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TEORIAS DE FUNCIONAMIENTO DE LA HELICE
Por el Profesor Titular
D ANTONIO BAQUERO
APUNTES DE LA ASIGNATURA
HIDRODINAMICA MARINA 4deg CURSO - Plan 2002
JUNIO 2008
-bull
1
)
) INDICE )
PREAacuteMBULo E INTRODUCCIOacuteN 1
Capiacutetulo 1 TEORIacuteA DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO 2
Capiacutetulo 2 TEORIacuteA DEL ELEMENTO DE PALA 16
Capftulo 3 TEORIacuteA DE LA CIRCULACIOacuteN 22
)
PREAMBULO
Estos Apuntes forman parte de la asignatura HIDRODINAacuteMICA MARINA incluida en 40 curso del Plan 2002 Han sido elaborados a partir de notas tomadas a este Profesor en clase por la alumna de la ETSIN Canrnen Loacutepez de Rojas Despueacutes han sido corregidos y parcialmente reformados por el Profesor No obstante toda la labor de procesamiento de textos y de generacioacuten de figuras y cuadros corresponde iacutentegramente a la mencionada alumna cuya labor el Autor desea calificar de absolutamente extraordinaria y merecedora si ello fuera posible de figurar como coshyautora de los Apuntes
Madrid Junio de 2008
ANTONIO BAQUERO
INTRODUCCIOacuteN
TEORIacuteAS DE FUNCIONAMIENTO DE LA HEacuteLICE GENERALIDADES
Las Teoriacuteas de Funcionamiento de la Heacutelice son el conjunto de hipoacutetesis y caacutelculos numeacutericos que sirven para representar analiacuteticamente los fenoacutemenos fiacutesicos implicados en el funcionamiento hidrodinaacutemico de la heacutelice Estas teoriacuteas permiten realizar dos tipos de anaacutelisis
1) Para una heacutelice especiacutefica cuya geometriacutea se conoce permiten determinar queacute fuerzas actuacutean sobre las palas de la misma
2) Si se requiere que la heacutelice proporcione unas fuerzas de valor predeterminado (fundamentalmente el empuje) puede proyectarse la misma para que el rendimiento sea lo mejor posible
Existen tres teoriacuteas que intentan explicar el funcionamiento de la heacutelice que han ido evolucionando a lo largo del tiempo en funcioacuten del desarrollo de los instrumentos matemaacuteticos y el conocimiento de la mecaacutenica de fluidos Estas teoriacuteas son
bull Teoriacuteas de la cantidad de movimiento
bull Teoriacutea del elemento de pala -bull bull Teoriacutea de la circulacioacuten
1
CAPIacuteTULO 1
TEORIacuteA DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Esta teoriacutea fue propuesta por Rankine A su vez se ramifica en otras dos en funcioacuten de los fenoacutemenos contemplados en el estudio
bull Teoriacutea de la Cantidad de Movimiento Axial
bull Teoriacutea del Impulso Angular
La teoriacutea de la Cantidad de Movimiento AXial supone que todo el flujo se mueve paralelamente al eje de la heacutelice (la velocidad soacutelo tiene componente axial) mientras que la teoriacutea del Impulso Angular maacutes compleja que la anterior contempla otra componente de la velocidad una rotacioacuten en torno al eje de la heacutelice Inducido por el funcionamiento de esta
11 Teoda de la Cantidad de Movimiento Axial
- Hipoacutetesis de partida
1) Fluido incompresible no viscoso (fluido ideal)
2) Flujo uniforme y paralelo ( la heacutelice se encuentra en aguas libres sin la perturbacioacuten de la carena)
3) Se asemeja la heacutelice a un disco actuador sin palas y sin perfiles
4) Se considera que el disco de la heacutelice no gira y el movimiento del fluido es axial (paralelo al eje de la heacutelice)
5) la presioacuten del fluido suficientemente aguas arriba yaguas abajo del propulsor es la misma siendo su valor Po
6) Estaacuten diferenciados el fluido que atraviesa el disco de la heacutelice y el fluido que pasa por fuera del mismo Se considera que se forma un tubo de corriente
- Dominio fluido
Todos los caacutelculos considerados se realizan por unidad de tiempo Para el estudio se toma un dominio rectangular (AABB) de un fluido suficientemente amplio para que la presioacuten en AA y BB sea Po como se considera en las hipoacutetesis
2
A B
Ve
po
Ao
A Ve
po p Ap
-p+ilp Vp
-
V
po As
A B
Donde
v = Velocidad de entrada en el dominio v p = Velocidad en el propulsor V s = Velocidad de salida dentro del tubo de corriente Aa = Aacuterea de entradasalida en el dominio A = Aacuterea de entrada en el tubo de corriente Ap = Aacuterea en el propulsor As = Aacuterea de salida del tubo de corriente F El tubo de corriente se crea por el funcionamiento de la heacutelice
cambiando de seccioacuten por el cambio de velocidad provocado por la heacutelice
El funcionamiento de la heacutelice crea un salto de presiones (Llp) en el disco Los diagramas de velocidades y presiones en el dominio y tubo de corriente son middotcomo sigue
Perfil de presiones en el Po po tubo de corriente
V Perfil de velocidades en el tubo de corriente
Po = Presioacuten aguas arriba p = Presioacuten en la cara de entrada de la heacutelice p+Llp = presioacuten en la cara de salida de la heacutelice
3
J
A B
-c -c Ve
Po --ltgt
=ltgt-c --ltgt -e -ltgt
--ltgt -oCgt VVe -D 1shy --ltgt
-ltgt -~
~ -c r---- --lt ----ltgt -D
A B
- Proceso de caacutelculo
a) Se aplica la ecuacioacuten de continuidad del fluido (que implica que no se puede acumular fluido en el dominio) en el dominio por unidad de tiempo entra la misma cantidad de fluido que la que sale
Flujo que entra por AA = AOVe
Flujo que sale por BB Asvs +(AO -As )Ve
Flujo que sale por AB y AB (por continuidad) =
Flujo AA - Flujo BB = Aove - Avs -AOve + Asve = As (ve -vs )
Como Vs gt ve el flujo es negativo es decir que realmente por AB y AB
el flujo entra y no sale
b) Aplicamos ahora el teorema de la variacioacuten de la cantidad de movimiento
LlCantidad de movimiento =iquestF Exteriores
Cantidad de movimiento que entra por AA = m-ve = pAoveve = PAOV~
Cantidad de movimiento que sale por BB = PAsvt +p(AO -As )v~
Cantidad de movimiento que sale por AB y AB = pAs (ve -vs)ve (Se ha hecho la hipoacutetesis simplificativa de que la velocidad en AB y AB es ve)
LlCantidad de movimiento = Lo que sale - Lo que entra = 2 2 2 2 2pAsvs +pAove -pAsve +pAsve -pAsvsve -pAoVe
4
Es decir queda
iquest F Exteriores = Empuje de la Heacutelice ~ T Y por tanto
Aplicando la ecuacioacuten de la continuidad del fluido dentro del tubo de corriente vemos faacutecilmente que
Que se sustituye en la ecuacioacuten del empuje ya deducida quedando
c) Aplicamos ahora la ecuacioacuten de Bernouilli en el tubo de corriente en doacutes etapas
c1- Entre la entrada del tubo y la seccioacuten inmediatamente anterior al disco de la heacutelice
c2- Entre la seccioacuten inmediatamente posterior al disco de la heacutelice y la salida del tubo de corriente
5
i
el
Pero tambieacuten podemos obtener el empuje como la diferencia de las fuerzas que actuacutean en ambas caras del disco
T =(P+b-P-PAp = b-pAp y por tanto
1 (2 2)T=2PAp Vs -ve (2)
Igualando las ecuaciones del empuje (1) y (2) se obtiene
~ pAp (v~ -v~) = pApvp (vs -ve)
Es decir
IIVp = VSV~ (3)
Que nos indica que la velocidad en el disco es la media aritnieacutetica de las velocidades de entrada y salida
Concepto de velocidad inducida
Realizamos ahora un cambio de nomenclatura definiendo para ello el concepto de Velocidad Inducida Axial (u a) como la diferencia entre las velocidades del flujo muy aguas arriba y muy aguas abajo del propulsor dentro del tubo de corriente
ua=Vs-Ve ~ vs=ve+ua
Al introducir esta expresioacuten en la (3) de la velocidad del propulsor se obtiene
Ve+ua+Ve ua +2ve _ua--+vevp 2 2 2
IIVp =Ve+fll (4)
Esta expreslon significa que la velocidad en el propulsor es la velocidad aguas arriba mas la mitad de la velocidad inducida total
6
Otros autores emplean otra notacioacuten para Y p y Y s
a = ~ Valor adimensionalizado de ua 2v 2vp =ve (l+a) e
Vs =ve (1+b) u b =---ordf- Valor adimensionalizado de ua
ve
- Rendimiento de la heacutelice en aguas libres (110)
La expresioacuten del rendimiento es
Potencia Uacutetil 110
Potencia Entregada
La potencia uacutetil es la necesaria para mover el disco a una velocidad Ve F
La potencia entregada o suministrada al ignorar los efectos viscosos es igual al inclemento de energiacutea cineacutetica en el tubo de corriente
Potencia entregada =LEc
Ec que entra Ec que sale
Ya que
De este modo el rendimiento queda
7
1 (2 2)-pAp Vs -ve ve v 2 =~ ~ 110 1 (2 2) v OJ2PAp Vs -ve vp P
E introduciendo el concepto de velocidad inducida
1ve 1 (S)110 = u110 u a1+ -shyve +--ordf- 1+~
2ve2 2ve
En otra notacioacuten
ua 11110 = 1~a ~ a= 2v
e
Hemos obtenido por tanto el valor del rendimiento de la heacutelice con 3 formulaciones distintas pero equivalentes Todas ellas nos indican que cuanto menor sea la velocidad inducida el rendimiento de la heacutelice seraacute mayor
Es interesantildete reflejar 110 en funcioacuten de alguacuten paraacutemetro que pueda extraerse del ensayo del propulsor aislado El paraacutemetro maacutes interesante es el coeficiente de empuje CT
1 (2 2)-pAp Vs -ve v 2 _v2 2T 2 s e V s -1C = 2 1 2 2 2
T ~-PVeAp 2PVeAp ve ve 2
Siendo V s = ve + ua se puede reescribir de la siguiente manera
v u ~=1+-ordf-ve ve
E introduciendo esta expresioacuten en la del coeficiente de empuje nos queda
CT =[1+ ~) 2
-1
Despejando de aquiacute el valor de uave necesario para entrar en la
expresioacuten del rendimiento tenemos
8
12
U -1+ 11+CT=gt -ordf- =-1 + 11 + C =gt a =_---1_ _ shyv V T 2e
Esta expresioacuten indica que para una velocidad de entrada constante la velocidad inducida aumenta a medida que aumenta el coeficiente de empuje
De aquiacute se deduce que las heacutelices muy cargadas (heacutelices pequentildeas que suministran mucho empuje) tienen altas velocidades inducidas y por ello un mal rendimiento
El rendimiento de la heacutelice en funcioacuten del coeficiente de empuje resulta sustituyendo en (5)
1 2 riexcl - ------r====~0- -l+Jl+C
T1 + ------- - shy2
La representacioacuten graacutefica del rendimiento y de la velocidad inducida en funcioacuten del coeficiente de empuje tiene el aspecto de la Siguiente figura
-a -rend
1
08
06
04
02
O~-----~---~--~------r-----r---~
o 1 2 3 4 5 6 7
9
12 Teoriacutea del Impulso Angular
- Hipoacutetesis de partida
1) Fluido incompresible no viscoso (fluido ideal)
2) Flujo uniforme y paralelo (heacutelice se dispone en aguas libres sin la perturbacioacuten de la carena)
3) Se asemeja la heacutelice a un disco actuador sin palas y sin perfiles
4) La presioacuten del fluido suficientemente aguas arriba yaguas abajo del propulsor es la misma siendo su valor Po
5) Estaacuten diferenciados el fluido que atraviesa el disco de la heacutelice y el fluido que pasa por fuera del mismo Se considera que se forma un ntubo de corriente
6) El disco de la heacutelice gira con una velocidad angular CiJ que imprime al fluido una cierta velocidad de rotacioacuten ademaacutes de la componente axial
Dominio fluido
Para el caacutelculo se recurre de nuevo al dominio AABB y al empleo de la notacioacuten adimensionalizada de las velocidades inducidas
La velocidad de rotacioacuten de la heacutelice es w
A B
A
As
A B
wmiddota = Rotacioacuten del fluido en el disco de la heacutelice CJ) middotb = Rotacioacuten del fluido en la salida del tubo de presioacuten
10
-
~
A v v( l +a) v(l+b) uacutelo=O uacute)a (iexcl) b=Wl
1--
Ap
De nuevo operaremos por unidad de tiempo Para el estudio consideramos una corona circular en el disco de la heacutelice cuya aacuterea seraacute I dAp Y que proporcionaraacute un empuje dT y absorberaacute un par dQ
dT
dm= pdApVe (1+ a)dQ
dI = pdApve (l+a)r2
o dm Elemento diferencial de masa que atraviesa la corona por unidad
de tiempo
dI Momento de inercia diferencial de la masa que atraviesa la corona por unidad de tiempo
- Proceso de caacutelculo
Aplicamos al flujo que atraviesa la corona el teorema del impulso angular que dice que la variacioacuten del impulso angular es Igual a la suma de los momentos exteriores
~Impulso Angular = Imiddot~w = iquestMomentos Exteriores
El uacutenico momento exterior aplicado al fluido que atraviesa la corona es el diferencial de par hidrodinaacutemico que absorbe
iquestMomentos Exteriores = dQ
La variacioacuten del impulso angular del flujo que atraviesa la corona seraacute como w1 = wmiddotb Y W = O o
6 Impulso angular=[w1 -Wo ] dI=[W b-O]dI
y por tanto aplicando el mencionado teorema y sustituyendo el valor de dI
(6)
11
Ahora aplicaremos el teorema de la variacioacuten de la energiacutea cineacutetica que nos dice
Trabajo angular de los pares exteriores=IE cineacutetica de rotacioacuten
dQmiddotd0=lEc
Donde d0 es el aacutengulo girado por unidad de tiempo
d0=wpqt [dt=l] =gt d0=Wp
y la variaclonde la energiacutea cineacutetica de rotacioacuten vale
1 2 1 2 [ ]lEc =2dIW1 - 2 dIWO = OWo
luego podemos escribir
bull 1 2
dQwa =-dI(wb)2
Donde wp = wa es la velocidad de rotacioacuten del fluido que atraviesa la
heacutelice
Introduciendo ahora el valor de dI antes obtenido
122dQwa=zPdApVe(l+a)r (wb) =gt
1 b2 =gt dQ =-zPdAp~w7ve (1+ a) (7)
j
I E igualanqo (6) y (7) I
21 2 1 2 b W9PdApve (l+a)r = 2PdApr iacutell7 ve (1la)
~ =gt~
Esta expresioacuten indica que la velocidad inducida de rotacioacuten en el disco es la mitad de la velocidad inducida de rotacioacuten en la salida del tubo de corriente O sea que con las velocidades inducidas de rotacioacuten se cumple lo mismo que con las velocidades inducidas axiales
12
Definiremos velocidad tangencial inducida Ut como
Donde W = 2nn es la velocidad de rotacioacuten de la heacutelice
Entonces es obvio que u ub= __t_ a= __t_
2nnr 4nnr
o sea que la velocidad inducida tangencial en el disco es la mitad que aguas abajo
- Rendimiento de la heacutelice en aguas libres (llo)
Potencia Uacutetil (
dQw = TrabajoUacutetiacutel + Peacuterdidas por Ecineacutetica de traslacioacuten +
Peacuterdidas por Ecineacutetica de rotacioacuten
- 1 2 1 2 dQmiddotw=dTve+-dm(veb) +-dI(wb) (8)
2 2
Apoyaacutendonos en la teoriacutea de la cantidad de movimiento axial
ClT = pAacutepvp (vs -ve) ~ pAacutepve (1 +a)(veb)= pAacutepv~ (1+a)b ( v =ve(1+b) _ -~ s
vp=ve(1+a)
Comparando con la expresioacuten obtenida antes para la corona circular iexclshy
dm = pdApve (l+a)
Obtenemos
Como se ve el empuje estaacute muy relacionado con la cantidad de masa que atraviesa la heacutelice
Mediante el teorema del impulso angular (6) buscamos una expresioacuten similar para el momento de inercia para dejar todo en funcioacuten de dT y dQ
13
dI= dQdQ = dIoob = j oob
Sustituyendo en la expresioacuten de la potencia entregada (8)
dQw = dTv +~ dT b2v2 +~ dQ oo2b2 e 2 v be middot 2oobe
1 1dQoo = dTve +-dTbv +-dQoob
2 e 2
dQ[ 00- ~ oob]=dT[ve + ~Veb]
= dQoo[l- ~J=dTVe[1+J
y por tanto al ser b2 = a y b2 = a
= IdQoo(l-a)=dTve (1+a)1
Con esta uacuteltima expresioacuten calculamos el rendimiento
-adTve 1-a fl -shy=flo = dQoo = l+a O l+a ~
- Anaacutelisis de resultados
Comparando las dos expresiones obtenidas para el rendimiento con la Teoacuteriacutea de la Cantidad de Movimiento Axial y con la Teoriacutea del Impulso Angular tenemos
1- a1 riexcl = fl01 = l+a 02 l+a
T C Mov Axial T Impulso Angular
Dado que a es positivo l-a lt 1 Y por tanto
IflOAngUlar lt flOAxial1
Hay una diferencia introducida al considerar la velocidad angular del fluido y resulta un rendimiento maacutes bajo La teoriacutea del impulso angular es maacutes completa que la axial ya que tiene en cuenta maacutes fenoacutemenos ntildesicos y
14
---
se asemeja maacutes a la realidad El rendimiento es maacutes bajo que con la teoriacutea de la Cantidad de Movimiento axial y maacutes cercano a la realidad pero auacuten asiacute estaacute alej ado del rendimiento real por no considerarse otros fenoacutemenos que aparecen como la friccioacuten
En la figura siguiente se representa el aspecto de la variacioacuten de il y a as iacute como del rendimiento en funcioacuten del coefieciente de carga CT
12-- - ------shy a
- - a
-----C---- ----rend Sldal
~~ -rend angular
08 t-- --------- - --- - - ----- - shy
06 ~s -=~----~__2 04 t---------c~~~~~----0 2 t---------=---~=------ -shy -shy -shy
deg O~~_--~----~--_----__----__--~
2 3 4 5 6 7
1shy
15
Integrando estas curvas se obtiene T y Q de cada pala y si se multiplica por el nuacutemero de palas Z se obtienen T y Q totales de la heacutelice
fdT Q=Z fdQ drT=Z _-dr dr dr
rH = Radio del nuacutecleo R = Radio de la heacutelice
Para conocer estas distribuciones la teoriacutea del elemento de pala estudia queacute pasa en cada rebanada de la pala Para esto se recurre a la teoriacutea de perfiles de la que haremos un breve repaso
- Teoriacutea de PentildeiJes
En la siguiente figura se tiene un perfil inmerso en un flujo de velocidad V r y con un cierto aacutengulo de ataque respecto del mismo
dD
Paso dL = Sustentacioacutenzero geomeacutetrico - dD= Resistencia viscosa
aAacutengulo de ara e
v
En un fiuido viscoso aparece una capa liacutemite que distorsiona el campo de presiones y da lugar a la resistencia de presioacuten de origen viscoso pero la componente predominante en la resistencia del perfil es la debida a la friccioacuten
La sustentacioacuten aparece en el perfil por la diferencia de velocidades del fluido a cada cara del perfil que origina una diferencia de presiones entre las caras que da lugar a la sustentacioacuten
En la figura puede verse
Liacutenea de pasos liacutenea que une el borde de entrada y salida
Aacutengulo de ataque aacutengulo entre el flujo incidente y la liacutenea de pasos
Cuando el aacutengulo de ataque es cero nos encontramos en la condicioacuten de shock free entry Sin embargo la sustentacioacuten no es nula sino algo mayor debido a la asimetriacutea del perfil que viene medida por su curvatura
F
17
El valor de Uo (aacutengulo de sustentacioacuten nula) depende fundamentalmente de la curvatura del perfil ( en ingleacutes camber)
Cto F(curvatura (camber)) t curvatura =gt t eto
Estudiemos el triaacutengulo de velocidades y fuerzas sobre el elemento de pala
VR = Velocidad total Incidente sobre el perfil ltlgt = Aacutengulo de paso geomeacutetrico 13 = Aacutengulo de avance 13 Aacutengulo de paso hidrodinaacutemico u = Aacutengulo de ataque = ltlgt - 13
F dL
1gt
un
- Planteamiento
dOtany=shy
dF =dL sin~+dOcosf3iexcl
dT= dL cos ~ -dO sin ~ =dL ( cos ~- ~~ sin~) dL
Q
dT =dL(COs 13-- siny sin 13-)= ~ (cos 13cosy-siny sin 13)1 cosy 1 COsy 1
dT = ~ [cos(r + 13)]cosy 1
Haciendo lo mismo para dFQ resulta
sln(Y+I3-)dF = dL 1
Q COsy
Pondremos ahora la sustentacioacuten en funcioacuten de eL
19
Hemos llegado a unas expresiones que nos dan el reparto radial de empujes y pares totales de la heacutelice asiacute como del rendimiento Ahora hay que ver si se pueden aplicar
- Anaacutelisis criacutetico
p Z VA = Conocido
c = Conocido al conocer la geometriacutea
a = No conocemos su valor particular para cada seccioacuten podemos tantear el valor total para toda la heacutelice seguacuten las teoriacuteas de la cantidad de movimiento
CL = fA) 2 C1+C1o) no conocemos ni et ni eto para cada seccioacuten
Ademaacutes tendriacuteamos que pensar el A de una rebanada no tiene sentido por tener un espesor diferencial Podemos estimar un valor promedio
R-eacuteA= H rH = radio del nuacutecleo
cmedia
13 = depende del valor de la velocidad inducida de cada seccioacuten que depende del valor_de a de la seccioacuten que no se conoce es por lo tanto una incoacutegnita
y = a su vez depende de A cuyo valor es incierto
Podemos concluir por tanto que aunque se ha llegado con relativa sencillez a las expresiones anteriores estas no son realmente utilizables Se pueden usar valores medios para hacer una estimacioacuten pero no sirven para realizar caacutelculos fiables hasta aquiacute llega esta teoriacutea
Por lo tanto para intentar obtener resultados maacutes coherentes es preciso avanzar algo maacutes y emplear la Teoriacutea de la Circulacioacuten que es bastante maacutes compleja y requiere otras herramientas
21
)
) p Esto equivale a poner en el centro del cilindro un torbellino de intensidad r Ambos campos de velocidad consideradosCel inicial paralelo y uniforme y el nuevo radial) se suman resultando un nuevo campo de velocidadesp
Las liacuteneas de corriente se modifican quedando como en la siguiente figura
L En la parte superior del cilindro los dos campos de velocidades se suman y por tanto la velocidad es mayor que en flujo inicial En la parte inferior del cilindro ocurre lo contrario Se desplazan los puntos de remanso
Se pueden calcular v y p analiacuteticamente y aparece una fuerza la sustentacioacuten Clift)
L = sustentacioacuten Dirigida perpendicularmente al flujo uniforme y paralelo inicial
Calculemos la siguiente integral curviliacutenea que nos daraacute la circulacioacuten del vector velocidad sobre el cilindro
Donde
pVx ~dS=O campo simeacutetrico
-- rPero pvrdS = P2nr dS ya que Vr y dS son paralelos en la
superficie del cilindro Luego
r r rI=p- dS= - pdS=-2nr=r2n r 2n r 2n r
23
~===~====~ ~~-------------- Starting Vortex
El torbellino de intensidad r es desplazado aguas abajo hacia el borde de salida por el resto de liacuteneas de corriente
Recordemos un teorema baacutesico de la Teoriacutea Vorticial que dice que en un dominio fluido la vorticidad total permanece constante
-r 0gt r
= ==0==y~0 ~000
Inicialmente en el dominio fluido antes de introducir el perfil la vorticidad total era nula por lo que ha de aparecer otra circulacioacuten (-1) que compense a la del Starting Vortex Esta aparece en torno al perfil Aparece un nuevo campo de velocidades a causa de esta circulacioacuten en torno al perfil
El punto de remanso B se desplaza ahora al punto anguloso de salida lo que implica que los flujos queL van por arriba y por abajo no se mezclan B se desplaza a base de desprender torbellinos hasta llegar al borde de salida Esta es la Condicioacuten de Kutta
Ademaacutes como en el caso del cilindro si calculamos ahora v y p se obtiene que aparece una fuerza sobre el perfil la sustentacioacuten (l) que es perpendicular al flujo v
25
Esto permite a la hora de estudiar los perfiles y las fuerzas hacer una abstraccioacuten y llegar a sustituir el perfil por un flujo uniforme una liacutenea de torbellinos de verticidad r y una fuerza (l) [Suponiendo un perfil de ancho infinito]
VR - - ---ICgt
r
A la liacutenea de torbellinos se le llama liacutenea de sustentacioacuten ya que los torbellinos secteneran sustentacioacuten La parte de la Teoriacutea de Circulacioacuten que estudia los perfiles sustituyeacutendolos por liacuteneas de sustentacioacuten se llama Teoriacutea de la Liacutenea de Sustentacioacuten ( Ufting-line Theory)
d Perfiles de envergadura finita
Todo lo anterior ocurre en perfiles de envergadura ( ancho perpendicular al papel) infinita que loacutegicamente no existen en la realidad los perfiles que nos encontraremos (alas de avioacuten timones palas de heacutelices etc) son perfiles de envergadura finita es decir t ienen un ancho (alto) determinado Entonces aparece un nuevo fenoacutemeno tridimensiol)ltlJ no como hasta ahora que era siempre un flujo 2D
Efectos 3D
Torbellinos de ~ extremo de ala
S ~~-------------p_p-+--------iquest~
En los bordes del perfil el flujo se escapa de las zonas de preslon maacutes alta ( cara inferior del perfil) hacia las de presioacuten maacutes baj a ( cara superior
27
Como consecuencia de lo anterior en el borde de salida del ala se ) encuentran dos flujos cruzados el superior con una componente hacia el ) centro y el inferior con una componente hacia los extremos que dan lugar
a torbellinos desprendidos a lo largo de todo el borde de sal ida Eacutestos forman una hoja de torbellinos donde los de mayor intensidad aparecen en los bordes laterales del perfil Estos torbellinos se conocen con el nombre de torbellinos libres y son arrastralos aguas abajo por el flujo principal hasta el infinito
IG G G
En consecuencia podemos concluir que en los perfiles de env ergadura finita es decir los perfi les de la vida real se escapan de los mismos una serie de liacuteneas de torbellinos libres hacia popa Podemos hacer una representacioacuten esquemaacutetica como sigue
d
d d
--shy ~~ado el
J shy~a I gar aL
dI
que
T Libres giran en sentidos contrarios a cada lado del ala
Son torbellinos elementales
La vorticidad de los torbell inos libres dI tiene que salir de alguacuten lado ( recordemos que la cantidad total de vorticidad en un dominio ha de permanecer constante) Sale obviamente del torbellino ligado que va perdiendo vorticidad desde el centro del ala hacia ambos bordes laterales
-fshy
29
linea Semi-infinita Si la liacutenea de torbellinos es de
longitud semi-infinita es decir con principio pero sin final y el punto P estaacute en el plano en el que comienza la liacutenea tendremos al integrar
-+00 r
u~--41t y
Es de=ir que una liacutenea de torbellinos semi-infin ita crea una velocidad inducida que es la mitad de la que crea una liacutenea de longitud infinita
En el borde de salida del ala cada torbellino libre puede considerarse como una liacutenea semi-infinita que empieza en dicho borde En el infinito aguas abajo esta liacutenea puede considerarse liacutenea infinita La velocidad inducida por el torbellino libre en el infinito es el doble de la inducida en el borde de salida Lo mismo le ocurre a la velocidad inducida por toda la hoja de torbellinos libres ya que es la suma de las generadas por cada torbellino individual en el infinito la velocidad inducida es el doble que en eacutel b9rde de salida del perfil
U en el infinito ) ~ en el perfil
Hemos hablado de los moacutedulos de la velocidad pero iquestqueacute pasa con las direcciones
uuml
La velocidad inducida por un torbellino es siempre perpendicular a la direccioacuten del mismo En el caso de los torbellinos libres que se desprenden de un ala eacutestos se ven arrastrados por el flujo incidente y por tanto su direccioacuten es la misma de dicho flujo es decir que uuml es perpendicular a la velocidad incidente y estaacute dirigida hacia la cara de presioacuten del perfil No tiene componente transversal ya que dichas componentes se anulan por simetriacutea las de los torbellinos de la mitad izquierda del ala con las de la mitad derecha debe recordarse que giran en sentidos contrarios
Los torbellinos libres generan un campo de velocidades en el espacio que se suma vectorialmente a la velocidad incidente VT Como hemos dicho la velocidad inducida por los torbellinos libres es siempre
31
32 APLICACIOacuteN EN HEacuteLICES
) - Torbellinos ligados torbellinos libres y velocidades inducidas
l )
)
Consideraremos que cada pala es un ala de envergadura finita de las que hemos estudiado en los puntos anteriores y como tal se sustituye por una liacutenea de torbellinos ligados Lo uacutenico diferente es la geometriacutea que ahora es mucho maacutes complicada que la del ala de un avioacuten
En efecto ahora la hoja de torbellinos libres desprendidos es una superficie helicoidal en vez de plana La velocidad inducida [j es perpendicular a dicha superficie y a su vez se puede descomponer en una componente longitudinal
[j (paralela al eje de la heacutelice) a ua y otra tangente a la
superficie del cilindro circunscrito u
Por cada pala se genera una hoja de torbellinos libres desfasados entre siacute por 360oZ (Z = nO de palas) que se van enroscando unas con otras originando un tirabuzoacuten de hojas de torbellinos Cada hoja induce en todos los puntos del espacio una velocidad lo que complica el caacutelculo de las velocidades inducidas ayudado por lo complejo de la geometriacutea de las hojas La velocidad inducida total resultante en un determinado punto seraacute la suma vectorial de todas las velocidades inducidas por cada una de las hojas de torbellinos Puede demostrarse ( no lo haremos en estos Apuntes) que los valores de dichas velocidades inducidas totales variacutean desde el infinito aguas arriba hasta el disco de la heacutelice y desde eacuteste al infinito aguas debajo de la manera recogida en el cuadro siguiente
Axial Tanqencial
OAguas arriba
O u -+shy2
Disco u 2
~ 2
Aguas abajo
u -~~U 2
u ----1-igtU 2
33
En la punta ambas fuerzas son cero ya que la circulacioacuten es nula al igualarse las presiones por pasar el flujo de la cara
07-08 R de presioacuten a la de succioacuten en la zona de la punta (figura de la derecha)
En la raiacutez de las palas la circulacioacuten no es nula pero es pequentildea El motivo es que aparece un fenoacutemeno de interferencia entre palas adyacentes por la proximidad de las mismas en esta zona
Aparecen zonas de alta y baja presioacuten de palas adyacentes que estaacuten bastante proacuteximas por lo que hay una cierta comunicacioacuten de fluido dejando de ser tan extremas las presiones reducieacutendose por tanto lltI sustentacioacuten que aparece y con ello la circulacioacuten
En las palasmiddot de una heacutelice ocurre lo mismo que vimos en las alas al tratarse de perfiles de envergadura finita la circulacioacuten variacutea con el radio r = r(r) y loacutegicamente tambieacuten lo hace la velocidad incidente total
vR = V R (r) que depende de v (conocida) y de la velocidad inducida uuml ( ver
triaacutengulo de velocidades) Es evidente tambieacuten que f3 =f(uuml)
Entonces recordando las expresiones que nos daban el empuje y la fuerza del par
Examinemos estas expresiones De todo lo que hemos expresado arriba se deduce que VR Y 13 dependen de las velocidades inducidas (uuml) pero eacutestas estaacuten generadas por las hojas helicoidales de torbellinos libres y por ello dependen de la vorticidad de los mismos (r) Eacutesta sabemos que vale
r = _ ar dr Br
Y en consecuencia depende de r(r) es decir de la distribucioacuten radial de circulacioacuten del torbellino ligado sobre la pala
35
) rendimiento global final de la heacutelice seriacutea mejor que el de la heacutelice inicial
) Pero esto es incompatible con la hipoacutetesis de partida seguacuten la cual rapt ya ) nos daba el mayor rendimiento global de la heacutelice lo luego dicha hipoacutetesis
de partida es absurda Por el contrario cuando l01 no varia con el radio no hay opcioacuten a jugar con la circulacioacuten de las secciones puesto que todo lo que se toque empeoraraacute el lo global de la heacutelice
Obviamente al ser constante I10i a lo largo del radio seraacute tambieacuten
numeacutericamente igual al rendimiento global de la heacutelice 110 O sea
1101 = cte - f(r) = 110
La condicioacuten de Betz por tanto se escribe para heacutelices en flujo uniforme
1=tg l3 o tg (3
Si la heacutelice trabaja en una estela el estudio hay que realizarlo con el rendimiento cuasi-propulsivo de cada seccioacuten en vez de con el de propulsor aislado Al final puede demostrarse ( no lo haremos aquiacute) que se llega a
ID estela media circunferencial
ro estela efectiva
~ Relacioacuten emplrica entre y = la estela y el coeficiente de succioacuten
Es decir una expresioacuten similar a la de flujo uniforme pero con un factor antildeadido que depende de la estela
- Relacioacuten entre circulacioacuten y velocidades inducidas
Es muy importante encontrar una relacioacuten entre la circulacioacuten del torbellino ligado y las velocidades inducidas por los libres es decir la funcioacuten r = f (u) Para ello suponemos la heacutelice funcionando con las hojas de torbellinos desprendidas seguacuten la figura siguiente en la que se han representado las palas sustituidas por sus liacuteneas de sustentacioacuten( torbellino ligado) las hojas de torbellinos helicoidales libres y la velocidad inducida aguas abajo que es perpendicular a la hoja de torbellinos
Ut ----[gt
Ua
37
- - -
1
1 B A Hay infinitas liacuteneas de sustentacioacuten que atraviesan la superficie del cilindroO r Aplicando Stokes O r
El flujo del rotacional = circulacioacuten alrededor del contorno El flujo del rotacional es la suma de las
I I circulaciones de los torbellinos ligadosI I que ha cortado el cilindro es decir r oo
y por tantoI O r I
iquestr=roo =~uumlxdl dondeBI lA u=u +ua t
Calculemos la integral curviliacutenea anterior
~uuml x di = r (ua +utl dl + r(ua +ut )-dl + J(ua +ut)-dl+ r (Ua +~)di (1) (2) (3) (4)
(2) - - (4) Se anulan entre sr por recorrerse el m ismo camino en sentidos inversos shy
ut = O (por estar aguas arriba del propulsor) (3)=gt_ _ (3)=0
uaL di
Luego solo queda la integral (1)
iquestr=r~dl+Juadl =gt rr=r =rutdi
ya que UaL di
Por otra parte Ut es paralelo a di entre A y A luego
Hemos visto que para Z=oo Ut es constante a lo largo de la
circunferencia y puede salir de la integral Por tanto queda
Veamos ahora el caso de nO finito de palas Z En este caso la circulacioacuten total seraacute zr y por tanto
39
Para otras aplicaciones tomaremos A =x t9 13
- Distribucioacuten radial de empujes y pares
Primero hallaremos la relacioacuten entre las velocidades inducidas uYz y
uiexcl y el aacutengulo de paso hidrodinaacutemico 13
dL dT
u sin 13 sin(I3 - ~ ) = V R - --------c---7-shy2 cos(I3 -13 )
y ademaacutes
v _ VR VA
T - cos(f3 -13) sinl3
Entonces
v = V cos(13-(3) bull sin13
y por tanto sustituyendo
~=v cos(13 -13) sin 13 sln(13- 13) 2 sinf3 cos(f3- 3)
~=v sin 13 sin(I3 -3) 2 A sin 13
y del mismo modo
u = v cos 13 sin(3 - (3) 2 A sin 13
y por tanto sustituyendo en
z r = 211 r a3 u
41
El empuje de cada pa la vale
T = J~ dT = J~ dLcos 13 =1r p r vcos 13 dr H
Introducimos el concepto de circulacioacuten adimenslonal
[G=-shy
nD VA
Y sustituyendo podemos reescribir la expresioacuten del coeficiente de empuje
8Z
n
Volviendo al triaacutengulo de velocidades
u2
u2 2nrn - shycos 13 = __---2=_
vR
2=
Sustituyendo arriba y reordenando
Usando los radios adimensionalizados
r dr O x = - dx = - =gt dr = - dx
R R 2
La expresioacuten anterior queda ahora con estos radios adimensionalizados
43
Sacando factor comuacuten resulta
Relacioacuten entre velocidades inducidas y u = Aiexcl X ( _1_-1 J rendimiento
2 v A X 2 + A~ 110
Esta uacuteltima expreslon soacutelo sirve para heacutelices oacuteptimas puesto que hemos hecho uso de la condicioacuten de Betz
Sustituyendo esta expresioacuten en el valor del coeficiente de empuje y realizando las integrales queda la expresioacuten
doacutende tras varios pasos intermedios 1 11 2x I - r o dx
1 - JrH x 2 1) ~ + A 2
1 =(1-110 x 3
d 2 1 2 2 X
~ 110 (x2 +AF)
Para resolver estas integrales hay que recu rri r a hipoacutetesis simplificativas como Xh=O o Z=oo No entraremos aquiacute en el desarrollo completo pero con esto y otras ayudas se llega a
(2)
En esta expresioacuten soacutelo interviene tres paraacutemetros CT to Y A
El paraacutemetro A estaacute muy relacionado con el grado de avance J En efecto
VA JA = x tg 13 = ~ VA = VA = shyR 2n r n 2n R n nOn n
CT puede ser calculado a partir del empuje y del diaacutemetro de la heacutelice Entonces la expresioacuten (2) nos permite conociendo el punto de
funcionamiento de la heacutelice (J) y el empuje ( que puede obtenerse de (~) 1-1
donde R es la res istencia al avance y 1 el coeficiente de succioacuten) estimar el valor to que era el eslaboacuten que faltaba para aplicar la condicioacuten de Betz y poder terminar el caacutelculo f-shy
45
T 2 Con CT = 1---- estimamos el valor de CT ideal a partir de ciertas
2 p v Ao
expresiones empiacutericas
3 Con Cn y A entramos en el Diagrama de Kramer y obtenemos l01
4 Con middottg 13 x y lo aplicando el Teorema de Betz tenemos j3lx para cada seccioacuten
5 lt1gt = 1gt + a~ ~ Sacamos la ley de pasos buscando el aacutengulo de ataque
ideal a I (shock free entry)
6 Lo demaacutes (cuerdas curvaturas espesores ) se obtiene de caacutelculos de resistencia mecaacutenica y de cavitacioacuten
-t
47
1
)
) INDICE )
PREAacuteMBULo E INTRODUCCIOacuteN 1
Capiacutetulo 1 TEORIacuteA DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO 2
Capiacutetulo 2 TEORIacuteA DEL ELEMENTO DE PALA 16
Capftulo 3 TEORIacuteA DE LA CIRCULACIOacuteN 22
)
PREAMBULO
Estos Apuntes forman parte de la asignatura HIDRODINAacuteMICA MARINA incluida en 40 curso del Plan 2002 Han sido elaborados a partir de notas tomadas a este Profesor en clase por la alumna de la ETSIN Canrnen Loacutepez de Rojas Despueacutes han sido corregidos y parcialmente reformados por el Profesor No obstante toda la labor de procesamiento de textos y de generacioacuten de figuras y cuadros corresponde iacutentegramente a la mencionada alumna cuya labor el Autor desea calificar de absolutamente extraordinaria y merecedora si ello fuera posible de figurar como coshyautora de los Apuntes
Madrid Junio de 2008
ANTONIO BAQUERO
INTRODUCCIOacuteN
TEORIacuteAS DE FUNCIONAMIENTO DE LA HEacuteLICE GENERALIDADES
Las Teoriacuteas de Funcionamiento de la Heacutelice son el conjunto de hipoacutetesis y caacutelculos numeacutericos que sirven para representar analiacuteticamente los fenoacutemenos fiacutesicos implicados en el funcionamiento hidrodinaacutemico de la heacutelice Estas teoriacuteas permiten realizar dos tipos de anaacutelisis
1) Para una heacutelice especiacutefica cuya geometriacutea se conoce permiten determinar queacute fuerzas actuacutean sobre las palas de la misma
2) Si se requiere que la heacutelice proporcione unas fuerzas de valor predeterminado (fundamentalmente el empuje) puede proyectarse la misma para que el rendimiento sea lo mejor posible
Existen tres teoriacuteas que intentan explicar el funcionamiento de la heacutelice que han ido evolucionando a lo largo del tiempo en funcioacuten del desarrollo de los instrumentos matemaacuteticos y el conocimiento de la mecaacutenica de fluidos Estas teoriacuteas son
bull Teoriacuteas de la cantidad de movimiento
bull Teoriacutea del elemento de pala -bull bull Teoriacutea de la circulacioacuten
1
CAPIacuteTULO 1
TEORIacuteA DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Esta teoriacutea fue propuesta por Rankine A su vez se ramifica en otras dos en funcioacuten de los fenoacutemenos contemplados en el estudio
bull Teoriacutea de la Cantidad de Movimiento Axial
bull Teoriacutea del Impulso Angular
La teoriacutea de la Cantidad de Movimiento AXial supone que todo el flujo se mueve paralelamente al eje de la heacutelice (la velocidad soacutelo tiene componente axial) mientras que la teoriacutea del Impulso Angular maacutes compleja que la anterior contempla otra componente de la velocidad una rotacioacuten en torno al eje de la heacutelice Inducido por el funcionamiento de esta
11 Teoda de la Cantidad de Movimiento Axial
- Hipoacutetesis de partida
1) Fluido incompresible no viscoso (fluido ideal)
2) Flujo uniforme y paralelo ( la heacutelice se encuentra en aguas libres sin la perturbacioacuten de la carena)
3) Se asemeja la heacutelice a un disco actuador sin palas y sin perfiles
4) Se considera que el disco de la heacutelice no gira y el movimiento del fluido es axial (paralelo al eje de la heacutelice)
5) la presioacuten del fluido suficientemente aguas arriba yaguas abajo del propulsor es la misma siendo su valor Po
6) Estaacuten diferenciados el fluido que atraviesa el disco de la heacutelice y el fluido que pasa por fuera del mismo Se considera que se forma un tubo de corriente
- Dominio fluido
Todos los caacutelculos considerados se realizan por unidad de tiempo Para el estudio se toma un dominio rectangular (AABB) de un fluido suficientemente amplio para que la presioacuten en AA y BB sea Po como se considera en las hipoacutetesis
2
A B
Ve
po
Ao
A Ve
po p Ap
-p+ilp Vp
-
V
po As
A B
Donde
v = Velocidad de entrada en el dominio v p = Velocidad en el propulsor V s = Velocidad de salida dentro del tubo de corriente Aa = Aacuterea de entradasalida en el dominio A = Aacuterea de entrada en el tubo de corriente Ap = Aacuterea en el propulsor As = Aacuterea de salida del tubo de corriente F El tubo de corriente se crea por el funcionamiento de la heacutelice
cambiando de seccioacuten por el cambio de velocidad provocado por la heacutelice
El funcionamiento de la heacutelice crea un salto de presiones (Llp) en el disco Los diagramas de velocidades y presiones en el dominio y tubo de corriente son middotcomo sigue
Perfil de presiones en el Po po tubo de corriente
V Perfil de velocidades en el tubo de corriente
Po = Presioacuten aguas arriba p = Presioacuten en la cara de entrada de la heacutelice p+Llp = presioacuten en la cara de salida de la heacutelice
3
J
A B
-c -c Ve
Po --ltgt
=ltgt-c --ltgt -e -ltgt
--ltgt -oCgt VVe -D 1shy --ltgt
-ltgt -~
~ -c r---- --lt ----ltgt -D
A B
- Proceso de caacutelculo
a) Se aplica la ecuacioacuten de continuidad del fluido (que implica que no se puede acumular fluido en el dominio) en el dominio por unidad de tiempo entra la misma cantidad de fluido que la que sale
Flujo que entra por AA = AOVe
Flujo que sale por BB Asvs +(AO -As )Ve
Flujo que sale por AB y AB (por continuidad) =
Flujo AA - Flujo BB = Aove - Avs -AOve + Asve = As (ve -vs )
Como Vs gt ve el flujo es negativo es decir que realmente por AB y AB
el flujo entra y no sale
b) Aplicamos ahora el teorema de la variacioacuten de la cantidad de movimiento
LlCantidad de movimiento =iquestF Exteriores
Cantidad de movimiento que entra por AA = m-ve = pAoveve = PAOV~
Cantidad de movimiento que sale por BB = PAsvt +p(AO -As )v~
Cantidad de movimiento que sale por AB y AB = pAs (ve -vs)ve (Se ha hecho la hipoacutetesis simplificativa de que la velocidad en AB y AB es ve)
LlCantidad de movimiento = Lo que sale - Lo que entra = 2 2 2 2 2pAsvs +pAove -pAsve +pAsve -pAsvsve -pAoVe
4
Es decir queda
iquest F Exteriores = Empuje de la Heacutelice ~ T Y por tanto
Aplicando la ecuacioacuten de la continuidad del fluido dentro del tubo de corriente vemos faacutecilmente que
Que se sustituye en la ecuacioacuten del empuje ya deducida quedando
c) Aplicamos ahora la ecuacioacuten de Bernouilli en el tubo de corriente en doacutes etapas
c1- Entre la entrada del tubo y la seccioacuten inmediatamente anterior al disco de la heacutelice
c2- Entre la seccioacuten inmediatamente posterior al disco de la heacutelice y la salida del tubo de corriente
5
i
el
Pero tambieacuten podemos obtener el empuje como la diferencia de las fuerzas que actuacutean en ambas caras del disco
T =(P+b-P-PAp = b-pAp y por tanto
1 (2 2)T=2PAp Vs -ve (2)
Igualando las ecuaciones del empuje (1) y (2) se obtiene
~ pAp (v~ -v~) = pApvp (vs -ve)
Es decir
IIVp = VSV~ (3)
Que nos indica que la velocidad en el disco es la media aritnieacutetica de las velocidades de entrada y salida
Concepto de velocidad inducida
Realizamos ahora un cambio de nomenclatura definiendo para ello el concepto de Velocidad Inducida Axial (u a) como la diferencia entre las velocidades del flujo muy aguas arriba y muy aguas abajo del propulsor dentro del tubo de corriente
ua=Vs-Ve ~ vs=ve+ua
Al introducir esta expresioacuten en la (3) de la velocidad del propulsor se obtiene
Ve+ua+Ve ua +2ve _ua--+vevp 2 2 2
IIVp =Ve+fll (4)
Esta expreslon significa que la velocidad en el propulsor es la velocidad aguas arriba mas la mitad de la velocidad inducida total
6
Otros autores emplean otra notacioacuten para Y p y Y s
a = ~ Valor adimensionalizado de ua 2v 2vp =ve (l+a) e
Vs =ve (1+b) u b =---ordf- Valor adimensionalizado de ua
ve
- Rendimiento de la heacutelice en aguas libres (110)
La expresioacuten del rendimiento es
Potencia Uacutetil 110
Potencia Entregada
La potencia uacutetil es la necesaria para mover el disco a una velocidad Ve F
La potencia entregada o suministrada al ignorar los efectos viscosos es igual al inclemento de energiacutea cineacutetica en el tubo de corriente
Potencia entregada =LEc
Ec que entra Ec que sale
Ya que
De este modo el rendimiento queda
7
1 (2 2)-pAp Vs -ve ve v 2 =~ ~ 110 1 (2 2) v OJ2PAp Vs -ve vp P
E introduciendo el concepto de velocidad inducida
1ve 1 (S)110 = u110 u a1+ -shyve +--ordf- 1+~
2ve2 2ve
En otra notacioacuten
ua 11110 = 1~a ~ a= 2v
e
Hemos obtenido por tanto el valor del rendimiento de la heacutelice con 3 formulaciones distintas pero equivalentes Todas ellas nos indican que cuanto menor sea la velocidad inducida el rendimiento de la heacutelice seraacute mayor
Es interesantildete reflejar 110 en funcioacuten de alguacuten paraacutemetro que pueda extraerse del ensayo del propulsor aislado El paraacutemetro maacutes interesante es el coeficiente de empuje CT
1 (2 2)-pAp Vs -ve v 2 _v2 2T 2 s e V s -1C = 2 1 2 2 2
T ~-PVeAp 2PVeAp ve ve 2
Siendo V s = ve + ua se puede reescribir de la siguiente manera
v u ~=1+-ordf-ve ve
E introduciendo esta expresioacuten en la del coeficiente de empuje nos queda
CT =[1+ ~) 2
-1
Despejando de aquiacute el valor de uave necesario para entrar en la
expresioacuten del rendimiento tenemos
8
12
U -1+ 11+CT=gt -ordf- =-1 + 11 + C =gt a =_---1_ _ shyv V T 2e
Esta expresioacuten indica que para una velocidad de entrada constante la velocidad inducida aumenta a medida que aumenta el coeficiente de empuje
De aquiacute se deduce que las heacutelices muy cargadas (heacutelices pequentildeas que suministran mucho empuje) tienen altas velocidades inducidas y por ello un mal rendimiento
El rendimiento de la heacutelice en funcioacuten del coeficiente de empuje resulta sustituyendo en (5)
1 2 riexcl - ------r====~0- -l+Jl+C
T1 + ------- - shy2
La representacioacuten graacutefica del rendimiento y de la velocidad inducida en funcioacuten del coeficiente de empuje tiene el aspecto de la Siguiente figura
-a -rend
1
08
06
04
02
O~-----~---~--~------r-----r---~
o 1 2 3 4 5 6 7
9
12 Teoriacutea del Impulso Angular
- Hipoacutetesis de partida
1) Fluido incompresible no viscoso (fluido ideal)
2) Flujo uniforme y paralelo (heacutelice se dispone en aguas libres sin la perturbacioacuten de la carena)
3) Se asemeja la heacutelice a un disco actuador sin palas y sin perfiles
4) La presioacuten del fluido suficientemente aguas arriba yaguas abajo del propulsor es la misma siendo su valor Po
5) Estaacuten diferenciados el fluido que atraviesa el disco de la heacutelice y el fluido que pasa por fuera del mismo Se considera que se forma un ntubo de corriente
6) El disco de la heacutelice gira con una velocidad angular CiJ que imprime al fluido una cierta velocidad de rotacioacuten ademaacutes de la componente axial
Dominio fluido
Para el caacutelculo se recurre de nuevo al dominio AABB y al empleo de la notacioacuten adimensionalizada de las velocidades inducidas
La velocidad de rotacioacuten de la heacutelice es w
A B
A
As
A B
wmiddota = Rotacioacuten del fluido en el disco de la heacutelice CJ) middotb = Rotacioacuten del fluido en la salida del tubo de presioacuten
10
-
~
A v v( l +a) v(l+b) uacutelo=O uacute)a (iexcl) b=Wl
1--
Ap
De nuevo operaremos por unidad de tiempo Para el estudio consideramos una corona circular en el disco de la heacutelice cuya aacuterea seraacute I dAp Y que proporcionaraacute un empuje dT y absorberaacute un par dQ
dT
dm= pdApVe (1+ a)dQ
dI = pdApve (l+a)r2
o dm Elemento diferencial de masa que atraviesa la corona por unidad
de tiempo
dI Momento de inercia diferencial de la masa que atraviesa la corona por unidad de tiempo
- Proceso de caacutelculo
Aplicamos al flujo que atraviesa la corona el teorema del impulso angular que dice que la variacioacuten del impulso angular es Igual a la suma de los momentos exteriores
~Impulso Angular = Imiddot~w = iquestMomentos Exteriores
El uacutenico momento exterior aplicado al fluido que atraviesa la corona es el diferencial de par hidrodinaacutemico que absorbe
iquestMomentos Exteriores = dQ
La variacioacuten del impulso angular del flujo que atraviesa la corona seraacute como w1 = wmiddotb Y W = O o
6 Impulso angular=[w1 -Wo ] dI=[W b-O]dI
y por tanto aplicando el mencionado teorema y sustituyendo el valor de dI
(6)
11
Ahora aplicaremos el teorema de la variacioacuten de la energiacutea cineacutetica que nos dice
Trabajo angular de los pares exteriores=IE cineacutetica de rotacioacuten
dQmiddotd0=lEc
Donde d0 es el aacutengulo girado por unidad de tiempo
d0=wpqt [dt=l] =gt d0=Wp
y la variaclonde la energiacutea cineacutetica de rotacioacuten vale
1 2 1 2 [ ]lEc =2dIW1 - 2 dIWO = OWo
luego podemos escribir
bull 1 2
dQwa =-dI(wb)2
Donde wp = wa es la velocidad de rotacioacuten del fluido que atraviesa la
heacutelice
Introduciendo ahora el valor de dI antes obtenido
122dQwa=zPdApVe(l+a)r (wb) =gt
1 b2 =gt dQ =-zPdAp~w7ve (1+ a) (7)
j
I E igualanqo (6) y (7) I
21 2 1 2 b W9PdApve (l+a)r = 2PdApr iacutell7 ve (1la)
~ =gt~
Esta expresioacuten indica que la velocidad inducida de rotacioacuten en el disco es la mitad de la velocidad inducida de rotacioacuten en la salida del tubo de corriente O sea que con las velocidades inducidas de rotacioacuten se cumple lo mismo que con las velocidades inducidas axiales
12
Definiremos velocidad tangencial inducida Ut como
Donde W = 2nn es la velocidad de rotacioacuten de la heacutelice
Entonces es obvio que u ub= __t_ a= __t_
2nnr 4nnr
o sea que la velocidad inducida tangencial en el disco es la mitad que aguas abajo
- Rendimiento de la heacutelice en aguas libres (llo)
Potencia Uacutetil (
dQw = TrabajoUacutetiacutel + Peacuterdidas por Ecineacutetica de traslacioacuten +
Peacuterdidas por Ecineacutetica de rotacioacuten
- 1 2 1 2 dQmiddotw=dTve+-dm(veb) +-dI(wb) (8)
2 2
Apoyaacutendonos en la teoriacutea de la cantidad de movimiento axial
ClT = pAacutepvp (vs -ve) ~ pAacutepve (1 +a)(veb)= pAacutepv~ (1+a)b ( v =ve(1+b) _ -~ s
vp=ve(1+a)
Comparando con la expresioacuten obtenida antes para la corona circular iexclshy
dm = pdApve (l+a)
Obtenemos
Como se ve el empuje estaacute muy relacionado con la cantidad de masa que atraviesa la heacutelice
Mediante el teorema del impulso angular (6) buscamos una expresioacuten similar para el momento de inercia para dejar todo en funcioacuten de dT y dQ
13
dI= dQdQ = dIoob = j oob
Sustituyendo en la expresioacuten de la potencia entregada (8)
dQw = dTv +~ dT b2v2 +~ dQ oo2b2 e 2 v be middot 2oobe
1 1dQoo = dTve +-dTbv +-dQoob
2 e 2
dQ[ 00- ~ oob]=dT[ve + ~Veb]
= dQoo[l- ~J=dTVe[1+J
y por tanto al ser b2 = a y b2 = a
= IdQoo(l-a)=dTve (1+a)1
Con esta uacuteltima expresioacuten calculamos el rendimiento
-adTve 1-a fl -shy=flo = dQoo = l+a O l+a ~
- Anaacutelisis de resultados
Comparando las dos expresiones obtenidas para el rendimiento con la Teoacuteriacutea de la Cantidad de Movimiento Axial y con la Teoriacutea del Impulso Angular tenemos
1- a1 riexcl = fl01 = l+a 02 l+a
T C Mov Axial T Impulso Angular
Dado que a es positivo l-a lt 1 Y por tanto
IflOAngUlar lt flOAxial1
Hay una diferencia introducida al considerar la velocidad angular del fluido y resulta un rendimiento maacutes bajo La teoriacutea del impulso angular es maacutes completa que la axial ya que tiene en cuenta maacutes fenoacutemenos ntildesicos y
14
---
se asemeja maacutes a la realidad El rendimiento es maacutes bajo que con la teoriacutea de la Cantidad de Movimiento axial y maacutes cercano a la realidad pero auacuten asiacute estaacute alej ado del rendimiento real por no considerarse otros fenoacutemenos que aparecen como la friccioacuten
En la figura siguiente se representa el aspecto de la variacioacuten de il y a as iacute como del rendimiento en funcioacuten del coefieciente de carga CT
12-- - ------shy a
- - a
-----C---- ----rend Sldal
~~ -rend angular
08 t-- --------- - --- - - ----- - shy
06 ~s -=~----~__2 04 t---------c~~~~~----0 2 t---------=---~=------ -shy -shy -shy
deg O~~_--~----~--_----__----__--~
2 3 4 5 6 7
1shy
15
Integrando estas curvas se obtiene T y Q de cada pala y si se multiplica por el nuacutemero de palas Z se obtienen T y Q totales de la heacutelice
fdT Q=Z fdQ drT=Z _-dr dr dr
rH = Radio del nuacutecleo R = Radio de la heacutelice
Para conocer estas distribuciones la teoriacutea del elemento de pala estudia queacute pasa en cada rebanada de la pala Para esto se recurre a la teoriacutea de perfiles de la que haremos un breve repaso
- Teoriacutea de PentildeiJes
En la siguiente figura se tiene un perfil inmerso en un flujo de velocidad V r y con un cierto aacutengulo de ataque respecto del mismo
dD
Paso dL = Sustentacioacutenzero geomeacutetrico - dD= Resistencia viscosa
aAacutengulo de ara e
v
En un fiuido viscoso aparece una capa liacutemite que distorsiona el campo de presiones y da lugar a la resistencia de presioacuten de origen viscoso pero la componente predominante en la resistencia del perfil es la debida a la friccioacuten
La sustentacioacuten aparece en el perfil por la diferencia de velocidades del fluido a cada cara del perfil que origina una diferencia de presiones entre las caras que da lugar a la sustentacioacuten
En la figura puede verse
Liacutenea de pasos liacutenea que une el borde de entrada y salida
Aacutengulo de ataque aacutengulo entre el flujo incidente y la liacutenea de pasos
Cuando el aacutengulo de ataque es cero nos encontramos en la condicioacuten de shock free entry Sin embargo la sustentacioacuten no es nula sino algo mayor debido a la asimetriacutea del perfil que viene medida por su curvatura
F
17
El valor de Uo (aacutengulo de sustentacioacuten nula) depende fundamentalmente de la curvatura del perfil ( en ingleacutes camber)
Cto F(curvatura (camber)) t curvatura =gt t eto
Estudiemos el triaacutengulo de velocidades y fuerzas sobre el elemento de pala
VR = Velocidad total Incidente sobre el perfil ltlgt = Aacutengulo de paso geomeacutetrico 13 = Aacutengulo de avance 13 Aacutengulo de paso hidrodinaacutemico u = Aacutengulo de ataque = ltlgt - 13
F dL
1gt
un
- Planteamiento
dOtany=shy
dF =dL sin~+dOcosf3iexcl
dT= dL cos ~ -dO sin ~ =dL ( cos ~- ~~ sin~) dL
Q
dT =dL(COs 13-- siny sin 13-)= ~ (cos 13cosy-siny sin 13)1 cosy 1 COsy 1
dT = ~ [cos(r + 13)]cosy 1
Haciendo lo mismo para dFQ resulta
sln(Y+I3-)dF = dL 1
Q COsy
Pondremos ahora la sustentacioacuten en funcioacuten de eL
19
Hemos llegado a unas expresiones que nos dan el reparto radial de empujes y pares totales de la heacutelice asiacute como del rendimiento Ahora hay que ver si se pueden aplicar
- Anaacutelisis criacutetico
p Z VA = Conocido
c = Conocido al conocer la geometriacutea
a = No conocemos su valor particular para cada seccioacuten podemos tantear el valor total para toda la heacutelice seguacuten las teoriacuteas de la cantidad de movimiento
CL = fA) 2 C1+C1o) no conocemos ni et ni eto para cada seccioacuten
Ademaacutes tendriacuteamos que pensar el A de una rebanada no tiene sentido por tener un espesor diferencial Podemos estimar un valor promedio
R-eacuteA= H rH = radio del nuacutecleo
cmedia
13 = depende del valor de la velocidad inducida de cada seccioacuten que depende del valor_de a de la seccioacuten que no se conoce es por lo tanto una incoacutegnita
y = a su vez depende de A cuyo valor es incierto
Podemos concluir por tanto que aunque se ha llegado con relativa sencillez a las expresiones anteriores estas no son realmente utilizables Se pueden usar valores medios para hacer una estimacioacuten pero no sirven para realizar caacutelculos fiables hasta aquiacute llega esta teoriacutea
Por lo tanto para intentar obtener resultados maacutes coherentes es preciso avanzar algo maacutes y emplear la Teoriacutea de la Circulacioacuten que es bastante maacutes compleja y requiere otras herramientas
21
)
) p Esto equivale a poner en el centro del cilindro un torbellino de intensidad r Ambos campos de velocidad consideradosCel inicial paralelo y uniforme y el nuevo radial) se suman resultando un nuevo campo de velocidadesp
Las liacuteneas de corriente se modifican quedando como en la siguiente figura
L En la parte superior del cilindro los dos campos de velocidades se suman y por tanto la velocidad es mayor que en flujo inicial En la parte inferior del cilindro ocurre lo contrario Se desplazan los puntos de remanso
Se pueden calcular v y p analiacuteticamente y aparece una fuerza la sustentacioacuten Clift)
L = sustentacioacuten Dirigida perpendicularmente al flujo uniforme y paralelo inicial
Calculemos la siguiente integral curviliacutenea que nos daraacute la circulacioacuten del vector velocidad sobre el cilindro
Donde
pVx ~dS=O campo simeacutetrico
-- rPero pvrdS = P2nr dS ya que Vr y dS son paralelos en la
superficie del cilindro Luego
r r rI=p- dS= - pdS=-2nr=r2n r 2n r 2n r
23
~===~====~ ~~-------------- Starting Vortex
El torbellino de intensidad r es desplazado aguas abajo hacia el borde de salida por el resto de liacuteneas de corriente
Recordemos un teorema baacutesico de la Teoriacutea Vorticial que dice que en un dominio fluido la vorticidad total permanece constante
-r 0gt r
= ==0==y~0 ~000
Inicialmente en el dominio fluido antes de introducir el perfil la vorticidad total era nula por lo que ha de aparecer otra circulacioacuten (-1) que compense a la del Starting Vortex Esta aparece en torno al perfil Aparece un nuevo campo de velocidades a causa de esta circulacioacuten en torno al perfil
El punto de remanso B se desplaza ahora al punto anguloso de salida lo que implica que los flujos queL van por arriba y por abajo no se mezclan B se desplaza a base de desprender torbellinos hasta llegar al borde de salida Esta es la Condicioacuten de Kutta
Ademaacutes como en el caso del cilindro si calculamos ahora v y p se obtiene que aparece una fuerza sobre el perfil la sustentacioacuten (l) que es perpendicular al flujo v
25
Esto permite a la hora de estudiar los perfiles y las fuerzas hacer una abstraccioacuten y llegar a sustituir el perfil por un flujo uniforme una liacutenea de torbellinos de verticidad r y una fuerza (l) [Suponiendo un perfil de ancho infinito]
VR - - ---ICgt
r
A la liacutenea de torbellinos se le llama liacutenea de sustentacioacuten ya que los torbellinos secteneran sustentacioacuten La parte de la Teoriacutea de Circulacioacuten que estudia los perfiles sustituyeacutendolos por liacuteneas de sustentacioacuten se llama Teoriacutea de la Liacutenea de Sustentacioacuten ( Ufting-line Theory)
d Perfiles de envergadura finita
Todo lo anterior ocurre en perfiles de envergadura ( ancho perpendicular al papel) infinita que loacutegicamente no existen en la realidad los perfiles que nos encontraremos (alas de avioacuten timones palas de heacutelices etc) son perfiles de envergadura finita es decir t ienen un ancho (alto) determinado Entonces aparece un nuevo fenoacutemeno tridimensiol)ltlJ no como hasta ahora que era siempre un flujo 2D
Efectos 3D
Torbellinos de ~ extremo de ala
S ~~-------------p_p-+--------iquest~
En los bordes del perfil el flujo se escapa de las zonas de preslon maacutes alta ( cara inferior del perfil) hacia las de presioacuten maacutes baj a ( cara superior
27
Como consecuencia de lo anterior en el borde de salida del ala se ) encuentran dos flujos cruzados el superior con una componente hacia el ) centro y el inferior con una componente hacia los extremos que dan lugar
a torbellinos desprendidos a lo largo de todo el borde de sal ida Eacutestos forman una hoja de torbellinos donde los de mayor intensidad aparecen en los bordes laterales del perfil Estos torbellinos se conocen con el nombre de torbellinos libres y son arrastralos aguas abajo por el flujo principal hasta el infinito
IG G G
En consecuencia podemos concluir que en los perfiles de env ergadura finita es decir los perfi les de la vida real se escapan de los mismos una serie de liacuteneas de torbellinos libres hacia popa Podemos hacer una representacioacuten esquemaacutetica como sigue
d
d d
--shy ~~ado el
J shy~a I gar aL
dI
que
T Libres giran en sentidos contrarios a cada lado del ala
Son torbellinos elementales
La vorticidad de los torbell inos libres dI tiene que salir de alguacuten lado ( recordemos que la cantidad total de vorticidad en un dominio ha de permanecer constante) Sale obviamente del torbellino ligado que va perdiendo vorticidad desde el centro del ala hacia ambos bordes laterales
-fshy
29
linea Semi-infinita Si la liacutenea de torbellinos es de
longitud semi-infinita es decir con principio pero sin final y el punto P estaacute en el plano en el que comienza la liacutenea tendremos al integrar
-+00 r
u~--41t y
Es de=ir que una liacutenea de torbellinos semi-infin ita crea una velocidad inducida que es la mitad de la que crea una liacutenea de longitud infinita
En el borde de salida del ala cada torbellino libre puede considerarse como una liacutenea semi-infinita que empieza en dicho borde En el infinito aguas abajo esta liacutenea puede considerarse liacutenea infinita La velocidad inducida por el torbellino libre en el infinito es el doble de la inducida en el borde de salida Lo mismo le ocurre a la velocidad inducida por toda la hoja de torbellinos libres ya que es la suma de las generadas por cada torbellino individual en el infinito la velocidad inducida es el doble que en eacutel b9rde de salida del perfil
U en el infinito ) ~ en el perfil
Hemos hablado de los moacutedulos de la velocidad pero iquestqueacute pasa con las direcciones
uuml
La velocidad inducida por un torbellino es siempre perpendicular a la direccioacuten del mismo En el caso de los torbellinos libres que se desprenden de un ala eacutestos se ven arrastrados por el flujo incidente y por tanto su direccioacuten es la misma de dicho flujo es decir que uuml es perpendicular a la velocidad incidente y estaacute dirigida hacia la cara de presioacuten del perfil No tiene componente transversal ya que dichas componentes se anulan por simetriacutea las de los torbellinos de la mitad izquierda del ala con las de la mitad derecha debe recordarse que giran en sentidos contrarios
Los torbellinos libres generan un campo de velocidades en el espacio que se suma vectorialmente a la velocidad incidente VT Como hemos dicho la velocidad inducida por los torbellinos libres es siempre
31
32 APLICACIOacuteN EN HEacuteLICES
) - Torbellinos ligados torbellinos libres y velocidades inducidas
l )
)
Consideraremos que cada pala es un ala de envergadura finita de las que hemos estudiado en los puntos anteriores y como tal se sustituye por una liacutenea de torbellinos ligados Lo uacutenico diferente es la geometriacutea que ahora es mucho maacutes complicada que la del ala de un avioacuten
En efecto ahora la hoja de torbellinos libres desprendidos es una superficie helicoidal en vez de plana La velocidad inducida [j es perpendicular a dicha superficie y a su vez se puede descomponer en una componente longitudinal
[j (paralela al eje de la heacutelice) a ua y otra tangente a la
superficie del cilindro circunscrito u
Por cada pala se genera una hoja de torbellinos libres desfasados entre siacute por 360oZ (Z = nO de palas) que se van enroscando unas con otras originando un tirabuzoacuten de hojas de torbellinos Cada hoja induce en todos los puntos del espacio una velocidad lo que complica el caacutelculo de las velocidades inducidas ayudado por lo complejo de la geometriacutea de las hojas La velocidad inducida total resultante en un determinado punto seraacute la suma vectorial de todas las velocidades inducidas por cada una de las hojas de torbellinos Puede demostrarse ( no lo haremos en estos Apuntes) que los valores de dichas velocidades inducidas totales variacutean desde el infinito aguas arriba hasta el disco de la heacutelice y desde eacuteste al infinito aguas debajo de la manera recogida en el cuadro siguiente
Axial Tanqencial
OAguas arriba
O u -+shy2
Disco u 2
~ 2
Aguas abajo
u -~~U 2
u ----1-igtU 2
33
En la punta ambas fuerzas son cero ya que la circulacioacuten es nula al igualarse las presiones por pasar el flujo de la cara
07-08 R de presioacuten a la de succioacuten en la zona de la punta (figura de la derecha)
En la raiacutez de las palas la circulacioacuten no es nula pero es pequentildea El motivo es que aparece un fenoacutemeno de interferencia entre palas adyacentes por la proximidad de las mismas en esta zona
Aparecen zonas de alta y baja presioacuten de palas adyacentes que estaacuten bastante proacuteximas por lo que hay una cierta comunicacioacuten de fluido dejando de ser tan extremas las presiones reducieacutendose por tanto lltI sustentacioacuten que aparece y con ello la circulacioacuten
En las palasmiddot de una heacutelice ocurre lo mismo que vimos en las alas al tratarse de perfiles de envergadura finita la circulacioacuten variacutea con el radio r = r(r) y loacutegicamente tambieacuten lo hace la velocidad incidente total
vR = V R (r) que depende de v (conocida) y de la velocidad inducida uuml ( ver
triaacutengulo de velocidades) Es evidente tambieacuten que f3 =f(uuml)
Entonces recordando las expresiones que nos daban el empuje y la fuerza del par
Examinemos estas expresiones De todo lo que hemos expresado arriba se deduce que VR Y 13 dependen de las velocidades inducidas (uuml) pero eacutestas estaacuten generadas por las hojas helicoidales de torbellinos libres y por ello dependen de la vorticidad de los mismos (r) Eacutesta sabemos que vale
r = _ ar dr Br
Y en consecuencia depende de r(r) es decir de la distribucioacuten radial de circulacioacuten del torbellino ligado sobre la pala
35
) rendimiento global final de la heacutelice seriacutea mejor que el de la heacutelice inicial
) Pero esto es incompatible con la hipoacutetesis de partida seguacuten la cual rapt ya ) nos daba el mayor rendimiento global de la heacutelice lo luego dicha hipoacutetesis
de partida es absurda Por el contrario cuando l01 no varia con el radio no hay opcioacuten a jugar con la circulacioacuten de las secciones puesto que todo lo que se toque empeoraraacute el lo global de la heacutelice
Obviamente al ser constante I10i a lo largo del radio seraacute tambieacuten
numeacutericamente igual al rendimiento global de la heacutelice 110 O sea
1101 = cte - f(r) = 110
La condicioacuten de Betz por tanto se escribe para heacutelices en flujo uniforme
1=tg l3 o tg (3
Si la heacutelice trabaja en una estela el estudio hay que realizarlo con el rendimiento cuasi-propulsivo de cada seccioacuten en vez de con el de propulsor aislado Al final puede demostrarse ( no lo haremos aquiacute) que se llega a
ID estela media circunferencial
ro estela efectiva
~ Relacioacuten emplrica entre y = la estela y el coeficiente de succioacuten
Es decir una expresioacuten similar a la de flujo uniforme pero con un factor antildeadido que depende de la estela
- Relacioacuten entre circulacioacuten y velocidades inducidas
Es muy importante encontrar una relacioacuten entre la circulacioacuten del torbellino ligado y las velocidades inducidas por los libres es decir la funcioacuten r = f (u) Para ello suponemos la heacutelice funcionando con las hojas de torbellinos desprendidas seguacuten la figura siguiente en la que se han representado las palas sustituidas por sus liacuteneas de sustentacioacuten( torbellino ligado) las hojas de torbellinos helicoidales libres y la velocidad inducida aguas abajo que es perpendicular a la hoja de torbellinos
Ut ----[gt
Ua
37
- - -
1
1 B A Hay infinitas liacuteneas de sustentacioacuten que atraviesan la superficie del cilindroO r Aplicando Stokes O r
El flujo del rotacional = circulacioacuten alrededor del contorno El flujo del rotacional es la suma de las
I I circulaciones de los torbellinos ligadosI I que ha cortado el cilindro es decir r oo
y por tantoI O r I
iquestr=roo =~uumlxdl dondeBI lA u=u +ua t
Calculemos la integral curviliacutenea anterior
~uuml x di = r (ua +utl dl + r(ua +ut )-dl + J(ua +ut)-dl+ r (Ua +~)di (1) (2) (3) (4)
(2) - - (4) Se anulan entre sr por recorrerse el m ismo camino en sentidos inversos shy
ut = O (por estar aguas arriba del propulsor) (3)=gt_ _ (3)=0
uaL di
Luego solo queda la integral (1)
iquestr=r~dl+Juadl =gt rr=r =rutdi
ya que UaL di
Por otra parte Ut es paralelo a di entre A y A luego
Hemos visto que para Z=oo Ut es constante a lo largo de la
circunferencia y puede salir de la integral Por tanto queda
Veamos ahora el caso de nO finito de palas Z En este caso la circulacioacuten total seraacute zr y por tanto
39
Para otras aplicaciones tomaremos A =x t9 13
- Distribucioacuten radial de empujes y pares
Primero hallaremos la relacioacuten entre las velocidades inducidas uYz y
uiexcl y el aacutengulo de paso hidrodinaacutemico 13
dL dT
u sin 13 sin(I3 - ~ ) = V R - --------c---7-shy2 cos(I3 -13 )
y ademaacutes
v _ VR VA
T - cos(f3 -13) sinl3
Entonces
v = V cos(13-(3) bull sin13
y por tanto sustituyendo
~=v cos(13 -13) sin 13 sln(13- 13) 2 sinf3 cos(f3- 3)
~=v sin 13 sin(I3 -3) 2 A sin 13
y del mismo modo
u = v cos 13 sin(3 - (3) 2 A sin 13
y por tanto sustituyendo en
z r = 211 r a3 u
41
El empuje de cada pa la vale
T = J~ dT = J~ dLcos 13 =1r p r vcos 13 dr H
Introducimos el concepto de circulacioacuten adimenslonal
[G=-shy
nD VA
Y sustituyendo podemos reescribir la expresioacuten del coeficiente de empuje
8Z
n
Volviendo al triaacutengulo de velocidades
u2
u2 2nrn - shycos 13 = __---2=_
vR
2=
Sustituyendo arriba y reordenando
Usando los radios adimensionalizados
r dr O x = - dx = - =gt dr = - dx
R R 2
La expresioacuten anterior queda ahora con estos radios adimensionalizados
43
Sacando factor comuacuten resulta
Relacioacuten entre velocidades inducidas y u = Aiexcl X ( _1_-1 J rendimiento
2 v A X 2 + A~ 110
Esta uacuteltima expreslon soacutelo sirve para heacutelices oacuteptimas puesto que hemos hecho uso de la condicioacuten de Betz
Sustituyendo esta expresioacuten en el valor del coeficiente de empuje y realizando las integrales queda la expresioacuten
doacutende tras varios pasos intermedios 1 11 2x I - r o dx
1 - JrH x 2 1) ~ + A 2
1 =(1-110 x 3
d 2 1 2 2 X
~ 110 (x2 +AF)
Para resolver estas integrales hay que recu rri r a hipoacutetesis simplificativas como Xh=O o Z=oo No entraremos aquiacute en el desarrollo completo pero con esto y otras ayudas se llega a
(2)
En esta expresioacuten soacutelo interviene tres paraacutemetros CT to Y A
El paraacutemetro A estaacute muy relacionado con el grado de avance J En efecto
VA JA = x tg 13 = ~ VA = VA = shyR 2n r n 2n R n nOn n
CT puede ser calculado a partir del empuje y del diaacutemetro de la heacutelice Entonces la expresioacuten (2) nos permite conociendo el punto de
funcionamiento de la heacutelice (J) y el empuje ( que puede obtenerse de (~) 1-1
donde R es la res istencia al avance y 1 el coeficiente de succioacuten) estimar el valor to que era el eslaboacuten que faltaba para aplicar la condicioacuten de Betz y poder terminar el caacutelculo f-shy
45
T 2 Con CT = 1---- estimamos el valor de CT ideal a partir de ciertas
2 p v Ao
expresiones empiacutericas
3 Con Cn y A entramos en el Diagrama de Kramer y obtenemos l01
4 Con middottg 13 x y lo aplicando el Teorema de Betz tenemos j3lx para cada seccioacuten
5 lt1gt = 1gt + a~ ~ Sacamos la ley de pasos buscando el aacutengulo de ataque
ideal a I (shock free entry)
6 Lo demaacutes (cuerdas curvaturas espesores ) se obtiene de caacutelculos de resistencia mecaacutenica y de cavitacioacuten
-t
47
)
PREAMBULO
Estos Apuntes forman parte de la asignatura HIDRODINAacuteMICA MARINA incluida en 40 curso del Plan 2002 Han sido elaborados a partir de notas tomadas a este Profesor en clase por la alumna de la ETSIN Canrnen Loacutepez de Rojas Despueacutes han sido corregidos y parcialmente reformados por el Profesor No obstante toda la labor de procesamiento de textos y de generacioacuten de figuras y cuadros corresponde iacutentegramente a la mencionada alumna cuya labor el Autor desea calificar de absolutamente extraordinaria y merecedora si ello fuera posible de figurar como coshyautora de los Apuntes
Madrid Junio de 2008
ANTONIO BAQUERO
INTRODUCCIOacuteN
TEORIacuteAS DE FUNCIONAMIENTO DE LA HEacuteLICE GENERALIDADES
Las Teoriacuteas de Funcionamiento de la Heacutelice son el conjunto de hipoacutetesis y caacutelculos numeacutericos que sirven para representar analiacuteticamente los fenoacutemenos fiacutesicos implicados en el funcionamiento hidrodinaacutemico de la heacutelice Estas teoriacuteas permiten realizar dos tipos de anaacutelisis
1) Para una heacutelice especiacutefica cuya geometriacutea se conoce permiten determinar queacute fuerzas actuacutean sobre las palas de la misma
2) Si se requiere que la heacutelice proporcione unas fuerzas de valor predeterminado (fundamentalmente el empuje) puede proyectarse la misma para que el rendimiento sea lo mejor posible
Existen tres teoriacuteas que intentan explicar el funcionamiento de la heacutelice que han ido evolucionando a lo largo del tiempo en funcioacuten del desarrollo de los instrumentos matemaacuteticos y el conocimiento de la mecaacutenica de fluidos Estas teoriacuteas son
bull Teoriacuteas de la cantidad de movimiento
bull Teoriacutea del elemento de pala -bull bull Teoriacutea de la circulacioacuten
1
CAPIacuteTULO 1
TEORIacuteA DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Esta teoriacutea fue propuesta por Rankine A su vez se ramifica en otras dos en funcioacuten de los fenoacutemenos contemplados en el estudio
bull Teoriacutea de la Cantidad de Movimiento Axial
bull Teoriacutea del Impulso Angular
La teoriacutea de la Cantidad de Movimiento AXial supone que todo el flujo se mueve paralelamente al eje de la heacutelice (la velocidad soacutelo tiene componente axial) mientras que la teoriacutea del Impulso Angular maacutes compleja que la anterior contempla otra componente de la velocidad una rotacioacuten en torno al eje de la heacutelice Inducido por el funcionamiento de esta
11 Teoda de la Cantidad de Movimiento Axial
- Hipoacutetesis de partida
1) Fluido incompresible no viscoso (fluido ideal)
2) Flujo uniforme y paralelo ( la heacutelice se encuentra en aguas libres sin la perturbacioacuten de la carena)
3) Se asemeja la heacutelice a un disco actuador sin palas y sin perfiles
4) Se considera que el disco de la heacutelice no gira y el movimiento del fluido es axial (paralelo al eje de la heacutelice)
5) la presioacuten del fluido suficientemente aguas arriba yaguas abajo del propulsor es la misma siendo su valor Po
6) Estaacuten diferenciados el fluido que atraviesa el disco de la heacutelice y el fluido que pasa por fuera del mismo Se considera que se forma un tubo de corriente
- Dominio fluido
Todos los caacutelculos considerados se realizan por unidad de tiempo Para el estudio se toma un dominio rectangular (AABB) de un fluido suficientemente amplio para que la presioacuten en AA y BB sea Po como se considera en las hipoacutetesis
2
A B
Ve
po
Ao
A Ve
po p Ap
-p+ilp Vp
-
V
po As
A B
Donde
v = Velocidad de entrada en el dominio v p = Velocidad en el propulsor V s = Velocidad de salida dentro del tubo de corriente Aa = Aacuterea de entradasalida en el dominio A = Aacuterea de entrada en el tubo de corriente Ap = Aacuterea en el propulsor As = Aacuterea de salida del tubo de corriente F El tubo de corriente se crea por el funcionamiento de la heacutelice
cambiando de seccioacuten por el cambio de velocidad provocado por la heacutelice
El funcionamiento de la heacutelice crea un salto de presiones (Llp) en el disco Los diagramas de velocidades y presiones en el dominio y tubo de corriente son middotcomo sigue
Perfil de presiones en el Po po tubo de corriente
V Perfil de velocidades en el tubo de corriente
Po = Presioacuten aguas arriba p = Presioacuten en la cara de entrada de la heacutelice p+Llp = presioacuten en la cara de salida de la heacutelice
3
J
A B
-c -c Ve
Po --ltgt
=ltgt-c --ltgt -e -ltgt
--ltgt -oCgt VVe -D 1shy --ltgt
-ltgt -~
~ -c r---- --lt ----ltgt -D
A B
- Proceso de caacutelculo
a) Se aplica la ecuacioacuten de continuidad del fluido (que implica que no se puede acumular fluido en el dominio) en el dominio por unidad de tiempo entra la misma cantidad de fluido que la que sale
Flujo que entra por AA = AOVe
Flujo que sale por BB Asvs +(AO -As )Ve
Flujo que sale por AB y AB (por continuidad) =
Flujo AA - Flujo BB = Aove - Avs -AOve + Asve = As (ve -vs )
Como Vs gt ve el flujo es negativo es decir que realmente por AB y AB
el flujo entra y no sale
b) Aplicamos ahora el teorema de la variacioacuten de la cantidad de movimiento
LlCantidad de movimiento =iquestF Exteriores
Cantidad de movimiento que entra por AA = m-ve = pAoveve = PAOV~
Cantidad de movimiento que sale por BB = PAsvt +p(AO -As )v~
Cantidad de movimiento que sale por AB y AB = pAs (ve -vs)ve (Se ha hecho la hipoacutetesis simplificativa de que la velocidad en AB y AB es ve)
LlCantidad de movimiento = Lo que sale - Lo que entra = 2 2 2 2 2pAsvs +pAove -pAsve +pAsve -pAsvsve -pAoVe
4
Es decir queda
iquest F Exteriores = Empuje de la Heacutelice ~ T Y por tanto
Aplicando la ecuacioacuten de la continuidad del fluido dentro del tubo de corriente vemos faacutecilmente que
Que se sustituye en la ecuacioacuten del empuje ya deducida quedando
c) Aplicamos ahora la ecuacioacuten de Bernouilli en el tubo de corriente en doacutes etapas
c1- Entre la entrada del tubo y la seccioacuten inmediatamente anterior al disco de la heacutelice
c2- Entre la seccioacuten inmediatamente posterior al disco de la heacutelice y la salida del tubo de corriente
5
i
el
Pero tambieacuten podemos obtener el empuje como la diferencia de las fuerzas que actuacutean en ambas caras del disco
T =(P+b-P-PAp = b-pAp y por tanto
1 (2 2)T=2PAp Vs -ve (2)
Igualando las ecuaciones del empuje (1) y (2) se obtiene
~ pAp (v~ -v~) = pApvp (vs -ve)
Es decir
IIVp = VSV~ (3)
Que nos indica que la velocidad en el disco es la media aritnieacutetica de las velocidades de entrada y salida
Concepto de velocidad inducida
Realizamos ahora un cambio de nomenclatura definiendo para ello el concepto de Velocidad Inducida Axial (u a) como la diferencia entre las velocidades del flujo muy aguas arriba y muy aguas abajo del propulsor dentro del tubo de corriente
ua=Vs-Ve ~ vs=ve+ua
Al introducir esta expresioacuten en la (3) de la velocidad del propulsor se obtiene
Ve+ua+Ve ua +2ve _ua--+vevp 2 2 2
IIVp =Ve+fll (4)
Esta expreslon significa que la velocidad en el propulsor es la velocidad aguas arriba mas la mitad de la velocidad inducida total
6
Otros autores emplean otra notacioacuten para Y p y Y s
a = ~ Valor adimensionalizado de ua 2v 2vp =ve (l+a) e
Vs =ve (1+b) u b =---ordf- Valor adimensionalizado de ua
ve
- Rendimiento de la heacutelice en aguas libres (110)
La expresioacuten del rendimiento es
Potencia Uacutetil 110
Potencia Entregada
La potencia uacutetil es la necesaria para mover el disco a una velocidad Ve F
La potencia entregada o suministrada al ignorar los efectos viscosos es igual al inclemento de energiacutea cineacutetica en el tubo de corriente
Potencia entregada =LEc
Ec que entra Ec que sale
Ya que
De este modo el rendimiento queda
7
1 (2 2)-pAp Vs -ve ve v 2 =~ ~ 110 1 (2 2) v OJ2PAp Vs -ve vp P
E introduciendo el concepto de velocidad inducida
1ve 1 (S)110 = u110 u a1+ -shyve +--ordf- 1+~
2ve2 2ve
En otra notacioacuten
ua 11110 = 1~a ~ a= 2v
e
Hemos obtenido por tanto el valor del rendimiento de la heacutelice con 3 formulaciones distintas pero equivalentes Todas ellas nos indican que cuanto menor sea la velocidad inducida el rendimiento de la heacutelice seraacute mayor
Es interesantildete reflejar 110 en funcioacuten de alguacuten paraacutemetro que pueda extraerse del ensayo del propulsor aislado El paraacutemetro maacutes interesante es el coeficiente de empuje CT
1 (2 2)-pAp Vs -ve v 2 _v2 2T 2 s e V s -1C = 2 1 2 2 2
T ~-PVeAp 2PVeAp ve ve 2
Siendo V s = ve + ua se puede reescribir de la siguiente manera
v u ~=1+-ordf-ve ve
E introduciendo esta expresioacuten en la del coeficiente de empuje nos queda
