemas importantes, manteniendo los costos de las instalaciones en el nivel más bajo posible. Los equipos han de utilizarse con la mayor eficacia posible.

La ingeniería de teletráfico se centra en la optimización de la estructura de la red y en el ajuste del volumen del equipo, que depende del volumen de tráfico.

En las páginas siguientes se introducirán conceptos fundamentales y se ilustrarán algunos ejemplos que indican cómo se comporta el tráfico en sistemas reales. Todos los ejemplos proceden del sector de telecomunicaciones.

2.1 Concepto de tráfico y unidad [erlang]

En teoría de teletráfico se utiliza normalmente el término tráfico para indicar la intensidad de tráfico, es decir tráfico por unidad de tiempo. Este término proviene del italiano y significa comercio. Conforme a la Recomendación UIT-T B.18, 1993 [36] se tiene la siguiente definición:

Definición de intensidad de tráfico: La intensidad de tráfico instantánea en un conjunto de órganos es el número de órganos ocupados en un instante dado.

El conjunto de órganos puede ser un grupo de servidores, por ejemplo líneas de enlace. Los momentos estadísticos de la intensidad de tráfico se pueden calcular para un periodo de tiempo T dado. Para la intensidad de tráfico media se tiene:

∫⋅=T

.dt)t(nT

)T(Y0

1 (2.1)

donde n(t) indica el número de dispositivos ocupados en el tiempo t.

Tráfico transportado Y = Ac: Este es el tráfico transportado por el grupo de servidores durante el intervalo de tiempo T (véase la figura 2.1). En aplicaciones, el término intensidad de tráfico tiene, por lo general, el significado de intensidad de tráfico media.


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Figura 2.1 − (Intensidad del) tráfico transportado (= número de dispositivos ocupados) en función del tiempo (curva C). Para fines de dimensionamiento se utiliza la

intensidad de tráfico media durante un periodo de tiempo T (curva D)


1) n(t) número de enlaces ocupados

2) Tiempo

La Recomendación del UIT-T también indica que la unidad generalmente utilizada para la intensidad de tráfico es el erlang (símbolo E). Este nombre fue dado a la unidad de tráfico en 1946 por el CCIF (predecesor del CCITT y del UIT-T), en honor del matemático danés A.K. Erlang (1878-1929), que fue el fundador de la teoría del tráfico en telefonía. Esta unidad es adimensional. El total de tráfico transportado en un periodo de tiempo T es el volumen de tráfico, y se mide en erlang-hora (Eh). Es igual a la suma de todos los tiempos de ocupación dentro del periodo T. Conforme a las normas ISO la unidad normalizada debe estar expresada en erlang/segundos, pero por lo general la medición de erlang/hora tiene un orden de dimensión más natural.

El tráfico transportado nunca debe exceder el número de canales (líneas). Un canal puede transportar como máximo un erlang. Los ingresos son a menudo proporcionales al tráfico transportado.

Tráfico ofrecido A: En modelos teóricos se utiliza el concepto de tráfico ofrecido; es decir el tráfico que sería transportado si no se rechazaran llamadas debido a la falta de capacidad por ejemplo, si el número de servidores fuera ilimitado. El tráfico ofrecido es un valor teórico y no puede ser medido. Sólo es posible estimar el tráfico ofrecido conforme al tráfico transportado.

Teóricamente se trabaja con la intensidad de llamada λ, que es el número de llamadas medio ofrecido por unidad de tiempo, y tiempo de servicio medio s. El tráfico ofrecido es igual a:

sA ⋅λ= (2.2)

Esta ecuación permite comprobar que la unidad de tráfico no tiene dimensión. Esta definición supone que conforme a la definición anterior hay un número ilimitado de servidores. Si se utiliza la definición para un sistema con capacidad limitada se obtendrá una definición que depende de la


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capacidad del sistema. Esta última definición se ha utilizado durante muchos años (por ejemplo para el caso Engset, Capítulo 8), pero no es apropiada pues el tráfico ofrecido debe ser independiente del sistema.

Tráfico perdido o rechazado Al: La diferencia entre tráfico ofrecido y tráfico transportado es igual al tráfico rechazado. El valor de este parámetro se puede reducir aumentando la capacidad del sistema.

Ejemplo 2.1.1: Definición de tráfico Si la intensidad de llamada es de 5 llamadas por minuto, y el tiempo de servicio medio es de 3 minutos, el tráfico ofrecido será entonces de 15 erlang. El volumen de tráfico ofrecido durante un día laborable de 8 horas es entonces de 120 erlang/hora.

Ejemplo 2.1.2: Unidades de tráfico Anteriormente se utilizaban otras unidades de tráfico. Las más comunes que se emplean aún son:

SM = Minutos de conversación 1 SM = 1/60 Eh.

CCS = Centenar de segundos de llamada: 1 CCS = 1/36 Eh. Esta unidad se basa en un tiempo de retención medio de 100 segundos y aún se puede encontrar, por ejemplo, en Estados Unidos.

EBHC = Llamada reducida en las horas más cargadas: 1 EBHC = 1/30 Eh. Esta unidad se basa en un tiempo de ocupación medio de 120 segundos.

Se puede comprender de inmediato que el erlang es la unidad natural para la intensidad de tráfico debido a que esta unidad es independiente de la unidad de tiempo escogida.

El tráfico ofrecido es un parámetro teórico utilizado en fórmulas de dimensionamiento teóricas. Sin embargo, el único parámetro mensurable es, en realidad, el tráfico transportado, que a menudo depende del sistema real.

En sistemas de transmisiones de datos no se habla de tiempo de servicio sino de necesidades de transmisión. Una tarea puede ser por ejemplo la transferencia de s unidades (por ejemplo, bits o bytes). La capacidad del sistema ϕ, velocidad de señalización de datos, se mide en unidades por segundos (por ejemplo, bits/segundo). Por tanto, el tiempo de servicio para dicha tarea, es decir el tiempo de transmisión, es s/ϕ unidades de tiempo (por ejemplo segundos), lo cual significa que depende de ϕ. Si en promedio las tareas λ llegan por unidad de tiempo, la utilización ρ del sistema es entonces:

ϕ

ρ sλ ⋅= (2.3)

la utilización observada estará siempre dentro del intervalo 0 ≤ ρ ≤ 1.

Tráfico de múltiple: Si se tienen llamadas que ocupan más de un canal, y otras del tipo i que ocupan di canales, el tráfico ofrecido expresado en cantidad de canales ocupados se calcula con la siguiente ecuación:

(2.4) iiN

ii dsA ⋅⋅=∑

=0λ


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donde N es el número de tipos de tráfico, y λi y si indican el régimen de llegada y el tiempo de ocupación medio del tipo i.

Tráfico potencial: En la planificación y demanda de modelos se utiliza el término tráfico potencial que equivaldría al de tráfico ofrecido si no hubiera limitaciones en la utilización del teléfono por razones económicas o de disponibilidad (siempre está disponible un teléfono gratuito).

2.2 Variaciones de tráfico y concepto de hora cargada El teletráfico varía conforme a la actividad en la sociedad. El tráfico está generado por una sola fuente, los abonados, que normalmente efectúan llamadas telefónicas independientes entre sí.

Una investigación de las variaciones del tráfico indica que es parcialmente de naturaleza estocástica y parcialmente de naturaleza determinística. En la figura 2.2 se muestra la variación de la cantidad de llamadas en la mañana de un lunes. Mediante la comparación de diversos días se puede distinguir una curva determinística con variaciones estocásticas superpuestas.

Durante un periodo de 24 horas el tráfico presenta una contribución como la que se indica en la figura 2.3. El primer punto de máxima está producido por abonados de oficinas comerciales al comenzar las horas laborables de la mañana, posiblemente llamadas diferidas del día anterior. Alrededor de las 12 es hora de almorzar y por la tarde hay nuevamente cierta actividad.

Alrededor de las 19 horas hay de nuevo un punto de máxima causado por llamadas privadas y una posible reducción de las tasas a partir de las 19.30 horas. El tamaño recíproco de las crestas depende entre otras cosas que la central esté ubicada en una zona residencial típica o en una zona comercial. También depende del tipo de tráfico deseado. Si se considera el tráfico entre Europa y, por ejemplo, Estados Unidos la mayoría de las llamadas tendrá lugar en horas avanzadas de la tarde debido a la diferencia horaria.

Figura 2.2 − Cantidad de llamada por minuto a una central de conmutación un lunes por la mañana. Las variaciones regulares de 24 horas están

superpuestas por variaciones estocásticas. (Iversen, 1973 [37])


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1) Llamadas/minuto

2) Tiempo

Figura 2.3 − Número medio de llamadas por minuto para una central de conmutación tomada como promedio para periodos de 15 minutos durante 10 días laborales

(lunes a viernes). En el tiempo de las mediciones no había tasas reducidas fuera de las horas de trabajo. (Iversen, 1973 [37])


1) Llamadas/minuto

2) Tiempo

Las variaciones se pueden dividir en variaciones de intensidad de la llamada y variaciones en el tiempo de servicio. En la figura 2.4 se muestran las variaciones en el tiempo medio de servicio para tiempos de ocupación de líneas de enlace durante 24 horas. Durante las horas de trabajo es constante, un poco menos de 3 minutos. Por la tarde es mayor que 4 minutos y durante la noche es muy pequeña, alrededor de 1 minuto.

Hora cargada: La mayor cantidad de tráfico no se produce todos los días a la misma hora. Se define el concepto de hora cargada media repetitiva (TCBH, time consistent busy tour) como los 60 minutos (determinado con una exactitud de 15 minutos) que durante un largo periodo sobre el promedio tiene el tráfico más elevado.

Algunos días puede suceder que el tráfico durante la hora más cargada sea mayor que la TCBH, pero en el promedio de varios días el tráfico en la hora cargada será el mayor.

Se ha de distinguir también entre hora cargada para el sistema global de telecomunicación, una central, y para un solo grupo de servidores, por ejemplo un grupo de enlace. Determinados grupos de enlace pueden tener una hora de mayor tráfico fuera de la hora cargada para la central (por ejemplo, grupos de enlace para llamadas a los Estados Unidos).


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En la práctica, para mediciones de tráfico, dimensionamiento y otros aspectos es conveniente tener una hora cargada bien definida y predeterminada.

Las variaciones determinísticas en teletráfico se pueden dividir en: A) Variaciones de 24 horas (véanse las figuras 2.3 y 2.4). B) Variaciones semanales (véase la figura 2.5). Normalmente el tráfico más denso se produce

los lunes, luego los viernes, martes, miércoles y jueves. Los sábados y en especial los domingos tienen un nivel de tráfico muy bajo. Una regla empírica indica que el tráfico de 24 horas es igual a 8 veces el tráfico de la hora cargada (véase la figura 2.5), es decir sólo se utiliza un tercio de la capacidad del sistema telefónico. Ésta es la razón de las tasas reducidas fuera de las horas cargadas.

C) Variación durante un año. Hay una elevada afluencia de tráfico al comienzo de un mes, después de una temporada festiva, y luego que comienza un periodo trimestral. Si Pascua cae cerca del 1 de abril se observa un tráfico muy elevado hasta después de las vacaciones.

D) El tráfico aumenta cada año debido al desarrollo tecnológico y el factor económico de la sociedad.

Hasta ahora se ha considerado el tráfico telefónico tradicional. Otros servicios y tipos de tráfico tienen distintos diagramas de variación. En la figura 2.6 se muestra la variación de la cantidad de llamadas en 15 minutos a un conjunto compartido de módem para establecer las llamadas de Internet. En la figura 2.7 se ilustra el tiempo medio de ocupación en función de la hora del día.


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Figura 2.4 − Tiempo de ocupación medio para líneas de enlace en función de la hora del día. (Iversen, 1973 [37]). Las mediciones excluyen las llamadas locales


1) Tiempo de ocupación medio [s]

2) Hora


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Figura 2.5 − Cantidad de llamadas en 24 horas a un centro de conmutación (escala izquierda). La escala de la derecha indica la cantidad de llamadas durante la hora cargada

para fines de comparación. Se observa que el tráfico de 24 horas es aproximadamente 8 veces el tráfico de la hora cargada.

Este factor se denomina concentración de tráfico. (Iversen, 1973 [37])


1) Cantidad de llamadas

2) Dom Lun Mar Mie Jue Vie Sáb Dom Lun Mar Mie Jue Vie Sáb


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Figura 2.6 − Número de llamadas durante 15 minutos a un conjunto compartido de módem de Tele Danmark Internet. Martes 19.01.1999


1) Llegadas

2) Hora del día

La telefonía móvil celular tiene un perfil diferente con valores máximos en horas avanzadas de la tarde, con un tiempo de ocupación medio más breve que para llamadas por líneas alámbricas. Mediante la integración de las diversas formas de tráfico en la misma red se puede obtener entonces una mejor utilización de los recursos.

2.3 Concepto de bloqueo El sistema telefónico no está dimensionado para que todos los abonados se puedan conectar al mismo tiempo. Numerosos abonados comparten los costosos equipos de las centrales. La concentración tiene lugar del abonado a la central. El equipo que está separado para cada abonado se debe hacer lo más económico posible.

En general, se espera que del 5 al 8% aproximadamente de los abonados pueda efectuar llamadas al mismo tiempo en la hora cargada (cada teléfono se utiliza de 10 a 16% del tiempo). Para llamadas internacionales menos del 1% de los abonados efectúa llamadas simultáneamente. De esta manera, se aprovechan las ventajas de la multiplexación estadística. Cada abonado debe sentir que tiene acceso irrestricto a todos los recursos de sistemas de telecomunicaciones aun cuando lo comparta con muchos otros abonados.

La cantidad de equipos está limitada por razones económicas y, por tanto, es posible que un abonado no pueda establecer una llamada, sino que tenga que esperar o quedar bloqueado (por ejemplo, el abonado recibe el tono de ocupado y deba efectuar una nueva tentativa de llamada). Ambos son inconvenientes para el abonado.


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Figura 2.7 − Tiempo de ocupación medio en segundos en función de la hora del día para llamadas que se reciben dentro del periodo considerado. Tele Danmark Internet.

Martes 19.01.1999


1) Tiempo de servicio (s)

2) Hora del día

De acuerdo con el funcionamiento del sistema se puede distinguir entre sistemas de pérdidas (por ejemplo, grupos de enlace) y sistemas de tiempo de espera (por ejemplo, unidades de control común y sistemas de computación) o una mezcla de éstos si el número de posiciones de espera (memoria intermedia) es limitado.

El inconveniente en sistemas de pérdidas debido a la insuficiencia de equipos se puede expresar de tres maneras (medidas de calidad de funcionamiento de la red): Congestión de llamadas (B): Fracción de las tentativas de llamada que observan los

servidores ocupados (molestia que experimenta el abonado). Congestión temporal (E): Fracción de tiempo cuando todos los servidores están

ocupados. La congestión temporal puede ser medida, por ejemplo, en la central (= congestión virtual).

Congestión de tráfico (C): Fracción del tráfico ofrecido que no es transportado, posiblemente a pesar de diversos intentos.

Estas medidas cuantitativas pueden ser utilizadas, por ejemplo, para establecer normas de dimensionamiento para grupos de enlace.

En pequeños valores de congestión es posible tratar la congestión con buena aproximación en las distintas partes del sistema como independiente recíproca. La congestión para un determinado encaminamiento es entonces aproximadamente igual a la suma de la congestión de cada enlace del


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encaminamiento. Durante la hora cargada se permitirá normalmente una congestión de un pequeño porcentaje entre dos abonados.

Estos sistemas no pueden tratar cada situación sin inconveniente para los abonados. El propósito de la teoría de teletráfico es encontrar relaciones entre calidad de servicio y costos de los equipos. El equipo existente debe poder funcionar a plena capacidad durante situaciones de tráfico anormales (por ejemplo un incremento repentino de llamadas telefónicas), es decir el equipo debe continuar funcionando y efectuar conexiones útiles.

El inconveniente en sistemas de espera (sistemas de puesta en fila) se miden como un tiempo de retardo. No sólo el tiempo de espera medio es de interés sino también la distribución del tiempo de espera. Podría ser que un pequeño retardo no constituya ningún inconveniente, de modo que puede no haber una relación lineal entre inconveniente y tiempo de espera.

En sistemas telefónicos se define a menudo un límite superior para el tiempo de espera aceptable. Si este límite se rebasa se interrumpirá la conexión (desconexión forzada).

2.4 Generación de tráfico y reacción de los abonados Si el abonado A desea hablar con el abonado B se producirá una llamada satisfactoria o bien una tentativa de llamada fracasada. En el último caso, A puede repetir más tarde la intención de llamada e iniciar así una serie de tentativas de llamada sin éxito. Las estadísticas de llamada se presentan generalmente como se muestra en el cuadro 2.1, donde los errores se han agrupado en varias clases típicas. Se observa que los únicos errores que pueden ser influenciados directamente por el operador son los errores técnicos y bloqueo. Esta clase usualmente es pequeña pues representa un escaso porcentaje durante la hora cargada. Asimismo, se observa que la cantidad de llamadas que experimentan B ocupado dependen del número de errores de A y errores técnicos y bloqueo. Por consiguiente, las estadísticas que figuran en el cuadro 2.1 no son apropiadas. Para obtener las probabilidades pertinentes, que se muestran en la figura 2.8, sólo se considerarán las llamadas que llegan a la etapa considerada cuando se calculan probabilidades. Aplicando la notación en la figura 2.8 se hallan las siguientes probabilidades para un intento de llamada (suponiendo independencia):

p{error de A} = pe (2.5)

p{congestión y errores técnicos} = (1 − pe) . ps (2.6)

p{B no contesta} = (1 − pe) . (1 − ps) . pn (2.7)

Cuadro 2.1 − Resultado típico de un gran número de tentativas de llamada durante la hora cargada para países industrializados o países en desarrollo

Resultado País I País D

Error de A: Errores técnicos y bloqueo: B no contesta antes de que A cuelgue: B ocupado: B contesta = conversación

15 5%

10% 10% 60%

20% 35% 5%

20% 20%

Sin conversación 40% 80%


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Figura 2.8 − Cuando se calculan las probabilidades de eventos para un determinado número de intentos de llamadas se deben considerar las probabilidades condicionales


1) Error de A

2) Errores técnicos y bloqueo

3) Sin respuesta

4) B ocupado

5) B contesta

Cuadro 2.2 − Las probabilidades pertinentes para los resultados individuales de las tentativas de llamada calculadas para el cuadro 2.1

País I País D

pe = 10015 = 15% pe =

10020 = 20%

ps = 855 = 6% ps =

8035 =

44%

pn = 8010 =

13%

pn = 455 =

11%

pb = 8010 =

13%

pb = 4520 =

44%

pa = 8060 =

75%

pa = 4520 =

44%

p{B ocupado} = (1 − pe) . (1 − ps) . pb (2.8)

p{B contesta} = (1 − pe) . (1 − ps) . pa (2.9)

Utilizando los valores del cuadro 2.1 se hallan las cifras que se muestran en el cuadro 2.2. Conforme a esta información se puede observar que aun si el abonado A se comporta correctamente y el sistema telefónico es perfecto, sólo el 75% de los intentos de llamada en los países I, y el 45% en los países D, respectivamente, dan por resultado una conversación.

Se puede distinguir entre el tiempo de servicio, que incluye el tiempo desde el instante en que se ocupa un servidor hasta que éste se desocupa nuevamente (por ejemplo, establecimiento de la llamada, duración de la conversación y terminación de la llamada), y duración de la conversación,


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que es el periodo de tiempo en el que A conversa con B. En razón de las tentativas de llamada fracasadas el tiempo de servicio medio es a menudo menor que la duración media de la llamada si se incluyen todas las tentativas de llamada. En la figura 29 se muestra un ejemplo con tiempos de ocupación observados.

Ejemplo 2.4.1: Tiempo medio de ocupación Se supone que el tiempo medio de ocupación de las llamadas que son interrumpidas antes que B conteste (error de A, congestión, errores técnicos) es de 20 segundos y que el tiempo medio de ocupación de llamadas que llegan al abonado B (no contesta, ocupado, contesta) es de 180 segundos. El tiempo medio de ocupación del abonado A se calcula utilizando los valores que figuran en el cuadro 2.1:

País I: segundos1481801008020

10020

=⋅+⋅=am

País D: segundos921801004520

10055

=⋅+⋅=am

Se puede observar que el tiempo medio de ocupación aumenta de 148 s (92 s, respectivamente) en el abonado A a 180 s en el abonado B. Si una tentativa de llamada implica más intenciones de llamada repetidos (véase también el ejemplo 2.4), el tráfico transportado puede ser mayor que el tráfico ofrecido.

Si se conoce el tiempo medio de servicio de las fases individuales de una tentativa de llamada, se puede calcular la proporción de las intenciones de llamada que se pierden durante las fases individuales. Esto se puede aprovechar para analizar sistemas electromecánicos utilizando sistemas SPC para recopilar datos.

Cada tentativa de llamada carga los grupos de control en la central (por ejemplo, una computadora o una unidad de control) con una carga casi constante mientras que la carga de la red es proporcional a la duración de la llamada. Por esta razón muchas tentativas de llamada fracasados pueden sobrecargar los dispositivos de control mientras que la red aún dispone de capacidad libre. Las tentativas de llamada repetidas no son necesariamente motivadas por errores en el sistema telefónico, sino que también pueden ser causadas, por ejemplo, por un abonado B ocupado. Este problema fue tratado por primera vez por Fr. Johannsen en su libro "Busy" (ocupado) publicado en 1908 (Johannsen, 1908 [52]. En las figuras 2.10 y 2.11 se muestran algunos ejemplos de mediciones del comportamiento del abonado.

Los estudios de la respuesta de los abonados con relación, por ejemplo, al tono de ocupado, es de vital importancia para el dimensionamiento del sistema telefónico. En realidad, los factores humanos ( = comportamiento del abonado) constituyen una parte de la teoría de teletráfico que es de gran interés.

Durante la hora cargada α = 10 a 16% de los abonados están ocupados utilizando las líneas para llamadas entrantes o salientes. Por consiguiente, se supondría que el α% de las tentativas de llamada indicarían que el abonado B está ocupado. Sin embargo, esto es erróneo pues los abonados tienen diferentes niveles de tráfico. Algunos abonados no reciben tentativas de llamada entrantes, mientras que otros reciben mayor cantidad de tentativas de llamadas que la media. Los abonados A tienen inclinación en elegir los abonados B más ocupados, y en la práctica se observa que la probabilidad que el abonado B esté ocupado es de unos 4 · α, si no se toman medidas. Para abonados residenciales es difícil mejorar la situación, pero para grandes abonados comerciales que tienen una central automática privada (PABX) con un grupo de números, la cantidad suficiente de líneas eliminará la condición de ocupado de B. Por consiguiente, en países industrializados la


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probabilidad total de abonado B ocupado toma el mismo orden de magnitud de α (véase el cuadro 2.1). Para países en desarrollo el tráfico se centra más sobre números individuales y a menudo los abonados comerciales no disponen de numeración de grupo y, por tanto, se observa una alta probabilidad de abonado B ocupado (40 a 50%).

Conforme a las mediciones de Ordrup el 4% aproximadamente de las llamadas eran tentativas de llamadas repetidas. Si un abonado presenta una indicación bloqueo u ocupado, hay un 70% de probabilidad que la llamada se repita dentro de una hora. Véase el cuadro 2.3.

Un clásico ejemplo de la importancia de la reacción de los abonados se observó cuando la fábrica de gas industrial de Valby (en Copenhague) explotó a mediados de la década de los 60. Los abonados en Copenhague generaron una gran cantidad de tentativas de llamada y ocuparon los dispositivos de control en las centrales de la zona de Copenhague. Los abonados de Esbjerg (parte occidental de Dinamarca) que llamaban a Copenhague tenían que esperar debido a que los números no podían ser transferidos inmediatamente a Copenhague. Por tanto, el equipo en Esbjerg se mantuvo ocupado en espera, y los abonados que efectuaban llamadas locales en Esbjerg no pudieron completar las tentativas de llamada.

Esto es un ejemplo de cómo se propaga una situación de sobrecarga con una reacción en cadena por toda la red. Cuando más ajustada se ha dimensionado una red, habrá más posibilidad que se produzca una reacción en cadena. Una central siempre ha de ser construida de modo que mantenga su capacidad total de funcionamiento durante situaciones de sobrecarga.

Figura 2.9 − Función de frecuencia para tiempos de ocupación de enlaces en un centro de conmutación local


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1) Número de observaciones

2) Minutos

3) 135164 observaciones

4) μ = 142,86

5) ε = 3,83

6) Exponencial

7) Hiperexponencial

Cuadro 2.3 − Secuencia observada de tentativas de llamada repetidas (llamadas nacionales, "mediciones de Ordrup"). La probabilidad de éxito disminuye con la cantidad

de tentativas de llamada, mientras que la persistencia aumenta. Aquí un intento de llamada repetido es una llamada repetida al mismo

abonado B dentro de una hora

Número de observaciones Tentativa N° Satisfactorio Continua Desiste p{éxito} Persistencia

1 2 3 4 5 >5

56,935 3,252 925 293 139 134

75,389 7,512 2,378 951 476 248

10,942 1,882 502 182 89 114

0,76 0,43 0,39 0,31 0,29

0,41 0,56 0,66 0,72 0,74

Total 61,678 13,711

En una central moderna se tiene la posibilidad de dar prioridad a un grupo de abonados en una situación de emergencia, por ejemplo, médicos y policía (tráfico preferencial).

En sistemas informáticos similares condiciones influenciarán la calidad de funcionamiento. Por ejemplo, si es difícil obtener libre ingreso a un sistema terminal, el usuario dispone no desconectarse sino mantener conectado el terminal, es decir aumentar el tiempo de servicio. Si un sistema funciona como sistema de tiempo de espera, el tiempo de espera medio aumentará entonces con el tercer orden del tiempo de medio servicio (véase el Capítulo 13). En esas condiciones el sistema se saturará muy rápido, es decir estará sobrecargado. En países con redes de telecomunicación sobrecargadas (por ejemplo, países en desarrollo) un gran porcentaje de intentos de llamadas serán tentativas de llamadas repetidas.

Ejemplo 2.4.2: Tentativa de llamada repetida

Este es un ejemplo de un modelo simple de tentativa de llamada repetida. Sea la siguiente notación:

b = persistencia (2.10)

B = p {no completada} (2.11)

La persistencia b es la probabilidad que se repita una tentativa de llamada infructuosa, y p{completada} = {1 − B} es la probabilidad que el abonado (parte llamada) responda. Para una tentativa de llamada se obtiene la siguiente reseña:


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Las siguientes probabilidades se obtienen para una tentativa de llamada:

p{completada} = )1(

)1(bB

B⋅−

− (2.12)

Figura 2.10 − Histograma para el intervalo de tiempo desde la ocupación del registro (tono de marcar) a la respuesta de B para llamadas completadas.

El valor medio es 13,60 s


1) Segundos

Cuadro 2.4 − Una sola intención de llamada produce una serie de tentativas de llamadas. La distribución de la cantidad de tentativas se dispone geométricamente

Tentativa Nº p{B responde} p{continúa} p{desiste}

0

1 (1 − B) B . b B . (1 − b)

2 (1 − B) . (B . b) (B . b)2 B . (1 − b) . (B . b)

3 (1 − B) . (B . b)2 (B . b)3 B . (1 − b) . (B . b)2

4 (1 − B) . (B . b)3 (B . b)4 B . (1 − b) . (B . b)3

... … … …

Total )1(

)1(bB

B⋅−

−

)1(1

bB ⋅−

)1()1(

bBbB⋅−−⋅


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p{no completada} = )1()1(

bBbB⋅−−⋅ (2.13)

Número de tentativas de llamada por intención de llamada = )1(

1bB ⋅−

(2.14)

Sean los tiempos medios de ocupación siguientes:

sc = tiempo medio de ocupación de llamadas completadas

sn = 0 = tiempo medio de ocupación de llamadas no completadas

Se obtienen entonces las siguientes relaciones entre el tráfico transportado Y y el tráfico ofrecido A:

bB

BAY⋅−

−⋅=11 (2.15)

B

bBYA−⋅−

⋅=1

1 (2.16)

Esto es similar al resultado que figura en la Recomendación UIT-T E.502.

En la práctica, la persistencia b y la probabilidad de compleción 1 – B dependerá del número de veces que la llamada ha sido repetida (consúltese el cuadro 2.3). Si las llamadas infructuosas tienen un tiempo medio de ocupación positivo, el tráfico transportado puede ser mayor que el tráfico ofrecido.

2.5 Introducción al grado de servicio

La siguiente sección tiene como base la publicación: Proposed grade of service chapter for handbook. ITU-T Study Group, Veirø, B. (2001) [100]. El operador de la red debe decidir qué servicios ha de prestar ésta al usuario final y el nivel de calidad de servicio que el usuario debe experimentar. Esto es así para toda red de telecomunicaciones sea con conmutación de circuitos o con conmutación de paquetes, alámbrica o inalámbrica, óptica o de alambre de cobre, y es independiente de la tecnología de transmisión aplicada. Otras decisiones que se han de efectuar pueden incluir el tipo e instalación de la infraestructura de la red para soportar los servicios, y la elección de las técnicas que se han de utilizar para tratar el transporte de la información. Estas decisiones ulteriores pueden ser diferentes, según si el operador ya está presente en el mercado o si comienza a prestar servicios en una situación de nuevo concurrente (es decir, una situación donde no hay una red heredada para considerar).


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Figura 2.11 − Histograma para todas las tentativas de llamada repetidas en el término de 5 minutos, cuando la parte llamada está ocupada


1) Segundos

En la Recomendación UIT-T E.800 se define el concepto de calidad de servicio (QoS) como: el efecto colectivo de calidad de funcionamiento del servicio que determina el grado de satisfacción de un usuario del servicio. La QoS comprende un conjunto de parámetros que pertenece a la calidad de funcionamiento del tráfico de la red, pero además de esto, la QoS también incluye una serie de otros conceptos, que se resumen como sigue:

• logística del servicio;

• facilidad de utilización del servicio;

• servibilidad del servicio; y

• seguridad del servicio.

Las definiciones detalladas de esos términos figuran en la Recomendación E.800. Cuanto mejor calidad de servicio ofrece un operador al usuario final, mayor será la posibilidad de obtener nuevos clientes y mantener los clientes actuales. Pero una mejor calidad de servicio significa también que la instalación de la red sea más costosa y esto, normalmente, tendrá relación con el precio del servicio. La selección de una determinada calidad de servicio dependerá, por tanto, de las decisiones políticas tomadas por el operador y esto no será tratado en el presente estudio.

Cuando se establece la decisión de calidad se puede iniciar la planificación de la red pertinente. Esto incluye la decisión de una tecnología de red de transporte y su topología, así como los aspectos de fiabilidad en el caso en que uno o más elementos de red tengan mal funcionamiento. Es también en ese momento que se determina la estrategia de encaminamiento.


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Éste es el instante en que es necesario considerar el grado de servicio (GoS). Esto se define en la Recomendación UIT-T E.600 como: un conjunto de variables de ingeniería de tráfico utilizadas para tener una medida de aptitud de un grupo de órganos en condiciones especificadas. Estas variables del grado de servicio pueden expresarse como la probabilidad de pérdida, la demora del tono de invitación a marcar, etc. A esta definición la Recomendación proporciona además las siguientes notas:

• Los valores de parámetro asignados como objetivos para el grado de servicio se denominan normas de grado de servicio.

• Los valores de los parámetros de grado de servicio obtenidos en condiciones reales se denominan resultados del grado de servicio.

El punto básico para resolver en la determinación de las normas de GoS es aplicar los valores a cada elemento de red de modo tal que se obtenga el objetivo de QoS de extremo a extremo.

2.5.1 Comparación de GoS y QoS No es tarea sencilla encontrar las normas de GoS necesarias para soportar una determinada QoS. Esto se debe al hecho de que los conceptos de GoS y QoS tienen distintos puntos de vista. Mientras que la QoS considera la situación desde el punto de vista del cliente, el GoS tiene en consideración la red. Esto se ilustra con los siguientes ejemplos:

Ejemplo 2.5.1: Supóngase que se desea fijar la probabilidad de bloqueo de llamada de extremo a extremo al 1% en una red telefónica. Un cliente puede interpretar que esta cantidad significa que podrá alcanzar el destino deseado en un promedio de 99 sobre 100 casos. Al fijar este objetivo de diseño, el operador aplicó una determinada probabilidad de bloqueo a cada uno de los elementos de red que una llamada de referencia podría satisfacer. Para asegurar que este objetivo se cumpla se debe supervisar la red. Pero esta supervisión normalmente tiene lugar en toda la red y sólo se puede asegurar que la red puede satisfacer, en promedio, los valores objetivo. Si se considera una determinada línea de acceso, su GoS objetivo puede bien ser superado, pero el promedio para todas las líneas de acceso debe por cierto satisfacer el objetivo.

El GoS está referido a parámetros que se pueden verificar mediante la calidad de funcionamiento de la red (aptitud de una red o parte de la red para ofrecer las funciones correspondientes a las comunicaciones entre usuarios) y los parámetros sólo se aplican en promedio para la red. Aún si sólo se limita a considerar la parte de la QoS que está relacionada con el tráfico, el ejemplo ilustra que si bien el objetivo de GoS se satisface esto no es el caso para la QoS.

2.5.2 Características especiales de la QoS Como consecuencia de todas las dificultades mencionadas anteriormente en la comparación de GoS y QoS, y en la definición de lo que realmente es la percepción del usuario, se ha formado un grupo para tratar estos problemas. Se denomina Grupo de Desarrollo sobre Calidad de Servicio y trabaja conjuntamente con el Grupo de Estudio 2 del UIT-T. Sus temas de estudio incluyen nuevas definiciones y mejoramiento de la Recomendación UIT-T E.800.

Debido a los diferentes criterios para definir el GoS y la QoS, el Grupo de Desarrollo sobre Calidad de Servicio propuso una solución para resolver el problema. Esta solución se denomina acuerdo a nivel de servicio (SLA, service level agreement). Esto es en realidad un contrato entre el usuario y el operador de la red. En el mismo se define el significado real de los parámetros en cuestión. Se supone que las definiciones están dadas de modo tal que sean interpretadas de la misma manera por el cliente y por el operador de la red. Asimismo, el SLA define qué sucede en el caso de la violación de los términos del contrato. Algunos operadores han decidido emitir un SLA para todas las


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relaciones que tienen (al menos en principio) con el cliente, mientras que otros sólo lo hacen con grandes clientes que conocen lo que realmente significan los términos del SLA.

2.5.3 Calidad de funcionamiento de la red Como se mencionó anteriormente la calidad de funcionamiento de la red se refiere a la aptitud de una red o parte de la misma para ofrecer las funciones correspondientes a las comunicaciones entre usuarios. Para establecer cómo funciona una determinada red, es necesario realizar mediciones que abarquen todos los aspectos de los parámetros de comportamiento funcional (es decir capacidad de tráfico, seguridad de funcionamiento, transmisión y tarificación).

Asimismo, los aspectos de calidad de funcionamiento de la red en el concepto de GoS sólo corresponden a los factores relacionados con el rendimiento funcional de la capacidad de tráfico en la terminología de QoS. Asimismo, en el marco de la calidad de servicio el término "Calidad de funcionamiento de la red" también incluye los siguientes conceptos:

• seguridad de funcionamiento,

• calidad de transmisión, y

• precisión de la tasación.

No es suficiente efectuar sólo mediciones, sino que es también necesario tener una organización que pueda proporcionar la supervisión adecuada y tomar las medidas que correspondan cuando surjan los problemas. A medida que aumenta la complejidad de la red el número de parámetros que será necesario tener en cuenta será mayor. Esto significa que se requerirán medios automáticos para que el panorama general de los parámetros más importantes que se deben examinar sea más sencillo.

2.5.4 Configuraciones de referencia Para obtener una visión general de la red en estudio es a menudo conveniente presentar un diagrama denominado configuración de referencia. Este diagrama comprende uno o más esquemas simplificados del trayecto que una llamada (o conexión) puede tomar en la red incluido los puntos de referencia apropiados, donde se definen las interfaces entre las entidades. En algunos casos los puntos de referencia definen una interfaz entre dos operadores y es, por tanto, importante observar cuidadosamente qué sucede en ese punto. En lo que se refiere al grado de servicio la importancia de la configuración de referencia es la segmentación del GoS como se describe a continuación. Considérese una red telefónica con terminales, conmutadores de abonado y conmutadores de tránsito. En el ejemplo se ignora la red de señalización. Supóngase que las llamadas se pueden encaminar por unas de las tres disposiciones siguientes: 1) terminal → conmutador de abonado → terminal

Esto se puede representar como la configuración de referencia que se muestra en la figura 2.12. 2) terminal → conmutador de abonado → conmutador de tránsito → conmutador de abonado

→ terminal

Esto se puede representar como la configuración de referencia que se muestra en la figura 2.13 3) terminal → conmutador de abonado → conmutador de tránsito → conmutador de tránsito

→ conmutador de abonado → terminal

Esto se puede representar como la configuración de referencia que se muestra en la figura 2.14.


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Figura 2.12 − Configuración de referencia para el caso 1


1) Punto de ref. A



1) Punto de ref. A

2) Punto de ref. B



1) Punto de ref. A

2 Punto de ref. B

3) Punto de ref. C

Basado en un determinado conjunto de requisitos de QoS, se selecciona y define un conjunto de parámetros de GoS de una base de extremo a extremo dentro de la frontera de red, para cada categoría de servicio principal proporcionadas por la red. Los parámetros de GoS seleccionados se especifican de modo tal que el GoS se puede obtener en puntos de referencia bien definidos, es decir puntos de tráfico importantes. Este procedimiento se utiliza para permitir la segmentación de los objetivos de GoS de extremo a extremo para que sea posible obtenerlos en cada etapa o componente de red, sobre la base de algunas conexiones de referencia bien definidas.

Como se define la Recomendación E.600, referente a los términos de ingeniería de tráfico, una conexión es una asociación de órganos que proporciona los medios para una comunicación entre dos o más dispositivos pertenecientes a una red de telecomunicaciones, o acoplados a ella. Puede haber diferentes tipos de conexiones pues el número y los tipos de recursos en las mismas pueden variar. Por tanto, el concepto de conexión de referencia se utiliza para identificar casos


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representativos de distintos tipos de conexiones sin incluir los detalles de sus realizaciones reales por diferentes medios físicos.

En el trayecto de una conexión intervienen, por lo general, diversos segmentos de red. Por ejemplo, una conexión puede ser local, nacional o internacional. Las conexiones de referencia se utilizan para aclarar y especificar asuntos de calidad de funcionamiento del tráfico en diversas interfaces entre distintos dominios de red. Cada dominio puede estar constituido por una o más redes del proveedor del servicio. La Recomendación I.380/Y.1540 define los parámetros de calidad de funcionamiento para la transferencia de paquetes de protocolo de Internet; el proyecto de Recomendación Y.1541 especifica las atribuciones y objetivos de calidad de funcionamiento correspondientes. La Recomendación E.651 especifica las conexiones de referencia para redes de acceso con protocolo Internet. Se van a elaborar otras conexiones de referencia.

De los objetivos de QoS, se obtiene un conjunto de parámetros GoS de extremo a extremo y sus objetivos para distintas conexiones de referencia. Por ejemplo, la probabilidad de bloqueo de la conexión de extremo a extremo y el retardo de transferencia de paquete de extremo a extremo pueden ser parámetros de GoS pertinentes. Los objetivos de GoS se deben especificar con referencia a las condiciones de carga del tráfico, tal como en condiciones de carga normal y elevada. Los objetivos de GoS de extremo a extremo se asignan entonces a componentes de recursos de las conexiones de referencia para fines de dimensionamiento. En una red operacional, se requieren mediciones y supervisión de la calidad de funcionamiento para asegurar que los objetivos de GoS se hayan cumplido.

En redes basadas en el protocolo Internet, la asignación de calidad de funcionamiento se efectúa generalmente en una nube, es decir el conjunto de encaminadores y enlaces bajo una responsabilidad jurisdiccional única (o en colaboración), tal como una ISP. Una nube se conecta a otra nube mediante un enlace, es decir un encaminador de pasarela en una nube se conecta a través de un enlace a un encaminador de pasarela en otra nube. La comunicación de extremo a extremo entre sistemas centrales se conduce por un trayecto que comprende una secuencia de nubes y enlaces de interconexión. Esta secuencia se conoce como trayecto ficticio de referencia para fines de asignación de calidad de funcionamiento.


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CAPÍTULO 3

Teoría de las probabilidades y estadísticas

Todos los intervalos de tiempo que se consideran en este Manual no son negativos y, por tanto, pueden ser expresados por variables estocásticas no negativas. Los intervalos de tiempo de interés son, por ejemplo, tiempos de servicio, duración de la congestión (periodos de bloqueo, periodos de ocupado), tiempos de espera, tiempos de ocupación, tiempos de CPU ocupado, periodos entre las llegadas a destino de las llamadas, etc. En este Capítulo se examinan la teoría básica de las probabilidades y las estadísticas en lo que respecta a la teoría del teletráfico.

3.1 Funciones de distribución

Un intervalo de tiempo puede ser descrito por una variable estocástica T, que se caracteriza por una función de distribución F(t):

para 0 ≤ t < ∞, (3.1) ∫ −=

tudFtF

0)()(

0)( =tF para t < 0

En la ecuación (3.1) se integra desde 0 – para mantener el registro de una posible discontinuidad en t = 0. Cuando se consideran los sistemas de tiempo de espera, hay siempre una probabilidad positiva de tener tiempos de espera iguales a cero, es decir F(0) ≠ 0. Por otra parte cuando se observan los periodos entre las llegadas a destino de las llamadas, se supone generalmente que F(0) = 0 (véase el § 5.2.3).

La probabilidad que la duración de un intervalo de tiempo sea menor o igual a t resulta:

p(T ≤ t) = F(t).

A veces es más sencillo considerar la función de distribución complementaria.

Fc(t) = 1 – F(t).

Esto también se denomina función de distribución de supervivencia.

Se supone a menudo que F(t) es diferenciable y que existe la siguiente función de densidad f(t):

dF(t) = f(t) . dt = p{t < T ≤ t + dt}, t ≥ 0. (3.2)

Normalmente, se supone que el tiempo de servicio es independiente del proceso de llegada, y que un tiempo de servicio es independiente de otros tiempos de servicio. En forma analítica, se pueden efectuar muchos cálculos para cualquier distribución de tiempo. En general, siempre se supone que existe el valor medio.

3.1.1 Caracterización de las distribuciones Las distribuciones temporales que sólo suponen argumentos positivos poseen algunas propiedades ventajosas. Para el i-ésimo momento no central, que generalmente indica i-ésimo momento, se puede indicar que la identidad de Palm es válida:


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La identidad de Palm (Ec. 3.3), que es válida para las distribuciones de tiempo de vida (sólo definidas para argumentos no negativos), se aprobó por primera vez en (Palm, 1943,[81]) como sigue:

El orden de integración se puede invertir pues el integrando no es negativo.

Así, se puede comprobar (Ec. 3.3) lo siguiente:

La siguiente prueba simplificada es correcta pues se supone que los momentos existen:

Ejemplo 3.1.1: Distribución exponencial Para la distribución exponencial se tiene:

Sería muy sorprendente que las dos integrales sean idénticas. Los dos integrandos pueden, aparte de ser constantes, ser transformados en una función de densidad Erlang-3 o Erlang-2, respectivamente (4.8), que tiene la masa de probabilidad total:

En especial, se tienen los primeros dos momentos bajo la hipótesis que existen:


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El valor medio (expectativa) es el primer momento:

El i-ésimo momento central se define como:

La varianza es idéntica al segundo momento central:

Por lo general una distribución viene definida unívocamente por todos sus momentos. Una medida normalizada para la (dispersión de) irregularidad de una distribución es el coeficiente de variación. Se define como la relación entre la desviación normalizada y el valor medio:

CV = coeficiente de variación = mσ (3.9)

Esta cantidad no tiene dimensión y luego se aplicará para caracterizar las distribuciones discretas (probabilidades de estado). Otra medición de irregularidad es el factor de forma de Palm ε, que se expresa como sigue:

(3.10)

El factor de forma ε así como σ/m son independientes de la elección de la escala de tiempo, y aparecerá en muchas fórmulas en los textos siguientes.

Cuando mayor sea el factor de forma, más irregular es la distribución temporal, y mayor será, por ejemplo, el tiempo de espera medio en un sistema de tiempo de espera. El factor de forma toma el valor mínimo igual a uno para intervalos de tiempo constantes (σ = 0).

Para estimar una distribución a partir de las observaciones, se está a menudo satisfecho al conocer los primeros dos momentos (m y σ o ε) pues los momentos de orden superior requieren gran cantidad de observaciones para obtener estimaciones fiables. Las distribuciones temporales también se pueden caracterizar de otras maneras, cuyas más importantes se analizarán más adelante.

3.1.2 Tiempo de vida residual Se desea hallar la distribución del tiempo de vida residual, dado que ya ha sido obtenida una determinada edad x ≥ 0.

La distribución condicional F(t+x⎜x) se define como sigue (suponiendo que p{T > x} > 0 y t ≥ 0:


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y así

La figura 3.1 ilustra los cálculos gráficamente.

El valor medio m1,r del tiempo de vida residual se puede expresar como (3.4):

El índice de mortalidad en el tiempo x, es decir la probabilidad de que la vida útil considerada termina dentro de un intervalo (x,x + dx), bajo la condición que la edad x haya sido alcanzada, se obtiene con la expresión (3.11) en la condición t = dx:

La función de densidad condicional μ(x) también se denomina función obstáculo. Si se da esta función, se puede obtener entonces F(x) como solución a la siguiente ecuación diferencial:


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Figura 3.1 − Función densidad del tiempo de vida residual condicionada para una edad x dada (3.11). El ejemplo se basa en una distribución de

Weibull We(2,5) donde x = 3 y F(3) = 0,3023.

que tiene la siguiente solución (suponiendo F(0) = 0):

El índice de mortalidad μ(t) es constante si, y solo sí, la vida útil se distribuye en forma exponencial (Capítulo 4). Esto es una característica fundamental de la distribución exponencial que se denomina propiedad de Markovian (falta de memoria (edad)): La probabilidad de terminación es independiente de la edad real (historia) (véase el § 4.1).

Cabría esperar que la vida útil residual media m1,r(x) disminuya cuando aumenta x, así como la vida útil residual esperada disminuya cuando la edad x aumenta. Esto no siempre es el caso. Para una distribución exponencial con factor de forma ε = 2 (véase el § 5.1), se tiene m1,r = m. Para distribuciones pronunciadas (1 ≤ ε ≤ 2) se tiene m1,r < m (véase el § 4.2), mientras que para distribuciones planas (2 < ε < ∞), se tiene m1,r ≥ m (véase el § 4.3).


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Ejemplo 3.1.2: Distribución del tiempo de espera

La distribución del tiempo de espera Ws(t) para un cliente aleatorio tiene usualmente una masa (atómica) de probabilidad positiva en t = 0, en razón que algunos de los clientes toman el servicio inmediatamente sin espera. Se tiene así Ws(0) > 0. Aplicando la ecuación (3.11) la distribución del tiempo de espera W+(t) para clientes que tienen tiempos de espera positivos será:

o si se indica la probabilidad de un tiempo de espera positivo {1 – Ws(0)} por D (probabilidad de demora):

Para la función de densidad, aplicando la ecuación (3.11), se tiene:

Para valores medios se obtiene:

donde el valor medio para todos los clientes viene indicado por W y el valor medio para los clientes demorados se indica con w.

3.1.3 Cargas de tráfico basadas en tiempos de ocupación inferiores a x Hasta ahora, se ha atribuido la misma importancia a todos los tiempos de vida independientes de su duración. La importancia de un tiempo de vida es a menudo proporcional a su duración, por ejemplo cuando se considera la carga del sistema de puesta en fila, la tarificación de los tiempos CPU, conversaciones telefónicas, etc.

Si se atribuye un factor ponderado a un tiempo de vida proporcional a su duración, el promedio de ponderación de todos los intervalos de tiempo se hace igual al valor medio:

donde f(t) dt es la probabilidad de una observación dentro del intervalo (t, t + dt), y t es la ponderación de esta observación.

En un proceso de tráfico habrá interés en calcular qué proporción del tráfico total se debe a tiempos de ocupación de duraciones menores que x:

(Esta expresión es la misma que la proporción del valor medio debido a contribuciones de tiempos de vida menores que x.)

A menudo, pocos tiempos de servicio integran una proporción relativa grande de la carga de tráfico total. En la figura 3.2 se puede observar que el factor de forma ε es 5, luego el 75% de los tiempos de servicio sólo contribuyen con el 30% de la carga total (regla de Vilfred Pareto). Este hecho se puede utilizar para dar prioridad a tareas breves sin demorar mucho las tareas más largas (véase el Capítulo 13).


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3.1.4 Tiempo de recurrencia hacia adelante El tiempo de vida residual de un punto aleatorio en el tiempo se denomina tiempo de recurrencia hacia adelante. En esta sección se establecerán algunas fórmulas importantes. Para formular el problema se ha de considerar un ejemplo: Se desea investigar la distribución de vida útil de automóviles, y solicitar a propietarios escogidos al azar acerca del año de fabricación de su automóvil. Como el punto en el tiempo se escoge al azar, la probabilidad de elegir un automóvil es proporcional a la vida útil total del mismo. La distribución de la vida útil residual futura será entonces idéntica al tiempo de vida ya obtenido.

De esta manera al escoger una muestra, la probabilidad de elegir un automóvil es proporcional a la vida útil del mismo, es decir se escogerán preferiblemente automóviles con vidas útiles largas (muestras con propensión a la duración). La probabilidad de elegir un automóvil que tenga una vida útil total x viene dada por (refiérase en estadística a momento de una distribución) (véase también la fórmula (3.22)):

Como se considera un punto aleatorio en el tiempo, la distribución del tiempo de vida restante se efectuará uniformemente en (0, x]:


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Figura 3.2 − Ejemplo de la carga de tráfico relativa de tiempos de ocupación menores que un valor dado obtenido por el percentil de la distribución de tiempo de

ocupación (3.22). Aquí ε = 2 corresponde a una distribución exponencial y ε = 5 corresponde a la distribución de Pareto.

Se observa que el 10% de tiempo de ocupación más largo contribuye con el 33% (47%, respectivamente) de la carga (véase promedios de cliente y promedios

de tiempo en el Capítulo 5)


1) Carga relativa

2) Percentil/100

Luego, la función de densidad del tiempo de vida restante en un punto aleatorio en el tiempo es la siguiente:

donde F(t) es la función de distribución del tiempo de vida total y m es el valor medio.


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Mediante la aplicación de las identidades (Ec. 3.3), se observa que el i-ésimo momento de v(t) viene dado por el (i + 1) –ésimo momento de f(t):

Se obtiene el valor medio:

donde ε es el factor de forma de la distribución de tiempos de vida. Estas fórmulas también son válidas para distribuciones temporales discretas.

3.1.5 Distribución de la j-ésima variable estocástica k más grande Supóngase que las variables estocásticas {T1, T2 . . . , Tk} están distribuidas idéntica e independientemente con la función de distribución F(t). La distribución de la j-ésima variable más grande viene dada por la siguiente expresión:

pues a la suma de las variables j-1 pueden ser mayores que t. La más pequeña (o k-ésima más grande, j = k) tiene la función de distribución siguiente:

y la mayor (j = 1) tiene la siguiente función de distribución:

Si las variables estocásticas tienen funciones Fi(t) individuales, se tendrá una expresión más compleja que la dada en la ecuación (3.26). Para la más pequeña y la más grande se tendrá:

3.2 Combinación de variables estocásticas

Se pueden combinar tiempos de vida disponiéndolos en serie o en paralelo o mediante una combinación de ambos.


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3.2.1 Variables estocásticas en serie Un enlace en serie de k intervalos de tiempos independientes corresponde a la adición de k variables estocásticas independientes, es decir convolución de las variables estocásticas.

Si el valor medio y la varianza del i-ésimo intervalo de tiempo se representa por m1,i, , respectivamente, la suma de las variables estocásticas tendrán el valor medio y varianza siguientes:

2iσ

En general, se deberían agregar los denominados acumulantes. Los tres primeros acumulantes son idénticos a los primeros tres momentos centrales.

La función de distribución de las sumas se obtiene por la convolución:

donde ⊗ es el operador de convolución (véase el § 6.2.2).

Ejemplo 3.2.1: Distribución binomial y ensayo de Bernoulli Supóngase que la probabilidad de éxito en una prueba (por ejemplo tirar un dado) sea igual a p y la probabilidad de fracaso sea igual 1 − p. El número de éxitos en una sola prueba estará entonces dada por la distribución de Bernoulli:

Si se efectúa un total de S pruebas, la distribución de la cantidad de éxitos tiene distribución binomial:

la que se obtiene, por tanto, mediante la convolución de S distribuciones de Bernoulli. Si se ejecuta una prueba adicional, la distribución del número total de éxitos se obtiene mediante la convolución de la distribución binomial (3.35) y la distribución de Bernoulli (3.34):


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3.2.2 Variables estocásticas en paralelo Mediante la ponderación de l variables estocásticas independientes, donde la i-ésima variable aparece con el factor de ponderación pi, (valor medio m1,i y varianza ), la variable estocástica de la suma tiene el valor medio y varianza siguientes:

2iσ

En este caso se deben ponderar los momentos no centrales. Para el ν-ésimo momento se tiene:

donde mν,i es el ν-ésimo momento no central de la distribución del i-ésimo intervalo.

La función de distribución (distribución compuesta) es la siguiente:

Una fórmula similar es válida para la función de densidad.

3.3 Suma estocástica Por suma estocástica se entiende la suma de un número estocástico de variables estocásticas (Feller, 1950[29]). Considérese un grupo de enlace sin congestión, donde el proceso de llegada y los tiempos de ocupación son independientes desde el punto de vista estocástico. Si se considera un intervalo de tiempo fijo T, el número de llegadas es una variable estocástica N, que viene caracterizada por:

N: función de densidad p(i),

valor medio m1,n (3.40)

varianza 2nσ ,

El número de llamada de llegada i tiene el tiempo de ocupación Ti. Todos los Ti tienen la misma distribución, y cada llegada (petición) contribuirá con un determinado número de unidades de tiempo (tiempos de ocupación) que es una variable estocástica caracterizada por.

T: función de densidad f(t),

valor medio m1,t (3.41)

varianza 2tσ ,

El volumen de tráfico total generado por todas las (peticiones de) llegadas que se reciben dentro del intervalo T considerado es entonces una variable estocástica propiamente dicha:

ST = T1 + T2 + . . . + TN. (3.42)


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El siguiente diagrama se supone que Ti y N son estadísticamente independientes. Esto se cumplirá cuando la congestión es cero.

Figura 3.3 − Una suma estocástica se puede interpretar con una combinación serie/paralelo de una variable estocástica aleatoria

Los siguientes cálculos son válidos para variables estocásticas discretas y continuas (la suma se remplaza por la integración o viceversa).

La suma estocástica se convierte en una combinación de variables estocásticas en serie y en paralelo como se ilustra en la figura 3.3 y se trata en el § 3.2. Para una derivación dada i se tiene (véase la figura 3.3):

Sumando todos los valores (bifurcaciones) i posibles se obtiene:


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Así, la suma estocástica ST tiene una probabilidad de función generadora igual a la función de generación compuesta, y se puede hallar el valor medio y la varianza de la suma estocástica mediante su diferenciación.

Se observa que hay dos contribuciones a la varianza total: un término en función del número de llamadas y es la variable estocástica ( ), y otro término en función de la duración de las llamadas

que es la variable estocástica ( ).

2nσ

2tσ

Ejemplo 3.3.1: Caso especial 1: N = n = constante (mn = n)

Esto corresponde al conteo del número de llamadas al mismo tiempo en que se mide el volumen de tráfico, de modo tal que se puede estimar el tiempo de ocupación media.

Ejemplo 3.3.2: Caso especial 2: T = t = constante (mt t)

Si se cambia la escala de 1 am1,t, el valor medio se ha de multiplicar por m1,t, y la varianza por m . El valor medio m2

,1 tm 1,t = 1 corresponde al conteo de números de llamada, por ejemplo un problema de cómputo.

Ejemplo 3.3.3: Suma estocástica

Como ejemplo distinto al teletráfico N puede indicar la cantidad de chaparrones durante un mes y Ti la precipitación debido al i-ésimo chubasco. ST es entonces una variable estocástica que describe la precipitación total durante un mes. N, también puede indicar para un determinado intervalo de tiempo la cantidad de accidentes registrados por una compañía de seguros y Ti indica la compensación para el i-ésimo accidente. ST es entonces la cantidad total pagada por la compañía durante el periodo considerado.


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CAPÍTULO 4

Distribuciones de los intervalos de tiempo

La distribución exponencial es la distribución temporal más importante de la teoría del teletráfico. La distribución temporal se trata en el § 4.1.

Al combinar en serie intervalos temporales distribuidos exponencialmente, se obtiene una clase de distribuciones denominadas distribuciones de Erlang (véase el § 4.2). Al combinarlos en paralelo, se obtiene una distribución hiperexponencial (véase el § 4.3). Al combinar las distribuciones exponenciales en serie y en paralelo, posiblemente con retroalimentación, se obtienen distribuciones de tipo fase, lo que constituye una clase muy general de distribuciones. Las distribuciones de Cox son una sub categoría importante de las distribuciones de tipo fase (véase el § 4.4). Se observa que una distribución arbitraria se puede expresar mediante una distribución Cox, lo que puede utilizarse en modelos analíticos en forma relativamente sencilla. Por último, también se estudian otras distribuciones temporales que se emplean en la teoría del teletráfico (véase el § 4.5). Se ofrecen algunos ejemplos de observaciones de tiempos de vida (véase el § 4.6).

4.1 Distribución exponencial En la teoría de teletráfico esta distribución también se denomina distribución exponencial negativa. En el § 3.1.2 esto ya ha sido mencionado y aparecerá nuevamente en el § 6.2.1.

En principio, se puede utilizar cualquier función de distribución con valores no negativos para modelar un tiempo de vida. Sin embargo, la distribución exponencial tiene algunas características propias que hacen que esta distribución se califique para utilización analítica y práctica. La distribución exponencial desempeña un papel fundamental entre todas las distribuciones de tiempo de vida.

Esta distribución se caracteriza por un parámetro único, la intensidad o régimen λ:

La función gamma viene defina por:

Si se reemplaza t por λt y se obtiene el ν-ésimo momento, se tiene:

Valor medio: m = m1 = λ1 ,

Segundo momento: m2 = 22λ

,

Varianza: σ2 = 21λ

,

Factor de forma: ε = 2,


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Figura 4.1 − En diagramas de fase todo intervalo de tiempo distribuido exponencialmente se ilustra como una casilla con la intensidad. La casilla significa así que un

cliente que llega a la misma sufre el retardo de un intervalo de tiempo distribuido exponencialmente antes de dejar la casilla

La distribución exponencial es muy apropiada para describir intervalos de tiempo físicos (véase la figura 6.2). La característica más importante de la distribución exponencial es su falta de memoria. La distribución del tiempo residual de una conversación telefónica es independiente de la duración real de la conversación, y es igual a la distribución del tiempo de vida total (3.11):

Si se quita la masa de probabilidad del intervalo (0, x) a partir de la función densidad y se normaliza la masa residual en (x, ∞) a la unidad, la nueva función de densidad se hace congruente con la función de densidad original. La única función de distribución continua que tiene esta propiedad es la distribución exponencial, mientras que la distribución geométrica es la única distribución discreta que tiene esta propiedad. En la figura 3.1 se muestra un ejemplo con la distribución de Weibull en la que esta propiedad no es válida. Para k = 1 la distribución de Weibull se hace idéntica a que la distribución exponencial. Por tanto, el valor medio del tiempo de vida residual es m1,r = m y la probabilidad de observar un tiempo de vida en el intervalo (t,t + dt), teniendo en cuenta que se produzca después de t, viene dado por:

es decir es independiente del tiempo real t.

4.1.1 Mínimo de k variables aleatorias distribuidas exponencialmente

Se supone que dos variables aleatorias X1 y X2 son mutuamente independientes y están distribuidas exponencialmente con intensidades λ1 y λ2, respectivamente. Una nueva variable aleatoria X se define como:

La función de distribución de X es:


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Esta función de distribución propiamente dicha es también una distribución exponencial con intensidad (λ1 y λ2).

Con la hipótesis que el primer evento (más pequeño) sucede en el tiempo t, la probabilidad que la variable aleatoria X1 se realice primero viene dada por:

es decir independiente de t. (No es necesario integrar todos los valores de t.)

Esos resultados pueden ser generalizados a k variables e integrar el principio básico de la simulación técnica denominada método de la ruleta, una metodología de simulación de Monte Carlo.

4.1.2 Combinación de distribuciones exponenciales Si una distribución exponencial (es decir, un parámetro) no puede describir los intervalos de tiempo con detalle suficiente, se ha de tener que utilizar entonces una combinación de dos o más distribuciones exponenciales. Conny Palm introdujo dos clases de distribuciones: pronunciada y plana.

Una distribución pronunciada corresponde a un conjunto de distribuciones estocásticas con exponencial independiente dispuestos en serie (véase la figura 4.2), y una distribución plana corresponde a distribuciones exponenciales dispuestas en paralelo (véase la figura 4.4). Esta estructura corresponde naturalmente a la configuración de procesos de tráfico en redes de telecomunicación y datos.

Mediante la combinación de distribuciones pronunciada y planas se obtiene una aproximación arbitrariamente buena para cualquier función de distribución (véase la figura 4.7 y el § 4.4). Los diagramas de las figuras 4.2 y 4.4 se denominan diagramas de fase.

Figura 4.2 - Mediante la combinación de k distribuciones exponenciales en serie se obtiene una distribución pronunciada (ε ≤ 2). Si todas las distribuciones k

son idénticas (λ1 = λ), se obtiene entonces una distribución Erlang-k


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Figura 4.3 − Distribuciones Erlang-k con valor medio igual a uno. El caso k = 1 corresponde a una distribución exponencial (funciones de densidad)


1) Distribuciones Erlang-k

4.2 Distribuciones pronunciadas

Las distribuciones pronunciadas también se denominan distribuciones hiperexponenciales o distribuciones Erlang generalizadas con un factor de forma en el intervalo 1 < ε ≤ 2. Esta función de distribución generalizada se obtiene convolucionando distribuciones exponenciales k (véase la figura 4.2). Aquí sólo se considera el caso en el que todas las distribuciones exponenciales k son idénticas. Se obtiene entonces la siguiente función de densidad que se denomina distribución Erlang-k.


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(véase el § 6.1) (4.10)

Mediante las ecuaciones (3.31) y (3.32) se pueden obtener los momentos siguientes;

El i-ésimo momento no central es:

La función de densidad se calcula en el § 6.2.2. El tiempo de vida residual medio m1,r(x) para x ≥ 0 será menor que el valor medio:

Con esta distribución se tiene dos parámetros (λ , k) disponibles para ser estimados por observación. El valor medio se mantiene a menudo fijo. Para estudiar la influencia del parámetro k en la función de distribución, se normalizan todas las distribuciones Erlang-k al mismo valor medio como la distribución Erlang-1, es decir la distribución exponencial con 1/λ medio, reemplazando t por kt o λ por kλ:

Se observa que el factor de forma es independiente de la escala de tiempos. La función de densidad (4.15) se ilustra en la figura 4.3 para diferentes valores de k con λ = 1. El caso k = 1 corresponde a la distribución exponencial. Cuando k → ∞ se obtiene en un intervalo de tiempo constante (ε = 1). Resolviendo la ecuación f' (t) se halla el valor máximo con la siguiente expresión:


- 87 -

Las distribuciones pronunciadas se denominan así debido a que las funciones de distribución aumenta de 0 a 1 más rápidamente que la distribución exponencial. En teoría de teletráfico se utiliza a veces el nombre distribución de Erlang para la distribución de Poisson truncada (véase el § 7.3).

4.3 Distribuciones planas

La función de distribución general es en este caso una suma ponderada de distribuciones exponenciales (distribución compuesta) con un factor de forma ε ≥ 2:

donde la función de ponderación puede ser discreta o continua (integral de Stieltjes). Esta clase de distribución corresponde a una combinación en paralelo de las distribuciones exponenciales (véase la figura 4.4). La función de densidad se denomina función monótona completa debido a los signos alternados (Palm, 1957 [84]).

