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Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Operacionescon matrices

Determinantede una matriz

Propiedadesde losdeterminantes

Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa

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HEDIMA, Grupo de Innovación Didáctica

Departamento de Matemáticas

Universidad de Extremadura

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Tema:Matrices y

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Matrices

Operacionescon matrices

Determinantede una matriz

Propiedadesde losdeterminantes

Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa

Bloque: Álgebra lineal

Tema: Matrices y determinantes

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Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Operacionescon matrices

Determinantede una matriz

Propiedadesde losdeterminantes

Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa

Índice

Matrices

Operaciones con matrices

Determinante de una matriz

Propiedades de los determinantes

Aplicación: Cálculo de la matriz inversa

Bloque:ÁlgebraLineal

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Operacionescon matrices

Determinantede una matriz

Propiedadesde losdeterminantes

Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa

Matrices

Bloque:ÁlgebraLineal

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Operacionescon matrices

Determinantede una matriz

Propiedadesde losdeterminantes

Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa

Matrices

Definición

Se llama matriz de orden m× n con coeficientes en un cuerpo K (por logeneral, K = R o K = C) a un conjunto ordenado de escalaresaij ∈ K, i = 1, . . . ,m y j = 1, . . . , n, dispuestos en m filas y n columnas,formando un rectángulo. Se representa por

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

......

...am1 am2 . . . amn

.

Las matrices de orden n× n con coeficientes en K se llaman matricescuadradas de orden n con coeficientes en K.

El conjunto de las matrices de orden m× n con coeficientes en K sedesigna por Mm×n(K), y el conjunto de las matrices cuadradas de orden ncon coeficientes en K se designa por Mn(K).

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determinan-tes

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Determinantede una matriz

Propiedadesde losdeterminantes

Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa

Matrices

Definición

Se llama matriz de orden m× n con coeficientes en un cuerpo K (por logeneral, K = R o K = C) a un conjunto ordenado de escalaresaij ∈ K, i = 1, . . . ,m y j = 1, . . . , n, dispuestos en m filas y n columnas,formando un rectángulo. Se representa por

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

......

...am1 am2 . . . amn

.Las matrices de orden n× n con coeficientes en K se llaman matricescuadradas de orden n con coeficientes en K.

El conjunto de las matrices de orden m× n con coeficientes en K sedesigna por Mm×n(K), y el conjunto de las matrices cuadradas de orden ncon coeficientes en K se designa por Mn(K).

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Matrices

Definición

Se llama matriz de orden m× n con coeficientes en un cuerpo K (por logeneral, K = R o K = C) a un conjunto ordenado de escalaresaij ∈ K, i = 1, . . . ,m y j = 1, . . . , n, dispuestos en m filas y n columnas,formando un rectángulo. Se representa por

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

......

...am1 am2 . . . amn

.Las matrices de orden n× n con coeficientes en K se llaman matricescuadradas de orden n con coeficientes en K.

El conjunto de las matrices de orden m× n con coeficientes en K sedesigna por Mm×n(K), y el conjunto de las matrices cuadradas de orden ncon coeficientes en K se designa por Mn(K).

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Operacionescon matrices

Determinantede una matriz

Propiedadesde losdeterminantes

Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa

Matrices

Definición

Sea A ∈Mm×n(K).

El escalar que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se llamaelemento (i, j)-ésimo de A; es usual denotarlo por aij , y por tantorepresentar a la matriz A por (aij) .

Dado j ∈ {1, . . . , n} la matriz a1j...amj

∈Mm×1(K)se llama columna j-ésima de A, y dado i ∈ {1, . . . ,m} la matriz

(ai1 . . . ain) ∈M1×n(K)

se denomina fila i-ésima de A.

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Matrices

Definición

Sea A ∈Mm×n(K).

El escalar que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se llamaelemento (i, j)-ésimo de A; es usual denotarlo por aij , y por tantorepresentar a la matriz A por (aij) .

Dado j ∈ {1, . . . , n} la matriz a1j...amj

∈Mm×1(K)se llama columna j-ésima de A, y dado i ∈ {1, . . . ,m} la matriz

(ai1 . . . ain) ∈M1×n(K)

se denomina fila i-ésima de A.

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Propiedadesde losdeterminantes

Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa

Matrices

Ejemplos

A =

5 7 42 9 56 2 3

∈M3(R); a23 = 5; ( 6 2 3 ) ∈M1×3(R)

B =

(3 5 1 0−1 0 2 12

)∈M2×4(R); b14 = 0;

(50

)∈M2×1(R)

C =

(3 + 5i −1−i 1 + i

)∈M2(C); c22 = 1+i;

(−i 1 + i

)∈M1×2(C)

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∈M3(R); a23 = 5; ( 6 2 3 ) ∈M1×3(R)

B =

(3 5 1 0−1 0 2 12

)∈M2×4(R); b14 = 0;

(50

)∈M2×1(R)

C =

(3 + 5i −1−i 1 + i

)∈M2(C); c22 = 1+i;

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)∈M1×2(C)

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∈M3(R); a23 = 5; ( 6 2 3 ) ∈M1×3(R)

B =

(3 5 1 0−1 0 2 12

)∈M2×4(R); b14 = 0;

(50

)∈M2×1(R)

C =

(3 + 5i −1−i 1 + i

)∈M2(C); c22 = 1+i;

(−i 1 + i

)∈M1×2(C)

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Operacionescon matrices

Determinantede una matriz

Propiedadesde losdeterminantes

Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa

Matrices

Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y coinciden elemento aelemento; es decir, si (aij) y (bij) ∈Mm×n(K), entonces

(aij) = (bij)⇐⇒ aij = bij , ∀i = 1, . . . ,m ∀j = 1, . . . , n.

Definición

Sea A ∈Mm×n(K). Llamaremos submatriz o matriz extráıda de A acualquier matriz obtenida a partir de A suprimiendo algunas de sus filas y/ocolumnas.

Ejemplos

A =

5 7 42 9 56 2 3

; submatriz ( 9 52 3

)

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Matrices

Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y coinciden elemento aelemento; es decir, si (aij) y (bij) ∈Mm×n(K), entonces

(aij) = (bij)⇐⇒ aij = bij , ∀i = 1, . . . ,m ∀j = 1, . . . , n.

Definición

Sea A ∈Mm×n(K). Llamaremos submatriz o matriz extráıda de A acualquier matriz obtenida a partir de A suprimiendo algunas de sus filas y/ocolumnas.

Ejemplos

A =

5 7 42 9 56 2 3

; submatriz ( 9 52 3

)

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Matrices

Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y coinciden elemento aelemento; es decir, si (aij) y (bij) ∈Mm×n(K), entonces

(aij) = (bij)⇐⇒ aij = bij , ∀i = 1, . . . ,m ∀j = 1, . . . , n.

