hidrologia estocastica mdelo generacion sintetica series temporales

MODELO AUTORREGRESIVO BILINEAL

APLICADO A LA PREDICCIÓN MENSUAL

DE CAUDALES EN COLOMBIA

FACULTAD DE MINAS – ESCUELA DE GEOCIENCIAS Y MEDIO AMBIENTE TRABAJO DIRIGIDO DE GRADO – INGENIRÍA CIVIL JUAN DAVID CADAVID ALZATE

MODELO AUTORREGRESIVO BILINEAL APLICADO A LA PREDICCIÓN MENSUAL DE CAUDALES EN COLOMBIA

JUAN DAVID CADAVID ALZATE

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

FACULTAD DE MINAS

MEDELLÍN

2009





MODELO AUTORREGRESIVO BILINEAL APLICADO A LA PREDICCIÓN MENSUAL DE CAUDALES EN COLOMBIA

JUAN DAVID CADAVID ALZATE Estudiante de Ingeniería Civil

PROFESOR DIRECTOR

LUIS FERNANDO CARVAJAL SERNA Profesor asociado de la Universidad Nacional, I. C. y M. Sc.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

FACULTAD DE MINAS

ESCUELA DE GEOCIENCIAS Y DE MEDIO AMBIENTE

MEDELLÍN

2009





A mis padres por su gran apoyo durante el tiempo que estudie

A July Andrea Gómez por su acompañamiento y apoyo moral

A mis hermanos

A mi familia

A mis amigos.





AGRADECIMIENTOS

El autor expresa sus agradecimientos a:

Luís Fernando Carvajal Serna, profesor asociado de la Universidad Nacional de Colombia, sede de Medellín, Facultad de Minas y director del trabajo dirigido de grado, por su motivación y constante orientación.

Al ingeniero Andrés Felipe Hurtado Montoya por su valiosa colaboración y participación en el trabajo.

A los Señores German Poveda Jaramillo, Andrés Ochoa y Jaime Ignacio Vélez, profesores asociados de la Universidad Nacional de Colombia, sede de Medellín, Facultad de Minas por sus aportes durante el desarrollo del trabajo.

A todas aquellas personas que colaboraron en el desarrollo del presente trabajo.





TABLA DE CONTENIDO

RESUMEN

ABSTRACT

1 INTRODUCCIÓN 1-1

2 MARCO TEÓRICO 2-1

2.1 MODELOS AUTORREGRESIVOS DE ORDEN P, AR (P) 2-1

2.2 MODELO BILINEAL SIMPLE ESTOCÁSTICO 2-2

2.3 MODELO AUTORREGRESIVO BILINEAL 2-4

2.3.1 Independencia de los Modelos 2-5

2.3.1.1 Independencia del Modelo Autorregresivo 2-6

2.3.1.2 Independencia del Modelo Bilineal 2-6

3 DESCRIPCIÓN DE LA INFORMACIÓN 3-1

3.1 CARACTERISTICAS DEL REGIMEN DE CAUDALES EN COLOMBIA 3-1

3.1.1 Región del Caribe 3-1

3.1.2 Region Andina 3-2

3.1.3 Región Orinoquia 3-2

3.2 UBICACIÓN Y REGISTRO DE CAUDALES MEDIOS MENSUALES 3-2

4 APLICACIÓN DEL MODELO AUTORREGRESIVO

BILINEAL A LA PREDICCIÓN MENSUAL DE CAUDALES EN COLOMBIA 4-1

4.1 VALIDACIÓN DEL MODELO AUTORREGRESIVO BILINEAL 4-1

4.1.1 Río Batá 4-2

4.1.2 Río Guadalupe 4-2





4.1.3 Río Guatapé 4-3

4.1.4 Río Guavio 4-3

4.1.5 Río Magdalena 4-4

4.1.6 Río Miel 4-4

4.1.7 Río Nare 4-5

4.1.8 Ríogrande 4-5

4.1.9 Río Salvajina 4-6

4.1.10 Río San Carlos 4-6

4.1.11 Río San Lorenzo 4-7

4.1.12 Río Urra 4-7

4.1.13 Error porcentual de la validación 4-8

5 CONCLUSIONES 5-1

6 BIBLIOGRAFÍA 6-1

ANEXOS A1-1

LISTA DE TABLAS

Tabla 3-1 Registro de serie de caudales medios mensuales 3-4

Tabla 3-2 Ciclo medio anual serie de caudales (m3/s) 3-4

Tabla 4-1 Periodo seleccionado para calibración y validación del modelo 4-1

Tabla 4-2 Errores porcentuales en el periodo de validación para las ventanas de 3, 6 y 12 meses 4-8

Tabla A 1-1 Errores porcentuales en el periodo de validación para las ventanas de 3, 6 y 12 meses A1-2





LISTA DE FIGURAS

Figura 3-1 Ubicación de serie de caudales medio mensuales 3-3

Figura 3-2 Ciclo medio anual de las estaciones de caudales Batá, Guavio, Salvajina y Miel 3-5

Figura 3-3 Ciclo medio anual de las estaciones de caudales Urra y Magdalena 3-5

Figura 3-4 Ciclo medio anual de las estaciones de caudales Guatapé, Guadalupe y San Carlos 3-6

Figura 3-5 Ciclo medio anual de las estaciones de caudales Nare, Ríogrande y San Lorenzo 3-6

Figura 4-1 Validación del río Batá para las ventanas de 3, 6 y 12 meses 4-2

Figura 4-2 Validación del río Guadalupe para las ventanas de 3, 6 y 12 meses 4-2

Figura 4-3 Validación del río Guatapé para las ventanas de 3, 6 y 12 meses 4-3

Figura 4-4 Validación del río Guavio para las ventanas de 3, 6 y 12 meses 4-3

Figura 4-5 Validación del río Magdalena para las ventanas de 3, 6 y 12 meses 4-4

Figura 4-6 Validación del río Miel para las ventanas de 3, 6 y 12 meses 4-4

Figura 4-7 Validación del río Nare para las ventanas de 3, 6 y 12 meses 4-5

Figura 4-8 Validación de Ríogrande para las ventanas de 3, 6 y 12 meses 4-5

Figura 4-9 Validación del río Salvajina para las ventanas de 3, 6 y 12 meses 4-6

Figura 4-10 Validación del río San Carlos para las ventanas de 3, 6 y 12 meses 4-6

