Hernn Verdugo Fabiani www.hverdugo.cl 1 Hidrodinmica Se estudian fenmenos con fluidos en movimiento Hernn Verdugo Fabiani www.hverdugo.cl 2 Ideas previas Los fluidos que se considerarn son lquidos que cumplen con las siguientes caractersticas: Fluidos incompresibles: de densidad constante. Fluidos con flujo estable o estacionario: cuya velocidad y presin no dependen del tiempo. Flujos laminares: no turbulentos, las lneas de flujo no se cruzan entre s. Flujos irotacionales: sus lneas de flujo no se cierran sobre s mismas. Flujos no viscosos: no hay resistencia al movimiento entre capas contiguas de fluido. Si no son viscosos se podr hablar de conservacin de la energa, ya que no habr disipacin de energa por efecto de roce. Hernn Verdugo Fabiani www.hverdugo.cl 3 Tubo de flujo Est formado por lneas de flujo adyacentes que corresponden a un fluido en movimiento y cuya seccin transversal no es necesariamente uniforme. En la figura, cada lnea representa una capa de fluido, tambin se le puede llamar lnea de corriente. Una molcula de fluido tiene una velocidad que en cada punto es tangente a la lnea de corriente. En condiciones ideales, tal como se ha presentado hasta ahora, en el movimiento de un fluido se cumplen los siguientes principios: - Conservacin de la masa - Conservacin de la cantidad de movimiento - Conservacin de la energa v1 v2 Hernn Verdugo Fabiani www.hverdugo.cl 4 Ecuacin de continuidad Supongamos un fluido, de densidad , que se mueve por un tubo con distintas secciones. 12 Movimiento del fluido La cantidad de fluido que entra por la seccin 1, de rea A1, es igual a la que sale por la seccin 2, de rea A2, en todo momento. v1 v2 m1 m2 A1 A2 x1 x2 Por la seccin 1 ingresa una cantidad m1 de fluido, con volumen V1, con velocidad v1 y recorre una distancia x1 en un tiempo t.En el mismo tiempo t, por la seccin 2 sale una cantidad m2 de fluido, con volumen V2, a una velocidad v2 recorriendo una distancia x2. m1 = m2 V1 = V2 A1 x1 = A2 x2 A1v1 t = A2v2 t A1v1 = A2v2 Hernn Verdugo Fabiani www.hverdugo.cl 5 Un ejercicio Primero una observacin: A la expresin Av se le llama tasa de flujo, y se mide en m3/s. Una manguera para incendios tiene un dimetro de 12 cm y en la boquilla se reduce a un dimetro de 3 cm. Si el agua en la manguera se mueve a razn 2 m/s. Cul es la velocidad con que sale el agua por la boquilla? Se tiene: A1v1 = A2v2 Datos: R1 = 0,06 m v1 = 2 m/s R2 = 0,015 m Entonces: A1 = R12 A2 = R22 Despejando: v2 = A1v1/A2 v2 = R12v1/ R22 Haciendo los clculos, se tiene: v2 = 32 m/s Y.. la tasa de flujo? A2v2 = R22v2 A2v2 = 0,00226 m3/s Hernn Verdugo Fabiani www.hverdugo.cl 6 Ecuacin de Bernoulli Corresponde a una consecuencia del teorema del Trabajo y la Energa. Es decir, el trabajo realizado sobre el fluido en un tubo de flujo es equivalente al cambio de energa cintica que experimenta el fluido. Vamos a considerar un tubo de flujo cuyas secciones, la de entrada y la de salida, estn en desnivel adems de ser de diferente rea. h1 h2 A1 A2 A1 A2 Hernn Verdugo Fabiani www.hverdugo.cl 7 F1 P1 F2 P2 x1 x2 v1 v2 A1 A2 En el segmento inferior acta una fuerza F1 que produce una presin P1, y se cumple: F1 = P1A1 A su vez, en el segmento superior acta una fuerza F2 que produce una presin P2, y se cumple: F2 = P2A2 El trabajo realizado por F1 es: W1 = F1 x1 = P1A1 x1 = P1 V El trabajo realizado por F2 es: W2 = - F2 x2 = - P2A2 x2 = - P2 V V V Por lo tanto, el trabajo realizado por las fuerzas es: WF = W1 + W2 = (P1 P2) Vm = V La cantidad m sube desde h1 hasta h2, contra la gravedad, por lo tanto el trabajo hecho por la fuerza gravitacional, es: Wg = - mg(h2 h1) =- Vg(h2 h1) Por otro lado, el cambio de energa cintica de m es: K = m(v22 v12) = V(v22 v12)Hernn Verdugo Fabiani www.hverdugo.cl 8 F1 P1 x1 x2 v1 v2 A1 A2 V V m = V F2 P2 Segn el teorema del trabajo y la energa,se tiene:W = K por lo tanto: WF + Wg= K(P1 P2) V - Vg(h2 h1) = V(v22 v12)Dividiendo por V y ordenando se tiene la expresin: P1 + v12 + gh1 = P2 + v22 + gh2

