I INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

I

PRESENTA:

ING. MIGUEL ANGEL CERRO RAMIREZ

T E S I S P A R A O B T E N E R E L G R A D O

D E M A E S T R O

E N I N G E N I E R ÍA D E M A N U F A C T U R A

EVALUACIÓN NUMÉRICA DEL COMPORTAMIENTO

MECÁNICO DE UNA TOBERA DE LAVAL

DIRIGIDA POR:

DR. LUIS ARMANDO FLORES HERRERA. DR. JUAN MANUEL SANDOVAL PINEDA

MEXICO 2014

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENÍERIA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN UNIDAD AZCAPOTZALCO

La vida es como una bicicleta. Si quieres mantener el

equilibrio tienes que mantenerte en movimiento.

Albert Einstein

Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval



Dedico el presente trabajo de investigación en especial a mis padres quienes han sido el pilar central

sobre el cual me he apoyado durante toda una vida, quienes han sabido enderezar mi camino cuando

se ha torcido, y darme la mano cuando siento que el camino se ha acabado, a ustedes por siempre

mi corazón y agradecimiento.

Vicente Martin Cerro Álvarez.

Bertha Olivia Ramírez Valverde.

A mi hermana por brindarme una mano de manera incondicional siempre que se lo he pedido.

Dulce Denisse Cerro Ramírez.

A mis abuelos, quienes han creído en mí y siempre me dan ánimos para seguir.

Vicente Cerro Castro.

María Paula Valverde.

A toda mi familia.


Agradezco infinitamente a los doctores de la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación de

la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica unidad Azcapotzalco en especial a los

doctores:

Dr. Luis Armando Flores Herrera.

Dr. Juan Manuel Sandoval Pineda.

Dr. Pedro Alejandro Tamayo Meza.

Que sin su apoyo nada de esto hubiera sido posible.

Al Instituto Politécnico Nacional a quien debo toda mi formación académica.

A mis compañeros y amigos que tiene el conocimiento y lo comparten. Y que hicieron de la

estancia en la maestría una época inolvidable

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología por el apoyo económico brindado durante estos dos

años de estudios.


Resumen.

RESUMEN.

Durante el presente trabajo de investigación se logró unificar dos áreas de la mecánica, como son

la mecánica estructural y la mecánica de fluidos, por medio de la mecánica computacional, para

obtener un fin común que es el de conocer los efectos estructurales de la tobera de tipo De Laval,

debido al paso de un flujo de trabajo a presión.

Para lograr esto se lleva a cabo la investigación histórica del uso del elemento finito en la industria

aeroespacial. Así como en la indagación de las principales relaciones termodinámicas que se usan

para realizar el dimensionamiento del perfil de la tobera. Se realiza la investigación sobre la teoría

general de elemento finito para plantear una metodología correcta para realizar la evaluación

numérica por medios computacionales en el programa de computo ANSYS® (mecánica

computacional), que nos ayuda para ampliar el criterio sobre las condiciones básicas para obtener

una simulación que de buenas resultados.

Con la investigación y la comprensión de las principales relaciones termodinámicas, se lleva acabo

el dimensionamiento de un perfil de tobera para 5000 N que trabaje a presión atmosférica de la

Ciudad de México; posteriormente se lleva a cabo una investigación general de la mecánica de

fluidos, para poder llevar acabo las simulaciones numéricas de flujo que se emplea para definir los

perfiles de presión en las paredes internas de la tobera.

Con un espesor de pared arbitrariamente propuesta de 3mm se encontró que los esfuerzos máximos

se encuentran en el soporte de la tobera y en la garganta de la misma. La importancia de este estudio

nos permite realizar un mejor diseño mecánico de toberas de cohete de tipo De Laval.

Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval i

Abstract

ABSTRACT.

During this research we were able to unify two areas of mechanics, such as structural mechanics

and fluid mechanics, through computational mechanics, for a common goal which is to understand

the structural effects of the nozzle De Laval type due to the passage of a workflow pressure.

To accomplish this is performed using historical research finite element in the aerospace industry.

As in the investigation of the main thermodynamic ratios used for sizing nozzle profile. Research

on the general theory of finite element is performed to raise a proper methodology for the numerical

evaluation by computational means in the computer program ANSYS ® (Computational

Mechanics), which helps us to expand the criterion on the basic conditions for a good simulation

results.

With research and understanding of the main thermodynamic relations, takes just sizing profile

nozzle for 5000 N to work at atmospheric pressure in Mexico City; subsequently carrying out a

comprehensive investigation of fluid mechanics, to carry out numerical flow simulations that are

used to define the pressure profiles in the inner walls of the nozzle.

With a wall thickness of 3mm arbitrarily proposal was found that the maximum stresses are found

in the nozzle holder and throat thereof. The importance of this study allows us to better mechanical

design of rocket nozzles De Laval type.

Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval ii

Objetivos.

Objetivos.

Determinar el comportamiento mecánico de una Tobera de tipo De Laval mediante el análisis

numérico de deformaciones y esfuerzos que surgen como resultado del paso de un fluido a presión.

Para lo cual se aplica el análisis de un modelo computacional de elementos finitos resuelto por el

software ANSYS®.

Para lograr el objetivo general se deben de cumplir los siguientes objetivos particulares.

Objetivos Particulares:

• Determinar el perfil de la tobera mediante el desarrollo de cálculos analíticos.

• Investigar cuáles son los materiales comúnmente más empleados en la fabricación de las

toberas de tipo De Laval.

• Realizar la simulaciones de flujo por medio del software Fluent de ANSYS® para obtener

el gradiente de presión que se encuentra a lo largo del perfil de la tobera.

• Realizar el proceso de intercambio de datos y la simulación mecánica por medio del

Software Structural Mechanical de ANSYS® para obtener la distribución de los esfuerzos

a lo largo de la Tobera De Laval.

Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval iii

Justificación

Justificación.

En el marco de la reciente creación o reapertura de la Agencia Espacial Mexicana (AEM), y la

colaboración que se tiene con el Instituto Politécnico Nacional (IPN), se presenta este trabajo de

investigación; para dar a conocer los aspectos básicos, pero fundamentales, del desarrollo de una

de las partes principales de un cohete (lanzador de carga útil). La AEM ha expuesto un programa

nacional de actividades espaciales como un instrumento estratégico y que ha sido desarrollado a

través de cinco ejes principales:

• Eje 1. Capacitación del capital humano en el campo espacial.

• Eje 2. Investigación científica y desarrollo de tecnología espacial.

• Eje 3. Desarrollo industrial, comercial y competitivo en el sector espacial.

• Eje 4. Estandarización y negocios internacionales y cuestiones de seguridad espacial.

• Eje 5. Financiamiento, organización e información tecnológica en cuestiones espaciales.

La AEM ha propuesto y presentado una selección de tecnologías que son relevantes para México

teniendo en cuenta las usadas por la “National Aeronautics and Space Administración” (NASA) y

las ha agrupado en cuatro diversas áreas (AEM y ProMexico, 2012) que son:

a) Modelaje, simulación, sistemas de información y procesamiento

b) Materiales, estructuras, sistemas mecánicos y manufactura

c) Comunicación y navegación

d) Instrumentos científicos, observatorios y sistemas remotos de sensores.

En ese sentido es sumamente importante abordar y establecer los fundamentos para que este

proyecto nacional se desarrolle y existan las bases teóricas suficientes para que a corto plazo se

desarrolle y manufacture en nuestro país esta tecnología.

Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval iv

Índice.

Índice general

Resumen i

Abstract ii

Objetivo iii

Justificación iv

Índice general V

Índice de Figuras Viii

Índice de Tablas xii

Glosario xiii

Simbología xv

Introducción xviii

Capítulo 1. Estado del Arte. 1

1.1 Generalidades. 2

1.2 Desarrollos tecnológicos. 2

1.3 El método del elemento finito en la tecnología espacial. 5

1.4 Planteamiento del problema. 8

1.5 Sumario. 9

Capítulo 2. Descripción del problema. 10

2.1 Generalidades 11

2.2 Componentes generales de un cohete. 11

2.3 Sistemas de propulsión. 16

2.3.1 Sistemas de propulsión de combustible sólido. 17

2.3.1 Motores de combustible híbrido. 17

2.3.3 Motores de combustible líquido. 18

2.4 ¿Qué es la propulsión? 22

2.5 ¿Qué es el empuje? 23

2.6 Tobera. 24

2.7 Tipos de tobera. 25

Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval v

Índice.

2.8 Tobera ideal. 27

2.9 Principios termodinámicos con flujo isentropicos. 29

2.10 Flujo isentropico través de tobera. 33

2.11 Configuración de tobera. 34

2.12 Dimensionamiento de la tobera. 37

2.13 Uso de las simulaciones numéricas en la tecnología espacial. 42

2.14 Condiciones de la simulación. 43

2.15 Sumario. 44

Capítulo 3. Marco Teórico 45


3.2 Análisis de flujo. 46

3.2.1 Ecuaciones de gobierno. 47

3.2.2 Modelos de turbulencia. 49

3.2.3 Discretización espacial. 54

3.2.4 Condiciones de contorno. 58

3.3 Análisis mecánico. 59

3.3.1 Hipótesis de la discretización. 62

3.4 Mallado. 70

3.5 Características para la discretización. 72

3.5.1 Discretización del volumen del control. 72

3.5.2 Discretización del solido 72

3.5 Sumario. 74

Capítulo 4. Evaluación numérica 75


4.2 Generación de la geometría. 77

4.3 Generación del archivo de intercambio de datos. 78

4.4 Errores de intercambio de datos. 78

4.5 Análisis de flujo 80

4.5.1 Pre-procesamiento (mallado) 81

Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval vi

Índice.