CT =[1+ ~) 2
-1
Despejando de aquiacute el valor de uave necesario para entrar en la
expresioacuten del rendimiento tenemos
8
12
U -1+ 11+CT=gt -ordf- =-1 + 11 + C =gt a =_---1_ _ shyv V T 2e
Esta expresioacuten indica que para una velocidad de entrada constante la velocidad inducida aumenta a medida que aumenta el coeficiente de empuje
De aquiacute se deduce que las heacutelices muy cargadas (heacutelices pequentildeas que suministran mucho empuje) tienen altas velocidades inducidas y por ello un mal rendimiento
El rendimiento de la heacutelice en funcioacuten del coeficiente de empuje resulta sustituyendo en (5)
1 2 riexcl - ------r====~0- -l+Jl+C
T1 + ------- - shy2
La representacioacuten graacutefica del rendimiento y de la velocidad inducida en funcioacuten del coeficiente de empuje tiene el aspecto de la Siguiente figura
-a -rend
1
08
06
04
02
O~-----~---~--~------r-----r---~
o 1 2 3 4 5 6 7
9
12 Teoriacutea del Impulso Angular
- Hipoacutetesis de partida
1) Fluido incompresible no viscoso (fluido ideal)
2) Flujo uniforme y paralelo (heacutelice se dispone en aguas libres sin la perturbacioacuten de la carena)
3) Se asemeja la heacutelice a un disco actuador sin palas y sin perfiles
4) La presioacuten del fluido suficientemente aguas arriba yaguas abajo del propulsor es la misma siendo su valor Po
5) Estaacuten diferenciados el fluido que atraviesa el disco de la heacutelice y el fluido que pasa por fuera del mismo Se considera que se forma un ntubo de corriente
6) El disco de la heacutelice gira con una velocidad angular CiJ que imprime al fluido una cierta velocidad de rotacioacuten ademaacutes de la componente axial
Dominio fluido
Para el caacutelculo se recurre de nuevo al dominio AABB y al empleo de la notacioacuten adimensionalizada de las velocidades inducidas
La velocidad de rotacioacuten de la heacutelice es w
A B
A
As
A B
wmiddota = Rotacioacuten del fluido en el disco de la heacutelice CJ) middotb = Rotacioacuten del fluido en la salida del tubo de presioacuten
10
-
~
A v v( l +a) v(l+b) uacutelo=O uacute)a (iexcl) b=Wl
1--
Ap
De nuevo operaremos por unidad de tiempo Para el estudio consideramos una corona circular en el disco de la heacutelice cuya aacuterea seraacute I dAp Y que proporcionaraacute un empuje dT y absorberaacute un par dQ
dT
dm= pdApVe (1+ a)dQ
dI = pdApve (l+a)r2
o dm Elemento diferencial de masa que atraviesa la corona por unidad
de tiempo
dI Momento de inercia diferencial de la masa que atraviesa la corona por unidad de tiempo
- Proceso de caacutelculo
Aplicamos al flujo que atraviesa la corona el teorema del impulso angular que dice que la variacioacuten del impulso angular es Igual a la suma de los momentos exteriores
~Impulso Angular = Imiddot~w = iquestMomentos Exteriores
El uacutenico momento exterior aplicado al fluido que atraviesa la corona es el diferencial de par hidrodinaacutemico que absorbe
iquestMomentos Exteriores = dQ
La variacioacuten del impulso angular del flujo que atraviesa la corona seraacute como w1 = wmiddotb Y W = O o
6 Impulso angular=[w1 -Wo ] dI=[W b-O]dI
y por tanto aplicando el mencionado teorema y sustituyendo el valor de dI
(6)
11
Ahora aplicaremos el teorema de la variacioacuten de la energiacutea cineacutetica que nos dice
Trabajo angular de los pares exteriores=IE cineacutetica de rotacioacuten
dQmiddotd0=lEc
Donde d0 es el aacutengulo girado por unidad de tiempo
d0=wpqt [dt=l] =gt d0=Wp
y la variaclonde la energiacutea cineacutetica de rotacioacuten vale
1 2 1 2 [ ]lEc =2dIW1 - 2 dIWO = OWo
luego podemos escribir
bull 1 2
dQwa =-dI(wb)2
Donde wp = wa es la velocidad de rotacioacuten del fluido que atraviesa la
heacutelice
Introduciendo ahora el valor de dI antes obtenido
122dQwa=zPdApVe(l+a)r (wb) =gt
1 b2 =gt dQ =-zPdAp~w7ve (1+ a) (7)
j
I E igualanqo (6) y (7) I
21 2 1 2 b W9PdApve (l+a)r = 2PdApr iacutell7 ve (1la)
~ =gt~
Esta expresioacuten indica que la velocidad inducida de rotacioacuten en el disco es la mitad de la velocidad inducida de rotacioacuten en la salida del tubo de corriente O sea que con las velocidades inducidas de rotacioacuten se cumple lo mismo que con las velocidades inducidas axiales
12
Definiremos velocidad tangencial inducida Ut como
Donde W = 2nn es la velocidad de rotacioacuten de la heacutelice
Entonces es obvio que u ub= __t_ a= __t_
2nnr 4nnr
o sea que la velocidad inducida tangencial en el disco es la mitad que aguas abajo
- Rendimiento de la heacutelice en aguas libres (llo)
Potencia Uacutetil (
dQw = TrabajoUacutetiacutel + Peacuterdidas por Ecineacutetica de traslacioacuten +
Peacuterdidas por Ecineacutetica de rotacioacuten
- 1 2 1 2 dQmiddotw=dTve+-dm(veb) +-dI(wb) (8)
2 2
Apoyaacutendonos en la teoriacutea de la cantidad de movimiento axial
ClT = pAacutepvp (vs -ve) ~ pAacutepve (1 +a)(veb)= pAacutepv~ (1+a)b ( v =ve(1+b) _ -~ s
vp=ve(1+a)
Comparando con la expresioacuten obtenida antes para la corona circular iexclshy
dm = pdApve (l+a)
Obtenemos
Como se ve el empuje estaacute muy relacionado con la cantidad de masa que atraviesa la heacutelice
Mediante el teorema del impulso angular (6) buscamos una expresioacuten similar para el momento de inercia para dejar todo en funcioacuten de dT y dQ
13
dI= dQdQ = dIoob = j oob
Sustituyendo en la expresioacuten de la potencia entregada (8)
dQw = dTv +~ dT b2v2 +~ dQ oo2b2 e 2 v be middot 2oobe
1 1dQoo = dTve +-dTbv +-dQoob
2 e 2
dQ[ 00- ~ oob]=dT[ve + ~Veb]
= dQoo[l- ~J=dTVe[1+J
y por tanto al ser b2 = a y b2 = a
= IdQoo(l-a)=dTve (1+a)1
Con esta uacuteltima expresioacuten calculamos el rendimiento
-adTve 1-a fl -shy=flo = dQoo = l+a O l+a ~
- Anaacutelisis de resultados
Comparando las dos expresiones obtenidas para el rendimiento con la Teoacuteriacutea de la Cantidad de Movimiento Axial y con la Teoriacutea del Impulso Angular tenemos
1- a1 riexcl = fl01 = l+a 02 l+a
T C Mov Axial T Impulso Angular
Dado que a es positivo l-a lt 1 Y por tanto
IflOAngUlar lt flOAxial1
Hay una diferencia introducida al considerar la velocidad angular del fluido y resulta un rendimiento maacutes bajo La teoriacutea del impulso angular es maacutes completa que la axial ya que tiene en cuenta maacutes fenoacutemenos ntildesicos y
14
---
se asemeja maacutes a la realidad El rendimiento es maacutes bajo que con la teoriacutea de la Cantidad de Movimiento axial y maacutes cercano a la realidad pero auacuten asiacute estaacute alej ado del rendimiento real por no considerarse otros fenoacutemenos que aparecen como la friccioacuten
En la figura siguiente se representa el aspecto de la variacioacuten de il y a as iacute como del rendimiento en funcioacuten del coefieciente de carga CT
12-- - ------shy a
- - a
-----C---- ----rend Sldal
~~ -rend angular
08 t-- --------- - --- - - ----- - shy
06 ~s -=~----~__2 04 t---------c~~~~~----0 2 t---------=---~=------ -shy -shy -shy
deg O~~_--~----~--_----__----__--~
2 3 4 5 6 7
1shy
15
Integrando estas curvas se obtiene T y Q de cada pala y si se multiplica por el nuacutemero de palas Z se obtienen T y Q totales de la heacutelice
fdT Q=Z fdQ drT=Z _-dr dr dr
rH = Radio del nuacutecleo R = Radio de la heacutelice
Para conocer estas distribuciones la teoriacutea del elemento de pala estudia queacute pasa en cada rebanada de la pala Para esto se recurre a la teoriacutea de perfiles de la que haremos un breve repaso
- Teoriacutea de PentildeiJes
En la siguiente figura se tiene un perfil inmerso en un flujo de velocidad V r y con un cierto aacutengulo de ataque respecto del mismo
dD
Paso dL = Sustentacioacutenzero geomeacutetrico - dD= Resistencia viscosa
aAacutengulo de ara e
v
En un fiuido viscoso aparece una capa liacutemite que distorsiona el campo de presiones y da lugar a la resistencia de presioacuten de origen viscoso pero la componente predominante en la resistencia del perfil es la debida a la friccioacuten
La sustentacioacuten aparece en el perfil por la diferencia de velocidades del fluido a cada cara del perfil que origina una diferencia de presiones entre las caras que da lugar a la sustentacioacuten
En la figura puede verse
Liacutenea de pasos liacutenea que une el borde de entrada y salida
Aacutengulo de ataque aacutengulo entre el flujo incidente y la liacutenea de pasos
Cuando el aacutengulo de ataque es cero nos encontramos en la condicioacuten de shock free entry Sin embargo la sustentacioacuten no es nula sino algo mayor debido a la asimetriacutea del perfil que viene medida por su curvatura
F
17
El valor de Uo (aacutengulo de sustentacioacuten nula) depende fundamentalmente de la curvatura del perfil ( en ingleacutes camber)
Cto F(curvatura (camber)) t curvatura =gt t eto
Estudiemos el triaacutengulo de velocidades y fuerzas sobre el elemento de pala
VR = Velocidad total Incidente sobre el perfil ltlgt = Aacutengulo de paso geomeacutetrico 13 = Aacutengulo de avance 13 Aacutengulo de paso hidrodinaacutemico u = Aacutengulo de ataque = ltlgt - 13
F dL
1gt
un
- Planteamiento
dOtany=shy
dF =dL sin~+dOcosf3iexcl
dT= dL cos ~ -dO sin ~ =dL ( cos ~- ~~ sin~) dL
Q
dT =dL(COs 13-- siny sin 13-)= ~ (cos 13cosy-siny sin 13)1 cosy 1 COsy 1
dT = ~ [cos(r + 13)]cosy 1
Haciendo lo mismo para dFQ resulta
sln(Y+I3-)dF = dL 1
Q COsy
Pondremos ahora la sustentacioacuten en funcioacuten de eL
19
Hemos llegado a unas expresiones que nos dan el reparto radial de empujes y pares totales de la heacutelice asiacute como del rendimiento Ahora hay que ver si se pueden aplicar
- Anaacutelisis criacutetico
p Z VA = Conocido
c = Conocido al conocer la geometriacutea
a = No conocemos su valor particular para cada seccioacuten podemos tantear el valor total para toda la heacutelice seguacuten las teoriacuteas de la cantidad de movimiento
CL = fA) 2 C1+C1o) no conocemos ni et ni eto para cada seccioacuten
Ademaacutes tendriacuteamos que pensar el A de una rebanada no tiene sentido por tener un espesor diferencial Podemos estimar un valor promedio
R-eacuteA= H rH = radio del nuacutecleo
cmedia
13 = depende del valor de la velocidad inducida de cada seccioacuten que depende del valor_de a de la seccioacuten que no se conoce es por lo tanto una incoacutegnita
y = a su vez depende de A cuyo valor es incierto
Podemos concluir por tanto que aunque se ha llegado con relativa sencillez a las expresiones anteriores estas no son realmente utilizables Se pueden usar valores medios para hacer una estimacioacuten pero no sirven para realizar caacutelculos fiables hasta aquiacute llega esta teoriacutea
Por lo tanto para intentar obtener resultados maacutes coherentes es preciso avanzar algo maacutes y emplear la Teoriacutea de la Circulacioacuten que es bastante maacutes compleja y requiere otras herramientas
21
)
) p Esto equivale a poner en el centro del cilindro un torbellino de intensidad r Ambos campos de velocidad consideradosCel inicial paralelo y uniforme y el nuevo radial) se suman resultando un nuevo campo de velocidadesp
Las liacuteneas de corriente se modifican quedando como en la siguiente figura
L En la parte superior del cilindro los dos campos de velocidades se suman y por tanto la velocidad es mayor que en flujo inicial En la parte inferior del cilindro ocurre lo contrario Se desplazan los puntos de remanso
Se pueden calcular v y p analiacuteticamente y aparece una fuerza la sustentacioacuten Clift)
L = sustentacioacuten Dirigida perpendicularmente al flujo uniforme y paralelo inicial
Calculemos la siguiente integral curviliacutenea que nos daraacute la circulacioacuten del vector velocidad sobre el cilindro
Donde
pVx ~dS=O campo simeacutetrico
-- rPero pvrdS = P2nr dS ya que Vr y dS son paralelos en la
superficie del cilindro Luego
r r rI=p- dS= - pdS=-2nr=r2n r 2n r 2n r
23
~===~====~ ~~-------------- Starting Vortex
El torbellino de intensidad r es desplazado aguas abajo hacia el borde de salida por el resto de liacuteneas de corriente
Recordemos un teorema baacutesico de la Teoriacutea Vorticial que dice que en un dominio fluido la vorticidad total permanece constante
-r 0gt r
= ==0==y~0 ~000
Inicialmente en el dominio fluido antes de introducir el perfil la vorticidad total era nula por lo que ha de aparecer otra circulacioacuten (-1) que compense a la del Starting Vortex Esta aparece en torno al perfil Aparece un nuevo campo de velocidades a causa de esta circulacioacuten en torno al perfil
El punto de remanso B se desplaza ahora al punto anguloso de salida lo que implica que los flujos queL van por arriba y por abajo no se mezclan B se desplaza a base de desprender torbellinos hasta llegar al borde de salida Esta es la Condicioacuten de Kutta
Ademaacutes como en el caso del cilindro si calculamos ahora v y p se obtiene que aparece una fuerza sobre el perfil la sustentacioacuten (l) que es perpendicular al flujo v
25
Esto permite a la hora de estudiar los perfiles y las fuerzas hacer una abstraccioacuten y llegar a sustituir el perfil por un flujo uniforme una liacutenea de torbellinos de verticidad r y una fuerza (l) [Suponiendo un perfil de ancho infinito]
VR - - ---ICgt
r
A la liacutenea de torbellinos se le llama liacutenea de sustentacioacuten ya que los torbellinos secteneran sustentacioacuten La parte de la Teoriacutea de Circulacioacuten que estudia los perfiles sustituyeacutendolos por liacuteneas de sustentacioacuten se llama Teoriacutea de la Liacutenea de Sustentacioacuten ( Ufting-line Theory)
d Perfiles de envergadura finita
Todo lo anterior ocurre en perfiles de envergadura ( ancho perpendicular al papel) infinita que loacutegicamente no existen en la realidad los perfiles que nos encontraremos (alas de avioacuten timones palas de heacutelices etc) son perfiles de envergadura finita es decir t ienen un ancho (alto) determinado Entonces aparece un nuevo fenoacutemeno tridimensiol)ltlJ no como hasta ahora que era siempre un flujo 2D
Efectos 3D
Torbellinos de ~ extremo de ala
S ~~-------------p_p-+--------iquest~
En los bordes del perfil el flujo se escapa de las zonas de preslon maacutes alta ( cara inferior del perfil) hacia las de presioacuten maacutes baj a ( cara superior
27
Como consecuencia de lo anterior en el borde de salida del ala se ) encuentran dos flujos cruzados el superior con una componente hacia el ) centro y el inferior con una componente hacia los extremos que dan lugar
a torbellinos desprendidos a lo largo de todo el borde de sal ida Eacutestos forman una hoja de torbellinos donde los de mayor intensidad aparecen en los bordes laterales del perfil Estos torbellinos se conocen con el nombre de torbellinos libres y son arrastralos aguas abajo por el flujo principal hasta el infinito
IG G G
En consecuencia podemos concluir que en los perfiles de env ergadura finita es decir los perfi les de la vida real se escapan de los mismos una serie de liacuteneas de torbellinos libres hacia popa Podemos hacer una representacioacuten esquemaacutetica como sigue
d
d d
--shy ~~ado el
J shy~a I gar aL
dI
que
T Libres giran en sentidos contrarios a cada lado del ala
Son torbellinos elementales
La vorticidad de los torbell inos libres dI tiene que salir de alguacuten lado ( recordemos que la cantidad total de vorticidad en un dominio ha de permanecer constante) Sale obviamente del torbellino ligado que va perdiendo vorticidad desde el centro del ala hacia ambos bordes laterales
-fshy
29
linea Semi-infinita Si la liacutenea de torbellinos es de
longitud semi-infinita es decir con principio pero sin final y el punto P estaacute en el plano en el que comienza la liacutenea tendremos al integrar
-+00 r
u~--41t y
Es de=ir que una liacutenea de torbellinos semi-infin ita crea una velocidad inducida que es la mitad de la que crea una liacutenea de longitud infinita
En el borde de salida del ala cada torbellino libre puede considerarse como una liacutenea semi-infinita que empieza en dicho borde En el infinito aguas abajo esta liacutenea puede considerarse liacutenea infinita La velocidad inducida por el torbellino libre en el infinito es el doble de la inducida en el borde de salida Lo mismo le ocurre a la velocidad inducida por toda la hoja de torbellinos libres ya que es la suma de las generadas por cada torbellino individual en el infinito la velocidad inducida es el doble que en eacutel b9rde de salida del perfil
U en el infinito ) ~ en el perfil
Hemos hablado de los moacutedulos de la velocidad pero iquestqueacute pasa con las direcciones
uuml
La velocidad inducida por un torbellino es siempre perpendicular a la direccioacuten del mismo En el caso de los torbellinos libres que se desprenden de un ala eacutestos se ven arrastrados por el flujo incidente y por tanto su direccioacuten es la misma de dicho flujo es decir que uuml es perpendicular a la velocidad incidente y estaacute dirigida hacia la cara de presioacuten del perfil No tiene componente transversal ya que dichas componentes se anulan por simetriacutea las de los torbellinos de la mitad izquierda del ala con las de la mitad derecha debe recordarse que giran en sentidos contrarios
Los torbellinos libres generan un campo de velocidades en el espacio que se suma vectorialmente a la velocidad incidente VT Como hemos dicho la velocidad inducida por los torbellinos libres es siempre
31
32 APLICACIOacuteN EN HEacuteLICES
) - Torbellinos ligados torbellinos libres y velocidades inducidas
l )
)
Consideraremos que cada pala es un ala de envergadura finita de las que hemos estudiado en los puntos anteriores y como tal se sustituye por una liacutenea de torbellinos ligados Lo uacutenico diferente es la geometriacutea que ahora es mucho maacutes complicada que la del ala de un avioacuten
En efecto ahora la hoja de torbellinos libres desprendidos es una superficie helicoidal en vez de plana La velocidad inducida [j es perpendicular a dicha superficie y a su vez se puede descomponer en una componente longitudinal
[j (paralela al eje de la heacutelice) a ua y otra tangente a la
superficie del cilindro circunscrito u
Por cada pala se genera una hoja de torbellinos libres desfasados entre siacute por 360oZ (Z = nO de palas) que se van enroscando unas con otras originando un tirabuzoacuten de hojas de torbellinos Cada hoja induce en todos los puntos del espacio una velocidad lo que complica el caacutelculo de las velocidades inducidas ayudado por lo complejo de la geometriacutea de las hojas La velocidad inducida total resultante en un determinado punto seraacute la suma vectorial de todas las velocidades inducidas por cada una de las hojas de torbellinos Puede demostrarse ( no lo haremos en estos Apuntes) que los valores de dichas velocidades inducidas totales variacutean desde el infinito aguas arriba hasta el disco de la heacutelice y desde eacuteste al infinito aguas debajo de la manera recogida en el cuadro siguiente
Axial Tanqencial
OAguas arriba
O u -+shy2
Disco u 2
~ 2
Aguas abajo
u -~~U 2
u ----1-igtU 2
33
En la punta ambas fuerzas son cero ya que la circulacioacuten es nula al igualarse las presiones por pasar el flujo de la cara
07-08 R de presioacuten a la de succioacuten en la zona de la punta (figura de la derecha)
En la raiacutez de las palas la circulacioacuten no es nula pero es pequentildea El motivo es que aparece un fenoacutemeno de interferencia entre palas adyacentes por la proximidad de las mismas en esta zona
Aparecen zonas de alta y baja presioacuten de palas adyacentes que estaacuten bastante proacuteximas por lo que hay una cierta comunicacioacuten de fluido dejando de ser tan extremas las presiones reducieacutendose por tanto lltI sustentacioacuten que aparece y con ello la circulacioacuten
En las palasmiddot de una heacutelice ocurre lo mismo que vimos en las alas al tratarse de perfiles de envergadura finita la circulacioacuten variacutea con el radio r = r(r) y loacutegicamente tambieacuten lo hace la velocidad incidente total
vR = V R (r) que depende de v (conocida) y de la velocidad inducida uuml ( ver
triaacutengulo de velocidades) Es evidente tambieacuten que f3 =f(uuml)
Entonces recordando las expresiones que nos daban el empuje y la fuerza del par
Examinemos estas expresiones De todo lo que hemos expresado arriba se deduce que VR Y 13 dependen de las velocidades inducidas (uuml) pero eacutestas estaacuten generadas por las hojas helicoidales de torbellinos libres y por ello dependen de la vorticidad de los mismos (r) Eacutesta sabemos que vale
r = _ ar dr Br
Y en consecuencia depende de r(r) es decir de la distribucioacuten radial de circulacioacuten del torbellino ligado sobre la pala
35
) rendimiento global final de la heacutelice seriacutea mejor que el de la heacutelice inicial
) Pero esto es incompatible con la hipoacutetesis de partida seguacuten la cual rapt ya ) nos daba el mayor rendimiento global de la heacutelice lo luego dicha hipoacutetesis
de partida es absurda Por el contrario cuando l01 no varia con el radio no hay opcioacuten a jugar con la circulacioacuten de las secciones puesto que todo lo que se toque empeoraraacute el lo global de la heacutelice
Obviamente al ser constante I10i a lo largo del radio seraacute tambieacuten
numeacutericamente igual al rendimiento global de la heacutelice 110 O sea
1101 = cte - f(r) = 110
La condicioacuten de Betz por tanto se escribe para heacutelices en flujo uniforme
1=tg l3 o tg (3
Si la heacutelice trabaja en una estela el estudio hay que realizarlo con el rendimiento cuasi-propulsivo de cada seccioacuten en vez de con el de propulsor aislado Al final puede demostrarse ( no lo haremos aquiacute) que se llega a
ID estela media circunferencial
ro estela efectiva
~ Relacioacuten emplrica entre y = la estela y el coeficiente de succioacuten
Es decir una expresioacuten similar a la de flujo uniforme pero con un factor antildeadido que depende de la estela
- Relacioacuten entre circulacioacuten y velocidades inducidas
Es muy importante encontrar una relacioacuten entre la circulacioacuten del torbellino ligado y las velocidades inducidas por los libres es decir la funcioacuten r = f (u) Para ello suponemos la heacutelice funcionando con las hojas de torbellinos desprendidas seguacuten la figura siguiente en la que se han representado las palas sustituidas por sus liacuteneas de sustentacioacuten( torbellino ligado) las hojas de torbellinos helicoidales libres y la velocidad inducida aguas abajo que es perpendicular a la hoja de torbellinos
Ut ----[gt
Ua
37
- - -
1
1 B A Hay infinitas liacuteneas de sustentacioacuten que atraviesan la superficie del cilindroO r Aplicando Stokes O r
El flujo del rotacional = circulacioacuten alrededor del contorno El flujo del rotacional es la suma de las
I I circulaciones de los torbellinos ligadosI I que ha cortado el cilindro es decir r oo
y por tantoI O r I
iquestr=roo =~uumlxdl dondeBI lA u=u +ua t
Calculemos la integral curviliacutenea anterior
~uuml x di = r (ua +utl dl + r(ua +ut )-dl + J(ua +ut)-dl+ r (Ua +~)di (1) (2) (3) (4)
(2) - - (4) Se anulan entre sr por recorrerse el m ismo camino en sentidos inversos shy
ut = O (por estar aguas arriba del propulsor) (3)=gt_ _ (3)=0
uaL di
Luego solo queda la integral (1)
iquestr=r~dl+Juadl =gt rr=r =rutdi
ya que UaL di
Por otra parte Ut es paralelo a di entre A y A luego
Hemos visto que para Z=oo Ut es constante a lo largo de la
circunferencia y puede salir de la integral Por tanto queda
Veamos ahora el caso de nO finito de palas Z En este caso la circulacioacuten total seraacute zr y por tanto
39
Para otras aplicaciones tomaremos A =x t9 13
- Distribucioacuten radial de empujes y pares
Primero hallaremos la relacioacuten entre las velocidades inducidas uYz y
uiexcl y el aacutengulo de paso hidrodinaacutemico 13
dL dT
u sin 13 sin(I3 - ~ ) = V R - --------c---7-shy2 cos(I3 -13 )
y ademaacutes
v _ VR VA
T - cos(f3 -13) sinl3
Entonces
v = V cos(13-(3) bull sin13
y por tanto sustituyendo
~=v cos(13 -13) sin 13 sln(13- 13) 2 sinf3 cos(f3- 3)
~=v sin 13 sin(I3 -3) 2 A sin 13
y del mismo modo
u = v cos 13 sin(3 - (3) 2 A sin 13
y por tanto sustituyendo en
z r = 211 r a3 u
41
El empuje de cada pa la vale
T = J~ dT = J~ dLcos 13 =1r p r vcos 13 dr H
Introducimos el concepto de circulacioacuten adimenslonal
[G=-shy
nD VA
Y sustituyendo podemos reescribir la expresioacuten del coeficiente de empuje
8Z
n
Volviendo al triaacutengulo de velocidades
u2
u2 2nrn - shycos 13 = __---2=_
vR
2=
Sustituyendo arriba y reordenando
Usando los radios adimensionalizados
r dr O x = - dx = - =gt dr = - dx
R R 2
La expresioacuten anterior queda ahora con estos radios adimensionalizados
43
Sacando factor comuacuten resulta
Relacioacuten entre velocidades inducidas y u = Aiexcl X ( _1_-1 J rendimiento
2 v A X 2 + A~ 110
Esta uacuteltima expreslon soacutelo sirve para heacutelices oacuteptimas puesto que hemos hecho uso de la condicioacuten de Betz
Sustituyendo esta expresioacuten en el valor del coeficiente de empuje y realizando las integrales queda la expresioacuten
doacutende tras varios pasos intermedios 1 11 2x I - r o dx
1 - JrH x 2 1) ~ + A 2
1 =(1-110 x 3
d 2 1 2 2 X
~ 110 (x2 +AF)
Para resolver estas integrales hay que recu rri r a hipoacutetesis simplificativas como Xh=O o Z=oo No entraremos aquiacute en el desarrollo completo pero con esto y otras ayudas se llega a
(2)
En esta expresioacuten soacutelo interviene tres paraacutemetros CT to Y A
El paraacutemetro A estaacute muy relacionado con el grado de avance J En efecto
VA JA = x tg 13 = ~ VA = VA = shyR 2n r n 2n R n nOn n
CT puede ser calculado a partir del empuje y del diaacutemetro de la heacutelice Entonces la expresioacuten (2) nos permite conociendo el punto de
funcionamiento de la heacutelice (J) y el empuje ( que puede obtenerse de (~) 1-1
donde R es la res istencia al avance y 1 el coeficiente de succioacuten) estimar el valor to que era el eslaboacuten que faltaba para aplicar la condicioacuten de Betz y poder terminar el caacutelculo f-shy
45
T 2 Con CT = 1---- estimamos el valor de CT ideal a partir de ciertas
2 p v Ao
expresiones empiacutericas
3 Con Cn y A entramos en el Diagrama de Kramer y obtenemos l01
4 Con middottg 13 x y lo aplicando el Teorema de Betz tenemos j3lx para cada seccioacuten
5 lt1gt = 1gt + a~ ~ Sacamos la ley de pasos buscando el aacutengulo de ataque
ideal a I (shock free entry)
6 Lo demaacutes (cuerdas curvaturas espesores ) se obtiene de caacutelculos de resistencia mecaacutenica y de cavitacioacuten
-t
47
CAPIacuteTULO 1
TEORIacuteA DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Esta teoriacutea fue propuesta por Rankine A su vez se ramifica en otras dos en funcioacuten de los fenoacutemenos contemplados en el estudio
bull Teoriacutea de la Cantidad de Movimiento Axial
bull Teoriacutea del Impulso Angular
La teoriacutea de la Cantidad de Movimiento AXial supone que todo el flujo se mueve paralelamente al eje de la heacutelice (la velocidad soacutelo tiene componente axial) mientras que la teoriacutea del Impulso Angular maacutes compleja que la anterior contempla otra componente de la velocidad una rotacioacuten en torno al eje de la heacutelice Inducido por el funcionamiento de esta
11 Teoda de la Cantidad de Movimiento Axial
- Hipoacutetesis de partida
1) Fluido incompresible no viscoso (fluido ideal)
2) Flujo uniforme y paralelo ( la heacutelice se encuentra en aguas libres sin la perturbacioacuten de la carena)
3) Se asemeja la heacutelice a un disco actuador sin palas y sin perfiles
4) Se considera que el disco de la heacutelice no gira y el movimiento del fluido es axial (paralelo al eje de la heacutelice)
5) la presioacuten del fluido suficientemente aguas arriba yaguas abajo del propulsor es la misma siendo su valor Po
6) Estaacuten diferenciados el fluido que atraviesa el disco de la heacutelice y el fluido que pasa por fuera del mismo Se considera que se forma un tubo de corriente
- Dominio fluido
Todos los caacutelculos considerados se realizan por unidad de tiempo Para el estudio se toma un dominio rectangular (AABB) de un fluido suficientemente amplio para que la presioacuten en AA y BB sea Po como se considera en las hipoacutetesis
2
A B
Ve
po
Ao
A Ve
po p Ap
-p+ilp Vp
-
V
po As
A B
Donde
v = Velocidad de entrada en el dominio v p = Velocidad en el propulsor V s = Velocidad de salida dentro del tubo de corriente Aa = Aacuterea de entradasalida en el dominio A = Aacuterea de entrada en el tubo de corriente Ap = Aacuterea en el propulsor As = Aacuterea de salida del tubo de corriente F El tubo de corriente se crea por el funcionamiento de la heacutelice
cambiando de seccioacuten por el cambio de velocidad provocado por la heacutelice
El funcionamiento de la heacutelice crea un salto de presiones (Llp) en el disco Los diagramas de velocidades y presiones en el dominio y tubo de corriente son middotcomo sigue
Perfil de presiones en el Po po tubo de corriente
V Perfil de velocidades en el tubo de corriente
Po = Presioacuten aguas arriba p = Presioacuten en la cara de entrada de la heacutelice p+Llp = presioacuten en la cara de salida de la heacutelice
3
J
A B
-c -c Ve
Po --ltgt
=ltgt-c --ltgt -e -ltgt
--ltgt -oCgt VVe -D 1shy --ltgt
-ltgt -~
~ -c r---- --lt ----ltgt -D
A B
- Proceso de caacutelculo
a) Se aplica la ecuacioacuten de continuidad del fluido (que implica que no se puede acumular fluido en el dominio) en el dominio por unidad de tiempo entra la misma cantidad de fluido que la que sale
Flujo que entra por AA = AOVe
Flujo que sale por BB Asvs +(AO -As )Ve
Flujo que sale por AB y AB (por continuidad) =
Flujo AA - Flujo BB = Aove - Avs -AOve + Asve = As (ve -vs )
Como Vs gt ve el flujo es negativo es decir que realmente por AB y AB
el flujo entra y no sale
b) Aplicamos ahora el teorema de la variacioacuten de la cantidad de movimiento
LlCantidad de movimiento =iquestF Exteriores
Cantidad de movimiento que entra por AA = m-ve = pAoveve = PAOV~
Cantidad de movimiento que sale por BB = PAsvt +p(AO -As )v~
Cantidad de movimiento que sale por AB y AB = pAs (ve -vs)ve (Se ha hecho la hipoacutetesis simplificativa de que la velocidad en AB y AB es ve)
LlCantidad de movimiento = Lo que sale - Lo que entra = 2 2 2 2 2pAsvs +pAove -pAsve +pAsve -pAsvsve -pAoVe
4
Es decir queda
iquest F Exteriores = Empuje de la Heacutelice ~ T Y por tanto
Aplicando la ecuacioacuten de la continuidad del fluido dentro del tubo de corriente vemos faacutecilmente que
Que se sustituye en la ecuacioacuten del empuje ya deducida quedando
c) Aplicamos ahora la ecuacioacuten de Bernouilli en el tubo de corriente en doacutes etapas
c1- Entre la entrada del tubo y la seccioacuten inmediatamente anterior al disco de la heacutelice
c2- Entre la seccioacuten inmediatamente posterior al disco de la heacutelice y la salida del tubo de corriente
5
i
el
Pero tambieacuten podemos obtener el empuje como la diferencia de las fuerzas que actuacutean en ambas caras del disco
T =(P+b-P-PAp = b-pAp y por tanto
1 (2 2)T=2PAp Vs -ve (2)
Igualando las ecuaciones del empuje (1) y (2) se obtiene
~ pAp (v~ -v~) = pApvp (vs -ve)
Es decir
IIVp = VSV~ (3)
Que nos indica que la velocidad en el disco es la media aritnieacutetica de las velocidades de entrada y salida
Concepto de velocidad inducida
Realizamos ahora un cambio de nomenclatura definiendo para ello el concepto de Velocidad Inducida Axial (u a) como la diferencia entre las velocidades del flujo muy aguas arriba y muy aguas abajo del propulsor dentro del tubo de corriente
ua=Vs-Ve ~ vs=ve+ua
Al introducir esta expresioacuten en la (3) de la velocidad del propulsor se obtiene
Ve+ua+Ve ua +2ve _ua--+vevp 2 2 2
IIVp =Ve+fll (4)
Esta expreslon significa que la velocidad en el propulsor es la velocidad aguas arriba mas la mitad de la velocidad inducida total
6
Otros autores emplean otra notacioacuten para Y p y Y s
a = ~ Valor adimensionalizado de ua 2v 2vp =ve (l+a) e
Vs =ve (1+b) u b =---ordf- Valor adimensionalizado de ua
ve
- Rendimiento de la heacutelice en aguas libres (110)
La expresioacuten del rendimiento es
Potencia Uacutetil 110
Potencia Entregada
La potencia uacutetil es la necesaria para mover el disco a una velocidad Ve F
La potencia entregada o suministrada al ignorar los efectos viscosos es igual al inclemento de energiacutea cineacutetica en el tubo de corriente
Potencia entregada =LEc
Ec que entra Ec que sale
Ya que
De este modo el rendimiento queda
7
1 (2 2)-pAp Vs -ve ve v 2 =~ ~ 110 1 (2 2) v OJ2PAp Vs -ve vp P
E introduciendo el concepto de velocidad inducida
1ve 1 (S)110 = u110 u a1+ -shyve +--ordf- 1+~
2ve2 2ve
En otra notacioacuten
ua 11110 = 1~a ~ a= 2v
e
Hemos obtenido por tanto el valor del rendimiento de la heacutelice con 3 formulaciones distintas pero equivalentes Todas ellas nos indican que cuanto menor sea la velocidad inducida el rendimiento de la heacutelice seraacute mayor
Es interesantildete reflejar 110 en funcioacuten de alguacuten paraacutemetro que pueda extraerse del ensayo del propulsor aislado El paraacutemetro maacutes interesante es el coeficiente de empuje CT
1 (2 2)-pAp Vs -ve v 2 _v2 2T 2 s e V s -1C = 2 1 2 2 2
T ~-PVeAp 2PVeAp ve ve 2
Siendo V s = ve + ua se puede reescribir de la siguiente manera
v u ~=1+-ordf-ve ve
E introduciendo esta expresioacuten en la del coeficiente de empuje nos queda
CT =[1+ ~) 2
-1
Despejando de aquiacute el valor de uave necesario para entrar en la
expresioacuten del rendimiento tenemos
8
12
U -1+ 11+CT=gt -ordf- =-1 + 11 + C =gt a =_---1_ _ shyv V T 2e
Esta expresioacuten indica que para una velocidad de entrada constante la velocidad inducida aumenta a medida que aumenta el coeficiente de empuje
De aquiacute se deduce que las heacutelices muy cargadas (heacutelices pequentildeas que suministran mucho empuje) tienen altas velocidades inducidas y por ello un mal rendimiento
El rendimiento de la heacutelice en funcioacuten del coeficiente de empuje resulta sustituyendo en (5)
1 2 riexcl - ------r====~0- -l+Jl+C
T1 + ------- - shy2
La representacioacuten graacutefica del rendimiento y de la velocidad inducida en funcioacuten del coeficiente de empuje tiene el aspecto de la Siguiente figura
-a -rend
1
08
06
04
02
O~-----~---~--~------r-----r---~
o 1 2 3 4 5 6 7
9
12 Teoriacutea del Impulso Angular
- Hipoacutetesis de partida
1) Fluido incompresible no viscoso (fluido ideal)
2) Flujo uniforme y paralelo (heacutelice se dispone en aguas libres sin la perturbacioacuten de la carena)
3) Se asemeja la heacutelice a un disco actuador sin palas y sin perfiles
4) La presioacuten del fluido suficientemente aguas arriba yaguas abajo del propulsor es la misma siendo su valor Po
5) Estaacuten diferenciados el fluido que atraviesa el disco de la heacutelice y el fluido que pasa por fuera del mismo Se considera que se forma un ntubo de corriente
6) El disco de la heacutelice gira con una velocidad angular CiJ que imprime al fluido una cierta velocidad de rotacioacuten ademaacutes de la componente axial
Dominio fluido
Para el caacutelculo se recurre de nuevo al dominio AABB y al empleo de la notacioacuten adimensionalizada de las velocidades inducidas
La velocidad de rotacioacuten de la heacutelice es w
A B
A
As
A B
wmiddota = Rotacioacuten del fluido en el disco de la heacutelice CJ) middotb = Rotacioacuten del fluido en la salida del tubo de presioacuten
10
-
~
A v v( l +a) v(l+b) uacutelo=O uacute)a (iexcl) b=Wl
1--
Ap
De nuevo operaremos por unidad de tiempo Para el estudio consideramos una corona circular en el disco de la heacutelice cuya aacuterea seraacute I dAp Y que proporcionaraacute un empuje dT y absorberaacute un par dQ
dT
dm= pdApVe (1+ a)dQ
dI = pdApve (l+a)r2
o dm Elemento diferencial de masa que atraviesa la corona por unidad
de tiempo
dI Momento de inercia diferencial de la masa que atraviesa la corona por unidad de tiempo
- Proceso de caacutelculo
Aplicamos al flujo que atraviesa la corona el teorema del impulso angular que dice que la variacioacuten del impulso angular es Igual a la suma de los momentos exteriores
~Impulso Angular = Imiddot~w = iquestMomentos Exteriores
El uacutenico momento exterior aplicado al fluido que atraviesa la corona es el diferencial de par hidrodinaacutemico que absorbe
iquestMomentos Exteriores = dQ
La variacioacuten del impulso angular del flujo que atraviesa la corona seraacute como w1 = wmiddotb Y W = O o
6 Impulso angular=[w1 -Wo ] dI=[W b-O]dI
y por tanto aplicando el mencionado teorema y sustituyendo el valor de dI
(6)
11
Ahora aplicaremos el teorema de la variacioacuten de la energiacutea cineacutetica que nos dice
Trabajo angular de los pares exteriores=IE cineacutetica de rotacioacuten
dQmiddotd0=lEc
Donde d0 es el aacutengulo girado por unidad de tiempo
d0=wpqt [dt=l] =gt d0=Wp
y la variaclonde la energiacutea cineacutetica de rotacioacuten vale
1 2 1 2 [ ]lEc =2dIW1 - 2 dIWO = OWo
luego podemos escribir
bull 1 2
dQwa =-dI(wb)2
Donde wp = wa es la velocidad de rotacioacuten del fluido que atraviesa la
heacutelice
Introduciendo ahora el valor de dI antes obtenido
122dQwa=zPdApVe(l+a)r (wb) =gt
1 b2 =gt dQ =-zPdAp~w7ve (1+ a) (7)
j
I E igualanqo (6) y (7) I
21 2 1 2 b W9PdApve (l+a)r = 2PdApr iacutell7 ve (1la)
~ =gt~
Esta expresioacuten indica que la velocidad inducida de rotacioacuten en el disco es la mitad de la velocidad inducida de rotacioacuten en la salida del tubo de corriente O sea que con las velocidades inducidas de rotacioacuten se cumple lo mismo que con las velocidades inducidas axiales
12
Definiremos velocidad tangencial inducida Ut como
Donde W = 2nn es la velocidad de rotacioacuten de la heacutelice
Entonces es obvio que u ub= __t_ a= __t_
2nnr 4nnr
o sea que la velocidad inducida tangencial en el disco es la mitad que aguas abajo
- Rendimiento de la heacutelice en aguas libres (llo)
Potencia Uacutetil (
dQw = TrabajoUacutetiacutel + Peacuterdidas por Ecineacutetica de traslacioacuten +
Peacuterdidas por Ecineacutetica de rotacioacuten
- 1 2 1 2 dQmiddotw=dTve+-dm(veb) +-dI(wb) (8)
2 2
Apoyaacutendonos en la teoriacutea de la cantidad de movimiento axial
ClT = pAacutepvp (vs -ve) ~ pAacutepve (1 +a)(veb)= pAacutepv~ (1+a)b ( v =ve(1+b) _ -~ s
vp=ve(1+a)
Comparando con la expresioacuten obtenida antes para la corona circular iexclshy
dm = pdApve (l+a)
Obtenemos
Como se ve el empuje estaacute muy relacionado con la cantidad de masa que atraviesa la heacutelice
Mediante el teorema del impulso angular (6) buscamos una expresioacuten similar para el momento de inercia para dejar todo en funcioacuten de dT y dQ
13
dI= dQdQ = dIoob = j oob
Sustituyendo en la expresioacuten de la potencia entregada (8)
dQw = dTv +~ dT b2v2 +~ dQ oo2b2 e 2 v be middot 2oobe
1 1dQoo = dTve +-dTbv +-dQoob
2 e 2
dQ[ 00- ~ oob]=dT[ve + ~Veb]
= dQoo[l- ~J=dTVe[1+J
y por tanto al ser b2 = a y b2 = a
= IdQoo(l-a)=dTve (1+a)1
Con esta uacuteltima expresioacuten calculamos el rendimiento
-adTve 1-a fl -shy=flo = dQoo = l+a O l+a ~
- Anaacutelisis de resultados
Comparando las dos expresiones obtenidas para el rendimiento con la Teoacuteriacutea de la Cantidad de Movimiento Axial y con la Teoriacutea del Impulso Angular tenemos
1- a1 riexcl = fl01 = l+a 02 l+a
T C Mov Axial T Impulso Angular
Dado que a es positivo l-a lt 1 Y por tanto
IflOAngUlar lt flOAxial1
Hay una diferencia introducida al considerar la velocidad angular del fluido y resulta un rendimiento maacutes bajo La teoriacutea del impulso angular es maacutes completa que la axial ya que tiene en cuenta maacutes fenoacutemenos ntildesicos y
14
---
se asemeja maacutes a la realidad El rendimiento es maacutes bajo que con la teoriacutea de la Cantidad de Movimiento axial y maacutes cercano a la realidad pero auacuten asiacute estaacute alej ado del rendimiento real por no considerarse otros fenoacutemenos que aparecen como la friccioacuten
En la figura siguiente se representa el aspecto de la variacioacuten de il y a as iacute como del rendimiento en funcioacuten del coefieciente de carga CT
12-- - ------shy a
- - a
-----C---- ----rend Sldal
~~ -rend angular
08 t-- --------- - --- - - ----- - shy
06 ~s -=~----~__2 04 t---------c~~~~~----0 2 t---------=---~=------ -shy -shy -shy
deg O~~_--~----~--_----__----__--~
2 3 4 5 6 7
1shy
15
Integrando estas curvas se obtiene T y Q de cada pala y si se multiplica por el nuacutemero de palas Z se obtienen T y Q totales de la heacutelice
fdT Q=Z fdQ drT=Z _-dr dr dr
rH = Radio del nuacutecleo R = Radio de la heacutelice
Para conocer estas distribuciones la teoriacutea del elemento de pala estudia queacute pasa en cada rebanada de la pala Para esto se recurre a la teoriacutea de perfiles de la que haremos un breve repaso
- Teoriacutea de PentildeiJes
En la siguiente figura se tiene un perfil inmerso en un flujo de velocidad V r y con un cierto aacutengulo de ataque respecto del mismo
dD
Paso dL = Sustentacioacutenzero geomeacutetrico - dD= Resistencia viscosa
aAacutengulo de ara e
v
En un fiuido viscoso aparece una capa liacutemite que distorsiona el campo de presiones y da lugar a la resistencia de presioacuten de origen viscoso pero la componente predominante en la resistencia del perfil es la debida a la friccioacuten
La sustentacioacuten aparece en el perfil por la diferencia de velocidades del fluido a cada cara del perfil que origina una diferencia de presiones entre las caras que da lugar a la sustentacioacuten
En la figura puede verse
Liacutenea de pasos liacutenea que une el borde de entrada y salida
Aacutengulo de ataque aacutengulo entre el flujo incidente y la liacutenea de pasos
Cuando el aacutengulo de ataque es cero nos encontramos en la condicioacuten de shock free entry Sin embargo la sustentacioacuten no es nula sino algo mayor debido a la asimetriacutea del perfil que viene medida por su curvatura
F
17
El valor de Uo (aacutengulo de sustentacioacuten nula) depende fundamentalmente de la curvatura del perfil ( en ingleacutes camber)
Cto F(curvatura (camber)) t curvatura =gt t eto
Estudiemos el triaacutengulo de velocidades y fuerzas sobre el elemento de pala
VR = Velocidad total Incidente sobre el perfil ltlgt = Aacutengulo de paso geomeacutetrico 13 = Aacutengulo de avance 13 Aacutengulo de paso hidrodinaacutemico u = Aacutengulo de ataque = ltlgt - 13
F dL
1gt
un
- Planteamiento
dOtany=shy
dF =dL sin~+dOcosf3iexcl
dT= dL cos ~ -dO sin ~ =dL ( cos ~- ~~ sin~) dL
Q
dT =dL(COs 13-- siny sin 13-)= ~ (cos 13cosy-siny sin 13)1 cosy 1 COsy 1
dT = ~ [cos(r + 13)]cosy 1
Haciendo lo mismo para dFQ resulta
sln(Y+I3-)dF = dL 1
Q COsy
Pondremos ahora la sustentacioacuten en funcioacuten de eL
19
Hemos llegado a unas expresiones que nos dan el reparto radial de empujes y pares totales de la heacutelice asiacute como del rendimiento Ahora hay que ver si se pueden aplicar
- Anaacutelisis criacutetico
p Z VA = Conocido
c = Conocido al conocer la geometriacutea
a = No conocemos su valor particular para cada seccioacuten podemos tantear el valor total para toda la heacutelice seguacuten las teoriacuteas de la cantidad de movimiento
CL = fA) 2 C1+C1o) no conocemos ni et ni eto para cada seccioacuten
Ademaacutes tendriacuteamos que pensar el A de una rebanada no tiene sentido por tener un espesor diferencial Podemos estimar un valor promedio
R-eacuteA= H rH = radio del nuacutecleo
cmedia
13 = depende del valor de la velocidad inducida de cada seccioacuten que depende del valor_de a de la seccioacuten que no se conoce es por lo tanto una incoacutegnita
y = a su vez depende de A cuyo valor es incierto
Podemos concluir por tanto que aunque se ha llegado con relativa sencillez a las expresiones anteriores estas no son realmente utilizables Se pueden usar valores medios para hacer una estimacioacuten pero no sirven para realizar caacutelculos fiables hasta aquiacute llega esta teoriacutea
Por lo tanto para intentar obtener resultados maacutes coherentes es preciso avanzar algo maacutes y emplear la Teoriacutea de la Circulacioacuten que es bastante maacutes compleja y requiere otras herramientas
21
)
) p Esto equivale a poner en el centro del cilindro un torbellino de intensidad r Ambos campos de velocidad consideradosCel inicial paralelo y uniforme y el nuevo radial) se suman resultando un nuevo campo de velocidadesp
Las liacuteneas de corriente se modifican quedando como en la siguiente figura
L En la parte superior del cilindro los dos campos de velocidades se suman y por tanto la velocidad es mayor que en flujo inicial En la parte inferior del cilindro ocurre lo contrario Se desplazan los puntos de remanso
Se pueden calcular v y p analiacuteticamente y aparece una fuerza la sustentacioacuten Clift)
L = sustentacioacuten Dirigida perpendicularmente al flujo uniforme y paralelo inicial
Calculemos la siguiente integral curviliacutenea que nos daraacute la circulacioacuten del vector velocidad sobre el cilindro
Donde
pVx ~dS=O campo simeacutetrico
-- rPero pvrdS = P2nr dS ya que Vr y dS son paralelos en la
superficie del cilindro Luego
r r rI=p- dS= - pdS=-2nr=r2n r 2n r 2n r
23
~===~====~ ~~-------------- Starting Vortex
El torbellino de intensidad r es desplazado aguas abajo hacia el borde de salida por el resto de liacuteneas de corriente
Recordemos un teorema baacutesico de la Teoriacutea Vorticial que dice que en un dominio fluido la vorticidad total permanece constante
-r 0gt r
= ==0==y~0 ~000
Inicialmente en el dominio fluido antes de introducir el perfil la vorticidad total era nula por lo que ha de aparecer otra circulacioacuten (-1) que compense a la del Starting Vortex Esta aparece en torno al perfil Aparece un nuevo campo de velocidades a causa de esta circulacioacuten en torno al perfil
El punto de remanso B se desplaza ahora al punto anguloso de salida lo que implica que los flujos queL van por arriba y por abajo no se mezclan B se desplaza a base de desprender torbellinos hasta llegar al borde de salida Esta es la Condicioacuten de Kutta
Ademaacutes como en el caso del cilindro si calculamos ahora v y p se obtiene que aparece una fuerza sobre el perfil la sustentacioacuten (l) que es perpendicular al flujo v
25
Esto permite a la hora de estudiar los perfiles y las fuerzas hacer una abstraccioacuten y llegar a sustituir el perfil por un flujo uniforme una liacutenea de torbellinos de verticidad r y una fuerza (l) [Suponiendo un perfil de ancho infinito]
VR - - ---ICgt
r
A la liacutenea de torbellinos se le llama liacutenea de sustentacioacuten ya que los torbellinos secteneran sustentacioacuten La parte de la Teoriacutea de Circulacioacuten que estudia los perfiles sustituyeacutendolos por liacuteneas de sustentacioacuten se llama Teoriacutea de la Liacutenea de Sustentacioacuten ( Ufting-line Theory)
d Perfiles de envergadura finita
Todo lo anterior ocurre en perfiles de envergadura ( ancho perpendicular al papel) infinita que loacutegicamente no existen en la realidad los perfiles que nos encontraremos (alas de avioacuten timones palas de heacutelices etc) son perfiles de envergadura finita es decir t ienen un ancho (alto) determinado Entonces aparece un nuevo fenoacutemeno tridimensiol)ltlJ no como hasta ahora que era siempre un flujo 2D
Efectos 3D
Torbellinos de ~ extremo de ala
S ~~-------------p_p-+--------iquest~
En los bordes del perfil el flujo se escapa de las zonas de preslon maacutes alta ( cara inferior del perfil) hacia las de presioacuten maacutes baj a ( cara superior
27
Como consecuencia de lo anterior en el borde de salida del ala se ) encuentran dos flujos cruzados el superior con una componente hacia el ) centro y el inferior con una componente hacia los extremos que dan lugar
a torbellinos desprendidos a lo largo de todo el borde de sal ida Eacutestos forman una hoja de torbellinos donde los de mayor intensidad aparecen en los bordes laterales del perfil Estos torbellinos se conocen con el nombre de torbellinos libres y son arrastralos aguas abajo por el flujo principal hasta el infinito
IG G G
En consecuencia podemos concluir que en los perfiles de env ergadura finita es decir los perfi les de la vida real se escapan de los mismos una serie de liacuteneas de torbellinos libres hacia popa Podemos hacer una representacioacuten esquemaacutetica como sigue
d
d d
--shy ~~ado el
J shy~a I gar aL
dI
que
T Libres giran en sentidos contrarios a cada lado del ala
Son torbellinos elementales
La vorticidad de los torbell inos libres dI tiene que salir de alguacuten lado ( recordemos que la cantidad total de vorticidad en un dominio ha de permanecer constante) Sale obviamente del torbellino ligado que va perdiendo vorticidad desde el centro del ala hacia ambos bordes laterales
-fshy
29
linea Semi-infinita Si la liacutenea de torbellinos es de
longitud semi-infinita es decir con principio pero sin final y el punto P estaacute en el plano en el que comienza la liacutenea tendremos al integrar
-+00 r
u~--41t y
Es de=ir que una liacutenea de torbellinos semi-infin ita crea una velocidad inducida que es la mitad de la que crea una liacutenea de longitud infinita
En el borde de salida del ala cada torbellino libre puede considerarse como una liacutenea semi-infinita que empieza en dicho borde En el infinito aguas abajo esta liacutenea puede considerarse liacutenea infinita La velocidad inducida por el torbellino libre en el infinito es el doble de la inducida en el borde de salida Lo mismo le ocurre a la velocidad inducida por toda la hoja de torbellinos libres ya que es la suma de las generadas por cada torbellino individual en el infinito la velocidad inducida es el doble que en eacutel b9rde de salida del perfil
U en el infinito ) ~ en el perfil
Hemos hablado de los moacutedulos de la velocidad pero iquestqueacute pasa con las direcciones
uuml
La velocidad inducida por un torbellino es siempre perpendicular a la direccioacuten del mismo En el caso de los torbellinos libres que se desprenden de un ala eacutestos se ven arrastrados por el flujo incidente y por tanto su direccioacuten es la misma de dicho flujo es decir que uuml es perpendicular a la velocidad incidente y estaacute dirigida hacia la cara de presioacuten del perfil No tiene componente transversal ya que dichas componentes se anulan por simetriacutea las de los torbellinos de la mitad izquierda del ala con las de la mitad derecha debe recordarse que giran en sentidos contrarios
Los torbellinos libres generan un campo de velocidades en el espacio que se suma vectorialmente a la velocidad incidente VT Como hemos dicho la velocidad inducida por los torbellinos libres es siempre
31
32 APLICACIOacuteN EN HEacuteLICES
) - Torbellinos ligados torbellinos libres y velocidades inducidas
l )
)
Consideraremos que cada pala es un ala de envergadura finita de las que hemos estudiado en los puntos anteriores y como tal se sustituye por una liacutenea de torbellinos ligados Lo uacutenico diferente es la geometriacutea que ahora es mucho maacutes complicada que la del ala de un avioacuten
En efecto ahora la hoja de torbellinos libres desprendidos es una superficie helicoidal en vez de plana La velocidad inducida [j es perpendicular a dicha superficie y a su vez se puede descomponer en una componente longitudinal
[j (paralela al eje de la heacutelice) a ua y otra tangente a la
superficie del cilindro circunscrito u
Por cada pala se genera una hoja de torbellinos libres desfasados entre siacute por 360oZ (Z = nO de palas) que se van enroscando unas con otras originando un tirabuzoacuten de hojas de torbellinos Cada hoja induce en todos los puntos del espacio una velocidad lo que complica el caacutelculo de las velocidades inducidas ayudado por lo complejo de la geometriacutea de las hojas La velocidad inducida total resultante en un determinado punto seraacute la suma vectorial de todas las velocidades inducidas por cada una de las hojas de torbellinos Puede demostrarse ( no lo haremos en estos Apuntes) que los valores de dichas velocidades inducidas totales variacutean desde el infinito aguas arriba hasta el disco de la heacutelice y desde eacuteste al infinito aguas debajo de la manera recogida en el cuadro siguiente
Axial Tanqencial
OAguas arriba
O u -+shy2
Disco u 2
~ 2
Aguas abajo
u -~~U 2
u ----1-igtU 2
33
En la punta ambas fuerzas son cero ya que la circulacioacuten es nula al igualarse las presiones por pasar el flujo de la cara
07-08 R de presioacuten a la de succioacuten en la zona de la punta (figura de la derecha)
En la raiacutez de las palas la circulacioacuten no es nula pero es pequentildea El motivo es que aparece un fenoacutemeno de interferencia entre palas adyacentes por la proximidad de las mismas en esta zona
Aparecen zonas de alta y baja presioacuten de palas adyacentes que estaacuten bastante proacuteximas por lo que hay una cierta comunicacioacuten de fluido dejando de ser tan extremas las presiones reducieacutendose por tanto lltI sustentacioacuten que aparece y con ello la circulacioacuten
En las palasmiddot de una heacutelice ocurre lo mismo que vimos en las alas al tratarse de perfiles de envergadura finita la circulacioacuten variacutea con el radio r = r(r) y loacutegicamente tambieacuten lo hace la velocidad incidente total
vR = V R (r) que depende de v (conocida) y de la velocidad inducida uuml ( ver
triaacutengulo de velocidades) Es evidente tambieacuten que f3 =f(uuml)
Entonces recordando las expresiones que nos daban el empuje y la fuerza del par
Examinemos estas expresiones De todo lo que hemos expresado arriba se deduce que VR Y 13 dependen de las velocidades inducidas (uuml) pero eacutestas estaacuten generadas por las hojas helicoidales de torbellinos libres y por ello dependen de la vorticidad de los mismos (r) Eacutesta sabemos que vale
r = _ ar dr Br
Y en consecuencia depende de r(r) es decir de la distribucioacuten radial de circulacioacuten del torbellino ligado sobre la pala
35
) rendimiento global final de la heacutelice seriacutea mejor que el de la heacutelice inicial
) Pero esto es incompatible con la hipoacutetesis de partida seguacuten la cual rapt ya ) nos daba el mayor rendimiento global de la heacutelice lo luego dicha hipoacutetesis
de partida es absurda Por el contrario cuando l01 no varia con el radio no hay opcioacuten a jugar con la circulacioacuten de las secciones puesto que todo lo que se toque empeoraraacute el lo global de la heacutelice
Obviamente al ser constante I10i a lo largo del radio seraacute tambieacuten
numeacutericamente igual al rendimiento global de la heacutelice 110 O sea
1101 = cte - f(r) = 110
La condicioacuten de Betz por tanto se escribe para heacutelices en flujo uniforme
1=tg l3 o tg (3
Si la heacutelice trabaja en una estela el estudio hay que realizarlo con el rendimiento cuasi-propulsivo de cada seccioacuten en vez de con el de propulsor aislado Al final puede demostrarse ( no lo haremos aquiacute) que se llega a
ID estela media circunferencial
ro estela efectiva
~ Relacioacuten emplrica entre y = la estela y el coeficiente de succioacuten
Es decir una expresioacuten similar a la de flujo uniforme pero con un factor antildeadido que depende de la estela
- Relacioacuten entre circulacioacuten y velocidades inducidas
Es muy importante encontrar una relacioacuten entre la circulacioacuten del torbellino ligado y las velocidades inducidas por los libres es decir la funcioacuten r = f (u) Para ello suponemos la heacutelice funcionando con las hojas de torbellinos desprendidas seguacuten la figura siguiente en la que se han representado las palas sustituidas por sus liacuteneas de sustentacioacuten( torbellino ligado) las hojas de torbellinos helicoidales libres y la velocidad inducida aguas abajo que es perpendicular a la hoja de torbellinos
Ut ----[gt
Ua
37
- - -
1
1 B A Hay infinitas liacuteneas de sustentacioacuten que atraviesan la superficie del cilindroO r Aplicando Stokes O r
El flujo del rotacional = circulacioacuten alrededor del contorno El flujo del rotacional es la suma de las
I I circulaciones de los torbellinos ligadosI I que ha cortado el cilindro es decir r oo
y por tantoI O r I
iquestr=roo =~uumlxdl dondeBI lA u=u +ua t
Calculemos la integral curviliacutenea anterior
~uuml x di = r (ua +utl dl + r(ua +ut )-dl + J(ua +ut)-dl+ r (Ua +~)di (1) (2) (3) (4)
(2) - - (4) Se anulan entre sr por recorrerse el m ismo camino en sentidos inversos shy
ut = O (por estar aguas arriba del propulsor) (3)=gt_ _ (3)=0
uaL di
Luego solo queda la integral (1)
iquestr=r~dl+Juadl =gt rr=r =rutdi
ya que UaL di
Por otra parte Ut es paralelo a di entre A y A luego
Hemos visto que para Z=oo Ut es constante a lo largo de la
circunferencia y puede salir de la integral Por tanto queda
Veamos ahora el caso de nO finito de palas Z En este caso la circulacioacuten total seraacute zr y por tanto
39
Para otras aplicaciones tomaremos A =x t9 13
- Distribucioacuten radial de empujes y pares
Primero hallaremos la relacioacuten entre las velocidades inducidas uYz y
uiexcl y el aacutengulo de paso hidrodinaacutemico 13
dL dT
u sin 13 sin(I3 - ~ ) = V R - --------c---7-shy2 cos(I3 -13 )
y ademaacutes
v _ VR VA
T - cos(f3 -13) sinl3
Entonces
v = V cos(13-(3) bull sin13
y por tanto sustituyendo
~=v cos(13 -13) sin 13 sln(13- 13) 2 sinf3 cos(f3- 3)
~=v sin 13 sin(I3 -3) 2 A sin 13
y del mismo modo
u = v cos 13 sin(3 - (3) 2 A sin 13
y por tanto sustituyendo en
z r = 211 r a3 u
41
El empuje de cada pa la vale
T = J~ dT = J~ dLcos 13 =1r p r vcos 13 dr H
Introducimos el concepto de circulacioacuten adimenslonal
[G=-shy
nD VA
Y sustituyendo podemos reescribir la expresioacuten del coeficiente de empuje
8Z
n
Volviendo al triaacutengulo de velocidades
u2
u2 2nrn - shycos 13 = __---2=_
vR
2=
Sustituyendo arriba y reordenando
Usando los radios adimensionalizados
r dr O x = - dx = - =gt dr = - dx
R R 2
La expresioacuten anterior queda ahora con estos radios adimensionalizados
43
Sacando factor comuacuten resulta
Relacioacuten entre velocidades inducidas y u = Aiexcl X ( _1_-1 J rendimiento
2 v A X 2 + A~ 110
Esta uacuteltima expreslon soacutelo sirve para heacutelices oacuteptimas puesto que hemos hecho uso de la condicioacuten de Betz
Sustituyendo esta expresioacuten en el valor del coeficiente de empuje y realizando las integrales queda la expresioacuten
doacutende tras varios pasos intermedios 1 11 2x I - r o dx
1 - JrH x 2 1) ~ + A 2
1 =(1-110 x 3
d 2 1 2 2 X
~ 110 (x2 +AF)
Para resolver estas integrales hay que recu rri r a hipoacutetesis simplificativas como Xh=O o Z=oo No entraremos aquiacute en el desarrollo completo pero con esto y otras ayudas se llega a
(2)
En esta expresioacuten soacutelo interviene tres paraacutemetros CT to Y A
El paraacutemetro A estaacute muy relacionado con el grado de avance J En efecto
VA JA = x tg 13 = ~ VA = VA = shyR 2n r n 2n R n nOn n
CT puede ser calculado a partir del empuje y del diaacutemetro de la heacutelice Entonces la expresioacuten (2) nos permite conociendo el punto de
funcionamiento de la heacutelice (J) y el empuje ( que puede obtenerse de (~) 1-1
donde R es la res istencia al avance y 1 el coeficiente de succioacuten) estimar el valor to que era el eslaboacuten que faltaba para aplicar la condicioacuten de Betz y poder terminar el caacutelculo f-shy
45
T 2 Con CT = 1---- estimamos el valor de CT ideal a partir de ciertas
2 p v Ao
expresiones empiacutericas
3 Con Cn y A entramos en el Diagrama de Kramer y obtenemos l01
4 Con middottg 13 x y lo aplicando el Teorema de Betz tenemos j3lx para cada seccioacuten
5 lt1gt = 1gt + a~ ~ Sacamos la ley de pasos buscando el aacutengulo de ataque
ideal a I (shock free entry)
6 Lo demaacutes (cuerdas curvaturas espesores ) se obtiene de caacutelculos de resistencia mecaacutenica y de cavitacioacuten
-t
47
A B
Ve
po
Ao
A Ve
po p Ap
-p+ilp Vp
-
V
po As
A B
Donde
v = Velocidad de entrada en el dominio v p = Velocidad en el propulsor V s = Velocidad de salida dentro del tubo de corriente Aa = Aacuterea de entradasalida en el dominio A = Aacuterea de entrada en el tubo de corriente Ap = Aacuterea en el propulsor As = Aacuterea de salida del tubo de corriente F El tubo de corriente se crea por el funcionamiento de la heacutelice
cambiando de seccioacuten por el cambio de velocidad provocado por la heacutelice
El funcionamiento de la heacutelice crea un salto de presiones (Llp) en el disco Los diagramas de velocidades y presiones en el dominio y tubo de corriente son middotcomo sigue
Perfil de presiones en el Po po tubo de corriente
V Perfil de velocidades en el tubo de corriente
Po = Presioacuten aguas arriba p = Presioacuten en la cara de entrada de la heacutelice p+Llp = presioacuten en la cara de salida de la heacutelice
3
J
A B
-c -c Ve
Po --ltgt
=ltgt-c --ltgt -e -ltgt
--ltgt -oCgt VVe -D 1shy --ltgt
-ltgt -~
~ -c r---- --lt ----ltgt -D
A B
- Proceso de caacutelculo
a) Se aplica la ecuacioacuten de continuidad del fluido (que implica que no se puede acumular fluido en el dominio) en el dominio por unidad de tiempo entra la misma cantidad de fluido que la que sale
Flujo que entra por AA = AOVe
Flujo que sale por BB Asvs +(AO -As )Ve
Flujo que sale por AB y AB (por continuidad) =
Flujo AA - Flujo BB = Aove - Avs -AOve + Asve = As (ve -vs )
Como Vs gt ve el flujo es negativo es decir que realmente por AB y AB
el flujo entra y no sale
b) Aplicamos ahora el teorema de la variacioacuten de la cantidad de movimiento
LlCantidad de movimiento =iquestF Exteriores
Cantidad de movimiento que entra por AA = m-ve = pAoveve = PAOV~
Cantidad de movimiento que sale por BB = PAsvt +p(AO -As )v~
Cantidad de movimiento que sale por AB y AB = pAs (ve -vs)ve (Se ha hecho la hipoacutetesis simplificativa de que la velocidad en AB y AB es ve)
LlCantidad de movimiento = Lo que sale - Lo que entra = 2 2 2 2 2pAsvs +pAove -pAsve +pAsve -pAsvsve -pAoVe
4
Es decir queda
iquest F Exteriores = Empuje de la Heacutelice ~ T Y por tanto
Aplicando la ecuacioacuten de la continuidad del fluido dentro del tubo de corriente vemos faacutecilmente que
Que se sustituye en la ecuacioacuten del empuje ya deducida quedando
c) Aplicamos ahora la ecuacioacuten de Bernouilli en el tubo de corriente en doacutes etapas
c1- Entre la entrada del tubo y la seccioacuten inmediatamente anterior al disco de la heacutelice
c2- Entre la seccioacuten inmediatamente posterior al disco de la heacutelice y la salida del tubo de corriente
5
i
el
Pero tambieacuten podemos obtener el empuje como la diferencia de las fuerzas que actuacutean en ambas caras del disco
T =(P+b-P-PAp = b-pAp y por tanto
1 (2 2)T=2PAp Vs -ve (2)
Igualando las ecuaciones del empuje (1) y (2) se obtiene
~ pAp (v~ -v~) = pApvp (vs -ve)
Es decir
IIVp = VSV~ (3)
Que nos indica que la velocidad en el disco es la media aritnieacutetica de las velocidades de entrada y salida
Concepto de velocidad inducida
Realizamos ahora un cambio de nomenclatura definiendo para ello el concepto de Velocidad Inducida Axial (u a) como la diferencia entre las velocidades del flujo muy aguas arriba y muy aguas abajo del propulsor dentro del tubo de corriente
ua=Vs-Ve ~ vs=ve+ua
Al introducir esta expresioacuten en la (3) de la velocidad del propulsor se obtiene
Ve+ua+Ve ua +2ve _ua--+vevp 2 2 2
IIVp =Ve+fll (4)
Esta expreslon significa que la velocidad en el propulsor es la velocidad aguas arriba mas la mitad de la velocidad inducida total
6
Otros autores emplean otra notacioacuten para Y p y Y s
a = ~ Valor adimensionalizado de ua 2v 2vp =ve (l+a) e
Vs =ve (1+b) u b =---ordf- Valor adimensionalizado de ua
ve
- Rendimiento de la heacutelice en aguas libres (110)
La expresioacuten del rendimiento es
Potencia Uacutetil 110
Potencia Entregada
La potencia uacutetil es la necesaria para mover el disco a una velocidad Ve F
La potencia entregada o suministrada al ignorar los efectos viscosos es igual al inclemento de energiacutea cineacutetica en el tubo de corriente
Potencia entregada =LEc
Ec que entra Ec que sale
Ya que
De este modo el rendimiento queda
7
1 (2 2)-pAp Vs -ve ve v 2 =~ ~ 110 1 (2 2) v OJ2PAp Vs -ve vp P
E introduciendo el concepto de velocidad inducida
1ve 1 (S)110 = u110 u a1+ -shyve +--ordf- 1+~
2ve2 2ve
En otra notacioacuten
ua 11110 = 1~a ~ a= 2v
e
Hemos obtenido por tanto el valor del rendimiento de la heacutelice con 3 formulaciones distintas pero equivalentes Todas ellas nos indican que cuanto menor sea la velocidad inducida el rendimiento de la heacutelice seraacute mayor
Es interesantildete reflejar 110 en funcioacuten de alguacuten paraacutemetro que pueda extraerse del ensayo del propulsor aislado El paraacutemetro maacutes interesante es el coeficiente de empuje CT
1 (2 2)-pAp Vs -ve v 2 _v2 2T 2 s e V s -1C = 2 1 2 2 2
T ~-PVeAp 2PVeAp ve ve 2
Siendo V s = ve + ua se puede reescribir de la siguiente manera
v u ~=1+-ordf-ve ve
E introduciendo esta expresioacuten en la del coeficiente de empuje nos queda
CT =[1+ ~) 2
-1
Despejando de aquiacute el valor de uave necesario para entrar en la
expresioacuten del rendimiento tenemos
8
12
U -1+ 11+CT=gt -ordf- =-1 + 11 + C =gt a =_---1_ _ shyv V T 2e
Esta expresioacuten indica que para una velocidad de entrada constante la velocidad inducida aumenta a medida que aumenta el coeficiente de empuje
De aquiacute se deduce que las heacutelices muy cargadas (heacutelices pequentildeas que suministran mucho empuje) tienen altas velocidades inducidas y por ello un mal rendimiento
El rendimiento de la heacutelice en funcioacuten del coeficiente de empuje resulta sustituyendo en (5)
1 2 riexcl - ------r====~0- -l+Jl+C
T1 + ------- - shy2
La representacioacuten graacutefica del rendimiento y de la velocidad inducida en funcioacuten del coeficiente de empuje tiene el aspecto de la Siguiente figura
-a -rend
1
08
06
04
02
O~-----~---~--~------r-----r---~
o 1 2 3 4 5 6 7
9
12 Teoriacutea del Impulso Angular
- Hipoacutetesis de partida
1) Fluido incompresible no viscoso (fluido ideal)
2) Flujo uniforme y paralelo (heacutelice se dispone en aguas libres sin la perturbacioacuten de la carena)
3) Se asemeja la heacutelice a un disco actuador sin palas y sin perfiles
4) La presioacuten del fluido suficientemente aguas arriba yaguas abajo del propulsor es la misma siendo su valor Po
5) Estaacuten diferenciados el fluido que atraviesa el disco de la heacutelice y el fluido que pasa por fuera del mismo Se considera que se forma un ntubo de corriente
6) El disco de la heacutelice gira con una velocidad angular CiJ que imprime al fluido una cierta velocidad de rotacioacuten ademaacutes de la componente axial
Dominio fluido
Para el caacutelculo se recurre de nuevo al dominio AABB y al empleo de la notacioacuten adimensionalizada de las velocidades inducidas
La velocidad de rotacioacuten de la heacutelice es w
A B
A
As
A B
wmiddota = Rotacioacuten del fluido en el disco de la heacutelice CJ) middotb = Rotacioacuten del fluido en la salida del tubo de presioacuten
10
-
~
A v v( l +a) v(l+b) uacutelo=O uacute)a (iexcl) b=Wl
1--
Ap
De nuevo operaremos por unidad de tiempo Para el estudio consideramos una corona circular en el disco de la heacutelice cuya aacuterea seraacute I dAp Y que proporcionaraacute un empuje dT y absorberaacute un par dQ
dT
dm= pdApVe (1+ a)dQ
dI = pdApve (l+a)r2
o dm Elemento diferencial de masa que atraviesa la corona por unidad
de tiempo
dI Momento de inercia diferencial de la masa que atraviesa la corona por unidad de tiempo
- Proceso de caacutelculo
Aplicamos al flujo que atraviesa la corona el teorema del impulso angular que dice que la variacioacuten del impulso angular es Igual a la suma de los momentos exteriores
~Impulso Angular = Imiddot~w = iquestMomentos Exteriores
El uacutenico momento exterior aplicado al fluido que atraviesa la corona es el diferencial de par hidrodinaacutemico que absorbe
iquestMomentos Exteriores = dQ
La variacioacuten del impulso angular del flujo que atraviesa la corona seraacute como w1 = wmiddotb Y W = O o
6 Impulso angular=[w1 -Wo ] dI=[W b-O]dI
y por tanto aplicando el mencionado teorema y sustituyendo el valor de dI
(6)
11
Ahora aplicaremos el teorema de la variacioacuten de la energiacutea cineacutetica que nos dice
Trabajo angular de los pares exteriores=IE cineacutetica de rotacioacuten
dQmiddotd0=lEc
Donde d0 es el aacutengulo girado por unidad de tiempo
d0=wpqt [dt=l] =gt d0=Wp
y la variaclonde la energiacutea cineacutetica de rotacioacuten vale
1 2 1 2 [ ]lEc =2dIW1 - 2 dIWO = OWo
luego podemos escribir
bull 1 2
dQwa =-dI(wb)2
Donde wp = wa es la velocidad de rotacioacuten del fluido que atraviesa la
heacutelice
Introduciendo ahora el valor de dI antes obtenido
122dQwa=zPdApVe(l+a)r (wb) =gt
1 b2 =gt dQ =-zPdAp~w7ve (1+ a) (7)
j
I E igualanqo (6) y (7) I
21 2 1 2 b W9PdApve (l+a)r = 2PdApr iacutell7 ve (1la)
~ =gt~
Esta expresioacuten indica que la velocidad inducida de rotacioacuten en el disco es la mitad de la velocidad inducida de rotacioacuten en la salida del tubo de corriente O sea que con las velocidades inducidas de rotacioacuten se cumple lo mismo que con las velocidades inducidas axiales
12
Definiremos velocidad tangencial inducida Ut como
Donde W = 2nn es la velocidad de rotacioacuten de la heacutelice
Entonces es obvio que u ub= __t_ a= __t_
2nnr 4nnr
o sea que la velocidad inducida tangencial en el disco es la mitad que aguas abajo
- Rendimiento de la heacutelice en aguas libres (llo)
Potencia Uacutetil (
dQw = TrabajoUacutetiacutel + Peacuterdidas por Ecineacutetica de traslacioacuten +
Peacuterdidas por Ecineacutetica de rotacioacuten
- 1 2 1 2 dQmiddotw=dTve+-dm(veb) +-dI(wb) (8)
2 2
Apoyaacutendonos en la teoriacutea de la cantidad de movimiento axial
ClT = pAacutepvp (vs -ve) ~ pAacutepve (1 +a)(veb)= pAacutepv~ (1+a)b ( v =ve(1+b) _ -~ s
vp=ve(1+a)
Comparando con la expresioacuten obtenida antes para la corona circular iexclshy
dm = pdApve (l+a)
Obtenemos
Como se ve el empuje estaacute muy relacionado con la cantidad de masa que atraviesa la heacutelice
Mediante el teorema del impulso angular (6) buscamos una expresioacuten similar para el momento de inercia para dejar todo en funcioacuten de dT y dQ
13
dI= dQdQ = dIoob = j oob
Sustituyendo en la expresioacuten de la potencia entregada (8)
dQw = dTv +~ dT b2v2 +~ dQ oo2b2 e 2 v be middot 2oobe
1 1dQoo = dTve +-dTbv +-dQoob
2 e 2
dQ[ 00- ~ oob]=dT[ve + ~Veb]
= dQoo[l- ~J=dTVe[1+J
y por tanto al ser b2 = a y b2 = a
= IdQoo(l-a)=dTve (1+a)1
Con esta uacuteltima expresioacuten calculamos el rendimiento
-adTve 1-a fl -shy=flo = dQoo = l+a O l+a ~
- Anaacutelisis de resultados
Comparando las dos expresiones obtenidas para el rendimiento con la Teoacuteriacutea de la Cantidad de Movimiento Axial y con la Teoriacutea del Impulso Angular tenemos
1- a1 riexcl = fl01 = l+a 02 l+a
T C Mov Axial T Impulso Angular
Dado que a es positivo l-a lt 1 Y por tanto
IflOAngUlar lt flOAxial1
Hay una diferencia introducida al considerar la velocidad angular del fluido y resulta un rendimiento maacutes bajo La teoriacutea del impulso angular es maacutes completa que la axial ya que tiene en cuenta maacutes fenoacutemenos ntildesicos y
14
---
se asemeja maacutes a la realidad El rendimiento es maacutes bajo que con la teoriacutea de la Cantidad de Movimiento axial y maacutes cercano a la realidad pero auacuten asiacute estaacute alej ado del rendimiento real por no considerarse otros fenoacutemenos que aparecen como la friccioacuten
En la figura siguiente se representa el aspecto de la variacioacuten de il y a as iacute como del rendimiento en funcioacuten del coefieciente de carga CT
12-- - ------shy a
- - a
-----C---- ----rend Sldal
~~ -rend angular
08 t-- --------- - --- - - ----- - shy
06 ~s -=~----~__2 04 t---------c~~~~~----0 2 t---------=---~=------ -shy -shy -shy
deg O~~_--~----~--_----__----__--~
2 3 4 5 6 7
1shy
15
Integrando estas curvas se obtiene T y Q de cada pala y si se multiplica por el nuacutemero de palas Z se obtienen T y Q totales de la heacutelice
fdT Q=Z fdQ drT=Z _-dr dr dr
rH = Radio del nuacutecleo R = Radio de la heacutelice
Para conocer estas distribuciones la teoriacutea del elemento de pala estudia queacute pasa en cada rebanada de la pala Para esto se recurre a la teoriacutea de perfiles de la que haremos un breve repaso
- Teoriacutea de PentildeiJes
En la siguiente figura se tiene un perfil inmerso en un flujo de velocidad V r y con un cierto aacutengulo de ataque respecto del mismo
dD
Paso dL = Sustentacioacutenzero geomeacutetrico - dD= Resistencia viscosa
aAacutengulo de ara e
v
En un fiuido viscoso aparece una capa liacutemite que distorsiona el campo de presiones y da lugar a la resistencia de presioacuten de origen viscoso pero la componente predominante en la resistencia del perfil es la debida a la friccioacuten
La sustentacioacuten aparece en el perfil por la diferencia de velocidades del fluido a cada cara del perfil que origina una diferencia de presiones entre las caras que da lugar a la sustentacioacuten
En la figura puede verse
Liacutenea de pasos liacutenea que une el borde de entrada y salida
Aacutengulo de ataque aacutengulo entre el flujo incidente y la liacutenea de pasos
Cuando el aacutengulo de ataque es cero nos encontramos en la condicioacuten de shock free entry Sin embargo la sustentacioacuten no es nula sino algo mayor debido a la asimetriacutea del perfil que viene medida por su curvatura
F
17
El valor de Uo (aacutengulo de sustentacioacuten nula) depende fundamentalmente de la curvatura del perfil ( en ingleacutes camber)
Cto F(curvatura (camber)) t curvatura =gt t eto
Estudiemos el triaacutengulo de velocidades y fuerzas sobre el elemento de pala
VR = Velocidad total Incidente sobre el perfil ltlgt = Aacutengulo de paso geomeacutetrico 13 = Aacutengulo de avance 13 Aacutengulo de paso hidrodinaacutemico u = Aacutengulo de ataque = ltlgt - 13
F dL
1gt
un
- Planteamiento
dOtany=shy
dF =dL sin~+dOcosf3iexcl
dT= dL cos ~ -dO sin ~ =dL ( cos ~- ~~ sin~) dL
Q
dT =dL(COs 13-- siny sin 13-)= ~ (cos 13cosy-siny sin 13)1 cosy 1 COsy 1
dT = ~ [cos(r + 13)]cosy 1
Haciendo lo mismo para dFQ resulta
sln(Y+I3-)dF = dL 1
Q COsy
Pondremos ahora la sustentacioacuten en funcioacuten de eL
19
Hemos llegado a unas expresiones que nos dan el reparto radial de empujes y pares totales de la heacutelice asiacute como del rendimiento Ahora hay que ver si se pueden aplicar
- Anaacutelisis criacutetico
p Z VA = Conocido
c = Conocido al conocer la geometriacutea
a = No conocemos su valor particular para cada seccioacuten podemos tantear el valor total para toda la heacutelice seguacuten las teoriacuteas de la cantidad de movimiento
CL = fA) 2 C1+C1o) no conocemos ni et ni eto para cada seccioacuten
Ademaacutes tendriacuteamos que pensar el A de una rebanada no tiene sentido por tener un espesor diferencial Podemos estimar un valor promedio
R-eacuteA= H rH = radio del nuacutecleo
cmedia
13 = depende del valor de la velocidad inducida de cada seccioacuten que depende del valor_de a de la seccioacuten que no se conoce es por lo tanto una incoacutegnita
y = a su vez depende de A cuyo valor es incierto
Podemos concluir por tanto que aunque se ha llegado con relativa sencillez a las expresiones anteriores estas no son realmente utilizables Se pueden usar valores medios para hacer una estimacioacuten pero no sirven para realizar caacutelculos fiables hasta aquiacute llega esta teoriacutea
Por lo tanto para intentar obtener resultados maacutes coherentes es preciso avanzar algo maacutes y emplear la Teoriacutea de la Circulacioacuten que es bastante maacutes compleja y requiere otras herramientas
21
)
) p Esto equivale a poner en el centro del cilindro un torbellino de intensidad r Ambos campos de velocidad consideradosCel inicial paralelo y uniforme y el nuevo radial) se suman resultando un nuevo campo de velocidadesp
Las liacuteneas de corriente se modifican quedando como en la siguiente figura
L En la parte superior del cilindro los dos campos de velocidades se suman y por tanto la velocidad es mayor que en flujo inicial En la parte inferior del cilindro ocurre lo contrario Se desplazan los puntos de remanso
Se pueden calcular v y p analiacuteticamente y aparece una fuerza la sustentacioacuten Clift)
L = sustentacioacuten Dirigida perpendicularmente al flujo uniforme y paralelo inicial
Calculemos la siguiente integral curviliacutenea que nos daraacute la circulacioacuten del vector velocidad sobre el cilindro
Donde
pVx ~dS=O campo simeacutetrico
-- rPero pvrdS = P2nr dS ya que Vr y dS son paralelos en la
superficie del cilindro Luego
r r rI=p- dS= - pdS=-2nr=r2n r 2n r 2n r
23
~===~====~ ~~-------------- Starting Vortex
El torbellino de intensidad r es desplazado aguas abajo hacia el borde de salida por el resto de liacuteneas de corriente
Recordemos un teorema baacutesico de la Teoriacutea Vorticial que dice que en un dominio fluido la vorticidad total permanece constante
-r 0gt r
= ==0==y~0 ~000
Inicialmente en el dominio fluido antes de introducir el perfil la vorticidad total era nula por lo que ha de aparecer otra circulacioacuten (-1) que compense a la del Starting Vortex Esta aparece en torno al perfil Aparece un nuevo campo de velocidades a causa de esta circulacioacuten en torno al perfil
El punto de remanso B se desplaza ahora al punto anguloso de salida lo que implica que los flujos queL van por arriba y por abajo no se mezclan B se desplaza a base de desprender torbellinos hasta llegar al borde de salida Esta es la Condicioacuten de Kutta
Ademaacutes como en el caso del cilindro si calculamos ahora v y p se obtiene que aparece una fuerza sobre el perfil la sustentacioacuten (l) que es perpendicular al flujo v
25
Esto permite a la hora de estudiar los perfiles y las fuerzas hacer una abstraccioacuten y llegar a sustituir el perfil por un flujo uniforme una liacutenea de torbellinos de verticidad r y una fuerza (l) [Suponiendo un perfil de ancho infinito]
VR - - ---ICgt
r
A la liacutenea de torbellinos se le llama liacutenea de sustentacioacuten ya que los torbellinos secteneran sustentacioacuten La parte de la Teoriacutea de Circulacioacuten que estudia los perfiles sustituyeacutendolos por liacuteneas de sustentacioacuten se llama Teoriacutea de la Liacutenea de Sustentacioacuten ( Ufting-line Theory)
d Perfiles de envergadura finita
Todo lo anterior ocurre en perfiles de envergadura ( ancho perpendicular al papel) infinita que loacutegicamente no existen en la realidad los perfiles que nos encontraremos (alas de avioacuten timones palas de heacutelices etc) son perfiles de envergadura finita es decir t ienen un ancho (alto) determinado Entonces aparece un nuevo fenoacutemeno tridimensiol)ltlJ no como hasta ahora que era siempre un flujo 2D
Efectos 3D
Torbellinos de ~ extremo de ala
S ~~-------------p_p-+--------iquest~
En los bordes del perfil el flujo se escapa de las zonas de preslon maacutes alta ( cara inferior del perfil) hacia las de presioacuten maacutes baj a ( cara superior
27
Como consecuencia de lo anterior en el borde de salida del ala se ) encuentran dos flujos cruzados el superior con una componente hacia el ) centro y el inferior con una componente hacia los extremos que dan lugar
a torbellinos desprendidos a lo largo de todo el borde de sal ida Eacutestos forman una hoja de torbellinos donde los de mayor intensidad aparecen en los bordes laterales del perfil Estos torbellinos se conocen con el nombre de torbellinos libres y son arrastralos aguas abajo por el flujo principal hasta el infinito
IG G G
