I Cenidet · 2014-03-10 · resistencia de contacto. Esto es debido a que la resistencia de contacto es más representativa del fenómeno real. Por otro lado si en el modelo que presenta

S. E. P. §. E. I. T. D. G. I. T. P

_I

CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACI~N Y DESARROLLO TECNOL~GICO I

Cenidet “DETERMINACIÓN DE LA GONDUCTIVIDAD TÉRMICA DE AISLANTES TÉRMICOS UTILIZANDO EL MÉTODO

INVERSO” Ir

T E S I 14 QUE PARA OBTENER EL GRADO DE : M A E S T R O EN C I E N C I A S E N I N G E N I E R í A M ~ I E C Á N I C A P R E S E N T A :

I.Q. MARCO ANTONIO AQÜINO OLIVOS

11 DIRECTOR DE TESIS: DR. GUSTAVO URQUlZA B.

: DR. ALFONSO GARCíA G. II

CO-DIRECTOR

CUERNAVACA, MORELOS I/ NOVIEMBRE DE 1999

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Cuernavaca, Mor.

DR. JUAN MANUEL RICANO CASTILLO DIRECTOR DEL CENIDET. P R E S E N TE.

AT": DR. DARIUSZ SZWEDOWICZ WASlK

P R E S E N T E .

Por este conducto, hacemos de su conocimiento que, después de haber sometido a revisión el trabajo de tesis titulado:

" Determinación de la Conductividad Térmica de Aislantes Térmicos utilizando el Método Inverso"

Desarrollado por el Ing. Marco Antonio Aquino Olivos, y habiendo cumplido con todas las correcciones que se le indicaron, estamos de acuerdo en que se le conceda la autorización de impresión de la tesis y la fecha de examen de grado.

Sin otro particular, quedamos de usted

.JEFE DEL DEPTO. DE MECÁNICA.

A t e n t a m e n t e COMlSlON REVISORA

O DRA. SARA LILIA MOYA ACOSTA DR. GUSTAVO URQUIZA BELTRÁN

ZOJO, C"EXNAYAC.4, 8. E P.

CENTRO NÁUCNAJ.

TECNOLOGlCO DIRECCION

cenidet

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

SUBDIRECCI~N ACADÉMICA 1

Cuernavaca, Mor

ING. MARCO ANTONIO AQUINO OLIVOS Candidato al Grado de Maestro En Ciencias en ingeniería Mecánica P R E S E N TE.

Después de haber sometido a revisión su trabajo de tesi& titulado:

" DETERMINACION DE LA CONDUCTIVIDAD TERMICA DE AISLANTES TERMICOS UTILIZANDO EL METODO INVERSO"

Y habiendo cumplido las indicaciones que el jurado revisor de tesis hizo, se le comunica que se le concede la autorización para que proceda la irndresión de la misma, como requisito para la obtención del grado.

Sin otro Darticular. auedo de usted.

A t e n t a m e n t e I/ a. E, P. CFNTPO HAClONhl Dt IriV;TlQACK3N

Y DEL4RIOLLO TECNOLOGICO

DIRECCION

DR. DARIUSZ SZWEDOWICZ WASIK JEFE DEL DEPTO. DE ING MECANICA DEL CENIDET

C.C.P.: Serv. Escolares

lNWRlORlNTERNAD0 PALMIPA S",CIiZRNAVACA. MOR. MGXICO APARTADO POSTAL 5.164 CP 62050, CUERNAVACA 'IELP. Y FAX O1 (73) 12 76.13 EMAIL [email protected] iiix

cenidet

ESTA TESIS SE LA DEDICO:

A MI ESPOSA I/ 11 I,

ADRIANA DE JESUS AGUlRRE DE AQUINO

MIS HIJOS

JESUS ADRIAN AQUINO AGUIRRE MARCO ANTONIO AQUINO AGUlRRE

Y MIS PADRES

JUANITA OLIVOS DE AQUINO MARCOS AQUiNO RAZGADO

A mi esposa, por todo el cariño y apoyo que me ha brindado durante la

A mis hijos que son el pilar para seguir superándome, logrando así un mejor

realización de este trabajo

desarrollo profesional 11

/I

A mis padres que son las personas que me formaron y me inculcaron a nunca dejar nada sin concluirlo, y cada vez tener una mejor superación.

Ahora me siento contento por haber concluido una etapa más de mi preparación personal y profesional, estoy seguro que seguiré contando con su apoyo y estímulo.

Le doy gracias Dios por todo lo que me ha brindado y por todas las pruebas a las que me ha sometido, para poder saber como enfrentar diferentes situaciones en mi vida.

Le doy gracias a mis hermanos Jorge, Minerva, Ricardo, Gemma, Gerardo, Nury, Alejandro, Claudia, Miriam, Israel y Christrian ;por su apoyo incondicional durante todas la etapas de mi vida. I

i

A G R A D E C I M I E N T O S

Les agradezco a mis profesores que me prepararon durante esta etapa de mi vida profesional.

AI Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (Cenidet), por haberme brindado la oportunidad de realizar estudios de Maestría, así como el apoyo técnico y económico que este me brindo.

A la Secretaria de Educación Publica por la beca otorgada durante la realización de mis estudios de Maestra.

AI Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (Conacyt), también por la beca otorgada durante la realización de mis estudios de Maestra.

AI honorable jurado de este trabajo de tesis:

Dr. Gustavo Urquiza Beltrán Dr. Alfonso García Gutiérrez Dr. Sara Lilia Moya Acosta M. E. .S. José Jasson Flores Prieto

A todo mis cornpafieros y amigos Pancho, Lucio, José Cruz, Rosario, Pablo, Clemente, Andrea, Xochilt, Eduardo, José Luis y Mario, por su apoyo durante la realización de este trabajo de tesis.

Y en especial A los Dr’s. Gustavo Urquiza €3, Alfonso García G. Por el apoyo incondicional que me brindaron durante la realización de mi tesis, así como su paciencia. AI Dr. Carlos Lira, M. C. Leone1 Lira y M. I. Eduardo Buenrostro por el apoyo brindado para la realización de mi tesis y al Dr. Bernardo Torres Coqiii por el apoyo en la impresión de este trabajo de tesis, al Instituto Mexicano del Petróleo por el a poyo brindado para la realización de esta tesis

Para todos ellos muchas Gracias

LISTA DE TABLAS Y FIGURAS

RESUMEN

CAPíTULO 1

GENERALIDADES PAGS.

I .I JUSTIFICACI~N ...... .................................................. 1 1.2 OBJETIVOS ............................................. 1

.......................... 2

......................... 2

1.3.3 DETERMINACION DE LA COMDUCTlVlDD TERMICA 1.3.4 DIFERENTES METODOS PARA RESOLVER EL PROBLEMA

.................................... 6 1.3.5VENJAS Y DESVENTAJAS DEL IHCP ................................................. 10

INVERSO DE CONDUCCION DE CALOR IHCP

I .4 CONDUCTIVIDAD TÉRMICA Y su NATURALEZA ............................... 1.5 GENERALIDADES SOBRE MATERIALES AISIANTES

......................... : ........ 1.5.1 MATERIALES BASICOS

CAPíTULO 2

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

2.1 PLANTEAMIENTO DEL PROB 2.2 MODELO MATEMÁTICO ................... ....................... 2.3 SOLUCIÓN ANALíTICA ...........

2.3.1 SOLUCION DE CARS ...................... 2.3.2 SOLUCIÓN DE BLAC

2.4.2 SOLUCIÓN CON RESITENCIA DE CONTACTO ............................... 23

.................... .20 2.4 EVALUACIÓN AT(r,t) DE LA PARTE ANALíTlCA ..................

2.4.1 SOLUCIÓN SIN RESI

CAPíTULO 3

PROBLEMA INVERSO

3.1 DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA INVERSO ................................................... 25

3.3 DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO SIMPLEX ......................................................... 27 3.4 ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS CON UN ALGORITMO TIPO SIMPLEX ... 29 3.5 APLICACIÓN DE ESTIMACIÓN DE PARÁNiETROS ....................................... 29

3.2 TEORíA DE ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS ............................................... 26

CAPíTULO 4

RESULTADOS DE LA APLICACIÓN YDISClhION

4.1 OBTENCIÓN DE LA TEMPERATURA EXPERIMENTAL ................................ 32 4.1 .I ASPECTOS EXPERIMENTA 4.1.2 PREPARACIÓN DE LA MUE 4.1.3 INSTRUMENTACIÓN DE LA ............ 4.1.4 PROCEDIMIENTO PARA MEDIR LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA.34

4.2 RESULTADOS ....... ................ ............. .35 4.4 RESULTADOS DEL PROBLEMA INVERSO ................................................... 38 4.5 DISCUSIÓN DE LOS RESULTADOS ............................................................. 38

....................

CAP~TULO 5

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

5.1 CONCLUSIONES ............................................................................................. 60 5.2 RECOMENDACIONES ..................................................................................... 60

BlBLlOGRAFíA

APÉNDICE

PROGRAMA DEL MODELO DE CARSLAW & JEAGER ........................................ A PROGRAMA DEL MODELO DE BLACKWELL ............................................. C PROGRAMA DEL MODELO DE BLACKWELL ACOPLADO CON EL MÉTODO SIMPLEX ........................................... .... PERLITA EXPANDIDA A 21 "C ................................... PERLITA EXPANDIDA A 99 "C ..... ........................................ PERLITA EXPANDIDA A 172 "C ..................................

LISTA DE TABLASI

PAGS.

TABLA 4.1 DATOS REPORTADOS POR EL PROVEEDOR ................................. 32

TABLA 4.2 RESULTADOS DE LA TEMPERATURA CON RESPECTO A UN RADIO Y DIFERENTES TIEMPOS ..................................................................... 36

TABLA 4.3 RESULTADOS DE LA CONDUCTIVIDAD TERMICA, LA RESISTENCIA DE CONTACTO Y LA DlFUSlVlDAD CON RESPECTO A LA TEMPERATURA .................................................................................................... 41

TABLA 4.4 COMPARACION DE LOS RESULTADOS DE LA CONDUCTIVIDAD TERMICA, CON RESPECTO A LA TEMPERATURA ........................................... 42

LISTA DE FIGURAS

PAGS.

FIGURA 2.1 Geometría y sistema de coordenadas ..........

FIGURA 2.2 Diagrama de flujo del programa "SIN RESISTENCIA

FIGURA 2.3 Diagrama de flujo del programa "CON RESISTENCIA

FIGURA 3.2a Diagrama de flujo de la parte del programa que calcula

..................... 17

.... ............................... DE CONTACTO". ...... 23

DE CONTACTO". ................................... .:, .. ...... ..... .22

la temperatura numérica e involucra a la temperatura experimental en la función de rninimización .................................. 30

para calcular la difusividad térmica ..... ............. 31 FIGURA 3.2b Diagrama de flujo de la aplicación del algoritmo SIMPLEX

FIGURA 4.1 Esquema general del equipo utilizado para la medición de la conductividad térmica de materiales aislantes 33

FIGURA 4.2 Perfil de las temperaturas vs tiempo (para los modelos de Blackwell con resistencia de contacto igual a cero con respecto al modelo de Carslaw & Jeager) ................................. 43

FIGURA 4.3 Perfil de temperaturas vs tiempo (para los modelos de Blackwell con resistencia de contacto diferente de cero con respecto al modelo de Carslaw & Jeager) ......................... 44

FIGURA 4.4 Ajuste de la temperatura obtenida con el 'modelo de Blackwell y la temperatura experimental para la perlita expandida a 2I0C ....... ......................... ..45

FIGURA 4.5 Ajuste de la temperatura obtenida con el modelo de Blackwell y la temperatura experimental para la perlita expandida a 99OC ......................... ................ 46

FIGURA 4.6 Ajuste de la temperatura obtenida con el modelo de Blackwell y la temperatura experimental para la perlita expandida a 172OC ............................................... 47.

FIGURA 4.7 Conductividad térmica como función de la temperatura obtenida con estimación de parámetros para la perlita expandida ............................... ............................. .48

FIGURA 4.8 Difusividad térmica como función de la temperatura obtenida con estimación de parámetros para la perlita expandida ........................................... ......... .49

obtenida con estimación de parámetros $ara la perlita FIGURA 4.9 Resistencia de contacto como función de, la temperatura

'I expandida. ...... ............................................. 50

FIGURA 4.10 Conductividad térmica como función de,'la temperatura obtenida con estimación de parámetros I para la Lana 3.....

FIGURA 4.1 1 Difucividad térmica como función de la temperatura obtenida con estimación de parámetros para la Lana 3.. 52

FIGURA 4.12 Resisitencia de contacto como función de la temperatura obtenida con estimación de parámetros para la Lana 3 ..................... 53

obtenida con estimación de parámetros para la Lana 4 .................. 54

obtenida con estimación de parámetros para la Lana 4 .........

obtenida con estimación de parametros.para la Lana 4 .............

FIGURA 4.1 3 Conductividad térmica como función de la temperatura

FIGURA 4.14 Difusividad térmica como función de la temperatura 55

FIGURA 4.15 Conductividad térmica como función de la temperatura

FIGURA 4.16 Conductividad térmica como función de la temperatura obtenida con estimación de parámetros para el Silicato de Calcio ............................................ ... ............ 57

FIGURA 4.1 7 Difusividad térmica como función de la temperatura obtenida con estimación de parámetros para el Silicato de Calcio ........................................................................................... 58

FIGURA 4.18 Resistencia de contacto como función de la temperatura obtenida con estimación de parámetros para el Silicato de Calcio .......................................................................................... .59

RESUMEN

La necesidad de Conocer el valor de las /propiedades termofísicas ha motivado a buscar nuevas maneras de determinarlas, en diferentes materiales o en vehículos espaciales que sufren calentamiento durante SU reingreso a la atmósfera terrestre. En este'uitimo caso la temperatura de la superficie del vehículo no puede medirse directamente con un sensor. Por lo tanto, se aplica una forma indirecta, la cual consiste en colocar los sensores a cierta distancia del área de estudio, bajo la cubierta que protege al vehículo espacial de la radiación y as¡ poder tener de una forma indirecta la temperatura que se tiene en la superficie.

Para resolver el problema inverso se tienen los métodos numéricos y analíticos, tales como los métodos gráficos, polinomiales y la Transformada de Laplace los cuales solo tratan problemas lineales.! Los métodos exactos solo pueden ser usados con datos diferenciales continuos. Los métodos de elemento finito, diferencias finitas tienen la ventaja que puede ser aplicado a cualquier tipo de problema

La finalidad de este trabajo es determinar propiedades termofísicas en aislantec térmicos empleando la teoría del problema inverso de conducción de calor. Esto en un aislante en coordenadas cilíndricas en el que se tiene en la parte concéntrica una linea fuente y a un costado un termopar el cual registra la temperatura que transmite la línea fuente através del aislante. Para modelar esto y obtener el perfil de temperaturas se aplicaron do$ modelos matemáticos: el primero se basa en la consideración de que tanto el aislante como la linea fuente están en contacto perfecto. En el segundo también se determina el perfil de temperaturas considera una resistencia de contacto entre la línea fuente y el aislante. Una vez obtenidos los dos perfiles de temperaturas se comparan entre si y se observo la diferencia que existe entre los valores obtenidos con y sin resistencia de contacto. Esto es debido a que la resistencia de contacto es más representativa del fenómeno real. Por otro lado si en el modelo que presenta resistencia de contacto se considera a ésta como cero, se observa que los perfiles de los dos modelos son iguales. Finalmente, las temperaturas del modelo que presenta la resistencia de contacto se compararon cdn los valores experimentales obtenidos por García 8, Contreras (1991)~ se observa que los valores se ajustan en forma satisfactoria.

OBJETIVOS GENERALES

Desarrollar e implementar un método inverso plara obtener la conductividad térmica de materiales aislantes empleando la teoría del problema inverso de conducción de calor (Inverse Heat Conduction Problem IHCP).

+ Obtener la conductividad térmica de un material aislante

+ Obtener la difusividad térmica de un material aislahe.

+ Obtener la resistencia de contacto entre la línea fuente y el aislante.

+ Desarrollar un programa de cómputo que calcule la conductividad térmica, la difusividad térmica del aislante y la resistencia de contacto entre la línea fuente y el aislante, usando en el método inverso denominado estimación de parámetros. !I

DESCRIPCIÓN DEL TRABAJO

Este trabajo se presenta en cinco capítulos. kn el primero se presenta la justificación del trabajo, así como los objetivos que enmarcan el mismo; una revisión literaria que contiene la definición del problema directo e inverso de conducción de calor, aplicaciones del IHCP, ventajas y desventajas del IHCP y generalidades sobre materiales aislantes. En el capítulo dos se presenta el planteamiento físico del problema, el modelado matemático con dos soluciones analíticas, que son la de Carslaw & Jeager sin resistencia de contacto y la de Blackwell con resistencia de contacto. En el capítulo tres se presenta la descripción del problema inverso, diferentes métodos para resolver el problema inverso, la teoría de estimación de parámetros, la descripción del método simplex, la estimación de parámetros con un algoritmo tipo simplex y la aplicación de estimación de parámetros a una temperatura en un punto dado con diferentes tiempos TI,^). En el capítulo cuatro se presentan la obtención de la temperatura experimental, los aspectos experimentales, la preparación de la muestra, la instrumentación de la muestra, el procedimiento para medir la conductividad térmica, los resultados, así como la discusión de los mismos tanto del problema directo corno del problema inverso. Por ultimo, en el capítulo cinco, se presentan las conclusiones del trabajo, así como algunas recomendaciones para trabajos futuros.

I . . il "

Generalidades 11

1.2.2 OBJETlVOS,ESPEClFlCOS

+ Conocer el estado del arte en la obtención de la conductividad térmica de

+ Obtener la conductividad térmica de un material aislante

+ Obtener la difusividad térmica de un material aislante.

+ Obtener la resistencia de contato entre la linea fuente y el aislante

1.3 REVISI~N BIBLIOGRAFICA

materiales sólidos aislantes mediante el método inverso.

I

En esta sección se presenta una revision bibliográfica en la que se tienen los siguientes temas: definición del problema directo e inverso de conducción de calor, las aplicaciones de IHCP, determinación de la conductividad térmica, diferentes métodos para resolvere el IHCP, las ventajas y desventajas del IHCP, conductividad térmica y su naturaleza y generalidades sobre materiales aislantes.

1.3.1 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA DIRECTO E INVERSO

La definición del problema directo de conducción de calor que presentan

'f

diferentes autores son:

Carslaw & Jaeger (1959) y Ozisik (1993) definen la transferencia de calor como el cambio de energía que tiene lugar en el solido o en el fluido en reposo (movimiento no convectivo como resultado del desplazamiento de la porción macroscópica del medio) de una región de alta temperatura a otra región de baja temperatura debido a la presencia del gradiente de temperatura en el cuerpo.

Irving (1963), Murray (1978); Weber.(1981) y Scott & Beck (1989) describen al problema tradicional de transferencia de calor como el que determina la temperatura en todos los puntos internos de un sólido, conociendo las condiciones.de frontera e iniciales, tales como la temperatura o el flujo de calor en la superficie externa del sólido.

i/

La definición del problema inverso de conducción de calor

Buggraff (1964), Hills & Mulholland (1979), Blackwell (1981), Woo & Chow (1981) y Beck & Murio (1986) definen al IHCP como un método que sirve para determinar las condiciones de superficie (generalmente flujo de calor ylo temperatura) a partir de mediciones internas de temperatura en el cuerpo. El problema inverso es matemáticamente mal planteado (ill-posed), por lo que la solución no depende de la continuidad de los dato&, esto quiere decir que no necesariamente satisface las condiciones de existencia y unicidad.

http://condiciones.de

. . .

Generalidades

Kurpisk (1991) presenta la definición del IHCP que plantean varios autores, de ellos algunos Io definen como el problema donde la estimación del historial de flujo de calor en la superficie puede ser estimadojmediante el IHCP aplicado a una medición del historial de temperatura en el interior del sólido.

Alifanov (1994) lo llaman el problema inverso con límite, o como el problema donde sólo algunos datos son conocidos,len todo el sólido, tales como las condiciones iniciales y la temperatura en un punto o varios del sólido a analizar.

Zabaras & Kang (1993) definen al IHCP como el proceso en que se calcula el flujo de calor a partir de mediciones de temperatura interna. También mencionan que el problema inverso es un problema mal planteado "ill-posed'' en el sentido que su solución no necesariamente satisface las condiciones de existencia y unicidad.

