Evolución histórica de la teoría de números

En mecánica, son utilizadas las llamadas ruedas dentadas, como las mostradas en la figura 1. Al colocar juntas dos ruedas de estas características, de tal manera que queden engranadas, el movimiento de estas se predice de acuerdo a la cantidad de dientes de cada rueda. Es así como, en el ejemplo dado por Stewart (2007):

una rueda tiene 30 dientes y la otra tiene 7. Si giramos la rueda grande exactamente una vez, ¿qué hace la rueda más pequeña? Vuelve a la posición inicial después de 7 ,14 ,21 y 28 vueltas. Así, las 2 vueltas finales, para completar 30, la adelantan solo dos vueltas. Este número resulta porque es el resto de dividir 30 por 7. (p. 109)

De esta manera la división con resto presenta una aplicación en el movimiento de las ruedas dentadas.

En el ejemplo anterior se ha nombrado un concepto matemático importante: la división con resto. Este concepto hace parte de lo que hoy conocemos como teoría de números. A continuación se dará una breve descripción de la historia de la teoría de números y se mostrara la biografía de algunos de los matemáticos que ayudaron a desarrollarla.

Introducción

Al observar una lista de números naturales como 1 ,2,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11, tal vez no notemos algo interesante, y esto se debe a la simplicidad que representan estos números. Pero una mirada más atenta y un análisis más amplio de estos números conllevan ciertas preguntas, lo cual llevo a las matemáticas a niveles más avanzados cuando se encontraron respuestas a muchas de esas preguntas.

En la obra de Euclides, se encuentran las primeras contribuciones a la teoría de números y fue desarrollada más adelante por Diofanto. Después de la obra de Diofanto, muchos matemáticos se encaminaron al estudio de esta rama de las matemáticas, entre los que se encuentran Fermat, Euler, Lagrange, y Gauss, cuyos aportes permitieron encontrar relaciones con otras áreas de la matemática.

En nuestros días encontramos varias aplicaciones de la teoría de números al mundo real, sin embargo, esto no siempre fue así (Stewart, 2007, p.101).

Los números primos

En la multiplicación de los números naturales, se puede observar una propiedad recurrente: al multiplicar dos o más números se obtiene otro número natural. Cada uno de estos números que se multiplican, son como pequeños bloques mediante los cuales se construyen otros bloques más grandes, es decir, existen números que se pueden descomponer en partes más pequeñas. Así por

Figura 1. Ruedas dentadas

ejemplo 15 se obtiene de 5×3 y también 16 lo podemos formar mediante 8×2. Esto se puede verificar con muchos números, sin embargo existen ciertos números naturales que no se pueden obtener al multiplicar otros números; estos son los llamados números primos. Por ejemplo, el número 17, no se puede obtener de multiplicar otros números naturales. De esta manera, aquellos números que se pueden obtener de la multiplicación de otros números naturales más pequeños, son llamados números compuestos, en tanto que aquellos números que no se pueden obtener de esa forma, se les denomina números primos (Stewart, 2007, p.101).

Los primeros números primos, menores que 100, son:

23571113171923293137 41434753596167717379838997

Al observar esta lista no se logra evidenciar un patrón que permita encontrar un número primo dado otro u otros de la lista, es decir no hay una forma de hallar o predecir el siguiente número primo. Aun así, es posible encontrar números primos probando con números naturales sucesivos.