En consecuencia podemos concluir que en los perfiles de env ergadura finita es decir los perfi les de la vida real se escapan de los mismos una serie de liacuteneas de torbellinos libres hacia popa Podemos hacer una representacioacuten esquemaacutetica como sigue
d
d d
--shy ~~ado el
J shy~a I gar aL
dI
que
T Libres giran en sentidos contrarios a cada lado del ala
Son torbellinos elementales
La vorticidad de los torbell inos libres dI tiene que salir de alguacuten lado ( recordemos que la cantidad total de vorticidad en un dominio ha de permanecer constante) Sale obviamente del torbellino ligado que va perdiendo vorticidad desde el centro del ala hacia ambos bordes laterales
-fshy
29
linea Semi-infinita Si la liacutenea de torbellinos es de
longitud semi-infinita es decir con principio pero sin final y el punto P estaacute en el plano en el que comienza la liacutenea tendremos al integrar
-+00 r
u~--41t y
Es de=ir que una liacutenea de torbellinos semi-infin ita crea una velocidad inducida que es la mitad de la que crea una liacutenea de longitud infinita
En el borde de salida del ala cada torbellino libre puede considerarse como una liacutenea semi-infinita que empieza en dicho borde En el infinito aguas abajo esta liacutenea puede considerarse liacutenea infinita La velocidad inducida por el torbellino libre en el infinito es el doble de la inducida en el borde de salida Lo mismo le ocurre a la velocidad inducida por toda la hoja de torbellinos libres ya que es la suma de las generadas por cada torbellino individual en el infinito la velocidad inducida es el doble que en eacutel b9rde de salida del perfil
U en el infinito ) ~ en el perfil
Hemos hablado de los moacutedulos de la velocidad pero iquestqueacute pasa con las direcciones
uuml
La velocidad inducida por un torbellino es siempre perpendicular a la direccioacuten del mismo En el caso de los torbellinos libres que se desprenden de un ala eacutestos se ven arrastrados por el flujo incidente y por tanto su direccioacuten es la misma de dicho flujo es decir que uuml es perpendicular a la velocidad incidente y estaacute dirigida hacia la cara de presioacuten del perfil No tiene componente transversal ya que dichas componentes se anulan por simetriacutea las de los torbellinos de la mitad izquierda del ala con las de la mitad derecha debe recordarse que giran en sentidos contrarios
Los torbellinos libres generan un campo de velocidades en el espacio que se suma vectorialmente a la velocidad incidente VT Como hemos dicho la velocidad inducida por los torbellinos libres es siempre
31
32 APLICACIOacuteN EN HEacuteLICES
) - Torbellinos ligados torbellinos libres y velocidades inducidas
l )
)
Consideraremos que cada pala es un ala de envergadura finita de las que hemos estudiado en los puntos anteriores y como tal se sustituye por una liacutenea de torbellinos ligados Lo uacutenico diferente es la geometriacutea que ahora es mucho maacutes complicada que la del ala de un avioacuten
En efecto ahora la hoja de torbellinos libres desprendidos es una superficie helicoidal en vez de plana La velocidad inducida [j es perpendicular a dicha superficie y a su vez se puede descomponer en una componente longitudinal
[j (paralela al eje de la heacutelice) a ua y otra tangente a la
superficie del cilindro circunscrito u
Por cada pala se genera una hoja de torbellinos libres desfasados entre siacute por 360oZ (Z = nO de palas) que se van enroscando unas con otras originando un tirabuzoacuten de hojas de torbellinos Cada hoja induce en todos los puntos del espacio una velocidad lo que complica el caacutelculo de las velocidades inducidas ayudado por lo complejo de la geometriacutea de las hojas La velocidad inducida total resultante en un determinado punto seraacute la suma vectorial de todas las velocidades inducidas por cada una de las hojas de torbellinos Puede demostrarse ( no lo haremos en estos Apuntes) que los valores de dichas velocidades inducidas totales variacutean desde el infinito aguas arriba hasta el disco de la heacutelice y desde eacuteste al infinito aguas debajo de la manera recogida en el cuadro siguiente
Axial Tanqencial
OAguas arriba
O u -+shy2
Disco u 2
~ 2
Aguas abajo
u -~~U 2
u ----1-igtU 2
33
En la punta ambas fuerzas son cero ya que la circulacioacuten es nula al igualarse las presiones por pasar el flujo de la cara
07-08 R de presioacuten a la de succioacuten en la zona de la punta (figura de la derecha)
En la raiacutez de las palas la circulacioacuten no es nula pero es pequentildea El motivo es que aparece un fenoacutemeno de interferencia entre palas adyacentes por la proximidad de las mismas en esta zona
Aparecen zonas de alta y baja presioacuten de palas adyacentes que estaacuten bastante proacuteximas por lo que hay una cierta comunicacioacuten de fluido dejando de ser tan extremas las presiones reducieacutendose por tanto lltI sustentacioacuten que aparece y con ello la circulacioacuten
En las palasmiddot de una heacutelice ocurre lo mismo que vimos en las alas al tratarse de perfiles de envergadura finita la circulacioacuten variacutea con el radio r = r(r) y loacutegicamente tambieacuten lo hace la velocidad incidente total
vR = V R (r) que depende de v (conocida) y de la velocidad inducida uuml ( ver
triaacutengulo de velocidades) Es evidente tambieacuten que f3 =f(uuml)
Entonces recordando las expresiones que nos daban el empuje y la fuerza del par
Examinemos estas expresiones De todo lo que hemos expresado arriba se deduce que VR Y 13 dependen de las velocidades inducidas (uuml) pero eacutestas estaacuten generadas por las hojas helicoidales de torbellinos libres y por ello dependen de la vorticidad de los mismos (r) Eacutesta sabemos que vale
r = _ ar dr Br
Y en consecuencia depende de r(r) es decir de la distribucioacuten radial de circulacioacuten del torbellino ligado sobre la pala
35
) rendimiento global final de la heacutelice seriacutea mejor que el de la heacutelice inicial
) Pero esto es incompatible con la hipoacutetesis de partida seguacuten la cual rapt ya ) nos daba el mayor rendimiento global de la heacutelice lo luego dicha hipoacutetesis
de partida es absurda Por el contrario cuando l01 no varia con el radio no hay opcioacuten a jugar con la circulacioacuten de las secciones puesto que todo lo que se toque empeoraraacute el lo global de la heacutelice
Obviamente al ser constante I10i a lo largo del radio seraacute tambieacuten
numeacutericamente igual al rendimiento global de la heacutelice 110 O sea
1101 = cte - f(r) = 110
La condicioacuten de Betz por tanto se escribe para heacutelices en flujo uniforme
1=tg l3 o tg (3
Si la heacutelice trabaja en una estela el estudio hay que realizarlo con el rendimiento cuasi-propulsivo de cada seccioacuten en vez de con el de propulsor aislado Al final puede demostrarse ( no lo haremos aquiacute) que se llega a
ID estela media circunferencial
ro estela efectiva
~ Relacioacuten emplrica entre y = la estela y el coeficiente de succioacuten
Es decir una expresioacuten similar a la de flujo uniforme pero con un factor antildeadido que depende de la estela
- Relacioacuten entre circulacioacuten y velocidades inducidas
Es muy importante encontrar una relacioacuten entre la circulacioacuten del torbellino ligado y las velocidades inducidas por los libres es decir la funcioacuten r = f (u) Para ello suponemos la heacutelice funcionando con las hojas de torbellinos desprendidas seguacuten la figura siguiente en la que se han representado las palas sustituidas por sus liacuteneas de sustentacioacuten( torbellino ligado) las hojas de torbellinos helicoidales libres y la velocidad inducida aguas abajo que es perpendicular a la hoja de torbellinos
Ut ----[gt
Ua
37
- - -
1
1 B A Hay infinitas liacuteneas de sustentacioacuten que atraviesan la superficie del cilindroO r Aplicando Stokes O r
El flujo del rotacional = circulacioacuten alrededor del contorno El flujo del rotacional es la suma de las
I I circulaciones de los torbellinos ligadosI I que ha cortado el cilindro es decir r oo
y por tantoI O r I
iquestr=roo =~uumlxdl dondeBI lA u=u +ua t
Calculemos la integral curviliacutenea anterior
~uuml x di = r (ua +utl dl + r(ua +ut )-dl + J(ua +ut)-dl+ r (Ua +~)di (1) (2) (3) (4)
(2) - - (4) Se anulan entre sr por recorrerse el m ismo camino en sentidos inversos shy
ut = O (por estar aguas arriba del propulsor) (3)=gt_ _ (3)=0
uaL di
Luego solo queda la integral (1)
iquestr=r~dl+Juadl =gt rr=r =rutdi
ya que UaL di
Por otra parte Ut es paralelo a di entre A y A luego
Hemos visto que para Z=oo Ut es constante a lo largo de la
circunferencia y puede salir de la integral Por tanto queda
Veamos ahora el caso de nO finito de palas Z En este caso la circulacioacuten total seraacute zr y por tanto
39
Para otras aplicaciones tomaremos A =x t9 13
- Distribucioacuten radial de empujes y pares
Primero hallaremos la relacioacuten entre las velocidades inducidas uYz y
uiexcl y el aacutengulo de paso hidrodinaacutemico 13
dL dT
u sin 13 sin(I3 - ~ ) = V R - --------c---7-shy2 cos(I3 -13 )
y ademaacutes
v _ VR VA
T - cos(f3 -13) sinl3
Entonces
v = V cos(13-(3) bull sin13
y por tanto sustituyendo
~=v cos(13 -13) sin 13 sln(13- 13) 2 sinf3 cos(f3- 3)
~=v sin 13 sin(I3 -3) 2 A sin 13
y del mismo modo
u = v cos 13 sin(3 - (3) 2 A sin 13
y por tanto sustituyendo en
z r = 211 r a3 u
41
El empuje de cada pa la vale
T = J~ dT = J~ dLcos 13 =1r p r vcos 13 dr H
Introducimos el concepto de circulacioacuten adimenslonal
[G=-shy
nD VA
Y sustituyendo podemos reescribir la expresioacuten del coeficiente de empuje
8Z
n
Volviendo al triaacutengulo de velocidades
u2
u2 2nrn - shycos 13 = __---2=_
vR
2=
Sustituyendo arriba y reordenando
Usando los radios adimensionalizados
r dr O x = - dx = - =gt dr = - dx
R R 2
La expresioacuten anterior queda ahora con estos radios adimensionalizados
43
Sacando factor comuacuten resulta
Relacioacuten entre velocidades inducidas y u = Aiexcl X ( _1_-1 J rendimiento
2 v A X 2 + A~ 110
Esta uacuteltima expreslon soacutelo sirve para heacutelices oacuteptimas puesto que hemos hecho uso de la condicioacuten de Betz
Sustituyendo esta expresioacuten en el valor del coeficiente de empuje y realizando las integrales queda la expresioacuten
doacutende tras varios pasos intermedios 1 11 2x I - r o dx
1 - JrH x 2 1) ~ + A 2
1 =(1-110 x 3
d 2 1 2 2 X
~ 110 (x2 +AF)
Para resolver estas integrales hay que recu rri r a hipoacutetesis simplificativas como Xh=O o Z=oo No entraremos aquiacute en el desarrollo completo pero con esto y otras ayudas se llega a
(2)
En esta expresioacuten soacutelo interviene tres paraacutemetros CT to Y A
El paraacutemetro A estaacute muy relacionado con el grado de avance J En efecto
VA JA = x tg 13 = ~ VA = VA = shyR 2n r n 2n R n nOn n
CT puede ser calculado a partir del empuje y del diaacutemetro de la heacutelice Entonces la expresioacuten (2) nos permite conociendo el punto de
funcionamiento de la heacutelice (J) y el empuje ( que puede obtenerse de (~) 1-1
donde R es la res istencia al avance y 1 el coeficiente de succioacuten) estimar el valor to que era el eslaboacuten que faltaba para aplicar la condicioacuten de Betz y poder terminar el caacutelculo f-shy
45
T 2 Con CT = 1---- estimamos el valor de CT ideal a partir de ciertas
2 p v Ao
expresiones empiacutericas
3 Con Cn y A entramos en el Diagrama de Kramer y obtenemos l01
4 Con middottg 13 x y lo aplicando el Teorema de Betz tenemos j3lx para cada seccioacuten
5 lt1gt = 1gt + a~ ~ Sacamos la ley de pasos buscando el aacutengulo de ataque
ideal a I (shock free entry)
6 Lo demaacutes (cuerdas curvaturas espesores ) se obtiene de caacutelculos de resistencia mecaacutenica y de cavitacioacuten
-t
47
J
A B
-c -c Ve
Po --ltgt
=ltgt-c --ltgt -e -ltgt
--ltgt -oCgt VVe -D 1shy --ltgt
-ltgt -~
~ -c r---- --lt ----ltgt -D
A B
- Proceso de caacutelculo
a) Se aplica la ecuacioacuten de continuidad del fluido (que implica que no se puede acumular fluido en el dominio) en el dominio por unidad de tiempo entra la misma cantidad de fluido que la que sale
Flujo que entra por AA = AOVe
Flujo que sale por BB Asvs +(AO -As )Ve
Flujo que sale por AB y AB (por continuidad) =
Flujo AA - Flujo BB = Aove - Avs -AOve + Asve = As (ve -vs )
Como Vs gt ve el flujo es negativo es decir que realmente por AB y AB
el flujo entra y no sale
b) Aplicamos ahora el teorema de la variacioacuten de la cantidad de movimiento
LlCantidad de movimiento =iquestF Exteriores
Cantidad de movimiento que entra por AA = m-ve = pAoveve = PAOV~
Cantidad de movimiento que sale por BB = PAsvt +p(AO -As )v~
Cantidad de movimiento que sale por AB y AB = pAs (ve -vs)ve (Se ha hecho la hipoacutetesis simplificativa de que la velocidad en AB y AB es ve)
LlCantidad de movimiento = Lo que sale - Lo que entra = 2 2 2 2 2pAsvs +pAove -pAsve +pAsve -pAsvsve -pAoVe
4
Es decir queda
iquest F Exteriores = Empuje de la Heacutelice ~ T Y por tanto
Aplicando la ecuacioacuten de la continuidad del fluido dentro del tubo de corriente vemos faacutecilmente que
Que se sustituye en la ecuacioacuten del empuje ya deducida quedando
c) Aplicamos ahora la ecuacioacuten de Bernouilli en el tubo de corriente en doacutes etapas
c1- Entre la entrada del tubo y la seccioacuten inmediatamente anterior al disco de la heacutelice
c2- Entre la seccioacuten inmediatamente posterior al disco de la heacutelice y la salida del tubo de corriente
5
i
el
Pero tambieacuten podemos obtener el empuje como la diferencia de las fuerzas que actuacutean en ambas caras del disco
T =(P+b-P-PAp = b-pAp y por tanto
1 (2 2)T=2PAp Vs -ve (2)
Igualando las ecuaciones del empuje (1) y (2) se obtiene
~ pAp (v~ -v~) = pApvp (vs -ve)
Es decir
IIVp = VSV~ (3)
Que nos indica que la velocidad en el disco es la media aritnieacutetica de las velocidades de entrada y salida
Concepto de velocidad inducida
Realizamos ahora un cambio de nomenclatura definiendo para ello el concepto de Velocidad Inducida Axial (u a) como la diferencia entre las velocidades del flujo muy aguas arriba y muy aguas abajo del propulsor dentro del tubo de corriente
ua=Vs-Ve ~ vs=ve+ua
Al introducir esta expresioacuten en la (3) de la velocidad del propulsor se obtiene
Ve+ua+Ve ua +2ve _ua--+vevp 2 2 2
IIVp =Ve+fll (4)
Esta expreslon significa que la velocidad en el propulsor es la velocidad aguas arriba mas la mitad de la velocidad inducida total
6
Otros autores emplean otra notacioacuten para Y p y Y s
a = ~ Valor adimensionalizado de ua 2v 2vp =ve (l+a) e
Vs =ve (1+b) u b =---ordf- Valor adimensionalizado de ua
ve
- Rendimiento de la heacutelice en aguas libres (110)
La expresioacuten del rendimiento es
Potencia Uacutetil 110
Potencia Entregada
La potencia uacutetil es la necesaria para mover el disco a una velocidad Ve F
La potencia entregada o suministrada al ignorar los efectos viscosos es igual al inclemento de energiacutea cineacutetica en el tubo de corriente
Potencia entregada =LEc
Ec que entra Ec que sale
Ya que
De este modo el rendimiento queda
7
1 (2 2)-pAp Vs -ve ve v 2 =~ ~ 110 1 (2 2) v OJ2PAp Vs -ve vp P
E introduciendo el concepto de velocidad inducida
1ve 1 (S)110 = u110 u a1+ -shyve +--ordf- 1+~
2ve2 2ve
En otra notacioacuten
ua 11110 = 1~a ~ a= 2v
e
Hemos obtenido por tanto el valor del rendimiento de la heacutelice con 3 formulaciones distintas pero equivalentes Todas ellas nos indican que cuanto menor sea la velocidad inducida el rendimiento de la heacutelice seraacute mayor
Es interesantildete reflejar 110 en funcioacuten de alguacuten paraacutemetro que pueda extraerse del ensayo del propulsor aislado El paraacutemetro maacutes interesante es el coeficiente de empuje CT
1 (2 2)-pAp Vs -ve v 2 _v2 2T 2 s e V s -1C = 2 1 2 2 2
T ~-PVeAp 2PVeAp ve ve 2
Siendo V s = ve + ua se puede reescribir de la siguiente manera
v u ~=1+-ordf-ve ve
E introduciendo esta expresioacuten en la del coeficiente de empuje nos queda
CT =[1+ ~) 2
-1
Despejando de aquiacute el valor de uave necesario para entrar en la
expresioacuten del rendimiento tenemos
8
12
U -1+ 11+CT=gt -ordf- =-1 + 11 + C =gt a =_---1_ _ shyv V T 2e
Esta expresioacuten indica que para una velocidad de entrada constante la velocidad inducida aumenta a medida que aumenta el coeficiente de empuje
De aquiacute se deduce que las heacutelices muy cargadas (heacutelices pequentildeas que suministran mucho empuje) tienen altas velocidades inducidas y por ello un mal rendimiento
El rendimiento de la heacutelice en funcioacuten del coeficiente de empuje resulta sustituyendo en (5)
1 2 riexcl - ------r====~0- -l+Jl+C
T1 + ------- - shy2
La representacioacuten graacutefica del rendimiento y de la velocidad inducida en funcioacuten del coeficiente de empuje tiene el aspecto de la Siguiente figura
-a -rend
1
08
06
04
02
O~-----~---~--~------r-----r---~
o 1 2 3 4 5 6 7
9
12 Teoriacutea del Impulso Angular
- Hipoacutetesis de partida
1) Fluido incompresible no viscoso (fluido ideal)
2) Flujo uniforme y paralelo (heacutelice se dispone en aguas libres sin la perturbacioacuten de la carena)
3) Se asemeja la heacutelice a un disco actuador sin palas y sin perfiles
4) La presioacuten del fluido suficientemente aguas arriba yaguas abajo del propulsor es la misma siendo su valor Po
5) Estaacuten diferenciados el fluido que atraviesa el disco de la heacutelice y el fluido que pasa por fuera del mismo Se considera que se forma un ntubo de corriente
6) El disco de la heacutelice gira con una velocidad angular CiJ que imprime al fluido una cierta velocidad de rotacioacuten ademaacutes de la componente axial
Dominio fluido
Para el caacutelculo se recurre de nuevo al dominio AABB y al empleo de la notacioacuten adimensionalizada de las velocidades inducidas
La velocidad de rotacioacuten de la heacutelice es w
A B
A
As
A B
wmiddota = Rotacioacuten del fluido en el disco de la heacutelice CJ) middotb = Rotacioacuten del fluido en la salida del tubo de presioacuten
10
-
~
A v v( l +a) v(l+b) uacutelo=O uacute)a (iexcl) b=Wl
1--
Ap
De nuevo operaremos por unidad de tiempo Para el estudio consideramos una corona circular en el disco de la heacutelice cuya aacuterea seraacute I dAp Y que proporcionaraacute un empuje dT y absorberaacute un par dQ
dT
dm= pdApVe (1+ a)dQ
dI = pdApve (l+a)r2
o dm Elemento diferencial de masa que atraviesa la corona por unidad
de tiempo
dI Momento de inercia diferencial de la masa que atraviesa la corona por unidad de tiempo
- Proceso de caacutelculo
Aplicamos al flujo que atraviesa la corona el teorema del impulso angular que dice que la variacioacuten del impulso angular es Igual a la suma de los momentos exteriores
~Impulso Angular = Imiddot~w = iquestMomentos Exteriores
El uacutenico momento exterior aplicado al fluido que atraviesa la corona es el diferencial de par hidrodinaacutemico que absorbe
iquestMomentos Exteriores = dQ
La variacioacuten del impulso angular del flujo que atraviesa la corona seraacute como w1 = wmiddotb Y W = O o
6 Impulso angular=[w1 -Wo ] dI=[W b-O]dI
y por tanto aplicando el mencionado teorema y sustituyendo el valor de dI
(6)
11
Ahora aplicaremos el teorema de la variacioacuten de la energiacutea cineacutetica que nos dice
Trabajo angular de los pares exteriores=IE cineacutetica de rotacioacuten
dQmiddotd0=lEc
Donde d0 es el aacutengulo girado por unidad de tiempo
d0=wpqt [dt=l] =gt d0=Wp
y la variaclonde la energiacutea cineacutetica de rotacioacuten vale
1 2 1 2 [ ]lEc =2dIW1 - 2 dIWO = OWo
luego podemos escribir
bull 1 2
dQwa =-dI(wb)2
Donde wp = wa es la velocidad de rotacioacuten del fluido que atraviesa la
heacutelice
Introduciendo ahora el valor de dI antes obtenido
122dQwa=zPdApVe(l+a)r (wb) =gt
1 b2 =gt dQ =-zPdAp~w7ve (1+ a) (7)
j
I E igualanqo (6) y (7) I
21 2 1 2 b W9PdApve (l+a)r = 2PdApr iacutell7 ve (1la)
~ =gt~
Esta expresioacuten indica que la velocidad inducida de rotacioacuten en el disco es la mitad de la velocidad inducida de rotacioacuten en la salida del tubo de corriente O sea que con las velocidades inducidas de rotacioacuten se cumple lo mismo que con las velocidades inducidas axiales
12
Definiremos velocidad tangencial inducida Ut como
Donde W = 2nn es la velocidad de rotacioacuten de la heacutelice
Entonces es obvio que u ub= __t_ a= __t_
2nnr 4nnr
o sea que la velocidad inducida tangencial en el disco es la mitad que aguas abajo
- Rendimiento de la heacutelice en aguas libres (llo)
Potencia Uacutetil (
dQw = TrabajoUacutetiacutel + Peacuterdidas por Ecineacutetica de traslacioacuten +
Peacuterdidas por Ecineacutetica de rotacioacuten
- 1 2 1 2 dQmiddotw=dTve+-dm(veb) +-dI(wb) (8)
2 2
Apoyaacutendonos en la teoriacutea de la cantidad de movimiento axial
ClT = pAacutepvp (vs -ve) ~ pAacutepve (1 +a)(veb)= pAacutepv~ (1+a)b ( v =ve(1+b) _ -~ s
vp=ve(1+a)
Comparando con la expresioacuten obtenida antes para la corona circular iexclshy
dm = pdApve (l+a)
Obtenemos
Como se ve el empuje estaacute muy relacionado con la cantidad de masa que atraviesa la heacutelice
Mediante el teorema del impulso angular (6) buscamos una expresioacuten similar para el momento de inercia para dejar todo en funcioacuten de dT y dQ
13
dI= dQdQ = dIoob = j oob
Sustituyendo en la expresioacuten de la potencia entregada (8)
dQw = dTv +~ dT b2v2 +~ dQ oo2b2 e 2 v be middot 2oobe
1 1dQoo = dTve +-dTbv +-dQoob
2 e 2
dQ[ 00- ~ oob]=dT[ve + ~Veb]
= dQoo[l- ~J=dTVe[1+J
y por tanto al ser b2 = a y b2 = a
= IdQoo(l-a)=dTve (1+a)1
Con esta uacuteltima expresioacuten calculamos el rendimiento
-adTve 1-a fl -shy=flo = dQoo = l+a O l+a ~
- Anaacutelisis de resultados
Comparando las dos expresiones obtenidas para el rendimiento con la Teoacuteriacutea de la Cantidad de Movimiento Axial y con la Teoriacutea del Impulso Angular tenemos
1- a1 riexcl = fl01 = l+a 02 l+a
T C Mov Axial T Impulso Angular
Dado que a es positivo l-a lt 1 Y por tanto
IflOAngUlar lt flOAxial1
Hay una diferencia introducida al considerar la velocidad angular del fluido y resulta un rendimiento maacutes bajo La teoriacutea del impulso angular es maacutes completa que la axial ya que tiene en cuenta maacutes fenoacutemenos ntildesicos y
14
---
se asemeja maacutes a la realidad El rendimiento es maacutes bajo que con la teoriacutea de la Cantidad de Movimiento axial y maacutes cercano a la realidad pero auacuten asiacute estaacute alej ado del rendimiento real por no considerarse otros fenoacutemenos que aparecen como la friccioacuten
En la figura siguiente se representa el aspecto de la variacioacuten de il y a as iacute como del rendimiento en funcioacuten del coefieciente de carga CT
12-- - ------shy a
- - a
-----C---- ----rend Sldal
~~ -rend angular
08 t-- --------- - --- - - ----- - shy
06 ~s -=~----~__2 04 t---------c~~~~~----0 2 t---------=---~=------ -shy -shy -shy
deg O~~_--~----~--_----__----__--~
2 3 4 5 6 7
1shy
15
Integrando estas curvas se obtiene T y Q de cada pala y si se multiplica por el nuacutemero de palas Z se obtienen T y Q totales de la heacutelice
fdT Q=Z fdQ drT=Z _-dr dr dr
rH = Radio del nuacutecleo R = Radio de la heacutelice
Para conocer estas distribuciones la teoriacutea del elemento de pala estudia queacute pasa en cada rebanada de la pala Para esto se recurre a la teoriacutea de perfiles de la que haremos un breve repaso
- Teoriacutea de PentildeiJes
En la siguiente figura se tiene un perfil inmerso en un flujo de velocidad V r y con un cierto aacutengulo de ataque respecto del mismo
dD
Paso dL = Sustentacioacutenzero geomeacutetrico - dD= Resistencia viscosa
aAacutengulo de ara e
v
En un fiuido viscoso aparece una capa liacutemite que distorsiona el campo de presiones y da lugar a la resistencia de presioacuten de origen viscoso pero la componente predominante en la resistencia del perfil es la debida a la friccioacuten
La sustentacioacuten aparece en el perfil por la diferencia de velocidades del fluido a cada cara del perfil que origina una diferencia de presiones entre las caras que da lugar a la sustentacioacuten
En la figura puede verse
Liacutenea de pasos liacutenea que une el borde de entrada y salida
Aacutengulo de ataque aacutengulo entre el flujo incidente y la liacutenea de pasos
Cuando el aacutengulo de ataque es cero nos encontramos en la condicioacuten de shock free entry Sin embargo la sustentacioacuten no es nula sino algo mayor debido a la asimetriacutea del perfil que viene medida por su curvatura
F
17
El valor de Uo (aacutengulo de sustentacioacuten nula) depende fundamentalmente de la curvatura del perfil ( en ingleacutes camber)
Cto F(curvatura (camber)) t curvatura =gt t eto
Estudiemos el triaacutengulo de velocidades y fuerzas sobre el elemento de pala
VR = Velocidad total Incidente sobre el perfil ltlgt = Aacutengulo de paso geomeacutetrico 13 = Aacutengulo de avance 13 Aacutengulo de paso hidrodinaacutemico u = Aacutengulo de ataque = ltlgt - 13
F dL
1gt
un
- Planteamiento
dOtany=shy
dF =dL sin~+dOcosf3iexcl
dT= dL cos ~ -dO sin ~ =dL ( cos ~- ~~ sin~) dL
Q
dT =dL(COs 13-- siny sin 13-)= ~ (cos 13cosy-siny sin 13)1 cosy 1 COsy 1
dT = ~ [cos(r + 13)]cosy 1
Haciendo lo mismo para dFQ resulta
sln(Y+I3-)dF = dL 1
Q COsy
Pondremos ahora la sustentacioacuten en funcioacuten de eL
19
Hemos llegado a unas expresiones que nos dan el reparto radial de empujes y pares totales de la heacutelice asiacute como del rendimiento Ahora hay que ver si se pueden aplicar
- Anaacutelisis criacutetico
p Z VA = Conocido
c = Conocido al conocer la geometriacutea
a = No conocemos su valor particular para cada seccioacuten podemos tantear el valor total para toda la heacutelice seguacuten las teoriacuteas de la cantidad de movimiento
CL = fA) 2 C1+C1o) no conocemos ni et ni eto para cada seccioacuten
Ademaacutes tendriacuteamos que pensar el A de una rebanada no tiene sentido por tener un espesor diferencial Podemos estimar un valor promedio
R-eacuteA= H rH = radio del nuacutecleo
cmedia
13 = depende del valor de la velocidad inducida de cada seccioacuten que depende del valor_de a de la seccioacuten que no se conoce es por lo tanto una incoacutegnita
y = a su vez depende de A cuyo valor es incierto
Podemos concluir por tanto que aunque se ha llegado con relativa sencillez a las expresiones anteriores estas no son realmente utilizables Se pueden usar valores medios para hacer una estimacioacuten pero no sirven para realizar caacutelculos fiables hasta aquiacute llega esta teoriacutea
Por lo tanto para intentar obtener resultados maacutes coherentes es preciso avanzar algo maacutes y emplear la Teoriacutea de la Circulacioacuten que es bastante maacutes compleja y requiere otras herramientas
21
)
) p Esto equivale a poner en el centro del cilindro un torbellino de intensidad r Ambos campos de velocidad consideradosCel inicial paralelo y uniforme y el nuevo radial) se suman resultando un nuevo campo de velocidadesp
Las liacuteneas de corriente se modifican quedando como en la siguiente figura
L En la parte superior del cilindro los dos campos de velocidades se suman y por tanto la velocidad es mayor que en flujo inicial En la parte inferior del cilindro ocurre lo contrario Se desplazan los puntos de remanso
Se pueden calcular v y p analiacuteticamente y aparece una fuerza la sustentacioacuten Clift)
L = sustentacioacuten Dirigida perpendicularmente al flujo uniforme y paralelo inicial
Calculemos la siguiente integral curviliacutenea que nos daraacute la circulacioacuten del vector velocidad sobre el cilindro
Donde
pVx ~dS=O campo simeacutetrico
-- rPero pvrdS = P2nr dS ya que Vr y dS son paralelos en la
superficie del cilindro Luego
r r rI=p- dS= - pdS=-2nr=r2n r 2n r 2n r
23
~===~====~ ~~-------------- Starting Vortex
El torbellino de intensidad r es desplazado aguas abajo hacia el borde de salida por el resto de liacuteneas de corriente
Recordemos un teorema baacutesico de la Teoriacutea Vorticial que dice que en un dominio fluido la vorticidad total permanece constante
-r 0gt r
= ==0==y~0 ~000
Inicialmente en el dominio fluido antes de introducir el perfil la vorticidad total era nula por lo que ha de aparecer otra circulacioacuten (-1) que compense a la del Starting Vortex Esta aparece en torno al perfil Aparece un nuevo campo de velocidades a causa de esta circulacioacuten en torno al perfil
El punto de remanso B se desplaza ahora al punto anguloso de salida lo que implica que los flujos queL van por arriba y por abajo no se mezclan B se desplaza a base de desprender torbellinos hasta llegar al borde de salida Esta es la Condicioacuten de Kutta
Ademaacutes como en el caso del cilindro si calculamos ahora v y p se obtiene que aparece una fuerza sobre el perfil la sustentacioacuten (l) que es perpendicular al flujo v
25
Esto permite a la hora de estudiar los perfiles y las fuerzas hacer una abstraccioacuten y llegar a sustituir el perfil por un flujo uniforme una liacutenea de torbellinos de verticidad r y una fuerza (l) [Suponiendo un perfil de ancho infinito]
VR - - ---ICgt
r
A la liacutenea de torbellinos se le llama liacutenea de sustentacioacuten ya que los torbellinos secteneran sustentacioacuten La parte de la Teoriacutea de Circulacioacuten que estudia los perfiles sustituyeacutendolos por liacuteneas de sustentacioacuten se llama Teoriacutea de la Liacutenea de Sustentacioacuten ( Ufting-line Theory)
d Perfiles de envergadura finita
Todo lo anterior ocurre en perfiles de envergadura ( ancho perpendicular al papel) infinita que loacutegicamente no existen en la realidad los perfiles que nos encontraremos (alas de avioacuten timones palas de heacutelices etc) son perfiles de envergadura finita es decir t ienen un ancho (alto) determinado Entonces aparece un nuevo fenoacutemeno tridimensiol)ltlJ no como hasta ahora que era siempre un flujo 2D
Efectos 3D
Torbellinos de ~ extremo de ala
S ~~-------------p_p-+--------iquest~
En los bordes del perfil el flujo se escapa de las zonas de preslon maacutes alta ( cara inferior del perfil) hacia las de presioacuten maacutes baj a ( cara superior
27
Como consecuencia de lo anterior en el borde de salida del ala se ) encuentran dos flujos cruzados el superior con una componente hacia el ) centro y el inferior con una componente hacia los extremos que dan lugar
a torbellinos desprendidos a lo largo de todo el borde de sal ida Eacutestos forman una hoja de torbellinos donde los de mayor intensidad aparecen en los bordes laterales del perfil Estos torbellinos se conocen con el nombre de torbellinos libres y son arrastralos aguas abajo por el flujo principal hasta el infinito
IG G G
En consecuencia podemos concluir que en los perfiles de env ergadura finita es decir los perfi les de la vida real se escapan de los mismos una serie de liacuteneas de torbellinos libres hacia popa Podemos hacer una representacioacuten esquemaacutetica como sigue
d
d d
--shy ~~ado el
J shy~a I gar aL
dI
que
T Libres giran en sentidos contrarios a cada lado del ala
Son torbellinos elementales
La vorticidad de los torbell inos libres dI tiene que salir de alguacuten lado ( recordemos que la cantidad total de vorticidad en un dominio ha de permanecer constante) Sale obviamente del torbellino ligado que va perdiendo vorticidad desde el centro del ala hacia ambos bordes laterales
-fshy
29
linea Semi-infinita Si la liacutenea de torbellinos es de
longitud semi-infinita es decir con principio pero sin final y el punto P estaacute en el plano en el que comienza la liacutenea tendremos al integrar
-+00 r
u~--41t y
Es de=ir que una liacutenea de torbellinos semi-infin ita crea una velocidad inducida que es la mitad de la que crea una liacutenea de longitud infinita
En el borde de salida del ala cada torbellino libre puede considerarse como una liacutenea semi-infinita que empieza en dicho borde En el infinito aguas abajo esta liacutenea puede considerarse liacutenea infinita La velocidad inducida por el torbellino libre en el infinito es el doble de la inducida en el borde de salida Lo mismo le ocurre a la velocidad inducida por toda la hoja de torbellinos libres ya que es la suma de las generadas por cada torbellino individual en el infinito la velocidad inducida es el doble que en eacutel b9rde de salida del perfil
U en el infinito ) ~ en el perfil
Hemos hablado de los moacutedulos de la velocidad pero iquestqueacute pasa con las direcciones
uuml
La velocidad inducida por un torbellino es siempre perpendicular a la direccioacuten del mismo En el caso de los torbellinos libres que se desprenden de un ala eacutestos se ven arrastrados por el flujo incidente y por tanto su direccioacuten es la misma de dicho flujo es decir que uuml es perpendicular a la velocidad incidente y estaacute dirigida hacia la cara de presioacuten del perfil No tiene componente transversal ya que dichas componentes se anulan por simetriacutea las de los torbellinos de la mitad izquierda del ala con las de la mitad derecha debe recordarse que giran en sentidos contrarios
Los torbellinos libres generan un campo de velocidades en el espacio que se suma vectorialmente a la velocidad incidente VT Como hemos dicho la velocidad inducida por los torbellinos libres es siempre
31
32 APLICACIOacuteN EN HEacuteLICES
) - Torbellinos ligados torbellinos libres y velocidades inducidas
l )
)
Consideraremos que cada pala es un ala de envergadura finita de las que hemos estudiado en los puntos anteriores y como tal se sustituye por una liacutenea de torbellinos ligados Lo uacutenico diferente es la geometriacutea que ahora es mucho maacutes complicada que la del ala de un avioacuten
En efecto ahora la hoja de torbellinos libres desprendidos es una superficie helicoidal en vez de plana La velocidad inducida [j es perpendicular a dicha superficie y a su vez se puede descomponer en una componente longitudinal
[j (paralela al eje de la heacutelice) a ua y otra tangente a la
superficie del cilindro circunscrito u
Por cada pala se genera una hoja de torbellinos libres desfasados entre siacute por 360oZ (Z = nO de palas) que se van enroscando unas con otras originando un tirabuzoacuten de hojas de torbellinos Cada hoja induce en todos los puntos del espacio una velocidad lo que complica el caacutelculo de las velocidades inducidas ayudado por lo complejo de la geometriacutea de las hojas La velocidad inducida total resultante en un determinado punto seraacute la suma vectorial de todas las velocidades inducidas por cada una de las hojas de torbellinos Puede demostrarse ( no lo haremos en estos Apuntes) que los valores de dichas velocidades inducidas totales variacutean desde el infinito aguas arriba hasta el disco de la heacutelice y desde eacuteste al infinito aguas debajo de la manera recogida en el cuadro siguiente
Axial Tanqencial
OAguas arriba
O u -+shy2
Disco u 2
~ 2
Aguas abajo
u -~~U 2
u ----1-igtU 2
33
En la punta ambas fuerzas son cero ya que la circulacioacuten es nula al igualarse las presiones por pasar el flujo de la cara
07-08 R de presioacuten a la de succioacuten en la zona de la punta (figura de la derecha)
En la raiacutez de las palas la circulacioacuten no es nula pero es pequentildea El motivo es que aparece un fenoacutemeno de interferencia entre palas adyacentes por la proximidad de las mismas en esta zona
Aparecen zonas de alta y baja presioacuten de palas adyacentes que estaacuten bastante proacuteximas por lo que hay una cierta comunicacioacuten de fluido dejando de ser tan extremas las presiones reducieacutendose por tanto lltI sustentacioacuten que aparece y con ello la circulacioacuten
En las palasmiddot de una heacutelice ocurre lo mismo que vimos en las alas al tratarse de perfiles de envergadura finita la circulacioacuten variacutea con el radio r = r(r) y loacutegicamente tambieacuten lo hace la velocidad incidente total
vR = V R (r) que depende de v (conocida) y de la velocidad inducida uuml ( ver
triaacutengulo de velocidades) Es evidente tambieacuten que f3 =f(uuml)
Entonces recordando las expresiones que nos daban el empuje y la fuerza del par
Examinemos estas expresiones De todo lo que hemos expresado arriba se deduce que VR Y 13 dependen de las velocidades inducidas (uuml) pero eacutestas estaacuten generadas por las hojas helicoidales de torbellinos libres y por ello dependen de la vorticidad de los mismos (r) Eacutesta sabemos que vale
r = _ ar dr Br
Y en consecuencia depende de r(r) es decir de la distribucioacuten radial de circulacioacuten del torbellino ligado sobre la pala
35
) rendimiento global final de la heacutelice seriacutea mejor que el de la heacutelice inicial
) Pero esto es incompatible con la hipoacutetesis de partida seguacuten la cual rapt ya ) nos daba el mayor rendimiento global de la heacutelice lo luego dicha hipoacutetesis
de partida es absurda Por el contrario cuando l01 no varia con el radio no hay opcioacuten a jugar con la circulacioacuten de las secciones puesto que todo lo que se toque empeoraraacute el lo global de la heacutelice
Obviamente al ser constante I10i a lo largo del radio seraacute tambieacuten
numeacutericamente igual al rendimiento global de la heacutelice 110 O sea
1101 = cte - f(r) = 110
La condicioacuten de Betz por tanto se escribe para heacutelices en flujo uniforme
1=tg l3 o tg (3
Si la heacutelice trabaja en una estela el estudio hay que realizarlo con el rendimiento cuasi-propulsivo de cada seccioacuten en vez de con el de propulsor aislado Al final puede demostrarse ( no lo haremos aquiacute) que se llega a
ID estela media circunferencial
ro estela efectiva
~ Relacioacuten emplrica entre y = la estela y el coeficiente de succioacuten
Es decir una expresioacuten similar a la de flujo uniforme pero con un factor antildeadido que depende de la estela
- Relacioacuten entre circulacioacuten y velocidades inducidas
Es muy importante encontrar una relacioacuten entre la circulacioacuten del torbellino ligado y las velocidades inducidas por los libres es decir la funcioacuten r = f (u) Para ello suponemos la heacutelice funcionando con las hojas de torbellinos desprendidas seguacuten la figura siguiente en la que se han representado las palas sustituidas por sus liacuteneas de sustentacioacuten( torbellino ligado) las hojas de torbellinos helicoidales libres y la velocidad inducida aguas abajo que es perpendicular a la hoja de torbellinos
Ut ----[gt
Ua
37
- - -
1
1 B A Hay infinitas liacuteneas de sustentacioacuten que atraviesan la superficie del cilindroO r Aplicando Stokes O r
El flujo del rotacional = circulacioacuten alrededor del contorno El flujo del rotacional es la suma de las
I I circulaciones de los torbellinos ligadosI I que ha cortado el cilindro es decir r oo
y por tantoI O r I
iquestr=roo =~uumlxdl dondeBI lA u=u +ua t
Calculemos la integral curviliacutenea anterior
~uuml x di = r (ua +utl dl + r(ua +ut )-dl + J(ua +ut)-dl+ r (Ua +~)di (1) (2) (3) (4)
(2) - - (4) Se anulan entre sr por recorrerse el m ismo camino en sentidos inversos shy
ut = O (por estar aguas arriba del propulsor) (3)=gt_ _ (3)=0
uaL di
Luego solo queda la integral (1)
iquestr=r~dl+Juadl =gt rr=r =rutdi
ya que UaL di
Por otra parte Ut es paralelo a di entre A y A luego
Hemos visto que para Z=oo Ut es constante a lo largo de la
circunferencia y puede salir de la integral Por tanto queda
Veamos ahora el caso de nO finito de palas Z En este caso la circulacioacuten total seraacute zr y por tanto
39
Para otras aplicaciones tomaremos A =x t9 13
- Distribucioacuten radial de empujes y pares
Primero hallaremos la relacioacuten entre las velocidades inducidas uYz y
uiexcl y el aacutengulo de paso hidrodinaacutemico 13
dL dT
u sin 13 sin(I3 - ~ ) = V R - --------c---7-shy2 cos(I3 -13 )
y ademaacutes
v _ VR VA
T - cos(f3 -13) sinl3
Entonces
v = V cos(13-(3) bull sin13
y por tanto sustituyendo
~=v cos(13 -13) sin 13 sln(13- 13) 2 sinf3 cos(f3- 3)
~=v sin 13 sin(I3 -3) 2 A sin 13
y del mismo modo
u = v cos 13 sin(3 - (3) 2 A sin 13
y por tanto sustituyendo en
z r = 211 r a3 u
41
El empuje de cada pa la vale
T = J~ dT = J~ dLcos 13 =1r p r vcos 13 dr H
Introducimos el concepto de circulacioacuten adimenslonal
[G=-shy
nD VA
Y sustituyendo podemos reescribir la expresioacuten del coeficiente de empuje
8Z
n
Volviendo al triaacutengulo de velocidades
u2
u2 2nrn - shycos 13 = __---2=_
vR
2=
Sustituyendo arriba y reordenando
Usando los radios adimensionalizados
r dr O x = - dx = - =gt dr = - dx
R R 2
La expresioacuten anterior queda ahora con estos radios adimensionalizados
43
Sacando factor comuacuten resulta
Relacioacuten entre velocidades inducidas y u = Aiexcl X ( _1_-1 J rendimiento
2 v A X 2 + A~ 110
Esta uacuteltima expreslon soacutelo sirve para heacutelices oacuteptimas puesto que hemos hecho uso de la condicioacuten de Betz
Sustituyendo esta expresioacuten en el valor del coeficiente de empuje y realizando las integrales queda la expresioacuten
doacutende tras varios pasos intermedios 1 11 2x I - r o dx
1 - JrH x 2 1) ~ + A 2
1 =(1-110 x 3
d 2 1 2 2 X
~ 110 (x2 +AF)
Para resolver estas integrales hay que recu rri r a hipoacutetesis simplificativas como Xh=O o Z=oo No entraremos aquiacute en el desarrollo completo pero con esto y otras ayudas se llega a
(2)
En esta expresioacuten soacutelo interviene tres paraacutemetros CT to Y A
El paraacutemetro A estaacute muy relacionado con el grado de avance J En efecto
VA JA = x tg 13 = ~ VA = VA = shyR 2n r n 2n R n nOn n
CT puede ser calculado a partir del empuje y del diaacutemetro de la heacutelice Entonces la expresioacuten (2) nos permite conociendo el punto de
funcionamiento de la heacutelice (J) y el empuje ( que puede obtenerse de (~) 1-1
donde R es la res istencia al avance y 1 el coeficiente de succioacuten) estimar el valor to que era el eslaboacuten que faltaba para aplicar la condicioacuten de Betz y poder terminar el caacutelculo f-shy
45
T 2 Con CT = 1---- estimamos el valor de CT ideal a partir de ciertas
2 p v Ao
expresiones empiacutericas
3 Con Cn y A entramos en el Diagrama de Kramer y obtenemos l01
4 Con middottg 13 x y lo aplicando el Teorema de Betz tenemos j3lx para cada seccioacuten
5 lt1gt = 1gt + a~ ~ Sacamos la ley de pasos buscando el aacutengulo de ataque
ideal a I (shock free entry)
6 Lo demaacutes (cuerdas curvaturas espesores ) se obtiene de caacutelculos de resistencia mecaacutenica y de cavitacioacuten
-t
47
Es decir queda
iquest F Exteriores = Empuje de la Heacutelice ~ T Y por tanto
Aplicando la ecuacioacuten de la continuidad del fluido dentro del tubo de corriente vemos faacutecilmente que
Que se sustituye en la ecuacioacuten del empuje ya deducida quedando
c) Aplicamos ahora la ecuacioacuten de Bernouilli en el tubo de corriente en doacutes etapas
c1- Entre la entrada del tubo y la seccioacuten inmediatamente anterior al disco de la heacutelice
c2- Entre la seccioacuten inmediatamente posterior al disco de la heacutelice y la salida del tubo de corriente
5
i
el
Pero tambieacuten podemos obtener el empuje como la diferencia de las fuerzas que actuacutean en ambas caras del disco
T =(P+b-P-PAp = b-pAp y por tanto
1 (2 2)T=2PAp Vs -ve (2)
Igualando las ecuaciones del empuje (1) y (2) se obtiene
~ pAp (v~ -v~) = pApvp (vs -ve)
Es decir
IIVp = VSV~ (3)
Que nos indica que la velocidad en el disco es la media aritnieacutetica de las velocidades de entrada y salida
Concepto de velocidad inducida
Realizamos ahora un cambio de nomenclatura definiendo para ello el concepto de Velocidad Inducida Axial (u a) como la diferencia entre las velocidades del flujo muy aguas arriba y muy aguas abajo del propulsor dentro del tubo de corriente
ua=Vs-Ve ~ vs=ve+ua
Al introducir esta expresioacuten en la (3) de la velocidad del propulsor se obtiene
Ve+ua+Ve ua +2ve _ua--+vevp 2 2 2
IIVp =Ve+fll (4)
Esta expreslon significa que la velocidad en el propulsor es la velocidad aguas arriba mas la mitad de la velocidad inducida total
6
Otros autores emplean otra notacioacuten para Y p y Y s
a = ~ Valor adimensionalizado de ua 2v 2vp =ve (l+a) e
Vs =ve (1+b) u b =---ordf- Valor adimensionalizado de ua
ve
- Rendimiento de la heacutelice en aguas libres (110)
La expresioacuten del rendimiento es
Potencia Uacutetil 110
Potencia Entregada
La potencia uacutetil es la necesaria para mover el disco a una velocidad Ve F
La potencia entregada o suministrada al ignorar los efectos viscosos es igual al inclemento de energiacutea cineacutetica en el tubo de corriente
Potencia entregada =LEc
Ec que entra Ec que sale
Ya que
De este modo el rendimiento queda
7
1 (2 2)-pAp Vs -ve ve v 2 =~ ~ 110 1 (2 2) v OJ2PAp Vs -ve vp P
E introduciendo el concepto de velocidad inducida
1ve 1 (S)110 = u110 u a1+ -shyve +--ordf- 1+~
2ve2 2ve
En otra notacioacuten
ua 11110 = 1~a ~ a= 2v
e
Hemos obtenido por tanto el valor del rendimiento de la heacutelice con 3 formulaciones distintas pero equivalentes Todas ellas nos indican que cuanto menor sea la velocidad inducida el rendimiento de la heacutelice seraacute mayor
Es interesantildete reflejar 110 en funcioacuten de alguacuten paraacutemetro que pueda extraerse del ensayo del propulsor aislado El paraacutemetro maacutes interesante es el coeficiente de empuje CT
1 (2 2)-pAp Vs -ve v 2 _v2 2T 2 s e V s -1C = 2 1 2 2 2
T ~-PVeAp 2PVeAp ve ve 2
Siendo V s = ve + ua se puede reescribir de la siguiente manera
v u ~=1+-ordf-ve ve
E introduciendo esta expresioacuten en la del coeficiente de empuje nos queda
CT =[1+ ~) 2
-1
Despejando de aquiacute el valor de uave necesario para entrar en la
expresioacuten del rendimiento tenemos
8
12
U -1+ 11+CT=gt -ordf- =-1 + 11 + C =gt a =_---1_ _ shyv V T 2e
Esta expresioacuten indica que para una velocidad de entrada constante la velocidad inducida aumenta a medida que aumenta el coeficiente de empuje
De aquiacute se deduce que las heacutelices muy cargadas (heacutelices pequentildeas que suministran mucho empuje) tienen altas velocidades inducidas y por ello un mal rendimiento
El rendimiento de la heacutelice en funcioacuten del coeficiente de empuje resulta sustituyendo en (5)
1 2 riexcl - ------r====~0- -l+Jl+C
T1 + ------- - shy2
La representacioacuten graacutefica del rendimiento y de la velocidad inducida en funcioacuten del coeficiente de empuje tiene el aspecto de la Siguiente figura
-a -rend
1
08
06
04
02
O~-----~---~--~------r-----r---~
o 1 2 3 4 5 6 7
9
12 Teoriacutea del Impulso Angular
- Hipoacutetesis de partida
1) Fluido incompresible no viscoso (fluido ideal)
2) Flujo uniforme y paralelo (heacutelice se dispone en aguas libres sin la perturbacioacuten de la carena)
3) Se asemeja la heacutelice a un disco actuador sin palas y sin perfiles
4) La presioacuten del fluido suficientemente aguas arriba yaguas abajo del propulsor es la misma siendo su valor Po
5) Estaacuten diferenciados el fluido que atraviesa el disco de la heacutelice y el fluido que pasa por fuera del mismo Se considera que se forma un ntubo de corriente
6) El disco de la heacutelice gira con una velocidad angular CiJ que imprime al fluido una cierta velocidad de rotacioacuten ademaacutes de la componente axial
Dominio fluido
Para el caacutelculo se recurre de nuevo al dominio AABB y al empleo de la notacioacuten adimensionalizada de las velocidades inducidas
La velocidad de rotacioacuten de la heacutelice es w
A B
A
As
A B
wmiddota = Rotacioacuten del fluido en el disco de la heacutelice CJ) middotb = Rotacioacuten del fluido en la salida del tubo de presioacuten
10
-
~
A v v( l +a) v(l+b) uacutelo=O uacute)a (iexcl) b=Wl
1--
Ap
De nuevo operaremos por unidad de tiempo Para el estudio consideramos una corona circular en el disco de la heacutelice cuya aacuterea seraacute I dAp Y que proporcionaraacute un empuje dT y absorberaacute un par dQ
dT
dm= pdApVe (1+ a)dQ
dI = pdApve (l+a)r2
o dm Elemento diferencial de masa que atraviesa la corona por unidad
de tiempo
dI Momento de inercia diferencial de la masa que atraviesa la corona por unidad de tiempo
- Proceso de caacutelculo
Aplicamos al flujo que atraviesa la corona el teorema del impulso angular que dice que la variacioacuten del impulso angular es Igual a la suma de los momentos exteriores
~Impulso Angular = Imiddot~w = iquestMomentos Exteriores
El uacutenico momento exterior aplicado al fluido que atraviesa la corona es el diferencial de par hidrodinaacutemico que absorbe
iquestMomentos Exteriores = dQ
La variacioacuten del impulso angular del flujo que atraviesa la corona seraacute como w1 = wmiddotb Y W = O o
6 Impulso angular=[w1 -Wo ] dI=[W b-O]dI
y por tanto aplicando el mencionado teorema y sustituyendo el valor de dI
(6)
11
Ahora aplicaremos el teorema de la variacioacuten de la energiacutea cineacutetica que nos dice
Trabajo angular de los pares exteriores=IE cineacutetica de rotacioacuten
dQmiddotd0=lEc
Donde d0 es el aacutengulo girado por unidad de tiempo
d0=wpqt [dt=l] =gt d0=Wp
y la variaclonde la energiacutea cineacutetica de rotacioacuten vale
1 2 1 2 [ ]lEc =2dIW1 - 2 dIWO = OWo
luego podemos escribir
bull 1 2
dQwa =-dI(wb)2
Donde wp = wa es la velocidad de rotacioacuten del fluido que atraviesa la
heacutelice
Introduciendo ahora el valor de dI antes obtenido
122dQwa=zPdApVe(l+a)r (wb) =gt
1 b2 =gt dQ =-zPdAp~w7ve (1+ a) (7)
j
I E igualanqo (6) y (7) I
21 2 1 2 b W9PdApve (l+a)r = 2PdApr iacutell7 ve (1la)
~ =gt~
Esta expresioacuten indica que la velocidad inducida de rotacioacuten en el disco es la mitad de la velocidad inducida de rotacioacuten en la salida del tubo de corriente O sea que con las velocidades inducidas de rotacioacuten se cumple lo mismo que con las velocidades inducidas axiales
12
Definiremos velocidad tangencial inducida Ut como
Donde W = 2nn es la velocidad de rotacioacuten de la heacutelice
Entonces es obvio que u ub= __t_ a= __t_
2nnr 4nnr
o sea que la velocidad inducida tangencial en el disco es la mitad que aguas abajo
- Rendimiento de la heacutelice en aguas libres (llo)
Potencia Uacutetil (
dQw = TrabajoUacutetiacutel + Peacuterdidas por Ecineacutetica de traslacioacuten +
Peacuterdidas por Ecineacutetica de rotacioacuten
- 1 2 1 2 dQmiddotw=dTve+-dm(veb) +-dI(wb) (8)
2 2
Apoyaacutendonos en la teoriacutea de la cantidad de movimiento axial
ClT = pAacutepvp (vs -ve) ~ pAacutepve (1 +a)(veb)= pAacutepv~ (1+a)b ( v =ve(1+b) _ -~ s
vp=ve(1+a)
Comparando con la expresioacuten obtenida antes para la corona circular iexclshy
dm = pdApve (l+a)
Obtenemos
Como se ve el empuje estaacute muy relacionado con la cantidad de masa que atraviesa la heacutelice
Mediante el teorema del impulso angular (6) buscamos una expresioacuten similar para el momento de inercia para dejar todo en funcioacuten de dT y dQ
13
dI= dQdQ = dIoob = j oob
Sustituyendo en la expresioacuten de la potencia entregada (8)
dQw = dTv +~ dT b2v2 +~ dQ oo2b2 e 2 v be middot 2oobe
1 1dQoo = dTve +-dTbv +-dQoob
2 e 2
dQ[ 00- ~ oob]=dT[ve + ~Veb]
= dQoo[l- ~J=dTVe[1+J
y por tanto al ser b2 = a y b2 = a
= IdQoo(l-a)=dTve (1+a)1
Con esta uacuteltima expresioacuten calculamos el rendimiento
-adTve 1-a fl -shy=flo = dQoo = l+a O l+a ~
- Anaacutelisis de resultados
Comparando las dos expresiones obtenidas para el rendimiento con la Teoacuteriacutea de la Cantidad de Movimiento Axial y con la Teoriacutea del Impulso Angular tenemos
1- a1 riexcl = fl01 = l+a 02 l+a
T C Mov Axial T Impulso Angular
Dado que a es positivo l-a lt 1 Y por tanto
IflOAngUlar lt flOAxial1
Hay una diferencia introducida al considerar la velocidad angular del fluido y resulta un rendimiento maacutes bajo La teoriacutea del impulso angular es maacutes completa que la axial ya que tiene en cuenta maacutes fenoacutemenos ntildesicos y
14
---
se asemeja maacutes a la realidad El rendimiento es maacutes bajo que con la teoriacutea de la Cantidad de Movimiento axial y maacutes cercano a la realidad pero auacuten asiacute estaacute alej ado del rendimiento real por no considerarse otros fenoacutemenos que aparecen como la friccioacuten
En la figura siguiente se representa el aspecto de la variacioacuten de il y a as iacute como del rendimiento en funcioacuten del coefieciente de carga CT
12-- - ------shy a
- - a
-----C---- ----rend Sldal
~~ -rend angular
08 t-- --------- - --- - - ----- - shy
06 ~s -=~----~__2 04 t---------c~~~~~----0 2 t---------=---~=------ -shy -shy -shy
deg O~~_--~----~--_----__----__--~
2 3 4 5 6 7
1shy
15
Integrando estas curvas se obtiene T y Q de cada pala y si se multiplica por el nuacutemero de palas Z se obtienen T y Q totales de la heacutelice
fdT Q=Z fdQ drT=Z _-dr dr dr
rH = Radio del nuacutecleo R = Radio de la heacutelice
Para conocer estas distribuciones la teoriacutea del elemento de pala estudia queacute pasa en cada rebanada de la pala Para esto se recurre a la teoriacutea de perfiles de la que haremos un breve repaso
- Teoriacutea de PentildeiJes
En la siguiente figura se tiene un perfil inmerso en un flujo de velocidad V r y con un cierto aacutengulo de ataque respecto del mismo
dD
Paso dL = Sustentacioacutenzero geomeacutetrico - dD= Resistencia viscosa
aAacutengulo de ara e
v
En un fiuido viscoso aparece una capa liacutemite que distorsiona el campo de presiones y da lugar a la resistencia de presioacuten de origen viscoso pero la componente predominante en la resistencia del perfil es la debida a la friccioacuten
La sustentacioacuten aparece en el perfil por la diferencia de velocidades del fluido a cada cara del perfil que origina una diferencia de presiones entre las caras que da lugar a la sustentacioacuten
En la figura puede verse
Liacutenea de pasos liacutenea que une el borde de entrada y salida
Aacutengulo de ataque aacutengulo entre el flujo incidente y la liacutenea de pasos
Cuando el aacutengulo de ataque es cero nos encontramos en la condicioacuten de shock free entry Sin embargo la sustentacioacuten no es nula sino algo mayor debido a la asimetriacutea del perfil que viene medida por su curvatura
F
17
El valor de Uo (aacutengulo de sustentacioacuten nula) depende fundamentalmente de la curvatura del perfil ( en ingleacutes camber)
Cto F(curvatura (camber)) t curvatura =gt t eto
Estudiemos el triaacutengulo de velocidades y fuerzas sobre el elemento de pala
VR = Velocidad total Incidente sobre el perfil ltlgt = Aacutengulo de paso geomeacutetrico 13 = Aacutengulo de avance 13 Aacutengulo de paso hidrodinaacutemico u = Aacutengulo de ataque = ltlgt - 13
F dL
1gt
un
- Planteamiento
dOtany=shy
dF =dL sin~+dOcosf3iexcl
dT= dL cos ~ -dO sin ~ =dL ( cos ~- ~~ sin~) dL
Q
dT =dL(COs 13-- siny sin 13-)= ~ (cos 13cosy-siny sin 13)1 cosy 1 COsy 1
dT = ~ [cos(r + 13)]cosy 1
Haciendo lo mismo para dFQ resulta
sln(Y+I3-)dF = dL 1
Q COsy
Pondremos ahora la sustentacioacuten en funcioacuten de eL
19
Hemos llegado a unas expresiones que nos dan el reparto radial de empujes y pares totales de la heacutelice asiacute como del rendimiento Ahora hay que ver si se pueden aplicar
- Anaacutelisis criacutetico
p Z VA = Conocido
c = Conocido al conocer la geometriacutea
a = No conocemos su valor particular para cada seccioacuten podemos tantear el valor total para toda la heacutelice seguacuten las teoriacuteas de la cantidad de movimiento
CL = fA) 2 C1+C1o) no conocemos ni et ni eto para cada seccioacuten
Ademaacutes tendriacuteamos que pensar el A de una rebanada no tiene sentido por tener un espesor diferencial Podemos estimar un valor promedio
R-eacuteA= H rH = radio del nuacutecleo
cmedia
13 = depende del valor de la velocidad inducida de cada seccioacuten que depende del valor_de a de la seccioacuten que no se conoce es por lo tanto una incoacutegnita
y = a su vez depende de A cuyo valor es incierto
Podemos concluir por tanto que aunque se ha llegado con relativa sencillez a las expresiones anteriores estas no son realmente utilizables Se pueden usar valores medios para hacer una estimacioacuten pero no sirven para realizar caacutelculos fiables hasta aquiacute llega esta teoriacutea
Por lo tanto para intentar obtener resultados maacutes coherentes es preciso avanzar algo maacutes y emplear la Teoriacutea de la Circulacioacuten que es bastante maacutes compleja y requiere otras herramientas
21
)
) p Esto equivale a poner en el centro del cilindro un torbellino de intensidad r Ambos campos de velocidad consideradosCel inicial paralelo y uniforme y el nuevo radial) se suman resultando un nuevo campo de velocidadesp
Las liacuteneas de corriente se modifican quedando como en la siguiente figura
L En la parte superior del cilindro los dos campos de velocidades se suman y por tanto la velocidad es mayor que en flujo inicial En la parte inferior del cilindro ocurre lo contrario Se desplazan los puntos de remanso
Se pueden calcular v y p analiacuteticamente y aparece una fuerza la sustentacioacuten Clift)
L = sustentacioacuten Dirigida perpendicularmente al flujo uniforme y paralelo inicial
Calculemos la siguiente integral curviliacutenea que nos daraacute la circulacioacuten del vector velocidad sobre el cilindro
Donde
pVx ~dS=O campo simeacutetrico
-- rPero pvrdS = P2nr dS ya que Vr y dS son paralelos en la
superficie del cilindro Luego
r r rI=p- dS= - pdS=-2nr=r2n r 2n r 2n r
23
~===~====~ ~~-------------- Starting Vortex
El torbellino de intensidad r es desplazado aguas abajo hacia el borde de salida por el resto de liacuteneas de corriente
Recordemos un teorema baacutesico de la Teoriacutea Vorticial que dice que en un dominio fluido la vorticidad total permanece constante
-r 0gt r
= ==0==y~0 ~000
Inicialmente en el dominio fluido antes de introducir el perfil la vorticidad total era nula por lo que ha de aparecer otra circulacioacuten (-1) que compense a la del Starting Vortex Esta aparece en torno al perfil Aparece un nuevo campo de velocidades a causa de esta circulacioacuten en torno al perfil
El punto de remanso B se desplaza ahora al punto anguloso de salida lo que implica que los flujos queL van por arriba y por abajo no se mezclan B se desplaza a base de desprender torbellinos hasta llegar al borde de salida Esta es la Condicioacuten de Kutta
Ademaacutes como en el caso del cilindro si calculamos ahora v y p se obtiene que aparece una fuerza sobre el perfil la sustentacioacuten (l) que es perpendicular al flujo v
25
Esto permite a la hora de estudiar los perfiles y las fuerzas hacer una abstraccioacuten y llegar a sustituir el perfil por un flujo uniforme una liacutenea de torbellinos de verticidad r y una fuerza (l) [Suponiendo un perfil de ancho infinito]
VR - - ---ICgt
r
A la liacutenea de torbellinos se le llama liacutenea de sustentacioacuten ya que los torbellinos secteneran sustentacioacuten La parte de la Teoriacutea de Circulacioacuten que estudia los perfiles sustituyeacutendolos por liacuteneas de sustentacioacuten se llama Teoriacutea de la Liacutenea de Sustentacioacuten ( Ufting-line Theory)
d Perfiles de envergadura finita
Todo lo anterior ocurre en perfiles de envergadura ( ancho perpendicular al papel) infinita que loacutegicamente no existen en la realidad los perfiles que nos encontraremos (alas de avioacuten timones palas de heacutelices etc) son perfiles de envergadura finita es decir t ienen un ancho (alto) determinado Entonces aparece un nuevo fenoacutemeno tridimensiol)ltlJ no como hasta ahora que era siempre un flujo 2D
Efectos 3D
Torbellinos de ~ extremo de ala
S ~~-------------p_p-+--------iquest~
En los bordes del perfil el flujo se escapa de las zonas de preslon maacutes alta ( cara inferior del perfil) hacia las de presioacuten maacutes baj a ( cara superior
27
Como consecuencia de lo anterior en el borde de salida del ala se ) encuentran dos flujos cruzados el superior con una componente hacia el ) centro y el inferior con una componente hacia los extremos que dan lugar
a torbellinos desprendidos a lo largo de todo el borde de sal ida Eacutestos forman una hoja de torbellinos donde los de mayor intensidad aparecen en los bordes laterales del perfil Estos torbellinos se conocen con el nombre de torbellinos libres y son arrastralos aguas abajo por el flujo principal hasta el infinito
IG G G
En consecuencia podemos concluir que en los perfiles de env ergadura finita es decir los perfi les de la vida real se escapan de los mismos una serie de liacuteneas de torbellinos libres hacia popa Podemos hacer una representacioacuten esquemaacutetica como sigue
d
d d
--shy ~~ado el
J shy~a I gar aL
dI
que
T Libres giran en sentidos contrarios a cada lado del ala
Son torbellinos elementales
La vorticidad de los torbell inos libres dI tiene que salir de alguacuten lado ( recordemos que la cantidad total de vorticidad en un dominio ha de permanecer constante) Sale obviamente del torbellino ligado que va perdiendo vorticidad desde el centro del ala hacia ambos bordes laterales
-fshy
29
linea Semi-infinita Si la liacutenea de torbellinos es de
longitud semi-infinita es decir con principio pero sin final y el punto P estaacute en el plano en el que comienza la liacutenea tendremos al integrar
-+00 r
u~--41t y
Es de=ir que una liacutenea de torbellinos semi-infin ita crea una velocidad inducida que es la mitad de la que crea una liacutenea de longitud infinita
En el borde de salida del ala cada torbellino libre puede considerarse como una liacutenea semi-infinita que empieza en dicho borde En el infinito aguas abajo esta liacutenea puede considerarse liacutenea infinita La velocidad inducida por el torbellino libre en el infinito es el doble de la inducida en el borde de salida Lo mismo le ocurre a la velocidad inducida por toda la hoja de torbellinos libres ya que es la suma de las generadas por cada torbellino individual en el infinito la velocidad inducida es el doble que en eacutel b9rde de salida del perfil
U en el infinito ) ~ en el perfil
Hemos hablado de los moacutedulos de la velocidad pero iquestqueacute pasa con las direcciones
uuml
La velocidad inducida por un torbellino es siempre perpendicular a la direccioacuten del mismo En el caso de los torbellinos libres que se desprenden de un ala eacutestos se ven arrastrados por el flujo incidente y por tanto su direccioacuten es la misma de dicho flujo es decir que uuml es perpendicular a la velocidad incidente y estaacute dirigida hacia la cara de presioacuten del perfil No tiene componente transversal ya que dichas componentes se anulan por simetriacutea las de los torbellinos de la mitad izquierda del ala con las de la mitad derecha debe recordarse que giran en sentidos contrarios
Los torbellinos libres generan un campo de velocidades en el espacio que se suma vectorialmente a la velocidad incidente VT Como hemos dicho la velocidad inducida por los torbellinos libres es siempre
31
32 APLICACIOacuteN EN HEacuteLICES
) - Torbellinos ligados torbellinos libres y velocidades inducidas
l )
)
Consideraremos que cada pala es un ala de envergadura finita de las que hemos estudiado en los puntos anteriores y como tal se sustituye por una liacutenea de torbellinos ligados Lo uacutenico diferente es la geometriacutea que ahora es mucho maacutes complicada que la del ala de un avioacuten
En efecto ahora la hoja de torbellinos libres desprendidos es una superficie helicoidal en vez de plana La velocidad inducida [j es perpendicular a dicha superficie y a su vez se puede descomponer en una componente longitudinal
[j (paralela al eje de la heacutelice) a ua y otra tangente a la
superficie del cilindro circunscrito u
Por cada pala se genera una hoja de torbellinos libres desfasados entre siacute por 360oZ (Z = nO de palas) que se van enroscando unas con otras originando un tirabuzoacuten de hojas de torbellinos Cada hoja induce en todos los puntos del espacio una velocidad lo que complica el caacutelculo de las velocidades inducidas ayudado por lo complejo de la geometriacutea de las hojas La velocidad inducida total resultante en un determinado punto seraacute la suma vectorial de todas las velocidades inducidas por cada una de las hojas de torbellinos Puede demostrarse ( no lo haremos en estos Apuntes) que los valores de dichas velocidades inducidas totales variacutean desde el infinito aguas arriba hasta el disco de la heacutelice y desde eacuteste al infinito aguas debajo de la manera recogida en el cuadro siguiente
Axial Tanqencial
OAguas arriba
O u -+shy2
Disco u 2
~ 2
Aguas abajo
u -~~U 2
u ----1-igtU 2
33
En la punta ambas fuerzas son cero ya que la circulacioacuten es nula al igualarse las presiones por pasar el flujo de la cara
07-08 R de presioacuten a la de succioacuten en la zona de la punta (figura de la derecha)
En la raiacutez de las palas la circulacioacuten no es nula pero es pequentildea El motivo es que aparece un fenoacutemeno de interferencia entre palas adyacentes por la proximidad de las mismas en esta zona
Aparecen zonas de alta y baja presioacuten de palas adyacentes que estaacuten bastante proacuteximas por lo que hay una cierta comunicacioacuten de fluido dejando de ser tan extremas las presiones reducieacutendose por tanto lltI sustentacioacuten que aparece y con ello la circulacioacuten
En las palasmiddot de una heacutelice ocurre lo mismo que vimos en las alas al tratarse de perfiles de envergadura finita la circulacioacuten variacutea con el radio r = r(r) y loacutegicamente tambieacuten lo hace la velocidad incidente total
vR = V R (r) que depende de v (conocida) y de la velocidad inducida uuml ( ver
triaacutengulo de velocidades) Es evidente tambieacuten que f3 =f(uuml)
Entonces recordando las expresiones que nos daban el empuje y la fuerza del par
Examinemos estas expresiones De todo lo que hemos expresado arriba se deduce que VR Y 13 dependen de las velocidades inducidas (uuml) pero eacutestas estaacuten generadas por las hojas helicoidales de torbellinos libres y por ello dependen de la vorticidad de los mismos (r) Eacutesta sabemos que vale
r = _ ar dr Br
Y en consecuencia depende de r(r) es decir de la distribucioacuten radial de circulacioacuten del torbellino ligado sobre la pala
35
) rendimiento global final de la heacutelice seriacutea mejor que el de la heacutelice inicial
) Pero esto es incompatible con la hipoacutetesis de partida seguacuten la cual rapt ya ) nos daba el mayor rendimiento global de la heacutelice lo luego dicha hipoacutetesis
de partida es absurda Por el contrario cuando l01 no varia con el radio no hay opcioacuten a jugar con la circulacioacuten de las secciones puesto que todo lo que se toque empeoraraacute el lo global de la heacutelice
Obviamente al ser constante I10i a lo largo del radio seraacute tambieacuten
numeacutericamente igual al rendimiento global de la heacutelice 110 O sea
1101 = cte - f(r) = 110
La condicioacuten de Betz por tanto se escribe para heacutelices en flujo uniforme
1=tg l3 o tg (3
Si la heacutelice trabaja en una estela el estudio hay que realizarlo con el rendimiento cuasi-propulsivo de cada seccioacuten en vez de con el de propulsor aislado Al final puede demostrarse ( no lo haremos aquiacute) que se llega a
ID estela media circunferencial
ro estela efectiva
~ Relacioacuten emplrica entre y = la estela y el coeficiente de succioacuten
Es decir una expresioacuten similar a la de flujo uniforme pero con un factor antildeadido que depende de la estela
- Relacioacuten entre circulacioacuten y velocidades inducidas
Es muy importante encontrar una relacioacuten entre la circulacioacuten del torbellino ligado y las velocidades inducidas por los libres es decir la funcioacuten r = f (u) Para ello suponemos la heacutelice funcionando con las hojas de torbellinos desprendidas seguacuten la figura siguiente en la que se han representado las palas sustituidas por sus liacuteneas de sustentacioacuten( torbellino ligado) las hojas de torbellinos helicoidales libres y la velocidad inducida aguas abajo que es perpendicular a la hoja de torbellinos
Ut ----[gt
Ua
37
- - -
1
1 B A Hay infinitas liacuteneas de sustentacioacuten que atraviesan la superficie del cilindroO r Aplicando Stokes O r
El flujo del rotacional = circulacioacuten alrededor del contorno El flujo del rotacional es la suma de las
I I circulaciones de los torbellinos ligadosI I que ha cortado el cilindro es decir r oo
y por tantoI O r I
iquestr=roo =~uumlxdl dondeBI lA u=u +ua t
Calculemos la integral curviliacutenea anterior
~uuml x di = r (ua +utl dl + r(ua +ut )-dl + J(ua +ut)-dl+ r (Ua +~)di (1) (2) (3) (4)
(2) - - (4) Se anulan entre sr por recorrerse el m ismo camino en sentidos inversos shy
ut = O (por estar aguas arriba del propulsor) (3)=gt_ _ (3)=0
uaL di
Luego solo queda la integral (1)
iquestr=r~dl+Juadl =gt rr=r =rutdi
ya que UaL di
Por otra parte Ut es paralelo a di entre A y A luego
Hemos visto que para Z=oo Ut es constante a lo largo de la
circunferencia y puede salir de la integral Por tanto queda
Veamos ahora el caso de nO finito de palas Z En este caso la circulacioacuten total seraacute zr y por tanto
39
Para otras aplicaciones tomaremos A =x t9 13
- Distribucioacuten radial de empujes y pares
Primero hallaremos la relacioacuten entre las velocidades inducidas uYz y
uiexcl y el aacutengulo de paso hidrodinaacutemico 13
dL dT
u sin 13 sin(I3 - ~ ) = V R - --------c---7-shy2 cos(I3 -13 )
y ademaacutes
v _ VR VA
T - cos(f3 -13) sinl3
Entonces
v = V cos(13-(3) bull sin13
y por tanto sustituyendo
~=v cos(13 -13) sin 13 sln(13- 13) 2 sinf3 cos(f3- 3)
~=v sin 13 sin(I3 -3) 2 A sin 13
y del mismo modo
u = v cos 13 sin(3 - (3) 2 A sin 13
y por tanto sustituyendo en
z r = 211 r a3 u
41
El empuje de cada pa la vale
T = J~ dT = J~ dLcos 13 =1r p r vcos 13 dr H
Introducimos el concepto de circulacioacuten adimenslonal
[G=-shy
nD VA
Y sustituyendo podemos reescribir la expresioacuten del coeficiente de empuje
8Z
n
Volviendo al triaacutengulo de velocidades
u2
u2 2nrn - shycos 13 = __---2=_
vR
2=
Sustituyendo arriba y reordenando
Usando los radios adimensionalizados
r dr O x = - dx = - =gt dr = - dx
R R 2
La expresioacuten anterior queda ahora con estos radios adimensionalizados
43
Sacando factor comuacuten resulta
Relacioacuten entre velocidades inducidas y u = Aiexcl X ( _1_-1 J rendimiento
2 v A X 2 + A~ 110
Esta uacuteltima expreslon soacutelo sirve para heacutelices oacuteptimas puesto que hemos hecho uso de la condicioacuten de Betz
Sustituyendo esta expresioacuten en el valor del coeficiente de empuje y realizando las integrales queda la expresioacuten
doacutende tras varios pasos intermedios 1 11 2x I - r o dx
1 - JrH x 2 1) ~ + A 2
1 =(1-110 x 3
d 2 1 2 2 X
~ 110 (x2 +AF)
Para resolver estas integrales hay que recu rri r a hipoacutetesis simplificativas como Xh=O o Z=oo No entraremos aquiacute en el desarrollo completo pero con esto y otras ayudas se llega a
(2)
En esta expresioacuten soacutelo interviene tres paraacutemetros CT to Y A
El paraacutemetro A estaacute muy relacionado con el grado de avance J En efecto
VA JA = x tg 13 = ~ VA = VA = shyR 2n r n 2n R n nOn n
CT puede ser calculado a partir del empuje y del diaacutemetro de la heacutelice Entonces la expresioacuten (2) nos permite conociendo el punto de
funcionamiento de la heacutelice (J) y el empuje ( que puede obtenerse de (~) 1-1
donde R es la res istencia al avance y 1 el coeficiente de succioacuten) estimar el valor to que era el eslaboacuten que faltaba para aplicar la condicioacuten de Betz y poder terminar el caacutelculo f-shy
45
T 2 Con CT = 1---- estimamos el valor de CT ideal a partir de ciertas
2 p v Ao
expresiones empiacutericas
3 Con Cn y A entramos en el Diagrama de Kramer y obtenemos l01
4 Con middottg 13 x y lo aplicando el Teorema de Betz tenemos j3lx para cada seccioacuten
5 lt1gt = 1gt + a~ ~ Sacamos la ley de pasos buscando el aacutengulo de ataque
ideal a I (shock free entry)
6 Lo demaacutes (cuerdas curvaturas espesores ) se obtiene de caacutelculos de resistencia mecaacutenica y de cavitacioacuten
-t
47
i
el
Pero tambieacuten podemos obtener el empuje como la diferencia de las fuerzas que actuacutean en ambas caras del disco
T =(P+b-P-PAp = b-pAp y por tanto
1 (2 2)T=2PAp Vs -ve (2)
Igualando las ecuaciones del empuje (1) y (2) se obtiene
~ pAp (v~ -v~) = pApvp (vs -ve)
Es decir
IIVp = VSV~ (3)
Que nos indica que la velocidad en el disco es la media aritnieacutetica de las velocidades de entrada y salida
Concepto de velocidad inducida
Realizamos ahora un cambio de nomenclatura definiendo para ello el concepto de Velocidad Inducida Axial (u a) como la diferencia entre las velocidades del flujo muy aguas arriba y muy aguas abajo del propulsor dentro del tubo de corriente
ua=Vs-Ve ~ vs=ve+ua
Al introducir esta expresioacuten en la (3) de la velocidad del propulsor se obtiene
Ve+ua+Ve ua +2ve _ua--+vevp 2 2 2
IIVp =Ve+fll (4)
Esta expreslon significa que la velocidad en el propulsor es la velocidad aguas arriba mas la mitad de la velocidad inducida total
6
Otros autores emplean otra notacioacuten para Y p y Y s
a = ~ Valor adimensionalizado de ua 2v 2vp =ve (l+a) e
Vs =ve (1+b) u b =---ordf- Valor adimensionalizado de ua
ve
- Rendimiento de la heacutelice en aguas libres (110)
La expresioacuten del rendimiento es
Potencia Uacutetil 110
Potencia Entregada
La potencia uacutetil es la necesaria para mover el disco a una velocidad Ve F
La potencia entregada o suministrada al ignorar los efectos viscosos es igual al inclemento de energiacutea cineacutetica en el tubo de corriente
Potencia entregada =LEc
Ec que entra Ec que sale
Ya que
De este modo el rendimiento queda
7
1 (2 2)-pAp Vs -ve ve v 2 =~ ~ 110 1 (2 2) v OJ2PAp Vs -ve vp P
E introduciendo el concepto de velocidad inducida
1ve 1 (S)110 = u110 u a1+ -shyve +--ordf- 1+~
2ve2 2ve
En otra notacioacuten
ua 11110 = 1~a ~ a= 2v
e
Hemos obtenido por tanto el valor del rendimiento de la heacutelice con 3 formulaciones distintas pero equivalentes Todas ellas nos indican que cuanto menor sea la velocidad inducida el rendimiento de la heacutelice seraacute mayor
Es interesantildete reflejar 110 en funcioacuten de alguacuten paraacutemetro que pueda extraerse del ensayo del propulsor aislado El paraacutemetro maacutes interesante es el coeficiente de empuje CT
1 (2 2)-pAp Vs -ve v 2 _v2 2T 2 s e V s -1C = 2 1 2 2 2
T ~-PVeAp 2PVeAp ve ve 2
Siendo V s = ve + ua se puede reescribir de la siguiente manera
v u ~=1+-ordf-ve ve
E introduciendo esta expresioacuten en la del coeficiente de empuje nos queda
CT =[1+ ~) 2
-1
Despejando de aquiacute el valor de uave necesario para entrar en la
expresioacuten del rendimiento tenemos
8
12
U -1+ 11+CT=gt -ordf- =-1 + 11 + C =gt a =_---1_ _ shyv V T 2e
Esta expresioacuten indica que para una velocidad de entrada constante la velocidad inducida aumenta a medida que aumenta el coeficiente de empuje
De aquiacute se deduce que las heacutelices muy cargadas (heacutelices pequentildeas que suministran mucho empuje) tienen altas velocidades inducidas y por ello un mal rendimiento
El rendimiento de la heacutelice en funcioacuten del coeficiente de empuje resulta sustituyendo en (5)
1 2 riexcl - ------r====~0- -l+Jl+C
T1 + ------- - shy2
La representacioacuten graacutefica del rendimiento y de la velocidad inducida en funcioacuten del coeficiente de empuje tiene el aspecto de la Siguiente figura
-a -rend
1
08
06
04
02
O~-----~---~--~------r-----r---~
o 1 2 3 4 5 6 7
9
12 Teoriacutea del Impulso Angular
- Hipoacutetesis de partida
1) Fluido incompresible no viscoso (fluido ideal)
2) Flujo uniforme y paralelo (heacutelice se dispone en aguas libres sin la perturbacioacuten de la carena)
3) Se asemeja la heacutelice a un disco actuador sin palas y sin perfiles
4) La presioacuten del fluido suficientemente aguas arriba yaguas abajo del propulsor es la misma siendo su valor Po
5) Estaacuten diferenciados el fluido que atraviesa el disco de la heacutelice y el fluido que pasa por fuera del mismo Se considera que se forma un ntubo de corriente
6) El disco de la heacutelice gira con una velocidad angular CiJ que imprime al fluido una cierta velocidad de rotacioacuten ademaacutes de la componente axial
Dominio fluido
Para el caacutelculo se recurre de nuevo al dominio AABB y al empleo de la notacioacuten adimensionalizada de las velocidades inducidas
La velocidad de rotacioacuten de la heacutelice es w
A B
A
As
A B
wmiddota = Rotacioacuten del fluido en el disco de la heacutelice CJ) middotb = Rotacioacuten del fluido en la salida del tubo de presioacuten
10
-
~
A v v( l +a) v(l+b) uacutelo=O uacute)a (iexcl) b=Wl
1--
Ap
De nuevo operaremos por unidad de tiempo Para el estudio consideramos una corona circular en el disco de la heacutelice cuya aacuterea seraacute I dAp Y que proporcionaraacute un empuje dT y absorberaacute un par dQ
dT
dm= pdApVe (1+ a)dQ
dI = pdApve (l+a)r2
o dm Elemento diferencial de masa que atraviesa la corona por unidad
de tiempo
dI Momento de inercia diferencial de la masa que atraviesa la corona por unidad de tiempo
- Proceso de caacutelculo
Aplicamos al flujo que atraviesa la corona el teorema del impulso angular que dice que la variacioacuten del impulso angular es Igual a la suma de los momentos exteriores
~Impulso Angular = Imiddot~w = iquestMomentos Exteriores
El uacutenico momento exterior aplicado al fluido que atraviesa la corona es el diferencial de par hidrodinaacutemico que absorbe
iquestMomentos Exteriores = dQ
La variacioacuten del impulso angular del flujo que atraviesa la corona seraacute como w1 = wmiddotb Y W = O o
6 Impulso angular=[w1 -Wo ] dI=[W b-O]dI
y por tanto aplicando el mencionado teorema y sustituyendo el valor de dI
(6)
11
Ahora aplicaremos el teorema de la variacioacuten de la energiacutea cineacutetica que nos dice
Trabajo angular de los pares exteriores=IE cineacutetica de rotacioacuten
dQmiddotd0=lEc
Donde d0 es el aacutengulo girado por unidad de tiempo
d0=wpqt [dt=l] =gt d0=Wp
y la variaclonde la energiacutea cineacutetica de rotacioacuten vale
1 2 1 2 [ ]lEc =2dIW1 - 2 dIWO = OWo
luego podemos escribir
bull 1 2
dQwa =-dI(wb)2
Donde wp = wa es la velocidad de rotacioacuten del fluido que atraviesa la
heacutelice
Introduciendo ahora el valor de dI antes obtenido
122dQwa=zPdApVe(l+a)r (wb) =gt
1 b2 =gt dQ =-zPdAp~w7ve (1+ a) (7)
j
I E igualanqo (6) y (7) I
21 2 1 2 b W9PdApve (l+a)r = 2PdApr iacutell7 ve (1la)
~ =gt~
Esta expresioacuten indica que la velocidad inducida de rotacioacuten en el disco es la mitad de la velocidad inducida de rotacioacuten en la salida del tubo de corriente O sea que con las velocidades inducidas de rotacioacuten se cumple lo mismo que con las velocidades inducidas axiales
12
Definiremos velocidad tangencial inducida Ut como
Donde W = 2nn es la velocidad de rotacioacuten de la heacutelice
Entonces es obvio que u ub= __t_ a= __t_
2nnr 4nnr
o sea que la velocidad inducida tangencial en el disco es la mitad que aguas abajo
- Rendimiento de la heacutelice en aguas libres (llo)
Potencia Uacutetil (
dQw = TrabajoUacutetiacutel + Peacuterdidas por Ecineacutetica de traslacioacuten +
Peacuterdidas por Ecineacutetica de rotacioacuten
- 1 2 1 2 dQmiddotw=dTve+-dm(veb) +-dI(wb) (8)
2 2
Apoyaacutendonos en la teoriacutea de la cantidad de movimiento axial
ClT = pAacutepvp (vs -ve) ~ pAacutepve (1 +a)(veb)= pAacutepv~ (1+a)b ( v =ve(1+b) _ -~ s
vp=ve(1+a)
Comparando con la expresioacuten obtenida antes para la corona circular iexclshy
dm = pdApve (l+a)
Obtenemos
Como se ve el empuje estaacute muy relacionado con la cantidad de masa que atraviesa la heacutelice