4.5.2 Procesamiento 83

4.5.3 Post-procesamiento 89

4.6 Análisis mecánico 96

4.6.1 Pre-procesamiento 96

4.6.2 Procesamiento 100

4.6.3 Post-procesamiento 101

4.7 Sumario 110

Conclusiones. 112

Trabajo Futuros. 115

Referencias. 116

Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval vii

Índice de figuras.

ÍNDICE DE FIGURAS.

Figura 2.1 Componentes generales de un cohete 12

Figura 2.1 Fuselaje de un cohete 13

Figura 2.3 Figura 2.3 Carga útil 14

Figura 2.4 Figura 2.4 Sistemas guía 14

Figura 2.5 Figura 2.5. Partes del cohete Soyuz 15

Figura 2.6 Clasificación de los sistemas de propulsión. 16

Figura 2.7 Componentes de un motor de combustible sólido. 17

Figura 2.8 Componentes de un motor de combustible hibrido. 18

Figura 2.9 Componentes principales de un sistema de alimentación por gas 19

Figura 2.10 Componentes principales de un ciclo generador de gas 20

Figura 2.11 Ciclo expansor; a) Ciclo cerrado; b) Ciclo cerrado 21

Figura 2.12 Ciclo de combustión escalonada 22

Figura 2.13 Distribución de la presión en la tobera 24

Figura 2.16 Secciones de una tobera 25

Figura 2.17 Perfil normalizado para el diseño de la tobera 40

Figura 2.18 Angulo inicial y final de una tobera contorneada 41

Figura 2.19 Dimensiones generales de la tobera 42

Figura 2.20 Ciclo de validación para piezas espaciales. 43

Figura 2.21 Condiciones empleadas para la realización de la simulaciones 44

Figura 3.1 Análisis numérico de campos acoplados. 46

Figura 3.2 Algoritmo de solución CFD Fluent 47

Figura 3.3 Simplificación de los modelos viscosos 50

Figura 3.4 Esquema general del procedimiento de la solución computacional. 55

Figura 3.5

Representación de una malla cartesiana para el método de

Diferencias Finitas

Una dimensión; b) Dos dimensiones

56

Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval viii

Índice de figuras.

Figura 3.6 Representación de una malla para volumen finito

a) Malla estructurada; b) Malla no estructurada 57

Figura 3.7 Condiciones de contorno en el contacto del flujo con una superficie

a) No deslizamiento; b) Tangencia 59

Figura 3.8 Proceso del análisis por medio de elemento finito 61

Figura 3.9 Elemento Truss tridimensional 65

Figura 3.10 Elemento Beam tridimensional 66

Figura 3.11 Elemento bidimensional

a) Triangular; b) Cuadrilátero 66

Figura 3.12 Mallado con elementos triangulares y cuadriláteros. 67

Figura 3.13 a) Cilindro bajo presión; b) Modelo axisimetrico;

c) Elementos finitos cuadrilátero y triangular 68

Figura 3.14 Elemento tipo brick y sus grados de libertad por nodo (8 nodos) 68

Figura 3.15 a) Tetraedro de 5 nodos; b) Tetraedro de 10 nodos 69

Figura 3.16 Equivalentes de algunas figuras isoperimétricas. 70

Figura 3.17

a) Malla estructurada, generada por un mapeo de triángulos del

cuadrado unitario a la región; b) Malla no estructurada, generada

usualmente por algún criterio de ángulo mínimo sobre el conjunto

de nodos de la malla estructurada.

71

Figura 3.18 Figura 3.18 Descripción grafica del elemento SOLID 186 a) Hexaédrico; b) Tetraédrico; c) Piramidal d)Prismático 73

Figura 3.19 Descripción grafica del elemento SOLID 186 73

Figura 3.20 Descripción grafica del elemento SOLID 186 74

Figura 4.1 Esqueleto de una simulación fluido-mecánica en ANSYS®. 76

Figura 4.2 Solidos creados en CATIA. 80

Figura 4.3 Tobera y Flujo de control. 80

Figura 4.4 Malla del volumen de control. 81

Figura 4.5 Detalle de la malla del volumen de control 81

Figura 4.6 Rangos de calidad Orthogonal Quality 83

Figura 4.7 Rangos de calidad Skewness 83

Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval ix

Índice de figuras.

Figura 4.8 Residuales de la simulación de flujo (3D), Criterio de

convergencia(0.001) 85

Figura 4.9 Residuales de la simulación de flujo (3D), Criterio de

convergencia(0.000001) 86

Figura 4.10 Mallado del flujo en un espacio 2D 87

Figura 4.11 Residuales de la simulación de flujo 2D. 89

Figura 4.12 Contorno de velocidades. ; a) Simulación 3D; b) Simulación 2D 90

Figura 4.13 Grafica comparativa de velocidad vs longitud de la tobera 91

Figura 4.14 Contorno de presiones. ; a) Simulación 3D; b) Simulación 2D 92

Figura 4.15 Grafica comparativa de velocidad vs longitud de la tobera 93

Figura 4.16 Grafica comparativa de velocidad vs longitud pared de la tobera 94

Figura 4.17 Distribución de la presión en la pared de la tobera (Simulación 3D). 96

Figura 4.18 Malla de la tobera 98

Figura 4.19 Detalle de la malla de la tobera 99

Figura 4.21 Condiciones de frontera (simulación mecánica) 100

Figura 4.22 Vectores de la presión aplicada a la tobera 101

Figura 4.23 Distribución de los esfuerzos en la tobera. 101

Figura 4.24 Distribución de los esfuerzos internos a lo largo de la tobera. 102

Figura 4.25 Detalle de los esfuerzos máximos. 102

Figura 4.26 Esfuerzos a 0-1 mm de pared. 103

Figura 4.27 Grafica de la distribución de esfuerzos en la pared de la tobera 104

Figura 4.28 Grafica de la distribución de esfuerzos a 1 mm de la pared de la

tobera 105



tobera 106



tobera 108

Figura 4.33 Grafica de comparativa de distribución de esfuerzos 109

Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval x

Índice de tablas.

ÍNDICE DE TABLAS

Capítulo 2

Tabla 2.1 Diferentes configuraciones de tobera 26

Tabla 2.2 Clasificación de la toberas de acuerdo a su velocidad 36

Tabla 2.3 Datos iniciales para el calculo 38

Tabla 2.4 Parámetros geométricos para el diseño de la tobera 41

Capítulo 4

Tabla 4.1 Generalidades de la malla. 82

Tabla 4.2 Valores de calidad de malla. 82

Tabla 4.3 Generalidades de la simulación de flujo. 84

Tabla 4.4 Generalidades del criterio de convergencia. 84

Tabla 4.5 Generalidades del criterio de convergencia menor. 85

Tabla 4.6 Generalidades de la malla plana. 87

Tabla 4.7 Valores de calidad de malla plana. 87

Tabla 4.8 Generalidades de la simulación de flujo bidimensional. 88

Tabla 4.9 Generalidades del criterio de convergencia de la simulación bidimensional. 89

Tabla 4.10 Valores comparativos de velocidad 90

Tabla 4.11 Valores comparativos de presión. 92

Tabla 4.12 Valores comparativos de presión en la pared de la tobera 95

Tabla 4.13 Tabla comparativa del comportamiento de la presión. 95

Tabla 4.14 Materiales usados en la construcción de la cámara de combustión y tobera. 97

Tabla 4.15 Propiedades del Inconel 600. 98

Tabla 4.16 Generalidades de la malla mecánica. 99

Tabla 4.18 Valores de calidad de la malla mecánica. 99

Tabla 4.19 Valores máximos y mínimos de esfuerzo en la pared de la tobera 103

Tabla 4.20 Valores máximos y mínimos de esfuerzo en la pared de la tobera (1mm) 104



Conclusiones

Tabla I Valores comparativos de velocidad. 113

Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval xi

Glosario

GLOSARIO

Cohete Es un vehículo, aeronave o nave espacial que obtiene su empuje por la reacción de la

expulsión rápida de gases de combustión del motor. A ciertos tipos de cohete se los

denomina misil y en este cambio de nombre no interviene el tamaño o potencia, sino

que generalmente se llama misil a todo cohete de uso militar con capacidad de ser

dirigido o manejado activamente para alcanzar un blanco

Propelente Es una fuente de energía termoquímica que se utiliza en determinados

vehículos como medio de propulsión, y que no necesita del aire

atmosférico para funcionar.

Combustible Es cualquier material capaz de liberar energía cuando se oxida de forma

violenta con desprendimiento de calor.

Oxidante Es cualquier sustancia que en ciertas condiciones de temperatura y presión

puede combinarse con un combustible, provocando la combustión;

actúa oxidando al combustible y por lo tanto siendo reducido por este

último.

Carga Útil Es la carga que va a transportar el cohete, esta puede ser: satélites,

suministros para la estación espacial, explosivos, etc.

Mach Es una medida de velocidad relativa que se define como el cociente entre

la velocidad de un objeto y la velocidad del sonido en el medio en que se

mueve dicho objeto

Flujo

másico

En física e Ingeniería, es la magnitud que expresa la variación de la masa

en el tiempo a través de un área específica.

Convergente Superficie tiende hacia un mismo punto.

Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval xii

http://es.wikipedia.org/wiki/Veh%C3%ADculo

http://es.wikipedia.org/wiki/Aeronave

http://es.wikipedia.org/wiki/Empuje

http://es.wikipedia.org/wiki/Gases_de_combusti%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Misil

Glosario

Divergente Superficie que se aparte de otra.

Condiciones

de frontera.

Son las condiciones con las cuales está restringido un sistema, para la

simulación del modelo.

Modelo Representación geométrica del elemento mecánico a analizar, en un

espacio computacional.

Aguas

Arriba

Punto de referencia en un análisis de flujo. Donde comienza un análisis de

flujo

Aguas

abajo

Punto de referencia en un análisis de flujo. Donde termina o segundo

punto de análisis de un flujo

Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval xiii

Simbología

Simbología.

Δv Diferencia de velocidades.

𝑔𝑔𝑜𝑜 Gravedad estándar de la tierra.

𝐼𝐼𝑆𝑆 Impulso especifico.

M0 Masa inicial del cohete.

Mf Masa final del cohete.

𝑀𝑀𝑐𝑐𝑐𝑐 Masa de la carga útil.

𝑀𝑀𝑝𝑝𝑝𝑝 Masa del propelente.

𝑀𝑀𝑖𝑖 Masa inerte del cohete.

𝑇𝑇𝑚𝑚 Empuje del motor.

𝑃𝑃𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑝𝑝𝑚𝑚 Presión del vapor.

𝐴𝐴 𝑛𝑛𝑜𝑜𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑠𝑠 Área de salida de la tobera.

F Fuerza producida por el sistema de propulsión.

�̇�𝑚 Flujo másico (0 de estancamiento, “x” “y” en diferentes puntos de la tobera).

𝑣𝑣 Velocidad del flujo en salida de la tobera. (“1” inicio de la sección

convergente, “t” garganta, “2” salida de la tobera, “x” “y” en diferentes puntos

de la tobera).

�̇�𝑤 Velocidad del flujo másico.

h Entalpia (0 de estancamiento, “x” “y” en diferentes puntos de la tobera).

Cp Calor especifico a presión constante.

Cv Calor especifico a volumen constante.

T Temperatura (0 de estancamiento, “x” “y” en diferentes puntos de la tobera).

A Área de sección transversal (“1” inicio de la sección convergente, “t” garganta,

“2”, “c” cámara de combustión salida de la tobera , “x” “y” en diferentes

puntos de la tobera).

J Equivalente mecánico del calor

V Volumen especifico del fluido. (“1” inicio de la sección convergente, “t”

garganta, “2” salida de la tobera, “x” “y” en diferentes puntos de la tobera).

R Constante universal de los gases afectados por el peso molecular del gas.

ɱ Peso molecular propio del gas

𝛾𝛾 Relación de volúmenes específicos

Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval xiv

Simbología

a Velocidad del sonido (“0” de estancamiento, “x” “y” en diferentes puntos de la

tobera)

M Numero Mach

𝜀𝜀 Relación de expansión

Lcono Longitud del cono

Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval xv

CAPÍTULO 1

Estado del arte

La Tierra es la cuna de la mente; pero uno no puede vivir eternamente en una cuna.

Konstantín Eduárdovich Tsiolkovski, Fundador de la teoría de la cohetería contemporánea. (URRS 1857-1935)

Capítulo 1|

1.1 Generalidades

El incremento de la demanda de altos rendimientos en los cohetes lanzadores promueve un alto

desarrollo en los sistemas de propulsión, básicamente la mayoría de las investigaciones se han

enfocado en la relación de expansión de la tobera, sin enfocarse mucho en la disminución del

peso el cual es un factor primordial en la optimización de los sistemas de propulsión. Asimismo

se han realizado numerosos estudios del flujo a través de la tobera mediante simulación numérica

abarcando numerosos temas, desde los modelos viscosos, inestabilidades en el flujo, hasta el flujo

transitorio, para apreciar el comportamiento del flujo ya sea de manera estable (Cuasi estático) o

de manera transitoria en donde se observan las diferentes fases del flujo al pasar por la tobera. Sin

embargo simulaciones numéricas con un enfoque mecánico de los sistemas de propulsión en

donde se podrían apreciar los esfuerzos mecánicos de las mismas y poder disminuir material en

ciertas zonas, mejorando el rendimiento del sistema de propulsión disminuyendo el peso del

sistema de propulsión de acuerdo con la ecuación de Tsiolkovski [Maksimov, 2007] no han sido

totalmente desarrolladas.

1.2. Desarrollos tecnológicos.

A principios del siglo 20, Robert H. Goddard un científico de los Estados Unidos de Norte-

América conducía experimentos prácticos con propelentes líquidos, lo cual era más complicado

que experimentar con combustibles sólidos, estos requerían de un tanques de oxidante, un tanque

de combustible, turbo-bombas, cámara de combustión, etc. El 16 de Mazo de 1926 Goddard logra

el primer vuelo exitoso de un cohete que funcionaban a base de una mezcla combustible líquido a

base de oxígeno y gasolina, este cohete marcó el comienzo de los propelentes almacenables, que

hoy en día son el núcleo de la mayoría de los cohetes [Cassio, et.al., 2009].

A comienzos de 1930´s el enfriamiento regenerativo para un cohete con motor propelente líquido

fue diseñado por un científico alemán llamado Eugen Saenger, este sistema de propulsión

demostró ser un importante desarrollo de los grandes motores de propulsión líquida debido al alto

rendimiento que poseen [Cassio, et.al., 2009].

Evaluación numérica del comportamiento mecánico De Laval 2

Capítulo 1|

De 1933 a 1934 Robert H. Goddard, desarrolló y probó en tierra el primer motor de cohetes para

grandes alturas equipado con turbo-bombas. En 1939 Goddard prueba exitosamente un motor de

cohete equipado con turbo-bombas con generador de gases [Sutton, 2006].

En 1942 los alemanes formados por el investigador Von Braun y su equipo prueban el primer

motor de cohete llamado el A4 a base LOX/alcohol el cual es desarrolla un gran empuje. La

presión en la cámara se mantenía moderada y el desarrollo de los grandes motores se vio

obstaculizado por las bajas frecuencias de inestabilidades hidráulicas que se presentaban en el

caso de motores de propelente almacenable [Cassio, et.al., 2009].

En 1949 Alexey Isaev propone un motor de combustible líquido de combustión escalonada. El

primer motor de combustión escalonada fue el S1 5400 usado en un cohete soviético, este fue

diseñado por un ex asistente de Alexey Isaev [Sutton, 2006].

En 1950 la propulsión nuclear estaba siendo altamente estudiada en USA, a consecuencia de un

mejor conocimiento de la aplicación del hidrogeno para la propulsión y basado en el ciclo

termodinámico del hidrogeno se llegó a la conclusión de que este tipo de propulsión era plausible

para el uso en la propulsión de cohetes [Cassio, et.al., 2009]. Se puso un mayor énfasis en la

década de los 60´s en el desarrollo del programa Rover/NERVA dirigido por el laboratorio de

propulsión “Los Alamos” en donde se desarrolló la tecnología para un motor nuclear para cohete

y fueron demostradas sus altas capacidades en cuanto a empuje [Robbins y Finger, 1991].

En 1957 Koroliov desarrolla un misil balístico intercontinental de múltiples etapas llamado R7.

El cual va disminuyendo la masa bruta del cohete, esto mejora la eficiencia del cohete. Logrando

tener un mayor impuso especifico [Reuter, 2000].

A inicios de los 1960`s la compañía Messerschmitt-Boelkow-BlohmGmbH (MBB) ubicada en

Ottobrun Alemania desarrolla una tecnología innovadora la cual permitía el diseño de las cámaras

de combustión a presión. Esta consistía en una pared interna de cobre con ductos de refrigeración

fresados y recubiertos con una camisa de níquel estructural, la carcasa de níquel se obtuvo

mediante electrodeposición sobre la pared fresada de cobre. Este progreso en la tecnología para


Capítulo 1|

las cámaras de combustión a presión fue aplicada por las empresas MBB/ROCKEDYNE para el

proyecto BORD (1966-1968). Los resultados de la prueba de este proyecto mostraron que el

Hidrogeno líquido podría ser el refrigerante más adecuado; exitosamente se obtuvo una presión

nominal de 210 bars (3045 PSIA) e incluso presiones más altas como 286 Bars (4150 psi), la cual

corresponde a la presión más alta jamás lograda para un motor de cohete de LOX/LH2. Las altas

presiones permitidas en la cámara de combustión permiten un mayor empuje y por lo tanto un

mejor rendimiento [Cassio, et.al., 2009].

A principio de la década de los 60´s estaban en desarrollo los motores criogénicos en Francia

(HM4) y en Rusia (RD 56 y RD 57), los cuales permitían un mayor empuje [Cassio, et.al., 2009].

En la década de los 70´s la NASA, junto con la industria privada conduce investigaciones sobre

el desarrollo de materiales fuertes, neometalicos que podrían desplazar a los metales pesados y el

aluminio en las aeronaves. Los materiales compuestos han remplazado gradualmente a los

materiales en las aeronaves; usando los materiales compuestos se puede reducir el peso en las

aeronaves y mejora la eficiencia en las mismas [Dunbar, 2008].

En 1974 la corporación Thiokol comienza con el desarrollo del primer motor de cohete de

combustible sólido reutilizable para el programa del transbordador espacial para reducir los

costos de fabricación. En julio de 1977 se llevan a cabo las primeras pruebas de este tipo de

motores. En 1980 hay planes para mejorar el rendimiento de los motores reutilizables de

combustible sólido mediante el desarrollo de un armazón de filamentos de epoxy/grafito para

remplazar el armazón de acero, este armazón compuesto redujo su peso de 44500 a 31300 kg

resultando en 2700 kg más de capacidad de carga útil [Moore y Phelps, 2011].