En la obra de Euclides (figura 2), Los Elementos, se puede apreciar una introducción a los primos en el libro VII. En dicho libro se encuentran tres propiedades de los números primos bien conocidas en nuestros días:

Cualquier numero natural se puede expresar como producto (multiplicación) de números primos

La expresión como producto de primos de cualquier número, es única Existen infinitos primos

En el mismo libro, en la proposición 31, Según Stewart (2007), Euclides indica que “cualquier número compuesto es dividido exactamente por algún primo” (p.102). Es así como, por ejemplo, el número 105 es compuesto, ya que se puede dividir entre 5 el cual es primo. Entonces se tiene que 105=21×5. Pero aquí vemos que el número 21 también es compuesto ya que es igual a 7×3, de esta manera se encuentra que 105=7×3×5. Observemos ahora lo siguiente. Si

Figura 2. Biografía de Euclides

escribimos 105=35×3, también se puede ver que hay un nuevo número compuesto, en este caso el número 35 el cual es igual a 5×7. Así, se puede escribir 105=5×7×3, y este resultado es igual al anterior, a excepción del orden en que se ha escrito el producto de los primos, pero esto no es un problema debido a la propiedad conmutativa de la suma de números naturales. Esta propiedad, en la que no importa el orden de los números primos en la descomposición de un número compuesto, no tiene una demostración sencilla. El ejemplo anterior muestra que, al menos para el número 105, la factorización o expresión mediante la multiplicación de primos de un número compuesto, es única (Stewart, 2007, pp.102, 103). En la proposición 30 del libro VII, Euclides demuestra la unicidad de la factorización prima, para ello, Stewart (2007) afirma que Euclides muestra que “si un primo divide al producto de dos números, entonces debe dividir al menos a alguno de dichos números” (p. 103).

Ya en el libro IX de Los elementos, en la proposición 20, Euclides establece, en términos modernos, que la lista de números primos es infinita (Stewart, 2007, p. 103). La demostración dada por Euclides es la siguiente:

Dados los números primos A ,By G, como se muestra en la figura 3, sea ED el menor número que esta medido por ellos, y agréguesele la unidad DZ . Entonces DZ es un número primo o no lo es. Si lo es, se tiene los números primos A ,B ,G y EZque son más que A ,B y G. Si EZ no es primo estará medido por

algún número primo H , que no es ninguno de los A ,B o G, porque si lo fuera, como A ,By G por medir a EZ mediría a la diferencia DZ , que es la unidad, lo cual es absurdo; luego H no es

ninguno de los números A ,B o G y como hipótesis es primo, ha de ser mayor que ellos (Vera, 1970, pp. 853, 854).

Normalmente los elementos de Euclides son considerados como libros meramente geométricos, pero esto no es así. La palabra número, para los griegos, significaba número natural. Debido a que los números son representados, en los elementos de Euclides, mediante segmentos, las palabras “múltiplo” y “factor”, que hoy usamos, eran remplazadas por “esta medido por” o “mide a”. En el libro VII se vislumbra lo que se conoce ahora como algoritmo de Euclides, que es utilizado para hallar el máximo común divisor, M.C.D., de dos números (Boyer, 2007, p. 157). En términos modernos este algoritmo se explica, según Zaldívar (2012):

Si a ,b son números naturales, con b diferente de cero, entonces existen q ,r que pertenecen a Z tales que

a=bq+r con 0≤r ≤|b|

El entero q se llama cociente y r es el entero, llamado residuo, que se obtiene al dividir a entre b (p. 17).

Figura 3. Segmentos que representan primos

En la última proposición del libro IX, Euclides muestra la fórmula para hallar números perfectos (Boyer, 2007, p. 158), los cuales son aquellos que son iguales a la suma de sus divisores propios. Por divisores propios se entiende aquellos divisores de un número, en los que no se incluye el mismo número. Por ejemplo, el número 6 es perfecto ya que, los divisores propios de 6 son 1 ,2 y 3 y asi 6=1+2+3.

Diofanto

Diofanto, figura 4 ha tenido una influencia grande en cuanto a la notación algebraica, pero también tuvo influencia en la teoría de números. Los problemas que planteaba Diofanto, estaban enmarcados en cuestiones muy generales pero de ellas se obtenían respuestas numéricas. Una situación particular que presentaba Diofanto era: “encontrar tres números tales que su suma, y la suma de dos cualesquiera de ellos, es un cuadrado perfecto”. La respuesta a este problema es 41, 80 y 320.