Mediante el teorema del impulso angular (6) buscamos una expresioacuten similar para el momento de inercia para dejar todo en funcioacuten de dT y dQ
13
dI= dQdQ = dIoob = j oob
Sustituyendo en la expresioacuten de la potencia entregada (8)
dQw = dTv +~ dT b2v2 +~ dQ oo2b2 e 2 v be middot 2oobe
1 1dQoo = dTve +-dTbv +-dQoob
2 e 2
dQ[ 00- ~ oob]=dT[ve + ~Veb]
= dQoo[l- ~J=dTVe[1+J
y por tanto al ser b2 = a y b2 = a
= IdQoo(l-a)=dTve (1+a)1
Con esta uacuteltima expresioacuten calculamos el rendimiento
-adTve 1-a fl -shy=flo = dQoo = l+a O l+a ~
- Anaacutelisis de resultados
Comparando las dos expresiones obtenidas para el rendimiento con la Teoacuteriacutea de la Cantidad de Movimiento Axial y con la Teoriacutea del Impulso Angular tenemos
1- a1 riexcl = fl01 = l+a 02 l+a
T C Mov Axial T Impulso Angular
Dado que a es positivo l-a lt 1 Y por tanto
IflOAngUlar lt flOAxial1
Hay una diferencia introducida al considerar la velocidad angular del fluido y resulta un rendimiento maacutes bajo La teoriacutea del impulso angular es maacutes completa que la axial ya que tiene en cuenta maacutes fenoacutemenos ntildesicos y
14
---
se asemeja maacutes a la realidad El rendimiento es maacutes bajo que con la teoriacutea de la Cantidad de Movimiento axial y maacutes cercano a la realidad pero auacuten asiacute estaacute alej ado del rendimiento real por no considerarse otros fenoacutemenos que aparecen como la friccioacuten
En la figura siguiente se representa el aspecto de la variacioacuten de il y a as iacute como del rendimiento en funcioacuten del coefieciente de carga CT
12-- - ------shy a
- - a
-----C---- ----rend Sldal
~~ -rend angular
08 t-- --------- - --- - - ----- - shy
06 ~s -=~----~__2 04 t---------c~~~~~----0 2 t---------=---~=------ -shy -shy -shy
deg O~~_--~----~--_----__----__--~
2 3 4 5 6 7
1shy
15
Integrando estas curvas se obtiene T y Q de cada pala y si se multiplica por el nuacutemero de palas Z se obtienen T y Q totales de la heacutelice
fdT Q=Z fdQ drT=Z _-dr dr dr
rH = Radio del nuacutecleo R = Radio de la heacutelice
Para conocer estas distribuciones la teoriacutea del elemento de pala estudia queacute pasa en cada rebanada de la pala Para esto se recurre a la teoriacutea de perfiles de la que haremos un breve repaso
- Teoriacutea de PentildeiJes
En la siguiente figura se tiene un perfil inmerso en un flujo de velocidad V r y con un cierto aacutengulo de ataque respecto del mismo
dD
Paso dL = Sustentacioacutenzero geomeacutetrico - dD= Resistencia viscosa
aAacutengulo de ara e
v
En un fiuido viscoso aparece una capa liacutemite que distorsiona el campo de presiones y da lugar a la resistencia de presioacuten de origen viscoso pero la componente predominante en la resistencia del perfil es la debida a la friccioacuten
La sustentacioacuten aparece en el perfil por la diferencia de velocidades del fluido a cada cara del perfil que origina una diferencia de presiones entre las caras que da lugar a la sustentacioacuten
En la figura puede verse
Liacutenea de pasos liacutenea que une el borde de entrada y salida
Aacutengulo de ataque aacutengulo entre el flujo incidente y la liacutenea de pasos
Cuando el aacutengulo de ataque es cero nos encontramos en la condicioacuten de shock free entry Sin embargo la sustentacioacuten no es nula sino algo mayor debido a la asimetriacutea del perfil que viene medida por su curvatura
F
17
El valor de Uo (aacutengulo de sustentacioacuten nula) depende fundamentalmente de la curvatura del perfil ( en ingleacutes camber)
Cto F(curvatura (camber)) t curvatura =gt t eto
Estudiemos el triaacutengulo de velocidades y fuerzas sobre el elemento de pala
VR = Velocidad total Incidente sobre el perfil ltlgt = Aacutengulo de paso geomeacutetrico 13 = Aacutengulo de avance 13 Aacutengulo de paso hidrodinaacutemico u = Aacutengulo de ataque = ltlgt - 13
F dL
1gt
un
- Planteamiento
dOtany=shy
dF =dL sin~+dOcosf3iexcl
dT= dL cos ~ -dO sin ~ =dL ( cos ~- ~~ sin~) dL
Q
dT =dL(COs 13-- siny sin 13-)= ~ (cos 13cosy-siny sin 13)1 cosy 1 COsy 1
dT = ~ [cos(r + 13)]cosy 1
Haciendo lo mismo para dFQ resulta
sln(Y+I3-)dF = dL 1
Q COsy
Pondremos ahora la sustentacioacuten en funcioacuten de eL
19
Hemos llegado a unas expresiones que nos dan el reparto radial de empujes y pares totales de la heacutelice asiacute como del rendimiento Ahora hay que ver si se pueden aplicar
- Anaacutelisis criacutetico
p Z VA = Conocido
c = Conocido al conocer la geometriacutea
a = No conocemos su valor particular para cada seccioacuten podemos tantear el valor total para toda la heacutelice seguacuten las teoriacuteas de la cantidad de movimiento
CL = fA) 2 C1+C1o) no conocemos ni et ni eto para cada seccioacuten
Ademaacutes tendriacuteamos que pensar el A de una rebanada no tiene sentido por tener un espesor diferencial Podemos estimar un valor promedio
R-eacuteA= H rH = radio del nuacutecleo
cmedia
13 = depende del valor de la velocidad inducida de cada seccioacuten que depende del valor_de a de la seccioacuten que no se conoce es por lo tanto una incoacutegnita
y = a su vez depende de A cuyo valor es incierto
Podemos concluir por tanto que aunque se ha llegado con relativa sencillez a las expresiones anteriores estas no son realmente utilizables Se pueden usar valores medios para hacer una estimacioacuten pero no sirven para realizar caacutelculos fiables hasta aquiacute llega esta teoriacutea
Por lo tanto para intentar obtener resultados maacutes coherentes es preciso avanzar algo maacutes y emplear la Teoriacutea de la Circulacioacuten que es bastante maacutes compleja y requiere otras herramientas
21
)
) p Esto equivale a poner en el centro del cilindro un torbellino de intensidad r Ambos campos de velocidad consideradosCel inicial paralelo y uniforme y el nuevo radial) se suman resultando un nuevo campo de velocidadesp
Las liacuteneas de corriente se modifican quedando como en la siguiente figura
L En la parte superior del cilindro los dos campos de velocidades se suman y por tanto la velocidad es mayor que en flujo inicial En la parte inferior del cilindro ocurre lo contrario Se desplazan los puntos de remanso
Se pueden calcular v y p analiacuteticamente y aparece una fuerza la sustentacioacuten Clift)
L = sustentacioacuten Dirigida perpendicularmente al flujo uniforme y paralelo inicial
Calculemos la siguiente integral curviliacutenea que nos daraacute la circulacioacuten del vector velocidad sobre el cilindro
Donde
pVx ~dS=O campo simeacutetrico
-- rPero pvrdS = P2nr dS ya que Vr y dS son paralelos en la
superficie del cilindro Luego
r r rI=p- dS= - pdS=-2nr=r2n r 2n r 2n r
23
~===~====~ ~~-------------- Starting Vortex
El torbellino de intensidad r es desplazado aguas abajo hacia el borde de salida por el resto de liacuteneas de corriente
Recordemos un teorema baacutesico de la Teoriacutea Vorticial que dice que en un dominio fluido la vorticidad total permanece constante
-r 0gt r
= ==0==y~0 ~000
Inicialmente en el dominio fluido antes de introducir el perfil la vorticidad total era nula por lo que ha de aparecer otra circulacioacuten (-1) que compense a la del Starting Vortex Esta aparece en torno al perfil Aparece un nuevo campo de velocidades a causa de esta circulacioacuten en torno al perfil
El punto de remanso B se desplaza ahora al punto anguloso de salida lo que implica que los flujos queL van por arriba y por abajo no se mezclan B se desplaza a base de desprender torbellinos hasta llegar al borde de salida Esta es la Condicioacuten de Kutta
Ademaacutes como en el caso del cilindro si calculamos ahora v y p se obtiene que aparece una fuerza sobre el perfil la sustentacioacuten (l) que es perpendicular al flujo v
25
Esto permite a la hora de estudiar los perfiles y las fuerzas hacer una abstraccioacuten y llegar a sustituir el perfil por un flujo uniforme una liacutenea de torbellinos de verticidad r y una fuerza (l) [Suponiendo un perfil de ancho infinito]
VR - - ---ICgt
r
A la liacutenea de torbellinos se le llama liacutenea de sustentacioacuten ya que los torbellinos secteneran sustentacioacuten La parte de la Teoriacutea de Circulacioacuten que estudia los perfiles sustituyeacutendolos por liacuteneas de sustentacioacuten se llama Teoriacutea de la Liacutenea de Sustentacioacuten ( Ufting-line Theory)
d Perfiles de envergadura finita
Todo lo anterior ocurre en perfiles de envergadura ( ancho perpendicular al papel) infinita que loacutegicamente no existen en la realidad los perfiles que nos encontraremos (alas de avioacuten timones palas de heacutelices etc) son perfiles de envergadura finita es decir t ienen un ancho (alto) determinado Entonces aparece un nuevo fenoacutemeno tridimensiol)ltlJ no como hasta ahora que era siempre un flujo 2D
Efectos 3D
Torbellinos de ~ extremo de ala
S ~~-------------p_p-+--------iquest~
En los bordes del perfil el flujo se escapa de las zonas de preslon maacutes alta ( cara inferior del perfil) hacia las de presioacuten maacutes baj a ( cara superior
27
Como consecuencia de lo anterior en el borde de salida del ala se ) encuentran dos flujos cruzados el superior con una componente hacia el ) centro y el inferior con una componente hacia los extremos que dan lugar
a torbellinos desprendidos a lo largo de todo el borde de sal ida Eacutestos forman una hoja de torbellinos donde los de mayor intensidad aparecen en los bordes laterales del perfil Estos torbellinos se conocen con el nombre de torbellinos libres y son arrastralos aguas abajo por el flujo principal hasta el infinito
IG G G
En consecuencia podemos concluir que en los perfiles de env ergadura finita es decir los perfi les de la vida real se escapan de los mismos una serie de liacuteneas de torbellinos libres hacia popa Podemos hacer una representacioacuten esquemaacutetica como sigue
d
d d
--shy ~~ado el
J shy~a I gar aL
dI
que
T Libres giran en sentidos contrarios a cada lado del ala
Son torbellinos elementales
La vorticidad de los torbell inos libres dI tiene que salir de alguacuten lado ( recordemos que la cantidad total de vorticidad en un dominio ha de permanecer constante) Sale obviamente del torbellino ligado que va perdiendo vorticidad desde el centro del ala hacia ambos bordes laterales
-fshy
29
linea Semi-infinita Si la liacutenea de torbellinos es de
longitud semi-infinita es decir con principio pero sin final y el punto P estaacute en el plano en el que comienza la liacutenea tendremos al integrar
-+00 r
u~--41t y
Es de=ir que una liacutenea de torbellinos semi-infin ita crea una velocidad inducida que es la mitad de la que crea una liacutenea de longitud infinita
En el borde de salida del ala cada torbellino libre puede considerarse como una liacutenea semi-infinita que empieza en dicho borde En el infinito aguas abajo esta liacutenea puede considerarse liacutenea infinita La velocidad inducida por el torbellino libre en el infinito es el doble de la inducida en el borde de salida Lo mismo le ocurre a la velocidad inducida por toda la hoja de torbellinos libres ya que es la suma de las generadas por cada torbellino individual en el infinito la velocidad inducida es el doble que en eacutel b9rde de salida del perfil
U en el infinito ) ~ en el perfil
Hemos hablado de los moacutedulos de la velocidad pero iquestqueacute pasa con las direcciones
uuml
La velocidad inducida por un torbellino es siempre perpendicular a la direccioacuten del mismo En el caso de los torbellinos libres que se desprenden de un ala eacutestos se ven arrastrados por el flujo incidente y por tanto su direccioacuten es la misma de dicho flujo es decir que uuml es perpendicular a la velocidad incidente y estaacute dirigida hacia la cara de presioacuten del perfil No tiene componente transversal ya que dichas componentes se anulan por simetriacutea las de los torbellinos de la mitad izquierda del ala con las de la mitad derecha debe recordarse que giran en sentidos contrarios
Los torbellinos libres generan un campo de velocidades en el espacio que se suma vectorialmente a la velocidad incidente VT Como hemos dicho la velocidad inducida por los torbellinos libres es siempre
31
32 APLICACIOacuteN EN HEacuteLICES
) - Torbellinos ligados torbellinos libres y velocidades inducidas
l )
)
Consideraremos que cada pala es un ala de envergadura finita de las que hemos estudiado en los puntos anteriores y como tal se sustituye por una liacutenea de torbellinos ligados Lo uacutenico diferente es la geometriacutea que ahora es mucho maacutes complicada que la del ala de un avioacuten
En efecto ahora la hoja de torbellinos libres desprendidos es una superficie helicoidal en vez de plana La velocidad inducida [j es perpendicular a dicha superficie y a su vez se puede descomponer en una componente longitudinal
[j (paralela al eje de la heacutelice) a ua y otra tangente a la
superficie del cilindro circunscrito u
Por cada pala se genera una hoja de torbellinos libres desfasados entre siacute por 360oZ (Z = nO de palas) que se van enroscando unas con otras originando un tirabuzoacuten de hojas de torbellinos Cada hoja induce en todos los puntos del espacio una velocidad lo que complica el caacutelculo de las velocidades inducidas ayudado por lo complejo de la geometriacutea de las hojas La velocidad inducida total resultante en un determinado punto seraacute la suma vectorial de todas las velocidades inducidas por cada una de las hojas de torbellinos Puede demostrarse ( no lo haremos en estos Apuntes) que los valores de dichas velocidades inducidas totales variacutean desde el infinito aguas arriba hasta el disco de la heacutelice y desde eacuteste al infinito aguas debajo de la manera recogida en el cuadro siguiente
Axial Tanqencial
OAguas arriba
O u -+shy2
Disco u 2
~ 2
Aguas abajo
u -~~U 2
u ----1-igtU 2
33
En la punta ambas fuerzas son cero ya que la circulacioacuten es nula al igualarse las presiones por pasar el flujo de la cara
07-08 R de presioacuten a la de succioacuten en la zona de la punta (figura de la derecha)
En la raiacutez de las palas la circulacioacuten no es nula pero es pequentildea El motivo es que aparece un fenoacutemeno de interferencia entre palas adyacentes por la proximidad de las mismas en esta zona
Aparecen zonas de alta y baja presioacuten de palas adyacentes que estaacuten bastante proacuteximas por lo que hay una cierta comunicacioacuten de fluido dejando de ser tan extremas las presiones reducieacutendose por tanto lltI sustentacioacuten que aparece y con ello la circulacioacuten
En las palasmiddot de una heacutelice ocurre lo mismo que vimos en las alas al tratarse de perfiles de envergadura finita la circulacioacuten variacutea con el radio r = r(r) y loacutegicamente tambieacuten lo hace la velocidad incidente total
vR = V R (r) que depende de v (conocida) y de la velocidad inducida uuml ( ver
triaacutengulo de velocidades) Es evidente tambieacuten que f3 =f(uuml)
Entonces recordando las expresiones que nos daban el empuje y la fuerza del par
Examinemos estas expresiones De todo lo que hemos expresado arriba se deduce que VR Y 13 dependen de las velocidades inducidas (uuml) pero eacutestas estaacuten generadas por las hojas helicoidales de torbellinos libres y por ello dependen de la vorticidad de los mismos (r) Eacutesta sabemos que vale
r = _ ar dr Br
Y en consecuencia depende de r(r) es decir de la distribucioacuten radial de circulacioacuten del torbellino ligado sobre la pala
35
) rendimiento global final de la heacutelice seriacutea mejor que el de la heacutelice inicial
) Pero esto es incompatible con la hipoacutetesis de partida seguacuten la cual rapt ya ) nos daba el mayor rendimiento global de la heacutelice lo luego dicha hipoacutetesis
de partida es absurda Por el contrario cuando l01 no varia con el radio no hay opcioacuten a jugar con la circulacioacuten de las secciones puesto que todo lo que se toque empeoraraacute el lo global de la heacutelice
Obviamente al ser constante I10i a lo largo del radio seraacute tambieacuten
numeacutericamente igual al rendimiento global de la heacutelice 110 O sea
1101 = cte - f(r) = 110
La condicioacuten de Betz por tanto se escribe para heacutelices en flujo uniforme
1=tg l3 o tg (3
Si la heacutelice trabaja en una estela el estudio hay que realizarlo con el rendimiento cuasi-propulsivo de cada seccioacuten en vez de con el de propulsor aislado Al final puede demostrarse ( no lo haremos aquiacute) que se llega a
ID estela media circunferencial
ro estela efectiva
~ Relacioacuten emplrica entre y = la estela y el coeficiente de succioacuten
Es decir una expresioacuten similar a la de flujo uniforme pero con un factor antildeadido que depende de la estela
- Relacioacuten entre circulacioacuten y velocidades inducidas
Es muy importante encontrar una relacioacuten entre la circulacioacuten del torbellino ligado y las velocidades inducidas por los libres es decir la funcioacuten r = f (u) Para ello suponemos la heacutelice funcionando con las hojas de torbellinos desprendidas seguacuten la figura siguiente en la que se han representado las palas sustituidas por sus liacuteneas de sustentacioacuten( torbellino ligado) las hojas de torbellinos helicoidales libres y la velocidad inducida aguas abajo que es perpendicular a la hoja de torbellinos
Ut ----[gt
Ua
37
- - -
1
1 B A Hay infinitas liacuteneas de sustentacioacuten que atraviesan la superficie del cilindroO r Aplicando Stokes O r
El flujo del rotacional = circulacioacuten alrededor del contorno El flujo del rotacional es la suma de las
I I circulaciones de los torbellinos ligadosI I que ha cortado el cilindro es decir r oo
y por tantoI O r I
iquestr=roo =~uumlxdl dondeBI lA u=u +ua t
Calculemos la integral curviliacutenea anterior
~uuml x di = r (ua +utl dl + r(ua +ut )-dl + J(ua +ut)-dl+ r (Ua +~)di (1) (2) (3) (4)
(2) - - (4) Se anulan entre sr por recorrerse el m ismo camino en sentidos inversos shy
ut = O (por estar aguas arriba del propulsor) (3)=gt_ _ (3)=0
uaL di
Luego solo queda la integral (1)
iquestr=r~dl+Juadl =gt rr=r =rutdi
ya que UaL di
Por otra parte Ut es paralelo a di entre A y A luego
Hemos visto que para Z=oo Ut es constante a lo largo de la
circunferencia y puede salir de la integral Por tanto queda
Veamos ahora el caso de nO finito de palas Z En este caso la circulacioacuten total seraacute zr y por tanto
39
Para otras aplicaciones tomaremos A =x t9 13
- Distribucioacuten radial de empujes y pares
Primero hallaremos la relacioacuten entre las velocidades inducidas uYz y
uiexcl y el aacutengulo de paso hidrodinaacutemico 13
dL dT
u sin 13 sin(I3 - ~ ) = V R - --------c---7-shy2 cos(I3 -13 )
y ademaacutes
v _ VR VA
T - cos(f3 -13) sinl3
Entonces
v = V cos(13-(3) bull sin13
y por tanto sustituyendo
~=v cos(13 -13) sin 13 sln(13- 13) 2 sinf3 cos(f3- 3)
~=v sin 13 sin(I3 -3) 2 A sin 13
y del mismo modo
u = v cos 13 sin(3 - (3) 2 A sin 13
y por tanto sustituyendo en
z r = 211 r a3 u
41
El empuje de cada pa la vale
T = J~ dT = J~ dLcos 13 =1r p r vcos 13 dr H
Introducimos el concepto de circulacioacuten adimenslonal
[G=-shy
nD VA
Y sustituyendo podemos reescribir la expresioacuten del coeficiente de empuje
8Z
n
Volviendo al triaacutengulo de velocidades
u2
u2 2nrn - shycos 13 = __---2=_
vR
2=
Sustituyendo arriba y reordenando
Usando los radios adimensionalizados
r dr O x = - dx = - =gt dr = - dx
R R 2
La expresioacuten anterior queda ahora con estos radios adimensionalizados
43
Sacando factor comuacuten resulta
Relacioacuten entre velocidades inducidas y u = Aiexcl X ( _1_-1 J rendimiento
2 v A X 2 + A~ 110
Esta uacuteltima expreslon soacutelo sirve para heacutelices oacuteptimas puesto que hemos hecho uso de la condicioacuten de Betz
Sustituyendo esta expresioacuten en el valor del coeficiente de empuje y realizando las integrales queda la expresioacuten
doacutende tras varios pasos intermedios 1 11 2x I - r o dx
1 - JrH x 2 1) ~ + A 2
1 =(1-110 x 3
d 2 1 2 2 X
~ 110 (x2 +AF)
Para resolver estas integrales hay que recu rri r a hipoacutetesis simplificativas como Xh=O o Z=oo No entraremos aquiacute en el desarrollo completo pero con esto y otras ayudas se llega a
(2)
En esta expresioacuten soacutelo interviene tres paraacutemetros CT to Y A
El paraacutemetro A estaacute muy relacionado con el grado de avance J En efecto
VA JA = x tg 13 = ~ VA = VA = shyR 2n r n 2n R n nOn n
CT puede ser calculado a partir del empuje y del diaacutemetro de la heacutelice Entonces la expresioacuten (2) nos permite conociendo el punto de
funcionamiento de la heacutelice (J) y el empuje ( que puede obtenerse de (~) 1-1
donde R es la res istencia al avance y 1 el coeficiente de succioacuten) estimar el valor to que era el eslaboacuten que faltaba para aplicar la condicioacuten de Betz y poder terminar el caacutelculo f-shy
45
T 2 Con CT = 1---- estimamos el valor de CT ideal a partir de ciertas
2 p v Ao
expresiones empiacutericas
3 Con Cn y A entramos en el Diagrama de Kramer y obtenemos l01
4 Con middottg 13 x y lo aplicando el Teorema de Betz tenemos j3lx para cada seccioacuten
5 lt1gt = 1gt + a~ ~ Sacamos la ley de pasos buscando el aacutengulo de ataque
ideal a I (shock free entry)
6 Lo demaacutes (cuerdas curvaturas espesores ) se obtiene de caacutelculos de resistencia mecaacutenica y de cavitacioacuten
-t
47
Otros autores emplean otra notacioacuten para Y p y Y s
a = ~ Valor adimensionalizado de ua 2v 2vp =ve (l+a) e
Vs =ve (1+b) u b =---ordf- Valor adimensionalizado de ua
ve
- Rendimiento de la heacutelice en aguas libres (110)
La expresioacuten del rendimiento es
Potencia Uacutetil 110
Potencia Entregada
La potencia uacutetil es la necesaria para mover el disco a una velocidad Ve F
La potencia entregada o suministrada al ignorar los efectos viscosos es igual al inclemento de energiacutea cineacutetica en el tubo de corriente
Potencia entregada =LEc
Ec que entra Ec que sale
Ya que
De este modo el rendimiento queda
7
1 (2 2)-pAp Vs -ve ve v 2 =~ ~ 110 1 (2 2) v OJ2PAp Vs -ve vp P
E introduciendo el concepto de velocidad inducida
1ve 1 (S)110 = u110 u a1+ -shyve +--ordf- 1+~
2ve2 2ve
En otra notacioacuten
ua 11110 = 1~a ~ a= 2v
e
Hemos obtenido por tanto el valor del rendimiento de la heacutelice con 3 formulaciones distintas pero equivalentes Todas ellas nos indican que cuanto menor sea la velocidad inducida el rendimiento de la heacutelice seraacute mayor
Es interesantildete reflejar 110 en funcioacuten de alguacuten paraacutemetro que pueda extraerse del ensayo del propulsor aislado El paraacutemetro maacutes interesante es el coeficiente de empuje CT
1 (2 2)-pAp Vs -ve v 2 _v2 2T 2 s e V s -1C = 2 1 2 2 2
T ~-PVeAp 2PVeAp ve ve 2
Siendo V s = ve + ua se puede reescribir de la siguiente manera
v u ~=1+-ordf-ve ve
E introduciendo esta expresioacuten en la del coeficiente de empuje nos queda
CT =[1+ ~) 2
-1
Despejando de aquiacute el valor de uave necesario para entrar en la
expresioacuten del rendimiento tenemos
8
12
U -1+ 11+CT=gt -ordf- =-1 + 11 + C =gt a =_---1_ _ shyv V T 2e
Esta expresioacuten indica que para una velocidad de entrada constante la velocidad inducida aumenta a medida que aumenta el coeficiente de empuje
De aquiacute se deduce que las heacutelices muy cargadas (heacutelices pequentildeas que suministran mucho empuje) tienen altas velocidades inducidas y por ello un mal rendimiento
El rendimiento de la heacutelice en funcioacuten del coeficiente de empuje resulta sustituyendo en (5)
1 2 riexcl - ------r====~0- -l+Jl+C
T1 + ------- - shy2
La representacioacuten graacutefica del rendimiento y de la velocidad inducida en funcioacuten del coeficiente de empuje tiene el aspecto de la Siguiente figura
-a -rend
1
08
06
04
02
O~-----~---~--~------r-----r---~
o 1 2 3 4 5 6 7
9
12 Teoriacutea del Impulso Angular
- Hipoacutetesis de partida
1) Fluido incompresible no viscoso (fluido ideal)
2) Flujo uniforme y paralelo (heacutelice se dispone en aguas libres sin la perturbacioacuten de la carena)
3) Se asemeja la heacutelice a un disco actuador sin palas y sin perfiles
4) La presioacuten del fluido suficientemente aguas arriba yaguas abajo del propulsor es la misma siendo su valor Po
5) Estaacuten diferenciados el fluido que atraviesa el disco de la heacutelice y el fluido que pasa por fuera del mismo Se considera que se forma un ntubo de corriente
6) El disco de la heacutelice gira con una velocidad angular CiJ que imprime al fluido una cierta velocidad de rotacioacuten ademaacutes de la componente axial
Dominio fluido
Para el caacutelculo se recurre de nuevo al dominio AABB y al empleo de la notacioacuten adimensionalizada de las velocidades inducidas
La velocidad de rotacioacuten de la heacutelice es w
A B
A
As
A B
wmiddota = Rotacioacuten del fluido en el disco de la heacutelice CJ) middotb = Rotacioacuten del fluido en la salida del tubo de presioacuten
10
-
~
A v v( l +a) v(l+b) uacutelo=O uacute)a (iexcl) b=Wl
1--
Ap
De nuevo operaremos por unidad de tiempo Para el estudio consideramos una corona circular en el disco de la heacutelice cuya aacuterea seraacute I dAp Y que proporcionaraacute un empuje dT y absorberaacute un par dQ
dT
dm= pdApVe (1+ a)dQ
dI = pdApve (l+a)r2
o dm Elemento diferencial de masa que atraviesa la corona por unidad
de tiempo
dI Momento de inercia diferencial de la masa que atraviesa la corona por unidad de tiempo
- Proceso de caacutelculo
Aplicamos al flujo que atraviesa la corona el teorema del impulso angular que dice que la variacioacuten del impulso angular es Igual a la suma de los momentos exteriores
~Impulso Angular = Imiddot~w = iquestMomentos Exteriores
El uacutenico momento exterior aplicado al fluido que atraviesa la corona es el diferencial de par hidrodinaacutemico que absorbe
iquestMomentos Exteriores = dQ
La variacioacuten del impulso angular del flujo que atraviesa la corona seraacute como w1 = wmiddotb Y W = O o
6 Impulso angular=[w1 -Wo ] dI=[W b-O]dI
y por tanto aplicando el mencionado teorema y sustituyendo el valor de dI
(6)
11
Ahora aplicaremos el teorema de la variacioacuten de la energiacutea cineacutetica que nos dice
Trabajo angular de los pares exteriores=IE cineacutetica de rotacioacuten
dQmiddotd0=lEc
Donde d0 es el aacutengulo girado por unidad de tiempo
d0=wpqt [dt=l] =gt d0=Wp
y la variaclonde la energiacutea cineacutetica de rotacioacuten vale
1 2 1 2 [ ]lEc =2dIW1 - 2 dIWO = OWo
luego podemos escribir
bull 1 2
dQwa =-dI(wb)2
Donde wp = wa es la velocidad de rotacioacuten del fluido que atraviesa la
heacutelice
Introduciendo ahora el valor de dI antes obtenido
122dQwa=zPdApVe(l+a)r (wb) =gt
1 b2 =gt dQ =-zPdAp~w7ve (1+ a) (7)
j
I E igualanqo (6) y (7) I
21 2 1 2 b W9PdApve (l+a)r = 2PdApr iacutell7 ve (1la)
~ =gt~
Esta expresioacuten indica que la velocidad inducida de rotacioacuten en el disco es la mitad de la velocidad inducida de rotacioacuten en la salida del tubo de corriente O sea que con las velocidades inducidas de rotacioacuten se cumple lo mismo que con las velocidades inducidas axiales
12
Definiremos velocidad tangencial inducida Ut como
Donde W = 2nn es la velocidad de rotacioacuten de la heacutelice
Entonces es obvio que u ub= __t_ a= __t_
2nnr 4nnr
o sea que la velocidad inducida tangencial en el disco es la mitad que aguas abajo
- Rendimiento de la heacutelice en aguas libres (llo)
Potencia Uacutetil (
dQw = TrabajoUacutetiacutel + Peacuterdidas por Ecineacutetica de traslacioacuten +
Peacuterdidas por Ecineacutetica de rotacioacuten
- 1 2 1 2 dQmiddotw=dTve+-dm(veb) +-dI(wb) (8)
2 2
Apoyaacutendonos en la teoriacutea de la cantidad de movimiento axial
ClT = pAacutepvp (vs -ve) ~ pAacutepve (1 +a)(veb)= pAacutepv~ (1+a)b ( v =ve(1+b) _ -~ s
vp=ve(1+a)
Comparando con la expresioacuten obtenida antes para la corona circular iexclshy
dm = pdApve (l+a)
Obtenemos
Como se ve el empuje estaacute muy relacionado con la cantidad de masa que atraviesa la heacutelice
Mediante el teorema del impulso angular (6) buscamos una expresioacuten similar para el momento de inercia para dejar todo en funcioacuten de dT y dQ
13
dI= dQdQ = dIoob = j oob
Sustituyendo en la expresioacuten de la potencia entregada (8)
dQw = dTv +~ dT b2v2 +~ dQ oo2b2 e 2 v be middot 2oobe
1 1dQoo = dTve +-dTbv +-dQoob
2 e 2
dQ[ 00- ~ oob]=dT[ve + ~Veb]
= dQoo[l- ~J=dTVe[1+J
y por tanto al ser b2 = a y b2 = a
= IdQoo(l-a)=dTve (1+a)1
Con esta uacuteltima expresioacuten calculamos el rendimiento
-adTve 1-a fl -shy=flo = dQoo = l+a O l+a ~
- Anaacutelisis de resultados
Comparando las dos expresiones obtenidas para el rendimiento con la Teoacuteriacutea de la Cantidad de Movimiento Axial y con la Teoriacutea del Impulso Angular tenemos
1- a1 riexcl = fl01 = l+a 02 l+a
T C Mov Axial T Impulso Angular
Dado que a es positivo l-a lt 1 Y por tanto
IflOAngUlar lt flOAxial1
Hay una diferencia introducida al considerar la velocidad angular del fluido y resulta un rendimiento maacutes bajo La teoriacutea del impulso angular es maacutes completa que la axial ya que tiene en cuenta maacutes fenoacutemenos ntildesicos y
14
---
se asemeja maacutes a la realidad El rendimiento es maacutes bajo que con la teoriacutea de la Cantidad de Movimiento axial y maacutes cercano a la realidad pero auacuten asiacute estaacute alej ado del rendimiento real por no considerarse otros fenoacutemenos que aparecen como la friccioacuten
En la figura siguiente se representa el aspecto de la variacioacuten de il y a as iacute como del rendimiento en funcioacuten del coefieciente de carga CT
12-- - ------shy a
- - a
-----C---- ----rend Sldal
~~ -rend angular
08 t-- --------- - --- - - ----- - shy
06 ~s -=~----~__2 04 t---------c~~~~~----0 2 t---------=---~=------ -shy -shy -shy
deg O~~_--~----~--_----__----__--~
2 3 4 5 6 7
1shy
15
Integrando estas curvas se obtiene T y Q de cada pala y si se multiplica por el nuacutemero de palas Z se obtienen T y Q totales de la heacutelice
fdT Q=Z fdQ drT=Z _-dr dr dr
rH = Radio del nuacutecleo R = Radio de la heacutelice
Para conocer estas distribuciones la teoriacutea del elemento de pala estudia queacute pasa en cada rebanada de la pala Para esto se recurre a la teoriacutea de perfiles de la que haremos un breve repaso
- Teoriacutea de PentildeiJes
En la siguiente figura se tiene un perfil inmerso en un flujo de velocidad V r y con un cierto aacutengulo de ataque respecto del mismo
dD
Paso dL = Sustentacioacutenzero geomeacutetrico - dD= Resistencia viscosa
aAacutengulo de ara e
v
En un fiuido viscoso aparece una capa liacutemite que distorsiona el campo de presiones y da lugar a la resistencia de presioacuten de origen viscoso pero la componente predominante en la resistencia del perfil es la debida a la friccioacuten
La sustentacioacuten aparece en el perfil por la diferencia de velocidades del fluido a cada cara del perfil que origina una diferencia de presiones entre las caras que da lugar a la sustentacioacuten
En la figura puede verse
Liacutenea de pasos liacutenea que une el borde de entrada y salida
Aacutengulo de ataque aacutengulo entre el flujo incidente y la liacutenea de pasos
Cuando el aacutengulo de ataque es cero nos encontramos en la condicioacuten de shock free entry Sin embargo la sustentacioacuten no es nula sino algo mayor debido a la asimetriacutea del perfil que viene medida por su curvatura
F
17
El valor de Uo (aacutengulo de sustentacioacuten nula) depende fundamentalmente de la curvatura del perfil ( en ingleacutes camber)
Cto F(curvatura (camber)) t curvatura =gt t eto
Estudiemos el triaacutengulo de velocidades y fuerzas sobre el elemento de pala
VR = Velocidad total Incidente sobre el perfil ltlgt = Aacutengulo de paso geomeacutetrico 13 = Aacutengulo de avance 13 Aacutengulo de paso hidrodinaacutemico u = Aacutengulo de ataque = ltlgt - 13
F dL
1gt
un
- Planteamiento
dOtany=shy
dF =dL sin~+dOcosf3iexcl
dT= dL cos ~ -dO sin ~ =dL ( cos ~- ~~ sin~) dL
Q
dT =dL(COs 13-- siny sin 13-)= ~ (cos 13cosy-siny sin 13)1 cosy 1 COsy 1
dT = ~ [cos(r + 13)]cosy 1
Haciendo lo mismo para dFQ resulta
sln(Y+I3-)dF = dL 1
Q COsy
Pondremos ahora la sustentacioacuten en funcioacuten de eL
19
Hemos llegado a unas expresiones que nos dan el reparto radial de empujes y pares totales de la heacutelice asiacute como del rendimiento Ahora hay que ver si se pueden aplicar
- Anaacutelisis criacutetico
p Z VA = Conocido
c = Conocido al conocer la geometriacutea
a = No conocemos su valor particular para cada seccioacuten podemos tantear el valor total para toda la heacutelice seguacuten las teoriacuteas de la cantidad de movimiento
CL = fA) 2 C1+C1o) no conocemos ni et ni eto para cada seccioacuten
Ademaacutes tendriacuteamos que pensar el A de una rebanada no tiene sentido por tener un espesor diferencial Podemos estimar un valor promedio
R-eacuteA= H rH = radio del nuacutecleo
cmedia
13 = depende del valor de la velocidad inducida de cada seccioacuten que depende del valor_de a de la seccioacuten que no se conoce es por lo tanto una incoacutegnita
y = a su vez depende de A cuyo valor es incierto
Podemos concluir por tanto que aunque se ha llegado con relativa sencillez a las expresiones anteriores estas no son realmente utilizables Se pueden usar valores medios para hacer una estimacioacuten pero no sirven para realizar caacutelculos fiables hasta aquiacute llega esta teoriacutea
Por lo tanto para intentar obtener resultados maacutes coherentes es preciso avanzar algo maacutes y emplear la Teoriacutea de la Circulacioacuten que es bastante maacutes compleja y requiere otras herramientas
21
)
) p Esto equivale a poner en el centro del cilindro un torbellino de intensidad r Ambos campos de velocidad consideradosCel inicial paralelo y uniforme y el nuevo radial) se suman resultando un nuevo campo de velocidadesp
Las liacuteneas de corriente se modifican quedando como en la siguiente figura
L En la parte superior del cilindro los dos campos de velocidades se suman y por tanto la velocidad es mayor que en flujo inicial En la parte inferior del cilindro ocurre lo contrario Se desplazan los puntos de remanso
Se pueden calcular v y p analiacuteticamente y aparece una fuerza la sustentacioacuten Clift)
L = sustentacioacuten Dirigida perpendicularmente al flujo uniforme y paralelo inicial
Calculemos la siguiente integral curviliacutenea que nos daraacute la circulacioacuten del vector velocidad sobre el cilindro
Donde
pVx ~dS=O campo simeacutetrico
-- rPero pvrdS = P2nr dS ya que Vr y dS son paralelos en la
superficie del cilindro Luego
r r rI=p- dS= - pdS=-2nr=r2n r 2n r 2n r
23
~===~====~ ~~-------------- Starting Vortex
El torbellino de intensidad r es desplazado aguas abajo hacia el borde de salida por el resto de liacuteneas de corriente
Recordemos un teorema baacutesico de la Teoriacutea Vorticial que dice que en un dominio fluido la vorticidad total permanece constante
-r 0gt r
= ==0==y~0 ~000
Inicialmente en el dominio fluido antes de introducir el perfil la vorticidad total era nula por lo que ha de aparecer otra circulacioacuten (-1) que compense a la del Starting Vortex Esta aparece en torno al perfil Aparece un nuevo campo de velocidades a causa de esta circulacioacuten en torno al perfil
El punto de remanso B se desplaza ahora al punto anguloso de salida lo que implica que los flujos queL van por arriba y por abajo no se mezclan B se desplaza a base de desprender torbellinos hasta llegar al borde de salida Esta es la Condicioacuten de Kutta
Ademaacutes como en el caso del cilindro si calculamos ahora v y p se obtiene que aparece una fuerza sobre el perfil la sustentacioacuten (l) que es perpendicular al flujo v
25
Esto permite a la hora de estudiar los perfiles y las fuerzas hacer una abstraccioacuten y llegar a sustituir el perfil por un flujo uniforme una liacutenea de torbellinos de verticidad r y una fuerza (l) [Suponiendo un perfil de ancho infinito]
VR - - ---ICgt
r
A la liacutenea de torbellinos se le llama liacutenea de sustentacioacuten ya que los torbellinos secteneran sustentacioacuten La parte de la Teoriacutea de Circulacioacuten que estudia los perfiles sustituyeacutendolos por liacuteneas de sustentacioacuten se llama Teoriacutea de la Liacutenea de Sustentacioacuten ( Ufting-line Theory)
d Perfiles de envergadura finita
Todo lo anterior ocurre en perfiles de envergadura ( ancho perpendicular al papel) infinita que loacutegicamente no existen en la realidad los perfiles que nos encontraremos (alas de avioacuten timones palas de heacutelices etc) son perfiles de envergadura finita es decir t ienen un ancho (alto) determinado Entonces aparece un nuevo fenoacutemeno tridimensiol)ltlJ no como hasta ahora que era siempre un flujo 2D
Efectos 3D
Torbellinos de ~ extremo de ala
S ~~-------------p_p-+--------iquest~
En los bordes del perfil el flujo se escapa de las zonas de preslon maacutes alta ( cara inferior del perfil) hacia las de presioacuten maacutes baj a ( cara superior
27
Como consecuencia de lo anterior en el borde de salida del ala se ) encuentran dos flujos cruzados el superior con una componente hacia el ) centro y el inferior con una componente hacia los extremos que dan lugar
a torbellinos desprendidos a lo largo de todo el borde de sal ida Eacutestos forman una hoja de torbellinos donde los de mayor intensidad aparecen en los bordes laterales del perfil Estos torbellinos se conocen con el nombre de torbellinos libres y son arrastralos aguas abajo por el flujo principal hasta el infinito
IG G G
En consecuencia podemos concluir que en los perfiles de env ergadura finita es decir los perfi les de la vida real se escapan de los mismos una serie de liacuteneas de torbellinos libres hacia popa Podemos hacer una representacioacuten esquemaacutetica como sigue
d
d d
--shy ~~ado el
J shy~a I gar aL
dI
que
T Libres giran en sentidos contrarios a cada lado del ala
Son torbellinos elementales
La vorticidad de los torbell inos libres dI tiene que salir de alguacuten lado ( recordemos que la cantidad total de vorticidad en un dominio ha de permanecer constante) Sale obviamente del torbellino ligado que va perdiendo vorticidad desde el centro del ala hacia ambos bordes laterales
-fshy
29
linea Semi-infinita Si la liacutenea de torbellinos es de
longitud semi-infinita es decir con principio pero sin final y el punto P estaacute en el plano en el que comienza la liacutenea tendremos al integrar
-+00 r
u~--41t y
Es de=ir que una liacutenea de torbellinos semi-infin ita crea una velocidad inducida que es la mitad de la que crea una liacutenea de longitud infinita
En el borde de salida del ala cada torbellino libre puede considerarse como una liacutenea semi-infinita que empieza en dicho borde En el infinito aguas abajo esta liacutenea puede considerarse liacutenea infinita La velocidad inducida por el torbellino libre en el infinito es el doble de la inducida en el borde de salida Lo mismo le ocurre a la velocidad inducida por toda la hoja de torbellinos libres ya que es la suma de las generadas por cada torbellino individual en el infinito la velocidad inducida es el doble que en eacutel b9rde de salida del perfil
U en el infinito ) ~ en el perfil
Hemos hablado de los moacutedulos de la velocidad pero iquestqueacute pasa con las direcciones
uuml
La velocidad inducida por un torbellino es siempre perpendicular a la direccioacuten del mismo En el caso de los torbellinos libres que se desprenden de un ala eacutestos se ven arrastrados por el flujo incidente y por tanto su direccioacuten es la misma de dicho flujo es decir que uuml es perpendicular a la velocidad incidente y estaacute dirigida hacia la cara de presioacuten del perfil No tiene componente transversal ya que dichas componentes se anulan por simetriacutea las de los torbellinos de la mitad izquierda del ala con las de la mitad derecha debe recordarse que giran en sentidos contrarios
Los torbellinos libres generan un campo de velocidades en el espacio que se suma vectorialmente a la velocidad incidente VT Como hemos dicho la velocidad inducida por los torbellinos libres es siempre
31
32 APLICACIOacuteN EN HEacuteLICES
) - Torbellinos ligados torbellinos libres y velocidades inducidas
l )
)
Consideraremos que cada pala es un ala de envergadura finita de las que hemos estudiado en los puntos anteriores y como tal se sustituye por una liacutenea de torbellinos ligados Lo uacutenico diferente es la geometriacutea que ahora es mucho maacutes complicada que la del ala de un avioacuten
En efecto ahora la hoja de torbellinos libres desprendidos es una superficie helicoidal en vez de plana La velocidad inducida [j es perpendicular a dicha superficie y a su vez se puede descomponer en una componente longitudinal
[j (paralela al eje de la heacutelice) a ua y otra tangente a la
superficie del cilindro circunscrito u
Por cada pala se genera una hoja de torbellinos libres desfasados entre siacute por 360oZ (Z = nO de palas) que se van enroscando unas con otras originando un tirabuzoacuten de hojas de torbellinos Cada hoja induce en todos los puntos del espacio una velocidad lo que complica el caacutelculo de las velocidades inducidas ayudado por lo complejo de la geometriacutea de las hojas La velocidad inducida total resultante en un determinado punto seraacute la suma vectorial de todas las velocidades inducidas por cada una de las hojas de torbellinos Puede demostrarse ( no lo haremos en estos Apuntes) que los valores de dichas velocidades inducidas totales variacutean desde el infinito aguas arriba hasta el disco de la heacutelice y desde eacuteste al infinito aguas debajo de la manera recogida en el cuadro siguiente
Axial Tanqencial
OAguas arriba
O u -+shy2
Disco u 2
~ 2
Aguas abajo
u -~~U 2
u ----1-igtU 2
33
En la punta ambas fuerzas son cero ya que la circulacioacuten es nula al igualarse las presiones por pasar el flujo de la cara
07-08 R de presioacuten a la de succioacuten en la zona de la punta (figura de la derecha)
En la raiacutez de las palas la circulacioacuten no es nula pero es pequentildea El motivo es que aparece un fenoacutemeno de interferencia entre palas adyacentes por la proximidad de las mismas en esta zona
Aparecen zonas de alta y baja presioacuten de palas adyacentes que estaacuten bastante proacuteximas por lo que hay una cierta comunicacioacuten de fluido dejando de ser tan extremas las presiones reducieacutendose por tanto lltI sustentacioacuten que aparece y con ello la circulacioacuten
En las palasmiddot de una heacutelice ocurre lo mismo que vimos en las alas al tratarse de perfiles de envergadura finita la circulacioacuten variacutea con el radio r = r(r) y loacutegicamente tambieacuten lo hace la velocidad incidente total
vR = V R (r) que depende de v (conocida) y de la velocidad inducida uuml ( ver
triaacutengulo de velocidades) Es evidente tambieacuten que f3 =f(uuml)
Entonces recordando las expresiones que nos daban el empuje y la fuerza del par
Examinemos estas expresiones De todo lo que hemos expresado arriba se deduce que VR Y 13 dependen de las velocidades inducidas (uuml) pero eacutestas estaacuten generadas por las hojas helicoidales de torbellinos libres y por ello dependen de la vorticidad de los mismos (r) Eacutesta sabemos que vale
r = _ ar dr Br
Y en consecuencia depende de r(r) es decir de la distribucioacuten radial de circulacioacuten del torbellino ligado sobre la pala
35
) rendimiento global final de la heacutelice seriacutea mejor que el de la heacutelice inicial
) Pero esto es incompatible con la hipoacutetesis de partida seguacuten la cual rapt ya ) nos daba el mayor rendimiento global de la heacutelice lo luego dicha hipoacutetesis
de partida es absurda Por el contrario cuando l01 no varia con el radio no hay opcioacuten a jugar con la circulacioacuten de las secciones puesto que todo lo que se toque empeoraraacute el lo global de la heacutelice
Obviamente al ser constante I10i a lo largo del radio seraacute tambieacuten
numeacutericamente igual al rendimiento global de la heacutelice 110 O sea
1101 = cte - f(r) = 110
La condicioacuten de Betz por tanto se escribe para heacutelices en flujo uniforme
1=tg l3 o tg (3
Si la heacutelice trabaja en una estela el estudio hay que realizarlo con el rendimiento cuasi-propulsivo de cada seccioacuten en vez de con el de propulsor aislado Al final puede demostrarse ( no lo haremos aquiacute) que se llega a
ID estela media circunferencial
ro estela efectiva
~ Relacioacuten emplrica entre y = la estela y el coeficiente de succioacuten
Es decir una expresioacuten similar a la de flujo uniforme pero con un factor antildeadido que depende de la estela
- Relacioacuten entre circulacioacuten y velocidades inducidas
Es muy importante encontrar una relacioacuten entre la circulacioacuten del torbellino ligado y las velocidades inducidas por los libres es decir la funcioacuten r = f (u) Para ello suponemos la heacutelice funcionando con las hojas de torbellinos desprendidas seguacuten la figura siguiente en la que se han representado las palas sustituidas por sus liacuteneas de sustentacioacuten( torbellino ligado) las hojas de torbellinos helicoidales libres y la velocidad inducida aguas abajo que es perpendicular a la hoja de torbellinos
Ut ----[gt
Ua
37
- - -
1
1 B A Hay infinitas liacuteneas de sustentacioacuten que atraviesan la superficie del cilindroO r Aplicando Stokes O r
El flujo del rotacional = circulacioacuten alrededor del contorno El flujo del rotacional es la suma de las
I I circulaciones de los torbellinos ligadosI I que ha cortado el cilindro es decir r oo
y por tantoI O r I
iquestr=roo =~uumlxdl dondeBI lA u=u +ua t
Calculemos la integral curviliacutenea anterior
~uuml x di = r (ua +utl dl + r(ua +ut )-dl + J(ua +ut)-dl+ r (Ua +~)di (1) (2) (3) (4)
(2) - - (4) Se anulan entre sr por recorrerse el m ismo camino en sentidos inversos shy
ut = O (por estar aguas arriba del propulsor) (3)=gt_ _ (3)=0
uaL di
Luego solo queda la integral (1)
iquestr=r~dl+Juadl =gt rr=r =rutdi
ya que UaL di
Por otra parte Ut es paralelo a di entre A y A luego
Hemos visto que para Z=oo Ut es constante a lo largo de la
circunferencia y puede salir de la integral Por tanto queda
Veamos ahora el caso de nO finito de palas Z En este caso la circulacioacuten total seraacute zr y por tanto
39
Para otras aplicaciones tomaremos A =x t9 13
- Distribucioacuten radial de empujes y pares
Primero hallaremos la relacioacuten entre las velocidades inducidas uYz y
uiexcl y el aacutengulo de paso hidrodinaacutemico 13
dL dT
u sin 13 sin(I3 - ~ ) = V R - --------c---7-shy2 cos(I3 -13 )
y ademaacutes
v _ VR VA
T - cos(f3 -13) sinl3
Entonces
v = V cos(13-(3) bull sin13
y por tanto sustituyendo
~=v cos(13 -13) sin 13 sln(13- 13) 2 sinf3 cos(f3- 3)
~=v sin 13 sin(I3 -3) 2 A sin 13
y del mismo modo
u = v cos 13 sin(3 - (3) 2 A sin 13
y por tanto sustituyendo en
z r = 211 r a3 u
41
El empuje de cada pa la vale
T = J~ dT = J~ dLcos 13 =1r p r vcos 13 dr H
Introducimos el concepto de circulacioacuten adimenslonal
[G=-shy
nD VA
Y sustituyendo podemos reescribir la expresioacuten del coeficiente de empuje
8Z
n
Volviendo al triaacutengulo de velocidades
u2
u2 2nrn - shycos 13 = __---2=_
vR
2=
Sustituyendo arriba y reordenando
Usando los radios adimensionalizados
r dr O x = - dx = - =gt dr = - dx
R R 2
La expresioacuten anterior queda ahora con estos radios adimensionalizados
43
Sacando factor comuacuten resulta
Relacioacuten entre velocidades inducidas y u = Aiexcl X ( _1_-1 J rendimiento
2 v A X 2 + A~ 110
Esta uacuteltima expreslon soacutelo sirve para heacutelices oacuteptimas puesto que hemos hecho uso de la condicioacuten de Betz
Sustituyendo esta expresioacuten en el valor del coeficiente de empuje y realizando las integrales queda la expresioacuten
doacutende tras varios pasos intermedios 1 11 2x I - r o dx
1 - JrH x 2 1) ~ + A 2
1 =(1-110 x 3
d 2 1 2 2 X
~ 110 (x2 +AF)
Para resolver estas integrales hay que recu rri r a hipoacutetesis simplificativas como Xh=O o Z=oo No entraremos aquiacute en el desarrollo completo pero con esto y otras ayudas se llega a
(2)
En esta expresioacuten soacutelo interviene tres paraacutemetros CT to Y A
El paraacutemetro A estaacute muy relacionado con el grado de avance J En efecto
VA JA = x tg 13 = ~ VA = VA = shyR 2n r n 2n R n nOn n
CT puede ser calculado a partir del empuje y del diaacutemetro de la heacutelice Entonces la expresioacuten (2) nos permite conociendo el punto de
funcionamiento de la heacutelice (J) y el empuje ( que puede obtenerse de (~) 1-1
donde R es la res istencia al avance y 1 el coeficiente de succioacuten) estimar el valor to que era el eslaboacuten que faltaba para aplicar la condicioacuten de Betz y poder terminar el caacutelculo f-shy
45
T 2 Con CT = 1---- estimamos el valor de CT ideal a partir de ciertas
2 p v Ao
expresiones empiacutericas
3 Con Cn y A entramos en el Diagrama de Kramer y obtenemos l01
4 Con middottg 13 x y lo aplicando el Teorema de Betz tenemos j3lx para cada seccioacuten
5 lt1gt = 1gt + a~ ~ Sacamos la ley de pasos buscando el aacutengulo de ataque
ideal a I (shock free entry)
6 Lo demaacutes (cuerdas curvaturas espesores ) se obtiene de caacutelculos de resistencia mecaacutenica y de cavitacioacuten
-t
47
1 (2 2)-pAp Vs -ve ve v 2 =~ ~ 110 1 (2 2) v OJ2PAp Vs -ve vp P
E introduciendo el concepto de velocidad inducida
1ve 1 (S)110 = u110 u a1+ -shyve +--ordf- 1+~
2ve2 2ve
En otra notacioacuten
ua 11110 = 1~a ~ a= 2v
e
Hemos obtenido por tanto el valor del rendimiento de la heacutelice con 3 formulaciones distintas pero equivalentes Todas ellas nos indican que cuanto menor sea la velocidad inducida el rendimiento de la heacutelice seraacute mayor
Es interesantildete reflejar 110 en funcioacuten de alguacuten paraacutemetro que pueda extraerse del ensayo del propulsor aislado El paraacutemetro maacutes interesante es el coeficiente de empuje CT
1 (2 2)-pAp Vs -ve v 2 _v2 2T 2 s e V s -1C = 2 1 2 2 2
T ~-PVeAp 2PVeAp ve ve 2
Siendo V s = ve + ua se puede reescribir de la siguiente manera
v u ~=1+-ordf-ve ve
E introduciendo esta expresioacuten en la del coeficiente de empuje nos queda
CT =[1+ ~) 2
-1
Despejando de aquiacute el valor de uave necesario para entrar en la
expresioacuten del rendimiento tenemos
8
12
U -1+ 11+CT=gt -ordf- =-1 + 11 + C =gt a =_---1_ _ shyv V T 2e
Esta expresioacuten indica que para una velocidad de entrada constante la velocidad inducida aumenta a medida que aumenta el coeficiente de empuje
De aquiacute se deduce que las heacutelices muy cargadas (heacutelices pequentildeas que suministran mucho empuje) tienen altas velocidades inducidas y por ello un mal rendimiento
El rendimiento de la heacutelice en funcioacuten del coeficiente de empuje resulta sustituyendo en (5)
1 2 riexcl - ------r====~0- -l+Jl+C
T1 + ------- - shy2
La representacioacuten graacutefica del rendimiento y de la velocidad inducida en funcioacuten del coeficiente de empuje tiene el aspecto de la Siguiente figura
-a -rend
1
08
06
04
02
O~-----~---~--~------r-----r---~
o 1 2 3 4 5 6 7
9
12 Teoriacutea del Impulso Angular
- Hipoacutetesis de partida
1) Fluido incompresible no viscoso (fluido ideal)
2) Flujo uniforme y paralelo (heacutelice se dispone en aguas libres sin la perturbacioacuten de la carena)
3) Se asemeja la heacutelice a un disco actuador sin palas y sin perfiles
4) La presioacuten del fluido suficientemente aguas arriba yaguas abajo del propulsor es la misma siendo su valor Po
5) Estaacuten diferenciados el fluido que atraviesa el disco de la heacutelice y el fluido que pasa por fuera del mismo Se considera que se forma un ntubo de corriente
6) El disco de la heacutelice gira con una velocidad angular CiJ que imprime al fluido una cierta velocidad de rotacioacuten ademaacutes de la componente axial
Dominio fluido
Para el caacutelculo se recurre de nuevo al dominio AABB y al empleo de la notacioacuten adimensionalizada de las velocidades inducidas
La velocidad de rotacioacuten de la heacutelice es w
A B
A
As
A B
wmiddota = Rotacioacuten del fluido en el disco de la heacutelice CJ) middotb = Rotacioacuten del fluido en la salida del tubo de presioacuten
10
-
~
A v v( l +a) v(l+b) uacutelo=O uacute)a (iexcl) b=Wl
1--
Ap
De nuevo operaremos por unidad de tiempo Para el estudio consideramos una corona circular en el disco de la heacutelice cuya aacuterea seraacute I dAp Y que proporcionaraacute un empuje dT y absorberaacute un par dQ
dT
dm= pdApVe (1+ a)dQ
dI = pdApve (l+a)r2
o dm Elemento diferencial de masa que atraviesa la corona por unidad
de tiempo
dI Momento de inercia diferencial de la masa que atraviesa la corona por unidad de tiempo
- Proceso de caacutelculo
Aplicamos al flujo que atraviesa la corona el teorema del impulso angular que dice que la variacioacuten del impulso angular es Igual a la suma de los momentos exteriores
~Impulso Angular = Imiddot~w = iquestMomentos Exteriores
El uacutenico momento exterior aplicado al fluido que atraviesa la corona es el diferencial de par hidrodinaacutemico que absorbe
iquestMomentos Exteriores = dQ
La variacioacuten del impulso angular del flujo que atraviesa la corona seraacute como w1 = wmiddotb Y W = O o
6 Impulso angular=[w1 -Wo ] dI=[W b-O]dI
y por tanto aplicando el mencionado teorema y sustituyendo el valor de dI
(6)
11
Ahora aplicaremos el teorema de la variacioacuten de la energiacutea cineacutetica que nos dice
Trabajo angular de los pares exteriores=IE cineacutetica de rotacioacuten
dQmiddotd0=lEc
Donde d0 es el aacutengulo girado por unidad de tiempo
d0=wpqt [dt=l] =gt d0=Wp
y la variaclonde la energiacutea cineacutetica de rotacioacuten vale
1 2 1 2 [ ]lEc =2dIW1 - 2 dIWO = OWo
luego podemos escribir
bull 1 2
dQwa =-dI(wb)2
Donde wp = wa es la velocidad de rotacioacuten del fluido que atraviesa la
heacutelice
Introduciendo ahora el valor de dI antes obtenido
122dQwa=zPdApVe(l+a)r (wb) =gt
1 b2 =gt dQ =-zPdAp~w7ve (1+ a) (7)
j
I E igualanqo (6) y (7) I
21 2 1 2 b W9PdApve (l+a)r = 2PdApr iacutell7 ve (1la)
~ =gt~
Esta expresioacuten indica que la velocidad inducida de rotacioacuten en el disco es la mitad de la velocidad inducida de rotacioacuten en la salida del tubo de corriente O sea que con las velocidades inducidas de rotacioacuten se cumple lo mismo que con las velocidades inducidas axiales
12
Definiremos velocidad tangencial inducida Ut como
Donde W = 2nn es la velocidad de rotacioacuten de la heacutelice
Entonces es obvio que u ub= __t_ a= __t_
2nnr 4nnr
o sea que la velocidad inducida tangencial en el disco es la mitad que aguas abajo
- Rendimiento de la heacutelice en aguas libres (llo)
Potencia Uacutetil (
dQw = TrabajoUacutetiacutel + Peacuterdidas por Ecineacutetica de traslacioacuten +
Peacuterdidas por Ecineacutetica de rotacioacuten
- 1 2 1 2 dQmiddotw=dTve+-dm(veb) +-dI(wb) (8)
2 2
Apoyaacutendonos en la teoriacutea de la cantidad de movimiento axial
ClT = pAacutepvp (vs -ve) ~ pAacutepve (1 +a)(veb)= pAacutepv~ (1+a)b ( v =ve(1+b) _ -~ s
vp=ve(1+a)
Comparando con la expresioacuten obtenida antes para la corona circular iexclshy
dm = pdApve (l+a)
Obtenemos
Como se ve el empuje estaacute muy relacionado con la cantidad de masa que atraviesa la heacutelice
Mediante el teorema del impulso angular (6) buscamos una expresioacuten similar para el momento de inercia para dejar todo en funcioacuten de dT y dQ
13
dI= dQdQ = dIoob = j oob
Sustituyendo en la expresioacuten de la potencia entregada (8)
dQw = dTv +~ dT b2v2 +~ dQ oo2b2 e 2 v be middot 2oobe
1 1dQoo = dTve +-dTbv +-dQoob
2 e 2
dQ[ 00- ~ oob]=dT[ve + ~Veb]
= dQoo[l- ~J=dTVe[1+J
y por tanto al ser b2 = a y b2 = a
= IdQoo(l-a)=dTve (1+a)1
Con esta uacuteltima expresioacuten calculamos el rendimiento
-adTve 1-a fl -shy=flo = dQoo = l+a O l+a ~
- Anaacutelisis de resultados
Comparando las dos expresiones obtenidas para el rendimiento con la Teoacuteriacutea de la Cantidad de Movimiento Axial y con la Teoriacutea del Impulso Angular tenemos
1- a1 riexcl = fl01 = l+a 02 l+a
T C Mov Axial T Impulso Angular
Dado que a es positivo l-a lt 1 Y por tanto
IflOAngUlar lt flOAxial1
Hay una diferencia introducida al considerar la velocidad angular del fluido y resulta un rendimiento maacutes bajo La teoriacutea del impulso angular es maacutes completa que la axial ya que tiene en cuenta maacutes fenoacutemenos ntildesicos y
14
---
se asemeja maacutes a la realidad El rendimiento es maacutes bajo que con la teoriacutea de la Cantidad de Movimiento axial y maacutes cercano a la realidad pero auacuten asiacute estaacute alej ado del rendimiento real por no considerarse otros fenoacutemenos que aparecen como la friccioacuten
En la figura siguiente se representa el aspecto de la variacioacuten de il y a as iacute como del rendimiento en funcioacuten del coefieciente de carga CT
12-- - ------shy a
- - a
-----C---- ----rend Sldal
~~ -rend angular
08 t-- --------- - --- - - ----- - shy
06 ~s -=~----~__2 04 t---------c~~~~~----0 2 t---------=---~=------ -shy -shy -shy
deg O~~_--~----~--_----__----__--~
2 3 4 5 6 7
1shy
15
Integrando estas curvas se obtiene T y Q de cada pala y si se multiplica por el nuacutemero de palas Z se obtienen T y Q totales de la heacutelice
fdT Q=Z fdQ drT=Z _-dr dr dr
rH = Radio del nuacutecleo R = Radio de la heacutelice
Para conocer estas distribuciones la teoriacutea del elemento de pala estudia queacute pasa en cada rebanada de la pala Para esto se recurre a la teoriacutea de perfiles de la que haremos un breve repaso
- Teoriacutea de PentildeiJes
En la siguiente figura se tiene un perfil inmerso en un flujo de velocidad V r y con un cierto aacutengulo de ataque respecto del mismo
dD
Paso dL = Sustentacioacutenzero geomeacutetrico - dD= Resistencia viscosa
aAacutengulo de ara e
v
En un fiuido viscoso aparece una capa liacutemite que distorsiona el campo de presiones y da lugar a la resistencia de presioacuten de origen viscoso pero la componente predominante en la resistencia del perfil es la debida a la friccioacuten
La sustentacioacuten aparece en el perfil por la diferencia de velocidades del fluido a cada cara del perfil que origina una diferencia de presiones entre las caras que da lugar a la sustentacioacuten
En la figura puede verse
Liacutenea de pasos liacutenea que une el borde de entrada y salida
Aacutengulo de ataque aacutengulo entre el flujo incidente y la liacutenea de pasos
Cuando el aacutengulo de ataque es cero nos encontramos en la condicioacuten de shock free entry Sin embargo la sustentacioacuten no es nula sino algo mayor debido a la asimetriacutea del perfil que viene medida por su curvatura
F
17
El valor de Uo (aacutengulo de sustentacioacuten nula) depende fundamentalmente de la curvatura del perfil ( en ingleacutes camber)
Cto F(curvatura (camber)) t curvatura =gt t eto
Estudiemos el triaacutengulo de velocidades y fuerzas sobre el elemento de pala
VR = Velocidad total Incidente sobre el perfil ltlgt = Aacutengulo de paso geomeacutetrico 13 = Aacutengulo de avance 13 Aacutengulo de paso hidrodinaacutemico u = Aacutengulo de ataque = ltlgt - 13
F dL
1gt
un
- Planteamiento
dOtany=shy
dF =dL sin~+dOcosf3iexcl
dT= dL cos ~ -dO sin ~ =dL ( cos ~- ~~ sin~) dL
Q
dT =dL(COs 13-- siny sin 13-)= ~ (cos 13cosy-siny sin 13)1 cosy 1 COsy 1
dT = ~ [cos(r + 13)]cosy 1
Haciendo lo mismo para dFQ resulta
sln(Y+I3-)dF = dL 1
Q COsy
Pondremos ahora la sustentacioacuten en funcioacuten de eL
19
Hemos llegado a unas expresiones que nos dan el reparto radial de empujes y pares totales de la heacutelice asiacute como del rendimiento Ahora hay que ver si se pueden aplicar
- Anaacutelisis criacutetico
p Z VA = Conocido
c = Conocido al conocer la geometriacutea
a = No conocemos su valor particular para cada seccioacuten podemos tantear el valor total para toda la heacutelice seguacuten las teoriacuteas de la cantidad de movimiento
CL = fA) 2 C1+C1o) no conocemos ni et ni eto para cada seccioacuten
Ademaacutes tendriacuteamos que pensar el A de una rebanada no tiene sentido por tener un espesor diferencial Podemos estimar un valor promedio
R-eacuteA= H rH = radio del nuacutecleo
cmedia
13 = depende del valor de la velocidad inducida de cada seccioacuten que depende del valor_de a de la seccioacuten que no se conoce es por lo tanto una incoacutegnita
y = a su vez depende de A cuyo valor es incierto
Podemos concluir por tanto que aunque se ha llegado con relativa sencillez a las expresiones anteriores estas no son realmente utilizables Se pueden usar valores medios para hacer una estimacioacuten pero no sirven para realizar caacutelculos fiables hasta aquiacute llega esta teoriacutea
Por lo tanto para intentar obtener resultados maacutes coherentes es preciso avanzar algo maacutes y emplear la Teoriacutea de la Circulacioacuten que es bastante maacutes compleja y requiere otras herramientas
21
)
) p Esto equivale a poner en el centro del cilindro un torbellino de intensidad r Ambos campos de velocidad consideradosCel inicial paralelo y uniforme y el nuevo radial) se suman resultando un nuevo campo de velocidadesp
Las liacuteneas de corriente se modifican quedando como en la siguiente figura
L En la parte superior del cilindro los dos campos de velocidades se suman y por tanto la velocidad es mayor que en flujo inicial En la parte inferior del cilindro ocurre lo contrario Se desplazan los puntos de remanso
Se pueden calcular v y p analiacuteticamente y aparece una fuerza la sustentacioacuten Clift)
L = sustentacioacuten Dirigida perpendicularmente al flujo uniforme y paralelo inicial
Calculemos la siguiente integral curviliacutenea que nos daraacute la circulacioacuten del vector velocidad sobre el cilindro
Donde
pVx ~dS=O campo simeacutetrico
-- rPero pvrdS = P2nr dS ya que Vr y dS son paralelos en la
superficie del cilindro Luego
r r rI=p- dS= - pdS=-2nr=r2n r 2n r 2n r
23
~===~====~ ~~-------------- Starting Vortex
El torbellino de intensidad r es desplazado aguas abajo hacia el borde de salida por el resto de liacuteneas de corriente
Recordemos un teorema baacutesico de la Teoriacutea Vorticial que dice que en un dominio fluido la vorticidad total permanece constante
-r 0gt r
= ==0==y~0 ~000
Inicialmente en el dominio fluido antes de introducir el perfil la vorticidad total era nula por lo que ha de aparecer otra circulacioacuten (-1) que compense a la del Starting Vortex Esta aparece en torno al perfil Aparece un nuevo campo de velocidades a causa de esta circulacioacuten en torno al perfil
El punto de remanso B se desplaza ahora al punto anguloso de salida lo que implica que los flujos queL van por arriba y por abajo no se mezclan B se desplaza a base de desprender torbellinos hasta llegar al borde de salida Esta es la Condicioacuten de Kutta
Ademaacutes como en el caso del cilindro si calculamos ahora v y p se obtiene que aparece una fuerza sobre el perfil la sustentacioacuten (l) que es perpendicular al flujo v
25
Esto permite a la hora de estudiar los perfiles y las fuerzas hacer una abstraccioacuten y llegar a sustituir el perfil por un flujo uniforme una liacutenea de torbellinos de verticidad r y una fuerza (l) [Suponiendo un perfil de ancho infinito]
VR - - ---ICgt
r
A la liacutenea de torbellinos se le llama liacutenea de sustentacioacuten ya que los torbellinos secteneran sustentacioacuten La parte de la Teoriacutea de Circulacioacuten que estudia los perfiles sustituyeacutendolos por liacuteneas de sustentacioacuten se llama Teoriacutea de la Liacutenea de Sustentacioacuten ( Ufting-line Theory)
d Perfiles de envergadura finita
Todo lo anterior ocurre en perfiles de envergadura ( ancho perpendicular al papel) infinita que loacutegicamente no existen en la realidad los perfiles que nos encontraremos (alas de avioacuten timones palas de heacutelices etc) son perfiles de envergadura finita es decir t ienen un ancho (alto) determinado Entonces aparece un nuevo fenoacutemeno tridimensiol)ltlJ no como hasta ahora que era siempre un flujo 2D
Efectos 3D
Torbellinos de ~ extremo de ala
S ~~-------------p_p-+--------iquest~
En los bordes del perfil el flujo se escapa de las zonas de preslon maacutes alta ( cara inferior del perfil) hacia las de presioacuten maacutes baj a ( cara superior
27
Como consecuencia de lo anterior en el borde de salida del ala se ) encuentran dos flujos cruzados el superior con una componente hacia el ) centro y el inferior con una componente hacia los extremos que dan lugar
a torbellinos desprendidos a lo largo de todo el borde de sal ida Eacutestos forman una hoja de torbellinos donde los de mayor intensidad aparecen en los bordes laterales del perfil Estos torbellinos se conocen con el nombre de torbellinos libres y son arrastralos aguas abajo por el flujo principal hasta el infinito
IG G G
En consecuencia podemos concluir que en los perfiles de env ergadura finita es decir los perfi les de la vida real se escapan de los mismos una serie de liacuteneas de torbellinos libres hacia popa Podemos hacer una representacioacuten esquemaacutetica como sigue
d
d d
--shy ~~ado el
J shy~a I gar aL
dI
que
T Libres giran en sentidos contrarios a cada lado del ala
Son torbellinos elementales
La vorticidad de los torbell inos libres dI tiene que salir de alguacuten lado ( recordemos que la cantidad total de vorticidad en un dominio ha de permanecer constante) Sale obviamente del torbellino ligado que va perdiendo vorticidad desde el centro del ala hacia ambos bordes laterales
-fshy
29
linea Semi-infinita Si la liacutenea de torbellinos es de
longitud semi-infinita es decir con principio pero sin final y el punto P estaacute en el plano en el que comienza la liacutenea tendremos al integrar
-+00 r
u~--41t y
Es de=ir que una liacutenea de torbellinos semi-infin ita crea una velocidad inducida que es la mitad de la que crea una liacutenea de longitud infinita
En el borde de salida del ala cada torbellino libre puede considerarse como una liacutenea semi-infinita que empieza en dicho borde En el infinito aguas abajo esta liacutenea puede considerarse liacutenea infinita La velocidad inducida por el torbellino libre en el infinito es el doble de la inducida en el borde de salida Lo mismo le ocurre a la velocidad inducida por toda la hoja de torbellinos libres ya que es la suma de las generadas por cada torbellino individual en el infinito la velocidad inducida es el doble que en eacutel b9rde de salida del perfil
U en el infinito ) ~ en el perfil
Hemos hablado de los moacutedulos de la velocidad pero iquestqueacute pasa con las direcciones
uuml
La velocidad inducida por un torbellino es siempre perpendicular a la direccioacuten del mismo En el caso de los torbellinos libres que se desprenden de un ala eacutestos se ven arrastrados por el flujo incidente y por tanto su direccioacuten es la misma de dicho flujo es decir que uuml es perpendicular a la velocidad incidente y estaacute dirigida hacia la cara de presioacuten del perfil No tiene componente transversal ya que dichas componentes se anulan por simetriacutea las de los torbellinos de la mitad izquierda del ala con las de la mitad derecha debe recordarse que giran en sentidos contrarios
Los torbellinos libres generan un campo de velocidades en el espacio que se suma vectorialmente a la velocidad incidente VT Como hemos dicho la velocidad inducida por los torbellinos libres es siempre
31
32 APLICACIOacuteN EN HEacuteLICES
) - Torbellinos ligados torbellinos libres y velocidades inducidas
l )
)
Consideraremos que cada pala es un ala de envergadura finita de las que hemos estudiado en los puntos anteriores y como tal se sustituye por una liacutenea de torbellinos ligados Lo uacutenico diferente es la geometriacutea que ahora es mucho maacutes complicada que la del ala de un avioacuten
En efecto ahora la hoja de torbellinos libres desprendidos es una superficie helicoidal en vez de plana La velocidad inducida [j es perpendicular a dicha superficie y a su vez se puede descomponer en una componente longitudinal
[j (paralela al eje de la heacutelice) a ua y otra tangente a la
superficie del cilindro circunscrito u
Por cada pala se genera una hoja de torbellinos libres desfasados entre siacute por 360oZ (Z = nO de palas) que se van enroscando unas con otras originando un tirabuzoacuten de hojas de torbellinos Cada hoja induce en todos los puntos del espacio una velocidad lo que complica el caacutelculo de las velocidades inducidas ayudado por lo complejo de la geometriacutea de las hojas La velocidad inducida total resultante en un determinado punto seraacute la suma vectorial de todas las velocidades inducidas por cada una de las hojas de torbellinos Puede demostrarse ( no lo haremos en estos Apuntes) que los valores de dichas velocidades inducidas totales variacutean desde el infinito aguas arriba hasta el disco de la heacutelice y desde eacuteste al infinito aguas debajo de la manera recogida en el cuadro siguiente
Axial Tanqencial
OAguas arriba
O u -+shy2
Disco u 2
~ 2
Aguas abajo
u -~~U 2
u ----1-igtU 2
33
En la punta ambas fuerzas son cero ya que la circulacioacuten es nula al igualarse las presiones por pasar el flujo de la cara
07-08 R de presioacuten a la de succioacuten en la zona de la punta (figura de la derecha)
En la raiacutez de las palas la circulacioacuten no es nula pero es pequentildea El motivo es que aparece un fenoacutemeno de interferencia entre palas adyacentes por la proximidad de las mismas en esta zona
Aparecen zonas de alta y baja presioacuten de palas adyacentes que estaacuten bastante proacuteximas por lo que hay una cierta comunicacioacuten de fluido dejando de ser tan extremas las presiones reducieacutendose por tanto lltI sustentacioacuten que aparece y con ello la circulacioacuten
En las palasmiddot de una heacutelice ocurre lo mismo que vimos en las alas al tratarse de perfiles de envergadura finita la circulacioacuten variacutea con el radio r = r(r) y loacutegicamente tambieacuten lo hace la velocidad incidente total
vR = V R (r) que depende de v (conocida) y de la velocidad inducida uuml ( ver
triaacutengulo de velocidades) Es evidente tambieacuten que f3 =f(uuml)
Entonces recordando las expresiones que nos daban el empuje y la fuerza del par
Examinemos estas expresiones De todo lo que hemos expresado arriba se deduce que VR Y 13 dependen de las velocidades inducidas (uuml) pero eacutestas estaacuten generadas por las hojas helicoidales de torbellinos libres y por ello dependen de la vorticidad de los mismos (r) Eacutesta sabemos que vale
r = _ ar dr Br
Y en consecuencia depende de r(r) es decir de la distribucioacuten radial de circulacioacuten del torbellino ligado sobre la pala
35
) rendimiento global final de la heacutelice seriacutea mejor que el de la heacutelice inicial
) Pero esto es incompatible con la hipoacutetesis de partida seguacuten la cual rapt ya ) nos daba el mayor rendimiento global de la heacutelice lo luego dicha hipoacutetesis
de partida es absurda Por el contrario cuando l01 no varia con el radio no hay opcioacuten a jugar con la circulacioacuten de las secciones puesto que todo lo que se toque empeoraraacute el lo global de la heacutelice
Obviamente al ser constante I10i a lo largo del radio seraacute tambieacuten
numeacutericamente igual al rendimiento global de la heacutelice 110 O sea
1101 = cte - f(r) = 110
La condicioacuten de Betz por tanto se escribe para heacutelices en flujo uniforme
1=tg l3 o tg (3
Si la heacutelice trabaja en una estela el estudio hay que realizarlo con el rendimiento cuasi-propulsivo de cada seccioacuten en vez de con el de propulsor aislado Al final puede demostrarse ( no lo haremos aquiacute) que se llega a
ID estela media circunferencial
ro estela efectiva
~ Relacioacuten emplrica entre y = la estela y el coeficiente de succioacuten
Es decir una expresioacuten similar a la de flujo uniforme pero con un factor antildeadido que depende de la estela
- Relacioacuten entre circulacioacuten y velocidades inducidas
Es muy importante encontrar una relacioacuten entre la circulacioacuten del torbellino ligado y las velocidades inducidas por los libres es decir la funcioacuten r = f (u) Para ello suponemos la heacutelice funcionando con las hojas de torbellinos desprendidas seguacuten la figura siguiente en la que se han representado las palas sustituidas por sus liacuteneas de sustentacioacuten( torbellino ligado) las hojas de torbellinos helicoidales libres y la velocidad inducida aguas abajo que es perpendicular a la hoja de torbellinos
Ut ----[gt
Ua
37
- - -
1
1 B A Hay infinitas liacuteneas de sustentacioacuten que atraviesan la superficie del cilindroO r Aplicando Stokes O r
El flujo del rotacional = circulacioacuten alrededor del contorno El flujo del rotacional es la suma de las
I I circulaciones de los torbellinos ligadosI I que ha cortado el cilindro es decir r oo
y por tantoI O r I
iquestr=roo =~uumlxdl dondeBI lA u=u +ua t
Calculemos la integral curviliacutenea anterior
~uuml x di = r (ua +utl dl + r(ua +ut )-dl + J(ua +ut)-dl+ r (Ua +~)di (1) (2) (3) (4)
(2) - - (4) Se anulan entre sr por recorrerse el m ismo camino en sentidos inversos shy
ut = O (por estar aguas arriba del propulsor) (3)=gt_ _ (3)=0
uaL di
Luego solo queda la integral (1)
iquestr=r~dl+Juadl =gt rr=r =rutdi
ya que UaL di
Por otra parte Ut es paralelo a di entre A y A luego
Hemos visto que para Z=oo Ut es constante a lo largo de la
circunferencia y puede salir de la integral Por tanto queda
Veamos ahora el caso de nO finito de palas Z En este caso la circulacioacuten total seraacute zr y por tanto
39
Para otras aplicaciones tomaremos A =x t9 13
- Distribucioacuten radial de empujes y pares
Primero hallaremos la relacioacuten entre las velocidades inducidas uYz y
uiexcl y el aacutengulo de paso hidrodinaacutemico 13
dL dT
u sin 13 sin(I3 - ~ ) = V R - --------c---7-shy2 cos(I3 -13 )
y ademaacutes
v _ VR VA
T - cos(f3 -13) sinl3
Entonces
v = V cos(13-(3) bull sin13
y por tanto sustituyendo
~=v cos(13 -13) sin 13 sln(13- 13) 2 sinf3 cos(f3- 3)
~=v sin 13 sin(I3 -3) 2 A sin 13
y del mismo modo
u = v cos 13 sin(3 - (3) 2 A sin 13
y por tanto sustituyendo en
z r = 211 r a3 u
41
El empuje de cada pa la vale
T = J~ dT = J~ dLcos 13 =1r p r vcos 13 dr H
Introducimos el concepto de circulacioacuten adimenslonal
[G=-shy
nD VA
Y sustituyendo podemos reescribir la expresioacuten del coeficiente de empuje
8Z
n
Volviendo al triaacutengulo de velocidades
u2
u2 2nrn - shycos 13 = __---2=_
vR
2=
Sustituyendo arriba y reordenando
Usando los radios adimensionalizados
r dr O x = - dx = - =gt dr = - dx
R R 2
La expresioacuten anterior queda ahora con estos radios adimensionalizados
43
Sacando factor comuacuten resulta
Relacioacuten entre velocidades inducidas y u = Aiexcl X ( _1_-1 J rendimiento
2 v A X 2 + A~ 110
Esta uacuteltima expreslon soacutelo sirve para heacutelices oacuteptimas puesto que hemos hecho uso de la condicioacuten de Betz
Sustituyendo esta expresioacuten en el valor del coeficiente de empuje y realizando las integrales queda la expresioacuten
doacutende tras varios pasos intermedios 1 11 2x I - r o dx
1 - JrH x 2 1) ~ + A 2
1 =(1-110 x 3
d 2 1 2 2 X
~ 110 (x2 +AF)
Para resolver estas integrales hay que recu rri r a hipoacutetesis simplificativas como Xh=O o Z=oo No entraremos aquiacute en el desarrollo completo pero con esto y otras ayudas se llega a
(2)
En esta expresioacuten soacutelo interviene tres paraacutemetros CT to Y A
El paraacutemetro A estaacute muy relacionado con el grado de avance J En efecto
VA JA = x tg 13 = ~ VA = VA = shyR 2n r n 2n R n nOn n
CT puede ser calculado a partir del empuje y del diaacutemetro de la heacutelice Entonces la expresioacuten (2) nos permite conociendo el punto de
funcionamiento de la heacutelice (J) y el empuje ( que puede obtenerse de (~) 1-1
donde R es la res istencia al avance y 1 el coeficiente de succioacuten) estimar el valor to que era el eslaboacuten que faltaba para aplicar la condicioacuten de Betz y poder terminar el caacutelculo f-shy
45
T 2 Con CT = 1---- estimamos el valor de CT ideal a partir de ciertas
2 p v Ao
expresiones empiacutericas
3 Con Cn y A entramos en el Diagrama de Kramer y obtenemos l01
4 Con middottg 13 x y lo aplicando el Teorema de Betz tenemos j3lx para cada seccioacuten
5 lt1gt = 1gt + a~ ~ Sacamos la ley de pasos buscando el aacutengulo de ataque
ideal a I (shock free entry)
6 Lo demaacutes (cuerdas curvaturas espesores ) se obtiene de caacutelculos de resistencia mecaacutenica y de cavitacioacuten
-t
47
12
U -1+ 11+CT=gt -ordf- =-1 + 11 + C =gt a =_---1_ _ shyv V T 2e
Esta expresioacuten indica que para una velocidad de entrada constante la velocidad inducida aumenta a medida que aumenta el coeficiente de empuje
De aquiacute se deduce que las heacutelices muy cargadas (heacutelices pequentildeas que suministran mucho empuje) tienen altas velocidades inducidas y por ello un mal rendimiento
El rendimiento de la heacutelice en funcioacuten del coeficiente de empuje resulta sustituyendo en (5)
1 2 riexcl - ------r====~0- -l+Jl+C
T1 + ------- - shy2
La representacioacuten graacutefica del rendimiento y de la velocidad inducida en funcioacuten del coeficiente de empuje tiene el aspecto de la Siguiente figura
-a -rend
1
08
06
04
02
O~-----~---~--~------r-----r---~
o 1 2 3 4 5 6 7
9
12 Teoriacutea del Impulso Angular
- Hipoacutetesis de partida
1) Fluido incompresible no viscoso (fluido ideal)
2) Flujo uniforme y paralelo (heacutelice se dispone en aguas libres sin la perturbacioacuten de la carena)
3) Se asemeja la heacutelice a un disco actuador sin palas y sin perfiles
4) La presioacuten del fluido suficientemente aguas arriba yaguas abajo del propulsor es la misma siendo su valor Po
5) Estaacuten diferenciados el fluido que atraviesa el disco de la heacutelice y el fluido que pasa por fuera del mismo Se considera que se forma un ntubo de corriente
6) El disco de la heacutelice gira con una velocidad angular CiJ que imprime al fluido una cierta velocidad de rotacioacuten ademaacutes de la componente axial
Dominio fluido
Para el caacutelculo se recurre de nuevo al dominio AABB y al empleo de la notacioacuten adimensionalizada de las velocidades inducidas
La velocidad de rotacioacuten de la heacutelice es w
A B
A
As
A B
wmiddota = Rotacioacuten del fluido en el disco de la heacutelice CJ) middotb = Rotacioacuten del fluido en la salida del tubo de presioacuten
10
-
~
A v v( l +a) v(l+b) uacutelo=O uacute)a (iexcl) b=Wl
1--
Ap
De nuevo operaremos por unidad de tiempo Para el estudio consideramos una corona circular en el disco de la heacutelice cuya aacuterea seraacute I dAp Y que proporcionaraacute un empuje dT y absorberaacute un par dQ
dT
dm= pdApVe (1+ a)dQ
dI = pdApve (l+a)r2
o dm Elemento diferencial de masa que atraviesa la corona por unidad
de tiempo
dI Momento de inercia diferencial de la masa que atraviesa la corona por unidad de tiempo
- Proceso de caacutelculo
Aplicamos al flujo que atraviesa la corona el teorema del impulso angular que dice que la variacioacuten del impulso angular es Igual a la suma de los momentos exteriores
~Impulso Angular = Imiddot~w = iquestMomentos Exteriores
El uacutenico momento exterior aplicado al fluido que atraviesa la corona es el diferencial de par hidrodinaacutemico que absorbe
iquestMomentos Exteriores = dQ
La variacioacuten del impulso angular del flujo que atraviesa la corona seraacute como w1 = wmiddotb Y W = O o