Definición

Sea A ∈Mm×n(K). Llamaremos submatriz o matriz extráıda de A acualquier matriz obtenida a partir de A suprimiendo algunas de sus filas y/ocolumnas.

Ejemplos

A =

5 7 42 9 56 2 3

; submatriz ( 9 52 3

)

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Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa

Matrices

Algunos tipos de matrices especiales

i) La matriz nula 0 ∈Mm×n(K) es aquella con m filas y n columnascuyos elementos son todos iguales a 0.

ii) Se dice que una matriz cuadrada D = (dij) ∈Mn(K) es diagonal sidij = 0 para todo i 6= j.

En ocasiones, escribiremos

diag(λ1, . . . , λn),

con λi ∈ K, i = 1, . . . , n, para denotar la matriz diagonalD = (dij) ∈Mn(K) tal que dii = λi, i = 1, . . . , n.

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Algunos tipos de matrices especiales

i) La matriz nula 0 ∈Mm×n(K) es aquella con m filas y n columnascuyos elementos son todos iguales a 0.

ii) Se dice que una matriz cuadrada D = (dij) ∈Mn(K) es diagonal sidij = 0 para todo i 6= j.

En ocasiones, escribiremos

diag(λ1, . . . , λn),

con λi ∈ K, i = 1, . . . , n, para denotar la matriz diagonalD = (dij) ∈Mn(K) tal que dii = λi, i = 1, . . . , n.

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Matrices

Algunos tipos de matrices especiales

i) La matriz nula 0 ∈Mm×n(K) es aquella con m filas y n columnascuyos elementos son todos iguales a 0.

ii) Se dice que una matriz cuadrada D = (dij) ∈Mn(K) es diagonal sidij = 0 para todo i 6= j.

En ocasiones, escribiremos

diag(λ1, . . . , λn),

con λi ∈ K, i = 1, . . . , n, para denotar la matriz diagonalD = (dij) ∈Mn(K) tal que dii = λi, i = 1, . . . , n.

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Determinantede una matriz

Propiedadesde losdeterminantes

Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa

Matrices

Algunos tipos de matrices especiales

iii) A la matriz diagonal tal que dii = 1 para todo i = 1, . . . , n, se ledenomina matriz unidad (ó matriz identidad) de orden n, y se denotapor In; es decir,

In =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 1

.

Con la notación habitual de la delta de Kronecker

δij =

{1 si i = j0 si i 6= j

se tine que In = (δij) ∈Mn(K).

iv) Se dice que una matriz cuadrada A = (aij) ∈Mn(K) es triangularsuperior si aij = 0 cuando i > j, y se dice que A es triangular inferior siaij = 0 cuando i < j.

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Algunos tipos de matrices especiales

iii) A la matriz diagonal tal que dii = 1 para todo i = 1, . . . , n, se ledenomina matriz unidad (ó matriz identidad) de orden n, y se denotapor In; es decir,

In =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 1

.Con la notación habitual de la delta de Kronecker

δij =

{1 si i = j0 si i 6= j

se tine que In = (δij) ∈Mn(K).

iv) Se dice que una matriz cuadrada A = (aij) ∈Mn(K) es triangularsuperior si aij = 0 cuando i > j, y se dice que A es triangular inferior siaij = 0 cuando i < j.

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iii) A la matriz diagonal tal que dii = 1 para todo i = 1, . . . , n, se ledenomina matriz unidad (ó matriz identidad) de orden n, y se denotapor In; es decir,

In =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 1

.Con la notación habitual de la delta de Kronecker

δij =

{1 si i = j0 si i 6= j

se tine que In = (δij) ∈Mn(K).

iv) Se dice que una matriz cuadrada A = (aij) ∈Mn(K) es triangularsuperior si aij = 0 cuando i > j, y se dice que A es triangular inferior siaij = 0 cuando i < j.

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Ejemplos

A =

(0 0 00 0 0

)∈M2×3(R); matriz nula

B =

3 0 00 1 00 0 0

= diag(3, 1, 0) ∈M3(R); matriz diagonal

C =

(1 00 1

)= I2 ∈M2(R); matriz unidad

E =

2 1 40 5 00 0 −1

∈M3(R); matriz triangular superior

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(0 0 00 0 0

)∈M2×3(R); matriz nula

B =

3 0 00 1 00 0 0

= diag(3, 1, 0) ∈M3(R); matriz diagonal

C =

(1 00 1

)= I2 ∈M2(R); matriz unidad

E =

2 1 40 5 00 0 −1

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)∈M2×3(R); matriz nula

B =

3 0 00 1 00 0 0

= diag(3, 1, 0) ∈M3(R); matriz diagonal

C =

(1 00 1

)= I2 ∈M2(R); matriz unidad

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)∈M2×3(R); matriz nula

B =

3 0 00 1 00 0 0

= diag(3, 1, 0) ∈M3(R); matriz diagonal

C =

(1 00 1

)= I2 ∈M2(R); matriz unidad

E =

2 1 40 5 00 0 −1

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Operaciones con matrices

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Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa

Operaciones con matrices

Para que dos matrices puedan sumarse, tienen que ser del mismo orden.

Definición

En el conjunto Mm×n(K) se define la suma de matrices de la siguientemanera: si A = (aij) y B = (bij) ∈Mm×n(K), entonces

A+B = (aij) + (bij) = (aij + bij) ;

luego, la suma de matrices define como la suma elemento a elemento.

Una matriz se puede multiplicar por un escalar.

Definición

Si A = (aij) ∈Mm×n(K) y λ ∈ K, se define

λ ·A := (λ · aij) ,

esto es, el producto de un escalar por una matriz es la matriz que resulta almultiplicar cada uno de los elementos de la matriz por el escalar.

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Operaciones con matrices

Para que dos matrices puedan sumarse, tienen que ser del mismo orden.

Definición

En el conjunto Mm×n(K) se define la suma de matrices de la siguientemanera: si A = (aij) y B = (bij) ∈Mm×n(K), entonces

A+B = (aij) + (bij) = (aij + bij) ;

luego, la suma de matrices define como la suma elemento a elemento.

Una matriz se puede multiplicar por un escalar.

Definición

Si A = (aij) ∈Mm×n(K) y λ ∈ K, se define

λ ·A := (λ · aij) ,

esto es, el producto de un escalar por una matriz es la matriz que resulta almultiplicar cada uno de los elementos de la matriz por el escalar.

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Operaciones con matrices

Para que dos matrices puedan sumarse, tienen que ser del mismo orden.

Definición

En el conjunto Mm×n(K) se define la suma de matrices de la siguientemanera: si A = (aij) y B = (bij) ∈Mm×n(K), entonces

A+B = (aij) + (bij) = (aij + bij) ;

luego, la suma de matrices define como la suma elemento a elemento.