Figura 4-11 Validación del río San Lorenzo para las ventanas de 3, 6 y 12 meses 4-7

Figura 4-12 Validación del río Urra para las ventanas de 3, 6 y 12 meses 4-7

Figura 4-13 Errores mínimo, medio y máximo del periodo de validación para la ventana de 3 meses 4-9



Figura A1-1 Errores mínimo, medio y máximo del periodo de validación para la ventana de 3 meses A1-3







LISTA DE ANEXOS

A1 MODELO AUTORREGRESIVO EN LA PREDICCIÓN MENSUAL

DE CAUDALES EN COLOMBIA A1-1





RESUMEN

La alta no linealidad de los procesos hidrológicos y la necesidad de predicción de las variables en una cuenca requieren de una búsqueda y estudio continuo de modelos de predicción. En Colombia durante los últimos 20 años se han explorado nuevas líneas de trabajo a parte de los modelos estocásticos. Estas líneas comprenden modelos en Redes Neuronales Artificiales, Análisis Espectral Singular, Modelos de ajuste no lineal por partes, Modelos de onditas, y alternativas de modelos estocásticos autorregresivos como los modelos dependientes del régimen o modelos con variables exógenas. Como cualquier modelo, estos presentan incertidumbre y el mejoramiento de la capacidad predicativa es fundamental. Por esto se propone el estudio de un modelo Autorregresivo bilineal para la predicción de caudales para estudiar su desempeño.

Palabras clave:

Procesos Hidrológicos, Modelos Estocásticos, Variables Exógenas, Modelo Autorregresivo Bilineal, Predicción, Colombia.





ABSTRACT

The high nonlinearity of hydrological processes and the need to predict the variables in a watershed requires a continuous search and study of prediction models. In Colombia during the past 20 years have explored new areas of work of the stochastic models. These lines include models in Artificial Neural Networks, Singular Spectral Analysis, Modeling non-linear adjustment in part onditas models and alternative models such as stochastic autoregressive regime-dependent models or models with exogenous variables. Like any model, the present uncertainty and improve the predicative ability is essential. For this study proposes a bilinear autoregressive model for the prediction of flow rates to study their performance.

Keywords:

Hydrological Processes, Stochastic Models, Exogenous Variables, Bilinear Autoregressive Model, Forecasting, Colombia.





1-1

1 INTRODUCCIÓN

Los modelos de predicción de caudales son importantes desde todos los puntos de vista hidrológicos debido a que nos ayudan generar series sintéticas y a partir de estas tomar decisiones de tipo económico, social y ambiental para las empresas generadoras de energía (Sector Eléctrico Colombiano, SEC).

Actualmente existen muchos modelos para la simulación de caudales, entre ellos están: Redes Neuronales Artificiales, Análisis Espectral Singular, Modelos de ajuste no lineal por partes, Modelos de onditas, Modelos Adaptativos de regresión Múltiple y Modelos Autorregresivos, además de modelos derivados de estos. Estos modelos trabajan bajo condiciones de correlación entre los caudales, el clima característico de la zona de ubicación de las estaciones y las variables macroclimáticas.

Por lo tanto en el presente trabajo se hace el estudio de un modelo hibrido Autorregresivo Bilineal, un modelo compuesto por una parte autorregresiva que aporta la parte lineal y un modelo bilineal que aporta la parte no lineal al modelo final. Este último modelo es propuesto inicialmente para sistemas complejos de multiplicidad del ruido y para retornos financieros. Es fundamental introducir una componente no lineal a estos modelos de regresión debido a que aporta mas sentido a la forma de las series sintéticas recogiendo más los ciclos interanuales y mostrando la condición climática de la zona de estudio. El modelo autorregresivo bilineal dentro de su estructuración solo tiene en cuenta los caudales mensuales y los parámetros reúnen las características hidrológicas de la estación, en su forma general el modelo como tal no usa variables externas que apoyen los pronósticos a corto y largo plazo.

El trabajo esta estructurado con un estado del arte de los modelos autorregresivo y bilineal, con una propuesta del modelo hibrido autorregresivo bilineal y la demostración de la independencia sus parámetros y posteriormente con la calibración y validación del mismo. También unos anexos donde se compara el modelo propuesto con el modelo autorregresivo original y finalmente, este trabajo presenta unos análisis de resultados y conclusiones, y una referencias bibliografícas que soportan el contenido del mismo.





2-1

2 MARCO TEÓRICO

En los modelos de predicción de caudales, el objetivo de la modelación estocástica es la construcción de un modelo que reproduzca las propiedades estadísticas del proceso físico que se estudia. Conocer el proceso teórico implica conocer la función de distribución conjunta del vector de variables, que en este caso sigue una distribución normal, y solo es necesario conocer el vector de medias y la matriz de varianzas – covarianzas. Estos elementos son inferidos de las observaciones pero solo cuando se cumplen las siguientes condiciones:

Estacionaridad: Las variables del proceso tienen media y varianzas constantes y finitas, y que la covarianza entre pares de ellas solo depende de su separación temporal.

Ergodicidad: Las covarianzas entre pares de variables del proceso se hace más pequeña a medida que se aumenta la separación temporal.

Uno de los métodos estocásticos más utilizados en el medio del análisis y predicción de series de tiempo son los modelos autoregresivos (AR), los cuales asumen que el comportamiento de la variable en un momento dado tiene relación en momentos precedentes (memoria). Además, hay modelos estocásticos autorregresivos de promedio móvil (ARMA), modelos estocásticos autorregresivos diferenciados de promedio móvil (ARIMA) y alternativas de modelos autorregresivos estocásticos como los modelos dependientes del régimen o modelos con variables exógenas. También existen otros métodos empleados en los procesos de predicción mensual de caudales como las redes neuronales artificiales (RNA), análisis espectral singular (AES), polinomios de regresión multivariados y adaptivos (MARS), modelo de onditas y Análogos Históricos. En este trabajo solo se tendrá en cuenta el modelo autorregresivo de orden p, AR(p), para comparar y construir el modelo Autorregresivo bilineal.