Ozisik (1993) menciona que mediante el IHCP se determinan las condiciones de frontera, la generación de energía y las propiedades termofísicas a partir de la distribución (medida) de temperaturas en una o más partes del sólido.

.I El significado del término "directo" e "inverso" se vuelven claros cuando se

comienza a resolver un problema de conducción de calor. Para el problema directo, los métodos son bien conocidos en textos de este tema. Para el problema inverso se emplean métodos especiales como los que se mencionan más adelante.

1.3.2 APLICACIONES DEL IHCP

Beck (1963, 1970), Sparrow et. al. (1964) y Raynaud & Bransier (1986) mencionan que entre: las aplicaciones del IHCP, se encuentra la determinación de la difusividad térmica con base en ,mediciones de temperaturas transitorias. Los autores antes mencionados presentan aplicaciones tales como, el análisis del calentamiento aerodinámico de vehículos espaciales durante su reingreso a la atmósfera terrestre. En este caso la temperatura de la superficie del vehículo no se puede medir directamente con un sensor, por lo tanto se aplica una forma indirecta que consiste en colocar los sensores a cierta distancia del área de estudio, bajo la cubierta que protege al vehículo es6acial de la radiación. Así, la alta temperatura sobre la superficie se estima mediante el análisis inverso aplicado a la temperatura que se mide en el interior. También se aplica para calcular el flujo de calor en la superficie. El IHCP sirve además para calcular las propiedades térmicas de materiales nuevos y üe los convencionales en programas espaciales. Esto es indispensable para el diseño de nuevos componentes para los vehículos espaciales; también en el desarrollo de reactores nucleares que requieren del conocimiento de las propiedades térmicas, así como en el desarrollo de nuevos materiales (algunos con degradación por el calor).

3 ./

Generalidades

Técnicas convencionales que incluyen la determinación de las propiedades térmicas de materiales, plantas frutales, plásticos, para algunos materiales experimentales de reacciones químicas y cambios en la composición.

Por su parte, Al-Najem & Ozisik (7985) y Ozisik (1993) mencionan que el problema inverso tiene varias aplicaciones en diferentes disciplinas e ingenierías, tales como la química, la mecánica, la espacial, las matemáticas, la astrofísica, la geofísica y la estadística. Se aplican además, a muchas otras áreas de interés y en cada caso con diferentes necesidades. Mencionan que se han encontrado también aplicaciones de importancia en el campo de la transferencia de calor para estimar las condiciones de frontera, la temperatura y el flujo de calor. Así mismo, también se ha aplicado en la determinación de propiedades térmicas de sólidos, tales como la conductividad térmica k y el'! calor especifico volumétrico

!!

PCP.

Otras aplicaciones incluyen la determinación de: la tem'peratura en la combustión interna, la conductancia entre la Superficie de las interfaces en contacto periódico, algunos procesos de transferencia donde interviene la superficie, tales como el coeficiente de dispersión y la absorción de la radiación, y el flujo COnVeCtivo de calor en el interior de los ductos. En estas situaciones, la aplicación del análisis inverso, utiliza temperaturas medidas con sensores, los cuales se incrustan en el cuerpo sólido. Además, también se puede tener un problema inverso de convección, radiación y cambios,de fase (Ozisik, 1993).

Kamiuto & lwamoto (1987) mencionan que el IHCP es utilizado en métodos de placas calientes y tubos, que se usan para determinar las conductividades térmicas efectivas de materiales porosos.

Sasaki et. al, (1987) mencionan que la aplicación más importante se tiene en el conocimiento de las propiedades termofísicas del: sólido, relacionadas con los siguientes problemas: la diferencia de temperaturas entre un material almacenado y un sólido que debe ser estimada con precisión en orden para calcular los esfuerzos térmicos en tanques subterráneos. También, menciona que el uso más reciente es en energía geotérm.ica en una bombairde calor y un almacén de energía solar.

Rooke & Taylor (1988) mencionan una aplicación en la industria acerera, ya que es de considerable interés en el desarrollo de programas para la interpretación térmica de un aislante en un sistema de hornos, particularmente de "fiberboards y fiberblankets"

Haji-Sheikh & Buckingham (1993) mencionan que los métodos de técnicas inversas se usan en la determinación de propiedades mecánicas, termodinámicas y termofísicas.

4

Generalidades

Alifanov (1994) dice que las principales aplicaciones del ~ H C P estan en Procesos de investigación de .transferencia de calor, y el suministro de calor por conducción ya que ocupan un^ importante lugar en el diseno y desarrollo de métodos relacionados con el calentamiento y enfriamiento de materiales, como Por ejemplo, en colado de aceros continuos o en las diferentes técnicas en el tratamiento de metales térmicos, en vidrieras, etc. También menciona que tiene aplicación en el diseño de.partes para la aviación -y la tecnología espacial de cohetes; ésta tiene un importante interés en aplicaciones prácticas en donde primero se formalicen los métodos de solución del IHCP. Ejemplos de esto son:

1 .- Se relaciona con el diagnóstico de una carga de calor no estacionaria en el interior de una estructura de un avión con una carga térmica y en lanzamientos Complejos. En particular, una situación similar 'existe cuando se diseñan protecciones térmicas para los vehículos de reingreso y el movimiento en la atmósfera puede estar acompañado por un considerable y rápido cambio térmico. La información experimental de la temperatura nos da mayor confiabilidad, por lo que permite determinar los valores de calor contenido en la estructura. El intervalo de tiempo en la determinación del flujo de calor, con respecto al tiempo en que se alcanza la temperatura de fundición de un elemento medido, puede ser de una fracción de segundo. Usando los limites y la información indirecta, la acción del flujo de calor en un cuerpo puede ser restituida. Efectos similares suceden en el estudio del calor de los gases que salen de un avión a propulsión a chorro, el cual alcanza altas temperaturas en la estructura del dispbsitivo de lanzamiento. Este es un proceso rápido, corto e intensivo. En algunos casos los datos procesados de la temperatura medida pueden inevitablemente demandar la Solución de un problema inverso, otros métodos en este caso son inaplicables.

2.- Análiza las propiedades termofísicas de los materaiales compuestos que protegen del calor de alta entalpías durante el flujo de un gas, como por ejemplo, cuando las naves espaciales reingresan a la atmósfera terrestre o en algún otro planeta. La medición de las propiedades termofísicas basada en los métodos de aproximación clásicos para muchos materiales puede ser realizada en función de la temperatura y el calor. Las ptopiedades termofísicas así obtenidas corresponden a condiciones de calentamiento que caen cerca de las condiciones naturales, en donde opera la protección de calentamiento.

Lamb & Yeung (1995) afirman que la investigación de las propiedades termofísicas tiene aplicación en el desarrollo de nuevos materiales con bajo Peso y alta resistencia a las temperaturas. También mencionan que la determinación de las propiedades termofísicas de los materiales es esencial en el manejo de muchos análisis de sistemas térmicos. Debe tenerse cuidado con la dilatación térmica para no tener errores.

Tseng A. A. et. al. (1995) mencionan que muchas aplicaciones requieren de la estimación de funciones limites o propiedades termofísicas en dos O tres dimensiones y no pueden ser tratadas como una aproximación a una dimensión.

?.

5

Generalidades

Además, también se presentan dificultades asociadas con la aplicación del análisis inverso. Las principales dificultades se deben a que la solución inversa es muy sensible a los cambios en los valores de entrada y a los errores en el modelado.

Matemáticamente, el problema inverso pertenece al caso de los problemas mal Planteados (ill Posed problems), y SU solución no satisface completamente 10s requisitos de existencia, unicidad y estabilidad, cuan& existen pequeños cambios en los datos de entrada. Para evitar tales dificultades, se han planteado diferentes técnicas para resolver el IHCP (Ozisik, 1993).

I 3.3 DETERMINACIÓN DE LA CODUCTIVIDAD TÉRMICA t

Beck (1964), (1966), y Beck 8. Dhanak (1966) mencionan que la conductividad térmica puede ser determinada solo con mediciones al estado estable, mientras que la capacidad calorífica Cp y la difusividad térmica a usualmente requieren condiciones transitorias. Para3determinar la conductividad térmica k y la capacidad calorífica Cp el flujo de calor y la temperatura deben ser medidas, mientras que para determinar a solamente se requiere de la temperatura. Mencionan que usar soluciones relativamente exactas y simples para la distribución de temperaturas facilita el cálculo de las propiedades térmicas. En general se utiliza un número limitado de temperaturas medidas, y normalmente son dos o tres. Esto es frecuentemente verdadero pala técnicas transitorias, para las cuales el perfil de temperaturas se obtiene con uno, dos o más termopares.

Pekka (1989) plantea la determinación de la conductividad térmica de un material homogéneo con temperaturas medidas en ciertos puntos suponiendo que otras características térmicas del material son conocidas.

Ozisik (1993) describe en su libro la determinación de la conductividad térmica y el calor específico como función de la variación espacial por medio del IHCP, el cual asume que varían lineal y continuamente en la dirección normal a la superficie de la muestra. Este problema puede 'her considerado como un problema de estimación de parametros.

1.3.4 DIFERENTES MÉTODOS PARA RESOLVER EL IHCP

Diferentes autores han resuelto la ecuación de! conducción de calor con propiedades constantes, lo cual hace que la solución sea sencilla de obtener. Las complicaciones comienzan cuando las propiedades térmicas son función de la posición, del tiempo y de la temperatura. Cuando las propiedades térmicas son función de la posición se tiene una ecuación diferencial lineal, mientras que, con propiedades térmicas como función de la temperatura se obtiene una ecuación diferencial no lineal. Para este estudio el modelo que se obtiene es una ecuación diferencial no lineal. Diferentes autores han resuelto ecuaciones diferenciales no lineales como las que presenta Storm (1951) y

6

Generalidades ij

Knight & Phillip (1974), quienes desarrollaron una solución analítica a través del USO de la transformación múltiple. Storm presenta un método para un dominio semi-infinito, Y para una clase particular de funciones con propiedades térmicas variables, Por ejemplo kV)-eaT y pC(T)=constante. jEl análisis es solo posible cuando el flujo de Calor superficial se supone constante. Knight & Phillip dWnostraron que el método de Strom puede mejorarse para sólidos finitos con condiciones finales adiábaticas. El método analítico requiere que .k(T)-(a-T),*. Pattle (1959) presenta otra solución cercana al caso restringido de una fuente de calor interna en un medio infinito donde la c-nductividad térmica sigue alguna ley de potencia, por ejemplo k(T)-T”.

Beck (1970) menciona que si las propiedades térmicas son función de la temperatura, entonces el problema inverso se consjdera como un problema no lineal. También menciona las ventajas y desventajas que aun presentan algunos métodos. Por ejemplo, algunos métodos son inestables si los intervalos de tiempo son pequeños y se requiere de pequeños pasos de tiempo en el calculo para obtener más información acerca de las condiciones de superficie (estos pequeños pasos de tiempo hacen posible la utilización de mínimos cuadrados). Otro objetivo es derivar los métodos usados en la estimación no lineal en orden para demostrar la aplicación de la estimación no lineal y para determinar las cantidades dependientes del tiempo en un limite. El método numérico para la discretización utilizado es el de diferencias finitas en la ecuación de calor y es bastante flexible cuando se trata de flujos de calor constantes y un tiempo variable o cuando las propiedades dependen de la temperatura.

Zabaras et. al. (1988) comentan que es bien conocido que el problema inverso es’mucho más dificil de resolver numéricamehe que el problema directo y que esta solución depende mucho más de la cantidad de error en los datos.

Rooke & Taylor (1988) mencionan que la técnica de IHCP es fundamentalmente diferente a las técnicas de caliente # \ desnuda (strip) y’del hilo caliente.

Tseng et. al. (1995) enumeran diferentes métodos, tanto numéricos como analíticos, que se aplican para resolver el. problema inverso de conducción de calor (IHCP). El desarrollo de estos métodos inversos’tienen gran aplicación en el progreso de la teoría matemática del problema “mal planteado” y en los avances de los métodos computacionales. Estos métodos, incluyendo aproximaciones numéricas o analíticas, se. tienen que desarrollar para ser empleados en el dominio del IHCP en una, dos y tres dimensiones. Usualmente, estos métodos son aplicados para predecir el flujo de calor superficial, y solo pocos métodos Son usados para determinar la temperatura superficial o el coeficiente de transferencia de calor.

! Generalidades

Woo & Chow (1981) y Tandy et. al. (1986) describen diferentes métodos que se emplean para resolver el IHCP. Algunos, de estos incluyen métodos gráficos, polinomiales y la transformada de Laplace, los cuales solo tratan problemas lineales. Los métodos 'exactos solo pueden ser usados con datos diferenciales continuos. -Los métodos de diferencias finitas, elemento finito y programación dinámica pueden ser usados para modelos lineales y no lineales. Hsu et. al. (1992) & Hills &'Mulholland (1979) mencionan lo mismo que Tandy y colaboradores, pero además describen que casi! todos estos métodos son restringidos para el análisis en una dimensión y que las evaluaciones de las propiedades térmicas y la temperatura responden a la medición de los termopares que también reciben una atención importante.

Busby & Trujillo (1985) mencionan los mismos métodos que Tandy et. al., pero dicen que el método de programación dinámica es más directo y ofrece además gran flexibilidad en el modelado, el número y la localización de las' mediciones, así como el número y la localizaci,ón del flujo de calor son importantes. Este método también puede ser usado11 por integraciones sucesivas con diferentes datos y ruidos. La idea básica se presenta en un proceso de control opcional el cual dispone de un conjunto de fórmulas.

Scott & Beck (1989) mencionan que las soluciones analíticas exactas, requieren datos continuos diferentes. Stolz (1960) desarrolló una de las soluciones más fáciles para el IHCP

Raynaud & Bransier (1986) dicen que el uso de la ecuación de conducción de calor en estado transitorio, es solo uno de los tratamientos del problema inverso. Los métodos basados en una solución adalitica son distintos de los métodos numéricos, Los métodos analíticos incluyen métodos exactos, métodos polinomiales y métodos integrales. Los cuales están limitados a problemas lineales en una dimensión con condiciones limites e iniciales particulares. Los métodos discretos basados en diferencias finitas o; elementos finitos tienen la ventaja de que se pueden aplicar a cualquier tipo de'jproblema. Sin embargo, los métodos discretos pueden también exhibir oscilaciones debido a la naturaleza inestable del problema inverso, ya que el problema inverso es matemáticamente impropio debido a que la solución no depende continuamente de los datos.

Blackwell (1981) menciona que las soluciones están divididas en dos categorías: integración por convolución inversa y métodos diferenciales. El termino de métodos diferenciales incluye diferencias finitas, elemento finito, volumen de control finito y algún otro procedimiento numérico que convierta a las ecuaciones diferenciales parciales de conducción de calor en un sistema de ecuaciones algebraicas. La técnica usada en un método diferencial generalmente requiere no más del 27 al 36 % de tiempo de computo adicional comparado con el tiempo de computo requerido para resolver el correspondiente problema directo. Las propiedades térmicas dependientes de la temperatura hacen que la ecuación de conducción de calor sea no lineal. Cuando las! propiedades térmicas son

8

'I Generalidades

dependientes de la temperatura, IO cuai ocurre. frecuentemente en problemas Prácticos, una practica común es Iineaiizar la ecuación diferencial parcial evaluando todas las Propiedades térmicas en sus temperaturas correspondientes Para el Paso Previo del tiempo. Esto dificulta la justificación del gasto de computo Para el cas0 no lineal cuando las propiedades térmicas no se conocen con Precisión. si las propiedades térmicas son función de la posición pero no de la temperatura, entonces la ecuación diferencial y las 'ecuaciones diferenciales equivalentes son lineales.

Alifanov (1994), comenta en su libro que los métodos disponibles generalmente no permiten construir una solución ahalítica para el problema de conducción de calor con valores en la frontera, ya que se tienen problemas por las propiedades térmicas no lineales. Él aplica los métodos del gradiente conjugado junto con el de pasos descendentes, sin embargo, el método del gradiente conjugado es más complicado en comparación con el ' de pasos descendentes, pero. la combinación de estos dos métodos da como resultado una mayor

Huang et al (1995) mencionan que ingenieros y matemáticos investigan la apiicación de problemas equivalentes para la estimación de la conductividad térmica, dependientes de las coordenadas espaciales, los cuales son casos especiales de los problemas matemáticamente llamados "sistemas de parámetros de distribución". También citan que Huang & Ozisik i(1990) utilizan la integración directa y los métodos de Levenberg-Marquardt para estimar la conductividad térmica y el calor específico simultáneamente. También mencionan que Beck & Al-Araji (1 974) determinan la conductividad térmica, la capacidad calorífica, y la conductancia en un tiempo. Por su parte Tervola (1989) usa el poderoso método de Davidon-Fletcher para determinar la conductividad térmica dependiente de la temperatura. Todas las referencias anteriores correSponden a la estimación de parámetroc. Sin embargo, cuando la conductividad: térmica de un material no homogéneo. o compuesto se quiere determinar, la estimación de parámetros es difícil de llevar a cabo, por esto, es que la función de estimación junto con el método del gradiente conjugado deben ser utilizadas en el problema inverso de conducción de calor para estimar la conductividad de calor como función de la

Lam & Yeung (1995) dicen que la determinación inversa de la conductividad térmica a partir de los datos medidos de la temperatura tiene tópicos importantes, los cuales tienen que ser investigados. En estos estudios se emplea el método de mínimos cuadrados para determinar la conductividad térmica del problema de conducción de calor. Otros estudios asumen que la conductividad térmica es solo función de las cobrdenadas espaciales. Sin embargo, la conductividad térmica es una cantidad de,pendiente de la temperatura en las aplicaciones prácticas de la ingeniería. Estos autores también citan a Alifanov & Mikhailov (1 978) quienes desarrollaron una solución para el problema de conductividad térmica no lineal, aplicando el método del gradiente conjugado.

convergencia. //

i temperatura k(T). !/

9

Generalidades

También citan que en estudios realizados por Tervola (1989) presenta un método ~umérico Para determinar la conductividad térmica no lineal de un mat&.rial homogéneo con Perfiles medidos de temperaturas. Comentan que recientemente O'JYang (1992) obtuvo la conductividad térmica mediante estimación de Parametros usando la técnica de mínimos cuadiados con la formulación de elemento finito. Estos estudios asumen que la conductividad térmica es función de la temperatura.

it

1.3.5 VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL IHCP

Irving (1963) describe que en el problema inverso se tienen algunas dificultades las cuales no existen para el caso directo. Cuando se tienen temperaturas para un punto que no esta en contacto directo con el flujo de calor, puede existir un periodo de tiempo durante el cual el flujo de calor en el cuerpo no corresponde al mismo punto. De aqui que la temperatura en ese punto es función del tiempo integrado ilustrado en la entrada de calor, un inicio incierto puede ser propagado directamente en toda la duración del pulso de calor, y esto puede encontrarse en límites mas bajos en el espacio de tiempo el cual puede ser usado en algún procedimiento numérico. Estos hechos evitan una solución única para el problema inverso de conducción de calor cuando los!datos de la temperatura son obtenidos empíricamente. En este contexto, una s'olución preferida puede ser tomada para ser una función suave a la entrada del calor contra el tiempo el cual es el mejor dato empírico.

Hills y Mulholland (1979) comentan que el problema inverso no cumple con la unicidad del historial de condiciones de superficie qredichas por las mediciones internas discretas. Se puede esperar encontrar un perfil de temperatura de superficie única usando solo las mediciones de la temperatura interna realizadas en tiempos discretos. Pueden tenerse una infinidad de perfiles de temperaturas de la superficie que pueden satisfacer un conjunto finito de mediciones discretas internas, y las condiciones de superficie puedep ser solo resueltas con condiciones limites. Las condiciones del problema anterior se utilizan cuando la teoría del problema inverso en conjunto con los datos de los experimentos discretos es necesaria para la parte del análisis. Esto también presenta una importante característica de la teoría de conducción de calor inversa, citada por Stolz (1960): " En un sistema de conducción de calor donde los efectos de las condiciones de frontera son siempre conocidos en puntos internos, el problema inverso involucra básicamente la extrapolación de'! datos amortiguados en la superficie. .."

Otros problemas que involucran la teoría de conducción inversa son la unicidad del historial de condiciones de superficie, y la predicción usada por mediciones internas discretas. Se puede esperar encontrar un perfil de temperatura de superficie única usando solo mediciones de temperatura hechas en tiempos discretos.