Una matriz se puede multiplicar por un escalar.

Definición

Si A = (aij) ∈Mm×n(K) y λ ∈ K, se define

λ ·A := (λ · aij) ,

esto es, el producto de un escalar por una matriz es la matriz que resulta almultiplicar cada uno de los elementos de la matriz por el escalar.

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Operaciones con matrices

Para que dos matrices puedan sumarse, tienen que ser del mismo orden.

Definición

En el conjunto Mm×n(K) se define la suma de matrices de la siguientemanera: si A = (aij) y B = (bij) ∈Mm×n(K), entonces

A+B = (aij) + (bij) = (aij + bij) ;

luego, la suma de matrices define como la suma elemento a elemento.

Una matriz se puede multiplicar por un escalar.

Definición

Si A = (aij) ∈Mm×n(K) y λ ∈ K, se define

λ ·A := (λ · aij) ,

esto es, el producto de un escalar por una matriz es la matriz que resulta almultiplicar cada uno de los elementos de la matriz por el escalar.

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Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa

Operaciones con matrices

Nótese que la suma de matrices verifica las propiedades asociativa,conmutativa y además,

i) si A ∈Mm×n(K) y 0 ∈Mm×n(K), entonces A+ 0 = 0 +A = A.

ii) si A = (aij) ∈Mm×n(K), entonces −A = (−aij), de tal forma queA+ (−A) = (−A) +A = 0 ∈Mm×n(K).

Para que dos matrices puedan multiplicarse, el número de columnas delfactor de la izquierda ha de coincidir con el número de filas del factor dela derecha.

Definición

Sean A = (ail) ∈Mm×p(K) y B = (blj) ∈Mp×n(K). Se llama matrizproducto A ·B a C = (cij) ∈Mm×n(K), cuyo elemento (i, j)-ésimo es

cij =

p∑l=1

ailblj , ∀i = 1, . . . ,m, ∀j = 1, . . . , n.

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Operaciones con matrices

Nótese que la suma de matrices verifica las propiedades asociativa,conmutativa y además,

i) si A ∈Mm×n(K) y 0 ∈Mm×n(K), entonces A+ 0 = 0 +A = A.

ii) si A = (aij) ∈Mm×n(K), entonces −A = (−aij), de tal forma queA+ (−A) = (−A) +A = 0 ∈Mm×n(K).

Para que dos matrices puedan multiplicarse, el número de columnas delfactor de la izquierda ha de coincidir con el número de filas del factor dela derecha.

Definición

Sean A = (ail) ∈Mm×p(K) y B = (blj) ∈Mp×n(K). Se llama matrizproducto A ·B a C = (cij) ∈Mm×n(K), cuyo elemento (i, j)-ésimo es

cij =

p∑l=1

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Operaciones con matrices

Nótese que la suma de matrices verifica las propiedades asociativa,conmutativa y además,

i) si A ∈Mm×n(K) y 0 ∈Mm×n(K), entonces A+ 0 = 0 +A = A.

ii) si A = (aij) ∈Mm×n(K), entonces −A = (−aij), de tal forma queA+ (−A) = (−A) +A = 0 ∈Mm×n(K).

Para que dos matrices puedan multiplicarse, el número de columnas delfactor de la izquierda ha de coincidir con el número de filas del factor dela derecha.

Definición

Sean A = (ail) ∈Mm×p(K) y B = (blj) ∈Mp×n(K). Se llama matrizproducto A ·B a C = (cij) ∈Mm×n(K), cuyo elemento (i, j)-ésimo es

cij =

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Operaciones con matrices

Nótese que la suma de matrices verifica las propiedades asociativa,conmutativa y además,

i) si A ∈Mm×n(K) y 0 ∈Mm×n(K), entonces A+ 0 = 0 +A = A.

ii) si A = (aij) ∈Mm×n(K), entonces −A = (−aij), de tal forma queA+ (−A) = (−A) +A = 0 ∈Mm×n(K).

Para que dos matrices puedan multiplicarse, el número de columnas delfactor de la izquierda ha de coincidir con el número de filas del factor dela derecha.

Definición

Sean A = (ail) ∈Mm×p(K) y B = (blj) ∈Mp×n(K). Se llama matrizproducto A ·B a C = (cij) ∈Mm×n(K), cuyo elemento (i, j)-ésimo es

cij =

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Nótese que la suma de matrices verifica las propiedades asociativa,conmutativa y además,

i) si A ∈Mm×n(K) y 0 ∈Mm×n(K), entonces A+ 0 = 0 +A = A.

ii) si A = (aij) ∈Mm×n(K), entonces −A = (−aij), de tal forma queA+ (−A) = (−A) +A = 0 ∈Mm×n(K).

Para que dos matrices puedan multiplicarse, el número de columnas delfactor de la izquierda ha de coincidir con el número de filas del factor dela derecha.

Definición

Sean A = (ail) ∈Mm×p(K) y B = (blj) ∈Mp×n(K). Se llama matrizproducto A ·B a C = (cij) ∈Mm×n(K), cuyo elemento (i, j)-ésimo es

cij =

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Operaciones con matrices

Ejemplos(4 2 12 −3 0

)+

(4 2 12 −3 0

)=

(8 4 24 −6 0

)suma

2

(4 2 12 −3 0

)=

(8 4 24 −6 0

)producto escalar

(1 3 2−1 2 0

)·

1 02 40 1

= ( 7 143 8

)producto

1 02 40 1

· ( 1 3 2−1 2 0)

=

1 3 2−2 14 4−1 2 0

no es conmutativo

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Matrices

Operacionescon matrices

Determinantede una matriz

Propiedadesde losdeterminantes

Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa

Operaciones con matrices

Ejemplos(4 2 12 −3 0

)+

(4 2 12 −3 0

)=

(8 4 24 −6 0

)suma

2

(4 2 12 −3 0

)=

(8 4 24 −6 0

)producto escalar

(1 3 2−1 2 0

)·

1 02 40 1

= ( 7 143 8

)producto

1 02 40 1

· ( 1 3 2−1 2 0)

=

1 3 2−2 14 4−1 2 0

no es conmutativo

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)+

(4 2 12 −3 0

)=

(8 4 24 −6 0

)suma

2

(4 2 12 −3 0

)=

(8 4 24 −6 0

)producto escalar

(1 3 2−1 2 0

)·

1 02 40 1

= ( 7 143 8

)producto

1 02 40 1

· ( 1 3 2−1 2 0)

=

1 3 2−2 14 4−1 2 0

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)+

(4 2 12 −3 0

)=

(8 4 24 −6 0

)suma

2

(4 2 12 −3 0

)=

(8 4 24 −6 0

)producto escalar

(1 3 2−1 2 0

)·

1 02 40 1

= ( 7 143 8

)producto

1 02 40 1

· ( 1 3 2−1 2 0)

=

1 3 2−2 14 4−1 2 0

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Operaciones con matrices

Definición

Sea A ∈Mm×n(K) llamamos matriz traspuesta de A a la matriz deMm×n(K) que resulta de cambiar filas por columnas y columnas por filas enA. La matriz traspuesta de A siempre existe y se denota por At.