Por otra parte, el proceso bilineal estocástico es un modelo de rentabilidad financiera y de otros sistemas complejos, el cual combina dos partes fundamentales que son la multiplicidad del ruido y la no linealidad de las series de tiempo. Por su desarrollo matemático el modelo permite capturar el comportamiento no lineal de la variable de estudio, esta es una característica no tenida en cuenta por los modelos estocásticos ya que son de tipo lineal.

Por lo tanto puede considerarse como un paradigma que muestra la posibilidad de la existencia de una previsibilidad no lineal aplicable al modelamiento de series. (D. Sornette y V.F. Pisarenko, 2007)

2.1 MODELOS AUTOREGRESIVOS DE ORDEN P, AR (P)

Los modelos autoregresivos suponen una dependencia lineal entre las variables que intervienen en un proceso, de manera que el comportamiento de una variable depende de la ocurrencia de sucesos en el pasado. El argumento de estos procesos se denomina p, el cual corresponde al número de periodos precedentes máximo que tiene influencia en el valor presente de la variable. La ecuación general de estos procesos es:





2-2

tptpttt eZZZZ 2211 (1)

Donde:

tZ : Valor de la variable estandarizada en el instante t.

)(te : Proceso de ruido blanco que depende de ktZ con k ≥ 1.

p : Parámetros del modelo autorregresivo de orden p.

Los procesos de ruido blanco son tales que el conocimiento de la variable anterior no proporciona información sobre la variable presente (proceso sin memoria o independiente), y que la distribución de todas sus variables es normal.

Los parámetros p se estiman mediante las ecuaciones de Yule-Walker que se expresan mediante el siguiente arreglo matricial:

(2)

Resolviendo este sistema, se obtienen los parámetros del modelo AR(p), p , a partir de los

coeficientes de autocorrelación teóricos, p .

Estos modelos lineales univariados se basan en la hipótesis de que las relaciones de dependencia estaciónales interanuales son las mismas para todos los períodos (Box y Jenkins, 1976; Box et al, 1994; Peña, 1994).

2.2 MODELO BILINEAL SIMPLE ESTOCÁSTICO

El modelo bilineal simple estocástico se puede considerar como un modelo no lineal propuesto para retornos financieros y sistemas complejos de multiplicidad del ruido. En la literatura se presenta un estudio extenso de las ecuaciones básicas del modelo y las condiciones de inestabilidad en la inversión de los principales parámetros y la existencia de las condiciones iníciales necesarias para la aplicación como un sistema de predicción de series de tiempo. (D. Sornette y V.F. Pisarenko, 2007)

Para las series de tiempo, la expresión del modelo es:

)2()1()()( tetbetetr (3)

Donde:





2-3

)(tr : Serie de tiempo estandarizada, 1/ln)( tt QQtr .

tQ : Caudal mensual en el instante t.

)(te : Proceso de ruido blanco con distribución normal, ),0( 2sN .

b : Parámetro del modelo.

2s : Varianza del modelo.

Una vez definida la serie de tiempo )(tr , se estima el parámetro b y la varianza 2s del modelo empleando la ecuación de momentos como una buena aproximación a la ecuación de primer orden.

)1()( 222 bstrE (4)

El valor esperado teórico ...E es reemplazado por la simple operación de promedio ... . Estos

valores simples de las series de tiempo del proceso bilineal se denotan tz . El proceso matemático sobre el cual se estima el parámetro b del modelo bilineal son las ecuaciones de momentos de 2, 3 y 4 orden basado en una aproximación en valor absoluto de la ecuación de momento de primer orden, de donde se elimina la varianza 2s . La ecuación de momentos de primer orden es:

212

41

41

41

2)( 2

bK

bKe

bstrE o

b

(5)

De donde se obtiene la siguiente expresión simplificada:

2/3221

2/32 /)1/( tttt zzzzbb (6)

La solución del parámetro b del modelo existe, si:

38.027/2/2/32

21 tttt zzzz (7)

Bajo esta condición para los valores esperados de las series de tiempo en estudio, la solución del parámetro b existe y tiene tres raíces, una raíz imaginaria que se descarta y dos raíces reales, que para efectos del desarrollo posterior denominaremos los estimadores 11B y 12B . Cuando la condición no se cumple, se complementa con los valores limites:





2-4

27/211 B ; si 27/2/2/32

21 tttt zzzz (8)

27/212 B ; si 27/2/2/32

21 tttt zzzz (9)

Para seleccionar la magnitud a emplear en el modelo para el parámetro b , es decir 11B ó 12B , se emplea el valor muestral de la función de distribución de probabilidad de kurtosis:

224 / tt zzk (10)

Donde:

67.3k ; Se acepta el estimador 11B .

67.3k ; Se acepta el estimador 12B .

Para la selección del signo del parámetro b se deben tener en cuenta las siguientes consideraciones:

1 ; si la media muestral de 1)2()1()( trtrtre (11)

1 ; si la media muestral de 1)2()1()( trtrtre (12)

Donde:

: Indicador del signo que toma el parámetro dependiendo de la condición establecida.

En la ecuación de momentos de primer orden, antes mencionada, una vez determinado el parámetro b se calcula la varianza 2s , se procede a generar el ruido blanco con una distribución normal de media cero y varianza 2s , ),0( 2sN , quedando así determinado el modelo bilineal simple estocástico.

2.3 MODELO AUTORREGRESIVO BILINEAL

El modelo autorregresivo bilineal es una combinación de los modelos autorregresivo (AR) de orden 2 y bilineal, siendo un modelo hibrido entre estos, la fundamentación del modelo autorregresivo bilineal no es diferente a la de los dos modelos mencionados, recoge a su vez la condición de la linealidad de la parte autorregresiva y la no linealidad de la parte bilineal. Las condiciones de su aplicación suponen las series de tiempo con estacionariedad y ergodicidad, y la generación de una componente estocástica con distribución normal, ),0( 2sN .





2-5

La estimación de los parámetros de este modelo es igual a la de los modelos autorregresivo (AR) y bilineal, es decir, para la estimación de los parámetros b y 2s se transforma la serie bajo la relación del logaritmo del caudal en el instante t menos el logaritmo del caudal en el instante t-1. Para la estimación de los parámetros del modelo autorregresivo se emplea la relación del ciclo promedio mensual, osea el caudal menos la media y dividido por la desviación estándar de la serie en estudio. La ecuación que rige el modelo autorregresivo bilineal de orden p es:

ptptt QQQtetbetetQ 2211)1()1()()( (13)

ptptt QQQtetbetetQ

2211)1()1()(1)( (14)

)()2()1()1()1()()( 21 ptZtZtZtetbetetZ p (15)

Donde:

)(tQ : Caudal medio mensual.