Diofanto se enfrentó, además al Teorema de Pitágoras. Recordemos que dicho Teorema afirma que, dado

un triángulo rectángulo con lados a ,b , c en donde ces el lado más largo, se cumple que c2=a2+b2. Diofanto estudio cierta clase de triángulos rectángulos, para los que se tiene lados con medida entera, es decir, aquellos para los cuales la medida de cada lado se expresa mediante un número entero. El más conocido de estos triángulos es el triángulo 3 ,4 ,5. A estas combinaciones se le llaman ternas o tripletas pitagóricas. Existen muchas otras, e incluso son infinitas. Diofanto encontró todas las ternas pitagóricas, para lo cual toma dos números enteros y con ellos forma la diferencia de sus cuadrados, la suma de sus cuadrados y el doble de su producto, es decir, si los números son p y q entonces se forma:

p2−q2

p2+q2

2 pq

De las anteriores expresiones se obtienen tres números que forman una terna pitagórica, y esto es así aceptando, además, que los tres números pueden tener, como máximo común divisor, un número diferente de 1. Por ejemplo, si se toman los números q=1 y p=2 se obtiene:

Diofanto de Alejandría (325-265 a.c.)

Diofanto vivió alrededor del año 250 d.c. Realizo importantes contribuciones al algebra, ya que utilizo símbolos especiales para las incógnitas en una ecuación (Devlin, 2003).

Figura 4. Biografía de Diofanto

22−12=4−1=3

22+12=4+1=5

2×2×1=4

Y esta es precisamente la terna 3 ,4 ,5 (Stewart, 2007, p. 104).

Fermat

Fermat, figura 5, un matemático aficionado, retomo el trabajo de Diofanto y realizo importantes aportes a la teoría de números. Refiriéndose a los números primos, Fermat establece el teorema que indica cuándo un número dado es igual a la suma de los cuadrados perfectos de otros dos números, es decir, si n es el número dado y a2 y b2 son los cuadrados de los números a y b, entonces la expresión es n=a2+b2. La solución que da Fermat a este teorema está basada en la observación que realizó en cuanto a que hay tres tipos de primos, estos son:

El único numero primo par es el 2 Aquellos que son múltiplos de 4

agregándole 1 Aquellos que son múltiplos de 4

menos 1

De aquí Fermat demuestra que si un número primo es múltiplo de 4 más 1 o, si es el número 2, entonces estos primos pueden escribirse como la suma de dos cuadrados perfectos, pero si el numero primo no es 2 o es un múltiplo de 4 menos 1 entonces no se puede escribir como la suma de cuadrados perfectos. Ya en 1770 Joseph-Louis Lagrange, realizo la demostración de que cualquier entero positivo se puede expresar como la suma de cuatro cuadrados perfectos (Stewart, 2007, p. 105).

El conocido pequeño teorema de Fermat (para diferenciarlo del último teorema de Fermat), establece que a p−a es múltiplo de p cuando a es un número natural y p es primo. Esta afirmación puede ser falsa o no, dependiendo si p es compuesto. En 1640, Fermat anuncio que poseía una demostración acera de que, en el

Pierre de Fermat (1608 -1665)

Reservado y taciturno, no le gustaba hablar de sí mismo y odiaba revelar mucho de su pensamiento. ... Sus ideas, sin importar cuán originales o novedosas, operaban dentro de un rango de posibilidades limitado por su época [1600 - 1650] y su lugar [Francia]. (O'Connor, 1996). Fermat es famoso en teoría de números por el llamado último teorema de Fermat el cual afirma que:

xn+ yn=zn

no tiene soluciones enteras distintas de cero para x , y y z cuando n>2 CITATION OCo96 \l 9226 (O'Connor, 1996) .