En 1998 Lockheed Martin, (2014) desarrolla un tanque de combustible externo súper-ligero para

el transbordador espacial a base de una aleación de aluminio-litio el cual pesa aproximadamente

26535 kg, comparado con el tanque original del transbordador espacial que pesaba

aproximadamente 34473 kg esto es una reducción de peso significativa y equivale a una mayor

capacidad de peso en la carga útil.


Capítulo 1|

En 2001 la NASA usa la soldadura por fricción debido al cambio de material del tanque externo

de combustible del transbordador espacial, por lo que la aplicación de las técnicas de soldadura

convencionales para unir materiales compuestos resultaba deficientes. La soldadura por fricción

desarrollada por el Instituto de Soldadura (TWI por sus siglas e inglés) en gran Bretaña mostró un

gran resultado libre de defectos en las soldadura con propiedades mecánicas superiores en

comparación con los métodos de soldadura convencionales, actualmente este tipo de soldadura es

ampliamente usado en cohetes como el Delta IV, el Atlas V el Falcon IX así como en él vehículo

de exploración Orion, así este tipo soldadura de materiales compuestos con matriz de metal

(Aleaciones de metales reforzados con cerámicos) [Trater, 2013].

1.3. El Método del Elemento Finito en la tecnología espacial.

En 1960 la NASA, en conjunto con la industria desarrolla un software (NASTRAN “ NASA

Structural Analysis”) para que los ingenieros lo pudieran usar para el modelaje y los análisis de

diferentes estructuras aeroespaciales, incluyendo cualquier tipo de nave espacial o aeronave

[Dunbar, 2008].

Case W., (1968), realiza el modelado matemático para un tipo de elemento finito en tres

dimensiones para predecir deflexión, tención y esfuerzo de un medio continuo elástico, que se

pudiera usar en él para el análisis de estructuras en tres dimensiones por medio de simulaciones

numéricas computacionales.

Manson B., (1968), realiza un estudio en el que se analiza un proceso análogo a la teoría clásica

para el estudio de las vibraciones estructurales inducidas térmicamente mediante elemento finito,

en la investigación se demuestra que el problema de las vibraciones puede ser tratado por el

análisis de la respuesta a una fuerza de una estructura excitada idealizada por cargas mecánicas

equivalentes dependientes del tiempo. Por lo que el problema se redujo a la determinación de las

cargas mecánicas equivalentes asociadas a los elementos finitos usados en la idealización.

Pinson L. (1970), realiza la evaluación numérica mediante elemento finito para un cohete

lanzador de carga útil de propelente líquido axisimetrico. Los resultados del análisis numérico

fueron comparados con un modelo a escala 1/100 de Saturno V en el cual se experimentaron con


Capítulo 1|

frecuencias de resonancia y modos de deformación así como con los resultados de los análisis de

masa-resorte. Los resultados de la aplicación del método del elemento finito dieron mejor

resultado que los modelos de masa resorte.

Hewit R. (1971), Realiza la evaluación de la configuración de la fase A para una nave espacial

usando el programa de análisis NASTRAN. La evaluación predice la posición óptima de las

partes estructurales, perfiles de carga y deflexiones. En este estudio se llega a una estructura

recomendada para una nave de exploración espacial en solo 3 meses, en este lapso de tiempo

hubiera sido imposible realizar los cálculos a mano los cuales hubieran requerido un mayor

número de tiempo.

Manson J. (1971), realiza el código para NASTRAN, así como el modelaje matemático para

problemas hidro-elásticos mediante el método del elemento finito. Este estudio era de suma

importancia en la predicción del movimiento de los líquidos y gases en varios contenedores. Este

código y modelaje era de gran importancia en el análisis y diseño de misiles y vehículos

espaciales, en este tipo de estructuras livianas en donde las paredes de los contenedores no

pueden ser consideradas rígidas y el acoplamiento del movimiento de varios fluidos, las

deformaciones elásticas deben de ser consideradas.

Raju I., Rao V., et al. (1974), realizan el modelaje matemático de la matriz de rigidez para un

elemento cónico de tipo Shell usando la derivada de Novozhilov de la relación de esfuerzo-

deformación para el Shell cónico que podría ser usado en el análisis de cohetes y/o misiles.

En 1976 se analiza el uso de la súper computadora Illiac para realizar las simulaciones numéricas

de flujo (CFD) las cuales requerían de capacidades de procesamiento que en ese tiempo las

computadoras convencionales no poseían, estas simulaciones salían más económicas que lo

experimental o se podía ver el comportamiento del flujo que no podía ser estudiado por métodos

experimentales en este estudio dos aplicaciones son descritas en detalle: (1) La determinación del

campo de flujo alrededor del transbordador espacial y (2) La computación de un flujo separado

turbulento trans-sonico pasando un flujo de espesor biconvexo [Mc Cormack y Stevens, 1976].


Capítulo 1|

Barbe T., Ives D., et al. (1985), hacen uso de herramientas computacionales como es el método

del elemento finito aplicado a la dinámica de fluidos para el diseño de un inyector subsónico, el

diseño fue corroborado por medio de los resultados en una prueba, dando resultados muy

favorables y próximos al campo de flujo real.

Manson D. y Blotter O. (1986), llevaron a cabo una investigación en la cual desarrollaron una

herramienta analítica para tratar la estabilidad aero-elástica en elementos cónicos con un flujo

supersónico, con especial aplicación en las toberas de los cohetes.

Rai M. (1987), lleva acabo el análisis numérico de la interacción de un Rotor/Estator el cual

sirve para optimizar el rendimiento de la turbo-maquinaria. En este estudio se empleó un sistema

de encimado y suerposisición de mallas, para el rotor /estator para una turbina axial. Los

resultados encontrados por este trabajo se encontraron muy de acorde con los experimentales

(Velocidad Mach, Preción, presiones inestables, amplitudes y fases).

Liang P., Jensen R., y Chang Y. (1987), realizan el análisis de la inyección en spray y campos de

combustión del pre-combustor del transbordador espacial, usando un código numérico de tres

fases con el objetivo de definir las características de la flama y obtener los contornos de

temperatura en varias localizaciones, esta información es crucial para delimitar los factores en el

control de las inestabilidades de la combustión y la eficiencia.

Wey T. y Li C. (1991), realizan simulaciones numéricas de dinámica computacional de fluidos

(C.F.D.) para investigar las discrepancias del patrón de flujo en el transbordador espacial entre

los datos arrojados por el túnel de viento y durante el vuelo real. El entendimiento del campo de

flujo durante el ascenso del transbordador espacial, ayudaría a la implementación de una

metodología de diseño para la siguiente generación de vehículos espaciales.

El método del elemento finito y su constante desarrollo en diferentes tipos de elementos para

diversos propósitos, se comenzó a emplear como un criterio de diseño para el desarrollo de los

vehículos espaciales, telescopios, satélites, etc. que serían puestos en órbita o bien en el diseño de

los componentes auxiliares; esto se puede observar en trabajos como “Finite element solución for


Capítulo 1|

a craked two layered elastic cylinder” se muestra la solución al problema de dos capas elásticas

en pleno esfuerzo y bajo condiciones de presión interna con un centro hueco cilíndricas mediante

elemento finito, este problema es de aplicación pertinente a la fractura mecánica de los estudios

de integridad en los granos del propelente solido [Swanson, 1971].

En el trabajo titulado “Numerical simulation of the dynamic thermostructural reponce a

composite rocket nozzle throat” en donde por medio del elemento finito se analiza la respuesta

termo-estructural de la garganta de una tobera de material compuesto [Morozov y Pitot de la

Beaujardiere, 2009].

En el trabajo titulado “Two-phases effect on hybrid rocket combustion” es un estudio donde se

analiza mediante elemento finito la aerodinámica y el procesos de combustión en la cámara de

combustión de un cohete hibrido bajo dos fases de flujo considerando la evaporación la

combustión y el arrastre de las gotas para predecir la temperatura, el modo en que se realiza la

combustión, la velocidad, etc [Lung, 2009.].

Sería interminable la lista de estudios que se han realizado mediante elemento finito para el

diseño, validación y propuestas de nuevos cohetes, elementos estructurales, subsistemas, etc.

1.4. Planteamiento del problema.

De acuerdo a la investigación realizada sobre el estado del arte, es posible plantear la siguiente

problemática: El uso del método de los elementos finitos, actualmente es muy usado para analizar

los comportamientos como son: mecánicos, flujo, análisis modales, térmicos, etc. Cada día es

más común ver mejora en los diseños de varios elementos mecánicos mediante el método del

elemento finito, ya que con el uso de este método los criterios a tomar en cuenta para el diseño se

amplían, debido, a que con este método se puede apreciar de una manera más precisa y detallada

el fenómeno mecánico al cual está sometido la pieza a diseñar. Como se puede apreciar con más

detalle los fenómenos mecánicos, en los elementos a diseñar o los sistemas mecánicos a diseñar,

el número de prototipos realizados disminuye muy abruptamente, ya que solo se requieren muy

pocos para validar el diseño por medio de experimentación.