: Media promedio mensual del caudal.

: Desviación promedio mensual del caudal.

)(tZ : Valor de la variable estandarizada en el instante t.

)(te : Proceso de ruido blanco con distribución normal, ),0( 2sN .

b : Parámetro del modelo bilineal.

p : Parámetros del modelo autorregresivo.

Así queda completamente determinado el modelo autorregresivo bilineal, asumiendo la estructura de corrección lineal y no lineal. Se debe tener en cuenta que a las series se les reduce su varianza pasando los caudales primero al campo logarítmico y a partir de dicho campo se realiza el análisis hidrológico respectivo de cada modelo a las series en estudio.

2.3.1 Independencia de los Modelos

El modelo planteado es un modelo hibrido compuesto de una parte bilineal y de una parte autorregresiva, la estimación de los parámetros del modelo bilineal autorregresivo debe tener cierto grado de independencia y diferenciación entre los parámetros de ambos modelos. La formulación del modelo bilineal autorregresivo lleva a dicho análisis con la idea de verificar que no existe relación alguna de los parámetros del modelo bilineal estocástico simple y el modelo autorregresivo.





2-6

2.3.1.1 Independencia del Modelo Autorregresivo

El análisis de la independencia del modelo autorregresivo parte de los valores esperado de la serie en el instante t relacionado con el instante t-1 y t-2.

)1()2()1()1()2()1()1()()1()( 22

1 tZtZtZtZtetbetZteEtZtZE (16)

Los valores esperados entre la componente aleatoria y los caudales en el instante t-1 no tienen correlación alguna, así su valor esperado calculado es igual a cero y los valores esperados de los caudales con rezagos en el tiempo son iguales a las respectivas covarianzas en igual número de rezagos.

)1()2()1()( 22

1 tZtZCovtZtZCov Z (17)

2212

)1()2()1()(

ZZ

tZtZCovtZtZCov

(18)

Donde la covarianza de los caudales con diferentes rezagos en el tiempo divido por la varianza de la misma ocurrencia relaciona los coeficientes de correlación .

1211 (19)

Realizando el mismo análisis estadístico para la serie de caudales en el instante t y t-2 estimamos el coeficiente de correlación dependiendo de los parámetros 1 y 2 , y así generalizando llegamos a las ecuaciones ya mencionadas con anterioridad de Yule-Wolker donde quedan determinados los parámetros p de los modelos autorregresivos AR(p) a partir de los coeficientes teóricos de

correlación k .

2212 (20)

En conclusión, la ocurrencia del fenómeno del modelo bilineal no está ligada a la estimación de los parámetros del modelo autorregresivo y sus valores solo dependen de la correlación teórica de la serie con sí misma.

2.3.1.2 Independencia del Modelo Bilineal

El análisis de la independencia del modelo bilineal parte del valor esperado de la ecuación dominante multiplicado por el cuadrado de la componente aleatoria en el instante t.

22

21

22 )()2()()1()2()1()()()()( tetZtetZtetbeteteEtetZE (21)





2-7

Los valores esperados entre la componente aleatoria y los caudales en el instante t-1 y t-2 no tienen correlación alguna, así dicho valor esperado será igual a cero.

0)()( 2 tetZE (22)

0)()1( 21 tetZE (23)

0)()2( 22 tetZE (24)

Por lo tanto la expresión (21) reducida queda de la siguiente manera:

0)2()1()()( 2 tetbeteteE (25)

Lo que es similar a:

0)()( 2 trteE (26)

Por propiedades estadísticas, tenemos que el valor esperado de una multiplicación, es la multiplicación de los valores esperados:

)()()()( 22 trEteEtrteE (27)

La componente aleatoria tiene distribución normal con media cero y varianza uno, N(0,1), así el valor esperado de esta es igual a uno y la expresión (27) en la (26) queda:

0)()(1)()( 2 trEtrEtrEteE (28)

Así, finalmente tenemos que el valor esperado de la parte bilineal del modelo propuesto tienen valor esperado igual a cero, es decir que el proceso es centrado y que tiene una función de correlación lineal igual a cero. (D. Sornette y V.F. Pisarenko, 2007)





3-1

3 DESCRIPCIÓN DE LA INFORMACIÓN

A continuación se presenta una descripción general de la información de caudales utilizada, su localización, longitud de registro y ciclos anuales.

3.1 CARACTERISTICAS DEL REGIMEN DE CAUDALES EN COLOMBIA

Colombia se encuentra ubicada en la esquina noroccidental de América del Sur, sobre la línea ecuatorial, en plena zona tórrida. No obstante la mayor parte de su extensión se encuentra en el hemisferio norte, Colombia está equidistante con los dos extremos del continente Americano.

Las fronteras y áreas de influencia climática inmediata son el Atlántico tropical y el mar Caribe por el norte, el Pacifico ecuatorial por el oeste, la zona andina del Ecuador y la vertiente del Amazonas por el sur y los Andes y llanos venezolanos con el norte brasileño por el este. Ocasionalmente hay influencia de frentes de latitud media tanto del hemisferio sur como del norte, la posición de las respectivas corrientes de chorro en ambos hemisferios son otros factores extratropicales a considerar. Más hacia el este se tienen las perturbaciones tropicales del este que se originan en África. Y más hacia el oeste se tiene la influencia del Pacifico que alcanza hasta el Índico y la zona de monzones en el subcontinente Índico y el sureste asiático. (Mesa, Poveda y Carvajal, 1997)

Regionalmente, Colombia tiene una gran variabilidad de climas, debido a los factores generales de circulación global y del cambio en la posición aparente del sol durante el año, la topografía, la convección profunda, la cercanía de las costas y la vegetación. Estos factores son los que encierran el clima Colombiano en los trópicos, dado que la circulación es débil en lo que se refiere a la presión, temperatura, humedad y velocidad del viento.