Figura 4.4 − Mediante la combinación de distribuciones exponenciales k en paralelo y seleccionando la derivación número i con la probabilidad pi, se obtendrá una

distribución hiperexponencial, que es una distribución plana (ε ≥ 2)

El tiempo de vida residual medio m1,r(x) para toda x ≥ 0 es mayor que el valor medio:

4.3.1 Distribución hiperexponencial

En este caso, W(λ) es un valor discreto. Supóngase que se tengan los siguientes valores dados:

λ1, λ2, ... , λk,

y que W(λ) tenga incrementos positivos:

p1, p2, ... , pk

donde


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Para cualquier otro valor, W(λ) es constante. En este caso (4.20) resulta:

Los valores medio y el factor de forma se pueden hallar con las ecuaciones (3.36) y (3.37) (σi = m1,i = 1/λi):

Si n = 1 o todas las λi son iguales, se tendrá una distribución exponencial.

Esta clase de distribución se denomina distribución hiperexponencial y se puede obtener combinando n distribuciones exponenciales en paralelo, donde la probabilidad de elegir la i-ésima distribución viene dada por pi. La distribución se denomina plana pues su función de distribución de 0 a 1 aumenta más lentamente que la distribución exponencial.

En la práctica, es difícil estimar más que uno o dos parámetros. El caso más importante es para n = 2 (p1 = p, p2 = 1 – p):

Los problemas estadísticos surgen aun cuando se tratan tres parámetros. Por consiguiente, para aplicaciones prácticas se escoge usualmente λi= 2λpi y se reduce así la cantidad de parámetros a sólo dos:

El valor medio y el factor de forma resultan:

Para esta elección de parámetros las dos derivaciones tiene la misma contribución para el valor medio. En la figura 4.5 se ilustra un ejemplo.


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4.4 Distribuciones de Cox

Mediante la combinación de distribuciones planas y pronunciadas se obtiene una clase de distribución general (distribuciones de tipo de fase) que se pueden describir con fase exponencial tanto en serie como en paralelo (por ejemplo una matriz k × l). Para analizar un modelo con esta clase de distribuciones, se puede aplicar la teoría de los procesos de Markov, de la que se tienen herramientas eficaces como el método de fase. En el caso más general se puede permitir la realimentación entre las fases.

Sólo se considerarán distribuciones de Cox como las que se muestran en la figura 4.6 (Cox, 1955 [18]). Estas distribuciones también aparecen con el nombre de distribución de Erlang con derivaciones.

Figura 4.5 − Función de la (frecuencia de) densidad para tiempos de ocupación observándose líneas en una central local durante las horas cargadas.

(Central 0163, 27/5-6/6 1975.)


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Leyendas de la figura 4.5 1) Número de observaciones 2) Tiempo 3) 57055 observaciones m = 171,85 s factor de forma = 3,30

Figura 4.6 − Distribución de Cox en una distribución Erlang generaliza que tiene distribuciones exponenciales tanto en serie como en paralelo.

El diagrama de fase es equivalente a la figura 4.7

Figura 4.7 − Diagrama de fase de una distribución de Cox (véase la figura 4.6)

El valor medio y la varianza de esta distribución de Cox (véase la figura 4.7) se encuentran en las fórmulas que figuran en el § 3.2:

donde:


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El término qi(1 – ai) es la probabilidad de salir después de alcanzar la i-ésima fase. El valor medio se puede calcular con la simple expresión siguiente:

donde m1,i = qi/λi, es el i-ésimo valor medio relacionado con la fase. La varianza es:

que se puede expresar así:

La adición de dos variables aleatorias con distribución Cox produce otra variable con distribución Cox, es decir esta clase es cerrada de acuerdo con la operación de adición.

La función de una distribución de Cox se puede expresar como la suma de funciones exponenciales:

donde

y

4.4.1 Prueba polinomial Las siguientes propiedades tienen importancia para aplicaciones posteriores. Si se considera un punto en el tiempo escogido al azar dentro de un intervalo de tiempo con distribución de Cox, la probabilidad que este punto esté dentro de la fase i viene dada por:

Si este experimento se repite y veces (independientemente), la probabilidad que la fase i se observa yi veces está dada por la distribución multinomial ( = distribución polinomial):

donde


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y

Estas expresiones (4.38) se denominan coeficientes multinomiales. Por la propiedad de "falta de memoria" de las distribuciones (fases) exponenciales se tiene plena información acerca del tiempo de vida residual, cuando se conoce el número de la fase real.

4.4.2 Principios de descomposición

Figura 4.8 − Una distribución exponencial con intensidad λ es equivalente a la distribución de Cox mostrada (Teorema 4.1)

Los diagramas de fase constituyen una herramienta útil para analizar las distribuciones de Cox. La siguiente es una característica fundamental de la distribución exponencial (Iversen y Nielsen, 1985 [43]):

Teorema 4.1 Una distribución exponencial con intensidad λ se puede descomponer en una distribución Cox de dos fases, donde la primera tiene una intensidad m > λ y la segunda una intensidad λ (véase la figura 4.8).

El Teorema 4.1 muestra que una distribución exponencial es equivalente a una distribución de Cox homogénea (homogénea significa que tiene iguales intensidades en todas las fases) con intensidad m y un número infinito de fases (véase la figura 4.8). Se observa que las probabilidades de derivaciones son constantes. La figura 4.9 corresponde a una suma ponderada de distribuciones Erlang-k donde los factores de ponderación están geométricamente distribuidos.


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Figura 4.9 − Una distribución exponencial con régimen λ se transforma por descomposición sucesiva en una distribución compuesta de

distribuciones Erlang-k homogéneas con los parámetros μ > λ, donde los factores de ponderación siguen una distribución

geométrica (cociente p = λ/m)

Figura 4.10 − Con una distribución hiperexponencial con dos fases λ1 > λ2 puede ser transformada a una distribución de Cox-2 (véase el § 4.4.2)

Conforme al Teorema 4.1 una distribución hiperexponencial con l fases es equivalente a una distribución de Cox con el mismo número de fases. El caso l = 2 se muestra en la figura 4.10.

Se tiene otra propiedad de las distribuciones de Cox (Iversen y Nielsen, 1985 [43]):

Teorema 4.2 En cualquier distribución de Cox se pueden ordenar las fases, tal como λi ≥ λi+1.

Mediante el empleo de los diagramas de fase es sencillo ver que cualquier intervalo de tiempo exponencial (λ) se puede descomponer en distribuciones de tipo de fase (λi), donde λi ≥ λ. Referente a la figura 4.11 se observa que el régimen fuera de los estados macro (rectángulo en línea de trazos) es independiente de λ del estado micro. Cuando el número de fase k es finito y no hay realimentación la fase final debe tener régimen λ.


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Figura 4.11 − Esta distribución de tipo de fase es equivalente a un exponente único cuando pi . λi = λ. Así λi ≥ λ como 0 < pi ≤ 1

4.4.3 Importancia de la distribución de Cox Las distribuciones de Cox han atraído la atención durante los últimos años pues son de gran importancia debido a las siguientes propiedades: a) La distribución de Cox se puede analizar utilizando el método de fases. b) Se puede tener una distribución arbitraria aproximadamente bien con una distribución de

Cox. Si una propiedad es válida para una distribución de Cox será también válida para cualquier distribución de interés práctico.

Con las distribuciones de Cox se pueden obtener resultados con métodos elementales que previamente requerían matemáticas muy avanzadas.

En la conexión con aplicaciones prácticas de la teoría, se han utilizado los métodos para estimar los parámetros de la distribución de Cox. En general, hay 2k parámetros en un problema estadístico sin resolver. Normalmente, se puede elegir una distribución de Cox especial (por ejemplo, distribución Erlang-k o hiperexponencial) y aproximarse al primer momento.

Por simulación numérica en computadoras utilizando el método de la ruleta, se obtienen automáticamente las observaciones de los intervalos de tiempo como distribución de Cox con las mismas intensidades en todas las fases.

4.5 Otras distribuciones temporales

En principio, cada distribución que tiene valores no negativos, se puede utilizar como distribución temporal para describir los intervalos de tiempo. Pero en la práctica, se trabaja principalmente con las distribuciones mencionadas anteriormente.

Se supone que el parámetro k en la distribución de Erlang-k (Ec. 4.8) toma valores reales no negativos y obtiene la distribución gamma:

El valor medio y la varianza vienen dados por las ecuaciones (4.11) y (4.12).

Otro ejemplo de una distribución también conocida en la teoría de teletráfico es la distribución de Weibull:


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Con esta distribución se puede, por ejemplo, obtener la intensidad de fin de vida dependiente del tiempo (3.14):

Esta distribución tiene su origen en la teoría de la fiabilidad. Para k = 1 se tiene la distribución exponencial.

Más adelante, se tratará un conjunto de distribuciones discretas que también describe el tiempo de vida, tal como la distribución geométrica, distribución de Pascal, distribución binomial, distribución de Westerberg, etc. En la práctica, los parámetros de distribuciones no son siempre constantes.

Los tiempos (de ocupación) del servicio se pueden relacionar físicamente con el estado del sistema. En sistemas hombre-máquina el tiempo del servicio cambia en razón de la actividad (disminuye) o inactividad (aumenta). De la misma manera, los sistemas electromecánicos funcionan más lentamente durante periodos de carga elevada en razón que la tensión diminuye.

Las técnicas de modelado no serán tratadas en este Manual.

Para algunas distribuciones que se aplican ampliamente en la teoría de puesta en fila, se utilizan las siguientes notaciones abreviadas (véase también el § 13.1):

M ∼ Distribución exponencial (Markov), Ek ∼ Distribución de Erlang-k, Hn ∼ Distribución hiperexponencial de orden n, D ∼ Constante (Determinística), Cox ∼ Distribución de Cox, G ∼ General = atribución arbitraria.

4.5.1 Distribuciones con gran densidad en los extremos Distribuciones Log-normal y Pareto.

Se publicarán.

4.6 Observaciones de la distribución de tiempo de vida

En la figura 4.5 se muestra un ejemplo de los tiempos de ocupación observados desde una central telefónica local. El tiempo de ocupación comprende el tiempo de señalización y, si la llamada se responde, el tiempo de conversación. En la figura 6.2 se muestra la observación y los periodos entre llegadas de llamadas a una central telefónica de tránsito durante una hora.

Desde sus comienzos, la teoría de teletráfico ha sido caracterizada por una fuerte interacción entre teoría y práctica, y han habido excelentes posibilidades para efectuar mediciones.

Erlang [12] presentó en 1920 un informe sobre los resultados de una medición en las que se registraron 2 461 tiempos de conversación en una central telefónica de Copenhague (1916). Palm (1943 [81]) analizó el campo de mediciones de tráfico, de manera teórica y práctica, y efectuó amplias mediciones en Suecia.


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Mediante la utilización de la tecnología informática se pudo recopilar una gran cantidad de datos. La primera medición asistida por computador se describe en (Iversen, 1973 [37]). La importancia de utilizar valores de tiempo discretos cuando se observan valores será tratado en el Capítulo 15. Bolotin (1994, [7] ha medido y modelado tiempos de ocupación de telecomunicaciones.

Se han llevado a cabo numerosas mediciones en sistemas de computación. Mientras que en sistemas telefónicos rara vez se tiene un factor de forma mayor que 6, en tráfico de datos se observan factores de forma mayores que 100. Este es el caso, por ejemplo para transmisión de datos, donde se envían algunos caracteres o bien una gran cantidad de datos. Las mediciones extensas más recientes han sido efectuadas y modeladas utilizando modelos de tráfico similares (Jerkins y otros, 1999 [51]).


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CAPÍTULO 5

Procesos de llegada Los procesos de llegada, tal como llamadas telefónicas que llegan a una central, se describen matemáticamente como procesos estocásticos puntuales. Para un proceso puntual, se pueden distinguir dos llegadas entre sí. Las informaciones concernientes a una llegada (tiempo de servicio, número de cliente) se ignoran. De modo que la información sólo se puede utilizar para determinar si una llegada pertenece al proceso o no.

La teoría matemática para el proceso puntual fue presentada y desarrollada por el sueco Conny Palm en el decenio de 1940. Esta teoría ha sido ampliamente aplicada en diversos temas. Fue matemáticamente perfeccionada por Khintchine (1968, [63]), y se ha aplicado considerablemente en muchos libros de textos.

5.1 Descripción de procesos puntuales En el texto siguiente sólo se considerarán procesos puntuales regulares, es decir se excluyen las llegadas dobles. Para llamadas telefónicas esto se puede realizar utilizando una escala temporal suficientemente detallada.

Considérense tiempos de llegada en los que la i-ésima llamada llega en el tiempo Ti:

0 = T0 < T1 < T2 < . . . < Ti < Ti+1 < . . . . (5.1)

La primera observación tiene lugar en el tiempo T0 = 0.

El número de llamadas en el semiintervalo abierto [0, t] se indica como Nt. El valor Nt es una variable aleatoria con parámetros de tiempo continuo y espacio discreto. Cuando t aumenta, Nt nunca disminuye.

Figura 5.1 − Proceso de llegada de la llamada en las líneas de entrada de una central de tránsito


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1) Número acumulado de llamadas

2) Tiempo [s]

La distancia temporal entre dos llegadas es:

Xi = Ti – Ti–1, i = 1, 2; . . . . (5.2)

Esto se denomina tiempo entre llegadas y la distribución de este proceso es la distribución del tiempo entre llegadas.

Correspondiente a las dos variables aleatorias Nt y Xi, los dos procesos se pueden caracterizar de dos maneras: 1) Representación del número Nt: el intervalo de tiempo t se mantiene constante y se observa

la variable aleatoria Nt para el número de llamadas en t. 2) Representación del intervalo Ti: el número de llamadas entrantes se mantiene constante y se

observa la variable aleatoria Ti para el intervalo de tiempo hasta que se hayan producido n llegadas (en especial T1 = X1).

La reacción fundamental entre las dos representaciones viene dada por la siguiente relación simple: si y sólo si

Esto se expresa por la identidad de Feller-Jensen:

El análisis del proceso puntual se puede basar en ambas representaciones. En principio estas representaciones son equivalentes. La representación de intervalos corresponde a los análisis usuales en serie del tiempo (si, por ejemplo i = 1), se obtienen promedios de llamada, es decir estadísticas basadas en las llamadas entrantes.

La representación del número de llamadas no tiene comparación en el análisis en serie del tiempo. Las estadísticas están calculadas por unidad de tiempo y se obtienen promedios de tiempo. (Confróntese la diferencia entre congestión de llamadas y congestión temporal.)

Las estadísticas de interés cuando se estudian procesos puntuales, se pueden dividir conforme a las dos representaciones.

5.1.1 Propiedades básicas de la representación del número Hay dos propiedades que son de interés teórico: 1) El número de llamadas entrantes total en el intervalo [t1, t2] es igual a Nt2 - Nt1.

El número de llamadas promedio en el mismo intervalo se denomina función de renovación H:

H (t1, t2) = E{Nt2 – Nt1} (5.5)

2) La densidad de las llamadas entrantes en el tiempo t (valor medio del tiempo) es:

Se supone que λt existe y es un valor finito. Se puede interpretar que λt es la intensidad, con la que se producen las llegadas en el tiempo t (véase el § 3.1.2).


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Para procesos puntuales regulares, se tiene:

p {Nt+Δt – Nt ≥ 2} = o(Δt), (5.7)

p {Nt+Δt – Nt = 1} = λtΔt + o(Δt), (5.8)

p {Nt+Δt – Nt = 0} = 1 – λtΔt + o(Δt), (5.9)

donde, por definición:

3) Índice de dispersión para conteo

Para describir propiedades de segundo orden de la representación del número de llamadas se utiliza el índice de dispersión para conteo (IDC, index of dispersion for counts). Este índice describe las variaciones de los procesos de llegada durante un intervalo de tiempo t y se define como:

Mediante la división del intervalo de tiempo t en x intervalos de duración t/x y observando el número de eventos durante esos intervalos se obtiene una estimación del IDC(t). Para el proceso de Poisson IDC se pone igual a uno. IDC es igual al "grado de curtosis", que se tratará más adelante para caracterizar el número de canales ocupados en un proceso de tráfico (7.7).

5.1.2 Propiedades básicas de la representación del intervalo 4) La distribución f(t) de intervalos de tiempo Xi (5.2) (y por convolución la distribución en sí

i–1 veces la distribución del tiempo hasta la i-ésima llegada).

Fi(t) = p {Xi ≤ t}, (5.12)

E {Xi} = m1,i. (5.13)

El valor medio es el promedio de llamadas entrantes que se obtiene para cada llamada. Un proceso de renovación es un proceso puntual en el que los tiempos entre llamadas son estocásticos independientes entre sí y tienen la misma distribución (excepto para X1), es decir mi = m. (IID = Idéntica e independientemente distribuidas). 5) La distribución V(t) del intervalo de tiempo desde un periodo aleatorio hasta que se

produzca la primera llegada. El valor medio de V(t) es un promedio de tiempos que se calcula por unidad de tiempo.

6) Índice de dispersión por intervalos.

Para describir propiedades de segundo orden para la representación de intervalos se utiliza el índice de dispersión para intervalos (IDI, index of dispersion for intervals). Esto se define:

donde Xi es el tiempo entre llegadas. Para el proceso de Poisson que tiene tiempos de servicio distribuidos exponencialmente, el IDI se pone igual a uno. El IDI es igual al factor de forma de Palm menos uno (3.10). En general, el IDI es más difícil de obtener por observación que el IDC, y es más sensible a la exactitud de medición y regularización del proceso de tráfico. La tecnología digital es más adecuada para la observación del IDC, mientras que complica la observación del IDI (véase el Capítulo 15).


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Cuál de las dos representaciones se debe utilizar en la práctica depende realmente del caso particular. Esto se puede ilustrar con los siguientes ejemplos.

Ejemplo 5.1.1: Principios de medición Las medidas del comportamiento del teletráfico se llevan a cabo por uno de los dos principios básicos siguientes: 1) Medidas pasivas. El equipo de medición registra en intervalos de tiempo regulares el

número de llegadas desde la última registrada. Equivale al método de exploración, que es apropiado para computadoras. Y corresponde a la representación del número cuando el intervalo de tiempo es fijo.

2) Medidas activas. El equipo de medición registra un evento en el instante que se produce. Se mantiene el número de evento fijo y se observa el intervalo de medición. Un ejemplo de esto está dado por los instrumentos de registro. Esto corresponde a la representación del intervalo donde se obtienen estadísticas para cada llamada simple.

Ejemplo 5.1.2: Llamadas de prueba Investigación de la calidad de tráfico. En la práctica esto se efectúa de dos maneras: 1) La calidad de tráfico se estima recopilando estadísticas de los resultados de las llamadas de

prueba efectuadas a abonados específicos o ficticios. Las llamadas se generan durante la hora cargada independientemente del tráfico real. El equipo de prueba registra el número de las llamadas bloqueadas, etc. Las estadísticas obtenidas corresponden a los promedios de tiempo de la medida de rendimiento. Lamentablemente, este método aumenta la carga ofrecida en el sistema. Teóricamente, las medidas de rendimiento obtenidas deferirán de los valores correctos.

2) Los datos recopilados de los equipos de prueba a partir del número de llamada N, 2N, 3N, . . . , por ejemplo N = 1 000. El proceso de tráfico no cambia y la estadística de rendimiento es un promedio de llamada.

Ejemplo 5.1.3: Estadísticas de llamadas Un abonado evalúa la calidad por una fracción de llamadas que están bloqueadas, por ejemplo promedio de llamadas.

El operador evalúa la calidad mediante la proporción de tiempo cuando todas las líneas de enlace están ocupadas, es decir promedio de tiempo.

Los dos tipos de valores promedio (tiempo/llamada) están a menudo mezclados, causando aparentes estados contrarios.

Ejemplo 5.1.4: Parte llamada ocupada (B ocupado) En una central telefónica el 10% de los abonados está ocupado, pero el 20% de las tentativas de llamada están bloqueadas debido a que B está ocupado (parte llamada ocupada). Este fenómeno se puede explicar por el hecho que la mitad de los abonados están en estado pasivo (es decir no efectúan ni reciben llamadas), mientras que el 20% de los abonados restantes están ocupados. G. Lind (1976 [74]) analizó el problema bajo la hipótesis de que cada abonado en promedio tiene el mismo número de llamadas entrantes y salientes. Si el valor medio y el factor de forma de la distribución de tráfico por abonado es b y ε, respectivamente, la probabilidad que una tentativa de llamada encuentre al abonado B ocupado es b . ε.


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5.2 Características del proceso puntual Se ha tratado anteriormente una estructura muy general para procesos puntuales. Para aplicaciones específicas habrá que examinar otras propiedades. Sólo se considerará la representación del número pero se podría hacer lo mismo basado en la representación del intervalo.

5.2.1 Condición de estacionario (Homogeneidad del tiempo) Esta propiedad se puede describir sin considerar la posición en el eje del tiempo. Las distribuciones de probabilidad que describen el proceso puntual son entonces independientes del instante de tiempo. La siguiente definición es útil en la práctica:

Definición: Para una relación t2 > 0 arbitraria y toda κ ≥ 0, la probabilidad que haya κ llegadas en [t1, t1 + t2] es independiente de t1, es decir para todos los t, κ se tiene:

p {Nt1+t2 – Nt1 = κ} = p {Nt1+t2+t – Nt1+t = κ} (5.15)

Hay muchas otras definiciones de la condición de estacionario, algunas más estrictas y otras más amplias.

La condición de estacionario también se puede definir por representación de intervalos requiriendo que todas las Xi sean independientes e idénticamente distribuidas. Una definición amplia es aquella que todos los momentos de primero y segundo orden (por ejemplo el valor medio y la varianza) de un proceso puntual deben ser constantes con respecto a desplazamientos en el tiempo.

Erlang introdujo el concepto de equilibrio estadístico, que requiere que las derivadas del proceso con respecto al tiempo sean cero.

5.2.2 Independencia Esta propiedad se puede expresar como la necesidad que la evolución futura del proceso sólo dependa del estado presente.

Definición: La probabilidad que los eventos k (k es entero y ≥ 0) se produzcan en [t1, t1 + t2] es independiente de los eventos antes del tiempo t1:

p {Nt2 – Nt1 = k|Nt1 – Nt0 = n} = p {Nt2 – Nt1 = k} (5.16)

Si esto es válido para todos los tiempos t, se tendrá un proceso Markov en el que la evolución futura sólo depende del estado presente pero es independiente de cómo ha sido obtenida. Esta es la propiedad denominada falta de memoria. Si esta propiedad sólo es válida para determinados puntos en el tiempo (por ejemplo, tiempos de llegada), estos puntos se denominan puntos de equilibrio o puntos de regeneración. El proceso entonces tiene una memoria limitada y sólo es necesario mantener el registro de los últimos puntos de regeneración.

Ejemplo 5.2.1: Puntos de equilibrio = puntos de regeneración Ejemplos de procesos puntuales con puntos de equilibrio. a) El proceso de Poisson (como se verá en el Capítulo siguiente) no tiene memoria, y todos

los puntos de los ejes de tiempo son puntos de equilibrio. b) Un proceso de exploración, en el que las exploraciones se producen en un ciclo regular,

tiene memoria limitada. El último instante de exploración tiene plena información sobre el proceso explorador y, por tanto, todos los puntos de exploración son puntos de equilibrio.

c) Si se superponen el proceso de Poisson y el proceso de exploración (por ejemplo, mediante la investigación de los procesos de llegada en un sistema informático), los únicos puntos de equilibrio en el proceso compuesto son los instantes de exploración.


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d) Considérese un sistema de puesta en fila con procesos de llegada de Poisson, tiempo de servicio constante y servidor único. El número de posiciones en la fila puede ser finito o infinito. Defínase un proceso puntual por los instantes de tiempo cuando comienza el servicio. Todos los intervalos de tiempo cuando el sistema está en reposo, serán puntos de equilibrio. Durante los periodos en que el sistema está ocupado los puntos en el tiempo para aceptar nuevas llamadas de servicio dependen del instante en que la primera llamada del periodo ocupado inicia el servicio.

5.2.3 Regularidad Se ha indicado ya que se excluyen los procesos con múltiples llegadas.

Definición: Se dice que un proceso puntual es regular, si la probabilidad que haya más de un evento en un punto dado es cero:

p {Nt+Δt – Nt ≥ 2} = o(Δt). (5.17)

Con la representación del intervalo, la distribución del tiempo entre llegadas a destino de las llamadas no debe tener una probabilidad de masa (atómica) en cero, es decir, la distribución es continua en cero (3.1):

F (0+) = 0 (5.18)

Ejemplo 5.2.2: Eventos múltiples Los puntos temporales de accidentes de tráfico formarán un proceso regular. La cantidad de vehículos dañados o personas fallecidas será un proceso puntual y regular con eventos múltiples.

5.3 Teorema de Little Este es el único resultado general que es válido para todos los sistemas de puesta en fila y fue publicado por primera vez por Little (1961 [76]). La prueba se muestra por aplicación de la teoría del proceso estocástico en (Eilon, 1969 [25]).

Se considera un sistema de puesta en fila donde los clientes llegan conforme a un proceso estocástico. Los clientes ingresan al sistema en un tiempo aleatorio y esperan hasta obtener el servicio; una vez servidos dejan el sistema.

En la figura 4.3 los procesos de llegada y salida se consideran como procesos estocásticos con el número de clientes acumulado en ordenadas.

Considérese un tiempo T y supóngase que el sistema está en equilibrio estadístico en el tiempo inicial t = 0. Se tienen las siguientes notaciones (véase la figura 4.3):

N(T) = número de llegadas en el periodo T.

A(T) = tiempo de servicio total de todos los clientes en el periodo T.

= zona sombreada entre curvas.

= volumen de tráfico transportado.

λ(T) = N(T) = intensidad promedio de la llamada en el periodo T. T

W(T) = A(T) = tiempo de ocupación medio en sistemas por llamada en el periodo T. N(T)

L(T) = A(T) = número de llamadas promedio en el sistema en el periodo T. T


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Se tiene la relación importante entre esas variables:

Si los límites de λ = limT→∞ λ(T) y W = limTT→∞ W(T) existen, existirá también el valor limitado de L(T) y

L = λ . W (Teorema de Little) (5.20)

Esta fórmula simple es válida para todos los sistemas generales de puesta en fila. La prueba ha sido perfeccionada durante varios años. La fórmula, que se ha probado aquí por una consideración muy simple del proceso estocástico, es más útil de lo que parece. Esta fórmula se utilizará en los Capítulos 12 a 14.

Ejemplo 5.3.1: Fórmula de Little Sólo se considerarán las posiciones de espera, la fórmula muestra

"la longitud media de la fila es igual a la intensidad de la llamada multiplicado por el tiempo de espera medio."

Considérense ahora los lugares del servicio, la fórmula muestra

"el tráfico transportado es igual a la intensidad de llegada multiplicado por el tiempo del servicio medio (A = y . s = λ/μ.)." Véase el § 2.1.


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Figura 5.2 − Sistema de puesta en fila con llegada y salida de clientes. La distancia vertical entre las dos curvas es igual al número real de

clientes que están servidos. Los clientes en general no salen en el mismo orden en que llegan, de modo tal que la distancia

horizontal entre las curvas no describe el tiempo real en el sistema de un cliente


1) Número de eventos

2) Proceso de salida

3) Proceso de partida

4) Tiempo


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CAPÍTULO 6

El proceso de Poisson El proceso de Poisson es el proceso puntual más importante. Más adelante se podrá ver que su función en los procesos puntuales es tan vital como la función de la distribución Normal en las distribuciones estadísticas. Según el teorema del límite central, al añadir variables estocásticas se obtiene la distribución Normal. De manera similar al multiplicar variables estocásticas se obtiene la distribución exponencial.

Todos los demás procesos puntuales aplicados son generalizaciones o modificaciones del proceso de Poisson. Este proceso ofrece una descripción sorprendentemente acertada de numerosos procesos de la vida real debido a que se trata del proceso más aleatorio. Cuanto más complejo sea un proceso mejor, en general, será su modelado mediante un proceso de Poisson.

Dado que se trata de un proceso de gran importancia en la práctica, en este Capítulo se estudia en forma pormenorizada. En primer lugar (§ 6.2) este estudio se basa en un modelo físico, haciendo especial en las distribuciones asociadas al proceso, y a continuación se consideran algunas propiedades destacadas del proceso de Poisson (§ 6.3). El proceso de Poisson puede generalizarse de diversas formas (§ 6.4).

6.1 Características del proceso de Poisson Las propiedades fundamentales del proceso de Poisson se definen en el § 5.2: a) condición de estacionario, b) independencia en todos los puntos temporales (épocas), y c) regularidad.

b) y c) son propiedades fundamentales, mientras que a) es innecesario. Así, se puede permitir un proceso de Poisson que tenga una intensidad dependiente del tiempo. A partir de las propiedades precedentes se pueden deducir otras propiedades que son suficientes para definir el proceso de Poisson. Las dos más importantes son: • Representación del número: El número de eventos dentro de un intervalo de tiempo de

longitud fija tiene distribución de Poisson. Por consiguiente, el proceso se denomina proceso de Poisson.

• Representación del intervalo: La distancia temporal Ti entre eventos consecutivos tiene distribución exponencial.

En este caso, la fórmula (5.4) muestra la relación fundamental entre la distribución de Poisson acumulada y la distribución de Erlang (véase el § 6.2.2) (identidad de Feller-Jensen's):

Esta fórmula se puede obtener también por integración parcial repetida.

6.2 Distribuciones del proceso de Poisson En esta sección se examinará el proceso de Poisson en un aspecto dinámico y físico (Fry, 1928 [32]) y (Arne Jensen, 1954 [12]). Las derivaciones se basan en un modelo físico simple y hacen hincapié a las distribuciones de probabilidad asociadas con el proceso de Poisson.

El modelo físico es el siguiente: los eventos (llegadas) se ubican al azar sobre el eje real de modo tal que cada evento se coloca independientemente de todos los otros eventos.


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La densidad media se forma como λ eventos (llegadas) por unidad de tiempo. Si se considera el eje como un eje de tiempo se tendrá como promedio λ llegadas por unidad de tiempo. La probabilidad que un determinado diagrama de llegada se produzca dentro de un intervalo de tiempo es independiente de la ubicación del intervalo en el eje de tiempo.

Figura 6.1 − Cuando se aplica el proceso de Poisson, se consideran llegadas dentro de intervalos de tiempo no superpuestos de duración t1 y t2, respectivamente

Leyenda de la figura 6.1: Tiempo

La notación p(ν, t) representa la probabilidad que se produzcan ν eventos dentro de un intervalo de tiempo de duración t. La formulación matemática del modelo anterior es la siguiente: 1) Independencia: Si t1 y t2 son dos intervalos no superpuestos (véase la figura 6.1), se tiene en

razón de la hipótesis de independencia:

p (0; t1) . p (0, t2) = p (0, t1 + t2) (6.2) 2) El valor medio del intervalo de tiempo entre dos llegadas sucesivas es 1/λ (Ec. 3.4):

donde p(0, t) es la probabilidad que haya llegadas dentro del intervalo de tiempo (0;t), que es también idéntico a la probabilidad que el tiempo hasta el primer evento sea mayor que t (la distribución complementaria). El valor medio (6.3) se obtiene directamente de la ecuación (3.4). La fórmula (6.3) también se puede interpretar como la superficie debajo de la curva p(0,t), que es una función que nunca aumenta, disminuyendo a 1 a 0. 3) Se observa que la ecuación (6.2) implica que seguramente se producirá el evento "sin

llegadas dentro del intervalo de longitud 0":

p(0, 0) = 1 (6.4) 4) Se observa también que la ecuación (6.3) implica que la probabilidad que "no haya

llegadas dentro de un intervalo de tiempo de longitud ∞" es cero y nunca tendrá lugar:

p(0, ∞) = 0 (6.5)

6.2.1 Distribución exponencial El paso fundamental para el siguiente cálculo de la distribución de Poisson es derivar p(0, t) que es la probabilidad que en un intervalo de tiempo de longitud t no se producen llegadas, es decir la probabilidad que la primera llegada aparezca después del tiempo t. Se demostrará que {1 – p(0, t)} es una distribución exponencial (véase el § 4.1).

Conforme a la ecuación (6.2) se tiene:

ln p(01, t1) + ln p (0, t2) = ln p (0, t1 + t2) (6.6)

Si ln p(0, t) = f(t), la ecuación (6.6) se puede expresar como sigue:

f (t1) + f (t2) = f (t1 + t2) (6.7)

Por diferenciación con respecto a, por ejemplo, t2 se tiene:

F'(t2) = f't2 (t1 + t2)


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De esto se observa que f'(t) debe ser una constante y por tanto:

f(t) = a + b . t (6.8)

Intercalando la ecuación (6.8) en la (6.7), se obtiene a = 0. Por tanto p(0, t) tiene la forma:

p(0, t) = ebt

De la ecuación (6.3) se obtiene b:

o:

b = –λ

Se demuestra así, en base a los puntos 1) y 2) anteriores que:

p(0, t) = e—λt (6.9)

Si se considera que p(0, t) como a la probabilidad que el evento siguiente llegue después del tiempo t, el tiempo que transcurre hasta la próxima llegada está distribuido exponencialmente:

Se obtienen así el valor medio y la varianza siguientes (4.4):

m1 = 1 λ

σ2 = 1 λ2 (6.12)

La probabilidad que la siguiente llegada aparezca dentro del intervalo (t, t + dt) se puede expresar como:

f(t) . dt = λe–λt . dt

= p(0, t) . λdt (6.13)

Es decir la probabilidad que una llegada aparezca dentro del intervalo (t, t + dt) es igual a λdt, independiente de t y proporcional a dt (véase la ecuación (3.17)).

En razón que λ es independiente del tiempo real t, la distribución exponencial no tiene memoria (véanse los § 4.1 y 3.1.2). El proceso no depende del tiempo.

El parámetro λ se denomina intensidad o régimen de la distribución exponencial y del proceso de Poisson relacionado y corresponde a la intensidad en la ecuación (5.6). La distribución exponencial es, en general, un modelo muy satisfactorio de tiempos entre llegadas cuando el tráfico es generado por elementos humanos (véase la figura 6.2).


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Figura 6.2 − Distribución del tiempo entre llegadas de las llamadas en una central de tránsito. Los valores teóricos se basan en la hipótesis de tiempos entre llegadas distribuidos exponencialmente. Debido al principio de medición (métodos de exploración) la distribución

exponencial continua se transforma en una distribución de Westerberg discreta (Ec. 15.14) (prueba X2 = 18,86

con 19 grados de libertad, percentil = 53)



2) 5 916 observaciones

3) ⊙ = Teoría

4) Tiempo entre llegadas (exploración = 0,2 s)

6.2.2 Distribución de Erlang-k

De lo anterior se deduce que el tiempo hasta que hayan aparecido κ llegadas exactamente es una suma de k variables estocásticas IID distribuidas exponencialmente.

La distribución de esta suma se denomina distribución Erlang-k (véase el § 4.2) y la densidad viene dada por la ecuación (4.8):


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Para k = 1 se obtendrá por supuesto la distribución exponencial. La distribución gk+1(t) , k > 0; se obtiene por convolución de gk (t) y g1(t). Si se supone que la expresión (6.14) es válida para gk (t), se tiene entonces:

Como la expresión es válida para k = 1, se ha demostrado por inducción que es válida para cualquier k. La distribución de Erlang-k es, desde el punto de vista estadístico, una distribución gamma especial.

El valor medio y la varianza se obtienen con la ecuación (6.12)

m1 = k λ

σ2 = k λ2 (6.15)

ε = 1+ 1 k

Ejemplo 6.2.1: Estadísticas de llamadas para un sistema SPC (véase el ejemplo 5.1.2) Sea una serie de llamadas que llegan a una central telefónica con programa de control almacenado (sistema SPC) conforme a un proceso de Poisson. La central recopila automáticamente toda la información al respecto cada 1 000 llamadas. Los tiempos entre llamadas entre dos registros tendrá entonces distribución Erlang-1000 y el factor de forma ε = 1.001, es decir los registros se efectuarán muy regularmente.

6.2.3 Distribución de Poisson Se indicará ahora que el número de llegadas en un intervalo de longitud fija t presenta una distribución de Poisson con un valor medio λt. Cuando se conoce la distribución exponencial mencionada anteriormente y la distribución de Erlang, la derivación de la distribución de Poisson se obtiene con sólo aplicar combinaciones simples. La prueba se puede llevar a cabo por inducción.

Se desea extraer p(i, t) = probabilidad de i llegadas dentro del un intervalo de tiempo t.

Supóngase que:

Esto es correcto para i = 0 (6.9). El intervalo (0, t) se divide en tres intervalos no superpuestos (0, t1); (t1, t1 + dt1) y (t1 + dt1, t). Desde la primera hipótesis de independencia se sabe que los eventos dentro de un intervalo son independientes de eventos en los otros intervalos en razón que éstos no están superpuestos. Mediante el ajuste de t1 de modo tal que la última llegada dentro de (0, t) se


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produzca en el intervalo (t1, t1 + dt1), se obtiene la probabilidad p(i, t) mediante la integración de todos los valores posibles de t1 como producto de las tres probabilidades siguientes: a) La probabilidad que (i – 1) llegadas se produzcan dentro del intervalo de tiempo (0; t1):

b) La probabilidad que haya una sola llegada dentro del intervalo de tiempo de t1 a t1+dt1:

λ . dt1

c) La probabilidad que no se produzcan llegadas en el intervalo de t1 + dt1 a t:

e–λ(t-t1)

El producto de las primeras dos probabilidades es la probabilidad que la i-ésima llegada aparezca en el intervalo (t1, t1 + dt1), es decir la distribución de Erlang de la sección anterior:

Por integración se tiene:

Ésta es la distribución de Poisson que se obtiene por inducción a partir de la ecuación (6.9).

El valor medio y la varianza son:

La distribución de Poisson es, en general, un modelo muy conveniente para el número de llamadas en un sistema de telecomunicación (véase la figura 6.3) o tareas en un sistema informático.

Ejemplo 6.2.2: Sistema de satélite Aloha con segmentos de tiempo

Considérese el sistema digital de comunicación por satélite Aloha segmentado con longitud de paquete constante h. El satélite está en una órbita geoestacionaria a unos 36 000 km por encima del ecuador de modo que la demora circular es de unos 280 ms. Los ejes de tiempo se dividen en segmentos de duración fija que corresponden a la longitud del paquete h. El terminal individual (estación terrena) transmite los paquetes de forma tal que estén sincronizados con los segmentos de tiempo. Todos los paquetes generados durante un segmento de tiempo se transmiten en el segmento de tiempo siguiente. La transmisión de un paquete sólo es correcta si es el único paquete que ha de ser transmitido en el segmento de tiempo. Si en un segmento de tiempo se transmiten simultáneamente más paquetes, se tendrá una colisión y todos los paquetes se pierden y han de ser retransmitidos. Las estaciones terrenas reciben todos los paquetes y pueden entonces decidir si un paquete está transmitido correctamente. Debido al retardo de tiempo, las estaciones terrenas transmiten paquetes independientemente. Si el proceso de llegada total es un proceso de Poisson


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(régimen λ), se obtiene entonces un número de paquetes distribuidos de Poisson en cada segmento de tiempo.

La probabilidad de una transmisión correcta es:

P(1) = λh . e—λh. (6.20)

Esto corresponde a la proporción de los ejes de tiempo que se utilizan eficazmente. Esta función, que se muestra en la figura 6.4 tiene un valor óptimo para λh = 1, pues la derivada con respecto a λh es cero para este valor:

P'λh(1) = e—λh . (1 – λh) (6.21)

Max{p(1)} = e—1 = 0,3679 (6.22)

Figura 6.3 − Número de llamadas por segundo en Internet por conexión telefónica. Los valores teóricos se basan en la hipótesis de una distribución de Poisson. Una prueba estadística acepta la hipótesis de una distribución de Poisson



2) 900 observaciones

3) λa = 6,39 llamadas/s

4) ⊙ = Valor teórico


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5) Número de llamadas/s

Se tiene así una utilización máxima del canal en 0,3679, cuando en promedio se transmite un paquete por segmento de tiempo. Un resultado similar se tiene cuando hay un número limitado de terminales y la cantidad de paquetes por segmento de tiempo tiene distribución binomial.

Figura 6.4 − El tráfico transportado en un sistema Aloha segmentado tiene un máximo (véase el ejemplo 6.2.2). El protocolo de

Aloha simple se trata en el ejemplo 7.3.1


1) Tráfico transportado

2) Ideal

3) Aloha segmentado

4) Aloha simple

5) Tráfico ofrecido

6.2.4 Derivación estática de las distribuciones del proceso de Poisson Como se conoce en estadística, estas distribuciones también se pueden obtener del proceso binomial permitiendo que el número de intentos n (por ejemplo tiradas de un dado) se incremente al infinito y, al mismo tiempo permitir que la probabilidad de éxito en una tentativa simple p converja a cero de modo tal que el número promedio de probabilidades de éxito n . p es constante.

Este enfoque es estático y no pone de relieve las propiedades fundamentales del proceso de Poisson, que tiene una existencia independiente dinámica, sino que muestra la relación entre los dos procesos como se ilustra en el cuadro 6.1.

La distribución exponencial es la única distribución de probabilidad continua con falta de memoria, así como la distribución geométrica es la única distribución de probabilidad discreta con falta de


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memoria. Por ejemplo, el resultado siguiente de la tirada de un dado es independiente del resultado anterior. Las distribuciones de los dos procesos se muestran en el cuadro 6.1.

Cuadro 6.1 - Correspondencia entre las distribuciones del proceso binomial y el proceso de Poisson. Un resultado satisfactorio corresponde al evento de una llegada en un proceso puntual m1 = valor medio, σ2 = varianza. Para la distribución geométrica se puede comenzar con una clase cero. El valor medio se reduce entonces en uno

mientras que la varianza no se modifica

PROCESO BINOMIAL Tiempo discreto Probabilidad de resultado satisfactorio p 0 < p < 1

PROCESO DE POISSON Tiempo continuo Intensidad satisfactoria λ, λ > 0

Número de intentos desde el resultado satisfactorio previo o desde un intento aleatorio para obtener un resultado satisfactorio

Intervalo entre dos resultados satisfactorios o desde un punto aleatorio hasta el siguiente resultado satisfactorio

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

Número de intentos para obtener k resultados satisfactorios

Intervalo de tiempo hasta el k-ésimo resultado satisfactorio

DISTRIBUCIÓN DE PASCAL = DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA

DISTRIBUCIÓN DE ERLANG-κ

Número de resultados satisfactorios en n intentos Número de resultados satisfactorios en un intervalo de tiempo t

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

DISTRIBUCIÓN DE POISSON


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6.3 Propiedades del proceso de Poisson En este punto se tratarán algunas propiedades fundamentales del proceso de Poisson. Del modelo físico tratado en el § 6.2 se puede ver que el proceso de Poisson es el proceso puntual más aleatorio que se puede encontrar ("Proceso de irregularidad máxima"). Permite una buena descripción de los procesos físicos cuando numerosos factores están detrás del proceso total.

6.3.1 Teorema de Palm (Teorema de la superposición) Las propiedades fundamentales del proceso de Poisson entre todos los otros procesos puntuales fue tratado por primera vez por el sueco Conny Palm. Palm demostró que la distribución exponencial desempeña el mismo papel para procesos puntuales estocásticos (por ejemplo, distribuciones de tiempo entre llegadas), donde la superposición se efectúa por multiplicación, como lo hace la distribución normal cuando se efectúa superposición por adición (teorema del límite central).

Figura 6.5 − Por superposición de n procesos puntuales se obtiene bajo ciertas premisas un proceso que localmente es un proceso de Poisson


1) Proceso 1

2) Proceso 2

3) Proceso n

4) Proceso total

5) Punto aleatorio en el tiempo

6) Tiempo

Teorema 6.1 Teorema de Palm: Por superposición de numerosos procesos puntuales independientes el proceso total resultante será localmente un proceso de Poisson.

El término "localmente" significa que se consideran intervalos de tiempo que son tan breves que cada proceso contribuye a lo sumo con un evento durante este intervalo. Este es un requisito natural


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pues ningún proceso puede dominar el proceso total (se suponen condiciones similares para el teorema de límite central). El teorema sólo es válido para procesos puntuales regulares.

Si se considera un punto aleatorio en el tiempo en un determinado proceso, el tiempo hasta la llegada siguiente viene dado por la ecuación (3.23).

Se superponen n procesos en un proceso total. Mediante la elección apropiada de la unidad de tiempo, la distancia media entre llegadas en el proceso total se mantiene constante, independiente de n. El tiempo desde un punto aleatorio al evento siguiente en el proceso total viene dado entonces por la ecuación (3.23):

Si todos los subprocesos son idénticos, se tiene:

De las ecuaciones (3.23) y (5.18) resulta (suponiendo μ = 1)

y entonces:

Por consiguiente, de la ecuación (6.24) se obtiene, suponiendo que el número de subprocesos aumenta al infinito:

que es la distribución exponencial. Se ha demostrado que por superposición de procesos idénticos se obtendrá localmente un proceso de Poisson. De manera similar, se pueden superponer procesos no idénticos y obtener localmente un proceso de Poisson.

6.3.2 Teorema de Raikov (Teorema de la descomposición) Un teorema similar, el teorema de la descomposición, es válido cuando se divide un proceso puntual en subprocesos y que esto se efectúa en forma aleatoria. Si en un proceso hay n veces menos eventos, es natural entonces disminuir los ejes de tiempo en un factor n.

Teorema 6.2 Teorema de Raikov: Mediante la descomposición aleatoria de un proceso puntual en subprocesos, cada uno de ellos converge a un proceso de Poisson cuando la probabilidad que un evento pertenezca a un subproceso tienda a cero.

Además de superposición y descomposición (fusión y división, o unión y bifurcación), se puede efectuar otra operación en un proceso puntual, denominada translación (desplazamiento) de los eventos particulares. Cuando esta translación para cada evento es una variable estocástica, independiente de otros eventos, un proceso puntual arbitrario convergerá nuevamente a un proceso de Poisson.


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Con referencia a los procesos puntuales que se producen en la vida real, se puede esperar conforme a lo indicado anteriormente, que hay procesos de Poisson cuando se satisface una serie de condiciones independientes suficientemente amplias para que se produzca un evento. Ésta es la razón que muestra que el proceso de Poisson es una buena descripción de, por ejemplo, los procesos de llegada de todos los abonados a una central telefónica.

Como ejemplo de las limitaciones en el teorema de Palm (Teorema 6.1) se puede indicar que la superposición de dos procesos independientes produce un proceso de Poisson exacto sólo si ambos subprocesos son procesos de Poisson.

6.3.3 Distribución uniforme – una propiedad condicional En el § 6.2 se ha visto que "una distribución uniforme en un intervalo muy amplio corresponde a un proceso de Poisson. Se podrá ver que la propiedad inversa es también válida:

Teorema 6.3 Si para un proceso de Poisson se tiene n llegadas dentro de un intervalo de duración t, esas llegadas están distribuidas uniformemente dentro de ese intervalo.

Puede en sí mismo ser una variable estocástica si es independiente del proceso de Poisson. Éste es, por ejemplo, el caso en mediciones de tráfico con intervalos de medida variables (véase el Capítulo 15). Esto se puede demostrar con la distribución de Poisson (representación del número) o bien con la distribución exponencial (representación del intervalo).

6.4 Generalización del proceso de Poisson estacionario El proceso de Poisson ha sido generalizado de diversas maneras. En esta sección sólo se considerará el proceso de Poisson interrumpido. Otras generalizaciones pueden ser los procesos de Poisson modulados de Markov (MMPP) y los procesos de llegada de Harkov (MAP).

6.4.1 Proceso de Poisson interrumpido Debido a la falta de memoria el proceso de Poisson es muy sencillo de aplicar. Sin embargo, en algunos casos el proceso de Poisson no es suficiente para describir un proceso de llegada real. Kuczura (1973 [71]) propuso una generalización que ha sido ampliamente utilizada.

La idea de generalización proviene del problema de sobrecarga de tráfico (véase el § 9.2 y la figura 6.6). Los clientes que llegan al sistema tratarán de ser servidos en un sistema primario con capacidad limitada (n servidores). Si el sistema primario está ocupado, los clientes de llegada serán servidos por el sistema de desbordamiento. Los clientes que llegan se encaminan al sistema de rebasamiento sólo cuando el sistema primario está ocupado. En los periodos de ocupado los clientes llegan al sistema de rebasamiento conforme al proceso de Poisson con intensidad λ. Durante el tiempo restante no aparecen llegadas en el sistema de rebasamiento es decir la intensidad de llegada es cero. Así, se puede considerar el proceso de llegada al sistema de rebasamiento como un proceso de Poisson que está "activado" o bien "desactivado" (véase la figura 6.7).


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Figura 6.6 − Sistema de rebasamiento con proceso de llegada de Poisson (intensidad λ). Normalmente, las llamadas llegan al grupo primario.

Durante los periodos en que todas las n líneas de enlace en el grupo primario están ocupadas, todas las llamadas

se ofrecen al grupo de rebasamiento


1) Canales 2) Tráfico total [erlang]

3) Enlace de desbordamiento 4) Enlace primario

5) Encendido 6) Apagado


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Figura 6.7 − Ilustración del proceso de Poisson interrumpido (IPP, interrupted Poisson process)(véase la figura 6.6). La posición de la llave conmutadora

está controlada por un proceso de Harkov de dos estados


1) Proceso de Poisson

2) Conmutador

3) activado

4) desactivado

5) Proceso de llegada IPP

6) Llegadas ignoradas

Como modelo simplificado para describir los intervalos activado(desactivado), Kuczura utilizó intervalos de tiempo distribuidos exponencialmente con intensidad γ (ω). Demostró así que esto corresponde a tiempos entre llegadas con distribución hiperexponencial, lo cual se ilustra el diagrama de fase de la figura 6.8. Los parámetros se estiman de la siguiente manera:

Figura 6.8 − El proceso de Poisson interrumpido es equivalente a un proceso de llegada hiperexponencial (6.27)


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En razón que la distribución hiperexponencial con dos fases se puede descomponer en una distribución Cox-2 (véase el § 4.4.2), se encuentra que el proceso de Poisson interrumpido es equivalente a una distribución Cox-2 como se ilustra en la figura 4.10. De esta manera, hay tres parámetros disponibles mientras que el proceso de Poisson sólo tiene uno. Esto permite que sea más flexible para datos empíricos de modelado.


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CAPÍTULO 7

Sistemas de pérdidas de Erlang, fórmula B En este Capítulo y en los siguientes se examina la teoría de teletráfico clásica formulada por Erlang, Engset y Fry y Molina, que ha sido aplicada satisfactoriamente durante más de 80 años. En este Capítulo sólo se examina la fórmula de Erlang B fundamental. En el § 7.1 se consideran las hipótesis para el modelo. En el § 7.2 se trata el caso con capacidad infinita, lo que da lugar a un números de canales ocupados distribuidos según un proceso de Poisson. En el § 7.3 se considera un número limitado de canales y se obtiene una distribución de Poisson interrumpida y una fórmula de Erlang B. En el § 7.4 se describe un procedimiento tipo en lo que a los diagramas de transición de estado se refiere. Esta es la clave de la teoría clásica del teletráfico. Asimismo, se obtiene una fórmula recurrente exacta para la evaluación numérica de la fórmula B de Erlang. Por último, en el § 7.5 se estudian los principios básicos de dimensionamiento, en donde se equilibran el grado de servicio y los costos del sistema.

7.1 Introducción

La fórmula B de Erlang está basada en el modelo siguiente, descrito por los elementos estructura, estrategia y tráfico. a) Estructura: se considera un sistema de n canales idénticos (servidores, líneas de enlace,

segmentos de tiempo) que funcionan en paralelo. Esto se denomina grupo homogéneo. b) Estrategia: una llamada que llega al sistema se acepta para servicio si algún canal está

desocupado. (Cada llamada necesita sólo un canal.) Se dice que el grupo tiene plena accesibilidad. A menudo se utiliza el término plena disponibilidad, pero esta terminología se utilizará sólo en relación con aspectos de fiabilidad. Si todos los canales están ocupados se pierde la tentativa de llamada y ésta desaparece sin ningún efecto secundario (la tentativa de llamada rechazada puede ser aceptada por un trayecto alternativo). Esta estrategia es la más importante y ha sido aplicada con éxito durante muchos años. Se denomina modelo de pérdidas de Erlang o modelo de llamada perdida eliminada (LCC, lost call cleared).

c) Tráfico: Se supone que los tiempos de servicio están distribuidos exponencialmente (intensidad μ) y que el proceso de llegada es un proceso de Poisson con régimen λ. Este tipo de tráfico se denomina puramente tráfico aleatorio tipo uno, PCT-I. El proceso de tráfico se transforma entonces en un proceso teórico de renovación, un proceso de Markov simple que es sencillo de formular matemáticamente.

Definición de tráfico ofrecido: Es el tráfico transportado cuando el número de canales (la capacidad) es infinito (2.2). En el modelo de pérdidas de Erlang con proceso de llegada de Poisson esta definición de tráfico ofrecido es equivalente al número promedio de tentativas de llamada por tiempo de ocupación medio:

Se consideran dos casos: 1) n = ∞: Distribución de Poisson (véase el § 7.2). 2) n < ∞: Distribución de Poisson truncada (véase el § 7.3)

Más adelante se verá que el modelo es indiferente a la distribución del tiempo de ocupación, es decir sólo el tiempo medio de ocupación es importante para las probabilidades de estados. El tipo de distribución no tiene importancia para las probabilidades de estado.


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Mediciones de calidad de funcionamiento: Las mediciones más importantes de grado de servicio para sistemas de pérdidas son la congestión temporal E, la congestión de llamadas B y la congestión de (carga de) tráfico C. Son todas idénticas para el modelo de pérdidas de Erlang debido al proceso de llegada de Poisson (propiedad PASTA, véase el § 6.3).

7.2 Distribución de Poisson Se supone que el proceso de llegada es un proceso de Poisson y que los tiempos de ocupación están distribuidos exponencialmente, es decir se considera el tráfico PCT-I. Se supone que el número de canales es infinito, en el que nunca se observará congestión (bloqueo).

7.2.1 Diagrama de transición de estado El estado del sistema, [i], se define como el número de canales ocupados i (i = 0, 1, 2, ...). En la figura 7.1 todos los estados del sistema se indican con círculos, y las variaciones por las cuales el proceso de tráfico cambia de un estado a otro se ilustran con arcos de flechas entre los estados. Como el proceso es irregular, sólo se tienen transiciones a estados vecinos. Si se supone que el sistema está en equilibrio estadístico, durante la proporción p(i) del tiempo estará en el estado [i], donde p(i) es la probabilidad de observación del sistema en estado [i] en un punto aleatorio del tiempo, es decir un promedio del tiempo. Cuando el proceso está en el estado [i] pasará al estado [i + 1] λ veces por unidad de tiempo y al estado [i — 1] i μ veces por unidad de tiempo (por supuesto, el proceso dejará el estado [i] en el momento que hay una transición de estado.

Figura 7.1 − Distribución de Poisson. Diagrama de transición de estado para un sistema con infinitos canales, proceso de llegada de Poisson (λ),

y tiempos de ocupación con distribución exponencial (μ)

Las ecuaciones que describen el estado de los sistemas bajo la hipótesis de equilibrio estadístico se pueden establecer de dos maneras, ambas basadas en el principio de compensación global: a) Ecuaciones de nodo En equilibrio estadístico el número de transiciones por unidad de tiempo en el estado [i] es

igual al número de transiciones fuera del estado [i]. La probabilidad de estado de equilibrio p(i) indica la proporción de tiempo (tiempo total por unidad de tiempo) que el proceso está en el estado [i]. El número medio de saltos del estado [0] al estado [1] es λ p(0) por unidad de tiempo, y el número de saltos del estado [1] al estado [0] es μ p(1) por unidad de tiempo. Para el estado [1] se obtiene la ecuación de equilibrio o compensación siguientes:

Las ecuaciones de nodo son siempre aplicables aun para diagramas de transición de estado

de diversas dimensiones. Este tema será tratado más adelante.


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b) Ecuaciones de corte En muchos casos se puede explotar una estructura simple del diagrama de transición de

estado. Si se efectúa un corte ficticio, por ejemplo entre los estados [i—1] e [i] (que corresponde a un corte global entre los estados [0], [1], ... [i—1]), en equilibrio estadístico el proceso de tráfico cambia entonces del estado [i—1] a [i] la misma cantidad de veces que cambia del estado [i] a [i—1]. En equilibrio estadístico se tiene entonces, por unidad de tiempo:

Las ecuaciones de corte se utilizan principalmente para diagramas de transición de estado unidimensionales, mientras que las ecuaciones de nodo se aplican a cualquier tipo de diagrama.

Como el sistema siempre estará en algún estado, se tiene la restricción de normalización:

Se observa que las ecuaciones de nodo (7.3) conllevan tres probabilidades de estado, mientras que las ecuaciones de corte (7.4) sólo implican dos. Por consiguiente, es más sencillo resolver ecuaciones de corte. Los sistemas de pérdidas siempre podrán presentar equilibrio estadístico si el proceso de llegada es independiente del estado del sistema. En este capítulo no se considerarán las condiciones matemáticas para el equilibrio estadístico.

7.2.2 Obtención de las probabilidades de estado Para diagramas de transición de estado de una dimensión la aplicación de las ecuaciones de corte es el método más apropiado. De la figura 7.1 se obtienen las siguientes ecuaciones de equilibrio:

Expresando todas las probabilidades de estado por p(0), se obtiene, conforme al tráfico ofrecido A =λ/μ:


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La restricción de normalización (7.5) implica:

obteniéndose la distribución de Poisson:

La cantidad de canales ocupados en un punto aleatorio en el tiempo tiene, por tanto, distribución de Poisson con el valor medio (6.17) y la varianza (6.18) iguales a A. Se ha visto anteriormente que el número de llamadas en un intervalo de tiempo fijo tiene también distribución de Poisson (6.16). Así, la distribución de Poisson es válida tanto en el tiempo como en el espacio. Por supuesto, se obtendría la misma solución utilizando ecuaciones de nodo.

7.2.3 Características de tráfico de la distribución de Poisson Desde un punto de vista dimensional, el sistema con capacidad ilimitada no es muy interesante. Se resumen las características de tráfico importantes del sistema de pérdidas:

Congestión temporal: E = 0,

Congestión de llamadas: B = 0,

Tráfico transportado: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅= ∑

∞

=1,)(

iAipiY

Tráfico perdido: Al = A – Y = 0,

Congestión del tráfico: C = 0.


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El tráfico transportado por la i-ésima línea de enlace que supone búsqueda secuencial se indicará más adelante con la ecuación (7.13).

El grado de curtosis se define como la relación entre la varianza y el valor medio de la distribución de las propiedades de estado (véase el índice de dispersión para conteo, ecuación 5.11). Para la distribución de Poisson se tiene, conforme a las ecuaciones (6.17) y (6.18):

El grado de curtosis (o factor de irregularidad) tiene dimensión [número de canales] y es diferente del coeficiente de variación que no tiene dimensión (3.9).

Duración del estado [i]:

En el estado [i] el proceso tiene la intensidad total (λ + i μ) fuera del estado. Por consiguiente, el tiempo hasta la primera transición (transición de estado i+1 ó i –1) está distribuido exponencialmente (véase el § 4.1.1):

7.3 Distribución de Poisson truncada En el § 7.2 se presentó la hipótesis del tráfico puramente aleatorio tipo I (PCT-I). El número de canales es ahora limitado, de modo que n es un valor finito. El número de estados resulta n + 1, y el diagrama de transición de estado se muestra en la figura 7.2.

Figura 7.2 − Distribución de Poisson truncada. Diagrama de transición de estado para un sistema con un número de canales (n) limitado, proceso de

llegada de Poisson (λ), y tiempos de servicio exponenciales (μ)

7.3.1 Probabilidades de estado Se obtienen ecuaciones de corte similares que para el caso de Poisson, pero el número de estados está limitado y la condición de normalización (7.5) resulta ahora:

Se obtiene así la denominada distribución de Poisson truncada (primera fórmula de Erlang):


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El nombre truncado significa interrumpido y es debido al hecho que la solución se puede interpretar como una distribución de Poisson condicional p(i⏐i≤ n). Esto se ve fácilmente multiplicando el numerador y el denominador por e–A. No es un hecho de poca importancia que para este modelo de tráfico se permita interrumpir la distribución de Poisson de modo tal que las relaciones relativas entre las probabilidades de estados permanece inalteradas. En la antigua literatura sobre la teoría de teletráfico la distribución de Poisson truncada se denominaba también distribución de Erlang. Para evitar confusiones, este nombre sólo se ha de utilizar para una suma de κ distribuciones exponenciales como se describe en el § 4.2.

7.3.2 Características de tráfico de la fórmula B de Erlang Al conocer las probabilidades de estados se pueden hallar las medidas de calidad de funcionamiento definidas por probabilidades de estado.

Congestión temporal:

La probabilidad que todos los canales n están ocupados en un punto aleatorio del tiempo es igual a la proporción de tiempo en que todos los canales están ocupados (promedio temporal). Esto se obtiene con la ecuación (7.8) para i = n.

Ésta es la famosa fórmula B de Erlang (1917 [12]). Se simboliza por En(A) = E1,n(A), donde el índice "uno" se refiere al nombre alternativo de la primera fórmula de Erlang.

Congestión de llamadas:

La probabilidad que una llamada aleatoria se pierda es igual a la proporción de tentativas de llamadas bloqueadas. Si se considera una unidad de tiempo, se encuentra que B = Bn(A):

Tráfico transportado:

Si se utiliza la ecuación de corte para el corte entre los estados [i–1] e [i] se tiene:

donde A es el tráfico ofrecido. El tráfico transportado será menor que A y n.

Tráfico perdido:

Congestión de tráfico:


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Es decir, se tiene que E = B = C, porque la intensidad de la llamada es independiente del estado. Esta es la propiedad PASTA que es válida para todos los sistemas con procesos de llegada conforme a la distribución de Poisson. En todos los otros casos al menos dos de las tres mediciones de congestión son diferentes. La fórmula B de Erlang se muestra gráficamente en la figura 7.3 para algunos valores seleccionados de los parámetros.

Tráfico transportado por la i-ésima línea de enlace (utilización de ai): 1) Búsqueda aleatoria: En este caso todos los canales transportan el mismo promedio de

tráfico. El tráfico total transportado es independiente de la estrategia de búsqueda y la utilización resulta:

Esta función se muestra en la figura 7.4, y se observa que para una congestión E se obtiene la mayor utilización para grandes grupos de canales (economía de escala). 2) Búsqueda ordenada = búsqueda secuencial: El tráfico transportado por el canal i es la

diferencia entre el tráfico perdido de i –1 canales y el tráfico perdido de i canales:

Se debe observar que el tráfico transportado por el canal i es independiente del número total de canales. Así los canales después del canal i no tienen influencia en el tráfico transportado por el canal i . No hay realimentación.

Función mejora:

Esta función indica el incremento del tráfico transportado cuando se aumenta en uno el número de canales de n a n + 1.

Se tiene:

Los valores límites son los siguientes:

La función mejora Fn(A) está tabulada en el "Principio de Moe" (Arne Jensen, 1950 [50]) y se muestra en la figura 7.5. En el § 7.5.2 se examinará la aplicación de este principio para dimensionamiento económico óptimo.


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Grado de curtosis:

Se define como la relación entre la varianza y el valor medio de la distribución del número de canales ocupados, véase el IDC (5.11). La distribución de Poisson truncada se obtendrá utilizando la ecuación (7.13):

La dimensión es [número de canales]. En un grupo con búsqueda ordenada se puede así estimar el grado de curtosis del tráfico transportado por el último canal.

Duración del estado [i]:

La intensidad total para dejar el estado [i] es constante e igual a (λ + i μ) y, por tanto, el intervalo del tiempo en el estado [i] está distribuido exponencialmente con la función de densidad:

7.3.3 Generalización de la fórmula B de Erlang La literatura sobre la fórmula B es muy amplia. Se mencionarán aquí un par de propiedades importantes.

Insensibilidad:

Se puede demostrar que la fórmula B de Erlang, que anteriormente fue obtenida con la hipótesis de tiempos de ocupación distribuidos exponencialmente, es válida para distribuciones de tiempo de ocupación arbitrarias. Las probabilidades de estado para la distribución de Poisson (7.6) y la distribución de Poisson truncada (7.8) sólo depende del tiempo de ocupación a través del valor medio que aparece en el tráfico ofrecido A. Se debe señalar que todos los sistemas de pérdidas clásicos con plena accesibilidad son indiferentes a la distribución del tiempo de ocupación.