Generalidades

Busby & Trujillo (1985) comentan que el problema inverso es mucho más difícil de resolver que el problema directo. Por que el contenido de alta frecuencia de flujo de calor en una superficie se pierde cuando este pasa a través del sólido.

Al-Najem & Ozisik (1985) discute las dificultades en el análisis derproblema inverso que llevan al hecho de que las condiciones internas (humedad) inestables tienen un tiempo de retraso comparado con la aplicación de las condiciones de las condiciones de superficie.

Raynaud (1986) menciona que uno de los parámetros que involucran el IHCP es la dimensionalización en el paso del tiempo basado en las ondas de los

Tandy et al; (1986) mencionan que mientras en el problema directo de conducción de calor, los componentes de alta frecuencia de flujo de calor son disminuidos como la mínima difusión de flujo de calor en un medio sólido, en el problema inverso ocurre lo opuesto. Los componentes de alta frecuencia o las mediciones con interferencias pueden ser amplificadas en la proyección hacia la superficie, y los resultados de las condiciones de superficie predichos pueden ser erróneos por interferencias en las mediciones internas.

Huang & Ozisik (1990) afirman que uno de' los inconvenientes de los métodos existentes en el análisis inverso es que. no hay un camino inicial suficientemente preciso para comenzar él calculo. Así es que se requiere de un gran número de iteraciones para obtener la convergencia, y en algunos casos la solución nunca converge. i

Sensores bajo la superficie de calor. ii

Kurpisz (1991) muestra que la localización de los censores de temperatura es también una limitante para los problemas multidimensionales, mientras que para los problemas en una dimensión la localización de los censores de temperatura puede hacerse en cualquier punto de la coordenada considerada.

Hsu et. al. (1992) mencionan que las aproximaciones generales para el análisis del problema inverso de conducción son: (1) encontrar el flujo de calor desconocido, y (2) la determinación de la temperatura.superficia1 desconocida.

Ozisk (1993), menciona que las principales dificultades en la solución del problema inverso son originadas del hecho de que es un problema mal planteado (ill posee problem). Los problemas convencionales de transferencia de calor son bien planteados por lo que (1) La solución existe, (2) es única, y (3) es estable bajo pequeños cambios para los datos de entrada. Cuando un problema no cumple una de estas condiciones recibe el nombre de problema mal planteado.

Q Q - 0 0 3 3 11

'1

Generalidades

Zabaras & Kang (1993) mencionan que Hadamard clasifica al problema inverso como un problema mal planteado en el :sentido que su solución no necesariamente satisface las condiciones de existencia, unicidad y pequeños cambios para los datos dados.

Bartolini et. al. (1991) dicen que en realidad existen pequeños errores aleatorios o errores sistemáticos con los cuales varia inevitablemente la medición, y pueden producir gran variación en la reconsthcción de las propiedades termofísicas.

. '

Beck (1990) comenta que hay ventajas potenciales para un análisis de combinación de un grupo o un conjunto de experimentos, en adición a las ventajas económicas. En primer lugar, la estimakión de parámetros que es potencialmente más precisa. Segundo lugar, es posible la realización de nuevos experimentos, incluyendo la combinación de los datos de diferentes tipos de experimentos, tales como, usar una geometría plana, pruebas de radiación de un alambre caliente, difusión de la difusividad y análisis diferencial térmico. El tercero, experimentos más complejos pueden rehiizarse por métodos más poderosos con el análisis de los datos disponibles.

Para Tseng (1995) el IHCP tiene característ.icas especiales y debe ser tratado diferente de un problema directo o hacia adelante. En un problema hacia delante, las dificultades con la ' precisión o convergencia pueden ser tratadas usando pequeños pasos temporales o espaciales; también las mediciones experimentales de las temperaturas son normalmente usadas para conocer las condiciones limite. En estos problemas, los errores experimentales o inexactitudes tienen efectos relativamente pequeííos en los resultados, En contraste, en el IHCP los resultados pueden ser extremadamente sensitivos a los errores de medición. En realidad las dificultades computacionales del IHCP pueden en algún momento ser auxiliadas tomando pasos más grandes de tiempo, y no con pequeños pasos del mismo. Solo una representación cercana en la entrada exacta, nos da un posible resultado único del IHCP.

.I

En principio, conociendo el flujo de calor en la frontera, se puede calcular la temperatura en el dominio entero por un método hacia delante. Sin embargo, en un problema multidimensional, el cálculo de la temperatura en el dominio entero requiere de un mayor esfuerzo, en comparaciónli con el problema en una dimensión. El problema en una dimensión es una correlación o un algoritmo que se necesita para obtener el coeficiente de calor, el flujo de calor se obtiene por medio de la ley de enfriamiento de Newton y la temperatura superficial. Esta correlación deja de aplicarse para un caso multidimensional. La formulación derivada para la determinación de las cantidades vectoriales, tales como el flujo de calor, no puede ser usada para determinar !I la temperatura superficial correspondiente, así como la temperatura o el coeficiente de transferencia de calor que son cuantitativamente escalares. También, la formulación del IHCP derivado del flujo de calor no puede ser fácilmente correlacionada con la

12

Generalidades II

temperatura superficial o con coeficiente de transferencia de calor por la misma razón.

Tseng et. al. (1995) mencionan que la técnica inversa para los problemas IHCP tienen muchas ventajas en diversas investigaciones experimentales en las cuales las mediciones directas de las condiciones en la superficie no son posibles. Esta técnica tienen una aplicación extensiva en muchos diseños y problemas manufactureros para determinar parámetros cruciales en análisis, tal

1.4 CONDUCTIVIDAD TÉRMICA Y SU NATURALEZA

’ como la transferencia de calor.

La conductividad térmica es una propiedad importante de los materiales. Conociendo la variación de la conductividad térmica con la estructura física y esta a su vez con la medición de las variables termodinámicas, principalmente presión, temperatura, y composición; se puede realizar el calculo de la transferencia de calor, ya que son datos extremadamente importante.

La conductividad térmica tuvo que ser medida y numéricamente tabulada. La conductividad térmica desde un punto de vista microscópico es una propiedad no equilibrada, su determinación se basa en la medición del tiempo necesario para restaurar el equilibrio térmico. Microscópicamente la conductividad térmica se define en términos de la ley de conducción de calor de Fourier.

k=qn/-at/¿m

La conductividad térmica es una cantidad de, la conducción de calor por unidad de tiempo, por unidad de área y por una unidad negativa del gradiente de temperatura. Sus unidades en el Sistema Internacional son Jl(s m K)= Wl(m K).

LA NATURALEZA DE LA CONDUCTIVIDAD.TÉRMICA

Los factores generales acerca de la naturaleza de la conductividad térmica con las propiedades de varios materiales son:

1 ,- Los materiales en forma cristalina, metálicos o no metálicos, conducen mejor el calor que los materiales en su forma amorfa.

2.- En cristales y otros materiales de estructura orientada, por ejemplo un material fibroso parecido a la madera, la conductividad térmica tiene diferentes valores relativos a los ejes estructurales del material, tales que hay ejes principales para la conductividad térmica.

3.- Las impurezas químicas en substancias cristalinas dan como resultado una baja conductividad térmica comparados con estados puros. Los metales puros tienen mucho más alta conductividad térmica que sus respectivas mezclas.

. . i/

,

13

Generalidades

4.- Pequeñas diferencias estructurales en cristales relacionados con su crecimiento promedio influencia su conductividad térmica. Por esta razón, la naturaleza cristalina tiene la más alta conductividad que la variedad sintética. También varios tipos de micas y grafitos muestran diferentes conductividades

5.- El deterioro mecánico, tal como el trabajo de enfriamiento y el deterioro por irradiación nuclear, causan cambios en la conductividad térmica del material.

6.- Por lo general, los metales son mejores conductores del calor que los no metales.

7.- La fase sólida de los materiales tiene la más alta conductividad que su respectiva fase líquida.

8.- La fase líquida muestra más alta conductividad que la fase gaseosa

li

.I

Estos factores demuestran que las propiedades de transporte, y la conductividad térmica, son función de las propiedades fisicoquímicas de los materiales y que los fenómenos que se asocian con la conductividad térmica pueden ser explicados en términos del conocimiento de la naturaleza del calor y la estructura del material.

Algunos de los mecanismos de la transferencia de calor por conducción en términos de la teoría cinética moderna de calor ,\están relacionados con la estructura del material en el sólido, líquido y la fase gaseosa. Los puntos más importantes son los siguientes:

1 .-La marcada diferencia entre los metales y los no metales. 2.-La diferencia entre los sólidos, los líquidos y la fase gaseosa. 3.-La relación entre la conductividad eléctrica y la térmica en los metales mediante la Ley de Wiedemann-Franz 4.-La relación entre la viscosidad y la conductividad térmica de materiales en estado gaseoso. 5.-Los efectos de la conductividad térmica debidd a impurezas, trabajos de enfriamiento, deterioro por radiación y mezclas. 6.-La dependencia de la conductividad térmica con la temperatura, presión y composición (Eckert & Drake, 1972).

1.5 GENERALIDADES SOBRE MATERIALES AISLAMTES Un aislante térmico se puede definir por su capacidad para reducir la

conducción el calor en comparación con los metales. Los aislantes o aislamientos térmicos consisten en un solo compuesto o una estructura de varios compuestos, y se seleccionan para reducir la transmisión de calor (Perry & Chilton, 1986). El calor transferido a través de un aislante ocurre por conducción en el sólido, conducción en el gas atrapado en los poros y por radiación.

14

,i Generalidades

La conducción en el sólido se reduce mediante el uso de partículas o fibras de tamaño pequeño en el aislámiento y mediante celdas de pared delgadas en las espumas. La conducción de gases consiste en proveer gases de baja conductividad térmica en los numerosos poros pequeños (ya sea interconectados o cerrados entre sí). La radiación se reduce al agregar materiales que absorben, reflejan o dispersan la energía radiante (Baumister et al, 1992).

1.5.1 MATERIALES BÁSICOS

Los aislantes térmicos pueden ser: 1) materias minerales fibrosas o celulares, como el asbesto, el vidrio, el sílice, las rocas o las escorias; 2) materiales orgánicos fibrosos o celulares, como la caña, el algodón, la madera, la corteza de árbol y el caucho, el poliestireno o el poliuretano, y 3) metales que reflejan el calor por ejemplo el aluminio. I

Propiedades térmicas.- La capacidad para reducir el flujo de calor de un material aislante se expresa mediante su conductividad térmica (para espesores unitarios) o la conductancia (para espesores específicos). Por lo tanto, los aislantes térmicos se caracterizan por sus bajos valores de conductividad o conductancia térmica, o por un valor elevado de resistencia térmica (Perry & Chilton, 1986).

La eficiencia de un aislante depende de la temperatura en la superficie que los circunda y de su emisividad, la densidad del aislante, el tipo y presión del gas dentro de los poros, el contenido de humedad, la: resistencia a los choques térmicos y la acción de las cargas y vibraciones medánicas. En las aplicaciones transitorias, se debe considerar la capacidad calorífica del aislamiento.

La selección de los aislantes la dicta la gama de temperaturas de servicio, así como los criterios del proyecto y las consideraciones económicas del mismo (Baumister et al, 1992). .I

ti

CAPíTULO 2

DEL PROBLEMA

I' I[

Formulación del Problema

En este capítulo se presenta el planteamiento del problema, la formulación del problema, el modelado,. la solución analítica que consta de la solución de Carslaw & Jeager y el de Blackwell, as¡ como la sulución numérica de sus respectivas partes analíticas

2.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA FíSIkO

En la figura 2.1 a y b se presenta el esquema usado para determinarla conductividad térmica de un aislante en coordenadas cilíndricas. El objetivo es calcular la conductividad térmica en los puntos (i=O,l, ..., N) utilizando la formulación directa de conducción de calor y el método inverso de conducción de calor.

El uso de los métodos directo e inverso de conducción de calor tiene la finalidad de obtener la conductividad térmica de los aislantes térmicos. )I

Alambre Nicromo Alambre Nicromo Calefactor

Aislantel8

1

Termopar de 1.06 mm 9 \

a)UlSTA CuPERLoRDEL IIICLWTE

1) Formulación del Problema

1

1 ocaiización de los

b) CORTE TRANSVERSAL DE AISLANTE

'1 Fig. 2.1. Geometría y Sistema de Coordenadas

2.2 MODELO MATEMATIC0

En esta sección se presenta el modelo matemático del problema que se va a analizar.

La ecuación gobernante que describe la conducción de calor es la siguiente:

d T at

v 0 (kVT) + g = c-

Donde T es la temperatura del sólido'en el tiempo t' yien la posición (r, 4, z), 'g 'es el termino de generación de calor, k es la conductividad térmica y C=pCp donde p es la densidad y Cp es el calor específico a presion constante. La figura 2.1 representa un esquema del sistema por analizar.

La ecuación 2.1 es una ecuación no lineal ya q%e los parámetros térmicos k y C son función de .la temperatura. Un tratamiento matemático común de la ecuación de conducción de calor asume que los parámetros térmicos son constantes, de los cuales resulta una ecuación lineal. Sin embargo, en el caso de ciertos materiales que son malos conductores del calor tales como los aislantes térmicos, esto se cumple solamente dentro de un rango limitado de temperatura, y la discrepancia entre las temperaturas medidas y las temperaturas calculadas son usualmente atribuidas a la variación de los parámetros térmicos. En particular, la suposición de parámetros térmicos constantes es frecuentemente inadecuada para problemas de conducción de calor.

17

/I Formulación del Problema

2.3 SOLUCIÓN ANALiTICA

En esta sección la solución analítica que hat! obtenido Carslaw &Jaeger (1959) para el problema ideal sin resistencia de contacto y Blackwell (1954) con resistencia de contacto, y se comparan estos resultados para observar el comportamiento de los resultados.

2.3.1 SOLUCIÓN DE CARSLAW & JAEGER (SIN RESISTENCIA DE CONTACTO)

Los autores plantean la ecuación 2.1 considerando las propiedades termofísicas constantes, unidimencional y sin generación de calor quedando corno:

d Z T 1 d T . d T ff [ 2 7 + ; z] = z si definimos al incremento de la temperatura en el medio a una distancia r desde la linea fuente y al tiempo t como: I

AT(r , l )=T{r , t ) -To

donde To es la temepera inicial y T(r,t) es la temeperatura en los diferntes puntos de ectudio.La condición inicial es: I

A T ( r , t ) = O para t=O (2.3)

y las condiciones de frontera son.

...... 1-0 d r 2 d

en r=O (2.4)

Zrm AT(r, 1 ) = O en r=w (2.5) r+m

La solución de la ecuación 2.2 y sus condiciones de frontera e iniciales, para cualquier forma de la función de generación, 4(t), se puede expresar usando el teorema integral de convolución.

-,y dt ' 'ln(I-1') __ 1 ' AT(r,t) = - j&t ' ) e 4 z k 0 ( t - t ' )

si se considera +(t')=q, donde q es una constante en el tiempo, entonces se tiene que:

'1 'Formulación del Problema -

O3 e -"du donde - Ei(-x) = I- U

(2.9)

y donde E¡(-x) es la integral exponencial Abramowitz (1964). Para pequeños valores de x se tiene que:

E i ( - x ) = y + i n x + a i x + a 2x2 +a 3x3 + a 4x4 + a ,x'+ E ( x ) ; ( E ( x ) / < ~ x ~ o - ~

donde:

(2.10)

y=-.057721566 es la constante de Euler al=0.999991 93 a2=-0.24991 055 a3=0.0551 9968 a=-0.00976004 a5=0.001 07857 I/

As¡, para grandes valores de t la solución se convierte en:

(2.11)

La Ec. 2.1 1 es la solución que presentan Carslaw & Jaeger (1 959). Por otra parte, la ecuación 2.8 se puede expresar corno una serie para valores grandes de (4at/?), (Arkfen, 1970). Por lo que la solución puede expresarse como:

(2.12)

19

‘1 Formulación del Problema

2.3.2 SOLUCI~N DE BLACKWELL (CON RESISTENCIA DE CONTACTO PARA UN CILINDRO HUECO)

Se describe un método para determinar la! difusividad, la conductividad térmica entre el calentador y el medio aislante y la resistencia de contacto a partir de dos experimentos: uno a tiempos largos y el otro a tiempos cortos, así como sus respectivas soluciones analíticas.

Blackwell usó una probeta térmica que consta de un calentador y un termopar dentro de un cilindro metálico. El arregl0’’más conveniente es el de un cilindro metálico y uno hueco con flujo constante de calor en su superficie inte’ma Fa, por lo tanto el problema teórico se convierte en una región infinita rodeada internamente por un cilindro hueco circular y con resistencia de contacto en su superficie externa (r=b).

La formulación de Blackwell se basa en que el flujo de calor es unidireccional completamente radial y que la pared de la’ probeta es perfectamente conductora.

Formulación:

‘I

a Z T ” 1 a7” 1 ¿?TI1 (2.13)

En los que el superindice I I se refiere al medio aislante. I/ Sus condiciones de frontera son:

Ti= Ti’= Tinicid = O; t=O a<r<cn (2.14)

OT” di’ ’ or O1

- k, -(2zb)= Q - M,C, ~

en t>O y paralr=b

en t>O y para r=b;

(2.15)

(2.16)

La ecuación 2-16 en donde Ti es la temperatura del’calentador se puede escribir como:

donde:

(2.17)

N /


Q=-- ? e 2 n b

Tl1+Tin!c,ai cuando r+m, t>O , (2.18)

La solución de las ecuaciones 2.13 para la condición inicial 2 14 y las condiciones de frontera 2.1 5, 2.17 y 12.18 está dada para tiempos grandes como:

T'(p) = -[ln(4p) 4nk,l - y+ bH 2p

r=b; t>O (2.19)

Donde cpa t/b2. Entonces, la ecuación 2.19 se puede escribir como:

TI = Aln(t)+B+-[Clnf+D]

./

1 f

.(2.20)

donde los parámetros A, 6, C y D están dados por:

2a

Para tiempos suficientemente grandes los términos de orden (l/cp) son despreciables y la curva de la variación de TI vs. t describe una linea recta. Además para ptobetas delgadas (b pequeño), '!los términos C y D son despreciables ya que estos varían con bZ.

' Formulación del Problema

La ecuación 2.19 se reduce a la ecuación de Carslaw & Jaeger, sí H - w (contacto perfecto) y 6+0 (para paredes eliminadas de la probeta). Por lo tanto, es posible escribir la ecuación anterior de la siguiente forma:

I

(2.21)

la cual es igual a la ecuación 2.11 para el caso de 'una resistencia térmica nula. Una comparación de la ecuación anterior con la ecuación 2.11 indica que la variación de la temperatura experimental será mayor que la variación teórica en magnitud.

(2.22)

Este hecho conduce al ajuste del modelo dado por la ecuación 2.21 en el que la Variación experimental de la temperatura se mide en una probeta con el calentador y el termopar encerrados en un cilindro, metálico de pared delgada. Nótese que la ecuación 2.21 permite estimar la bnductividad, difusividad y resistencia térmica de contacto por medio de un ajuste de mínimos cuadrados no lineales si se escribe como:

7; =cl[lIl(c2 t ) -y+C, ] (2.23)

En la práctica, este ajuste se deberá hacer en aquella porción de la curva experimental T vc. In t, donde esta curva, dada por la ecuación 2.11, son paralelas.

2.4 EVALUACIÓN AT(r,t) DE LA PARTE ANALíTlCA

En esta sección se plantean las ecuaciones resultantes que describen la variación de la temperatura para ser programada. Para el caso de Carslaw & Jeager se programa la ecuación 2.12 y para el caso de Blackwell, se programa la ecuación 2.21. Con ello, se determinan los perfiles de temperatura para diferentes valores de tiempo y de radio.

11

2.4.1 SOLUCIÓN SIN RESISTENCIA DE CONTACTO

La ecuación 2.12 se evalua, para ello se desarrolló un programa de cómputo en lenguaje Turbo Pascal 7 para simu(ar las variaciones de las temperaturas con respecto al radio a diferentes tiempos, su diagrama de flujo se presenta en la figura 2.2.

22

'kormulación del Problema

El archivo de los resultados, generados por el programa se almacenó para enlazarse a un graficador, con la finalidad de presentar en forma gráfica el comportamiento de la temperatura con respecto al rabio y a los diferentes tiempos seleccionados (el programa se describe en el apéndice A).

