““Matriz Hessiana para Matriz Hessiana para Funciones de Varias Funciones de Varias

Variables”Variables”

Nayeli Castillo Carranco

Hessiano de tres Hessiano de tres variablesvariables

, , , …

Significa que se deriva la función original primero con respecto a x y luego se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a z.

Si las derivadas parciales cruzadas existen y son continuas entonces:

Hessiano de n Hessiano de n variablesvariables

Pasos a seguir para encontrar Pasos a seguir para encontrar máximos y mínimos utilizando máximos y mínimos utilizando matrices Hessianasmatrices Hessianas1. Tener la función original que se va a

trabajar.

2. Calcular las primeras derivadas parciales de la función con respecto a cada una de las variables que tiene la función original.

3. Igualar a cero las primeras derivadas que se calcularon en el paso 2.

4. Resolver el sistema de ecuaciones simultáneas del paso 3 para encontrar el valor de cada una de las variables (coordenadas de los puntos críticos).

5. Teniendo los puntos críticos que se encontraron en el paso 4, se tiene que calcular las segundas derivadas parciales en el punto crítico, para asignar los valores de cada elemento de la matriz hessiana.

6. Resolver la matriz hessiana normalmente como se resuelve el determinante de una matriz cuadrada. El resultado que se obtenga de la matriz hessiana es la respuesta.

Conclusiones. Caso 3 o más Conclusiones. Caso 3 o más variablesvariables

Si todos los determinantes de la matriz hessiana tienen signo positivo, entonces la función tiene un MÍNIMO en el punto crítico ( ).)

Si los determinantes tienen signo alterno (comenzando con un valor negativo), entonces la función tiene un MÁXIMO en el punto crítico (i.e . ).

Si no se cumple lo dicho en los literales a) y b), o sea en cualquier otro caso se concluye que NO HAY INFORMACIÓN o EL CRITERIO NO ES CONCLUYENTE.

Nota: se comienza trabajando la matriz hessiana f(x) o de 1 x 1, luego f(x,y) o de 2 x 2, luego f(x,y,z) o de 3 x 3,… hasta llegar a f(x,y,z,…n) o de n x n.

Ejemplo 3 variablesEjemplo 3 variablesEncontrar los máximos y mínimos (si los

hay) de la función:

Solución: Calcular las primeras derivadas parciales

de la función con respecto a cada una de las variables que tiene la función original:

 I 

2 2 2( , , ) 7f x y z x y z xy

Igualar a cero las primeras derivadas:

Encontrar los valores de x, y y z, que serán las coordenadas de los puntos críticos:

Las coordenadas del punto crítico son: f(0,0,0).

Calcular las segundas derivadas en el punto crítico para generar la matriz hessiana:

Resolver la matriz hessiana tal como se resuelve la determinante de una matriz cuadrada:

Conclusiones de la respuesta obtenida:

La determinante de la matriz hessiana H(x) o de 1x1 da como resultado 2 (resultado positivo).

La determinante de la matriz hessiana H(x,y) o de 2x2 da como resultado 3 (resultado positivo).

La determinante de la matriz hessiana H(x,y,z) o de 3x3 da como resultado 42 (resultado positivo).

Y como:“Si todos los determinantes de la

matriz hessiana tienen signo positivo, entonces la función tiene un MÍNIMO en el punto crítico.”

Por tanto en el ejercicio:

La función tiene un MÍNIMO en el punto crítico (0,0,0).

2 2 2( , , ) 7f x y z x y z xy