Hscaletti Doc

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Estimacin Rpida de Desplazamientos Laterales Producidos por Sismo

Dr. Ing. Hugo Scaletti Farina 1

Introduccin

Las normas de diseo sismorresistente hacen referencia a dos escenarios: el del sismo muy severo, frente al cual slo se espera que la estructura no colapse, evitando la prdida de vidas, y el de los sismos moderados o leves, que no deberan producir daos importantes en los elementos estructurales y no estructurales. Para logar el objetivo de no colapso se requiere una combinacin apropiada de resistencia y ductilidad; en cambio, para minimizar los daos producidos por eventos de menor intensidad se necesita rigidez, porque los daos estn directamente relacionados con las mximas distorsiones en los entrepisos.

Una estimacin rpida de tales distorsiones es til, no slo para un diseo preliminar, sino sobretodo para poder cuantificar los daos que un sismo de una intensidad dada podra producir en un conjunto muy grande de edificaciones, para las cuales no podra realizarse una evaluacin detallada, que demandara mucho ms tiempo e informacin no siempre disponible.

En este documento se revisa el procedimiento propuesto por Miranda [1999] para una estimacin rpida de desplazamientos mximos y distorsiones de entrepiso, que ha sido adaptado en el CISMID para estudios de vulnerabilidad ssmica en diversos distritos de Lima.

Modelo Bsico

La estructura es representada por un modelo de dos componentes, una viga de flexin y una viga de corte, con propiedades constantes EI y GA respectivamente, que tienen el mismo desplazamiento lateral, )(zu . El comportamiento como viga de corte o viga de flexin se refiere a la estructura como un todo, no a los elementos individuales. As, en una estructura aporticada con columnas esbeltas la deformacin de los elementos sera esencialmente debida a la flexin, pero el comportamiento de la estructura como un todo frente a cargas laterales se asemejara al de una viga de corte. Siendo H la altura total del edificio y una medida adimensional de la relativa importancia de la componente de corte:

EIHGA 2=

Puede escribirse la ecuacin diferencial de equilibrio:

EIzq

zdud

Hzdud )(

2

2

24

4

=

1 Profesor Principal, Facultad de Ingeniera Civil, Universidad Nacional de Ingeniera, Lima



2

En la base la estructura est fija, tenindose condiciones de borde: 0)0( =u ; 0)0( =u . En el extremo superior est libre, y por tanto: 0)( = Hu ; 0)()( = HuGAHuEI . En la ecuacin diferencial )(zq es la carga lateral, que podra suponerse triangularmente distribuida: mxqHzq )/(= o constante.

Para determinar frecuencias naturales y formas de modo puede anlogamente escribirse:

0222

24

4

=+ EIm

zdd

Hzdd

Siendo m la masa distribuida por unidad de longitud, que en lo que sigue se supone tambin constante, la forma de modo y la correspondiente frecuencia angular. Pflcker [1988] compar resultados de anlisis detallados de edificios reales, de entre 5 y 18 pisos, con los obtenidos con el modelo de dos componentes. Los edificios estudiados fueron relativamente regulares en cuanto a la distribucin en planta de las rigideces, pero no uniformes en altura. No obstante esto, obtuvo resultados muy similares para los desplazamientos laterales, las formas de modo y las fuerzas cortantes en cada nivel de los edificios reales y de los modelos de dos componentes.

Desplazamientos Laterales

La figura 1 muestra los desplazamientos laterales al aplicar fuerzas laterales con una distribucin triangular invertida. H se refiere a la altura total del edificio y La forma depende de ; se muestran los dos casos extremos. En la figura 2 se comparan desplazamientos debidos a cargas laterales con una distribucin uniforme o triangular invertida, para el caso . Las diferencias son menos importantes a medida que se reduce. En ambas figuras se han escalado los desplazamientos para tener 1 en el extremo superior.

1. Inf luencia de en los Desplazamientos

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 u

z/H

2. Influencia de la Distribucin de Fuerzas

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 u

z/H

Al agregar ms tabiquera a una estructura, se incrementa , con lo que cambia la forma de la deformada producida por las fuerzas laterales, as como las formas de los modos de vibracin, sus factores de participacin y la distribucin de fuerzas cortantes en la altura.

0=q triangular

q uniforme



3

Modos de Vibracin

Las figuras 3 y 4 muestran las formas de los tres primeros modos de vibracin para los casos 0= (slo componente flexional) y (slo componente de corte). El primer modo es similar a la deformada producida por fuerzas laterales.

3. Modos de vibracin, caso

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

z/H

4. Modos de vibracin, caso

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

z/H

Las frecuencias naturales para el sistema de dos componentes pueden relacionarse con las correspondientes frecuencias de una viga de flexin (es decir, con 0= ) con la misma masa (Pflcker [1988]):

21

21 )22.01( FLEXIN +

22

22 )05.01( FLEXIN +

Desplazamiento mximo

Refirindose al desplazamiento lateral mximo, puede suponerse que slo la contribucin del primer modo es significativa. Esta es una hiptesis relativamente buena para edificios regulares de baja altura (Lger et al. [1986]).