Capítulo 1|

Los elementos mecánicos que interaccionan con un fluido, son muy comunes en todas las ramas

de la ingeniería. El estudio de un fluido puede ser de los análisis más complicados de manera

analítica, debido a la aleatoriedad de las partículas y a la diversas variables que intervienen en los

sistemas fluido-estructurales, más sin embargo con el desarrollo del método de los elemento

finitos y los métodos computacionales estos tipos de cálculos y/o aproximaciones se han vuelto

más fáciles de realizar y nos pueden ampliar el criterio de diseño de una manera impensable.

1.5. Sumario.

En el presente capítulo se han expuesto, varias investigaciones que se enfocan en la optimización

del diseño de los cohetes, ya sea reduciendo el peso en los materiales, en la aerodinámica de un

cohete, o en el flujo interno de los motores de cohetes para obtener mayores prestaciones de los

mismos. Así como varios trabajos en los cuales se puede apreciar el desarrollo del método de los

elementos finitos en el ámbito espacial. En el siguiente capítulo se aborda la problemática desde

lo general de un cohete hasta lo particular del problema de este trabajo de investigación que es la

tobera De Laval. También se realiza el dimensionamiento analítico básico del perfil de una tobera

el cual va a ser analizado numéricamente.


CAPÍTULO 2

Descripción del problema

No hay nada imposible, solo hay que descubrir los medios para conseguirlo.

Herman Julius Oberth. Físico alemán considerado uno de los tres padres de la astronáutica. (Alemania-Estados Unidos de Norte America 1984-1989)

Capítulo 2|

2.1 Generalidades.

Una rápida evaluación de las consecuencias en la carga útil puede ser por medio de la ley de

Tsiolkovsky. La Δv para un cohete de etapa simple está dada por la siguiente expresión.

Δv = 𝑔𝑔𝑜𝑜 𝐼𝐼𝑆𝑆 ∙ ln �M0

Mf� (2.1)

Donde Is es e impulso especifico, M0 es la masa inicial del sistema en donde se puede asumir que

𝑀𝑀0 = 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑀𝑀𝑖𝑖; Mi es la masa inerte, Mcu es la carga útil y Mf es la masa final del sistema

después del término de la misión asumiendo que 𝑀𝑀𝑓𝑓 = 𝑀𝑀𝑝𝑝𝑝𝑝; Mpr es la masa del propelente. g0 es

la gravedad y esta es constante. Por lo tanto la carga útil que puede llevar un cohete lanzador está

dada por la siguiente Ecuación [Maggi F., Bandera A., et al., 2009].

𝑀𝑀𝑐𝑐𝑐𝑐 =

𝑀𝑀𝑝𝑝𝑝𝑝

𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 � ∆𝑣𝑣𝐼𝐼𝑠𝑠𝑔𝑔0�− 𝑀𝑀𝑖𝑖

(2.2)

En la Ecuación 2.1 se puede observar que variando la velocidad de expulsión de los gases y la

relación de la masa del combustible respecto a la masa del cohete, es teóricamente posible

obtener una velocidad e impulso deseado. En la Ecuación 2.2 se puede observar que si se reduce

la masa inerte del cohete, se puede llevar una mayor carga útil al espacio.

2.2 Componentes generales de un cohete.

A partir de un proceso de diseño es que se pueden crear diferentes implementos mecánicos

complejos. Durante el desarrollo de este proceso de diseño se contempla inicialmente un conjunto

de necesidades a resolver y posteriormente se desarrolla un sistema que pueda dar solución a las

problemáticas planteadas. Muchas veces en la construcción de una máquina y al dar solución a un

problema de diseño se requiere de la formación de conjuntos que, trabajando de manera

sincronizada den como resultado la solución esperada. Por esta razón se describen a continuación

las necesidades principales por las cuales se requiere de la construcción de un cohete.

Las necesidades principales para el uso de un cohete son , para poner satélites en sus diferentes

orbitas ( GEO, MEO LEO), misiones espaciales robóticas o tripuladas, compostura o

modificación de satélites o telescopios en órbita ( Hubble), misiones de investigación espacial

(International Space Station), para fines bélicos como son los te llevar carga explosiva ( ICBM ”

Inter-Continental Ballistic Missile”). Para cumplir con este tipo de misiones los componentes

Evaluación numérica del comportamiento mecánico de una tobera De Laval 11

Capítulo 2|

esenciales de un cohete deben de ser los que se muestran en la Figura 2.1. Y en donde la

optimización y ahorro de peso pueden ser vitales para mejorar el rendimiento del mismo.

Figura 2.1 Componentes generales de un cohete.

A continuación se describen por separado cada una de las partes generales de un cohete:

• Estructura del cohete o marco. En la Figura 2.2 se muestra la estructura general de un cohete.

El marco está construido por materiales muy resistentes pero livianos, como titanio o aluminio, y

usualmente emplean grandes “largueros” estos van desde la parte superior hasta la parte inferior

del cohete estos están conectados por anillos los cuales rodean todo el cohete [Soriano, 2014].

•

La “piel” o cubierta está unida a los largueros y anillos” que tienen la forma básica del cohete. La

piel debe estar recubierta por un sistema de protección térmica para mantener el calor producido

por la fricción del aire durante el vuela fuera de los componentes internos del cohete y mantener

las temperaturas bajas necesarias para algunos combustibles y oxidantes. Todos los cohetes si no

es que la mayoría poseen aletas en la parte inferior del marco, para proveer de estabilidad durante

el vuelo [Benson, 2011].


Capítulo 2|

Figura 2.2 Fuselaje de un cohete.

•

• Carga útil. Como se muestra en la Figura 2.3 la carga útil se localiza en la punta del cohete. Este

depende de la misión del cohete, Las primeras cargas útiles fueron fuegos pirotécnicos para los

días festivos. La carga del alemán V-2, eran varios miles de kilogramos de explosivos. Después

de la Segunda Guerra Mundial muchos países desarrollaron misiles balísticos guiados armados

con ojivas nucleares como carga útil. Los mismos cohetes fueron modificados para lanzar

satélites con un amplio rango de misiones; comunicaciones, monitoreo del clima, espionaje,

exploración planetaria y observación como el telescopio espacial Hubble, Cohetes espaciales

fueron desarrollados para poner personas en la órbita lunar y en la superficie lunar.

• Sistema de guía del cohete. En la Figura 2.4 se muestran los sistemas guías más típicos de un

cohete. Estos pueden incluir varios sofisticados sensores, computadoras abordo, radares y

equipamiento de comunicación para maniobras de vuelo del cohete. Diferentes métodos han sido

desarrollados paras el control del cohete en vuelo.


Capítulo 2|

Figura 2.3 Carga útil.

Los sistemas guía del V-2 incluían unas pequeñas paletas ubicadas en la tobera de salida para

dirigir el empuje del motor. Todos los sistemas guía pueden producir un torque en el cohete que a

su ves desbalancean el centro de gravedad para causar que el cohete rote en pleno vuelo. En los

cohetes modernos el que rota y dirige el empuje es la tobera que típicamente gira para realizar las

maniobras de vuelo [Benson, 2011].

Figura 2.4 Sistemas guía de un cohete

• Sistema de propulsión. Como se observa en la Figura 2.5 la mayor parte del cohete consta del

sistema de propulsión [Arianespace service & solutions, 2012]. Hay dos clases principales de


Capítulo 2|

sistemas de sistemas de propulsión de los motores los de propelente líquido y motores de

propelente sólido. El V2 empleaba un motor de propelente líquido en cual consiste en los tanques

de almacenaje, bombas, una cámara de combustión con todo y tobera de salida, con todo y la

tubería asociada. El Transbordador espacial, el Delta III y el Titán III usan cohetes solidos como

potenciadores [Benson, 2011].

•

Figura 2.5.Coponentes del cohete Soyuz empleado en el año 2012.


Capítulo 2|

2.3 Sistemas de propulsión.

Los sistemas de propulsión de son la llave al espacio. El futuro de la economía y logística del

espacio dependerá de una gran variedad y eficiencia de los motores de propulsión espacial, de

manera similar que en el transporte y comercio dependen de la locomoción del motor de

combustión interna. Los sistemas de propulsión pueden ser clasificados de acuerdo al tipo de

energía esta puede ser química, nuclear, o solar. Su función básica como es etapa, potenciador,

sustentador, control de altitud, para mantener la posición de orbita, etc. El tipo de vehículo

(aeronave, misil, asistente en el despegue, vehículo espacial), tamaño, tipo de propelente, tipo de

construcción o por el número de etapas que contiene el cohete, o por el modo en el que producen

empuje. A partir de la creación de misil balístico V-2 en 1942 los cohetes de combustión química

son los más usados, pero una de sus limitantes es que poseen un bajo impulso específico [Sutton

G y O Biblard, 2001]. La Figura 2.8 muestra los sistemas de propulsión más usados para el

lanzamiento y/o puesta en órbita de la carga útil en el espacio.

Figura 1.6 Clasificación de los sistemas de propulsión.

Tipos de combustible

Solido Hibrido Liquido

Suministro del combustible por preción de gas

Suministro del combustible por turbo-bombas

Ciclo generador

Ciclo expansor

Combustion escalonada


Capítulo 2|

2.3.1 Sistemas de propulsión de combustible sólido.

Son sistemas químicos “simples”, son comúnmente identificados por no tener ningún tipo de

parte móvil y generalmente son de operación simple, con respecto a las partes móviles, aunque es

cierto que los motores de combustión solida no emplean turbomaquinaria o válvulas aguas arriba,

la tobera de salida del flujo de trabajo puede moverse o una válvula de inyección de fluido actúa

en la tobera de salida., para actuar como vector de control de empuje [Greatrix D, 2012].