La hipótesis fundamental para la validez de la fórmula B de Erlang es así un proceso de llegada de Poisson. Conforme al teorema de Palm esto se satisface cuando el tráfico es originado por muchas fuentes independientes. Esto se cumple en sistemas telefónicos ordinarios en condiciones de tráfico normales. La fórmula es así muy amplia. El proceso de llegada así como el proceso de tiempo de servicio se describen por un sólo parámetro A. Esto explica la amplia aplicación de la fórmula B en el pasado y en la actualidad.

Número de canales continuo:

La fórmula B de Erlang se puede generalizar matemáticamente a un número de canales no entero (incluido un número negativo de canales). Esto es útil cuando, por ejemplo, se desea hallar el número de canales n para un determinado tráfico ofrecido A y una probabilidad de bloqueo E. En el Capítulo 9 esto se utilizará también para tratar el tráfico de desbordamiento.

Ejemplo 7.3.1: Protocolo Aloha simple En el ejemplo 6.2.2 se examinó el protocolo Aloha segmentado, en el que los ejes de tiempo fueron divididos en segmentos temporales. Se estudiará ahora el mismo protocolo en tiempo continuo. Se supone que los paquetes se reciben conforme a un proceso de Poisson y que tienen la longitud constante h. El sistema se ajusta a la distribución de Poisson que también es válida para tiempos de


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ocupación constantes (véase el § 7.2). Las probabilidades de estado vienen dadas por la distribución de Poisson (7.6), donde A = λ h. Un paquete sólo se transmite correctamente si (a) el sistema está en el estado [0] en el tiempo de llegada y (b) no se recibe ningún otro paquete durante el tiempo de servicio h. Por tanto, se tiene:

Pcorrecto =

Figura 7.3 − Probabilidad de bloqueo En (A) en función del tráfico ofrecido A para diversos valores del número de canales n (7.8)


1) Probabilidad de bloqueo En (A)

2) Tráfico ofrecido A


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Figura 7.4 − Utilización media por canal a (7.12) en función del número de canales n para determinados valores de la congestión E


1) Utilización a

2) Número de canales n


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Figura 7.5 − Función mejora Fn(A) (7.15) de la fórmula B de Erlang. Por búsqueda secuencial, Fn(A) es igual al tráfico an+1 transportado en el canal número (n + 1)


1) Función mejora F1,n(A) = an+1

2) Número de canales n

El tráfico transmitido correctamente se puede expresar así:

Acorrecto = A · P correcto = A · e-2A.

Ésta es la proporción del eje de los tiempos que se utiliza eficazmente. Tiene un valor óptimo para λh = A = ½, donde la derivada con respecto a A es igual a cero:


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Se obtiene así una utilización máxima igual a 0,1839 cuando se ofrece 0,5 Erlang. Esta es la mitad del valor que se ha obtenido para un sistema segmentado, sincronizando los transmisores de satélite. En la figura 6.4 se comparan los modelos.

7.4 Procedimientos normales para diagramas de transición de estado La herramienta más importante en teoría de teletráfico es la formulación y solución de modelos por medio de diagramas de transición de estado. Conforme a las secciones se identificó al procedimiento normal para diagramas de transición de estado que se describe a continuación. Este procedimiento comprende de una serie de pasos y está formulado en términos generales. Asimismo, es aplicable para diagramas de transición de estado multidimensionales, que se examinarán más adelante. Se efectúan siempre los siguientes pasos: a) Construcción del diagrama de transición de estado.

− definir los estados del sistema en un modo unívoco; − representar gráficamente los estados como círculos; − considerar los estados uno por vez y trazar todas las flechas posibles para transiciones

fuera del estado debido al: * proceso de llegada (nueva llegada o desplazamiento de fase en el proceso de

llegada), * proceso de partida (el tiempo de servicio termina o se desplaza la fase).

De esta manera se obtiene el diagrama de transición de estado completo. b) Formular las ecuaciones que describen el sistema.

− Si se satisfacen las condiciones para el equilibrio estadísticos, las ecuaciones de estado permanente se pueden obtener de: * las ecuaciones de nodo; * las ecuaciones de corte.

− Las ecuaciones diferenciales se pueden obtener directamente del diagrama. c) Resolver las ecuaciones de equilibrio suponiendo un equilibrio estático.

− Expresar todas las probabilidades de estado, por ejemplo la probabilidad de estado [0], p(0).

− Hallar p(0) por normalización. d) Calcular las mediciones de calidad de funcionamiento expresadas por las probabilidades de

estado.

En la práctica, el valor no normalizado de la probabilidad de estado q(0) se pone a uno, y se calculan los valores relativos q(i), (i = 1, 2, ...). Por normalización se tiene:

donde


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La congestión temporal resulta:

7.4.1 Evaluación numérica Si q(i) llega a ser muy grande (por ejemplo 1010), se tendrán que multiplicar entonces todos los valores relativos q(i) por la misma constante (por ejemplo 10-10), pues se sabe que todas las probabilidades están dentro del intervalo [0,1]. De esta manera se evitan problemas numéricos. Si q(i) llega a ser muy pequeño, se puede interrumpir entonces el espacio de estado pues la función densidad de p(i) tiene a menudo forma de campana (unimodal) y, por tanto, tiene un valor máximo. En muchos casos, se puede controlar teóricamente el error introducido por la interrupción del espacio de estado (Stepanov, 1989 [96]).

Por supuesto, también se puede normalizar después de cada paso, pero esto implica mayores cálculos. Si sólo hay interés en el valor absoluto de p(n), es decir para obtener la congestión temporal E = p(n), se puede efectuar esto en una manera más simple. Supóngase que se tiene la siguiente fórmula de recursión, (basada en las ecuaciones de corte) para las probabilidades de estado no normalizadas:

y que se desea hallar las probabilidades de estado normalizadas, dado x canales: px(i), i = 0, 1, . . . x. El índice x indica que es la probabilidad de estado para un sistema con un total de x canales.

Se supone que ya se han obtenido las probabilidades de estado normalizadas para x-1 canales.

Los valores relativos de las probabilidades de estado no cambian cuando se le agrega uno o más canales, de modo que se tiene:

se calcula con la siguiente expresión:

La nueva constante de normalización resulta:

pues en el paso previo se normalizó la suma de los términos de 0 a x–1 de modo que se agregan a 1. Se obtiene así:


- 136 -

El valor inicial para la recursión es Q0 = po(0) = po(0). Aplicando la ecuación (7.22) y utilizando la notación Ex = px(x) (congestión temporal) se obtiene:

Introduciendo la probabilidad de congestión temporal inversa Ix = Ex

-1 se obtiene:

Esta es una fórmula de recursión general para calcular la congestión temporal de todos los sistemas con régimen de llegada dependiente del estado λ1 y servidores homogéneos.

Ejemplo 7.4.1: Cálculo de probabilidades de la distribución de Poisson

Si se desea calcular la distribución de Poisson (7.6) para valores medios muy grandes m1 = A = λ/μ, es conveniente entonces hacer que q(m) = 1, donde m es igual a la parte entera de (m1 + 1). Los valores relativos de q(i) tanto para los valores decrecientes i = m− 1, m− 2, ..., 0 como para los valores crecientes i = m+1, m− 2, ... estarán disminuyendo y se pueden detener los cálculos cuando, por ejemplo, q(i) < 10−20 y normalizar q(i). En la práctica no habrá problemas para normalizar las probabilidades.

7.4.2 Evaluación de la fórmula B de Erlang

Para cálculos numéricos, la fórmula (7.9) no es muy apropiada puesto que n! y An aumentan rápidamente de modo tal que se producirá el rebasamiento del ordenador. Si se aplica la ecuación (7.25), se obtendrá entonces la fórmula de recursión:

Desde el punto de vista numérico, la forma lineal (7.26) es la más estable:

donde In(A) = 1/En(A). Esta fórmula de recursión es exacta, y aun para grandes valores de (n, A) no hay errores de redondeo. Esta es la fórmula básica para numerosas tablas de la fórmula B de Erlang, es decir la tabla clásica (Palm, 1947 [83]). Para valores de n muy grandes hay algoritmos más eficaces. Se debe señalar que una fórmula recursiva, que es exacta para índices crecientes, usualmente no lo es para índices decrecientes y viceversa.

Ejemplo 7.4.2: Sistemas de pérdidas de Erlang

Considérese un sistema de pérdidas Erlang-B con n = 6 canales, régimen de llegada λ = 2 llamadas por unidad de tiempo, y régimen de salida μ = 1 salida por unidad de tiempo, de modo que el tráfico ofrecido es A = 2 erlang. Si las probabilidades de estado relativas no normalizadas se representan por q(i), se obtendrán, al establecer el diagrama de transición de estado, los valores mostrados en el siguiente cuadro:


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Se obtiene las siguientes probabilidades de bloqueo:




Se observa que E = B = C debido a la propiedad PASTA.

Aplicando la fórmula de recursión (7.27) se obtendrán, por supuesto, los mismos resultados:

Ejemplo 7.4.3: Cálculo de Ex(A) para valores de x grandes

Por aplicación recursiva de la ecuación (7.28) se obtiene:


- 138 -

la cual, por supuesto, es la probabilidad de bloqueo inversa de la fórmula B. Para grandes valores de x y A esta fórmula se puede aplicar para el cálculo rápido de la fórmula B, pues se puede interrumpir la suma cuando los términos se hacen muy pequeños.

7.5 Principios de dimensionamiento

Cuando se dimensionan los sistemas de servicio se deben compensar las necesidades de grado de servicio frente a las restricciones económicas. En este Capítulo ser verá cómo se puede llevar esto a cabo sobre una base racional. En sistema de telecomunicaciones hay diversas medidas que caracterizan el servicio ofrecido. La medida más importante es la calidad de servicio (QoS, quality of service), que comprende todos los aspectos de una conexión tales como calidad vocal, retardo, pérdida, fiabilidad, etc. Se considerará un subconjunto de estos aspectos, es decir el grado de servicio (GoS, grade of service) o rendimiento funcional de la red, que sólo incluye aspectos relacionados con la capacidad de la red.

Por la publicación de las fórmulas de Erlang había ya antes de 1920 una relación funcional entre la cantidad de servidores, tráfico ofrecido y grado de servicio (probabilidad de bloqueo) y así una medida para la calidad del tráfico. Al mismo tiempo, había conexiones directas entre todas las centrales en la zona de Copenhague que produjeron numerosos grupos pequeños de línea de enlace. Si la fórmula B de Erlang se aplica con una probabilidad de bloqueo fija para dimensionamiento, la utilización resulta deficiente.

Kai Moe (1893-1949), que fue ingeniero en jefe en la Compañía Telefónica de Copenhague, efectuó algunas evaluaciones económicas cuantitativas y publicó diversos documentos donde presentó consideraciones marginales, como se conocen actualmente en economía matemática. P. A Samuelson, en su famoso libro publicado en 1947, efectuó consideraciones similares. Sobre la base de los trabajos de Moe se formularon los principios fundamentales para sistemas de telecomunicación. Principio de Moe (Jensen, 1950 [50]).

7.5.1 Dimensionamiento con probabilidad de bloqueo fija Para el funcionamiento correcto, un sistema de pérdidas debe ser dimensionado para una probabilidad de bloqueo baja. En la práctica, se debe elegir el número de canales n de modo tal que E1,n (A) sea de 1% para evitar la sobrecarga debida a numerosas tentativas de llamada repetidas y no completadas que además causan incomodidades a los abonados.

El cuadro 7.1 indica el tráfico ofrecido para una probabilidad de bloqueo fija E = 1% para algunos valores de n.


- 139 -

Cuadro 7.1 − Parte superior: Para un valor fijo de la probabilidad de bloqueo E = 1% se puede ofrecer el tráfico A a través de n líneas de enlace. El promedio de utilización de las líneas de enlace es a y la función mejora es F1,n(A) (7.15).

Parte inferior: Se obtienen los valores de E, a y F1,n(A) para una sobrecarga de 20%

El cuadro también indica la utilización de canales media, que es más elevada para grandes grupos. Si se aumenta el tráfico ofrecido un 20% a A1 = 1,2 . A, se observa que la probabilidad de bloqueo aumenta para todos los valores de n, pero más aún para grandes valores.

En el cuadro 7.1 se observan dos características: a) La utilización a por canal es, para una determinada probabilidad de bloqueo, las más

elevada en grandes grupos (véase la figura 7.4). Un canal puede, con una probabilidad de bloqueo E = 1%, ser utilizado en promedio 36 segundos por hora.

b) Los grandes grupos de canales son más sensibles a un determinado porcentaje de sobrecarga que los pequeños grupos de canales. Esto se explica por la reducida utilización de pequeños grupos, los cuales, en consecuencia, tienen una mayor capacidad de reserva (elasticidad).

Así, cuando se dimensiona un grupo de canales, surgen dos factores de importancia contrarios entre sí: se debe elegir entre alta sensibilidad a la sobrecarga o una baja utilización de canales.

7.5.2 Principios de mejora (principio de Moe) Como se indicó en el § 7.5.1 una probabilidad de bloqueo fija produce baja utilización (mala economía) de pequeños grupos de canales. Si se reemplaza la necesidad de una probabilidad de bloqueo fija por una necesidad económica, la función mejora F1,n(A) (7.15) debe tomar un valor fijo de modo tal que la extensión de un grupo con un canal adicional aumenta el tráfico transportado en la misma cantidad para todos los grupos.

En el cuadro 7.2 se muestran los valores para F = 0,05. Del mismo se observa que la utilización de pequeños grupos resulta mejor cuando corresponde a un elevado aumento de la probabilidad de bloqueo. Por otra parte la congestión en grandes grupos disminuye a un valor pequeño. (Véase también la figura 7.7.) Si se tiene un sistema telefónico con grupos de enlace como en el cuadro, no se podrá aumentar el tráfico transportado reordenando los canales entre los grupos.


- 140 -

Cuadro 7.2 − Para un valor fijo de la función mejora se han calculado los mismos valores que en el cuadro 7.1

Con este criterio de servicio se atribuirá, en comparación con el § 7.5.1 más canales a grupos grandes y menos canales a grupos pequeños, que es la tendencia que se estaba buscando.

La función mejora es igual al cociente diferencia del tráfico transportado con respecto al número de canales n. Cuando el dimensionamiento se efectúa conforme al principio de mejora se debe establecer un punto de operación en la curva del tráfico transportado en función del número de canales cuya pendiente sea la misma para todos los grupos (ΔA / Δn = constante). Un incremento marginal del número de canales aumenta el tráfico transportado en la misma cantidad para todos los grupos.

Es sencillo establecer un modelo económico simple para la determinación de F1,n (A). Considérese un determinado intervalo de tiempo (por ejemplo una unidad de tiempo). Sea g el ingreso por erlang transportado por unidad de tiempo. Se supone que el costo de un cable con n canales es una función lineal:

cn = c0 + cּ n (7.29)

Los costos totales para un determinado número de canales es entonces a) a costo del cable y b) costo debido al tráfico perdido (ingreso perdido):

Cn = g ּ AE1,n(A) +c0 + c ּ n, (7.30)

siendo A el tráfico ofrecido, es decir la demanda posible de tráfico en el grupo considerado. Los costos debido al tráfico perdido disminuirán con el incremento de n, mientras que los gastos debidos al cable aumentan con n. Los costos totales pueden tener un mínimo para un determinado valor de n. En la práctica n es un entero y se busca un valor de n para el cual se tiene (véase la figura 7.6):


- 141 -

Figure 7.6 − Los costos totales se componen de costos para cable e ingresos perdidos debido al tráfico bloqueado (7.30). El valor mínimo de los costos totales se

obtiene cuando se satisface la expresión (7.31), es decir cuando las dos funciones de costos tienen la misma pendiente con signos opuestos

(cociente de diferencias). (FB = 0,35, A = 25 erlang) El mínimo se obtiene para n = 30 líneas de enlace

B

Leyendas de la figura 7.6 1) Costos 2) Costos totales 3) Tráfico bloqueado 4) Cable 5) Número de líneas de enlace n

Cn− 1 > Cn y Cn ≤ Cn+1.

Como E1,n(A) = En(A) se tiene:

A{En−1(A) − En(A)} > gc ≥ A {En(A) − En+1((A)}, (7.31)

o:

donde:

extracanalporIngreso

extracanalporCostogcFB == (7.33)


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FB se denomina valor mejora. Se observa que c0 no aparece en la condición para mínimo. Determina si es conveniente transportar el tráfico en su totalidad. Se debe requerir que para algún valor positivo de n se tenga:

gּ A {1 − En(A)} > c0 + cּ n (7.34)

La figura 7.7 muestra probabilidades de bloqueo para algunos valores de FB. Se observa que la demanda económica precedente para obtener beneficios produce un determinado valor de la función mejora. En la práctica, se toma un valor de F

B

BB independientemente de la función costo.

En Dinamarca se han utilizado los siguientes valores:

FB = 0,35 para grupos de enlace primarios.

FB = 0,20 para grupos primarios que protegen el servicio. (7.35)

FB = 0,05 para grupos sin ruta alternativa.

Figura 7.7 − Cuando se efectúa el dimensionamiento con un valor fijo del valor mejora FB las probabilidades de bloqueo para valores pequeños del

tráfico ofrecido se hace grande (véase el cuadro 7.2) Leyendas de la figura 7.7: 1) Probabilidad de bloqueo E [%] 2) Tráfico ofrecido A


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CAPÍTULO 8

Sistemas de pérdidas con accesibilidad completa En este Capítulo se generaliza el sistema clásico de pérdidas de Erlang a los procesos Poisson de llegadas dependientes del estado, entre ellos los denominados modelos de tráfico BPP:

• Caso binomial: modelo de Engset,

• Caso Poisson: modelo de Erlang, y

• Caso Pascal (Binomial negativo): modelo de Palm-Wallström.

Después de una introducción en el § 8.1 se examina la teoría clásica básica en los § 8.2 a 8.7. En el § 8.2 se considera el caso binomial, en el que el número de fuentes S (abonados, clientes, tareas) es limitado y el número de canales n siempre es suficiente (S ≤ n). Este sistema se aborda mediante ecuaciones de equilibrio del mismo modo que en caso Poisson (véase el § 7.2). Ante todo, se examina la estrategia de las llamadas perdidas eliminadas (LCC, lost-calls-cleared). En el § 8.3 se limita el número de canales de manera que pase a ser inferior al número de fuentes (n < S). Se tiene entonces la posibilidad de bloqueo y se obtiene la distribución binomial truncada que se denomina distribución de Engset. La probabilidad de congestión temporal E viene dada por la fórmula de Engset, con un número de fuentes, la congestión temporal, la congestión de llamadas y la congestión de tráfico se vuelven diferentes, y la denominada propiedad PASTA es sustituida por el teorema general de llegada, según el cual el estado del sistema observado por un cliente (promedio de llamada), es igual a la probabilidad del estado del sistema sin este cliente (promedio temporal). La fórmula de Engest se calcula numéricamente mediante una fórmula recursiva en el número de canales n obtenida del mismo modo que la fórmula B de Erlang. Asimismo, se establecen fórmulas recursivas en el número de fuentes s, así como en n y s.

En el § 8.6 se examina el caso binomial negativo, también denominado caso Pascal, donde la intensidad de llegada aumenta linealmente con el estado del sistema. Si el número de canales es limitado se obtiene entonces la distribución binomial negativa truncada (véase el § 8.7).

Figure 8.1 − Sistema de pérdidas de accesibilidad completo con S fuentes, que genera tráfico a n canales. El sistema se muestra a través del denominado chicko-gram.

El pequeño apéndice que se ilustra en la fuente simboliza un selector que apunta hacia los canales (servidores) entre los cuales se

puede escoger la fuente


1) S fuentes

2) n canales

8.1 Introducción Considérese un sistema con la misma estructura (grupo de accesibilidad completa) y estrategia (llamadas perdidas eliminadas) como en el Capítulo 7 pero con más procesos generales de tráfico. En el texto siguiente se supone que los tiempos de servicios están distribuidos exponencialmente


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(intensidad μ), el proceso de tráfico resulta entonces un proceso de renovación, es decir un proceso de marco especial, que es sencillo de tratar matemáticamente. Generalmente se define el estado del sistema como el número de canales ocupados. Como se verá más adelante todos los procesos considerados no son sensibles, es decir sólo el tiempo de servicio medio es de importancia para las probabilidades de estado, la distribución de tiempo de servicio propiamente dicha no tiene influencia.

Definición de tráfico ofrecido: En el § 2.1 el tráfico ofrecido A se ha definido como el tráfico transportado cuando el número de servidores es ilimitado. Sólo para procesos de renovación estacionarios como el proceso de llegada de Poisson en el caso Erlang esta definición es equivalente al promedio de la cantidad de tentativas de llamada por tiempo medio de servicio. En los casos de Engset y Pascal no hay proceso de renovación de llegada y esta definición se utiliza para el caso Engset y para el caso Pascal.

El grado de Curtosis se define como la relación entre la varianza y el valor medio de las probabilidades de estado. Para el tráfico ofrecido el grado de curtosis se considera un número infinito de canales.

Considérense los procesos de llegadas siguientes, donde el primer caso ya ha sido tratado en el Capítulo 7: 1) Caso Erlang (P − Caso de Poisson): El proceso de llegada es un proceso de Poisson con intensidad λ. Este tipo de tráfico se

denomina aleatorio o tráfico puramente aleatorio tipo uno, PCT−I. Se consideran dos casos: a) n = ∞: Distribución de Poisson (véase § 7.2). El grado de curtosis es en este caso igual a uno (Z = 1). b) n < ∞: Distribución de Poisson truncada (véase el § 7.3).

2) Caso Engset (B − caso binomial): Hay un número limitado de fuentes S. La fuente individual tiene cuando está en reposo una

intensidad (de llegada) de llamada constante γ. Cuando está ocupado la intensidad de llamada es cero. El proceso de llegada es así dependiente del estado. Si en un punto del tiempo dado, i fuentes están ocupadas, la intensidad de llegada es igual a (S − i) γ.

Este tipo de tráfico se denomina tráfico aleatorio o tráfico puramente aleatorio tipo dos, PCT-II. Se consideran los dos casos siguientes:

a) n ≥ S: Distribución binomial (véase el § 8.2). El grado de curtosis es en este caso menor que uno: (Z < 1). b) n < S: Distribución binomial truncada (véase el § 8.3). 3) Caso Palm - Wallstön (P- Caso Pascal): Hay un número de fuentes (clientes) S limitado. Si en un instante dado se tiene i fuentes

ocupadas, la intensidad de llegada es igual a (S + i)γ. Aquí nuevamente surgen dos casos: a) n = ∞: Distribución de Pascal = distribución binomial negativa (véase § 8.6). En este caso el grado de curtosis es mayor que uno (Z > 1). b) n < ∞: Distribución de Pascal truncada (distribución binomial negativa (véase el § 8.7).

Como el proceso de Poisson se puede obtener por un número infinito de fuentes con una intensidad de llegada total λ, el caso Erlang se puede considerar como un caso especial de los otros dos casos:


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Para cualquier estado finito i hay entonces una intensidad de llegada constante:

Los tres tipos de tráfico están referidos como tráfico BPP conformes a las abreviaturas que corresponden a (Binomial, Poisson y Pascal). Como esos modelos incluyen todos los valores de curtosis Z > 0, puede ser utilizados para modelar tráfico con dos parámetros: Valor medio A y curtosis Z. Para valores arbitrarios de Z el número de fuentes S resulta, en general, no entero.

Mediciones de rendimiento funcional: Las características de tráfico más importantes para sistemas de pérdidas son: congestión temporal E , congestión de llamadas B, congestión de tráfico C, y la utilización de los canales. Esas mediciones se obtienen para cada uno de los modelos mencionados.

8.2 Distribución binomial Se examinará ahora un sistema con un número limitado de fuentes S (abonados). La fuente individual se conmuta entre estados en reposo y ocupado. Una fuente está en reposo durante un intervalo de tiempo que está distribuido exponencialmente con intensidad γ, y la fuente está ocupada durante un intervalo de tiempo distribuido exponencialmente (tiempo de servicio, tiempo de ocupación) con intensidad μ (véase la figura 8.2). Este tipo de fuente se denomina fuente esporádica o fuente activada/desactivada. Este tipo de tráfico se denomina tráfico puramente aleatorio tipo dos (PCT-II) o tráfico seudoaleatorio.

Se supone que en esta sección el número total de canales/líneas de enlace n será mayor o igual al número de fuentes (n ≥ S), de modo tal que no habrá llamadas perdidas. Se supone que n y S son valores enteros, pero es posible tratar con valores no enteros (Iversen y Sanders, 2001 [45].

Figura 8.2 − Cada fuente está ocupada o en reposo y se comporta en forma independiente de todas las otras fuentes


1) Estado

2) Ocupado

3) En reposo

4) Tiempo

5) llegada

6) salida


- 146 -

8.2.1 Ecuaciones de equilibrio

Figura 8.3 − Diagrama de transición de estado para el caso binomial (véase el § 8.2). El número de fuentes S es menor que el

número de circuitos n (n ≥ S)

Sólo hay interés en las probabilidades de estado estacionario p(i), que es la proporción de tiempo en que el proceso se encuentra en el estado [i]. Los cálculos estarán basados en el diagrama de transición de están de la figura 8.3. Se consideran cortes entre los estados vecinos y se obtiene:

Todas las probabilidades de estado se expresan por p(0):

El valor total de todas las probabilidades debe ser igual a uno:


- 147 -

donde se ha utilizado la expansión binomial.

Si β = γ/μ, se obtiene:

El parámetro β es el tráfico ofrecido por fuente en reposo (número de tentativas de llamada por unidad de tiempo para una fuente en reposo) (el tráfico ofrecido desde una fuente ocupada es cero), y resulta:

donde

En este caso, cuando una tentativa de llamada procedente de una fuente en reposo nunca se bloquea, α es igual al tráfico transportado a por fuente (a = α), que es equivalente a la probabilidad que una fuente esté ocupada en un instante aleatorio (la proporción del tiempo en que la fuente está ocupada). Esto también se observa en la figura 8.2, pues todos los puntos de llegada y de salida en el eje del tiempo son puntos de regeneración (puntos de equilibrio). Un ciclo que va desde el comienzo de un estado ocupado (llegada) hasta el comienzo del estado ocupado siguiente es representativo de la totalidad de los ejes de tiempo, y los tiempos medios se obtienen promediando un ciclo completo. Se debe señalar que para sistemas con bloqueo se tiene a ≠ α (véase el § 8.3).

La fórmula (8.4) representa la distribución binomial. En la teoría de teletráfico también se denomina distribución de Bernoulli, pero esto se debe evitar pues en estadística este nombre se utiliza para una distribución de dos puntos.

La fórmula (8.4) se puede obtener por consideraciones elementales. Todos los abonados se pueden dividir en dos grupos: abonados ocupados y abonados desocupados. La probabilidad que un abonado pertenezca a la clase "ocupado" es a = α, que es independiente del estado de todos los otros abonados pues el sistema no tiene bloqueo y siempre se aceptan tentativas de llamada. Hay en total S abonados (fuentes) y la probabilidad p(i) que i fuentes estén ocupadas en un instante arbitrario viene dado por la distribución binomial (8.4) y por el cuadro 6.1.


- 148 -

8.2.2 Características del tráfico binomial Se han visto las siguientes definiciones de los parámetros:

γ = intensidad de la llamada por fuente desocupada, (8.5)

1/μ = tiempo de servicio (ocupación) medio, (8.6)

β = γ/μ = tráfico ofrecido por fuente desocupada. (8.7)

El tráfico ofrecido por fuente desocupada es un concepto complejo pues la porción de tiempo que una fuente está desocupada depende de la congestión. El número de llamadas ofrecido por una fuente resulta dependiente del número de canales: una elevada congestión ocasiones más tiempo libre para una fuente y, por tanto, más tentativas de llamada. Por definición, el tráfico ofrecido de una fuente es igual al tráfico transportado en un sistema sin congestión, donde la fuente varía libremente entre los estados ocupado y desocupado. Por tanto, se tiene la siguiente definición de tráfico ofrecido.

β

βα+

=1

= tráfico ofrecido por fuente, (8.8)

A = S . α = tráfico ofrecido total, (8.9)

a = tráfico transportado por fuente, (8.10)

Y = S . a = tráfico transportado. (8.11)


E = 0 S <n;

E = p(n) = αn S = n. (8.12)

Tráfico transportado:

que es el valor medio de la distribución binomial (8.4). En este caso sin bloqueo se tiene entonces α = a.


Número de tentativas de llamada por unidad de tiempo:


- 149 -

La expresión (S a μ) es el número de llamadas transportadas por unidad de tiempo, y se obtiene así:


B = 0 (8.16)

Tráfico transportado por canal ν:

Búsqueda aleatoria:

Búsqueda secuencial: expresión compleja deducida por L.A. Joys (1971 [56]).

Función mejora:

Fn(A) = Yn+1 − Yn = 0 (8.18)

Grado de curtosis: (Cuadro 6.1)

Se observa que el grado de curtosis Z es independiente del número de fuentes de tráfico y es siempre menor que uno, de modo tal que corresponde al tráfico regularizado. Como A = αS, se obtiene entonces la siguiente relación simple entre A, S y Z:

Duración del estado i: Está distribuido exponencialmente con el régimen:


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8.3 Distribución de Engset La única diferencia en comparación con el § 8.2 es que el número de fuentes S es ahora mayor que el número de líneas de enlace (canales) (n < S). Por tanto, las tentativas de llamada pueden sufrir congestión.

Figura 8.4 − Diagrama de transición de estado para el caso Engset con S > n, donde S es el número de fuente de tráfico y n es el número de canales

8.3.1 Probabilidades de estado

Las ecuaciones de corte son idénticas a la ecuación (8.1), pero sólo existen para 0 ≤ i ≤ n (véase la figura 8.4). La ecuación de normalización (8.2) resulta:

y suponiendo que β = γ/μ, las probabilidades de estado son:

Del mismo modo, utilizando la ecuación (8.8), se puede volver a formular esta expresión en una forma que es análoga a la ecuación (8.4):

de la que se puede observar directamente porque se denomina distribución binomial truncada (véase la distribución de Poisson truncada (7.9)).

Las distribuciones (8.25) y (8.26) se denominan distribución de Engset. T. Engset (1865-1943) de nacionalidad noruega publicó por primera vez el modelo con un número de fuentes finito (1918 [27]).

8.3.2 Características del tráfico del sistema Engset La distribución de Engset da por resultado cálculos más complicados que el sistema de pérdidas de Erlang. La cuestión esencial es conocer cómo encontrar las medidas de rendimiento funcional de las probabilidades de estado utilizando las definiciones. El sistema Engset está caracterizado por los parámetros B = γ/μ = tráfico ofrecido por fuente desocupada, S = número de fuentes y n = número de canales.


- 151 -

Congestión temporal E: es por definición igual a la porción de tiempo en que el sistema está bloqueado para nuevas tentativas de llamada, es decir p(n) (8.25):

Congestión de llamadas B: por definición es igual a la proporción de tentativas de llamada que se pierden. Sólo las tentativas de llamada que llegan al sistema en estado n se bloquean. Durante una unidad de tiempo se obtiene la relación siguiente entre el número de tentativas de llamadas bloqueadas y el número total de tentativas de llamadas:

utilizando

se obtiene:

Este resultado se puede interpretar de la siguiente manera: La probabilidad que una tentativa de llamada procedente de una fuente aleatoria (abonado) se rechace, es igual a la probabilidad que las fuentes de tráfico S−1 restantes ocupen la totalidad de los n canales. Este es el teorema de llegada y se puede probar que es válido para sistemas de pérdidas y de espera) con un número limitado de fuentes de tráfico. El resultado se basa en el producto entre fuentes y la convolución de fuentes.

Como E aumenta cuando se incrementa S, se tiene:

Teorema 8.1 Teorema de llegada: Para todos los sistemas con un número de fuentes limitado, una fuente de tráfico aleatorio observará según llegada el estado del sistema como si la propia fuente no fuera parte del sistema.

Tráfico transportado: Aplicando la ecuación de corte entre el estado i−1 y el estado i se obtiene:


- 152 -

pues E = En,S(β) = p(n). Esto se resuelve con respecto a Y:

El tráfico ofrecido viene dado por la ecuación (8.9), y así se obtiene:

Congestión de tráfico C = Cn;S (A). Esta es la medición de congestión más importante.

Esto permite una relación simple entre C y E.

También se puede hallar el tráfico transportado si se conoce la congestión de llamadas B. La cantidad de tentativas de llamada aceptadas por fuente desocupada por tiempo medio de servicio es γ .(1-B), y el tráfico transportado por fuente resulta

El tráfico transportado total viene dado por:

De las ecuaciones (8.33) y (8.35) se obtiene una relación simple entre E y B que es idéntica a las ecuaciones (8.54) y (8.55).

Números de tentativas de llamadas por unidad de tiempo:


- 153 -

donde Y es el tráfico transportado. Así (S−Y) es el número medio de fuentes desocupadas.

Históricamente, el tráfico ofrecido había sido definido como la relación Λ/μ. Sin embargo, esto no es correcto debido a que a cada tentativa de llamada repetida no se le puede asignar un tiempo de ocupación medio 1/μ. Además, esto ha causado mucha confusión pues el tráfico ofrecido por esta definición depende del sistema (número de canales).

Tráfico perdido:

Duración del estado i: Está distribuido exponencialmente con la intensidad:

Función mejora:

Ejemplo 8.3.1: Promedio de llamadas y tiempo medio Se han definido anteriormente las probabilidades de estado p(i) bajo la hipótesis de equilibrio estadístico como la porción de tiempo que el sistema permanece en el estado i, es decir como promedio de tiempo. Se debe también estudiar cómo se muestra el estado del sistema cuando es observado por una fuente (usuario) de llegada o salida (promedio de llamadas). Si se considera una unidad de tiempo, las fuentes (S − i) γ . p(i) medias observarán el sistema en el estado i, justo antes del momento de llegada y si son aceptados llevarán el sistema al estado [i + 1]. Las fuentes que observan el sistema en el estado n están bloqueadas y permanecen en estado desocupado. Por tanto, las fuentes de llegada observan el sistema en estado i con la probabilidad siguiente:

De modo análogo la derivación de la ecuación (8.28) se puede demostrar que de conformidad con el teorema de llegada (Teorema 8.1) se tiene lo siguiente:

Cuando las fuentes que dejan el sistema miran hacia atrás observarán el sistema en estado ψ:


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Mediante la aplicación de ecuaciones de corte se determina inmediatamente que ésta es idéntica a la ecuación (8.40), si se incluyen los clientes bloqueados. En términos medios, los clientes salen del sistema en el mismo estado en que llegan. El proceso reversible es diferente a la distribución temporal del servicio. Si el sistema se filmara, no se podría determinar si funciona hacia adelante o hacia atrás.

8.4 Evaluación de la fórmula de Engset Si se trata de calcular los valores numéricos de la fórmula de Engset (8.27) (congestión temporal E), se presentarán problemas numéricos para grandes valores de S y n. En el texto siguiente se deducirán diversas fórmulas recursivas numéricamente estables y su recíproca I = 1/E. Cuando se conoce la congestión temporal E, es sencillo obtener la congestión de llamadas B y la congestión de tráfico C utilizando las fórmulas (8.55) y (8.34). Numéricamente es también fácil calcular cualquiera de los cuatro parámetros n, S, β, E cuando se conocen tres de ellos. Se puede suponer que n y posiblemente S no son enteros.

8.4.1 Fórmula de recursión en n

De la fórmula general (7.25) recursiva en n se obtiene utilizando γx = (S - x) γ y β = γ/μ:

Introduciendo la congestión temporal recíproca In,S(β) = 1/E n,S(β), se obtiene la fórmula de recursión:

Las ecuaciones (8.44) y (8.45) son analíticamente exactas y numéricamente estables y permiten calcular recursiones precisas para valores crecientes de n. Sin embargo, para valores crecientes de n se acumulan errores numéricos y las recursiones no son exactas. El número de iteraciones es n.

8.4.2 Fórmula de recursión en S Si las probabilidades de estado normalizadas para un sistema de n canales y S -1 fuentes se simbolizan con pn,S-1(i), se obtienen entonces probabilidades de estado para un sistema con S fuentes y n canales mediante la convolución de esas probabilidades de estado con la probabilidad de estado de una fuente simple {p1,1(0) =1 - α, p1,1(1) = α:} truncamiento del espacio de estado en n, y la normalización de las probabilidades de estado (véase el ejemplo 3.2.1) (p(-1) = 0):


- 155 -

Las probabilidades de estado qn,S(i) no están normalizadas, pues se corta en el estado [n] y se excluye el último término qn,S(n + 1) = αpn,S-1(n) (estado [n + 1]) donde una tentativa de llamada se bloquea. Las probabilidades de estado normalizadas pn,S(i) para un sistema con S fuentes y n canales se obtienen así de las probabilidades de estado normalizadas pi,S−1(i) para un sistema con S−1 fuentes mediante:

La congestión temporal En,S(β) para un sistema con S fuentes se puede expresar mediante la congestión temporal En,S-1(β) para un sistema con S−1 fuentes utilizando las ecuaciones (8.47) y (8.46):

donde se ha utilizado la ecuación de equilibrio entre el estado [n – 1, S -1] y el estado [n, S -1]. Remplazando α con la ecuación (8.8), se tiene:

obteniéndose así la siguiente fórmula recursiva:

El valor inicial se obtiene con la ecuación (8.12). Empleando la probabilidad de bloqueo recíproca I = 1/E, se obtiene:

Para incrementos de S el número de iteraciones es S-n. Sin embargo, los errores numéricos acumulados debido a la normalización, donde se divide por un número menor que uno (8.47) y la aplicabilidad es limitada. Por consiguiente, para incrementos de S se recomienda utilizar la ecuación (8.53). Para el decrecimiento de S la fórmula es analíticamente exacta, numéricamente estable y precisa. Sin embargo, el valor inicial debe ser conocido de antemano.

8.4.3 Fórmula de recursión en n y S Si se aplica la ecuación (8.44) en la ecuación (8.50), y la (8.45) en la (8.51), respectivamente, resulta:


- 156 -

que son recursivas tanto en el número de servidores como en la cantidad de fuentes. Ambas recursiones son numéricamente exactas para índices crecientes y el número de iteraciones es n (Joys, 1967 [54],).

De las expresiones anteriores se obtienen las siguientes conclusiones para fórmulas de recursión que se aplican a la fórmula de Engset. Para valores crecientes del parámetro, las fórmulas de recursión (8.44) y (8.45) son las mejores aunque también son convenientes las fórmulas (8.52) y (8.53). Las ecuaciones de recursión (8.50) y (8.51) son numéricamente inestables para valores crecientes, pero, a diferencia de las otras, son estables para valores decrecientes. En general, se tiene que una recursión, que es estable en un sentido, será inestable en el sentido opuesto.

8.5 Relaciones entre E, B, y C

De la ecuación (8.50) se obtiene la siguiente relación entre E = En,S(β) y B = BBn,S(β) = En,S-1(β) utilizando la ecuación (8.28):

Las expresiones de la derecha son lineales en las probabilidades de bloqueo recíprocas. En la ecuación (8.34) se obtiene la siguiente relación:

Si en la ecuación (8.56) se expresa E por B (8.54), se obtendrá entonces C expresado por B:

De las ecuaciones (8.58) y (8.28) se obtiene:

Ejemplo 8.5.1: Sistema de pérdidas de Engset Se considerará un sistema de pérdida de Engset que posee n = 3 canales y S = 4 fuentes. El coeficiente de llamadas por fuente desocupada es γ = 1/3 llamadas por unidad de tiempo y el tiempo medio de servicio (1/μ) es una unidad de tiempo. Se calculan entonces los siguientes parámetros:


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β = erlang (trafico ofrecido por fuente en reposo),

α = erlang (tráfico ofrecido por fuente),

A = (tráfico ofrecido),

Z = (grado de curtosis).

Del diagrama de transición de estado se obtiene el siguiente cuadro:

Se calculan las siguiente probabilidades de bloqueo:




Se observa que E >B>C, que es un resultado general para el caso Engset ((8.60) y figura 8.5). Por aplicación de la fórmula de recursión (8.45) se obtendrán, por supuesto, los mismos resultados.

Ejemplo 8.5.2: Número limitados de fuentes La influencia a partir de la limitación del número de fuentes se puede estimar considerando la congestión temporal, la congestión de llamadas o la congestión de tráfico. Los valores de congestión se muestran en la figura 8.5 para un número de canales n fijo, tráfico ofrecido A fijo, y un valor creciente del grado de curtosis Z correspondiente a un número de fuentes S que viene dado por S = A/1 – Z) (8.23). El tráfico ofrecido se define como el tráfico transportado en un sistema sin


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bloqueo (n = ∞). Aquí Z = 1 corresponde a un proceso de llegada de Poisson (fórmula B de Erlang, E = B = C). Para Z < 1 se obtiene el caso Engset, y para este caso la congestión temporal E es mayor que la congestión de llamadas B que a su vez es mayor que la congestión de tráfico C. Para Z > 1 se obtiene el caso Pascal (véanse los § 8.6 y 8.7 y el ejemplo 8.7.1).

8.6 Distribución de Pascal (Binomial negativa) En el caso binomial la intensidad de llegada disminuye la linealidad con un número creciente de fuentes ocupadas. Palm y Wallström introdujeron un modelo en el que la intensidad de llegada aumenta linealmente con el número de fuentes (servidores) ocupados (Wallström, 1964 [102]). La intensidad de llegada en el estado i viene dada por la siguiente expresión:

Donde γ.y S son constantes positivas. El tiempo de ocupación se supone aún que está distribuido exponencialmente con la intensidad μ

Figura 8.5 − Congestión temporal E, congestión de llamadas B y congestión de tráfico C en función del grado de curtosis Z para tráfico BPP en un sistema

con n = 20 líneas de enlace y un tráfico ofrecido A = 15 erlang. En los ejemplos 8.5.2 y 8.7.1 hay más información sobre este tema. Para aplicaciones, la congestión de tráfico es la más importante, pues

es casi una función lineal del grado de curtosis

Leyendas de la figura 8.5:

1) Probabilidad de congestión [%]


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2) Grado de curtosis Z

En esta sección se supone que el número de canales es infinito. Se establece entonces un diagrama de transición de estado (véase la figura 8.6 con n infinito y se calculan las probabilidades en régimen permanente que existen sólo para γ < μ se obtiene:

donde

La fórmula (8.62) es la distribución binomial negativa (véase la distribución de Pascal, cuadro 6.1). Las características de tráfico de este modelo se obtienen mediante una sustitución apropiada de los parámetros de la distribución binomial. Esto se trata en la sección siguiente, que aborda un caso más realista.

8.7 Distribución de Pascal truncada Se considera el mismo proceso de tráfico que en el § 8.6 pero se restringe ahora la cantidad de servidores a un número n limitado. La restricción (γ < μ) es superflua pues siempre se obtendrá equilibrio estadístico con un número de estados finito. El diagrama de transición de estado se muestra en la figura 8.6, y las probabilidades de estado vienen dadas por la siguiente expresión:

Ésta es la distribución (de Pascal) binomial negativa truncada. Formalmente se obtiene del caso Bernoulli/Engset con las sustituciones siguientes:

S se reemplaza por –S, (8.65)

γ se reemplaza por -γ. (8.66)

Mediante estas sustituciones son válidas todas las fórmulas correspondientes a los casos Bernoulli/Engset para la distribución de Pascal truncada.

Se ha de señalar que la ecuación (8.64) es válida para la distribución arbitraria del tiempo de ocupación (Iversen, 1980 [40]). Suponiendo tiempos de ocupación distribuidos exponencialmente, este modelo tiene las mismas probabilidades de estado que la primera forma normal de Palm, es decir un sistema con un proceso de llegada de Poisson y una intensidad que sigue una distribución gamma (los tiempos entre llegadas siguen una distribución de Pareto). Esta configuración se utiliza para modelar tráfico de desbordamiento que tiene un coeficiente de curtosis (factor de irregularidad) mayor que uno.


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Figura 8.6 − Diagrama de transición de estado para el caso Pascal (distribución binomial negativa truncada)

Ejemplo 8.7.1: Curtosis: ejemplo numérico Manténgase el número de canales n y el tráfico ofrecido A fijo de la figura 8.5, y calcúlense las probabilidades de bloqueo para el grado de curtosis Z creciente. Para Z > 1 se obtiene el caso Pascal. Para este caso la congestión temporal E es menor que la congestión de llamadas B que, a su vez, es menor que la congestión de tráfico C. Se debe observar que tanto la congestión temporal como la congestión de llamadas tienen un valor máximo. Sólo la congestión de tráfico presenta una descripción razonable del rendimiento del sistema.

Ejemplo 8.7.2: Sistemas de pérdidas de Pascal Considérese un sistema de pérdidas de Pascal con n = 4 canales y S = –2 fuentes. El régimen de llegada es γ = 1/3 llamadas/unidad de tiempo por fuente desocupada, y el tiempo de ocupación medio (1/μ) es de 1 unidad de tiempo. Se hallan los siguientes parámetros los cuales, para el caso Engset, reemplazan S por –S (8.65) y γ por –γ (8.65):

Utilizando el diagrama de transición de estado se obtienen los siguientes parámetros:


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Se hallan las siguientes probabilidades de bloqueo:




Se observa que E < B < C, que es un resultado general para el caso Pascal. Utilizando la misma fórmula de recursión que para el caso Engest (Ec. 8.44) se obtendrán, por supuesto, los mismos resultados:


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CAPÍTULO 9

Teoría de desbordamiento En este Capítulo se examinan sistemas con accesibilidad restringida, es decir, sistemas en los que un abonado o un flujo de tráfico sólo tienen acceso a k canales específicos de un total de n (k ≤ n) canales. Si todos los canales k están ocupados, una tentativa de llamada se puede bloquear incluso si hay canales en estado de reposo entre los canales (n–k) restantes. En la figura 9.1 se muestra un ejemplo donde se considera una red jerárquica con tráfico de A a B y de A a C. Para el tráfico de A a B hay una ruta directa (primaria) con n1 canales. Si están todos ocupados, la llamada se dirige al encaminamiento alternativo (secundario) de T a B. De modo similar, el tráfico de A a C tiene como primera elección la ruta AC y una ruta alternativa ATC. Si se supone que la ruta TB y TC no están bloqueadas, se obtiene entonces el esquema de accesibilidad mostrado a la derecha de la figura 9.1. A partir de esto se observa que el número total de canales es (n1 + n2 + n12) y que el tráfico AB sólo tiene acceso a (n1 + n12) de ellos. En este caso, se debe aplicar búsqueda secuencial entre las rutas de modo tal que se encamine sólo una llamada a través del grupo n12, cuando todos los canales primarios n1 están ocupados.

Figura 9.1 − Red de telecomunicación con encaminamiento alternado y el correspondiente esquema de accesibilidad, que se denomina gradación

de O'Dell. Se supone que los enlaces entre la central de tránsito T y las centrales B y C no están bloqueados. Los canales n12 son

comunes para ambos flujos de tráfico

Generalmente las redes con accesibilidad limitada tienen protección de servicio intrínseca. Independiente de la dimensión del tráfico de A a C nunca tendrá acceso a los canales n1. Por otra parte, es posible que las conexiones se bloqueen incluso si hay canales en reposo, por lo que la utilización siempre será más baja que en los sistemas con accesibilidad total. Sin embargo, la utilización será mayor que para sistemas separados con la misma cantidad total de canales. Los canales comunes permiten una determinada compensación de tráfico entre los dos grupos.

Históricamente, era necesario considerar accesibilidad restringida pues los sistemas electromecánicos tenían inteligencia muy reducida y capacidad de selector limitada (accesibilidad). En sistemas digitales no se tienen estas restricciones, pero aún la teoría de accesibilidad restringida es importante para las redes y para garantizar el grado de servicio.


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9.1 Teoría de desbordamiento Los modelos de tráficos clásicos suponen que el tráfico ofrecido a un sistema es un tráfico puramente aleatorio puro tipo uno o dos, PCT-I o PCT-II. En redes de comunicaciones con encaminamiento de tráfico alternativo, el tráfico que se pierde del grupo primario se presenta a un grupo de desbordamiento, que tiene propiedades diferentes del tráfico PCT (véase el § 6.4). Por consiguiente, para evaluar probabilidades de bloqueo de tráfico de desbordamiento no se pueden utilizar los modelos clásicos.

Ejemplo 9.1.1: Grupo dividido en dos Sea un grupo con 16 canales donde se presenta tráfico PCT-I de 10 erlang. Empleando la fórmula B de Erlang se obtiene la probabilidad de bloqueo E = 2,23% y el tráfico perdido 0,2230 erlang.

Se aplica ahora la búsqueda secuencial y los 16 canales se dividen en un grupo primario y un grupo de desbordamiento, con un total de 8 canales cada uno. Mediante la fórmula B de Erlang se encuentra que el tráfico de desbordamiento del grupo primario es igual a 3,3832 Erlang. Este tráfico se presenta al grupo de desbordamiento. Nuevamente, mediante la fórmula B de erlang se obtiene el tráfico perdido que se encuentra en el grupo de desbordamiento: Al = 3,3832 . Es(3,3832) = 0,0493 [erlang]. De esta manera, la probabilidad de bloqueo total es de 0,493%, que es un valor mucho menor que el resultado correcto de 2,23%. Se ha efectuado un error al aplicar la fórmula B al tráfico de desbordamiento, que no es tráfico PCT-I, sino que se desencadena repentinamente (en forma de ráfagas).

En el texto siguiente se describirán dos clases de modelos para tráfico de desbordamiento. En principio, se puede estudiar el proceso de tráfico vertical u horizontalmente. Por estudios verticales se calculan las probabilidades de estado (véanse los § 9.1.1 a 9.4.3). Por estudios horizontales se analiza la distancia entre las llegadas de las llamadas, es decir la distribución temporal entre llamadas (§ 9.5).

9.1.1 Probabilidad de estado de sistemas de desbordamiento Considérese un grupo totalmente accesible con búsqueda (secuencial) ordenada. El grupo se divide en un grupo primario limitado con n canales y un grupo de desbordamiento con capacidad infinita.

Figura 9.2 − Sistemas de desbordamiento que figuran en la literatura


1) Sistema de Kosten

2) Sistema de Brockmeyer

3) Sistema generalizado


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Se supone que el tráfico ofrecido A es el tipo PCT-I. Este sistema de desbordamiento se denomina sistema de Kosten (véase la figura 9.2). El estado del sistema se describe por medio de un vector bidimensional:

que es la probabilidad que en un punto aleatorio del tiempo i canales estén ocupados en el grupo primario y j canales en el grupo de desbordamiento. Es diagrama de transición de estado se muestra en la figura 9.3. Kosten (1937 [68]) analizó este modelo y calculó las siguientes probabilidades de estado marginales:

Riordan (1956 [89]) estableció los momentos de las distribuciones marginales. El valor medio y el grado de curtosis (relación varianza/valor medio) de las distribuciones marginales, es decir el tráfico transportado por los dos grupos resultan:

Grupo primario:

donde Fn–1(A) es la función mejora de la fórmula B de Erlang.

Grupo de desbordamiento:


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Figura 9.3 − Diagrama de transición de estado para el sistema Kosten que tiene un grupo primario con n canales y un grupo de desbordamiento ilimitado.

Los estados se simbolizan por (i, j), donde i es el número de canales ocupados en el grupo primario, y j es el número de canales

ocupados en el grupo de desbordamiento

La experiencia demuestra que el grado de curtosis Z es una buena medida de la probabilidad de bloqueo relativa que está sujeto un flujo de tráfico con un valor medio determinado. En la figura 9.4 se observa que el grado de curtosis del tráfico de desbordamiento tiene un máximo para un tráfico fijo y un número de canales en aumento. El coeficiente de curtosis o factor de irregularidad se obtiene en función del número de canales y se aplica para cálculos teóricos pero su valor es difícil de estimar con precisión mediante observaciones prácticas.

Para el tráfico PCT-I el grado de curtosis es igual a uno, y el bloqueo se calcula utilizando la fórmula Erlang B si el grado de curtosis es menor que uno (9.5), el tráfico se denomina regularizado y experimenta menos bloqueo que el tráfico PCT-I. Si el grado de curtosis es mayor que uno, el tráfico presenta características de incremento repentino y experimenta un bloqueo mayor que el tráfico PCT-I. El tráfico de desbordamiento viene generalmente en ráfagas (9.7).

Brockmeyer (1954 [11]) calculó los momentos y probabilidades de estado de un sistema con un grupo de desbordamiento limitado (véase la figura 9.2), el cual se denomina sistema Brockmeyer. Bech (1954 [6]) hizo lo mismo utilizando ecuaciones matriciales, y obtuvo expresiones más generales y complicadas. El sistema Brockmeyer fue generalizado ulteriormente por Schehrer que también calculó los momentos de orden superior para grupos de desbordamiento finitos.

Wallström (1966 [103]) calculó los momentos y probabilidades de estado para el tráfico de desbordamiento de un sistema Kosten generalizado, donde la intensidad de llegada depende del número total de llamadas en el sistema o del número de llamadas en el grupo primario.


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Figura 9.4 − Grado de curtosis Z del tráfico de desbordamiento en función del número de canales para un valor fijo del tráfico ofrecido. Obsérvese que Z tiene un valor

máximo. Cuando n llega a tener un valor grande, las tentativas de llamadas rara vez están bloqueadas y los intentos bloqueados serán mutuamente independientes. Por consiguiente, el

proceso de desbordamiento de llamadas converge a un proceso de Poisson (véase el capítulo 6)

9.2 Método equivalente de Wilkinson-Bretschneider El método equivalente usualmente se denomina método de Wilkinson (Wilkinson, 1955 [104]). Al mismo tiempo, Bretschneider (1956 [9]) publicó independientemente estos estudios en Alemania. También se denomina método de tráfico aleatorio equivalente (ERT, equivalent random traffic) y desempeña un papel fundamental cuando se dimensionan redes de telecomunicaciones.

9.2.1 Análisis preliminar Considérese un grupo con l canales donde se presentan g flujos de tráfico (véase la figura 9.5). Los flujos de tráfico pueden ser, por ejemplo, tráfico perdido de grupos de canal directos y, por tanto, no pueden ser descritos por modelos de tráficos clásicos. De esta manera no se conocen las distribuciones (probabilidades de estado) de los flujos de tráfico, pero se considera satisfactorio (y esto sucede a menudo en aplicaciones de estadística) con la caracterización del i-ésimo flujo de tráfico con su valor medio mi y varianza νi. Con esta simplificación se considerarán dos flujos de tráfico equivalentes, si tienen el mismo valor medio y varianza.


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Figura 9.5 − Aplicación del método ERT a un sistema que tiene g flujos de tráfico independientes presentados a un grupo común de l canales. El proceso de desbordamiento

combinado de los g flujos de tráfico se dice que son equivalentes al tráfico que desborda de un grupo accesible completo con el mismo valor medio y varianza del tráfico de desbordamiento.

Véanse las ecuaciones (9.8) y (9.9)

El flujo de tráfico total al grupo con l canales tiene el valor medio conforme a la siguiente expresión

Se supone que los flujos de tráfico son independientes (no correlacionados) y así la varianza del flujo de tráfico total resulta:

El tráfico total se caracteriza por m y ν. Se considera ahora que este tráfico es equivalente a un volumen de tráfico que se perdió de un grupo accesible completo y que tiene el mismo valor medio m y varianza ν. En la figura 9.5 el sistema superior se remplaza por el sistema equivalente en la parte inferior de la misma, que es un sistema accesible completo con ( nx + l) canales que ofrecen el tráfico Ax. Por tanto, se resolverán las ecuaciones (9.6) y (9.7) con respecto a n y A para determinados valores de m y ν. Cabe indicar que existe una sola solución que se simboliza por (nx, Ax).

El tráfico perdido se encuentra con la fórmula B de Erlang:


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Como el tráfico ofrecido es m, la probabilidad de bloqueo del sistema viene dada por:

NOTA – La probabilidad de bloqueo no es Enx+l(Ax). Se debe recordar el último paso (9.11), donde se relaciona el tráfico perdido con el tráfico ofrecido originalmente.

Cabe señalar que si el tráfico de desbordamiento procede de un solo grupo primario con tráfico PCT-I, el método es exacto. En el caso general con más flujos de tráfico el método es aproximado, y no produce la probabilidad media de bloqueo exacta.

Ejemplo 9.2.1: Paradoja En el § 6.3 se determinó el teorema de Palm en el que se formula que por superposición de numerosos procesos de llegada independientes, se puede obtener localmente un proceso de Poisson. Esto no es contradictorio con las ecuaciones (9.8) y (9.9) pues estas fórmulas son válidas globalmente.

9.2.2 Aspectos numéricos

Por aplicación del método ERT es necesario calcular (m, ν) para determinados valores de (A, n) y viceversa. Es sencillo obtener (m, ν) para valores (A, n) dados. Para obtener (A, n) para valores (m, ν) dados, se deben resolver dos ecuaciones con dos incógnitas. Esto requiere un procedimiento iterativo, pues En(A) no puede ser resuelto explícitamente con respecto a n ni A (véase el § 7.4.2). Sin embargo, se puede resolver la ecuación (9.7) con respecto a n con la expresión siguiente:

conociéndose así n para el valor A. De esta manera, A es la única variable independiente. Para resolver la ecuación restante se puede utilizar el método de iteración de Newton-Raphson introduciendo la función:

Para un valor inicial A0 adecuado, se ha de mejorar esto iterativamente hasta que los valores resultantes de m y ν/m estén suficientemente cerca de los valores conocidos.

Yngvé Rapp has propuesto una buena solución de aproximación para A, que se puede usar como valor inicial A0 en la iteración:

Con el valor de A se obtiene n, utilizando la ecuación (9.12). La aproximación de Rapp es suficientemente exacta para aplicaciones prácticas, excepto cuando Ax es muy pequeña. El grado de curtosis Z = ν/m tiene un máximo, obtenido cuando n es ligeramente mayor que A (véase la figura 9.4). Para algunas combinaciones de m y ν/m la convergencia es crítica, pero cuando se utilizan ordenadores se puede encontrar siempre la solución correcta.

Con el empleo de ordenadores se puede operar con un número no entero de canales y sólo al final de los cálculos se elige un número entero de canales igual o mayor a los resultados obtenidos


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(típicamente un módulo de un determinado número de canales (8 en GSM, 30 en MIC, etc.). Cuando se utilizan tablas de la fórmula B de Erlang se debe elegir en cada paso el número de canales de modo tal que el bloqueo sea el caso más desfavorable.

El método mencionado presupone que ν/m es mayor que uno, y esto sólo es válido para el tráfico en ráfagas. En la figura 9.5 se permite que los flujos de tráfico individuales tengan una relación νi/mi < 1, siempre que el flujo de tráfico total combinado sea en ráfagas. Bretschneider ([10], 1973) ha extendido el método para incluir un número negativo de canales durante los cálculos. De esta manera es posible encarar tráfico regularizado con el método EERT extendido (EERT, extended ERT).

9.2.3 Probabilidades de bloqueo de paquetes En la figura 9.5 los flujos de tráfico individuales no tienen el mismo valor medio ni la misma varianza y, por tanto, no experimentan igual probabilidad de bloqueo en el grupo de desbordamiento común con l canales. De lo anterior se calcula el bloqueo medio (9.11) para todos los flujos de tráfico combinados. La experiencia señala que la probabilidad de bloqueo observada es proporcional al grado de curtosis Z = ν/m del flujo. El tráfico perdido total se puede dividir en paquetes de tráfico perdido individuales suponiendo que el tráfico perdido para el flujo de tráfico i, es proporcional al valor medio mi y al grado de curtosis Zi = vi/mi. Por tanto, se obtiene:

de la cual se halla la constante c = 1/ν.

La probabilidad de bloqueo para el flujo de tráfico i, que se denomina probabilidad de bloqueo de paquete para el flujo i, resulta entonces:

Asimismo, se puede dividir el bloqueo entre grupos individuales (primario, secundario, etc.). Considerando el grupo equivalente en la parte inferior de la figura 9.5 con nx canales primarios y l canales secundarios (de desbordamiento), se puede calcular la probabilidad de bloqueo debido a los nx canales primarios, y la probabilidad de bloqueo debido a los l canales secundarios. La probabilidad que el tráfico se pierda por los n canales es igual a la probabilidad que el tráfico se pierda por nx + l canales, con la condición que el tráfico se ofrece a los l canales:

La probabilidad de pérdida total se puede relacionar, por tanto, a los dos grupos:

Utilizando esta expresión se puede encontrar el bloqueo para cada grupo de canal y obtener entonces, por ejemplo, información sobre qué grupo debe ser aumentado agregando más canales.


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Ejemplo 9.2.2: continuación del Ejemplo 9.1.1 En el ejemplo 9.1.1 la probabilidad de bloqueo del grupo primario de 8 canales es E8(10) = 0,3383. El bloqueo del grupo de desbordamiento es:

El bloqueo total del sistema es:

E16(10) = E8(10) . H(8) = 0,3383 . 0,06592 = 0,02231

Ejemplo 9.2.3: Sistema celular jerárquico Se considera un sistema celular HCS que abarca tres áreas. El tráfico ofrecido en las áreas es de 12, 8 y 4 erlang, respectivamente. En las primera dos células se introducen microcélulas con 16 (8, respectivamente), y una macrocélula común que abarca las tres áreas tiene atribuida 8 canales. Se permite el desbordamiento de las microcélulas en las macrocélulas, pero no se reordenan las llamadas de las macro a las microcélulas cuando un canal se desocupa. Además, no se tiene en cuenta el traspaso de tráfico. Mediante las ecuaciones (9.6) y (9.7) se hallan el valor medio y la varianza del tráfico ofrecido a la macrocélula:

Célula Tráfico

ofrecido Número de

canales Desbordamiento

medio Varianza de

desbordamiento Grado de curtosis

I Ai ni(j) m1,i vi Zi

1 12 16 0,7250 1,7190 2,3711 2 8 8 1,8846 3,5596 1,8888 3 4 0 4,0000 4,0000 1,0000

Total 24 6,6095 9,2786 1,4038

El tráfico total ofrecido a la macrocélula tiene un valor medio de 6,61 erlang y una varianza de 9,28. Esto corresponde a un tráfico de desbordamiento de un sistema equivalente con 10,78 erlang ofrecidos a 4,72 canales. Así, se termina con un sistema de 12,72 canales con 10,78 erlang ofrecidos. Empleando la fórmula de Erlang B, se halla el tráfico perdido de 1,3049 erlang. Originalmente se ofrecieron 24 erlang, de modo tal que la probabilidad de bloqueo de tráfico total resulta B = 5,437%.

Las tres áreas tienen probabilidades de bloqueo particulares. Empleando la ecuación (9.14) se encuentra que el tráfico perdido aproximado de las áreas es de 0,2434 erlang, 0,5042 erlang, y 0,5664 erlang, respectivamente. Así, las probabilidades de bloqueo de tráfico llegan a ser del 2,03%, 6,30% y 14,16%, respectivamente. Una simulación por medios informáticos de 100 millones de llamadas da como probabilidad de bloqueo 1,77%, 5,72%, y 15,05%, respectivamente. Esto corresponde a un tráfico perdido total igual a 1,273 erlang y una probabilidad de bloqueo del 5,30%. La exactitud del método de este capítulo es suficiente para aplicaciones reales.

9.3 Método de equivalencia de Fredericks y Hayward Fredericks (1980 [31]) propuso un método que es más simple de aplicar que el método de Wilkinson-Bretschneider. La motivación del método fue expuesta por primera vez por W.S. Hayward.


