7/21/2019 heun_teoria

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Fundamentos Matematicos para la Arquitectura II.

(Prof. Gladys Narbona Reina)

Metodo de Heun (Tema 1)Al igual que el metodo de Euler, el de de Heun es un metodo numerico para encon-

trar una solucion aproximada de un problema de condicion inicial de primer orden:

(P )

  y(x) = f (x, y(x)), x  ∈ [a, b]y(a) = y0

Consideramos una particion uniforme del intervalo [a, b], con  N   puntos:

a =  x0  < x1  < x2  < . . . < xN −1  < xN  = b

donde cada nodo esta definido por

xk =  x0 +  kh k = 1, . . . , N  

siendo  h =   b−a

N   el paso de la particion.

Como ya vimos, el metodo de Euler se basa en la aproximacion de la solucion encada nodo por el valor que proporciona la recta tangente trazada desde el nodo ante-rior, ya que conocemos la pendiente que viene dada por la funcion  f (x, y).Esto significa que al calcular por ejemplo la aproximacion en el nodo x1, estamos consi-derando que la pendiente en ese intervalo [x0, x1] viene dada por  f (x0, y0) y la solucion

aproximada es:y1 = y0 +  hf (x0, y0)

Pero, ¿por que considerar como aproximacion de la pendiente el valor en el punto ini-cial? Podemos considerar por ejemplo una media de la final y la inicial o un promediocon diferentes valores en el intervalo. Al considerar diferentes posibilidades obtenemosdiferentes metodos.

La idea del metodo de Heun   es aproximar esta pendiente por el promedio en-tre los valores de la pendiente en el punto inicial y el final. Podemos escribir entoncesla aproximacion  y1  de la siguiente forma:

y1 = y0 +  hf (x0, y0) +  f (x1, y1)

2  .

El problema es que el termino f (x1, y1) depende a su vez de  y1 que no conocemos. Parasolventar este problema, se toma la aproximacion de Euler para  y1 solo en ste termino.Es decir, escribimos:

y1 =  y0 +  hf (x0, y0) + f (x1, p1)

2  ,

donde p1 = y0 +  hf (x0, y0).

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Esta es la primera iteracion del metodo de Heun, tambien llamado metodo de Eulermejorado.

La expresion general del metodo de Heun  es la siguiente:

xk = x0 +  kh;

 pk = yk−1 +  hf (xk−1, yk−1);

yk  =  yk−1 +   h

2

f (xk−1, yk−1) + f (xk, pk)

, k = 1, . . . , N  

Se puede probar que   el metodo de Heun es de orden 2, es decir, existe unaconstante  C > 0 tal que:

e  ∼ C h2

siendo  e  el error global.

EJERCICIO: Realizar los ejercicios correspondientes a la practica del Tema 1: Ecua-

ciones diferenciales de primer orden. Resoluci´ on numerica.

Entregar el archivo de Mathematica  en la tarea correspondiente de la Ensenanza virtual.