3.1.1 Región del Caribe

El relieve de la región del Caribe se contrarresta con la Sierra Nevada de Santa Marta, una extensa zona montañosa con una gran diversidad climática, así como de fauna y flora, en donde se encuentran los picos más altos del país. A pesar que el clima es muy cálido en la gran mayoría de la región, con seis meses de lluvia y otros seis secos, los factores atmosféricos como las precipitaciones y la humedad varían mucho en cada zona, siendo menores en la parte norte y aumentando a medida que se acerca al interior del país.

En esta región desde el punto de vista climatológico las distribuciones de lluvias en la Sierra Nevada son atípicas, pues el máximo ocurre en la ladera de sotavento. Explicación a esto es la variación del viento que influye alrededor del macizo y no exactamente sobre él, esta situación sumada con la inversión térmica producen un flujo ascendente en la cara de sotavento.





3-2

3.1.2 Región Andina

La región Andina se caracteriza por su amplia diversidad climática, la cual es ocasionada por la altura sobre el nivel del mar, generando los llamados pisos térmicos, los cuales le proporcionan a la región diferentes niveles de humedad, radiación solar y temperatura.

La parte central de la región Andina tiene un comportamiento bimodal en las distribuciones de lluvia, excluyendo las laderas exteriores (vertiente oeste de la cordillera de la cordillera Occidental, vertiente este de la cordillera Oriental y estribaciones norte de las tres cordilleras). La poca lluvia, se puede atribuir al agotamiento de la humedad en la atmósfera con la altura y a la prioridad de las laderas exteriores en la extracción del agua del aire húmedo que se advecta a la región. (Snow, 1976)

La complejidad de la topografía hace que la distribución espacial y temporal de la lluvia este sujeta a muchas excepciones. La distribución anual de la lluvia es similar en toda la región Andina. Hay dos estaciones secas y dos húmedas: seco, de mediados de diciembre a mediados de marzo y de mediados de junio a mediados de septiembre, y húmedo de mediados de marzo hasta principios de junio y de septiembre hasta mediados de diciembre. Las dos temporadas lluviosas son de duración e intensidad comparable excepto en el valle alto del Magdalena donde la primera estación húmeda es más prolongada.

3.1.3 Región Orinoquia

La vegetación consiste predominantemente en pastos con árboles cerca a las corrientes hídricas. Hacia el sur de la sabana se hace mas húmeda y gradualmente se convierte en selva pluvial. La vegetación de pastos es típica de una distribución anual de la lluvia con una sola temporada lluviosa (abril a noviembre) y una temporada seca, que corresponde con la presencia y ausencia de la ZCIT sobre la región (modificada por la topografía y el contraste con la selva al sur). El clima es básicamente continental y sugiere la existencia de un monzón, con la selva jugando el papel del mar. La distribución diurna de las lluvias sigue el ciclo del calentamiento solar, con más alta frecuencia de lluvias en la tarde. Sin embargo, cerca al piedemonte y hacia el sur la lluvia se hace más nocturna. (Mesa, Poveda y Carvajal, 1997)

3.2 UBICACIÓN Y REGISTRO DE CAUDALES MEDIOS MENSUALES

El estudio de las series de caudales medios mensuales se centra en la región Andina, parte de la región del Caribe y la Orinoquia donde se hacen pronósticos a ventanas de 3, 6 y 12 meses (ver Figura 3-1). Las series de caudales de estas regiones presentan ciclos unimodales para Batá y Guavio, y ciclos bimodales para Guadalupe, Guatapé, Magdalena, Miel, Nare, Riogrande, Salvajina, San Carlos, San Lorenzo y Urrá, esto debido a los aspectos hidrológicos, climatológicos y orográficos del territorio Colombiano. Los registros de cada una de las series de caudales (ver Tabla 3-1) son hasta el año 2006 y la iniciación de dichos registros depende de la disponibilidad de la información.





3-3

Figura 3-1 Ubicación de serie de caudales medios mensuales.





3-4

Tabla 3-1 Registro de serie de caudales medios mensuales.

ESTACIÓN DEPARTAMENTO CORDENADAS REGISTRO DE CAUDALES

LATITUD LONGITUD INICIO FINAL 1. Batá Boyacá 4 ° 54 ' 04 " 73 ° 17 ' 51 " 1956 2006 2. Guadalupe Antioquia 6 ° 46 ' 50 " 75 ° 15 ' 59 " 1952 2006 3. Guatapé Antioquia 6 ° 14 ' 06 " 75 ° 09 ' 43 " 1959 2006 4. Guavio Cundinamarca 4 ° 43 ' 39 " 73 ° 28 ' 59 " 1963 2006 5. Magdalena Neiva 2 ° 42 ' 00 " 75 ° 26 ' 00 " 1961 2006 6. Miel Caldas 5 ° 37 ' 00 " 74 ° 57 ' 00 " 1963 2006 7. Nare Antioquia 6 ° 17 ' 35 " 74 ° 41 ' 16 " 1956 2006 8. Riogrande Antioquia 6 ° 30 ' 23 " 75 ° 32 ' 08 " 1952 2006 9. Salvajina Cauca 2 ° 57 ' 00 " 76 ° 42 ' 00 " 1952 2006 10. San Carlos Antioquia 6 ° 12 ' 55 " 74 ° 50 ' 26 '' 1965 2006 11. San Lorenzo Antioquia 6 ° 23 ' 12 " 74 ° 59 ' 54 '' 1956 2006 12. Urra Córdoba 8 ° 04 ' 22 " 76 ° 09 ' 16 " 1960 2006

El comportamiento de la ZCIT genera en la regiones naturales de Colombia, antes mencionado, un ciclo anual de los caudales (ver Figura 3-2 a Figura 3-5) y es característico de la región Andina y de los Llanos Orientales.

Tabla 3-2 Ciclo medio anual serie de caudales (m3/s).