6 Impulso angular=[w1 -Wo ] dI=[W b-O]dI
y por tanto aplicando el mencionado teorema y sustituyendo el valor de dI
(6)
11
Ahora aplicaremos el teorema de la variacioacuten de la energiacutea cineacutetica que nos dice
Trabajo angular de los pares exteriores=IE cineacutetica de rotacioacuten
dQmiddotd0=lEc
Donde d0 es el aacutengulo girado por unidad de tiempo
d0=wpqt [dt=l] =gt d0=Wp
y la variaclonde la energiacutea cineacutetica de rotacioacuten vale
1 2 1 2 [ ]lEc =2dIW1 - 2 dIWO = OWo
luego podemos escribir
bull 1 2
dQwa =-dI(wb)2
Donde wp = wa es la velocidad de rotacioacuten del fluido que atraviesa la
heacutelice
Introduciendo ahora el valor de dI antes obtenido
122dQwa=zPdApVe(l+a)r (wb) =gt
1 b2 =gt dQ =-zPdAp~w7ve (1+ a) (7)
j
I E igualanqo (6) y (7) I
21 2 1 2 b W9PdApve (l+a)r = 2PdApr iacutell7 ve (1la)
~ =gt~
Esta expresioacuten indica que la velocidad inducida de rotacioacuten en el disco es la mitad de la velocidad inducida de rotacioacuten en la salida del tubo de corriente O sea que con las velocidades inducidas de rotacioacuten se cumple lo mismo que con las velocidades inducidas axiales
12
Definiremos velocidad tangencial inducida Ut como
Donde W = 2nn es la velocidad de rotacioacuten de la heacutelice
Entonces es obvio que u ub= __t_ a= __t_
2nnr 4nnr
o sea que la velocidad inducida tangencial en el disco es la mitad que aguas abajo
- Rendimiento de la heacutelice en aguas libres (llo)
Potencia Uacutetil (
dQw = TrabajoUacutetiacutel + Peacuterdidas por Ecineacutetica de traslacioacuten +
Peacuterdidas por Ecineacutetica de rotacioacuten
- 1 2 1 2 dQmiddotw=dTve+-dm(veb) +-dI(wb) (8)
2 2
Apoyaacutendonos en la teoriacutea de la cantidad de movimiento axial
ClT = pAacutepvp (vs -ve) ~ pAacutepve (1 +a)(veb)= pAacutepv~ (1+a)b ( v =ve(1+b) _ -~ s
vp=ve(1+a)
Comparando con la expresioacuten obtenida antes para la corona circular iexclshy
dm = pdApve (l+a)
Obtenemos
Como se ve el empuje estaacute muy relacionado con la cantidad de masa que atraviesa la heacutelice
Mediante el teorema del impulso angular (6) buscamos una expresioacuten similar para el momento de inercia para dejar todo en funcioacuten de dT y dQ
13
dI= dQdQ = dIoob = j oob
Sustituyendo en la expresioacuten de la potencia entregada (8)
dQw = dTv +~ dT b2v2 +~ dQ oo2b2 e 2 v be middot 2oobe
1 1dQoo = dTve +-dTbv +-dQoob
2 e 2
dQ[ 00- ~ oob]=dT[ve + ~Veb]
= dQoo[l- ~J=dTVe[1+J
y por tanto al ser b2 = a y b2 = a
= IdQoo(l-a)=dTve (1+a)1
Con esta uacuteltima expresioacuten calculamos el rendimiento
-adTve 1-a fl -shy=flo = dQoo = l+a O l+a ~
- Anaacutelisis de resultados
Comparando las dos expresiones obtenidas para el rendimiento con la Teoacuteriacutea de la Cantidad de Movimiento Axial y con la Teoriacutea del Impulso Angular tenemos
1- a1 riexcl = fl01 = l+a 02 l+a
T C Mov Axial T Impulso Angular
Dado que a es positivo l-a lt 1 Y por tanto
IflOAngUlar lt flOAxial1
Hay una diferencia introducida al considerar la velocidad angular del fluido y resulta un rendimiento maacutes bajo La teoriacutea del impulso angular es maacutes completa que la axial ya que tiene en cuenta maacutes fenoacutemenos ntildesicos y
14
---
se asemeja maacutes a la realidad El rendimiento es maacutes bajo que con la teoriacutea de la Cantidad de Movimiento axial y maacutes cercano a la realidad pero auacuten asiacute estaacute alej ado del rendimiento real por no considerarse otros fenoacutemenos que aparecen como la friccioacuten
En la figura siguiente se representa el aspecto de la variacioacuten de il y a as iacute como del rendimiento en funcioacuten del coefieciente de carga CT
12-- - ------shy a
- - a
-----C---- ----rend Sldal
~~ -rend angular
08 t-- --------- - --- - - ----- - shy
06 ~s -=~----~__2 04 t---------c~~~~~----0 2 t---------=---~=------ -shy -shy -shy
deg O~~_--~----~--_----__----__--~
2 3 4 5 6 7
1shy
15
Integrando estas curvas se obtiene T y Q de cada pala y si se multiplica por el nuacutemero de palas Z se obtienen T y Q totales de la heacutelice
fdT Q=Z fdQ drT=Z _-dr dr dr
rH = Radio del nuacutecleo R = Radio de la heacutelice
Para conocer estas distribuciones la teoriacutea del elemento de pala estudia queacute pasa en cada rebanada de la pala Para esto se recurre a la teoriacutea de perfiles de la que haremos un breve repaso
- Teoriacutea de PentildeiJes
En la siguiente figura se tiene un perfil inmerso en un flujo de velocidad V r y con un cierto aacutengulo de ataque respecto del mismo
dD
Paso dL = Sustentacioacutenzero geomeacutetrico - dD= Resistencia viscosa
aAacutengulo de ara e
v
En un fiuido viscoso aparece una capa liacutemite que distorsiona el campo de presiones y da lugar a la resistencia de presioacuten de origen viscoso pero la componente predominante en la resistencia del perfil es la debida a la friccioacuten
La sustentacioacuten aparece en el perfil por la diferencia de velocidades del fluido a cada cara del perfil que origina una diferencia de presiones entre las caras que da lugar a la sustentacioacuten
En la figura puede verse
Liacutenea de pasos liacutenea que une el borde de entrada y salida
Aacutengulo de ataque aacutengulo entre el flujo incidente y la liacutenea de pasos
Cuando el aacutengulo de ataque es cero nos encontramos en la condicioacuten de shock free entry Sin embargo la sustentacioacuten no es nula sino algo mayor debido a la asimetriacutea del perfil que viene medida por su curvatura
F
17
El valor de Uo (aacutengulo de sustentacioacuten nula) depende fundamentalmente de la curvatura del perfil ( en ingleacutes camber)
Cto F(curvatura (camber)) t curvatura =gt t eto
Estudiemos el triaacutengulo de velocidades y fuerzas sobre el elemento de pala
VR = Velocidad total Incidente sobre el perfil ltlgt = Aacutengulo de paso geomeacutetrico 13 = Aacutengulo de avance 13 Aacutengulo de paso hidrodinaacutemico u = Aacutengulo de ataque = ltlgt - 13
F dL
1gt
un
- Planteamiento
dOtany=shy
dF =dL sin~+dOcosf3iexcl
dT= dL cos ~ -dO sin ~ =dL ( cos ~- ~~ sin~) dL
Q
dT =dL(COs 13-- siny sin 13-)= ~ (cos 13cosy-siny sin 13)1 cosy 1 COsy 1
dT = ~ [cos(r + 13)]cosy 1
Haciendo lo mismo para dFQ resulta
sln(Y+I3-)dF = dL 1
Q COsy
Pondremos ahora la sustentacioacuten en funcioacuten de eL
19
Hemos llegado a unas expresiones que nos dan el reparto radial de empujes y pares totales de la heacutelice asiacute como del rendimiento Ahora hay que ver si se pueden aplicar
- Anaacutelisis criacutetico
p Z VA = Conocido
c = Conocido al conocer la geometriacutea
a = No conocemos su valor particular para cada seccioacuten podemos tantear el valor total para toda la heacutelice seguacuten las teoriacuteas de la cantidad de movimiento
CL = fA) 2 C1+C1o) no conocemos ni et ni eto para cada seccioacuten
Ademaacutes tendriacuteamos que pensar el A de una rebanada no tiene sentido por tener un espesor diferencial Podemos estimar un valor promedio
R-eacuteA= H rH = radio del nuacutecleo
cmedia
13 = depende del valor de la velocidad inducida de cada seccioacuten que depende del valor_de a de la seccioacuten que no se conoce es por lo tanto una incoacutegnita
y = a su vez depende de A cuyo valor es incierto
Podemos concluir por tanto que aunque se ha llegado con relativa sencillez a las expresiones anteriores estas no son realmente utilizables Se pueden usar valores medios para hacer una estimacioacuten pero no sirven para realizar caacutelculos fiables hasta aquiacute llega esta teoriacutea
Por lo tanto para intentar obtener resultados maacutes coherentes es preciso avanzar algo maacutes y emplear la Teoriacutea de la Circulacioacuten que es bastante maacutes compleja y requiere otras herramientas
21
)
) p Esto equivale a poner en el centro del cilindro un torbellino de intensidad r Ambos campos de velocidad consideradosCel inicial paralelo y uniforme y el nuevo radial) se suman resultando un nuevo campo de velocidadesp
Las liacuteneas de corriente se modifican quedando como en la siguiente figura
L En la parte superior del cilindro los dos campos de velocidades se suman y por tanto la velocidad es mayor que en flujo inicial En la parte inferior del cilindro ocurre lo contrario Se desplazan los puntos de remanso
Se pueden calcular v y p analiacuteticamente y aparece una fuerza la sustentacioacuten Clift)
L = sustentacioacuten Dirigida perpendicularmente al flujo uniforme y paralelo inicial
Calculemos la siguiente integral curviliacutenea que nos daraacute la circulacioacuten del vector velocidad sobre el cilindro
Donde
pVx ~dS=O campo simeacutetrico
-- rPero pvrdS = P2nr dS ya que Vr y dS son paralelos en la
superficie del cilindro Luego
r r rI=p- dS= - pdS=-2nr=r2n r 2n r 2n r
23
~===~====~ ~~-------------- Starting Vortex
El torbellino de intensidad r es desplazado aguas abajo hacia el borde de salida por el resto de liacuteneas de corriente
Recordemos un teorema baacutesico de la Teoriacutea Vorticial que dice que en un dominio fluido la vorticidad total permanece constante
-r 0gt r
= ==0==y~0 ~000
Inicialmente en el dominio fluido antes de introducir el perfil la vorticidad total era nula por lo que ha de aparecer otra circulacioacuten (-1) que compense a la del Starting Vortex Esta aparece en torno al perfil Aparece un nuevo campo de velocidades a causa de esta circulacioacuten en torno al perfil
El punto de remanso B se desplaza ahora al punto anguloso de salida lo que implica que los flujos queL van por arriba y por abajo no se mezclan B se desplaza a base de desprender torbellinos hasta llegar al borde de salida Esta es la Condicioacuten de Kutta
Ademaacutes como en el caso del cilindro si calculamos ahora v y p se obtiene que aparece una fuerza sobre el perfil la sustentacioacuten (l) que es perpendicular al flujo v
25
Esto permite a la hora de estudiar los perfiles y las fuerzas hacer una abstraccioacuten y llegar a sustituir el perfil por un flujo uniforme una liacutenea de torbellinos de verticidad r y una fuerza (l) [Suponiendo un perfil de ancho infinito]
VR - - ---ICgt
r
A la liacutenea de torbellinos se le llama liacutenea de sustentacioacuten ya que los torbellinos secteneran sustentacioacuten La parte de la Teoriacutea de Circulacioacuten que estudia los perfiles sustituyeacutendolos por liacuteneas de sustentacioacuten se llama Teoriacutea de la Liacutenea de Sustentacioacuten ( Ufting-line Theory)
d Perfiles de envergadura finita
Todo lo anterior ocurre en perfiles de envergadura ( ancho perpendicular al papel) infinita que loacutegicamente no existen en la realidad los perfiles que nos encontraremos (alas de avioacuten timones palas de heacutelices etc) son perfiles de envergadura finita es decir t ienen un ancho (alto) determinado Entonces aparece un nuevo fenoacutemeno tridimensiol)ltlJ no como hasta ahora que era siempre un flujo 2D
Efectos 3D
Torbellinos de ~ extremo de ala
S ~~-------------p_p-+--------iquest~
En los bordes del perfil el flujo se escapa de las zonas de preslon maacutes alta ( cara inferior del perfil) hacia las de presioacuten maacutes baj a ( cara superior
27
Como consecuencia de lo anterior en el borde de salida del ala se ) encuentran dos flujos cruzados el superior con una componente hacia el ) centro y el inferior con una componente hacia los extremos que dan lugar
a torbellinos desprendidos a lo largo de todo el borde de sal ida Eacutestos forman una hoja de torbellinos donde los de mayor intensidad aparecen en los bordes laterales del perfil Estos torbellinos se conocen con el nombre de torbellinos libres y son arrastralos aguas abajo por el flujo principal hasta el infinito
IG G G
En consecuencia podemos concluir que en los perfiles de env ergadura finita es decir los perfi les de la vida real se escapan de los mismos una serie de liacuteneas de torbellinos libres hacia popa Podemos hacer una representacioacuten esquemaacutetica como sigue
d
d d
--shy ~~ado el
J shy~a I gar aL
dI
que
T Libres giran en sentidos contrarios a cada lado del ala
Son torbellinos elementales
La vorticidad de los torbell inos libres dI tiene que salir de alguacuten lado ( recordemos que la cantidad total de vorticidad en un dominio ha de permanecer constante) Sale obviamente del torbellino ligado que va perdiendo vorticidad desde el centro del ala hacia ambos bordes laterales
-fshy
29
linea Semi-infinita Si la liacutenea de torbellinos es de
longitud semi-infinita es decir con principio pero sin final y el punto P estaacute en el plano en el que comienza la liacutenea tendremos al integrar
-+00 r
u~--41t y
Es de=ir que una liacutenea de torbellinos semi-infin ita crea una velocidad inducida que es la mitad de la que crea una liacutenea de longitud infinita
En el borde de salida del ala cada torbellino libre puede considerarse como una liacutenea semi-infinita que empieza en dicho borde En el infinito aguas abajo esta liacutenea puede considerarse liacutenea infinita La velocidad inducida por el torbellino libre en el infinito es el doble de la inducida en el borde de salida Lo mismo le ocurre a la velocidad inducida por toda la hoja de torbellinos libres ya que es la suma de las generadas por cada torbellino individual en el infinito la velocidad inducida es el doble que en eacutel b9rde de salida del perfil
U en el infinito ) ~ en el perfil
Hemos hablado de los moacutedulos de la velocidad pero iquestqueacute pasa con las direcciones
uuml
La velocidad inducida por un torbellino es siempre perpendicular a la direccioacuten del mismo En el caso de los torbellinos libres que se desprenden de un ala eacutestos se ven arrastrados por el flujo incidente y por tanto su direccioacuten es la misma de dicho flujo es decir que uuml es perpendicular a la velocidad incidente y estaacute dirigida hacia la cara de presioacuten del perfil No tiene componente transversal ya que dichas componentes se anulan por simetriacutea las de los torbellinos de la mitad izquierda del ala con las de la mitad derecha debe recordarse que giran en sentidos contrarios
Los torbellinos libres generan un campo de velocidades en el espacio que se suma vectorialmente a la velocidad incidente VT Como hemos dicho la velocidad inducida por los torbellinos libres es siempre
31
32 APLICACIOacuteN EN HEacuteLICES
) - Torbellinos ligados torbellinos libres y velocidades inducidas
l )
)
Consideraremos que cada pala es un ala de envergadura finita de las que hemos estudiado en los puntos anteriores y como tal se sustituye por una liacutenea de torbellinos ligados Lo uacutenico diferente es la geometriacutea que ahora es mucho maacutes complicada que la del ala de un avioacuten
En efecto ahora la hoja de torbellinos libres desprendidos es una superficie helicoidal en vez de plana La velocidad inducida [j es perpendicular a dicha superficie y a su vez se puede descomponer en una componente longitudinal
[j (paralela al eje de la heacutelice) a ua y otra tangente a la
superficie del cilindro circunscrito u
Por cada pala se genera una hoja de torbellinos libres desfasados entre siacute por 360oZ (Z = nO de palas) que se van enroscando unas con otras originando un tirabuzoacuten de hojas de torbellinos Cada hoja induce en todos los puntos del espacio una velocidad lo que complica el caacutelculo de las velocidades inducidas ayudado por lo complejo de la geometriacutea de las hojas La velocidad inducida total resultante en un determinado punto seraacute la suma vectorial de todas las velocidades inducidas por cada una de las hojas de torbellinos Puede demostrarse ( no lo haremos en estos Apuntes) que los valores de dichas velocidades inducidas totales variacutean desde el infinito aguas arriba hasta el disco de la heacutelice y desde eacuteste al infinito aguas debajo de la manera recogida en el cuadro siguiente
Axial Tanqencial
OAguas arriba
O u -+shy2
Disco u 2
~ 2
Aguas abajo
u -~~U 2
u ----1-igtU 2
33
En la punta ambas fuerzas son cero ya que la circulacioacuten es nula al igualarse las presiones por pasar el flujo de la cara
07-08 R de presioacuten a la de succioacuten en la zona de la punta (figura de la derecha)
En la raiacutez de las palas la circulacioacuten no es nula pero es pequentildea El motivo es que aparece un fenoacutemeno de interferencia entre palas adyacentes por la proximidad de las mismas en esta zona
Aparecen zonas de alta y baja presioacuten de palas adyacentes que estaacuten bastante proacuteximas por lo que hay una cierta comunicacioacuten de fluido dejando de ser tan extremas las presiones reducieacutendose por tanto lltI sustentacioacuten que aparece y con ello la circulacioacuten
En las palasmiddot de una heacutelice ocurre lo mismo que vimos en las alas al tratarse de perfiles de envergadura finita la circulacioacuten variacutea con el radio r = r(r) y loacutegicamente tambieacuten lo hace la velocidad incidente total
vR = V R (r) que depende de v (conocida) y de la velocidad inducida uuml ( ver
triaacutengulo de velocidades) Es evidente tambieacuten que f3 =f(uuml)
Entonces recordando las expresiones que nos daban el empuje y la fuerza del par
Examinemos estas expresiones De todo lo que hemos expresado arriba se deduce que VR Y 13 dependen de las velocidades inducidas (uuml) pero eacutestas estaacuten generadas por las hojas helicoidales de torbellinos libres y por ello dependen de la vorticidad de los mismos (r) Eacutesta sabemos que vale
r = _ ar dr Br
Y en consecuencia depende de r(r) es decir de la distribucioacuten radial de circulacioacuten del torbellino ligado sobre la pala
35
) rendimiento global final de la heacutelice seriacutea mejor que el de la heacutelice inicial
) Pero esto es incompatible con la hipoacutetesis de partida seguacuten la cual rapt ya ) nos daba el mayor rendimiento global de la heacutelice lo luego dicha hipoacutetesis
de partida es absurda Por el contrario cuando l01 no varia con el radio no hay opcioacuten a jugar con la circulacioacuten de las secciones puesto que todo lo que se toque empeoraraacute el lo global de la heacutelice
Obviamente al ser constante I10i a lo largo del radio seraacute tambieacuten
numeacutericamente igual al rendimiento global de la heacutelice 110 O sea
1101 = cte - f(r) = 110
La condicioacuten de Betz por tanto se escribe para heacutelices en flujo uniforme
1=tg l3 o tg (3
Si la heacutelice trabaja en una estela el estudio hay que realizarlo con el rendimiento cuasi-propulsivo de cada seccioacuten en vez de con el de propulsor aislado Al final puede demostrarse ( no lo haremos aquiacute) que se llega a
ID estela media circunferencial
ro estela efectiva
~ Relacioacuten emplrica entre y = la estela y el coeficiente de succioacuten
Es decir una expresioacuten similar a la de flujo uniforme pero con un factor antildeadido que depende de la estela
- Relacioacuten entre circulacioacuten y velocidades inducidas
Es muy importante encontrar una relacioacuten entre la circulacioacuten del torbellino ligado y las velocidades inducidas por los libres es decir la funcioacuten r = f (u) Para ello suponemos la heacutelice funcionando con las hojas de torbellinos desprendidas seguacuten la figura siguiente en la que se han representado las palas sustituidas por sus liacuteneas de sustentacioacuten( torbellino ligado) las hojas de torbellinos helicoidales libres y la velocidad inducida aguas abajo que es perpendicular a la hoja de torbellinos
Ut ----[gt
Ua
37
- - -
1
1 B A Hay infinitas liacuteneas de sustentacioacuten que atraviesan la superficie del cilindroO r Aplicando Stokes O r
El flujo del rotacional = circulacioacuten alrededor del contorno El flujo del rotacional es la suma de las
I I circulaciones de los torbellinos ligadosI I que ha cortado el cilindro es decir r oo
y por tantoI O r I
iquestr=roo =~uumlxdl dondeBI lA u=u +ua t
Calculemos la integral curviliacutenea anterior
~uuml x di = r (ua +utl dl + r(ua +ut )-dl + J(ua +ut)-dl+ r (Ua +~)di (1) (2) (3) (4)
(2) - - (4) Se anulan entre sr por recorrerse el m ismo camino en sentidos inversos shy
ut = O (por estar aguas arriba del propulsor) (3)=gt_ _ (3)=0
uaL di
Luego solo queda la integral (1)
iquestr=r~dl+Juadl =gt rr=r =rutdi
ya que UaL di
Por otra parte Ut es paralelo a di entre A y A luego
Hemos visto que para Z=oo Ut es constante a lo largo de la
circunferencia y puede salir de la integral Por tanto queda
Veamos ahora el caso de nO finito de palas Z En este caso la circulacioacuten total seraacute zr y por tanto
39
Para otras aplicaciones tomaremos A =x t9 13
- Distribucioacuten radial de empujes y pares
Primero hallaremos la relacioacuten entre las velocidades inducidas uYz y
uiexcl y el aacutengulo de paso hidrodinaacutemico 13
dL dT
u sin 13 sin(I3 - ~ ) = V R - --------c---7-shy2 cos(I3 -13 )
y ademaacutes
v _ VR VA
T - cos(f3 -13) sinl3
Entonces
v = V cos(13-(3) bull sin13
y por tanto sustituyendo
~=v cos(13 -13) sin 13 sln(13- 13) 2 sinf3 cos(f3- 3)
~=v sin 13 sin(I3 -3) 2 A sin 13
y del mismo modo
u = v cos 13 sin(3 - (3) 2 A sin 13
y por tanto sustituyendo en
z r = 211 r a3 u
41
El empuje de cada pa la vale
T = J~ dT = J~ dLcos 13 =1r p r vcos 13 dr H
Introducimos el concepto de circulacioacuten adimenslonal
[G=-shy
nD VA
Y sustituyendo podemos reescribir la expresioacuten del coeficiente de empuje
8Z
n
Volviendo al triaacutengulo de velocidades
u2
u2 2nrn - shycos 13 = __---2=_
vR
2=
Sustituyendo arriba y reordenando
Usando los radios adimensionalizados
r dr O x = - dx = - =gt dr = - dx
R R 2
La expresioacuten anterior queda ahora con estos radios adimensionalizados
43
Sacando factor comuacuten resulta
Relacioacuten entre velocidades inducidas y u = Aiexcl X ( _1_-1 J rendimiento
2 v A X 2 + A~ 110
Esta uacuteltima expreslon soacutelo sirve para heacutelices oacuteptimas puesto que hemos hecho uso de la condicioacuten de Betz
Sustituyendo esta expresioacuten en el valor del coeficiente de empuje y realizando las integrales queda la expresioacuten
doacutende tras varios pasos intermedios 1 11 2x I - r o dx
1 - JrH x 2 1) ~ + A 2
1 =(1-110 x 3
d 2 1 2 2 X
~ 110 (x2 +AF)
Para resolver estas integrales hay que recu rri r a hipoacutetesis simplificativas como Xh=O o Z=oo No entraremos aquiacute en el desarrollo completo pero con esto y otras ayudas se llega a
(2)
En esta expresioacuten soacutelo interviene tres paraacutemetros CT to Y A
El paraacutemetro A estaacute muy relacionado con el grado de avance J En efecto
VA JA = x tg 13 = ~ VA = VA = shyR 2n r n 2n R n nOn n
CT puede ser calculado a partir del empuje y del diaacutemetro de la heacutelice Entonces la expresioacuten (2) nos permite conociendo el punto de
funcionamiento de la heacutelice (J) y el empuje ( que puede obtenerse de (~) 1-1
donde R es la res istencia al avance y 1 el coeficiente de succioacuten) estimar el valor to que era el eslaboacuten que faltaba para aplicar la condicioacuten de Betz y poder terminar el caacutelculo f-shy
45
T 2 Con CT = 1---- estimamos el valor de CT ideal a partir de ciertas
2 p v Ao
expresiones empiacutericas
3 Con Cn y A entramos en el Diagrama de Kramer y obtenemos l01
4 Con middottg 13 x y lo aplicando el Teorema de Betz tenemos j3lx para cada seccioacuten
5 lt1gt = 1gt + a~ ~ Sacamos la ley de pasos buscando el aacutengulo de ataque
ideal a I (shock free entry)
6 Lo demaacutes (cuerdas curvaturas espesores ) se obtiene de caacutelculos de resistencia mecaacutenica y de cavitacioacuten
-t
47
12 Teoriacutea del Impulso Angular
- Hipoacutetesis de partida
1) Fluido incompresible no viscoso (fluido ideal)
2) Flujo uniforme y paralelo (heacutelice se dispone en aguas libres sin la perturbacioacuten de la carena)
3) Se asemeja la heacutelice a un disco actuador sin palas y sin perfiles
4) La presioacuten del fluido suficientemente aguas arriba yaguas abajo del propulsor es la misma siendo su valor Po
5) Estaacuten diferenciados el fluido que atraviesa el disco de la heacutelice y el fluido que pasa por fuera del mismo Se considera que se forma un ntubo de corriente
6) El disco de la heacutelice gira con una velocidad angular CiJ que imprime al fluido una cierta velocidad de rotacioacuten ademaacutes de la componente axial
Dominio fluido
Para el caacutelculo se recurre de nuevo al dominio AABB y al empleo de la notacioacuten adimensionalizada de las velocidades inducidas
La velocidad de rotacioacuten de la heacutelice es w
A B
A
As
A B
wmiddota = Rotacioacuten del fluido en el disco de la heacutelice CJ) middotb = Rotacioacuten del fluido en la salida del tubo de presioacuten
10
-
~
A v v( l +a) v(l+b) uacutelo=O uacute)a (iexcl) b=Wl
1--
Ap
De nuevo operaremos por unidad de tiempo Para el estudio consideramos una corona circular en el disco de la heacutelice cuya aacuterea seraacute I dAp Y que proporcionaraacute un empuje dT y absorberaacute un par dQ
dT
dm= pdApVe (1+ a)dQ
dI = pdApve (l+a)r2
o dm Elemento diferencial de masa que atraviesa la corona por unidad
de tiempo
dI Momento de inercia diferencial de la masa que atraviesa la corona por unidad de tiempo
- Proceso de caacutelculo
Aplicamos al flujo que atraviesa la corona el teorema del impulso angular que dice que la variacioacuten del impulso angular es Igual a la suma de los momentos exteriores
~Impulso Angular = Imiddot~w = iquestMomentos Exteriores
El uacutenico momento exterior aplicado al fluido que atraviesa la corona es el diferencial de par hidrodinaacutemico que absorbe
iquestMomentos Exteriores = dQ
La variacioacuten del impulso angular del flujo que atraviesa la corona seraacute como w1 = wmiddotb Y W = O o
6 Impulso angular=[w1 -Wo ] dI=[W b-O]dI
y por tanto aplicando el mencionado teorema y sustituyendo el valor de dI
(6)
11
Ahora aplicaremos el teorema de la variacioacuten de la energiacutea cineacutetica que nos dice
Trabajo angular de los pares exteriores=IE cineacutetica de rotacioacuten
dQmiddotd0=lEc
Donde d0 es el aacutengulo girado por unidad de tiempo
d0=wpqt [dt=l] =gt d0=Wp
y la variaclonde la energiacutea cineacutetica de rotacioacuten vale
1 2 1 2 [ ]lEc =2dIW1 - 2 dIWO = OWo
luego podemos escribir
bull 1 2
dQwa =-dI(wb)2
Donde wp = wa es la velocidad de rotacioacuten del fluido que atraviesa la
heacutelice
Introduciendo ahora el valor de dI antes obtenido
122dQwa=zPdApVe(l+a)r (wb) =gt
1 b2 =gt dQ =-zPdAp~w7ve (1+ a) (7)
j
I E igualanqo (6) y (7) I
21 2 1 2 b W9PdApve (l+a)r = 2PdApr iacutell7 ve (1la)
~ =gt~
Esta expresioacuten indica que la velocidad inducida de rotacioacuten en el disco es la mitad de la velocidad inducida de rotacioacuten en la salida del tubo de corriente O sea que con las velocidades inducidas de rotacioacuten se cumple lo mismo que con las velocidades inducidas axiales
12
Definiremos velocidad tangencial inducida Ut como
Donde W = 2nn es la velocidad de rotacioacuten de la heacutelice
Entonces es obvio que u ub= __t_ a= __t_
2nnr 4nnr
o sea que la velocidad inducida tangencial en el disco es la mitad que aguas abajo
- Rendimiento de la heacutelice en aguas libres (llo)
Potencia Uacutetil (
dQw = TrabajoUacutetiacutel + Peacuterdidas por Ecineacutetica de traslacioacuten +
Peacuterdidas por Ecineacutetica de rotacioacuten
- 1 2 1 2 dQmiddotw=dTve+-dm(veb) +-dI(wb) (8)
2 2
Apoyaacutendonos en la teoriacutea de la cantidad de movimiento axial
ClT = pAacutepvp (vs -ve) ~ pAacutepve (1 +a)(veb)= pAacutepv~ (1+a)b ( v =ve(1+b) _ -~ s
vp=ve(1+a)
Comparando con la expresioacuten obtenida antes para la corona circular iexclshy
dm = pdApve (l+a)
Obtenemos
Como se ve el empuje estaacute muy relacionado con la cantidad de masa que atraviesa la heacutelice
Mediante el teorema del impulso angular (6) buscamos una expresioacuten similar para el momento de inercia para dejar todo en funcioacuten de dT y dQ
13
dI= dQdQ = dIoob = j oob
Sustituyendo en la expresioacuten de la potencia entregada (8)
dQw = dTv +~ dT b2v2 +~ dQ oo2b2 e 2 v be middot 2oobe
1 1dQoo = dTve +-dTbv +-dQoob
2 e 2
dQ[ 00- ~ oob]=dT[ve + ~Veb]
= dQoo[l- ~J=dTVe[1+J
y por tanto al ser b2 = a y b2 = a
= IdQoo(l-a)=dTve (1+a)1
Con esta uacuteltima expresioacuten calculamos el rendimiento
-adTve 1-a fl -shy=flo = dQoo = l+a O l+a ~
- Anaacutelisis de resultados
Comparando las dos expresiones obtenidas para el rendimiento con la Teoacuteriacutea de la Cantidad de Movimiento Axial y con la Teoriacutea del Impulso Angular tenemos
1- a1 riexcl = fl01 = l+a 02 l+a
T C Mov Axial T Impulso Angular
Dado que a es positivo l-a lt 1 Y por tanto
IflOAngUlar lt flOAxial1
Hay una diferencia introducida al considerar la velocidad angular del fluido y resulta un rendimiento maacutes bajo La teoriacutea del impulso angular es maacutes completa que la axial ya que tiene en cuenta maacutes fenoacutemenos ntildesicos y
14
---
se asemeja maacutes a la realidad El rendimiento es maacutes bajo que con la teoriacutea de la Cantidad de Movimiento axial y maacutes cercano a la realidad pero auacuten asiacute estaacute alej ado del rendimiento real por no considerarse otros fenoacutemenos que aparecen como la friccioacuten
En la figura siguiente se representa el aspecto de la variacioacuten de il y a as iacute como del rendimiento en funcioacuten del coefieciente de carga CT
12-- - ------shy a
- - a
-----C---- ----rend Sldal
~~ -rend angular
08 t-- --------- - --- - - ----- - shy
06 ~s -=~----~__2 04 t---------c~~~~~----0 2 t---------=---~=------ -shy -shy -shy
deg O~~_--~----~--_----__----__--~
2 3 4 5 6 7
1shy
15
Integrando estas curvas se obtiene T y Q de cada pala y si se multiplica por el nuacutemero de palas Z se obtienen T y Q totales de la heacutelice
fdT Q=Z fdQ drT=Z _-dr dr dr
rH = Radio del nuacutecleo R = Radio de la heacutelice
Para conocer estas distribuciones la teoriacutea del elemento de pala estudia queacute pasa en cada rebanada de la pala Para esto se recurre a la teoriacutea de perfiles de la que haremos un breve repaso
- Teoriacutea de PentildeiJes
En la siguiente figura se tiene un perfil inmerso en un flujo de velocidad V r y con un cierto aacutengulo de ataque respecto del mismo
dD
Paso dL = Sustentacioacutenzero geomeacutetrico - dD= Resistencia viscosa
aAacutengulo de ara e
v
En un fiuido viscoso aparece una capa liacutemite que distorsiona el campo de presiones y da lugar a la resistencia de presioacuten de origen viscoso pero la componente predominante en la resistencia del perfil es la debida a la friccioacuten
La sustentacioacuten aparece en el perfil por la diferencia de velocidades del fluido a cada cara del perfil que origina una diferencia de presiones entre las caras que da lugar a la sustentacioacuten
En la figura puede verse
Liacutenea de pasos liacutenea que une el borde de entrada y salida
Aacutengulo de ataque aacutengulo entre el flujo incidente y la liacutenea de pasos
Cuando el aacutengulo de ataque es cero nos encontramos en la condicioacuten de shock free entry Sin embargo la sustentacioacuten no es nula sino algo mayor debido a la asimetriacutea del perfil que viene medida por su curvatura
F
17
El valor de Uo (aacutengulo de sustentacioacuten nula) depende fundamentalmente de la curvatura del perfil ( en ingleacutes camber)
Cto F(curvatura (camber)) t curvatura =gt t eto
Estudiemos el triaacutengulo de velocidades y fuerzas sobre el elemento de pala
VR = Velocidad total Incidente sobre el perfil ltlgt = Aacutengulo de paso geomeacutetrico 13 = Aacutengulo de avance 13 Aacutengulo de paso hidrodinaacutemico u = Aacutengulo de ataque = ltlgt - 13
F dL
1gt
un
- Planteamiento
dOtany=shy
dF =dL sin~+dOcosf3iexcl
dT= dL cos ~ -dO sin ~ =dL ( cos ~- ~~ sin~) dL
Q
dT =dL(COs 13-- siny sin 13-)= ~ (cos 13cosy-siny sin 13)1 cosy 1 COsy 1
dT = ~ [cos(r + 13)]cosy 1
Haciendo lo mismo para dFQ resulta
sln(Y+I3-)dF = dL 1
Q COsy
Pondremos ahora la sustentacioacuten en funcioacuten de eL
19
Hemos llegado a unas expresiones que nos dan el reparto radial de empujes y pares totales de la heacutelice asiacute como del rendimiento Ahora hay que ver si se pueden aplicar
- Anaacutelisis criacutetico
p Z VA = Conocido
c = Conocido al conocer la geometriacutea
a = No conocemos su valor particular para cada seccioacuten podemos tantear el valor total para toda la heacutelice seguacuten las teoriacuteas de la cantidad de movimiento
CL = fA) 2 C1+C1o) no conocemos ni et ni eto para cada seccioacuten
Ademaacutes tendriacuteamos que pensar el A de una rebanada no tiene sentido por tener un espesor diferencial Podemos estimar un valor promedio
R-eacuteA= H rH = radio del nuacutecleo
cmedia
13 = depende del valor de la velocidad inducida de cada seccioacuten que depende del valor_de a de la seccioacuten que no se conoce es por lo tanto una incoacutegnita
y = a su vez depende de A cuyo valor es incierto
Podemos concluir por tanto que aunque se ha llegado con relativa sencillez a las expresiones anteriores estas no son realmente utilizables Se pueden usar valores medios para hacer una estimacioacuten pero no sirven para realizar caacutelculos fiables hasta aquiacute llega esta teoriacutea
Por lo tanto para intentar obtener resultados maacutes coherentes es preciso avanzar algo maacutes y emplear la Teoriacutea de la Circulacioacuten que es bastante maacutes compleja y requiere otras herramientas
21
)
) p Esto equivale a poner en el centro del cilindro un torbellino de intensidad r Ambos campos de velocidad consideradosCel inicial paralelo y uniforme y el nuevo radial) se suman resultando un nuevo campo de velocidadesp
Las liacuteneas de corriente se modifican quedando como en la siguiente figura
L En la parte superior del cilindro los dos campos de velocidades se suman y por tanto la velocidad es mayor que en flujo inicial En la parte inferior del cilindro ocurre lo contrario Se desplazan los puntos de remanso
Se pueden calcular v y p analiacuteticamente y aparece una fuerza la sustentacioacuten Clift)
L = sustentacioacuten Dirigida perpendicularmente al flujo uniforme y paralelo inicial
Calculemos la siguiente integral curviliacutenea que nos daraacute la circulacioacuten del vector velocidad sobre el cilindro
Donde
pVx ~dS=O campo simeacutetrico
-- rPero pvrdS = P2nr dS ya que Vr y dS son paralelos en la
superficie del cilindro Luego
r r rI=p- dS= - pdS=-2nr=r2n r 2n r 2n r
23
~===~====~ ~~-------------- Starting Vortex
El torbellino de intensidad r es desplazado aguas abajo hacia el borde de salida por el resto de liacuteneas de corriente
Recordemos un teorema baacutesico de la Teoriacutea Vorticial que dice que en un dominio fluido la vorticidad total permanece constante
-r 0gt r
= ==0==y~0 ~000
Inicialmente en el dominio fluido antes de introducir el perfil la vorticidad total era nula por lo que ha de aparecer otra circulacioacuten (-1) que compense a la del Starting Vortex Esta aparece en torno al perfil Aparece un nuevo campo de velocidades a causa de esta circulacioacuten en torno al perfil
El punto de remanso B se desplaza ahora al punto anguloso de salida lo que implica que los flujos queL van por arriba y por abajo no se mezclan B se desplaza a base de desprender torbellinos hasta llegar al borde de salida Esta es la Condicioacuten de Kutta
Ademaacutes como en el caso del cilindro si calculamos ahora v y p se obtiene que aparece una fuerza sobre el perfil la sustentacioacuten (l) que es perpendicular al flujo v
25
Esto permite a la hora de estudiar los perfiles y las fuerzas hacer una abstraccioacuten y llegar a sustituir el perfil por un flujo uniforme una liacutenea de torbellinos de verticidad r y una fuerza (l) [Suponiendo un perfil de ancho infinito]
VR - - ---ICgt
r
A la liacutenea de torbellinos se le llama liacutenea de sustentacioacuten ya que los torbellinos secteneran sustentacioacuten La parte de la Teoriacutea de Circulacioacuten que estudia los perfiles sustituyeacutendolos por liacuteneas de sustentacioacuten se llama Teoriacutea de la Liacutenea de Sustentacioacuten ( Ufting-line Theory)
d Perfiles de envergadura finita
Todo lo anterior ocurre en perfiles de envergadura ( ancho perpendicular al papel) infinita que loacutegicamente no existen en la realidad los perfiles que nos encontraremos (alas de avioacuten timones palas de heacutelices etc) son perfiles de envergadura finita es decir t ienen un ancho (alto) determinado Entonces aparece un nuevo fenoacutemeno tridimensiol)ltlJ no como hasta ahora que era siempre un flujo 2D
Efectos 3D
Torbellinos de ~ extremo de ala
S ~~-------------p_p-+--------iquest~
En los bordes del perfil el flujo se escapa de las zonas de preslon maacutes alta ( cara inferior del perfil) hacia las de presioacuten maacutes baj a ( cara superior
27
Como consecuencia de lo anterior en el borde de salida del ala se ) encuentran dos flujos cruzados el superior con una componente hacia el ) centro y el inferior con una componente hacia los extremos que dan lugar
a torbellinos desprendidos a lo largo de todo el borde de sal ida Eacutestos forman una hoja de torbellinos donde los de mayor intensidad aparecen en los bordes laterales del perfil Estos torbellinos se conocen con el nombre de torbellinos libres y son arrastralos aguas abajo por el flujo principal hasta el infinito
IG G G
En consecuencia podemos concluir que en los perfiles de env ergadura finita es decir los perfi les de la vida real se escapan de los mismos una serie de liacuteneas de torbellinos libres hacia popa Podemos hacer una representacioacuten esquemaacutetica como sigue
d
d d
--shy ~~ado el
J shy~a I gar aL
dI
que
T Libres giran en sentidos contrarios a cada lado del ala
Son torbellinos elementales
La vorticidad de los torbell inos libres dI tiene que salir de alguacuten lado ( recordemos que la cantidad total de vorticidad en un dominio ha de permanecer constante) Sale obviamente del torbellino ligado que va perdiendo vorticidad desde el centro del ala hacia ambos bordes laterales
-fshy
29
linea Semi-infinita Si la liacutenea de torbellinos es de
longitud semi-infinita es decir con principio pero sin final y el punto P estaacute en el plano en el que comienza la liacutenea tendremos al integrar
-+00 r
u~--41t y
Es de=ir que una liacutenea de torbellinos semi-infin ita crea una velocidad inducida que es la mitad de la que crea una liacutenea de longitud infinita
En el borde de salida del ala cada torbellino libre puede considerarse como una liacutenea semi-infinita que empieza en dicho borde En el infinito aguas abajo esta liacutenea puede considerarse liacutenea infinita La velocidad inducida por el torbellino libre en el infinito es el doble de la inducida en el borde de salida Lo mismo le ocurre a la velocidad inducida por toda la hoja de torbellinos libres ya que es la suma de las generadas por cada torbellino individual en el infinito la velocidad inducida es el doble que en eacutel b9rde de salida del perfil
U en el infinito ) ~ en el perfil
Hemos hablado de los moacutedulos de la velocidad pero iquestqueacute pasa con las direcciones
uuml
La velocidad inducida por un torbellino es siempre perpendicular a la direccioacuten del mismo En el caso de los torbellinos libres que se desprenden de un ala eacutestos se ven arrastrados por el flujo incidente y por tanto su direccioacuten es la misma de dicho flujo es decir que uuml es perpendicular a la velocidad incidente y estaacute dirigida hacia la cara de presioacuten del perfil No tiene componente transversal ya que dichas componentes se anulan por simetriacutea las de los torbellinos de la mitad izquierda del ala con las de la mitad derecha debe recordarse que giran en sentidos contrarios
Los torbellinos libres generan un campo de velocidades en el espacio que se suma vectorialmente a la velocidad incidente VT Como hemos dicho la velocidad inducida por los torbellinos libres es siempre
31
32 APLICACIOacuteN EN HEacuteLICES
) - Torbellinos ligados torbellinos libres y velocidades inducidas
l )
)
Consideraremos que cada pala es un ala de envergadura finita de las que hemos estudiado en los puntos anteriores y como tal se sustituye por una liacutenea de torbellinos ligados Lo uacutenico diferente es la geometriacutea que ahora es mucho maacutes complicada que la del ala de un avioacuten
En efecto ahora la hoja de torbellinos libres desprendidos es una superficie helicoidal en vez de plana La velocidad inducida [j es perpendicular a dicha superficie y a su vez se puede descomponer en una componente longitudinal
[j (paralela al eje de la heacutelice) a ua y otra tangente a la
superficie del cilindro circunscrito u
Por cada pala se genera una hoja de torbellinos libres desfasados entre siacute por 360oZ (Z = nO de palas) que se van enroscando unas con otras originando un tirabuzoacuten de hojas de torbellinos Cada hoja induce en todos los puntos del espacio una velocidad lo que complica el caacutelculo de las velocidades inducidas ayudado por lo complejo de la geometriacutea de las hojas La velocidad inducida total resultante en un determinado punto seraacute la suma vectorial de todas las velocidades inducidas por cada una de las hojas de torbellinos Puede demostrarse ( no lo haremos en estos Apuntes) que los valores de dichas velocidades inducidas totales variacutean desde el infinito aguas arriba hasta el disco de la heacutelice y desde eacuteste al infinito aguas debajo de la manera recogida en el cuadro siguiente
Axial Tanqencial
OAguas arriba
O u -+shy2
Disco u 2
~ 2
Aguas abajo
u -~~U 2
u ----1-igtU 2
33
En la punta ambas fuerzas son cero ya que la circulacioacuten es nula al igualarse las presiones por pasar el flujo de la cara
07-08 R de presioacuten a la de succioacuten en la zona de la punta (figura de la derecha)
En la raiacutez de las palas la circulacioacuten no es nula pero es pequentildea El motivo es que aparece un fenoacutemeno de interferencia entre palas adyacentes por la proximidad de las mismas en esta zona
Aparecen zonas de alta y baja presioacuten de palas adyacentes que estaacuten bastante proacuteximas por lo que hay una cierta comunicacioacuten de fluido dejando de ser tan extremas las presiones reducieacutendose por tanto lltI sustentacioacuten que aparece y con ello la circulacioacuten
En las palasmiddot de una heacutelice ocurre lo mismo que vimos en las alas al tratarse de perfiles de envergadura finita la circulacioacuten variacutea con el radio r = r(r) y loacutegicamente tambieacuten lo hace la velocidad incidente total
vR = V R (r) que depende de v (conocida) y de la velocidad inducida uuml ( ver
triaacutengulo de velocidades) Es evidente tambieacuten que f3 =f(uuml)
Entonces recordando las expresiones que nos daban el empuje y la fuerza del par
Examinemos estas expresiones De todo lo que hemos expresado arriba se deduce que VR Y 13 dependen de las velocidades inducidas (uuml) pero eacutestas estaacuten generadas por las hojas helicoidales de torbellinos libres y por ello dependen de la vorticidad de los mismos (r) Eacutesta sabemos que vale
r = _ ar dr Br
Y en consecuencia depende de r(r) es decir de la distribucioacuten radial de circulacioacuten del torbellino ligado sobre la pala
35
) rendimiento global final de la heacutelice seriacutea mejor que el de la heacutelice inicial
) Pero esto es incompatible con la hipoacutetesis de partida seguacuten la cual rapt ya ) nos daba el mayor rendimiento global de la heacutelice lo luego dicha hipoacutetesis
de partida es absurda Por el contrario cuando l01 no varia con el radio no hay opcioacuten a jugar con la circulacioacuten de las secciones puesto que todo lo que se toque empeoraraacute el lo global de la heacutelice
Obviamente al ser constante I10i a lo largo del radio seraacute tambieacuten
numeacutericamente igual al rendimiento global de la heacutelice 110 O sea
1101 = cte - f(r) = 110
La condicioacuten de Betz por tanto se escribe para heacutelices en flujo uniforme
1=tg l3 o tg (3
Si la heacutelice trabaja en una estela el estudio hay que realizarlo con el rendimiento cuasi-propulsivo de cada seccioacuten en vez de con el de propulsor aislado Al final puede demostrarse ( no lo haremos aquiacute) que se llega a
ID estela media circunferencial
ro estela efectiva
~ Relacioacuten emplrica entre y = la estela y el coeficiente de succioacuten
Es decir una expresioacuten similar a la de flujo uniforme pero con un factor antildeadido que depende de la estela
- Relacioacuten entre circulacioacuten y velocidades inducidas
Es muy importante encontrar una relacioacuten entre la circulacioacuten del torbellino ligado y las velocidades inducidas por los libres es decir la funcioacuten r = f (u) Para ello suponemos la heacutelice funcionando con las hojas de torbellinos desprendidas seguacuten la figura siguiente en la que se han representado las palas sustituidas por sus liacuteneas de sustentacioacuten( torbellino ligado) las hojas de torbellinos helicoidales libres y la velocidad inducida aguas abajo que es perpendicular a la hoja de torbellinos
Ut ----[gt
Ua
37
- - -
1
1 B A Hay infinitas liacuteneas de sustentacioacuten que atraviesan la superficie del cilindroO r Aplicando Stokes O r
El flujo del rotacional = circulacioacuten alrededor del contorno El flujo del rotacional es la suma de las
I I circulaciones de los torbellinos ligadosI I que ha cortado el cilindro es decir r oo
y por tantoI O r I
iquestr=roo =~uumlxdl dondeBI lA u=u +ua t
Calculemos la integral curviliacutenea anterior
~uuml x di = r (ua +utl dl + r(ua +ut )-dl + J(ua +ut)-dl+ r (Ua +~)di (1) (2) (3) (4)
(2) - - (4) Se anulan entre sr por recorrerse el m ismo camino en sentidos inversos shy
ut = O (por estar aguas arriba del propulsor) (3)=gt_ _ (3)=0
uaL di
Luego solo queda la integral (1)
iquestr=r~dl+Juadl =gt rr=r =rutdi
ya que UaL di
Por otra parte Ut es paralelo a di entre A y A luego
Hemos visto que para Z=oo Ut es constante a lo largo de la
circunferencia y puede salir de la integral Por tanto queda
Veamos ahora el caso de nO finito de palas Z En este caso la circulacioacuten total seraacute zr y por tanto
39
Para otras aplicaciones tomaremos A =x t9 13
- Distribucioacuten radial de empujes y pares
Primero hallaremos la relacioacuten entre las velocidades inducidas uYz y
uiexcl y el aacutengulo de paso hidrodinaacutemico 13
dL dT
u sin 13 sin(I3 - ~ ) = V R - --------c---7-shy2 cos(I3 -13 )
y ademaacutes
v _ VR VA
T - cos(f3 -13) sinl3
Entonces
v = V cos(13-(3) bull sin13
y por tanto sustituyendo
~=v cos(13 -13) sin 13 sln(13- 13) 2 sinf3 cos(f3- 3)
~=v sin 13 sin(I3 -3) 2 A sin 13
y del mismo modo
u = v cos 13 sin(3 - (3) 2 A sin 13
y por tanto sustituyendo en
z r = 211 r a3 u
41
El empuje de cada pa la vale
T = J~ dT = J~ dLcos 13 =1r p r vcos 13 dr H
Introducimos el concepto de circulacioacuten adimenslonal
[G=-shy
nD VA
Y sustituyendo podemos reescribir la expresioacuten del coeficiente de empuje
8Z
n
Volviendo al triaacutengulo de velocidades
u2
u2 2nrn - shycos 13 = __---2=_
vR
2=
Sustituyendo arriba y reordenando
Usando los radios adimensionalizados
r dr O x = - dx = - =gt dr = - dx
R R 2
La expresioacuten anterior queda ahora con estos radios adimensionalizados
43
Sacando factor comuacuten resulta
Relacioacuten entre velocidades inducidas y u = Aiexcl X ( _1_-1 J rendimiento
2 v A X 2 + A~ 110
Esta uacuteltima expreslon soacutelo sirve para heacutelices oacuteptimas puesto que hemos hecho uso de la condicioacuten de Betz
Sustituyendo esta expresioacuten en el valor del coeficiente de empuje y realizando las integrales queda la expresioacuten
doacutende tras varios pasos intermedios 1 11 2x I - r o dx
1 - JrH x 2 1) ~ + A 2
1 =(1-110 x 3
d 2 1 2 2 X
~ 110 (x2 +AF)
Para resolver estas integrales hay que recu rri r a hipoacutetesis simplificativas como Xh=O o Z=oo No entraremos aquiacute en el desarrollo completo pero con esto y otras ayudas se llega a
(2)
En esta expresioacuten soacutelo interviene tres paraacutemetros CT to Y A
El paraacutemetro A estaacute muy relacionado con el grado de avance J En efecto
VA JA = x tg 13 = ~ VA = VA = shyR 2n r n 2n R n nOn n
CT puede ser calculado a partir del empuje y del diaacutemetro de la heacutelice Entonces la expresioacuten (2) nos permite conociendo el punto de
funcionamiento de la heacutelice (J) y el empuje ( que puede obtenerse de (~) 1-1
donde R es la res istencia al avance y 1 el coeficiente de succioacuten) estimar el valor to que era el eslaboacuten que faltaba para aplicar la condicioacuten de Betz y poder terminar el caacutelculo f-shy
45
T 2 Con CT = 1---- estimamos el valor de CT ideal a partir de ciertas
2 p v Ao
expresiones empiacutericas
3 Con Cn y A entramos en el Diagrama de Kramer y obtenemos l01
4 Con middottg 13 x y lo aplicando el Teorema de Betz tenemos j3lx para cada seccioacuten
5 lt1gt = 1gt + a~ ~ Sacamos la ley de pasos buscando el aacutengulo de ataque
ideal a I (shock free entry)
6 Lo demaacutes (cuerdas curvaturas espesores ) se obtiene de caacutelculos de resistencia mecaacutenica y de cavitacioacuten
-t
47
De nuevo operaremos por unidad de tiempo Para el estudio consideramos una corona circular en el disco de la heacutelice cuya aacuterea seraacute I dAp Y que proporcionaraacute un empuje dT y absorberaacute un par dQ
dT
dm= pdApVe (1+ a)dQ
dI = pdApve (l+a)r2
o dm Elemento diferencial de masa que atraviesa la corona por unidad
de tiempo
dI Momento de inercia diferencial de la masa que atraviesa la corona por unidad de tiempo
- Proceso de caacutelculo
Aplicamos al flujo que atraviesa la corona el teorema del impulso angular que dice que la variacioacuten del impulso angular es Igual a la suma de los momentos exteriores
~Impulso Angular = Imiddot~w = iquestMomentos Exteriores
El uacutenico momento exterior aplicado al fluido que atraviesa la corona es el diferencial de par hidrodinaacutemico que absorbe
iquestMomentos Exteriores = dQ
La variacioacuten del impulso angular del flujo que atraviesa la corona seraacute como w1 = wmiddotb Y W = O o
6 Impulso angular=[w1 -Wo ] dI=[W b-O]dI
y por tanto aplicando el mencionado teorema y sustituyendo el valor de dI
(6)
11
Ahora aplicaremos el teorema de la variacioacuten de la energiacutea cineacutetica que nos dice
Trabajo angular de los pares exteriores=IE cineacutetica de rotacioacuten
dQmiddotd0=lEc
Donde d0 es el aacutengulo girado por unidad de tiempo
d0=wpqt [dt=l] =gt d0=Wp
y la variaclonde la energiacutea cineacutetica de rotacioacuten vale
1 2 1 2 [ ]lEc =2dIW1 - 2 dIWO = OWo
luego podemos escribir
bull 1 2
dQwa =-dI(wb)2
Donde wp = wa es la velocidad de rotacioacuten del fluido que atraviesa la
heacutelice
Introduciendo ahora el valor de dI antes obtenido
122dQwa=zPdApVe(l+a)r (wb) =gt
1 b2 =gt dQ =-zPdAp~w7ve (1+ a) (7)
j
I E igualanqo (6) y (7) I
21 2 1 2 b W9PdApve (l+a)r = 2PdApr iacutell7 ve (1la)
~ =gt~
Esta expresioacuten indica que la velocidad inducida de rotacioacuten en el disco es la mitad de la velocidad inducida de rotacioacuten en la salida del tubo de corriente O sea que con las velocidades inducidas de rotacioacuten se cumple lo mismo que con las velocidades inducidas axiales
12
Definiremos velocidad tangencial inducida Ut como
Donde W = 2nn es la velocidad de rotacioacuten de la heacutelice
Entonces es obvio que u ub= __t_ a= __t_
2nnr 4nnr
o sea que la velocidad inducida tangencial en el disco es la mitad que aguas abajo
- Rendimiento de la heacutelice en aguas libres (llo)
Potencia Uacutetil (
dQw = TrabajoUacutetiacutel + Peacuterdidas por Ecineacutetica de traslacioacuten +
Peacuterdidas por Ecineacutetica de rotacioacuten
- 1 2 1 2 dQmiddotw=dTve+-dm(veb) +-dI(wb) (8)
2 2
Apoyaacutendonos en la teoriacutea de la cantidad de movimiento axial
ClT = pAacutepvp (vs -ve) ~ pAacutepve (1 +a)(veb)= pAacutepv~ (1+a)b ( v =ve(1+b) _ -~ s
vp=ve(1+a)
Comparando con la expresioacuten obtenida antes para la corona circular iexclshy
dm = pdApve (l+a)
Obtenemos
Como se ve el empuje estaacute muy relacionado con la cantidad de masa que atraviesa la heacutelice
Mediante el teorema del impulso angular (6) buscamos una expresioacuten similar para el momento de inercia para dejar todo en funcioacuten de dT y dQ
13
dI= dQdQ = dIoob = j oob
Sustituyendo en la expresioacuten de la potencia entregada (8)
dQw = dTv +~ dT b2v2 +~ dQ oo2b2 e 2 v be middot 2oobe
1 1dQoo = dTve +-dTbv +-dQoob
2 e 2
dQ[ 00- ~ oob]=dT[ve + ~Veb]
= dQoo[l- ~J=dTVe[1+J
y por tanto al ser b2 = a y b2 = a
= IdQoo(l-a)=dTve (1+a)1
Con esta uacuteltima expresioacuten calculamos el rendimiento
-adTve 1-a fl -shy=flo = dQoo = l+a O l+a ~
- Anaacutelisis de resultados
Comparando las dos expresiones obtenidas para el rendimiento con la Teoacuteriacutea de la Cantidad de Movimiento Axial y con la Teoriacutea del Impulso Angular tenemos
1- a1 riexcl = fl01 = l+a 02 l+a
T C Mov Axial T Impulso Angular
Dado que a es positivo l-a lt 1 Y por tanto
IflOAngUlar lt flOAxial1
Hay una diferencia introducida al considerar la velocidad angular del fluido y resulta un rendimiento maacutes bajo La teoriacutea del impulso angular es maacutes completa que la axial ya que tiene en cuenta maacutes fenoacutemenos ntildesicos y
14
---
se asemeja maacutes a la realidad El rendimiento es maacutes bajo que con la teoriacutea de la Cantidad de Movimiento axial y maacutes cercano a la realidad pero auacuten asiacute estaacute alej ado del rendimiento real por no considerarse otros fenoacutemenos que aparecen como la friccioacuten
En la figura siguiente se representa el aspecto de la variacioacuten de il y a as iacute como del rendimiento en funcioacuten del coefieciente de carga CT
12-- - ------shy a
- - a
-----C---- ----rend Sldal
~~ -rend angular
08 t-- --------- - --- - - ----- - shy
06 ~s -=~----~__2 04 t---------c~~~~~----0 2 t---------=---~=------ -shy -shy -shy
deg O~~_--~----~--_----__----__--~
2 3 4 5 6 7
1shy
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Integrando estas curvas se obtiene T y Q de cada pala y si se multiplica por el nuacutemero de palas Z se obtienen T y Q totales de la heacutelice
fdT Q=Z fdQ drT=Z _-dr dr dr
rH = Radio del nuacutecleo R = Radio de la heacutelice
Para conocer estas distribuciones la teoriacutea del elemento de pala estudia queacute pasa en cada rebanada de la pala Para esto se recurre a la teoriacutea de perfiles de la que haremos un breve repaso
- Teoriacutea de PentildeiJes
En la siguiente figura se tiene un perfil inmerso en un flujo de velocidad V r y con un cierto aacutengulo de ataque respecto del mismo
dD
Paso dL = Sustentacioacutenzero geomeacutetrico - dD= Resistencia viscosa
aAacutengulo de ara e
v
En un fiuido viscoso aparece una capa liacutemite que distorsiona el campo de presiones y da lugar a la resistencia de presioacuten de origen viscoso pero la componente predominante en la resistencia del perfil es la debida a la friccioacuten
La sustentacioacuten aparece en el perfil por la diferencia de velocidades del fluido a cada cara del perfil que origina una diferencia de presiones entre las caras que da lugar a la sustentacioacuten
En la figura puede verse
Liacutenea de pasos liacutenea que une el borde de entrada y salida
Aacutengulo de ataque aacutengulo entre el flujo incidente y la liacutenea de pasos
Cuando el aacutengulo de ataque es cero nos encontramos en la condicioacuten de shock free entry Sin embargo la sustentacioacuten no es nula sino algo mayor debido a la asimetriacutea del perfil que viene medida por su curvatura
F
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El valor de Uo (aacutengulo de sustentacioacuten nula) depende fundamentalmente de la curvatura del perfil ( en ingleacutes camber)
Cto F(curvatura (camber)) t curvatura =gt t eto
Estudiemos el triaacutengulo de velocidades y fuerzas sobre el elemento de pala
VR = Velocidad total Incidente sobre el perfil ltlgt = Aacutengulo de paso geomeacutetrico 13 = Aacutengulo de avance 13 Aacutengulo de paso hidrodinaacutemico u = Aacutengulo de ataque = ltlgt - 13
F dL
1gt
un
- Planteamiento
dOtany=shy
dF =dL sin~+dOcosf3iexcl
dT= dL cos ~ -dO sin ~ =dL ( cos ~- ~~ sin~) dL
Q
dT =dL(COs 13-- siny sin 13-)= ~ (cos 13cosy-siny sin 13)1 cosy 1 COsy 1
dT = ~ [cos(r + 13)]cosy 1
Haciendo lo mismo para dFQ resulta
sln(Y+I3-)dF = dL 1
Q COsy
Pondremos ahora la sustentacioacuten en funcioacuten de eL
19
Hemos llegado a unas expresiones que nos dan el reparto radial de empujes y pares totales de la heacutelice asiacute como del rendimiento Ahora hay que ver si se pueden aplicar
- Anaacutelisis criacutetico
p Z VA = Conocido
c = Conocido al conocer la geometriacutea
a = No conocemos su valor particular para cada seccioacuten podemos tantear el valor total para toda la heacutelice seguacuten las teoriacuteas de la cantidad de movimiento
CL = fA) 2 C1+C1o) no conocemos ni et ni eto para cada seccioacuten
Ademaacutes tendriacuteamos que pensar el A de una rebanada no tiene sentido por tener un espesor diferencial Podemos estimar un valor promedio
R-eacuteA= H rH = radio del nuacutecleo
cmedia
13 = depende del valor de la velocidad inducida de cada seccioacuten que depende del valor_de a de la seccioacuten que no se conoce es por lo tanto una incoacutegnita
y = a su vez depende de A cuyo valor es incierto
Podemos concluir por tanto que aunque se ha llegado con relativa sencillez a las expresiones anteriores estas no son realmente utilizables Se pueden usar valores medios para hacer una estimacioacuten pero no sirven para realizar caacutelculos fiables hasta aquiacute llega esta teoriacutea
Por lo tanto para intentar obtener resultados maacutes coherentes es preciso avanzar algo maacutes y emplear la Teoriacutea de la Circulacioacuten que es bastante maacutes compleja y requiere otras herramientas
21
)
) p Esto equivale a poner en el centro del cilindro un torbellino de intensidad r Ambos campos de velocidad consideradosCel inicial paralelo y uniforme y el nuevo radial) se suman resultando un nuevo campo de velocidadesp
Las liacuteneas de corriente se modifican quedando como en la siguiente figura
L En la parte superior del cilindro los dos campos de velocidades se suman y por tanto la velocidad es mayor que en flujo inicial En la parte inferior del cilindro ocurre lo contrario Se desplazan los puntos de remanso
Se pueden calcular v y p analiacuteticamente y aparece una fuerza la sustentacioacuten Clift)
L = sustentacioacuten Dirigida perpendicularmente al flujo uniforme y paralelo inicial
Calculemos la siguiente integral curviliacutenea que nos daraacute la circulacioacuten del vector velocidad sobre el cilindro
Donde
pVx ~dS=O campo simeacutetrico
-- rPero pvrdS = P2nr dS ya que Vr y dS son paralelos en la
superficie del cilindro Luego
r r rI=p- dS= - pdS=-2nr=r2n r 2n r 2n r
23
~===~====~ ~~-------------- Starting Vortex
El torbellino de intensidad r es desplazado aguas abajo hacia el borde de salida por el resto de liacuteneas de corriente
Recordemos un teorema baacutesico de la Teoriacutea Vorticial que dice que en un dominio fluido la vorticidad total permanece constante
-r 0gt r
= ==0==y~0 ~000
Inicialmente en el dominio fluido antes de introducir el perfil la vorticidad total era nula por lo que ha de aparecer otra circulacioacuten (-1) que compense a la del Starting Vortex Esta aparece en torno al perfil Aparece un nuevo campo de velocidades a causa de esta circulacioacuten en torno al perfil
El punto de remanso B se desplaza ahora al punto anguloso de salida lo que implica que los flujos queL van por arriba y por abajo no se mezclan B se desplaza a base de desprender torbellinos hasta llegar al borde de salida Esta es la Condicioacuten de Kutta
Ademaacutes como en el caso del cilindro si calculamos ahora v y p se obtiene que aparece una fuerza sobre el perfil la sustentacioacuten (l) que es perpendicular al flujo v
25
Esto permite a la hora de estudiar los perfiles y las fuerzas hacer una abstraccioacuten y llegar a sustituir el perfil por un flujo uniforme una liacutenea de torbellinos de verticidad r y una fuerza (l) [Suponiendo un perfil de ancho infinito]
VR - - ---ICgt
r
A la liacutenea de torbellinos se le llama liacutenea de sustentacioacuten ya que los torbellinos secteneran sustentacioacuten La parte de la Teoriacutea de Circulacioacuten que estudia los perfiles sustituyeacutendolos por liacuteneas de sustentacioacuten se llama Teoriacutea de la Liacutenea de Sustentacioacuten ( Ufting-line Theory)
d Perfiles de envergadura finita
Todo lo anterior ocurre en perfiles de envergadura ( ancho perpendicular al papel) infinita que loacutegicamente no existen en la realidad los perfiles que nos encontraremos (alas de avioacuten timones palas de heacutelices etc) son perfiles de envergadura finita es decir t ienen un ancho (alto) determinado Entonces aparece un nuevo fenoacutemeno tridimensiol)ltlJ no como hasta ahora que era siempre un flujo 2D
Efectos 3D
Torbellinos de ~ extremo de ala
S ~~-------------p_p-+--------iquest~
En los bordes del perfil el flujo se escapa de las zonas de preslon maacutes alta ( cara inferior del perfil) hacia las de presioacuten maacutes baj a ( cara superior
27
Como consecuencia de lo anterior en el borde de salida del ala se ) encuentran dos flujos cruzados el superior con una componente hacia el ) centro y el inferior con una componente hacia los extremos que dan lugar
a torbellinos desprendidos a lo largo de todo el borde de sal ida Eacutestos forman una hoja de torbellinos donde los de mayor intensidad aparecen en los bordes laterales del perfil Estos torbellinos se conocen con el nombre de torbellinos libres y son arrastralos aguas abajo por el flujo principal hasta el infinito
IG G G
En consecuencia podemos concluir que en los perfiles de env ergadura finita es decir los perfi les de la vida real se escapan de los mismos una serie de liacuteneas de torbellinos libres hacia popa Podemos hacer una representacioacuten esquemaacutetica como sigue
d
d d
--shy ~~ado el
J shy~a I gar aL
dI
que
T Libres giran en sentidos contrarios a cada lado del ala
Son torbellinos elementales
La vorticidad de los torbell inos libres dI tiene que salir de alguacuten lado ( recordemos que la cantidad total de vorticidad en un dominio ha de permanecer constante) Sale obviamente del torbellino ligado que va perdiendo vorticidad desde el centro del ala hacia ambos bordes laterales
-fshy
29
linea Semi-infinita Si la liacutenea de torbellinos es de
longitud semi-infinita es decir con principio pero sin final y el punto P estaacute en el plano en el que comienza la liacutenea tendremos al integrar
-+00 r
u~--41t y
Es de=ir que una liacutenea de torbellinos semi-infin ita crea una velocidad inducida que es la mitad de la que crea una liacutenea de longitud infinita
En el borde de salida del ala cada torbellino libre puede considerarse como una liacutenea semi-infinita que empieza en dicho borde En el infinito aguas abajo esta liacutenea puede considerarse liacutenea infinita La velocidad inducida por el torbellino libre en el infinito es el doble de la inducida en el borde de salida Lo mismo le ocurre a la velocidad inducida por toda la hoja de torbellinos libres ya que es la suma de las generadas por cada torbellino individual en el infinito la velocidad inducida es el doble que en eacutel b9rde de salida del perfil
U en el infinito ) ~ en el perfil
Hemos hablado de los moacutedulos de la velocidad pero iquestqueacute pasa con las direcciones
uuml
La velocidad inducida por un torbellino es siempre perpendicular a la direccioacuten del mismo En el caso de los torbellinos libres que se desprenden de un ala eacutestos se ven arrastrados por el flujo incidente y por tanto su direccioacuten es la misma de dicho flujo es decir que uuml es perpendicular a la velocidad incidente y estaacute dirigida hacia la cara de presioacuten del perfil No tiene componente transversal ya que dichas componentes se anulan por simetriacutea las de los torbellinos de la mitad izquierda del ala con las de la mitad derecha debe recordarse que giran en sentidos contrarios
Los torbellinos libres generan un campo de velocidades en el espacio que se suma vectorialmente a la velocidad incidente VT Como hemos dicho la velocidad inducida por los torbellinos libres es siempre
31
32 APLICACIOacuteN EN HEacuteLICES
) - Torbellinos ligados torbellinos libres y velocidades inducidas
l )
)
Consideraremos que cada pala es un ala de envergadura finita de las que hemos estudiado en los puntos anteriores y como tal se sustituye por una liacutenea de torbellinos ligados Lo uacutenico diferente es la geometriacutea que ahora es mucho maacutes complicada que la del ala de un avioacuten
En efecto ahora la hoja de torbellinos libres desprendidos es una superficie helicoidal en vez de plana La velocidad inducida [j es perpendicular a dicha superficie y a su vez se puede descomponer en una componente longitudinal
[j (paralela al eje de la heacutelice) a ua y otra tangente a la
superficie del cilindro circunscrito u
Por cada pala se genera una hoja de torbellinos libres desfasados entre siacute por 360oZ (Z = nO de palas) que se van enroscando unas con otras originando un tirabuzoacuten de hojas de torbellinos Cada hoja induce en todos los puntos del espacio una velocidad lo que complica el caacutelculo de las velocidades inducidas ayudado por lo complejo de la geometriacutea de las hojas La velocidad inducida total resultante en un determinado punto seraacute la suma vectorial de todas las velocidades inducidas por cada una de las hojas de torbellinos Puede demostrarse ( no lo haremos en estos Apuntes) que los valores de dichas velocidades inducidas totales variacutean desde el infinito aguas arriba hasta el disco de la heacutelice y desde eacuteste al infinito aguas debajo de la manera recogida en el cuadro siguiente
Axial Tanqencial
OAguas arriba
O u -+shy2
Disco u 2
~ 2
Aguas abajo
u -~~U 2
u ----1-igtU 2
33
En la punta ambas fuerzas son cero ya que la circulacioacuten es nula al igualarse las presiones por pasar el flujo de la cara
07-08 R de presioacuten a la de succioacuten en la zona de la punta (figura de la derecha)
En la raiacutez de las palas la circulacioacuten no es nula pero es pequentildea El motivo es que aparece un fenoacutemeno de interferencia entre palas adyacentes por la proximidad de las mismas en esta zona
Aparecen zonas de alta y baja presioacuten de palas adyacentes que estaacuten bastante proacuteximas por lo que hay una cierta comunicacioacuten de fluido dejando de ser tan extremas las presiones reducieacutendose por tanto lltI sustentacioacuten que aparece y con ello la circulacioacuten
En las palasmiddot de una heacutelice ocurre lo mismo que vimos en las alas al tratarse de perfiles de envergadura finita la circulacioacuten variacutea con el radio r = r(r) y loacutegicamente tambieacuten lo hace la velocidad incidente total
vR = V R (r) que depende de v (conocida) y de la velocidad inducida uuml ( ver
triaacutengulo de velocidades) Es evidente tambieacuten que f3 =f(uuml)
Entonces recordando las expresiones que nos daban el empuje y la fuerza del par
Examinemos estas expresiones De todo lo que hemos expresado arriba se deduce que VR Y 13 dependen de las velocidades inducidas (uuml) pero eacutestas estaacuten generadas por las hojas helicoidales de torbellinos libres y por ello dependen de la vorticidad de los mismos (r) Eacutesta sabemos que vale
r = _ ar dr Br
Y en consecuencia depende de r(r) es decir de la distribucioacuten radial de circulacioacuten del torbellino ligado sobre la pala
35
) rendimiento global final de la heacutelice seriacutea mejor que el de la heacutelice inicial
) Pero esto es incompatible con la hipoacutetesis de partida seguacuten la cual rapt ya ) nos daba el mayor rendimiento global de la heacutelice lo luego dicha hipoacutetesis
de partida es absurda Por el contrario cuando l01 no varia con el radio no hay opcioacuten a jugar con la circulacioacuten de las secciones puesto que todo lo que se toque empeoraraacute el lo global de la heacutelice
Obviamente al ser constante I10i a lo largo del radio seraacute tambieacuten
numeacutericamente igual al rendimiento global de la heacutelice 110 O sea
1101 = cte - f(r) = 110
La condicioacuten de Betz por tanto se escribe para heacutelices en flujo uniforme
1=tg l3 o tg (3
Si la heacutelice trabaja en una estela el estudio hay que realizarlo con el rendimiento cuasi-propulsivo de cada seccioacuten en vez de con el de propulsor aislado Al final puede demostrarse ( no lo haremos aquiacute) que se llega a
ID estela media circunferencial
ro estela efectiva
~ Relacioacuten emplrica entre y = la estela y el coeficiente de succioacuten
Es decir una expresioacuten similar a la de flujo uniforme pero con un factor antildeadido que depende de la estela
- Relacioacuten entre circulacioacuten y velocidades inducidas
Es muy importante encontrar una relacioacuten entre la circulacioacuten del torbellino ligado y las velocidades inducidas por los libres es decir la funcioacuten r = f (u) Para ello suponemos la heacutelice funcionando con las hojas de torbellinos desprendidas seguacuten la figura siguiente en la que se han representado las palas sustituidas por sus liacuteneas de sustentacioacuten( torbellino ligado) las hojas de torbellinos helicoidales libres y la velocidad inducida aguas abajo que es perpendicular a la hoja de torbellinos
Ut ----[gt
Ua
37
- - -
1
1 B A Hay infinitas liacuteneas de sustentacioacuten que atraviesan la superficie del cilindroO r Aplicando Stokes O r
El flujo del rotacional = circulacioacuten alrededor del contorno El flujo del rotacional es la suma de las
I I circulaciones de los torbellinos ligadosI I que ha cortado el cilindro es decir r oo
y por tantoI O r I
iquestr=roo =~uumlxdl dondeBI lA u=u +ua t
Calculemos la integral curviliacutenea anterior
~uuml x di = r (ua +utl dl + r(ua +ut )-dl + J(ua +ut)-dl+ r (Ua +~)di (1) (2) (3) (4)
(2) - - (4) Se anulan entre sr por recorrerse el m ismo camino en sentidos inversos shy
ut = O (por estar aguas arriba del propulsor) (3)=gt_ _ (3)=0
uaL di
Luego solo queda la integral (1)
iquestr=r~dl+Juadl =gt rr=r =rutdi
ya que UaL di
Por otra parte Ut es paralelo a di entre A y A luego
Hemos visto que para Z=oo Ut es constante a lo largo de la
circunferencia y puede salir de la integral Por tanto queda
Veamos ahora el caso de nO finito de palas Z En este caso la circulacioacuten total seraacute zr y por tanto
39
Para otras aplicaciones tomaremos A =x t9 13
- Distribucioacuten radial de empujes y pares
Primero hallaremos la relacioacuten entre las velocidades inducidas uYz y
uiexcl y el aacutengulo de paso hidrodinaacutemico 13
dL dT
u sin 13 sin(I3 - ~ ) = V R - --------c---7-shy2 cos(I3 -13 )
y ademaacutes
v _ VR VA
T - cos(f3 -13) sinl3
Entonces
v = V cos(13-(3) bull sin13
y por tanto sustituyendo
~=v cos(13 -13) sin 13 sln(13- 13) 2 sinf3 cos(f3- 3)
~=v sin 13 sin(I3 -3) 2 A sin 13
y del mismo modo
u = v cos 13 sin(3 - (3) 2 A sin 13
y por tanto sustituyendo en
z r = 211 r a3 u
41
El empuje de cada pa la vale
T = J~ dT = J~ dLcos 13 =1r p r vcos 13 dr H
Introducimos el concepto de circulacioacuten adimenslonal
[G=-shy
nD VA
Y sustituyendo podemos reescribir la expresioacuten del coeficiente de empuje
8Z
n
Volviendo al triaacutengulo de velocidades
u2
u2 2nrn - shycos 13 = __---2=_
vR
2=
Sustituyendo arriba y reordenando
Usando los radios adimensionalizados
r dr O x = - dx = - =gt dr = - dx
R R 2
La expresioacuten anterior queda ahora con estos radios adimensionalizados
43
Sacando factor comuacuten resulta
Relacioacuten entre velocidades inducidas y u = Aiexcl X ( _1_-1 J rendimiento
2 v A X 2 + A~ 110
Esta uacuteltima expreslon soacutelo sirve para heacutelices oacuteptimas puesto que hemos hecho uso de la condicioacuten de Betz
Sustituyendo esta expresioacuten en el valor del coeficiente de empuje y realizando las integrales queda la expresioacuten
doacutende tras varios pasos intermedios 1 11 2x I - r o dx
1 - JrH x 2 1) ~ + A 2
1 =(1-110 x 3
d 2 1 2 2 X
~ 110 (x2 +AF)
Para resolver estas integrales hay que recu rri r a hipoacutetesis simplificativas como Xh=O o Z=oo No entraremos aquiacute en el desarrollo completo pero con esto y otras ayudas se llega a
(2)
En esta expresioacuten soacutelo interviene tres paraacutemetros CT to Y A
El paraacutemetro A estaacute muy relacionado con el grado de avance J En efecto
VA JA = x tg 13 = ~ VA = VA = shyR 2n r n 2n R n nOn n
CT puede ser calculado a partir del empuje y del diaacutemetro de la heacutelice Entonces la expresioacuten (2) nos permite conociendo el punto de
funcionamiento de la heacutelice (J) y el empuje ( que puede obtenerse de (~) 1-1
donde R es la res istencia al avance y 1 el coeficiente de succioacuten) estimar el valor to que era el eslaboacuten que faltaba para aplicar la condicioacuten de Betz y poder terminar el caacutelculo f-shy
45
T 2 Con CT = 1---- estimamos el valor de CT ideal a partir de ciertas
2 p v Ao
expresiones empiacutericas
3 Con Cn y A entramos en el Diagrama de Kramer y obtenemos l01
4 Con middottg 13 x y lo aplicando el Teorema de Betz tenemos j3lx para cada seccioacuten
5 lt1gt = 1gt + a~ ~ Sacamos la ley de pasos buscando el aacutengulo de ataque
ideal a I (shock free entry)
6 Lo demaacutes (cuerdas curvaturas espesores ) se obtiene de caacutelculos de resistencia mecaacutenica y de cavitacioacuten
-t
47
Ahora aplicaremos el teorema de la variacioacuten de la energiacutea cineacutetica que nos dice
Trabajo angular de los pares exteriores=IE cineacutetica de rotacioacuten
dQmiddotd0=lEc
Donde d0 es el aacutengulo girado por unidad de tiempo
d0=wpqt [dt=l] =gt d0=Wp
y la variaclonde la energiacutea cineacutetica de rotacioacuten vale
1 2 1 2 [ ]lEc =2dIW1 - 2 dIWO = OWo
luego podemos escribir
bull 1 2
dQwa =-dI(wb)2
Donde wp = wa es la velocidad de rotacioacuten del fluido que atraviesa la
heacutelice
Introduciendo ahora el valor de dI antes obtenido
122dQwa=zPdApVe(l+a)r (wb) =gt
1 b2 =gt dQ =-zPdAp~w7ve (1+ a) (7)
j
I E igualanqo (6) y (7) I
21 2 1 2 b W9PdApve (l+a)r = 2PdApr iacutell7 ve (1la)
~ =gt~
Esta expresioacuten indica que la velocidad inducida de rotacioacuten en el disco es la mitad de la velocidad inducida de rotacioacuten en la salida del tubo de corriente O sea que con las velocidades inducidas de rotacioacuten se cumple lo mismo que con las velocidades inducidas axiales
12
Definiremos velocidad tangencial inducida Ut como
Donde W = 2nn es la velocidad de rotacioacuten de la heacutelice
Entonces es obvio que u ub= __t_ a= __t_
2nnr 4nnr
o sea que la velocidad inducida tangencial en el disco es la mitad que aguas abajo
- Rendimiento de la heacutelice en aguas libres (llo)
Potencia Uacutetil (
dQw = TrabajoUacutetiacutel + Peacuterdidas por Ecineacutetica de traslacioacuten +
Peacuterdidas por Ecineacutetica de rotacioacuten
- 1 2 1 2 dQmiddotw=dTve+-dm(veb) +-dI(wb) (8)
2 2
Apoyaacutendonos en la teoriacutea de la cantidad de movimiento axial
ClT = pAacutepvp (vs -ve) ~ pAacutepve (1 +a)(veb)= pAacutepv~ (1+a)b ( v =ve(1+b) _ -~ s
vp=ve(1+a)
Comparando con la expresioacuten obtenida antes para la corona circular iexclshy
dm = pdApve (l+a)
Obtenemos
Como se ve el empuje estaacute muy relacionado con la cantidad de masa que atraviesa la heacutelice
Mediante el teorema del impulso angular (6) buscamos una expresioacuten similar para el momento de inercia para dejar todo en funcioacuten de dT y dQ
13
dI= dQdQ = dIoob = j oob
Sustituyendo en la expresioacuten de la potencia entregada (8)
dQw = dTv +~ dT b2v2 +~ dQ oo2b2 e 2 v be middot 2oobe
1 1dQoo = dTve +-dTbv +-dQoob
2 e 2
dQ[ 00- ~ oob]=dT[ve + ~Veb]
= dQoo[l- ~J=dTVe[1+J
y por tanto al ser b2 = a y b2 = a
= IdQoo(l-a)=dTve (1+a)1
Con esta uacuteltima expresioacuten calculamos el rendimiento
-adTve 1-a fl -shy=flo = dQoo = l+a O l+a ~
- Anaacutelisis de resultados
Comparando las dos expresiones obtenidas para el rendimiento con la Teoacuteriacutea de la Cantidad de Movimiento Axial y con la Teoriacutea del Impulso Angular tenemos
1- a1 riexcl = fl01 = l+a 02 l+a
T C Mov Axial T Impulso Angular
Dado que a es positivo l-a lt 1 Y por tanto
IflOAngUlar lt flOAxial1
Hay una diferencia introducida al considerar la velocidad angular del fluido y resulta un rendimiento maacutes bajo La teoriacutea del impulso angular es maacutes completa que la axial ya que tiene en cuenta maacutes fenoacutemenos ntildesicos y
14
---
se asemeja maacutes a la realidad El rendimiento es maacutes bajo que con la teoriacutea de la Cantidad de Movimiento axial y maacutes cercano a la realidad pero auacuten asiacute estaacute alej ado del rendimiento real por no considerarse otros fenoacutemenos que aparecen como la friccioacuten
En la figura siguiente se representa el aspecto de la variacioacuten de il y a as iacute como del rendimiento en funcioacuten del coefieciente de carga CT
12-- - ------shy a
- - a
-----C---- ----rend Sldal
~~ -rend angular
08 t-- --------- - --- - - ----- - shy
06 ~s -=~----~__2 04 t---------c~~~~~----0 2 t---------=---~=------ -shy -shy -shy
deg O~~_--~----~--_----__----__--~
2 3 4 5 6 7
1shy
15
Integrando estas curvas se obtiene T y Q de cada pala y si se multiplica por el nuacutemero de palas Z se obtienen T y Q totales de la heacutelice
fdT Q=Z fdQ drT=Z _-dr dr dr
rH = Radio del nuacutecleo R = Radio de la heacutelice
Para conocer estas distribuciones la teoriacutea del elemento de pala estudia queacute pasa en cada rebanada de la pala Para esto se recurre a la teoriacutea de perfiles de la que haremos un breve repaso
- Teoriacutea de PentildeiJes
En la siguiente figura se tiene un perfil inmerso en un flujo de velocidad V r y con un cierto aacutengulo de ataque respecto del mismo
dD
Paso dL = Sustentacioacutenzero geomeacutetrico - dD= Resistencia viscosa
aAacutengulo de ara e
v
En un fiuido viscoso aparece una capa liacutemite que distorsiona el campo de presiones y da lugar a la resistencia de presioacuten de origen viscoso pero la componente predominante en la resistencia del perfil es la debida a la friccioacuten
La sustentacioacuten aparece en el perfil por la diferencia de velocidades del fluido a cada cara del perfil que origina una diferencia de presiones entre las caras que da lugar a la sustentacioacuten
En la figura puede verse
Liacutenea de pasos liacutenea que une el borde de entrada y salida
Aacutengulo de ataque aacutengulo entre el flujo incidente y la liacutenea de pasos
Cuando el aacutengulo de ataque es cero nos encontramos en la condicioacuten de shock free entry Sin embargo la sustentacioacuten no es nula sino algo mayor debido a la asimetriacutea del perfil que viene medida por su curvatura
F
17
El valor de Uo (aacutengulo de sustentacioacuten nula) depende fundamentalmente de la curvatura del perfil ( en ingleacutes camber)
Cto F(curvatura (camber)) t curvatura =gt t eto
Estudiemos el triaacutengulo de velocidades y fuerzas sobre el elemento de pala
VR = Velocidad total Incidente sobre el perfil ltlgt = Aacutengulo de paso geomeacutetrico 13 = Aacutengulo de avance 13 Aacutengulo de paso hidrodinaacutemico u = Aacutengulo de ataque = ltlgt - 13
F dL
1gt
un
- Planteamiento
dOtany=shy
dF =dL sin~+dOcosf3iexcl
dT= dL cos ~ -dO sin ~ =dL ( cos ~- ~~ sin~) dL
Q
dT =dL(COs 13-- siny sin 13-)= ~ (cos 13cosy-siny sin 13)1 cosy 1 COsy 1
dT = ~ [cos(r + 13)]cosy 1
Haciendo lo mismo para dFQ resulta
sln(Y+I3-)dF = dL 1
Q COsy
Pondremos ahora la sustentacioacuten en funcioacuten de eL