Fermat dijo haber demostrado lo anterior, sobre lo cual escribió en el margen de una edición de la Arithmetica de Diofanto (200/214 - 284/298):

He descubierto una prueba verdaderamente maravillosa, pero este margen es demasiado pequeño para contenerla

Figura 5. Biografía de Fermat

teorema de Pitágoras, era posible sumar dos cubos y obtener un cubo, aunque no logro hallar una solución (Stewart, 2007, p. 106).

Treinta años después, se publicó un texto en el cual se incluían las notas de Fermat y en las que Fermat nos dejó el siguiente mensaje: “resolver un cubo en la suma de dos cubos, una cuarta potencia en dos cuartas potencias o, en general, cualquier potencia mayor que la segunda en dos del mismo tipo es imposible; de lo que he encontrado una notable demostración. Este margen es demasiado pequeño para contenerla”. El teorema, escrito en notación matemática moderna se representa de la siguiente forma

zn=xn+ yn

En esta expresión, lo que Fermat afirmo, es que no es posible hallar números enteros positivos x , y y z y n>2 tales que se cumpla esta igualdad.

Durante mucho tiempo se realizaron trabajos infructuosos para realizar dicha demostración, y ya en 1994, Andrew Wiles, demostró el teorema. Además, varios de los teoremas que Fermat había enunciado fueron demostrados.

Gauss (Figura 6)

A partir de la publicación del libro Disquisitiones Arithmeticae, de Gauss, en el año de 1801, la teoría de números se convirtió en una de las principales fuentes de la matemática. En su obra, Gauss recopilo los escritos de sus predecesores y además aporto ideas nuevas. Entre sus ideas está la de la aritmética modular, la cual permitió comprender las propiedades que sustentan la divisibilidad entre los enteros. La idea de Gauss es que, dado un determinado entero m, entonces,

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

De niño, Gauss corregía los cálculos hechos por su padre. Con la ayuda del duque de Brunwick-Wolfenbüttel, Gauss logro estudiar. En su sitio de estudio descubrió el teorema de los números primos. En Gotinga descubrió como construir el polígono regular de 17 lados. La obra más importante que escribió, y que se tiene como la obra de teoría de números más importante, fue titulada Disquisitiones Arithmeticae (investigaciones aritméticas). Mediante el método llamado de mínimos cuadrados, inventado por él, logro predecir la reaparición detrás del Sol, del asteroide Ceres. El método de los mínimos cuadrados ha sido fundamental en estadística. Se casó con Johanna Ostoff en 1807 y al siguiente año muere su padre. En 1809 muere su esposa cuando daba a luz su segundo hijo. Realizo un escrito sobre las paralelas de lo cual dedujo una geometría diferente a ala euclidiana. Trabajo con el físico Wilhem Weber, con quien descubrió lo que hoy en día se conoce como las leyes de Kirchhoff para los circuitos eléctricos. Murió en calma, en 1855, cuando dormía (Stewart, 2007, p. 108).

Figura 6. Biografía de Gauss

dos enteros a y b son congruentes modulo m si a−b es múltiplo de m. Esto se denota

de la siguiente manera

a≡b(mod m)

Otro tema que abordo Gauss fue la construcción del 17-gono regular. Aunque se podía construir polígonos de 3 ,5 y 15 lados con regla y compas, como lo había mostrado Euclides, no se tenía un procedimiento para la construcción del 17-gono regular y otros.

Gauss estableció que para que un p-gono, con p primo, pueda ser construido es necesario resolver la ecuación

x p−1+ xp−2+x p−3+…+x2+x+1=0

Aunque esto no permite, aun, la construcción del 17-gono, le permitió avanzar y, mediante ecuaciones cuadráticas obtenidas de la anterior, afirmo, aunque no demostró, que la construcción de este polígono es posible cuando p−1 es una potencia de 2.

A partir de lo anterior, fue posible construir 257-gono regular, por parte de F.J. Richelot y, además, J. Hermes construyo el 65537-gono, pero con errores.