Inicio

Declaración de Variable y Constantes

I

Abrir Archivo y Pedir Datos

I

Cálculos e lteraciones

I

Cierre de Archivos

1 Despliega Valores

Finales

I

Fig. 2.2. Diagrama de Flujo del Programa "SIN RESISTENCIA DE CONTACTO"

*

2.4.2 SOLUCIÓN CON RESISTENCIA DE CONTACTO ! r

La ecuación 2.21 también se evalua. Para ello se desarrolló un programa de cómputo en lenguaje Turbo Pascal 7, simulando las variaciones de las temperaturas con respecto al radio (r=b) y a diferentes tiempos. La diferencia entre éste programa y el anterior es la resistencia de contacto, su diagrama de flujo se presenta en la figura 2.3.

23


El archivo de los resultados generados por el programa se almacenó para enlazarse a un graficador, con la finalidad de presentar en forma gráfica el comportamiento de la temperatura con respecto al radio y a los diferentes tiempos (el programa se describe en el apéndice B).

i

Declaraci6n de Variable y Constantes

I Abrir Archivo y

Pedir Datos I

Cálculos e lteraciones

I Cierre de Archivos

‘I

I

Despliega Valores Finales

I

Fig. 2.3. Diagrama de Flujo del Programa “CON RESISTFNCP CONTACTO

PROBLEMA INVERSO

Problema Inverso

3.1 DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA INVERSO

El Problema hverSO sirve para determinar las condiciones de frontera o Iniciales en una Superficie (generalmente flujo de calor Y/O temperatura) a partir de mediciones internas de temperaturas en el cuer@. Este tipo de problemas están matemáticamente mal planteados ya que su solución no necesariamente satisface las condiciones de existencia, unicidad y cambios en la estabilidad de los datos obtenidos.

Los métodos de estimacion no lineal no son bien conocidos en la ingeniería mecánica. Esto actualmente se está desarrollando, ya que en algún tiempo se vieron sin imporiancia para diversos trabajos. ;Los ingenieros en control, ingenieros c$.JhicoS, matemáticos y estadísticos, tienen que contribuir con la estimación no lineal, ya que son términos tales como mínimos cuadrados no lineales, optimización, identificación, filtros, cuasilinealizaciones e invariación. Los problemas inversos en conducción pueden resolverse utilizando métodos exactos, métodos integrales o el método de diferencias finitas. Solo métodos suficientemente poderosos se ‘utilizan para resolver problemas generales no lineales.

El problema para calcular el parametro que aparece en la ecuación diferencial 2.21 y que describe el fenómeno físico de Blackwell, se resuelve empleando la llamada “Estimación de Parámetjos”, mediante la cual se determinan los parámetros desconocidos(k, a y H), dichos parámetros pueden ser lineales o no lineales.

El método se fundamenta en ajustar el modelo analítico a . una Curva experimental de temperatura como función del tiempo y la posición. El ajuste se llevaa cabo usando mínimos cuadrados no lineales. El procedimiento es iterativo y consiste en minimizar la función objetivo dad por’!la ecuación 3.1. La función objetivo con la que se va a trabajar es la siguiente:

donde S es la función objetivo, k es la conductividad térmica, x, , es la temperatura que se calculo analíticamente, T,, es la temperatura que se obtiene de la forma experimental en diferentes posiciones y tiempos y por último, n representa el numero de termopares y m representa la duración del experimento.

b

25

3.2 TEORíA DE ESTiMACldN DE PARÁMETROS ,

El método de estimación de parámetros puede incorporar varios aspectos estadísticos como el de la minimización del error de la curva obtenina por esta tecnica con respecto a la curva experimental. El método simple se usa para la minimización con respecto a los parámetros de la suma de cuadrados entre los valores medidos Y y el correspondiente ‘valor calculado, el cual es denotado por T. La suma de cuadrados es dada por:

n s,, = (u - T)’(Y - T ) = c (q - qy i=l

donde la potencia 5 denota la transpuesta. La minimización de ScoL se hace con el método de mínimos cuadrados ordinarios. Lá notación rnatricial de la ecuación (3.2) puede ser representada como una simple sumatoria sobre el tiempo, esto representa la medición sobre todo el tiempo i, en el punto j.

(3.3)

donde m es el número de termopares y n es el numero de paso del tiempos trnascurido.

Un criterio mas general es la minimización de ’

s, = (Y - T)T+ -‘(Y - T) (3.4)

Con respecto a los parámetros; la matriz simétrica cuadrada \v es la matriz de covarianza de los errores. La matriz y~-’ es para introducir pesos variables para las mediciones de T: conforme la variabilidad de una medición dada es menor, mayor será su peso. Esta matriz, con bases estadísticas también incluye pesos a compensar para la correlación entre las mediciones, ya que las mediciones con alta correlación no contribuyen con mucha información como las de menor correlación. Para el caso de cero adiciones de bajo error, w está dado por:

donde cov (E~E,)=E(E~.,)-E(E~)E(E,)=E(E~.,) para un error menor de cero. Notese que el uso de la ecuación (3.5) no requiere que el error tenga un varianza constante o que ellos están incorrelacionados. La presencia de términos no nulos fuera de la diagonal en y~ indica que las mediciones son correlaciones.

i 26

Problema Inverso

La técnica de estimación de parámetros se usa cuando una o más de las siguientes condiciones existen:

Mas de un parámetro tiene que ser determinado simultáneamente. El modelo de T es no lineal en los parámetros. Las mediciones son obtenidas como una función del tiempo (o alguna otra variable independiente tal domo la posikión).

Los parametros pueden ser propiedades f is ids tales como la difusividad térmica, conductividad térmica, Otros posibles parametros son el coeficiente de transferencia de calor, razón constante química y difusividad de remolinos. Una aplicación común de estimación de parámetros es la estimación de la difusividad térmica de sólidos a partir de temperaturas transitorias medidas. En algunos casos las propiedades de interés son función de una variable dependiente o independiente; como ejemplo la conductividad térmica es función de la temperatura. En tal caso la propiedad,puede ser función de un número pequeiio de parámetros (Beck &. Blackwell, 1988).

3.3 DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO SIMPLEX

Para la descripción de este método, se considera inicialmente la minimización de una función de n variables sin restri&iones. Po, P,, ... P, son los (n+l) puntos en el espacio en n-dimensiones que definen el actual "Simplex" o "poliedro" de (n+l) vértices. El valor de la funciónl'objetivo en el 'punto Pi se escribe como yi. Se definen dos subindices h y I:

+ h es tal que yh=max (yi) + I es tal que yt=mini (YI) ¡=O, 1, ..., n

En seguida se define a p como el centroide de todos los puntos con i#h y [Pipi] es la distancia entre Pi y Pi. En cada paso del proceso Ph es reemplazado por un punto nuevo; se usan tres operaciones: reflexión, contracción y expansión, las cuales se definen como: La reflexión de Phii'se denota por P* y SUS coordenadas se definen mediante la relación:

P* = (I + E ) * F = E *P* (3.6)

donde E es una constante positiva llamada coeficiente de reflexión. De esta

manera P' queda sobre el extremo opuesto de la línea que une Ph y P , con [P*P]=E[Phi]. si ai evaluar la función objetivo en P*, y* cae entre Yh y y!, entonces P,, se reemplaza con P* y se comienza otra vez UII nuedo simplex.

27

Problema Inverso

Si y"<yi, por ejemplo, la reflexión ha generado un nuevo mínimo, entonces se expande P* a P- mediante la relación:

P * * = y P *+( 1 + y ) P (3.7)

El coeficiente de expansión y, que es mayor que uno, es el aocfente entre

la distancia [P-P 1 y 1p.P I. si y*<yl se reemplazar a Ph por P* y se comienza et proceso pero, si y"y1 entonces la expansión ha fallado y se tiene que reemplazar a P h por P" antes de comenzar de nuevo

Si en la reflexi6n P a P* resulta que y*>y, para todas los i+h tal que al reemplazan a P con P* queda y* como máximo, entonces se definir un nuevo Ph sustituyendo el valor de Ph viejo o el valor de Pa, el que genera el mejor valor de la función objetivo, y se calcula P* con la siguiente ecuación.

P * * = pPh +(1 + p) P (3.8)

El coeficiente de contracción p se define codb el cociente de la distancia

[PTI entre [PPI Entonces se toma el valor de PY en lugar de Ph y reinicia a menos que y-min (yh, y*) IO cual significaría que 81 nuevo punto, resulta de la contracción, es el peor que el mejor de Ph y P" En tal caso se reemplazan todos los Pi's por (Pi+Pi)/2 y se reinicia el proceso.

I

Los coeficientes a, p y y determinan el factor por el cual va cambiando el volumen del simplex a través de las operaciones de reflexión, contracción y expansión, respectivamente. Los valores utilizados para los coeficientes son: a=?,

El proceso de reflexión, expansión y contracción va dirigiendo al simplex hacia el punto mínimo y eventualmente llevará todos los puntos al interior del valle. El criterio para detener el proceso consiste en calcular la discrepancia de los n valores de la función objetivo, y,, con respecto al valor de la función objetivo en el centroide, y , en cada interacción comparándola con una tolerancia dada, E.

Si la discrepancia resulta menor que este valor el proceso se detiene.

p=1/2 yy=2.

'1 I

entonces, termina si E > Jz,(x -J

n (3.9)

El éxito de este criterio depende de que el simplex no se vuelva demasiado pequeíío en relacidn a la curva de la superficie hasta que se alcance el valor final. En 81 problema estadístico (superficie de maxima verosimilitud, suma de cuadrados, etc.) la curvatura cerca del mínimo da información de los parámetros

28

Problema Inverso

desconocidos. Si la curvatura' de la superficie es ligera, la variancia de los estimados será grande, así que no tiene sentido buscar las coordenadas del mínimo con mucha exactitud, mientras que si la curvatura es marcada, hay razón en buscar el mínimo con mayor exactitud.

3.4 ESTIMACIÓN DE PAMMETROS CON.UN ALG~RITMO TIPO SIMPLEX f

El valor Óptimo del coeficiente de conductividad térmica k de la ecuación 2.21 se determina utilizando un procedimiento tipo simplex de búsqueda directa propuesta por Nelder & Mead (1965).

Este es un método para la minimización de una función de n variables basado en la comparación de los valores de la función objetivo de la ec. 3.3en los (n+l) vértices de un simplex general, seguido de la sustitución del punto que tiene el valor más alto de la función objetivo por otro punto. Este procedimiento se adapta a la forma local de la función mediante expansiones y contracciones hasta

Este método utiliza un mínimo de información'y no guarda memoria de las posiciones pasadas. Además no hace suposiciones acerca de la forma de la superficie excepto que es continua y que tiene un mínimo único en el área de búsqueda. Seria de esperarse que cuando la curvatura esta cambiando rápidamente este método funcione mejor que otros que dependen de argumentos aplicables a las formas cuadráticas. Por el contrario, cerca del mínimo donde la matriz Hesiana es estable, este método puede funcionar peor. Sin embargo, en la determinación del mínimo no siempre se requiere una gran exactitud, de manera que una convergencia final rápida no es esencial. Esto es especialmente real en problemas estadísticos como es el caso de la esti$ic¡Ón de parámetros. En la práctica este método ha demostrado ser Computacionalmente efectivo y compacto.

que finalmente se contrae en un mínimo local. , 'I

3.5 APLICACI~N DE ESTIMACION DE PARAMETROS

La estimación de parámetros se apoya en el algoritmo tipo Simplex para resolver el problema inverso. En este método se considera que se conoce el perfil de temperatura en todo el dominio del cuerpo y lo que no se conoce es la conductividad térmica, pero se plantea la siguiente suposición, como se conoce la temperatura para cada posición en su tiempo específico, esto es T =T(r, t), entonces se puede escribir a k(T)sk(r, t) y esto seipuede usar en los cálculos

a la ecuación de Fourier. inversos, solo si el problema es no lineal, lo que'satisface 1

Una vez tomada en cuenta esta suposición lo que se hace es Io siguiente: como nada más se conocen valores experimentales de la temperatura para una posición y para diferentes tiempos, y en la ecuación de mínimos cuadrados nos

29

Problema Inverso

pide un valor de la temperatura calculada, esta temperatura calculada se obtiene del programa desarrollado en este trabajo con simiiares condiciones a las que se utilizaron para calcular los datos experimentales, ya obtenidas las dos temperaturas se procede a determinar la conductividad térmica con la ayuda del algoritmo tipo Simplex. La función objetivo a minimizar en el modelo de la conductividad térmica es la ecuación 3.3. En las figuras 3.2 a y b se presenta el diagrama de flujo para la minimización de la función objetivo

SOLUCi6N DE LA MATRIZ TRIDIAOONAL POR EL &Ow DE TMMAS

VARIABLES Y CONSTANTES

DE LA MATRii

b DESPLEGE DE LOS'VALORES DE ' LA TEMPERATURA CALCULADA

1 CONDICONES DE

FRONTERA

1 GENERACION DE LOS COEFICIENTES DE LA MATRIZ TRIDIAOONAL

I

I

SIMPLEX u PkOGRAMAR LA

ABRIR ARCHIVO DE TEMPERATURA DE LOS DATOS

EXPERMENTALES I I t

I 1 I I

Fig. 3.2a. DIAGRAMA DE FLUJO DE LA PARTE DEL PROGRAMA QUE CALCULA LA TEMPERATURA NUMERICA. E INVOLUCRA A LA TEMPERATURA EXPERIMENTAL EN LA FUNCIÓN DE MINIMIZACI~N.

Problema Inverso

3

1 ""Y. I

R E W A TODASLAS q(s POR (Plffl)R

EMPLAZA P,, POR P I

Fig. 3.2b. DIAGRAMA QE FLUJO DE LA APblCACldN DEL ALGORITMO SIMPLEX PARA CALCULAR LA QIFUSIVIDAD TÉRMICA.

j!

31

II

I

RESULTADOS DE LA APEICACIÓN RESULTADOS

Y

Resultados de la Aplicación y Resultados

En este capítulo se presenta la ,obtención de 9 la temperatura experimental,

aSpeCtOS experimentalec, preparación . de la muestra, instrumentación de la muestra, procedimiento para medir la conductividad térmica. así como las temperaturas obtenidas de la solución analítica de Carslaw 8 Jeager (1959) y de Blackwell (1964). Con la temperatura experimental la temperatura obtenida de Blackwell se determinan los parámetros termofísi'ms como la conductividad térmica, la difusividad térmica y el coeficiente convectivo por estimación de parámetros.

4.1 OBTENCIÓN DE LA TEMPERATURA EXPERIMENTAL 1 /I

Los resultados experimentales fueron presentados por García 8 Contreras (1989) quien realizó la determinación de la difusividad, la conductividad térmica y el calor específico para diferentes aislantes térmicos a temperaturas de 20, 100 y 17OOC entre los que se encuentran. En la tabla 4.1 se presentan la conductividad

TABLA 4.1 DATOS REPORTADOR POR EL PROVEEDOR térmica y la densidad que rxor ta el proveedor I.

mineral 3

mineral 4

mineral 5

vidrio

4.1.1 ASPECTOS EXPERIMENTALES

La figura 4.1 muestra un esquema general del equipo utilizado por García & Contreras (1989) para determinar la conductividad termica de las muestras de aiclantes antes mencionadas. La muestra de aislante se coloca dentro de una probeta, en el centro del aislante se introduce la línea fuente y los termopares en las posiciones en que se quieren las lecturas. En la probeta por sus extremos se colocan otros tipos de aislantes para evitar la pérdida de calor de la línea fuente, una vez conectado todo en la probeta, ésta se introduce a "un horno de control automático de temperatura (Mapsa, Modelo HDPi-433), el cual tiene una capacidad de 1400 W y puede mantener la temperatura interna constante en el rango de ensayo de las muestras.

32

Resultados de la Aplicación y Discusión

.I

La temperatura interna del horno se puede leer con un termómetro de mercurio que se encuentra colo,cado en la parte superior de este, junto al cual se encuentran las líneas eléctricas. El horno también cuenta con diferentes orificios los cuales permiten conectar las líneas eléctricas del calentador lineal de la muestra y de los termopares con los respectivos equipos de monitoreo de control.

I/ !

- Muestra de Aislante

I

I Fig.4.1 ESQUEMA GENERAL DEL EQUIPO U T l L l ~ D O PARA LA MEDICIÓN DE LA CONDUCTIVIDAD TERMiCA DE MATERIALES AISLANTES.

Las variables eléctricas (resistencia y voltaje) del calentador lineal pueden leerse y monitorearse mediante' el uso de un multímetro digital (Fluke, Modelo 8050) durante una corriente dada. La corriente directa se suministra al calentador mediante la fuente de potencia programada (HP, :Modelo 6299 AC), la cual también permite leer el valor de la corriente circulante.

La seiial eléctrica del termopar es enviada a un medidor de temperaturas (Pirómetro Fluke , Modelo 267B), el cual cumple con dos funciones: una es mostrar la temperatura de la muestra en forma digital y la otra es eoviar la seiial del termopar al sistema computarizado de adquisición de datos llamado Minc-I I.

33

Resultados de la Aplicación y Resultados 8 1

Este sistema de adquisición de datos tiene la capacidad de leer hasta tres especímenes por segundo durante el experimento y se usa también con el propósito de reducir el numero de datos, graficación, etc. Tiene a su vez conectados, una impresora y una copiadora que permite obtener una copia del contenido de la pantalla del monitor de la computadora, .I! que puede ser ya sea una tabla o una gráfica, etc.

4.1.2 PREPARACIÓN DE,LAS MUESTRAS

Las muestras ensayadas cuentan con un diámetro nominal de 5.1 cm (2) por 10.2 cm de longitud nominal (4). Estas dimensiones se obtuvieron empalmando a los aislantes ya que no tenían las dimensiones requeridas, mientras que otros eran más extensos y se tenían que ajustar a las necesidades.

4.1.3 INSTRUMENTACIÓN DE LA MUESTRA

Una vez obtenida la muestra cilíndrica con las dimensiones deseadas, se les colocó una capa de ais1ante.a base de fibra de Gidrio de 1 cm de espesor. En seguida se instrumentó con el calentador y el termopar. El calentador eléctrico es de alambre de resistencia de níquel-cromo y está colocado dentro de una envolvente de Inconel. Para evitar cortocircuitos, los espacios vacíos están relle8os de MgO. El diámetro’del calentador es 3.2 mm y tiene soldado un termopar tipo k a la mitad del calentador. Este conjunto calentador-termopar tiene en un extremo un cilindro de aislante cerámico de 4.5 cm de espesor, el cual a su vez tiene unida una base de metal de 3 cm de espesor que ayuda a lograr un buen contacto entre la muestra y el aislante térmico. I

La inserción del calentador se hizo como sigue: para las muestras de lana mineral bastó con insertar el conjunto calentador-termopar al centro de las lanas, sirviendo como guía el aislante cerámico el cual quedó dentro del tubo de cobre. Mientras que para otras muestras como Perlita expandida y Silicato de Calcio, hubo necesidad de perforar un barreno de 118” de diámetro a lo largo del eje de las muestras. Finalmente se colocó el conjunto aislante cerámica-base metálica en el otro extremo de la muestra.

4. I .4 PROCEDIMIENTO PARA MEDIR LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA

Primero se coloc la muestra dentro del horno de control automático de temperatura y se reviso el funcionamiento correcto del multímetro digital, la fuente de potencia, el medidor de temperatura y el adquisidor de datos. En seguida se llevó la muestra a la temperatura de ensayo, observándose que ésta permaneciera constante por espacio de al menos 20 min; para lo cual se leyeron las temperatura en el perimetro mostrado en la fig. 4.1 Una vez alcanzado el equilibrio térmico de la muestra, se leyó la resistencia del calentador lineal de la muestra usando el multímetro. Enseguida se arrancó el adquisidor de datos y se

34


alimento corriente directa al calentador de la muestra. Durante el experimento, se leyó a cada minuto el voltaje y la corriente alimentada utilizando el multimetro y el indicador de la fuente de potencia respectivamente, la lectura de la fuerza electromotriz del termopar se hizo con la temperatura cada 1 seg" García & Contreras (1991).

4.2 RESULTADOS

'!

Los resultados que se presentan son los de los dos modelos teóricos que se obtuvieron en este trabajo y los resultados de la temperatura experimental obtenidas por García & Contreras (1991). Los perfiles de temperaturas se comparan entre ellos para ver la variación que hay entre ambos.