ESTACIÓN Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic 1. Batá 11.9 9.9 13.3 33.4 71.2 112.0 141.0 123.0 75.5 61.3 51.0 26.0 2. Guadalupe 13.8 12.7 13.1 18.2 25.6 27.0 26.5 26.8 29.1 28.9 25.1 18.4 3. Guatapé 23.0 20.1 23.5 33.8 39.0 32.6 26.9 28.8 40.0 45.7 43.7 30.8 4. Guavio 18.3 20.0 29.7 66.1 107.0 135.0 145.0 111.0 76.5 65.6 51.8 31.4 5. Magdalena 282.0 296.0 347.0 453.0 510.0 580.0 623.0 485.0 352.0 382.0 440.0 376.0 6. Miel 80.4 79.9 80.9 91.5 97.7 69.4 45.6 47.2 67.4 99.0 121.0 108.0 7. Nare 35.2 31.5 33.7 45.4 60.6 57.0 47.0 47.5 58.0 65.5 65.5 48.5 8. Riogrande 23.3 22.0 23.5 31.8 39.4 36.3 31.9 32.1 37.1 44.5 44.4 32.8 9. Salvajina 166.0 141.0 135.0 149.0 148.0 125.0 102.0 73.5 62.6 108.0 193.0 214.0 10. San Carlos 17.6 14.9 16.8 28.5 32.8 26.4 22.3 23.5 31.7 40.4 39.4 26.8 11. San Lorenzo 23.8 21.6 24.0 33.9 44.9 41.3 37.6 39.2 49.3 50.3 44.2 30.2 12. Urra 171.0 132.0 131.0 228.0 417.0 477.0 491.0 450.0 432.0 459.0 407.0 286.0





3-5

CICLO MEDIO ANUAL

0

40

80

120

160

200

240

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

Tiempo [meses]

Cau

dal [

m3 /s]

Río Bata Río Guavio Río Salvajina Río Miel

Figura 3-2 Ciclo medio anual de las estaciones de caudales Batá, Guavio, Salvajina y Miel.

CICLO MEDIO ANUAL

0

100

200

300

400

500

600

700


Tiempo [meses]

Cau

dal [

m3 /s]

Río Urra Río Magdalena

Figura 3-3 Ciclo medio anual de las estaciones de caudales Urra y Magdalena.





3-6

CICLO MEDIO ANUAL

0

10

20

30

40

50

60


Tiempo [meses]

Cau

dal [

m3 /s]

Río Guatapé Río Guadalupe Río San Carlos

Figura 3-4 Ciclo medio anual de las estaciones de caudales Guatapé, Guadalupe y San Carlos.

CICLO MEDIO ANUAL

0

10

20

30

40

50

60

70


Tiempo [meses]

Cau

dal [

m3 /s]

Río Nare Riogrande Río San Lorenzo

Figura 3-5 Ciclo medio anual de las estaciones de caudales Nare, Riogrande y San Lorenzo.





3-7

La distribución unimodal de la serie de caudales medios mensuales de la Figura 3-2 para los ríos de Batá y Guavio, es característica del piedemonte llanero (cordillera oriental), en los departamentos de Boyacá y Cundinamarca, donde solo se presenta un periodo de invierno comprendido entre los meses de abril y noviembre. Esta distribución es debida a la convergencia de los vientos provenientes del Brasil y al encontrarse con esta barrera de la cordillera se forman zonas de baja presión ocasionando lluvias intensas en esta parte del país.

Las series de caudales medios del resto de la zona de estudio tienen una distribución bimodal (ver Figura 3-2 a Figura 3-5) comportamiento característico de la región Andina (cordillera central y occidental). Los registros muestran dos periodos húmedos comprendidos entre mediados de marzo a junio y de mediados de septiembre a diciembre, y dos periodos secos comprendidos entre mediados de diciembre a marzo y mediados de junio a septiembre.





4-1

4 APLICACIÓN DEL MODELO AUTORREGRESIVO BILINEAL A LA PREDICCIÓN MENSUAL DE CAUDALES EN COLOMBIA

El modelo autorregresivo bilineal fue empleado para la simulación de series de caudales mensuales sobre 12 ríos de diferentes regiones de Colombia. Las características climáticas de las zonas donde se encuentran ubicadas las estaciones de registro, antes mencionadas, son determinantes en el cálculo de los parámetros del modelo, así mismo se refleja la condición climática en las simulaciones hechas debido a que los parámetros en cierta parte encierran esa variabilidad mencionada.

4.1 VALIDACIÓN DEL MODELO AUTORREGRESIVO BILINEAL

La validación del modelo se trabajo con los registros de la series descritas en el capitulo 2 del presente trabajo. Se tomo del total de la serie de caudales medios mensuales un 70% para realizar la calibración del modelo y un 30% para el proceso de validación del mismo (ver Tabla 4-1).

Tabla 4-1 Periodo seleccionado para calibración y validación del modelo.

RÍO CALIBRACIÓN VALIDACIÓN INICIO FINAL INICIO FINAL

Batá 1956 1992 1993 2006 Guadalupe 1952 1991 1992 2006 Guatapé 1959 1993 1994 2006 Guavio 1963 1994 1995 2006

Magdalena 1961 1993 1994 2006 Miel 1963 1994 1995 2006 Nare 1956 1992 1993 2006

Riogrande 1952 1991 1992 2006 Salvajina 1952 1991 1992 2006

San Carlos 1965 1994 1995 2006 San Lorenzo 1956 1992 1993 2006

Urra 1960 1993 1994 2006

La validación se hizo para las ventanas de predicción de 3, 6 y 12 meses sobre las estaciones mencionadas y cuyos resultados se presentan a continuación.





4-2

4.1.1 Río Batá

RÍO BATÁ

0

50

100

150

200

250

300

ene-93 feb-94 mar-95 abr-96 may-97 jun-98 jul-99 sep-00 oct-01 nov-02 dic-03 ene-05

Periodo Validación [Años]

Cau

dal [

m3 /s]

Caudal Real Qs V3M Qs V6M Qs V12M

Figura 4-1 Validación del río Batá para las ventanas de 3, 6 y 12 meses.

4.1.2 Río Guadalupe

RÍO GUADALUPE

0

10

20

30

40

50

60

70

ene-92 feb-93 mar-94 abr-95 may-96 jun-97 jul-98 sep-99 oct-00 nov-01 dic-02 ene-04 feb-05


Cau

dal [

m3 /s]


Figura 4-2 Validación del río Guadalupe para las ventanas de 3, 6 y 12 meses.