Ejemplo

A =

(4 2 12 −3 0

); At =

4 22 −31 0

Definición

Sea A ∈Mn(K), diremos que la matriz A es simétrica cuando coincide consu matriz transpuesta, es decir, cuando A = At.

Ejemplo

A =

4 2 12 −3 01 0 5

; At = 4 2 12 −3 0

1 0 5

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Definición

Sea A ∈Mm×n(K) llamamos matriz traspuesta de A a la matriz deMm×n(K) que resulta de cambiar filas por columnas y columnas por filas enA. La matriz traspuesta de A siempre existe y se denota por At.

Ejemplo

A =

(4 2 12 −3 0

); At =

4 22 −31 0

Definición

Sea A ∈Mn(K), diremos que la matriz A es simétrica cuando coincide consu matriz transpuesta, es decir, cuando A = At.

Ejemplo

A =

4 2 12 −3 01 0 5

; At = 4 2 12 −3 0

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Definición

Sea A ∈Mm×n(K) llamamos matriz traspuesta de A a la matriz deMm×n(K) que resulta de cambiar filas por columnas y columnas por filas enA. La matriz traspuesta de A siempre existe y se denota por At.

Ejemplo

A =

(4 2 12 −3 0

); At =

4 22 −31 0

Definición

Sea A ∈Mn(K), diremos que la matriz A es simétrica cuando coincide consu matriz transpuesta, es decir, cuando A = At.

Ejemplo

A =

4 2 12 −3 01 0 5

; At = 4 2 12 −3 0

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Definición

Sea A ∈Mm×n(K) llamamos matriz traspuesta de A a la matriz deMm×n(K) que resulta de cambiar filas por columnas y columnas por filas enA. La matriz traspuesta de A siempre existe y se denota por At.

Ejemplo

A =

(4 2 12 −3 0

); At =

4 22 −31 0

Definición

Sea A ∈Mn(K), diremos que la matriz A es simétrica cuando coincide consu matriz transpuesta, es decir, cuando A = At.

Ejemplo

A =

4 2 12 −3 01 0 5

; At = 4 2 12 −3 0

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Definición

Diremos que una matriz A ∈Mn(K) es invertible (o no singular) si existeB ∈Mn(K) tal que A ·B = B ·A = In. La matriz B si existe es única, sedenomina matriz inversa de A y la denotaremos por A−1.

Ejemplo

A =

(1 20 1

); A−1 =

(1 −20 1

); A ·A−1 = A−1 ·A = I2

Definición

Diremos que una matriz A ∈Mn(K) es ortogonal si es invertible yAt = A−1.

Ejemplo

A =

(0 1−1 0

); At =

(0 −11 0

); A ·At = At ·A = I2

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Definición

Diremos que una matriz A ∈Mn(K) es invertible (o no singular) si existeB ∈Mn(K) tal que A ·B = B ·A = In. La matriz B si existe es única, sedenomina matriz inversa de A y la denotaremos por A−1.

Ejemplo

A =

(1 20 1

); A−1 =

(1 −20 1

); A ·A−1 = A−1 ·A = I2

Definición

Diremos que una matriz A ∈Mn(K) es ortogonal si es invertible yAt = A−1.

Ejemplo

A =

(0 1−1 0

); At =

(0 −11 0

); A ·At = At ·A = I2

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Definición

Diremos que una matriz A ∈Mn(K) es invertible (o no singular) si existeB ∈Mn(K) tal que A ·B = B ·A = In. La matriz B si existe es única, sedenomina matriz inversa de A y la denotaremos por A−1.

Ejemplo

A =

(1 20 1

); A−1 =

(1 −20 1

); A ·A−1 = A−1 ·A = I2

Definición

Diremos que una matriz A ∈Mn(K) es ortogonal si es invertible yAt = A−1.

Ejemplo

A =

(0 1−1 0

); At =

(0 −11 0

); A ·At = At ·A = I2

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Definición

Diremos que una matriz A ∈Mn(K) es invertible (o no singular) si existeB ∈Mn(K) tal que A ·B = B ·A = In. La matriz B si existe es única, sedenomina matriz inversa de A y la denotaremos por A−1.

Ejemplo

A =

(1 20 1

); A−1 =

(1 −20 1

); A ·A−1 = A−1 ·A = I2

Definición

Diremos que una matriz A ∈Mn(K) es ortogonal si es invertible yAt = A−1.

Ejemplo

A =

(0 1−1 0

); At =

(0 −11 0

); A ·At = At ·A = I2

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Operaciones con matrices

Definición

Sea A = (aij) ∈Mn(K). Se denomina traza de A al número

tr(A) =

n∑i=1

aii.

Ejemplo

A =

4 2 12 −3 01 0 5

; tr(A) = 6

Si A y B ∈Mn(K), se verifica que:

tr(A+B) = tr(A) + tr(B); tr(A) = tr(At) y tr(A ·B) = tr(B ·A)

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Definición

Sea A = (aij) ∈Mn(K). Se denomina traza de A al número

tr(A) =

n∑i=1

aii.

Ejemplo

A =

4 2 12 −3 01 0 5

; tr(A) = 6

Si A y B ∈Mn(K), se verifica que:

tr(A+B) = tr(A) + tr(B); tr(A) = tr(At) y tr(A ·B) = tr(B ·A)

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Definición

Sea A = (aij) ∈Mn(K). Se denomina traza de A al número

tr(A) =

n∑i=1

aii.

Ejemplo

A =

4 2 12 −3 01 0 5

; tr(A) = 6

Si A y B ∈Mn(K), se verifica que:

tr(A+B) = tr(A) + tr(B); tr(A) = tr(At) y tr(A ·B) = tr(B ·A)

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Determinante de una matriz

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Propiedadesde losdeterminantes

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Determinante de una matriz

Definición

Sea A = (aij) ∈Mn(K), Se llama determinante de A, y se representa por|A|, al escalar definido por la expresión:

|A| =∑σ∈Sn

sign(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n),

donde Sn denota al grupo simétrico.

Sea X un conjunto arbitrario con n elementos se llama grupo simétricoSn al conjunto de las funciones biyectivas (permutaciones) de X conśı mismo. Podemos escribir una permutación σ ∈ Sn en forma de matriz,situando en primera fila los elementos del dominio 1, . . . , n, y en la segundalas imágenes correspondientes σ(1), . . . , σ(n). El signo de σ es (−1)ν(σ),siendo ν(σ) el número de pares (i, j) con i < j tales que σ(i) > σ(j).