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El método de equivalencia de Fredericks y Hayward también caracteriza el tráfico por el valor medio A y el grado de curtosis Z (0 < Z < ∞) (Z = 0 es un caso trivial con tráfico constante). El grado de curtosis (7.7) es la relación entre la varianza ν y el valor medio m de las probabilidades de estado, y tiene la unidad [canales]. Para tráfico aleatorio (PCT-I) se tiene Z = 1 y se puede aplicar la fórmula de Erlang B. Para grados de curtosis Z ≠ 1 el método de Fredericks y Hayward iguala el sistema considerado con un sistema que tiene n/Z canales, tráfico ofrecido A/Z y grado de curtosis Z=1:

Cuando Z = 1 se supone que el tráfico es PCT-I y se aplica la fórmula de Erlang B para calcular la congestión. Cuando se utiliza el método se obtiene congestión de tráfico (véase el § 9.3.1). Para valor fijo del bloqueo en la fórmula de Erlang B se sabe (véase la figura 7.4) que la utilización aumenta cuando también se incrementa el número de canales: cuanto mayor es el sistema tendrá mejor utilización para bloqueo fijo. El método de Fredericks y Hayward expresa así que si el tráfico tiene un grado de curtosis Z mayor que el tráfico PCT-I, que tiene Z=1, se tendrá una menor utilización que la obtenida utilizando la fórmula B de Erlang. Si el grado de curtosis Z < 1, se obtendrá una mejor utilización.

Se evitará resolver las ecuaciones (9.6) y (9.7) con respecto a A y n para determinados valores de m y ν. El método se puede aplicar fácilmente para tráfico cargado y regularizado. En general, se obtiene un número de canales no entero y así se necesita evaluar la fórmula de Erlang B para un número continuo de canales.

Basharin y Kurenkov han ampliado el método para incluir tráfico de intervalos múltiples (intensidad múltiple), donde una llamada requiere d canales desde el comienzo a su término. Si una llamada utiliza d canales en lugar de uno (cambio de escala), el valor medio resulta entonces d veces más grande y la varianza d2 veces mayor. Por tanto, el grado de curtosis resulta d veces superior. En lugar de reducir el número de canales por el factor Z, se puede fijar el número de canales y hacer que el tamaño del intervalo sea Z veces mayor:

Si hay más flujos de tráfico ofrecidos al mismo grupo, puede ser conveniente mantener fijo el número de canales, pero entonces se puede tener el problema que c . Z, en general, no será entero.

Ejemplo 9.3.1: Método de Fredericks y Hayward Si el método de Fredericks y Hayward se aplica al ejemplo 9.2.3, las macrocélulas tienen (8/1,4038) canales y se ofrecen (6,6095/1,4038) erlang. La probabilidad de bloqueo se obtiene con la fórmula B de Erlang y resulta 0,19470. El tráfico perdido se calcula a partir, del tráfico ofrecido originalmente (6,6095 erlang) y llega a ser 1,2871 erlang. La probabilidad de bloqueo del sistema resulta E = 1,2871/24 = 5,36%. Este valor es muy cercano al resultado obtenido por el método ERT.

Ejemplo 9.3.2: Tráfico de intervalos múltiples Se examinará el sistema de servicios integrados con tráfico de régimen múltiple (intervalos múltiples). En el ejemplo 10.4.3 se considera un grupo de líneas de enlace con 1 536 canales y 24 flujos de tráfico ofrecidos con dimensión de intervalo y grado de curtosis individuales. La congestión de tráfico total exacta es igual a 5,950%. Si se calcula el grado de curtosis del tráfico ofrecido adicionando todos los flujos de tráfico, se encontrará un grado de curtosis Z = 9,8125 y un valor medio total igual a 1 536 erlang. El método de Fredericks y Hayward produce una congestión


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de tráfico total igual a 6,114%, que se encuentra dentro del margen de seguridad (caso más desfavorable).

9.3.1 Separación del tráfico En el siguiente texto se dará una interpretación natural del método de Fredericks y Hayward y, al mismo tiempo, se examinará la separación de flujos de tráfico. Se considera un flujo de tráfico con valor medio A, varianza ν, y grado de curtosis Z = ν/A. Este flujo de tráfico se separa en g subdivisiones idénticas. Cada subdivisión tiene el valor medio A/g y el grado de curtosis Z/g pues el valor medio se reduce por un factor g y la varianza por un factor g2. Si el número de subdivisiones g es igual a Z se tendrá un grado de curtosis Z=1 para cada una de las subdivisiones de flujo de tráfico.

Supóngase que el flujo de tráfico original se ofrece a n canales. Si también se separan los n canales en g subgrupos (uno para cada subdivisión de flujo) cada subgrupo tendrá n/g canales. Cada subgrupo tendrá la misma probabilidad de bloqueo que el sistema total original. Si se toma g = Z se obtiene un grado de curtosis Z=1 en las subdivisiones de flujo, y se puede utilizar (aproximadamente) la fórmula B de Erlang para calcular la probabilidad de bloqueo.

Ésta es una interpretación natural del método de Fredericks y Hayward. Se puede ampliar fácilmente para que incluya tráfico de intervalos múltiples. Si cada llamada requiere d canales durante el tiempo de conexión completo, la separación del tráfico en d subdivisiones cada llamada utilizará un canal simple en cada uno de los d subgrupos y se obtendrán d sistemas idénticos con tráfico de intervalo único.

La separación del tráfico efectuada en g flujos de tráficos idénticos indica que la probabilidad de bloqueo obtenida con el método de Fredericks-Hayward es la congestión de tráfico. La separación uniforme del tráfico en cualquier punto del tiempo implica que los g de tráfico son todos iguales y tienen una correlación mutua. En realidad, no se puede separar tráfico con conmutación de circuitos en subdivisiones de flujo idénticas. Si se tiene g=2 flujos y hay canales ocupados en un punto del tiempo dado, se utilizarán entonces, por ejemplo, dos canales en una subdivisión y uno en la otra, pero de todas maneras se obtendrá la misma utilización óptima que en el sistema total, pues siempre se tendrá acceso a un canal desocupado en cualquier subgrupo (plena accesibilidad). La correlación entre las subdivisiones del flujo del tráfico se hace menor que uno. El anterior es un ejemplo en el que se utilizan estrategias más inteligentes, donde se mantiene la accesibilidad completa óptima.

En el § 6.3.2 se estudió la división del proceso de llegada cuando se efectúa en un modo aleatorio (teorema de Raikov 6.2). Mediante esta división no se reduce la variación del proceso cuando es un proceso de Poisson o más regular. Las subdivisiones de flujo de tráfico resultantes convergen a procesos de Poisson. En esta sección se ha considerado la división del proceso de tráfico, que incluye el proceso de llegada y los tiempos de ocupación. El proceso de división depende del estado. En un subproceso, un tiempo de ocupación grande de una sola llamada producirá algunas nuevas llamadas en este subproceso durante el intervalo del tiempo siguiente, y el proceso de llegada ya no será un proceso de renovación.

Muchos intentos de mejorar el método de equivalencia de Fredericks y Hayward están basados en reducir la correlación entre las subdivisiones de flujo de tráfico pues los procesos de llegada para una sola subdivisión se considera como un proceso de renovación, y se supone que los tiempos de ocupación están distribuidos exponencialmente. De esto se desprende que estos esquemas no se consideran satisfactorios pues no producen una división de tráfico óptima. En el siguiente ejemplo se verá que la separación óptima se puede aplicar para tráfico con conmutación de paquetes con tamaño de paquete constante.


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Ejemplo 9.3.3: Multiplexación inversa Si en una red es necesario tener más capacidad que la que corresponde a un canal simple, se podrá combinar entonces más canales en paralelo. En el extremo de origen se puede distribuir el tráfico (paquetes o células en ATM) en un modo cíclico sobre los canales individuales, y en el destino se reconstruye la información original. De esta manera se tiene acceso a mayores anchuras de banda sin arrendar canales de banda ancha fijos, que son muy costosos. Si los paquete de tráfico son de tamaño constante, el proceso de tráfico se divide en un número de flujos de tráfico idénticos, de modo tal que se obtiene la misma utilización que en un sistema simple con la capacidad total. Este principio fue experimentado por primera vez en un equipo danés (Johansen y Johansen y Rasmussen, 1991 [53]) para combinar hasta 30 conexiones RDSI a 64 kbit/s individuales para transferir tráfico de vídeo para el mantenimiento de aeronaves.

Actualmente, se emplean equipos similares para combinar un número de conexiones a 2 Mbit/s que serán utilizadas por conexiones ATM con mayor anchura de banda (IMA = Inverse Multiplexing for ATM) (multiplexación inversa para ATM) (Techguide, 2001 [98]), (Postigo-Boix, García-Haro y Aguilar-Igartua, 2001 [86]).

9.4 Otros métodos basados en espacio de estados Desde el punto de vista de bloqueo, el valor medio y la varianza no caracterizan necesariamente el tráfico de manera óptima, sino que existen otros parámetros que pueden describir mejor el tráfico. Cuando se calcula el bloqueo con el método ERT se tienen dos ecuaciones con dos incógnitas (9.6) y (9.7). El sistema de pérdidas de Erlang se define unívocamente por el número de canales y el tráfico ofrecido Ax. Por consiguiente, no es posible generalizar el método para tener en cuenta más de dos momentos (valor medio y varianza).

9.4.1 Modelos de tráfico BPP Los modelos de tráfico BPP describen el tráfico mediante dos parámetros, valor medio y grado de curtosis y constituyen así los candidatos naturales para modelar tráfico con dos parámetros. Sin embargo, históricamente el concepto y definición de congestión de tráfico ha sido confundido con congestión de llamadas debido a las primeras definiciones de tráfico ofrecido. Como se ilustra en la figura 8.5 sólo la congestión de tráfico tiene sentido para efectuar cálculos de desbordamiento. Mediante la aplicación correcta de la congestión de tráfico, el modelo BPP es muy aplicable.

Ejemplo 9.4.1: Modelo de tráfico BPP Si en el ejemplo 9.2.3 se aplica el modelo BBP al tráfico de desbordamiento se tiene que A = 6,6095 y Z = 1,4038. Esto corresponde a un tráfico de Pascal con S = 16,37 fuentes y β = 02876. La congestión de tráfico resulta 20,52% que corresponde a un tráfico perdido de 1,3563 erlang, o una probabilidad de bloqueo para el sistema E = 1,3563/24 = 5,65%. Este resultado es totalmente exacto.

9.4.2 Método de Sander Sanders y Haemers y Wilcke (1983 [95]) han propuesto otro método equivalente interesante y simple también basado en el espacio de estados que se conoce como método de Sanders. Al igual que el método de Fredericks-Hayward se basa en un cambio de escala de modo tal que el grado de curtosis se hace igual a uno. El método transforma un tráfico que no tiene distribución de Poisson con (valor medio, varianza) = (m, ν) en un flujo de tráfico con grado de curtosis uno añadiendo un flujo de tráfico constante (varianza cero) con un valor medio ν–m de modo que el tráfico total tiene un valor medio igual a la varianza ν. El flujo de tráfico constante ocupa ν–m canales permanentemente (sin pérdidas) y se aumenta el número de canales en esa cantidad. De esta manera se obtiene un sistema con n+(ν–m) que ofrecen el tráfico m +(ν–m) = ν erlang. El grado de curtosis


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resulta uno, y la probabilidad de bloqueo se obtiene utilizando la fórmula B de Erlang. La probabilidad de bloqueo tiene relación con el tráfico m ofrecido originalmente. El método se aplica para tráfico con distribución uniforme m > ν como así también el tráfico en ráfagas m < ν y sólo requiere la evaluación de la fórmula de Erlang B con un número continuo de canales.

Ejemplo 9.4.2: Método de Sanders Si al ejemplo 9.2.3 se le aplica el método de Sanders se aumenta el número de canales y el tráfico ofrecido por ν –m = 2,6691 (canales/erlang) y así se tiene 9,2786 erlang ofrecidos a 10,6691 canales. Aplicando la formula B de Erlang se encuentra el tráfico perdido de 1,3690, que está en el margen de seguridad, pero cercano a los resultados obtenidos anteriormente. Corresponde a una probabilidad de bloqueo E = 1,3690/24 = 5,70%.

9.4.3 Método de Berkeley Para obtener un método ERT basado en un solo parámetro se puede, en principio, mantener fijo n o A. La experiencia demuestra que los mejores resultados se obtienen manteniendo el número de canales fijos nx = n. En la posición actual sólo se puede asegurar que el valor medio del tráfico de desbordamiento es correcto. Este método se denomina método de equivalencia de Berkeley (1934). El método de Wilkinson-Bretschneider requiere una cierta cantidad de cálculos informáticos, mientras que el método de Berkeley sólo se basa en la fórmula B de Erlang. El método de Berkeley se aplica solo para sistemas en el que los grupos primarios tienen el mismo número de canales.

Ejemplo 9.4.3: Grupo divididos en subgrupos primario y de desbordamiento. Si el método de Berkeley se aplica al grupo dividido en dos que figura en el ejemplo 9.1.1, se obtendrá la solución exacta y de este caso especial se origina la idea del método.

Ejemplo 9.4.4: Método de Berkeley Se considerará nuevamente el ejemplo 9.2.3. Para aplicar correctamente el método de Berkeley se debe tener la misma cantidad de canales en las tres microcélulas. Supóngase que todas las microcélulas tienen ocho canales (y no 16, 8, 0, respectivamente). Para obtener el tráfico de desbordamiento de 6,6095 erlang el tráfico ofrecido equivalente es 13,72 erlang para los 8 canales primarios. El sistema equivalente tiene un tráfico de 13,72 erlang ofrecidos a (8+8 =) 16 canales. El tráfico perdido que se obtiene con la fórmula de Erlang B resulta 1,4588 erlang correspondiente a una probabilidad de bloque de 6,08% que es un valor ligeramente superior al valor correcto. En general, el método de Berkeley tiene margen de seguridad.

9.5 Procesos de llegada generalizados

Los modelos que figuran en los Capítulos 7 y 8 están caracterizados por un proceso de llegada de Poisson, con estado dependiente de la intensidad, mientras que los tiempos de servicio están distribuidos exponencialmente con igual valor medio para todos los servidores (homogéneos). Como dichos modelos son independientes de la distribución del tiempo de servicio (indiferente, es decir las probabilidades de estado sólo dependen del valor medio de la distribución del tiempo de servicio), sólo se los puede generalizar considerando más procesos de llegadas generales. Con la utilización de procesos de llegada generales se pierde la propiedad de insensibilidad y la distribución del tiempo de servicio se hace importante. Como sólo se tiene un proceso de llegada, pero muchos procesos de servicios (uno para cada uno de los n servidores), en general se suponen tiempos de servicios exponenciales para evitar modelos complejos.

9.5.1 Proceso de Poisson interrumpido En el § 6.4 se consideró el proceso de Poisson interrumpido (IPP) de Kuczura (Kuczura, 1977 [72]), que se caracteriza por tres parámetros y ha sido ampliamente utilizado para modelar tráfico de


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desbordamiento. Si se considera un grupo plenamente accesible con n servidores, que son llamadas ofrecidas que llegan conforme a un IPP (véase la figura 6.7) con tiempos de servicios distribuidos exponencialmente, se puede construir entonces un diagrama de transición de estados como se muestra en la figura 9.6. El diagrama es bidimensional. El estado (i, j) indica que hay i llamadas a las que se les está dando servicio (i = 0, 1, . . . , n), y que el proceso de llegada está en la fase j (j = a: proceso de llegada activado; j = b : proceso de llegada desactivado). Mediante las ecuaciones de compensación de nodo se encuentran las probabilidades de estado de equilibrio p(i, j).

Figura 9.6 − Diagrama de transición de estado para un sistemas de pérdidas accesible completo con n servidores, proceso de llegada IPP (véase la figura 6.7) y tiempos de servicios distribuidos exponencialmente (μ)

La congestión temporal E se calcula con la siguiente expresión:

La congestión de llamadas B resulta:

La congestión de tráfico C se define como la proporción que se pierda del tráfico ofrecido. Es igual a:

Leyendas de la ecuación:

on (activado) off (desactivo)

El tráfico transportado es:

De esta expresión se obtiene C = (A – Y)/A.


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9.5.2 Proceso de llegada Cox-2 En el § 6.4 se indicó que el proceso de llegada Cox-2 tiene características más generales que un IPP (Kuczura, 1977 [72]). Si se consideran procesos de llegada Cox-2 como se indica en la figura 4.10 se obtendrá el diagrama de transición de estado que se muestra en la figura 9.7. De la misma, se determinan, bajo la hipótesis de equilibrio estadístico, las probabilidades de estado y las siguientes medidas de calidad de funcionamiento.

Congestión temporal E: (9.22)

Congestión de llamadas B: (9.23)

Figura 9.7 − Diagrama de transición de estado para un sistema de pérdidas totalmente accesible con n servidores, procesos de llegada Cox-2 (véase la figura 4.10)

y tiempo de servicio con distribución exponencial (μ)

Congestión de tráfico C. El tráfico ofrecido es el promedio del número de tentativas de llamada por tiempo medio de servicio. El tiempo medio entre llamadas es:

El tráfico ofrecido resulta entonces A = (ma . μ)−1. El tráfico transportado viene dado por la ecuación (9.21) aplicada a la figura 9.7 y se encuentra así la congestión de tráfico C.

Si se generaliza el proceso de llegada a un proceso de llegada Cox-k el diagrama de transición de estado es aún bidimensional. Por aplicación de distribuciones de Cox se puede, en principio, tener en consideración cualquier número de parámetros.

Si se generaliza el tiempo de servicio a una distribución Cox-k el diagrama de transición de estado llega a ser mucho más complejo para n > 1, pues se tiene un proceso de servicio para cada servidor, pero sólo un proceso de llegada. Por consiguiente, siempre se generaliza el proceso de llegada y se suponen tiempos de servicio con distribución exponencial.


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CAPÍTULO 10

Sistemas de pérdidas multidimensionales

En este Capítulo se generaliza la teoría clásica del teletráfico y se pasa a los sistemas de servicio integrados (RDSI y RDSI-BA). Cada tipo de servicio corresponde a un flujo de tráfico. Se ofrecen varios flujos de tráfico al mismo grupo de enlace.

En el § 10.1 se considera la clásica fórmula multidimensional de pérdidas de Erlang-B. Se trata de un tipo de proceso de Markov reversible que se analizará en mayor detalle en el § 10.2. En el § 10.3 se examinan modelos de pérdidas y estrategias más generales, entre ellos la protección de servicios (asignación máxima) y tráfico BPP multisegmento. Por sus características, de todos estos modelos se pueden obtener resultados y pueden evaluarse muy simplemente mediante el algoritmo de convolución para sistemas de pérdidas, implantado en la herramienta ATMOS (véase el § 10.4). En el § 10.4.2 se examinan otros algoritmos para el mismo problema.

Los modelos considerados están basados en una asignación de canal/segmento flexible. Pueden estar generalizados a redes arbitrarias con conmutación de circuitos y encaminamiento directo, donde se calculan las probabilidades de bloqueo de extremo a extremo (véase el Capítulo 11). Los modelos considerados son indiferentes a la distribución del tiempo de servicio y, por tanto, son resistentes a las aplicaciones. Al final del Capítulo se examinan otros algoritmos.

10.1 Fórmula de Erlang-B multidimensional Considérese un grupo de n líneas de enlace (canales, segmentos), que se le ofrecen dos flujos de tráfico PCT-I independientes: (λ1, μ1) y (λ2, μ2). El tráfico ofrecido resulta A1 = λ1/μ1 y A2 = λ2/μ2, respectivamente.

Sea (i, j) la representación del estado del sistema, es decir i es el número de llamadas del flujo 1 y j es el número de llamadas del flujo 2. Se tienen las siguientes restricciones:

0 ≤ i ≤ n,

0 ≤ j ≤ n, (10.1)

0 ≤ i + j ≤ n.

El diagrama de transición de estado se muestra en la figura 10.1. Bajo la hipótesis de equilibrio estadístico se obtienen las probabilidades de estado resolviendo las ecuaciones de equilibrio global para cada nodo(ecuaciones de nodo), en total (n + 1)(n + 2)/2 ecuaciones.

Como se verá en la sección siguiente este diagrama corresponde a un proceso de Markov reversible, que tiene equilibrio local y, asimismo, la solución tiene forma de producto. Se puede verificar fácilmente que las ecuaciones de equilibrio global se satisfacen por las siguientes probabilidades de estado que se pueden expresar en forma de producto.

donde p(i) y p(j) son distribuciones de Poisson truncadas unidimensionales, Q es una constante de normalización, e (i, j) cumple con las restricciones indicadas anteriormente (10.1). Como hay proceso de llegada de Poisson que disponen de la propiedad PASTA (Poisson Arrivals See Time


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Averages), la congestión temporal, congestión de llamadas y congestión de tráfico son iguales para ambos flujos de tráfico, equivalen a P(i + j = n).

Por expansión binomial o por la convolución de dos distribuciones de Poisson se determinan las siguientes probabilidades de estado combinadas, donde Q se obtiene por normalización:

Esta es la distribución de Poisson truncada (7.8) con el tráfico ofrecido:

A = A1 + A2 (10.5)

Se puede también interpretar este modelo como un sistema de pérdidas de Erlang con un proceso de llegada de Poisson y tiempos de ocupación con distribución hiperexponencial de la siguiente manera. El proceso de llegada total es una superposición de dos procesos de Poisson con el régimen de llegada total:

λ = λ1 + λ2 (10.6)


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Figura 10.1 − Diagrama de transición de estado bidimensional para un sistema de pérdidas con n canales que son ofrecidos dos flujos de tráfico PCT-I. Esto es

equivalente a un diagrama de transición de estado para el sistema de pérdidas M/H2/n, donde la distribución hiperexponencial H2 viene

dada por la ecuación (10.7)

y la distribución del tiempo de ocupación tiene características hiperexponenciales:

Se asignan valores a las dos distribuciones exponenciales conforme al número relativo de llamadas por unidad de tiempo. El tiempo medio de servicio es:


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que está de acuerdo con el tráfico ofrecido.

Se ha mostrado así que el modelo de pérdidas de Erlang es válido para tiempos de ocupación con distribución hiperexponencial. Este es un caso especial de la propiedad general de insensibilidad de la fórmula B de Erlang.

El modelo anterior se puede generalizar a flujos de tráfico N:

que es la fórmula de Erlang B multidimensional general. Por una generalización de la ecuación (10.3) se observa que las probabilidades globales de estado se pueden calcular mediante la recursión siguiente donde q(x) representa las probabilidades de estado relativas, y p(x) las probabilidades de estado absolutas:

Si se utiliza recursión con normalización (véase el § 7.4), se obtendrá entonces la fórmula de recursión para Erlang-B. La fórmula (10.10) es similar a las ecuaciones de equilibrio para el caso Poisson cuando:

La congestión temporal es E = p(n), y mientras la propiedad PASTA es válida, es también igual a la congestión de llamadas y la congestión de tráfico. La evaluación numérica se trata en detalle en el § 10.4.

10.2 Procesos de Markov reversibles En las secciones anteriores se examinó un diagrama de transición de estado bidimensional. Para un número creciente de flujos de tráfico el número de estados (así como las ecuaciones) aumenta muy rápidamente. Sin embargo, se puede simplificar el problema aprovechando la estructura de diagrama de transición de estado. Considérese el diagrama de transición de estado bidimensional que se muestra en la figura 10.2. El proceso es reversible si no hay flujo de circulación en el diagrama. Así, se consideran cuatro estados vecinos, el flujo en sentido horario debe ser igual al flujo en el sentido opuesto (Kingman, 1969 [64]), (Sutton, 1980 [97]). De la figura 10.2 se desprende:


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En el sentido de las agujas del reloj:

En el sentido contrario de las agujas del reloj:

Se pueden reducir ambas expresiones por las probabilidades de estado y obtener así la condición dada por la ecuación (10.12). Se puede ver que una condición necesaria y suficiente para la reversibilidad es que las dos expresiones sean iguales:

Si esta condición se satisface habrá entonces equilibrio local o detallado. Una condición necesaria para la reversibilidad si hay un flujo (una flecha) del estado i al estado j, habrá también un flujo (una flecha) de j a i. Se pueden aplicar localmente ecuaciones de corte entre dos estados conectados cualesquiera. Así, de la figura 10.2 se tiene:

Se puede expresar cualquier probabilidad de estado p(i, j) por la probabilidad de estado p(0, 0) eligiendo cualquier trayecto entre los dos estados (criterio de Kolmogorov). Se puede, por ejemplo, elegir el trayecto:

y se obtendrá la siguiente ecuación de equilibrio:

Por normalización de la masa de probabilidad total se obtiene p(0, 0).

La condición de reversibilidad se satisface en muchos casos, por ejemplo para:


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Figura 10.2 − Criterio de Kolmogorov: una condición necesaria y suficiente para la reversibilidad de un proceso de Markov bidimensional es que el flujo de

circulación entre cuatro estados vecinos en un cuadrado sea cero: Flujo en sentido horario = flujo en sentido contrahorario (10.12)

Si se considera un sistema de pérdidas multidimensional con N flujos de tráfico, cada uno de ellos puede constituir entonces un proceso de Poisson dependiente del estado, en particular flujos de tráfico BPP (Bernoulli, Poisson, Pascal). Para N sistemas dimensionales las condiciones de reversibilidad son análogas a la ecuación (10.12). Para todos los trayectos posibles se debe satisfacer el criterio de Kolmogorov. En la práctica, no se observan problemas pues la solución obtenida bajo la hipótesis de reversibilidad será la solución correcta sí (y sólo si) se satisfacen las ecuaciones de equilibrio de nodo. En la sección siguiente se utilizará esto como base para la introducción de un modelo de tráfico multidimensional muy general.

10.3 Sistemas de pérdidas multidimensionales

En esta sección se examinan generalizaciones de la teoría de teletráfico clásica que tratan de diversos flujos de tráfico ofrecidos a un canal simple/grupo de enlace. Cada flujo de tráfico puede tener parámetros individuales y pueden ser procesos de llegada de Poisson dependientes del estado con tráfico de segmentos múltiples y limitaciones de clase. Esta clase general de modelos es insensible a la distribución del tiempo de ocupación, que puede ser dependiente de la clase con parámetros individuales para cada clase. Las generalizaciones se introducirán una por vez y presentarán un pequeño estudio de caso para ilustrar las ideas básicas.

10.3.1 Limitación de clase En comparación con el caso considerado en el § 10.1 se restringe ahora el número de llamadas simultáneas para cada (clase de) flujo de tráfico. De esta manera, no se tendrá plena accesibilidad pero, a diferencia de los sistemas de rebasamiento donde sólo se tendrá acceso físico a canales específicos, se tendrá ahora acceso a todos los canales, pero en cada instante sólo se podrá ocupar


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un número limitado. Esto se puede utilizar con fines de protección del servicio (protección del circuito virtual = limitación de clase = principio de prioridad umbral). Se introducen restricciones al número de llamadas simultáneas en clase j como sigue:

donde

Si no se cumple esta última restricción, se tendrán grupos separados que corresponden a N sistemas ordinarios de pérdidas unidimensionales independientes. Debido a las restricciones el diagrama de transición de estado es truncado. Esto se muestra en la figura 10.3 para dos flujos de tráfico.

Figura 10.3 − Estructura del diagrama de transición de estado para procesos de tráfico bidimensionales con limitaciones de clase (10.18). Cuando se calculan probabilidades de

equilibrio, el estado (i, j) se puede expresar por el estado (i, j −1) y recursivamente por el estado (i, 0), (i −1, 0), y

finalmente por (0, 0) (10.15)


1) Bloqueo para el flujo 1

2) Bloqueo para el flujo 2

Cabe señalar que el diagrama de transición de estado truncado es aún reversible y que el valor de p(i, j) relativo al valor p(0, 0) no se modifica por el corte (truncamiento). Sólo se modifica la constante de normalización. En efecto, debido a la propiedad de equilibrio local se puede eliminar cualquier estado sin modificar las propiedades precedentes. Se pueden considerar limitaciones de clase más generales a conjuntos de flujo de tráfico de modo tal que cualesquiera de ellos tiene un número de canales asignados (garantizados) mínimo.


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10.3.2 Procesos de tráfico generalizados El estudio no se ha limitar a considerar el tráfico PCT-I solamente como en el § 10.1. Cada flujo de tráfico puede ser un proceso de llegada de Poisson dependiente del estado con un régimen de extinción (partida) lineal dependiente del estado (véase las ecuaciones (10.16) y (10.17)). El sistema satisface aún las condiciones de reversibilidad dadas por la ecuación (10.12). De esta manera, se conserva la forma de producto para los flujos de tráfico BPP y los procesos de Poisson más generales que dependen del estado. Si todos lo flujos de tráfico son procesos (binomiales) de Engset, se obtendrá entonces la fórmula de Engset multidimensional (Jensen, 1948 [49]). Como se indicara anteriormente el sistema es insensible a las distribuciones del tiempo de ocupación. Cada flujo de tráfico puede tener su propia distribución del tiempo de ocupación.

10.3.3 Tráfico multisegmento En sistemas de servicios integrados la anchura de banda requerida puede depender del tipo de servicio. Así, la telefonía de señales vocales puede requerir un solo canal (segmento), mientras que, por ejemplo, un servicio de vídeo puede requerir d canales simultáneamente. Se deben observar las restricciones adicionales siguientes:

y

donde ij es el número real de llamadas tipo j. El diagrama de transición de estado resultante será aún reversible y se presenta en forma de producto. Las restricciones corresponden, por ejemplo, al modelo físico ilustrado en la figura 10.5.

Ejemplo 10.3.1: Modelo de Rönnblom El primer ejemplo de un modelo de tráfico de segmentos múltiples fue publicado por Rönnblom (1958 [94]). El documento examina el tráfico externo (de entrada y de salida) y el tráfico interno en una central telefónica PABX con canales en ambos sentido. El tráfico externo ocupa sólo un canal por llamada. El tráfico interno ocupa un canal de salida y un canal de entrada y requiere así dos canales simultáneamente. Rönnblom demostró que este modelo tiene forma de producto.

Ejemplo 10.3.2: Dos flujos de tráfico Los modelos indicados anteriormente se ilustrarán con un pequeño estudio de caso. Considérese un grupo de enlace de 6 canales que se le ofrecen los dos flujos de tráfico especificados en el cuadro 10.1. Se observa que el segundo flujo de tráfico es de segmentos múltiples. En el sistema se puede tener a lo sumo tres llamadas tipo 2. Sólo es necesario especificar el tráfico ofrecido y no los valores absolutos del régimen de llegada y velocidad del servicio. El tráfico ofrecido se define, por lo general, como el tráfico transportado por un grupo de enlace infinito.

Se tiene el diagrama de transición de estado bidimensional que se muestra en la figura 10.4. La suma total de todas las probabilidades de estado relativas es igual 20,1704. De modo tal que por normalización se obtiene p(0, 0) = 0,0496 y de esta manera las probabilidades de estado siguientes y las probabilidades de estado marginales p(i, . ) y p( . , j).


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Figura 10.4 − Ejemplo 10.3.2: Se trata de seis canales a los que se les ofrece un flujo de tráfico de Poisson (PCT-I) (estados horizontales) y un flujo de tráfico de Engset (PCT-II) (estados verticales). Los parámetros se especifican en el cuadro 10.1. Si al estado (0, 0) se le asigna el valor relativo uno, se obtendrá mediante el equilibrio local las probabilidades de estado

relativas q(i, j) que se muestran más abajo

Flujo 1: Tráfico PCT-I Flujo 2: Tráfico PCT-II

λ1 = 2 llamadas/unidad de tiempo

μ1 = 1 (unidades de tiempo −1)

Z1 = 1 (curtosis)

d1 = 1 canal/llamada

A1 = λ1/μ1 = 2 erlang

n1 = 6 = n

Sa= 4 fuentes

γ2 = 1/3 llamadas/unidad de tiempo/fuente desocupada

μ2 = 1 (unidades de tiempo−1)

β2 = γ2/μ2 = 1/3 erlang por fuente desocupada

Z2 = 1/(1 + β2) 3/4 (curtosis)

d2 = 2 canales/llamada

A2 = S2 . β2/(1 + β2) = 1 erlang

n2= 6 = n


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Cuadro 10.1 − Dos flujos de tráfico: se ofrece al mismo grupo troncal un proceso de tráfico de Poisson (ejemplo 7.4.2) y un proceso de tráfico binomial (ejemplo 8.5.1)

p(i, j) i = 0 i = 1 i = 2 i = 3 i = 4 i = 5 i = 6 p( . ,j)

j = 3

j = 2

j = 1

j = 0

0,0073

0,0331 0,0661 0,0661

0,0661 0,1322 0,1322 0,0881 0,0441

0,0496 0,0992 0,0992 0,0661 0,0331 0,0132 0,0044

0,0073

0,1653

0,4627

0,3647

p(i, . ) 0,1561 0,2975 0,2975 0,1542 0,0771 0,0132 0,0044 1,000

Las probabilidades de estado global resultan:

p(0) = p(0, 0)

p(1) = p(1, 0)

p(2) = p(0, 2) + p(2, 0)

p(3) = p(1, 2) + p(3, 0)

p(4) = p(0, 4) + p(2, 2) + p(4, 0)

p(5) = p(1, 4) + p(3, 2) + p(5, 0)

p(6) = p(0, 6) + p(2, 4) + p(4, 2) + p(6, 0)

= 0,0496

= 0,0992

= 0,1653

= 0,1983

= 0,1983

= 0,1675

= 0,1219

Medida de calidad de funcionamiento para el flujo de tráfico 1:

Debido a la propiedad PASTA la congestión temporal (E1), la congestión de llamadas (B1), y la congestión de tráfico (C1) son idénticas. La congestión temporal E1 se obtiene de la siguiente manera:

E1 = p(6, 0) + p(4, 2) + p(2, 4) + p(0, 6)

= p(6),

E1 = BB1 = C1 = 0,1219,

Y1 = 1,7562:

Medidas de calidad de funcionamiento para el flujo de tráfico 2:

Congestión temporal E2 (intervalo de tiempo en que el sistema se bloquea para el flujo de tráfico 2):

E2 = p(0, 6) + p(1, 4) + p(2, 4) + p(3, 2) + p(4, 2) + p(5, 0) + p(6, 0)

= p(5) + p(6),

E2 = 0,2894:

Congestión de llamadas BB2 (proporción de tentativas de llamada bloqueadas para el flujo de tráfico 2):

El número total de tentativas de llamada por unidad de tiempo se obtiene de la distribución marginal:


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El número de tentativas de llamadas bloqueadas por unidad de tiempo resulta:

Por consiguiente:

Congestión de tráfico C2 (proporción del tráfico ofrecido bloqueado):

El tráfico transportado, medido en la unidad [canal], se obtiene de la distribución marginal:

El tráfico ofrecido, medido en la unidad [canal] es d2 . A2 = 2 erlang (cuadro 10.1). Por consiguiente se obtiene:

En el ejemplo anterior sólo hay 2 flujos y 6 canales y el número total de estados es igual a 14 (véase la figura 10.4). Cuando el número de canales y flujos de tráfico aumenta, el número de estados se incrementa entonces muy rápido y no se podrá evaluar el sistema mediante el cálculo de las probabilidades de estado individuales. En la sección siguiente se presentará el algoritmo de convolución para sistemas de pérdidas, que elimina este problema mediante el agregado de estados.

10.4 Algoritmo de convolución para sistemas de pérdidas Se examinará ahora un grupo de enlace con un total de n líneas de enlaces homogéneas. El término homogéneo significa que tiene el mismo régimen de servicio. Al grupo troncal se le ofrecen n tipo diferentes de llamadas denominado también flujos, o clases. Un tipo de llamada i requiere di líneas de enlace (canales, segmentos) durante el tiempo de servicio completo, es decir los di canales se ocupan y liberan simultáneamente. Los procesos de llegada son generalmente del tipo Poisson dependientes del estado. Para el i-ésimo proceso de llegada, la intensidad de llegada en el estado xi . di, es decir, cuando se está dando servicio a xi llamadas del tipo i, es λi(xi). Se debe limitar el número xi de llamadas simultáneas del tipo i, de modo que:

0 ≤ xi . di ≤ ni ≤ n

Será natural requerir que ni sea un múltiplo entero de di. Este modelo describe, por ejemplo, el sistema que se ilustra en la figura 10.5.


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Figura 10.5 − Generalización del modelo de teletráfico clásico para tráfico BPP y tráfico multisegmento. Los parámetros λi y Zi describen el tráfico BPP,

mientras que di simboliza el número de segmentos requerido


1) Centrales locales

2) Central de tránsito

3) Central de destino

El sistema mencionado anteriormente se puede evaluar de manera eficaz por el algoritmo de convolución presentado en (Iversen, 1987 [42]). En el mismo se describe el algoritmo y luego se explica en mayor detalle con un ejemplo. El algoritmo de convolución está estrechamente relacionado con la forma de producto.

10.4.1 El algoritmo El algoritmo se describe por medio de los tres pasos siguientes.

• Paso 1: Calcular las probabilidades de estado de cada flujo de tráfico como si estuviera sólo en el sistema, es decir se consideran los sistemas de pérdidas clásicos como se describen en los Capítulos 7 y 8. Para el flujo de tráfico i se obtiene:

Sólo los valores relativos de pi(x) son de importancia, de modo tal que se puede seleccionar

qi(0) = 1 y calcular los valores de qi(x) relativos a qi(0). Si un término qi(x) llega a ser mayor que K (por ejemplo 1010), se pueden dividir todos los valores qi(j), 0 ≤ j ≤ x, por K. Para evitar cualquier problema numérico en los cálculos siguientes es conveniente normalizar las probabilidades de estado relativas de modo que:

Como se describe en el § 7.4 se puede normalizar en cada paso para evitar cualquier

problema numérico.


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• Paso 2: Calcular por convoluciones sucesivas (operador de convolución *) las probabilidades de estado agregadas para el sistema total con excepción del número de flujo de tráfico i:

Se efectúa primero la operación de convolución de P1 y P2 y se obtiene P12 que se pone en

convolución con P3, etc. Para el operador de convolución, definido en el modo usual (véase el § 3.2) son válidas las leyes de conmutación y de asociación:

donde

Cabe señalar que el espacio de estado se interrumpe en el estado n. Aun si P3 y Pj están

normalizados, el resultado de una convolución, en general, no está normalizado debido a la interrupción (truncamiento). Se recomienda efectuar la normalización después de cada operación de convolución para evitar problemas numéricos tanto en este paso como en el siguiente.

• Paso 3: Calcular la congestión temporal Ei, la congestión de llamadas BBi, y la congestión de tráfico Ci del flujo i. Esto se efectúa durante la convolución:

Esta convolución da por resultado:

donde para px

i(j), i representa el flujo de tráfico, j el número total de canales ocupados, y x el número de canales ocupados por el número de flujo i. Los Pasos 2 y 3 se repiten para cada flujo de tráfico. A continuación se extraen las fórmulas para determinar los valores de Ei, BBi, y Ci.

La congestión temporal Ei para el flujo de tráfico i resulta:

donde

La sumatoria se extiende a todos los estados SEi donde las llamadas que pertenecen a la clase i se bloquean: el conjunto {x > ni − di} corresponde a los estados donde el flujo de tráfico i ha utilizado su cuota, y (j > n − di) corresponde a los estados con menos de di canales desocupados. Q es la constante de normalización:


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(En esta fase de desarrollo se han normalizado, por lo general, las probabilidades de estado, de modo que Q = 1).

La congestión de llamadas Bi para el flujo de tráfico i es el cociente entre el número de tentativas de llamada bloqueadas y el número total de tentativas de llamada, ambos para el flujo de tráfico i, y, por ejemplo, por unidad de tiempo. Resulta entonces:

Congestión de tráfico Ci: El tráfico ofrecido se define habitualmente como el tráfico transportado por un grupo de enlace infinito. El tráfico transportado para el flujo de tráfico i es:

Se obtiene así:

Cuadro 10.2 − El flujo de tráfico de Pascal (Ejemplo 8.7.2) se ofrece a la misma línea de enlace que los dos flujos de tráfico del cuadro 10.1

Flujo 3: Tráfico de Pascal (binomial negativo)

S3 = −2 fuentes γ3 = −γ3/μ3 llamadas/unidad de tiempo μ3 = 1 (unidad de tiempo−1) β3 = 3/γ3 = −1/3 erlang por fuente desocupada Z3 = 1/(1 + β3) = 3/2 d3 = 1 canales/llamada A3 = S3 . (1 −Z3) = 1 erlang n3 = 4 (N° máximo de llamadas simultáneas)

El algoritmo se aplica en la herramienta PC "ATMOS" (Listov-Saabye y Iversen, 1989 [75]). El requisito de almacenamiento es proporcional a n pues se puede calcular las probabilidades de estado de un flujo de tráfico cuando sea necesario. En la práctica se utiliza un almacenamiento proporcional con n . N, pues se ahorra la necesidad de obtener resultados intermedios de las convoluciones para reutilización posterior. Se puede ver (Iversen y Stepanov, 1997 [44]) que cuando se calculan las características de tráfico para los n flujos de tráfico es necesario efectuar (4 . N −6) convoluciones. Así, el tiempo de cálculo es lineal en N y cuadrático en n.

Ejemplo 10.4.1: Desconvolución

En principio, se puede obtener QN/i a partir de QN por un proceso de desconvolución y, posteriormente, durante una nueva operación de convolución de Pi calcular las medidas de calidad


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de funcionamiento. De esta manera no es necesario repetir todas las convoluciones (10.22) para cada flujo de tráfico. Sin embargo, cuando se aplica este método se producen problemas numéricos. La convolución es muy estable desde el punto de vista numérico y, por tanto, en algunos casos se puede aplicar el proceso de desconvolución por ejemplo, cuando las fuentes de tráfico son del tipo activado/desactivado.

Ejemplo 10.4.2: Tres flujos de tráfico Se ilustra primero el algoritmo con un pequeño ejemplo y luego se efectúan los cálculos en detalle. Se considera un sistema con 6 canales y 3 flujos de tráfico. Además de los dos flujos que figuran en el Ejemplo 10.3.2 se agrega un flujo de Pascal con limitación de clase como se muestra en el cuadro 10.2 (véase el Ejemplo 8.7.2). Se desea calcular las medidas de calidad de funcionamiento del flujo de tráfico 3.

• Paso 1: Calcular las probabilidades de estado pi(j) de cada flujo de tráfico i (i = 1, 2, 3, j = 1, 2, . . ., ni) como si estuviera solo. Los resultados se indican en el cuadro 10.3.

• Paso 2: Evaluar la convolución de p1(j) con p2(k), p1 * p2, interrumpir el espacio de estado en n = 6 (truncamiento), y normalizar las probabilidades de modo que se obtenga el valor de p12 que figura en el cuadro 10.3. Cabe señalar que este es resultado obtenido en el Ejemplo 10.3.2.

• Paso 3: Efectuar la operación de convolución de p12(j) con p3(k), la operación de truncamiento en n, y obtener q123(j) como figura en el cuadro 10.3.

Cuadro 10.3 − Algoritmo de convolución aplicable al Ejemplo 10.4.2. Las probabilidades de estado para los flujos de tráfico individuales

se han calculado en los ejemplos 7.4.2, 8.5.1 y 8.7.2

Estado Probabilidades q12(j) Normalizado Prob. q123(j) Normalizado

j p1(j) p2(j) p1 * p2 p12(j) p3(j) p12 * p3 p123(j)

0 0,1360 0,3176 0,0432 0,0496 0,4525 0,0224 0,025 855

1 0,2719 0,0000 0,0864 0,0992 0,3017 0,0599 0,068 946

2 0,2719 0,4235 0,1440 0,1653 0,1508 0,1122 0,129 275

3 0,1813 0,0000 0,1727 0,1983 0,0670 0,1579 0,181 942

4 0,0906 0,2118 0,1727 0,1983 0,0279 0,1825 0,210 350

5 0,0363 0,0000 0,1459 0,1675 0,0000 0,1794 0,206 712

6 0,0121 0,0471 0,1062 0,1219 0,0000 0,1535 0,176 920

Total 1,0000 1,0000 0,8711 1,0000 1,0000 0,8678 1,000 000

La congestión temporal E3 se obtiene de las probabilidades de estado detalladas. El flujo de tráfico 3 (tráfico de un solo segmento) experimenta la congestión temporal cuando los 6 canales están ocupados y cuando el flujo de tráfico ocupa 4 canales (asignación máxima). De las probabilidades de estado detalladas se obtiene:


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Cabe señalar que el estado {p3(4) . p12(2)} esta incluido en el estado q123(6). El tráfico transportado para el flujo de tráfico 3 se obtiene durante la convolución de p3(i) p12(j) y resulta:

Como el tráfico ofrecido es A3 = 1, se obtiene:


La congestión de llamadas resulta:

donde xl es el número llamadas perdidas por unidad de tiempo, y xt es el número total de tentativas de llamada por unidad de tiempo. Utilizando las probabilidades normalizadas que figuran en el cuadro 10.3 se obtiene {λ3(i) = (S3 −i) γ3}:


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Se obtiene así:

De manera similar intercambiando el orden de los flujos de tráfico convolucionados se obtienen las medidas de calidad de funcionamiento de los flujos 1 y 2. El número total de microestados en este ejemplo es 47. Por el método de convolución se reduce el número de estados de modo tal que nunca es necesario utilizar más de dos vectores de cada n + 1 estados, es decir 14 estados.

Mediante la utilización de la herramienta ATMOS se obtienen los siguientes resultados que figuran en el cuadro 10.4. La congestión total se puede dividir en congestión debida a la limitación de clase (ni), y congestión debida al número de canales limitado (n).

Cuadro 10.4 − Datos de entrada para ATMOS para el ejemplo 10.4.2 con tres flujos de tráfico. tmo significa tiempo medio de ocupación

Entrada Número total de canales n = 6

Tráfico ofrecido

Curtosis Núm. Máx

Segmentos/llamada tmo Fuentes beta

i Ai Zi ni di 1−iμ Si βi

1 2,0000 1,0000 6 1 1,0000 ∞ 0

2 2,0000 0,7500 6 2 1,0000 4 0,3333

3 1,0000 1,5000 4 1 1,0000 -2 -0,5000


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Cuadro 10.5 − Datos de salida de ATMOS para los datos de entrada en el cuadro 10.4.1

Salida Congestión de llamada

Congestión de tráfico

Congestión temporal

Tráfico transportado

i Bi Ci Ei Yi

1 1,769 200E-01 1,769 200E-01 1,769 200E-01 1,646 160

2 3,346 853E-01 2,739 344E-01 3,836 316E-01 1,452 131

3 2,127 890E-01 2,884 898E-01 1,817 079E-01 0,711 510

Total 2,380 397E-01 3,809 801

Ejemplo 10.4.3: Ejemplo a gran escala

Para ilustrar la herramienta ATMOS se considerará en los cuadros 10.6 y 10.7 un ejemplo con 1536 líneas de enlace y 24 flujos de tráfico. Se debe señalar que la congestión temporal es independiente del grado de curtosis Zi y proporcional al tamaño del segmento di, pues a menudo se tiene:

Esto es obvio pues la congestión temporal sólo depende de las probabilidades de estado globales. La congestión de llamadas es casi igual a la congestión temporal. Depende en escasa medida del tamaño del segmento. Esto también se ha de aguardar pues la congestión de llamadas es igual a la congestión temporal con una fuente suprimida (teorema de llegada). En el cuadro con los datos de salida se indica en la última columna de la derecha la congestión de tráfico relativa dividida por (di

. Zi), utilizando el tráfico de Poisson de un segmento como valor de referencia ( di = Zi = 1). Se debe señalar que la congestión de tráfico es proporcional a di . Zi, que es la hipótesis usual cuando se utiliza el método de tráfico aleatorio equivalente (ERT) (véase el Capítulo 9). El valor medio de tráfico ofrecido aumenta la linealidad con el tamaño del segmento, mientras que la varianza se incrementa con el cuadrado del tamaño del segmento. La relación de curtosis (varianza/valor medio) para el tráfico de segmentos múltiples aumenta así la linealidad con el tamaño del segmento. Se observa que la congestión de tráfico es mucho más trascendente que la congestión temporal y la congestión de llamada, para caracterizar la calidad de funcionamiento del sistema. Si la congestión de tráfico total se calcula utilizando el método de Fredericks y Hayward (véase el § 9.2), se tendrá una congestión de tráfico total igual a 6,114% (véase el Ejemplo 9.3.2 y el cuadro 10.7). El valor exacto es 5,950 %.


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Cuadro 10.6 − Datos de entrada para el Ejemplo 10.4.3 con 24 flujos de tráfico y 1536 canales. El número de llamadas simultáneas máximo de tipo i(ni) es,

en este ejemplo, n = 1536 (accesibilidad total), y tmo es la abreviatura de tiempo medio de ocupación

Entrada Número total de canales n = 1536

Tráfico ofrecido

Curtosis Nº Máx sim.

Canales/ llamada

tmo Fuentes

i Ai Zi ni di μi S β

1 64,000 0,200 1536 1 1,000 80,000 4,000

2 64,000 0,500 1536 1 1,000 128,000 1,000

3 64,000 1,000 1536 1 1,000 ∞ 0,000

4 64,000 2,000 1536 1 1,000 -64,000 -0,500

5 64,000 4,000 1536 1 1,000 -21,333 -0,750

6 64,000 8,000 1536 1 1,000 -9,143 -0,875

7 32,000 0,200 1536 2 1,000 40,000 4,000

8 32,000 0,500 1536 2 1,000 64,000 1,000

9 32,000 1,000 1536 2 1,000 ∞ 0,000

10 32.000 2,000 1536 2 1,000 -32,000 -0,500

11 32,000 4,000 1536 2 1,000 -10,667 -0,750

12 32,000 8,000 1536 2 1,000 -4,571 -0,875

13 16,000 0,200 1536 4 1,000 20,000 4,000

14 16,000 0,500 1536 4 1,000 32,000 1,000

15 16,000 1,000 1536 4 1,000 ∞ 0,000

16 16,000 2,000 1536 4 1,000 -16,000 -0,500

17 16,000 4,000 1536 4 1,000 -5,333 -0,750

18 16,000 8,000 1536 4 1,000 -2,286 -0,875

19 8,000 0,200 1536 8 1,000 10,000 4,000

20 8,000 0,500 1536 8 1,000 16,000 1,000

21 8,000 1,000 1536 8 1,000 ∞ 0,000

22 8,000 2,000 1536 8 1,000 -8,000 -0,500

23 8,000 4,000 1536 8 1,000 -2,667 -0,750

24 8,000 8,000 1536 8 1,000 -1,143 -0,875


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Cuadro 10.7 − Salida para el ejemplo 10.4.3 con datos de entrada que figuran en el cuadro 10.6. Como se mencionó en el ejemplo 9.3.2, el método de

Fredericks y Hayward produce una congestión total igual a 6,114 %. La congestión de tráfico total 5,950 % se obtiene

del tráfico transportado total y el tráfico ofrecido

Salida Congestión de llamada

Congestión de tráfico

Congestión temporal

Tráfico transportado

Valor relativo

i Bi Ci Ei Yi Ci(diZi)

1 6,187 744E-03 1,243 705E-03 6,227 392E-03 63,920 403 0,9986

2 6,202 616E-03 3,110 956E-03 6,227 392E-03 63,800 899 0,9991

3 6,227 392E-03 6,227 392E-03 6,227 392E-03 63,601 447 1,0000

4 6.276 886E-03 1,247 546E-02 6,227 392E-03 63,201 570 1,0017

5 6,375 517E-03 2,502 346E-02 6,227 392E-03 62,398 499 1,0046

6 6,570 378E-03 5,025 181E-02 6,227 392E-03 60,783 884 1,0087

7 1,230 795E-02 2,486 068E-03 1,246 554E-02 63,840 892 0,9980

8 1,236 708E-02 6,222 014E-03 1,246 554E-02 63,601 791 0,9991

9 1,246 554E-02 1,246 554E-02 1,246 554E-02 63,202 205 1,0009

10 1,266 184E-02 2,500 705E-02 1,246 554E-02 62,399 549 1,0039

11 1,305 003E-02 5,023 347E-02 1,246 554E-02 60,785 058 1,0083

12 1,379 446E-02 1,006 379E-01 1,246 554E-02 57,559 172 1,0100

13 2,434 998E-02 4,966 747E-03 2,497 245E-02 63,682128 0,9970

14 2,458 374E-02 1,244 484E-02 2,497 245E-02 63,203 530 0,9992

15 2,497 245E-02 2,497 245E-02 2,497 245E-02 62,401 763 1,0025

16 2,574 255E-02 5,019 301E-02 2,497 245E-02 60,787 647 1,0075

17 2,722 449E-02 1,006 755E-01 2,497 245E-02 57,556 771 1,0104

18 2,980 277E-02 1,972 682E-01 2,497 245E-02 51,374 835 0,9899

19 4,766 901E-02 9,911 790E-03 5,009 699E-02 63,365 645 0,9948

20 4,858 283E-02 2,489 618E-02 5,009 699E-02 62,406 645 0,9995

21 5,009 699E-02 5,009 699E-02 5,009 699E-02 60,793 792 1,0056

22 5,303 142E-02 1,007 214E-01 5,009 699E-02 57,553 828 1,0109

23 5,818 489E-02 1,981 513E-01 5,009 699E-02 51,318 316 0,9942

24 6,525 455E-02 3,583 491E-01 5,009 699E-02 41,065 660 0,8991

Total 5,950 135E-02 1444,605


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10.4.2 Otros algoritmos El algoritmo de convolución para sistemas de pérdidas se publicó por primera vez en (Iversen, 1987 [42]). Un método similar a un modelo menos generalizado fue publicado en dos documentos por Ross y Tsang (1990 [92]), (1990 [93]) sin referencia al documento original de 1987 si bien estaba en conocimiento de los autores. En el caso de los procesos de llegada de Poisson los algoritmos resultan muy simples, y se encuentra el algoritmo de Fortet y Grandjean (Fortet y Grandjean, 1964 [30]):

El algoritmo se conoce generalmente por algoritmo de Kaufman y Roberts pues fue redescubierto por esos autores en 1981 (Kaufman, 1981 [58]) (Roberts, 1981 [90]). El mismo modelo con tráfico BPP y sin limitación de clase ha sido tratado por diversos autores.

El algoritmo de Delbrouck (Delbrouck, 1983 [23]) es el primero y más general de ellos:

donde ⎣y⎦ representa la parte entera de y. Las probabilidades de estado relativas q(i) están normalizadas para obtener las probabilidades de estado absolutas:

Para evitar problemas numéricos se puede normalizar después de cada paso en la iteración como se describe a continuación (véase el § 7.4). El algoritmo de Delbrouck se puede formular como sigue, observando que la sumatoria interna es una ponderación geométrica de probabilidades de estado previas:

δi(x) = 0 siempre que x<di, (10.34)

q(x) = 0 siempre que x < 0 (10.36)

Para los procesos de llegada Poisson se tiene β = 0. Este algoritmo modificado sólo requiere un número limitado de probabilidades de estado previas. Esta es una generalización del procedimiento obtenido por la ecuación (7.26) para calcular la congestión temporal de manera simple.

Kraimeche y Schwartz (1983 [69]) publicaron un algoritmo similar. Basado en la teoría para redes en fila de espera (véase el Capítulo 14) Pinsky y Conway (1992 [85]) publicaron un algoritmo similar, que calcula la constante de normalización.

Los algoritmos mencionados anteriormente requieren en el caso general el mismo número de operaciones que el algoritmo de convolución. El algoritmo de Delbrouck sólo es más efectivo que el algoritmo de convolución para el caso de Poisson. Los algoritmos mencionados en esta sección no se pueden aplicar a procesos de Poisson generales que dependen del estado, sólo a modelos de tráfico BPP. En principio, se pueden aplicar los algoritmos de Delbrouck para tráfico BPP para calcular las probabilidades de estado globales para los primeros (N −1) flujo de tráfico y luego


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utilizar el algoritmo de convolución para calcular las medidas de calidad de funcionamiento para el N-ésimo flujo de tráfico. Esto es sólo más efectivo si hay más de un flujos de tráfico de Poisson. Para un estudio detallado del algoritmo de Delbrouck se puede también obtener congestión de llamadas y congestión de tráfico.

Ejemplo 10.4.4: Algoritmo de Delbrouck Se aplicará ahora el algoritmo de Delbrouck (10.31) al Ejemplo 10.3.2. Se debe señalar que para el flujo de tráfico de Poisson la sumatoria interna en la ecuación (10.31) llega a ser sólo un estado (véase la ecuación (10.30)) si se conoce el tráfico ofrecido total. Por aplicación directa del algoritmo se obtienen las mismas probabilidades de estado globales como anteriormente.

Las probabilidades de estado relativas se añaden a 1352723 . Las probabilidades de estado globales

absolutas llegan a ser idénticas con los resultados obtenidos anteriormente:

La congestión temporal se obtiene directamente de las probabilidades de estado globales, y la congestión de llamadas se puede obtener para un flujo de tráfico binomial-Pascal llevando a término los mismos cálculos con una fuente menos.


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CAPÍTULO 11 Dimensionamiento de las redes de telecomunicaciones

La planificación de redes abarca el diseño, la optimización y el funcionamiento de las redes de telecomunicaciones. En este Capítulo se tratarán los aspectos relacionados con la ingeniería de tráfico de la planificación de redes. En el § 11.1 se introducen las matrices de tráfico y el método fundamental de factor doble (método de Kruithof) para actualizar las matrices de tráfico siguiendo las previsiones. La matriz de tráfico contiene la información básica necesaria para seleccionar la topología (§ 11.2) y el encaminamiento del tráfico (§ 11.3).

En el § 11.4 se analiza el cálculo aproximado de las probabilidades de bloqueo de extremo a extremo y se describe el método de Erlang del punto fijo (método de carga reducida). En el § 11.5 se generaliza el algoritmo de convolución presentado en el Capítulo 10 a redes con cálculo exacto de bloqueo de extremo a extremo en redes con conmutación de circuitos virtuales y encaminamiento directo. El modelo permite el tráfico BPP multisegmento con asignación mínima y máxima. El mismo modelo puede aplicarse a las redes jerárquicas celulares inalámbricas con células superpuestas y a las redes ópticas con multiplexación por división de longitud de onda (WDM). En el § 11.6 se examinan los mecanismos de protección del servicio.

Por último, en el § 11.7 se analiza la optimización de las redes de telecomunicación mediante la aplicación del principio de Moe.

11.1 Matrices de tráfico Para especificar la demanda de tráfico en una zona con centrales K se deben conocer los valores de tráfico de K2 Aij(i, j = 1, . . ., K), como se indica en el siguiente esquema que se denomina matriz de tráfico.

Aij es el tráfico de i a j.

Aii es el tráfico interno en la central i. O(i) es el tráfico de salida total originado en i. T(j) es el tráfico de entrada (terminación) total a j.

Leyendas de la ecuación 1) DE 2) A


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La matriz de tráfico supone que se conoce la ubicación de las centrales. Conociendo la matriz de tráfico la tarea es:

1 decidir la topología de la red (¿qué centrales deben estar interconectadas?)

2 decidir el encaminamiento de tráfico (¿cómo se puede aprovechar una topología dada?

Las dos tareas son interdependientes.

11.1.1 Método de factor doble de Kruithof Supóngase que se conoce la matriz de tráfico real y que se tiene una previsión para las sumas de las filas O(i) y las sumas de las columnas T(i) y futuras, es decir el tráfico de entrada y salida total para cada central. Este pronóstico de tráfico se puede obtener de las previsiones de abonado para cada una de las centrales. Por medio del método de factor doble (Kruithof, 1937 [70]) se puede estimar cada valor futuro Aij de la matriz de tráfico. El procedimiento es ajustar cada valor Aij, de modo tal que concuerden con las nuevas sumas de fila/columna:

donde S0 es la suma real y S1 es la nueva suma de la fila/columna considerada.

Si se comienza ajustando Aij con respecto a la nueva suma de fila Si, las sumas de las filas estarán de acuerdo pero las sumas de las columnas pueden no concordar con los valores deseados. Por tanto, el próximo paso es ajustar los valores obtenidos Aij con respecto a las sumas de columnas de modo que éstas concuerden, pero esto implica que las sumas de filas ya no estarán de acuerdo. Mediante el ajuste alternativo de las sumas de filas y columnas los valores obtenidos convergirán, luego de algunas iteraciones, hacia valores únicos. El procedimiento se ilustra mejor con el ejemplo dado a continuación.

Ejemplo 11.1.1: Aplicación del método de factor doble de Kruithof Se examina una red de telecomunicación que tiene dos centrales. La presente matriz de tráfico está dada como:

1 2 Suma

1

2

10 20

30 40

30

70

Suma 40 60 100

El pronóstico de tráfico de origen de terminación total para cada central es:

1 2 Suma

1

2

45

105

Suma 50 100 100

La tarea es entonces estimar cada valor de la matriz mediante el método de factor doble.


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Iteración 1: Ajustar las sumas de las filas. Se multiplica la primera fila por (45/30) y la segunda fila por (105/70) y se obtiene:

1 2 Suma

1

2

15 30

45 60

45

105

Suma 60 90 150

Las sumas de las filas son ahora correctas, pero las sumas de las columnas no lo son.

Iteración 2: Ajustar las sumas de las columnas:

1 2 Suma

1

2

12,50 33,33

37,50 66,67

45,83

104,17

Suma 50,00 100 150,00

Tenemos ahora las sumas correctas de las columnas, mientras que las sumas de las filas presentan valores algo desviados. se continúa ajustando alternativamente las sumas de filas y columnas:

Iteración 3: 1 2 Suma

1

2

12,27 32,73

37,80 67,20

45,00

105,00

Suma 50,07 99,93 150,00

Iteración 4:

1 2 Suma

1

2

12,25 32,75

37,75 67,25

45,00

105,00

Suma 50,00 100,00 150,00

Después de cuatro iteraciones las sumas de las filas y de las columnas concuerdan con dos decimales.

Existen otros métodos para estimar los valores de tráfico individuales futuros Aij, pero el método de factor doble de Kruithof tiene propiedades importantes (Bear, 1988 [5]):

• Unicidad. Para una determinada previsión hay una sola solución.

• Reversibilidad. La matriz resultante se puede invertir a la matriz inicial con el mismo procedimiento.


- 205 -

• Transitividad. La matriz resultante es la misma independientemente si fue obtenida en un paso o a través de una serie de transformaciones intermedias, (por ejemplo una previsión de cinco años o cinco previsiones de un año).

• Invarianza con referencia a la numeración de las centrales. Se puede cambiar la numeración de las centrales sin influencia en el resultado.

• Fraccionamiento. Las centrales se pueden dividir en subcentrales o se pueden añadir a centrales más grandes sin influenciar el resultado. Esta propiedad no se satisface exactamente con el método de factor doble de Kruithof, pero las desviaciones son pequeñas.

11.2 Topologías En el Capítulo 1 se han descrito las topologías básicas como red en estrella, red poligonal, red en anillo, red jerárquica y red no jerárquica.

11.3 Principios de encaminamiento Este es un tema extenso que incluye entre otros el encaminamiento de tráfico alternativo, repartición de las cargas, etc. En (Ash, 1998 [3]) figura una descripción detallada sobre este tema.

11.4 Métodos de cálculo de extremo a extremo aproximados Si se supone que los enlaces de una red son independientes, es fácil entonces calcular la probabilidad de bloqueo de extremo a extremo. Por medio de las fórmulas clásicas se calcula la probabilidad de bloqueo de cada enlace. Si la probabilidad de bloqueo del enlace i se simboliza por Ei se obtiene entonces la probabilidad de bloqueo de extremo a extremo para una tentativa de llamada sobre la ruta j como sigue:

donde R es el conjunto de enlaces incluido en la ruta de la llamada. Este valor será el caso más desfavorable pues el tráfico está regularizado por el bloqueo de cada enlace y, por tanto, experimenta menos congestión en el último vínculo de una ruta.

11.4.1 Método del punto fijo

Una llamada ocupa generalmente canales en más enlaces y en general el tráfico estará correlacionado con cada uno de los enlaces de una red. La probabilidad de bloqueo experimentada por una tentativa de llamada en cada uno de los enlaces también estarán correlacionada. El método Erlang del punto fijo es una tentativa para tomar esto en cuenta.

11.5 Métodos de cálculo exactos de extremo a extremo

Las redes de telecomunicación con conmutación de circuitos y encaminamiento directo tienen la misma complejidad que las redes de fila de espera con muchas cadenas (véase el § 14.9 y el cuadro 14.3). Es necesario contabilizar el número de canales ocupados en cada enlace. Por tanto, el número de estados máximo resulta:


- 206 -

Cuadro 11.1 – En una red de telecomunicación con conmutación de circuitos y encaminamiento directo dxy representa el tamaño del segmento (demanda de

anchura de banda) de la ruta x por el vínculo y (véase el cuadro 14.3)

Enlace Ruta

1 2 . . . N

Número de canales

1

2

.

…

.