4-3

4.1.3 Río Guatapé

RÍO GUATAPÉ

0

10

20

30

40

50

60

70

ene-94 feb-95 mar-96 abr-97 may-98 jun-99 jul-00 sep-01 oct-02 nov-03 dic-04


Cau

dal [

m3 /s]


Figura 4-3 Validación del río Guatapé para las ventanas de 3, 6 y 12 meses.

4.1.4 Río Guavio

RÍO GUAVIO

0

40

80

120

160

200

240

ene-95 feb-96 mar-97 abr-98 may-99 jun-00 jul-01 sep-02 oct-03 nov-04


Cau

dal [

m3 /s]


Figura 4-4 Validación del río Guavio para las ventanas de 3, 6 y 12 meses.





4-4

4.1.5 Río Magdalena

RÍO MAGDALENA

0

150

300

450

600

750

900



Cau

dal [

m3 /s]


Figura 4-5 Validación del río Magdalena para las ventanas de 3, 6 y 12 meses.

4.1.6 Río Miel

RÍO MIEL

0

40

80

120

160

200



Cau

dal [

m3 /s]


Figura 4-6 Validación del río Miel para las ventanas de 3, 6 y 12 meses.





4-5

4.1.7 Río Nare

RÍO NARE

0

20

40

60

80

100

120



Cau

dal [

m3 /s]


Figura 4-7 Validación del río Nare para las ventanas de 3, 6 y 12 meses.

4.1.8 Ríogrande

RÍOGRANDE

0

10

20

30

40

50

60

70



Cau

dal [

m3 /s]


Figura 4-8 Validación de Ríogrande para las ventanas de 3, 6 y 12 meses.





4-6

4.1.9 Río Salvajina

RÍO SALVAJINA

0

50

100

150

200

250

300

350

400



Cau

dal [

m3 /s]


Figura 4-9 Validación del río Salvajina para las ventanas de 3, 6 y 12 meses.

4.1.10 Río San Carlos

RÍO SAN CARLOS

0

10

20

30

40

50

60

70



Cau

dal [

m3 /s]


Figura 4-10 Validación del río San Carlos para las ventanas de 3, 6 y 12 meses.





4-7

4.1.11 Río San Lorenzo

RÍO SAN LORENZO

0

20

40

60

80

100

120



Cau

dal [

m3 /s]


Figura 4-11 Validación del río San Lorenzo para las ventanas de 3, 6 y 12 meses.

4.1.12 Río Urra

RÍO URRA

0

100

200

300

400

500

600

700



Cau

dal [

m3 /s]


Figura 4-12 Validación del río Urra para las ventanas de 3, 6 y 12 meses.





4-8

4.1.13 Error porcentual de la validación

El desempeño del modelo en el periodo comprendido para la validación es evaluado con la siguiente medida del error porcentual:

jmed

k

i ijsimuladoijhistorico

ji Qk

QQ

Error

2

1 ,,

,

)(

(1)

Este error define el error porcentual de un valor simulado del mes j respecto al valor real de dicho mes, iniciando las predicciones desde un mes i, en los k años de validación donde y Qmed es el valor promedio del mes predicho en los años de validación.

En la Tabla 4-2 se presentan los valores esperados de los errores cuadráticos medios obtenidos con base en las 100 simulaciones por modelo y para las ventanas de predicción de 3, 6 y 12 meses. Aunque las diferencias entre los errores porcentuales para las diferentes ventanas de predicción no son muy grandes, se observa que los errores más bajos se dan para la ventana de 3 meses, seguida por la de 6, como era de esperarse.

Tabla 4-2 Errores porcentuales en el periodo de validación para las ventanas de 3, 6 y 12 meses.

RIO VENTANA 3 MESES VENTANA 6 MESES VENTANA 12 MESES MINIMO MEDIA MAXIMO MINIMO MEDIA MAXIMO MINIMO MEDIA MAXIMO

Batá 25 33 43 25 34 53 25 35 53 Guadalupe 11 23 39 11 25 39 11 27 39 Guatapé 15 23 37 14 25 41 14 27 41 Guavio 21 32 60 21 33 59 19 33 59

Magdalena 16 27 52 16 28 52 16 28 52 Miel 12 27 41 12 28 42 12 29 43 Nare 18 28 42 18 31 47 18 33 47

Riogrande 13 25 39 13 28 46 13 30 48 Salvajina 13 28 47 13 30 56 13 32 56

San Carlos 14 34 55 14 36 60 14 37 63 San Lorenzo 17 29 59 17 31 60 17 31 60

Urra 12 25 56 12 26 62 10 27 62





4-9

BATÁ GUADALUPE GUATAPÉ

GUAVIO MAGDALENA MIEL

NARE RÍOGRANDE SALVAJINA

SAN CARLOS SAN LORENZO URRA

Figura 4-13 Errores mínimo, medio y máximo del periodo de validación para la ventana de 3 meses.





4-10










4-11










5-1

5 ANÁLISIS DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES

La aplicación del modelo autorregresivo bilineal a la predicción mensual de series de caudales en Colombia supero los pronósticos debido a los errores promedio obtenidos (ver Tabla 4-2) donde siendo un modelo tan simple es capaz de recoger la hidrología característica de cada zona de estudio y reproduciendo a ventanas de 3, 6 y 12 meses con cierta claridad los caudales propios de cada estación. Cabe la pena mencionar que es un modelo que conserva la parsimonia respecto a otros modelos más estructurados y empleados para los mismos fines.

Regionalmente, las estaciones presentan errores parecidos dentro de la aplicación de los modelos, vemos como Batá, Magdalena y Guavio tienes errores medios alrededor de 30%, Nare y San Lorenzo con un 29%, y Guadalupe y Ríogrande alrededor de 26% en el error medio. Estas características son propias de las regiones de Colombia y debido a su ubicación los caudales provienen de una misma distribución generando así errores por el mismo orden de magnitud.