σ =

(1 2 33 2 1

)∈ S3; ν(σ) = 3; signo de σ es − 1

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Determinante de una matriz

Definición

Sea A = (aij) ∈Mn(K), Se llama determinante de A, y se representa por|A|, al escalar definido por la expresión:

|A| =∑σ∈Sn

sign(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n),

donde Sn denota al grupo simétrico.

Sea X un conjunto arbitrario con n elementos se llama grupo simétricoSn al conjunto de las funciones biyectivas (permutaciones) de X conśı mismo.

Podemos escribir una permutación σ ∈ Sn en forma de matriz,situando en primera fila los elementos del dominio 1, . . . , n, y en la segundalas imágenes correspondientes σ(1), . . . , σ(n). El signo de σ es (−1)ν(σ),siendo ν(σ) el número de pares (i, j) con i < j tales que σ(i) > σ(j).

σ =

(1 2 33 2 1

)∈ S3; ν(σ) = 3; signo de σ es − 1

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Determinante de una matriz

Definición

Sea A = (aij) ∈Mn(K), Se llama determinante de A, y se representa por|A|, al escalar definido por la expresión:

|A| =∑σ∈Sn

sign(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n),

donde Sn denota al grupo simétrico.

Sea X un conjunto arbitrario con n elementos se llama grupo simétricoSn al conjunto de las funciones biyectivas (permutaciones) de X conśı mismo. Podemos escribir una permutación σ ∈ Sn en forma de matriz,situando en primera fila los elementos del dominio 1, . . . , n, y en la segundalas imágenes correspondientes σ(1), . . . , σ(n).

El signo de σ es (−1)ν(σ),siendo ν(σ) el número de pares (i, j) con i < j tales que σ(i) > σ(j).

σ =

(1 2 33 2 1

)∈ S3; ν(σ) = 3; signo de σ es − 1

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Determinante de una matriz

Definición

Sea A = (aij) ∈Mn(K), Se llama determinante de A, y se representa por|A|, al escalar definido por la expresión:

|A| =∑σ∈Sn

sign(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n),

donde Sn denota al grupo simétrico.

Sea X un conjunto arbitrario con n elementos se llama grupo simétricoSn al conjunto de las funciones biyectivas (permutaciones) de X conśı mismo. Podemos escribir una permutación σ ∈ Sn en forma de matriz,situando en primera fila los elementos del dominio 1, . . . , n, y en la segundalas imágenes correspondientes σ(1), . . . , σ(n). El signo de σ es (−1)ν(σ),siendo ν(σ) el número de pares (i, j) con i < j tales que σ(i) > σ(j).

σ =

(1 2 33 2 1

)∈ S3; ν(σ) = 3; signo de σ es − 1

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Determinantede una matriz

Propiedadesde losdeterminantes

Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa

Determinante de una matriz

Definición

Sea A = (aij) ∈Mn(K), Se llama determinante de A, y se representa por|A|, al escalar definido por la expresión:

|A| =∑σ∈Sn

sign(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n),

donde Sn denota al grupo simétrico.

Sea X un conjunto arbitrario con n elementos se llama grupo simétricoSn al conjunto de las funciones biyectivas (permutaciones) de X conśı mismo. Podemos escribir una permutación σ ∈ Sn en forma de matriz,situando en primera fila los elementos del dominio 1, . . . , n, y en la segundalas imágenes correspondientes σ(1), . . . , σ(n). El signo de σ es (−1)ν(σ),siendo ν(σ) el número de pares (i, j) con i < j tales que σ(i) > σ(j).

σ =

(1 2 33 2 1

)∈ S3; ν(σ) = 3; signo de σ es − 1

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Determinantede una matriz

Propiedadesde losdeterminantes

Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa

Determinante de una matriz

Veamos las expresiones expĺıcitas para los determinantes de las matricescuadradas de ordenes 2 y 3.

i) Si A = (aij) ∈M2(K), entonces

|A| = a11a22 − a12a21

ya que S2 =

{(1 21 2

),

(1 22 1

)}, con signos {1,−1},

respectivamente.

ii) Si A = (aij) ∈M3(K), entonces

|A| =a11a22a33 − a12a21a33 − a13a22a31− a11a23a32 + a12a23a31 + a13a21a32.

Ejemplos

A =

(4 22 −3

); |A| = −16; B =

1 2 01 0 3−1 0 1

; |B| = −8

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Determinantede una matriz

Propiedadesde losdeterminantes

Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa

Determinante de una matriz

Veamos las expresiones expĺıcitas para los determinantes de las matricescuadradas de ordenes 2 y 3.

i) Si A = (aij) ∈M2(K), entonces

|A| = a11a22 − a12a21

ya que S2 =

{(1 21 2

),

(1 22 1

)}, con signos {1,−1},

respectivamente.

ii) Si A = (aij) ∈M3(K), entonces

|A| =a11a22a33 − a12a21a33 − a13a22a31− a11a23a32 + a12a23a31 + a13a21a32.

Ejemplos

A =

(4 22 −3

); |A| = −16; B =

1 2 01 0 3−1 0 1

; |B| = −8

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Propiedadesde losdeterminantes

Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa

Determinante de una matriz

Veamos las expresiones expĺıcitas para los determinantes de las matricescuadradas de ordenes 2 y 3.

i) Si A = (aij) ∈M2(K), entonces

|A| = a11a22 − a12a21

ya que S2 =

{(1 21 2

),

(1 22 1

)}, con signos {1,−1},

respectivamente.

ii) Si A = (aij) ∈M3(K), entonces

|A| =a11a22a33 − a12a21a33 − a13a22a31− a11a23a32 + a12a23a31 + a13a21a32.

Ejemplos

A =

(4 22 −3

); |A| = −16; B =

1 2 01 0 3−1 0 1

; |B| = −8

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Determinante de una matriz

Veamos las expresiones expĺıcitas para los determinantes de las matricescuadradas de ordenes 2 y 3.

i) Si A = (aij) ∈M2(K), entonces

|A| = a11a22 − a12a21

ya que S2 =

{(1 21 2

),

(1 22 1

)}, con signos {1,−1},

respectivamente.

ii) Si A = (aij) ∈M3(K), entonces

|A| =a11a22a33 − a12a21a33 − a13a22a31− a11a23a32 + a12a23a31 + a13a21a32.

Ejemplos

A =

(4 22 −3

); |A| = −16;

B =

1 2 01 0 3−1 0 1

; |B| = −8

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Determinante de una matriz

Veamos las expresiones expĺıcitas para los determinantes de las matricescuadradas de ordenes 2 y 3.

i) Si A = (aij) ∈M2(K), entonces

|A| = a11a22 − a12a21

ya que S2 =

{(1 21 2

),

(1 22 1

)}, con signos {1,−1},

respectivamente.

ii) Si A = (aij) ∈M3(K), entonces

|A| =a11a22a33 − a12a21a33 − a13a22a31− a11a23a32 + a12a23a31 + a13a21a32.