En la tabla 4.2 se presentan los resultados que se obtuvieron de los dos modelos analíticos, así como los resultados experimentales de García y Contreras, (1991). Los datos que se introducen a los programas son:

Tiempo en el que se desea el estudio =439.7 s Intervalo de tiempo en el que se desea el estudio =87 s Radio del aislante =I ,7859e-3m. Intervalo del radio del aislante = I.

También se presenta el modelo de Blackwell (1954)con resistencia de contado nula.

'I

35

Resultadok de la Aplicación y Discusión

TABLA 4 . 2 RESULTADOS DE LA TEPAPERATU& CON RESPECTO A UN RADIO Y DIFERENTES TIEMPOS

TEMPERATURAS (“C) TIEMPO (s) Carslaw (L Jeager [ Blackwell (H=O) Blackwell (H=28.5)

5.054 -0.51 993 -0.51 993 11.1 3935 10.108 15.162 20.216 25.270 30.324 35.378 40.432 45.486 50.540 55.594 60.648 65.702 70.756 75.810 80.864 85.918 90.972 96.026 1 01.080 106.1 34 11 1.189 116.243 121 ,297 126.351 131.405 136.459 141.513 146.567 151.621 156.675 161.729 166.783 171.837 176.891 181.945 186.999 192.053 197.107 202.161 207.215 212.269

3.02617 5.10050 6.57226 7.71385 8.64659 9.43522 10.1 1836 10.72093 11.25994 11.74754 12.19269 12.6021 8 12.98131 13.33428 13.66445 13.87460 14.26702 14 54363 14.80604 15,05565 15.29364 15.52105 15.73878 15.94763 16.14828 16.34135 16.52741 16.70693 16.88037 17,04812 17.21 055 17.36797 17.52070 17.66900 17.81 312 17.95329 18.08972 18.22261 18.35213 18.47846 18.601 74

3.02617 5.10050 6.57226 7.71385 8.64659 9.43522 10.1 1836 10,72093 11.25994 11.74754 12.19269 12.60218 12.98131 13.33428 13.66445 13.97460 14.26702 14.54363 14.80604 15,05565 15.29364 15.521 05 15.736;78

16.14828 16.34155 16.52741 16.70693 16.88057 17.04812 1721055 17.36797 17,52070 17.66900 17.81312 17.95329 18,08972 18.22261 18.35213 18.47846 18.60174

15.94763

14.68545 16.75978 18.231 54 19.3731 3 20.30588 21.09450 21.77764 22.3602 1 22.91 923 23.40683 23.85197 24.261 46 24.64060 24.99356 25.32373 25.63389 25.92630 26.20291 26.46532 26.71493 26.95292 27.18033 27.39807 27.60691 27.80756 28.00064 28.1 8669 28.36622 28.53965 28.70741 28.86983 29.02726 29.17998 29.32828 29.47240 29.6 1257 29.74900 29.88189 30.01142 30.13774 30.26102

36

11 I/ ,I

Resultados de la Aplicaci6n y Discusión

217.323 222.377 227.431 232.485 237.539 242.593 247.647 252.701 257.755 262.809 267.863 272.917 277.971 283.025 288.079 293.133 298.187 303.241 308.295 313.349 318.403 323.457 328.51 1 333.566 338.620 343.674 348.728 353.782 358.836 363.890 368.944 373.99% 379.052 384.106 389.160 394.214 399.268 404.322 409.376 414.430 419.484 424.538 429.592 434.646 439.700

18.72212 18.83974 18.95471 19.06715 19.17717 19.28488 19,39037 19.49372 19,59503 19.69437 19.79182 19.88745 19.98132 20.07350 20.1 6405 20.25303 20.34048 20.42647 20.51 103 20.59422 20.67608 20.75664 20.83598 20.91407 20.99100 21 .O6679 21.141 48 21.21 509 21 28766 21.35921 21.42978 21.49938 21.56806 21.63582 21.70269 21.76871 21.83388 21.89823 21.96178 22.02456 22.08657 22.14784 22.20838 22.26822 22.32736 __

18.7221 2 18.83974 18.95471 19.0671 5 19.1771 7 19.28488 19,39037 19.49372 19.59503 19.69437 19.79182 19.88745 19.98132 20.07350 20.18405 20.25303 20.34048 20.42647 20.51 103 20.59422 20.67608 20.75664 20.83596 20.91407 20.99100 21,06679 21.14148 21.21509 21.2%7@6 21.35921 21.42978 21.49938 21.56806 21.63582 21.70269 21.76871

21.09823 21.96178 22.02456 22.08657 22.14784 22.20838 22.26822 22,32736

21.83388

30.38140 30.49902 30.61399 30.72643 30.83645 30.94416 31 .O4965 31.15300 31.25431 31.35366 31.45110 31.54673 31.64061 31.73279 31.82334 31.91231 31.99977 32.08575 32.17031 32.25350 32.33536 32.41 592 32.49524 32.57335 32.65028 32.72608 32.80076 32.07437 32.94694 33.01850 33.08906 33.15867 33.22734 33.29510 33.361 98 33.42799 33.49316 33.55751 33.62107 33.68384 33.74565 33.80712 33.86766 33.92750 33.98664

37

ll I 1 Resultados de la Aplicación y Resultados

~ 1 4.3 RESULTADOS DEL PROBLEMA INVERSO

Para la obtención de los resultados del problema inverso se tomaron los datos de las temperaturas experimentales de García,y Contreras (1989), así como los resultados de las temperatura que arroja el modelo analítico de Blackwell. Asimismo se introducen a la técnica de estimación de parámetros la cual emplea el método Simplex para calcular la conductividad termica, la difusividad térmica y la resistencia de contacto.

4.4 DISCUSIÓN DE RESULTADOS

En la tabla 4.2 se observa que las columnas dos y tres tienen los mismos valores de temperaturas, ya que la columna dos presenta el modelo ideal de Carslaw & Jeagere y la columna tres presenta el modelo Blackwell con una resistencia de contacto nula, mientras que la columna cuatro presenta valores diferentes de temperaturas con respecto a las otras dos, la diferencia de las temperaturas en la columna cuatro se debe a que se considera una resistencia de contacto diferente de cero, esto fue aplicado al .modelo de Blackwell, estas columnas se presentan graficadas en la figuras 4.2 y 4.3.

La figura 4.2 presenta los valores de la temperatura con respecto al tiempo para un radio dado. Estos perfiles se obtienen del modelo ideal de Carslaw & Jeager y del. Modelo de Blackwell, y se observa que estas dos curvas se sobreponen bien, cabe mencionar que para el modelo de Blackwell se considera con una resistencia de contacto nula, lo cual indica que se tiene una buena aproximación estos dos modelos.

La figura 4.3 presenta la gráfica los perfiles de temperatura con respecto al tiempo para un radio dado. La diferencia con respecto a la figura 4.2 es que ahora el modelo de Blackwell se considere con un resistencia de contacto diferente de cero, debido a esto se presenta un desfasamiento en la temperatura entre los dos modelos del análisis, y al termino que involucra la resistencia de contacto en el modelo de Blackwell es 2WrH.

Las figuras 4.4, 4.5 y 4.6 presentan las!; gráficas de los perfiles de temperatura con respecto al tiempo para la perlita expandida a diferentes temperaturas que se obtuvieron con el programa de estimación de parámetros. Estas temperaturas se obtienen del modelo de Blackwell y se comparan con los valores de las temperaturas experimentales. Este' modelo fue ajustado por el método de estimación de parámetros, en el cual se' dan unos valores propuestos de los parámetros a analizar (k, a, H) y este converge hasta que las temperaturas del modelo de Blackwell se aproximan a las temperaturas experimentales, este programa se presenta en el apéndice C. En. e&as figuras se observa que conforme pasa el tiempo se incrementa la temperaha para un radio dado, este incremento no es muy grande a tiempos largos, por lo que con el transcurso del

38


tiempo se esperaría un comportamiento asintotico, los resultados de las corridas para estos aislantes se presentan en el apéndice D,E y F. Este mismo procedimiento se realizó para otros tres aislantes (lana3, lana 4 y Silicato de Calcio) en los que se obtenian unas gráficas similares a las de la perlita expandida.

En la tabla 4.3 se presentan los resultados del problema inverso de conducción de calor que se obtuvieron con la estimación de parametros la cual aplica el método SIMPLEX que es un método sin restricciones, este método puede encontrar muchos mínimos locales, y de todos esto podemos tener varias soluciones posibles para el problema, y así determinar los valores de la conductividad térmica, la difusividad térmica y la resistencia de contacto para cuatro diferentes aislantes a tres temperaturas diferentes para cada uno. También se observa tres términos son del mismo orden de magnitud.

En la tabla 4.4 se presentan los datos de la conductividad térmica del proveedor, la obtenida experimental y la obtenida por el problema inverso que se desarrollo en este trabajo y se observa que hay una variación con respecto a estos valores. La columna que se presenta como E l es el error que se obtiene entre el proveedor y los obtenidos en este trabajo, mientras la que la columna que se denomina como E2 es el error que se obtiene entre el experimental y los obtenidos en este trabajo. De estos errores se observa que la columna que esta marcada como Elen donde se presenta menor error es con el silicato de calcio a 21 grados, mientras en la que se presenta mayor error es Con la lana 3 a 22 grados, m.ientras que en la columna que se denomina como E2 en donde se tiene menor error es con todos los valores de la perlita expandida a las tres temperaturas diferentes, mientras que los otros tres aislantes presentan mayor error. Jt

En la figura 4.7 se presenta la gráfica de la'jvariación de la conductividad térmica como función de la temperatura obtenida con estimación de parámetros para la perlita expandida, y observo que confohe aumenta .la temperatura aumenta la conductividad térmica esto es para un rango de temperatura de 22 hasta 172 grados. También se observa que la conductividad térmica aumenta poco de 22 grados a 99 grados, mientras que se observa un brim grandede 99 grados a 172 grados.

En la figura 4.8 se presenta la gráfica de la variación de la difusividad térmica como función de la temperatura para la perlita expandida que se obtuvo del método inverso, se observa que al aumentar la temperatura la difusividad térmica aumenta.y en este caso se observa un brinco mas prolongado de 22 grados a 99 grados, mientras que de 99 grados a 172 el brinco no es tan grande

39


En la figura 4.9 se presenta la gráfica de la variación de la resistencia de contacto como función de la temperatura para la perlita expandida que se obtuvo del método inverso, y se observa que conforme aumenta la temperatura aumenta la resistencia de contacto.

En la figura 4.10 se presenta la gráfica de la variación de la conductividad térmica como función de la temperatura para la lana No. 3 que se obtuvo del método inverso, y observo que conforme aumenta la temperatura aumenta la conductividad térmica, en esta gráfica se observa un brinco de 21 grados a 105 grados, mientras que el brinco de 105 grados 171 grados no es tan prolongado.

En la figura 4.11 se presenta la gráfica de la variación de la difusividad térmica como función de la temperatura para la lana 3 que se obtuvo del método inverso, se observa que al aumentar la temperatura la difusividad térmica disminuye, aunque observando los valores de la tabla 4.3 se ve que la difusividad aumente casi nada, prodria considerarse como una tendencia cosntante de 22 grados a 105 grados, mientras que de 105 grados a 171 grados disminuye casi la mitad.

En la figura 4.12 se presenta la gráfica de la variación de la resistencia de contacto como función de la temperatura para la lana 3 que se obtuvo del método inverso, se observa que conforme aumenta la temperatura aumenta la resistencia de contacto, esta también presenta un comportamiento lineal ascendente.

En la figura 4.13 se presenta la gráfica de la variación de la conductividad térmica como función de la temperatura para la lana No. 4 que se obtuvo del método inverso, y observo que conforrne aumenta la temperatura aumenta la conductividad térmica, en esta gráfica se observa que el incremento que tiene la conductividad térmica de 21 grados a I00 grados no es tan prolongado como.el que se tiene delOOgrados al67grados !I 1:

En la figura 4.14 se presenta la gráfica de '¡la variación de la difusividad térmica como función de la temperatura para la lana 4 que se obtuvo del método inverso, se observa que la difusividad aumenta de 21 grados a 100 grados mientras que del00 grados a 167 grados disminuye con respecto al ascenso que presento al principio.

En la figura 4.15 se presenta la gráfica de la variación de la variación de la resistencia de contacto como función de la temperatura para la lana 4 que se obtuvo del método inverso, y se observa que conforme aumenta la temperatura aumenta la resistencia de contacto, este ascenso se puede considerar como una tendencia lineal.

En la figura 4.16 se presenta la gráfica de la variación de la conductividad térmica como función de la temperatura para el silicato de calcio que se obtuvo


8.

del método inverso, y Observo que conforme aumenta la temperatura aumenta la conductividad térmica, el incremento mayor en la conductividad térmica es el que se presenta de 21 grados a 98 grados, mientras que el de 98 grados a 173 grados es menor pero también se observa una variación en la conductividad térmica.

En la figura 4.17 se presenta la gráfica de la variación de la difusividad térmica como función de la temperatura para el silicato de calcio que se obtuvo del método inverso,, se observa que al aumentar ,!la temperatura la difusividad térmica disminuye, esto es de 21 grados a 98 grados, mientras que de 98 grados a 173 grados presenta una incremento insignificante'(0.06E-7 m2/s).

En la figura 4.18 se presenta la gráfica de la variación de la resitencia de contacto como función de la temperatura para el silicato de calcio que se obtuvo del método inverso, y se observa que conforme aumenta la temperatura aumenta la resistencia de contacto, este es ¡un comportamiento lineal ascendente.

TABLA 4.3 RESULTADOS DE LA CONDUCTIVIDAD TERMICA, LA RESISTENCIA DE CONTACTO Y LA DlFUSlVlDAD CON RESPECTO A LA

~ TEMPERATURA

41

'!


TABLA 4.4 COMPARACIÓN DE LOS RESULTADOS DE LA CONDUCTIVIDAD TERMICA, CON RESPECTO A LA TEMPERATURA

Donde:

E l : es el error que se tienen de los valores del proveedor con respecto a los obtenidos en este trabajo.

E2: es el error que se tienen de los valores del experimentales con respecto a los obtenidos en este trabajo.

42

'8, b

O In -er----

O p!

P

3 m

O 8

O In N

:: N

O '"

D ...

O In


Fig. 4.3 PERFIL DE TEMPERATURAS Vs TIEMPO (PARA LOS MODELOS DE BLACKWELL CON RESITENCIA DE CONTACTOR DIFERENTE DE CERO CON RESPECTO AL MODELO DE CARSLAW 8

JEAGER) , 4c

3:

3c

25

10

5

O

-5

50 1 O0 150 200 250 300 350 400 450 5

TIEMPO (S)

+ BLACKWELL -c. . I

44


40

35

30

25

s $ 20 Y P I E

15

10

5

O O

Fig. 4.4 AJUSTE DE LA TEMPERATURA OBTENIDA CON EL MODELO DE BLACKWELL Y LA TEMPERATURA EXPERIMENTAL PARA LA PERLITA EXPANDIDA A 21 "C

50 1 O0 150 200 250 300 350 400 450 500 TIEMPO (S)

45


Fig. 4.5 AJUSTE DE LA TEMPERATURA OBTENIDA CON EL MODELO DE BLACKWELL Y LA TEMPERATURA EXPERIMENTAL PARA LA PERLITA EXPANDIDA A 99°C

1 O8

106

104

a 3

102 Y P

5 L

1 O0

98

96 - O 50 1 O0 150 200 250 300 350 400 450 500

TIEMPO (S)

.

46


18C

176

I 7e

177

176

a 175

a

5 k! 174

I- z

173

172

171

170

169

Fig. 4.6 AJUSTE DE LA TEMPERATURA OBTENIDA CON EL MODELO DE BLACKWELL Y LA TEMPERATURA EXPERIMENTAL PARA LA PERLITA EXPANDIDA A 172°C

O 50 1 O0 150 200 250 300 350 400 450 500

TIEMPO (S)

*BLACKWELL -1 I EX? ERlMENTALES

47

Resultados de la Aplicacion y Discusión

Fig. 4.7 CONDUCTWIDAD TÉRMICACOMO FUNCIÓN DE LA TEMPERATURA OBTENIDA CON ESTIMACIÓN DE PARÁMETROC PARA LA PERLITA EXPANDIDA

8.70EM

6.60E-92

8.50E-02

8 40E-02 a u

-3

Y

E ' 8.30EM

5 a Y

8.20EM

2 6 8 lOEM a -;a z

8.00E-02

7.90E-92

7.80E-02

7.70E-02 O 20 40 60 60 1W 1M

TEMPERATURA rC) 140 160 180 200

48


Fig. 4.8 DlFUSlVlDAD TÉRMICA COMO FUNCIÓN DE DE LA TEMPERATURA OBTENIDA CON ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS PARA LA PERLITA EXPANDIDA

2.65E-07

2.65E-07 ~

2.64E-07 ~

. 2.64E-07

2.63E-07 -

2.63E-07 -

2.62E-07 ~

2.62E-07 -

2.61E-07 ~

. . . .

- -

O 20 40 60 80 100 1M TEMPERATURA (“C)

140 160 180 m

49


4 I

03"

Fig. 4.9 RESISTENCIA DE CONTACTO COMO FUNCIÓN DE LA TEMPERATURA OBTENIDA CON ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS PARA LA PERLITA EXPANDIDA

2 w K

02 -

o1 -

0.8

0.7

0.6

a 2

0.5

O O M 40 80 1W 120

TEMPERATURA ('C) 140 160 180 200

50


Fig. 4.10 CONDUCiiVlDAD TÉRMICA COMO FUNCIÓN DE LA TEMPERATURA OBTENIDA CON ESTIMACIÓN DE PARAMETROS PARA LA LANA 3

5.WE-02

4.95E-02

4.5üE-02

a z z a 3 o

E

a 2 4.85E-02

w I- O

5 4.80E-02 I-

O z

4.75E02

4.70E-02

4.65E-02 O M 40 80 I C 0

TEMPERATURA (‘C) 120 140 160 180

51


Fig. 4.11 DlFUSiVlDAD TÉRMiCA COMO FUNCIÓN DE LA TEMPERATURA OBTENIDA CON ESTiMACiÓN DE PARAMETROS PARA LA LANA 3

3.5OE-O7

3.00E-07

2.50W7

e E - 5 5 2.00E-07

Y I-

a 2 1.50E-07 u>

9

-

n

2

I.OOE-07

5.00E-08

0.00ENO O 20 40 60 80 100

TEMPERATURA (‘C) 120 1 40 160 180

Resultados ae la ApiiCaCiOn y UISGUSIUI I

0.8

0.7

0.6

F n Y E 0.5

a E

o

#- z 8 0.4 Y n

z E 0.3 E m Ly z

0.2

o. 1

C

Fig. 4.12 RESISTENCIA DE CONTACTO COMO FUNCIÓN DE LA TEMPERATURA OBTENIDA CON ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS PARA LA LANA 3

fi

...

,.