Por lo tanto, el desplazamiento lateral mximo debido a sismo podra obtenerse de: dmx Su 11 = . En esta expresin dS es el valor del espectro de desplazamiento que corresponde al perodo fundamental de la estructura, 1T , que puede estimarse con expresiones empricas a partir de la altura del edificio y del sistema estructural predominante. El primer modo 1 se aproxima por u (la solucin de la ecuacin diferencial planteada al inicio). As, por ejemplo, si se tuviera (viga de corte) y q linealmente variable, 2/)3( 2zzu = . Finalmente, 1 es una aproximacin del correspondiente factor de participacin. Nuevamente, si u se normalizara para tener 1 en el extremo superior el desplazamiento mximo sera dmx Su 1= .

0=

modo 1

modo 3 modo 2

modo 1

modo 2

modo 3



4

Factor de Participacin

Para el caso continuo puede escribirse:

= HH

dzm

dzm

0

21

0 1

1

Para el caso (viga de corte), aproximando 1 por la deformada esttica para carga triangular se obtiene 28.11 = , mientras que si se considera carga uniforme se obtiene 25.11 = . La distribucin de las fuerzas laterales influye muy poco en 1 . Por otro lado, para el caso extremo

0= se obtiene 55.11 . Sin embargo, para un edificio de pocos pisos la expresin de 1 debe remplazarse por su equivalente discreto, pudindose emplear la aproximacin:

123

1 += NN

donde N es el nmero de pisos. Esta expresin resulta al suponer que el primer modo es lineal.

Mximas Distorsiones de Entrepiso

La mxima distorsin puede escribirse como 2 veces la distorsin promedio, es decir,

Humx

mx 2 = El coeficiente 2 puede obtenerse de:

)(2 HuH

dzdumx

=

Para (viga de corte) se obtiene 5.12 = si se supone como forma de modo la deformada que corresponde a carga triangular y 22 = si se emplea la deformada para fuerza uniformemente distribuida. Con la forma de modo exacta se obtiene 875.12 = . Por otro lado, si 0= se obtiene

33.12 , con poca influencia de la hiptesis relativa a la distribucin de cargas.

Comportamiento No Lineal

Considerando la no linealidad en el comportamiento de las estructuras sometidas a sismos severos, las expresiones precedentes deben corregirse:

dmx Su 13=

Humx

mx 24 =

Para determinar el factor 3 se estudiaron sistemas de un grado de libertad, con comportamiento elastoplstico o bilineal con 10% de rigidez post fluencia. Los perodos (en el rango lineal) estuvieron en el rango entre 0.1 y 3 segundos. Las fuerzas cortantes de fluencia se variaron entre 10% y 50% del peso. Las aceleraciones en la base correspondieron a las componentes horizontales de los sismos de 2001, 1974 y 1966. Al graficar 3 contra las ductilidades (figura 5) se observa mucha dispersin. 3 depende tambin del perodo, T .



5

5. Grfico de 3 vs. ductilidad

0

1

2

3

4

0 2 4 6 8 10

3

Se propone la expresin: 416.0

311132.011

+=

T

para la cual se obtiene 56.02 =R . En la figura 6 se presentan los resultados al aplicar esta expresin.

6. Curvas propuestas para 3 en funcin de T y

0

1

2

3

4

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0T

3

Por otro lado, se estudiaron estructuras (con modelos de acoplamiento cercano) de entre 2 y 15 pisos, con perodos fundamentales (en el rango lineal) entre 0.08 s y 2.25 s y con distintos cortantes de fluencia, que se mantuvieron iguales en todos los niveles. Los resultados para 4 en funcin de se muestran en la figura 7.

=2

4 6

=8



6

7. Grfica de 4 vs. ductilidad

0.0

1.0

2.0

3.0

0 2 4 6 8

4

En este caso se propone: ( ) 0069.14 12331.01 += para la que se tiene 89.02 =R Conclusiones

El desplazamiento mximo puede estimarse mediante dmx Su 13= . Para determinar dS se requiere estimar el perodo fundamental. Para edificios de baja altura, )12/(31 += NN , siendo N el nmero de pisos. Por otro lado:

416.0

311132.011

+=

T

A partir del desplazamiento mximo se estima la mxima distorsin de entrepiso: Humx

mx 24 = 2 puede suponerse aproximadamente igual a 5.1 y ( ) 0069.14 12331.01 +=

Referencias

Lger, P., Wilson, E. y Clough, R. (1986). The Use of Load Dependent Vectors for Dynamic and Earthquake Analyses. Earthquake Engineering Research Center. University of California, Berkeley. Report N UCB/EERC-86/04

Miranda, E. (1999). Approximate lateral deformation demands in multistory buildings. Journal of Structural Engineering ASCE. 125: 417-425

Pflcker, M. (1988). Efectos de la Tabiquera en el Comportamiento Dinmico de Estructuras Aporticadas. Tesis de grado para el ttulo de ingeniero civil. Universidad Nacional de Ingeniera. Lima.

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