Ejemplos

A =

(4 22 −3

); |A| = −16; B =

1 2 01 0 3−1 0 1

; |B| = −8

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Determinantede una matriz

Propiedadesde losdeterminantes

Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa

Determinante de una matriz

Sea A = (aij) ∈Mn(K). Llamaremos menor adjunto del elemento aijde A al determinante de la submatriz de A que se obtiene al eliminar la filai-ésima y la columna j-ésima de A, y lo denotaremos por |Aij |.

De esta manera, tenemos que el determinante de una matriz es igual a lasuma alternada de los productos de los elementos de una fila (o columna)cualquiera por sus adjuntos respectivos.

Si elegimos la fila i-ésima, el determinante de la matriz A es:

|A| = (−1)i+1ai1|Ai1|+ (−1)i+2ai2|Ai2|+ . . .+ (−1)i+nain|Ain|

=

n∑j=1

(−1)i+jaij |Aij |,

Si elegimos la columna j-ésima, el determinante de la matriz A es:

|A| = (−1)1+ja1j |A1j |+ (−1)2+ja2j |A2j |+ . . .+ (−1)n+janj |Anj |

=

n∑i=1

(−1)i+jaij |Aij |.

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Determinante de una matriz

Sea A = (aij) ∈Mn(K). Llamaremos menor adjunto del elemento aijde A al determinante de la submatriz de A que se obtiene al eliminar la filai-ésima y la columna j-ésima de A, y lo denotaremos por |Aij |.

De esta manera, tenemos que el determinante de una matriz es igual a lasuma alternada de los productos de los elementos de una fila (o columna)cualquiera por sus adjuntos respectivos.

Si elegimos la fila i-ésima, el determinante de la matriz A es:

|A| = (−1)i+1ai1|Ai1|+ (−1)i+2ai2|Ai2|+ . . .+ (−1)i+nain|Ain|

=

n∑j=1

(−1)i+jaij |Aij |,

Si elegimos la columna j-ésima, el determinante de la matriz A es:

|A| = (−1)1+ja1j |A1j |+ (−1)2+ja2j |A2j |+ . . .+ (−1)n+janj |Anj |

=

n∑i=1

(−1)i+jaij |Aij |.

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Determinante de una matriz

Sea A = (aij) ∈Mn(K). Llamaremos menor adjunto del elemento aijde A al determinante de la submatriz de A que se obtiene al eliminar la filai-ésima y la columna j-ésima de A, y lo denotaremos por |Aij |.

De esta manera, tenemos que el determinante de una matriz es igual a lasuma alternada de los productos de los elementos de una fila (o columna)cualquiera por sus adjuntos respectivos.

Si elegimos la fila i-ésima, el determinante de la matriz A es:

|A| = (−1)i+1ai1|Ai1|+ (−1)i+2ai2|Ai2|+ . . .+ (−1)i+nain|Ain|

=

n∑j=1

(−1)i+jaij |Aij |,

Si elegimos la columna j-ésima, el determinante de la matriz A es:

|A| = (−1)1+ja1j |A1j |+ (−1)2+ja2j |A2j |+ . . .+ (−1)n+janj |Anj |

=

n∑i=1

(−1)i+jaij |Aij |.

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Determinante de una matriz

Sea A = (aij) ∈Mn(K). Llamaremos menor adjunto del elemento aijde A al determinante de la submatriz de A que se obtiene al eliminar la filai-ésima y la columna j-ésima de A, y lo denotaremos por |Aij |.

De esta manera, tenemos que el determinante de una matriz es igual a lasuma alternada de los productos de los elementos de una fila (o columna)cualquiera por sus adjuntos respectivos.

Si elegimos la fila i-ésima, el determinante de la matriz A es:

|A| = (−1)i+1ai1|Ai1|+ (−1)i+2ai2|Ai2|+ . . .+ (−1)i+nain|Ain|

=n∑j=1

(−1)i+jaij |Aij |,

Si elegimos la columna j-ésima, el determinante de la matriz A es:

|A| = (−1)1+ja1j |A1j |+ (−1)2+ja2j |A2j |+ . . .+ (−1)n+janj |Anj |

=

n∑i=1

(−1)i+jaij |Aij |.

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Propiedadesde losdeterminantes

Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa

Determinante de una matriz

Sea A = (aij) ∈Mn(K). Llamaremos menor adjunto del elemento aijde A al determinante de la submatriz de A que se obtiene al eliminar la filai-ésima y la columna j-ésima de A, y lo denotaremos por |Aij |.

De esta manera, tenemos que el determinante de una matriz es igual a lasuma alternada de los productos de los elementos de una fila (o columna)cualquiera por sus adjuntos respectivos.

Si elegimos la fila i-ésima, el determinante de la matriz A es:

|A| = (−1)i+1ai1|Ai1|+ (−1)i+2ai2|Ai2|+ . . .+ (−1)i+nain|Ain|

=n∑j=1

(−1)i+jaij |Aij |,

Si elegimos la columna j-ésima, el determinante de la matriz A es:

|A| = (−1)1+ja1j |A1j |+ (−1)2+ja2j |A2j |+ . . .+ (−1)n+janj |Anj |

=

n∑i=1

(−1)i+jaij |Aij |.

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Sea A = (aij) ∈Mn(K). Llamaremos menor adjunto del elemento aijde A al determinante de la submatriz de A que se obtiene al eliminar la filai-ésima y la columna j-ésima de A, y lo denotaremos por |Aij |.

De esta manera, tenemos que el determinante de una matriz es igual a lasuma alternada de los productos de los elementos de una fila (o columna)cualquiera por sus adjuntos respectivos.

Si elegimos la fila i-ésima, el determinante de la matriz A es:

|A| = (−1)i+1ai1|Ai1|+ (−1)i+2ai2|Ai2|+ . . .+ (−1)i+nain|Ain|

=n∑j=1

(−1)i+jaij |Aij |,

Si elegimos la columna j-ésima, el determinante de la matriz A es:

|A| = (−1)1+ja1j |A1j |+ (−1)2+ja2j |A2j |+ . . .+ (−1)n+janj |Anj |

=n∑i=1

(−1)i+jaij |Aij |.