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Hemos llegado a unas expresiones que nos dan el reparto radial de empujes y pares totales de la heacutelice asiacute como del rendimiento Ahora hay que ver si se pueden aplicar
- Anaacutelisis criacutetico
p Z VA = Conocido
c = Conocido al conocer la geometriacutea
a = No conocemos su valor particular para cada seccioacuten podemos tantear el valor total para toda la heacutelice seguacuten las teoriacuteas de la cantidad de movimiento
CL = fA) 2 C1+C1o) no conocemos ni et ni eto para cada seccioacuten
Ademaacutes tendriacuteamos que pensar el A de una rebanada no tiene sentido por tener un espesor diferencial Podemos estimar un valor promedio
R-eacuteA= H rH = radio del nuacutecleo
cmedia
13 = depende del valor de la velocidad inducida de cada seccioacuten que depende del valor_de a de la seccioacuten que no se conoce es por lo tanto una incoacutegnita
y = a su vez depende de A cuyo valor es incierto
Podemos concluir por tanto que aunque se ha llegado con relativa sencillez a las expresiones anteriores estas no son realmente utilizables Se pueden usar valores medios para hacer una estimacioacuten pero no sirven para realizar caacutelculos fiables hasta aquiacute llega esta teoriacutea
Por lo tanto para intentar obtener resultados maacutes coherentes es preciso avanzar algo maacutes y emplear la Teoriacutea de la Circulacioacuten que es bastante maacutes compleja y requiere otras herramientas
21
)
) p Esto equivale a poner en el centro del cilindro un torbellino de intensidad r Ambos campos de velocidad consideradosCel inicial paralelo y uniforme y el nuevo radial) se suman resultando un nuevo campo de velocidadesp
Las liacuteneas de corriente se modifican quedando como en la siguiente figura
L En la parte superior del cilindro los dos campos de velocidades se suman y por tanto la velocidad es mayor que en flujo inicial En la parte inferior del cilindro ocurre lo contrario Se desplazan los puntos de remanso
Se pueden calcular v y p analiacuteticamente y aparece una fuerza la sustentacioacuten Clift)
L = sustentacioacuten Dirigida perpendicularmente al flujo uniforme y paralelo inicial
Calculemos la siguiente integral curviliacutenea que nos daraacute la circulacioacuten del vector velocidad sobre el cilindro
Donde
pVx ~dS=O campo simeacutetrico
-- rPero pvrdS = P2nr dS ya que Vr y dS son paralelos en la
superficie del cilindro Luego
r r rI=p- dS= - pdS=-2nr=r2n r 2n r 2n r
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~===~====~ ~~-------------- Starting Vortex
El torbellino de intensidad r es desplazado aguas abajo hacia el borde de salida por el resto de liacuteneas de corriente
Recordemos un teorema baacutesico de la Teoriacutea Vorticial que dice que en un dominio fluido la vorticidad total permanece constante
-r 0gt r
= ==0==y~0 ~000
Inicialmente en el dominio fluido antes de introducir el perfil la vorticidad total era nula por lo que ha de aparecer otra circulacioacuten (-1) que compense a la del Starting Vortex Esta aparece en torno al perfil Aparece un nuevo campo de velocidades a causa de esta circulacioacuten en torno al perfil
El punto de remanso B se desplaza ahora al punto anguloso de salida lo que implica que los flujos queL van por arriba y por abajo no se mezclan B se desplaza a base de desprender torbellinos hasta llegar al borde de salida Esta es la Condicioacuten de Kutta
Ademaacutes como en el caso del cilindro si calculamos ahora v y p se obtiene que aparece una fuerza sobre el perfil la sustentacioacuten (l) que es perpendicular al flujo v
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Esto permite a la hora de estudiar los perfiles y las fuerzas hacer una abstraccioacuten y llegar a sustituir el perfil por un flujo uniforme una liacutenea de torbellinos de verticidad r y una fuerza (l) [Suponiendo un perfil de ancho infinito]
VR - - ---ICgt
r
A la liacutenea de torbellinos se le llama liacutenea de sustentacioacuten ya que los torbellinos secteneran sustentacioacuten La parte de la Teoriacutea de Circulacioacuten que estudia los perfiles sustituyeacutendolos por liacuteneas de sustentacioacuten se llama Teoriacutea de la Liacutenea de Sustentacioacuten ( Ufting-line Theory)
d Perfiles de envergadura finita
Todo lo anterior ocurre en perfiles de envergadura ( ancho perpendicular al papel) infinita que loacutegicamente no existen en la realidad los perfiles que nos encontraremos (alas de avioacuten timones palas de heacutelices etc) son perfiles de envergadura finita es decir t ienen un ancho (alto) determinado Entonces aparece un nuevo fenoacutemeno tridimensiol)ltlJ no como hasta ahora que era siempre un flujo 2D
Efectos 3D
Torbellinos de ~ extremo de ala
S ~~-------------p_p-+--------iquest~
En los bordes del perfil el flujo se escapa de las zonas de preslon maacutes alta ( cara inferior del perfil) hacia las de presioacuten maacutes baj a ( cara superior
27
Como consecuencia de lo anterior en el borde de salida del ala se ) encuentran dos flujos cruzados el superior con una componente hacia el ) centro y el inferior con una componente hacia los extremos que dan lugar
a torbellinos desprendidos a lo largo de todo el borde de sal ida Eacutestos forman una hoja de torbellinos donde los de mayor intensidad aparecen en los bordes laterales del perfil Estos torbellinos se conocen con el nombre de torbellinos libres y son arrastralos aguas abajo por el flujo principal hasta el infinito
IG G G
En consecuencia podemos concluir que en los perfiles de env ergadura finita es decir los perfi les de la vida real se escapan de los mismos una serie de liacuteneas de torbellinos libres hacia popa Podemos hacer una representacioacuten esquemaacutetica como sigue
d
d d
--shy ~~ado el
J shy~a I gar aL
dI
que
T Libres giran en sentidos contrarios a cada lado del ala
Son torbellinos elementales
La vorticidad de los torbell inos libres dI tiene que salir de alguacuten lado ( recordemos que la cantidad total de vorticidad en un dominio ha de permanecer constante) Sale obviamente del torbellino ligado que va perdiendo vorticidad desde el centro del ala hacia ambos bordes laterales
-fshy
29
linea Semi-infinita Si la liacutenea de torbellinos es de
longitud semi-infinita es decir con principio pero sin final y el punto P estaacute en el plano en el que comienza la liacutenea tendremos al integrar
-+00 r
u~--41t y
Es de=ir que una liacutenea de torbellinos semi-infin ita crea una velocidad inducida que es la mitad de la que crea una liacutenea de longitud infinita
En el borde de salida del ala cada torbellino libre puede considerarse como una liacutenea semi-infinita que empieza en dicho borde En el infinito aguas abajo esta liacutenea puede considerarse liacutenea infinita La velocidad inducida por el torbellino libre en el infinito es el doble de la inducida en el borde de salida Lo mismo le ocurre a la velocidad inducida por toda la hoja de torbellinos libres ya que es la suma de las generadas por cada torbellino individual en el infinito la velocidad inducida es el doble que en eacutel b9rde de salida del perfil
U en el infinito ) ~ en el perfil
Hemos hablado de los moacutedulos de la velocidad pero iquestqueacute pasa con las direcciones
uuml
La velocidad inducida por un torbellino es siempre perpendicular a la direccioacuten del mismo En el caso de los torbellinos libres que se desprenden de un ala eacutestos se ven arrastrados por el flujo incidente y por tanto su direccioacuten es la misma de dicho flujo es decir que uuml es perpendicular a la velocidad incidente y estaacute dirigida hacia la cara de presioacuten del perfil No tiene componente transversal ya que dichas componentes se anulan por simetriacutea las de los torbellinos de la mitad izquierda del ala con las de la mitad derecha debe recordarse que giran en sentidos contrarios
Los torbellinos libres generan un campo de velocidades en el espacio que se suma vectorialmente a la velocidad incidente VT Como hemos dicho la velocidad inducida por los torbellinos libres es siempre
31
32 APLICACIOacuteN EN HEacuteLICES
) - Torbellinos ligados torbellinos libres y velocidades inducidas
l )
)
Consideraremos que cada pala es un ala de envergadura finita de las que hemos estudiado en los puntos anteriores y como tal se sustituye por una liacutenea de torbellinos ligados Lo uacutenico diferente es la geometriacutea que ahora es mucho maacutes complicada que la del ala de un avioacuten
En efecto ahora la hoja de torbellinos libres desprendidos es una superficie helicoidal en vez de plana La velocidad inducida [j es perpendicular a dicha superficie y a su vez se puede descomponer en una componente longitudinal
[j (paralela al eje de la heacutelice) a ua y otra tangente a la
superficie del cilindro circunscrito u
Por cada pala se genera una hoja de torbellinos libres desfasados entre siacute por 360oZ (Z = nO de palas) que se van enroscando unas con otras originando un tirabuzoacuten de hojas de torbellinos Cada hoja induce en todos los puntos del espacio una velocidad lo que complica el caacutelculo de las velocidades inducidas ayudado por lo complejo de la geometriacutea de las hojas La velocidad inducida total resultante en un determinado punto seraacute la suma vectorial de todas las velocidades inducidas por cada una de las hojas de torbellinos Puede demostrarse ( no lo haremos en estos Apuntes) que los valores de dichas velocidades inducidas totales variacutean desde el infinito aguas arriba hasta el disco de la heacutelice y desde eacuteste al infinito aguas debajo de la manera recogida en el cuadro siguiente
Axial Tanqencial
OAguas arriba
O u -+shy2
Disco u 2
~ 2
Aguas abajo
u -~~U 2
u ----1-igtU 2
33
En la punta ambas fuerzas son cero ya que la circulacioacuten es nula al igualarse las presiones por pasar el flujo de la cara
07-08 R de presioacuten a la de succioacuten en la zona de la punta (figura de la derecha)
En la raiacutez de las palas la circulacioacuten no es nula pero es pequentildea El motivo es que aparece un fenoacutemeno de interferencia entre palas adyacentes por la proximidad de las mismas en esta zona
Aparecen zonas de alta y baja presioacuten de palas adyacentes que estaacuten bastante proacuteximas por lo que hay una cierta comunicacioacuten de fluido dejando de ser tan extremas las presiones reducieacutendose por tanto lltI sustentacioacuten que aparece y con ello la circulacioacuten
En las palasmiddot de una heacutelice ocurre lo mismo que vimos en las alas al tratarse de perfiles de envergadura finita la circulacioacuten variacutea con el radio r = r(r) y loacutegicamente tambieacuten lo hace la velocidad incidente total
vR = V R (r) que depende de v (conocida) y de la velocidad inducida uuml ( ver
triaacutengulo de velocidades) Es evidente tambieacuten que f3 =f(uuml)
Entonces recordando las expresiones que nos daban el empuje y la fuerza del par
Examinemos estas expresiones De todo lo que hemos expresado arriba se deduce que VR Y 13 dependen de las velocidades inducidas (uuml) pero eacutestas estaacuten generadas por las hojas helicoidales de torbellinos libres y por ello dependen de la vorticidad de los mismos (r) Eacutesta sabemos que vale
r = _ ar dr Br
Y en consecuencia depende de r(r) es decir de la distribucioacuten radial de circulacioacuten del torbellino ligado sobre la pala
35
) rendimiento global final de la heacutelice seriacutea mejor que el de la heacutelice inicial
) Pero esto es incompatible con la hipoacutetesis de partida seguacuten la cual rapt ya ) nos daba el mayor rendimiento global de la heacutelice lo luego dicha hipoacutetesis
de partida es absurda Por el contrario cuando l01 no varia con el radio no hay opcioacuten a jugar con la circulacioacuten de las secciones puesto que todo lo que se toque empeoraraacute el lo global de la heacutelice
Obviamente al ser constante I10i a lo largo del radio seraacute tambieacuten
numeacutericamente igual al rendimiento global de la heacutelice 110 O sea
1101 = cte - f(r) = 110
La condicioacuten de Betz por tanto se escribe para heacutelices en flujo uniforme
1=tg l3 o tg (3
Si la heacutelice trabaja en una estela el estudio hay que realizarlo con el rendimiento cuasi-propulsivo de cada seccioacuten en vez de con el de propulsor aislado Al final puede demostrarse ( no lo haremos aquiacute) que se llega a
ID estela media circunferencial
ro estela efectiva
~ Relacioacuten emplrica entre y = la estela y el coeficiente de succioacuten
Es decir una expresioacuten similar a la de flujo uniforme pero con un factor antildeadido que depende de la estela
- Relacioacuten entre circulacioacuten y velocidades inducidas
Es muy importante encontrar una relacioacuten entre la circulacioacuten del torbellino ligado y las velocidades inducidas por los libres es decir la funcioacuten r = f (u) Para ello suponemos la heacutelice funcionando con las hojas de torbellinos desprendidas seguacuten la figura siguiente en la que se han representado las palas sustituidas por sus liacuteneas de sustentacioacuten( torbellino ligado) las hojas de torbellinos helicoidales libres y la velocidad inducida aguas abajo que es perpendicular a la hoja de torbellinos
Ut ----[gt
Ua
37
- - -
1
1 B A Hay infinitas liacuteneas de sustentacioacuten que atraviesan la superficie del cilindroO r Aplicando Stokes O r
El flujo del rotacional = circulacioacuten alrededor del contorno El flujo del rotacional es la suma de las
I I circulaciones de los torbellinos ligadosI I que ha cortado el cilindro es decir r oo
y por tantoI O r I
iquestr=roo =~uumlxdl dondeBI lA u=u +ua t
Calculemos la integral curviliacutenea anterior
~uuml x di = r (ua +utl dl + r(ua +ut )-dl + J(ua +ut)-dl+ r (Ua +~)di (1) (2) (3) (4)
(2) - - (4) Se anulan entre sr por recorrerse el m ismo camino en sentidos inversos shy
ut = O (por estar aguas arriba del propulsor) (3)=gt_ _ (3)=0
uaL di
Luego solo queda la integral (1)
iquestr=r~dl+Juadl =gt rr=r =rutdi
ya que UaL di
Por otra parte Ut es paralelo a di entre A y A luego
Hemos visto que para Z=oo Ut es constante a lo largo de la
circunferencia y puede salir de la integral Por tanto queda
Veamos ahora el caso de nO finito de palas Z En este caso la circulacioacuten total seraacute zr y por tanto
39
Para otras aplicaciones tomaremos A =x t9 13
- Distribucioacuten radial de empujes y pares
Primero hallaremos la relacioacuten entre las velocidades inducidas uYz y
uiexcl y el aacutengulo de paso hidrodinaacutemico 13
dL dT
u sin 13 sin(I3 - ~ ) = V R - --------c---7-shy2 cos(I3 -13 )
y ademaacutes
v _ VR VA
T - cos(f3 -13) sinl3
Entonces
v = V cos(13-(3) bull sin13
y por tanto sustituyendo
~=v cos(13 -13) sin 13 sln(13- 13) 2 sinf3 cos(f3- 3)
~=v sin 13 sin(I3 -3) 2 A sin 13
y del mismo modo
u = v cos 13 sin(3 - (3) 2 A sin 13
y por tanto sustituyendo en
z r = 211 r a3 u
41
El empuje de cada pa la vale
T = J~ dT = J~ dLcos 13 =1r p r vcos 13 dr H
Introducimos el concepto de circulacioacuten adimenslonal
[G=-shy
nD VA
Y sustituyendo podemos reescribir la expresioacuten del coeficiente de empuje
8Z
n
Volviendo al triaacutengulo de velocidades
u2
u2 2nrn - shycos 13 = __---2=_
vR
2=
Sustituyendo arriba y reordenando
Usando los radios adimensionalizados
r dr O x = - dx = - =gt dr = - dx
R R 2
La expresioacuten anterior queda ahora con estos radios adimensionalizados
43
Sacando factor comuacuten resulta
Relacioacuten entre velocidades inducidas y u = Aiexcl X ( _1_-1 J rendimiento
2 v A X 2 + A~ 110
Esta uacuteltima expreslon soacutelo sirve para heacutelices oacuteptimas puesto que hemos hecho uso de la condicioacuten de Betz
Sustituyendo esta expresioacuten en el valor del coeficiente de empuje y realizando las integrales queda la expresioacuten
doacutende tras varios pasos intermedios 1 11 2x I - r o dx
1 - JrH x 2 1) ~ + A 2
1 =(1-110 x 3
d 2 1 2 2 X
~ 110 (x2 +AF)
Para resolver estas integrales hay que recu rri r a hipoacutetesis simplificativas como Xh=O o Z=oo No entraremos aquiacute en el desarrollo completo pero con esto y otras ayudas se llega a
(2)
En esta expresioacuten soacutelo interviene tres paraacutemetros CT to Y A
El paraacutemetro A estaacute muy relacionado con el grado de avance J En efecto
VA JA = x tg 13 = ~ VA = VA = shyR 2n r n 2n R n nOn n
CT puede ser calculado a partir del empuje y del diaacutemetro de la heacutelice Entonces la expresioacuten (2) nos permite conociendo el punto de
funcionamiento de la heacutelice (J) y el empuje ( que puede obtenerse de (~) 1-1
donde R es la res istencia al avance y 1 el coeficiente de succioacuten) estimar el valor to que era el eslaboacuten que faltaba para aplicar la condicioacuten de Betz y poder terminar el caacutelculo f-shy
45
T 2 Con CT = 1---- estimamos el valor de CT ideal a partir de ciertas
2 p v Ao
expresiones empiacutericas
3 Con Cn y A entramos en el Diagrama de Kramer y obtenemos l01
4 Con middottg 13 x y lo aplicando el Teorema de Betz tenemos j3lx para cada seccioacuten
5 lt1gt = 1gt + a~ ~ Sacamos la ley de pasos buscando el aacutengulo de ataque
ideal a I (shock free entry)
6 Lo demaacutes (cuerdas curvaturas espesores ) se obtiene de caacutelculos de resistencia mecaacutenica y de cavitacioacuten
-t
47
Definiremos velocidad tangencial inducida Ut como
Donde W = 2nn es la velocidad de rotacioacuten de la heacutelice
Entonces es obvio que u ub= __t_ a= __t_
2nnr 4nnr
o sea que la velocidad inducida tangencial en el disco es la mitad que aguas abajo
- Rendimiento de la heacutelice en aguas libres (llo)
Potencia Uacutetil (
dQw = TrabajoUacutetiacutel + Peacuterdidas por Ecineacutetica de traslacioacuten +
Peacuterdidas por Ecineacutetica de rotacioacuten
- 1 2 1 2 dQmiddotw=dTve+-dm(veb) +-dI(wb) (8)
2 2
Apoyaacutendonos en la teoriacutea de la cantidad de movimiento axial
ClT = pAacutepvp (vs -ve) ~ pAacutepve (1 +a)(veb)= pAacutepv~ (1+a)b ( v =ve(1+b) _ -~ s
vp=ve(1+a)
Comparando con la expresioacuten obtenida antes para la corona circular iexclshy
dm = pdApve (l+a)
Obtenemos
Como se ve el empuje estaacute muy relacionado con la cantidad de masa que atraviesa la heacutelice
Mediante el teorema del impulso angular (6) buscamos una expresioacuten similar para el momento de inercia para dejar todo en funcioacuten de dT y dQ
13
dI= dQdQ = dIoob = j oob
Sustituyendo en la expresioacuten de la potencia entregada (8)
dQw = dTv +~ dT b2v2 +~ dQ oo2b2 e 2 v be middot 2oobe
1 1dQoo = dTve +-dTbv +-dQoob
2 e 2
dQ[ 00- ~ oob]=dT[ve + ~Veb]
= dQoo[l- ~J=dTVe[1+J
y por tanto al ser b2 = a y b2 = a
= IdQoo(l-a)=dTve (1+a)1
Con esta uacuteltima expresioacuten calculamos el rendimiento
-adTve 1-a fl -shy=flo = dQoo = l+a O l+a ~
- Anaacutelisis de resultados
Comparando las dos expresiones obtenidas para el rendimiento con la Teoacuteriacutea de la Cantidad de Movimiento Axial y con la Teoriacutea del Impulso Angular tenemos
1- a1 riexcl = fl01 = l+a 02 l+a
T C Mov Axial T Impulso Angular
Dado que a es positivo l-a lt 1 Y por tanto
IflOAngUlar lt flOAxial1
Hay una diferencia introducida al considerar la velocidad angular del fluido y resulta un rendimiento maacutes bajo La teoriacutea del impulso angular es maacutes completa que la axial ya que tiene en cuenta maacutes fenoacutemenos ntildesicos y
14
---
se asemeja maacutes a la realidad El rendimiento es maacutes bajo que con la teoriacutea de la Cantidad de Movimiento axial y maacutes cercano a la realidad pero auacuten asiacute estaacute alej ado del rendimiento real por no considerarse otros fenoacutemenos que aparecen como la friccioacuten
En la figura siguiente se representa el aspecto de la variacioacuten de il y a as iacute como del rendimiento en funcioacuten del coefieciente de carga CT
12-- - ------shy a
- - a
-----C---- ----rend Sldal
~~ -rend angular
08 t-- --------- - --- - - ----- - shy
06 ~s -=~----~__2 04 t---------c~~~~~----0 2 t---------=---~=------ -shy -shy -shy
deg O~~_--~----~--_----__----__--~
2 3 4 5 6 7
1shy
15
Integrando estas curvas se obtiene T y Q de cada pala y si se multiplica por el nuacutemero de palas Z se obtienen T y Q totales de la heacutelice
fdT Q=Z fdQ drT=Z _-dr dr dr
rH = Radio del nuacutecleo R = Radio de la heacutelice
Para conocer estas distribuciones la teoriacutea del elemento de pala estudia queacute pasa en cada rebanada de la pala Para esto se recurre a la teoriacutea de perfiles de la que haremos un breve repaso
- Teoriacutea de PentildeiJes
En la siguiente figura se tiene un perfil inmerso en un flujo de velocidad V r y con un cierto aacutengulo de ataque respecto del mismo
dD
Paso dL = Sustentacioacutenzero geomeacutetrico - dD= Resistencia viscosa
aAacutengulo de ara e
v
En un fiuido viscoso aparece una capa liacutemite que distorsiona el campo de presiones y da lugar a la resistencia de presioacuten de origen viscoso pero la componente predominante en la resistencia del perfil es la debida a la friccioacuten
La sustentacioacuten aparece en el perfil por la diferencia de velocidades del fluido a cada cara del perfil que origina una diferencia de presiones entre las caras que da lugar a la sustentacioacuten
En la figura puede verse
Liacutenea de pasos liacutenea que une el borde de entrada y salida
Aacutengulo de ataque aacutengulo entre el flujo incidente y la liacutenea de pasos
Cuando el aacutengulo de ataque es cero nos encontramos en la condicioacuten de shock free entry Sin embargo la sustentacioacuten no es nula sino algo mayor debido a la asimetriacutea del perfil que viene medida por su curvatura
F
17
El valor de Uo (aacutengulo de sustentacioacuten nula) depende fundamentalmente de la curvatura del perfil ( en ingleacutes camber)
Cto F(curvatura (camber)) t curvatura =gt t eto
Estudiemos el triaacutengulo de velocidades y fuerzas sobre el elemento de pala
VR = Velocidad total Incidente sobre el perfil ltlgt = Aacutengulo de paso geomeacutetrico 13 = Aacutengulo de avance 13 Aacutengulo de paso hidrodinaacutemico u = Aacutengulo de ataque = ltlgt - 13
F dL
1gt
un
- Planteamiento
dOtany=shy
dF =dL sin~+dOcosf3iexcl
dT= dL cos ~ -dO sin ~ =dL ( cos ~- ~~ sin~) dL
Q
dT =dL(COs 13-- siny sin 13-)= ~ (cos 13cosy-siny sin 13)1 cosy 1 COsy 1
dT = ~ [cos(r + 13)]cosy 1
Haciendo lo mismo para dFQ resulta
sln(Y+I3-)dF = dL 1
Q COsy
Pondremos ahora la sustentacioacuten en funcioacuten de eL
19
Hemos llegado a unas expresiones que nos dan el reparto radial de empujes y pares totales de la heacutelice asiacute como del rendimiento Ahora hay que ver si se pueden aplicar
- Anaacutelisis criacutetico
p Z VA = Conocido
c = Conocido al conocer la geometriacutea
a = No conocemos su valor particular para cada seccioacuten podemos tantear el valor total para toda la heacutelice seguacuten las teoriacuteas de la cantidad de movimiento
CL = fA) 2 C1+C1o) no conocemos ni et ni eto para cada seccioacuten
Ademaacutes tendriacuteamos que pensar el A de una rebanada no tiene sentido por tener un espesor diferencial Podemos estimar un valor promedio
R-eacuteA= H rH = radio del nuacutecleo
cmedia
13 = depende del valor de la velocidad inducida de cada seccioacuten que depende del valor_de a de la seccioacuten que no se conoce es por lo tanto una incoacutegnita
y = a su vez depende de A cuyo valor es incierto
Podemos concluir por tanto que aunque se ha llegado con relativa sencillez a las expresiones anteriores estas no son realmente utilizables Se pueden usar valores medios para hacer una estimacioacuten pero no sirven para realizar caacutelculos fiables hasta aquiacute llega esta teoriacutea
Por lo tanto para intentar obtener resultados maacutes coherentes es preciso avanzar algo maacutes y emplear la Teoriacutea de la Circulacioacuten que es bastante maacutes compleja y requiere otras herramientas
21
)
) p Esto equivale a poner en el centro del cilindro un torbellino de intensidad r Ambos campos de velocidad consideradosCel inicial paralelo y uniforme y el nuevo radial) se suman resultando un nuevo campo de velocidadesp
Las liacuteneas de corriente se modifican quedando como en la siguiente figura
L En la parte superior del cilindro los dos campos de velocidades se suman y por tanto la velocidad es mayor que en flujo inicial En la parte inferior del cilindro ocurre lo contrario Se desplazan los puntos de remanso
Se pueden calcular v y p analiacuteticamente y aparece una fuerza la sustentacioacuten Clift)
L = sustentacioacuten Dirigida perpendicularmente al flujo uniforme y paralelo inicial
Calculemos la siguiente integral curviliacutenea que nos daraacute la circulacioacuten del vector velocidad sobre el cilindro
Donde
pVx ~dS=O campo simeacutetrico
-- rPero pvrdS = P2nr dS ya que Vr y dS son paralelos en la
superficie del cilindro Luego
r r rI=p- dS= - pdS=-2nr=r2n r 2n r 2n r
23
~===~====~ ~~-------------- Starting Vortex
El torbellino de intensidad r es desplazado aguas abajo hacia el borde de salida por el resto de liacuteneas de corriente
Recordemos un teorema baacutesico de la Teoriacutea Vorticial que dice que en un dominio fluido la vorticidad total permanece constante
-r 0gt r
= ==0==y~0 ~000
Inicialmente en el dominio fluido antes de introducir el perfil la vorticidad total era nula por lo que ha de aparecer otra circulacioacuten (-1) que compense a la del Starting Vortex Esta aparece en torno al perfil Aparece un nuevo campo de velocidades a causa de esta circulacioacuten en torno al perfil
El punto de remanso B se desplaza ahora al punto anguloso de salida lo que implica que los flujos queL van por arriba y por abajo no se mezclan B se desplaza a base de desprender torbellinos hasta llegar al borde de salida Esta es la Condicioacuten de Kutta
Ademaacutes como en el caso del cilindro si calculamos ahora v y p se obtiene que aparece una fuerza sobre el perfil la sustentacioacuten (l) que es perpendicular al flujo v
25
Esto permite a la hora de estudiar los perfiles y las fuerzas hacer una abstraccioacuten y llegar a sustituir el perfil por un flujo uniforme una liacutenea de torbellinos de verticidad r y una fuerza (l) [Suponiendo un perfil de ancho infinito]
VR - - ---ICgt
r
A la liacutenea de torbellinos se le llama liacutenea de sustentacioacuten ya que los torbellinos secteneran sustentacioacuten La parte de la Teoriacutea de Circulacioacuten que estudia los perfiles sustituyeacutendolos por liacuteneas de sustentacioacuten se llama Teoriacutea de la Liacutenea de Sustentacioacuten ( Ufting-line Theory)
d Perfiles de envergadura finita
Todo lo anterior ocurre en perfiles de envergadura ( ancho perpendicular al papel) infinita que loacutegicamente no existen en la realidad los perfiles que nos encontraremos (alas de avioacuten timones palas de heacutelices etc) son perfiles de envergadura finita es decir t ienen un ancho (alto) determinado Entonces aparece un nuevo fenoacutemeno tridimensiol)ltlJ no como hasta ahora que era siempre un flujo 2D
Efectos 3D
Torbellinos de ~ extremo de ala
S ~~-------------p_p-+--------iquest~
En los bordes del perfil el flujo se escapa de las zonas de preslon maacutes alta ( cara inferior del perfil) hacia las de presioacuten maacutes baj a ( cara superior
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Como consecuencia de lo anterior en el borde de salida del ala se ) encuentran dos flujos cruzados el superior con una componente hacia el ) centro y el inferior con una componente hacia los extremos que dan lugar
a torbellinos desprendidos a lo largo de todo el borde de sal ida Eacutestos forman una hoja de torbellinos donde los de mayor intensidad aparecen en los bordes laterales del perfil Estos torbellinos se conocen con el nombre de torbellinos libres y son arrastralos aguas abajo por el flujo principal hasta el infinito
IG G G
En consecuencia podemos concluir que en los perfiles de env ergadura finita es decir los perfi les de la vida real se escapan de los mismos una serie de liacuteneas de torbellinos libres hacia popa Podemos hacer una representacioacuten esquemaacutetica como sigue
d
d d
--shy ~~ado el
J shy~a I gar aL
dI
que
T Libres giran en sentidos contrarios a cada lado del ala
Son torbellinos elementales
La vorticidad de los torbell inos libres dI tiene que salir de alguacuten lado ( recordemos que la cantidad total de vorticidad en un dominio ha de permanecer constante) Sale obviamente del torbellino ligado que va perdiendo vorticidad desde el centro del ala hacia ambos bordes laterales
-fshy
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linea Semi-infinita Si la liacutenea de torbellinos es de
longitud semi-infinita es decir con principio pero sin final y el punto P estaacute en el plano en el que comienza la liacutenea tendremos al integrar
-+00 r
u~--41t y
Es de=ir que una liacutenea de torbellinos semi-infin ita crea una velocidad inducida que es la mitad de la que crea una liacutenea de longitud infinita
En el borde de salida del ala cada torbellino libre puede considerarse como una liacutenea semi-infinita que empieza en dicho borde En el infinito aguas abajo esta liacutenea puede considerarse liacutenea infinita La velocidad inducida por el torbellino libre en el infinito es el doble de la inducida en el borde de salida Lo mismo le ocurre a la velocidad inducida por toda la hoja de torbellinos libres ya que es la suma de las generadas por cada torbellino individual en el infinito la velocidad inducida es el doble que en eacutel b9rde de salida del perfil
U en el infinito ) ~ en el perfil
Hemos hablado de los moacutedulos de la velocidad pero iquestqueacute pasa con las direcciones
uuml
La velocidad inducida por un torbellino es siempre perpendicular a la direccioacuten del mismo En el caso de los torbellinos libres que se desprenden de un ala eacutestos se ven arrastrados por el flujo incidente y por tanto su direccioacuten es la misma de dicho flujo es decir que uuml es perpendicular a la velocidad incidente y estaacute dirigida hacia la cara de presioacuten del perfil No tiene componente transversal ya que dichas componentes se anulan por simetriacutea las de los torbellinos de la mitad izquierda del ala con las de la mitad derecha debe recordarse que giran en sentidos contrarios
Los torbellinos libres generan un campo de velocidades en el espacio que se suma vectorialmente a la velocidad incidente VT Como hemos dicho la velocidad inducida por los torbellinos libres es siempre
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32 APLICACIOacuteN EN HEacuteLICES
) - Torbellinos ligados torbellinos libres y velocidades inducidas
l )
)
Consideraremos que cada pala es un ala de envergadura finita de las que hemos estudiado en los puntos anteriores y como tal se sustituye por una liacutenea de torbellinos ligados Lo uacutenico diferente es la geometriacutea que ahora es mucho maacutes complicada que la del ala de un avioacuten
En efecto ahora la hoja de torbellinos libres desprendidos es una superficie helicoidal en vez de plana La velocidad inducida [j es perpendicular a dicha superficie y a su vez se puede descomponer en una componente longitudinal
[j (paralela al eje de la heacutelice) a ua y otra tangente a la
superficie del cilindro circunscrito u
Por cada pala se genera una hoja de torbellinos libres desfasados entre siacute por 360oZ (Z = nO de palas) que se van enroscando unas con otras originando un tirabuzoacuten de hojas de torbellinos Cada hoja induce en todos los puntos del espacio una velocidad lo que complica el caacutelculo de las velocidades inducidas ayudado por lo complejo de la geometriacutea de las hojas La velocidad inducida total resultante en un determinado punto seraacute la suma vectorial de todas las velocidades inducidas por cada una de las hojas de torbellinos Puede demostrarse ( no lo haremos en estos Apuntes) que los valores de dichas velocidades inducidas totales variacutean desde el infinito aguas arriba hasta el disco de la heacutelice y desde eacuteste al infinito aguas debajo de la manera recogida en el cuadro siguiente
Axial Tanqencial
OAguas arriba
O u -+shy2
Disco u 2
~ 2
Aguas abajo
u -~~U 2
u ----1-igtU 2
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En la punta ambas fuerzas son cero ya que la circulacioacuten es nula al igualarse las presiones por pasar el flujo de la cara
07-08 R de presioacuten a la de succioacuten en la zona de la punta (figura de la derecha)
En la raiacutez de las palas la circulacioacuten no es nula pero es pequentildea El motivo es que aparece un fenoacutemeno de interferencia entre palas adyacentes por la proximidad de las mismas en esta zona
Aparecen zonas de alta y baja presioacuten de palas adyacentes que estaacuten bastante proacuteximas por lo que hay una cierta comunicacioacuten de fluido dejando de ser tan extremas las presiones reducieacutendose por tanto lltI sustentacioacuten que aparece y con ello la circulacioacuten
En las palasmiddot de una heacutelice ocurre lo mismo que vimos en las alas al tratarse de perfiles de envergadura finita la circulacioacuten variacutea con el radio r = r(r) y loacutegicamente tambieacuten lo hace la velocidad incidente total
vR = V R (r) que depende de v (conocida) y de la velocidad inducida uuml ( ver
triaacutengulo de velocidades) Es evidente tambieacuten que f3 =f(uuml)
Entonces recordando las expresiones que nos daban el empuje y la fuerza del par
Examinemos estas expresiones De todo lo que hemos expresado arriba se deduce que VR Y 13 dependen de las velocidades inducidas (uuml) pero eacutestas estaacuten generadas por las hojas helicoidales de torbellinos libres y por ello dependen de la vorticidad de los mismos (r) Eacutesta sabemos que vale
r = _ ar dr Br
Y en consecuencia depende de r(r) es decir de la distribucioacuten radial de circulacioacuten del torbellino ligado sobre la pala
35
) rendimiento global final de la heacutelice seriacutea mejor que el de la heacutelice inicial
) Pero esto es incompatible con la hipoacutetesis de partida seguacuten la cual rapt ya ) nos daba el mayor rendimiento global de la heacutelice lo luego dicha hipoacutetesis
de partida es absurda Por el contrario cuando l01 no varia con el radio no hay opcioacuten a jugar con la circulacioacuten de las secciones puesto que todo lo que se toque empeoraraacute el lo global de la heacutelice
Obviamente al ser constante I10i a lo largo del radio seraacute tambieacuten
numeacutericamente igual al rendimiento global de la heacutelice 110 O sea
1101 = cte - f(r) = 110
La condicioacuten de Betz por tanto se escribe para heacutelices en flujo uniforme
1=tg l3 o tg (3
Si la heacutelice trabaja en una estela el estudio hay que realizarlo con el rendimiento cuasi-propulsivo de cada seccioacuten en vez de con el de propulsor aislado Al final puede demostrarse ( no lo haremos aquiacute) que se llega a
ID estela media circunferencial
ro estela efectiva
~ Relacioacuten emplrica entre y = la estela y el coeficiente de succioacuten
Es decir una expresioacuten similar a la de flujo uniforme pero con un factor antildeadido que depende de la estela
- Relacioacuten entre circulacioacuten y velocidades inducidas
Es muy importante encontrar una relacioacuten entre la circulacioacuten del torbellino ligado y las velocidades inducidas por los libres es decir la funcioacuten r = f (u) Para ello suponemos la heacutelice funcionando con las hojas de torbellinos desprendidas seguacuten la figura siguiente en la que se han representado las palas sustituidas por sus liacuteneas de sustentacioacuten( torbellino ligado) las hojas de torbellinos helicoidales libres y la velocidad inducida aguas abajo que es perpendicular a la hoja de torbellinos
Ut ----[gt
Ua
37
- - -
1
1 B A Hay infinitas liacuteneas de sustentacioacuten que atraviesan la superficie del cilindroO r Aplicando Stokes O r
El flujo del rotacional = circulacioacuten alrededor del contorno El flujo del rotacional es la suma de las
I I circulaciones de los torbellinos ligadosI I que ha cortado el cilindro es decir r oo
y por tantoI O r I
iquestr=roo =~uumlxdl dondeBI lA u=u +ua t
Calculemos la integral curviliacutenea anterior
~uuml x di = r (ua +utl dl + r(ua +ut )-dl + J(ua +ut)-dl+ r (Ua +~)di (1) (2) (3) (4)
(2) - - (4) Se anulan entre sr por recorrerse el m ismo camino en sentidos inversos shy
ut = O (por estar aguas arriba del propulsor) (3)=gt_ _ (3)=0
uaL di
Luego solo queda la integral (1)
iquestr=r~dl+Juadl =gt rr=r =rutdi
ya que UaL di
Por otra parte Ut es paralelo a di entre A y A luego
Hemos visto que para Z=oo Ut es constante a lo largo de la
circunferencia y puede salir de la integral Por tanto queda
Veamos ahora el caso de nO finito de palas Z En este caso la circulacioacuten total seraacute zr y por tanto
39
Para otras aplicaciones tomaremos A =x t9 13
- Distribucioacuten radial de empujes y pares
Primero hallaremos la relacioacuten entre las velocidades inducidas uYz y
uiexcl y el aacutengulo de paso hidrodinaacutemico 13
dL dT
u sin 13 sin(I3 - ~ ) = V R - --------c---7-shy2 cos(I3 -13 )
y ademaacutes
v _ VR VA
T - cos(f3 -13) sinl3
Entonces
v = V cos(13-(3) bull sin13
y por tanto sustituyendo
~=v cos(13 -13) sin 13 sln(13- 13) 2 sinf3 cos(f3- 3)
~=v sin 13 sin(I3 -3) 2 A sin 13
y del mismo modo
u = v cos 13 sin(3 - (3) 2 A sin 13
y por tanto sustituyendo en
z r = 211 r a3 u
41
El empuje de cada pa la vale
T = J~ dT = J~ dLcos 13 =1r p r vcos 13 dr H
Introducimos el concepto de circulacioacuten adimenslonal
[G=-shy
nD VA
Y sustituyendo podemos reescribir la expresioacuten del coeficiente de empuje
8Z
n
Volviendo al triaacutengulo de velocidades
u2
u2 2nrn - shycos 13 = __---2=_
vR
2=
Sustituyendo arriba y reordenando
Usando los radios adimensionalizados
r dr O x = - dx = - =gt dr = - dx
R R 2
La expresioacuten anterior queda ahora con estos radios adimensionalizados
43
Sacando factor comuacuten resulta
Relacioacuten entre velocidades inducidas y u = Aiexcl X ( _1_-1 J rendimiento
2 v A X 2 + A~ 110
Esta uacuteltima expreslon soacutelo sirve para heacutelices oacuteptimas puesto que hemos hecho uso de la condicioacuten de Betz
Sustituyendo esta expresioacuten en el valor del coeficiente de empuje y realizando las integrales queda la expresioacuten
doacutende tras varios pasos intermedios 1 11 2x I - r o dx
1 - JrH x 2 1) ~ + A 2
1 =(1-110 x 3
d 2 1 2 2 X
~ 110 (x2 +AF)
Para resolver estas integrales hay que recu rri r a hipoacutetesis simplificativas como Xh=O o Z=oo No entraremos aquiacute en el desarrollo completo pero con esto y otras ayudas se llega a
(2)
En esta expresioacuten soacutelo interviene tres paraacutemetros CT to Y A
El paraacutemetro A estaacute muy relacionado con el grado de avance J En efecto
VA JA = x tg 13 = ~ VA = VA = shyR 2n r n 2n R n nOn n
CT puede ser calculado a partir del empuje y del diaacutemetro de la heacutelice Entonces la expresioacuten (2) nos permite conociendo el punto de
funcionamiento de la heacutelice (J) y el empuje ( que puede obtenerse de (~) 1-1
donde R es la res istencia al avance y 1 el coeficiente de succioacuten) estimar el valor to que era el eslaboacuten que faltaba para aplicar la condicioacuten de Betz y poder terminar el caacutelculo f-shy
45
T 2 Con CT = 1---- estimamos el valor de CT ideal a partir de ciertas
2 p v Ao
expresiones empiacutericas
3 Con Cn y A entramos en el Diagrama de Kramer y obtenemos l01
4 Con middottg 13 x y lo aplicando el Teorema de Betz tenemos j3lx para cada seccioacuten
5 lt1gt = 1gt + a~ ~ Sacamos la ley de pasos buscando el aacutengulo de ataque
ideal a I (shock free entry)
6 Lo demaacutes (cuerdas curvaturas espesores ) se obtiene de caacutelculos de resistencia mecaacutenica y de cavitacioacuten
-t
47
dI= dQdQ = dIoob = j oob
Sustituyendo en la expresioacuten de la potencia entregada (8)
dQw = dTv +~ dT b2v2 +~ dQ oo2b2 e 2 v be middot 2oobe
1 1dQoo = dTve +-dTbv +-dQoob
2 e 2
dQ[ 00- ~ oob]=dT[ve + ~Veb]
= dQoo[l- ~J=dTVe[1+J
y por tanto al ser b2 = a y b2 = a
= IdQoo(l-a)=dTve (1+a)1
Con esta uacuteltima expresioacuten calculamos el rendimiento
-adTve 1-a fl -shy=flo = dQoo = l+a O l+a ~
- Anaacutelisis de resultados
Comparando las dos expresiones obtenidas para el rendimiento con la Teoacuteriacutea de la Cantidad de Movimiento Axial y con la Teoriacutea del Impulso Angular tenemos
1- a1 riexcl = fl01 = l+a 02 l+a
T C Mov Axial T Impulso Angular
Dado que a es positivo l-a lt 1 Y por tanto
IflOAngUlar lt flOAxial1
Hay una diferencia introducida al considerar la velocidad angular del fluido y resulta un rendimiento maacutes bajo La teoriacutea del impulso angular es maacutes completa que la axial ya que tiene en cuenta maacutes fenoacutemenos ntildesicos y
14
---
se asemeja maacutes a la realidad El rendimiento es maacutes bajo que con la teoriacutea de la Cantidad de Movimiento axial y maacutes cercano a la realidad pero auacuten asiacute estaacute alej ado del rendimiento real por no considerarse otros fenoacutemenos que aparecen como la friccioacuten
En la figura siguiente se representa el aspecto de la variacioacuten de il y a as iacute como del rendimiento en funcioacuten del coefieciente de carga CT
12-- - ------shy a
- - a
-----C---- ----rend Sldal
~~ -rend angular
08 t-- --------- - --- - - ----- - shy
06 ~s -=~----~__2 04 t---------c~~~~~----0 2 t---------=---~=------ -shy -shy -shy
deg O~~_--~----~--_----__----__--~
2 3 4 5 6 7
1shy
15
Integrando estas curvas se obtiene T y Q de cada pala y si se multiplica por el nuacutemero de palas Z se obtienen T y Q totales de la heacutelice
fdT Q=Z fdQ drT=Z _-dr dr dr
rH = Radio del nuacutecleo R = Radio de la heacutelice
Para conocer estas distribuciones la teoriacutea del elemento de pala estudia queacute pasa en cada rebanada de la pala Para esto se recurre a la teoriacutea de perfiles de la que haremos un breve repaso
- Teoriacutea de PentildeiJes
En la siguiente figura se tiene un perfil inmerso en un flujo de velocidad V r y con un cierto aacutengulo de ataque respecto del mismo
dD
Paso dL = Sustentacioacutenzero geomeacutetrico - dD= Resistencia viscosa
aAacutengulo de ara e
v
En un fiuido viscoso aparece una capa liacutemite que distorsiona el campo de presiones y da lugar a la resistencia de presioacuten de origen viscoso pero la componente predominante en la resistencia del perfil es la debida a la friccioacuten
La sustentacioacuten aparece en el perfil por la diferencia de velocidades del fluido a cada cara del perfil que origina una diferencia de presiones entre las caras que da lugar a la sustentacioacuten
En la figura puede verse
Liacutenea de pasos liacutenea que une el borde de entrada y salida
Aacutengulo de ataque aacutengulo entre el flujo incidente y la liacutenea de pasos
Cuando el aacutengulo de ataque es cero nos encontramos en la condicioacuten de shock free entry Sin embargo la sustentacioacuten no es nula sino algo mayor debido a la asimetriacutea del perfil que viene medida por su curvatura
F
17
El valor de Uo (aacutengulo de sustentacioacuten nula) depende fundamentalmente de la curvatura del perfil ( en ingleacutes camber)
Cto F(curvatura (camber)) t curvatura =gt t eto
Estudiemos el triaacutengulo de velocidades y fuerzas sobre el elemento de pala
VR = Velocidad total Incidente sobre el perfil ltlgt = Aacutengulo de paso geomeacutetrico 13 = Aacutengulo de avance 13 Aacutengulo de paso hidrodinaacutemico u = Aacutengulo de ataque = ltlgt - 13
F dL
1gt
un
- Planteamiento
dOtany=shy
dF =dL sin~+dOcosf3iexcl
dT= dL cos ~ -dO sin ~ =dL ( cos ~- ~~ sin~) dL
Q
dT =dL(COs 13-- siny sin 13-)= ~ (cos 13cosy-siny sin 13)1 cosy 1 COsy 1
dT = ~ [cos(r + 13)]cosy 1
Haciendo lo mismo para dFQ resulta
sln(Y+I3-)dF = dL 1
Q COsy
Pondremos ahora la sustentacioacuten en funcioacuten de eL
19
Hemos llegado a unas expresiones que nos dan el reparto radial de empujes y pares totales de la heacutelice asiacute como del rendimiento Ahora hay que ver si se pueden aplicar
- Anaacutelisis criacutetico
p Z VA = Conocido
c = Conocido al conocer la geometriacutea
a = No conocemos su valor particular para cada seccioacuten podemos tantear el valor total para toda la heacutelice seguacuten las teoriacuteas de la cantidad de movimiento
CL = fA) 2 C1+C1o) no conocemos ni et ni eto para cada seccioacuten
Ademaacutes tendriacuteamos que pensar el A de una rebanada no tiene sentido por tener un espesor diferencial Podemos estimar un valor promedio
R-eacuteA= H rH = radio del nuacutecleo
cmedia
13 = depende del valor de la velocidad inducida de cada seccioacuten que depende del valor_de a de la seccioacuten que no se conoce es por lo tanto una incoacutegnita
y = a su vez depende de A cuyo valor es incierto
Podemos concluir por tanto que aunque se ha llegado con relativa sencillez a las expresiones anteriores estas no son realmente utilizables Se pueden usar valores medios para hacer una estimacioacuten pero no sirven para realizar caacutelculos fiables hasta aquiacute llega esta teoriacutea
Por lo tanto para intentar obtener resultados maacutes coherentes es preciso avanzar algo maacutes y emplear la Teoriacutea de la Circulacioacuten que es bastante maacutes compleja y requiere otras herramientas
21
)
) p Esto equivale a poner en el centro del cilindro un torbellino de intensidad r Ambos campos de velocidad consideradosCel inicial paralelo y uniforme y el nuevo radial) se suman resultando un nuevo campo de velocidadesp
Las liacuteneas de corriente se modifican quedando como en la siguiente figura
L En la parte superior del cilindro los dos campos de velocidades se suman y por tanto la velocidad es mayor que en flujo inicial En la parte inferior del cilindro ocurre lo contrario Se desplazan los puntos de remanso
Se pueden calcular v y p analiacuteticamente y aparece una fuerza la sustentacioacuten Clift)
L = sustentacioacuten Dirigida perpendicularmente al flujo uniforme y paralelo inicial
Calculemos la siguiente integral curviliacutenea que nos daraacute la circulacioacuten del vector velocidad sobre el cilindro
Donde
pVx ~dS=O campo simeacutetrico
-- rPero pvrdS = P2nr dS ya que Vr y dS son paralelos en la
superficie del cilindro Luego
r r rI=p- dS= - pdS=-2nr=r2n r 2n r 2n r
23
~===~====~ ~~-------------- Starting Vortex
El torbellino de intensidad r es desplazado aguas abajo hacia el borde de salida por el resto de liacuteneas de corriente
Recordemos un teorema baacutesico de la Teoriacutea Vorticial que dice que en un dominio fluido la vorticidad total permanece constante
-r 0gt r
= ==0==y~0 ~000
Inicialmente en el dominio fluido antes de introducir el perfil la vorticidad total era nula por lo que ha de aparecer otra circulacioacuten (-1) que compense a la del Starting Vortex Esta aparece en torno al perfil Aparece un nuevo campo de velocidades a causa de esta circulacioacuten en torno al perfil
El punto de remanso B se desplaza ahora al punto anguloso de salida lo que implica que los flujos queL van por arriba y por abajo no se mezclan B se desplaza a base de desprender torbellinos hasta llegar al borde de salida Esta es la Condicioacuten de Kutta
Ademaacutes como en el caso del cilindro si calculamos ahora v y p se obtiene que aparece una fuerza sobre el perfil la sustentacioacuten (l) que es perpendicular al flujo v
25
Esto permite a la hora de estudiar los perfiles y las fuerzas hacer una abstraccioacuten y llegar a sustituir el perfil por un flujo uniforme una liacutenea de torbellinos de verticidad r y una fuerza (l) [Suponiendo un perfil de ancho infinito]
VR - - ---ICgt
r
A la liacutenea de torbellinos se le llama liacutenea de sustentacioacuten ya que los torbellinos secteneran sustentacioacuten La parte de la Teoriacutea de Circulacioacuten que estudia los perfiles sustituyeacutendolos por liacuteneas de sustentacioacuten se llama Teoriacutea de la Liacutenea de Sustentacioacuten ( Ufting-line Theory)
d Perfiles de envergadura finita
Todo lo anterior ocurre en perfiles de envergadura ( ancho perpendicular al papel) infinita que loacutegicamente no existen en la realidad los perfiles que nos encontraremos (alas de avioacuten timones palas de heacutelices etc) son perfiles de envergadura finita es decir t ienen un ancho (alto) determinado Entonces aparece un nuevo fenoacutemeno tridimensiol)ltlJ no como hasta ahora que era siempre un flujo 2D
Efectos 3D
Torbellinos de ~ extremo de ala
S ~~-------------p_p-+--------iquest~
En los bordes del perfil el flujo se escapa de las zonas de preslon maacutes alta ( cara inferior del perfil) hacia las de presioacuten maacutes baj a ( cara superior
27
Como consecuencia de lo anterior en el borde de salida del ala se ) encuentran dos flujos cruzados el superior con una componente hacia el ) centro y el inferior con una componente hacia los extremos que dan lugar
a torbellinos desprendidos a lo largo de todo el borde de sal ida Eacutestos forman una hoja de torbellinos donde los de mayor intensidad aparecen en los bordes laterales del perfil Estos torbellinos se conocen con el nombre de torbellinos libres y son arrastralos aguas abajo por el flujo principal hasta el infinito
IG G G
En consecuencia podemos concluir que en los perfiles de env ergadura finita es decir los perfi les de la vida real se escapan de los mismos una serie de liacuteneas de torbellinos libres hacia popa Podemos hacer una representacioacuten esquemaacutetica como sigue
d
d d
--shy ~~ado el
J shy~a I gar aL
dI
que
T Libres giran en sentidos contrarios a cada lado del ala
Son torbellinos elementales
La vorticidad de los torbell inos libres dI tiene que salir de alguacuten lado ( recordemos que la cantidad total de vorticidad en un dominio ha de permanecer constante) Sale obviamente del torbellino ligado que va perdiendo vorticidad desde el centro del ala hacia ambos bordes laterales
-fshy
29
linea Semi-infinita Si la liacutenea de torbellinos es de
longitud semi-infinita es decir con principio pero sin final y el punto P estaacute en el plano en el que comienza la liacutenea tendremos al integrar
-+00 r
u~--41t y
Es de=ir que una liacutenea de torbellinos semi-infin ita crea una velocidad inducida que es la mitad de la que crea una liacutenea de longitud infinita
En el borde de salida del ala cada torbellino libre puede considerarse como una liacutenea semi-infinita que empieza en dicho borde En el infinito aguas abajo esta liacutenea puede considerarse liacutenea infinita La velocidad inducida por el torbellino libre en el infinito es el doble de la inducida en el borde de salida Lo mismo le ocurre a la velocidad inducida por toda la hoja de torbellinos libres ya que es la suma de las generadas por cada torbellino individual en el infinito la velocidad inducida es el doble que en eacutel b9rde de salida del perfil
U en el infinito ) ~ en el perfil
Hemos hablado de los moacutedulos de la velocidad pero iquestqueacute pasa con las direcciones
uuml
La velocidad inducida por un torbellino es siempre perpendicular a la direccioacuten del mismo En el caso de los torbellinos libres que se desprenden de un ala eacutestos se ven arrastrados por el flujo incidente y por tanto su direccioacuten es la misma de dicho flujo es decir que uuml es perpendicular a la velocidad incidente y estaacute dirigida hacia la cara de presioacuten del perfil No tiene componente transversal ya que dichas componentes se anulan por simetriacutea las de los torbellinos de la mitad izquierda del ala con las de la mitad derecha debe recordarse que giran en sentidos contrarios
Los torbellinos libres generan un campo de velocidades en el espacio que se suma vectorialmente a la velocidad incidente VT Como hemos dicho la velocidad inducida por los torbellinos libres es siempre
31
32 APLICACIOacuteN EN HEacuteLICES
) - Torbellinos ligados torbellinos libres y velocidades inducidas
l )
)
Consideraremos que cada pala es un ala de envergadura finita de las que hemos estudiado en los puntos anteriores y como tal se sustituye por una liacutenea de torbellinos ligados Lo uacutenico diferente es la geometriacutea que ahora es mucho maacutes complicada que la del ala de un avioacuten
En efecto ahora la hoja de torbellinos libres desprendidos es una superficie helicoidal en vez de plana La velocidad inducida [j es perpendicular a dicha superficie y a su vez se puede descomponer en una componente longitudinal
[j (paralela al eje de la heacutelice) a ua y otra tangente a la
superficie del cilindro circunscrito u
Por cada pala se genera una hoja de torbellinos libres desfasados entre siacute por 360oZ (Z = nO de palas) que se van enroscando unas con otras originando un tirabuzoacuten de hojas de torbellinos Cada hoja induce en todos los puntos del espacio una velocidad lo que complica el caacutelculo de las velocidades inducidas ayudado por lo complejo de la geometriacutea de las hojas La velocidad inducida total resultante en un determinado punto seraacute la suma vectorial de todas las velocidades inducidas por cada una de las hojas de torbellinos Puede demostrarse ( no lo haremos en estos Apuntes) que los valores de dichas velocidades inducidas totales variacutean desde el infinito aguas arriba hasta el disco de la heacutelice y desde eacuteste al infinito aguas debajo de la manera recogida en el cuadro siguiente
Axial Tanqencial
OAguas arriba
O u -+shy2
Disco u 2
~ 2
Aguas abajo
u -~~U 2
u ----1-igtU 2
33
En la punta ambas fuerzas son cero ya que la circulacioacuten es nula al igualarse las presiones por pasar el flujo de la cara
07-08 R de presioacuten a la de succioacuten en la zona de la punta (figura de la derecha)
En la raiacutez de las palas la circulacioacuten no es nula pero es pequentildea El motivo es que aparece un fenoacutemeno de interferencia entre palas adyacentes por la proximidad de las mismas en esta zona
Aparecen zonas de alta y baja presioacuten de palas adyacentes que estaacuten bastante proacuteximas por lo que hay una cierta comunicacioacuten de fluido dejando de ser tan extremas las presiones reducieacutendose por tanto lltI sustentacioacuten que aparece y con ello la circulacioacuten
En las palasmiddot de una heacutelice ocurre lo mismo que vimos en las alas al tratarse de perfiles de envergadura finita la circulacioacuten variacutea con el radio r = r(r) y loacutegicamente tambieacuten lo hace la velocidad incidente total
vR = V R (r) que depende de v (conocida) y de la velocidad inducida uuml ( ver
triaacutengulo de velocidades) Es evidente tambieacuten que f3 =f(uuml)
Entonces recordando las expresiones que nos daban el empuje y la fuerza del par
Examinemos estas expresiones De todo lo que hemos expresado arriba se deduce que VR Y 13 dependen de las velocidades inducidas (uuml) pero eacutestas estaacuten generadas por las hojas helicoidales de torbellinos libres y por ello dependen de la vorticidad de los mismos (r) Eacutesta sabemos que vale
r = _ ar dr Br
Y en consecuencia depende de r(r) es decir de la distribucioacuten radial de circulacioacuten del torbellino ligado sobre la pala
35
) rendimiento global final de la heacutelice seriacutea mejor que el de la heacutelice inicial
) Pero esto es incompatible con la hipoacutetesis de partida seguacuten la cual rapt ya ) nos daba el mayor rendimiento global de la heacutelice lo luego dicha hipoacutetesis
de partida es absurda Por el contrario cuando l01 no varia con el radio no hay opcioacuten a jugar con la circulacioacuten de las secciones puesto que todo lo que se toque empeoraraacute el lo global de la heacutelice
Obviamente al ser constante I10i a lo largo del radio seraacute tambieacuten
numeacutericamente igual al rendimiento global de la heacutelice 110 O sea
1101 = cte - f(r) = 110
La condicioacuten de Betz por tanto se escribe para heacutelices en flujo uniforme
1=tg l3 o tg (3
Si la heacutelice trabaja en una estela el estudio hay que realizarlo con el rendimiento cuasi-propulsivo de cada seccioacuten en vez de con el de propulsor aislado Al final puede demostrarse ( no lo haremos aquiacute) que se llega a
ID estela media circunferencial
ro estela efectiva
~ Relacioacuten emplrica entre y = la estela y el coeficiente de succioacuten
Es decir una expresioacuten similar a la de flujo uniforme pero con un factor antildeadido que depende de la estela
- Relacioacuten entre circulacioacuten y velocidades inducidas
Es muy importante encontrar una relacioacuten entre la circulacioacuten del torbellino ligado y las velocidades inducidas por los libres es decir la funcioacuten r = f (u) Para ello suponemos la heacutelice funcionando con las hojas de torbellinos desprendidas seguacuten la figura siguiente en la que se han representado las palas sustituidas por sus liacuteneas de sustentacioacuten( torbellino ligado) las hojas de torbellinos helicoidales libres y la velocidad inducida aguas abajo que es perpendicular a la hoja de torbellinos
Ut ----[gt
Ua
37
- - -
1
1 B A Hay infinitas liacuteneas de sustentacioacuten que atraviesan la superficie del cilindroO r Aplicando Stokes O r
El flujo del rotacional = circulacioacuten alrededor del contorno El flujo del rotacional es la suma de las
I I circulaciones de los torbellinos ligadosI I que ha cortado el cilindro es decir r oo
y por tantoI O r I
iquestr=roo =~uumlxdl dondeBI lA u=u +ua t
Calculemos la integral curviliacutenea anterior
~uuml x di = r (ua +utl dl + r(ua +ut )-dl + J(ua +ut)-dl+ r (Ua +~)di (1) (2) (3) (4)
(2) - - (4) Se anulan entre sr por recorrerse el m ismo camino en sentidos inversos shy
ut = O (por estar aguas arriba del propulsor) (3)=gt_ _ (3)=0
uaL di
Luego solo queda la integral (1)
iquestr=r~dl+Juadl =gt rr=r =rutdi
ya que UaL di
Por otra parte Ut es paralelo a di entre A y A luego
Hemos visto que para Z=oo Ut es constante a lo largo de la
circunferencia y puede salir de la integral Por tanto queda
Veamos ahora el caso de nO finito de palas Z En este caso la circulacioacuten total seraacute zr y por tanto
39
Para otras aplicaciones tomaremos A =x t9 13
- Distribucioacuten radial de empujes y pares
Primero hallaremos la relacioacuten entre las velocidades inducidas uYz y
uiexcl y el aacutengulo de paso hidrodinaacutemico 13
dL dT
u sin 13 sin(I3 - ~ ) = V R - --------c---7-shy2 cos(I3 -13 )
y ademaacutes
v _ VR VA
T - cos(f3 -13) sinl3
Entonces
v = V cos(13-(3) bull sin13
y por tanto sustituyendo
~=v cos(13 -13) sin 13 sln(13- 13) 2 sinf3 cos(f3- 3)
~=v sin 13 sin(I3 -3) 2 A sin 13
y del mismo modo
u = v cos 13 sin(3 - (3) 2 A sin 13
y por tanto sustituyendo en
z r = 211 r a3 u
41
El empuje de cada pa la vale
T = J~ dT = J~ dLcos 13 =1r p r vcos 13 dr H
Introducimos el concepto de circulacioacuten adimenslonal
[G=-shy
nD VA
Y sustituyendo podemos reescribir la expresioacuten del coeficiente de empuje
8Z
n
Volviendo al triaacutengulo de velocidades
u2
u2 2nrn - shycos 13 = __---2=_
vR
2=
Sustituyendo arriba y reordenando
Usando los radios adimensionalizados
r dr O x = - dx = - =gt dr = - dx
R R 2
La expresioacuten anterior queda ahora con estos radios adimensionalizados
43
Sacando factor comuacuten resulta
Relacioacuten entre velocidades inducidas y u = Aiexcl X ( _1_-1 J rendimiento
2 v A X 2 + A~ 110
Esta uacuteltima expreslon soacutelo sirve para heacutelices oacuteptimas puesto que hemos hecho uso de la condicioacuten de Betz
Sustituyendo esta expresioacuten en el valor del coeficiente de empuje y realizando las integrales queda la expresioacuten
doacutende tras varios pasos intermedios 1 11 2x I - r o dx
1 - JrH x 2 1) ~ + A 2
1 =(1-110 x 3
d 2 1 2 2 X
~ 110 (x2 +AF)
Para resolver estas integrales hay que recu rri r a hipoacutetesis simplificativas como Xh=O o Z=oo No entraremos aquiacute en el desarrollo completo pero con esto y otras ayudas se llega a
(2)
En esta expresioacuten soacutelo interviene tres paraacutemetros CT to Y A
El paraacutemetro A estaacute muy relacionado con el grado de avance J En efecto
VA JA = x tg 13 = ~ VA = VA = shyR 2n r n 2n R n nOn n
CT puede ser calculado a partir del empuje y del diaacutemetro de la heacutelice Entonces la expresioacuten (2) nos permite conociendo el punto de
funcionamiento de la heacutelice (J) y el empuje ( que puede obtenerse de (~) 1-1
donde R es la res istencia al avance y 1 el coeficiente de succioacuten) estimar el valor to que era el eslaboacuten que faltaba para aplicar la condicioacuten de Betz y poder terminar el caacutelculo f-shy
45
T 2 Con CT = 1---- estimamos el valor de CT ideal a partir de ciertas
2 p v Ao
expresiones empiacutericas
3 Con Cn y A entramos en el Diagrama de Kramer y obtenemos l01
4 Con middottg 13 x y lo aplicando el Teorema de Betz tenemos j3lx para cada seccioacuten
5 lt1gt = 1gt + a~ ~ Sacamos la ley de pasos buscando el aacutengulo de ataque
ideal a I (shock free entry)
6 Lo demaacutes (cuerdas curvaturas espesores ) se obtiene de caacutelculos de resistencia mecaacutenica y de cavitacioacuten
-t
47
---
se asemeja maacutes a la realidad El rendimiento es maacutes bajo que con la teoriacutea de la Cantidad de Movimiento axial y maacutes cercano a la realidad pero auacuten asiacute estaacute alej ado del rendimiento real por no considerarse otros fenoacutemenos que aparecen como la friccioacuten
En la figura siguiente se representa el aspecto de la variacioacuten de il y a as iacute como del rendimiento en funcioacuten del coefieciente de carga CT
12-- - ------shy a
- - a
-----C---- ----rend Sldal
~~ -rend angular
08 t-- --------- - --- - - ----- - shy
06 ~s -=~----~__2 04 t---------c~~~~~----0 2 t---------=---~=------ -shy -shy -shy
deg O~~_--~----~--_----__----__--~
2 3 4 5 6 7
1shy
15
Integrando estas curvas se obtiene T y Q de cada pala y si se multiplica por el nuacutemero de palas Z se obtienen T y Q totales de la heacutelice
fdT Q=Z fdQ drT=Z _-dr dr dr
rH = Radio del nuacutecleo R = Radio de la heacutelice
Para conocer estas distribuciones la teoriacutea del elemento de pala estudia queacute pasa en cada rebanada de la pala Para esto se recurre a la teoriacutea de perfiles de la que haremos un breve repaso
- Teoriacutea de PentildeiJes
En la siguiente figura se tiene un perfil inmerso en un flujo de velocidad V r y con un cierto aacutengulo de ataque respecto del mismo
dD
Paso dL = Sustentacioacutenzero geomeacutetrico - dD= Resistencia viscosa
aAacutengulo de ara e
v
En un fiuido viscoso aparece una capa liacutemite que distorsiona el campo de presiones y da lugar a la resistencia de presioacuten de origen viscoso pero la componente predominante en la resistencia del perfil es la debida a la friccioacuten
La sustentacioacuten aparece en el perfil por la diferencia de velocidades del fluido a cada cara del perfil que origina una diferencia de presiones entre las caras que da lugar a la sustentacioacuten
En la figura puede verse
Liacutenea de pasos liacutenea que une el borde de entrada y salida
Aacutengulo de ataque aacutengulo entre el flujo incidente y la liacutenea de pasos
Cuando el aacutengulo de ataque es cero nos encontramos en la condicioacuten de shock free entry Sin embargo la sustentacioacuten no es nula sino algo mayor debido a la asimetriacutea del perfil que viene medida por su curvatura
F
17
El valor de Uo (aacutengulo de sustentacioacuten nula) depende fundamentalmente de la curvatura del perfil ( en ingleacutes camber)
Cto F(curvatura (camber)) t curvatura =gt t eto
Estudiemos el triaacutengulo de velocidades y fuerzas sobre el elemento de pala
VR = Velocidad total Incidente sobre el perfil ltlgt = Aacutengulo de paso geomeacutetrico 13 = Aacutengulo de avance 13 Aacutengulo de paso hidrodinaacutemico u = Aacutengulo de ataque = ltlgt - 13
F dL
1gt
un
- Planteamiento
dOtany=shy
dF =dL sin~+dOcosf3iexcl
dT= dL cos ~ -dO sin ~ =dL ( cos ~- ~~ sin~) dL
Q
dT =dL(COs 13-- siny sin 13-)= ~ (cos 13cosy-siny sin 13)1 cosy 1 COsy 1
dT = ~ [cos(r + 13)]cosy 1
Haciendo lo mismo para dFQ resulta
sln(Y+I3-)dF = dL 1
Q COsy
Pondremos ahora la sustentacioacuten en funcioacuten de eL
19
Hemos llegado a unas expresiones que nos dan el reparto radial de empujes y pares totales de la heacutelice asiacute como del rendimiento Ahora hay que ver si se pueden aplicar
- Anaacutelisis criacutetico
p Z VA = Conocido
c = Conocido al conocer la geometriacutea
a = No conocemos su valor particular para cada seccioacuten podemos tantear el valor total para toda la heacutelice seguacuten las teoriacuteas de la cantidad de movimiento
CL = fA) 2 C1+C1o) no conocemos ni et ni eto para cada seccioacuten
Ademaacutes tendriacuteamos que pensar el A de una rebanada no tiene sentido por tener un espesor diferencial Podemos estimar un valor promedio
R-eacuteA= H rH = radio del nuacutecleo
cmedia
13 = depende del valor de la velocidad inducida de cada seccioacuten que depende del valor_de a de la seccioacuten que no se conoce es por lo tanto una incoacutegnita
y = a su vez depende de A cuyo valor es incierto
Podemos concluir por tanto que aunque se ha llegado con relativa sencillez a las expresiones anteriores estas no son realmente utilizables Se pueden usar valores medios para hacer una estimacioacuten pero no sirven para realizar caacutelculos fiables hasta aquiacute llega esta teoriacutea
Por lo tanto para intentar obtener resultados maacutes coherentes es preciso avanzar algo maacutes y emplear la Teoriacutea de la Circulacioacuten que es bastante maacutes compleja y requiere otras herramientas
21
)
) p Esto equivale a poner en el centro del cilindro un torbellino de intensidad r Ambos campos de velocidad consideradosCel inicial paralelo y uniforme y el nuevo radial) se suman resultando un nuevo campo de velocidadesp
Las liacuteneas de corriente se modifican quedando como en la siguiente figura
L En la parte superior del cilindro los dos campos de velocidades se suman y por tanto la velocidad es mayor que en flujo inicial En la parte inferior del cilindro ocurre lo contrario Se desplazan los puntos de remanso
Se pueden calcular v y p analiacuteticamente y aparece una fuerza la sustentacioacuten Clift)
L = sustentacioacuten Dirigida perpendicularmente al flujo uniforme y paralelo inicial
Calculemos la siguiente integral curviliacutenea que nos daraacute la circulacioacuten del vector velocidad sobre el cilindro
Donde
pVx ~dS=O campo simeacutetrico
-- rPero pvrdS = P2nr dS ya que Vr y dS son paralelos en la
superficie del cilindro Luego
r r rI=p- dS= - pdS=-2nr=r2n r 2n r 2n r
23
~===~====~ ~~-------------- Starting Vortex
El torbellino de intensidad r es desplazado aguas abajo hacia el borde de salida por el resto de liacuteneas de corriente
Recordemos un teorema baacutesico de la Teoriacutea Vorticial que dice que en un dominio fluido la vorticidad total permanece constante
-r 0gt r
= ==0==y~0 ~000
Inicialmente en el dominio fluido antes de introducir el perfil la vorticidad total era nula por lo que ha de aparecer otra circulacioacuten (-1) que compense a la del Starting Vortex Esta aparece en torno al perfil Aparece un nuevo campo de velocidades a causa de esta circulacioacuten en torno al perfil
El punto de remanso B se desplaza ahora al punto anguloso de salida lo que implica que los flujos queL van por arriba y por abajo no se mezclan B se desplaza a base de desprender torbellinos hasta llegar al borde de salida Esta es la Condicioacuten de Kutta
Ademaacutes como en el caso del cilindro si calculamos ahora v y p se obtiene que aparece una fuerza sobre el perfil la sustentacioacuten (l) que es perpendicular al flujo v
25
Esto permite a la hora de estudiar los perfiles y las fuerzas hacer una abstraccioacuten y llegar a sustituir el perfil por un flujo uniforme una liacutenea de torbellinos de verticidad r y una fuerza (l) [Suponiendo un perfil de ancho infinito]
VR - - ---ICgt
r
A la liacutenea de torbellinos se le llama liacutenea de sustentacioacuten ya que los torbellinos secteneran sustentacioacuten La parte de la Teoriacutea de Circulacioacuten que estudia los perfiles sustituyeacutendolos por liacuteneas de sustentacioacuten se llama Teoriacutea de la Liacutenea de Sustentacioacuten ( Ufting-line Theory)
d Perfiles de envergadura finita
Todo lo anterior ocurre en perfiles de envergadura ( ancho perpendicular al papel) infinita que loacutegicamente no existen en la realidad los perfiles que nos encontraremos (alas de avioacuten timones palas de heacutelices etc) son perfiles de envergadura finita es decir t ienen un ancho (alto) determinado Entonces aparece un nuevo fenoacutemeno tridimensiol)ltlJ no como hasta ahora que era siempre un flujo 2D
Efectos 3D
Torbellinos de ~ extremo de ala
S ~~-------------p_p-+--------iquest~
En los bordes del perfil el flujo se escapa de las zonas de preslon maacutes alta ( cara inferior del perfil) hacia las de presioacuten maacutes baj a ( cara superior
27
Como consecuencia de lo anterior en el borde de salida del ala se ) encuentran dos flujos cruzados el superior con una componente hacia el ) centro y el inferior con una componente hacia los extremos que dan lugar
a torbellinos desprendidos a lo largo de todo el borde de sal ida Eacutestos forman una hoja de torbellinos donde los de mayor intensidad aparecen en los bordes laterales del perfil Estos torbellinos se conocen con el nombre de torbellinos libres y son arrastralos aguas abajo por el flujo principal hasta el infinito
IG G G
En consecuencia podemos concluir que en los perfiles de env ergadura finita es decir los perfi les de la vida real se escapan de los mismos una serie de liacuteneas de torbellinos libres hacia popa Podemos hacer una representacioacuten esquemaacutetica como sigue
d
d d
--shy ~~ado el
J shy~a I gar aL
dI
que
T Libres giran en sentidos contrarios a cada lado del ala
Son torbellinos elementales
La vorticidad de los torbell inos libres dI tiene que salir de alguacuten lado ( recordemos que la cantidad total de vorticidad en un dominio ha de permanecer constante) Sale obviamente del torbellino ligado que va perdiendo vorticidad desde el centro del ala hacia ambos bordes laterales
-fshy
29
linea Semi-infinita Si la liacutenea de torbellinos es de
longitud semi-infinita es decir con principio pero sin final y el punto P estaacute en el plano en el que comienza la liacutenea tendremos al integrar
-+00 r
u~--41t y
Es de=ir que una liacutenea de torbellinos semi-infin ita crea una velocidad inducida que es la mitad de la que crea una liacutenea de longitud infinita
En el borde de salida del ala cada torbellino libre puede considerarse como una liacutenea semi-infinita que empieza en dicho borde En el infinito aguas abajo esta liacutenea puede considerarse liacutenea infinita La velocidad inducida por el torbellino libre en el infinito es el doble de la inducida en el borde de salida Lo mismo le ocurre a la velocidad inducida por toda la hoja de torbellinos libres ya que es la suma de las generadas por cada torbellino individual en el infinito la velocidad inducida es el doble que en eacutel b9rde de salida del perfil
U en el infinito ) ~ en el perfil
Hemos hablado de los moacutedulos de la velocidad pero iquestqueacute pasa con las direcciones
uuml
La velocidad inducida por un torbellino es siempre perpendicular a la direccioacuten del mismo En el caso de los torbellinos libres que se desprenden de un ala eacutestos se ven arrastrados por el flujo incidente y por tanto su direccioacuten es la misma de dicho flujo es decir que uuml es perpendicular a la velocidad incidente y estaacute dirigida hacia la cara de presioacuten del perfil No tiene componente transversal ya que dichas componentes se anulan por simetriacutea las de los torbellinos de la mitad izquierda del ala con las de la mitad derecha debe recordarse que giran en sentidos contrarios
Los torbellinos libres generan un campo de velocidades en el espacio que se suma vectorialmente a la velocidad incidente VT Como hemos dicho la velocidad inducida por los torbellinos libres es siempre
31
32 APLICACIOacuteN EN HEacuteLICES
) - Torbellinos ligados torbellinos libres y velocidades inducidas
l )
)
Consideraremos que cada pala es un ala de envergadura finita de las que hemos estudiado en los puntos anteriores y como tal se sustituye por una liacutenea de torbellinos ligados Lo uacutenico diferente es la geometriacutea que ahora es mucho maacutes complicada que la del ala de un avioacuten
En efecto ahora la hoja de torbellinos libres desprendidos es una superficie helicoidal en vez de plana La velocidad inducida [j es perpendicular a dicha superficie y a su vez se puede descomponer en una componente longitudinal
[j (paralela al eje de la heacutelice) a ua y otra tangente a la
superficie del cilindro circunscrito u
Por cada pala se genera una hoja de torbellinos libres desfasados entre siacute por 360oZ (Z = nO de palas) que se van enroscando unas con otras originando un tirabuzoacuten de hojas de torbellinos Cada hoja induce en todos los puntos del espacio una velocidad lo que complica el caacutelculo de las velocidades inducidas ayudado por lo complejo de la geometriacutea de las hojas La velocidad inducida total resultante en un determinado punto seraacute la suma vectorial de todas las velocidades inducidas por cada una de las hojas de torbellinos Puede demostrarse ( no lo haremos en estos Apuntes) que los valores de dichas velocidades inducidas totales variacutean desde el infinito aguas arriba hasta el disco de la heacutelice y desde eacuteste al infinito aguas debajo de la manera recogida en el cuadro siguiente
Axial Tanqencial
OAguas arriba
O u -+shy2
Disco u 2
~ 2
Aguas abajo
u -~~U 2
u ----1-igtU 2
33
En la punta ambas fuerzas son cero ya que la circulacioacuten es nula al igualarse las presiones por pasar el flujo de la cara
07-08 R de presioacuten a la de succioacuten en la zona de la punta (figura de la derecha)
En la raiacutez de las palas la circulacioacuten no es nula pero es pequentildea El motivo es que aparece un fenoacutemeno de interferencia entre palas adyacentes por la proximidad de las mismas en esta zona
Aparecen zonas de alta y baja presioacuten de palas adyacentes que estaacuten bastante proacuteximas por lo que hay una cierta comunicacioacuten de fluido dejando de ser tan extremas las presiones reducieacutendose por tanto lltI sustentacioacuten que aparece y con ello la circulacioacuten
En las palasmiddot de una heacutelice ocurre lo mismo que vimos en las alas al tratarse de perfiles de envergadura finita la circulacioacuten variacutea con el radio r = r(r) y loacutegicamente tambieacuten lo hace la velocidad incidente total
vR = V R (r) que depende de v (conocida) y de la velocidad inducida uuml ( ver
triaacutengulo de velocidades) Es evidente tambieacuten que f3 =f(uuml)
Entonces recordando las expresiones que nos daban el empuje y la fuerza del par
Examinemos estas expresiones De todo lo que hemos expresado arriba se deduce que VR Y 13 dependen de las velocidades inducidas (uuml) pero eacutestas estaacuten generadas por las hojas helicoidales de torbellinos libres y por ello dependen de la vorticidad de los mismos (r) Eacutesta sabemos que vale
r = _ ar dr Br
Y en consecuencia depende de r(r) es decir de la distribucioacuten radial de circulacioacuten del torbellino ligado sobre la pala
35
) rendimiento global final de la heacutelice seriacutea mejor que el de la heacutelice inicial
) Pero esto es incompatible con la hipoacutetesis de partida seguacuten la cual rapt ya ) nos daba el mayor rendimiento global de la heacutelice lo luego dicha hipoacutetesis
de partida es absurda Por el contrario cuando l01 no varia con el radio no hay opcioacuten a jugar con la circulacioacuten de las secciones puesto que todo lo que se toque empeoraraacute el lo global de la heacutelice
Obviamente al ser constante I10i a lo largo del radio seraacute tambieacuten
numeacutericamente igual al rendimiento global de la heacutelice 110 O sea
1101 = cte - f(r) = 110
La condicioacuten de Betz por tanto se escribe para heacutelices en flujo uniforme
1=tg l3 o tg (3
Si la heacutelice trabaja en una estela el estudio hay que realizarlo con el rendimiento cuasi-propulsivo de cada seccioacuten en vez de con el de propulsor aislado Al final puede demostrarse ( no lo haremos aquiacute) que se llega a
ID estela media circunferencial
ro estela efectiva
~ Relacioacuten emplrica entre y = la estela y el coeficiente de succioacuten
Es decir una expresioacuten similar a la de flujo uniforme pero con un factor antildeadido que depende de la estela
- Relacioacuten entre circulacioacuten y velocidades inducidas
Es muy importante encontrar una relacioacuten entre la circulacioacuten del torbellino ligado y las velocidades inducidas por los libres es decir la funcioacuten r = f (u) Para ello suponemos la heacutelice funcionando con las hojas de torbellinos desprendidas seguacuten la figura siguiente en la que se han representado las palas sustituidas por sus liacuteneas de sustentacioacuten( torbellino ligado) las hojas de torbellinos helicoidales libres y la velocidad inducida aguas abajo que es perpendicular a la hoja de torbellinos
Ut ----[gt
Ua
37
- - -
1
1 B A Hay infinitas liacuteneas de sustentacioacuten que atraviesan la superficie del cilindroO r Aplicando Stokes O r
El flujo del rotacional = circulacioacuten alrededor del contorno El flujo del rotacional es la suma de las
I I circulaciones de los torbellinos ligadosI I que ha cortado el cilindro es decir r oo
y por tantoI O r I
iquestr=roo =~uumlxdl dondeBI lA u=u +ua t
Calculemos la integral curviliacutenea anterior
~uuml x di = r (ua +utl dl + r(ua +ut )-dl + J(ua +ut)-dl+ r (Ua +~)di (1) (2) (3) (4)
(2) - - (4) Se anulan entre sr por recorrerse el m ismo camino en sentidos inversos shy
ut = O (por estar aguas arriba del propulsor) (3)=gt_ _ (3)=0
uaL di
Luego solo queda la integral (1)
iquestr=r~dl+Juadl =gt rr=r =rutdi
ya que UaL di
Por otra parte Ut es paralelo a di entre A y A luego
Hemos visto que para Z=oo Ut es constante a lo largo de la
circunferencia y puede salir de la integral Por tanto queda
Veamos ahora el caso de nO finito de palas Z En este caso la circulacioacuten total seraacute zr y por tanto
39
Para otras aplicaciones tomaremos A =x t9 13
- Distribucioacuten radial de empujes y pares
Primero hallaremos la relacioacuten entre las velocidades inducidas uYz y
uiexcl y el aacutengulo de paso hidrodinaacutemico 13
dL dT
u sin 13 sin(I3 - ~ ) = V R - --------c---7-shy2 cos(I3 -13 )
y ademaacutes
v _ VR VA
T - cos(f3 -13) sinl3
Entonces
v = V cos(13-(3) bull sin13
y por tanto sustituyendo
~=v cos(13 -13) sin 13 sln(13- 13) 2 sinf3 cos(f3- 3)
~=v sin 13 sin(I3 -3) 2 A sin 13
y del mismo modo
u = v cos 13 sin(3 - (3) 2 A sin 13
y por tanto sustituyendo en
z r = 211 r a3 u
41
El empuje de cada pa la vale
T = J~ dT = J~ dLcos 13 =1r p r vcos 13 dr H
Introducimos el concepto de circulacioacuten adimenslonal
[G=-shy
nD VA
Y sustituyendo podemos reescribir la expresioacuten del coeficiente de empuje
8Z
n
Volviendo al triaacutengulo de velocidades
u2
u2 2nrn - shycos 13 = __---2=_
vR
2=
Sustituyendo arriba y reordenando
Usando los radios adimensionalizados
r dr O x = - dx = - =gt dr = - dx
R R 2
La expresioacuten anterior queda ahora con estos radios adimensionalizados
43
Sacando factor comuacuten resulta
Relacioacuten entre velocidades inducidas y u = Aiexcl X ( _1_-1 J rendimiento
2 v A X 2 + A~ 110
Esta uacuteltima expreslon soacutelo sirve para heacutelices oacuteptimas puesto que hemos hecho uso de la condicioacuten de Betz