Los motores de combustible sólido son compuestos generalmente por un cámara hueca en la cual

va el propelente (propegol o grano). Dicho propelente es una mezcla de un oxidante y un

combustible que son independientes al medio que lo rodean; es decir que pueden generar

combustión sin la necesidad del aire, el tamaño y la forma del grano influyen de manera

significativa en el rendimiento de este tipo de motores; de una cámara de post-combustión, así

como de una tobera de salida la cual también es diseñada de acuerdo a la especificación de la

misión (Figura 2.7). También cuentan con un dispositivo automático de ignición. Dicho

dispositivo es el encargado de iniciar la combustión en el propelente [Shearer D y G Vogth,

1999].

Figura 2.7 Componentes de un motor de combustible sólido.

2.3.2 Motores de combustible hibrido.

Los motores de combustible hibrido (HRM) están compuestos por en su mayor parte de un

oxidante líquido y de un combustible sólido, sus principales componentes son un tanque de

almacenamiento de oxidante y una cámara hueca donde es alojado el combustible sólido.


Capítulo 2|

El oxidante es inyectado a la cámara de alojamiento del combustible sólido, gracias a un tanque

de gas a presión. Al entrar a la cámara donde se encuentra alojado el combustible sólido este es

vaporizado y sufre una pre-combustión, después es mezclado con el combustible sólido, y antes

de que llegue a la tobera de salida es quemado completamente, produciendo los gases necesarios

para suministrar el empuje necesario. Sus componentes principales se muestran en la Figura 2.8

Comparado con los motores de combustible sólido (SRM), los HRM son más seguros y pueden

tener un mayor promedio de impulso específico. Comparado con los motores de combustible

líquido son menos complejos y más baratos [Guobiao C, et al., 2013].

Figura 2.8 Componentes de un motor de combustible hibrido.

2.3.3 Motores de combustible líquido.

Los motores de combustible líquido pueden ser clasificados de dos maneras, las cuales son

caracterizadas por la manera en que suministran combustible a la cámara de combustión del

motor de cohete. Estos motores están compuestos en su mayoría por dos tanques en los cuales se


Capítulo 2|

almacena el combustible y el oxidante líquido, diferente tipo de válvulas que controlan y/o

restringen el paso del propelente, sistema de inyectores (plato de inyección) para atomizar el

líquido y realizar la mezcla, cámara de combustión y tobera de salida [Sutton G y O Biblard,

2001]. A continuación se describen estos dos tipos de motores.

• Suministro por presión de gas. En este sistema el combustible es suministrado por medio de un

gas presurizado como se muestra en la Figura 2.9.

Figura 2.9 Componentes principales de un sistema de alimentación por gas.

• Suministro por turbo-bombas. Este tipo de sistema de alimentación de combustible consta de:

un impelente más un difusor, para presurizar el propelente en un solo camino, (sin flujo de

retorno), este sistema es el encargado de inyectar el combustible a la cámara de combustión

[Greatrix, 2011]. Este tipo de motores se clasifican de acuerdo al tipo de ciclo del motor. Un ciclo

de motor para la alimentación de las turbo-bombas lo describe específicamente el flujo del

propelente a través de los componentes del motor. [Redondo, 2009].


Capítulo 2|

o Ciclo generador de gas: El gas que evoluciona en la turbina para mover las bombas, es generado

por la quema del oxidante y el combustible en una cámara pequeña llamada generador de gas tras

esto, los gases producto de la combustión atraviesan la turbina(Figura 2.10) [Redondo, 2009].

o

Figura 2.10 Componentes principales de un ciclo generador de gas

o Ciclo expansor: En un ciclo de expansión el combustible se calienta antes de su combustión, por

lo general con el calor residual de la cámara principal de combustión. A medida que el

combustible líquido pasa a través de conductos de refrigeración en las paredes de la cámara de

combustión, se produce un cambio de fase a estado gaseoso. El combustible en estado gaseoso se

expande a través de una turbina con la diferencia de presión entre la presión de suministro y la de

escape ambiental para iniciar la rotación de la turbo bomba. En un ciclo de expansión el

combustible se calienta antes de su combustión, por lo general con el calor residual de la cámara

principal de combustión. A medida que el combustible líquido pasa a través de conductos de

refrigeración en las paredes de la cámara de combustión, se produce un cambio de fase a estado

gaseoso (Figura 2.11) [i Bel y M., Martínez, 2001].


Capítulo 2|

Figura 2.11 Ciclo expansor

a) Ciclo cerrado; b) Ciclo cerrado

o Ciclo de combustión escalonada: En el ciclo de combustión escalonada, la trayectoria de alguno

de los propelentes criogénicos es prácticamente similar al del ciclo expansor. En este ciclo una

alta presión se genera en el pre-combustor (generador de gases.) debido a la quema del

combustible con una parte del oxidante los cual provee una alta energía a las turbinas de gas. El

flujo de salida de gas en las turbinas es totalmente inyectado dentro de la cámara principal de

combustión donde se quema con el demás oxidante. Este ciclo se presta para una cámara de

combustión relativamente pequeña (Figura 2.14) [Di Matteo, 2011].

A pesar de que los sistemas de propulsión tienen diferentes componentes para realizar su función,

el principio de operación es el mismo; la combustión de un oxidante y un propelente que toma

lugar en la “cámara de combustión”, produce un gas a alta presión y temperatura, este pasa a la

tobera de salida, la cual es la encargada de convertir la alta presión del gas caliente generado en la

cámara de combustión, en un flujo de salida en movimiento a gran velocidad. La expansión de

este gas a través de la tobera produce el trabajo y la aceleración del cohete. La tobera de salida es

por lo general idéntica en forma tanto en motores sólidos, híbridos y líquidos [Turner M, 2009].


Capítulo 2|

Figura 2.12 Ciclo de combustión escalonada.

2.4 ¿Que es la propulsión?

Los sistemas de propulsión por lo general trabajan del mismo modo. El oxidante y el combustible

que es quemado en la cámara de combustión producen una reacción exotérmica en el caso del

oxígeno líquido y el hidrogeno líquido la reacción que se obtiene es la siguiente.

2𝐻𝐻2 + 𝑂𝑂2 → 2𝐻𝐻2𝑂𝑂(𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔) + 𝐻𝐻𝑒𝑒𝑔𝑔𝐻𝐻

Al principio de la Ecuación química se tienen 2 moléculas de hidrogeno y una de oxigeno que

como , productos de esta combustión en este caso es vapor de agua súper caliente el cual ejerce

presión sobre las paredes de la cámara de combustión, cuando el vapor de agua escapa a través de

la tobera del motor del cohete crea un desbalance de fuerzas, el cual ejerce una fuerza normal y

opuesta a la sección transversal de la tobera de salida, por ende el empuje del cohete aproximado

puede ser dado por:

𝑇𝑇𝑏𝑏 ≅ (𝑃𝑃𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑝𝑝𝑠𝑠)(𝐴𝐴 𝑛𝑛𝑜𝑜𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑠𝑠) (2.3)

Donde Tb es el empuje del motor, Pstream es la presión del vapor y Anozzle es el área de salida de la

tobera.

Todos los motores de cohete son diseñados de acuerdo a al empuje deseado. Se tiene claro que el

empuje es directamente proporcional a la presión de gas generada en la cámara de combustión del

motor de cohete y al área de la garganta de la tobera de salida.

Para incrementar el empuje que es proporcionado por el motor de cohete se debe de incrementar

la presión en la cámara de combustión. También podemos incrementar el empuje incrementando


Capítulo 2|

el área de la garganta de la tobera de salida, pero podría requerir una mayor tasa de expulsión de

vapor; Para mantener la relación de presión estable en la cámara de combustión la taza de

expulsión de vapor a través de la tobera no debe de ser mayor a la relación de la quema de

combustible en la cámara de combustión [Chandrahas, 2011].

2.5 Discusión sobre el empuje.

La tercera ley de Newton se establece que, “Si un objeto A ejerce una fuerza F sobre un objeto B,

entonces el objeto B ejerce una fuerza- F sobre el objeto, de igual magnitud y dirección que F

pero en el sentido opuesto”, este es el principio de operación de todos los cohetes [Sánchez,

2013].

El empuje es la fuerza producida por un sistema de propulsión actuando sobre un fluido de

trabajo, generando la aceleración de la masa del gas por medio de la expulsión de los gases por

medio de la tobera de salida, generando una fuerza en dirección contraria al sentido del cohete.

La magnitud del empuje depende de la cantidad de gas que es acelerado y de la diferencia de

velocidad en la garganta de la tobera del cohete [NASA, 2014] si el flujo másico y la velocidad es

axial y uniforme, el empuje es dado por:

𝐹𝐹 =

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝐻𝐻

𝑣𝑣2 = �̇�𝑑𝑣𝑣2 =�̇�𝑤𝑔𝑔𝑜𝑜𝑣𝑣2 (2.4)

Donde �̇�𝑑 es el flujo másico, 𝑣𝑣2. Es la velocidad del fluido al final de la tobera; �̇�𝑤 es la velocidad

del flujo másico; 𝑔𝑔0 es la gravedad estándar

Esta ecuación representa la fuerza total de propulsión cuando la presión de salida de la tobera es

igual a la presión del medio ambiente. La Figura 2.13 muestra esquemáticamente la presión

externa actuando uniformemente en la cara externa del cohete y la presión de gas en el lado en un

motor de cohete típico.

El empuje axial puede ser determinado por la integral de la presión actuando en las áreas que

pueden proyectar un plano normal al eje de la tobera.