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Determinante de una matriz

Ejemplos

B =

1 2 01 0 3−1 0 1

Desarrollando por la segunda columna (muchos elementos son nulos)

|B| = (−1)1+22|A12|+ (−1)2+20|A22|+ (−1)3+22|A32|

|A12| =∣∣∣∣( 1 3−1 1

)∣∣∣∣ = 4|B| = −8

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Ejemplos

B =

1 2 01 0 3−1 0 1

Desarrollando por la segunda columna (muchos elementos son nulos)

|B| = (−1)1+22|A12|+ (−1)2+20|A22|+ (−1)3+22|A32|

|A12| =∣∣∣∣( 1 3−1 1

)∣∣∣∣ = 4|B| = −8

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B =

1 2 01 0 3−1 0 1

Desarrollando por la segunda columna (muchos elementos son nulos)

|B| = (−1)1+22|A12|+ (−1)2+20|A22|+ (−1)3+22|A32|

|A12| =∣∣∣∣( 1 3−1 1

)∣∣∣∣ = 4

|B| = −8

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B =

1 2 01 0 3−1 0 1

Desarrollando por la segunda columna (muchos elementos son nulos)

|B| = (−1)1+22|A12|+ (−1)2+20|A22|+ (−1)3+22|A32|

|A12| =∣∣∣∣( 1 3−1 1

)∣∣∣∣ = 4|B| = −8

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Propiedades de los determinantes

Sea A = (aij) ∈Mn(K).

P1. Si B es la matriz traspuesta de A, entonces |B| = |A|, es decir,|At| = |A|.

P2. Si una fila (o columna) de A es combinación lineal de otras de sus filas(o columnas), es decir, es el resultado de sumar otras de sus filas (ocolumnas) multiplicadas por un escalar, entonces |A| = 0.

Aśı, en particular, el determinante de una matriz A con dos filas (ocolumnas) iguales o proporcionales es nulo. Asimismo, si todos loselementos de una fila (o columna) de A son nulos, entonces |A| = 0.

P3. Si se intercambian entre śı dos filas (o columnas) de A, el determinantede la matriz B obtenida es el opuesto del determinante de A, es decir,|B| = −|A|.

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Sea A = (aij) ∈Mn(K).

P1. Si B es la matriz traspuesta de A, entonces |B| = |A|, es decir,|At| = |A|.

P2. Si una fila (o columna) de A es combinación lineal de otras de sus filas(o columnas), es decir, es el resultado de sumar otras de sus filas (ocolumnas) multiplicadas por un escalar, entonces |A| = 0.

Aśı, en particular, el determinante de una matriz A con dos filas (ocolumnas) iguales o proporcionales es nulo. Asimismo, si todos loselementos de una fila (o columna) de A son nulos, entonces |A| = 0.

P3. Si se intercambian entre śı dos filas (o columnas) de A, el determinantede la matriz B obtenida es el opuesto del determinante de A, es decir,|B| = −|A|.

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Sea A = (aij) ∈Mn(K).

P1. Si B es la matriz traspuesta de A, entonces |B| = |A|, es decir,|At| = |A|.

P2. Si una fila (o columna) de A es combinación lineal de otras de sus filas(o columnas), es decir, es el resultado de sumar otras de sus filas (ocolumnas) multiplicadas por un escalar, entonces |A| = 0.

Aśı, en particular, el determinante de una matriz A con dos filas (ocolumnas) iguales o proporcionales es nulo. Asimismo, si todos loselementos de una fila (o columna) de A son nulos, entonces |A| = 0.

P3. Si se intercambian entre śı dos filas (o columnas) de A, el determinantede la matriz B obtenida es el opuesto del determinante de A, es decir,|B| = −|A|.

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Sea A = (aij) ∈Mn(K).

P1. Si B es la matriz traspuesta de A, entonces |B| = |A|, es decir,|At| = |A|.

P2. Si una fila (o columna) de A es combinación lineal de otras de sus filas(o columnas), es decir, es el resultado de sumar otras de sus filas (ocolumnas) multiplicadas por un escalar, entonces |A| = 0.

Aśı, en particular, el determinante de una matriz A con dos filas (ocolumnas) iguales o proporcionales es nulo. Asimismo, si todos loselementos de una fila (o columna) de A son nulos, entonces |A| = 0.

P3. Si se intercambian entre śı dos filas (o columnas) de A, el determinantede la matriz B obtenida es el opuesto del determinante de A, es decir,|B| = −|A|.

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Propiedades de los determinantes

Sea A = (aij) ∈Mn(K).

P4. Si se multiplica una fila (o columna) cualquiera de la matriz A por unescalar λ, el determinante de la matriz B obtenida es igual al productode λ por el determinante de A, esto es, |B| = λ|A|.

P5. Si cada elemento de una fila (o columna), por ejemplo la fila p, de lamatriz A es de la forma apj = a

′pj + a

′′pj , entonces el determinante de

A es igual a la suma de los determinantes de dos matrices B y C, talesque la fila p de B está formada por los elementos a′pj y la fila p de Cestá formada por los elementos a′′pj , y las restantes filas de ambasmatrices son respectivamente iguales a las de A.

P6. Si a la fila (o columna) p de A se le suma otra fila (columna) qmultiplicada por un escalar λ, el determinante de la matriz obtenida esigual al determinante de A.

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Sea A = (aij) ∈Mn(K).

P4. Si se multiplica una fila (o columna) cualquiera de la matriz A por unescalar λ, el determinante de la matriz B obtenida es igual al productode λ por el determinante de A, esto es, |B| = λ|A|.

P5. Si cada elemento de una fila (o columna), por ejemplo la fila p, de lamatriz A es de la forma apj = a

′pj + a

′′pj , entonces el determinante de

A es igual a la suma de los determinantes de dos matrices B y C, talesque la fila p de B está formada por los elementos a′pj y la fila p de Cestá formada por los elementos a′′pj , y las restantes filas de ambasmatrices son respectivamente iguales a las de A.

P6. Si a la fila (o columna) p de A se le suma otra fila (columna) qmultiplicada por un escalar λ, el determinante de la matriz obtenida esigual al determinante de A.

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Sea A = (aij) ∈Mn(K).

P4. Si se multiplica una fila (o columna) cualquiera de la matriz A por unescalar λ, el determinante de la matriz B obtenida es igual al productode λ por el determinante de A, esto es, |B| = λ|A|.

P5. Si cada elemento de una fila (o columna), por ejemplo la fila p, de lamatriz A es de la forma apj = a

′pj + a

′′pj , entonces el determinante de

A es igual a la suma de los determinantes de dos matrices B y C, talesque la fila p de B está formada por los elementos a′pj y la fila p de Cestá formada por los elementos a′′pj , y las restantes filas de ambasmatrices son respectivamente iguales a las de A.

P6. Si a la fila (o columna) p de A se le suma otra fila (columna) qmultiplicada por un escalar λ, el determinante de la matriz obtenida esigual al determinante de A.

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Ejemplos

P1.