K

C11 C21 . . . CN1

C12 C22 . . . CN2

. . .

. . . . . . . . .

. . .

C1k C2k . . . CNK

n1

n2

.

. . .

.

nK

11.5.1 Algoritmo de convolución El algoritmo de convolución descrito en el Capítulo 10 se puede aplicar a redes con encaminamiento directo pues hay una forma de producto entre las rutas. La convolución se hace multidimensional, siendo la dimensión el número de enlaces en la red. La interrupción del espacio de estado se hace más compleja y el número de estados aumenta considerablemente.

11.6 Control de carga y protección de servicio En una red de telecomunicación con muchos usuarios que compiten por los mismos recursos (acceso múltiple) es importante especificar las demandas de los servicios de los usuarios y asegurar que el GoS se cumple en condiciones normales de servicio. En la mayoría de los sistemas se puede asegurar que los abonados preferenciales (policía, servicios médicos, etc.) tienen mayor prioridad que los abonados comunes cuando efectúan tentativas de llamada. Durante las condiciones normales de tráfico se debe garantizar que todos los abonados para todo tipo de llamadas (locales, nacionales, internacionales) tienen aproximadamente el mismo nivel de servicio, por ejemplo el 1 % de bloqueo. Durante situaciones de sobrecarga las tentativas de llamada de algunos grupos de abonados no debe estar completamente bloqueada mientras que al mismo tiempo otros grupos experimenten bajos porcentajes de bloqueo.

Históricamente, esto se ha satisfecho debido a la estructura descentralizada y la aplicación de accesibilidad limitada (distribución del tráfico), que desde el punto de vista de protección del servicio son aún aplicables y útiles.

Los sistemas y redes digitales tienen una complejidad creciente y sin medidas preventivas el tráfico transportado en función del tráfico ofrecido tendrá típicamente una forma similar a las del sistema Aloha (véase la figura 6.4). Para asegurar que un sistema continúe funcionando a máxima capacidad durante sobrecarga se aplican diversas estrategias. En sistemas (centrales) se puede introducir separación entre llamadas y asignar prioridades a las tareas (véase el Capítulo 13). En redes de telecomunicación son comunes dos estrategias: reservas de líneas de enlace y protección virtual de canales.


- 207 -

Figura 11.1 − Encaminamiento de tráfico alternativo (véase el ejemplo 11.6.2). El tráfico de A a B se transporta en parte por la ruta directa

(ruta primaria = ruta de explotación intensa), y parte por la ruta secundaria a través de la central de tránsito T


1) Ruta de protección del servicio

2) Ruta de última elección

3) Ruta de elección única

4) Ruta primaria = ruta de explotación intensa

11.6.1 Reserva de líneas de enlace

En redes de telecomunicación jerárquica con encaminamiento alternativo se desea proteger el tráfico primario frente al tráfico de desbordamiento. Si se considera parte de una red (véase la figura 11.1), el tráfico directo AT competirá con el tráfico de desbordamiento de AB para canales desocupados en el grupo de enlace AT. Como el tráfico AB tiene ya una ruta directa, se desea dar al tráfico AT prioridad a los canales en el enlace AT. Esto se puede efectuar introduciendo una reserva de líneas de enlace (canales). Se permite al tráfico AB tener acceso a los canales AT sólo si hay más de r canales desocupados en AT (r = parámetro de reserva). De esta manera, el tráfico AT tendrá mayor prioridad a los canales en el enlace AT. Si todas las llamadas tienen el mismo tiempo medio de ocupación ( μ1 = μ2 = μ) y tráfico PCT-I con tráfico de segmento único, se puede establecer fácilmente un diagrama de transición de estado y calcular la probabilidad de bloqueo.

Si cada flujo de tráfico tiene tiempos medios de ocupación diferentes, o si se considera el tráfico binomial y Pascal, se tendrá que establecer entonces un diagrama de transición de estado de N dimensiones que no será reversible. De esta manera no se pueden aplicar los algoritmos formulados en el Capítulo 10.

Un inconveniente esencial en las reservas de línea de enlace es que se trata de una estrategia local, que sólo considera un grupo de enlace troncal, y no la totalidad de conexión de extremo a extremo. Asimismo, es un mecanismo unidireccional que protege un flujo de tráfico frente a otro, pero no el caso contrario. Por consiguiente, esto se puede aplicar para la protección mutua de conexiones y servicios en redes RDSI-BA.


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Ejemplo 11.6.1 En un sistema de comunicación móvil celular se puede asegurar menor probabilidad de bloqueo para el traspaso de llamadas que el observado por nuevas tentativas de llamada mediante la reserva del último canal desocupado (denominado canal de guarda) para traspasar llamadas.

11.6.2 Protección del canal virtual En un sistema de servicios integrados es necesario proteger mutuamente todos los servicios y garantizar un determinado grado de servicio. Esto se puede obtener por a) una determinada asignación de anchura de banda mínima que asegura un determinado servicio mínimo, y b) una atribución máxima que permite aprovechar las ventajas de la multiplexión estadística y asegura que no predomina un solo servicio. Esta estrategia tiene la forma de producto básica y las probabilidades de estado son insensibles a la distribución del tiempo de servicio. Además, el GoS está garantizado no sólo sobre la base de un enlace, sino de extremo a extremo.

11.7 Principio de Moe Teorema 11.1 Principio de Moe: la asignación del recurso óptimo se obtiene por el equilibrio simultáneo de ingresos marginales y costos marginales sobre todo los sectores.

En esta sección se presentan los principios básicos publicados por Moe en 1924. Se considera un sistema con algunos sectores que consumen recursos (equipos) para elementos de producción (tráfico). El problema se puede dividir en dos partes:

a) Dado que se dispone de una cantidad limitada de recursos, ¿cómo se deben distribuir estos recursos entre los sectores?

b) ¿Cuántos recursos se deben asignar en total?

Los principios se aplican en general para toda clase de producciones. En este caso los recursos corresponden a cables y equipos de conmutación y la producción comprende tráfico transportado.

Un sector puede ser un enlace a una central. El problema puede ser el dimensionamiento de enlaces entre una determinada central y sus centrales vecinas en las cuales hay conexiones directas. El problema es, entonces:

a) ¿Cuánto tráfico se puede conducir en cada enlace cuando se transporta una cantidad de tráfico fija total?

b) ¿Cuánto tráfico se debe transportar en total?

La cuestión a) se resuelve en el § 11.7.1 y la cuestión b) en el § 11.7.2. Se pueden efectuar deducciones similares para variables discretas correspondientes a un número de canales (Principio de Moe, (Jensen, 1950 [50])).

11.7.1 Equilibrio de los costos marginales de equilibrado Supóngase tener conexiones directas de una determinada central a otras k centrales. El costo de una conexión a una central i se supone que es una función lineal de número de canales:

El costo total de cables resulta entonces:

donde C0 es una constante.


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El tráfico transportado total es una función del número de canales:

Como siempre se opera con recursos limitados se tendrá:

En un sistema de pérdidas puro Dil corresponde a la función mejora, que siempre es positiva para un número finito de canales en razón de la convexidad de la fórmula B de Erlang.

Se desea minimizar C para un determinado tráfico transportado total Y :

Por aplicación del multiplicador de Lagrange ϑ, donde se introduce G = C −ϑ . f, esto es equivalente a :

Una condición necesaria para la solución mínima es:

o

Una condición necesaria para la solución óptima es que el incremento marginal del tráfico transportado cuando aumenta el número de canales (función mejora) dividido por el costo para un canal debe ser idéntico para todos los grupos de enlace (7.31).

Por medio de derivadas de segundo orden es posible determinar un conjunto de condiciones necesarias para establecer condiciones suficientes que está dado en el Principio de Moe (Jensen, 1950 [50]). La funciones de mejora que se tratan cumplen siempre estas condiciones.

Si también hay diferentes ingresos gi para cada grupo de enlace (direcciones), se debe incluir entonces un factor de ponderación adicional, y en los resultados de la ecuación (11.12) se debe reemplazar ci por ci/gi.

11.7.2 Tráfico transportado óptimo

Supóngase el caso en que el tráfico transportado, que es una función del número de canales (11.7), es Y. Si los ingresos se simbolizan con R(Y) y los costos con C(Y) (11.6), los beneficios resultan entonces:

Una condición necesaria para el beneficio óptimo es:


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es decir el ingreso marginal debe ser igual al costo marginal.

Empleando:

se obtiene la solución óptima para:

que mediante la utilización de la ecuación (11.12) resulta:

El factor ϑ dado por la ecuación (11.12) es el cociente entre el costo de un canal y el tráfico que se puede transportar adicionalmente si el enlace se extiende por un canal. Así, se agregarán canales al enlace hasta que el ingreso marginal sea igual al costo marginal ϑ (7.33).

Ejemplo 11.7.1: Asignación de la capacidad óptima Se consideran dos enlaces (grupos de enlace) donde el tráfico ofrecido es 3 erlang y 15 erlang, respectivamente. Los canales para los dos sistemas tienen el mismo costo y hay un total de 25 canales disponibles. ¿Cómo se deben distribuir los 25 canales entre los dos enlaces?

De la ecuación (11.12) se observa que las funciones de mejora deben tener los mismos valores para los dos sentidos. Por tanto, se prosigue utilizando una tabla:

A1 = 3 erlang A2 = 15 erlang

n1 F1,n(A1) n2 F1,n(A2)

3 0,4201 17 0,4048

4 0,2882 18 0,3371

5 0,1737 19 0,2715

6 0,0909 20 0,2108

7 0,0412 21 0,1573

Para n1 = 5 y n2 = 20 se utilizan los 25 canales. Esto produce una congestión del 11,0%, y 4,6%, respectivamente, es decir alta congestión para el grupo de enlace más pequeño.

Ejemplo 11.7.2: Optimización del triángulo Esta es una optimización clásica de una red en triángulo que utiliza encaminamiento de tráfico alternativo (véase la figura 11.1). De A a B se tiene una demanda de tráfico igual a A erlang. El tráfico es transportado parcialmente por la ruta directa (ruta primaria) de A a B, y parcialmente por la ruta alternativa (ruta secundaria) A → T → B, donde T es una central de tránsito. No hay otras posibilidades de encaminamiento. El costo de una conexión directa es cd, y para una conexión secundaria ct.


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¿Qué cantidad de tráfico se debe transportar en cada una de las dos direcciones? La ruta A → T → B transporta ya tráfico hacia y desde otros destinos, y la utilización marginal para un canal en esta ruta se simboliza por a. Se supone que es independiente del tráfico adicional que está bloqueado de A → B.

Conforme a la ecuación (11.12), las condiciones mínimas resultan:

Donde n es aquí el número de canales en la ruta primaria. Esto significa que los costos deben ser los mismos cuando se encamina una llamada "adicional" a través de una ruta directa y a través de la ruta alternativa. Si una ruta fuera menos costosa que la otra se encaminaría entonces más tráfico en la dirección más económica.

Como los valores de tráfico aplicados como base para el dimensionamiento se obtienen por mediciones de tráfico, presentan falta de fiabilidad debido a una muestra limitada, periodo de medición limitado, principio de medición, etc. Como se muestra en el Capítulo 15 la falta de fiabilidad es aproximadamente proporcional al volumen de tráfico medido. Con la medición del mismo periodo de tiempo en todos los enlaces, se obtiene el grado más alto de incertidumbre para pequeños enlaces (grupos de enlace), que están parcialmente compensados por la sensibilidad de sobrecarga mencionada anteriormente, que es la menor para pequeños grupos de enlace. Como valor representativo se elige típicamente el valor medio más la desviación estándar multiplicada por una constante, por ejemplo 1.0.

Para asegurarse, se deberá destacar aún más que se dimensiona la red para el tráfico que será transportado 1-2 años desde ahora. El valor utilizado para dimensionamiento es así afectado adicionalmente por una incertidumbre de previsión. No se ha incluido el hecho de que parte del equipo puede estar fuera de operación debido a errores técnicos.

El UIT-T recomienda que el tráfico se mida durante todas las horas cargadas del año, y que el valor de n se seleccione de modo tal que utilizando el valor medio de las 30 observaciones (5 observaciones) más grande, se obtienen las siguientes probabilidades de bloqueo:

Los criterios de servicio precedentes se pueden aplicar directamente a cada grupo de enlace. En la práctica, se propone una probabilidad de bloqueo del abonado A al abonado B que sea la misma para todo tipo de llamadas.

Con las centrales controladas por programa almacenado la tendencia es una supervisión continua del tráfico en todas las rutas costosas e internacionales.

En conclusión, se puede decir que el valor del tráfico utilizado para dimensionamiento está afectado por incertidumbre. En grandes grupos de enlace la aplicación de un valor de tráfico no representativo puede producir serias consecuencias para el nivel de grado de servicio.

Durante los últimos años ha habido un interés creciente para el encaminamiento controlado del tráfico adaptable (gestión de la red de tráfico), que puede ser introducido en sistemas digitales de control por programa almacenado. Mediante esta tecnología se puede seleccionar en principio la estrategia óptima para el encaminamiento de tráfico durante cualquier escenario de tráfico.


- 212 -

CAPÍTULO 12 Sistemas de espera

En este Capítulo se estudia el tráfico hacia un sistema con n servidores idénticos, accesibilidad completa, y un número infinito de posiciones de espera. Cuando los n servidores están ocupados en su totalidad, el cliente que llega se pone en fila de espera hasta que un servidor quede en estado libre. Ningún cliente puede estar en fila de espera cuando hay un servidor está en estado libre (accesibilidad completa).

Se consideran los dos mismos casos de tráfico que los Capítulos 7 y 8.

1) Proceso de llegada de Poisson (un número ilimitado de fuentes) y tiempos de servicios distribuidos exponencialmente (PCT-I). Este es el sistema de puesta en fila más importante, denominado sistema de espera de Erlang. Utilizando la notación indicada en el § 13.1, este sistema viene representado por M/M/n. En el § 12.2 se aborda la probabilidad de un tiempo de espera positivo, las longitudes medias de puesta en fila, los tiempos medios de espera, el tráfico cruzado por canal, y las funciones de mejora. En el § 12.3 se aplica el Principio de Moe para la optimización del sistema. En el § 12.4 se calcula la distribución del tiempo de espera para la disciplina básica de servicio "primero en llegar primero en estar servido" (FCFS, first come first served).

2) Un número limitado de fuentes de tráfico y tiempos de servicio con distribución exponencial (PCT-II ). Este es el modelo de reparación de máquina de Palm (el problema de interferencia de la máquina) que se trata en el § 12.5. Este modelo ha venido aplicándose de forma generalizada para el dimensionamiento de los sistemas informáticos, sistemas terminales y, por ejemplo, sistemas de fabricación flexibles. El modelo de reparación de maquinaria de Palm se optimiza en el § 12.6.

12.1 Sistema de espera de Erlang M/M/n Sea un sistema de puesta en fila M/M/n con proceso de llegada de Poisson (M), tiempos de servicio exponenciales (M), n servidores y un número infinito de posiciones de espera. El estado del sistema se define como el número total de clientes (estén servidos o puestos en fila). Se examinarán las probabilidades en régimen permanente del sistema. Mediante el procedimiento descrito en el § 7.4 se construye el diagrama de transición de estado que se muestra en la figura 12.1. Suponiendo equilibrio estático, las ecuaciones de corte dan por resultado:

Figura 12.1 − Diagrama de transición de estado del sistema de espera M/M/n que tiene n servidores y un número ilimitado de posiciones de espera


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Como A = λ/μ es el tráfico ofrecido, se tiene:

Por normalización de las probabilidades de estado se obtiene p(0):

Los paréntesis internos tienen una progresión geométrica con el cociente A=n. La condición de normalización sólo se puede satisfacer para:

A < n: (12.3)

El equilibrio estadístico solo se tiene para A < n. De otra manera, la fila de espera continuará aumentando hasta el infinito.

Se obtiene:

Las ecuaciones (12.2) y (12.4) calculan las probabilidades en régimen permanente.


- 214 -

12.2 Características del tráfico de sistemas de demora Para evaluar la capacidad y rendimiento funcional del sistema, se deben examinar diversas características, que estarán expresadas por las probabilidades en régimen permanente.

12.2.1 Fórmula C de Erlang

Cuando el proceso de llegada de Poisson es independiente del estado del sistema, la probabilidad que un cliente de llegada arbitrario deba ponerse en fila de espera es igual a la proporción del segmento de tiempo que todos los servidores estén ocupados (propiedad PASTA: Poisson arrivals See Time Average - llegada de Poisson, véase promedio temporal).

El tiempo de espera es una variable estocástica por W. Para un cliente de llegada arbitrario se tiene:

Fórmula C de Erlang:

Esta probabilidad de espera depende sólo de A como producto de λ y s, y no de los parámetros λ y s individualmente.

Esta fórmula tiene diversos nombres: fórmula C de Erlang, segunda fórmula de Erlang, o fórmula de Erlang para sistemas de tiempo de espera. En los textos especializados presentan las siguientes notaciones:

Como los clientes tienen la posibilidad de ser servidos inmediatamente o puestos en fila de espera, la probabilidad que un cliente sea servido inmediatamente resulta:

El tráfico transportado Y equivale al tráfico ofrecido A, pues ningún cliente es rechazado y el proceso de llegada es un proceso de Poisson.


- 215 -

donde se han aplicado las ecuaciones de compensación de corte.

La longitud de la fila de espera es una variable estocástica L. La probabilidad de tener clientes en fila de espera en un punto aleatorio del tiempo es:

donde se ha aplicado la ecuación (12.5).

Evaluación numérica: La ecuación es similar a la fórmula B de Erlang (7.9) salvo para el factor n/(n - A) en el último término. Como se dispone de fórmulas recursivas muy exactas para la evaluación numérica de la fórmula B de Erlang (7.27) se utilizará la siguiente relación para obtener valores numéricos de la fórmula C.

Se observa que:

pues el término A {1 – E1,n(A)}/n es el promedio de tráfico transportado por canal en el sistema de pérdidas correspondiente. Para A ≥ n, se tiene E2,n(A) = 1 pues es una probabilidad que todos los clientes estén en espera.

La fórmula C de Erlang se puede expresar de manera apropiada por la fórmula B como fue observado por B-Sanders:

donde I es la probabilidad inversa (7.28):


- 216 -

La formula C de Erlang fue recogida en el principio de Moe (Jensen, 1950 [50]) y se muestra en la figura 12.2.

12.2.2 Longitudes media de puesta en fila Se debe distinguir entre longitudes de puesta en fila en un punto arbitrario del tiempo y la longitud de puesta en fila cuando hay clientes que esperan en la fila.

Longitud media de puesta en fila en un punto arbitrario del tiempo: La longitud de puesta en fila L en un punto arbitrario del tiempo se denomina longitud virtual de puesta en fila. Esta es la longitud de puesta en fila observada por un cliente arbitrario pues la propiedad PASTA es válida al proceso de llegada de Poisson (promedio de tiempo = promedio de llamadas). Se obtiene así la longitud media de puesta en fila Ln = E{L} en un punto arbitrario del tiempo:


- 217 -

Figura 12.2 − Fórmula C de Erlang para el sistema de espera M/M/n. La probabilidad E2,n(A) para un tiempo de espera positivo se muestra en función del tráfico ofrecido A

para valores del número de servidores n


1) Probabilidad de espera E2,n(A)

2) Tráfico ofrecido A

Mientras A/n ≤ c < 1, la serie es uniformemente convergente, y el operador de diferenciación se puede expresar fuera de la suma:

La longitud de media de puesta en fila se puede interpretar como el tráfico transportado por las posiciones de puesta en fila y, por tanto, también se denomina tráfico de tiempo de espera.


- 218 -

Longitud media de puesta en fila dado una puesta en fila mayor que cero: El promedio de tiempo es también, en este caso, igual al promedio de llamadas. La longitud de puesta en fila media condicional resulta:

Con la aplicación de las ecuaciones (12.8) y (12.12) este resultado es, por supuesto, el mismo que:

donde L es la variable estocástica para la longitudes de puesta en fila.

12.2.3 Tiempos de espera medios Aquí también hay dos elementos de interés: el tiempo medio de espera W para todos los clientes y el tiempo medio de espera w para clientes que experimentan un tiempo de espera positivo. El primero es un indicador para el nivel de servicio de todo el sistema, mientras que el segundo es de importancia para los clientes que se encuentran en fila de espera. Los promedios temporales serán iguales a los promedios de llamadas en razón de la propiedad PASTA.

Tiempo medio de espera W para todos los clientes: Indica que la longitud media de puesta en fila es igual a la intensidad de llegada multiplicada por el tiempo de medio de espera, es decir:

donde Ln = Ln(A), y Wn = Wn(A). De la ecuación (12.12) se obtiene considerando el proceso de llegada:

Como A = λs, donde s es el tiempo medio de servicio, se obtiene:

Tiempo medio de espera w para clientes con demora: El tiempo de espera total es constante y puede ser promediado con todos los clientes (Wn) o sólo con clientes que experimentan tiempos de espera positivos (wn) (3.20):


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Ejemplo 12.2.1: Sistema servidor de puesta en fila simple M/M/1 Este es el sistema que aparece más frecuentemente en los textos. Las probabilidades de estado (véase 12.2) vienen dada por una serie geométrica:

siendo p(0) = 1-A. La probabilidad de espera resulta:

La longitud media de puesta en fila Ln (12.12) y el tiempo medio de espera para todos los clientes Wn (12.15) se calculan con las siguientes expresiones:

De esto se observa que un aumento del tráfico ofrecido produce un aumento de Ln a la tercera potencia independientemente si éste se debe a un número superior de clientes (λ) o a un tiempo de servicio superior (s). El tiempo medio de servicio Wn aumenta a la tercera potencia de s, pero sólo a la segunda potencia de λ. El tiempo medio de espera Wn para clientes en espera se incrementa con la segunda potencia de s y la primera potencia de λ. Un aumento de la carga debido a la mayor cantidad de clientes es así mejor que un incremento de la misma debido a tiempos de servicios mayores. Por tanto, es importante que los tiempos de servicio de un sistema no aumenten durante las sobrecargas.

Ejemplo 12.2.2: Tiempo medio de espera w cuando a A → 0

Se observa que mientras A → 0, se obtendrá la igualdad wn = s/n (12.17). Si un cliente experimenta tiempo de espera (que rara vez sucede cuando A → 0), este cliente será el único en la fila de espera. El cliente debe esperar hasta que un servidor esté en estado libre. Esto sucede después de un intervalo de tiempo distribuido exponencialmente con valor medio s/n. De modo tal que wn nunca resulta menor que s/n.

12.2.4 Funciones mejora para M/M/n La mejora marginal del tráfico transportado cuando se agrega un servidor se puede expresar de diversas maneras. La disminución en la proporción del tráfico total (es decir, la proporción de todos los clientes) que experimenta demora viene dado por:

La disminución de las longitudes media de puesta en fila (es decir, el tráfico transportado por las posiciones de espera) resulta, aplicando la ley de Little (12.14):


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donde Wn(A) es el tiempo medio de espera para todos los clientes cuando el tráfico ofrecido es A y el número de servidores es n (12.15). Las ecuaciones (12.21) y (12.22) están tabuladas en el Principio de Moe (Jensen, 1950 [50]) y son simples de calcular con medios informáticos.

12.3 Principio de Moe para sistemas de espera Moe fue el primero en establecer un principio para los sistemas de puesta en fila. Estudio los tiempos de espera de los abonados como operador en centrales manuales de la compañía telefónica de Copenhague.

Considérense k sistemas de puesta en fila independientes. Un cliente servido en todos los k sistemas tiene el tiempo medio de espera total ∑i Wi, donde Wi es el tiempo medio de espera del i-ésimo sistema que tiene ni servidores y que ofrece el tráfico Ai. El costo de un canal es Ci, posiblemente más un costo constante, que se incluye en la constante Co indicada a continuación. Así, el costo total para canales resulta:

Si el tiempo de espera también se considera como costo, el costo total que se ha de minimizar resulta f = f(n1; n2, . . . , nk). Esto se debe minimizar en función del número de canales n1 en los sistemas individuales. Si el tiempo medio de espera total es W, la atribución de canales a los sistemas individuales se determina por:

donde ν (letra griega theta) es el multiplicador de Lagrange.

Como ni es entero, condición necesaria para el valor mínimo, que en este caso también se puede mostrar con una condición suficiente, resulta:

que corresponde a:

donde Wni(Ai) viene dado por la ecuación (12.15).

Expresado por la función mejora para el tiempo de espera FW,n(A) (12.22) la solución óptima resulta:

La función FW,n(A) está tabulada según el principio de Moe (Jensen, 1950 [50]). Para otras funciones de mejora se pueden efectuar optimizaciones similares.

Ejemplo 12.3.1: Sistema de espera Se consideran dos sistemas de puesta en fila M/M/n el primero tiene un tiempo medio de servicio de 100 s y el tráfico ofrecido es 20 erlang. La relación de costo c1/ν es igual a 0,01. El segundo


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sistema tiene un sistema medio de servicio igual a 10 s y el tráfico ofrecido es 2 erlang. La relación de costos es c2/ν = 0,1.

Una tabla de la función mejora FW,n(A) indica:

n1 = 32 canales y

n2 = 5 canales.

Los tiempos medios de espera son:

W1 = 0,075 s.

W2 = 0,199 s.

Esto muestra que un cliente, que está servido en ambos sistemas, experimenta un tiempo medio de espera total igual a 0,274 s, y que el sistema con menos canales contribuye más al tiempo medio de espera.

El costo de espera está referido a la relación de costos. Mediante la inversión de una unidad monetaria más en el sistema anterior, se reducen los costos en la misma cantidad independientemente de saber en qué sistema de puesta en fila se incrementa la inversión. Se debe continuar invirtiendo en la medida que se obtengan ganancias. Las investigaciones de Moe durante el decenio de 1920 demostraron que el tiempo medio de espera de los abonados en pequeñas centrales con pocos operadores sería mayor que el tiempo medio de espera en centrales más grande con muchos operadores.

12.4 Distribución del tiempo medio de espera para M/M/n, FCFS Los sistemas de puesta en fila, donde la disciplina de servicio sólo depende de los tiempos de llegada, tienen todos los mismos tiempos medios de espera. En este caso la estrategia sólo tiene influencia frente a la distribución de los tiempos de espera para el cliente individual. La derivación de la distribución del tiempo de espera es simple en el caso de fila de espera ordenada, FCFS (primero en llegar, primero en estar servido). Esta disciplina también se denomina FIFO (primero en llegar, primero en salir). Los clientes que llegan primero al sistema serán servidos primero, pero si hay servidores múltiples no pueden necesariamente dejar el primer servidor. De modo tal que FIFO se refiere al tiempo de salir de la fila de espera e iniciar el servicio.

Sea un cliente arbitrario. A su llegada al sistema, el cliente es servido inmediatamente o se pone en fila de espera (12.6).

Se supone ahora que el cliente considerado debe esperar en la fila, es decir el sistema puede estar en estado [n+ k], (k = 0, 1, 2, . . .), donde k es el número de posiciones de espera ocupadas en el momento de la llegada del cliente.

El cliente considerado debe esperar hasta los clientes que k + 1 hayan completado su servicio antes que un servidor en estado libre sea accesible. Cuando todos los n servidores están funcionando, el sistema completa los clientes con una intensidad constante nμ, es decir el proceso de salida es un proceso de Poisson con esta intensidad.

Se aprovecha la relación entre la representación de número y la representación de intervalo ( 5.4): La probabilidad p{W ≤ t} = F(t) de experimentar un tiempo de espera positivo igual o menor a t es igual a la probabilidad que en un proceso de llegada de Poisson con intensidad (nμ) lleguen al menos (k+1) clientes durante el intervalo t (6.1):

F(t | k de espera) = (12.28)


- 222 -

La expresión anterior está basada en la hipótesis que el cliente considerado debe esperar en la fila. La probabilidad condicional que el cliente considerado cuando llega observa todos los n servidores ocupados y k clientes en espera (k = 0, 1, 2; . . . ) es:

Esta es una distribución geométrica que incluye la clase cero (véase el cuadro 6.1). La distribución del tiempo de espera incondicional resulta entonces:

pues se pueden intercambiar las dos sumas cuando todos los términos son probabilidades positivas. La suma interior es una progresión geométrica:

Aplicando esto se obtiene:


- 223 -

es decir, una distribución exponencial.

Aparentemente se tiene una paradoja: cuando se llega a un sistema con todos los servidores ocupados se puede:

1) Contar el número k de clientes en espera que están delante. El tiempo de espera total tendrá entonces distribución de Erlang (k+1).

2) Hacer caso omiso. El tiempo de espera resulta entonces distribuido exponencialmente.

La interpretación de esto es que una suma ponderada de distribuciones de Erlang con factores ponderados distribuidos geométricamente es equivalente a una distribución exponencial. En la figura 12.3 se muestra el diagrama de fase para la ecuación (12.30), y se observa inmediatamente que puede ser reducido a una distribución exponencial simple (véase el § 4.4.2 y la figura 4.9). La ecuación (12.31) confirma que el tiempo medio de espera wn para los clientes que deben ponerse en fila de espera se torna como se indica en la ecuación (12.17).

La distribución del tiempo de espera para todos (un cliente arbitrario) resulta (3.19):

y el valor medio de esta distribución es Wn conforme a la ecuación (12.15). Los resultados se pueden calcular de un modo más simple por medio de funciones de generación.

Figure 12.3 − La distribución del tiempo de espera para M/M/n - FCFS resulta distribuida exponencialmente con la intensidad (nμ-λ). El diagrama de fase a la izquierda corresponde a una suma ponderada de distribuciones Erlang-k (véase § 4.4.2)

pues el régimen de todas las fases es (1-A/n) = nμ-λ

12.4.1 Tiempo de respuesta con un solo servidor Cuando sólo hay un servidor, las probabilidades de estado (12.2) vienen dadas por una serie geométrica (12.18), es decir p(i) = p(0) . Ai para todas las i ≥ 0. Cada cliente emplea un intervalo de tiempo distribuido exponencialmente con intensidad μ en cualquier estado. El cliente que encuentra el sistema en el estado [i] permanecerá en el sistema un intervalo de tiempo con distribución Erlang-(i + 1). Por tanto, el tiempo de permanencia total en el sistema (tiempo de espera + tiempo de servicio), es decir el tiempo de respuesta, está distribuido en forma exponencial con la intensidad (μ-λ) (véase la figura 4.9):

Esta expresión es idéntica a la distribución del tiempo de espera de cliente con demora.


- 224 -

12.5 Modelo máquina - reparador de Palm Este modelo pertenece a la clase de sistemas cíclicos de puesta en fila y corresponde a un sistema de demora puro con un número limitado de clientes (véase el caso Engset para sistemas de pérdidas).

Este modelo fue examinado por primera vez por Gnedenko en 1933 y publicado en 1934, y fue ampliamente conocido cuando C. Palm publicó un documento (1947 [81]) en conexión con un análisis teórico de asignación de mano de obra para reparación de máquinas automáticas. S máquinas, que por lo general funcionan automáticamente, son reparadas por n técnico. Las máquinas se pueden descomponer y luego serán reparadas por personal técnico para ponerlas nuevamente en funcionamiento. El problema es ajustar la cantidad de reparadores a la cantidad de máquinas de modo que los costos totales se reduzcan al mínimo (o se mejoren las ganancias). Las máquinas pueden ser maquinarias textiles que se detienen cuando se acaba el hilo; el reparador debe entonces reemplazar la bobina vacía de la máquina por otra llena.

El modelo de máquina - reparador o modelo de interferencia de máquina fue también analizado en (Feller, 1950 [29]). El modelo corresponde a una red de puesta en fila cerrada simple y ha sido aplicada satisfactoriamente para resolver problemas de ingeniería de tráfico en sistemas informáticos. Mediante la notación de Kendall (véase el Capítulo 13) el sistema de puesta en fila se identifica por M/M/n/S/S, donde S es el número de clientes, y n el número de servidores.


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Figura 12.4 − Función de densidad para la distribución del tiempo de espera para la

disciplina de puesta en fila FCFS, LCFS, y SIRO (ALEATORIO). Para los tres casos el tiempo de espera medio para llamadas demoradas es de 5 unidades

de tiempo. El factor de forma es 2 para FCFS, 3,33 para LCFS, y 10 para SIRO. El número de servidores es 10 y el tráfico ofrecido de 8 erlang.

El tiempo medio de servicio es s = 10 unidades de tiempo


1) Función de frecuencia

2) Tiempo de espera

En terminales informáticos las máquinas corresponden a los terminales y el reparador al ordenador que controla los servidores. En un sistema de computación la máquina puede corresponder a un almacenamiento de disco y el reparador a los canales de entrada/salida (I/O).

En el texto siguiente se examinará un sistema terminal informático como la base para el desarrollo de la teoría.

12.5.1 Sistemas terminales La división de tiempo es una ayuda para ofrecer un servicio óptimo a un considerable grupo de clientes utilizando, por ejemplo, terminales conectados a una unidad de procesamiento central. Cada usuario se debe sentir como si fuera el único del sistema informático (véase la figura 12.5)


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Figure 12.5 − Modelo máquina – reparador de Palm. Un sistema informático con S terminales (sistema interactivo) corresponde a un sistema de tiempo de espera con un número de fuentes limitado (véase el caso Engset para

el caso de sistemas de pérdidas)


1) Terminales

2) Fila de espera

3) Computadora

4) Sistema de puesta en fila

El terminal individual varía todo el tiempo entre dos estados (interactivo) (véase la figura 12.6):

• el usuario está pensando (trabajando), o

• el usuario está esperando (una respuesta de la computadora).

El intervalo de tiempo cuando el usuario está pensando (trabajando) se denomina tiempo entre llegadas Tt, y el valor medio se simboliza mt.

El intervalo de tiempo cuando el usuario está esperando la respuesta de la computadora, se denomina tiempo de respuesta R. Esto incluye el intervalo de tiempo Tw(valor medio mw), donde la tarea está esperando obtener el acceso a la computadora, y el propio tiempo de servicio Ts (valor medio ms).

Tt + R se denomina tiempo de circulación (véase la figura 12.6). Al término de este intervalo de tiempo un terminal retorna al mismo estado que se dejó al comienzo del intervalo (evento recurrente).

En el texto siguiente se dará especial importancia a los valores medios, y las derivaciones son válidas para todos los tipos de puesta en fila de espera prácticos (véase el Capitulo 13).


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Figura 12.6 − Los terminales puede tener tres estados. El usuario trabaja activamente en el terminal o bien está a la espera de la respuesta de

la computadora. El último intervalo de tiempo (tiempo de respuesta) se divide en dos fases. Una fase de espera

y una fase de servicio


1) Estado terminal

2) Trabajo activo

3) Espera

4) Servicio

5) Tiempo

12.5.2 Probabilidades en régimen permanente con servidor único Se estudiará ahora un sistema con una computadora que se conecta a S terminales. Se ha supuesto hasta ahora que los tiempos entre llegadas para cada terminal en estado activo tengan distribución exponencial con la intensidad γ = 1mt, y el tiempo de ejecución (del servicio) ms en la computadora se supone también que está distribuido exponencialmente con intensidad μ= 1/ms. Cuando en la computadora hay fila de espera, los terminales deben esperar el servicio. Los terminales que están en servicio o en fila de espera tienen intensidad de llegada nula.

El estado [i] se define como aquél donde hay i terminales en el sistema de fila de espera (véase la figura 12.5), es decir la computadora está en reposo (i = 0) o bien en estado activo (i > 0), y los (i-1) terminales están en espera.

El sistema de puesta en fila de espera puede ser modelado por un proceso de renovación pura, y el diagrama de transición de estado se muestra en la figura 12.7. El equilibrio estadístico siempre existe (sistema ergódico). La intensidad de llegada decrece a medida que la longitud de la fila de espera se incrementa y se hace cero cuando todos los terminales están dentro del sistema de fila de espera.


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Figure 12.7 − Diagrama de transición de estado para el sistema de puesta en fila de espera mostrado en la figura 12.5. El estado [i] representa el número de terminales que están servidos o en espera, es decir S-i representa el

número de terminales en estado activo

Las probabilidades en régimen permanente se encuentran utilizando ecuaciones de corte (véase la figura 12.7), y expresando todos los estados en términos del estado S:

Considerando la limitación adicional que la suma de todas las probabilidades debe ser igual a uno se encuentra, introduciendo ρ =μ/γ:

que es la distribución de Poisson truncada (7.8).

El sistema se puede interpretar como sigue: un grupo de enlace con S conexiones (los terminales) ofrece llamadas de la computadora con los tiempos entre llegadas (intensidad μ)distribuidos exponencialmente. Cuando todas las S conexiones están ocupadas (es decir, se encuentran en estado activo), la computadora está en reposo y la intensidad de llegada es cero, pero se podría también suponer que genera llamadas que se pierden o desbordan a otro grupo de enlace (la distribución exponencial no tiene memoria).

La computadora ofrece así el tráfico ρ =μ/γ, y se tiene la ecuación (12.37). La fórmula B de Erlang es válida para tiempos de ocupación arbitrarios y, por tanto, se tienen:

Las probabilidades de estado del modelo máquina – reparador (12.37) con una computadora y S terminales son válidas para tiempos arbitrarios en estado activo cuando los tiempos de servicio de la computadora se distribuyen exponencialmente.

La relación ρ =μ/γ se denomina relación de servicio, que es la razón entre el tiempo en que un terminal en promedio está en estado activo y el tiempo en que la computadora en promedio sirve a un terminal.

La relación de servicio corresponde al tráfico ofrecido A en la fórmula B de Erlang. Las probabilidades de estado se determinan así por el número de terminales S y la relación de servicio ρ. La evaluación numérica de la ecuación (12.37) es, por supuesto, en cuanto a la fórmula B de Erlang (7.27).

Ejemplo 12.5.1: Sistema de información Considérese un sistema de información que esté organizado de la siguiente manera: toda la información se mantiene en seis discos que se conectan al mismo terminal de datos entrada/salida, un canal multiplexor. El tiempo de búsqueda medio (colocación del elemento de búsqueda) es


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de 3 ms y el tiempo medio de espera para localizar el archivo es 1 ms que corresponde a un tiempo de rotación de 2 ms. El tiempo de lectura de un archivo está distribuido exponencialmente con el valor medio 0,8 ms. El almacenamiento de disco se basa en la detección de la ubicación rotacional, de modo tal que el canal está ocupado sólo durante la lectura. Se desea determinar la máxima capacidad del sistema (número de pedidos por segundos).

El tiempo en estado activo es 4 ms y el tiempo de servicio es 9,8 ms. La relación de servicio resulta así 5, y mediante la fórmula B de Erlang se obtiene el valor siguiente.

Esto corresponde a γmáx= 0,8082/0,0008 = 1 010 pedidos por segundo.

12.5.3 Estados de los terminales y características del tráfico Las medidas de rendimiento funcional se obtiene fácilmente a partir de la analogía con el sistema de pérdidas clásico de Erlang. La computadora funciona con la probabilidad (1 - p(0)). Se tiene entonces que el número medio de terminales que está servido viene dado por:

El número medio de terminales en estado activo corresponde al tráfico transportado en el sistema de pérdida de Erlang:

El número medio de terminales en espera resulta:

Si se considera un terminal aleatorio en un punto arbitrario en el tiempo se tiene:

p {terminal servido} = (12.41)

p {terminal en estado activo} = (12.42)

p {terminal en espera} = (12.43)

Aplicando el teorema de Little W = λW a los terminales, a las posiciones en espera y a la computadora, respectivamente, se obtiene (λ es la velocidad de circulación del tráfico):

o


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Empleando las ecuaciones (12.38) y (12.44) s

t

s

tmm

nn

=⎩⎨⎧

se obtiene:

De esta manera el tiempo de respuesta es independiente de las distribuciones del tiempo pues está basado en las ecuaciones (12.38) y (12.44) (Ley de Little). Sin embargo, p(0) dependerá de los tipos de distribución al igual que en la fórmula B de Erlang. Si el tiempo de servicio de la computadora tiene distribución exponencial (valor medio ms = 1/μ), entonces p(0) viene dado por la ecuación (12.37). En la figura 12.8 se muestra el tiempo de respuesta en función del número de terminales en este caso.

Figura 12.8 − Tiempo de respuesta medio en función del número de terminales. El factor de servicio es ρ = 30. El tiempo de respuesta converge a una línea

recta, cortando el eje x en S = 30 terminales. La curva se calcula utilizando la fórmula B de Erlang


1) Tiempo de respuesta [μ-1]

2) Número de terminales S

Si todos los intervalos de tiempo son constantes, la computadora puede servir a K sin tiempo de espera donde:


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K es, por tanto, un parámetro adecuado para describir el punto de saturación del sistema. El tiempo de espera medio para un terminal arbitrario se obtiene empleando la ecuación (12.45):

mv= R − ms

Ejemplo 12.5.2: Computadora de compartición en el tiempo

En un sistema terminal la computadora queda a veces en reposo, (a la espera de terminales) y a veces los terminales esperan que la computadora quede libre. Pocos terminales producen baja utilización de la computadora, mientras que muchos terminales conectados consumen el tiempo de los usuarios.

En la figura 12.9 se muestra el tráfico de tiempo de espera en erlang, para la computadora y para un terminal simple. El costo total del tiempo de espera se obtiene mediante la ponderación apropiada de costos y sumas de tiempos de espera de la computadora y de todos los terminales.

Para el ejemplo, en la figura 12.9 se obtienen los costos mínimos de la espera total para unos 45 terminales aun cuando el costo por el tiempo de espera correspondiente a la computadora es cien veces mayor que el costo de un terminal. En 31 terminales, la computadora y cada uno de ellos consume el 11,4% del tiempo de espera. La relación de costos es 31 y este será el número óptimo de terminales. Sin embargo, hay otros factores que se han de tener en consideración.

12.5.4 Modelo máquina – reparador con n servidores El modelo anterior es fácilmente generalizado a n computadoras. El diagrama de transición se muestra en la figura 12.10.

Las probabilidades en régimen permanente resultan:

donde se tiene la limitación de normalización usual:

Se debe señalar que las probabilidades de estado son indiferentes a la distribución de tiempo en estado activo como es el caso con una computadora (se tiene un proceso de llegada de Poisson que depende del estado).

Un terminal arbitrario es un punto arbitrario del tiempo en unos de los tres estados posibles:


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Figura 12.9 − Tráfico en tiempo de espera (proporción del tiempo transcurrido durante la espera) medido en erlang para la computadora y los terminales,

respectivamente, en un sistema de fila de espera interactivo (factor de servicio ρ = 30)


1) Tráfico en tiempo de espera [erlang]

2) Computadora

3) Por terminal

4) Número de terminales S

Figura 12.10 − Diagrama de transición de estado para el modelo de máquina – reparador con S terminales y n computadoras

ps = p {el terminal está servido por una computadora},

pw = p {el terminal está esperando servicio},

pt = p {el terminal está en estado activo}.


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Se tiene:

La utilización media de las computadoras resulta:

El tiempo de medio de espera para un terminal es:

A veces pw se denomina coeficiente de pérdidas de los terminales y de manera similar (1–A) se denomina coeficiente de pérdidas de las computadoras (véase la figura 12.9)

Ejemplo 12.5.3: Ejemplo numérico de la escala de economía Los siguientes ejemplos numéricos indican que la mejor utilización se obtiene para grandes valores de n (y S). Sea un sistema S/n = 30 y μ/γ = 30 para un número creciente de computadoras (en este caso pt = a).

12.6 Optimización del modelo de máquina - reparador En esta sección se optimizará el modelo máquina - reparación del mismo modo que lo encaró Palm en 1947. Se ha observado que el modelo para un solo reparador es idéntico al sistema de pérdidas de Erlang que fue optimizado en el Capítulo 7. Se verá así que el mismo modelo se puede optimizar de diversas maneras:

Se considera un sistema terminal con una computadora y S terminales y se desea hallar un valor óptimo de S. Se supone la siguiente estructura de costos:

ct = costo por terminal por unidad de tiempo en el que el terminal está activo,

cw = costo por terminal por unidad de tiempo en el que un terminal está en espera,

cs = costo por terminal por unidad de tiempo en el que el terminal es servido,

ca = costo de la computadora por unidad de tiempo.


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El costo de la computadora se supone que es independiente de la utilización y se distribuye uniformemente en todos los terminales.

El resultado (producto) del proceso es un determinado tiempo en estado activo en los terminales (tiempo de producción).

Los costos totales c0 por unidad de tiempo en que un terminal está en estado activo (en producción) resulta:

Se desea minimizar el costo c0. La relación de servicio ρ = mt/ms es igual a pt/ps. Introduciendo la relación de costos r = cw/ca, se obtiene:

que se deben minimizar en función de S. Sólo el último término depende del número de terminales y se obtiene:

Figura 12.11 − Modelo máquina - reparador. Los costos totales calculados con la ecuación (12.57) se muestran en función del número de terminales

para una relación de servicio ρ = 25 y una relación de costos r = 1/25 (véase la figura 7.6)

Leyendas de la figura 12.11 1) Costos totales C0 [× 100] 2) Número de terminales S


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donde p(0) viene dado por la fórmula B de Erlang (12.36).

Se observa que el mínimo es independiente de ct y cs, y que sólo aparece la relación r = cw / ca. El numerador corresponde a la ecuación (7.29), mientras que el denominador corresponde al tráfico transportado en el sistema de pérdidas correspondiente. En la figura 12.11 se muestra un ejemplo. Se observa que el resultado difiere del obtenido con el Principio de Moe para el sistema de pérdidas de Erlang (véase la figura 7.6), donde el beneficio se optimiza.


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CAPÍTULO 13 Teoría aplicada de puesta en fila de espera

Hasta el momento, se han examinado sistemas clásicos de filas de espera, donde todos los procesos de tráfico son procesos de renovación. La teoría de los sistemas de pérdidas se ha aplicado con éxito durante muchos años en el campo de la telefonía, mientras que la teoría de los sistemas de espera sólo se ha aplicado en los últimos años en el terreno de la ciencia informática. Los clásicos sistemas de espera desempeñan una función primordial en la teoría de la puesta en fila de espera. Por lo general, se da por supuesto que la distribución del tiempo entre las llegadas a destino de las llamadas o la distribución del tiempo de servicio son exponenciales. Por razones teóricas y físicas, a menudo se utilizan sistemas de fila de espera con un solo servidor.

Este Capítulo se centra en la fila de un solo servidor y se analiza este sistema para distribuciones generales de tiempo de servicio, diferentes tipos de fila de espera y clientes con propiedades de atención preferentes.

13.1 Clasificación de modelos de filas de espera

En esta sección se introducirán notaciones compactas para sistemas de puesta en fila de espera, denominada notación de Kendall.

13.1.1 Descripción del tráfico y la estructura D.G. Kendall (1951 [60]) introdujo la siguiente notación para modelos de puesta en fila de espera:

A/B/n

donde

A = proceso de llegada,

B = distribución del tiempo de servicio,

n = número de servidores.

Para procesos de tráfico se utilizan las siguientes notaciones normalizadas (véase el § 4.5):

M ~ Markovian. Intervalo de tiempo exponencial (proceso de llegada de Poisson, tiempos de servicios distribuidos exponencialmente).

D ~ Determinístico. Intervalos de tiempo constante.

Ek ~ Intervalos de tiempo con distribución de Erlang-k (E1 = M).

Hn ~ Hiperexponencial de intervalos de tiempo distribuidos de orden n.

Cox ~ Intervalos de tiempo distribuidos de Cox.

Ph ~ Intervalos de tiempo distribuidos de tipo fase.

GI ~ Intervalos de tiempo independiente general, renovación de proceso de llegada.

G ~ General. Distribución arbitraria de intervalo de tiempo (puede incluir correlación).

Ejemplo 13.1.1: Modelos comunes de puesta en fila M/M/n es un sistema de espera puro con proceso de llegada Poisson, tiempos de servicio de distribución exponencial y n servidores. Es el clásico sistema de espera de Erlang (véase el Capítulo 12).

GI/G/1 es un sistema de espera general con un solo servidor.


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La notación indicada anteriormente es ampliamente utilizada en la literatura especializada. Para obtener la especificación completa de un sistema de puesta en fila se requiere más información:

A/B/n/K/S/X

donde:

K = es la capacidad total del sistema, alternativamente sólo el número de posiciones de espera,

S = es el tamaño de la población (número de clientes),

X = es el tipo de fila de espera (véase el § 13.1.2),

K = n corresponde a un sistema de pérdidas, que a menudo se simboliza como A/B/n-pérdidas.

Un superíndice b sobre A, respectivamente B, indica llegada de grupo (llegada a granel, llegada de lote), grupo de servicio, respectivamente. C (reloj) puede indicar que el sistema funciona en tiempo discreto.

Generalmente se supone plena accesibilidad.

13.1.2 Estrategia de las filas de espera: tipos y organización Los clientes puestos en fila de espera para ser atendidos son seleccionados conforme a diversos principios. Se considerará primero los tres tipos clásicos de puesta en fila de espera:

FCFS, (first come - first served). Primero en llegar - primero en ser servido Se denomina también fila de espera ordenada o fila de espera justa, y este tipo se prefiere a

menudo en la vida real cuando los clientes son seres humanos. También se denomina FIFO: (first in - first out) primero en entrar - primero en salir. Se debe señalar que FIFO se refiere sólo a fila de espera y no al sistema total. Si se tiene más de un servidor, un cliente con un tiempo de servicio breve puede dar alcance a un cliente con un tiempo de espera mayor aun si tiene fila de espera FIFO.

LCFS: (last come - first served). Último en llegar - primero en ser servido Esto corresponde al principio de disposición apilada. Se utiliza por ejemplo en

almacenamiento de datos, en anaqueles de establecimientos comerciales y, en general, en memorias de retención temporal. Esta técnica también se denomina LIFO: (last in - first out) último en entrar, primero en salir.

SIRO: (service in random order). Servicio en orden aleatorio Todos los clientes puestos en fila de espera tienen la misma probabilidad de ser escogidos

para tener el servicio. Esto también se denomina RANDOM o RS (random selection) selección aleatoria.

Los dos primeros tipos de puesta en fila de espera sólo toman en consideración los tiempos de llegada, mientras que el tercer tipo no considera ningún criterio y, por tanto, no requiere ninguna memoria (contrariamente a los dos anteriores).

Los tres tipos detallados se pueden aplicar en sistemas técnicos simples. En una central telefónica electromecánica se utiliza a menudo el tipo de fila de espera SIRO pues (casi) corresponde a búsqueda secuencial sin reposición.

Para los tres tipos mencionados anteriormente el tiempo total de espera de todos los clientes es el mismo. El tipo de puesta en fila sólo decide qué tiempo de espera se atribuye a cada uno de los clientes. Esto se puede efectuar utilizando el tiempo de servicio como criterio. En un sistema de fila de espera con control por programa habría disciplinas de fila de espera más complejas. En general,


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en la teoría de fila de espera asumimos que el tráfico total ofrecido es independiente de la disciplina de fila de espera.

En el caso de sistemas informáticos a menudo tendemos a reducir el tiempo total de espera.

SJF: (shortest job first). Tarea más breve primero, SJN: (shortest job next) tarea más corta después, SPF: (shortest processing time first) tiempo de tratamiento más corto primero. Esta técnica supone que se conoce el tiempo de servicio por adelantado y reduce al mínimo el tiempo total de espera de todos los clientes.

Las técnicas mencionadas tienen en cuenta los tiempos de llegadas o los tiempos de servicio. Se obtiene un compromiso entre esas disciplinas mediante las siguientes técnicas: RR (round robin) Retorno al origen. A un cliente servido se le da a lo sumo un tiempo de servicio fijo (segmento de tiempo). Si

el servicio no se completa durante ese intervalo el cliente vuelve a la fila de espera que es del tipo FCFS.

PS (processor sharing) Compartición del procesador. Todos los clientes comparten la capacidad del servicio en igual medida. FB (foreground - background) Primer plano - segundo plano. Esta técnica trata de aplicar el criterio SJF sin conocer de antemano los tiempos de servicio.

El servidor ofrecerá servicio al cliente que hasta ese momento ha recibido la menor cantidad de servicio. Cuando todos los clientes han obtenido la misma cantidad de servicio, FB se hace idéntico a PS.

Las últimas técnicas indicadas son dinámicas pues los criterios de puesta en fila de espera dependen de la cantidad de tiempo empleado en la fila.

13.1.3 Prioridad de los clientes En condiciones reales los clientes se dividen a menudo en N clases prioritarias, en la que un cliente que pertenece a la clase p tiene mayor prioridad que un cliente que pertenece a la clase p+1.

Se ha de distinguir entre dos tipos de prioridades: No preferente = Cabecera de línea Un nuevo cliente de llegada con prioridad más alta que está siendo servido espera hasta que

un servidor esté desocupado (y todos los clientes con alta prioridad hayan sido servidos). Este criterio también se denomina HOL,(head-of-the-line) cabecera de línea.

Preferente: Un cliente al que se está dando servicio tiene prioridad inferior que un nuevo cliente que

llega, es interrumpido.

Se distingue entre: − Reanudar preferencia:

El servicio continúa desde donde fue interrumpido. − Preferencia sin remuestreo: El servicio se reinicia desde el comienzo con el mismo tiempo de servicio, y − Preferencia con remuestreo: El servicio se inicia nuevamente con un nuevo tiempo de servicio.

La dos últimas técnicas se aplican, por ejemplo, en fabricación de sistemas y seguridad del servicio. Dentro de una clase única, se disponen de las técnicas mencionadas en el § 13.1.2.


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En la literatura relativa a la puesta de fila de espera aparecen muchas otras estrategias y símbolos. Las siglas GD representan una disciplina de puesta en fila de espera arbitraria (disciplina general). El comportamiento de los clientes también está sujeto a modelos:

− Tentativa inconclusa: se refiere a sistemas de puesta en fila de espera en el que el cliente con una probabilidad que depende de la fila puede desistir de permanecer en la misma.

− Renuncia: se refiere a sistemas con clientes impacientes que salen de la fila de espera sin haber sido servidos.

− Cambio de fila: se refiere a los sistemas en el que los clientes pueden pasar de una fila de espera (por ejemplo larga) a otra fila más corta.

Así, hay muchos modelos posibles. En este Capítulo sólo se tratarán los más importantes. Por lo general, sólo se consideran sistemas con un servidor.

Ejemplo 13.1.2: Sistema de conmutación de programa almacenado controlado En sistemas de programa almacenado controlado las tareas de los procesadores se dividen, por ejemplo, en diez clases de prioridades. La prioridad se actualiza, cada quinto de milisegundo. Los mensajes de error que provienen de un procesador tienen la más alta prioridad, mientras que las tareas de control de rutina tiene la prioridad más baja. Dar servicio a las llamadas aceptadas tiene mayor prioridad que la detección de nuevas tentativas de llamada.

13.2 Resultados generales en la teoría de puesta en fila de espera Como se indicó anteriormente hay muchos modelos de puesta en fila de espera pero, lamentablemente, hay sólo algunos resultados generales en la teoría de puesta en fila. La literatura es muy extensa pues muchos casos especiales son importantes en la práctica. En esta sección se examinarán los resultados generales más importantes.

El teorema de Little presentando en el § 5.3 es el resultado más general que es válido para un sistema de puesta en fila de espera arbitrario. El teorema es fácil de aplicar y muy útil en muchos casos.

En general, sólo los sistemas de puesta en fila con procesos de llegada de Poisson son simples de abordar. Referente a sistemas de puesta en fila en serie y redes de fila de espera (por ejemplo redes informáticas) es importante conocer casos en el que el proceso de partida de un sistema de puesta en fila es un proceso de Poisson. Los sistemas de fila de espera se denominan sistemas de puesta en fila de espera simétricos, pues son simétricos en el tiempo, ya que el proceso de llegada y el proceso de salida son del mismo tipo. Si se filmara el desarrollo del tiempo, no se podría decidir si la película pasa hacia adelante o hacia atrás (véase reversibilidad) (Kelly, 1979 [59]).

Los modelos clásicos de puesta en fila desempeñan un papel principal en la teoría de fila de espera, pues otros sistemas convergirán a menudo hacia ellos cuando el número de servidores aumenta (teorema de Palm 6.1 en el § 6.4).

Los sistemas que más se apartan de los modelos clásicos son los que tienen un solo servidor. Sin embargo, esos sistemas son los más simples de abordar.

En sistemas de tiempo de espera se distingue también entre promedios de llamadas y promedios temporales. El tiempo de espera virtual es el tiempo que un cliente experimenta si llega a un punto aleatorio del tiempo (promedio temporal). El tiempo de espera real es el tiempo que experimenta el cliente real (promedio de llamada). Si el proceso de llegada es un proceso de Poisson los dos promedios son entonces idénticos.


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13.3 Fórmula de Pollaczek-Khintchine para M/G/1 Se ha establecido anteriormente el tiempo medio de espera para M/M/1 (véase el § 12.2.3) y más adelante se examinará M/D/1 (véase el § 13.5). En general, el tiempo medio de espera para M/G/1 viene dado por:

Teorema 13.1 Fórmula de Pollaczek-Khintchine (1930-32):

pues

donde W es el tiempo medio de espera para todos los clientes, s es el tiempo medio de servicio, A es el tráfico ofrecido, y ε es el factor de forma de la distribución del tiempo de ocupación (3.10).

Cuanto más regular es el proceso de servicio, menor será el tiempo medio de espera. En el § 13.6 se estudian los resultados correspondientes para el proceso de llegada. En tráfico telefónico real el factor de forma será de 4 a 6, y en tráfico de datos de 10 a 100.

La ecuación (13.2) es uno de los resultados más importantes en la teoría de puesta en fila de espera y se estudiará con mayor profundidad.

13.3.1 Deducción de la fórmula Pollaczek-Khintchine Se examina el sistema de puesta en fila M/G/1 y se desea encontrar el tiempo medio de espera para un cliente aleatorio. Es independiente del criterio de puesta en fila y, por tanto, se puede suponer que es del tipo FCFS. Debido al proceso de llegada de Poisson (propiedad PASTA) el tiempo de espera real de un cliente es igual al tiempo virtual de espera.

El tiempo medio de espera W para un cliente arbitrario se puede dividir en dos partes.

1) El tiempo tomado por un cliente para completar el servicio. Cuando el nuevo cliente considerado llega a un punto del tiempo aleatorio, el tiempo de servicio medio residual viene dado por la ecuación (3.25):

Donde s y ε tienen el mismo significado que en la ecuación (13.2). Cuando el proceso de

llegada es un proceso de Poisson, la probabilidad de encontrar un cliente que se le está dando servicio es igual a A (tráfico ofrecido = tráfico transportado)

La contribución al tiempo medio de espera de un cliente en servicio resulta entonces:

2) El tiempo de espera debido a clientes puestos en fila (FCFS). Por término medio la longitud

de la fila de espera es L. Por el teorema de Little se tiene


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donde L es el número medio de clientes en la fila de espera en un punto arbitrario del

tiempo, λ es la intensidad de llegada, y W es el tiempo medio de espera que se busca. Para cada cliente puesto en fila se tendrá una espera media de s unidades de tiempo. El tiempo medio de espera debido a los clientes puestos en fila resulta por tanto:

Se tiene así el tiempo de espera total ((13.4) + (13.5)):

que es la fórmula de Pollaczek-Khintchine (13.2). W representa el tiempo medio de espera para todos los clientes, mientras que el tiempo medio de espera puestos en fila w resulta (A = D = probabilidad de demora) (3.20):

La deducción anterior es correcta pues el promedio temporal es igual al promedio de llamadas cuando el proceso de llegada es un proceso Poisson (propiedad PASTA). Es interesante ver cómo ε se introduce en la fórmula.

13.3.2 Periodo de ocupado para M/G/1

Un periodo de ocupado de un sistema de puesta en fila es el intervalo de tiempo desde el instante que todos los servidores están en estado ocupado hasta que un servidor vuelve al estado libre. Para M/G/1 es fácil calcular el valor medio del periodo de ocupado.

En el instante en que el sistema de puesta en fila de espera queda vacío, pierde su memoria debido al proceso de llegada de Poisson. Estos instantes son puntos de regeneración (puntos de equilibrio), y el evento siguiente se produce conforme a un proceso de Poisson con intensidad λ.

Sólo se necesita considerar el ciclo desde el instante en que el servidor cambia el estado de libre a ocupado hasta la próxima vez que vuelve a cambiar el estado de libre a ocupado. Este ciclo incluye un periodo de ocupado de duración T1 y un periodo de desocupado de duración T0. En la figura 13.1 se muestra un ejemplo con tiempo de servicio constante. La porción de tiempo en que el sistema está ocupado resulta entonces:


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Figura 13.1 − Ejemplo de una secuencia de eventos para el sistema M/D/1 con el periodo en estado ocupado T1 y el periodo en estado libre T0


1) Estado

2) Ocupado

3) Libre

4) Llegadas

5) Tiempo

Siendo mTo = 1/λ se obtiene

Un periodo en estado ocupado puede comprender muchos clientes (un proceso de ramificación).

13.3.3 Tiempo de espera para M/G/1 Si sólo se consideran clientes que están espera, se podrán encontrar los momentos de la distribución del tiempo de espera para las técnicas de puesta en fila clásicas (Abate y Whitt, 1997 [1]).

FCFS: Al indicar el i-ésimo momento de la distribución de tiempo de servicio mediante m1, se puede hallar el k-ésimo momento de la distribución de tiempo de espera por la fórmula de recursión siguiente, donde el tiempo medio de servicio se toma como unidad de tiempo (m1 = s = 1):

LCFS: De los momentos precedentes mk,F de la distribución del tiempo de espera FCFS, se pueden hallar los momentos mk,L de la distribución del tiempo de espera LCFS. Los tres primeros momentos resultan:


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13.3.4 Longitud de la fila de espera limitada: M/G/1/k En sistemas reales la longitud de la fila de espera será finita, por ejemplo, la dimensión de la memoria intermedia. Existe una relación simple entre las probabilidades de estado p(i) (i = 0, 1, 2,. . .) del sistema infinito M/G/1 y las probabilidades de estado pk(i), (i = 0, 1, 2; . . ., k) de M/G/1/k, donde el número total de posiciones para clientes es k, incluido el cliente que se le da el servicio (Keilson, 1966 [59]):

donde A <1 es el tráfico ofrecido, y:

Existen algoritmos para calcular p(i) para distribuciones del tiempo de ocupación arbitrarios. Se debe señalar que lo anterior sólo es válido para A <1, pero para una memoria intermedia finita también se obtiene equilibrio estadístico para A >1.

13.4 Sistemas prioritarios de puesta en fila de espera: M/G/1 El periodo de tiempo que un cliente espera significa, por lo general, un inconveniente o gasto para el mismo. Por diversas estrategias para organizar la fila de espera, los tiempos de espera se pueden distribuir entre los clientes conforme a las preferencias.

13.4.1 Combinación de diversas clase de clientes

Los clientes se dividen en N clases (flujos de tráfico). Se supone que los clientes de clase i llegan conforme a un proceso de Poisson con intensidad λi [clientes por unidad de tiempo] y el tiempo medio de servicio es si [unidades de tiempo]. El segundo momento de la distribución del tiempo de servicio se representa como m2i, y el tráfico ofrecido es Ai = λi . si.

En lugar de considerar los procesos de llegada individuales, se debe examinar el proceso de llegada total que también es un proceso de llegada de Poisson con intensidad:

La distribución de tiempo de servicio resultante se transforma ahora en una suma ponderada de distribuciones de tiempo de servicio de las clases individuales (véase el § 3.2, combinación en paralelo). El tiempo de servicio medio total resulta:

y el segundo momento total es:


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El tráfico ofrecido total es:

El tiempo medio de servicio restante en un punto aleatorio en el tiempo resulta (13.4):


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Figura 13.2 − Función de carga U(t) para el sistema de puesta en fila de espera GI/G/1. Si el tiempo entre llegadas Ti+1 − Ti se representa por ai,

se tiene entonces Ui+1 = máx {0; Ui + si − ai}, donde Ui es el valor de la función de carga en el tiempo Ti


1) Función de carga U(t)

2) Tiempo

13.4.2 Tipos de filas de espera que conservan la utilización de un circuito En el texto siguiente se supone que el tiempo de servicio de un cliente es independiente del tipo de puesta en fila de espera. La capacidad del servidor es así constante e independiente de, por ejemplo, la longitud de la fila. El tipo de puesta en fila de espera debe conservar la utilización de un circuito. En la práctica, esto no es siempre el caso. Si el servidor es un ser humano y no una máquina, la tasa de servicio se incrementará a menudo con la longitud de la fila, y si después de algún tiempo el servidor queda evacuado, la tasa de servicio disminuye.