Capítulo 2|

Figura 2.13 Distribución de la presión en la tobera

Debido a que la geometría del motor es constante y la presión ambiental cambia conforme a la

altura, se produce un desbalance en las condiciones externas o atmosféricas de la presión (p3) y el

la presión local (p2) de los gases calientes que son expulsados de la tobera. Para razones de

estudio el sistema de propulsión opera moviéndose a través de una atmosfera homogénea, es

decir que la presión atmosférica no cambia por la altura obtenida en el trayecto del cohete, por lo

tanto el total del empuje es igual a:

𝐹𝐹 = �̇�𝑑𝑣𝑣2 + (𝑒𝑒3 − 𝑒𝑒3)𝐴𝐴2 (2.5)

Donde el primer término representa momento de empuje y es representado por la relación del

flujo másico del propelente y la velocidad relativa de salida del gas. El segundo término

representa la presión del empuje y consiste en el área transversal de la tobera de salida A2 y la

diferencia entre la presión del gas y la presión ambiental. La tobera del cohete es usualmente

diseñada para una presión de salida igual o ligeramente mayor a la presión atmosférica [Sutton G,

2001].

2.6 Tobera.

La tobera es un componente primario de los sistemas de propulsión. Esta transforma la energía

interna aleatoria que se encuentra en la cámara de combustión en energía cinética para

incrementar el momento del flujo [Terawi A, 2007]. Esta es un dispositivo simple, con forma de

cono por el cual pasan los gases calientes producidos en la cámara de combustión [Benson T,

2014].


Capítulo 2|

2.7 Tipos de tobera.

Hay diversas conFiguraciones actualmente que proveen un diferente empuje, la mayoría

usualmente son de sección transversal circular y tiene una sección convergente, una sección

transversal más pequeña llamada garganta, y una sección divergente como se muestra en la

Figura 2.16.

Figura 2.16 Secciones de una tobera

La sección convergente de la tobera entre la cámara y la garganta de la tobera no es un valor

crítico para lograr un alto rendimiento. El flujo subsónico en esta sección puede ser fácil mente

transformada en un flujo de baja presión en cualquier radio, ángulo de cono, el contorno de la

pared, o forma de la entrada a la tobera de manera satisfactoria. El contorno de la garganta no es

muy crítico para el rendimiento, y cualquier radio curvatura es usualmente aceptable. El gradiente

de presión es alto en estas dos regiones y el flujo se adhiere a la pared. La principal diferencia

entre las diferentes configuraciones de la tobera es la sección divergente en la sección en donde el

flujo es supersónico, en esta parte de la tobera la superficie debe de ser lisa y pulida para

minimizar la fricción, la absorción por radiación, y la transferencia de calor debido a la superficie

rugosa. La tabla 2.1 Muestra las diferentes configuraciones más ampliamente usadas. El diseño

de una tobera y/o motor de cohete puede hacerse de manera ideal el cual simplifica las

ecuaciones del diseño en simples


Capítulo 2|

Tabla 2.1 Diferentes configuraciones para toberas.

Distribución de

la masa de

fluido en la

salida

Flujo con

sobre-

expansión a

nivel del mar

Flujo con sub-

expansión a

altitud

Forma

Cono

(15° mitad del

ángulo)

longitud

completa con

perfil de

Contorneada o

forma de

campana corta

Aerospike

completo

Aerospike corta

Expansión-

deflexión


Capítulo 2|

Relaciones termodinámicas. Los valores de diseño de la tobera y/o motor pueden ser

modificados por factores de corrección para convertir los parámetros de diseño en valores más

aproximados a los reales, Mediante experimentación se ha comprobado que los valores ideales

comparados con los reales poseen una variación del 1 al 6%. En el diseño de nuevos cohetes está

aceptado el uso de las ecuaciones ideales y posteriormente añadir modificaciones, según

corresponda al caso, para realizar las correcciones apropiadas

2.8 Tobera ideal.

Para el diseño de un propulsor ideal se deben de tomar varias asunciones para que el diseño sea

válido las cuales se describen a continuación:

1. El flujo de trabajo es homogéneo (o los productos de la reacción química).

2. Todas las substancias de flujo de trabajo son gaseosas. Cualquier fase de condensación es

despreciable para el total de la masa.

3. La substancia de trabajo obedece perfectamente a la ley de los gases ideales.

4. No existe transferencia de calor a través de las paredes del fluido, de tal manera que el

flujo es adiabático.

5. La fricción no es apreciable y los efectos de la capa limite son despreciables.

6. No existen ondas de impacto o discontinuidades en el flujo de la tobera.

7. El flujo del propelente es estable y constante. La expansión en el fluido de trabajo es

uniforme y constante. Los efectos transitorios son de corta duración que pueden ser

despreciables.

8. La salida de los gases a través de la tobera de salida poseen una velocidad axial.

9. La velocidad, presión, temperatura y densidad son uniformes a travez de toda la sección

normal del eje de la tobera.

10. El equilibrio químico es establecido dentro de la cámara del cohete y la composición del

gas no cambia en la tobera.

11. Los propelentes almacenables están a la temperatura de almacenaje. Los propelentes

criogénicos están en su punto de ebullición.


Capítulo 2|

Se debe aclarar suposición que la suposición 6. Esta suposición se realiza en base a que cuando se

diseña un motor cohete para aplicación real, sólo una tobera supersónica resulta interesante, en la

cual discontinuidades de estos tipos solo pueden aparecer en el exterior de la tobera.

Otro punto a aclarar es el número 7. En toberas axilsimétricas no ideales, es el valor de v2 es

normalmente mayor en el centro y se reduce según nos acercamos a las paredes, por lo que la

velocidad no es uniforme en la sección de salida. La media de la velocidad se puede determinar

en una tobera axilsimétrica, como función del radio.

𝑣𝑣2 =

2𝜋𝜋𝐴𝐴2

� 𝑣𝑣2𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑝𝑝2

0

(2.6)

Donde 𝑣𝑣2 es la velocidades de salida del gas en la tobera; 𝐴𝐴2 es el Área de salida del gas en la

tobera; r es el radio de la tobera.

Estas suposiciones serán más o menos acertadas según el tipo y las características del cohete

utilizado. En sistemas con combustible líquido y un buen sistema de inyección, el combustible y

el oxidante se mezclan perfectamente, resultando un fluido de trabajo homogéneo. En un cohete

de combustible sólido, el gas es necesariamente homogéneo y uniforme y el consumo es

estacionario. En sistemas de propulsión nuclear, por calentamiento solar o por arco, se asume que

la temperatura del fluido de trabajo es uniforme en cualquier sección transversal de la tobera.

Dado que las temperaturas en la cámara anterior a la tobera son elevadas, superiores a 2000

grados Kelvin con facilidad, los gases están muy por encima de sus puntos de saturación y se

comportan como gases ideales. Las pérdidas por fricción en la tobera son muy difíciles de

calcular con precisión, pero normalmente son muy pequeñas. Exceptuando las cámaras muy

pequeñas las pérdidas de energía debidas a pérdidas de calor por las paredes son despreciables. Si

a esto le sumamos la suposición de flujo estacionario, la tobera puede considerarse isentrópica y

reversible, y por lo tanto la transformación de energía térmica en cinética es máxima. En una

tobera simple supersónica esta transformación ocurre de manera progresiva y sin

discontinuidades u ondas de choque.

Los diez postulados anteriores permiten derivar una teoría simple, cuasi unidimensional, para el

flujo en toberas.


Capítulo 2|

2.9 Principios termodinámicos con flujo isentrópicos.

Los principios termodinámicos que gobiernan la operación de una tobera son varios, dentro de

los cuales se encuentran, el principio de la conservación de la energía, el principio de la

conservación de la masa, la ley de los gases ideales, etc.

El principio de conservación de la energía aplicada a un proceso con flujo adiabático esto quiere

decir que no hay intercambio de calor con el ambiente, sin adición o pérdida de calor ni

intercambio de trabajo con el ambiente, puede aplicarse a este caso. Cuando no existe fricción, el

proceso pasa a ser isentrópico y reversible, lo que significa que la variación de entropía es nula.

El concepto de entalpía aquí es útil, ello consiste en la suma de la energía interna del gas más el

trabajo que realiza o recibe el gas, y se expresa como la constante del calor específico Cp

multiplicado por la temperatura absoluta T. En un proceso adiabático la entalpía total, o de

estancamiento, ℎ0 es contante. También se puede expresar de la forma:

ℎ0 = ℎ +

𝑣𝑣2

2= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑔𝑔𝐻𝐻𝑔𝑔𝑐𝑐𝐻𝐻𝑒𝑒 = 𝐶𝐶𝑝𝑝𝑇𝑇0

(2.7)

En donde ℎ0 es la entalpia de estancamiento; h es la entalpia; v es la velocidad; Cp es el calor

específico a presión constante.

La conservación de la energía en un flujo isentrópico entre dos secciones x e y muestra que una

variación de entalpía, es decir en la temperatura, será compensada con una variación igual en la

energía cinética del fluido.

ℎ𝑥𝑥 − ℎ𝑦𝑦 =12�𝑣𝑣𝑦𝑦2 − 𝑣𝑣𝑥𝑥2� = 𝐶𝐶𝑝𝑝�𝑇𝑇𝑥𝑥 − 𝑇𝑇𝑦𝑦�

(2.8)

En donde ℎ𝑥𝑥 es la entalpia en un punto “x” a lo largo de la tobera; ℎ𝑦𝑦 es la entalpia en un punto

“y” a lo largo de la tobera; 𝑣𝑣𝑦𝑦 es la velocidad del fluido en un punto “y” de la tobera; 𝑣𝑣𝑥𝑥 es la

velocidad del fluido en un punto “x” de la tobera; 𝑇𝑇𝑥𝑥 es la temperaura en un punto “x” en la

tobera;

𝑇𝑇𝑦𝑦 es la temperatura en un punto “y” de la tobera.