A esta expresin se le conoce como la Ecuacin de Bernoulli Hernn Verdugo Fabiani www.hverdugo.cl 9 Interpretacin de la Ecuacin de Bernoulli P1 + v12 + gh1 = P2 + v22 + gh2

En la ecuacin se observa que la suma de las condiciones iniciales es igual a la suma de las condiciones finales. Esto significa que: P + v2 + gh = constante Se puede deducir que: Si la velocidad del fluido aumenta, su presin disminuye. Si la velocidad del fluido disminuye, su presin aumenta. Si un fluido asciendesu presin puede disminuir. Si un fluido asciende su velocidad puede disminuir. Hernn Verdugo Fabiani www.hverdugo.cl 10 Efecto Venturi Ahora se considera un tubo donde h1 = h2 Por lo tanto, la ecuacin de Bernoulli queda: P1 + v12 = P2 + v22 Entonces: P1 P2 = (v22 v12) Si v1 > v2, entonces P1 P2 < 0 Y ello ocurre solo si P2 > P1 Por lo tanto, se puede afirmar que donde la velocidad es mayor la presin es menor, o tambin, que donde la velocidad es menor la presin es mayor. P1 P2 v1 v2 Hernn Verdugo Fabiani www.hverdugo.cl 11 Algunas explicaciones a partir del efecto Venturi En una carretera, si dos vehculos pasan cerca, en el espacio entre ellos el aire se mueve a gran velocidad respecto a los vehculos, por lo tanto en esa zona disminuye la presin del aire y con ello se justifica que los vehculos se atraen entre s. Esto es ms manifiesto si uno de los vehculos es mucho ms pequeo que el otro. v1 v2 P Pinterior Velocidad del aireSe tieneP > Pinterior por lo tanto el vehculo ms pequeo es atrado hacia el ms grande. F Hernn Verdugo Fabiani www.hverdugo.cl 12 Tubo de Venturi Es un tubo donde hay un angostamiento. Esto se aprecia en la figura, donde en un sector hay una seccin de rea A1 y en otro tiene una seccin reducida a A2. En el sector ms grande la velocidad del fluido es v1 y en el ms pequeo la velocidad aumenta a v2. De acuerdo a la ecuacin de continuidad A1v1 = A2v2, entonces v2 = A1v1/A2 Por otro lado, de acuerdo a la ecuacin de Bernoull, en el efecto Venturi, se tiene: P1 P2 = (v22 v12) Reemplazando v2 P1 P2 = (A12v12/A22 v12) Si se despeja v1, se tendr:( )||.|

\|=1AAP P 2v22212 11Hernn Verdugo Fabiani www.hverdugo.cl 13 Ejercicio Supongamos que un estanque con agua tiene un orificio pequeo en la parte inferior.Segn la informacin de la figura que se muestra: con qu velocidad sale el chorro de agua en el orificio? v2 h1 h2 P2 P1 v1 El agua cae lentamente, por lo tanto se puede considerar v1 = 0 m/s Tambin se tiene que P1 =P2 = P0 P1 + v12 + gh1 = P2 + v22 + gh2

Si aplicamos la ecuacin de Bernoulli: Se tendr: gh1 = v22 + gh2

Y, despejando v2, se obtiene que: ) ( 22 1 2h h g v =