Se introducirán dos funciones que son ampliamente aplicadas en la teoría de puesta en fila.

Función de carga U(t): Indica el tiempo que se requerirá para dar servicio a los clientes que han llegado al sistema en el tiempo t (véase la figura 13.2). En un tiempo de llegada, U(t) aumenta con un salto igual al tiempo de servicio del cliente que llega, y entre llegadas U(t) disminuye linealmente con la pendiente −1 a 0, donde permanece hasta el siguiente tiempo de llegada. El valor medio de la función de carga se expresa mediante U = E {U(t)}. En un sistema de puesta en fila GI/G/1, la función de carga U(t) será independiente del criterio de puesta en fila, si éste conserva la utilización de un circuito.

Tiempo de espera virtual W(t): Indica el tiempo de espera de un cliente, si éste llega en el tiempo t. El tiempo de espera virtual W(t) depende de la organización de la fila. El valor medio se expresa por W = E {W(t)}. Si el criterio de fila de espera es FCFS, entonces U(t) = W(t). Cuando se considera el


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proceso de llegada de Poisson, el tiempo de espera virtual será igual al tiempo de espera real (promedio temporal = promedio de llamadas).

Se estudiará ahora la función de carga en un punto aleatorio del tiempo t. Está constituida por una contribución V del tiempo de servicio restante de un cliente que se le da servicio, si lo hubiera, y una contribución de los clientes que esperan en la fila. El valor medio U = E {U(t)} resulta:

Donde Li es la longitud de la fila para clientes de tipo i. Aplicando la ley de Little se obtiene:

Como se indicó anteriormente U es la variable independiente del criterio de fila de espera (se supone que el sistema es del tipo conservador de utilización de circuito), y V viene dado por la ecuación (13.17) para tipos de puesta en fila no preferentes. El valor de U se obtiene suponiendo el tiempo de servicio FCFS, pues entonces se tiene Wi = U:

Con estas hipótesis generales se obtiene, aplicando la ecuación (13.22) en la ecuación (13.20), la ley de conservación de Kleinrock (1964 [64]):

Teorema 13.2 Ley de conservación de Kleinrock:

El tiempo medio de espera para todas las clases ponderadas por la (carga) de tráfico de la clase mencionada, es independiente del criterio de fila de espera.

Se debe señalar que lo anterior sólo es válido para tipos de puesta en fila de espera no preferentes. Se puede dar así a una pequeña proporción del tráfico un tiempo medio de espera muy bajo, sin aumentar mucho el promedio del tiempo de espera de los clientes restantes. Mediante diversas estrategias se pueden atribuir los tiempos de espera a cada cliente conforme a sus preferencias.

13.4.3 Tipos de puesta en fila de espera no preferentes Más adelante se examinarán los sistemas de puesta en fila prioritarios M/G/1 donde los clientes se dividen en N clases prioritarias de modo tal que quien tenga prioridad p tiene derecho prioritario sobre clientes con prioridad p + 1. En un sistema sin derecho preferencial un servicio en curso no puede ser interrumpido.


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Se supone que los clientes de clase p tienen el tiempo medio de servicio sp y la intensidad de llegada λp. En el § 13.4.1 se obtuvieron los parámetros para el proceso total.

El tiempo de espera medio total Wp de un cliente clase p se puede obtener directamente considerando las tres contribuciones siguientes:

a) El tiempo de servicio residual V para el cliente en servicio.

b) El tiempo de espera, debido a los clientes en la fila con prioridad p o mayor que ya están puestos en espera (teorema de Little):

c) El tiempo de espera debido a clientes con prioridad superior, que superan al cliente

considerado cuando éste está en espera:

En total, se obtiene:

Para clientes de clase 1, que tienen la más alta prioridad se obtiene, con la hipótesis de FCFS:

donde V es el tiempo de servicio residual para el cliente en servicio cuando llega el cliente considerado (13.18):

donde m2i es el segundo momento de la distribución del tiempo de servicio de la i-ésima clase.

Para clientes de clase 2 se tiene:

Aplicando W1(13.25), se obtiene:


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En general, se hallan (Cobham, 1954 [15]):

donde:

La estructura de la ecuación (13.30) se puede interpretar directamente. Independientemente de la clase todo cliente debe esperar hasta que se complete el servicio en curso (V). El tiempo de espera se debe a clientes que ya han llegado y tienen al menos la misma prioridad (A′p), y clientes con prioridad más alta que llegan durante el tiempo de espera (A′p−1).

Ejemplo 13.4.1: Sistema SPC Se considera una computadora que sirve a dos tipos de clientes. El primer tipo tiene un tiempo de servicio constante de 0,1 s, y la intensidad de llegada es de 1 cliente/segundo. El otro tipo tiene el tiempo de servicio distribuido exponencialmente con el valor medio de 1,6 s y la intensidad de llegada es 0,5 cliente/segundo.

La carga de los dos tipos de clientes es entonces A1 = 0,1 erlang y A2 = 0,8 erlang, respectivamente. De la ecuación (13.27) se obtiene:

Sin ninguna prioridad el tiempo medio de espera, utilizando la ecuación (13.2) de Pollaczek-Khintchine, resulta:

Con prioridad sin apropiación se tiene:

Propiedad superior Tipo 1:

Prioridad superior Tipo 2:

Esto indica que se puede mejorar el Tipo 1 casi sin influenciar el Tipo 2. Sin embargo, la inversa no corresponde. La constante en la ley de conservación (13.23) resulta la misma sin prioridad como con prioridad sin apropiación

0,9 · 12,85 = 0,1 · 1,43 + 0,8 · 14,28 = 0,8 · 6,43 + 0,1 · 64,25 = 11,57.


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13.4.4 Criterio de puesta en fila SJF Con el criterio de puesta en fila SJF cuanto menor es el tiempo de servicio de un cliente, mayor es la prioridad. Mediante la introducción de un número infinito de clases de prioridad, se obtiene con la ecuación (13.30) que un cliente con el tiempo de servicio t tiene el tiempo medio de espera Wt (Phipps 1956):

donde At es la carga de los clientes con tiempo de servicio menor o igual que t:

El criterio SJF produce el tiempo de espera total más bajo posible.

Si esas diferentes clases de prioridad tienen costos por unidad de tiempo distintos en estado de espera, los clientes de clase j tienen el tiempo medio de servicio sj y abonan una tasa de cj por unidad de tiempo cuando están en espera, la estrategia óptima de costo mínimo es entonces asignar prioridades 1, 2, . . . conforme a la relación de incremento sj/cj.

Ejemplo 13.4.2: M/M/1 con criterio de puesta en fila SJF

Se considera el caso de tiempos de ocupación distribuidos exponencialmente con el valor medio 1/μ que se toma como unidad de tiempo (M/M/1). Si bien hay pocos tiempos de servicio muy largos, éstos contribuyen considerablemente al tráfico total. (Véase la figura 3.2).

La contribución al tráfico total A por parte de clientes con tiempo de servicio ≤ t es {(3.22) multiplicado por A = λ . μ}.

Aplicando esta expresión en la ecuación (13.32) se obtiene Wt como se ilustra en la figura 13.3, donde la estrategia FCFS (igual tiempo medio de espera que LCFS y SIRO) se muestra para comparación como función del tiempo de ocupación real. La estrategia con retorno al punto de origen fija un tiempo de espera que es proporcional al tiempo de servicio. El tiempo medio de espera para todos los clientes con SJF es menor que con FCFS, pero no es evidente en la figura. El tiempo medio de espera para SJF resulta:

que no es simple de calcular.


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13.4.5 M/M/n con prioridad sin apropiación Se puede también generalizar el sistema de tiempo de espera clásico de Erlang M/M/n con criterios de puesta en fila de espera sin apropiación cuando todas las clases de clientes tienen la misma distribución exponencial del tiempo de servicio con valor medio s = μ-1.

Figura 13.3 − El tiempo medio de espera Wt es función del tiempo de servicio real en un sistema M/M/1 para criterios SJF y FCFS, respectivamente. El tráfico ofrecido es

de 0,9 erlang y se tomó el tiempo medio de servicio como unidad de tiempo. Se ha de señalar que para SJF el promedio de tiempo de espera mínimo es de 0,9 unidades de tiempo, en razón que se da servicio a una eventual operación primero debe finalizar. El tiempo medio de espera máximo

es de 90 unidades de tiempo. En comparación con el criterio FCFS si se utiliza SJF en 93,6% de las operaciones tienen tiempo medio

de espera más breve. Esto corresponde a operaciones con un tiempo de servicio menor que 2,747 tiempos de servicio medio (unidades de tiempo). El tráfico ofrecido puede

ser mayor que 1 erlang, pero entonces sólo las operaciones más breves tienen un

tiempo de espera finito


1) Tiempo medio de espera Wt {s-1}

2) Tiempo de servicio real t {s-1}


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Representando la intensidad de llegada para la clase i por λi, se obtiene el tiempo medio de espera Wp para la clase p:

A es el tráfico ofrecido total para todas las clases. La probabilidad E2,n(A) para el tiempo de espera viene dadas por la fórmula C de Erlang, y el servicio del cliente termina con el tiempo medio entre partidas s/n cuando todos los servidores están ocupados. Para la clase de prioridad más elevada p = 1 se obtiene:

Para p = 2 de manera similar se halla:

En general, se encuentra (Cobham, 1954 [15]):

El caso de sistemas con derecho preferente es más difícil de tratar pues los clientes con prioridad superior que llegan durante un tiempo de servicio no interrumpen necesariamente a un cliente que está servido, en razón que hay muchos servidores. El tiempo medio de espera se puede obtener considerando primero la clase uno solamente, y luego la clase uno y dos en conjunto, que implica el tiempo de espera para la clase dos, etc. Esto sólo será correcto cuando el tiempo de servicio está distribuido exponencialmente.

13.4.6 Criterio de puesta en fila con derecho preferente Supóngase ahora que un servicio en curso se interrumpe por la llegada de un cliente con prioridad superior. El servicio continuará más tarde a partir de donde fue interrumpido. Esta situación es típica para sistemas informáticos. Para un cliente con prioridad p no habrá cliente con prioridad inferior. El tiempo medio de espera Wp para un cliente de clase p está compuesto por dos contribuciones. a) Tiempo de espera debido a los clientes con prioridad igual o superior, que ya se encuentran

en el sistema de puesta en fila. Este es el tiempo de espera experimentado por un cliente en un sistema sin prioridad donde sólo existen las primeras clases p.


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donde

es el tiempo de servicio restante esperado debido a clientes con prioridad igual o mayor y A'p viene dado por la ecuación (13.31).

b) El tiempo de espera debido a clientes con prioridad superior que llegan durante el tiempo de espera o tiempo de servicio y dan alcance al cliente considerado:

Se tiene así:

Esto se puede expresar como sigue:

que resulta:

Al igual que en el § 13.4.4 se puede expresar la fórmula para el tiempo de espera medio para el criterio de puesta en fila SJF con derecho preferente. El tiempo de respuesta total es:

Ejemplo 13.4.3: Sistema SPC (véase el ejemplo 13.4.1) Se supone ahora que el sistema informático del ejemplo 13.4.1 funciona con el criterio de derecho preferente y se obtiene:




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Esto muestra que elevando el tipo 1 a la más alta prioridad, se puede permitir que esos clientes tengan un tiempo de espera breve, sin perturbar a los clientes tipo 2, pero el caso inverso no es posible.

La ley de conservación es sólo válida para sistemas de puesta en fila con derecho preferente si los tiempos de servicio preferencial están distribuidos exponencialmente. En el caso general, una operación puede ser tomada varias veces con derecho prioritario y, por tanto, el tiempo de servicio restante no estará dado por V.

13.5 Sistemas de puesta en fila con tiempos de utilización constante Esta sección se centra en el sistema de puesta en fila M/D/n, FCFS. Los sistemas con tiempos de servicio constante tienen la propiedad particular que los clientes dejan los servidores en el mismo orden que fueron aceptados para darles servicio.

13.5.1 Antecedentes del sistema M/D/n Los sistemas de puesta en fila de espera con proceso de llegada de Poisson y tiempos de servicio constantes fueron los primeros criterios que se han analizado. En principio, cabe pensar que es más sencillo tratar tiempos de servicio constantes que tiempos de servicios distribuidos exponencialmente, pero en realidad es todo lo contrario. La distribución exponencial es fácil de tratar debido a su falta de memoria: el tiempo de vida restante tiene la misma distribución que el tiempo de vida total (véase el § 4.1), y, por tanto, se puede olvidar de la época (punto en el tiempo) en que se inició el tiempo de servicio. Los tiempos de ocupación constantes requieren que se recuerde el tiempo de inicio exacto.

Erlang fue el primero en analizar el sistema de puesta en fila M/D/n, FCFS (Brockmeyer y otros 1948 [12]):

Erlang: 1909 n = 1 errores para n >1,

Erlang: 1917 n = 1, 2, 3 sin prueba,

Erlang: 1920 n soluciones explícitas arbitrarias para n = 1, 2, 3.

Erlang estableció la distribución del tiempo de espera, pero no consideró las probabilidades de estado. Fry (1928 [32]) analizó también el criterio M/D/1 y estableció las probabilidades de estado (ecuaciones de estado de Fry) utilizando el principio de equilibrio estadístico de Erlang mientras que el propio Erlang aplicó métodos más teóricos.

Crommelin (1932 [21], 1934 [22]), un ingeniero inglés especializado en telefonía, presentó una solución general para el criterio M/D/n. Generalizó las ecuaciones de estado de Fry a una N arbitraria y estableció la distribución del tiempo de espera, conocida ahora como distribución de Crommelin.

Pollaczek (1930-34) presentó una solución muy general dependiente del tiempo para distribuciones de tiempos de servicio arbitrarios. Con la hipótesis de equilibrio estadístico se pueden obtener soluciones explícitas para tiempos de servicios constante y distribución exponencial. También Khintchine (1932 [63]) analizó el criterio M/D/n y estableció la distribución del tiempo de espera.


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13.5.2 Probabilidades de estado y tiempos medios de espera: M/D/1 Con la hipótesis de equilibrio estadístico se calculan ahora las probabilidades para M/D/1 de manera simple. La intensidad de llegada se representa por λ y el tiempo de ocupación constante por h. Como se considera un sistema de tiempo de espera puro con un solo servidor, se tiene:

Tráfico ofrecido = Tráfico transportado = λ · h < 1, (13.39)

es decir

pues en cada estado con excepción de cero el tráfico transportado es igual a un erlang.

Se consideran dos épocas (puntos en el tiempo) t y t +h a una distancia de h. Todo cliente que es servido en época t (no más de uno) ha dejado el servidor en época t +h. Los clientes que llegan durante el intervalo (t, t + h) están aún en el sistema de puesta en fila en época t +h (en espera o en servicio).

El proceso de llegada es un proceso de Poisson. Por tanto, para el intervalo de tiempo (t, t +h), se tiene

p (j, h) =p {j llamadas en h} = Poisson distribuido (13.40)

La probabilidad que en un determinado estado se encuentre en época t +h se obtiene del estado en época t teniendo en cuenta todas las llegadas y salidas durante (t; t +h). Mediante observación en esas épocas se obtiene una cadena Markov incorporada en el proceso de tráfico original (véase la figura 13.4).

Se obtiene las ecuaciones de estado de Fry para n = 1 (Fry, 1928 [32]):

Además, se obtuvo:

p(0) = 1 . A


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Figura 13.4 − Ilustración de las ecuaciones de estado de Fry para el sistema de puesta en fila M/D/1


1) Estado

2) Llegadas en (t, t+h)

3) Llegada

4) Salida

5) Tiempo

y con la hipótesis de equilibrio estadístico pt(i) = pt+h(i), se halla sucesivamente:

y en general:

El último término correspondiente a j = i siempre equivale a eiA, pues (−1)! ≡ ∞. En principio p(0) también se puede obtener requiriendo que todas las probabilidades de estado se deben añadir a uno.

13.5.3 Tiempos medios de espera y periodo ocupado: M/D/1

Para un proceso de llegada de Poisson la probabilidad D de retardo experimentando es igual a la probabilidad de no estar en estado cero (propiedad PASTA):

D = A = 1 − p(0) (13.43)

W representa el tiempo medio de espera para todos los clientes y w el tiempo medio de espera para los clientes que experimentan un tiempo de espera positivo.


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Se tiene siempre (3.20):

,DWw= (13.44)

donde para todos los valores de n (más adelante se verá n >1):

W y w se obtiene fácilmente considerando un periodo ocupado (véase la figura 13.1).

En la época (punto en el tiempo) en el que el sistema se pone vació, se dice que este perdió su memoria (punto de regeneración = punto de equilibrio), y el siguiente cliente llega conforme a un proceso de Poisson con intensidad λ (véase el ejemplo 6.2.1).

Sólo es necesario considerar un ciclo desde una época en el que el sistema se pone en reposo hasta la siguiente época en que vuelve a tomar ese estado. El ciclo comprende un periodo de reposo de duración T0 y un periodo de ocupado de duración T1 (véase la figura 13.1).

La proporción de tiempo en que el sistema está ocupado resulta entonces (13.7):

Un periodo de ocupado se compone de un número de llamadas uniformemente distribuidas (proceso de ramificación) durante el periodo de ocupado. (Paradoja: nótese que no hay llegadas durante el último tiempo de servicio de un periodo de ocupado). En promedio estos clientes, que experimentan un tiempo de espera positivo > 0, tienen los siguientes tiempos medios de espera:

Estos resultados también se obtienen utilizando la fórmula de Pollaczek-Khintchine. La distribución del número de clientes que llegan durante un periodo de ocupado se puede demostrar que viene dado por una distribución de Borél:

13.5.4 Distribución del tiempo de espera: M/D/1, FCFS Se puede obtener mediante la siguiente expresión:

donde h = 1 se toma como unidad de tiempo, t = T + τ, T es un entero, y 0 ≤ τ <1.


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Figura 13.5 − Distribución del tiempo complementario para todos los clientes en el sistema de puesta en fila M/M/1 y M/D/1 para filas ordenadas (FCFS).

Unidad de tiempo = tiempo medio de servicio. Se señala que el tiempo medio de servicio para M/D/1 es menor que para M/M/1


1) Distribución del tiempo de espera p(W > t)

El gráfico de la distribución del tiempo de espera presenta una irregularidad cada vez que el tiempo de espera supera un múltiplo entero del tiempo de ocupación constante. En la figura 13.5 se muestra un ejemplo. La fórmula (13.49) no es adecuada para la evaluación numérica. Puede mostrar (Iversen, 1982 [41]) que el tiempo de espera se puede expresar en forma cerrada, como fue señalado por Erlang in 1909:

que es apropiado para la evaluación numérica de pequeños tiempos de espera.

Para tiempos de espera más largo se utilizará, por lo general, sólo valores enteros de t. Se puede mostrar (Iversen, 1982 [41]) que para un valor entero de t se tiene

Las probabilidades de estado p(i) se calculan con mayor precisión utilizando una fórmula recursiva basada en las ecuaciones de estado de Fry (13.42):


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Para tiempos de espera no enteros se puede expresar la distribución del tiempo de espera en términos de tiempos de espera enteros. Si se toma h = i, la ecuación (13.50) puede ser entonces un desarrollo binomial expresado en potencias de τ, donde:

t = T + τ, T entero, 0 ≤ τ < 1

Se obtiene entonces:

donde p {W ≤ T − τ} viene dado por la ecuación (13.51).

La evaluación numérica es muy precisa cuando se utilizan las ecuaciones (13.51), (13.52) y (13.53).

13.5.5 Probabilidades de estado: M/D/n Cuando se aplican las ecuaciones de estado de Fry (13.41) se obtienen más combinaciones:

Con la hipótesis de equilibrio estadístico (A <n) se puede hacer caso omiso de los puntos absolutos en el tiempo:

El sistema de ecuaciones (13.55) sólo se puede resolver por sustitución, si se conoce p(0), p(1), . . .; p(n−1). En la práctica, se pueden obtener valores numéricos suponiendo un conjunto aproximado de valores para p(0), p(1), . . ., p(n−1), y luego sustituirlos en la fórmula de recursión (13.55) y obtener nuevos valores. Luego de algunas aproximaciones se obtienen los valores exactos.

La solución matemática explícita se obtiene mediante funciones generatrices (The Erlang book, páginas 81 a 83).

13.5.6 Distribución del tiempo de espera: M/D/n, FCFS La distribución del tiempo de espera viene dada por la distribución de Crommelin:

donde A es el tráfico ofrecido y

La fórmula (13.56) se puede expresar en forma cerrada a semejanza de la ecuación (13.50):

Para valores enteros del tiempo de espera t se tiene:


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El tiempo medio de espera exacto de todos los clientes W es difícil de calcular. Se puede obtener una aproximación por medio de la expresión de Molina:

Para tiempos de espera no enteros t = T + τ, T entero, 0 ≤ τ < 1, se puede expresar la distribución del tiempo de espera en términos de tiempos de espera enteros en cuanto a M/D/1:

donde k = n(T + 1)−1 y p(i) es la probabilidad de estado (13.55).

13.5.7 Proceso de llegada de Erlang-k: Ek/D/r

Sea un sistema de puesta en fila de espera con n = r . k (siendo r y k valores enteros), proceso general de llegada GI, tiempo de servicio constante y criterio de puesta en fila ordenada (FCFS). Los clientes que llegan durante periodos de reposo buscan servidores en orden cíclico

1; 2, . . ., n − 1, n,1, 2, . . .

Un determinado servidor dará servicio entonces a los n-ésimos clientes, pues los clientes debido al tiempo de servicio constante dejan los servidores en el mismo orden en que llegaron a los mismos. Ningún cliente puede superar a otro cliente.

Un grupo de servidores constituidos por:

X, x + k, x + 2 . k, . . ., x + (r − 1) . k, 0 < x ≤ k (13.62)

darán servicio al k-ésimo cliente. Si se consideran los servidores conforme a la agrupación (13.62), se estudian entonces como un solo grupo equivalente al sistema de puesta en fila GIk*/D/r, donde el proceso de llegada GIk*

es una convolución de k veces la distribución del tiempo de llegada.

Lo mismo sucede para los otros sistemas k − 1. El tráfico en estos sistemas k está mutuamente correlacionado, pero si sólo se considera un sistema por vez, este es entonces un proceso de llegada GIk*/D/n, sistema de puesta en fila FCFS.

La hipótesis de búsqueda cíclica de los servidores no es necesaria con los sistemas individuales (13.62). Las probabilidades de estado, tiempos medios de espera, etc. son independientes del criterio de puesta en fila, que tiene importancia sólo para la distribución del tiempo de espera.

Si el proceso de llegada GI fuera un proceso de Poisson, GIk* resulta entonces un proceso de llegada Erlang-k. Se encuentra así que los siguientes sistemas son equivalentes con respecto a la distribución del tiempo de espera:

M/D/r · k, FCFS ≡ Ek/D/r, FCFS

por tanto, Ek/D/r se puede obtener mediante tablas para M/D/n.

Ejemplo 13.5.1: Procesos de llegada regulares En general, se sabe que para un determinado tráfico por servidor el tiempo medio de espera disminuye cuando aumenta el número de servidores (economía de escala, convexidad). Por la misma razón, el tiempo medio de espera disminuye cuando el proceso de llegada se hace más


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regular. Esto se puede ver directamente de la equivalencia anterior, donde el proceso de llegada para Ek/D/r se hace más regular para incrementos de k (siendo r constante). Para A = 0,9 erlang por servidor (L = longitud media de fila de espera) se tiene:

E4/E1/2: L = 4,5174,

E4/E2/2: L = 2,6607,

E4/E3/2: L = 2,0493,

E4/D/2: L = 0,8100.

13.5.8 Sistema de puesta en fila finito: M/D/1/k En sistemas reales siempre se tiene una fila de espera finita. En sistemas informáticos la capacidad de almacenamiento es finita y en sistemas ATM hay memorias intermedias finitas. Lo mismo se aplica para posiciones de espera en sistemas de fabricación flexibles FMS, flexible manufacturing systems). En un sistema con un solo servidor y (k −1) posiciones de fila de espera se tienen (k +1) estados (0, 1, . . . , k).

Las ecuaciones de equilibrio para los estados 0, 1, . . ., k −2 se pueden aplicar del mismo modo que las ecuaciones de estado de Fry, pero no es posible formular ecuaciones simples independientes del tiempo para los estados k −1 y k. Pero las primeras ecuaciones (k −2) (13.53) junto con el requisito de normalización

y el hecho que el tráfico ofrecido es igual al tráfico transportado más el tráfico rechazado (propiedad PASTA):

A = 1 -p(0) + A . p(k)

dan por resultado (k +1) ecuaciones lineales independientes, que son sencillas de resolver numéricamente.

Se obtienen tiempos de espera enteros de las probabilidades de estado y tiempos de espera no enteros de los tiempos de espera enteros, como se indicó anteriormente.

Ejemplo 13.5.2: Cubo no estanco El cubo no estanco es un mecanismo para controlar los procesos de llegada de células (paquetes) de un usuario (fuente de tráfico) en un sistema ATM. El mecanismo corresponde a un sistema de puesta en fila de espera con tiempo de servicio constante (dimensión de la célula) y una memoria intermedia finita. Si el proceso de llegada es un proceso de Poisson, se tendrá un sistema M/D/1/k. La magnitud de la fuga corresponde a la intensidad de llegada aceptable del promedio a largo plazo mientras que el tamaño del cubo describe el exceso (incremento repentino permitido). El mecanismo funciona como un sistema de puesta en fila virtual en el que las células se aceptan inmediatamente o bien son rechazadas conforme al valor de un contador que es el valor entero de la función de carga (véase la figura 13.2). En un contrato entre el usuario y la red se celebra un acuerdo sobre la magnitud de la "fuga" y la dimensión del "cubo". Sobre esta base la red puede garantizar una determinada calidad de servicio.


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13.6 Sistema de puesta en fila con un solo servidor: GI/G/1 En el § 13.3 se indicó que el tiempo medio de espera para todos los clientes en un sistema de puesta en fila M/G/1 viene dado por la fórmula de Pollaczek-Khintchine:

donde ε es el factor de forma de la distribución del tiempo de ocupación.

Se han analizado anteriormente los siguientes casos:

M/M/1 (§ 12.2.3): ε = 2

M/M/1 (§ 13.5.3): ε = 1

Esto indica que cuanta mayor regularidad haya en la distribución del tiempo de ocupación, menor será el tráfico del tiempo de espera. (Para sistemas de pérdidas con accesibilidad limitada es el caso opuesto: cuanto mayor sea el factor de forma menor será la congestión.)

En sistema con llegadas que no siguen el proceso de Poisson, los momentos de orden superior también tendrán influencia en el tiempo medio de espera.

13.6.1 Resultados generales Hasta este momento se ha tomado como hipótesis general que el proceso de llegada es un proceso de Poisson. Para otros procesos de llegada raramente es posible encontrar una expresión exacta para el tiempo medio de espera excepto en el caso en el que los tiempos de ocupación tienen distribución exponencial. En general, se puede requerir que el proceso de llegada o el bien el proceso de servicio sea tipo Markovian. Hasta el presente no hay fórmulas de uso general para, por ejemplo, M/G/n.

Para GI/G/1 es posible determinar los límites superiores teóricos para el tiempo medio de espera. Representando la varianza de los tiempos entre llegadas por va y la varianza de la distribución del tiempo de ocupación por vd, la desigualdad de Kingman (1961) indica un límite superior para el tiempo medio de espera:

La fórmula muestra que son las variaciones estocásticas que producen los tiempos de espera.

La fórmula (13.66) permite determinar el límite teórico superior. Una estimación razonable del tiempo medio de espera real se puede obtener mediante la aproximación de Marchal (Marchal, 1976 [78]):

donde a es el tiempo medio entre llegadas(A = s/a).

Esta aproximación es un factor de ajuste de la desigualdad de Kingman de modo que concuerda con la fórmula de Pollaczek-Khintchine para el caso M/G/1.


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Como ejemplo del proceso de llegada distinto del proceso de Poisson se analizará el sistema de puesta en fila GI/M/1, donde la distribución de los tiempos entre llegadas es una distribución general dada por la función de densidad f(t).

13.6.2 Probabilidades de estado: GI/M/1 Si el sistema se considera como un punto arbitrario en el tiempo, las probabilidades de estado no se describirán entonces por un proceso de Markov, pues la probabilidad de una llegada dependerá del intervalo de tiempo desde la última llegada.

Sin embargo, si el sistema es considerado inmediatamente antes (o después) de una época de llegada, habrá entonces independencia en el proceso de tráfico pues los tiempos entre llegada son estocásticos independiente de los tiempos de ocupación distribuidos exponencialmente. Las épocas de llegada son puntos de equilibrio (puntos de regeneración) (véase el § 5.2.2), y se analizará la denominada cadena de Markov incorporada.

La probabilidad que inmediatamente antes de una época de llegada se observe el sistema en estado j se representa por π(j). En equilibrio estadístico se puede demostrar que se tendrá el siguiente resultado (D.G. Kendall, 1953 [62]):

donde α es la raíz real positiva que satisface la ecuación:

Las probabilidades en régimen permanente se pueden obtener examinando dos épocas de llegada sucesivas t1 y t2 (similar a las ecuaciones de estado de Fry, véase el § 13.5.5).

Como el proceso de salida es un proceso de Poisson con intensidad constante μ, cuando hay clientes en el sistema, la probabilidad p(j) que j clientes completen el servicio entre dos épocas de llegada se puede expresar por el número de eventos en un proceso de Poisson durante un intervalo estocástico (tiempo entre llegadas). Se pueden formular las siguientes ecuaciones de estado:

La condición de normalización es como siempre:

Se puede demostrar que la distribución geométrica indicada anteriormente es la única solución a este sistema de ecuaciones (Kendall, 1953 [62]).


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En principio, el sistema de puesta en fila de espera GI/M/n se puede resolver de la misma manera. La probabilidad p(j) resulta más complicada pues la velocidad de salida depende del número de canales ocupados.

Se debe señalar que π(i) no es la probabilidad de encontrar al sistema en el estado i en un punto arbitrario del tiempo (promedio de tiempo), sino la probabilidad de encontrar el sistema en el estado i inmediatamente antes de una llegada (promedio de llamadas).

13.6.3 Características del sistema GI/M/1 La probabilidad de servicio inmediato resulta:

p {inmediato} = π (0) = 1 − α (13.72)

La probabilidad correspondiente de estar en espera resulta:

D = p {espera}= α (13.73)

El promedio del número de servidores ocupados en un punto aleatorio del tiempo (promedio temporal) es igual al tráfico transportado (= al tráfico ofrecido A < 1).

El promedio del número de clientes en espera, inmediatamente antes de la llegada de un cliente, se obtiene a través de las probabilidades de estado:

El tiempo medio de espera para todos los clientes:

El promedio del número de clientes en el sistema antes de una época de llegada es:

El promedio del tiempo de espera para todos los clientes resulta entonces:

El promedio de la longitud de la fila de espera tomado en todo el eje del tiempo (longitud de fila de espera virtual) resulta entonces (teorema Little):

El tiempo medio de espera para los clientes, que obtienen tiempos de espera, resulta:


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Ejemplo 13.6.1: Tiempos medios de espera GI/M/1

Para M/M/1 se encuentra que α = αm = A. Para D/M/1 α = αd se obtiene de la ecuación:

donde αd debe estar entre (0,1). Se puede demostrar que 0 < αd < αm < 1 . Así, el sistema de puesta en fila de espera D/M/1 tendrá siempre menos tiempo medio de espera que M/M/1.

Para A = 0,5 erlang se obtienen los siguientes tiempos medios de espera para todos los clientes (13.76):

M/M/1: α = 0,5, W = 1, w = 2.

D/M/1: α = 0,2032, W = 0,2550, w = 1,3423.

donde el tiempo medio de ocupación se utiliza como unidad de tiempo (μ = 1). El tiempo medio de espera está lejos de ser proporcional con el factor de forma de la distribución del tiempo entre llegadas.

13.6.4 Distribución del tiempo de espera: GI/M/1, FCFS

Cuando un cliente llega a un sistema de fila de espera, el número de clientes en el sistema está distribuido geométricamente, y el cliente, por tanto, bajo la hipótesis que tiene un tiempo de espera positivo, debe esperar un número de fases exponenciales distribuidas geométricamente. Esto dará por resultado un tiempo de espera con un parámetro dado en la ecuación (13.78), cuando el criterio de puesta en fila es FCFS (véase el § 12.4 y la figura 4.9).

13.7 Sistema de puesta en fila con retorno al punto de origen y compartición de procesador El modelo de puesta en fila con retorno al punto de origen (RR, round robin) (véase la figura 13.6) se utiliza para un sistema informático de compartición en el tiempo en el que se requiere un tiempo de respuesta rápido para las operaciones más cortas. Este criterio de puesta en fila también se denomina fila de espera adecuada pues los recursos disponibles están distribuidos por igual entre las operaciones (clientes) en el sistema.

Figura 13.6 − Sistema de puesta en fila de espera con retorno al punto de origen. Se atribuye un segmento de tiempo Δs (como máximo) a una operación cada vez que está servida. Si la operación no concluye durante este segmento de

tiempo, retorna a una fila FCFS, que espera en términos iguales con nuevas operaciones. Si se permite que Δs disminuya a cero se

obtiene el criterio de puesta en fila PS (Compartición de procesador)


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1) Operaciones no concluidas

2) Nuevas operaciones

3) Fila de espera

4) Operaciones concluidas

Las nuevas operaciones se ponen en una fila de espera FCFS, en las que esperan hasta que obtengan servicios dentro de un segmento de tiempo Δs que es el mismo para todas las operaciones. Si una operación no concluye dentro de un segmento de tiempo, el servicio se interrumpe y la operación se coloca al final de la fila de espera FCFS. Esto continúa hasta que se satisface el tiempo de servicio total requerido.

Se supone que la fila de espera es ilimitada, y que llegan nuevas operaciones conforme al proceso de Poisson (λ). La distribución del tiempo de servicio puede ser general con el valor medio s.

El intervalo de tiempo puede variar. Si resulta infinito, todas las operaciones estarán completadas la primera vez, y se tendrá simplemente un sistema de puesta en fila M/G/1 con criterio FCFS. Si se permite que el segmento de tiempo disminuya a cero, se obtendrá el modelo PS = compartición de procesador, que tiene una diversidad de propiedades analíticas precisas. El PS fue introducido por Kleinrock (1967) y se tratan en detalle en (Kleinrock, 1976 [67]).

El modelo de compartición de procesador se puede interpretar un sistema como de puesta en fila de espera donde todas las operaciones están servidas continuamente por el servidor (compartición de tiempo). Si en el sistema hay i operaciones, cada una de ellas obtiene la fracción 1/i de la capacidad de la computadora. De modo que no hay fila de espera y el criterio de puesta en fila no tiene importancia.

Cuando el tráfico ofrecido A = λ . s es menor que uno se puede comprobar que las probabilidades en régimen permanente vienen dada por:

es decir una distribución geométrica con el valor medio A/(1 − A). El tiempo medio de ocupación (promedio del tiempo de respuesta) para las operaciones con duración t resulta:

Si esta operación fuera la única del sistema, su tiempo de ocupación sería t. Como no hay fila de espera, se puede hablar de un retardo de tiempo medio para operaciones con duración t.

Los valores medios correspondientes para una operación aleatoria resultan naturalmente:


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Esto indica que se obtienen exactamente los mismos valores medios que para M/M/1 (véase el § 13.2). Pero el tiempo medio de espera real resulta proporcional a la duración de la operación que a menudo es una propiedad conveniente. No se formularán hipótesis acerca de la duración de la operación.

El tiempo medio de espera resulta proporcional al tiempo medio de servicio. La proporcionalidad no debe ser interpretada como que dos operaciones de la misma duración tienen el mismo tiempo de espera; sólo es válida en promedio. En comparación con los valores para M/G/1 (mediante la aplicación de la fórmula (13.2) de Pollaczek-Khintchine) obtenidos anteriormente, los resultados pueden sorprender.

Una propiedad muy útil del modelo de compartición de procesador es que el proceso de salida es del tipo Poisson como el proceso de llegada (véase el § 13.2). Esto se puede explicar por el hecho que el proceso de salida tiene origen en el proceso de llegada mediante un desplazamiento estocástico de las épocas de llegada. El desplazamiento en el tiempo es igual al tiempo de respuesta con un valor medio dado por la ecuación (13.80) (véase el § 6.3.1, teorema de Palm).

El modelo de compartición de procesador es muy útil para analizar sistemas de compartición del tiempo y para modelar redes de puesta en fila de espera (véase el Capítulo 14).


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CAPÍTULO 14 Redes de filas de espera

Muchos sistemas se pueden modelar de manera que un cliente obtenga servicios a partir de varios nodos sucesivos, es decir, una vez que un cliente ha finalizado el servicio en un nodo pasa a otro. La demanda total de servicios se compone de demandas de servicios en distintos nodos. Por consiguiente, el sistema es una red de puesta fila de espera en la que cada una de las filas se denomina nodo. Como ejemplos de redes de puesta fila de espera cabe citar los sistemas de telecomunicaciones, los sistemas informáticos, las redes de conmutación de paquetes y los sistemas de fabricación flexibles. En las redes de puesta en fila de espera se define la longitud de la fila en un nodo como el número total de clientes en el nodo, incluidos los clientes que están servidos.

Este Capítulo tiene por objeto introducir la teoría fundamental de las redes de puesta en fila de espera, ilustrada por aplicaciones. Por lo general, se considera que la teoría es bastante complicada, lo que se debe principalmente a la complejidad de la notación. Ahora bien, en este Capítulo se introducirán de manera simple los modelos generales analíticos de redes de puesta en fila de espera sobre la base de formas de producto, el algoritmo de convolución, el algoritmo MDA y los ejemplos pertinentes.

La teoría de las redes de puesta en fila de espera es análoga a la teoría de los sistemas multidimensionales (véanse los Capítulos 10 y 11). En el Capítulo 10 se examinaron los sistemas de pérdidas multidimensionales mientras que en este Capítulo se tratarán las redes de sistemas de puesta en fila de espera.

14.1 Introducción a las redes de puesta en fila de espera

Las redes de puesta en fila de espera se clasifican en abiertas y cerradas. En redes de puesta en fila cerradas la cantidad de clientes es fija mientras que en redes de puesta en fila abiertas la cantidad de clientes varía. En principio, una red abierta se puede transformar en una red cerrada agregando un nodo extra.

El sistema de espera clásico de Erlang, M/N/n, es un ejemplo de un sistema de puesta en fila abierto, mientras que el modelo máquina/reparación de Palm con S terminales es una red cerrada. Si hay más que un tipo de clientes, la red puede ser una mezcla de red abierta y cerrada. En razón que el proceso de salida en un nodo es el proceso de llegada en otro, se deberá prestar especial atención al proceso de salida, en particular cuando se puede modelar como proceso de Poisson. Esto se examinará en el § 14.2 (Sistemas simétricos de puesta en fila).

El estado de una red de puesta en fila se define como la distribución simultánea del número de clientes en cada nodo. Si K representa el número total de nodos, el estado se describe entonces mediante un vector p (i1, i2, . . . iK) donde iK es el número de clientes en el nodo k (k = 1, 2 . . . k). Con frecuencia el espacio de estado es muy amplio y las probabilidades de estado mediante la resolución de ecuaciones de equilibrio de nodos son difíciles de calcular. Si cada nodo es un sistema simétrico de puesta en fila, por ejemplo red de Jackson (véase el § 14.3), se tendrá entonces una forma de producto. Las probabilidades de estado de redes con forma de producto se pueden agregar y obtener utilizando el algoritmo de convolución (véase el § 14.4.1) o el algoritmo MVA (véase el § 14.4.2)

Las redes de Jackson pueden ser generalizadas en redes BCMP (véase el § 14.5), donde hay N tipos de clientes. Los clientes de un tipo específico pertenecen a una denominada cadena. En la figura 14.1 se ilustra un ejemplo de una red de puesta en fila con cuatro cadenas. Cuando el número de cadenas aumenta el espacio de estado se incrementa en consecuencia, y sólo los sistemas con un pequeño número de cadenas se pueden calcular exactamente. En el caso de una red multicadena, el


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estado de cada nodo resulta multidimensional (véase el § 14.6). La forma de producto entre nodos se mantienen, y son aplicables los algoritmos de convolución y MVA (véase el § 14.7). La cantidad aproximada de algoritmos para grandes redes se puede encontrar en la literatura.

Figura 14.1 − Ejemplo de una red de puesta en fila con cuatro cadenas abiertas

14.2 Sistemas simétricos de puesta en fila de espera Para analizar los sistemas de puesta en fila es importante conocer cuándo el proceso de salida de un sistema de fila de espera es un proceso de Poisson. Se conocen cuatro modelos de puesta en fila que tienen esta propiedad.

1) M/M/n. Este es el teorema de Burke (1956 [13]), que expresa que el proceso de salida de un sistema M/M/n es un proceso de Poisson. Las probabilidades de espacio de estado están dadas por la ecuación (12.2):

donde A = λ/μ

2) M/G/∞. Esto corresponde al caso de Poisson (véase el § 7.2). Del § 6.3 se sabe que una traslación aleatoria de los eventos de un proceso de Poisson produce un nuevo proceso de Poisson. Este modelo se representa a veces como un sistema con criterio de puesta en fila IS, número infinito de servidores. Las probabilidades de estado vienen dadas por la distribución de Poisson (7.6):

3) M/G/1-PS. Este es un sistema de puesta en fila de un solo servidor con una distribución

general del tiempo de servicio y compartición de procesador. Las probabilidades de estado son similares al caso M/M/1 (13.79):

p(i) = (1 − A) . Ai, i= 0, 1, 2, . . . . (14.4)

4) M/G/1-LCFS-PR (PR = con derecho prioritario). Este sistema también tiene las mismas probabilidades de espacio de estado que el modelo M/M/1 (14.4).


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En la teoría de redes de puesta en fila sólo se consideran, por lo general, estos cuatro criterios de fila de espera. Sin embargo, aun para el sistema de pérdidas de Erlang, el proceso de salida será un proceso de Poisson si se incluyen clientes bloqueados.

Estos cuatro sistemas se conocen como sistemas simétricos de puesta en fila de espera, pues son simétricos en el tiempo. Tanto el proceso de llegada como el de salida son procesos de Poisson y los sistemas son reversibles (Kelly, 1979 [60]). El proceso se denomina reversible pues tiene el mismo aspecto que cuando se invierte el tiempo (por ejemplo, se dice que una película es reversible cuando su reproducción hacia delante o hacia atrás parecen iguales). Con excepción del modelo M/M/n estos sistemas simétricos de puesta en fila tienen como característica común que el cliente es servido inmediatamente a partir de su llegada. A continuación se tratarán básicamente los nodos M/M/n pero el modelo M/M/1 también incluye M/G/1-PS y M/G/1-LCFS-PR.

14.3 Teorema de Jackson En 1957, Jackson, que trabajaba con sistemas de fabricación y planeamiento de la producción, publicó un documento con un teorema que se denomina ahora teorema de Jackson (Jackson, 1957 [46]). En dicho teorema demostró que una red de puesta en fila de espera de nodos M/M/n tiene forma de producto. Sus conclusiones fueron inspiradas por el resultado obtenido por Burke el año anterior (Burke, 1956 [13]).

Teorema 14.1. Teorema de Jackson: Considérese una red de puesta en fila de espera abierta con K nodos que satisfacen las siguientes condiciones

a) Cada nodo es un sistema de puesta en fila M/M/n. El nodo k tiene nk servidores y el promedio del tiempo de servicio es 1=μk.

b) Los clientes llegan desde fuera del sistema al nodo k conforme a un proceso de Poisson con intensidad λk. Pueden llegar también clientes de otros nodos al nodo k.

c) Un cliente, que acaba de finalizar su servicio en el nodo j, se transfiere inmediatamente al nodo k con probabilidad pjk o sale de la red con probabilidad:

Un cliente puede visitar varias veces el mismo nodo si pkk > 0.

El promedio de la intensidad de llegada Λk en el nodo k se obtiene empleando las ecuaciones de equilibrio de flujo:

Sea p(i1, i2, . . ., iK) la representación de las probabilidades de espacio de estado conforme a la hipótesis de equilibrio estadístico, es decir la probabilidad que haya ik clientes en el nodo k. Asimismo, se supone que

Las probabilidades de espacio de estado vienen dadas entonces en forma de producto:


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Aquí para el nodo k, pk(ik) es la probabilidad de estado de un sistema de puesta en fila M/M/n con intensidad de llegadas Λk y velocidad de servicio μk (14.1). El tráfico ofrecido Λc/μk =_k al nodo k debe ser menor que la capacidad nk del nodo para entrar en equilibrio estadístico (14.6).

El punto fundamental del teorema de Jackson es que cada nodo puede ser considerado independientemente de los otros y que las probabilidades de estado vienen dadas por las fórmula C de Erlang. Esto simplifica considerablemente el cálculo de las probabilidades de espacio de estado. La prueba del teorema fue obtenida por Jackson en 1957 demostrando que la solución satisface las ecuaciones de equilibrio para el equilibrio estadístico.

En el último modelo de Jackson (Jackson, 1963 [47] la intensidad de llegada proveniente del exterior:

puede depender del número corriente de clientes en la red. Asimismo, μk puede depender del número de clientes en el nodo k. De esta manera, se pueden modelar redes de puesta en fila que sean cerradas, abiertas o mixtas. En los tres casos, las probabilidades de estado tienen forma de producto.

El modelo de Gordon y Newell (1967 [33]), que se cita a menudo en la literatura, puede ser tratado como un caso especial del segundo modelo de Jackson.

Figura 14.2 − Diagrama de transición de estado de una red de puesta en fila abierta constituida por dos sistemas M/M/1 en serie

Ejemplo 14.3.1: Dos nodos M/M/1 en serie La figura 14.2 muestra una red de puesta en fila abierta de dos nodos M/M/1 en serie. El diagrama de transición de estado correspondiente se ilustra en la figura 14.3. Evidentemente, el diagrama de transición de estado no es reversible: entre dos estados vecinos sólo hay flujo en un sentido (véase el § 10.2) y aparentemente no hay forma de producto. Si se resuelven las ecuaciones de equilibrio para obtener las probabilidades de estado se encuentra que la solución se puede expresar en forma de producto:

donde A1 = λ/μ1 y A2 = λ/μ2. Las probabilidades de estado se pueden expresar en forma de producto p(i, j) = p(i) . p(j), donde p(i) es la probabilidad de estado para un sistema M/M/1 con tráfico ofrecido A1 y p(j) es la probabilidad de estado para un sistema M/M/1 con tráfico ofrecido A2. Las probabilidades de estado indicadas en la figura 14.3 son idénticas a las de la figura 14.4 que tiene equilibrio local y forma de producto. Es posible así encontrar un sistema que es reversible y tenga las mismas probabilidades de estado que el sistema no reversible. En la figura 14.3 hay equilibrio regional y no local. Si se considera un cuadrado de cuatro estados habrá equilibrio para el mundo exterior pero, internamente, habrá circulación a través de la diagonal de desplazamiento de estado.


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En redes de fila de espera los clientes a menudo son puestos en operación bucle, de modo tal que un cliente puede visitar varias veces el mismo nodo. Si se tiene una red de puesta en fila con clientes en bucle, donde los nodos son sistemas M/M/n, los procesos de llegada a cada uno de los nodos ya no son procesos de Poisson. De cualquier modo se pueden calcular las probabilidades de estado como si los nodos fueran sistemas M/M/n independientes. Esto se explica en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 14.3.2: Redes con retroalimentación El concepto de retroalimentación se introdujo en el ejemplo 14.3.1 en el que un cliente, que acaba de concluir su servicio en el nodo 2, retorno al nodo 1 con probabilidad p21. El cliente deja el sistema con probabilidad con 1 - p21. La ecuación (14.5) de equilibrio de flujo permite calcular la intensidad de llegada total a cada nodo y la probabilidad p21 se debe elegir de modo tal que las relaciones Λ1=μ1 y Λ2=μ2 sean menor que uno. Si λ1 → 0 y p21 → 1 se comprenderá que los procesos de llegada no son procesos de Poisson. Rara vez llegará un nuevo cliente, pero una vez que ha ingresado al sistema circulará durante un tiempo relativamente largo. El número de circulaciones estará distribuido geométricamente y el tiempo entre llegadas es la suma de los dos tiempos de servicio; es decir, cuando en el sistema hay uno o más clientes, la velocidad de llegada a cada nodo será relativamente alta, mientras que si en el sistema no hay clientes la velocidad será muy baja. El proceso de llegada será en ráfagas.

La situación es similar a la descomposición de una distribución exponencial en una suma ponderada de distribuciones de Erlang-k, con factores geométricos ponderados (véase el § 4.4). En lugar de considerar una distribución entre llegadas exponencial simple se puede descomponer esto en k fases (véase la figura 4.9) y considerar cada fase como una llegada. En consecuencia, el proceso de llegada ha sido transformado de un proceso de Poisson a un proceso con llegadas en ráfagas.

Figura 14.3 − Diagrama de transición de estado para la red de puesta en fila abierta que se ilustra en la figura 14.2. El diagrama no es reversible


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Figura 14.4 − Diagrama de transición de estado para dos sistemas de puesta en fila M/M/1 independientes con idéntica intensidad de llegada, pero tiempos

medios de servicio individuales. El diagrama es reversible

14.3.1 Suposición de independencia de Kleinrock Si se considera una red de datos de vida real, los paquetes tendrán la misma longitud constante y, por tanto, el mismo tiempo de servicio en todos los enlaces y nodos de igual velocidad. La teoría de redes de puesta en fila supone que un paquete (un cliente) toma muestras de un nuevo tiempo de servicio en cada nodo. Esta es una suposición necesaria para la forma de producto. Kleinrock (1964 [65]), investigó por primera vez esta suposición y resultó ser una buena aproximación en la práctica.

14.4 Redes de puesta en fila de una sola cadena Se examinarán principalmente las probabilidades de estado definidas por p(i1, i2; . . . , ik, . . . , iK), donde ik es la cantidad de clientes en el nodo k (1 ≤ k ≤ K). Cuando se trata de sistemas abiertos, las operaciones son más sencillas de efectuar. Se resuelve primero la ecuación (14.5) de equilibrio de flujo y se obtiene la intensidad de llegada agregada a cada nodo (Λk). Mediante la combinación de las intensidades de llegada con la distribución del tiempo de servicio (μk) se obtiene el tráfico ofrecido Ak en cada nodo y entonces, considerando el sistema de espera de Erlang, se obtienen las probabilidades de estado para cada nodo.

14.4.1 Algoritmo de convolución para una red de puesta en fila cerrada Cuando se tratan redes de puesta en fila cerradas las operaciones son mucho más complicadas. En este caso, solo se conoce la carga relativa en cada nodo y no la carga absoluta, es decir, se conoce c . Λj, pero no se conoce c. Se pueden obtener probabilidades de estado relativas no normalizadas. Por último, se obtiene la normalización de las probabilidades de estado. Lamentablemente, normalización implica que se deben sumar todas las probabilidades de estado, es decir se debe calcular cada una de las probabilidades de estado (no normalizadas). El número de estados aumenta rápidamente cuando se incrementa el número de nodos y/o clientes. En general, la complejidad es similar a la correspondiente a sistemas de pérdidas multidimensionales (véase el Capítulo 10).


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Se puede mostrar ahora cómo se puede aplicar el algoritmo de convolución a las redes de puesta en fila. El mecanismo de la operación corresponde al algoritmo de convolución para sistemas con pérdidas (véase el Capítulo 10). Se considera una red de puesta en fila con K nodos y una sola cadena con S clientes. Se supone que los sistemas de puesta en fila en cada nodo son simétricos (véase el § 14.2). El algoritmo tiene tres pasos:

• Paso 1. Sea la intensidad de llegada a un nodo arbitrario igual a uno y se obtiene entonces las intensidades relativas restantes λk. Mediante la resolución de la ecuación (14.5) de equilibrio de flujo para la red cerrada se obtiene las velocidades de llegada relativas (Λk, 1 ≤ k ≤ K) para cada nodo. Por último, se obtiene el tráfico ofrecido relativo αk = Λk/μk.

• Paso 2. Considérese cada nodo como si estuviera aislado y tuviera el tráfico ofrecido αk (1 ≤ k ≤ K). Dependiendo del sistema de puesta en fila simétrico real en el nodo k, se extraen las probabilidades de estado relativas qk(i) en el nodo k. El espacio de estado estará limitado por la cantidad total de clientes S, es decir 0 ≤ i ≤ S.

• Paso 3. Repliéguese recurrentemente las probabilidades de estado para cada nodo. Por ejemplo, para los primeros dos nodos se tienen:

donde:

Cuando todos los nodos han sido replegados se obtiene:

En razón que la cantidad total de clientes es fija (S) sólo existe en el sistema combinado el estado q1,2. . . ,K(S) y, por tanto, este macroestado debe tener la probabilidad uno. Se pueden entonces normalizar todas las probabilidades de microestado.

Cuando se efectúa la última convolución se pueden obtener las medidas de calidad de funcionamiento para el último nodo. Variando el orden de convolución de los nodos se pueden obtener las medidas de calidad de funcionamiento de todos ellos.


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Figura 14.5 – Modelo máquina – Reparador como redes de puesta en fila cerradas con dos nodos. Los terminales corresponden a un nodo IS, en razón que las

operaciones encuentran siempre un terminal en reposo, mientras que la CPU corresponde a un nodo M/M/1

Ejemplo 14.4.1: Modelo máquina – Reparador de Palm Se examinará ahora el modelo máquina – reparador de Palm introducido en el § 12.5 como red de fila de espera cerrada (véase la figura 14.5). Hay S clientes y terminales. El tiempo de activación medio es μ1

-1 y el tiempo de servicio medio en la CPU que es μ2-1. En la terminología de redes de

fila de espera hay dos nodos: En el nodo 1 están los terminales, es decir un sistema M/G/∞ (en realidad es un sistema M/G/S, pero en razón que la cantidad de clientes se limita a S, corresponde a un sistema M/G/∞), y el nodo 2 es la CPU, es decir un sistema M/M/1 con intensidad de servicio μ2.

Los flujos a los nodos son iguales (λ1 = λ2 = λ) y la carga relativa en el nodo 1 y nodo 2 son

α1 = λ/μ1 y α2 = λ/μ2,

respectivamente. Si se considera cada nodo por separado se obtienen las probabilidades de estado de cada uno de ellos, q1(i) y q2(j), y por convolución de q1(i) y q2(j) se obtiene q12(x), (0 ≤ x ≤ S), como se muestra en el cuadro 14.1. El último término con S clientes (probabilidad no normalizada) q12(S) está compuesto por:

Por simple transposición resulta:

donde

La probabilidad de que todos los terminales estén "activados" se identifica con el ultimo término (normalizado por la suma) (S terminales en el nodo 1, cero terminales en el nodo 2):


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que es la fórmula B de Erlang. Así, el resultado está de acuerdo con el obtenido en el § 12.5. Se observa que λ aparece con la misma potencia en todos los términos de q1,2(S) y así corresponde a una constante que desaparece cuando se normaliza.

Cuadro 14.1 − Algoritmo de convolución aplicado al modelo máquina – Reparador de Palm. El nodo 1 es un sistema IS mientras que el nodo 2 es un

sistema M/M/1 (véase el ejemplo 14.4.1)

Estado

i

Nodo 1

q1(i)

Nodo 2

q2(i)

Red de puesta en fila

q12 = q1 * q2

Ejemplo 14.4.2: Servidor central En 1971 J.P. Buzen introdujo el modelo de servidor central que se ilustra en la figura 14.6 para modelar un sistema informático multiprogramado con una CPU y un número de canales de entrada/salida (unidades periféricas). El grado de multiprogramación S describe la cantidad de operaciones procesadas simultáneamente. El número de unidades periféricas se representa por K − 1 como se muestra en la figura 14.6, que también indica las probabilidades de transición.

Típicamente una operación requiere servicios cientos de veces, ya sea por la unidad central o bien por uno de los periféricos. Se supone que la operación una vez finalizada es inmediatamente remplazada por otra; por tanto S es constante. Los tiempos de servicios están todos distribuidos exponencialmente con intensidad μi (i = 1, . . . ,K).

Buzen formuló un esquema para evaluar este sistema. El esquema es un caso especial del algoritmo de convolución. Sea un caso con S = 4 clientes y K = 3 nodos, y:


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Figura 14.6 – Sistema de puesta en fila de servidor central constituido por un servidor central (CPU) y (K−1) canales de entrada/salida. En el sistema

circula un número fijo de operaciones S


1) S operaciones de circulación


3) Canales entrada/salida

Las cargas relativas resultan:

Si se aplica el algoritmo de convolución se obtienen los resultados que figuran en el cuadro 14.2. El término q123(4) está compuesto por:

El nodo 3 sirve a los clientes en todos los estados con excepción del estado q3(0) . q12(4) = 5. La utilización del nodo 3 es por tanto a3 = 52/57. Basado en las cargas relativas se obtienen ahora las cargas exactas:

El promedio del número de clientes en el nodo 3 es:

Cambiando el orden de convolución se obtiene el promedio de longitudes de fila de espera L1 y L2 y concluye con:


- 277 -

Cuadro 14.2 – Algoritmo de convolución aplicado al sistema del servidor central

Estado Nodo 1 Nodo 2 Nodo 1*2 Nodo 3 Red de puesta en fila

i q1(i) q2(i) q12 = q1 * q2 q3 q123 = (q1 * q2) * q3

0

1

2

3

4

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

3

4

5

1

2

4

8

16

1

4

11

26

57

La suma de todos los promedios de longitudes de filas de espera es, por supuesto, igual al número de clientes S. Se debe señalar que en redes de puesta en fila se define la longitud de la fila de espera como la cantidad total de clientes en el nodo, incluidos los que están recibiendo un servicio. De los tiempos medios de servicio y de utilización se obtiene el promedio de número de clientes que concluyen el servicio por unidad de tiempo en cada nodo:

Aplicando el resultado de Little se obtiene finalmente el tiempo medio de estado: Wk = Lk /λk:

14.4.2 Algoritmo de valor medio El algoritmo de valor medio (MVA, mean value algorithm) es un mecanismo para calcular medidas de calidad de funcionamiento de redes de puesta en fila de espera. Combina de excelente manera dos resultados principales de la teoría de puesta en fila de espera: el teorema de llegada (§ 8.28) y la ley de Little (§ 5.20). El algoritmo fue publicado por primera vez por Lavenberg y Reiser (1980 [73]).

En el mismo se considera una red de puesta en fila con K nodos y S clientes (todos pertenecientes a una sola cadena). Las cargas relativas de los nodos se simbolizan por αk (k = 1, 2, . . . ,K). El algoritmo es recurrente en el número de clientes, es decir, una red con x clientes se evalúa a partir de una red con x−1 clientes.

Supóngase que el promedio de la cantidad de clientes en el nodo k es Lk(x) donde x es el número de clientes total en la red. Obviamente:


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El algoritmo actúa recurrentemente en dos pasos:

Paso 1:

Aumentar el número de clientes de x a (x + 1). Conforme al teorema de llegada, el (x + 1)-ésimo cliente verá el sistema como si éste tuviera x clientes en equilibrio estadístico. Por tanto, el promedio de tiempo de ocupación (tiempo de espera, + tiempo en servicio) en el nodo k es:

• Para M/M/1, M/G/1−PS, M/G/1, y LCFS−PR:

• para M/G/∞:

donde sk es el promedio del tiempo de servicio en el nodo k que tiene nk servidores. En razón que solo se calcula el tiempo medio de espera, se puede suponer el criterio de fila de espera FCFS.

Paso 2:

Se aplica la ley de Little (L = λ .W), que es válida para todos los sistemas en equilibrio estadístico. Para el nodo k se tiene Lk = λk . Wk, donde λk es la velocidad de llegada relativa al nodo k. Se tiene

La constante c se obtiene del número total de clientes:

Mediante estos dos pasos se ha efectuado la recursión de x a (x + 1) clientes. Para x = 1 no habrá tiempo de espera en el sistema y Wk(1) es igual al promedio del tiempo de servicio sk.

El algoritmo MVA se indica a continuación para nodos de un solo servidor, pero es bastante sencillo generalizarlo a nodos con criterios de múltiples servidores, o bien infinitos servidores.

Ejemplo 14.4.3: Modelo de servidor central Se aplica el algoritmo MVA al modelo de servidor central (véase el ejemplo 14.4.2). Las velocidades de llegada relativa son:


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Nodo 1 Nodo 2 Nodo 3

Naturalmente, el resultado es idéntico al obtenido con el algoritmo de convolución. El tiempo de permanencia en cada nodo (utilizando la unidad de tiempo original) es el siguiente:

W1(4) = 1,6154 . 28 = 45,23,

W2(4) = 1,6154 . 40 = 64,62,

W3(4) = 2,7693 . 280 = 775,38,

Ejemplo 14.4.4: Algoritmo MVA aplicado al modelo máquina - reparador Se examina el modelo máquina - reparación con S fuentes, tiempo de activación del terminal A y tiempo de servicio−CPU igual a una unidad de tiempo. Como se indicó en el § 12.5.2 esto es equivalente a un sistema de pérdidas de Erlang con S servidores y tráfico ofrecido A. Es también una red de puesta en fila cerrada con dos nodos y S clientes en una cadena. Si se aplica el algoritmo MVA a este sistema se obtendrá entonces la fórmula de recursión para la fórmula B de Erlang (véase el § 7.27). Las velocidades de visita relativa son idénticas, pues un cliente visita alternativamente el nodo 1 y el nodo 2: λ1 = λ2 = 1.

Nodo 1 Nodo 2


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Se sabe que la longitud de la fila de espera en los terminales (nodo 1) es igual al tráfico transportado en el sistema B de Erlang equivalente y que todos los otros clientes se quedan en la CPU (nodo 2). Así tenemos en general:

Nodo 1 Nodo 2

De esto se obtiene la constante de normalización c = 1 − Ex(A) y se calcula para el (x+1)-ésimo cliente:

pues se sabe que c = 1- Ex+1. Esta es la formula de recursión para la fórmula B de Erlang.

14.5 Redes de puesta en fila BCMP En 1975 el modelo de Jackson fue ulteriormente generalizado por Baskett, Chandy, Muntz y Palacios (1975 [4]). Se demostró que las redes de puesta en fila con más de un tipo de clientes también tienen forma de producto, siempre que:

a) Cada nodo es un sistema de puesta en fila simétrico (véase el § 14.2: proceso de llegada de Poisson ⇒ proceso de salida de Poisson).

b) Los clientes se clasifican en N canales. Cada canal se caracteriza por su propio tiempo de servicio medio si y por las probabilidades de transición pij. Además, un cliente puede cambiar de un canal a otro con una determinada probabilidad después de haber terminado el servicio en un nodo. Si el criterio de puesta en fila en un nodo es M/M/n (incluido M/M/1) se aplica una restricción: el promedio del tiempo de servicio debe ser idéntico para todos los canales en un nodo.

Las redes BCMP pueden ser evaluadas con el algoritmo de convolución multidimensional así como con el algoritmo MVA multidimensional. Estos dos algoritmos se describirán más adelante. Las redes de puesta en fila mixtas (abiertas y cerradas) se proyectan calculando primero la carga de tráfico en cada nodo de las cadenas abiertas. Este tráfico debe ser transportado para que entren en equilibrio estadístico. La capacidad de los nodos está reducida por este tráfico, y la red de puesta en fila cerrada se calcula por la capacidad reducida. Por tanto, el problema principal es calcular redes cerradas.

Para ello, se utilizarán más algoritmos entre los cuales los más importantes son el algoritmo de convolución y el algoritmo MVA.


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14.6 Redes de puesta en fila multidimensionales En esta sección se estudiarán redes de puesta en fila con más de un tipo de clientes. Los clientes del mismo tipo pertenecen a una clase o canal específico. En el Capítulo 10 se analizaron sistemas de pérdidas con diversos tipos de clientes (servicios) y se observó que se mantuvo la forma de producto y que se podía aplicar el algoritmo de convolución.