Gauss mantuvo una alta correspondencia con grandes matemáticos entre ellos con Marie-Sophie Germain (figura 7). Gauss cambio la manera de ver la teoría de números, asentándola en bases sólidas y, al mismo tiempo, relacionándola con la geometría. Su obra matemática, Disquisitiones Arithmeticae, es una de las más geniales en la historia de las matemáticas, cuya publicación permitió, en parte, que Gauss se ganara el respeto de los matemáticos.

Marie-Sophie Germain (1776-1831)

Su inspiración inicial se produjo por la lectura, a los 13 años, sobre la muerte de Arquímedes. En la época de Marie-Sophie, el estudio de las matemáticas no era apropiado para una dama, así que sus padres intentaron persuadirla de no hacerlo, sin embargo ella se dio a la tarea de leer a Newton y a Euler. Más adelante sus padres, al ver la constancia y la capacidad de su hija para las matemáticas, la apoyaron financieramente. Escribió sobre sus descubrimientos a Langrange bajo el seudónimo de Monsieur LeBlanc. Lagrange descubrió que era una mujer y la animo y apoyo. También escribió a Gauss, nuevamente con el mismo seudónimo. Gauss escribió a otros matemáticos alabando el trabajo matemático de LeBlanc. Más adelante, en 1806, Gauss decubre que LeBlanc era una mujer y Marie-Sophie se preocupó. Sin embargo Gauss le escribió: “Pero cómo describirle mi admiración y asombro al ver que mi estimado corresponsal Monsieur LeBlanc se metaforseaba en este ilustre personaje…Cuando una persona del sexo que, según nuestras costumbres y prejuicios, debe encontrar infinitamente más dificultades que los hombres para familiarizarse con estas investigaciones tan espinosas, consigue pese a todo superar estos obstáculos y penetrar en las partes más oscuras de ellos, entonces sin duda ella debe tener el valor más noble, talento absolutamente extraordinario y un genio superior”.

Sus trabajos matemáticos están basados en el último teorema de Fermat pero también trabajo en las vibraciones de superficies, entre las que se encuentran las figuras de Chladni. Por este trabajo ganó una medalla de oro, pero ella no apareció en la ceremonia. En 1831 murió a causa de un cáncer de pulmón, pero durante el tiempo siguiente a que se le detectara la enfermedad, en 1829, continúo trabajando en teoría de números y en la curvatura de superficies (Stewart, 2007, p. 111).

Figura 7. Biografía de Marie-Sophie Germain

Los conceptos de la teoría de números desarrollados durante los siglos XVIII y XIX, permitió el surgimiento del algebra abstracta. Antes de la invención de la computadora y de las comunicaciones en forma digital, la teoría de números era una teoría interesante para las propias matemáticas, pero lejanas de la cotidianidad y, por lo tanto, sin nada de aplicabilidad (Stewart, 2007, pp. 107-113).

ReferenciasBoyer, C. B. (2007). Historia de las matemáticas. Madrid, España: Alianza Editorial.

Devlin, K. (2003). En El lenguaje de las matemáticas (1 ed., págs. 119 - 149). Bogotá: Robinbook.

O'Connor, E. R. (1996). Biography of Fermat. St Andrews, Escocia. Obtenido de http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Fermat.html

Rojo, J. (2013). Recopilación de diversas demostarciones de la infionitud de los números primos. España. Recuperado el 3 de Septiembre de 2015, de http://biblioteca.unirioja.es/tfe_e/TFE000325.pdf

Stewart, I. (2009). Historia de las matemáticas en los últimos 10.000 años. En I. Stewart, Historia de las matemáticas en los últimos 10000 años (Segunda ed., Vol. 1, págs. 114 -131). Barcelona: Crítica.

Vera, F. (1970). Científicos griegos. Madrid, España: Aguilar.

Zaldívar, F. (2012). Introducción a la teoría de números. México: Fondo de Cultura Económica.