Sustituyendo esta expresioacuten en el valor del coeficiente de empuje y realizando las integrales queda la expresioacuten
doacutende tras varios pasos intermedios 1 11 2x I - r o dx
1 - JrH x 2 1) ~ + A 2
1 =(1-110 x 3
d 2 1 2 2 X
~ 110 (x2 +AF)
Para resolver estas integrales hay que recu rri r a hipoacutetesis simplificativas como Xh=O o Z=oo No entraremos aquiacute en el desarrollo completo pero con esto y otras ayudas se llega a
(2)
En esta expresioacuten soacutelo interviene tres paraacutemetros CT to Y A
El paraacutemetro A estaacute muy relacionado con el grado de avance J En efecto
VA JA = x tg 13 = ~ VA = VA = shyR 2n r n 2n R n nOn n
CT puede ser calculado a partir del empuje y del diaacutemetro de la heacutelice Entonces la expresioacuten (2) nos permite conociendo el punto de
funcionamiento de la heacutelice (J) y el empuje ( que puede obtenerse de (~) 1-1
donde R es la res istencia al avance y 1 el coeficiente de succioacuten) estimar el valor to que era el eslaboacuten que faltaba para aplicar la condicioacuten de Betz y poder terminar el caacutelculo f-shy
45
T 2 Con CT = 1---- estimamos el valor de CT ideal a partir de ciertas
2 p v Ao
expresiones empiacutericas
3 Con Cn y A entramos en el Diagrama de Kramer y obtenemos l01
4 Con middottg 13 x y lo aplicando el Teorema de Betz tenemos j3lx para cada seccioacuten
5 lt1gt = 1gt + a~ ~ Sacamos la ley de pasos buscando el aacutengulo de ataque
ideal a I (shock free entry)
6 Lo demaacutes (cuerdas curvaturas espesores ) se obtiene de caacutelculos de resistencia mecaacutenica y de cavitacioacuten
-t
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Integrando estas curvas se obtiene T y Q de cada pala y si se multiplica por el nuacutemero de palas Z se obtienen T y Q totales de la heacutelice
fdT Q=Z fdQ drT=Z _-dr dr dr
rH = Radio del nuacutecleo R = Radio de la heacutelice
Para conocer estas distribuciones la teoriacutea del elemento de pala estudia queacute pasa en cada rebanada de la pala Para esto se recurre a la teoriacutea de perfiles de la que haremos un breve repaso
- Teoriacutea de PentildeiJes
En la siguiente figura se tiene un perfil inmerso en un flujo de velocidad V r y con un cierto aacutengulo de ataque respecto del mismo
dD
Paso dL = Sustentacioacutenzero geomeacutetrico - dD= Resistencia viscosa
aAacutengulo de ara e
v
En un fiuido viscoso aparece una capa liacutemite que distorsiona el campo de presiones y da lugar a la resistencia de presioacuten de origen viscoso pero la componente predominante en la resistencia del perfil es la debida a la friccioacuten
La sustentacioacuten aparece en el perfil por la diferencia de velocidades del fluido a cada cara del perfil que origina una diferencia de presiones entre las caras que da lugar a la sustentacioacuten
En la figura puede verse
Liacutenea de pasos liacutenea que une el borde de entrada y salida
Aacutengulo de ataque aacutengulo entre el flujo incidente y la liacutenea de pasos
Cuando el aacutengulo de ataque es cero nos encontramos en la condicioacuten de shock free entry Sin embargo la sustentacioacuten no es nula sino algo mayor debido a la asimetriacutea del perfil que viene medida por su curvatura
F
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El valor de Uo (aacutengulo de sustentacioacuten nula) depende fundamentalmente de la curvatura del perfil ( en ingleacutes camber)
Cto F(curvatura (camber)) t curvatura =gt t eto
Estudiemos el triaacutengulo de velocidades y fuerzas sobre el elemento de pala
VR = Velocidad total Incidente sobre el perfil ltlgt = Aacutengulo de paso geomeacutetrico 13 = Aacutengulo de avance 13 Aacutengulo de paso hidrodinaacutemico u = Aacutengulo de ataque = ltlgt - 13
F dL
1gt
un
- Planteamiento
dOtany=shy
dF =dL sin~+dOcosf3iexcl
dT= dL cos ~ -dO sin ~ =dL ( cos ~- ~~ sin~) dL
Q
dT =dL(COs 13-- siny sin 13-)= ~ (cos 13cosy-siny sin 13)1 cosy 1 COsy 1
dT = ~ [cos(r + 13)]cosy 1
Haciendo lo mismo para dFQ resulta
sln(Y+I3-)dF = dL 1
Q COsy
Pondremos ahora la sustentacioacuten en funcioacuten de eL
19
Hemos llegado a unas expresiones que nos dan el reparto radial de empujes y pares totales de la heacutelice asiacute como del rendimiento Ahora hay que ver si se pueden aplicar
- Anaacutelisis criacutetico
p Z VA = Conocido
c = Conocido al conocer la geometriacutea
a = No conocemos su valor particular para cada seccioacuten podemos tantear el valor total para toda la heacutelice seguacuten las teoriacuteas de la cantidad de movimiento
CL = fA) 2 C1+C1o) no conocemos ni et ni eto para cada seccioacuten
Ademaacutes tendriacuteamos que pensar el A de una rebanada no tiene sentido por tener un espesor diferencial Podemos estimar un valor promedio
R-eacuteA= H rH = radio del nuacutecleo
cmedia
13 = depende del valor de la velocidad inducida de cada seccioacuten que depende del valor_de a de la seccioacuten que no se conoce es por lo tanto una incoacutegnita
y = a su vez depende de A cuyo valor es incierto
Podemos concluir por tanto que aunque se ha llegado con relativa sencillez a las expresiones anteriores estas no son realmente utilizables Se pueden usar valores medios para hacer una estimacioacuten pero no sirven para realizar caacutelculos fiables hasta aquiacute llega esta teoriacutea
Por lo tanto para intentar obtener resultados maacutes coherentes es preciso avanzar algo maacutes y emplear la Teoriacutea de la Circulacioacuten que es bastante maacutes compleja y requiere otras herramientas
21
)
) p Esto equivale a poner en el centro del cilindro un torbellino de intensidad r Ambos campos de velocidad consideradosCel inicial paralelo y uniforme y el nuevo radial) se suman resultando un nuevo campo de velocidadesp
Las liacuteneas de corriente se modifican quedando como en la siguiente figura
L En la parte superior del cilindro los dos campos de velocidades se suman y por tanto la velocidad es mayor que en flujo inicial En la parte inferior del cilindro ocurre lo contrario Se desplazan los puntos de remanso
Se pueden calcular v y p analiacuteticamente y aparece una fuerza la sustentacioacuten Clift)
L = sustentacioacuten Dirigida perpendicularmente al flujo uniforme y paralelo inicial
Calculemos la siguiente integral curviliacutenea que nos daraacute la circulacioacuten del vector velocidad sobre el cilindro
Donde
pVx ~dS=O campo simeacutetrico
-- rPero pvrdS = P2nr dS ya que Vr y dS son paralelos en la
superficie del cilindro Luego
r r rI=p- dS= - pdS=-2nr=r2n r 2n r 2n r
23
~===~====~ ~~-------------- Starting Vortex
El torbellino de intensidad r es desplazado aguas abajo hacia el borde de salida por el resto de liacuteneas de corriente
Recordemos un teorema baacutesico de la Teoriacutea Vorticial que dice que en un dominio fluido la vorticidad total permanece constante
-r 0gt r
= ==0==y~0 ~000
Inicialmente en el dominio fluido antes de introducir el perfil la vorticidad total era nula por lo que ha de aparecer otra circulacioacuten (-1) que compense a la del Starting Vortex Esta aparece en torno al perfil Aparece un nuevo campo de velocidades a causa de esta circulacioacuten en torno al perfil
El punto de remanso B se desplaza ahora al punto anguloso de salida lo que implica que los flujos queL van por arriba y por abajo no se mezclan B se desplaza a base de desprender torbellinos hasta llegar al borde de salida Esta es la Condicioacuten de Kutta
Ademaacutes como en el caso del cilindro si calculamos ahora v y p se obtiene que aparece una fuerza sobre el perfil la sustentacioacuten (l) que es perpendicular al flujo v
25
Esto permite a la hora de estudiar los perfiles y las fuerzas hacer una abstraccioacuten y llegar a sustituir el perfil por un flujo uniforme una liacutenea de torbellinos de verticidad r y una fuerza (l) [Suponiendo un perfil de ancho infinito]
VR - - ---ICgt
r
A la liacutenea de torbellinos se le llama liacutenea de sustentacioacuten ya que los torbellinos secteneran sustentacioacuten La parte de la Teoriacutea de Circulacioacuten que estudia los perfiles sustituyeacutendolos por liacuteneas de sustentacioacuten se llama Teoriacutea de la Liacutenea de Sustentacioacuten ( Ufting-line Theory)
d Perfiles de envergadura finita
Todo lo anterior ocurre en perfiles de envergadura ( ancho perpendicular al papel) infinita que loacutegicamente no existen en la realidad los perfiles que nos encontraremos (alas de avioacuten timones palas de heacutelices etc) son perfiles de envergadura finita es decir t ienen un ancho (alto) determinado Entonces aparece un nuevo fenoacutemeno tridimensiol)ltlJ no como hasta ahora que era siempre un flujo 2D
Efectos 3D
Torbellinos de ~ extremo de ala
S ~~-------------p_p-+--------iquest~
En los bordes del perfil el flujo se escapa de las zonas de preslon maacutes alta ( cara inferior del perfil) hacia las de presioacuten maacutes baj a ( cara superior
27
Como consecuencia de lo anterior en el borde de salida del ala se ) encuentran dos flujos cruzados el superior con una componente hacia el ) centro y el inferior con una componente hacia los extremos que dan lugar
a torbellinos desprendidos a lo largo de todo el borde de sal ida Eacutestos forman una hoja de torbellinos donde los de mayor intensidad aparecen en los bordes laterales del perfil Estos torbellinos se conocen con el nombre de torbellinos libres y son arrastralos aguas abajo por el flujo principal hasta el infinito
IG G G
En consecuencia podemos concluir que en los perfiles de env ergadura finita es decir los perfi les de la vida real se escapan de los mismos una serie de liacuteneas de torbellinos libres hacia popa Podemos hacer una representacioacuten esquemaacutetica como sigue
d
d d
--shy ~~ado el
J shy~a I gar aL
dI
que
T Libres giran en sentidos contrarios a cada lado del ala
Son torbellinos elementales
La vorticidad de los torbell inos libres dI tiene que salir de alguacuten lado ( recordemos que la cantidad total de vorticidad en un dominio ha de permanecer constante) Sale obviamente del torbellino ligado que va perdiendo vorticidad desde el centro del ala hacia ambos bordes laterales
-fshy
29
linea Semi-infinita Si la liacutenea de torbellinos es de
longitud semi-infinita es decir con principio pero sin final y el punto P estaacute en el plano en el que comienza la liacutenea tendremos al integrar
-+00 r
u~--41t y
Es de=ir que una liacutenea de torbellinos semi-infin ita crea una velocidad inducida que es la mitad de la que crea una liacutenea de longitud infinita
En el borde de salida del ala cada torbellino libre puede considerarse como una liacutenea semi-infinita que empieza en dicho borde En el infinito aguas abajo esta liacutenea puede considerarse liacutenea infinita La velocidad inducida por el torbellino libre en el infinito es el doble de la inducida en el borde de salida Lo mismo le ocurre a la velocidad inducida por toda la hoja de torbellinos libres ya que es la suma de las generadas por cada torbellino individual en el infinito la velocidad inducida es el doble que en eacutel b9rde de salida del perfil
U en el infinito ) ~ en el perfil
Hemos hablado de los moacutedulos de la velocidad pero iquestqueacute pasa con las direcciones
uuml
La velocidad inducida por un torbellino es siempre perpendicular a la direccioacuten del mismo En el caso de los torbellinos libres que se desprenden de un ala eacutestos se ven arrastrados por el flujo incidente y por tanto su direccioacuten es la misma de dicho flujo es decir que uuml es perpendicular a la velocidad incidente y estaacute dirigida hacia la cara de presioacuten del perfil No tiene componente transversal ya que dichas componentes se anulan por simetriacutea las de los torbellinos de la mitad izquierda del ala con las de la mitad derecha debe recordarse que giran en sentidos contrarios
Los torbellinos libres generan un campo de velocidades en el espacio que se suma vectorialmente a la velocidad incidente VT Como hemos dicho la velocidad inducida por los torbellinos libres es siempre
31
32 APLICACIOacuteN EN HEacuteLICES
) - Torbellinos ligados torbellinos libres y velocidades inducidas
l )
)
Consideraremos que cada pala es un ala de envergadura finita de las que hemos estudiado en los puntos anteriores y como tal se sustituye por una liacutenea de torbellinos ligados Lo uacutenico diferente es la geometriacutea que ahora es mucho maacutes complicada que la del ala de un avioacuten
En efecto ahora la hoja de torbellinos libres desprendidos es una superficie helicoidal en vez de plana La velocidad inducida [j es perpendicular a dicha superficie y a su vez se puede descomponer en una componente longitudinal
[j (paralela al eje de la heacutelice) a ua y otra tangente a la
superficie del cilindro circunscrito u
Por cada pala se genera una hoja de torbellinos libres desfasados entre siacute por 360oZ (Z = nO de palas) que se van enroscando unas con otras originando un tirabuzoacuten de hojas de torbellinos Cada hoja induce en todos los puntos del espacio una velocidad lo que complica el caacutelculo de las velocidades inducidas ayudado por lo complejo de la geometriacutea de las hojas La velocidad inducida total resultante en un determinado punto seraacute la suma vectorial de todas las velocidades inducidas por cada una de las hojas de torbellinos Puede demostrarse ( no lo haremos en estos Apuntes) que los valores de dichas velocidades inducidas totales variacutean desde el infinito aguas arriba hasta el disco de la heacutelice y desde eacuteste al infinito aguas debajo de la manera recogida en el cuadro siguiente
Axial Tanqencial
OAguas arriba
O u -+shy2
Disco u 2
~ 2
Aguas abajo
u -~~U 2
u ----1-igtU 2
33
En la punta ambas fuerzas son cero ya que la circulacioacuten es nula al igualarse las presiones por pasar el flujo de la cara
07-08 R de presioacuten a la de succioacuten en la zona de la punta (figura de la derecha)
En la raiacutez de las palas la circulacioacuten no es nula pero es pequentildea El motivo es que aparece un fenoacutemeno de interferencia entre palas adyacentes por la proximidad de las mismas en esta zona
Aparecen zonas de alta y baja presioacuten de palas adyacentes que estaacuten bastante proacuteximas por lo que hay una cierta comunicacioacuten de fluido dejando de ser tan extremas las presiones reducieacutendose por tanto lltI sustentacioacuten que aparece y con ello la circulacioacuten
En las palasmiddot de una heacutelice ocurre lo mismo que vimos en las alas al tratarse de perfiles de envergadura finita la circulacioacuten variacutea con el radio r = r(r) y loacutegicamente tambieacuten lo hace la velocidad incidente total
vR = V R (r) que depende de v (conocida) y de la velocidad inducida uuml ( ver
triaacutengulo de velocidades) Es evidente tambieacuten que f3 =f(uuml)
Entonces recordando las expresiones que nos daban el empuje y la fuerza del par
Examinemos estas expresiones De todo lo que hemos expresado arriba se deduce que VR Y 13 dependen de las velocidades inducidas (uuml) pero eacutestas estaacuten generadas por las hojas helicoidales de torbellinos libres y por ello dependen de la vorticidad de los mismos (r) Eacutesta sabemos que vale
r = _ ar dr Br
Y en consecuencia depende de r(r) es decir de la distribucioacuten radial de circulacioacuten del torbellino ligado sobre la pala
35
) rendimiento global final de la heacutelice seriacutea mejor que el de la heacutelice inicial
) Pero esto es incompatible con la hipoacutetesis de partida seguacuten la cual rapt ya ) nos daba el mayor rendimiento global de la heacutelice lo luego dicha hipoacutetesis
de partida es absurda Por el contrario cuando l01 no varia con el radio no hay opcioacuten a jugar con la circulacioacuten de las secciones puesto que todo lo que se toque empeoraraacute el lo global de la heacutelice
Obviamente al ser constante I10i a lo largo del radio seraacute tambieacuten
numeacutericamente igual al rendimiento global de la heacutelice 110 O sea
1101 = cte - f(r) = 110
La condicioacuten de Betz por tanto se escribe para heacutelices en flujo uniforme
1=tg l3 o tg (3
Si la heacutelice trabaja en una estela el estudio hay que realizarlo con el rendimiento cuasi-propulsivo de cada seccioacuten en vez de con el de propulsor aislado Al final puede demostrarse ( no lo haremos aquiacute) que se llega a
ID estela media circunferencial
ro estela efectiva
~ Relacioacuten emplrica entre y = la estela y el coeficiente de succioacuten
Es decir una expresioacuten similar a la de flujo uniforme pero con un factor antildeadido que depende de la estela
- Relacioacuten entre circulacioacuten y velocidades inducidas
Es muy importante encontrar una relacioacuten entre la circulacioacuten del torbellino ligado y las velocidades inducidas por los libres es decir la funcioacuten r = f (u) Para ello suponemos la heacutelice funcionando con las hojas de torbellinos desprendidas seguacuten la figura siguiente en la que se han representado las palas sustituidas por sus liacuteneas de sustentacioacuten( torbellino ligado) las hojas de torbellinos helicoidales libres y la velocidad inducida aguas abajo que es perpendicular a la hoja de torbellinos
Ut ----[gt
Ua
37
- - -
1
1 B A Hay infinitas liacuteneas de sustentacioacuten que atraviesan la superficie del cilindroO r Aplicando Stokes O r
El flujo del rotacional = circulacioacuten alrededor del contorno El flujo del rotacional es la suma de las
I I circulaciones de los torbellinos ligadosI I que ha cortado el cilindro es decir r oo
y por tantoI O r I
iquestr=roo =~uumlxdl dondeBI lA u=u +ua t
Calculemos la integral curviliacutenea anterior
~uuml x di = r (ua +utl dl + r(ua +ut )-dl + J(ua +ut)-dl+ r (Ua +~)di (1) (2) (3) (4)
(2) - - (4) Se anulan entre sr por recorrerse el m ismo camino en sentidos inversos shy
ut = O (por estar aguas arriba del propulsor) (3)=gt_ _ (3)=0
uaL di
Luego solo queda la integral (1)
iquestr=r~dl+Juadl =gt rr=r =rutdi
ya que UaL di
Por otra parte Ut es paralelo a di entre A y A luego
Hemos visto que para Z=oo Ut es constante a lo largo de la
circunferencia y puede salir de la integral Por tanto queda
Veamos ahora el caso de nO finito de palas Z En este caso la circulacioacuten total seraacute zr y por tanto
39
Para otras aplicaciones tomaremos A =x t9 13
- Distribucioacuten radial de empujes y pares
Primero hallaremos la relacioacuten entre las velocidades inducidas uYz y
uiexcl y el aacutengulo de paso hidrodinaacutemico 13
dL dT
u sin 13 sin(I3 - ~ ) = V R - --------c---7-shy2 cos(I3 -13 )
y ademaacutes
v _ VR VA
T - cos(f3 -13) sinl3
Entonces
v = V cos(13-(3) bull sin13
y por tanto sustituyendo
~=v cos(13 -13) sin 13 sln(13- 13) 2 sinf3 cos(f3- 3)
~=v sin 13 sin(I3 -3) 2 A sin 13
y del mismo modo
u = v cos 13 sin(3 - (3) 2 A sin 13
y por tanto sustituyendo en
z r = 211 r a3 u
41
El empuje de cada pa la vale
T = J~ dT = J~ dLcos 13 =1r p r vcos 13 dr H
Introducimos el concepto de circulacioacuten adimenslonal
[G=-shy
nD VA
Y sustituyendo podemos reescribir la expresioacuten del coeficiente de empuje
8Z
n
Volviendo al triaacutengulo de velocidades
u2
u2 2nrn - shycos 13 = __---2=_
vR
2=
Sustituyendo arriba y reordenando
Usando los radios adimensionalizados
r dr O x = - dx = - =gt dr = - dx
R R 2
La expresioacuten anterior queda ahora con estos radios adimensionalizados
43
Sacando factor comuacuten resulta
Relacioacuten entre velocidades inducidas y u = Aiexcl X ( _1_-1 J rendimiento
2 v A X 2 + A~ 110
Esta uacuteltima expreslon soacutelo sirve para heacutelices oacuteptimas puesto que hemos hecho uso de la condicioacuten de Betz
Sustituyendo esta expresioacuten en el valor del coeficiente de empuje y realizando las integrales queda la expresioacuten
doacutende tras varios pasos intermedios 1 11 2x I - r o dx
1 - JrH x 2 1) ~ + A 2
1 =(1-110 x 3
d 2 1 2 2 X
~ 110 (x2 +AF)
Para resolver estas integrales hay que recu rri r a hipoacutetesis simplificativas como Xh=O o Z=oo No entraremos aquiacute en el desarrollo completo pero con esto y otras ayudas se llega a
(2)
En esta expresioacuten soacutelo interviene tres paraacutemetros CT to Y A
El paraacutemetro A estaacute muy relacionado con el grado de avance J En efecto
VA JA = x tg 13 = ~ VA = VA = shyR 2n r n 2n R n nOn n
CT puede ser calculado a partir del empuje y del diaacutemetro de la heacutelice Entonces la expresioacuten (2) nos permite conociendo el punto de
funcionamiento de la heacutelice (J) y el empuje ( que puede obtenerse de (~) 1-1
donde R es la res istencia al avance y 1 el coeficiente de succioacuten) estimar el valor to que era el eslaboacuten que faltaba para aplicar la condicioacuten de Betz y poder terminar el caacutelculo f-shy
45
T 2 Con CT = 1---- estimamos el valor de CT ideal a partir de ciertas
2 p v Ao
expresiones empiacutericas
3 Con Cn y A entramos en el Diagrama de Kramer y obtenemos l01
4 Con middottg 13 x y lo aplicando el Teorema de Betz tenemos j3lx para cada seccioacuten
5 lt1gt = 1gt + a~ ~ Sacamos la ley de pasos buscando el aacutengulo de ataque
ideal a I (shock free entry)
6 Lo demaacutes (cuerdas curvaturas espesores ) se obtiene de caacutelculos de resistencia mecaacutenica y de cavitacioacuten
-t
47
El valor de Uo (aacutengulo de sustentacioacuten nula) depende fundamentalmente de la curvatura del perfil ( en ingleacutes camber)
Cto F(curvatura (camber)) t curvatura =gt t eto
Estudiemos el triaacutengulo de velocidades y fuerzas sobre el elemento de pala
VR = Velocidad total Incidente sobre el perfil ltlgt = Aacutengulo de paso geomeacutetrico 13 = Aacutengulo de avance 13 Aacutengulo de paso hidrodinaacutemico u = Aacutengulo de ataque = ltlgt - 13
F dL
1gt
un
- Planteamiento
dOtany=shy
dF =dL sin~+dOcosf3iexcl
dT= dL cos ~ -dO sin ~ =dL ( cos ~- ~~ sin~) dL
Q
dT =dL(COs 13-- siny sin 13-)= ~ (cos 13cosy-siny sin 13)1 cosy 1 COsy 1
dT = ~ [cos(r + 13)]cosy 1
Haciendo lo mismo para dFQ resulta
sln(Y+I3-)dF = dL 1
Q COsy
Pondremos ahora la sustentacioacuten en funcioacuten de eL
19
Hemos llegado a unas expresiones que nos dan el reparto radial de empujes y pares totales de la heacutelice asiacute como del rendimiento Ahora hay que ver si se pueden aplicar
- Anaacutelisis criacutetico
p Z VA = Conocido
c = Conocido al conocer la geometriacutea
a = No conocemos su valor particular para cada seccioacuten podemos tantear el valor total para toda la heacutelice seguacuten las teoriacuteas de la cantidad de movimiento
CL = fA) 2 C1+C1o) no conocemos ni et ni eto para cada seccioacuten
Ademaacutes tendriacuteamos que pensar el A de una rebanada no tiene sentido por tener un espesor diferencial Podemos estimar un valor promedio
R-eacuteA= H rH = radio del nuacutecleo
cmedia
13 = depende del valor de la velocidad inducida de cada seccioacuten que depende del valor_de a de la seccioacuten que no se conoce es por lo tanto una incoacutegnita
y = a su vez depende de A cuyo valor es incierto
Podemos concluir por tanto que aunque se ha llegado con relativa sencillez a las expresiones anteriores estas no son realmente utilizables Se pueden usar valores medios para hacer una estimacioacuten pero no sirven para realizar caacutelculos fiables hasta aquiacute llega esta teoriacutea
Por lo tanto para intentar obtener resultados maacutes coherentes es preciso avanzar algo maacutes y emplear la Teoriacutea de la Circulacioacuten que es bastante maacutes compleja y requiere otras herramientas
21
)
) p Esto equivale a poner en el centro del cilindro un torbellino de intensidad r Ambos campos de velocidad consideradosCel inicial paralelo y uniforme y el nuevo radial) se suman resultando un nuevo campo de velocidadesp
Las liacuteneas de corriente se modifican quedando como en la siguiente figura
L En la parte superior del cilindro los dos campos de velocidades se suman y por tanto la velocidad es mayor que en flujo inicial En la parte inferior del cilindro ocurre lo contrario Se desplazan los puntos de remanso
Se pueden calcular v y p analiacuteticamente y aparece una fuerza la sustentacioacuten Clift)
L = sustentacioacuten Dirigida perpendicularmente al flujo uniforme y paralelo inicial
Calculemos la siguiente integral curviliacutenea que nos daraacute la circulacioacuten del vector velocidad sobre el cilindro
Donde
pVx ~dS=O campo simeacutetrico
-- rPero pvrdS = P2nr dS ya que Vr y dS son paralelos en la
superficie del cilindro Luego
r r rI=p- dS= - pdS=-2nr=r2n r 2n r 2n r
23
~===~====~ ~~-------------- Starting Vortex
El torbellino de intensidad r es desplazado aguas abajo hacia el borde de salida por el resto de liacuteneas de corriente
Recordemos un teorema baacutesico de la Teoriacutea Vorticial que dice que en un dominio fluido la vorticidad total permanece constante
-r 0gt r
= ==0==y~0 ~000
Inicialmente en el dominio fluido antes de introducir el perfil la vorticidad total era nula por lo que ha de aparecer otra circulacioacuten (-1) que compense a la del Starting Vortex Esta aparece en torno al perfil Aparece un nuevo campo de velocidades a causa de esta circulacioacuten en torno al perfil
El punto de remanso B se desplaza ahora al punto anguloso de salida lo que implica que los flujos queL van por arriba y por abajo no se mezclan B se desplaza a base de desprender torbellinos hasta llegar al borde de salida Esta es la Condicioacuten de Kutta
Ademaacutes como en el caso del cilindro si calculamos ahora v y p se obtiene que aparece una fuerza sobre el perfil la sustentacioacuten (l) que es perpendicular al flujo v
25
Esto permite a la hora de estudiar los perfiles y las fuerzas hacer una abstraccioacuten y llegar a sustituir el perfil por un flujo uniforme una liacutenea de torbellinos de verticidad r y una fuerza (l) [Suponiendo un perfil de ancho infinito]
VR - - ---ICgt
r
A la liacutenea de torbellinos se le llama liacutenea de sustentacioacuten ya que los torbellinos secteneran sustentacioacuten La parte de la Teoriacutea de Circulacioacuten que estudia los perfiles sustituyeacutendolos por liacuteneas de sustentacioacuten se llama Teoriacutea de la Liacutenea de Sustentacioacuten ( Ufting-line Theory)
d Perfiles de envergadura finita
Todo lo anterior ocurre en perfiles de envergadura ( ancho perpendicular al papel) infinita que loacutegicamente no existen en la realidad los perfiles que nos encontraremos (alas de avioacuten timones palas de heacutelices etc) son perfiles de envergadura finita es decir t ienen un ancho (alto) determinado Entonces aparece un nuevo fenoacutemeno tridimensiol)ltlJ no como hasta ahora que era siempre un flujo 2D
Efectos 3D
Torbellinos de ~ extremo de ala
S ~~-------------p_p-+--------iquest~
En los bordes del perfil el flujo se escapa de las zonas de preslon maacutes alta ( cara inferior del perfil) hacia las de presioacuten maacutes baj a ( cara superior
27
Como consecuencia de lo anterior en el borde de salida del ala se ) encuentran dos flujos cruzados el superior con una componente hacia el ) centro y el inferior con una componente hacia los extremos que dan lugar
a torbellinos desprendidos a lo largo de todo el borde de sal ida Eacutestos forman una hoja de torbellinos donde los de mayor intensidad aparecen en los bordes laterales del perfil Estos torbellinos se conocen con el nombre de torbellinos libres y son arrastralos aguas abajo por el flujo principal hasta el infinito
IG G G
En consecuencia podemos concluir que en los perfiles de env ergadura finita es decir los perfi les de la vida real se escapan de los mismos una serie de liacuteneas de torbellinos libres hacia popa Podemos hacer una representacioacuten esquemaacutetica como sigue
d
d d
--shy ~~ado el
J shy~a I gar aL
dI
que
T Libres giran en sentidos contrarios a cada lado del ala
Son torbellinos elementales
La vorticidad de los torbell inos libres dI tiene que salir de alguacuten lado ( recordemos que la cantidad total de vorticidad en un dominio ha de permanecer constante) Sale obviamente del torbellino ligado que va perdiendo vorticidad desde el centro del ala hacia ambos bordes laterales
-fshy
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linea Semi-infinita Si la liacutenea de torbellinos es de
longitud semi-infinita es decir con principio pero sin final y el punto P estaacute en el plano en el que comienza la liacutenea tendremos al integrar
-+00 r
u~--41t y
Es de=ir que una liacutenea de torbellinos semi-infin ita crea una velocidad inducida que es la mitad de la que crea una liacutenea de longitud infinita
En el borde de salida del ala cada torbellino libre puede considerarse como una liacutenea semi-infinita que empieza en dicho borde En el infinito aguas abajo esta liacutenea puede considerarse liacutenea infinita La velocidad inducida por el torbellino libre en el infinito es el doble de la inducida en el borde de salida Lo mismo le ocurre a la velocidad inducida por toda la hoja de torbellinos libres ya que es la suma de las generadas por cada torbellino individual en el infinito la velocidad inducida es el doble que en eacutel b9rde de salida del perfil
U en el infinito ) ~ en el perfil
Hemos hablado de los moacutedulos de la velocidad pero iquestqueacute pasa con las direcciones
uuml
La velocidad inducida por un torbellino es siempre perpendicular a la direccioacuten del mismo En el caso de los torbellinos libres que se desprenden de un ala eacutestos se ven arrastrados por el flujo incidente y por tanto su direccioacuten es la misma de dicho flujo es decir que uuml es perpendicular a la velocidad incidente y estaacute dirigida hacia la cara de presioacuten del perfil No tiene componente transversal ya que dichas componentes se anulan por simetriacutea las de los torbellinos de la mitad izquierda del ala con las de la mitad derecha debe recordarse que giran en sentidos contrarios
Los torbellinos libres generan un campo de velocidades en el espacio que se suma vectorialmente a la velocidad incidente VT Como hemos dicho la velocidad inducida por los torbellinos libres es siempre
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32 APLICACIOacuteN EN HEacuteLICES
) - Torbellinos ligados torbellinos libres y velocidades inducidas
l )
)
Consideraremos que cada pala es un ala de envergadura finita de las que hemos estudiado en los puntos anteriores y como tal se sustituye por una liacutenea de torbellinos ligados Lo uacutenico diferente es la geometriacutea que ahora es mucho maacutes complicada que la del ala de un avioacuten
En efecto ahora la hoja de torbellinos libres desprendidos es una superficie helicoidal en vez de plana La velocidad inducida [j es perpendicular a dicha superficie y a su vez se puede descomponer en una componente longitudinal
[j (paralela al eje de la heacutelice) a ua y otra tangente a la
superficie del cilindro circunscrito u
Por cada pala se genera una hoja de torbellinos libres desfasados entre siacute por 360oZ (Z = nO de palas) que se van enroscando unas con otras originando un tirabuzoacuten de hojas de torbellinos Cada hoja induce en todos los puntos del espacio una velocidad lo que complica el caacutelculo de las velocidades inducidas ayudado por lo complejo de la geometriacutea de las hojas La velocidad inducida total resultante en un determinado punto seraacute la suma vectorial de todas las velocidades inducidas por cada una de las hojas de torbellinos Puede demostrarse ( no lo haremos en estos Apuntes) que los valores de dichas velocidades inducidas totales variacutean desde el infinito aguas arriba hasta el disco de la heacutelice y desde eacuteste al infinito aguas debajo de la manera recogida en el cuadro siguiente
Axial Tanqencial
OAguas arriba
O u -+shy2
Disco u 2
~ 2
Aguas abajo
u -~~U 2
u ----1-igtU 2
33
En la punta ambas fuerzas son cero ya que la circulacioacuten es nula al igualarse las presiones por pasar el flujo de la cara
07-08 R de presioacuten a la de succioacuten en la zona de la punta (figura de la derecha)
En la raiacutez de las palas la circulacioacuten no es nula pero es pequentildea El motivo es que aparece un fenoacutemeno de interferencia entre palas adyacentes por la proximidad de las mismas en esta zona
Aparecen zonas de alta y baja presioacuten de palas adyacentes que estaacuten bastante proacuteximas por lo que hay una cierta comunicacioacuten de fluido dejando de ser tan extremas las presiones reducieacutendose por tanto lltI sustentacioacuten que aparece y con ello la circulacioacuten
En las palasmiddot de una heacutelice ocurre lo mismo que vimos en las alas al tratarse de perfiles de envergadura finita la circulacioacuten variacutea con el radio r = r(r) y loacutegicamente tambieacuten lo hace la velocidad incidente total
vR = V R (r) que depende de v (conocida) y de la velocidad inducida uuml ( ver
triaacutengulo de velocidades) Es evidente tambieacuten que f3 =f(uuml)
Entonces recordando las expresiones que nos daban el empuje y la fuerza del par
Examinemos estas expresiones De todo lo que hemos expresado arriba se deduce que VR Y 13 dependen de las velocidades inducidas (uuml) pero eacutestas estaacuten generadas por las hojas helicoidales de torbellinos libres y por ello dependen de la vorticidad de los mismos (r) Eacutesta sabemos que vale
r = _ ar dr Br
Y en consecuencia depende de r(r) es decir de la distribucioacuten radial de circulacioacuten del torbellino ligado sobre la pala
35
) rendimiento global final de la heacutelice seriacutea mejor que el de la heacutelice inicial
) Pero esto es incompatible con la hipoacutetesis de partida seguacuten la cual rapt ya ) nos daba el mayor rendimiento global de la heacutelice lo luego dicha hipoacutetesis
de partida es absurda Por el contrario cuando l01 no varia con el radio no hay opcioacuten a jugar con la circulacioacuten de las secciones puesto que todo lo que se toque empeoraraacute el lo global de la heacutelice
Obviamente al ser constante I10i a lo largo del radio seraacute tambieacuten
numeacutericamente igual al rendimiento global de la heacutelice 110 O sea
1101 = cte - f(r) = 110
La condicioacuten de Betz por tanto se escribe para heacutelices en flujo uniforme
1=tg l3 o tg (3
Si la heacutelice trabaja en una estela el estudio hay que realizarlo con el rendimiento cuasi-propulsivo de cada seccioacuten en vez de con el de propulsor aislado Al final puede demostrarse ( no lo haremos aquiacute) que se llega a
ID estela media circunferencial
ro estela efectiva
~ Relacioacuten emplrica entre y = la estela y el coeficiente de succioacuten
Es decir una expresioacuten similar a la de flujo uniforme pero con un factor antildeadido que depende de la estela
- Relacioacuten entre circulacioacuten y velocidades inducidas
Es muy importante encontrar una relacioacuten entre la circulacioacuten del torbellino ligado y las velocidades inducidas por los libres es decir la funcioacuten r = f (u) Para ello suponemos la heacutelice funcionando con las hojas de torbellinos desprendidas seguacuten la figura siguiente en la que se han representado las palas sustituidas por sus liacuteneas de sustentacioacuten( torbellino ligado) las hojas de torbellinos helicoidales libres y la velocidad inducida aguas abajo que es perpendicular a la hoja de torbellinos
Ut ----[gt
Ua
37
- - -
1
1 B A Hay infinitas liacuteneas de sustentacioacuten que atraviesan la superficie del cilindroO r Aplicando Stokes O r
El flujo del rotacional = circulacioacuten alrededor del contorno El flujo del rotacional es la suma de las
I I circulaciones de los torbellinos ligadosI I que ha cortado el cilindro es decir r oo
y por tantoI O r I
iquestr=roo =~uumlxdl dondeBI lA u=u +ua t
Calculemos la integral curviliacutenea anterior
~uuml x di = r (ua +utl dl + r(ua +ut )-dl + J(ua +ut)-dl+ r (Ua +~)di (1) (2) (3) (4)
(2) - - (4) Se anulan entre sr por recorrerse el m ismo camino en sentidos inversos shy
ut = O (por estar aguas arriba del propulsor) (3)=gt_ _ (3)=0
uaL di
Luego solo queda la integral (1)
iquestr=r~dl+Juadl =gt rr=r =rutdi
ya que UaL di
Por otra parte Ut es paralelo a di entre A y A luego
Hemos visto que para Z=oo Ut es constante a lo largo de la
circunferencia y puede salir de la integral Por tanto queda
Veamos ahora el caso de nO finito de palas Z En este caso la circulacioacuten total seraacute zr y por tanto
39
Para otras aplicaciones tomaremos A =x t9 13
- Distribucioacuten radial de empujes y pares
Primero hallaremos la relacioacuten entre las velocidades inducidas uYz y
uiexcl y el aacutengulo de paso hidrodinaacutemico 13
dL dT
u sin 13 sin(I3 - ~ ) = V R - --------c---7-shy2 cos(I3 -13 )
y ademaacutes
v _ VR VA
T - cos(f3 -13) sinl3
Entonces
v = V cos(13-(3) bull sin13
y por tanto sustituyendo
~=v cos(13 -13) sin 13 sln(13- 13) 2 sinf3 cos(f3- 3)
~=v sin 13 sin(I3 -3) 2 A sin 13
y del mismo modo
u = v cos 13 sin(3 - (3) 2 A sin 13
y por tanto sustituyendo en
z r = 211 r a3 u
41
El empuje de cada pa la vale
T = J~ dT = J~ dLcos 13 =1r p r vcos 13 dr H
Introducimos el concepto de circulacioacuten adimenslonal
[G=-shy
nD VA
Y sustituyendo podemos reescribir la expresioacuten del coeficiente de empuje
8Z
n
Volviendo al triaacutengulo de velocidades
u2
u2 2nrn - shycos 13 = __---2=_
vR
2=
Sustituyendo arriba y reordenando
Usando los radios adimensionalizados
r dr O x = - dx = - =gt dr = - dx
R R 2
La expresioacuten anterior queda ahora con estos radios adimensionalizados
43
Sacando factor comuacuten resulta
Relacioacuten entre velocidades inducidas y u = Aiexcl X ( _1_-1 J rendimiento
2 v A X 2 + A~ 110
Esta uacuteltima expreslon soacutelo sirve para heacutelices oacuteptimas puesto que hemos hecho uso de la condicioacuten de Betz
Sustituyendo esta expresioacuten en el valor del coeficiente de empuje y realizando las integrales queda la expresioacuten
doacutende tras varios pasos intermedios 1 11 2x I - r o dx
1 - JrH x 2 1) ~ + A 2
1 =(1-110 x 3
d 2 1 2 2 X
~ 110 (x2 +AF)
Para resolver estas integrales hay que recu rri r a hipoacutetesis simplificativas como Xh=O o Z=oo No entraremos aquiacute en el desarrollo completo pero con esto y otras ayudas se llega a
(2)
En esta expresioacuten soacutelo interviene tres paraacutemetros CT to Y A
El paraacutemetro A estaacute muy relacionado con el grado de avance J En efecto
VA JA = x tg 13 = ~ VA = VA = shyR 2n r n 2n R n nOn n
CT puede ser calculado a partir del empuje y del diaacutemetro de la heacutelice Entonces la expresioacuten (2) nos permite conociendo el punto de
funcionamiento de la heacutelice (J) y el empuje ( que puede obtenerse de (~) 1-1
donde R es la res istencia al avance y 1 el coeficiente de succioacuten) estimar el valor to que era el eslaboacuten que faltaba para aplicar la condicioacuten de Betz y poder terminar el caacutelculo f-shy
45
T 2 Con CT = 1---- estimamos el valor de CT ideal a partir de ciertas
2 p v Ao
expresiones empiacutericas
3 Con Cn y A entramos en el Diagrama de Kramer y obtenemos l01
4 Con middottg 13 x y lo aplicando el Teorema de Betz tenemos j3lx para cada seccioacuten
5 lt1gt = 1gt + a~ ~ Sacamos la ley de pasos buscando el aacutengulo de ataque
ideal a I (shock free entry)
6 Lo demaacutes (cuerdas curvaturas espesores ) se obtiene de caacutelculos de resistencia mecaacutenica y de cavitacioacuten
-t
47
Hemos llegado a unas expresiones que nos dan el reparto radial de empujes y pares totales de la heacutelice asiacute como del rendimiento Ahora hay que ver si se pueden aplicar
- Anaacutelisis criacutetico
p Z VA = Conocido
c = Conocido al conocer la geometriacutea
a = No conocemos su valor particular para cada seccioacuten podemos tantear el valor total para toda la heacutelice seguacuten las teoriacuteas de la cantidad de movimiento
CL = fA) 2 C1+C1o) no conocemos ni et ni eto para cada seccioacuten
Ademaacutes tendriacuteamos que pensar el A de una rebanada no tiene sentido por tener un espesor diferencial Podemos estimar un valor promedio
R-eacuteA= H rH = radio del nuacutecleo
cmedia
13 = depende del valor de la velocidad inducida de cada seccioacuten que depende del valor_de a de la seccioacuten que no se conoce es por lo tanto una incoacutegnita
y = a su vez depende de A cuyo valor es incierto
Podemos concluir por tanto que aunque se ha llegado con relativa sencillez a las expresiones anteriores estas no son realmente utilizables Se pueden usar valores medios para hacer una estimacioacuten pero no sirven para realizar caacutelculos fiables hasta aquiacute llega esta teoriacutea
Por lo tanto para intentar obtener resultados maacutes coherentes es preciso avanzar algo maacutes y emplear la Teoriacutea de la Circulacioacuten que es bastante maacutes compleja y requiere otras herramientas
21
)
) p Esto equivale a poner en el centro del cilindro un torbellino de intensidad r Ambos campos de velocidad consideradosCel inicial paralelo y uniforme y el nuevo radial) se suman resultando un nuevo campo de velocidadesp
Las liacuteneas de corriente se modifican quedando como en la siguiente figura
L En la parte superior del cilindro los dos campos de velocidades se suman y por tanto la velocidad es mayor que en flujo inicial En la parte inferior del cilindro ocurre lo contrario Se desplazan los puntos de remanso
Se pueden calcular v y p analiacuteticamente y aparece una fuerza la sustentacioacuten Clift)
L = sustentacioacuten Dirigida perpendicularmente al flujo uniforme y paralelo inicial
Calculemos la siguiente integral curviliacutenea que nos daraacute la circulacioacuten del vector velocidad sobre el cilindro
Donde
pVx ~dS=O campo simeacutetrico
-- rPero pvrdS = P2nr dS ya que Vr y dS son paralelos en la
superficie del cilindro Luego
r r rI=p- dS= - pdS=-2nr=r2n r 2n r 2n r
23
~===~====~ ~~-------------- Starting Vortex
El torbellino de intensidad r es desplazado aguas abajo hacia el borde de salida por el resto de liacuteneas de corriente
Recordemos un teorema baacutesico de la Teoriacutea Vorticial que dice que en un dominio fluido la vorticidad total permanece constante
-r 0gt r
= ==0==y~0 ~000
Inicialmente en el dominio fluido antes de introducir el perfil la vorticidad total era nula por lo que ha de aparecer otra circulacioacuten (-1) que compense a la del Starting Vortex Esta aparece en torno al perfil Aparece un nuevo campo de velocidades a causa de esta circulacioacuten en torno al perfil
El punto de remanso B se desplaza ahora al punto anguloso de salida lo que implica que los flujos queL van por arriba y por abajo no se mezclan B se desplaza a base de desprender torbellinos hasta llegar al borde de salida Esta es la Condicioacuten de Kutta
Ademaacutes como en el caso del cilindro si calculamos ahora v y p se obtiene que aparece una fuerza sobre el perfil la sustentacioacuten (l) que es perpendicular al flujo v
25
Esto permite a la hora de estudiar los perfiles y las fuerzas hacer una abstraccioacuten y llegar a sustituir el perfil por un flujo uniforme una liacutenea de torbellinos de verticidad r y una fuerza (l) [Suponiendo un perfil de ancho infinito]
VR - - ---ICgt
r
A la liacutenea de torbellinos se le llama liacutenea de sustentacioacuten ya que los torbellinos secteneran sustentacioacuten La parte de la Teoriacutea de Circulacioacuten que estudia los perfiles sustituyeacutendolos por liacuteneas de sustentacioacuten se llama Teoriacutea de la Liacutenea de Sustentacioacuten ( Ufting-line Theory)
d Perfiles de envergadura finita
Todo lo anterior ocurre en perfiles de envergadura ( ancho perpendicular al papel) infinita que loacutegicamente no existen en la realidad los perfiles que nos encontraremos (alas de avioacuten timones palas de heacutelices etc) son perfiles de envergadura finita es decir t ienen un ancho (alto) determinado Entonces aparece un nuevo fenoacutemeno tridimensiol)ltlJ no como hasta ahora que era siempre un flujo 2D
Efectos 3D
Torbellinos de ~ extremo de ala
S ~~-------------p_p-+--------iquest~
En los bordes del perfil el flujo se escapa de las zonas de preslon maacutes alta ( cara inferior del perfil) hacia las de presioacuten maacutes baj a ( cara superior
27
Como consecuencia de lo anterior en el borde de salida del ala se ) encuentran dos flujos cruzados el superior con una componente hacia el ) centro y el inferior con una componente hacia los extremos que dan lugar
a torbellinos desprendidos a lo largo de todo el borde de sal ida Eacutestos forman una hoja de torbellinos donde los de mayor intensidad aparecen en los bordes laterales del perfil Estos torbellinos se conocen con el nombre de torbellinos libres y son arrastralos aguas abajo por el flujo principal hasta el infinito
IG G G
En consecuencia podemos concluir que en los perfiles de env ergadura finita es decir los perfi les de la vida real se escapan de los mismos una serie de liacuteneas de torbellinos libres hacia popa Podemos hacer una representacioacuten esquemaacutetica como sigue
d
d d
--shy ~~ado el
J shy~a I gar aL
dI
que
T Libres giran en sentidos contrarios a cada lado del ala
Son torbellinos elementales
La vorticidad de los torbell inos libres dI tiene que salir de alguacuten lado ( recordemos que la cantidad total de vorticidad en un dominio ha de permanecer constante) Sale obviamente del torbellino ligado que va perdiendo vorticidad desde el centro del ala hacia ambos bordes laterales
-fshy
29
linea Semi-infinita Si la liacutenea de torbellinos es de
longitud semi-infinita es decir con principio pero sin final y el punto P estaacute en el plano en el que comienza la liacutenea tendremos al integrar
-+00 r
u~--41t y
Es de=ir que una liacutenea de torbellinos semi-infin ita crea una velocidad inducida que es la mitad de la que crea una liacutenea de longitud infinita
En el borde de salida del ala cada torbellino libre puede considerarse como una liacutenea semi-infinita que empieza en dicho borde En el infinito aguas abajo esta liacutenea puede considerarse liacutenea infinita La velocidad inducida por el torbellino libre en el infinito es el doble de la inducida en el borde de salida Lo mismo le ocurre a la velocidad inducida por toda la hoja de torbellinos libres ya que es la suma de las generadas por cada torbellino individual en el infinito la velocidad inducida es el doble que en eacutel b9rde de salida del perfil
U en el infinito ) ~ en el perfil
Hemos hablado de los moacutedulos de la velocidad pero iquestqueacute pasa con las direcciones
uuml
La velocidad inducida por un torbellino es siempre perpendicular a la direccioacuten del mismo En el caso de los torbellinos libres que se desprenden de un ala eacutestos se ven arrastrados por el flujo incidente y por tanto su direccioacuten es la misma de dicho flujo es decir que uuml es perpendicular a la velocidad incidente y estaacute dirigida hacia la cara de presioacuten del perfil No tiene componente transversal ya que dichas componentes se anulan por simetriacutea las de los torbellinos de la mitad izquierda del ala con las de la mitad derecha debe recordarse que giran en sentidos contrarios
Los torbellinos libres generan un campo de velocidades en el espacio que se suma vectorialmente a la velocidad incidente VT Como hemos dicho la velocidad inducida por los torbellinos libres es siempre
31
32 APLICACIOacuteN EN HEacuteLICES
) - Torbellinos ligados torbellinos libres y velocidades inducidas
l )
)
Consideraremos que cada pala es un ala de envergadura finita de las que hemos estudiado en los puntos anteriores y como tal se sustituye por una liacutenea de torbellinos ligados Lo uacutenico diferente es la geometriacutea que ahora es mucho maacutes complicada que la del ala de un avioacuten
En efecto ahora la hoja de torbellinos libres desprendidos es una superficie helicoidal en vez de plana La velocidad inducida [j es perpendicular a dicha superficie y a su vez se puede descomponer en una componente longitudinal
[j (paralela al eje de la heacutelice) a ua y otra tangente a la
superficie del cilindro circunscrito u
Por cada pala se genera una hoja de torbellinos libres desfasados entre siacute por 360oZ (Z = nO de palas) que se van enroscando unas con otras originando un tirabuzoacuten de hojas de torbellinos Cada hoja induce en todos los puntos del espacio una velocidad lo que complica el caacutelculo de las velocidades inducidas ayudado por lo complejo de la geometriacutea de las hojas La velocidad inducida total resultante en un determinado punto seraacute la suma vectorial de todas las velocidades inducidas por cada una de las hojas de torbellinos Puede demostrarse ( no lo haremos en estos Apuntes) que los valores de dichas velocidades inducidas totales variacutean desde el infinito aguas arriba hasta el disco de la heacutelice y desde eacuteste al infinito aguas debajo de la manera recogida en el cuadro siguiente
Axial Tanqencial
OAguas arriba
O u -+shy2
Disco u 2
~ 2
Aguas abajo
u -~~U 2
u ----1-igtU 2
33
En la punta ambas fuerzas son cero ya que la circulacioacuten es nula al igualarse las presiones por pasar el flujo de la cara
07-08 R de presioacuten a la de succioacuten en la zona de la punta (figura de la derecha)
En la raiacutez de las palas la circulacioacuten no es nula pero es pequentildea El motivo es que aparece un fenoacutemeno de interferencia entre palas adyacentes por la proximidad de las mismas en esta zona
Aparecen zonas de alta y baja presioacuten de palas adyacentes que estaacuten bastante proacuteximas por lo que hay una cierta comunicacioacuten de fluido dejando de ser tan extremas las presiones reducieacutendose por tanto lltI sustentacioacuten que aparece y con ello la circulacioacuten
En las palasmiddot de una heacutelice ocurre lo mismo que vimos en las alas al tratarse de perfiles de envergadura finita la circulacioacuten variacutea con el radio r = r(r) y loacutegicamente tambieacuten lo hace la velocidad incidente total
vR = V R (r) que depende de v (conocida) y de la velocidad inducida uuml ( ver
triaacutengulo de velocidades) Es evidente tambieacuten que f3 =f(uuml)
Entonces recordando las expresiones que nos daban el empuje y la fuerza del par
Examinemos estas expresiones De todo lo que hemos expresado arriba se deduce que VR Y 13 dependen de las velocidades inducidas (uuml) pero eacutestas estaacuten generadas por las hojas helicoidales de torbellinos libres y por ello dependen de la vorticidad de los mismos (r) Eacutesta sabemos que vale
r = _ ar dr Br
Y en consecuencia depende de r(r) es decir de la distribucioacuten radial de circulacioacuten del torbellino ligado sobre la pala
35
) rendimiento global final de la heacutelice seriacutea mejor que el de la heacutelice inicial
) Pero esto es incompatible con la hipoacutetesis de partida seguacuten la cual rapt ya ) nos daba el mayor rendimiento global de la heacutelice lo luego dicha hipoacutetesis
de partida es absurda Por el contrario cuando l01 no varia con el radio no hay opcioacuten a jugar con la circulacioacuten de las secciones puesto que todo lo que se toque empeoraraacute el lo global de la heacutelice
Obviamente al ser constante I10i a lo largo del radio seraacute tambieacuten
numeacutericamente igual al rendimiento global de la heacutelice 110 O sea
1101 = cte - f(r) = 110
La condicioacuten de Betz por tanto se escribe para heacutelices en flujo uniforme
1=tg l3 o tg (3
Si la heacutelice trabaja en una estela el estudio hay que realizarlo con el rendimiento cuasi-propulsivo de cada seccioacuten en vez de con el de propulsor aislado Al final puede demostrarse ( no lo haremos aquiacute) que se llega a
ID estela media circunferencial
ro estela efectiva
~ Relacioacuten emplrica entre y = la estela y el coeficiente de succioacuten
Es decir una expresioacuten similar a la de flujo uniforme pero con un factor antildeadido que depende de la estela
- Relacioacuten entre circulacioacuten y velocidades inducidas
Es muy importante encontrar una relacioacuten entre la circulacioacuten del torbellino ligado y las velocidades inducidas por los libres es decir la funcioacuten r = f (u) Para ello suponemos la heacutelice funcionando con las hojas de torbellinos desprendidas seguacuten la figura siguiente en la que se han representado las palas sustituidas por sus liacuteneas de sustentacioacuten( torbellino ligado) las hojas de torbellinos helicoidales libres y la velocidad inducida aguas abajo que es perpendicular a la hoja de torbellinos
Ut ----[gt
Ua
37
- - -
1
1 B A Hay infinitas liacuteneas de sustentacioacuten que atraviesan la superficie del cilindroO r Aplicando Stokes O r
El flujo del rotacional = circulacioacuten alrededor del contorno El flujo del rotacional es la suma de las
I I circulaciones de los torbellinos ligadosI I que ha cortado el cilindro es decir r oo
y por tantoI O r I
iquestr=roo =~uumlxdl dondeBI lA u=u +ua t
Calculemos la integral curviliacutenea anterior
~uuml x di = r (ua +utl dl + r(ua +ut )-dl + J(ua +ut)-dl+ r (Ua +~)di (1) (2) (3) (4)
(2) - - (4) Se anulan entre sr por recorrerse el m ismo camino en sentidos inversos shy
ut = O (por estar aguas arriba del propulsor) (3)=gt_ _ (3)=0
uaL di
Luego solo queda la integral (1)
iquestr=r~dl+Juadl =gt rr=r =rutdi
ya que UaL di
Por otra parte Ut es paralelo a di entre A y A luego
Hemos visto que para Z=oo Ut es constante a lo largo de la
circunferencia y puede salir de la integral Por tanto queda
Veamos ahora el caso de nO finito de palas Z En este caso la circulacioacuten total seraacute zr y por tanto
39
Para otras aplicaciones tomaremos A =x t9 13
- Distribucioacuten radial de empujes y pares
Primero hallaremos la relacioacuten entre las velocidades inducidas uYz y
uiexcl y el aacutengulo de paso hidrodinaacutemico 13
dL dT
u sin 13 sin(I3 - ~ ) = V R - --------c---7-shy2 cos(I3 -13 )
y ademaacutes
v _ VR VA
T - cos(f3 -13) sinl3
Entonces
v = V cos(13-(3) bull sin13
y por tanto sustituyendo
~=v cos(13 -13) sin 13 sln(13- 13) 2 sinf3 cos(f3- 3)
~=v sin 13 sin(I3 -3) 2 A sin 13
y del mismo modo
u = v cos 13 sin(3 - (3) 2 A sin 13
y por tanto sustituyendo en
z r = 211 r a3 u
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El empuje de cada pa la vale
T = J~ dT = J~ dLcos 13 =1r p r vcos 13 dr H
Introducimos el concepto de circulacioacuten adimenslonal
[G=-shy
nD VA
Y sustituyendo podemos reescribir la expresioacuten del coeficiente de empuje
8Z
n
Volviendo al triaacutengulo de velocidades
u2
u2 2nrn - shycos 13 = __---2=_
vR
2=
Sustituyendo arriba y reordenando
Usando los radios adimensionalizados
r dr O x = - dx = - =gt dr = - dx
R R 2
La expresioacuten anterior queda ahora con estos radios adimensionalizados
43
Sacando factor comuacuten resulta
Relacioacuten entre velocidades inducidas y u = Aiexcl X ( _1_-1 J rendimiento
2 v A X 2 + A~ 110
Esta uacuteltima expreslon soacutelo sirve para heacutelices oacuteptimas puesto que hemos hecho uso de la condicioacuten de Betz
Sustituyendo esta expresioacuten en el valor del coeficiente de empuje y realizando las integrales queda la expresioacuten
doacutende tras varios pasos intermedios 1 11 2x I - r o dx
1 - JrH x 2 1) ~ + A 2
1 =(1-110 x 3
d 2 1 2 2 X
~ 110 (x2 +AF)
Para resolver estas integrales hay que recu rri r a hipoacutetesis simplificativas como Xh=O o Z=oo No entraremos aquiacute en el desarrollo completo pero con esto y otras ayudas se llega a
(2)
En esta expresioacuten soacutelo interviene tres paraacutemetros CT to Y A
El paraacutemetro A estaacute muy relacionado con el grado de avance J En efecto
VA JA = x tg 13 = ~ VA = VA = shyR 2n r n 2n R n nOn n
CT puede ser calculado a partir del empuje y del diaacutemetro de la heacutelice Entonces la expresioacuten (2) nos permite conociendo el punto de
funcionamiento de la heacutelice (J) y el empuje ( que puede obtenerse de (~) 1-1
donde R es la res istencia al avance y 1 el coeficiente de succioacuten) estimar el valor to que era el eslaboacuten que faltaba para aplicar la condicioacuten de Betz y poder terminar el caacutelculo f-shy
45
T 2 Con CT = 1---- estimamos el valor de CT ideal a partir de ciertas
2 p v Ao
expresiones empiacutericas
3 Con Cn y A entramos en el Diagrama de Kramer y obtenemos l01
4 Con middottg 13 x y lo aplicando el Teorema de Betz tenemos j3lx para cada seccioacuten
5 lt1gt = 1gt + a~ ~ Sacamos la ley de pasos buscando el aacutengulo de ataque
ideal a I (shock free entry)
6 Lo demaacutes (cuerdas curvaturas espesores ) se obtiene de caacutelculos de resistencia mecaacutenica y de cavitacioacuten
-t
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)
) p Esto equivale a poner en el centro del cilindro un torbellino de intensidad r Ambos campos de velocidad consideradosCel inicial paralelo y uniforme y el nuevo radial) se suman resultando un nuevo campo de velocidadesp
Las liacuteneas de corriente se modifican quedando como en la siguiente figura
L En la parte superior del cilindro los dos campos de velocidades se suman y por tanto la velocidad es mayor que en flujo inicial En la parte inferior del cilindro ocurre lo contrario Se desplazan los puntos de remanso
Se pueden calcular v y p analiacuteticamente y aparece una fuerza la sustentacioacuten Clift)
L = sustentacioacuten Dirigida perpendicularmente al flujo uniforme y paralelo inicial
Calculemos la siguiente integral curviliacutenea que nos daraacute la circulacioacuten del vector velocidad sobre el cilindro
Donde
pVx ~dS=O campo simeacutetrico
-- rPero pvrdS = P2nr dS ya que Vr y dS son paralelos en la
superficie del cilindro Luego
r r rI=p- dS= - pdS=-2nr=r2n r 2n r 2n r
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~===~====~ ~~-------------- Starting Vortex
El torbellino de intensidad r es desplazado aguas abajo hacia el borde de salida por el resto de liacuteneas de corriente
Recordemos un teorema baacutesico de la Teoriacutea Vorticial que dice que en un dominio fluido la vorticidad total permanece constante
-r 0gt r
= ==0==y~0 ~000
Inicialmente en el dominio fluido antes de introducir el perfil la vorticidad total era nula por lo que ha de aparecer otra circulacioacuten (-1) que compense a la del Starting Vortex Esta aparece en torno al perfil Aparece un nuevo campo de velocidades a causa de esta circulacioacuten en torno al perfil
El punto de remanso B se desplaza ahora al punto anguloso de salida lo que implica que los flujos queL van por arriba y por abajo no se mezclan B se desplaza a base de desprender torbellinos hasta llegar al borde de salida Esta es la Condicioacuten de Kutta
Ademaacutes como en el caso del cilindro si calculamos ahora v y p se obtiene que aparece una fuerza sobre el perfil la sustentacioacuten (l) que es perpendicular al flujo v
25
Esto permite a la hora de estudiar los perfiles y las fuerzas hacer una abstraccioacuten y llegar a sustituir el perfil por un flujo uniforme una liacutenea de torbellinos de verticidad r y una fuerza (l) [Suponiendo un perfil de ancho infinito]
VR - - ---ICgt
r
A la liacutenea de torbellinos se le llama liacutenea de sustentacioacuten ya que los torbellinos secteneran sustentacioacuten La parte de la Teoriacutea de Circulacioacuten que estudia los perfiles sustituyeacutendolos por liacuteneas de sustentacioacuten se llama Teoriacutea de la Liacutenea de Sustentacioacuten ( Ufting-line Theory)
d Perfiles de envergadura finita
Todo lo anterior ocurre en perfiles de envergadura ( ancho perpendicular al papel) infinita que loacutegicamente no existen en la realidad los perfiles que nos encontraremos (alas de avioacuten timones palas de heacutelices etc) son perfiles de envergadura finita es decir t ienen un ancho (alto) determinado Entonces aparece un nuevo fenoacutemeno tridimensiol)ltlJ no como hasta ahora que era siempre un flujo 2D
Efectos 3D
Torbellinos de ~ extremo de ala
S ~~-------------p_p-+--------iquest~
En los bordes del perfil el flujo se escapa de las zonas de preslon maacutes alta ( cara inferior del perfil) hacia las de presioacuten maacutes baj a ( cara superior
27
Como consecuencia de lo anterior en el borde de salida del ala se ) encuentran dos flujos cruzados el superior con una componente hacia el ) centro y el inferior con una componente hacia los extremos que dan lugar
a torbellinos desprendidos a lo largo de todo el borde de sal ida Eacutestos forman una hoja de torbellinos donde los de mayor intensidad aparecen en los bordes laterales del perfil Estos torbellinos se conocen con el nombre de torbellinos libres y son arrastralos aguas abajo por el flujo principal hasta el infinito
IG G G
En consecuencia podemos concluir que en los perfiles de env ergadura finita es decir los perfi les de la vida real se escapan de los mismos una serie de liacuteneas de torbellinos libres hacia popa Podemos hacer una representacioacuten esquemaacutetica como sigue
d
d d
--shy ~~ado el
J shy~a I gar aL
dI
que
T Libres giran en sentidos contrarios a cada lado del ala
Son torbellinos elementales
La vorticidad de los torbell inos libres dI tiene que salir de alguacuten lado ( recordemos que la cantidad total de vorticidad en un dominio ha de permanecer constante) Sale obviamente del torbellino ligado que va perdiendo vorticidad desde el centro del ala hacia ambos bordes laterales
-fshy
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linea Semi-infinita Si la liacutenea de torbellinos es de
longitud semi-infinita es decir con principio pero sin final y el punto P estaacute en el plano en el que comienza la liacutenea tendremos al integrar
-+00 r
u~--41t y
Es de=ir que una liacutenea de torbellinos semi-infin ita crea una velocidad inducida que es la mitad de la que crea una liacutenea de longitud infinita
En el borde de salida del ala cada torbellino libre puede considerarse como una liacutenea semi-infinita que empieza en dicho borde En el infinito aguas abajo esta liacutenea puede considerarse liacutenea infinita La velocidad inducida por el torbellino libre en el infinito es el doble de la inducida en el borde de salida Lo mismo le ocurre a la velocidad inducida por toda la hoja de torbellinos libres ya que es la suma de las generadas por cada torbellino individual en el infinito la velocidad inducida es el doble que en eacutel b9rde de salida del perfil
U en el infinito ) ~ en el perfil
Hemos hablado de los moacutedulos de la velocidad pero iquestqueacute pasa con las direcciones
uuml
La velocidad inducida por un torbellino es siempre perpendicular a la direccioacuten del mismo En el caso de los torbellinos libres que se desprenden de un ala eacutestos se ven arrastrados por el flujo incidente y por tanto su direccioacuten es la misma de dicho flujo es decir que uuml es perpendicular a la velocidad incidente y estaacute dirigida hacia la cara de presioacuten del perfil No tiene componente transversal ya que dichas componentes se anulan por simetriacutea las de los torbellinos de la mitad izquierda del ala con las de la mitad derecha debe recordarse que giran en sentidos contrarios
Los torbellinos libres generan un campo de velocidades en el espacio que se suma vectorialmente a la velocidad incidente VT Como hemos dicho la velocidad inducida por los torbellinos libres es siempre
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32 APLICACIOacuteN EN HEacuteLICES
) - Torbellinos ligados torbellinos libres y velocidades inducidas
l )
)
Consideraremos que cada pala es un ala de envergadura finita de las que hemos estudiado en los puntos anteriores y como tal se sustituye por una liacutenea de torbellinos ligados Lo uacutenico diferente es la geometriacutea que ahora es mucho maacutes complicada que la del ala de un avioacuten
En efecto ahora la hoja de torbellinos libres desprendidos es una superficie helicoidal en vez de plana La velocidad inducida [j es perpendicular a dicha superficie y a su vez se puede descomponer en una componente longitudinal
[j (paralela al eje de la heacutelice) a ua y otra tangente a la
superficie del cilindro circunscrito u
Por cada pala se genera una hoja de torbellinos libres desfasados entre siacute por 360oZ (Z = nO de palas) que se van enroscando unas con otras originando un tirabuzoacuten de hojas de torbellinos Cada hoja induce en todos los puntos del espacio una velocidad lo que complica el caacutelculo de las velocidades inducidas ayudado por lo complejo de la geometriacutea de las hojas La velocidad inducida total resultante en un determinado punto seraacute la suma vectorial de todas las velocidades inducidas por cada una de las hojas de torbellinos Puede demostrarse ( no lo haremos en estos Apuntes) que los valores de dichas velocidades inducidas totales variacutean desde el infinito aguas arriba hasta el disco de la heacutelice y desde eacuteste al infinito aguas debajo de la manera recogida en el cuadro siguiente
Axial Tanqencial
OAguas arriba
O u -+shy2
Disco u 2
~ 2
Aguas abajo
u -~~U 2
u ----1-igtU 2
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En la punta ambas fuerzas son cero ya que la circulacioacuten es nula al igualarse las presiones por pasar el flujo de la cara
07-08 R de presioacuten a la de succioacuten en la zona de la punta (figura de la derecha)
En la raiacutez de las palas la circulacioacuten no es nula pero es pequentildea El motivo es que aparece un fenoacutemeno de interferencia entre palas adyacentes por la proximidad de las mismas en esta zona
Aparecen zonas de alta y baja presioacuten de palas adyacentes que estaacuten bastante proacuteximas por lo que hay una cierta comunicacioacuten de fluido dejando de ser tan extremas las presiones reducieacutendose por tanto lltI sustentacioacuten que aparece y con ello la circulacioacuten
En las palasmiddot de una heacutelice ocurre lo mismo que vimos en las alas al tratarse de perfiles de envergadura finita la circulacioacuten variacutea con el radio r = r(r) y loacutegicamente tambieacuten lo hace la velocidad incidente total
vR = V R (r) que depende de v (conocida) y de la velocidad inducida uuml ( ver
triaacutengulo de velocidades) Es evidente tambieacuten que f3 =f(uuml)
Entonces recordando las expresiones que nos daban el empuje y la fuerza del par
Examinemos estas expresiones De todo lo que hemos expresado arriba se deduce que VR Y 13 dependen de las velocidades inducidas (uuml) pero eacutestas estaacuten generadas por las hojas helicoidales de torbellinos libres y por ello dependen de la vorticidad de los mismos (r) Eacutesta sabemos que vale
r = _ ar dr Br
Y en consecuencia depende de r(r) es decir de la distribucioacuten radial de circulacioacuten del torbellino ligado sobre la pala
35
) rendimiento global final de la heacutelice seriacutea mejor que el de la heacutelice inicial
) Pero esto es incompatible con la hipoacutetesis de partida seguacuten la cual rapt ya ) nos daba el mayor rendimiento global de la heacutelice lo luego dicha hipoacutetesis
de partida es absurda Por el contrario cuando l01 no varia con el radio no hay opcioacuten a jugar con la circulacioacuten de las secciones puesto que todo lo que se toque empeoraraacute el lo global de la heacutelice
Obviamente al ser constante I10i a lo largo del radio seraacute tambieacuten
numeacutericamente igual al rendimiento global de la heacutelice 110 O sea
1101 = cte - f(r) = 110
La condicioacuten de Betz por tanto se escribe para heacutelices en flujo uniforme
1=tg l3 o tg (3
Si la heacutelice trabaja en una estela el estudio hay que realizarlo con el rendimiento cuasi-propulsivo de cada seccioacuten en vez de con el de propulsor aislado Al final puede demostrarse ( no lo haremos aquiacute) que se llega a
ID estela media circunferencial
ro estela efectiva
~ Relacioacuten emplrica entre y = la estela y el coeficiente de succioacuten
Es decir una expresioacuten similar a la de flujo uniforme pero con un factor antildeadido que depende de la estela
- Relacioacuten entre circulacioacuten y velocidades inducidas
Es muy importante encontrar una relacioacuten entre la circulacioacuten del torbellino ligado y las velocidades inducidas por los libres es decir la funcioacuten r = f (u) Para ello suponemos la heacutelice funcionando con las hojas de torbellinos desprendidas seguacuten la figura siguiente en la que se han representado las palas sustituidas por sus liacuteneas de sustentacioacuten( torbellino ligado) las hojas de torbellinos helicoidales libres y la velocidad inducida aguas abajo que es perpendicular a la hoja de torbellinos
Ut ----[gt
Ua
37
- - -
1
1 B A Hay infinitas liacuteneas de sustentacioacuten que atraviesan la superficie del cilindroO r Aplicando Stokes O r
El flujo del rotacional = circulacioacuten alrededor del contorno El flujo del rotacional es la suma de las
I I circulaciones de los torbellinos ligadosI I que ha cortado el cilindro es decir r oo
y por tantoI O r I
iquestr=roo =~uumlxdl dondeBI lA u=u +ua t
Calculemos la integral curviliacutenea anterior
~uuml x di = r (ua +utl dl + r(ua +ut )-dl + J(ua +ut)-dl+ r (Ua +~)di (1) (2) (3) (4)
(2) - - (4) Se anulan entre sr por recorrerse el m ismo camino en sentidos inversos shy
ut = O (por estar aguas arriba del propulsor) (3)=gt_ _ (3)=0
uaL di
Luego solo queda la integral (1)
iquestr=r~dl+Juadl =gt rr=r =rutdi
ya que UaL di
Por otra parte Ut es paralelo a di entre A y A luego
Hemos visto que para Z=oo Ut es constante a lo largo de la
circunferencia y puede salir de la integral Por tanto queda
Veamos ahora el caso de nO finito de palas Z En este caso la circulacioacuten total seraacute zr y por tanto
39
Para otras aplicaciones tomaremos A =x t9 13
- Distribucioacuten radial de empujes y pares
Primero hallaremos la relacioacuten entre las velocidades inducidas uYz y
uiexcl y el aacutengulo de paso hidrodinaacutemico 13
dL dT
u sin 13 sin(I3 - ~ ) = V R - --------c---7-shy2 cos(I3 -13 )
y ademaacutes
v _ VR VA
T - cos(f3 -13) sinl3
Entonces
v = V cos(13-(3) bull sin13
y por tanto sustituyendo
~=v cos(13 -13) sin 13 sln(13- 13) 2 sinf3 cos(f3- 3)
~=v sin 13 sin(I3 -3) 2 A sin 13
y del mismo modo
u = v cos 13 sin(3 - (3) 2 A sin 13
y por tanto sustituyendo en
z r = 211 r a3 u
41
El empuje de cada pa la vale
T = J~ dT = J~ dLcos 13 =1r p r vcos 13 dr H
Introducimos el concepto de circulacioacuten adimenslonal
[G=-shy
nD VA
Y sustituyendo podemos reescribir la expresioacuten del coeficiente de empuje
8Z
n
Volviendo al triaacutengulo de velocidades
u2
u2 2nrn - shycos 13 = __---2=_
vR
2=
Sustituyendo arriba y reordenando
Usando los radios adimensionalizados
r dr O x = - dx = - =gt dr = - dx
R R 2
La expresioacuten anterior queda ahora con estos radios adimensionalizados
43
Sacando factor comuacuten resulta
Relacioacuten entre velocidades inducidas y u = Aiexcl X ( _1_-1 J rendimiento
2 v A X 2 + A~ 110
Esta uacuteltima expreslon soacutelo sirve para heacutelices oacuteptimas puesto que hemos hecho uso de la condicioacuten de Betz
Sustituyendo esta expresioacuten en el valor del coeficiente de empuje y realizando las integrales queda la expresioacuten
doacutende tras varios pasos intermedios 1 11 2x I - r o dx
1 - JrH x 2 1) ~ + A 2
1 =(1-110 x 3
d 2 1 2 2 X
~ 110 (x2 +AF)
Para resolver estas integrales hay que recu rri r a hipoacutetesis simplificativas como Xh=O o Z=oo No entraremos aquiacute en el desarrollo completo pero con esto y otras ayudas se llega a
(2)
En esta expresioacuten soacutelo interviene tres paraacutemetros CT to Y A
El paraacutemetro A estaacute muy relacionado con el grado de avance J En efecto
VA JA = x tg 13 = ~ VA = VA = shyR 2n r n 2n R n nOn n
CT puede ser calculado a partir del empuje y del diaacutemetro de la heacutelice Entonces la expresioacuten (2) nos permite conociendo el punto de
funcionamiento de la heacutelice (J) y el empuje ( que puede obtenerse de (~) 1-1
donde R es la res istencia al avance y 1 el coeficiente de succioacuten) estimar el valor to que era el eslaboacuten que faltaba para aplicar la condicioacuten de Betz y poder terminar el caacutelculo f-shy
45
T 2 Con CT = 1---- estimamos el valor de CT ideal a partir de ciertas
2 p v Ao
expresiones empiacutericas
3 Con Cn y A entramos en el Diagrama de Kramer y obtenemos l01
4 Con middottg 13 x y lo aplicando el Teorema de Betz tenemos j3lx para cada seccioacuten
5 lt1gt = 1gt + a~ ~ Sacamos la ley de pasos buscando el aacutengulo de ataque
ideal a I (shock free entry)
6 Lo demaacutes (cuerdas curvaturas espesores ) se obtiene de caacutelculos de resistencia mecaacutenica y de cavitacioacuten
-t
47
~===~====~ ~~-------------- Starting Vortex
El torbellino de intensidad r es desplazado aguas abajo hacia el borde de salida por el resto de liacuteneas de corriente
Recordemos un teorema baacutesico de la Teoriacutea Vorticial que dice que en un dominio fluido la vorticidad total permanece constante
-r 0gt r
= ==0==y~0 ~000
Inicialmente en el dominio fluido antes de introducir el perfil la vorticidad total era nula por lo que ha de aparecer otra circulacioacuten (-1) que compense a la del Starting Vortex Esta aparece en torno al perfil Aparece un nuevo campo de velocidades a causa de esta circulacioacuten en torno al perfil
El punto de remanso B se desplaza ahora al punto anguloso de salida lo que implica que los flujos queL van por arriba y por abajo no se mezclan B se desplaza a base de desprender torbellinos hasta llegar al borde de salida Esta es la Condicioacuten de Kutta
Ademaacutes como en el caso del cilindro si calculamos ahora v y p se obtiene que aparece una fuerza sobre el perfil la sustentacioacuten (l) que es perpendicular al flujo v
25
Esto permite a la hora de estudiar los perfiles y las fuerzas hacer una abstraccioacuten y llegar a sustituir el perfil por un flujo uniforme una liacutenea de torbellinos de verticidad r y una fuerza (l) [Suponiendo un perfil de ancho infinito]
VR - - ---ICgt
r
A la liacutenea de torbellinos se le llama liacutenea de sustentacioacuten ya que los torbellinos secteneran sustentacioacuten La parte de la Teoriacutea de Circulacioacuten que estudia los perfiles sustituyeacutendolos por liacuteneas de sustentacioacuten se llama Teoriacutea de la Liacutenea de Sustentacioacuten ( Ufting-line Theory)
d Perfiles de envergadura finita
Todo lo anterior ocurre en perfiles de envergadura ( ancho perpendicular al papel) infinita que loacutegicamente no existen en la realidad los perfiles que nos encontraremos (alas de avioacuten timones palas de heacutelices etc) son perfiles de envergadura finita es decir t ienen un ancho (alto) determinado Entonces aparece un nuevo fenoacutemeno tridimensiol)ltlJ no como hasta ahora que era siempre un flujo 2D
Efectos 3D
Torbellinos de ~ extremo de ala
S ~~-------------p_p-+--------iquest~
En los bordes del perfil el flujo se escapa de las zonas de preslon maacutes alta ( cara inferior del perfil) hacia las de presioacuten maacutes baj a ( cara superior
27
Como consecuencia de lo anterior en el borde de salida del ala se ) encuentran dos flujos cruzados el superior con una componente hacia el ) centro y el inferior con una componente hacia los extremos que dan lugar
a torbellinos desprendidos a lo largo de todo el borde de sal ida Eacutestos forman una hoja de torbellinos donde los de mayor intensidad aparecen en los bordes laterales del perfil Estos torbellinos se conocen con el nombre de torbellinos libres y son arrastralos aguas abajo por el flujo principal hasta el infinito
IG G G
En consecuencia podemos concluir que en los perfiles de env ergadura finita es decir los perfi les de la vida real se escapan de los mismos una serie de liacuteneas de torbellinos libres hacia popa Podemos hacer una representacioacuten esquemaacutetica como sigue
d
d d
--shy ~~ado el
J shy~a I gar aL
dI
que
T Libres giran en sentidos contrarios a cada lado del ala
Son torbellinos elementales
La vorticidad de los torbell inos libres dI tiene que salir de alguacuten lado ( recordemos que la cantidad total de vorticidad en un dominio ha de permanecer constante) Sale obviamente del torbellino ligado que va perdiendo vorticidad desde el centro del ala hacia ambos bordes laterales
-fshy
29
linea Semi-infinita Si la liacutenea de torbellinos es de
longitud semi-infinita es decir con principio pero sin final y el punto P estaacute en el plano en el que comienza la liacutenea tendremos al integrar
-+00 r
u~--41t y
Es de=ir que una liacutenea de torbellinos semi-infin ita crea una velocidad inducida que es la mitad de la que crea una liacutenea de longitud infinita
En el borde de salida del ala cada torbellino libre puede considerarse como una liacutenea semi-infinita que empieza en dicho borde En el infinito aguas abajo esta liacutenea puede considerarse liacutenea infinita La velocidad inducida por el torbellino libre en el infinito es el doble de la inducida en el borde de salida Lo mismo le ocurre a la velocidad inducida por toda la hoja de torbellinos libres ya que es la suma de las generadas por cada torbellino individual en el infinito la velocidad inducida es el doble que en eacutel b9rde de salida del perfil
U en el infinito ) ~ en el perfil
Hemos hablado de los moacutedulos de la velocidad pero iquestqueacute pasa con las direcciones
uuml
La velocidad inducida por un torbellino es siempre perpendicular a la direccioacuten del mismo En el caso de los torbellinos libres que se desprenden de un ala eacutestos se ven arrastrados por el flujo incidente y por tanto su direccioacuten es la misma de dicho flujo es decir que uuml es perpendicular a la velocidad incidente y estaacute dirigida hacia la cara de presioacuten del perfil No tiene componente transversal ya que dichas componentes se anulan por simetriacutea las de los torbellinos de la mitad izquierda del ala con las de la mitad derecha debe recordarse que giran en sentidos contrarios
Los torbellinos libres generan un campo de velocidades en el espacio que se suma vectorialmente a la velocidad incidente VT Como hemos dicho la velocidad inducida por los torbellinos libres es siempre
31
32 APLICACIOacuteN EN HEacuteLICES
) - Torbellinos ligados torbellinos libres y velocidades inducidas
l )
)
Consideraremos que cada pala es un ala de envergadura finita de las que hemos estudiado en los puntos anteriores y como tal se sustituye por una liacutenea de torbellinos ligados Lo uacutenico diferente es la geometriacutea que ahora es mucho maacutes complicada que la del ala de un avioacuten
En efecto ahora la hoja de torbellinos libres desprendidos es una superficie helicoidal en vez de plana La velocidad inducida [j es perpendicular a dicha superficie y a su vez se puede descomponer en una componente longitudinal
[j (paralela al eje de la heacutelice) a ua y otra tangente a la
superficie del cilindro circunscrito u
Por cada pala se genera una hoja de torbellinos libres desfasados entre siacute por 360oZ (Z = nO de palas) que se van enroscando unas con otras originando un tirabuzoacuten de hojas de torbellinos Cada hoja induce en todos los puntos del espacio una velocidad lo que complica el caacutelculo de las velocidades inducidas ayudado por lo complejo de la geometriacutea de las hojas La velocidad inducida total resultante en un determinado punto seraacute la suma vectorial de todas las velocidades inducidas por cada una de las hojas de torbellinos Puede demostrarse ( no lo haremos en estos Apuntes) que los valores de dichas velocidades inducidas totales variacutean desde el infinito aguas arriba hasta el disco de la heacutelice y desde eacuteste al infinito aguas debajo de la manera recogida en el cuadro siguiente