14.6.1 Sistema de puesta en fila de un solo servidor M/M/1

Figura 14.7 – Sistema de puesta en fila M/M/1 con dos tipos (de cadenas) de clientes

La figura 14.7 ilustra un sistema de puesta en fila de un solo servidor con N = 2 tipos de clientes (cadenas). Los clientes llegan al sistema conforme a un proceso de llegada de Poisson con intensidad λj (j = 1, 2). El estado (i, j) se define como un estado con i clientes tipo 1 y j clientes tipo 2. La intensidad de servicio μi,j en el estado (i, j) se puede seleccionar pues ésta depende del estado, por ejemplo:

La velocidad del servicio se puede interpretar de diversas maneras conforme al sistema simétrico de puesta en fila de un solo servidor. Una interpretación corresponde a la compartición del procesador, es decir, todos los (i + j) clientes comparten el servidor y la capacidad de éste es constante. La dependencia del estado es debida a la diferencia en velocidades de servicio entre los dos tipos de clientes; es decir, el número de clientes que ha terminado su operación por unidad de tiempo depende de los tipos de clientes a los que se le está dando servicio.

Otra interpretación corresponde a un sistema M/M/1. Si se supone μ1 = μ2, se puede determinar que el cliente se le da servicio con probabilidad i/(i+j) de tipo 1, y con probabilidad j/(i+j) de tipo 2. Esto es independiente del criterio de servicio.


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Figura 14.8 – Diagrama de transición de estado para un sistema M/M/1 multidimensional con compartición de procesador

En la figura 14.8 se ilustra parte del diagrama de transición de estado. El diagrama es reversible, pues el flujo que circula en sentido horario es igual al flujo que circula en sentido antihorario. Por lo tanto, hay equilibrio local y todas las probabilidades de estado se pueden expresar por p(0, 0):

Normalizando la expresión se tiene que p(0, 0):

En comparación con la fórmula B de Erlang multidimensional se tiene ahora el factor adicional (i+j)!. El producto entre cadenas (dentro de un nodo) se pierde, pero el producto entre nodos se mantendrá aún.

Si hay N tipos de clientes (cadenas) diferentes, las probabilidades de estado para un solo nodo resulta:

Esto se puede expresar por la distribución polinómica (4.37):


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Para un número ilimitado de posiciones de puesta en fila las probabilidades de estado del número total de clientes son:

Si μi = μ, el sistema es idéntico a un sistema M/M/1 con velocidad de llegada λ = Σi λi:

Para obtener este resultado se utiliza la expansión binomial. El diagrama de transición de estado de la figura 14.8 también se puede interpretar como el diagrama de transición de estado de un sistema M/G/1, LCFS-PR (con derecho prioritario). Es obvio que este sistema sea reversible pues el proceso sigue exactamente el mismo trayecto en el diagrama de transición de estado fuera del estado cero y retorno a dicho estado.

El diagrama de transición de estado se puede mostrar diferente a la distribución del tiempo de servicio, de modo que es válido para el sistema de puesta en fila M/G/1. La figura 14.8 corresponde a un diagrama de transición de estado para un sistema de puesta en fila de un solo servidor con tiempos de servicios distribuidos hiperexponencialmente (véase (10.7)), por ejemplo M/H2/1-LCFS-PR o PS.

Cabe señalar que para el sistema M/M/1 (FCFS, LCFS, SIRO) es necesario suponer que todos los clientes tienen el mismo tiempo medio de servicio, que debe estar distribuido en forma exponencial. De otro modo, el cliente a quien se le está dando servicio no será del tipo aleatorio que se encuentra entre los (i + j) clientes en el sistema.

En conclusión, los sistemas de puesta en fila de un solo servidor con más tipos de clientes sólo tendrá forma de producto cuando el nodo es un sistema de puesta en fila simétrico: M/G/1-PS, M/G/1-LCFS PR, o M/M/1 con el mismo tiempo de servicio para todos los clientes.

14.6.2 Sistema de puesta en fila M/M/n

El tráfico anterior se puede transportar a través de un sistema con n servidores. Para (i + j) ≤ n se tiene las mismas probabilidades de estado relativas que para la fórmula B de Erlang multidimensional. Para (i + j) > n sólo se obtiene una interpretación simple cuando μi = μ, es decir, cuando todos los tipos de clientes (cadenas) tienen el mismo tiempo medio de ocupación. Se calcula entonces las probabilidades de estado aplicando la ecuación (14.1), y el sistema tiene forma de producto. El sistema M/M/∞ se puede considerar como un caso especial de M/M/n y ya ha sido tratado en relación con sistemas de pérdidas (véase el Capítulo 12).

14.7 Redes cerradas de puesta en fila con múltiples cadenas El tratamiento de redes de puesta en fila con múltiples cadenas es análogo al caso con una sola cadena. La única diferencia es que las fórmulas y algoritmos clásicos están reemplazados por las fórmulas multidimensionales pertinentes.


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14.7.1 Algoritmo de convolución El algoritmo es esencialmente el mismo que en el caso de una sola cadena:

• Paso 1. Considérese cada canal como si fuera el único de la red. Obténgase la carga relativa en cada nodo resolviendo la ecuación (14.5) de equilibrio de flujo. En un nodo de referencia arbitrario se supone que la carga es igual a uno. Para cada cadena se puede determinar un nodo diferente como nodo de referencia. Para la cadena j en el nodo k se obtiene la intensidad de llegada relativa (el índice superior indica la cadena) mediante la siguiente expresión:

jkλ

donde:

K = cantidad de nodos,

N = cantidad de cadenas, j

ikp = probabilidad que un cliente de la cadena j pase del nodo i al nodo k.

Se determina un nodo arbitrario como nodo de referencia, por ejemplo nodo 1, es decir = 1. La carga relativa en el nodo k debido a clientes de la cadena j es entonces:

j1λ

donde es el tiempo medio de servicio en el nodo k para clientes de la cadena j. Cabe señalar que j es un índice superior y no una potencia.

jks

• Paso 2. Basado en las cargas relativas halladas en el paso 1, obténganse las probabilidades de estado multidimensionales para cada nodo. Cada nodo se considera aislado y se corta el espacio del estado conforme al número de clientes en cada cadena. Por ejemplo para el nodo k (1 ≤ k ≤ K):

pk = pk(i1, i2, . . . ,iN), 0 ≤ ij ≤ Sj, j = 1, 2, . . . N,

donde Sj es el número de clientes en la cadena j.

• Paso 3. Para hallar las probabilidades de estado de toda la red, las probabilidades de estado de cada nodo se plantean de forma similar al caso de una sola cadena. La única diferencia es que la convolución es multidimensional. Cuando se efectúa la última convolución se pueden obtener las medidas de calidad de funcionamiento desde la última cadena. Nuevamente, al cambiar el orden de los nodos, se pueden obtener las medidas de calidad de funcionamiento de todos los nodos.

La cantidad de estados aumenta rápidamente. Por ejemplo, si la cadena j tiene Sj, el número total de estados en cada nodo será:

La cantidad de modos en que N cadenas con Sj clientes en la cadena j pueden ser distribuidos en una red de puesta en fila con K nodos se calcula con la siguiente expresión:


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donde kj (1 ≤ kj < k) es el número de nodos visitados por la cadena j y:

El algoritmo se ilustra mejor con un ejemplo.

Ejemplo 14.7.1: Modelo máquina – reparador de Palm con dos tipos de clientes Como se vio en el ejemplo 14.4.1, este sistema se puede modelar con una red de puesta en fila con dos nodos. El nodo 1 corresponde a los terminales (máquinas) mientras que el nodo 2 es la CPU (reparador). El nodo 2 es un sistema de servidor único mientras que el nodo 1 está modelado como sistema de servidor infinito. El número de clientes en las cadenas son (S1 = 2; S2 = 3) y el tiempo medio de servicio en el nodo k es . La carga relativa de la cadena 1 se representa por αj

ks 1 en el

nodo 1 y por α2 en el nodo 2. En forma similar, la carga de la cadena 2 se simboliza por β1 y β2, respectivamente. Aplicando el algoritmo de convolución se tiene:

• Paso 1.

Cadena 1: S1 = 2 clientes Carga relativa: α2 = λ1. 1

1s , α2 = λ1 . 12s .

Cadena 2: S2 = 3 clientes

Carga relativa: β1 = λ2 . 21s , β2 = λ2 . 2

2s .

• Paso 2.

Para el nodo 1 (IS) las probabilidades de estado relativas son (véase 14.1):


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Para el nodo 2 (servidor único) (véase 14.15) resulta:

• Paso 3.

Se ponen los dos nodos en convolución. Se sabe que el número total de clientes es (2, 3), es decir, sólo hay interés en el estado (2, 3):

Utilizando los valores reales se tiene:

Se debe señalar que α1 y α2 juntos (cadena 1) siempre aparecen en la segunda potencia mientras que β1 y β2 (cadena 2) aparecen en la tercera potencia correspondiente al número de clientes en cada cadena. Debido a esto, sólo las cargas relativas son pertinentes, y las probabilidades absolutas se obtienen por proceso de normalización dividiendo todos los términos por q12(2, 3). Las probabilidades de estado detalladas son ahora fáciles de obtener. Sólo en el estado con el término ( .2

1α )/12 está la CPU (reparador) inactiva. Si los dos tipos de clientes son idénticos el ejemplo se simplifica al modelo de máquina - reparador de Palm con cinco terminales. En este caso se tiene:

31β


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Si α1 = β1 = α y α2 = β2 = 1, resulta:

es decir, se espera la fórmula B de Erlang.

14.8 Otros algoritmos para redes de puesta en fila El algoritmo MVA es también aplicable a redes de puesta en fila con más cadenas, pero no se describirá en el presente Manual. Durante el último decenio se han publicado diversos algoritmos. Un panorama general se puede encontrar en (Conway y Georganas, 1989 [16]). En general, los algoritmos exactos no son aplicables para redes amplias. Por tanto, se han elaborado muchos algoritmos aproximados para ser aplicados en redes de puesta en fila de dimensiones realistas.

14.9 Complejidad Las redes de puesta en fila tienen la misma complejidad que las redes de circuito conmutados con encaminamiento directo (véase el § 11.5 y el cuadro 11.1). El espacio de estado de la red que figura en el cuadro 14.3 tiene el siguiente número de estados para cada nodo:

El caso más desfavorable se produce cuando cada cadena está constituido por un cliente. El número de estado entonces resulta 2S, donde S es el número de cliente.

Cuadro 14.3 – Parámetros de una red de puesta en fila con N cadenas, K nodos y Σi Si clientes. El parámetro αjk indica la carga de

la cadena j en el nodo k (véase el cuadro 11.1)

Cadena Nodo

Dimensión de la población

14.10 Atribución de la capacidad óptima Se considera ahora un sistema de transmisión de datos con K nodos, que son sistemas independientes de puesta en fila de un solo servidor M/M/1 (sistema de demora de Erlang con un servidor). El proceso de llegada al nodo k es un proceso de Poisson con mensajes de intensidad λk


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(clientes) por unidad de tiempo, y el tamaño del mensaje está distribuido exponencialmente con el valor medio 1/μk [bits]. La capacidad del nodo k es ϕk [bits por unidad de tiempo].

Se introduce en la capacidad total la restricción lineal siguiente:

Para cada atribución de capacidad que satisface la ecuación (14.21), se tiene el tiempo medio de permanencia (promedio de llamada) siguiente (véase el § 12.4.1, combinación en paralelo):

donde:

Definiendo:

se obtiene la ley de Kleinrock para atribución de capacidad óptima (Kleinrock, 1964 [65]).

Teorema 14.2 ley de las raíces cuadradas de Kleinrock: La atribución de capacidad óptima que reduce T al mínimo (y así el número total de mensajes en todos los nodos) es:

con la condición que:

Con esta atribución óptima resulta:

En esta expresión se indica que a todos los nodos se atribuye primero la capacidad mínima necesaria λi/μi. La capacidad restante:

se atribuye entre los nodos en forma proporcional a la raíz cuadrada del flujo medio λk/μk.


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Esto se puede determinar introduciendo el multiplicador de Lagrange ϑ y considerar:

El valor mínimo de G se obtiene calculando ϕk conforme a la ecuación (14.26). Si todos los mensajes tienen el mismo valor medio μk=μ, (se puede considerar entonces diferentes costos en los nodos conforme a la restricción que se disponga de un monto fijo (Kleinrock, 1964 [65]).


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CAPÍTULO 15 Mediciones de tráfico

Se realizan mediciones de tráfico con el fin de obtener información cuantitativa sobre la carga de un sistema y así poder dimensionarlo. Por mediciones de tráfico se entiende cualquier tipo de compilación de datos sobre la carga de tráfico de un sistema. El sistema examinado puede ser un sistema físico, por ejemplo una computadora, un sistema telefónico, o el laboratorio central de un hospital. También puede ser un sistema ficticio. La compilación de datos de un modelo informático de simulación corresponde a las medidas de tráfico. La tarificación de las llamadas telefónicas corresponde también a las mediciones de tráfico cuando la unidad de medición utilizada es una suma de dinero.

La extensión y el tipo de mediciones, así como los parámetros (características de tráfico) medidos en cada caso se han de elegir de conformidad con las demandas, y de tal manera que un mínimo de esfuerzos técnicos y administrativos procure un máximo de información y de beneficios. Según la naturaleza del tráfico, una medición efectuada durante un intervalo de tiempo limitado corresponde a un registro de determinada realización del proceso de tráfico. Así pues, la medición es una muestra de una o más variables estocásticas. Al repetir la medición, se suele obtener un valor diferente y, por lo general, sólo se puede afirmar que el parámetro desconocido (el parámetro de población, por ejemplo el valor medio del tráfico cursado), con una probabilidad determinada, se encuentra dentro de un determinado intervalo, denominado intervalo de confianza. La información es igual a la función de distribución del parámetro. Por razones prácticas es, en general, suficiente conocer el valor medio y la varianza, es decir, la distribución en sí no reviste gran importancia.

Este Capítulo se centrará en las bases estadísticas para estimar la fiabilidad de una medición, y en menor grado se examinarán los antecedentes técnicos. Los siguientes análisis suponen sólo conocimientos elementales de la teoría de las probabilidades. Como se mencionó anteriormente, la teoría también se aplica a los modelos estocásticos de simulación informática.

15.1 Principios y métodos de medición

Las posibilidades técnicas de medición son decisivas para determinar qué se mide y cómo se efectúan las mediciones. El primer equipo de medición por programa controlado fue elaborado en la Universidad técnica de Dinamarca, y se describe en (Andersen y Hansen e Iversen, 1971 [2]. Se puede, en principio, efectuar cualquier medición de tráfico conforme a un proceso de tráfico, cuyo estado es discreto y el tiempo es continuo, combinando dos operaciones fundamentales:

1) Número de eventos: esto puede ser, por ejemplo el número de errores, número de tentativas de llamada, número de errores en un programa, cantidad de tareas que ejecutará un centro de computación, etc. (véase el § 5.1.1).

2) Intervalos de tiempo: por ejemplo, tiempos de conversación, tiempo de ejecución de tareas en una computadora, tiempo de espera, etc. (véase el § 5.1.2).

Por medio de la combinación de esas dos operaciones se puede obtener cualquier característica de un proceso de tráfico. La característica más importante es el volumen de tráfico (transportado), es decir la adición de todos los (intervalos de) tiempos de ocupación en un determinado periodo de medición.

Desde un punto de vista funcional todos los métodos de medición de tráfico se pueden dividir en las dos clases siguientes:

1) Métodos de medición continuos.

2) Métodos de medición discretos.


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15.1.1 Mediciones continuas En este caso el punto de medida activa al equipo de medición en el instante del evento. Aun cuando el método de medición sea continuo el resultado puede ser discreto.

Ejemplo 15.1.1: Equipo de medición: tiempo continuo Los equipos que funcionan conforme al principio continuo pueden ser, por ejemplo, los siguientes:

a) Contadores electromecánicos cuyo conteo se aumenta en uno en el instante de un evento.

b) Trazadores x−y de registro conectados a un punto que se activa durante una conexión.

c) Medidores de amperios/hora, que integran el consumo de potencia durante un periodo de medición. Cuando se aplica en antiguas centrales electromecánicas para mediciones del volumen de tráfico, cada línea de enlace se conecta a través de un resistor de 9,6 kΩ, el cual durante la ocupación se conecta entre −48V y tierra y consume 5 mA.

d) Contadores del caudal de agua que miden el consumo de agua de un hogar.

15.1.2 Mediciones discretas En este caso el punto de medición es pasivo y el equipo de medición debe probar (determinar) por sí mismo si se han producido cambios en los puntos de medición (normalmente binarios, activado-desactivados). Este procedimiento se denomina método de exploración, cuyo barrido se hace generalmente en instantes regulares (constante = intervalos de tiempos determinísticos). Todos los eventos que se han producido entre dos instantes de exploración consecutivos están referidos en los que hace al tiempo al instante del último barrido, y se consideran como producidos en este instante.

Ejemplo 15.1.2: Equipo de medición: tiempo discreto Los equipos que funcionan conforme al principio de tiempo discreto pueden ser, por ejemplo, los siguientes:

a) Tarificación de llamada conforme al principio de Karlsson, donde los impulsos de tasación se emiten en tiempos regulares (la distancia depende del costo por unidad de tiempo) al medidor del abonado que ha iniciado la llamada. Cada unidad registrada (intervalo) corresponde a una determinada cantidad de dinero. Si se mide la duración de una llamada por su costo, se observa entonces una distribución discreta (0, 1, 2, . . . unidades). El método lleva el nombre en honor al matemático finlandés S.A. Karlsson (Karlsson, 1937 [57]. En comparación con la mayoría de los otros métodos, requiere un mínimo de administración.

b) El tráfico transportado por un grupo de líneas de enlace de una central electromecánica se mide en la práctica conforme al principio de exploración. Durante una hora se observa 100 veces (cada 36 segundos) el número de líneas de enlace ocupadas y este número se añade a un contador mecánico que indica así el tráfico medio transportado con dos decimales. Contando asimismo la cantidad de llamadas se puede estimar el tiempo medio de ocupación.

c) El principio de exploración es particularmente apropiado para su aplicación en sistemas digitales. Por ejemplo, el equipo controlado por procesador elaborado en 1969 en la Universidad Técnica de Dinamarca tenía la capacidad de probar 1024 puntos de medida (por ejemplo, relés en una central electromecánica, líneas de enlace o canales) en un tiempo de 5ms. Los estados de cada punto de medición (desocupado/ocupado o desactivado/activado) en los dos últimos barridos se almacenan en la memoria de una computadora y, por comparación de las lecturas, se pueden detectar los cambios de estado.


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Un cambio de estado 0 → 1 corresponde al inicio de una ocupación y 1 → 0 al término de ocupación (principio de última observación). Las exploraciones están controladas por un reloj. Por tanto, se puede supervisar cada canal durante un tiempo y medir sus intervalos, observándose así las distribuciones en el tiempo. Mientras que el equipo clásico (medidores de erlangs) mencionado anteriormente observa el proceso de tráfico en el espacio de estado (vertical, representación del número), el equipo de programa controlado observa el proceso de tráfico en el espacio de tiempo (horizontal, representación del intervalo), en tiempo discreto. La cantidad de información es casi independiente del intervalo de exploración pues sólo se almacenan los cambios de estado (el tiempo de un barrido se mide en un número entero de intervalos de exploración).

Los métodos de medición han tenido influencia decisiva en la manera de pensar y en el modo de formular y analizar los problemas estadísticos. El equipo clásico que funciona en el espacio de estado ha indicado que los análisis estadísticos se han basado en probabilidades de estado, es decir básicamente en procesos de renovación. Desde el punto de vista matemático estos modelos han sido bastante complejos (mediciones verticales).

Los siguientes cálculos son, en comparación muy elementales y aún más generales, y se basan en el funcionamiento en espacio temporal del equipo de programa controlado. (Iversen, 1976 [38]) (mediciones horizontales).

15.2 Teoría del muestreo Supóngase que se tiene una muestra de n observaciones independiente e idénticamente distribuidas {X1, X2,. . . ,Xn} de una variable estocástica con el valor finito medio desconocido m1 y varianza finita ....σ2 (parámetros de población).

El valor medio y la varianza de la muestra se definen como sigue:

Los parámetros X y s2 son funciones de una variable estocástica y, por lo tanto, son también variables estocásticas definidas por una distribución denominada distribución de muestreo. El parámetro X es un estimador central del valor medio de población desconocido m1, es decir:

Asimismo, s2/n es un estimador central de la varianza desconocida del valor medio de la muestra X , es decir:

Se describe la exactitud de la estimación de un parámetro de muestreo por medio de un intervalo de confianza, con al cual una determinada probabilidad especifica cómo la estimación se ubica en relación con el valor teórico desconocido. En este caso el intervalo de confianza del valor medio resulta:


- 294 -

donde: tn-1,1−α/2 es el percentil (1−α/2) superior de la distribución t con n−1 grados de libertad. La probabilidad de que el intervalo de confianza incluya el valor medio teórico desconocido es igual a (1 −α) y se denomina nivel de confianza. En el cuadro 15.1 figuran algunos valores de la distribución t. Cuando n se hace grande, la distribución t converge a la distribución normal y se puede utilizar el percentil de esta distribución. La hipótesis de independencia se satisface para mediciones tomadas en diferentes días pero no, por ejemplo, para mediciones sucesivas por el método de exploración en un intervalo de tiempo limitado, pues la cantidad de canales ocupados en un instante dado estará correlacionada con el número de circuitos ocupados en la exploración previa y en la siguiente. En las secciones próximas se calculará el valor medio y la varianza de las mediciones de tráfico durante, por ejemplo, una hora. Este valor agregado para un determinado día puede ser utilizado entonces como simple observación en las fórmulas precedentes, donde la cantidad de observaciones será típicamente el número de días que se mide.

Figura 15.1 – Observación de un proceso de tráfico por un método de medición continua y por el método de exploración con intervalos de barrido regulares. El método de exploración es

suficiente para observar los cambios de estado


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1) Proceso de tráfico continuo

2) Tiempo

3) Proceso de tráfico discreto

4) Barrido

5) Método de exploración

Cuadro 15.1 – Percentiles de la distribución t con n grados de libertad. Un valor específico de α corresponde a una masa de probabilidad α/2 en ambos extremos de la distribución t.

Cuando n es grande, se pueden utilizar los percentiles de la distribución normal

n α = 10% α = 5% α = 1%

1 6,314 12,706 63,657 2 2,920 4,303 9,925 5 2,015 2,571 4,032 10 1,812 2,228 3,169 20 1,725 2,086 2,845 40 1,684 2,021 2,704 ∞ 1,645 1,960 2,576

Ejemplo 15.2.1: Intervalo de confianza para congestión de llamadas En un grupo troncal de 30 líneas de enlace (canales) se observa el resultado de 500 tentativas de llamada. Esta medición se repite 11 veces y se obtienen los siguientes valores de congestión de llamadas (en porcentaje):

9,2; 3,6; 3,6; 2,0; 7,4; 2,2; 5,2; 5,4; 3,4; 2,0; 1,4

La suma total de las observaciones es 45,4 y el total de los cuadrados de las observaciones es 247,88 . Aplicando la ecuación (15.1) X = 4,1273 % y con la ecuación (15.2) s2 = 6,0502 (%) 22. Al nivel de 95% el intervalo de confianza resulta, utilizando los valores t del cuadro 15.1: (2,47−5,78). Cabe señalar que las observaciones se obtienen simulando un tráfico PCT−I de 25 erlang, que se ofrece a 30 canales. Conforme a la fórmula B de Erlang la probabilidad teórica de bloqueo es de 5,2603 %. Este valor se encuentra dentro del intervalo de confianza. Si se desea reducir el intervalo de confianza en un factor de 10, se deberán efectuar 100 observaciones veces más (véase la fórmula 15.5), es decir 50 000 por mediciones (subejecución). Se lleva a cabo esta simulación y se observa una congestión de llamadas igual a 5,245 % y un intervalo de confianza (5,093 - 5,398). Esta simulación requiere unos 10 segundos en un puesto de trabajo.

15.3 Mediciones continuas en un periodo ilimitado Las mediciones de intervalos de tiempo a través de métodos de medida continuos sin interrupciones son fáciles de efectuar mediante la teoría de muestreo descrita en el § 15.2


- 296 -

Para la medición del volumen de tráfico o de la intensidad de tráfico se pueden aplicar las fórmulas (3.46) y (3.48) para una suma estocástica. Esto es en términos generales, siendo la única restricción la independencia estocástica entre X y N. En la práctica, esto significa que los sistemas no deben tener congestión. En general se tendrán bajos porcentajes de congestión y aun en el caso más desfavorable puede suponer independencia. Sin duda, el caso más importante es un proceso de llegada de Poisson con intensidad λ. Se tendrá entonces una suma estocástica (véase el § 3.3). Para el proceso de llegada de Poisson, cuando se considera un intervalo de tiempo T, se tendrá:

y, por tanto, resulta:

donde m2,t es el segundo momento (no central) de la distribución de tiempo de ocupación, y εt es el factor de forma de Palm de la misma distribución:


- 297 -

Figura 15.2 – Cuando se analizan las mediciones de tráfico se pueden distinguir dos casos: a) Mediciones en un periodo de tiempo ilimitado. Toda llamada iniciada durante

el periodo de medición contribuye con su duración total. b) Mediciones en un periodo de tiempo limitado. Cada llamada contribuye con su tiempo de

ocupación que puede estar establecido dentro del periodo de medición. Los segmentos que identifican los tiempos de ocupación que

contribuyen con las mediciones se indican en la figura en línea llena


1) a: Periodo de medición ilimitado

2) Tiempo

3) b: Periodo de medición limitado

La distribución de ST será en este caso una distribución de Poisson compuesta (Feller, 1950 [29]).

La fórmula corresponde a un volumen de tráfico (por ejemplo, erlang-horas). Para muchas aplicaciones, tales como dimensionamiento, es importante determinar la cantidad media de canales ocupados, es decir intensidad (régimen) de tráfico = tráfico por unidad de tiempo (m1,t = 1, λ = A), cuando se establece el tiempo medio de ocupación como unidad de tiempo:


- 298 -

Estas ecuaciones son válidas para distribuciones arbitrarias del tiempo de ocupación. Las ecuaciones (15.8) y (15.9) fueron deducidas originalmente por C. Palm (1941 [80]). En (Rabe, 1949 [88]) se publicaron las fórmulas para los casos especiales εt = 1 (tiempo de ocupación constante) y εt = 2 (tiempo de ocupación distribuidos exponencialmente).

Las ecuaciones anteriores se utilizan para todas las llamadas que llegan dentro de intervalo T cuando se mide la duración total de todos los tiempos de ocupación sin importar el tiempo de permanencia (véase la figura 15.2a).

Ejemplo 15.3.1: Exactitud de una medición Se hace notar que siempre se obtiene el valor medio correcto de la intensidad de tráfico (15.8). La varianza, sin embargo, es proporcional al factor de forma εt. Para algunos casos comunes de distribuciones del tiempo de ocupación se obtiene la siguiente varianza de la intensidad de tráfico medida.

Constante:

Distribución exponencial:

Observada (figura 4.3):

Observando el tráfico telefónico, se encuentra a menudo que εt es considerablemente más grande que el valor 2 (distribución exponencial), que se presume que es válido en muchos modelos clásicos de teletráfico (véase la figura 4.3). Por tanto, la exactitud de una medición es menor que la que figura en muchos cuadros. Sin embargo, esto se compensa por la hipótesis que los sistemas son no bloqueantes. En un sistema con bloqueo la varianza resulta menor debido a la correlación negativa entre los tiempos de ocupación y el número de llamadas.

Ejemplo 15.3.2: Exactitud relativa de una medición La exactitud relativa de una medición viene dada por la siguiente relación:

coeficiente de variación

De la misma se observa que si εt = 4, se deberá medir dos veces en un periodo para obtener la misma fiabilidad de una medición como para el caso de tiempos de ocupación con distribución exponencial.

Para un determinado intervalo de tiempo se observa que la exactitud de la intensidad de tráfico cuando se mide un pequeño grupo de enlace es mucho mayor que cuando se mide un grupo de enlace grande, en razón que la exactitud sólo depende de la intensidad de tráfico A. Cuando se dimensiona un pequeño grupo de enlace, un error en la estimación del tráfico del 10% tiene mucho menos influencia que el mismo porcentaje de error en un grupo de enlace grande (véase el § 7.5.1). Por tanto, se medirá el mismo intervalo de tiempo en todos los grupos de enlace. En la figura 15.5 la exactitud relativa para una medición continua se indica con la recta h = 0.


- 299 -

15.4 Métodos de exploración en un periodo ilimitado En esta sección sólo se considerarán intervalos de exploración regulares (constantes). El método de exploración se aplica, por ejemplo, a mediciones de tráfico, tarificación de llamadas, simulaciones numéricas, y control de procesador. Por el método de exploración se observa una distribución de tiempo discreta para el tiempo de ocupación que, en tiempo real, es generalmente continuo.

En la práctica, se determina por lo general una distancia constante h entre los instantes de exploración, y se encontrará la siguiente relación entre el intervalo observado y el tiempo real (véase la figura 15.3):

Tiempo observado Tiempo real

0 h 0 h − 1h

1 h 0 h − 2h

2 h 1 h − 3h

3 h 2 h − 4h

. . . . . .

Se observa que hay una superposición entre los intervalos continuos, de modo tal que la distribución discreta no se puede obtener por la simple integración de un intervalo continuo sobre un intervalo fijo de longitud h. Si los tiempos reales de ocupación tienen una función de distribución F(t), se observará la distribución discreta siguiente (Iversen, 1976 [38]):

Figura 15.3 – Con el método de exploración un intervalo continuo se transforma en un intervalo discreto. La transformación no es única (véase el § 15.4)


1) Número de barridos observado

2) Intervalo para el tiempo real (barrido)


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Interpretación: Se supone que el tiempo de llegada de la llamada es independiente del proceso de exploración. Por tanto, la función de densidad del intervalo desde el instante de llegada de la llamada al tiempo de la primera exploración está distribuido uniformemente y es igual a (1/h) (véase el § 6.3.3). La probabilidad de observar instantes de barrido cero durante el tiempo de ocupación de la llamada se representa por p(0) y es igual a la probabilidad que la llamada termine antes del tiempo del barrido siguiente. Para un valor fijo del tiempo de ocupación t esta probabilidad es igual a F(t)/h, y para obtener la probabilidad total se integran todos los valores t posibles (0 ≤ t < h) y se aplica la ecuación (15.10). De manera similar se extrae p(k) con la ecuación (15.11).

Por integración parcial se puede determinar que para cualquier función de distribución F(t) se observará siempre el valor medio correcto:

Cuando se utiliza la tarificación de Karlsson se llegará tasará siempre el monto correcto.

Para intervalos de ocupación con distribución exponencial, F(t) = 1−e-μt, se observará una distribución discreta denominada distribución de Westerberg (Iversen, 1976 [38]):

Esta distribución puede tener el valor medio y el factor de forma siguientes:

El factor de forma ε es igual a uno más el cuadrado de la exactitud relativa de la medición. Para una medición continua el factor de forma es 2. La contribución ε −2 es debida a la influencia del principio de medición.

El factor de forma es una medida de la exactitud de las mediciones. La figura 15.4 ilustra cómo depende el factor de forma del tiempo de ocupación con distribución exponencial observado en la duración del intervalo de exploración (15.16). Con mediciones continuas se obtiene una muestra ordinaria y por el método de exploración se obtiene una muestra de una muestra, de modo tal que hay incertidumbre en razón del método de medición así como del tamaño limitado de la muestra.

La figura 5.2 muestra un ejemplo de la distribución de Westerberg. Es en particular la clase cero que se aparta de lo que se podría esperar de una distribución exponencial continua. Si en la expresión para (15.9) se inserta el factor de forma, se obtiene entonces, fijando el tiempo medio de ocupación como unidad de tiempo m

2sσ

1,t = 1/μ = 1, las siguientes estimaciones de la intensidad de tráfico cuando se emplea el método de exploración:


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Con el método de medición continuo la varianza es 2A/T. Esto también se obtiene dejando h → 0.

En La figura 15.5 se muestra la exactitud relativa del volumen de tráfico medido para una medición continua (15.8) y (15.9), así como para el método de exploración (15.17). La ecuación (15.17) fue formulada por (Palm, 1941 [80]), pero recién resultó conocida cuando fue divulgada por W.S. Hayward Jr. (1952 [35]).

Ejemplo 15.4.1: Principios de tarificación Para la tarificación de llamadas se aplican varios principios. Además, el régimen de tasación varía, por lo general, durante las 24 horas para influenciar los hábitos del abonado. Entre los principios se puede mencionar:

a) Tasa fija por llamada. Este principio se aplica a menudo en sistemas manuales para llamadas locales (tarifa única)

b) Tarificación de Karlsson. Esto corresponde al principio de medición que se trata en esta sección debido que el tiempo de ocupación se fija al azar conforme a los impulsos de tasación regulares. Este principio ha sido aplicado en Dinamarca en centrales de tipo de barras cruzadas.

c) Tarificación de Karlsson modificada. Se puede, por ejemplo, añadir un impulso adicional al comienzo de la llamada. En sistemas digitales en Dinamarca se aplica una tasa fija por llamada además de una tasa proporcional a la duración de la llamada.

d) El comienzo del tiempo de ocupación se sincroniza con el proceso de exploración. Esto se aplica, por ejemplo, para llamadas atendidas por operador y en teléfonos de alcancía.

15.5 Ejemplo numérico

Para una medición específica se calcula m1,i y 2iσ . La desviación de la intensidad de tráfico

observada con relación al valor teórico correcto tiene una distribución aproximadamente normal. Por tanto, el valor teórico medio desconocido estará dentro del 95% de los intervalos de confianza calculados (véase el § 15.2):

La varianza es entonces decisiva para la exactitud de una medición. Para estudiar qué factores son de mayor importancia se efectuarán cálculos numéricos de algunos ejemplos. Todas las fórmulas se pueden calcular fácilmente con un calculador de bolsillo.

2iσ

Ambos ejemplos suponen tráfico PCT−I, (es decir, proceso de llegada de Poisson y tiempos de ocupación con distribución exponencial), intensidad de tráfico = 10 erlang, y tiempo medio de ocupación = 180 segundos, que se fija como unidad de tiempo.

Ejemplo a: Corresponde a una medición de tráfico clásica: Periodo de medición = 3600 s = 20 unidades de tiempo = T.

Intervalo de exploración = 36 s = 0,2 unidades de tiempo = h = 1/λs.

(100 observaciones)


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Ejemplo b: En este caso sólo se explora una vez por tiempo de ocupación medio Periodo de medición = 720 s = 4 unidades de tiempo = T.

Intervalo de exploración = 180 s = 1 unidad de tiempo = h = 1/λs.

(4 observaciones)

Del cuadro 15.5 se pueden extraer algunas conclusiones generales:

• Por el método de exploración se obtiene muy poca información comparada con una medición continua ya que el intervalo de exploración es menor que el tiempo medio de ocupación (véase la figura 15.4). La medición continua se puede considerar como una referencia óptima para cualquier método discreto.

Figura 15.4 – Factor de forma para tiempos de ocupación con distribución exponencial observados por intervalos de exploración con distribución Erlang-k en un periodo de medición ilimitado. El caso k = ∞ corresponde a intervalos de exploración regulares

(constantes) que transforman la distribución exponencial en distribución de Westerberg. El caso k = 1 corresponde a intervalos de exploración con distribución exponencial(véase el método de simulación de la ruleta). El caso h = 0 corresponde a una medición continua. Se observa que

con intervalos de exploración regulares casi no hay información si el intervalo de exploración es menor que el tiempo medio de

ocupación (fijado como unidad de tiempo)


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1) Factor de forma ε

2) Intervalo de exploración [s−1]

Figura 15.5 – Con una escala logarítmica doble se obtiene una relación lineal entre la exactitud relativa de la intensidad de tráfico A y el volumen de tráfico medido A . T cuando se efectúa en un periodo ilimitado. El intervalo de exploración h = 0 corresponde a una medición

continua y h > 0 corresponde al método de exploración. La influencia de un método de medición limitado se representa en línea punteada para el caso A = 1

erlang y una medición continua teniendo en cuenta el intervalo de medición limitado. El intervalo T se mide en tiempos medios de ocupación


1) Exactitud relativa de A

2) Volumen de tráfico [s]

• El conocimiento que se obtiene en relación con un periodo de medición limitado produce más información para una medición breve (T <5), mientras que se obtiene muy poca información adicional para T >10. (En el proceso de tráfico hay correlación; la primera parte de un periodo de medición produce más información que las partes siguientes.)

• Utilizando el método de la ruleta se obtiene mayor información que con el método de exploración (Iversen 1976, [38], 1977 [39]).


- 304 -

Todos los factores mencionados anteriormente tienen mucho menos influencia que el hecho que los tiempos de ocupación reales se desvían a menudo del esquema de distribución exponencial. En la práctica, se observa con frecuencia un factor de forma cercano a 4−6.

La conclusión que se pueda hacer de los ejemplos anteriores es que para aplicaciones prácticas es más pertinente aplicar la fórmula elemental (15.8) con un factor de forma correcto que tomara en cuenta el método y el periodo de medición.

Cuadro 15.2 – Comparación numérica de diversos principios de medición en diferentes intervalos de tiempo

Ejemplo a Ejemplo b

2iσ iσ 2

iσ iσ

Método continuo Ilimitado (15.8) Limitado

1,0000 1,0000 0,9500 0,9747

5,0000 2,2361 3,7729 1,9424

Método de exploración Ilimitado (15.17) Limitado

1,0033 1,0016 0,9535 0,9765

5,4099 2,3259 4,2801 2,0688

Método de la ruleta Ilimitado Limitado

1,1000 1,0488 1,0500 1,0247

7,5000 2,7386 6,2729 2,5046

La teoría anterior es exacta cuando se consideran tarificación de llamadas y medición de intervalos de tiempo. Para simulaciones estocásticas de computadora el proceso de tráfico es generalmente estacionario y la teoría se puede aplicar para estimación de la fiabilidad de los resultados. Sin embargo, los resultados son aproximados ya que las hipótesis teóricas acerca de sistemas libres y congestión pocas veces son de interés.

En mediciones reales en sistemas de trabajo se tienen variaciones de tráfico durante el día, errores técnicos, errores de medición, etc. Algunos de estos factores se compensan mutuamente y los resultados que se han calculado dan una buena estimación de la fiabilidad, y constituyen una buena base para comparar medidas y principios de medición.


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BIBLIOGRAFÍA

[1] Abate, J. & Whitt, W. (1997): Limits and approximations for the M/G/1 LIFO waiting−time distribution. Operations Research Letters, Vol. 20 (1997): 5, 199−206.

[2] Andersen, B. & Hansen, N.H. & og Iversen, V.B. (1971): Use of minicomputer for telephone traffic measurements. Teleteknik (Edición inglesa) Vol. 15 (1971): 2, 33−46.

[3] Ash, G.R. (1998): Dynamic routing in telecommunications networks. McGraw-Hill 1998. 746 pp.

[4] Baskett, F. & Chandy, K.M. & Muntz, R.R. & Palacios, F.G. (1975): Open, Closed and Mixed Networks of Queues with Different Classes of Customers. Journ. of the ACM, abril 1975, pp. 248−260. (BCMP queueing networks).

[5] Bear, D. (1988): Principles of telecommunication traffic engineering. Revised 3rd Edition. Peter Peregrinus Ltd, Stevenage 1988. 250 pp.

[6] Bech, N.I. (1954): Metode til Beregning af Spærring i Alternativ Trunking- og Grade-ringssystemer. Teleteknik, Vol. 5 (1954) : 4, pp. 435−448.

[7] Bolotin, V.A. (1994): Telephone circuit holding time distributions. ITC 14, 14th International Teletraffic Congress. Antibes Juan-les-Pins, France, junio 6-10. 1994. Proceedings pp. 125−134. Elsevier 1994.

[8] Boots, N.K. & Tijms, H. (1999): A multiserver queueing system with impatient customers. Management Science, Vol. 45 (1999) : 3, 444−448.

[9] Bretschneider, G. (1956): Bie Berechnung von Leitungsgruppen für überfließenden Verkehr. Nachrichtentechnische Zeitschrift, NTZ, Vol. 9 (1956) : 11, 533−540.

[10] Bretschneider, G. (1973): Extension of the equivalent random method to smooth traffics. ITC−7, Seventh International Teletraffic Congress, Estocolmo, junio 1973. Paper 411. 9 pp.

[11] Brockmeyer, E. (1954): The simple overffow problem in the theory of telephone traffic. Teleteknik 1954, pp. 361-374. En Danés. Traducido al inglés por la Copenhagen Telephone Company, abril 1955. 15 pp.

[12] Brockmeyer, E. & Halstrøm, H.L. & Jensen, Arne (1948): The life and works of A.K. Erlang. Transactions of the Danish Academy of Technical Sciences, 1948, No. 2, 277 pp. Copenhague 1948.

[13] Burke, P.J. (1956): The Output of a Queueing System. Operations Research, Vol. 4 (1956), 699−704.

[14] Christensen, P.V. (1914): The number of selectors in automatic telephone systems. The Post Office Electrical Engineers Journal, Vol. 7 (1914) 271-281.

[15] Cobham, A. (1954): Priority assignment in waiting line problems. Operations Research, Vol. 2 (1954), 70−76.

[16] Conway, A.E. & Georganas, N.D. (1989): Queueing Networks −- Exact Computational Algorithms: A Unified Theory Based on Decomposition and Aggregation. The MIT Press 1989. 234 pp.

[17] Cooper, R.B. (1972): Introduction to Queueing Theory. Nueva York 1972. 277 pp.

[18] Cox, D.R. (1955): A Use of Complex Probabilities in the Theory of Stochastic Processes. Proc. Camb. Phil. Soc., Vol. 51 (1955), pp. 313−319.


- 306 -

[19] Cox, D.R. & Miller, H.D. (1965): The Theory of Stochastic Processes. Methuen & Co. Londres 1965. 398 pp.

[20] Cox, D.R.& Isham, V. (1980): Point Processes. Chapman and Hall. 1980. 188 pp.

[21] Crommelin, C.D. (1932): Delay Probability Formulae When the Holding Times are Constant. Post Office Electrical Engineers Journal, Vol. 25 (1932), pp. 41−50.

[22] Crommelin, C.D. (1934): Delay Probability Formulae. Post Office Electrical Engineers Journal, Vol. 26 (1934), pp. 266−274.

[23] Delbrouck, L.E.N. (1983): On the steady−state distribution in a service facility carrying mixtures of traffic with different peakedness factor and capacity requirements. IEEE Transactions on Communications, Vol. COM-31 (1983): 11, 1209−1211.

[24] Dickmeiss, A. & Larsen, M. (1993): Spærringsberegninger i telenet. Master's thesis. Institut for Telekommunikation, Danmarks Tekniske Højskole, 1993. 141 pp.

[25] Eilon, S. (1969): A simpler proof of L = λW. Operations Research, Vol. 17 (1969), pp. 915−917.

[26] Elldin, A., and G. Lind (1964): Elementary Telephone Traffic Theory. Chapter 4. L.M. Ericsson AB, Estocolmo 1964. 46 pp.

[27] Engset, T.O. (1918): Die Wahrscheinlichkeitsrechnung zur Bestimmung der Wählerzahl in automatischen Fernsprechämtern. Elektrotechnische Zeitschrift, 1918, Heft 31. Traducido al inglés por Telektronikk (Noruega), junio 1991, 4pp.

[28] Eslamdoust, C. (1995): Design of large communication networks. Master's thesis. Department of Telecommunication, Technical University of Denmark, 1995. 108 + 133 pp.

[29] Feller, W. (1950): An introduction to probability theory and its applications. Vol. 1, Nueva York 1950. 461 pp.

[30] Fortet, R. & Grandjean, Ch. (1964): Congestion in a loss system when some calls want several devices simultaneously. Electrical Communications, Vol. 39 (1964) : 4, 513−526. Documento presentado al ITC−4, Cuarto Congreso Internacional de Teletráfico, Londres, Inglaterra 15−21 julio 1964.

[31] Fredericks, A.A. (1980): Congestion in blocking systems − a simple approximation technique. The Bell System Technical Journal, Vol. 59 (1980): 6, 805−827.

[32] Fry, T.C. (1928): Probability and its engineering uses. Nueva York 1928, 470 pp.

[33] Gordon, W.J, and & Newell, G.F. (1967): Closed queueing systems with exponential servers. Operations Research, Vol. 15 (1967), pp. 254−265.

[34] Grillo, D. & Skoog, R.A. & Chia, S. & Leung, K.K. (1998): Teletraffic engineering for mobile personal communications in ITU−T work: the need to match theory to practice. IEEE Personal Communications, Vol. 5 (1998): 6, 38−58.

[35] Hayward, W.S. Jr. (1952): The reliability of telephone traffic load measurements by switch counts. The Bell System Technical Journal, Vol. 31 (1952): 2, 357−377.

[36] ITU-T (UIT-T) (1993): Unidad de intensidad de tráfico. Recomendación UIT-T B.18. 1993. 1 p.

[37] Iversen, V.B. (1973): Analysis of real teletraffic processes based on computerized measurements. Ericsson Technics, No. 1, 1973, pp. 1−64. "Holbæk measurements".


- 307 -

[38] Iversen, V.B. (1976): On the accuracy in measurements of time intervals and traffic intensities with application to teletraffic and simulation. Ph.D.−thesis. IMSOR, Technical University of Denmark 1976. 202 pp.

[39] Iversen, V.B. (1976): On General Point Processes in Teletraffic Theory with Applications to Measurements and Simulation. ITC-8, Eighth International Teletraffic Congress, paper 312/1−8. Melbourne 1976. Publicado en Teleteknik (Edición inglesa) 1977 : 2, pp. 59−70.

[40] Iversen, V.B. (1980): The A-formula. Teleteknik (Edición inglesa), Vol. 23 (1980) : 2, 64−79.

[41] Iversen, V.B. (1982): Exact Calculation of Waiting Time Distributions in Queueing Systems with Constant Holding Times. Fjerde Nordiske Teletrafik Seminar (NTS-4), Fourth Nordic Teletraffic Seminar, Helsinki 1982. 31 pp.

[42] Iversen, V.B. (1987): The exact evaluation of multi−service loss system with access control. Teleteknik, Edición inglesa, Vol 31 (1987) : 2, 56-61. NTS−7, Seventh Nordic Teletraffic Seminar, Lund, Suecia, 25−27 de agosto, 1987, 22 pp.

[43] Iversen, V.B. & Nielsen, B.F. (1985): Some properties of Coxian distributions with applications, pp. 61−66 in Proceedings of the International Conference on Modelling Techniques and Tools for Performance Analysis. 5-7 de junio, 1985, Valbonne, Francia. North−Holland Publ. Co. 1985. 365 pp. (Editor N. Abu El Ata).

[44] Iversen, V.B. & Stepanov, S.N. (1997): The usage of convolution algorithm with truncation for estimation of individual blocking probabilities in circuit-switched telecommunication networks. Proceedings of the 15th International Teletraffic Congress, ITC 15, Washington, DC, USA, 22-27 de junio 1997. 1327−1336.

[45] Iversen, V.B. & Sanders, B. (2001): Engset formulæ with continuous parameters − theory and applications. AEÜ, International Journal of Electronics and Communications, Vol. 55 (2001): 1, 3-9.

[46] Jackson, J.R. (1957): Networks of waiting lines. Operations Research, Vol. 5 (1957), pp. 518−521.

[47] Jackson, J.R. (1963): Jobshop-like queueing systems. Management Science, Vol. 10 (1963), No. 1, pp. 131−142.

[48] Jensen, Arne (1948): An Elucidation of A.K. Erlang's Statistical Works through the Theory of Stochastic Processes. Published in "The Erlangbook": E. Brockmeyer, H.L. Halstrøm and A. Jensen: The Life and Works of A.K. Erlang. København 1948, pp. 23−100.

[49] Jensen, Arne (1948): Truncated multidimensional distributions. Pages 58−70 in "The Life and Works of A.K. Erlang". Ref. Brockmeyer et al., 1948.

[50] Jensen, Arne (1950): Moe's Principle − An econometric investigation intended as an aid in dimensioning and managing telephone plant. Theory and Tables. Copenhague 1950. 165 pp.

[51] Jerkins, J.L. & Neidhardt, A.L. & Wang, J.L. & Erramilli A. (1999): Operations measurement for engineering support of high-speed networks with self-similar traffic. ITC-16, 16th International Teletraffic Congress, Edinburgo, 7-11 de junio, 1999. Proceedings pp. 895−906. Elsevier 1999.

[52] Johannsen, Fr. (1908): "Busy". Copenhague 1908. 4 pp.


- 308 -

[53] Johansen, K. & Johansen, J. & Rasmussen, C. (1991): The broadband multiplexer, "transMux 1001". Teleteknik, Edición inglesa, Vol. 34 (1991) : 1, 57−65.

[54] Joys, L.A.: Variations of the Erlang, Engset and Jacobæus Formulæ, Proceedings of the Fifth International Teletraffic Congress (ITC-5), Nueva York, USA, 1967, 107−111. También publicado en: Teleteknik, (Edición inglesa), 11 (1967), No. 1, 42−48.

[55] Joys, L.A. (1968): Engsets Formler for Sannsynlighetstetthet og dens Rekursionsformler. (Fórmulas de Engset para probabilidad y sus fórmulas recursivas, en noruego). Telektronikk 1968 No 1−2, pp. 54−63.

[56] Joys, L.A. (1971): Comments on the Engset and Erlang formulae for telephone traffic losses. Thesis. Report TF No. 25,/71, Research Establishment, The Norwegian Telecommunications Administration. 1971. 127 pp.

[57] Karlsson, S.A. (1937): Tekniska anordninger fö samtalsdebitering enligt tid. Helsingfors Telefonförening, Tekniska Meddelanden 1937, No. 2, pp. 32−48.

[58] Kaufman, J.S. (1981): Blocking in a shared resource environment. IEEE Transactions on Communications, Vol. COM-29 (1981) : 10, 1474−1481.

[59] Keilson, J. (1966): The ergodic queue length distribution for queueing systems with finite capacity. Journal of Royal Statistical Society, Series B, Vol. 28 (1966), 190−201.

[60] Kelly, F.P. (1979): Reversibility and Stochastic Networks. John Wiley & Sons, 1979. 230 pp.

[61] Kendall, D.G. (1951): Some problems in the theory of queues. Journal of Royal Statistical Society, Series B, Vol. 13 (1951) : 2, 151−173.

[62] Kendall, D.G. (1953): Stochastic processes occuring in the theory of queues and their analysis by the method of the imbedded Markov chain. Ann. Math. Stat., Vol. 24 (1953), 338−354.

[63] Khintchine, A.Y. (1955): Mathematical Methods in the Theory of Queueing. Londres 1960. 124 pp. (Original en Ruso, 1955).

[64] Kingman, J.F.C. (1969): Markov population processes. J. Appl. Prob., Vol. 6 (1969), 1−18.

[65] Kleinrock, L. (1964): Communication Nets: Stochastic Message Flow and Delay. McGraw−Hill 1964. Reimpreso por Dover Publications 1972. 209 pp.

[66] Kleinrock, L. (1975): Queueing Systems. Vol. I: Theory. Nueva York 1975. 417 pp.

[67] Kleinrock, L. (1976): Queueing Systems. Vol. II: Computer Applications. Nueva York 1976. 549 pp.

[68] Kosten, L. (1937): Über Sperrungswahrscheinlichkeiten bei Staffelschaltungen. Elek. Nachr. Techn., Vol. 14 (1937) 5−12.

[69] Kraimeche, B. & Schwartz, M. (1983): Circuit Access Control Strategies in integrated digital networks. IEEE INFOCOM, 9-12 de abril, 1984, San Francisco, USA, Proceedings pp. 230−235.

[70] Kruithof, J. (1937): Telefoonverkehrsrekening. De Ingenieur, Vol. 52 (1937) : E15−E25.

[71] Kuczura, A. (1973): The interrupted Poisson process as anflover ow process. The Bell System Technical Journal, Vol. 52 (1973) : 3, pp. 437−448.


- 309 -

[72] Kuczura, A. (1977): A method of moments for the analysis of a switched communication network's performance. IEEE Transactions on Communications, Vol. Com−25 (1977): 2, 185−193.

[73] Lavenberg, S.S. & Reiser, M. (1980): Mean−value analysis of closed multichain queueing networks. Journal of the Association for Computing Machinery, Vol. 27 (1980): 2, 313−322.

[74] Lind, G. (1976): Studies on the probability of a called subscriber being busy. ITC−8, Melbourne, noviembre de 1976. Paper 631. 8 pp.

[75] Listov−Saabye, H. & Iversen V.B. (1989): ATMOS, a PC−based tool for evaluating multi−service telephone systems. IMSOR, Technical University of Denmark 1989, 75 pp. (en danés).

[76] Little, J.D.C. (1961): A proof for the queueing formula L = λW. Operations Research, Vol. 9 (1961) : 383−387.

[77] Maral, G. (1995): VSAT Networks. John Wiley & Sons, 1995. 282 pp.

[78] Marchal, W.G. (1976): An approximate formula for waiting time in single server queues. AIIE Transactions, diciembre de 1976, 473−474.

[79] Nguyen, Than-Bang: Trafikplanlægningssystemet TES under Windows. Master's thesis. Department of Telecommunication, Technical University of Denmark 1995. 74 + 93 pp.

[80] Palm, C. (1941): Mättnoggrannhet vid bestämning af trafikmängd enligt genomsök-ningsförfarandet (Exactitud de las mediciones en la determinación de volúmenes de tráfico por el método de barrido). Tekn. Medd. K. Telegr. Styr., 1941, No. 7−9, pp. 97−115.

[81] Palm, C. (1943): Intensitätsschwankungen im Fernsprechverkehr. Ericsson Technics, No. 44, 1943, 189 pp. Traducción al inglés por Chr. Jacobæus: Intensity Variations in Telephone Traffic. North−Holland Publ. Co. 1987.

[82] Palm, C. (1947): The assignment of workers in servicing automatic machines. Journal of Industrial Engineering, Vol. 9 (1958) : 28−42. Primera publicación en Suecia en 1947.

[83] Palm, C. (1947): Table of the Erlang Loss Formula. Telefonaktiebolaget L M Ericsson, Estocolmo 1947. 23 pp.

[84] Palm, C. (1957): Some propositions regarding flat and steep distribution functions, pp. 3−17 in TELE (Edición inglesa), No. 1, 1957.

[85] Pinsky, E. & Conway, A.E. (1992): Computational algorithms for blocking probabilities in circuit−switched networks. Annals of Operations Research, Vol. 35 (1992) 31−41.

[86] Postigo−Boix, M. & García−Haro, J. & Aguilar-Igartua, M. (2001): IMA: technical foundations, application and performance analysis. Computer Networks, Vol. 35 (2001) 165−183.

[87] Press, W.H. & Teukolsky, S.A. & Vetterling, W.T. & Flannery, B.P. (1995): Numerical recipes in C, the art of scientific computing. 2nd edition. Cambridge University Press, 1995. 994 pp.

[88] Rabe, F.W. (1949): Variations of telephone traffic. Electrical Communications, Vol. 26 (1949) 243−248.

[89] Riordan, J. (1956): Derivation of moments of overflow traffic. Appendix 1 (pp. 507−514) in (Wilkinson, 1956 [104]).


- 310 -

[90] Roberts, J.W. (1981): A service system with heterogeneous user requirements − applications to multi−service telecommunication systems. Pages 423−431 in Performance of data communication systems and their applications. G. Pujolle (editor), North−Holland Publ. Co. 1981.

[91] Roberts, J.W. (2001): Traffic theory and the Internet. IEEE Communications Magazine Vol. 39 (2001) : 1, 94−99.

[92] Ross, K.W. & Tsang, D. (1990): Teletraffic engineering for product−form circuit−switched networks. Adv. Appl. Prob., Vol. 22 (1990) 657−675.

[93] Ross, K.W. & Tsang, D. (1990): Algorithms to determine exact blocking probabilities for multirate tree networks. IEEE Transactions on Communications. Vol. 38 (1990) : 8, 1266−1271.

[94] Rönnblom, N. (1958): Traffic loss of a circuit group consisting of both−way circuits which is accessible for the internal and external traffic of a subscriber group. TELE (Edición inglesa), 1959: 2, 79−92.

[95] Sanders, B. & Haemers, W.H. & Wilcke, R. (1983): Simple approximate techniques for congestion functions for smooth and peaked traffic. ITC−10, Tenth International Teletraffic Congress, Montreal, junio de 1983. Paper 4.4b−1. 7 pp.

[96] Stepanov, S.S. (1989): Optimization of numerical estimation of characteristics of multiflow models with repeated calls. Problems of Information Transmission, Vol. 25 (1989): 2, 67−78.

[97] Sutton, D.J. (1980): The application of reversible Markovp opulation processes to teletraffic. A.T.R. Vol. 13 (1980): 2, 3−8.

[98] Techguide (2001): Inverse Multiplexing − scalable bandwidth solutions for the WAN. Techguide (The Technologu Guide Series), 2001, 46 pp. <www.techguide.com>

[99] Vaulot, É. & Chaveau, J. (1949): Extension de la formule d'Erlang au cas ou le traffic est fonction du nombre d'abonnés occupés. Annales de Télécommunications, Vol. 4 (1949) 319−324.

[100] Veirø, B. (2002): Proposed Grade of Service chapter for handbook. Comisión de Estudio 2 del UIT-T, GT 3/2. Septiembre de 2001. 5 páginas.

[101] Villén, M. (2002): Overview of ITU Recommendations on traffic engineering. UIT−T Comisión de Estudio 2, COM 2-KS 48/2-E. Mayo de 2002. 21 pp.

[102] Wallström, B. (1964): A distribution model for telephone traffic with varying call intensity, including overflow traffic. Ericsson Technics, 1964, No. 2, pp. 183−202.

[103] Wallström, B. (1966): Congestion studies in telephone systems with overflow facilities. Ericsson Technics, No. 3, 1966, pp. 187−351.

[104] Wilkinson, R.I. (1956): Theories for toll traffic engineering in the U.S.A. The Bell System Technical Journal, Vol. 35 (1956) 421−514.


- 311 -

ÍNDICE DE AUTORES

Abate, J.

Aguilar−Igartua, M.

Andersen, B.

Ash, G.R.

Baskett, F.

Bear, D.

Bech, N.I.

Bolotin, V.A.

Boots, N.K.

Bretschneider, G.

Brockmeyer, E.

Burke, P.J.

Buzen, J.P.

Chandy, K.M.

Chaveau, J.

Chia, S.

Christensen, P.V.

Cobham, A.

Conway, A.E.

Cooper, R.B.

Cox, D.R.

Crommelin, C.D.

Delbrouck, L.E.N.

Dickmeiss, A.

Eilon, S.

Elldin, A.

Engset, T.O.

Erlang, A.K.

Erramilli A.

Eslamdoust, C.

Feller, W.

Flannery, B.P.

Fortet, R.

Fredericks, A.A.

Fry, T.C.

García−Haro, J.

Georganas, N.D.

Gordon, W.J.

Grandjean, Ch.

Grillo, D.

Haemers, W.H.

Halstrøm, H.L.

Hansen, N.H.,

Hayward, W.S. Jr.

Isham, V.

Iversen, V.B.

Jackson, J.R.

Jensen, A.

Jensen, Arne

Jerkins, J.L.

Johannsen, F.

Johansen, J.

Johansen, K.

Joys, L.A.

Karlsson, S.A.

Kaufman, J.S.

Keilson, J.

Kelly, F.P.

Kendall, D.G.

Khintchine, A.Y.

Kingman, J.F.C.

Kleinrock, L.

Kosten, L.

Kraimeche, B.


- 312 -

Kruithof, J.

Kuczura, A.

Larsen, M.

Lavenberg, S.S.

Leung, K.K.

Lind, G.

Listov-Saabye, H.

Little, J.D.C.

Maral, G.

Marchal, W.G.

Miller, H.D.

Moe, K.

Muntz, R.R.

Neidhardt, A.L.

Newell, G.F.

Nguyen, Thanh-Bang

Nielsen, B.F.

Palacios, F.G.

Palm, C.

Pinsky, E.

Postigo−Boix, M.

Press, W.H.

Rönnblom, N.

Rabe, F.W.

Raikov, D.A.

Rasmussen, C.

Reiser, M.

Riordan, J.

Roberts, J.W.

Ross, K.W.

Samuelson, P.A.

Sanders, B.

Schwartz, M.

Skoog, R.A.

Stepanov, S.N.

Sutton, D.J.

Techguide

Teukolsky, S.A.

Tijms, H

Tsang, D.

UIT-T

Vaulot, E.

Veirœ, B.

Veirø, B.

Vetterling, W.T.

Villén, M.

Wallström, B.

Wang, J.L.

Whitt, W.

Wilcke, R.

Wilkinson, R.I.