A =

1 2 01 0 3−1 0 1

; B = 1 1 −12 0 0

0 3 1

; |A| = |B| = −8

P2.

A =

1 2 02 4 0−1 0 1

; |A| = 0P3.

A =

1 2 01 0 3−1 0 1

; B = 1 0 31 2 0−1 0 1

; |A| = −8; |B| = 8

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Ejemplos

P1.

A =

1 2 01 0 3−1 0 1

; B = 1 1 −12 0 0

0 3 1

; |A| = |B| = −8

P2.

A =

1 2 02 4 0−1 0 1

; |A| = 0

P3.

A =

1 2 01 0 3−1 0 1

; B = 1 0 31 2 0−1 0 1

; |A| = −8; |B| = 8

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Ejemplos

P1.

A =

1 2 01 0 3−1 0 1

; B = 1 1 −12 0 0

0 3 1

; |A| = |B| = −8

P2.

A =

1 2 02 4 0−1 0 1

; |A| = 0P3.

A =

1 2 01 0 3−1 0 1

; B = 1 0 31 2 0−1 0 1

; |A| = −8; |B| = 8

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Ejemplos

P4.

A =

1 2 01 0 3−1 0 1

; B = −1 −2 01 0 3−1 0 1

; |A| = −8; |B| = 8

P5.

A =

1 2 01 0 3−1 0 1

; B = 0 2 01 0 3−1 0 1

; C = 1 0 01 0 3−1 0 1

|B| = −8; |C| = 0; |A| = |B|+ |C| = −8

P6.

A =

1 2 01 0 3−1 0 1

; B = 2 2 31 0 3−1 0 1

; |A| = |B| = −8

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Ejemplos

P4.

A =

1 2 01 0 3−1 0 1

; B = −1 −2 01 0 3−1 0 1

; |A| = −8; |B| = 8P5.

A =

1 2 01 0 3−1 0 1

; B = 0 2 01 0 3−1 0 1

; C = 1 0 01 0 3−1 0 1

|B| = −8; |C| = 0; |A| = |B|+ |C| = −8

P6.

A =

1 2 01 0 3−1 0 1

; B = 2 2 31 0 3−1 0 1

; |A| = |B| = −8

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Ejemplos

P4.

A =

1 2 01 0 3−1 0 1

; B = −1 −2 01 0 3−1 0 1

; |A| = −8; |B| = 8P5.

A =

1 2 01 0 3−1 0 1

; B = 0 2 01 0 3−1 0 1

; C = 1 0 01 0 3−1 0 1

|B| = −8; |C| = 0; |A| = |B|+ |C| = −8

P6.

A =

1 2 01 0 3−1 0 1

; B = 2 2 31 0 3−1 0 1

; |A| = |B| = −8

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Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa

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Definición

Sea A ∈Mn(K). Llamaremos matriz adjunta de A, a la matriz

adj(A) = ((−1)i+j |Aji|) ∈Mn(K).

Lema

Sea A ∈Mn(K). Entonces se cumple que

A · adj(A) = adj(A) ·A =

|A| 0 . . . 00 |A| . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . |A|

= |A| · In.

Teorema

La condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada A tengainversa es que su determinante sea distinto de cero. En cuyo caso,

A−1 =1

|A| adj(A).

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Definición

Sea A ∈Mn(K). Llamaremos matriz adjunta de A, a la matriz

adj(A) = ((−1)i+j |Aji|) ∈Mn(K).

Lema

Sea A ∈Mn(K). Entonces se cumple que

A · adj(A) = adj(A) ·A =

|A| 0 . . . 00 |A| . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . |A|

= |A| · In.

Teorema

La condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada A tengainversa es que su determinante sea distinto de cero. En cuyo caso,

A−1 =1

|A| adj(A).

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Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa

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Definición

Sea A ∈Mn(K). Llamaremos matriz adjunta de A, a la matriz

adj(A) = ((−1)i+j |Aji|) ∈Mn(K).

Lema

Sea A ∈Mn(K). Entonces se cumple que

A · adj(A) = adj(A) ·A =

|A| 0 . . . 00 |A| . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . |A|

= |A| · In.

Teorema

La condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada A tengainversa es que su determinante sea distinto de cero. En cuyo caso,

A−1 =1

|A| adj(A).

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Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa

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Ejemplo

A =

1 2 01 0 3−1 0 1

; |A| = −8 6= 0 invertible

|A11| = 0; |A12| = 4; |A13| = 0; |A21| = 2; |A22| = 1; |A23| = 2

|A31| = 6; |A32| = 3; |A33| = −2;

A−1 = −18

0 −2 6−4 1 −30 −2 −2

= 0 0.25 −0.7500.5 −0.125 0.375

0 0.250 0.250

1 2 01 0 3−1 0 1

· 0 0.25 −0.7500.5 −0.125 0.375

0 0.250 0.250

= 1 0 00 1 0

0 0 1

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Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa

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Ejemplo

A =

1 2 01 0 3−1 0 1

; |A| = −8 6= 0 invertible

|A11| = 0; |A12| = 4; |A13| = 0; |A21| = 2; |A22| = 1; |A23| = 2

|A31| = 6; |A32| = 3; |A33| = −2;

A−1 = −18

0 −2 6−4 1 −30 −2 −2

= 0 0.25 −0.7500.5 −0.125 0.375

0 0.250 0.250

1 2 01 0 3−1 0 1

· 0 0.25 −0.7500.5 −0.125 0.375

0 0.250 0.250

= 1 0 00 1 0

0 0 1

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Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa

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Ejemplo

A =

1 2 01 0 3−1 0 1

; |A| = −8 6= 0 invertible

|A11| = 0; |A12| = 4; |A13| = 0; |A21| = 2; |A22| = 1; |A23| = 2

|A31| = 6; |A32| = 3; |A33| = −2;

A−1 = −18

0 −2 6−4 1 −30 −2 −2

= 0 0.25 −0.7500.5 −0.125 0.375

0 0.250 0.250

1 2 01 0 3−1 0 1

· 0 0.25 −0.7500.5 −0.125 0.375

0 0.250 0.250

= 1 0 00 1 0

0 0 1

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Aplicación:Cálculo de lamatriz inversa

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Ejemplo

A =

1 2 01 0 3−1 0 1

; |A| = −8 6= 0 invertible

|A11| = 0; |A12| = 4; |A13| = 0; |A21| = 2; |A22| = 1; |A23| = 2

|A31| = 6; |A32| = 3; |A33| = −2;

A−1 = −18

0 −2 6−4 1 −30 −2 −2

= 0 0.25 −0.7500.5 −0.125 0.375

0 0.250 0.250

1 2 01 0 3−1 0 1

· 0 0.25 −0.7500.5 −0.125 0.375

0 0.250 0.250

= 1 0 00 1 0

0 0 1

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