5.60E02

5.50E.02

5.40E-02 -

o 5.30E-02 -

4 Q a 2 L

w 5.20E-02 -

2

. X 5.10E-M - z O

. ~.~ u ~

5.00E-02 -

4.90E-02 -

4.80E-02 7

Fig. 4.13 CONDUCTlVlDAD TÉRMICA COMO FUNCIÓN DE LA TEMPERATURA OBTENIDA CON ESTIMACIÓN DE PAWMETROS PARA LA LANA 4

__

- +

O 20 40 60 80 100 TEMPERATURA (T)

120 140 160 180

54

Resultados de la Aplicación y Discusion

Fig. 4.14 DlFUSlVlDAD TÉRMICA COMO FUNCIÓN DE LA TEMPERATURA OBTENIDA CON ESTIMACIÓN DE PARAMETROS PARA LA LANA 4

4.50E-07

4.WE-07

3.50E-07

3.WE-07 a m- E

5 2.50E-07 a E .Y c

I

n 2 2.WE-07 5 E a 5 o 1.50E-07

1.WE-07

5.WE-08

O.WE+OO O 20 40 60 en 1W

TEMPERATURA (“C)

55


Fig. 4.15 RESISTENCIA DE CONTACTO COMO FUNCIÓN DE LA TEMPERATURA OBTENIDA CON ESTIMACIÓN DE PARAMETROS PARA LA LANA 4

0.8

0.7

0.6

0.2

0.1

O O M 40 60 80 1w

TEMPERATURA (‘C)

120 140 160 180

56


Fig. 4.16 CONDUCTWIDAD TÉRMICA COMO FUNCIÓN DE LA TEMPERATURA OBTENIDA CON ESTDIACIÓN DE P A R h 5 T R O S PARA EL SILICATO DE CALCIO

6.95E-0;

6.90E-O;

6.85EUí

o 6.80E-02

9 6.75E-02

Y + n 3 6.70E-02 5 F O $ 6.65EM

=-=o

6.55E-02

6.50E-02

6.45E-02 O M 40 60 80 1W 1M

TEMPERATURA CC) 140 160 180 m


Fig. 4.17 DlFUSlVlDAD TÉRMICA COMO FUNCIÓN DE LA TEMPERATURA OBTENIDA CON ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS PARA EL SILICATO DE CALCIO

4.50E-07

4.00E-07

3.50E-07

3.00E-07 3 Ñ E a

2

- 2.50E-07 z

n

s 3 2.00E-07

u) 3 k

1.50E-07

1.00E-07

5.00E-08

O.OOE+oO O 20 40 60 80 1 O0 1 20

TEMPERATURA (OC)

140 160 180 200


Fig. 4.18 RESISTENCIA DE CONTACTO COMO FUNCldN DE LA TEMPERATURA OBTENIDA CON ESTlMACldN DE PARAMETROS PARA EL SILICATO DE CALCIO

0.8

0.7

0.6

E Y E! 5

E 0.5 o z 2 0.4 Y a

0.2

0.1

O O 20 40 60 80 1 O0 120

TEMPERATURA (‘C) 140 160 180 200

CAQíTULO 5

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES )1

Conclusión y recomendaciones

5.1 CONCLUSIONES

El problema inverso es una opción para beterminar las propiedades temofisicas de diferentes materiales en particular de aislantes, como se presenta en este trabajo. Los valores de la conductividad térmica tienen una tendencia ascendente ai aumentar la temperatura, mientras que la difusividad térmica presenta un comportamiento irregular mnforme aumenta la temperatura y la resistencia de contacto aumenta conforme aumenta la temperatura.

De estos tres parámetros se observa que el que mejor se ajusta aplicando la estimación de parámetros es la conductividad térmica, ya que la resistencia de contacto y la difusividad oscilan conforme varían los parámetros de arranque en el programa.

Los valores de conductividad térmica que se determinaron en este trabajo presentan variación con respecto a los valores determinados experimentalmente por García & Contreras (1989). Esto es debido a que el método que se emplea en la estimación de parámetros puede ajustar para muchos valores, y la cantidad de valores que se ajustó en este trabajo no son suficientes.

Cabe mencionar que los valores de las temperaturas que se obtuvieron caen dentro del error experimental que fue de ~ 0 . 1 "C. lo cual indica que el método aquí desarrollado presenta valores que caen dentro de los valores medidos.

5.2 RECOMENDACIONES

Tener mayor cantidad de variables de arranque (k, a y Rc)en el programa aquí desarrollado y buscar los valores óptimos que se acoplen a los datos numéricos y experimentales.

Programar el modelo de Blackwell (1954), pero partiendo del modelo original que presenta en su trabajo y estos valores compararlos con los que arroja su solución analítica.

Comparar diferentes métodos de estimación de parámetros (algoritmos Marquart, Gauss-Newton y el algoritmo modificado de Gauss-Newton libre de derivadas)para ver cual se ajusta mejor a los datos experimentales, y así poder obtener mejores datos termofísicos.

Aplicar otras técnicas que se emplean en el problema inverso, como las que se mencionan en los capítulo uno y tres.

En lugar de determinar la difusividad térmica, sería más recomendable determinar los parámetros que involucra este termino, para así tener mayor cantidad de parámetros que ajustar al método aquí empleado.

60

-

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‘I

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Apéndice

APENDICE "A"

PROGRAMA DEL MODELO DE CARSLAW & EAGER

PROGRAM sol-analitica-de-la-ecuacion-de-Cmsiaw-YLJeager; USES

CONST WINCRT;

GAMA=0.5772156649; P1=3.1416; lNTENCIDAD=O.OS; { A} V=8.205; { v} R=157.96;{ohm} k=O.OSS;{W/m C } Cp=84O;{J/Kg C} {Tomada de refencia) densidad=272;{ Kg/m3} L=O.l143;{m)

VAR ARCHA: text; TIEMPO, INTER T,RADIO,INTER-R,DELTA T,DELTA R :Extended; TEMPERAT-- Q,ALF&DELTA-RI,DELTx-Tl,G,PO%,SUMA :Extended; I ,w,nJ :INTEGER; FACTO,POTENC,X,SUMAI :EXTENDED;

begin procedure factorial(n:integer;var fact: extended);

fact:=i; for ii:.=l to n do fact :=fact *11;

end;

procedure potencia(N:INTEGER;X:EXTENDED;var P0TEN:EXTENDED); begin I

POTEN:= 1 ; for ii:=l to n do

POTEN:=POTEN*X; end;

BEGIN assign(ARCHA,'C:\AQUISIV)ATOS\SOLC J.TXT'); rewrite(ARCHA); CLRSCR; WRITE ('TIEMPO DEL ESTUDIO (S) := I); READLN (TIEMPO); WRITE ('DIVICIONES DEL TIEMPO := I); READLN (INTER-T); WRITE('RADI0 DEL AISLANTE (m) := I);

A

Apéndice

READLN (RADIO); WRITE CDIVICIONES DEL AISLANTE := I); READLN (INTER-R); WRITELN(ARCHIZ'TIEMP0 DE ESTUDIO (S) :',TIEMPO: 10:4); WRITELN(ARCHA,'DIVICIONES DEL TIEMPO :',INTER-T: 10:4); WRITELNfARCHA'RADIO DEL AISLANTE (m) :',RADIO: 10:4); WRITELN<ARCHA,~DIVICIONES DEL AISLANTE ',INTER-R io 4), WRITELN(ARCHA,'RADIO(m) TIEMPO( s) DELTA-TEMPERATURA(C)'),

DELTA T:=TIEMPO/INTER-T; DELTA-TI :=DELTA-T; DELTA;R:=RADIOIINTER-R;

Q:=SQ%V)/(R*L); DELTA R1 :=DELTA-R;

ALF A:=W(Cp*densidad); G:=Q/(4*PI*K); WHILE DELTA-RI <=(RADIO) DO BEGIN WRITELN (ARCHADELTA R1: 10:4);

WHILE DELTA-TK=TIE~O DO BEGIN

X:=((4*ALFA*DELTA - Tl)/SQR(DELTA - RI)); POT1 :=1; SuMA:=O; FOR I:=] TO 15 DO BEGIN

POT1 :=POTI *(-I); POTENCIA(I,X,POTENC); FACTORIAL(1,facto); SUMA1 :=(POTENC*POTl)/(I*FACTO); SUMA:=SUMA+SUMAI ;

END; TEMPERATURA:=G*(LN(X)-GAMA); WRITELN(ARCHA, DELTA-TI : 10:4,' ',TEMPERATURA:5:4); DELTA - TI:=DELTA - TI+DELTA - T

END;

DELTA-TI - :=DELTAIT; DELTA R1 :=DELTA Rl+DELTA-R;

END; close(ARCHA)

END.

B

Apéndice

APENDICE "B"

PROGRAMA DEL MODELO DE BLACKWELL

PROGRAM s o ~ ~ a n a l i t i c a ~ d e ~ l a ~ e c u a c i o n ~ d e ~ B ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ; USES

CONST WINCRT;

GAMA=0.5772 1 56649; PI=3.1416; INTENCIDAD=0.05;{ A) V=8.205; {V) R=l57.96;{ ohm} k=O.OSS;fW/m C) Cp=84O;{J/Kg C} densidad=272;{ Kdm3} L=O.i 143;{m) ALFA=2.53E-7;{m2/S} H=28.5;{W/m2 K}

VAR ARCHA: text;

Q,ALFA,DELTA-Rl,DELTA-Tl,G,POTI,SUMA, TEMPERATURA :REAL; I,w,n,II :INTEGER; FACTO,POTENC,X,SUMAI :EXTENDED;

TIEMPO, INTER-T,RADIO,INTER-R,DELTA-T,DELTA-R :REAL;

BEGIN assign(ARCHA,'C:\AQUISI\DATOS\SOb.TXT'); rewrite(ARCH A); CLRSCR;

READLN (TIEMPO);

READLN (INTER-T);

READLN (RADIO);

READLN (INTER-R); WRITELN(ARCHA,'TIEMPO DE ESTUDIO (S) WRITELN(ARCHA,'DIVICIONES DEL TIEMPO :',INTER-T: 10%);

WRITE('TIEMP0 DEL ESTUDIO (S)

WRITE ('DIVICIONES DEL TEMPO

WRITE('RADI0 DEL AISLANTE (m)

WRITE ('DIVICIONES DEL RADIO DEL AISLANTE := 9);

:= 1 ) ;

:= I);

.= I);

:',TIEMPO: 10:s);

WRITELN(ARCHA,'RADIO DEL AISLANTE (m)

WRITELN(ARCHA,'RADIO TIEMPO TEMPERATURA');

:',RADIO: 10:s); WRITELN(AFCHA,'DIVICIONES.DEL RADIO DEL INSLANTE :',INTEiR-R: 10:s);

DELTA-T:=TIEMPO/INTER-T;

C

Apéndice

DELTA Tl:=DELTA-T;

DELTA-RI :=DELTA-R; Q:=SQR(V)/(R*L); ALFA:=W(Cp*densidad); G:=Q/(4*PJ*K); WHILE DELTA-Rl<=(RADIO) DO BEGIN

DELTA:R:=RADIOANTER-R;

WRITELN (ARCHqDELTA-R1: 10:8); WHILE DELTA-TI<=TIEMPO DO BEGIN

X:=((4*ALFA*DELTAPT l)/SQR(DELTA-Rl));

WRITELN(ARCHA, DELTA T1:10:8,' ',TEhPERATURA5:8); TEMPERATURA:=G*(LN(X)-GAMA+2*W(DELTA-R1 *H));

DELTA - TI :=DELTA-TI+DELTA:T END;

DELTA - TI :=DELTAIT; DELTA-RI :=DELTA Ri +DELTA-R;

END; close(ARCHA)

END.

D

Apéndice

APENCICE “C”

PROGRAMA DEL MODELO DE BLACKWELL ACOPLADO CON EL METODO SIMPLEX

C Lastchange I I8Oct99 1251 pm PROGRAM ANALITICA-Blackwell implicit real*8(a-h,o-z)

EXTERNAL FUNC

DIMENSION VEC(3)

COMMON/DATOS/GAMA, PI, R, XL, RADIO, HINTER-R V, & NDATA,TIEMP0(500), TEMPEXP(500), TEMPERATURA(SOO), & DIFF(5OO),DIFTOT

OPEN (6,FiLE=’SOLUCION RES’) - 1 C WRITE(*,*)’TIEMPO DEL ESTUDIO (S) -

C WRITE(*,*)’DMSIONES DEL TEMPO - C READ (*,*)TIEMPO

C READ (*, *)HiNTER-T - $

- 0 WRITE(*,*)’RADIO DEL AISLANTE (m) -

I/ READ (*,*)RADIO WRITE(*,*)’DIVISIONES DEL RADIO DEL AISLANTE READ (*,*)HINTER-R

=

C WRITE(*,*)”UMERO DE DATOS EXPEIUMENTALES = ‘ WRITE(*,*)’DATO DE SIMPLX TETA = ’ READ(*,*)TETA

MAXIT= 500 ITRACE=O

TOL= 1 OD-6

GAMA=0.5772156649 PI=3.1416 V=8.205

R=157.96

xL=O. 1143

xkO.05 8 H=28.5

C :{W/m2K} alfa=2.5385 1 5D-7

c :{V}

C :{ohm}

C i

OPEN(8,FLE=‘PER2 1 .DAT’,STATUS=’OLD’)

E

Apéndice

READ (S,*)NDATA I

DO I=l,NDATA

END DO READ(S,*)TIEMPO(I), TEMPEXF’(1)

CLOSE(8)

1VEC=3

VEC(2) = ALFA VEC(3) = H

VEC(l)=xK

CALL SIMPLX(FUNC,IVEC,VEC,MAXIT,TETqlTRACE,TOL,F)

C WRITE (6,*)’TIEMPO DE ESTUDIO (S) ‘,TIEMPO C WRITE(ó,*)’DIVISIONES DEL TIEMPO ’ HINTER-T

WRITE(6,*)’RADIO DEL AISLANTE (m) ‘,lbDIO WRITE(6,*)’DlVISIONES DEL RADIO DEL AISLANTE ‘,HINTER-R

WRiTE(6,*)’XK=’, VEC(1) WTE(6,*)’ALFA=’, VEC(2) WRITE(6,*)’H=’, VEC(3)

DO 1=1, NDATA

END DO WRiTE(6,14)DIFTOT/NDATA FORMAT(X,FS 1,3X,FlO 6,3X,F10 6,2X,FS 3)

close(6)

WRITE(6,*)’ TIEMPO TEMPERATURA TEMP EXP

WRITE(6,7)TlEMF’O(I), TEMF’ERATURA(l), TEMPEXP(I), DIFF(1)

ERROR’ - 11

7 14 FORMAT(34X,FS 3)

STOP END

FUNCTION FüNC(lVEC,VEC) implicit real*S(a-h,o-z)

DIMENSION VEC(3)

COMMONDATOSIGAMA, PI, R, XL, RADIO, HINTER-R, V, & NDATq DELTA T(500), TEMPEXP(500), TEMPERATURA(SOO), & DIFF(SOO),DIFTOT

xK= VEC(1) ALFA= VEC(2) H= vEC(3)

F

Apéndice

c DELTA-T=TIEMpO/”TER-T I

suMA=o DlFTOT=O DO I=l, NDATA

C DELTA-T 1 =DELTA-T C DELTA-TI @)=DELTA-T(I)

DELTA-R=RADIO/HINTER-R DELTA-Rl=DELTA-R Q=(V)* *2/(R*xL) G=Q/(4*PI*xK) DO WHILE (DELTA-R1 LE (RADIO))

C WRITE (6,*) DELTA-Rl C DO WHlLE (DELTA-TI LE TIEMPO)

X=((4*ALFA*DELTA-T(I))/(DELTA-R1)* *2) TEMPERATURA(I)=G*(LOG(X)-GAMA+~*XW(DELTA-RI *H))

C WRITE(6,*) DELTA-T1, TEMPERATURA C DELTA-T I=DELTA-T I+DELTA-T C WRITE(*,*) DELTA-T I C ENDDO

C DELTA-T 1 =DELTA-T DELTA-RI=DELTA-Rl +DELT A-R

ENDDO DIFF(I)= (TEMPERATURA(1)-TEMPEXP(q)/TEMPEXP(I) DIFTOT = DiFTOT + DABS(DIFF(1)) SUMA = SUMA + (DIFF(I))**2 END DO FUNC = SUMA END

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SUBROUTINE! SIMPLX (FIJNC,N,X,MAXIT,TETA,ITRACE,TOL,F)

Cette subroutine minimiseN fonctions non lineaires par la procedure de recherche directe de Nelder et Mead.

FUNC : Is the name of the function called by SIMPgX to furnish the value of the function being minimized. FUNC must appear in an external statement in the calling program

c c

c C C c N : Number of dimensions or variables c X : Array of N coordinates for current point c c F : Functional value

c c

C

MAXIT : Maximum number of iterations allowed

C Nelder, J.A. and Mead, R., 1965. A simplex method for functions minimization. Computer J., 7: 308-313. i/

G

Apéndice

C c WORKING SPACE ARRAY : 6*N + (N+I)*W+I)

IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z) C

DIMENSION X(N),W(300000) COMMON /SSIM€'LX/ NITER

C C DATA TOL,ALPHA,BETA,GAMMA/l .D-6,1 .D0,0:5D0,2.DO/

DATA ALPHA,BETA,GAMMA/l .D0,0.5D0,2.DO/ ~

c Code executable

IWl =N*(N+l) 1W2 = IWl + N+1 IW3 = IW2 + N IW4=IW3+N IW5=IW4+N IW6 = IW5 + N IW7 = IW6 + N NITER = O IF (h4AXIT EQ. O) THEN

F = FUNC (N,X) RETURN

END IF

c c

Build the initial simplex by changing each of initial parameters one at a time by five percent

DO J=l,N+l DO I=I,N

IF (DABS(X(1)) LE 1 D-8) X(1) = 1 D-6

IF (I EQ (J-I)) THEN IJ = I + (J-l)*N

C teta= 1 005 calculos finos, ajuste de InK y InH C teta= 1 05 calculos de parametros para lnGamma

W(IJ) = TETA*X(I)

W(IJ) = X(1) ELSE

END IF END DO

END DO DO J=l,N+l DO I=I,N

IJ = I + (J-1)*N X(1) = W(1J)

END DO

H

Apéndice I

FF = FUNC (N,X) J1 =IWl+ J W(J1) = FF

END DO

c Estimation of the lowest value of F=FB

5 FB=W(IWl+l)

I2 = Iw2 + I DO I=l,N

W(I2) = W(1) END DO DO J=2,N+1

J1 = I w 1 + J

IF (TEST .GT. O DO) THEN TEST FB - W(J1)

FB = W(J1) DO I=i ,N

12 = IW2 + I IJ = I + (J-l)*N W(i2) = W(IJ)

END DO END IF

END DO

c Estimation of the highest value of F=FS

FS = W(iWI+l) DO 1=1 ,N I3 = IW3 + I W(I3) = W(1)

END DO J S = l DO J=2,N+1

J1=1W1+ J

IF (TEST LT O DO) THEN TEST FS - W(J1)

FS = W(J1) J S = J DO I=l,N

13=IW3+I IJ = I + (J-l)*N w(r3) = W(IJ)

END DO END IF

END DO

I

Apéndice

c Determination of the centroid points

DO 1=1 ,N I3=IW3+I I4 =IW4 + 1 W(I4) = -W(13)

END DO DO J=I,N+I DOI=I,N

I4 = IW4 + I

W(I4) = W(J4) + W(IJ) IJ = I + (J-1)*N

END DO END DO DO 1=1 ,N

I4 = IW4 + I W(I4) = W(I4)N

END DO

c Reflection of the simplex

DO I=l,N I3 = IW3 + I 14 = IW4 + I I5 = 1W5 + I W(I5) = W(I4) + ALPHA*(W(I4)-W(I3))

END DO 15 =1W5 + 1 FR = FUNC (N,W(IS))

c Expansion of the simplex

IF ((FR-FB) GE O DO) GO TO 25 DO I=l,N 14 = 1W4 + 1 15 =IW5 + I I6 = IW6 + I W(I6) = W(I4) + GAMiUA*(W(I5)-W(14))

END DO I 6 = I W 6 + 1 FE = FUNC (N,W(16)) IF ((FE-FB) GE O DO) GO TO 20 DO I=I,N 13=IW3+I I6 =IW6 + 1

W(1.l) = W(I6) IJ = I + (JS-1)*N

J

'I

Apéndice-

W(I3) = W(I6) END DO IJS = IW1 + JS W(IJ S ) = FE

Calculation of the halting criterion c

10 SUM=ODO DO J=l,N+l

J1 = I W l + J SUM = SUM + W(J1)

END DO

SUM=ODO DO J=l,N+l

XMEAN = SUM/(N+l)

J1 =IWI + J

SUM = SUM + DUMMY *DUMMY DUMMY = W(J1) - XMEAN

END DO FWSD = DSQRT(SUM/N) NITER =NITER + 1 IF (ITRACE EQ 1) THEN

PRINT *,'SIMpLX ITERACION=',NITER PiUNT *,'ERROR=',RMSD PRINT *,'VALOR DE LA FiJNCION=',W(IJS) do i=l,n

end do END IF IF (NITER GE MAXIT) GO TO 30 IJS = IWI + JS

print *,'parametro(',i,')=',W(I+(JS-I)*N)

C PRlNT 15, NITER,W(IJS),RMSD,(W(I+(JS-l)*N),T=l,N) C 15 FORMAT(/SX,'IT=',I3,3X,'F=',D12 4,3X,'RMS=',D12 4,3X,'PAR=',F9 4)

IF (RMSD EQ O OOOOOOOOOE+OO) THEN P W T *,'N=' N PRINT *,'&AN=',XMEAN DO IN=I,N+l

JIN=IW 1 +IN PRINT *,'XW=',W(JIN)