A nivel comparativo los modelos autorregresivo de orden 2, AR (2), y autorregresivo bilineal tienen una estructuración parecida desde el punto de vista matemático, pero incluyendo el modelo autorregresivo bilineal una componente no lineal que genera que la componente aleatoria, cuya distribución queda determinada completamente por la formulación del modelo, sea capaz de representar de forma parcial los eventos extremos en la serie y asi los máximos y mínimos se acercan mas a los valores reales. Este hecho hace que la magnitud de los errores se reduzca considerablemente y por ende que el modelo tenga un mejor desempeño comparado con el modelo autorregresivo de segundo orden, AR (2). (ver Tabla 4-2 y Tabla A 1-1)

En los modelos presentados en este trabajo vemos que son muy sensibles en cuanto a la variabilidad de los parámetros estadísticos del mismo debido a que estos dependen de propiedades como el valor esperado y la varianza que son en la medida las que recogen las características hidrológicas propias de la zona. También vemos que esta estimación de los parámetros depende de la cantidad de registros de las estaciones debido a que podemos recoger más características o eventos pasados que pueden ayudar a simular un futuro próximo.

En general, los modelos autorregresivos representan de manera parcial el comportamiento de una serie de caudales mensuales y en la práctica son muy utilizados para las simulaciones hidrológicas, que comparado con modelos mas elaborados para los mismos fines son más fáciles de estructurar y conservan como se menciono la parsimonia. Dentro de esta evaluación de los modelos autorregresivos se encontró un modelo hibrido autorregresivo bilineal con una componente no lineal del ruido que recogió mas características de los eventos extremos y así reduciendo los errores porcentuales medios respecto al modelo autorregresivo convencional. Este modelo puede ser más estructurado implementando variables exógenas y combinando con la estructuración del mismo para aumentar la capacidad de predictibilidad a largo y corto plazo.





6-1

6 BIBLIOGRAFÍA

Sornette, D., Pisarenko, V.F., 2007. Properties of a simple bilinear stochastic model: Estimation and predictability. Physica D, doi:10.1016/j.physd.2007.08.020.

Box, G.E.P. y G. Jenkins. Time Series Analysis: Forecasting and Control, Holden-Day. 1976.

Box, G.E.P., G.M. Jenkins, G.C. Reinsel. Time Series Analysis: Forecasting and Control. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey. 1994.

N. Matalas. Mathematical assessment of synthetic hydrology. Water Resources Research 3(4) 1967, pp. 937-945.

H. Thomas, M. Fiering. Mathematical síntesis of streamflow sequences for the análisis of river basins by simulation. En: Mass A, Humfschmidt MM, Dorfman R, Thomas Jr HA, Marglin SA, Fair GM (eds.) Design of water resource systems. Harvard University Press, Cambridge. 1962.

Coulibaly P., Baldwin C.K. 2005. Nonstationary hydrological time series forecasting using nonlinear dynamic methods. Journal of Hydrology 3007 (2005) 164 – 174.

Mesa, O, Poveda, G. y L. F. Carvajal, 1997. Introducción al Clima de Colombia, Universidad Nacional de Colombia. ISBN: 958-628-144-2.

Moreno, J. y Salazar, J. Generación de series sintéticas de caudales usando un modelo Matalas con medias condicionadas. Universidad Nacional de Colombia. Avances en Recursos Hidráulicos – Numero 17, Mayo de 2008, Medellín – Colombia – ISSN 0121 – 5701.

Munera, L. 1983. Modelos Estocásticos para las series Hidrológicas, Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín.

Salazar, J. Enrique, Mesa, O. José. 1994. “Aplicación de dos modelos no lineales al estudio de series temporales en hidrológica”. Tesis de Maestría en Ingeniería - Recursos Hidráulicos. Universidad Nacional de Colombia.





A1-1

ANEXOS

A1 MODELO AUTORREGRESIVO EN LA PREDICCIÓN MENSUAL DE CAUDALES EN COLOMBIA

Paralelamente el modelo autorregresivo de orden 2, AR (2), fue empleado para la simulación de series de caudales mensuales sobre 12 ríos de diferentes regiones de Colombia. La base de aplicación de este modelo fue hecha bajo las mismas condiciones con las que se trabajo el modelo autorregresivo bilineal propuesto en el presente trabajo. Estas suposiciones reúnen las condiciones del tratado de las series de caudales y la estimación de los parámetros del modelo, además incluyendo las mismas características y variabilidad climática presentadas en la zona de estudio.

A1.1 VALIDACIÓN DEL MODELO AUTORREGRESIVO

La validación del modelo autorregresivo de orden 2, AR (2), se hizo con base a las mismas series de caudales mensuales con las que se tomo la validación del modelo autorregresivo bilineal y con los mismos periodos estipulados para la calibración (30% de los registros históricos de la serie) y la validación (70% de los registros históricos de la serie). (ver Tabla 4-1)

La validación del modelo se hizo para las ventanas de predicción de 3, 6 y 12 meses sobre las estaciones mencionadas y los resultados se presentan a continuación.

A1.1.1 Error porcentual de la validación

Para la medida del error porcentual del modelo autorregresivo de orden 2, AR (2), se toma la formula empleada para la evaluación de dicho error en el modelo autorregresivo bilineal y se hace bajo las mismas bases, es decir, los errores obtenidos son promedio de 100 simulaciones y para cada ventana de predicción, 3, 6 y 12 meses. En la Tabla A 1-1 se presentan los valores esperados de los errores medios obtenidos.





A1-2

Tabla A 1-1 Errores porcentuales en el periodo de validación para las ventanas de 3, 6 y 12 meses.

RIO VENTANA 3 MESES VENTANA 6 MESES VENTANA 12 MESES MÍNIMO MEDIA MÁXIMO MÍNIMO MEDIA MÁXIMO MÍNIMO MEDIA MÁXIMO

Batá 27 49 80 28 49 84 29 50 82 Guadalupe 16 33 58 16 34 59 15 34 59 Guatapé 19 35 58 18 36 61 18 36 61 Guavio 23 46 100 23 47 95 24 48 95

Magdalena 22 42 79 21 42 80 21 42 81 Miel 21 43 90 21 44 92 21 45 93 Nare 20 38 63 20 40 64 19 41 64

Riogrande 19 39 66 18 40 67 19 41 67 Salvajina 20 44 52 15 33 52 15 35 53

San Carlos 26 48 81 25 48 84 25 50 85 San Lorenzo 21 42 77 20 43 78 21 43 79

Urra 25 50 60 20 37 65 20 38 66





A1-3





Figura A 1-1 Errores mínimo, medio y máximo del periodo de validación para la ventana de 3 meses.





A1-4










A1-5






Documents

hidrologia estocastica mdelo generacion sintetica series temporales