Axial Tanqencial
OAguas arriba
O u -+shy2
Disco u 2
~ 2
Aguas abajo
u -~~U 2
u ----1-igtU 2
33
En la punta ambas fuerzas son cero ya que la circulacioacuten es nula al igualarse las presiones por pasar el flujo de la cara
07-08 R de presioacuten a la de succioacuten en la zona de la punta (figura de la derecha)
En la raiacutez de las palas la circulacioacuten no es nula pero es pequentildea El motivo es que aparece un fenoacutemeno de interferencia entre palas adyacentes por la proximidad de las mismas en esta zona
Aparecen zonas de alta y baja presioacuten de palas adyacentes que estaacuten bastante proacuteximas por lo que hay una cierta comunicacioacuten de fluido dejando de ser tan extremas las presiones reducieacutendose por tanto lltI sustentacioacuten que aparece y con ello la circulacioacuten
En las palasmiddot de una heacutelice ocurre lo mismo que vimos en las alas al tratarse de perfiles de envergadura finita la circulacioacuten variacutea con el radio r = r(r) y loacutegicamente tambieacuten lo hace la velocidad incidente total
vR = V R (r) que depende de v (conocida) y de la velocidad inducida uuml ( ver
triaacutengulo de velocidades) Es evidente tambieacuten que f3 =f(uuml)
Entonces recordando las expresiones que nos daban el empuje y la fuerza del par
Examinemos estas expresiones De todo lo que hemos expresado arriba se deduce que VR Y 13 dependen de las velocidades inducidas (uuml) pero eacutestas estaacuten generadas por las hojas helicoidales de torbellinos libres y por ello dependen de la vorticidad de los mismos (r) Eacutesta sabemos que vale
r = _ ar dr Br
Y en consecuencia depende de r(r) es decir de la distribucioacuten radial de circulacioacuten del torbellino ligado sobre la pala
35
) rendimiento global final de la heacutelice seriacutea mejor que el de la heacutelice inicial
) Pero esto es incompatible con la hipoacutetesis de partida seguacuten la cual rapt ya ) nos daba el mayor rendimiento global de la heacutelice lo luego dicha hipoacutetesis
de partida es absurda Por el contrario cuando l01 no varia con el radio no hay opcioacuten a jugar con la circulacioacuten de las secciones puesto que todo lo que se toque empeoraraacute el lo global de la heacutelice
Obviamente al ser constante I10i a lo largo del radio seraacute tambieacuten
numeacutericamente igual al rendimiento global de la heacutelice 110 O sea
1101 = cte - f(r) = 110
La condicioacuten de Betz por tanto se escribe para heacutelices en flujo uniforme
1=tg l3 o tg (3
Si la heacutelice trabaja en una estela el estudio hay que realizarlo con el rendimiento cuasi-propulsivo de cada seccioacuten en vez de con el de propulsor aislado Al final puede demostrarse ( no lo haremos aquiacute) que se llega a
ID estela media circunferencial
ro estela efectiva
~ Relacioacuten emplrica entre y = la estela y el coeficiente de succioacuten
Es decir una expresioacuten similar a la de flujo uniforme pero con un factor antildeadido que depende de la estela
- Relacioacuten entre circulacioacuten y velocidades inducidas
Es muy importante encontrar una relacioacuten entre la circulacioacuten del torbellino ligado y las velocidades inducidas por los libres es decir la funcioacuten r = f (u) Para ello suponemos la heacutelice funcionando con las hojas de torbellinos desprendidas seguacuten la figura siguiente en la que se han representado las palas sustituidas por sus liacuteneas de sustentacioacuten( torbellino ligado) las hojas de torbellinos helicoidales libres y la velocidad inducida aguas abajo que es perpendicular a la hoja de torbellinos
Ut ----[gt
Ua
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- - -
1
1 B A Hay infinitas liacuteneas de sustentacioacuten que atraviesan la superficie del cilindroO r Aplicando Stokes O r
El flujo del rotacional = circulacioacuten alrededor del contorno El flujo del rotacional es la suma de las
I I circulaciones de los torbellinos ligadosI I que ha cortado el cilindro es decir r oo
y por tantoI O r I
iquestr=roo =~uumlxdl dondeBI lA u=u +ua t
Calculemos la integral curviliacutenea anterior
~uuml x di = r (ua +utl dl + r(ua +ut )-dl + J(ua +ut)-dl+ r (Ua +~)di (1) (2) (3) (4)
(2) - - (4) Se anulan entre sr por recorrerse el m ismo camino en sentidos inversos shy
ut = O (por estar aguas arriba del propulsor) (3)=gt_ _ (3)=0
uaL di
Luego solo queda la integral (1)
iquestr=r~dl+Juadl =gt rr=r =rutdi
ya que UaL di
Por otra parte Ut es paralelo a di entre A y A luego
Hemos visto que para Z=oo Ut es constante a lo largo de la
circunferencia y puede salir de la integral Por tanto queda
Veamos ahora el caso de nO finito de palas Z En este caso la circulacioacuten total seraacute zr y por tanto
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Para otras aplicaciones tomaremos A =x t9 13
- Distribucioacuten radial de empujes y pares
Primero hallaremos la relacioacuten entre las velocidades inducidas uYz y
uiexcl y el aacutengulo de paso hidrodinaacutemico 13
dL dT
u sin 13 sin(I3 - ~ ) = V R - --------c---7-shy2 cos(I3 -13 )
y ademaacutes
v _ VR VA
T - cos(f3 -13) sinl3
Entonces
v = V cos(13-(3) bull sin13
y por tanto sustituyendo
~=v cos(13 -13) sin 13 sln(13- 13) 2 sinf3 cos(f3- 3)
~=v sin 13 sin(I3 -3) 2 A sin 13
y del mismo modo
u = v cos 13 sin(3 - (3) 2 A sin 13
y por tanto sustituyendo en
z r = 211 r a3 u
41
El empuje de cada pa la vale
T = J~ dT = J~ dLcos 13 =1r p r vcos 13 dr H
Introducimos el concepto de circulacioacuten adimenslonal
[G=-shy
nD VA
Y sustituyendo podemos reescribir la expresioacuten del coeficiente de empuje
8Z
n
Volviendo al triaacutengulo de velocidades
u2
u2 2nrn - shycos 13 = __---2=_
vR
2=
Sustituyendo arriba y reordenando
Usando los radios adimensionalizados
r dr O x = - dx = - =gt dr = - dx
R R 2
La expresioacuten anterior queda ahora con estos radios adimensionalizados
43
Sacando factor comuacuten resulta
Relacioacuten entre velocidades inducidas y u = Aiexcl X ( _1_-1 J rendimiento
2 v A X 2 + A~ 110
Esta uacuteltima expreslon soacutelo sirve para heacutelices oacuteptimas puesto que hemos hecho uso de la condicioacuten de Betz
Sustituyendo esta expresioacuten en el valor del coeficiente de empuje y realizando las integrales queda la expresioacuten
doacutende tras varios pasos intermedios 1 11 2x I - r o dx
1 - JrH x 2 1) ~ + A 2
1 =(1-110 x 3
d 2 1 2 2 X
~ 110 (x2 +AF)
Para resolver estas integrales hay que recu rri r a hipoacutetesis simplificativas como Xh=O o Z=oo No entraremos aquiacute en el desarrollo completo pero con esto y otras ayudas se llega a
(2)
En esta expresioacuten soacutelo interviene tres paraacutemetros CT to Y A
El paraacutemetro A estaacute muy relacionado con el grado de avance J En efecto
VA JA = x tg 13 = ~ VA = VA = shyR 2n r n 2n R n nOn n
CT puede ser calculado a partir del empuje y del diaacutemetro de la heacutelice Entonces la expresioacuten (2) nos permite conociendo el punto de
funcionamiento de la heacutelice (J) y el empuje ( que puede obtenerse de (~) 1-1
donde R es la res istencia al avance y 1 el coeficiente de succioacuten) estimar el valor to que era el eslaboacuten que faltaba para aplicar la condicioacuten de Betz y poder terminar el caacutelculo f-shy
45
T 2 Con CT = 1---- estimamos el valor de CT ideal a partir de ciertas
2 p v Ao
expresiones empiacutericas
3 Con Cn y A entramos en el Diagrama de Kramer y obtenemos l01
4 Con middottg 13 x y lo aplicando el Teorema de Betz tenemos j3lx para cada seccioacuten
5 lt1gt = 1gt + a~ ~ Sacamos la ley de pasos buscando el aacutengulo de ataque
ideal a I (shock free entry)
6 Lo demaacutes (cuerdas curvaturas espesores ) se obtiene de caacutelculos de resistencia mecaacutenica y de cavitacioacuten
-t
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Esto permite a la hora de estudiar los perfiles y las fuerzas hacer una abstraccioacuten y llegar a sustituir el perfil por un flujo uniforme una liacutenea de torbellinos de verticidad r y una fuerza (l) [Suponiendo un perfil de ancho infinito]
VR - - ---ICgt
r
A la liacutenea de torbellinos se le llama liacutenea de sustentacioacuten ya que los torbellinos secteneran sustentacioacuten La parte de la Teoriacutea de Circulacioacuten que estudia los perfiles sustituyeacutendolos por liacuteneas de sustentacioacuten se llama Teoriacutea de la Liacutenea de Sustentacioacuten ( Ufting-line Theory)
d Perfiles de envergadura finita
Todo lo anterior ocurre en perfiles de envergadura ( ancho perpendicular al papel) infinita que loacutegicamente no existen en la realidad los perfiles que nos encontraremos (alas de avioacuten timones palas de heacutelices etc) son perfiles de envergadura finita es decir t ienen un ancho (alto) determinado Entonces aparece un nuevo fenoacutemeno tridimensiol)ltlJ no como hasta ahora que era siempre un flujo 2D
Efectos 3D
Torbellinos de ~ extremo de ala
S ~~-------------p_p-+--------iquest~
En los bordes del perfil el flujo se escapa de las zonas de preslon maacutes alta ( cara inferior del perfil) hacia las de presioacuten maacutes baj a ( cara superior
27
Como consecuencia de lo anterior en el borde de salida del ala se ) encuentran dos flujos cruzados el superior con una componente hacia el ) centro y el inferior con una componente hacia los extremos que dan lugar
a torbellinos desprendidos a lo largo de todo el borde de sal ida Eacutestos forman una hoja de torbellinos donde los de mayor intensidad aparecen en los bordes laterales del perfil Estos torbellinos se conocen con el nombre de torbellinos libres y son arrastralos aguas abajo por el flujo principal hasta el infinito
IG G G
En consecuencia podemos concluir que en los perfiles de env ergadura finita es decir los perfi les de la vida real se escapan de los mismos una serie de liacuteneas de torbellinos libres hacia popa Podemos hacer una representacioacuten esquemaacutetica como sigue
d
d d
--shy ~~ado el
J shy~a I gar aL
dI
que
T Libres giran en sentidos contrarios a cada lado del ala
Son torbellinos elementales
La vorticidad de los torbell inos libres dI tiene que salir de alguacuten lado ( recordemos que la cantidad total de vorticidad en un dominio ha de permanecer constante) Sale obviamente del torbellino ligado que va perdiendo vorticidad desde el centro del ala hacia ambos bordes laterales
-fshy
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linea Semi-infinita Si la liacutenea de torbellinos es de
longitud semi-infinita es decir con principio pero sin final y el punto P estaacute en el plano en el que comienza la liacutenea tendremos al integrar
-+00 r
u~--41t y
Es de=ir que una liacutenea de torbellinos semi-infin ita crea una velocidad inducida que es la mitad de la que crea una liacutenea de longitud infinita
En el borde de salida del ala cada torbellino libre puede considerarse como una liacutenea semi-infinita que empieza en dicho borde En el infinito aguas abajo esta liacutenea puede considerarse liacutenea infinita La velocidad inducida por el torbellino libre en el infinito es el doble de la inducida en el borde de salida Lo mismo le ocurre a la velocidad inducida por toda la hoja de torbellinos libres ya que es la suma de las generadas por cada torbellino individual en el infinito la velocidad inducida es el doble que en eacutel b9rde de salida del perfil
U en el infinito ) ~ en el perfil
Hemos hablado de los moacutedulos de la velocidad pero iquestqueacute pasa con las direcciones
uuml
La velocidad inducida por un torbellino es siempre perpendicular a la direccioacuten del mismo En el caso de los torbellinos libres que se desprenden de un ala eacutestos se ven arrastrados por el flujo incidente y por tanto su direccioacuten es la misma de dicho flujo es decir que uuml es perpendicular a la velocidad incidente y estaacute dirigida hacia la cara de presioacuten del perfil No tiene componente transversal ya que dichas componentes se anulan por simetriacutea las de los torbellinos de la mitad izquierda del ala con las de la mitad derecha debe recordarse que giran en sentidos contrarios
Los torbellinos libres generan un campo de velocidades en el espacio que se suma vectorialmente a la velocidad incidente VT Como hemos dicho la velocidad inducida por los torbellinos libres es siempre
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32 APLICACIOacuteN EN HEacuteLICES
) - Torbellinos ligados torbellinos libres y velocidades inducidas
l )
)
Consideraremos que cada pala es un ala de envergadura finita de las que hemos estudiado en los puntos anteriores y como tal se sustituye por una liacutenea de torbellinos ligados Lo uacutenico diferente es la geometriacutea que ahora es mucho maacutes complicada que la del ala de un avioacuten
En efecto ahora la hoja de torbellinos libres desprendidos es una superficie helicoidal en vez de plana La velocidad inducida [j es perpendicular a dicha superficie y a su vez se puede descomponer en una componente longitudinal
[j (paralela al eje de la heacutelice) a ua y otra tangente a la
superficie del cilindro circunscrito u
Por cada pala se genera una hoja de torbellinos libres desfasados entre siacute por 360oZ (Z = nO de palas) que se van enroscando unas con otras originando un tirabuzoacuten de hojas de torbellinos Cada hoja induce en todos los puntos del espacio una velocidad lo que complica el caacutelculo de las velocidades inducidas ayudado por lo complejo de la geometriacutea de las hojas La velocidad inducida total resultante en un determinado punto seraacute la suma vectorial de todas las velocidades inducidas por cada una de las hojas de torbellinos Puede demostrarse ( no lo haremos en estos Apuntes) que los valores de dichas velocidades inducidas totales variacutean desde el infinito aguas arriba hasta el disco de la heacutelice y desde eacuteste al infinito aguas debajo de la manera recogida en el cuadro siguiente
Axial Tanqencial
OAguas arriba
O u -+shy2
Disco u 2
~ 2
Aguas abajo
u -~~U 2
u ----1-igtU 2
33
En la punta ambas fuerzas son cero ya que la circulacioacuten es nula al igualarse las presiones por pasar el flujo de la cara
07-08 R de presioacuten a la de succioacuten en la zona de la punta (figura de la derecha)
En la raiacutez de las palas la circulacioacuten no es nula pero es pequentildea El motivo es que aparece un fenoacutemeno de interferencia entre palas adyacentes por la proximidad de las mismas en esta zona
Aparecen zonas de alta y baja presioacuten de palas adyacentes que estaacuten bastante proacuteximas por lo que hay una cierta comunicacioacuten de fluido dejando de ser tan extremas las presiones reducieacutendose por tanto lltI sustentacioacuten que aparece y con ello la circulacioacuten
En las palasmiddot de una heacutelice ocurre lo mismo que vimos en las alas al tratarse de perfiles de envergadura finita la circulacioacuten variacutea con el radio r = r(r) y loacutegicamente tambieacuten lo hace la velocidad incidente total
vR = V R (r) que depende de v (conocida) y de la velocidad inducida uuml ( ver
triaacutengulo de velocidades) Es evidente tambieacuten que f3 =f(uuml)
Entonces recordando las expresiones que nos daban el empuje y la fuerza del par
Examinemos estas expresiones De todo lo que hemos expresado arriba se deduce que VR Y 13 dependen de las velocidades inducidas (uuml) pero eacutestas estaacuten generadas por las hojas helicoidales de torbellinos libres y por ello dependen de la vorticidad de los mismos (r) Eacutesta sabemos que vale
r = _ ar dr Br
Y en consecuencia depende de r(r) es decir de la distribucioacuten radial de circulacioacuten del torbellino ligado sobre la pala
35
) rendimiento global final de la heacutelice seriacutea mejor que el de la heacutelice inicial
) Pero esto es incompatible con la hipoacutetesis de partida seguacuten la cual rapt ya ) nos daba el mayor rendimiento global de la heacutelice lo luego dicha hipoacutetesis
de partida es absurda Por el contrario cuando l01 no varia con el radio no hay opcioacuten a jugar con la circulacioacuten de las secciones puesto que todo lo que se toque empeoraraacute el lo global de la heacutelice
Obviamente al ser constante I10i a lo largo del radio seraacute tambieacuten
numeacutericamente igual al rendimiento global de la heacutelice 110 O sea
1101 = cte - f(r) = 110
La condicioacuten de Betz por tanto se escribe para heacutelices en flujo uniforme
1=tg l3 o tg (3
Si la heacutelice trabaja en una estela el estudio hay que realizarlo con el rendimiento cuasi-propulsivo de cada seccioacuten en vez de con el de propulsor aislado Al final puede demostrarse ( no lo haremos aquiacute) que se llega a
ID estela media circunferencial
ro estela efectiva
~ Relacioacuten emplrica entre y = la estela y el coeficiente de succioacuten
Es decir una expresioacuten similar a la de flujo uniforme pero con un factor antildeadido que depende de la estela
- Relacioacuten entre circulacioacuten y velocidades inducidas
Es muy importante encontrar una relacioacuten entre la circulacioacuten del torbellino ligado y las velocidades inducidas por los libres es decir la funcioacuten r = f (u) Para ello suponemos la heacutelice funcionando con las hojas de torbellinos desprendidas seguacuten la figura siguiente en la que se han representado las palas sustituidas por sus liacuteneas de sustentacioacuten( torbellino ligado) las hojas de torbellinos helicoidales libres y la velocidad inducida aguas abajo que es perpendicular a la hoja de torbellinos
Ut ----[gt
Ua
37
- - -
1
1 B A Hay infinitas liacuteneas de sustentacioacuten que atraviesan la superficie del cilindroO r Aplicando Stokes O r
El flujo del rotacional = circulacioacuten alrededor del contorno El flujo del rotacional es la suma de las
I I circulaciones de los torbellinos ligadosI I que ha cortado el cilindro es decir r oo
y por tantoI O r I
iquestr=roo =~uumlxdl dondeBI lA u=u +ua t
Calculemos la integral curviliacutenea anterior
~uuml x di = r (ua +utl dl + r(ua +ut )-dl + J(ua +ut)-dl+ r (Ua +~)di (1) (2) (3) (4)
(2) - - (4) Se anulan entre sr por recorrerse el m ismo camino en sentidos inversos shy
ut = O (por estar aguas arriba del propulsor) (3)=gt_ _ (3)=0
uaL di
Luego solo queda la integral (1)
iquestr=r~dl+Juadl =gt rr=r =rutdi
ya que UaL di
Por otra parte Ut es paralelo a di entre A y A luego
Hemos visto que para Z=oo Ut es constante a lo largo de la
circunferencia y puede salir de la integral Por tanto queda
Veamos ahora el caso de nO finito de palas Z En este caso la circulacioacuten total seraacute zr y por tanto
39
Para otras aplicaciones tomaremos A =x t9 13
- Distribucioacuten radial de empujes y pares
Primero hallaremos la relacioacuten entre las velocidades inducidas uYz y
uiexcl y el aacutengulo de paso hidrodinaacutemico 13
dL dT
u sin 13 sin(I3 - ~ ) = V R - --------c---7-shy2 cos(I3 -13 )
y ademaacutes
v _ VR VA
T - cos(f3 -13) sinl3
Entonces
v = V cos(13-(3) bull sin13
y por tanto sustituyendo
~=v cos(13 -13) sin 13 sln(13- 13) 2 sinf3 cos(f3- 3)
~=v sin 13 sin(I3 -3) 2 A sin 13
y del mismo modo
u = v cos 13 sin(3 - (3) 2 A sin 13
y por tanto sustituyendo en
z r = 211 r a3 u
41
El empuje de cada pa la vale
T = J~ dT = J~ dLcos 13 =1r p r vcos 13 dr H
Introducimos el concepto de circulacioacuten adimenslonal
[G=-shy
nD VA
Y sustituyendo podemos reescribir la expresioacuten del coeficiente de empuje
8Z
n
Volviendo al triaacutengulo de velocidades
u2
u2 2nrn - shycos 13 = __---2=_
vR
2=
Sustituyendo arriba y reordenando
Usando los radios adimensionalizados
r dr O x = - dx = - =gt dr = - dx
R R 2
La expresioacuten anterior queda ahora con estos radios adimensionalizados
43
Sacando factor comuacuten resulta
Relacioacuten entre velocidades inducidas y u = Aiexcl X ( _1_-1 J rendimiento
2 v A X 2 + A~ 110
Esta uacuteltima expreslon soacutelo sirve para heacutelices oacuteptimas puesto que hemos hecho uso de la condicioacuten de Betz
Sustituyendo esta expresioacuten en el valor del coeficiente de empuje y realizando las integrales queda la expresioacuten
doacutende tras varios pasos intermedios 1 11 2x I - r o dx
1 - JrH x 2 1) ~ + A 2
1 =(1-110 x 3
d 2 1 2 2 X
~ 110 (x2 +AF)
Para resolver estas integrales hay que recu rri r a hipoacutetesis simplificativas como Xh=O o Z=oo No entraremos aquiacute en el desarrollo completo pero con esto y otras ayudas se llega a
(2)
En esta expresioacuten soacutelo interviene tres paraacutemetros CT to Y A
El paraacutemetro A estaacute muy relacionado con el grado de avance J En efecto
VA JA = x tg 13 = ~ VA = VA = shyR 2n r n 2n R n nOn n
CT puede ser calculado a partir del empuje y del diaacutemetro de la heacutelice Entonces la expresioacuten (2) nos permite conociendo el punto de
funcionamiento de la heacutelice (J) y el empuje ( que puede obtenerse de (~) 1-1
donde R es la res istencia al avance y 1 el coeficiente de succioacuten) estimar el valor to que era el eslaboacuten que faltaba para aplicar la condicioacuten de Betz y poder terminar el caacutelculo f-shy
45
T 2 Con CT = 1---- estimamos el valor de CT ideal a partir de ciertas
2 p v Ao
expresiones empiacutericas
3 Con Cn y A entramos en el Diagrama de Kramer y obtenemos l01
4 Con middottg 13 x y lo aplicando el Teorema de Betz tenemos j3lx para cada seccioacuten
5 lt1gt = 1gt + a~ ~ Sacamos la ley de pasos buscando el aacutengulo de ataque
ideal a I (shock free entry)
6 Lo demaacutes (cuerdas curvaturas espesores ) se obtiene de caacutelculos de resistencia mecaacutenica y de cavitacioacuten
-t
47
Como consecuencia de lo anterior en el borde de salida del ala se ) encuentran dos flujos cruzados el superior con una componente hacia el ) centro y el inferior con una componente hacia los extremos que dan lugar
a torbellinos desprendidos a lo largo de todo el borde de sal ida Eacutestos forman una hoja de torbellinos donde los de mayor intensidad aparecen en los bordes laterales del perfil Estos torbellinos se conocen con el nombre de torbellinos libres y son arrastralos aguas abajo por el flujo principal hasta el infinito
IG G G
En consecuencia podemos concluir que en los perfiles de env ergadura finita es decir los perfi les de la vida real se escapan de los mismos una serie de liacuteneas de torbellinos libres hacia popa Podemos hacer una representacioacuten esquemaacutetica como sigue
d
d d
--shy ~~ado el
J shy~a I gar aL
dI
que
T Libres giran en sentidos contrarios a cada lado del ala
Son torbellinos elementales
La vorticidad de los torbell inos libres dI tiene que salir de alguacuten lado ( recordemos que la cantidad total de vorticidad en un dominio ha de permanecer constante) Sale obviamente del torbellino ligado que va perdiendo vorticidad desde el centro del ala hacia ambos bordes laterales
-fshy
29
linea Semi-infinita Si la liacutenea de torbellinos es de
longitud semi-infinita es decir con principio pero sin final y el punto P estaacute en el plano en el que comienza la liacutenea tendremos al integrar
-+00 r
u~--41t y
Es de=ir que una liacutenea de torbellinos semi-infin ita crea una velocidad inducida que es la mitad de la que crea una liacutenea de longitud infinita
En el borde de salida del ala cada torbellino libre puede considerarse como una liacutenea semi-infinita que empieza en dicho borde En el infinito aguas abajo esta liacutenea puede considerarse liacutenea infinita La velocidad inducida por el torbellino libre en el infinito es el doble de la inducida en el borde de salida Lo mismo le ocurre a la velocidad inducida por toda la hoja de torbellinos libres ya que es la suma de las generadas por cada torbellino individual en el infinito la velocidad inducida es el doble que en eacutel b9rde de salida del perfil
U en el infinito ) ~ en el perfil
Hemos hablado de los moacutedulos de la velocidad pero iquestqueacute pasa con las direcciones
uuml
La velocidad inducida por un torbellino es siempre perpendicular a la direccioacuten del mismo En el caso de los torbellinos libres que se desprenden de un ala eacutestos se ven arrastrados por el flujo incidente y por tanto su direccioacuten es la misma de dicho flujo es decir que uuml es perpendicular a la velocidad incidente y estaacute dirigida hacia la cara de presioacuten del perfil No tiene componente transversal ya que dichas componentes se anulan por simetriacutea las de los torbellinos de la mitad izquierda del ala con las de la mitad derecha debe recordarse que giran en sentidos contrarios
Los torbellinos libres generan un campo de velocidades en el espacio que se suma vectorialmente a la velocidad incidente VT Como hemos dicho la velocidad inducida por los torbellinos libres es siempre
31
32 APLICACIOacuteN EN HEacuteLICES
) - Torbellinos ligados torbellinos libres y velocidades inducidas
l )
)
Consideraremos que cada pala es un ala de envergadura finita de las que hemos estudiado en los puntos anteriores y como tal se sustituye por una liacutenea de torbellinos ligados Lo uacutenico diferente es la geometriacutea que ahora es mucho maacutes complicada que la del ala de un avioacuten
En efecto ahora la hoja de torbellinos libres desprendidos es una superficie helicoidal en vez de plana La velocidad inducida [j es perpendicular a dicha superficie y a su vez se puede descomponer en una componente longitudinal
[j (paralela al eje de la heacutelice) a ua y otra tangente a la
superficie del cilindro circunscrito u
Por cada pala se genera una hoja de torbellinos libres desfasados entre siacute por 360oZ (Z = nO de palas) que se van enroscando unas con otras originando un tirabuzoacuten de hojas de torbellinos Cada hoja induce en todos los puntos del espacio una velocidad lo que complica el caacutelculo de las velocidades inducidas ayudado por lo complejo de la geometriacutea de las hojas La velocidad inducida total resultante en un determinado punto seraacute la suma vectorial de todas las velocidades inducidas por cada una de las hojas de torbellinos Puede demostrarse ( no lo haremos en estos Apuntes) que los valores de dichas velocidades inducidas totales variacutean desde el infinito aguas arriba hasta el disco de la heacutelice y desde eacuteste al infinito aguas debajo de la manera recogida en el cuadro siguiente
Axial Tanqencial
OAguas arriba
O u -+shy2
Disco u 2
~ 2
Aguas abajo
u -~~U 2
u ----1-igtU 2
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En la punta ambas fuerzas son cero ya que la circulacioacuten es nula al igualarse las presiones por pasar el flujo de la cara
07-08 R de presioacuten a la de succioacuten en la zona de la punta (figura de la derecha)
En la raiacutez de las palas la circulacioacuten no es nula pero es pequentildea El motivo es que aparece un fenoacutemeno de interferencia entre palas adyacentes por la proximidad de las mismas en esta zona
Aparecen zonas de alta y baja presioacuten de palas adyacentes que estaacuten bastante proacuteximas por lo que hay una cierta comunicacioacuten de fluido dejando de ser tan extremas las presiones reducieacutendose por tanto lltI sustentacioacuten que aparece y con ello la circulacioacuten
En las palasmiddot de una heacutelice ocurre lo mismo que vimos en las alas al tratarse de perfiles de envergadura finita la circulacioacuten variacutea con el radio r = r(r) y loacutegicamente tambieacuten lo hace la velocidad incidente total
vR = V R (r) que depende de v (conocida) y de la velocidad inducida uuml ( ver
triaacutengulo de velocidades) Es evidente tambieacuten que f3 =f(uuml)
Entonces recordando las expresiones que nos daban el empuje y la fuerza del par
Examinemos estas expresiones De todo lo que hemos expresado arriba se deduce que VR Y 13 dependen de las velocidades inducidas (uuml) pero eacutestas estaacuten generadas por las hojas helicoidales de torbellinos libres y por ello dependen de la vorticidad de los mismos (r) Eacutesta sabemos que vale
r = _ ar dr Br
Y en consecuencia depende de r(r) es decir de la distribucioacuten radial de circulacioacuten del torbellino ligado sobre la pala
35
) rendimiento global final de la heacutelice seriacutea mejor que el de la heacutelice inicial
) Pero esto es incompatible con la hipoacutetesis de partida seguacuten la cual rapt ya ) nos daba el mayor rendimiento global de la heacutelice lo luego dicha hipoacutetesis
de partida es absurda Por el contrario cuando l01 no varia con el radio no hay opcioacuten a jugar con la circulacioacuten de las secciones puesto que todo lo que se toque empeoraraacute el lo global de la heacutelice
Obviamente al ser constante I10i a lo largo del radio seraacute tambieacuten
numeacutericamente igual al rendimiento global de la heacutelice 110 O sea
1101 = cte - f(r) = 110
La condicioacuten de Betz por tanto se escribe para heacutelices en flujo uniforme
1=tg l3 o tg (3
Si la heacutelice trabaja en una estela el estudio hay que realizarlo con el rendimiento cuasi-propulsivo de cada seccioacuten en vez de con el de propulsor aislado Al final puede demostrarse ( no lo haremos aquiacute) que se llega a
ID estela media circunferencial
ro estela efectiva
~ Relacioacuten emplrica entre y = la estela y el coeficiente de succioacuten
Es decir una expresioacuten similar a la de flujo uniforme pero con un factor antildeadido que depende de la estela
- Relacioacuten entre circulacioacuten y velocidades inducidas
Es muy importante encontrar una relacioacuten entre la circulacioacuten del torbellino ligado y las velocidades inducidas por los libres es decir la funcioacuten r = f (u) Para ello suponemos la heacutelice funcionando con las hojas de torbellinos desprendidas seguacuten la figura siguiente en la que se han representado las palas sustituidas por sus liacuteneas de sustentacioacuten( torbellino ligado) las hojas de torbellinos helicoidales libres y la velocidad inducida aguas abajo que es perpendicular a la hoja de torbellinos
Ut ----[gt
Ua
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- - -
1
1 B A Hay infinitas liacuteneas de sustentacioacuten que atraviesan la superficie del cilindroO r Aplicando Stokes O r
El flujo del rotacional = circulacioacuten alrededor del contorno El flujo del rotacional es la suma de las
I I circulaciones de los torbellinos ligadosI I que ha cortado el cilindro es decir r oo
y por tantoI O r I
iquestr=roo =~uumlxdl dondeBI lA u=u +ua t
Calculemos la integral curviliacutenea anterior
~uuml x di = r (ua +utl dl + r(ua +ut )-dl + J(ua +ut)-dl+ r (Ua +~)di (1) (2) (3) (4)
(2) - - (4) Se anulan entre sr por recorrerse el m ismo camino en sentidos inversos shy
ut = O (por estar aguas arriba del propulsor) (3)=gt_ _ (3)=0
uaL di
Luego solo queda la integral (1)
iquestr=r~dl+Juadl =gt rr=r =rutdi
ya que UaL di
Por otra parte Ut es paralelo a di entre A y A luego
Hemos visto que para Z=oo Ut es constante a lo largo de la
circunferencia y puede salir de la integral Por tanto queda
Veamos ahora el caso de nO finito de palas Z En este caso la circulacioacuten total seraacute zr y por tanto
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Para otras aplicaciones tomaremos A =x t9 13
- Distribucioacuten radial de empujes y pares
Primero hallaremos la relacioacuten entre las velocidades inducidas uYz y
uiexcl y el aacutengulo de paso hidrodinaacutemico 13
dL dT
u sin 13 sin(I3 - ~ ) = V R - --------c---7-shy2 cos(I3 -13 )
y ademaacutes
v _ VR VA
T - cos(f3 -13) sinl3
Entonces
v = V cos(13-(3) bull sin13
y por tanto sustituyendo
~=v cos(13 -13) sin 13 sln(13- 13) 2 sinf3 cos(f3- 3)
~=v sin 13 sin(I3 -3) 2 A sin 13
y del mismo modo
u = v cos 13 sin(3 - (3) 2 A sin 13
y por tanto sustituyendo en
z r = 211 r a3 u
41
El empuje de cada pa la vale
T = J~ dT = J~ dLcos 13 =1r p r vcos 13 dr H
Introducimos el concepto de circulacioacuten adimenslonal
[G=-shy
nD VA
Y sustituyendo podemos reescribir la expresioacuten del coeficiente de empuje
8Z
n
Volviendo al triaacutengulo de velocidades
u2
u2 2nrn - shycos 13 = __---2=_
vR
2=
Sustituyendo arriba y reordenando
Usando los radios adimensionalizados
r dr O x = - dx = - =gt dr = - dx
R R 2
La expresioacuten anterior queda ahora con estos radios adimensionalizados
43
Sacando factor comuacuten resulta
Relacioacuten entre velocidades inducidas y u = Aiexcl X ( _1_-1 J rendimiento
2 v A X 2 + A~ 110
Esta uacuteltima expreslon soacutelo sirve para heacutelices oacuteptimas puesto que hemos hecho uso de la condicioacuten de Betz
Sustituyendo esta expresioacuten en el valor del coeficiente de empuje y realizando las integrales queda la expresioacuten
doacutende tras varios pasos intermedios 1 11 2x I - r o dx
1 - JrH x 2 1) ~ + A 2
1 =(1-110 x 3
d 2 1 2 2 X
~ 110 (x2 +AF)
Para resolver estas integrales hay que recu rri r a hipoacutetesis simplificativas como Xh=O o Z=oo No entraremos aquiacute en el desarrollo completo pero con esto y otras ayudas se llega a
(2)
En esta expresioacuten soacutelo interviene tres paraacutemetros CT to Y A
El paraacutemetro A estaacute muy relacionado con el grado de avance J En efecto
VA JA = x tg 13 = ~ VA = VA = shyR 2n r n 2n R n nOn n
CT puede ser calculado a partir del empuje y del diaacutemetro de la heacutelice Entonces la expresioacuten (2) nos permite conociendo el punto de
funcionamiento de la heacutelice (J) y el empuje ( que puede obtenerse de (~) 1-1
donde R es la res istencia al avance y 1 el coeficiente de succioacuten) estimar el valor to que era el eslaboacuten que faltaba para aplicar la condicioacuten de Betz y poder terminar el caacutelculo f-shy
45
T 2 Con CT = 1---- estimamos el valor de CT ideal a partir de ciertas
2 p v Ao
expresiones empiacutericas
3 Con Cn y A entramos en el Diagrama de Kramer y obtenemos l01
4 Con middottg 13 x y lo aplicando el Teorema de Betz tenemos j3lx para cada seccioacuten
5 lt1gt = 1gt + a~ ~ Sacamos la ley de pasos buscando el aacutengulo de ataque
ideal a I (shock free entry)
6 Lo demaacutes (cuerdas curvaturas espesores ) se obtiene de caacutelculos de resistencia mecaacutenica y de cavitacioacuten
-t
47
linea Semi-infinita Si la liacutenea de torbellinos es de
longitud semi-infinita es decir con principio pero sin final y el punto P estaacute en el plano en el que comienza la liacutenea tendremos al integrar
-+00 r
u~--41t y
Es de=ir que una liacutenea de torbellinos semi-infin ita crea una velocidad inducida que es la mitad de la que crea una liacutenea de longitud infinita
En el borde de salida del ala cada torbellino libre puede considerarse como una liacutenea semi-infinita que empieza en dicho borde En el infinito aguas abajo esta liacutenea puede considerarse liacutenea infinita La velocidad inducida por el torbellino libre en el infinito es el doble de la inducida en el borde de salida Lo mismo le ocurre a la velocidad inducida por toda la hoja de torbellinos libres ya que es la suma de las generadas por cada torbellino individual en el infinito la velocidad inducida es el doble que en eacutel b9rde de salida del perfil
U en el infinito ) ~ en el perfil
Hemos hablado de los moacutedulos de la velocidad pero iquestqueacute pasa con las direcciones
uuml
La velocidad inducida por un torbellino es siempre perpendicular a la direccioacuten del mismo En el caso de los torbellinos libres que se desprenden de un ala eacutestos se ven arrastrados por el flujo incidente y por tanto su direccioacuten es la misma de dicho flujo es decir que uuml es perpendicular a la velocidad incidente y estaacute dirigida hacia la cara de presioacuten del perfil No tiene componente transversal ya que dichas componentes se anulan por simetriacutea las de los torbellinos de la mitad izquierda del ala con las de la mitad derecha debe recordarse que giran en sentidos contrarios
Los torbellinos libres generan un campo de velocidades en el espacio que se suma vectorialmente a la velocidad incidente VT Como hemos dicho la velocidad inducida por los torbellinos libres es siempre
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32 APLICACIOacuteN EN HEacuteLICES
) - Torbellinos ligados torbellinos libres y velocidades inducidas
l )
)
Consideraremos que cada pala es un ala de envergadura finita de las que hemos estudiado en los puntos anteriores y como tal se sustituye por una liacutenea de torbellinos ligados Lo uacutenico diferente es la geometriacutea que ahora es mucho maacutes complicada que la del ala de un avioacuten
En efecto ahora la hoja de torbellinos libres desprendidos es una superficie helicoidal en vez de plana La velocidad inducida [j es perpendicular a dicha superficie y a su vez se puede descomponer en una componente longitudinal
[j (paralela al eje de la heacutelice) a ua y otra tangente a la
superficie del cilindro circunscrito u
Por cada pala se genera una hoja de torbellinos libres desfasados entre siacute por 360oZ (Z = nO de palas) que se van enroscando unas con otras originando un tirabuzoacuten de hojas de torbellinos Cada hoja induce en todos los puntos del espacio una velocidad lo que complica el caacutelculo de las velocidades inducidas ayudado por lo complejo de la geometriacutea de las hojas La velocidad inducida total resultante en un determinado punto seraacute la suma vectorial de todas las velocidades inducidas por cada una de las hojas de torbellinos Puede demostrarse ( no lo haremos en estos Apuntes) que los valores de dichas velocidades inducidas totales variacutean desde el infinito aguas arriba hasta el disco de la heacutelice y desde eacuteste al infinito aguas debajo de la manera recogida en el cuadro siguiente
Axial Tanqencial
OAguas arriba
O u -+shy2
Disco u 2
~ 2
Aguas abajo
u -~~U 2
u ----1-igtU 2
33
En la punta ambas fuerzas son cero ya que la circulacioacuten es nula al igualarse las presiones por pasar el flujo de la cara
07-08 R de presioacuten a la de succioacuten en la zona de la punta (figura de la derecha)
En la raiacutez de las palas la circulacioacuten no es nula pero es pequentildea El motivo es que aparece un fenoacutemeno de interferencia entre palas adyacentes por la proximidad de las mismas en esta zona
Aparecen zonas de alta y baja presioacuten de palas adyacentes que estaacuten bastante proacuteximas por lo que hay una cierta comunicacioacuten de fluido dejando de ser tan extremas las presiones reducieacutendose por tanto lltI sustentacioacuten que aparece y con ello la circulacioacuten
En las palasmiddot de una heacutelice ocurre lo mismo que vimos en las alas al tratarse de perfiles de envergadura finita la circulacioacuten variacutea con el radio r = r(r) y loacutegicamente tambieacuten lo hace la velocidad incidente total
vR = V R (r) que depende de v (conocida) y de la velocidad inducida uuml ( ver
triaacutengulo de velocidades) Es evidente tambieacuten que f3 =f(uuml)
Entonces recordando las expresiones que nos daban el empuje y la fuerza del par
Examinemos estas expresiones De todo lo que hemos expresado arriba se deduce que VR Y 13 dependen de las velocidades inducidas (uuml) pero eacutestas estaacuten generadas por las hojas helicoidales de torbellinos libres y por ello dependen de la vorticidad de los mismos (r) Eacutesta sabemos que vale
r = _ ar dr Br
Y en consecuencia depende de r(r) es decir de la distribucioacuten radial de circulacioacuten del torbellino ligado sobre la pala
35
) rendimiento global final de la heacutelice seriacutea mejor que el de la heacutelice inicial
) Pero esto es incompatible con la hipoacutetesis de partida seguacuten la cual rapt ya ) nos daba el mayor rendimiento global de la heacutelice lo luego dicha hipoacutetesis
de partida es absurda Por el contrario cuando l01 no varia con el radio no hay opcioacuten a jugar con la circulacioacuten de las secciones puesto que todo lo que se toque empeoraraacute el lo global de la heacutelice
Obviamente al ser constante I10i a lo largo del radio seraacute tambieacuten
numeacutericamente igual al rendimiento global de la heacutelice 110 O sea
1101 = cte - f(r) = 110
La condicioacuten de Betz por tanto se escribe para heacutelices en flujo uniforme
1=tg l3 o tg (3
Si la heacutelice trabaja en una estela el estudio hay que realizarlo con el rendimiento cuasi-propulsivo de cada seccioacuten en vez de con el de propulsor aislado Al final puede demostrarse ( no lo haremos aquiacute) que se llega a
ID estela media circunferencial
ro estela efectiva
~ Relacioacuten emplrica entre y = la estela y el coeficiente de succioacuten
Es decir una expresioacuten similar a la de flujo uniforme pero con un factor antildeadido que depende de la estela
- Relacioacuten entre circulacioacuten y velocidades inducidas
Es muy importante encontrar una relacioacuten entre la circulacioacuten del torbellino ligado y las velocidades inducidas por los libres es decir la funcioacuten r = f (u) Para ello suponemos la heacutelice funcionando con las hojas de torbellinos desprendidas seguacuten la figura siguiente en la que se han representado las palas sustituidas por sus liacuteneas de sustentacioacuten( torbellino ligado) las hojas de torbellinos helicoidales libres y la velocidad inducida aguas abajo que es perpendicular a la hoja de torbellinos
Ut ----[gt
Ua
37
- - -
1
1 B A Hay infinitas liacuteneas de sustentacioacuten que atraviesan la superficie del cilindroO r Aplicando Stokes O r
El flujo del rotacional = circulacioacuten alrededor del contorno El flujo del rotacional es la suma de las
I I circulaciones de los torbellinos ligadosI I que ha cortado el cilindro es decir r oo
y por tantoI O r I
iquestr=roo =~uumlxdl dondeBI lA u=u +ua t
Calculemos la integral curviliacutenea anterior
~uuml x di = r (ua +utl dl + r(ua +ut )-dl + J(ua +ut)-dl+ r (Ua +~)di (1) (2) (3) (4)
(2) - - (4) Se anulan entre sr por recorrerse el m ismo camino en sentidos inversos shy
ut = O (por estar aguas arriba del propulsor) (3)=gt_ _ (3)=0
uaL di
Luego solo queda la integral (1)
iquestr=r~dl+Juadl =gt rr=r =rutdi
ya que UaL di
Por otra parte Ut es paralelo a di entre A y A luego
Hemos visto que para Z=oo Ut es constante a lo largo de la
circunferencia y puede salir de la integral Por tanto queda
Veamos ahora el caso de nO finito de palas Z En este caso la circulacioacuten total seraacute zr y por tanto
39
Para otras aplicaciones tomaremos A =x t9 13
- Distribucioacuten radial de empujes y pares
Primero hallaremos la relacioacuten entre las velocidades inducidas uYz y
uiexcl y el aacutengulo de paso hidrodinaacutemico 13
dL dT
u sin 13 sin(I3 - ~ ) = V R - --------c---7-shy2 cos(I3 -13 )
y ademaacutes
v _ VR VA
T - cos(f3 -13) sinl3
Entonces
v = V cos(13-(3) bull sin13
y por tanto sustituyendo
~=v cos(13 -13) sin 13 sln(13- 13) 2 sinf3 cos(f3- 3)
~=v sin 13 sin(I3 -3) 2 A sin 13
y del mismo modo
u = v cos 13 sin(3 - (3) 2 A sin 13
y por tanto sustituyendo en
z r = 211 r a3 u
41
El empuje de cada pa la vale
T = J~ dT = J~ dLcos 13 =1r p r vcos 13 dr H
Introducimos el concepto de circulacioacuten adimenslonal
[G=-shy
nD VA
Y sustituyendo podemos reescribir la expresioacuten del coeficiente de empuje
8Z
n
Volviendo al triaacutengulo de velocidades
u2
u2 2nrn - shycos 13 = __---2=_
vR
2=
Sustituyendo arriba y reordenando
Usando los radios adimensionalizados
r dr O x = - dx = - =gt dr = - dx
R R 2
La expresioacuten anterior queda ahora con estos radios adimensionalizados
43
Sacando factor comuacuten resulta
Relacioacuten entre velocidades inducidas y u = Aiexcl X ( _1_-1 J rendimiento
2 v A X 2 + A~ 110
Esta uacuteltima expreslon soacutelo sirve para heacutelices oacuteptimas puesto que hemos hecho uso de la condicioacuten de Betz
Sustituyendo esta expresioacuten en el valor del coeficiente de empuje y realizando las integrales queda la expresioacuten
doacutende tras varios pasos intermedios 1 11 2x I - r o dx
1 - JrH x 2 1) ~ + A 2
1 =(1-110 x 3
d 2 1 2 2 X
~ 110 (x2 +AF)
Para resolver estas integrales hay que recu rri r a hipoacutetesis simplificativas como Xh=O o Z=oo No entraremos aquiacute en el desarrollo completo pero con esto y otras ayudas se llega a
(2)
En esta expresioacuten soacutelo interviene tres paraacutemetros CT to Y A
El paraacutemetro A estaacute muy relacionado con el grado de avance J En efecto
VA JA = x tg 13 = ~ VA = VA = shyR 2n r n 2n R n nOn n
CT puede ser calculado a partir del empuje y del diaacutemetro de la heacutelice Entonces la expresioacuten (2) nos permite conociendo el punto de
funcionamiento de la heacutelice (J) y el empuje ( que puede obtenerse de (~) 1-1
donde R es la res istencia al avance y 1 el coeficiente de succioacuten) estimar el valor to que era el eslaboacuten que faltaba para aplicar la condicioacuten de Betz y poder terminar el caacutelculo f-shy
45
T 2 Con CT = 1---- estimamos el valor de CT ideal a partir de ciertas
2 p v Ao
expresiones empiacutericas
3 Con Cn y A entramos en el Diagrama de Kramer y obtenemos l01
4 Con middottg 13 x y lo aplicando el Teorema de Betz tenemos j3lx para cada seccioacuten
5 lt1gt = 1gt + a~ ~ Sacamos la ley de pasos buscando el aacutengulo de ataque
ideal a I (shock free entry)
6 Lo demaacutes (cuerdas curvaturas espesores ) se obtiene de caacutelculos de resistencia mecaacutenica y de cavitacioacuten
-t
47
32 APLICACIOacuteN EN HEacuteLICES
) - Torbellinos ligados torbellinos libres y velocidades inducidas
l )
)
Consideraremos que cada pala es un ala de envergadura finita de las que hemos estudiado en los puntos anteriores y como tal se sustituye por una liacutenea de torbellinos ligados Lo uacutenico diferente es la geometriacutea que ahora es mucho maacutes complicada que la del ala de un avioacuten
En efecto ahora la hoja de torbellinos libres desprendidos es una superficie helicoidal en vez de plana La velocidad inducida [j es perpendicular a dicha superficie y a su vez se puede descomponer en una componente longitudinal
[j (paralela al eje de la heacutelice) a ua y otra tangente a la
superficie del cilindro circunscrito u
Por cada pala se genera una hoja de torbellinos libres desfasados entre siacute por 360oZ (Z = nO de palas) que se van enroscando unas con otras originando un tirabuzoacuten de hojas de torbellinos Cada hoja induce en todos los puntos del espacio una velocidad lo que complica el caacutelculo de las velocidades inducidas ayudado por lo complejo de la geometriacutea de las hojas La velocidad inducida total resultante en un determinado punto seraacute la suma vectorial de todas las velocidades inducidas por cada una de las hojas de torbellinos Puede demostrarse ( no lo haremos en estos Apuntes) que los valores de dichas velocidades inducidas totales variacutean desde el infinito aguas arriba hasta el disco de la heacutelice y desde eacuteste al infinito aguas debajo de la manera recogida en el cuadro siguiente
Axial Tanqencial
OAguas arriba
O u -+shy2
Disco u 2
~ 2
Aguas abajo
u -~~U 2
u ----1-igtU 2
33
En la punta ambas fuerzas son cero ya que la circulacioacuten es nula al igualarse las presiones por pasar el flujo de la cara
07-08 R de presioacuten a la de succioacuten en la zona de la punta (figura de la derecha)
En la raiacutez de las palas la circulacioacuten no es nula pero es pequentildea El motivo es que aparece un fenoacutemeno de interferencia entre palas adyacentes por la proximidad de las mismas en esta zona
Aparecen zonas de alta y baja presioacuten de palas adyacentes que estaacuten bastante proacuteximas por lo que hay una cierta comunicacioacuten de fluido dejando de ser tan extremas las presiones reducieacutendose por tanto lltI sustentacioacuten que aparece y con ello la circulacioacuten
En las palasmiddot de una heacutelice ocurre lo mismo que vimos en las alas al tratarse de perfiles de envergadura finita la circulacioacuten variacutea con el radio r = r(r) y loacutegicamente tambieacuten lo hace la velocidad incidente total
vR = V R (r) que depende de v (conocida) y de la velocidad inducida uuml ( ver
triaacutengulo de velocidades) Es evidente tambieacuten que f3 =f(uuml)
Entonces recordando las expresiones que nos daban el empuje y la fuerza del par
Examinemos estas expresiones De todo lo que hemos expresado arriba se deduce que VR Y 13 dependen de las velocidades inducidas (uuml) pero eacutestas estaacuten generadas por las hojas helicoidales de torbellinos libres y por ello dependen de la vorticidad de los mismos (r) Eacutesta sabemos que vale
r = _ ar dr Br
Y en consecuencia depende de r(r) es decir de la distribucioacuten radial de circulacioacuten del torbellino ligado sobre la pala
35
) rendimiento global final de la heacutelice seriacutea mejor que el de la heacutelice inicial
) Pero esto es incompatible con la hipoacutetesis de partida seguacuten la cual rapt ya ) nos daba el mayor rendimiento global de la heacutelice lo luego dicha hipoacutetesis
de partida es absurda Por el contrario cuando l01 no varia con el radio no hay opcioacuten a jugar con la circulacioacuten de las secciones puesto que todo lo que se toque empeoraraacute el lo global de la heacutelice
Obviamente al ser constante I10i a lo largo del radio seraacute tambieacuten
numeacutericamente igual al rendimiento global de la heacutelice 110 O sea
1101 = cte - f(r) = 110
La condicioacuten de Betz por tanto se escribe para heacutelices en flujo uniforme
1=tg l3 o tg (3
Si la heacutelice trabaja en una estela el estudio hay que realizarlo con el rendimiento cuasi-propulsivo de cada seccioacuten en vez de con el de propulsor aislado Al final puede demostrarse ( no lo haremos aquiacute) que se llega a
ID estela media circunferencial
ro estela efectiva
~ Relacioacuten emplrica entre y = la estela y el coeficiente de succioacuten
Es decir una expresioacuten similar a la de flujo uniforme pero con un factor antildeadido que depende de la estela
- Relacioacuten entre circulacioacuten y velocidades inducidas
Es muy importante encontrar una relacioacuten entre la circulacioacuten del torbellino ligado y las velocidades inducidas por los libres es decir la funcioacuten r = f (u) Para ello suponemos la heacutelice funcionando con las hojas de torbellinos desprendidas seguacuten la figura siguiente en la que se han representado las palas sustituidas por sus liacuteneas de sustentacioacuten( torbellino ligado) las hojas de torbellinos helicoidales libres y la velocidad inducida aguas abajo que es perpendicular a la hoja de torbellinos
Ut ----[gt
Ua
37
- - -
1
1 B A Hay infinitas liacuteneas de sustentacioacuten que atraviesan la superficie del cilindroO r Aplicando Stokes O r
El flujo del rotacional = circulacioacuten alrededor del contorno El flujo del rotacional es la suma de las
I I circulaciones de los torbellinos ligadosI I que ha cortado el cilindro es decir r oo
y por tantoI O r I
iquestr=roo =~uumlxdl dondeBI lA u=u +ua t
Calculemos la integral curviliacutenea anterior
~uuml x di = r (ua +utl dl + r(ua +ut )-dl + J(ua +ut)-dl+ r (Ua +~)di (1) (2) (3) (4)
(2) - - (4) Se anulan entre sr por recorrerse el m ismo camino en sentidos inversos shy
ut = O (por estar aguas arriba del propulsor) (3)=gt_ _ (3)=0
uaL di
Luego solo queda la integral (1)
iquestr=r~dl+Juadl =gt rr=r =rutdi
ya que UaL di
Por otra parte Ut es paralelo a di entre A y A luego
Hemos visto que para Z=oo Ut es constante a lo largo de la
circunferencia y puede salir de la integral Por tanto queda
Veamos ahora el caso de nO finito de palas Z En este caso la circulacioacuten total seraacute zr y por tanto
39
Para otras aplicaciones tomaremos A =x t9 13
- Distribucioacuten radial de empujes y pares
Primero hallaremos la relacioacuten entre las velocidades inducidas uYz y
uiexcl y el aacutengulo de paso hidrodinaacutemico 13
dL dT
u sin 13 sin(I3 - ~ ) = V R - --------c---7-shy2 cos(I3 -13 )
y ademaacutes
v _ VR VA
T - cos(f3 -13) sinl3
Entonces
v = V cos(13-(3) bull sin13
y por tanto sustituyendo
~=v cos(13 -13) sin 13 sln(13- 13) 2 sinf3 cos(f3- 3)
~=v sin 13 sin(I3 -3) 2 A sin 13
y del mismo modo
u = v cos 13 sin(3 - (3) 2 A sin 13
y por tanto sustituyendo en
z r = 211 r a3 u
41
El empuje de cada pa la vale
T = J~ dT = J~ dLcos 13 =1r p r vcos 13 dr H
Introducimos el concepto de circulacioacuten adimenslonal
[G=-shy
nD VA
Y sustituyendo podemos reescribir la expresioacuten del coeficiente de empuje
8Z
n
Volviendo al triaacutengulo de velocidades
u2
u2 2nrn - shycos 13 = __---2=_
vR
2=
Sustituyendo arriba y reordenando
Usando los radios adimensionalizados
r dr O x = - dx = - =gt dr = - dx
R R 2
La expresioacuten anterior queda ahora con estos radios adimensionalizados
43
Sacando factor comuacuten resulta
Relacioacuten entre velocidades inducidas y u = Aiexcl X ( _1_-1 J rendimiento
2 v A X 2 + A~ 110
Esta uacuteltima expreslon soacutelo sirve para heacutelices oacuteptimas puesto que hemos hecho uso de la condicioacuten de Betz
Sustituyendo esta expresioacuten en el valor del coeficiente de empuje y realizando las integrales queda la expresioacuten
doacutende tras varios pasos intermedios 1 11 2x I - r o dx
1 - JrH x 2 1) ~ + A 2
1 =(1-110 x 3
d 2 1 2 2 X
~ 110 (x2 +AF)
Para resolver estas integrales hay que recu rri r a hipoacutetesis simplificativas como Xh=O o Z=oo No entraremos aquiacute en el desarrollo completo pero con esto y otras ayudas se llega a
(2)
En esta expresioacuten soacutelo interviene tres paraacutemetros CT to Y A
El paraacutemetro A estaacute muy relacionado con el grado de avance J En efecto
VA JA = x tg 13 = ~ VA = VA = shyR 2n r n 2n R n nOn n
CT puede ser calculado a partir del empuje y del diaacutemetro de la heacutelice Entonces la expresioacuten (2) nos permite conociendo el punto de
funcionamiento de la heacutelice (J) y el empuje ( que puede obtenerse de (~) 1-1
donde R es la res istencia al avance y 1 el coeficiente de succioacuten) estimar el valor to que era el eslaboacuten que faltaba para aplicar la condicioacuten de Betz y poder terminar el caacutelculo f-shy
45
T 2 Con CT = 1---- estimamos el valor de CT ideal a partir de ciertas
2 p v Ao
expresiones empiacutericas
3 Con Cn y A entramos en el Diagrama de Kramer y obtenemos l01
4 Con middottg 13 x y lo aplicando el Teorema de Betz tenemos j3lx para cada seccioacuten
5 lt1gt = 1gt + a~ ~ Sacamos la ley de pasos buscando el aacutengulo de ataque
ideal a I (shock free entry)
6 Lo demaacutes (cuerdas curvaturas espesores ) se obtiene de caacutelculos de resistencia mecaacutenica y de cavitacioacuten
-t
47
En la punta ambas fuerzas son cero ya que la circulacioacuten es nula al igualarse las presiones por pasar el flujo de la cara
07-08 R de presioacuten a la de succioacuten en la zona de la punta (figura de la derecha)
En la raiacutez de las palas la circulacioacuten no es nula pero es pequentildea El motivo es que aparece un fenoacutemeno de interferencia entre palas adyacentes por la proximidad de las mismas en esta zona
Aparecen zonas de alta y baja presioacuten de palas adyacentes que estaacuten bastante proacuteximas por lo que hay una cierta comunicacioacuten de fluido dejando de ser tan extremas las presiones reducieacutendose por tanto lltI sustentacioacuten que aparece y con ello la circulacioacuten
En las palasmiddot de una heacutelice ocurre lo mismo que vimos en las alas al tratarse de perfiles de envergadura finita la circulacioacuten variacutea con el radio r = r(r) y loacutegicamente tambieacuten lo hace la velocidad incidente total
vR = V R (r) que depende de v (conocida) y de la velocidad inducida uuml ( ver
triaacutengulo de velocidades) Es evidente tambieacuten que f3 =f(uuml)
Entonces recordando las expresiones que nos daban el empuje y la fuerza del par
Examinemos estas expresiones De todo lo que hemos expresado arriba se deduce que VR Y 13 dependen de las velocidades inducidas (uuml) pero eacutestas estaacuten generadas por las hojas helicoidales de torbellinos libres y por ello dependen de la vorticidad de los mismos (r) Eacutesta sabemos que vale
r = _ ar dr Br
Y en consecuencia depende de r(r) es decir de la distribucioacuten radial de circulacioacuten del torbellino ligado sobre la pala
35
) rendimiento global final de la heacutelice seriacutea mejor que el de la heacutelice inicial
) Pero esto es incompatible con la hipoacutetesis de partida seguacuten la cual rapt ya ) nos daba el mayor rendimiento global de la heacutelice lo luego dicha hipoacutetesis
de partida es absurda Por el contrario cuando l01 no varia con el radio no hay opcioacuten a jugar con la circulacioacuten de las secciones puesto que todo lo que se toque empeoraraacute el lo global de la heacutelice
Obviamente al ser constante I10i a lo largo del radio seraacute tambieacuten
numeacutericamente igual al rendimiento global de la heacutelice 110 O sea
1101 = cte - f(r) = 110
La condicioacuten de Betz por tanto se escribe para heacutelices en flujo uniforme
1=tg l3 o tg (3
Si la heacutelice trabaja en una estela el estudio hay que realizarlo con el rendimiento cuasi-propulsivo de cada seccioacuten en vez de con el de propulsor aislado Al final puede demostrarse ( no lo haremos aquiacute) que se llega a
ID estela media circunferencial
ro estela efectiva
~ Relacioacuten emplrica entre y = la estela y el coeficiente de succioacuten
Es decir una expresioacuten similar a la de flujo uniforme pero con un factor antildeadido que depende de la estela
- Relacioacuten entre circulacioacuten y velocidades inducidas
Es muy importante encontrar una relacioacuten entre la circulacioacuten del torbellino ligado y las velocidades inducidas por los libres es decir la funcioacuten r = f (u) Para ello suponemos la heacutelice funcionando con las hojas de torbellinos desprendidas seguacuten la figura siguiente en la que se han representado las palas sustituidas por sus liacuteneas de sustentacioacuten( torbellino ligado) las hojas de torbellinos helicoidales libres y la velocidad inducida aguas abajo que es perpendicular a la hoja de torbellinos
Ut ----[gt
Ua
37
- - -
1
1 B A Hay infinitas liacuteneas de sustentacioacuten que atraviesan la superficie del cilindroO r Aplicando Stokes O r
El flujo del rotacional = circulacioacuten alrededor del contorno El flujo del rotacional es la suma de las
I I circulaciones de los torbellinos ligadosI I que ha cortado el cilindro es decir r oo
y por tantoI O r I
iquestr=roo =~uumlxdl dondeBI lA u=u +ua t
Calculemos la integral curviliacutenea anterior
~uuml x di = r (ua +utl dl + r(ua +ut )-dl + J(ua +ut)-dl+ r (Ua +~)di (1) (2) (3) (4)
(2) - - (4) Se anulan entre sr por recorrerse el m ismo camino en sentidos inversos shy
ut = O (por estar aguas arriba del propulsor) (3)=gt_ _ (3)=0
uaL di
Luego solo queda la integral (1)
iquestr=r~dl+Juadl =gt rr=r =rutdi
ya que UaL di
Por otra parte Ut es paralelo a di entre A y A luego
Hemos visto que para Z=oo Ut es constante a lo largo de la
circunferencia y puede salir de la integral Por tanto queda
Veamos ahora el caso de nO finito de palas Z En este caso la circulacioacuten total seraacute zr y por tanto
39
Para otras aplicaciones tomaremos A =x t9 13
- Distribucioacuten radial de empujes y pares
Primero hallaremos la relacioacuten entre las velocidades inducidas uYz y
uiexcl y el aacutengulo de paso hidrodinaacutemico 13
dL dT
u sin 13 sin(I3 - ~ ) = V R - --------c---7-shy2 cos(I3 -13 )
y ademaacutes
v _ VR VA
T - cos(f3 -13) sinl3
Entonces
v = V cos(13-(3) bull sin13
y por tanto sustituyendo
~=v cos(13 -13) sin 13 sln(13- 13) 2 sinf3 cos(f3- 3)
~=v sin 13 sin(I3 -3) 2 A sin 13
y del mismo modo
u = v cos 13 sin(3 - (3) 2 A sin 13
y por tanto sustituyendo en
z r = 211 r a3 u
41
El empuje de cada pa la vale
T = J~ dT = J~ dLcos 13 =1r p r vcos 13 dr H
Introducimos el concepto de circulacioacuten adimenslonal
[G=-shy
nD VA
Y sustituyendo podemos reescribir la expresioacuten del coeficiente de empuje
8Z
n
Volviendo al triaacutengulo de velocidades
u2
u2 2nrn - shycos 13 = __---2=_
vR
2=
Sustituyendo arriba y reordenando
Usando los radios adimensionalizados
r dr O x = - dx = - =gt dr = - dx
R R 2
La expresioacuten anterior queda ahora con estos radios adimensionalizados
43
Sacando factor comuacuten resulta
Relacioacuten entre velocidades inducidas y u = Aiexcl X ( _1_-1 J rendimiento
2 v A X 2 + A~ 110
Esta uacuteltima expreslon soacutelo sirve para heacutelices oacuteptimas puesto que hemos hecho uso de la condicioacuten de Betz
Sustituyendo esta expresioacuten en el valor del coeficiente de empuje y realizando las integrales queda la expresioacuten
doacutende tras varios pasos intermedios 1 11 2x I - r o dx
1 - JrH x 2 1) ~ + A 2
1 =(1-110 x 3
d 2 1 2 2 X
~ 110 (x2 +AF)
Para resolver estas integrales hay que recu rri r a hipoacutetesis simplificativas como Xh=O o Z=oo No entraremos aquiacute en el desarrollo completo pero con esto y otras ayudas se llega a
(2)
En esta expresioacuten soacutelo interviene tres paraacutemetros CT to Y A
El paraacutemetro A estaacute muy relacionado con el grado de avance J En efecto
VA JA = x tg 13 = ~ VA = VA = shyR 2n r n 2n R n nOn n
CT puede ser calculado a partir del empuje y del diaacutemetro de la heacutelice Entonces la expresioacuten (2) nos permite conociendo el punto de
funcionamiento de la heacutelice (J) y el empuje ( que puede obtenerse de (~) 1-1
donde R es la res istencia al avance y 1 el coeficiente de succioacuten) estimar el valor to que era el eslaboacuten que faltaba para aplicar la condicioacuten de Betz y poder terminar el caacutelculo f-shy
45
T 2 Con CT = 1---- estimamos el valor de CT ideal a partir de ciertas
2 p v Ao
expresiones empiacutericas
3 Con Cn y A entramos en el Diagrama de Kramer y obtenemos l01
4 Con middottg 13 x y lo aplicando el Teorema de Betz tenemos j3lx para cada seccioacuten
5 lt1gt = 1gt + a~ ~ Sacamos la ley de pasos buscando el aacutengulo de ataque
ideal a I (shock free entry)
6 Lo demaacutes (cuerdas curvaturas espesores ) se obtiene de caacutelculos de resistencia mecaacutenica y de cavitacioacuten
-t
47
) rendimiento global final de la heacutelice seriacutea mejor que el de la heacutelice inicial
) Pero esto es incompatible con la hipoacutetesis de partida seguacuten la cual rapt ya ) nos daba el mayor rendimiento global de la heacutelice lo luego dicha hipoacutetesis
de partida es absurda Por el contrario cuando l01 no varia con el radio no hay opcioacuten a jugar con la circulacioacuten de las secciones puesto que todo lo que se toque empeoraraacute el lo global de la heacutelice
Obviamente al ser constante I10i a lo largo del radio seraacute tambieacuten
numeacutericamente igual al rendimiento global de la heacutelice 110 O sea
1101 = cte - f(r) = 110
La condicioacuten de Betz por tanto se escribe para heacutelices en flujo uniforme
1=tg l3 o tg (3
Si la heacutelice trabaja en una estela el estudio hay que realizarlo con el rendimiento cuasi-propulsivo de cada seccioacuten en vez de con el de propulsor aislado Al final puede demostrarse ( no lo haremos aquiacute) que se llega a
ID estela media circunferencial
ro estela efectiva
~ Relacioacuten emplrica entre y = la estela y el coeficiente de succioacuten
Es decir una expresioacuten similar a la de flujo uniforme pero con un factor antildeadido que depende de la estela
- Relacioacuten entre circulacioacuten y velocidades inducidas
Es muy importante encontrar una relacioacuten entre la circulacioacuten del torbellino ligado y las velocidades inducidas por los libres es decir la funcioacuten r = f (u) Para ello suponemos la heacutelice funcionando con las hojas de torbellinos desprendidas seguacuten la figura siguiente en la que se han representado las palas sustituidas por sus liacuteneas de sustentacioacuten( torbellino ligado) las hojas de torbellinos helicoidales libres y la velocidad inducida aguas abajo que es perpendicular a la hoja de torbellinos
Ut ----[gt
Ua
37
- - -
1
1 B A Hay infinitas liacuteneas de sustentacioacuten que atraviesan la superficie del cilindroO r Aplicando Stokes O r
El flujo del rotacional = circulacioacuten alrededor del contorno El flujo del rotacional es la suma de las
I I circulaciones de los torbellinos ligadosI I que ha cortado el cilindro es decir r oo
y por tantoI O r I
iquestr=roo =~uumlxdl dondeBI lA u=u +ua t
Calculemos la integral curviliacutenea anterior
~uuml x di = r (ua +utl dl + r(ua +ut )-dl + J(ua +ut)-dl+ r (Ua +~)di (1) (2) (3) (4)
(2) - - (4) Se anulan entre sr por recorrerse el m ismo camino en sentidos inversos shy
ut = O (por estar aguas arriba del propulsor) (3)=gt_ _ (3)=0
uaL di
Luego solo queda la integral (1)
iquestr=r~dl+Juadl =gt rr=r =rutdi
ya que UaL di
Por otra parte Ut es paralelo a di entre A y A luego
Hemos visto que para Z=oo Ut es constante a lo largo de la
circunferencia y puede salir de la integral Por tanto queda
Veamos ahora el caso de nO finito de palas Z En este caso la circulacioacuten total seraacute zr y por tanto
39
Para otras aplicaciones tomaremos A =x t9 13
- Distribucioacuten radial de empujes y pares
Primero hallaremos la relacioacuten entre las velocidades inducidas uYz y
uiexcl y el aacutengulo de paso hidrodinaacutemico 13
dL dT
u sin 13 sin(I3 - ~ ) = V R - --------c---7-shy2 cos(I3 -13 )
y ademaacutes
v _ VR VA
T - cos(f3 -13) sinl3
Entonces
v = V cos(13-(3) bull sin13
y por tanto sustituyendo
~=v cos(13 -13) sin 13 sln(13- 13) 2 sinf3 cos(f3- 3)
~=v sin 13 sin(I3 -3) 2 A sin 13
y del mismo modo
u = v cos 13 sin(3 - (3) 2 A sin 13
y por tanto sustituyendo en
z r = 211 r a3 u
41
El empuje de cada pa la vale
T = J~ dT = J~ dLcos 13 =1r p r vcos 13 dr H
Introducimos el concepto de circulacioacuten adimenslonal
[G=-shy
nD VA
Y sustituyendo podemos reescribir la expresioacuten del coeficiente de empuje
8Z
n
Volviendo al triaacutengulo de velocidades
u2
u2 2nrn - shycos 13 = __---2=_
vR
2=
Sustituyendo arriba y reordenando
Usando los radios adimensionalizados
r dr O x = - dx = - =gt dr = - dx
R R 2
La expresioacuten anterior queda ahora con estos radios adimensionalizados
43
Sacando factor comuacuten resulta
Relacioacuten entre velocidades inducidas y u = Aiexcl X ( _1_-1 J rendimiento
2 v A X 2 + A~ 110
Esta uacuteltima expreslon soacutelo sirve para heacutelices oacuteptimas puesto que hemos hecho uso de la condicioacuten de Betz
Sustituyendo esta expresioacuten en el valor del coeficiente de empuje y realizando las integrales queda la expresioacuten
doacutende tras varios pasos intermedios 1 11 2x I - r o dx
1 - JrH x 2 1) ~ + A 2
1 =(1-110 x 3
d 2 1 2 2 X
~ 110 (x2 +AF)
Para resolver estas integrales hay que recu rri r a hipoacutetesis simplificativas como Xh=O o Z=oo No entraremos aquiacute en el desarrollo completo pero con esto y otras ayudas se llega a
(2)
En esta expresioacuten soacutelo interviene tres paraacutemetros CT to Y A
El paraacutemetro A estaacute muy relacionado con el grado de avance J En efecto
VA JA = x tg 13 = ~ VA = VA = shyR 2n r n 2n R n nOn n
CT puede ser calculado a partir del empuje y del diaacutemetro de la heacutelice Entonces la expresioacuten (2) nos permite conociendo el punto de
funcionamiento de la heacutelice (J) y el empuje ( que puede obtenerse de (~) 1-1
donde R es la res istencia al avance y 1 el coeficiente de succioacuten) estimar el valor to que era el eslaboacuten que faltaba para aplicar la condicioacuten de Betz y poder terminar el caacutelculo f-shy
45
T 2 Con CT = 1---- estimamos el valor de CT ideal a partir de ciertas
2 p v Ao
expresiones empiacutericas
3 Con Cn y A entramos en el Diagrama de Kramer y obtenemos l01
4 Con middottg 13 x y lo aplicando el Teorema de Betz tenemos j3lx para cada seccioacuten
5 lt1gt = 1gt + a~ ~ Sacamos la ley de pasos buscando el aacutengulo de ataque
ideal a I (shock free entry)
6 Lo demaacutes (cuerdas curvaturas espesores ) se obtiene de caacutelculos de resistencia mecaacutenica y de cavitacioacuten
-t
47
- - -
1
1 B A Hay infinitas liacuteneas de sustentacioacuten que atraviesan la superficie del cilindroO r Aplicando Stokes O r
El flujo del rotacional = circulacioacuten alrededor del contorno El flujo del rotacional es la suma de las
I I circulaciones de los torbellinos ligadosI I que ha cortado el cilindro es decir r oo
y por tantoI O r I
iquestr=roo =~uumlxdl dondeBI lA u=u +ua t
Calculemos la integral curviliacutenea anterior
~uuml x di = r (ua +utl dl + r(ua +ut )-dl + J(ua +ut)-dl+ r (Ua +~)di (1) (2) (3) (4)
(2) - - (4) Se anulan entre sr por recorrerse el m ismo camino en sentidos inversos shy
ut = O (por estar aguas arriba del propulsor) (3)=gt_ _ (3)=0
uaL di
Luego solo queda la integral (1)
iquestr=r~dl+Juadl =gt rr=r =rutdi
ya que UaL di
Por otra parte Ut es paralelo a di entre A y A luego
Hemos visto que para Z=oo Ut es constante a lo largo de la
circunferencia y puede salir de la integral Por tanto queda
Veamos ahora el caso de nO finito de palas Z En este caso la circulacioacuten total seraacute zr y por tanto
39
Para otras aplicaciones tomaremos A =x t9 13
- Distribucioacuten radial de empujes y pares
Primero hallaremos la relacioacuten entre las velocidades inducidas uYz y
uiexcl y el aacutengulo de paso hidrodinaacutemico 13
dL dT
u sin 13 sin(I3 - ~ ) = V R - --------c---7-shy2 cos(I3 -13 )
y ademaacutes
v _ VR VA
T - cos(f3 -13) sinl3
Entonces
v = V cos(13-(3) bull sin13
y por tanto sustituyendo
~=v cos(13 -13) sin 13 sln(13- 13) 2 sinf3 cos(f3- 3)
~=v sin 13 sin(I3 -3) 2 A sin 13
y del mismo modo
u = v cos 13 sin(3 - (3) 2 A sin 13
y por tanto sustituyendo en
z r = 211 r a3 u
41
El empuje de cada pa la vale
T = J~ dT = J~ dLcos 13 =1r p r vcos 13 dr H
Introducimos el concepto de circulacioacuten adimenslonal
[G=-shy
nD VA
Y sustituyendo podemos reescribir la expresioacuten del coeficiente de empuje
8Z
n
Volviendo al triaacutengulo de velocidades
u2
u2 2nrn - shycos 13 = __---2=_
vR
2=
Sustituyendo arriba y reordenando
Usando los radios adimensionalizados
r dr O x = - dx = - =gt dr = - dx
R R 2
La expresioacuten anterior queda ahora con estos radios adimensionalizados
43
Sacando factor comuacuten resulta
Relacioacuten entre velocidades inducidas y u = Aiexcl X ( _1_-1 J rendimiento
2 v A X 2 + A~ 110
Esta uacuteltima expreslon soacutelo sirve para heacutelices oacuteptimas puesto que hemos hecho uso de la condicioacuten de Betz
Sustituyendo esta expresioacuten en el valor del coeficiente de empuje y realizando las integrales queda la expresioacuten
doacutende tras varios pasos intermedios 1 11 2x I - r o dx
1 - JrH x 2 1) ~ + A 2
1 =(1-110 x 3
d 2 1 2 2 X
~ 110 (x2 +AF)
Para resolver estas integrales hay que recu rri r a hipoacutetesis simplificativas como Xh=O o Z=oo No entraremos aquiacute en el desarrollo completo pero con esto y otras ayudas se llega a
(2)
En esta expresioacuten soacutelo interviene tres paraacutemetros CT to Y A
El paraacutemetro A estaacute muy relacionado con el grado de avance J En efecto
VA JA = x tg 13 = ~ VA = VA = shyR 2n r n 2n R n nOn n
CT puede ser calculado a partir del empuje y del diaacutemetro de la heacutelice Entonces la expresioacuten (2) nos permite conociendo el punto de
funcionamiento de la heacutelice (J) y el empuje ( que puede obtenerse de (~) 1-1
donde R es la res istencia al avance y 1 el coeficiente de succioacuten) estimar el valor to que era el eslaboacuten que faltaba para aplicar la condicioacuten de Betz y poder terminar el caacutelculo f-shy
45
T 2 Con CT = 1---- estimamos el valor de CT ideal a partir de ciertas
2 p v Ao
expresiones empiacutericas
3 Con Cn y A entramos en el Diagrama de Kramer y obtenemos l01
4 Con middottg 13 x y lo aplicando el Teorema de Betz tenemos j3lx para cada seccioacuten
5 lt1gt = 1gt + a~ ~ Sacamos la ley de pasos buscando el aacutengulo de ataque
ideal a I (shock free entry)
6 Lo demaacutes (cuerdas curvaturas espesores ) se obtiene de caacutelculos de resistencia mecaacutenica y de cavitacioacuten
-t
47
Para otras aplicaciones tomaremos A =x t9 13
- Distribucioacuten radial de empujes y pares
Primero hallaremos la relacioacuten entre las velocidades inducidas uYz y
uiexcl y el aacutengulo de paso hidrodinaacutemico 13
dL dT
u sin 13 sin(I3 - ~ ) = V R - --------c---7-shy2 cos(I3 -13 )
y ademaacutes
v _ VR VA
T - cos(f3 -13) sinl3
Entonces
v = V cos(13-(3) bull sin13
y por tanto sustituyendo
~=v cos(13 -13) sin 13 sln(13- 13) 2 sinf3 cos(f3- 3)
~=v sin 13 sin(I3 -3) 2 A sin 13
y del mismo modo
u = v cos 13 sin(3 - (3) 2 A sin 13
y por tanto sustituyendo en
z r = 211 r a3 u
41
El empuje de cada pa la vale
T = J~ dT = J~ dLcos 13 =1r p r vcos 13 dr H
Introducimos el concepto de circulacioacuten adimenslonal
[G=-shy
nD VA
Y sustituyendo podemos reescribir la expresioacuten del coeficiente de empuje
8Z
n
Volviendo al triaacutengulo de velocidades
u2
u2 2nrn - shycos 13 = __---2=_
vR
2=
Sustituyendo arriba y reordenando
Usando los radios adimensionalizados
r dr O x = - dx = - =gt dr = - dx
R R 2
La expresioacuten anterior queda ahora con estos radios adimensionalizados
43
Sacando factor comuacuten resulta
Relacioacuten entre velocidades inducidas y u = Aiexcl X ( _1_-1 J rendimiento
2 v A X 2 + A~ 110
Esta uacuteltima expreslon soacutelo sirve para heacutelices oacuteptimas puesto que hemos hecho uso de la condicioacuten de Betz
Sustituyendo esta expresioacuten en el valor del coeficiente de empuje y realizando las integrales queda la expresioacuten
doacutende tras varios pasos intermedios 1 11 2x I - r o dx
1 - JrH x 2 1) ~ + A 2
1 =(1-110 x 3
d 2 1 2 2 X
~ 110 (x2 +AF)
Para resolver estas integrales hay que recu rri r a hipoacutetesis simplificativas como Xh=O o Z=oo No entraremos aquiacute en el desarrollo completo pero con esto y otras ayudas se llega a
(2)
En esta expresioacuten soacutelo interviene tres paraacutemetros CT to Y A
El paraacutemetro A estaacute muy relacionado con el grado de avance J En efecto
VA JA = x tg 13 = ~ VA = VA = shyR 2n r n 2n R n nOn n
CT puede ser calculado a partir del empuje y del diaacutemetro de la heacutelice Entonces la expresioacuten (2) nos permite conociendo el punto de
funcionamiento de la heacutelice (J) y el empuje ( que puede obtenerse de (~) 1-1
donde R es la res istencia al avance y 1 el coeficiente de succioacuten) estimar el valor to que era el eslaboacuten que faltaba para aplicar la condicioacuten de Betz y poder terminar el caacutelculo f-shy
45
T 2 Con CT = 1---- estimamos el valor de CT ideal a partir de ciertas
2 p v Ao
expresiones empiacutericas
3 Con Cn y A entramos en el Diagrama de Kramer y obtenemos l01
4 Con middottg 13 x y lo aplicando el Teorema de Betz tenemos j3lx para cada seccioacuten
5 lt1gt = 1gt + a~ ~ Sacamos la ley de pasos buscando el aacutengulo de ataque
ideal a I (shock free entry)
6 Lo demaacutes (cuerdas curvaturas espesores ) se obtiene de caacutelculos de resistencia mecaacutenica y de cavitacioacuten
-t
47
El empuje de cada pa la vale
T = J~ dT = J~ dLcos 13 =1r p r vcos 13 dr H
Introducimos el concepto de circulacioacuten adimenslonal
[G=-shy
nD VA
Y sustituyendo podemos reescribir la expresioacuten del coeficiente de empuje
8Z
n
Volviendo al triaacutengulo de velocidades
u2
u2 2nrn - shycos 13 = __---2=_
vR
2=
Sustituyendo arriba y reordenando
Usando los radios adimensionalizados
r dr O x = - dx = - =gt dr = - dx
R R 2
La expresioacuten anterior queda ahora con estos radios adimensionalizados
43
Sacando factor comuacuten resulta
Relacioacuten entre velocidades inducidas y u = Aiexcl X ( _1_-1 J rendimiento
2 v A X 2 + A~ 110
Esta uacuteltima expreslon soacutelo sirve para heacutelices oacuteptimas puesto que hemos hecho uso de la condicioacuten de Betz
Sustituyendo esta expresioacuten en el valor del coeficiente de empuje y realizando las integrales queda la expresioacuten
doacutende tras varios pasos intermedios 1 11 2x I - r o dx
1 - JrH x 2 1) ~ + A 2
1 =(1-110 x 3
d 2 1 2 2 X
~ 110 (x2 +AF)
Para resolver estas integrales hay que recu rri r a hipoacutetesis simplificativas como Xh=O o Z=oo No entraremos aquiacute en el desarrollo completo pero con esto y otras ayudas se llega a
(2)
En esta expresioacuten soacutelo interviene tres paraacutemetros CT to Y A
El paraacutemetro A estaacute muy relacionado con el grado de avance J En efecto
VA JA = x tg 13 = ~ VA = VA = shyR 2n r n 2n R n nOn n
CT puede ser calculado a partir del empuje y del diaacutemetro de la heacutelice Entonces la expresioacuten (2) nos permite conociendo el punto de
funcionamiento de la heacutelice (J) y el empuje ( que puede obtenerse de (~) 1-1
donde R es la res istencia al avance y 1 el coeficiente de succioacuten) estimar el valor to que era el eslaboacuten que faltaba para aplicar la condicioacuten de Betz y poder terminar el caacutelculo f-shy
45
T 2 Con CT = 1---- estimamos el valor de CT ideal a partir de ciertas
2 p v Ao
expresiones empiacutericas
3 Con Cn y A entramos en el Diagrama de Kramer y obtenemos l01
4 Con middottg 13 x y lo aplicando el Teorema de Betz tenemos j3lx para cada seccioacuten
5 lt1gt = 1gt + a~ ~ Sacamos la ley de pasos buscando el aacutengulo de ataque
ideal a I (shock free entry)
6 Lo demaacutes (cuerdas curvaturas espesores ) se obtiene de caacutelculos de resistencia mecaacutenica y de cavitacioacuten
-t
47
Sacando factor comuacuten resulta
Relacioacuten entre velocidades inducidas y u = Aiexcl X ( _1_-1 J rendimiento
2 v A X 2 + A~ 110
Esta uacuteltima expreslon soacutelo sirve para heacutelices oacuteptimas puesto que hemos hecho uso de la condicioacuten de Betz
Sustituyendo esta expresioacuten en el valor del coeficiente de empuje y realizando las integrales queda la expresioacuten
doacutende tras varios pasos intermedios 1 11 2x I - r o dx
1 - JrH x 2 1) ~ + A 2
1 =(1-110 x 3
d 2 1 2 2 X
~ 110 (x2 +AF)
Para resolver estas integrales hay que recu rri r a hipoacutetesis simplificativas como Xh=O o Z=oo No entraremos aquiacute en el desarrollo completo pero con esto y otras ayudas se llega a
(2)
En esta expresioacuten soacutelo interviene tres paraacutemetros CT to Y A
El paraacutemetro A estaacute muy relacionado con el grado de avance J En efecto
VA JA = x tg 13 = ~ VA = VA = shyR 2n r n 2n R n nOn n
CT puede ser calculado a partir del empuje y del diaacutemetro de la heacutelice Entonces la expresioacuten (2) nos permite conociendo el punto de
funcionamiento de la heacutelice (J) y el empuje ( que puede obtenerse de (~) 1-1
donde R es la res istencia al avance y 1 el coeficiente de succioacuten) estimar el valor to que era el eslaboacuten que faltaba para aplicar la condicioacuten de Betz y poder terminar el caacutelculo f-shy
45
T 2 Con CT = 1---- estimamos el valor de CT ideal a partir de ciertas
2 p v Ao
expresiones empiacutericas
3 Con Cn y A entramos en el Diagrama de Kramer y obtenemos l01
4 Con middottg 13 x y lo aplicando el Teorema de Betz tenemos j3lx para cada seccioacuten
5 lt1gt = 1gt + a~ ~ Sacamos la ley de pasos buscando el aacutengulo de ataque
ideal a I (shock free entry)
6 Lo demaacutes (cuerdas curvaturas espesores ) se obtiene de caacutelculos de resistencia mecaacutenica y de cavitacioacuten
-t
47
T 2 Con CT = 1---- estimamos el valor de CT ideal a partir de ciertas
2 p v Ao
expresiones empiacutericas
3 Con Cn y A entramos en el Diagrama de Kramer y obtenemos l01
4 Con middottg 13 x y lo aplicando el Teorema de Betz tenemos j3lx para cada seccioacuten
5 lt1gt = 1gt + a~ ~ Sacamos la ley de pasos buscando el aacutengulo de ataque
ideal a I (shock free entry)
6 Lo demaacutes (cuerdas curvaturas espesores ) se obtiene de caacutelculos de resistencia mecaacutenica y de cavitacioacuten
-t
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