END DO G O T 0 5

END IF IF (RMSD - TOL) 30,30,5

c New simplex FE greater than FB

20 DOI=l,N

K

Apéndice

I3=1W3+1 I5 =IW5 + I IJ = I + (JS-l)*N

W(I3) = W(I5) END DO IJS = IW1 + JS W(IJS) = FR FS =FR GO TO 10

New simplex : FR greater than FB

W(IJ) = W(I5)

c

25 DOJ=l,N+l J1 = I W l + J I F ( J . N E JS)THEN

END IF END DO IF ((FR-FS) LE O DO) THEN

IF ((FR-W(J1)) LE. O DO) GO TO 20

DO I=l,N I3=IW3+1 15=IW5+1 U = I + (JS-1)*N W(IJ) = W(15) W(I3) = W(I5)

END DO IJS = IW1+ JS W(IJS) = FR F S = F R

END IF DO I=l,N I 3 = I W 3 + I I4 = IW4 + I I7 =IW7 + I W(I7) = W(14) + BETA*(W(I3) - W(I4))

END DO I7=IW7+ 1 FK = FUNC (N,W(I7))

c New simplex after contraction

IF ((FK-FS) LE, O DO) THEN DO I=l,N 13 =IW3 + I I7 = IW7 + I lJ=I+(JS-l)*N

L

Apendice

W(1J) = W(I7) W(I3) = W(I7)

END DO IJS = IWl f JS W(1JS) = FK FS =FK GOTO 10

END IF DO J=l,N+l DO I=l.,N

12 = Iw2 + I IJ = I + (J-l)*N W(IJ) = (W(IJ) + W(I2))/2.DO

END DO END DO GOTO 10

c Results of the minimization

30 DOT=I,N IJ = I + (JS-1)*N X(1) = W(1J)

END DO IJS = 1W1 + JS F = W(IJS)

WRITE( *,7)

WRITE(*,*)' SALIDA DE SIMPLX' WRITE(*, *y ITERACION=',NITER,' ERROR=',RMSD, 1 WRITE(*,7)

IF (ITRACE EQ. I) THEN

I FORMAT(//)

' VALOR DE LA FüNCION=',F

END IF

RETURN END

M

Apéndice

APENDICE “D” PERLITA EXPANDIDAD A 21 “C

RADIO DEL AISLANTE (m) 179E-03 DIVISIONES DEL RADIO DEL AISLANTE 1 XK= 6.34E-02 ALFA= 2.70E-07 Rc= 0.0385 TIEMPO TEMPERATURA TEMP-EXP ERROR

7.2 12.3 17.3 22.3 27.3 32.4 37.4 42.4 47.4 52.5 57.5 62.5 67.6 72.6 77.6 82.6 87.7 92.7 97.7

102.7 107.8 112.8 117.8 122.8 127.9 132.9 137.9 142.9

148 153 158

163.1 168.1 173.1 178.1 183.2 188.2 193.2 198.3

17.178368 19.2161 78 20.514195 21.480287

22.2501 22.901841 23.447949 23.925429 24.349622 24.738489 25.084665 25.401957 25.70045

25.971985 26.225428

26.46304 26.691024 26.90201 5 27.10192

27.291845 27.476271 27 648798 27.813842 27.972023 28.126868 28.272794 28.413331 28.548862 28.682303 28.808737 28.931 105 29.051994 29.166897 29.278432 29.386791 29.494227 29.596691 29.696469 29.795617

21.2067 21 .o1 59 21.3259

21.151 21.8585 21.9778 22.5104 23.1225 23.345

23.7584 23.981

24.2672 24.6726 24.9746 25.1257 25.2926 25.8332 26.1432 26.2386 26.3419 26.8984 26.8745 27.1528 27.4866 27.7092 27.7966 27.8841 28.2259 28.4167

28.52 28.6949 28.8301 29.1639 29.21 96 29.5057 29.4104 29.4342 29.6488 29.7681

-0.19 -0.086 -0.038 0.016 0.018 0.042 0.042 0.035 0.043 0.041 0.046 0.047 0.042 0.04

0.044 0.046 0.033 0.029 0.033 0.036 0.021 0.029 1 0.024 0.018 0.015 0.017 0.019 0.01 1 0.009 0.01

0.008 0.008

0 0.002

-0.004 0.003 0.006 0.002 o 001

N

Apéndice

203.3 208.3 213.3 218.4 223.4 228.4 233.4 238.5 243.5 248.6 253.6 258.6 263.6 268.7 273.7 278.7 283.7 288.8 293.8 298.8 303.9 308.9 313:9

319 324 329

334.1 339.1 344.1 349.2 354.2 359.2 364.2 369.3 374.3 379.3 384.4 389.4 394.4 399.4 404.5 409.5 414.5 419.6 424.6 429.6 434.7 439.7

29.890375

30.073094 30.163008 30.249144 30.333373 30.41 5777 30.498031 30.576982 30.65586

30.731635 30.805931 30.878803 30.951723 31.021882 31.090771 31.158434 31.226234 31.291 551 31.355767 31.420168 31.482267 31.543368 31 604697 31 663879 31.722154 31.780689 31.837216 31 .e9291 5 31.948901

32.003 32.056342 32.108946 32.161863 32.213038 32.263533 32.314358 32.363535 32.412086 32.460024 32.508307 32.555056 32.601237 32.647772 32.692848 32.737397 32.782306 32.825825

29.982a31 29.9271 29.9271 30.3802 30.094

30.3404 30.2291 30.2768 30.6743 30.7856 30.9525 31.0002 31.1831 31.0241 31.3579 31.3579 31.5726 31.7077 31.5885

31.819 31.6123 31.9939 32.0972

32.28 32.1608 32.3557 32.129

32.1688 32.3039 32.2959 32.3595 32.5742 32.6616 32.5026 32.8921 32.8603 32.6855 32.8127 32.8047 33.1306 32.9319 33.1068 32.9796 33.1 545 33.1306 33.3055 33.393

33.3373 33.3373

-0.001 0.002 -0.01 0.002

-0.003 0.003 ,'

0.005 -0.006 -0.007 -0.01

-0.009 -0.012 -0.005 -0.013 -0.01 1 -0.015 -0.017 -0.01 1 -0.017 -0.008 -0.018 -0.019 -0.023 -0.017 -0.021 -0.013 -0.012 -0.014 -0.012 -0.013 -0.018 -0.019 -0.012 -0.022 -0.02

-0.013 -0.015 -0.013 ,, -0.022 -0.014 -0.018 -0.013 '

-0.017 -0.015 -0.018 -0.02

-0.017 -0.015

0.02

O

Apéndice

APENDICE “E”

PERLITA EXPANDIDA A 99°C

:0.0017859 :I

RADIO DEL AISLANTE (m) DIVISIONES DEL RADIO DEL AISLANTE

xu= ALFA= Rc=

TIEMPO

6.5 7.5 8.5 9.5 10.6 11.6 12.6 13.6 14.6 15.6 16.7 17.7 18.7 19.7 20.7 21.7 22.8 23.8 24.8 25.8 26.8 27.8 28.9 29.9 30.6 31.9 32.9 33.9 35 36 37 38 39 40

41 . I 42.1

7.19E-O2 2.59E-O7

0.4252

TEMPERATURA

96.150493 96.51 198 96.828155 97.109121 97.385886 97.613617 97.822504 98,01543

98.1 94661 98.36201 3 98.5341 36 98.681043 98.819875 98.951472 99.076552 99.19573 99.320641 99.429074 99.533043 99.632902 99.728963 99.821504 99.919531 100.005461 100.06391 9 100.16902

100.246992 100,322629 100.403295 100.474458 100,54367 100.611037 100,676653 100.740608 100.8091 38 100.869865

TEMP-EXP

99,0629 98.9899 98.9574 98.9939 99.0548 99.071 99.144 99.1643 99.0669 99.2292 99.0467 99.5334 99.3873 99.41 17 99.4644 99.6348 99.4847 99.6388 99.8254 99.797 99.9957 99.9551 100.1 133 99.8943 99.9998 100.141 7 100.1741 100.1012 100.0687 100.2188 100.1 904 100.3972 100.308 100.4662 100,4702 100.4784

ERROR

-0.029 -0.025

~ -0.022 -0.019 -0.017 -0.015 -0.013 -0.012 -0.009 -0.009 -0.005

If -0.009 -0.006 -0.005 -0.004 -0.004 -0.002

-0.003 -0.002 -0.003 -0.001 -0.002 0.001 0.001

0 0.001 0.002 0.003 0.003 0.004 0.002 0.004 0.003 0.003 0.004

1 -0.002

P

43.1 44.1 45.1 46.1 47.2 48.2 49.2 50.2 51.2 52.2 53.3 54.3 55.3 56.3 57.3 58.3 59.4 60.4 61.4 62.4 63.4 64.4 65.5 66.5 67.5 68.5 69.5 70.5 71.6 72.6 73.6 74.6 75.6 76.6 77.7 78.7 79.7 80.7 81.7 82.7 83.8 84.8 85.8 86.8 87.8 88.8 89.9 90.9 91.9

100.929165 100.987106 1 01.043747 101.099146 1 O1 .I 5871 4 101.211674 1 O 1 263547 101.314375 101.364201 101.413063 101.465742 101.512697 101.558795 101.604067 1 O 1 648542 1 01.692247 1 01.739465 101.781638 101.8231 18 101.863928 1 01.90409 1 01.943623 101.986406 102.024681 102.062385 102.099534 102.136144 102.172232 102.211342 102,246379 102,280936 102.315027 102.348864 102.381 859 102.41 7876 102.45018 102.482075 102.513573 102,544683 102.575415 102,608793 102.638759 102.668374 102,697645 102.726581 102.7551 9 102.786289 102.814233 t 02. 84 I 87 1

Apéndice

100.5919 100.6446 100,5351 '100.6771 100.673

100.8352 100.8434 100.8677 100.961

100.8636 101.1597 100,9366 101 .I962 1 01.0543 101.1557 101 . I 151 101 . I 191 1 01.2976 1 01.3666 101.2814 101.3706 1 01.3828 101.5693 101,5653 101.5369 101.5531 101.6707 101.5369 101.5612 101.7965 101.614

101,7965 101 3167 101.8654 102.0033 101.9344 102.0155 1 01.8898 102.0236 1 01.9263 102.0844 102.0601 102,0358 102.0033 102,2507 102.2791 102,4373 102.3034 102.3967

0.003 0.003 0.005 0.004 0.005 0.004

8; 0.004 0.004 0.004 0.005 0.003 0.006 0.004 0.005 0.005 0.006 0.006 0.005

~ 0.005 I! 0.006

0.006 0.004 0.005 0.005 0.005 0.005 0.006 0.006 0.004 0.007

J 0.005 0.005 0.005 0.004 0.005 0.005 0.006 0.005 0.006 0.005 0.006 0.006 0.007 0.005 0.005 0.003 0.005 0.004

0.005

Apéndice

92.9 93.9 94.9 96 97 98 99 1 O0 1 o1

102.1 103.1 104.1 105.1 106.1 107.1 106.2 109.2 110.2 111.2 112.2 113.2 114.3 115.3 116.3 11 7.3 118.3 119.3 120.4 121.4 122.4 123.4 124.4 125.4 126.5 127.5 128.5 129.5 130.5 131.5 132.6 133.6 134.6 135.6 136.6 137.6 138.7 139.7 140.7 141.7

102.86921 102,896256 102.92301 6 102.952128 102,978306 103.00421 5 103.02986 103.055249 103.080364 103.1 07747 103.1 32366 103.1 56752 103.180902 103.204823 103.228521 103.254333 103277573 103.3006 103.32342 103,346035 103.366449 103.392878 103.414862 103.436697 103,458324 103.479788 103.501 032 103.52421 7 103.545111 103.585834 103.586386 103.606777 103.627002 103,649064 103.668954 103,68869 103.708272 103.727703 103,746987 103.76603 103.787009 103.805846 103.824544 103.8431 05 103.86153 103.881644 103.699791 103.917809

103,9357

102.3197 102.5508 102.3886 102.5022 102.4332 102.6665 102.4698 102.559 102,5792 102.5873 102.7009 102.7293 102.8064 102.924 102.8226 102.924 102.7942 102,8996 103.0416 102.9726 102.9523 103.0984 103.1 105 103,0294 103.0132 103,0537 102.9483 103.0822 103.0902 103.2444 103.0862 103.1673 103.2079 103.2606 103.2728 103.3823 103.2687 103.3012 103.2606 103.4107 103.4958 103.5283 103.3458 103.5586 103.5405 103.6763 103.5972 103.4877 103.654

: 0.005 , 0.003 0.005 0.004 0.005 0.003 0.005 0.005 0.005 0.005 0.004 0.004 0.004 0.003 0.004 0.003 0.005 0.004 0.003 0.004 0.004 0.003 0.003 0.004 0.004 0.004 0.005 0.004 0.004 0.003 0.005 0.004 0.004 0.004 0.004 0.003 0.004 0.004 0.005 0.003 0.003 0.003 0.005 0.003 0.003 0.002 0.003 0.004 0.003

R

Apéndice -~

142.7 143.7 144.8 145.8 146.8 147.8 148.8 149.8 150.9 151.9 152.9 153.9 154.9 155.9 157 158 159 160 161 162

163.1 164.1 165.1 166.1 167.1 168.1 169.2 170.2 171.2 172.2 173.2 174.2 175.3 176.3 177.3 178.3 179.3 180.3 181.4 182.4 183.4 184.4 185.4 186.4 187.5 188.5 189.5 190.5 191.5

103.953464 103.971105 103.990368 104.007753 104.02502 104.0421 69 104.059203 104.0761 23 104.094604 104.1 11289 104,127865 104.1 44332 104.160693 104.1 76949 104.1 9471 104.21 0748 104.226686 104.242524 104.258263 104,273904 104.290999 104.308439 104.321786 104.337041 104.352203 104.367276 104,383752 104.398838 104.413438 104.4281 48 104.442776 104.457318 104,47322 104,487589 104.501877 104.51 6084 104.530212 104.544262 104.559827 104.573514 104.587325 104.601 062 104,614724 104.628312 104.6431 76 104.65661 2 104.669978 104.683273 104.696499

103,5769 103.7189 103.6216 103.7473 103,7757 103.7879 103.9136 103,8081 103,7797 103.942 103,8446 104.1 772 104.0028 103,9825 104.0028 103.9704 103,9825 104,0272 104.0069 104.1488 104.1204 104.1448 104.1569 104.0312 104.0677 104.1975 104.1326 104,3394 104.2989 104.3516 104.2989 104,3638 104,4003 104.3151 104.3597 104.2177 104.3232 104.5138 104,5665 104.5544 104,4733 104.38 104.38

104,5787 104.64 1 7 104.6436 104.4571 104.631 4 104.7369

0.004 0.002 0.004 0.003 0,002 0.002 0.001 0.003 0.003 0.002 0.003

0 0.002 0.002 0.002 0.002 0.002

' 0.002 0.002 0.001 0.002 0.002 0.002 0.003 0.003 0.002 0.002 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.002 0.001 0.003 0.002

0 0 0

0.001 0.002 0.002

0 0 0

0,002 0 0

S

192.5 193.6 194.6 195.6 196.6 197.6 198.6 199.7 200.7 201.7 202.7 203.7 204.7 205.8 206.8 207.8 208.8 209.8 210.8 21 1.9 212.9 213.9 214.9 215.9 216.9 21 8 219 220 22 1 222 223

224.1 225.1 226.1 227.1 228.1 229.1 230.2 231.2 232.2 233.2 234.2 235.2 236.3 237.3 238.3 239.3 240.3 241.3

104,709656 104.724049 104.737064 104.750012 104,762893 104.77571 104,788461 104.802414 104.815032 104.827587 104.84008 104.852512 104.864883 104.878421 104.890686 104.902851 104,914979 104.927048 104,93906

104.952207 104.9641

104.975938 104.98772 104.999448 105.011121 105,023899 105,035461 105.046969 105,058425 105,06983 105.081 183 105.093813 105.1 0486

105.1 16057 105.127205 105,138304 105.149354 105.161454 105.1 72404 105.1 83306 1 05.194162 105.204971 105.21 5734 105.227521 105.238189 105.24881 1 105.25939 105.289924 105.280414

104.5584 104.5706 104.8099 104.6071 104.6274 104.7369 104.7247 104.6599 104.7288 104.9559 104,7085 104.7937 104,7977 104.8789 104,8626 104.9884 104.9559 104,8261 104.7774 104,8748 104.96

104,9275 104.9235 105.0127 105.0086 105,0248 105.0046 104.8991 105.106

105.1 141 105,0654 105.179 105.0208 105.0695 105,3006 105,0938 105.3209 105.1465 105.1 993 105.1587 105.21 95 105,2357 105.256

105.191 1 105.2358 105.3736 105.2155 105.4264 105.21 55

0.001 0.001

, -0.001 ! 0.001 i!

0.001 O

0.001 0.001 0.001 -0.001 0.001 0.001 0.001 O O

-0.001 '1 o

0.001 0.002 0.001

O O

0.001 O O O O

0.001 O

O -0.001 0.001

O , -0.002

O -0.002

O O O O o

O O

-0.001 O

-0.001 0.001

i O '

! o

Apéndice ~~

T

Apéndice

242.4 243.4 244.4 245.4 246.4 247.4 248.5 249.5 250.5 251.5 252.5 253.3 254.6 255.6 256.6 257.6 258.6 259.6 260.7 261.7 262.7 263.7 264.7 265.7 266.8 267.6 268.8 269.8 270.8 271.8 272.9 273.9 274.9 275.9 276.9 277.9 279 280 261 282 283 284

285.1 286.1 287.1 288.1 289.1 290.1 291.2

105.291904 105,302304 105.31 2661 105.322975 105,333248 105,34348 105.354686 105.364831 105,374936

105.385 105.395024 105.40301 5 105.41 5946 105.425849 105,435712 105,445538 105.455325 105.465075 105.475758 105.485427 105.495061 105.504859 105.51 422 105.523745 105.534182 105.543832 105.553048 105.562428 105.571773 105.581084 105.591287 105.600527 105,609733 105.61 8905 105.628044 105.6371 51 105.64713 105.656168 105.665174 105,674147 105.683089

105.692 105.701 765 105.71 O61 105.719424 105,728207 105,73696 105.745683 105,755243

105.2439 0 105.3534 0 105.3209 0 105.325 0 105.3858 0 105,4061 -0.001

105.329 0 105,4913 -0.001 105.5886 -0.002 105,3736 0 105.6535 -0.002

105,5643 -0.001 105.3939 0 105.4994 -0.001 105.6332 -0.002 105.686 -0.002 105.4994 0 105.4872 0 105.398 0.001 105,5724 -0.001 105.5156 0 105.8036 -0.003 105.7225 -0.002 105.7671 -0.002 105.771 1 -0.002 105.5075 0.001 105.8806 ,; -0.003 105,8441 -0.002 105.7062 -0.001 105.7792 -0.002 105.8279 -0.002 105.5888 0 105.9942 " -0.003 105.7914 -0.001 105.7224 -0.001 105,8725 -0.002 105,7914 -0.001 105.8603 -0.002 105.767 -0.001 105.5399 0.001 105.8847 -0.002 105.7673 -0.001 105.8441 -0.001 105.9131 ~ -0.002 105.9171 -0.002 105.8036 -0.001 105.8685 -0.001

105.3493 0

105.402 " o

Apéndice

292.2 293.2 294.2 295.2 296.2 297.3 298.3 299.3 300.3 301.3 302.3 303.4 304.4 305.4 306.4 307.4 308.4 309.5 310.5 31 1.5 312.5 313.5 314.5 315.6 316.6 317.6 318.6 319.6 320.6 321.7 322.7 323.7 324.7 325.7 326.7 327.8 328.8 329.8 330.8 331.8 332.8 333.9 334.9 335.9 336.9 337.9 338.9 340 341

105.763903 105,772534 105.781 135 105.789706 105.798249 105.807613 105.816095 105.82455 105.832976 105.841 373 105.649744 105.858919 105.667231 105.675516 105.883774 105.692005 105.900209 105,909203 105,917352 105,925475 105,933571 105,941642 105.949667 105,958506 105.966498 105,974464 105.962405 105,990322 105.99821 3 106.006866 106.01 4706 106,022522 106.03031 4 106.038081 106.045825 106.054316 106.062011 106.069682 106,07733 106.084955 106,092557 106.1 00892 106.108447 106.115978 106,123487 106.130974 1 06, 138439 106.1 46625 106.1 54044