- 313 -

ÍNDICE TEMÁTICO abonado A,

abonado B,

accesibilidad total

sistema de retardo

sistema de pérdidas,

activado/desactivado,

algoritmo de Buzen,

algoritmo de convolución,

cadenas múltiples,

cadena simple,


algoritmo de Delbrouck,

algoritmo de Fortet y Grandjean,

algoritmo de Kaufman y Roberts,

algoritmo MVA

cadena simple

almacenamiento y retransmisión,

aproximación de Marchal,

aproximación de Rapp

asignación

demanda,

fija

atribución de canal,

atribución de capacidad,

bloqueo de paquete,

búsqueda cíclica,

cadena,

cadenas,

calidad de servicio,

cambio de fila,

canal de control,

canales de usuario,

caso Binomial negativo,

caso Binomial,

caso Engset,

caso Erlang,

caso Palm-Wallström,

caso Pascal,

caso Poisson,

CCS,

central de tránsito,

central local,

clasificación de O'Dell,

coeficiente de variación,

compartición de procesador,

comportamiento del abonado,

comunicación móvil,

concentración de tráfico,

concentración,

concepto de bloqueo,

congestión

de llamada,

de tiempo,

de tráfico,

conmutación de circuitos,

conmutación de líneas,

conmutación de mensajes,

conmutación de paquetes,

conservación de trabajo,

cordón,

criterio de Kolmogorov,

CSMA,

cuadro,

fórmula B de Erlang

cubo con fugas,

curtosis,


- 314 -

D/M/1,

DECT,

derecho preferente,

desconexión forzada,

desconvolución,

desigualdad de Kingman,

desviación normalizada,

diagrama de transición de estado,

sistema de retardo de Erlang

dimensionamiento, bloqueo fijo principio de mejora,

disponibilidad,

véase accesibilidad,

distribución Binomial negativa,

distribución Binomial,

característica del tráfico,

truncado,

distribución compuesta,

distribución de Poisson,

distribución con gran densidad en los extremos,

distribución de Engset,

distribución de Pareto,

distribución de Pascal,

distribución de Poisson,

cálculo,

truncada,

distribución del tiempo de espera,

FCFS,

distribución de Weibull,

distribución de Westerberg,

distribución Erlang-k,

distribución exponencial,

distribución geométrica,

distribución polinomial,

distribuciones de tiempo,

división de tráfico,

división en el tiempo,

duración de la llamada,

EBHC,

ecuación flujo-equilibrio,

ecuaciones de corte,

ecuaciones de equilibrio,

ecuaciones de nodo,

Ek/D/r,

encaminamiento alternativo,

equilibrio estadístico,

equilibrio,

global,

local,

detallado,

erlang,

estrategia,

estructura,

estudios iterativos,

exactitud relativa,

expansión Binomial,

expiración,

factor de forma de Palm,

factor de forma,

factores humanos,

falta de memoria,


- 315 -

forma de producto,

fórmula 1 de Erlang,

fórmula B de Erlang, servicio hiperexponencial recursión multidimensional fórmula C de Erlang,

fórmula de Engset recursión

fuente esporádica,

función de carga,

función de densidad,

función de distribución complementaria,

función de distribución de supervivencia,

función de distribución,

función de mejora,

función de riesgo,

gestión de red,

GI/G/1,

GI/M/1,

GI/M/1, FCFS,

GoS,

grado de servicio,

GSM,

HCS,

herramienta ATMOS,

hipótesis de independencia,

HOM,

hombre-máquina,

hora cargada, tiempo uniforme,

IDC,

identidad de Feller-Jensen,

identidad de Palm,

IDI,

IMA,

impedimento,

índice de dispersión,

conteos,

insensibilidad,

intensidad de la llamada,

intensidad de tráfico,

intensidad,

intervalo de confianza,

intervalo,

IPP,

Iridium,

itinerancia,

LAN,

LCC,

ley de conservación de Kleinrock,

ley de conservación,

ley de raíz cuadrada de Kleinrock,

ley de raíz cuadrada,

limitación de clase,

llamadas perdidas liberadas,


- 316 -

lógica de cableado,

longitud de puesta en fila virtual,

M/D/1/k,

M/D/n,

M/G/∞,

M/G/1,

M/G/1/k,

M/G/1-LCFS-PR,

M/G/1-LCFS-PR,

M/G/1-PS,

M/M/1,

M/M/n,

M/M/n, FCFS,

M/M/n/S/S,

macrocélula,

matriz de tráfico,

mediciones de tráfico,

método de Berkeley,

método de carga reducido,

método de equivalencia de Wilkinson,

método de exploración,

método de factor doble de Kruithof,

método de Fredericks y Hayward,

método de Newton-Raphson,

método del punto fijo de Erlang,

método de Sanders,

método EERT,

método ERT,

métodos de medición,

continuo,

discreto,

horizontal,

vertical,

microcélula,

microprocesador,

modelado,

modelo máquina - reparador,

modelo máquina-reparador de Palm,

momento central,

momento no central,

multidimensional,

Erlang-B


multiplexación inversa,

multiplexación,

código de impulso,

frecuencia,

tiempo,

multiplexión estadística,

multiplicador de Lagrange,

ocupado,

optimización triangular,

origen,

paginación,

paradoja,

PCT-I,

PCT-II,

periodo de medición,

ilimitado,

persistencia,

principio de mejora,

principio de Moe,


sistema de retardo,

principio del último examen,

proceso Binomial,

proceso de llegada Cox-2,


- 317 -

proceso de llegada generalizado,

proceso de Markov reversible,

proceso de Poisson interrumpido,

proceso de Poisson,

proceso estocástico,

proceso reversible,

propiedad de Markovian,

propiedad PASTA,

protección de circuito virtual,

protección de servicio,

protocolo Aloha,

protocolo,

PS,

puesta en fila de espera,

puntos de equilibrio,

puntos de regeneración,

QoS,

RDSI,

RDSI-BA,

receptor de código,

recursión,

red en anillo,

red de Jackson,

red de poligonal,

red de telecomunicaciones,

red de tránsito,

red digital de servicios integrados,

red en estrella,

redes de puesta en fila BCMP,

redes de puesta en fila,

registro,

relación de servicio,

renegación,

representación de intervalos,

representación de número,

RR,

ruta directa,

ruta primaria,

ruta secundaria,

simulación con retorno al origen,

simulación de la ruleta,

sin conexión,

sin derecho preferente,

sistema de Brockmeyer,

sistema de espacio dividido,

sistema de frecuencia portadora,

sistema de Kosten,


sistema de retardo de Erlang,

diagrama de transición de estado,

sistema de servidor central,

sistema equivalente,

sistema interactivo,

sistema MIC,

sistema SPC,

sistema telefónico,

controlado por programa,

convencional,

sistemas celular jerárquico,

sistemas simétricos de puesta en fila,

SJF,

SM, suma estocástica,


- 318 -

tarificación de Karlsson, tarificación, tasa de extinción, tasa fija, teorema de Burke, teorema de descomposición, teorema de Little, teorema de llegada, teorema de Raikov. teorema de superposición, teoría de la sobrecarga, teoría de muestreo, teoría de teletráfico conceptos de tráfico, terminología, terminal principal, tiempo de circulación, tiempo de espera virtual, tiempo de estada, tiempo de recurrencia hacia adelante, tiempo de respuesta, tiempo de servicio, tiempo de vida, tiempo medio de espera, tiempo útil residual, tráfico aleatorio tráfico BPP, tráfico de segmentos múltiples, tráfico de velocidad múltiple, tráfico en ráfagas, tráfico ofrecido, tráfico potencial, tráfico preferencial, tráfico puramente aleatorio tipo I,

tráfico puramente aleatorio tipo II, tráfico rechazado, tráfico regularizado, tráfico seudoaleatorio, tráfico transportado, transmisor de código, traspaso, trayecto de control, trayecto de voz, UIT-T, unidad de tráfico, utilización, valor de mejora, valor medio, variable estocástica, en paralelo, en serie, j-ésimo más largo, variaciones de tráfico, varianza, velocidad de señalización de datos, volumen de tráfico, VSAT,

_______________


- 253 -

Fuente: www.itu.int/ITU-D/study_groups/ SGP_2002-2006/SG2/133000S4.Doc - Resultado Suplementario

(133000)

- 254 -

CAPÍTULO 14 Redes de filas de espera

Muchos sistemas se pueden modelar de manera que un cliente obtenga servicios a partir de varios nodos sucesivos, es decir, una vez que un cliente ha finalizado el servicio en un nodo pasa a otro. La demanda total de servicios se compone de demandas de servicios en distintos nodos. Por consiguiente, el sistema es una red de puesta fila de espera en la que cada una de las filas se denomina nodo. Como ejemplos de redes de puesta fila de espera cabe citar los sistemas de telecomunicaciones, los sistemas informáticos, las redes de conmutación de paquetes y los sistemas de fabricación flexibles. En las redes de puesta en fila de espera se define la longitud de la fila en un nodo como el número total de clientes en el nodo, incluidos los clientes que están servidos.

Este Capítulo tiene por objeto introducir la teoría fundamental de las redes de puesta en fila de espera, ilustrada por aplicaciones. Por lo general, se considera que la teoría es bastante complicada, lo que se debe principalmente a la complejidad de la notación. Ahora bien, en este Capítulo se introducirán de manera simple los modelos generales analíticos de redes de puesta en fila de espera sobre la base de formas de producto, el algoritmo de convolución, el algoritmo MDA y los ejemplos pertinentes.

La teoría de las redes de puesta en fila de espera es análoga a la teoría de los sistemas multidimensionales (véanse los Capítulos 10 y 11). En el Capítulo 10 se examinaron los sistemas de pérdidas multidimensionales mientras que en este Capítulo se tratarán las redes de sistemas de puesta en fila de espera.

14.1 Introducción a las redes de puesta en fila de espera

Las redes de puesta en fila de espera se clasifican en abiertas y cerradas. En redes de puesta en fila cerradas la cantidad de clientes es fija mientras que en redes de puesta en fila abiertas la cantidad de clientes varía. En principio, una red abierta se puede transformar en una red cerrada agregando un nodo extra.

El sistema de espera clásico de Erlang, M/N/n, es un ejemplo de un sistema de puesta en fila abierto, mientras que el modelo máquina/reparación de Palm con S terminales es una red cerrada. Si hay más que un tipo de clientes, la red puede ser una mezcla de red abierta y cerrada. En razón que el proceso de salida en un nodo es el proceso de llegada en otro, se deberá prestar especial atención al proceso de salida, en particular cuando se puede modelar como proceso de Poisson. Esto se examinará en el § 14.2 (Sistemas simétricos de puesta en fila).

El estado de una red de puesta en fila se define como la distribución simultánea del número de clientes en cada nodo. Si K representa el número total de nodos, el estado se describe entonces mediante un vector p (i1, i2, . . . iK) donde iK es el número de clientes en el nodo k (k = 1, 2 . . . k). Con frecuencia el espacio de estado es muy amplio y las probabilidades de estado mediante la resolución de ecuaciones de equilibrio de nodos son difíciles de calcular. Si cada nodo es un sistema simétrico de puesta en fila, por ejemplo red de Jackson (véase el § 14.3), se tendrá entonces una forma de producto. Las probabilidades de estado de redes con forma de producto se pueden agregar y obtener utilizando el algoritmo de convolución (véase el § 14.4.1) o el algoritmo MVA (véase el § 14.4.2)

Las redes de Jackson pueden ser generalizadas en redes BCMP (véase el § 14.5), donde hay N tipos de clientes. Los clientes de un tipo específico pertenecen a una denominada cadena. En la figura 14.1 se ilustra un ejemplo de una red de puesta en fila con cuatro cadenas. Cuando el número de cadenas aumenta el espacio de estado se incrementa en consecuencia, y sólo los sistemas con un pequeño número de cadenas se pueden calcular exactamente. En el caso de una red multicadena, el

(133000)

- 255 -

estado de cada nodo resulta multidimensional (véase el § 14.6). La forma de producto entre nodos se mantienen, y son aplicables los algoritmos de convolución y MVA (véase el § 14.7). La cantidad aproximada de algoritmos para grandes redes se puede encontrar en la literatura.

Figura 14.1 − Ejemplo de una red de puesta en fila con cuatro cadenas abiertas

14.2 Sistemas simétricos de puesta en fila de espera Para analizar los sistemas de puesta en fila es importante conocer cuándo el proceso de salida de un sistema de fila de espera es un proceso de Poisson. Se conocen cuatro modelos de puesta en fila que tienen esta propiedad.

1) M/M/n. Este es el teorema de Burke (1956 [13]), que expresa que el proceso de salida de un sistema M/M/n es un proceso de Poisson. Las probabilidades de espacio de estado están dadas por la ecuación (12.2):

donde A = λ/μ

2) M/G/∞. Esto corresponde al caso de Poisson (véase el § 7.2). Del § 6.3 se sabe que una traslación aleatoria de los eventos de un proceso de Poisson produce un nuevo proceso de Poisson. Este modelo se representa a veces como un sistema con criterio de puesta en fila IS, número infinito de servidores. Las probabilidades de estado vienen dadas por la distribución de Poisson (7.6):

3) M/G/1-PS. Este es un sistema de puesta en fila de un solo servidor con una distribución

general del tiempo de servicio y compartición de procesador. Las probabilidades de estado son similares al caso M/M/1 (13.79):

p(i) = (1 − A) . Ai, i= 0, 1, 2, . . . . (14.4)

4) M/G/1-LCFS-PR (PR = con derecho prioritario). Este sistema también tiene las mismas probabilidades de espacio de estado que el modelo M/M/1 (14.4).

(133000)

- 256 -

En la teoría de redes de puesta en fila sólo se consideran, por lo general, estos cuatro criterios de fila de espera. Sin embargo, aun para el sistema de pérdidas de Erlang, el proceso de salida será un proceso de Poisson si se incluyen clientes bloqueados.

Estos cuatro sistemas se conocen como sistemas simétricos de puesta en fila de espera, pues son simétricos en el tiempo. Tanto el proceso de llegada como el de salida son procesos de Poisson y los sistemas son reversibles (Kelly, 1979 [60]). El proceso se denomina reversible pues tiene el mismo aspecto que cuando se invierte el tiempo (por ejemplo, se dice que una película es reversible cuando su reproducción hacia delante o hacia atrás parecen iguales). Con excepción del modelo M/M/n estos sistemas simétricos de puesta en fila tienen como característica común que el cliente es servido inmediatamente a partir de su llegada. A continuación se tratarán básicamente los nodos M/M/n pero el modelo M/M/1 también incluye M/G/1-PS y M/G/1-LCFS-PR.

14.3 Teorema de Jackson En 1957, Jackson, que trabajaba con sistemas de fabricación y planeamiento de la producción, publicó un documento con un teorema que se denomina ahora teorema de Jackson (Jackson, 1957 [46]). En dicho teorema demostró que una red de puesta en fila de espera de nodos M/M/n tiene forma de producto. Sus conclusiones fueron inspiradas por el resultado obtenido por Burke el año anterior (Burke, 1956 [13]).

Teorema 14.1. Teorema de Jackson: Considérese una red de puesta en fila de espera abierta con K nodos que satisfacen las siguientes condiciones

a) Cada nodo es un sistema de puesta en fila M/M/n. El nodo k tiene nk servidores y el promedio del tiempo de servicio es 1=μk.

b) Los clientes llegan desde fuera del sistema al nodo k conforme a un proceso de Poisson con intensidad λk. Pueden llegar también clientes de otros nodos al nodo k.

c) Un cliente, que acaba de finalizar su servicio en el nodo j, se transfiere inmediatamente al nodo k con probabilidad pjk o sale de la red con probabilidad:

Un cliente puede visitar varias veces el mismo nodo si pkk > 0.

El promedio de la intensidad de llegada Λk en el nodo k se obtiene empleando las ecuaciones de equilibrio de flujo:

Sea p(i1, i2, . . ., iK) la representación de las probabilidades de espacio de estado conforme a la hipótesis de equilibrio estadístico, es decir la probabilidad que haya ik clientes en el nodo k. Asimismo, se supone que

Las probabilidades de espacio de estado vienen dadas entonces en forma de producto:

(133000)

- 257 -

Aquí para el nodo k, pk(ik) es la probabilidad de estado de un sistema de puesta en fila M/M/n con intensidad de llegadas Λk y velocidad de servicio μk (14.1). El tráfico ofrecido Λc/μk =_k al nodo k debe ser menor que la capacidad nk del nodo para entrar en equilibrio estadístico (14.6).

El punto fundamental del teorema de Jackson es que cada nodo puede ser considerado independientemente de los otros y que las probabilidades de estado vienen dadas por las fórmula C de Erlang. Esto simplifica considerablemente el cálculo de las probabilidades de espacio de estado. La prueba del teorema fue obtenida por Jackson en 1957 demostrando que la solución satisface las ecuaciones de equilibrio para el equilibrio estadístico.

En el último modelo de Jackson (Jackson, 1963 [47] la intensidad de llegada proveniente del exterior:

puede depender del número corriente de clientes en la red. Asimismo, μk puede depender del número de clientes en el nodo k. De esta manera, se pueden modelar redes de puesta en fila que sean cerradas, abiertas o mixtas. En los tres casos, las probabilidades de estado tienen forma de producto.

El modelo de Gordon y Newell (1967 [33]), que se cita a menudo en la literatura, puede ser tratado como un caso especial del segundo modelo de Jackson.

Figura 14.2 − Diagrama de transición de estado de una red de puesta en fila abierta constituida por dos sistemas M/M/1 en serie

Ejemplo 14.3.1: Dos nodos M/M/1 en serie La figura 14.2 muestra una red de puesta en fila abierta de dos nodos M/M/1 en serie. El diagrama de transición de estado correspondiente se ilustra en la figura 14.3. Evidentemente, el diagrama de transición de estado no es reversible: entre dos estados vecinos sólo hay flujo en un sentido (véase el § 10.2) y aparentemente no hay forma de producto. Si se resuelven las ecuaciones de equilibrio para obtener las probabilidades de estado se encuentra que la solución se puede expresar en forma de producto:

donde A1 = λ/μ1 y A2 = λ/μ2. Las probabilidades de estado se pueden expresar en forma de producto p(i, j) = p(i) . p(j), donde p(i) es la probabilidad de estado para un sistema M/M/1 con tráfico ofrecido A1 y p(j) es la probabilidad de estado para un sistema M/M/1 con tráfico ofrecido A2. Las probabilidades de estado indicadas en la figura 14.3 son idénticas a las de la figura 14.4 que tiene equilibrio local y forma de producto. Es posible así encontrar un sistema que es reversible y tenga las mismas probabilidades de estado que el sistema no reversible. En la figura 14.3 hay equilibrio regional y no local. Si se considera un cuadrado de cuatro estados habrá equilibrio para el mundo exterior pero, internamente, habrá circulación a través de la diagonal de desplazamiento de estado.

(133000)

- 258 -

En redes de fila de espera los clientes a menudo son puestos en operación bucle, de modo tal que un cliente puede visitar varias veces el mismo nodo. Si se tiene una red de puesta en fila con clientes en bucle, donde los nodos son sistemas M/M/n, los procesos de llegada a cada uno de los nodos ya no son procesos de Poisson. De cualquier modo se pueden calcular las probabilidades de estado como si los nodos fueran sistemas M/M/n independientes. Esto se explica en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 14.3.2: Redes con retroalimentación El concepto de retroalimentación se introdujo en el ejemplo 14.3.1 en el que un cliente, que acaba de concluir su servicio en el nodo 2, retorno al nodo 1 con probabilidad p21. El cliente deja el sistema con probabilidad con 1 - p21. La ecuación (14.5) de equilibrio de flujo permite calcular la intensidad de llegada total a cada nodo y la probabilidad p21 se debe elegir de modo tal que las relaciones Λ1=μ1 y Λ2=μ2 sean menor que uno. Si λ1 → 0 y p21 → 1 se comprenderá que los procesos de llegada no son procesos de Poisson. Rara vez llegará un nuevo cliente, pero una vez que ha ingresado al sistema circulará durante un tiempo relativamente largo. El número de circulaciones estará distribuido geométricamente y el tiempo entre llegadas es la suma de los dos tiempos de servicio; es decir, cuando en el sistema hay uno o más clientes, la velocidad de llegada a cada nodo será relativamente alta, mientras que si en el sistema no hay clientes la velocidad será muy baja. El proceso de llegada será en ráfagas.

La situación es similar a la descomposición de una distribución exponencial en una suma ponderada de distribuciones de Erlang-k, con factores geométricos ponderados (véase el § 4.4). En lugar de considerar una distribución entre llegadas exponencial simple se puede descomponer esto en k fases (véase la figura 4.9) y considerar cada fase como una llegada. En consecuencia, el proceso de llegada ha sido transformado de un proceso de Poisson a un proceso con llegadas en ráfagas.

Figura 14.3 − Diagrama de transición de estado para la red de puesta en fila abierta que se ilustra en la figura 14.2. El diagrama no es reversible

(133000)

- 259 -

Figura 14.4 − Diagrama de transición de estado para dos sistemas de puesta en fila M/M/1 independientes con idéntica intensidad de llegada, pero tiempos

medios de servicio individuales. El diagrama es reversible

14.3.1 Suposición de independencia de Kleinrock Si se considera una red de datos de vida real, los paquetes tendrán la misma longitud constante y, por tanto, el mismo tiempo de servicio en todos los enlaces y nodos de igual velocidad. La teoría de redes de puesta en fila supone que un paquete (un cliente) toma muestras de un nuevo tiempo de servicio en cada nodo. Esta es una suposición necesaria para la forma de producto. Kleinrock (1964 [65]), investigó por primera vez esta suposición y resultó ser una buena aproximación en la práctica.

14.4 Redes de puesta en fila de una sola cadena Se examinarán principalmente las probabilidades de estado definidas por p(i1, i2; . . . , ik, . . . , iK), donde ik es la cantidad de clientes en el nodo k (1 ≤ k ≤ K). Cuando se trata de sistemas abiertos, las operaciones son más sencillas de efectuar. Se resuelve primero la ecuación (14.5) de equilibrio de flujo y se obtiene la intensidad de llegada agregada a cada nodo (Λk). Mediante la combinación de las intensidades de llegada con la distribución del tiempo de servicio (μk) se obtiene el tráfico ofrecido Ak en cada nodo y entonces, considerando el sistema de espera de Erlang, se obtienen las probabilidades de estado para cada nodo.

14.4.1 Algoritmo de convolución para una red de puesta en fila cerrada Cuando se tratan redes de puesta en fila cerradas las operaciones son mucho más complicadas. En este caso, solo se conoce la carga relativa en cada nodo y no la carga absoluta, es decir, se conoce c . Λj, pero no se conoce c. Se pueden obtener probabilidades de estado relativas no normalizadas. Por último, se obtiene la normalización de las probabilidades de estado. Lamentablemente, normalización implica que se deben sumar todas las probabilidades de estado, es decir se debe calcular cada una de las probabilidades de estado (no normalizadas). El número de estados aumenta rápidamente cuando se incrementa el número de nodos y/o clientes. En general, la complejidad es similar a la correspondiente a sistemas de pérdidas multidimensionales (véase el Capítulo 10).

(133000)

- 260 -

Se puede mostrar ahora cómo se puede aplicar el algoritmo de convolución a las redes de puesta en fila. El mecanismo de la operación corresponde al algoritmo de convolución para sistemas con pérdidas (véase el Capítulo 10). Se considera una red de puesta en fila con K nodos y una sola cadena con S clientes. Se supone que los sistemas de puesta en fila en cada nodo son simétricos (véase el § 14.2). El algoritmo tiene tres pasos:

• Paso 1. Sea la intensidad de llegada a un nodo arbitrario igual a uno y se obtiene entonces las intensidades relativas restantes λk. Mediante la resolución de la ecuación (14.5) de equilibrio de flujo para la red cerrada se obtiene las velocidades de llegada relativas (Λk, 1 ≤ k ≤ K) para cada nodo. Por último, se obtiene el tráfico ofrecido relativo αk = Λk/μk.

• Paso 2. Considérese cada nodo como si estuviera aislado y tuviera el tráfico ofrecido αk (1 ≤ k ≤ K). Dependiendo del sistema de puesta en fila simétrico real en el nodo k, se extraen las probabilidades de estado relativas qk(i) en el nodo k. El espacio de estado estará limitado por la cantidad total de clientes S, es decir 0 ≤ i ≤ S.

• Paso 3. Repliéguese recurrentemente las probabilidades de estado para cada nodo. Por ejemplo, para los primeros dos nodos se tienen:

donde:

Cuando todos los nodos han sido replegados se obtiene:

En razón que la cantidad total de clientes es fija (S) sólo existe en el sistema combinado el estado q1,2. . . ,K(S) y, por tanto, este macroestado debe tener la probabilidad uno. Se pueden entonces normalizar todas las probabilidades de microestado.

Cuando se efectúa la última convolución se pueden obtener las medidas de calidad de funcionamiento para el último nodo. Variando el orden de convolución de los nodos se pueden obtener las medidas de calidad de funcionamiento de todos ellos.

(133000)

- 261 -

Figura 14.5 – Modelo máquina – Reparador como redes de puesta en fila cerradas con dos nodos. Los terminales corresponden a un nodo IS, en razón que las

operaciones encuentran siempre un terminal en reposo, mientras que la CPU corresponde a un nodo M/M/1

Ejemplo 14.4.1: Modelo máquina – Reparador de Palm Se examinará ahora el modelo máquina – reparador de Palm introducido en el § 12.5 como red de fila de espera cerrada (véase la figura 14.5). Hay S clientes y terminales. El tiempo de activación medio es μ1

-1 y el tiempo de servicio medio en la CPU que es μ2-1. En la terminología de redes de

fila de espera hay dos nodos: En el nodo 1 están los terminales, es decir un sistema M/G/∞ (en realidad es un sistema M/G/S, pero en razón que la cantidad de clientes se limita a S, corresponde a un sistema M/G/∞), y el nodo 2 es la CPU, es decir un sistema M/M/1 con intensidad de servicio μ2.

Los flujos a los nodos son iguales (λ1 = λ2 = λ) y la carga relativa en el nodo 1 y nodo 2 son

α1 = λ/μ1 y α2 = λ/μ2,

respectivamente. Si se considera cada nodo por separado se obtienen las probabilidades de estado de cada uno de ellos, q1(i) y q2(j), y por convolución de q1(i) y q2(j) se obtiene q12(x), (0 ≤ x ≤ S), como se muestra en el cuadro 14.1. El último término con S clientes (probabilidad no normalizada) q12(S) está compuesto por:

Por simple transposición resulta:

donde

La probabilidad de que todos los terminales estén "activados" se identifica con el ultimo término (normalizado por la suma) (S terminales en el nodo 1, cero terminales en el nodo 2):

(133000)

- 262 -

que es la fórmula B de Erlang. Así, el resultado está de acuerdo con el obtenido en el § 12.5. Se observa que λ aparece con la misma potencia en todos los términos de q1,2(S) y así corresponde a una constante que desaparece cuando se normaliza.

Cuadro 14.1 − Algoritmo de convolución aplicado al modelo máquina – Reparador de Palm. El nodo 1 es un sistema IS mientras que el nodo 2 es un

sistema M/M/1 (véase el ejemplo 14.4.1)

Estado

i

Nodo 1

q1(i)

Nodo 2

q2(i)

Red de puesta en fila

q12 = q1 * q2

Ejemplo 14.4.2: Servidor central En 1971 J.P. Buzen introdujo el modelo de servidor central que se ilustra en la figura 14.6 para modelar un sistema informático multiprogramado con una CPU y un número de canales de entrada/salida (unidades periféricas). El grado de multiprogramación S describe la cantidad de operaciones procesadas simultáneamente. El número de unidades periféricas se representa por K − 1 como se muestra en la figura 14.6, que también indica las probabilidades de transición.

Típicamente una operación requiere servicios cientos de veces, ya sea por la unidad central o bien por uno de los periféricos. Se supone que la operación una vez finalizada es inmediatamente remplazada por otra; por tanto S es constante. Los tiempos de servicios están todos distribuidos exponencialmente con intensidad μi (i = 1, . . . ,K).

Buzen formuló un esquema para evaluar este sistema. El esquema es un caso especial del algoritmo de convolución. Sea un caso con S = 4 clientes y K = 3 nodos, y:

(133000)

- 263 -

Figura 14.6 – Sistema de puesta en fila de servidor central constituido por un servidor central (CPU) y (K−1) canales de entrada/salida. En el sistema

circula un número fijo de operaciones S


1) S operaciones de circulación


3) Canales entrada/salida

Las cargas relativas resultan:

Si se aplica el algoritmo de convolución se obtienen los resultados que figuran en el cuadro 14.2. El término q123(4) está compuesto por:

El nodo 3 sirve a los clientes en todos los estados con excepción del estado q3(0) . q12(4) = 5. La utilización del nodo 3 es por tanto a3 = 52/57. Basado en las cargas relativas se obtienen ahora las cargas exactas:

El promedio del número de clientes en el nodo 3 es:

Cambiando el orden de convolución se obtiene el promedio de longitudes de fila de espera L1 y L2 y concluye con:

(133000)

- 264 -

Cuadro 14.2 – Algoritmo de convolución aplicado al sistema del servidor central

Estado Nodo 1 Nodo 2 Nodo 1*2 Nodo 3 Red de puesta en fila

i q1(i) q2(i) q12 = q1 * q2 q3 q123 = (q1 * q2) * q3

0

1

2

3

4

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

3

4

5

1

2

4

8

16

1

4

11

26

57

La suma de todos los promedios de longitudes de filas de espera es, por supuesto, igual al número de clientes S. Se debe señalar que en redes de puesta en fila se define la longitud de la fila de espera como la cantidad total de clientes en el nodo, incluidos los que están recibiendo un servicio. De los tiempos medios de servicio y de utilización se obtiene el promedio de número de clientes que concluyen el servicio por unidad de tiempo en cada nodo:

Aplicando el resultado de Little se obtiene finalmente el tiempo medio de estado: Wk = Lk /λk:

14.4.2 Algoritmo de valor medio El algoritmo de valor medio (MVA, mean value algorithm) es un mecanismo para calcular medidas de calidad de funcionamiento de redes de puesta en fila de espera. Combina de excelente manera dos resultados principales de la teoría de puesta en fila de espera: el teorema de llegada (§ 8.28) y la ley de Little (§ 5.20). El algoritmo fue publicado por primera vez por Lavenberg y Reiser (1980 [73]).

En el mismo se considera una red de puesta en fila con K nodos y S clientes (todos pertenecientes a una sola cadena). Las cargas relativas de los nodos se simbolizan por αk (k = 1, 2, . . . ,K). El algoritmo es recurrente en el número de clientes, es decir, una red con x clientes se evalúa a partir de una red con x−1 clientes.

Supóngase que el promedio de la cantidad de clientes en el nodo k es Lk(x) donde x es el número de clientes total en la red. Obviamente:

(133000)

- 265 -

El algoritmo actúa recurrentemente en dos pasos:

Paso 1:

Aumentar el número de clientes de x a (x + 1). Conforme al teorema de llegada, el (x + 1)-ésimo cliente verá el sistema como si éste tuviera x clientes en equilibrio estadístico. Por tanto, el promedio de tiempo de ocupación (tiempo de espera, + tiempo en servicio) en el nodo k es:

• Para M/M/1, M/G/1−PS, M/G/1, y LCFS−PR:

• para M/G/∞:

donde sk es el promedio del tiempo de servicio en el nodo k que tiene nk servidores. En razón que solo se calcula el tiempo medio de espera, se puede suponer el criterio de fila de espera FCFS.

Paso 2:

Se aplica la ley de Little (L = λ .W), que es válida para todos los sistemas en equilibrio estadístico. Para el nodo k se tiene Lk = λk . Wk, donde λk es la velocidad de llegada relativa al nodo k. Se tiene

La constante c se obtiene del número total de clientes:

Mediante estos dos pasos se ha efectuado la recursión de x a (x + 1) clientes. Para x = 1 no habrá tiempo de espera en el sistema y Wk(1) es igual al promedio del tiempo de servicio sk.

El algoritmo MVA se indica a continuación para nodos de un solo servidor, pero es bastante sencillo generalizarlo a nodos con criterios de múltiples servidores, o bien infinitos servidores.

Ejemplo 14.4.3: Modelo de servidor central Se aplica el algoritmo MVA al modelo de servidor central (véase el ejemplo 14.4.2). Las velocidades de llegada relativa son:

(133000)

- 266 -

Nodo 1 Nodo 2 Nodo 3

Naturalmente, el resultado es idéntico al obtenido con el algoritmo de convolución. El tiempo de permanencia en cada nodo (utilizando la unidad de tiempo original) es el siguiente:

W1(4) = 1,6154 . 28 = 45,23,

W2(4) = 1,6154 . 40 = 64,62,

W3(4) = 2,7693 . 280 = 775,38,

Ejemplo 14.4.4: Algoritmo MVA aplicado al modelo máquina - reparador Se examina el modelo máquina - reparación con S fuentes, tiempo de activación del terminal A y tiempo de servicio−CPU igual a una unidad de tiempo. Como se indicó en el § 12.5.2 esto es equivalente a un sistema de pérdidas de Erlang con S servidores y tráfico ofrecido A. Es también una red de puesta en fila cerrada con dos nodos y S clientes en una cadena. Si se aplica el algoritmo MVA a este sistema se obtendrá entonces la fórmula de recursión para la fórmula B de Erlang (véase el § 7.27). Las velocidades de visita relativa son idénticas, pues un cliente visita alternativamente el nodo 1 y el nodo 2: λ1 = λ2 = 1.

Nodo 1 Nodo 2

(133000)

- 267 -

Se sabe que la longitud de la fila de espera en los terminales (nodo 1) es igual al tráfico transportado en el sistema B de Erlang equivalente y que todos los otros clientes se quedan en la CPU (nodo 2). Así tenemos en general:

Nodo 1 Nodo 2

De esto se obtiene la constante de normalización c = 1 − Ex(A) y se calcula para el (x+1)-ésimo cliente:

pues se sabe que c = 1- Ex+1. Esta es la formula de recursión para la fórmula B de Erlang.

14.5 Redes de puesta en fila BCMP En 1975 el modelo de Jackson fue ulteriormente generalizado por Baskett, Chandy, Muntz y Palacios (1975 [4]). Se demostró que las redes de puesta en fila con más de un tipo de clientes también tienen forma de producto, siempre que:

a) Cada nodo es un sistema de puesta en fila simétrico (véase el § 14.2: proceso de llegada de Poisson ⇒ proceso de salida de Poisson).

b) Los clientes se clasifican en N canales. Cada canal se caracteriza por su propio tiempo de servicio medio si y por las probabilidades de transición pij. Además, un cliente puede cambiar de un canal a otro con una determinada probabilidad después de haber terminado el servicio en un nodo. Si el criterio de puesta en fila en un nodo es M/M/n (incluido M/M/1) se aplica una restricción: el promedio del tiempo de servicio debe ser idéntico para todos los canales en un nodo.

Las redes BCMP pueden ser evaluadas con el algoritmo de convolución multidimensional así como con el algoritmo MVA multidimensional. Estos dos algoritmos se describirán más adelante. Las redes de puesta en fila mixtas (abiertas y cerradas) se proyectan calculando primero la carga de tráfico en cada nodo de las cadenas abiertas. Este tráfico debe ser transportado para que entren en equilibrio estadístico. La capacidad de los nodos está reducida por este tráfico, y la red de puesta en fila cerrada se calcula por la capacidad reducida. Por tanto, el problema principal es calcular redes cerradas.

Para ello, se utilizarán más algoritmos entre los cuales los más importantes son el algoritmo de convolución y el algoritmo MVA.

(133000)

- 268 -

14.6 Redes de puesta en fila multidimensionales En esta sección se estudiarán redes de puesta en fila con más de un tipo de clientes. Los clientes del mismo tipo pertenecen a una clase o canal específico. En el Capítulo 10 se analizaron sistemas de pérdidas con diversos tipos de clientes (servicios) y se observó que se mantuvo la forma de producto y que se podía aplicar el algoritmo de convolución.

14.6.1 Sistema de puesta en fila de un solo servidor M/M/1

Figura 14.7 – Sistema de puesta en fila M/M/1 con dos tipos (de cadenas) de clientes

La figura 14.7 ilustra un sistema de puesta en fila de un solo servidor con N = 2 tipos de clientes (cadenas). Los clientes llegan al sistema conforme a un proceso de llegada de Poisson con intensidad λj (j = 1, 2). El estado (i, j) se define como un estado con i clientes tipo 1 y j clientes tipo 2. La intensidad de servicio μi,j en el estado (i, j) se puede seleccionar pues ésta depende del estado, por ejemplo:

La velocidad del servicio se puede interpretar de diversas maneras conforme al sistema simétrico de puesta en fila de un solo servidor. Una interpretación corresponde a la compartición del procesador, es decir, todos los (i + j) clientes comparten el servidor y la capacidad de éste es constante. La dependencia del estado es debida a la diferencia en velocidades de servicio entre los dos tipos de clientes; es decir, el número de clientes que ha terminado su operación por unidad de tiempo depende de los tipos de clientes a los que se le está dando servicio.

Otra interpretación corresponde a un sistema M/M/1. Si se supone μ1 = μ2, se puede determinar que el cliente se le da servicio con probabilidad i/(i+j) de tipo 1, y con probabilidad j/(i+j) de tipo 2. Esto es independiente del criterio de servicio.

(133000)

- 269 -

Figura 14.8 – Diagrama de transición de estado para un sistema M/M/1 multidimensional con compartición de procesador

En la figura 14.8 se ilustra parte del diagrama de transición de estado. El diagrama es reversible, pues el flujo que circula en sentido horario es igual al flujo que circula en sentido antihorario. Por lo tanto, hay equilibrio local y todas las probabilidades de estado se pueden expresar por p(0, 0):

Normalizando la expresión se tiene que p(0, 0):

En comparación con la fórmula B de Erlang multidimensional se tiene ahora el factor adicional (i+j)!. El producto entre cadenas (dentro de un nodo) se pierde, pero el producto entre nodos se mantendrá aún.

Si hay N tipos de clientes (cadenas) diferentes, las probabilidades de estado para un solo nodo resulta:

Esto se puede expresar por la distribución polinómica (4.37):

(133000)

- 270 -

Para un número ilimitado de posiciones de puesta en fila las probabilidades de estado del número total de clientes son:

Si μi = μ, el sistema es idéntico a un sistema M/M/1 con velocidad de llegada λ = Σi λi:

Para obtener este resultado se utiliza la expansión binomial. El diagrama de transición de estado de la figura 14.8 también se puede interpretar como el diagrama de transición de estado de un sistema M/G/1, LCFS-PR (con derecho prioritario). Es obvio que este sistema sea reversible pues el proceso sigue exactamente el mismo trayecto en el diagrama de transición de estado fuera del estado cero y retorno a dicho estado.

El diagrama de transición de estado se puede mostrar diferente a la distribución del tiempo de servicio, de modo que es válido para el sistema de puesta en fila M/G/1. La figura 14.8 corresponde a un diagrama de transición de estado para un sistema de puesta en fila de un solo servidor con tiempos de servicios distribuidos hiperexponencialmente (véase (10.7)), por ejemplo M/H2/1-LCFS-PR o PS.

Cabe señalar que para el sistema M/M/1 (FCFS, LCFS, SIRO) es necesario suponer que todos los clientes tienen el mismo tiempo medio de servicio, que debe estar distribuido en forma exponencial. De otro modo, el cliente a quien se le está dando servicio no será del tipo aleatorio que se encuentra entre los (i + j) clientes en el sistema.

En conclusión, los sistemas de puesta en fila de un solo servidor con más tipos de clientes sólo tendrá forma de producto cuando el nodo es un sistema de puesta en fila simétrico: M/G/1-PS, M/G/1-LCFS PR, o M/M/1 con el mismo tiempo de servicio para todos los clientes.

14.6.2 Sistema de puesta en fila M/M/n

El tráfico anterior se puede transportar a través de un sistema con n servidores. Para (i + j) ≤ n se tiene las mismas probabilidades de estado relativas que para la fórmula B de Erlang multidimensional. Para (i + j) > n sólo se obtiene una interpretación simple cuando μi = μ, es decir, cuando todos los tipos de clientes (cadenas) tienen el mismo tiempo medio de ocupación. Se calcula entonces las probabilidades de estado aplicando la ecuación (14.1), y el sistema tiene forma de producto. El sistema M/M/∞ se puede considerar como un caso especial de M/M/n y ya ha sido tratado en relación con sistemas de pérdidas (véase el Capítulo 12).

14.7 Redes cerradas de puesta en fila con múltiples cadenas El tratamiento de redes de puesta en fila con múltiples cadenas es análogo al caso con una sola cadena. La única diferencia es que las fórmulas y algoritmos clásicos están reemplazados por las fórmulas multidimensionales pertinentes.

(133000)

- 271 -

14.7.1 Algoritmo de convolución El algoritmo es esencialmente el mismo que en el caso de una sola cadena:

• Paso 1. Considérese cada canal como si fuera el único de la red. Obténgase la carga relativa en cada nodo resolviendo la ecuación (14.5) de equilibrio de flujo. En un nodo de referencia arbitrario se supone que la carga es igual a uno. Para cada cadena se puede determinar un nodo diferente como nodo de referencia. Para la cadena j en el nodo k se obtiene la intensidad de llegada relativa (el índice superior indica la cadena) mediante la siguiente expresión:

jkλ

donde:

K = cantidad de nodos,

N = cantidad de cadenas, j

ikp = probabilidad que un cliente de la cadena j pase del nodo i al nodo k.

Se determina un nodo arbitrario como nodo de referencia, por ejemplo nodo 1, es decir = 1. La carga relativa en el nodo k debido a clientes de la cadena j es entonces:

j1λ

donde es el tiempo medio de servicio en el nodo k para clientes de la cadena j. Cabe señalar que j es un índice superior y no una potencia.

jks

• Paso 2. Basado en las cargas relativas halladas en el paso 1, obténganse las probabilidades de estado multidimensionales para cada nodo. Cada nodo se considera aislado y se corta el espacio del estado conforme al número de clientes en cada cadena. Por ejemplo para el nodo k (1 ≤ k ≤ K):

pk = pk(i1, i2, . . . ,iN), 0 ≤ ij ≤ Sj, j = 1, 2, . . . N,

donde Sj es el número de clientes en la cadena j.

• Paso 3. Para hallar las probabilidades de estado de toda la red, las probabilidades de estado de cada nodo se plantean de forma similar al caso de una sola cadena. La única diferencia es que la convolución es multidimensional. Cuando se efectúa la última convolución se pueden obtener las medidas de calidad de funcionamiento desde la última cadena. Nuevamente, al cambiar el orden de los nodos, se pueden obtener las medidas de calidad de funcionamiento de todos los nodos.

La cantidad de estados aumenta rápidamente. Por ejemplo, si la cadena j tiene Sj, el número total de estados en cada nodo será:

La cantidad de modos en que N cadenas con Sj clientes en la cadena j pueden ser distribuidos en una red de puesta en fila con K nodos se calcula con la siguiente expresión:

(133000)

- 272 -

donde kj (1 ≤ kj < k) es el número de nodos visitados por la cadena j y:

El algoritmo se ilustra mejor con un ejemplo.

Ejemplo 14.7.1: Modelo máquina – reparador de Palm con dos tipos de clientes Como se vio en el ejemplo 14.4.1, este sistema se puede modelar con una red de puesta en fila con dos nodos. El nodo 1 corresponde a los terminales (máquinas) mientras que el nodo 2 es la CPU (reparador). El nodo 2 es un sistema de servidor único mientras que el nodo 1 está modelado como sistema de servidor infinito. El número de clientes en las cadenas son (S1 = 2; S2 = 3) y el tiempo medio de servicio en el nodo k es . La carga relativa de la cadena 1 se representa por αj

ks 1 en el

nodo 1 y por α2 en el nodo 2. En forma similar, la carga de la cadena 2 se simboliza por β1 y β2, respectivamente. Aplicando el algoritmo de convolución se tiene:

• Paso 1.

Cadena 1: S1 = 2 clientes Carga relativa: α2 = λ1. 1

1s , α2 = λ1 . 12s .

Cadena 2: S2 = 3 clientes

Carga relativa: β1 = λ2 . 21s , β2 = λ2 . 2

2s .

• Paso 2.

Para el nodo 1 (IS) las probabilidades de estado relativas son (véase 14.1):

(133000)

- 273 -

Para el nodo 2 (servidor único) (véase 14.15) resulta:

• Paso 3.

Se ponen los dos nodos en convolución. Se sabe que el número total de clientes es (2, 3), es decir, sólo hay interés en el estado (2, 3):

Utilizando los valores reales se tiene:

Se debe señalar que α1 y α2 juntos (cadena 1) siempre aparecen en la segunda potencia mientras que β1 y β2 (cadena 2) aparecen en la tercera potencia correspondiente al número de clientes en cada cadena. Debido a esto, sólo las cargas relativas son pertinentes, y las probabilidades absolutas se obtienen por proceso de normalización dividiendo todos los términos por q12(2, 3). Las probabilidades de estado detalladas son ahora fáciles de obtener. Sólo en el estado con el término ( .2

1α )/12 está la CPU (reparador) inactiva. Si los dos tipos de clientes son idénticos el ejemplo se simplifica al modelo de máquina - reparador de Palm con cinco terminales. En este caso se tiene:

31β

(133000)

- 274 -

Si α1 = β1 = α y α2 = β2 = 1, resulta:

es decir, se espera la fórmula B de Erlang.

14.8 Otros algoritmos para redes de puesta en fila El algoritmo MVA es también aplicable a redes de puesta en fila con más cadenas, pero no se describirá en el presente Manual. Durante el último decenio se han publicado diversos algoritmos. Un panorama general se puede encontrar en (Conway y Georganas, 1989 [16]). En general, los algoritmos exactos no son aplicables para redes amplias. Por tanto, se han elaborado muchos algoritmos aproximados para ser aplicados en redes de puesta en fila de dimensiones realistas.

14.9 Complejidad Las redes de puesta en fila tienen la misma complejidad que las redes de circuito conmutados con encaminamiento directo (véase el § 11.5 y el cuadro 11.1). El espacio de estado de la red que figura en el cuadro 14.3 tiene el siguiente número de estados para cada nodo:

El caso más desfavorable se produce cuando cada cadena está constituido por un cliente. El número de estado entonces resulta 2S, donde S es el número de cliente.

Cuadro 14.3 – Parámetros de una red de puesta en fila con N cadenas, K nodos y Σi Si clientes. El parámetro αjk indica la carga de

la cadena j en el nodo k (véase el cuadro 11.1)

Cadena Nodo

Dimensión de la población

14.10 Atribución de la capacidad óptima Se considera ahora un sistema de transmisión de datos con K nodos, que son sistemas independientes de puesta en fila de un solo servidor M/M/1 (sistema de demora de Erlang con un servidor). El proceso de llegada al nodo k es un proceso de Poisson con mensajes de intensidad λk

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(clientes) por unidad de tiempo, y el tamaño del mensaje está distribuido exponencialmente con el valor medio 1/μk [bits]. La capacidad del nodo k es ϕk [bits por unidad de tiempo].

Se introduce en la capacidad total la restricción lineal siguiente:

Para cada atribución de capacidad que satisface la ecuación (14.21), se tiene el tiempo medio de permanencia (promedio de llamada) siguiente (véase el § 12.4.1, combinación en paralelo):

donde:

Definiendo:

se obtiene la ley de Kleinrock para atribución de capacidad óptima (Kleinrock, 1964 [65]).

Teorema 14.2 ley de las raíces cuadradas de Kleinrock: La atribución de capacidad óptima que reduce T al mínimo (y así el número total de mensajes en todos los nodos) es:

con la condición que:

Con esta atribución óptima resulta:

En esta expresión se indica que a todos los nodos se atribuye primero la capacidad mínima necesaria λi/μi. La capacidad restante:

se atribuye entre los nodos en forma proporcional a la raíz cuadrada del flujo medio λk/μk.

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Esto se puede determinar introduciendo el multiplicador de Lagrange ϑ y considerar:

El valor mínimo de G se obtiene calculando ϕk conforme a la ecuación (14.26). Si todos los mensajes tienen el mismo valor medio μk=μ, (se puede considerar entonces diferentes costos en los nodos conforme a la restricción que se disponga de un monto fijo (Kleinrock, 1964 [65]).

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- 277 -

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- 278 -

BIBLIOGRAFÍA

[1] Abate, J. & Whitt, W. (1997): Limits and approximations for the M/G/1 LIFO waiting−time distribution. Operations Research Letters, Vol. 20 (1997): 5, 199−206.

[2] Andersen, B. & Hansen, N.H. & og Iversen, V.B. (1971): Use of minicomputer for telephone traffic measurements. Teleteknik (Edición inglesa) Vol. 15 (1971): 2, 33−46.

[3] Ash, G.R. (1998): Dynamic routing in telecommunications networks. McGraw-Hill 1998. 746 pp.

[4] Baskett, F. & Chandy, K.M. & Muntz, R.R. & Palacios, F.G. (1975): Open, Closed and Mixed Networks of Queues with Different Classes of Customers. Journ. of the ACM, abril 1975, pp. 248−260. (BCMP queueing networks).

[5] Bear, D. (1988): Principles of telecommunication traffic engineering. Revised 3rd Edition. Peter Peregrinus Ltd, Stevenage 1988. 250 pp.

[6] Bech, N.I. (1954): Metode til Beregning af Spærring i Alternativ Trunking- og Grade-ringssystemer. Teleteknik, Vol. 5 (1954) : 4, pp. 435−448.

[7] Bolotin, V.A. (1994): Telephone circuit holding time distributions. ITC 14, 14th International Teletraffic Congress. Antibes Juan-les-Pins, France, junio 6-10. 1994. Proceedings pp. 125−134. Elsevier 1994.

[8] Boots, N.K. & Tijms, H. (1999): A multiserver queueing system with impatient customers. Management Science, Vol. 45 (1999) : 3, 444−448.

[9] Bretschneider, G. (1956): Bie Berechnung von Leitungsgruppen für überfließenden Verkehr. Nachrichtentechnische Zeitschrift, NTZ, Vol. 9 (1956) : 11, 533−540.

[10] Bretschneider, G. (1973): Extension of the equivalent random method to smooth traffics. ITC−7, Seventh International Teletraffic Congress, Estocolmo, junio 1973. Paper 411. 9 pp.

[11] Brockmeyer, E. (1954): The simple overffow problem in the theory of telephone traffic. Teleteknik 1954, pp. 361-374. En Danés. Traducido al inglés por la Copenhagen Telephone Company, abril 1955. 15 pp.

[12] Brockmeyer, E. & Halstrøm, H.L. & Jensen, Arne (1948): The life and works of A.K. Erlang. Transactions of the Danish Academy of Technical Sciences, 1948, No. 2, 277 pp. Copenhague 1948.

[13] Burke, P.J. (1956): The Output of a Queueing System. Operations Research, Vol. 4 (1956), 699−704.

[14] Christensen, P.V. (1914): The number of selectors in automatic telephone systems. The Post Office Electrical Engineers Journal, Vol. 7 (1914) 271-281.

[15] Cobham, A. (1954): Priority assignment in waiting line problems. Operations Research, Vol. 2 (1954), 70−76.

[16] Conway, A.E. & Georganas, N.D. (1989): Queueing Networks −- Exact Computational Algorithms: A Unified Theory Based on Decomposition and Aggregation. The MIT Press 1989. 234 pp.

[17] Cooper, R.B. (1972): Introduction to Queueing Theory. Nueva York 1972. 277 pp.

[18] Cox, D.R. (1955): A Use of Complex Probabilities in the Theory of Stochastic Processes. Proc. Camb. Phil. Soc., Vol. 51 (1955), pp. 313−319.

(133000)

- 279 -

[19] Cox, D.R. & Miller, H.D. (1965): The Theory of Stochastic Processes. Methuen & Co. Londres 1965. 398 pp.

[20] Cox, D.R.& Isham, V. (1980): Point Processes. Chapman and Hall. 1980. 188 pp.

[21] Crommelin, C.D. (1932): Delay Probability Formulae When the Holding Times are Constant. Post Office Electrical Engineers Journal, Vol. 25 (1932), pp. 41−50.

[22] Crommelin, C.D. (1934): Delay Probability Formulae. Post Office Electrical Engineers Journal, Vol. 26 (1934), pp. 266−274.

[23] Delbrouck, L.E.N. (1983): On the steady−state distribution in a service facility carrying mixtures of traffic with different peakedness factor and capacity requirements. IEEE Transactions on Communications, Vol. COM-31 (1983): 11, 1209−1211.

[24] Dickmeiss, A. & Larsen, M. (1993): Spærringsberegninger i telenet. Master's thesis. Institut for Telekommunikation, Danmarks Tekniske Højskole, 1993. 141 pp.

[25] Eilon, S. (1969): A simpler proof of L = λW. Operations Research, Vol. 17 (1969), pp. 915−917.

[26] Elldin, A., and G. Lind (1964): Elementary Telephone Traffic Theory. Chapter 4. L.M. Ericsson AB, Estocolmo 1964. 46 pp.

[27] Engset, T.O. (1918): Die Wahrscheinlichkeitsrechnung zur Bestimmung der Wählerzahl in automatischen Fernsprechämtern. Elektrotechnische Zeitschrift, 1918, Heft 31. Traducido al inglés por Telektronikk (Noruega), junio 1991, 4pp.

[28] Eslamdoust, C. (1995): Design of large communication networks. Master's thesis. Department of Telecommunication, Technical University of Denmark, 1995. 108 + 133 pp.

[29] Feller, W. (1950): An introduction to probability theory and its applications. Vol. 1, Nueva York 1950. 461 pp.

[30] Fortet, R. & Grandjean, Ch. (1964): Congestion in a loss system when some calls want several devices simultaneously. Electrical Communications, Vol. 39 (1964) : 4, 513−526. Documento presentado al ITC−4, Cuarto Congreso Internacional de Teletráfico, Londres, Inglaterra 15−21 julio 1964.

[31] Fredericks, A.A. (1980): Congestion in blocking systems − a simple approximation technique. The Bell System Technical Journal, Vol. 59 (1980): 6, 805−827.

[32] Fry, T.C. (1928): Probability and its engineering uses. Nueva York 1928, 470 pp.

[33] Gordon, W.J, and & Newell, G.F. (1967): Closed queueing systems with exponential servers. Operations Research, Vol. 15 (1967), pp. 254−265.

[34] Grillo, D. & Skoog, R.A. & Chia, S. & Leung, K.K. (1998): Teletraffic engineering for mobile personal communications in ITU−T work: the need to match theory to practice. IEEE Personal Communications, Vol. 5 (1998): 6, 38−58.

[35] Hayward, W.S. Jr. (1952): The reliability of telephone traffic load measurements by switch counts. The Bell System Technical Journal, Vol. 31 (1952): 2, 357−377.

[36] ITU-T (UIT-T) (1993): Unidad de intensidad de tráfico. Recomendación UIT-T B.18. 1993. 1 p.

[37] Iversen, V.B. (1973): Analysis of real teletraffic processes based on computerized measurements. Ericsson Technics, No. 1, 1973, pp. 1−64. "Holbæk measurements".

(133000)

- 280 -

[38] Iversen, V.B. (1976): On the accuracy in measurements of time intervals and traffic intensities with application to teletraffic and simulation. Ph.D.−thesis. IMSOR, Technical University of Denmark 1976. 202 pp.

[39] Iversen, V.B. (1976): On General Point Processes in Teletraffic Theory with Applications to Measurements and Simulation. ITC-8, Eighth International Teletraffic Congress, paper 312/1−8. Melbourne 1976. Publicado en Teleteknik (Edición inglesa) 1977 : 2, pp. 59−70.

[40] Iversen, V.B. (1980): The A-formula. Teleteknik (Edición inglesa), Vol. 23 (1980) : 2, 64−79.

[41] Iversen, V.B. (1982): Exact Calculation of Waiting Time Distributions in Queueing Systems with Constant Holding Times. Fjerde Nordiske Teletrafik Seminar (NTS-4), Fourth Nordic Teletraffic Seminar, Helsinki 1982. 31 pp.

[42] Iversen, V.B. (1987): The exact evaluation of multi−service loss system with access control. Teleteknik, Edición inglesa, Vol 31 (1987) : 2, 56-61. NTS−7, Seventh Nordic Teletraffic Seminar, Lund, Suecia, 25−27 de agosto, 1987, 22 pp.

[43] Iversen, V.B. & Nielsen, B.F. (1985): Some properties of Coxian distributions with applications, pp. 61−66 in Proceedings of the International Conference on Modelling Techniques and Tools for Performance Analysis. 5-7 de junio, 1985, Valbonne, Francia. North−Holland Publ. Co. 1985. 365 pp. (Editor N. Abu El Ata).

[44] Iversen, V.B. & Stepanov, S.N. (1997): The usage of convolution algorithm with truncation for estimation of individual blocking probabilities in circuit-switched telecommunication networks. Proceedings of the 15th International Teletraffic Congress, ITC 15, Washington, DC, USA, 22-27 de junio 1997. 1327−1336.

[45] Iversen, V.B. & Sanders, B. (2001): Engset formulæ with continuous parameters − theory and applications. AEÜ, International Journal of Electronics and Communications, Vol. 55 (2001): 1, 3-9.

[46] Jackson, J.R. (1957): Networks of waiting lines. Operations Research, Vol. 5 (1957), pp. 518−521.

[47] Jackson, J.R. (1963): Jobshop-like queueing systems. Management Science, Vol. 10 (1963), No. 1, pp. 131−142.

[48] Jensen, Arne (1948): An Elucidation of A.K. Erlang's Statistical Works through the Theory of Stochastic Processes. Published in "The Erlangbook": E. Brockmeyer, H.L. Halstrøm and A. Jensen: The Life and Works of A.K. Erlang. København 1948, pp. 23−100.

[49] Jensen, Arne (1948): Truncated multidimensional distributions. Pages 58−70 in "The Life and Works of A.K. Erlang". Ref. Brockmeyer et al., 1948.

[50] Jensen, Arne (1950): Moe's Principle − An econometric investigation intended as an aid in dimensioning and managing telephone plant. Theory and Tables. Copenhague 1950. 165 pp.

[51] Jerkins, J.L. & Neidhardt, A.L. & Wang, J.L. & Erramilli A. (1999): Operations measurement for engineering support of high-speed networks with self-similar traffic. ITC-16, 16th International Teletraffic Congress, Edinburgo, 7-11 de junio, 1999. Proceedings pp. 895−906. Elsevier 1999.

[52] Johannsen, Fr. (1908): "Busy". Copenhague 1908. 4 pp.

(133000)

- 281 -

[53] Johansen, K. & Johansen, J. & Rasmussen, C. (1991): The broadband multiplexer, "transMux 1001". Teleteknik, Edición inglesa, Vol. 34 (1991) : 1, 57−65.

[54] Joys, L.A.: Variations of the Erlang, Engset and Jacobæus Formulæ, Proceedings of the Fifth International Teletraffic Congress (ITC-5), Nueva York, USA, 1967, 107−111. También publicado en: Teleteknik, (Edición inglesa), 11 (1967), No. 1, 42−48.

[55] Joys, L.A. (1968): Engsets Formler for Sannsynlighetstetthet og dens Rekursionsformler. (Fórmulas de Engset para probabilidad y sus fórmulas recursivas, en noruego). Telektronikk 1968 No 1−2, pp. 54−63.

[56] Joys, L.A. (1971): Comments on the Engset and Erlang formulae for telephone traffic losses. Thesis. Report TF No. 25,/71, Research Establishment, The Norwegian Telecommunications Administration. 1971. 127 pp.

[57] Karlsson, S.A. (1937): Tekniska anordninger fö samtalsdebitering enligt tid. Helsingfors Telefonförening, Tekniska Meddelanden 1937, No. 2, pp. 32−48.

[58] Kaufman, J.S. (1981): Blocking in a shared resource environment. IEEE Transactions on Communications, Vol. COM-29 (1981) : 10, 1474−1481.

[59] Keilson, J. (1966): The ergodic queue length distribution for queueing systems with finite capacity. Journal of Royal Statistical Society, Series B, Vol. 28 (1966), 190−201.

[60] Kelly, F.P. (1979): Reversibility and Stochastic Networks. John Wiley & Sons, 1979. 230 pp.

[61] Kendall, D.G. (1951): Some problems in the theory of queues. Journal of Royal Statistical Society, Series B, Vol. 13 (1951) : 2, 151−173.

[62] Kendall, D.G. (1953): Stochastic processes occuring in the theory of queues and their analysis by the method of the imbedded Markov chain. Ann. Math. Stat., Vol. 24 (1953), 338−354.

[63] Khintchine, A.Y. (1955): Mathematical Methods in the Theory of Queueing. Londres 1960. 124 pp. (Original en Ruso, 1955).

[64] Kingman, J.F.C. (1969): Markov population processes. J. Appl. Prob., Vol. 6 (1969), 1−18.

[65] Kleinrock, L. (1964): Communication Nets: Stochastic Message Flow and Delay. McGraw−Hill 1964. Reimpreso por Dover Publications 1972. 209 pp.

[66] Kleinrock, L. (1975): Queueing Systems. Vol. I: Theory. Nueva York 1975. 417 pp.

[67] Kleinrock, L. (1976): Queueing Systems. Vol. II: Computer Applications. Nueva York 1976. 549 pp.

[68] Kosten, L. (1937): Über Sperrungswahrscheinlichkeiten bei Staffelschaltungen. Elek. Nachr. Techn., Vol. 14 (1937) 5−12.

[69] Kraimeche, B. & Schwartz, M. (1983): Circuit Access Control Strategies in integrated digital networks. IEEE INFOCOM, 9-12 de abril, 1984, San Francisco, USA, Proceedings pp. 230−235.

[70] Kruithof, J. (1937): Telefoonverkehrsrekening. De Ingenieur, Vol. 52 (1937) : E15−E25.

[71] Kuczura, A. (1973): The interrupted Poisson process as anflover ow process. The Bell System Technical Journal, Vol. 52 (1973) : 3, pp. 437−448.

(133000)

- 282 -

[72] Kuczura, A. (1977): A method of moments for the analysis of a switched communication network's performance. IEEE Transactions on Communications, Vol. Com−25 (1977): 2, 185−193.

[73] Lavenberg, S.S. & Reiser, M. (1980): Mean−value analysis of closed multichain queueing networks. Journal of the Association for Computing Machinery, Vol. 27 (1980): 2, 313−322.

[74] Lind, G. (1976): Studies on the probability of a called subscriber being busy. ITC−8, Melbourne, noviembre de 1976. Paper 631. 8 pp.

[75] Listov−Saabye, H. & Iversen V.B. (1989): ATMOS, a PC−based tool for evaluating multi−service telephone systems. IMSOR, Technical University of Denmark 1989, 75 pp. (en danés).

[76] Little, J.D.C. (1961): A proof for the queueing formula L = λW. Operations Research, Vol. 9 (1961) : 383−387.

[77] Maral, G. (1995): VSAT Networks. John Wiley & Sons, 1995. 282 pp.

[78] Marchal, W.G. (1976): An approximate formula for waiting time in single server queues. AIIE Transactions, diciembre de 1976, 473−474.

[79] Nguyen, Than-Bang: Trafikplanlægningssystemet TES under Windows. Master's thesis. Department of Telecommunication, Technical University of Denmark 1995. 74 + 93 pp.

[80] Palm, C. (1941): Mättnoggrannhet vid bestämning af trafikmängd enligt genomsök-ningsförfarandet (Exactitud de las mediciones en la determinación de volúmenes de tráfico por el método de barrido). Tekn. Medd. K. Telegr. Styr., 1941, No. 7−9, pp. 97−115.

[81] Palm, C. (1943): Intensitätsschwankungen im Fernsprechverkehr. Ericsson Technics, No. 44, 1943, 189 pp. Traducción al inglés por Chr. Jacobæus: Intensity Variations in Telephone Traffic. North−Holland Publ. Co. 1987.

[82] Palm, C. (1947): The assignment of workers in servicing automatic machines. Journal of Industrial Engineering, Vol. 9 (1958) : 28−42. Primera publicación en Suecia en 1947.

[83] Palm, C. (1947): Table of the Erlang Loss Formula. Telefonaktiebolaget L M Ericsson, Estocolmo 1947. 23 pp.

[84] Palm, C. (1957): Some propositions regarding flat and steep distribution functions, pp. 3−17 in TELE (Edición inglesa), No. 1, 1957.

[85] Pinsky, E. & Conway, A.E. (1992): Computational algorithms for blocking probabilities in circuit−switched networks. Annals of Operations Research, Vol. 35 (1992) 31−41.

[86] Postigo−Boix, M. & García−Haro, J. & Aguilar-Igartua, M. (2001): IMA: technical foundations, application and performance analysis. Computer Networks, Vol. 35 (2001) 165−183.

[87] Press, W.H. & Teukolsky, S.A. & Vetterling, W.T. & Flannery, B.P. (1995): Numerical recipes in C, the art of scientific computing. 2nd edition. Cambridge University Press, 1995. 994 pp.

[88] Rabe, F.W. (1949): Variations of telephone traffic. Electrical Communications, Vol. 26 (1949) 243−248.

[89] Riordan, J. (1956): Derivation of moments of overflow traffic. Appendix 1 (pp. 507−514) in (Wilkinson, 1956 [104]).

(133000)

- 283 -

[90] Roberts, J.W. (1981): A service system with heterogeneous user requirements − applications to multi−service telecommunication systems. Pages 423−431 in Performance of data communication systems and their applications. G. Pujolle (editor), North−Holland Publ. Co. 1981.

[91] Roberts, J.W. (2001): Traffic theory and the Internet. IEEE Communications Magazine Vol. 39 (2001) : 1, 94−99.

[92] Ross, K.W. & Tsang, D. (1990): Teletraffic engineering for product−form circuit−switched networks. Adv. Appl. Prob., Vol. 22 (1990) 657−675.

[93] Ross, K.W. & Tsang, D. (1990): Algorithms to determine exact blocking probabilities for multirate tree networks. IEEE Transactions on Communications. Vol. 38 (1990) : 8, 1266−1271.

[94] Rönnblom, N. (1958): Traffic loss of a circuit group consisting of both−way circuits which is accessible for the internal and external traffic of a subscriber group. TELE (Edición inglesa), 1959: 2, 79−92.

[95] Sanders, B. & Haemers, W.H. & Wilcke, R. (1983): Simple approximate techniques for congestion functions for smooth and peaked traffic. ITC−10, Tenth International Teletraffic Congress, Montreal, junio de 1983. Paper 4.4b−1. 7 pp.

[96] Stepanov, S.S. (1989): Optimization of numerical estimation of characteristics of multiflow models with repeated calls. Problems of Information Transmission, Vol. 25 (1989): 2, 67−78.

[97] Sutton, D.J. (1980): The application of reversible Markovp opulation processes to teletraffic. A.T.R. Vol. 13 (1980): 2, 3−8.

[98] Techguide (2001): Inverse Multiplexing − scalable bandwidth solutions for the WAN. Techguide (The Technologu Guide Series), 2001, 46 pp. <www.techguide.com>

[99] Vaulot, É. & Chaveau, J. (1949): Extension de la formule d'Erlang au cas ou le traffic est fonction du nombre d'abonnés occupés. Annales de Télécommunications, Vol. 4 (1949) 319−324.

[100] Veirø, B. (2002): Proposed Grade of Service chapter for handbook. Comisión de Estudio 2 del UIT-T, GT 3/2. Septiembre de 2001. 5 páginas.

[101] Villén, M. (2002): Overview of ITU Recommendations on traffic engineering. UIT−T Comisión de Estudio 2, COM 2-KS 48/2-E. Mayo de 2002. 21 pp.

[102] Wallström, B. (1964): A distribution model for telephone traffic with varying call intensity, including overflow traffic. Ericsson Technics, 1964, No. 2, pp. 183−202.

[103] Wallström, B. (1966): Congestion studies in telephone systems with overflow facilities. Ericsson Technics, No. 3, 1966, pp. 187−351.

[104] Wilkinson, R.I. (1956): Theories for toll traffic engineering in the U.S.A. The Bell System Technical Journal, Vol. 35 (1956) 421−514.

(133000)

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