105.9171 105,9009 106.0956 105.9861 105.81 17 106,055 105,9293 106.0307 106.0429 106.11 18 105.9252 106.0185 106.1159 106.0712 106,0753 105.9901 105,9983 106.091 5 105.9942 106.221 3 106.1807 106.197 106.2781 106.2578 106.3146 106.351 1 106.1848 106,0145 106.2172 106.1524 106.1 727 106.2538 106.2618 105.2578 106.2457 106.2294 106.261 9 106.2781 106.4525 106.2091 106.2172 106.3916 106.2659 106.343 106.2902 106,2578 106.493

106.4525 106.3714

'-0.001 -0.001 '-0.003 -0.002

0 -0.002 -0.001 -0.002 -0.002 -0.003 -0.001 -0.002

-0.002 d0.002 -0.001 -0.001 -0.002 -0.001 -0.003 -0.002

-0.003 -0.003

10.002

-0.002

-0.003 -0.004 -0.002

0 -0.002

-0.001 -0.002 -0.002 -0.002 -0.002 -0.002

-0.002 -0.004 -0.001 -0.001 -0.003 -0.001 -0.002 -0,002 -0.001 -0.003 -0.003 -0.002

-0.001

-0.002

342 343 344 345 346.1 347.1 348.1 349.1 350.1 351 .I 352.2 353.2 354.2 355.2 356.2 357.2 358.3 359.3 360.3 361.3 362.3 363.3 364.4 365.4 366.4 367.4 368.4 369.4 370.5 371.5 372.5 373.5 374.5 375.5 376.6 377.6 378.6 379.6 380.6 381.6 382.7 383.7 384.7 385.7 386.7 387.7 388.8 389.6 390.8

106.161441 106.188816 106.1761 7 106.183503 106.191 544 106.198833 106.2061 106.21 3346 106.220572 106.227777 108.235679 106.242841 108.249983 106.2571 05 106.264207 106.271289 108.279056 106,286096 106.293117 106.3001 18 106.3071 106.314063 106.3217 106.328823 106,335527 106.342412 106,349278 106.356126 106.363637 106.370448 106.377236 106.384008 106,390763 106.397499 106.404888 106.41 1587 106.41 8268 106.424931 106.431 577 106.438206 106.445477 106,452069 106,458644 106.465202 106.471 743 106,478267 106.485424 106.491 91 3 106,498385

106.343 108.3795 106.2943 106.5052 106,4484 106.4606 106.3146 106.5296 106.4282 106.5093 106.6228 106,5823 106,4403 106,5579 106.3632 106.5944 1 06.521 4 106,5336 106,4809 106.5336 106,4322 106.5498 106,5823 106.5417 106.5883 106.691 8 106.5742 106.6391 106.6837 106.635 106.5417 106.5336 106.8053 106.691 8 106.6999 106,6025 106.6512 106.7161 106.7729 106.7567 106.781 106,6837 106.6269 106,5823 106.854 106,5944 106.671 5 106.8256 106,7769

Apéndice

-0.002

-0.001 -0.003 -0.002 -0.002 -0.001 -0.003 -0.002 -0.003 -0.004 -0.003 -0.002 r0.003 -0.001 -0.003 -0.002 :0.002 -0.002 -0.002 -0.001

-0.002 -0.002 -0.002 -0.003 -0.002 -0.003 -0.003 -0.002 -0.002 -0.001 -0.004 -0.003 -0.003 -0.002 -0.002 -0.003 -0.003 -0.003 -0.003 -0.002 -0.002 -0.001 -0.004 -0.001 -0.002 -0.003 -0.003

'!-O. O02

11

!,

-6.002

Apéndice

391.8 392.8 393.8 394.9 395.9 396.9 397.9 398.9 399.9 401 402 403 404 405 406

407.1 408.1 409.1 410.1 411.1 412.1 413.2 414.2 41 5.2 416.2 417.2 418.2 419.3 420.3 421.3 422.3 423.3 424.3 425.4 426.4 427.4 428.4 429.4 430.4 431.5 432.5

106.504841 106.51128 106.51 7703 106,524749 106.531 138 106,53751 106,543867 106,550207 106.556532 106,563471 106,569763 106.576039 106.582299 108.588544 106.594774 106.601609 106,607806 106.61 3989 106.620156 106.626308 106,632445 106.639179 108.645285 106.651377 106.657453 106.66351 5 106,669563 106.6761 99 106.68221 6 106.68821 9 106.894208 106.7001 83 106.706143 106.712684 106.71861 5 106.724532 106,730436 106.736326 106.742202 106.748649 100.754497

106.6756 106.8702 106.6512 106.7283 108.7445 106,9229 106,8337 108.7283 108.9027 106.8175 106.8702 106.8216 106.81 35 106,8459 106.923

106,9432 106.8743 106.996 106.8905 107.1 136 106.8824 106.854 106,8621 106.9087 106,9676 106,9635 106.927 107.073 106.9351 106.9392 106.991 9 107.0162 107.0446 106.9067 106.9879 107,0487 106,9797 106.9432 107.069

107.0244 106.996

-0.002 -0.003 -0.001 -0.002

'i-0.002 -0.004 -0.003 -0.002 ,-0.003 -0.002 -0.003 -0.002 -0.002 -0.002 -0.003 -0.003 -0.002 ~0.004 -0.003 -0.005 -0.002 -0.002 ?0.002 -0.002 -0.003 -0.003 :0.002 -0.004 -0.002 -0.002 -0.003 i0.003 -0.003 -0.002 -0.003 -0.003 -0.002 -0.002 -0.003 -0.003 JO.002 0.003

11

X

Apéndice

APENDICE “F”

PERLITA EXPANDIDAD A 172°C

RADIO DEL AISLANTE EN (m) ~0.001785 DIVISIONES DEL RADIO DEL AISLANTE : I O

XK= 8.00E-02 ALFA= 4.70E-07 Rc= 0.7482

TIEMPO TEMPERATURA TEMP-EXP

6.4 7.4 8.4 9.4 10.4 11.5 12.5 13.5 14.5 15.5 16.6 17.6 18.6 19.6 20.6 21.6 22.7 23.7

25.7 26.7 27.7 28.8 29.8 30.8 31.8 32.8 33.8 34.9 35.9 36.9 37.9 38.9 39.9 40.9 42

24.7

169.1221 88 169.458062 169.751 299 170.011514 170,245397 170,477996 170,670897 170,848944 171.014263 171.168551 171.327169 171.462499 171.590347 171.711499 171.826621 171.936285 172.051199 172.150933 172.246544 172.338361 172.426672 172.51 1736 172,601829 172,680795 172.7571 54 172.831 073 172,902704 172.9721 82 173,046274 173.1 1163 173.1 751 91 173.237053 173,297303 173,356023 173.41329 173.474689

171.8023 171 3428 171.8185 171.8347 171.9767 171.8104 171.8104 171.9442 171.9402 171.8144 171.6887 172,0253 172.0862 172.1 551 1 72.1 1 86 1 71.924 172,0903 172.1632 172.2727 172.4106 172.435 172.4512 172,4309 172.4431 172.6621 172.8811 172.7594 172.8081 172.9379 172.7838 172.9703 172.9136 1 72.9906 173,0474 173.2907 173.201 5

ERROR

-0.016 -0.014 -0.012 -0.01 1 -0 o1 -0.008 -0.007 -0.006 -0.005 -0 004 -0 002 -0.003 -0.003 -0.003 -0.002

0 0 0 0 0 0 0

0.001 0.001 0.001

0 0.001 o 001 0.001 0.002 0.001 0.002 0.002 0.002 o O01 0.002

43 44 45 46

47.1

49.1 50.1 51.1 52.1 63.2 64.2 55.2 56.2 57.2

59.3 60.3 61.3 62.3 63.3 64.3 65.4 66.4 67.4

69.4 70.4 71.4 72.5 73.5 74.5 75.5 76.5 77.6

79.6 60.6

82.6

48.1

58.2

68.4

78.6

a i .6

83.7 84.7

86.7 ai.? 68.7

9o.a 91 .a

05.7

89.6

~~ ~

1 13.5291 26 173.562312 173.634302 173.6651 5 173.739a21 I 73.7a6425 173.a36029 I 73.aa2673 173.92a395 173.973231 174.420054 174.456313 174.106946 I 74.1 48481 174.1 89284 I 74.2293a

174.272697 174.311365 174.349436

174.42371 2 174.459974 174.499216 174.534323

174.602977 174.636555 114.669652

174.737653 174.769345

174.631455 1 74.861 896 174.694925 174.924547 174.953795 174.962677 175.011204

I 74.3a6an

174.56a904

I 74.7022a3

174.ao06oa

175.0393a3 175.0699ag 175.097465 175.124619 175.1 51 451

175.204218 175.232732

115.263692

1 75.17796a

1 75.25a352

Apéndice

113.1 653 173.3637 173.3272

113.1 81 3 173.3962 173.5767 173.2946 173S097 173.6152 173.5219 173.6436

I 73.384

173.a666 173.6a62 173.96ai I 73.85a5 i73.ai4 m . a i 4 a 173.9417 173.9012 174.0005 113.9234 174.1303 114.0046 174.037 174.0775 174.1627 174.2073

114.3006 174.3412 174.2357 114.4426 174.252

174.4263 174.4912. 174.6575 114.51 15 174.5921 174.763 174.5724 174.5562 174.7427 174.763 174.7995

174.9576 174.9157

I 74.2804

174.43a5

1 74.84a2

0.002 0.001 0.002 0.002 0.003 0.002 0.001 0.003 0.002. 0.002 0.005 0.005 0.001 0.003 0.001 0.002 0.003 0.003

0.003 0.002 0.003 0.002

0.003 0.003 0.003 0.003 0.002 0.003 0.002 0.003 0.002 0.004 0.003 0.003. 0.003 0.002 0.003 0.003 0.002 0.003 0.003 0.002 0.002 0.002 0.002 0.002 0.002

11

I¡

0.002 I

0.003 ?.

Z

Apéndice

92.8 93.8 94.8 95.9 96.9 97.9

99.9 100.9 101.9 103 104 105

105.6 107

109.1 110.1 111.1 112.1 113.1 114.2 115.2 116.2 117.2

119.2 120.3 121.3 122.3 123.3 124.3 125.3 126.4 127.4

129.4 130.4 131.4 132.4 133.5 134.5 135.5 136.5 137.5

139.6 140.6 141.6

98.9

ioa.1

118.2

128.4

138.6

175.308757

175.358086 175.384776 I 75.408775

175.456038

175.333553

175.432527

175.479313 175,502356 175.5251 71 175.55001 1 175.572363 175,594502 175.607884 175.638154 175.661816 I 75.6831 19

175.745875

175.7aaai 3 i75.aoa~a3 175.82a97a 175.846803 175.868458 175.887949

175.92a351

175.~61a5 175.984872

176.041 a62

176.077aga

176.1133ai

175,704227 175.725145

175.766421

175.9092

175.947345

176,00341 176.023631

176,05995

176.095707

176.1 30921 178.150062 176.1 67327

176.201475

176.236795 176.253427 176.26994

1 76.1 84464

I 7ci.21 a361

176.2ams

174.9495 I 74.0847 174.836

174.9252 174.9455 174.909

175.0955

175.1 199

175.1 564 175.2375

175.343

175.41 19 175,3064

175.4444 175.41 19

175.0834

174.982

175.2984

175.1 I i a

175.2781

175.4281

175.3389 175.5498 175.4484 175,5904 175.6391 175.5255 175,5093 175.541 7 175.6309

175.6391 175.4606 175.9716

175.6877

175.8135 i75.69ia

i 75.6877 175.8986 I 75.8216

175.85

175.7567 175.7972

175.7242

176.1339 175.9392 175.9311 175.7729 176.1095 175.9473

II 0.002 0.003 0.003 0.003 0.003 0.003 0.002 0.002 0.003 0.002 0.001 0.002 0.002 0.003 0.002 0.002 0.002 0.002 0.002 0.002 0.002 0.003 0.001 0.002 0.001 0.001 0.002 0.002 0.002 0.002 0.002 0.002 0.003

0 0.001 0.002 0.002 0.002 0.002 0.001 0.002 0.003 0.002

0 0.002 0.002 0.003 ,0.001 .0.002

Apéndice

142.6 143.6 144.7 145.7 146.7 147.7

149.7 150.8 151.8 152.8 153.8 154.8 155.8 156.9 157.9

. . 158.9 159.9 160.9 161.9 162.9 164 165 166 167 168

169.1 170.1 171.1 172.1 173.1 174.1 175.2 176.2 177.2 178.2 179.2 180.2 161.3 182.3 183.3 184.3 185.3 186.3 187.4 188.4 189.4 190.4 191.4

,148.7

176.302617 176.316784 176.336438 176.352371 176.3681 95 176.383912 176.399522 176.41 5028 176.431 965 176.447256 176.462446 176.477538 176.492531 176,507428 176,523704 176.538402 176.553006 176.567521 176.581 945 176.596278 176.810524 176.626093 176.640157 176.6541 36 176.668031 176.681643 176.696941 176.710582 176.7241 43 176.737624 176.751 028 176.764355 176.778926 176,792093 176.6051 85 176.61 8204 176.831 151 176.844025 176.8581 04 176.870829 176.883485 176,896072 178.908591 1 76.921 042 176.934662 176.946974 176.959221 176.971 404 176.983523

176.1582 176.0808 176.1 095 176.1704 176.2089 176.2514 176.2271 176.3488 176.0892 176.2231 176.3001 176.2839 176.1 785 176.3083 176.2353 176.3366 176.438

176,4705 176.434

176.3853 176.5192 176.4543 176.4543 176.5516 176.4583 176.6895 176.5759 176.6367 176.5637 176.5475 176.5192 176.4989 176.726

176.71 38 176.8071 176.8355 176.9977 176.6732 176.8882 176.8517 176.8112 176.722 176.8558 176.8922 176.8193 176.8315 176.9531 177.0018 176.9369

. .

4. 0.001

0.001 0.001 0.001 0.001 0.001

0 0.002 0.001 0.001 0.001 0.002 0.001 0.002 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001

0.001 0.001

0 0.001

0 0.001 0.001 0.001 0.002

0 0 0 0

-0.001 0.001

0 0 0 ,I

0.001 0 0

0.001 0.001

0 0 0

0.001

0.001

BB

Apéndice

192.4 193.4 194.5 195.5 196.5 197.5

199.6 200.6 201.6 202.6 203.6 204.6 205.7 206.1 207.7

209.1

198.5

208.7

210.7. 211.a 212.8 213.8 214.8 215.8 216.8

218.9 217.9

219.9 220.9 221.9 222.9 223.9 225 226 227

229 230.1 231 .I 232.1 233.1 234.1 235.1 236.2 237.2

239.2 240.2 241.2

228

238.2

176.9955ia 111.001572 1 77.020693 177.032557 117.04436

177.056104 i i i .067iaa i77.oaom

177.10363a 171.115oa6

17i.13iaii

117.0921 34

177.126476

177.1 50216 171.161436 171.1 12601

177.194772 I 77.1 a3713

i i7.205na 1ii.217a24 i77.22a721 i i i . 2 3 9 ~ 3 a

I 77.261 1 oa 177.271 a04 I 77.2a3512

111.250363

111.2941 05 171.30465 111.31 51 41 177.325596

117.346354 171.357692 177.367951

iii.33599a

I 77.37ai 65 177.3aa334 111.39a459

177.41 9518 111.409545

177.429567 111.43951 3 177.44941 7

111.470077 i i i .4592ia

m . m a 5 1 I 77.4a9584

1ii.5oa92i I 77.518539

177.499276

1 16.945 176.7869

176.9045 177.0505 176.9734 176.9775 1 17.1 072 176.9409 111.1 356 111.0505 177.1437

177.2005 171.164,

171.1965

177.261 4 177.1032

176.an

I 71.1 a43

in .oa7

ii7.1aa4

177.35ai I 77.2857

i77.2a57 117.4276

177.3222 117.21 67 177.2614 177.2695 I n.3a3 I 71.31ai 117.301 9 171.4236 171.4236 i i i . 31a i 177.3141 111.3019 117.2573 177.3992 177.4763 111.4073 177.4723 177.5615 171.5655

177.4195

177.6629 177.6912 117.61 83

I 77.4358

i i i . 5 a w

. . O i 0.001 0.001 0.001

O O

O 0.001

O O O O O O O O O O

0.001 -0.001

O -0.001

O O O O O O O o O O o I/

O O

0.001 O O O O

-0.001 I,

-0.001 O O

-0.001 -0.001 ,i

-0.001 -0.001

0.001

!I

I

It

1

cc

Apéndice

242.3 243.3 244.3 245.3 246.3 241.3

249.4 250.4 251.4 252.4 253.4 254.4 255.5 256.5 257.5 258.5 259.5 260.6 261.6 262.6 263.6 264.6 265.6 266.7

248.4

287.7 268.7 269.1 270.7 271 .7 272.8 273.a 274.a 275.a 276.a 277.8 278.9

280.9

282.9

284.9 286 287 2aa 289

219.9

201.9

203.9

290 291.1

177.529065 177.53a594 177.548oa3 177.557533 177.566945 177.57631 9 177sa65a7 177.595a02 i77.ao5139 177.61436 177.623544 171.632692 1 77.64 1 004 177.651 785 177.660a22 I 77.669a24 177.67a791 177.607723 171.697509 177.10637 177.71 5191 177.72399 177.732749 177.741476 177.751030 177.759696

111.11691 6

177.794009 177.003356

177.76a322

I 77.7a547a

177.01 1821 I 77.a20255

177.a37031 177.a45374

177.aa2797 177.a7104a

177.0a7461

177.020650

177.05451 7

177.079269

177.095624 177.903759 177.91 2614 177.920749 177.920796

177.944006 171.953565

I 77.936ai 5

1 77.5007 177.6953 177.6345

177.7926 177.6993 177.7359 117.602 177.6994 177.590 177.7521 177.602

177.9224

I 77.a73a

177.6a72

1n.ao09 I 77.748 177.7765 177.7643 177.6994 171.9306

177.7602

177.0019 177.7075

177.963 178.0116

I ??.a332

I 7 7 . a ~

177.a21

177.a373 177.ao4a

I 78.0230 I 77.9813 1 70.oa07 17a.1211 170.08a7 I 77.a901

17a.0441 17a.036

17a.1009 17a.0522

I 7a.1049 i7a.0076 i7a.1617 I 7a.oao6 17a.oi57

1 77.9509 177.9346

170.0402

177.9549

‘ O -0.001

0 -0.002 -0.001 -0.001 -0.001

0 -0.001

0 -0.001

0 0

-0.002 -0.001

0 -0.001

0 0

-0.001 -0.001

0 -0.001 -0.001

0 0

-0.001 -0.001

0 0

-0.001 -0.001 -0.001 -0.001 -0.001 -0.002 -0.001

0 -0.001 -0.001 -0.001 -0.001 -0.001

0 -0.001

0 -0.001 -0.001

0

DD

Apéndice

292.1 293.1 294.1 295.1 296.1 297.2 290.2 299.2 300.2 301.2 302.2 303.3 304.3 305.3 306.3 307.3

309.4 310.4 31 1.4 312.4 313.4 314.4 315.4 316.5 317.5

319.5 320.5 321.6 322.6 323.0 324.6 325.6 326.6 327.7

329.7 330.7 331.7 332.7 333.0 334.0 335.0 336.0

330.0 339.9 340.9

308.3

318.5

328.7

337.8

177.961499 117.969405 1 77.977285 177.9a513a

I 7a.ooi 543 1 7a.009314 17a.017059 178.024778

177.992964

178.032472 178.04014

178.040546 178.056161 170.063751 17a.071316 170.07a057 iia.oa6373 i 7a.094613 178. I 02078

i7a.i 2433

110.10951 9 178.1 16937

178.1 31 7 170.139047 170.147102 170.1544

170.161675

170.176157 I 78.~30927

I 78.1 $4083 178.1 91 286 17a.19a426 i7a.205564 178.212ea 170.219775 178.227553 178.234002 170.24163 I 70.24a636 tia.255621 170.2625a5 17a.270222

1 fa.284042

17a.29770

170.31 a91 4

170.2771 42

110.290921

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170.1 516

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Apéndice

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I Cenidet · 2014-03-10 · resistencia de contacto. Esto es debido a que la resistencia de contacto es más representativa del fenómeno real. Por otro lado si en el modelo que presenta