El principio de conservación de la masa en un flujo estacionario indica que el flujo másico a

través de cualquier sección de un conducto, o tobera, es constante. Matemáticamente a esta


Capítulo 2|

ecuación se la denomina Ecuación de continuidad. Dicha ecuación en su forma diferencial sería

como sigue:

𝑑𝑑 �𝑣𝑣𝐴𝐴𝑉𝑉� = 0 (2.9)

Donde V representa el volumen específico, v la velocidad local del gas y A es el área de la

sección. Cuando esta Ecuación se integra en un conducto en cualquiera de sus secciones, a o b, se

obtiene:

�̇�𝑑𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑦𝑦̇ =

𝐴𝐴𝑥𝑥𝑣𝑣𝑥𝑥𝑉𝑉𝑥𝑥

=𝐴𝐴𝑦𝑦𝑣𝑣𝑦𝑦𝑉𝑉𝑦𝑦

(2.10)

Donde �̇�𝑑𝑥𝑥 es el flujo másico en un punto “x” a lo largo de la tobera; �̇�𝑑𝑦𝑦 es el flujo másico en un

punto “y” de la tobera, 𝐴𝐴𝑥𝑥, 𝐴𝐴𝑦𝑦 es el área en diferentes puntos “x” y “y” de la tobera; 𝑣𝑣𝑥𝑥, 𝑣𝑣𝑦𝑦 es la

velocidad en diferentes puntos “x” y “y” de la tobera; 𝑉𝑉𝑥𝑥, 𝑉𝑉𝑦𝑦 es el volumen en diferentes puntos

“x” y “y” de la tobera.

Otra ecuación importante es la de los gases ideales. Es un gas hipotético formado por partículas

puntuales, sin atracción ni repulsión entre ellas y cuyos choques son perfectamente elásticos

(conservación de momento y energía cinética). La energía cinética es directamente proporcional a

la temperatura en un gas ideal.

𝑃𝑃𝑉𝑉 = 𝑅𝑅𝑇𝑇 (2.11)

Donde R es la constante del gas, resultado de la división de la constante universal de los gases R’

entre el peso molecular del propio gas ɱ. Cuando se trata de una mezcla de gases, el peso

molecular debe promediarse; P es la presión del fluido; V es el volumen; T es la temperatura.

La relación entre el calor específico a presión constante del gas 𝐶𝐶𝑝𝑝 y su calor específico a

volumen constante 𝐶𝐶𝑣𝑣, se conoce como gamma, γ,

𝛾𝛾 =

𝐶𝐶𝑝𝑝𝐶𝐶𝑣𝑣

(2.12)

También es interesante la siguiente relación de términos para más adelante:

𝐶𝐶𝑝𝑝𝑅𝑅

=𝛾𝛾

(𝛾𝛾 − 1) (2.13)

El calor específico a presión contante también se puede definir como la derivada parcial de la

entalpía respecto a la temperatura a presión constante.


Capítulo 2|

Para un flujo isentropico y adiabático las siguientes relaciones se cumplen a lo largo de un

conducto:

𝑇𝑇𝑥𝑥𝑇𝑇𝑌𝑌

= �𝑃𝑃𝑥𝑥𝑃𝑃𝑦𝑦�

(𝛾𝛾−1)𝛾𝛾

= �𝑉𝑉𝑦𝑦𝑉𝑉𝑥𝑥�𝛾𝛾−1

(2.14)

En una expansión isentrópica en tobera de un flujo estacionario, la presión disminuye, la

temperatura absoluta desciende en un factor bastante menor y el volumen específico se

incrementa.

Cuando flujo isentropico se encuentra virtualmente estático en la garganta de la tobera prevalecen

las condiciones que se conocen como condiciones de estancamiento (“0”). La temperatura de

estancamiento 𝑇𝑇0 se puede encontrar con la Ecuación de la energía y está dada por

𝑇𝑇0 = 𝑇𝑇 +

𝑣𝑣2

�2𝐶𝐶𝑝𝑝𝐽𝐽� (2.15)

Donde T es la temperatura absoluta del fluido estático; v es la velocidad; J es el equivalente

mecánico del calor.

En un proceso adiabático las condiciones de estancamiento permanecen constantes y se siguen

cumpliendo las relaciones anteriores para temperatura, presión y volumen.

𝑇𝑇0T

= �𝑃𝑃0P�


= �V𝑉𝑉0�𝛾𝛾−1

(2.16)

Donde T0 es la temperatura de estancamiento, P0 es la presión de estancamiento, V0 es el

volumen especifico de estancamiento, T es la temperatura estática del fluido, P la presión estática

del fluido y V el volumen estático especifico del fluido

Otro parámetro muy importante es la velocidad del sonido en un gas, que determinará qué

velocidad marca la frontera entre subsónico y supersónico en nuestro fluido, y en un gas ideal es

independiente de la presión. Su definición es la siguiente:

𝑔𝑔 = �𝛾𝛾𝑅𝑅𝑇𝑇 (2.17)

El numero mach es una relación inversamente proporcional entre la velocidad del flujo v y la

velocidad local acústica “a”.

𝑀𝑀 = 𝑣𝑣𝑔𝑔

= 𝑣𝑣

�𝛾𝛾𝑅𝑅𝑇𝑇 (2.18)

Donde M es el numero mach


Capítulo 2|

Cuando se tiene una relación menor a uno se dice que el flujo es sub-sónico, con una relación

igual a 1 el flujo es sónico y mayor a 1 el flujo es supersónico.

En un proceso adiabático la temperatura de estancamiento permanece constante. La relación entre

la presión de estancamiento y la presión local en el flujo son relacionadas en la siguiente

expresión matemática.

𝑃𝑃0𝑃𝑃

= �1 +𝑣𝑣2

�2𝑐𝑐𝑝𝑝𝐽𝐽𝑇𝑇��

𝛾𝛾(𝛾𝛾−1)

= �𝑉𝑉𝑉𝑉0�𝛾𝛾

(2.19)

Donde 𝑃𝑃0 es la presión de estancamiento; 𝑉𝑉0 es el volumen de estancamiento

Cuando la velocidad local es cercana a cero, la temperatura local y la presión son aproximadas a

las de estancamiento, esta región se encuentra en la cámara de combustión donde la velocidad de

gas es pequeña.

La relación entre el numero mach y la temperatura de estancamiento está dada por

𝑇𝑇0 = 𝑇𝑇 �1 +12

(𝛾𝛾 − 1)𝑀𝑀2� (2.20)

Despejando M se tiene:

𝑀𝑀 = �

2𝛾𝛾 − 1

�𝑇𝑇0𝑇𝑇− 1� (2.21)

Donde M es el numero mach deseado.

A comparación de la temperatura, la presión de estancamiento es constante durante un proceso

adiabático, la presión puede ser calculada mediante la siguiente Ecuación.

𝑃𝑃0 = 𝑃𝑃 �1 +

12

(𝛾𝛾 − 1)𝑀𝑀2�𝛾𝛾

(𝛾𝛾−1) (2.22)

La relación de áreas para las toberas con un flujo isentropico puede ser expresada en términos de

número Mach


Capítulo 2|

𝐴𝐴𝑦𝑦𝐴𝐴𝑥𝑥

=𝑀𝑀𝑥𝑥

𝑀𝑀𝑦𝑦

��1 + �(𝛾𝛾 − 1)

2� �𝑀𝑀𝑦𝑦2

1 + �(𝛾𝛾 − 1)2� �𝑀𝑀𝑥𝑥

2�

(𝛾𝛾+1)(𝛾𝛾−1)�

(2.23)

Donde Ay y Ax son las áreas en diversos puntos de la tobera.

Teniendo en cuenta que el valor mach en la garganta es uno la Ecuación queda de la siguiente

manera

𝐴𝐴𝑦𝑦𝐴𝐴𝑥𝑥

=1𝑀𝑀𝑦𝑦

��1 + �(𝛾𝛾 − 1)

2� �𝑀𝑀𝑦𝑦2

1 + �(𝛾𝛾 − 1)2� �1

�

(𝛾𝛾+1)(𝛾𝛾−1)�

(2.24)

La contracción de la cámara de combustión a la garganta tiene valores pequeños estos valores van

desde una relación 3 a 6. Cuando la tobera se encuentra en la sección divergente la relación de

áreas es de suma importancia para el diseño de la tobera, los valores de esta relación suelen variar

de 15 a 30 con un Mach de 4 dependiendo del valor de 𝛾𝛾.

2.9.1 Flujo isentropico a través de tobera

A partir de la primera Ecuación 2.8 podemos obtener la velocidad del fluido a la salida de la

tobera, 𝑣𝑣2:

𝑣𝑣2 = �2𝐽𝐽(ℎ1 − ℎ2) + 𝑣𝑣12 (2.25a)

Donde J es el equivalente mecánico del calor

Esta Ecuación es aplicable a cohetes tanto ideales como no ideales. Esta Ecuación puede ser

reescrita haciendo uso de relaciones termodinámicas anteriores como:

𝑣𝑣2 = �2𝛾𝛾𝛾𝛾 − 1

𝑅𝑅𝑇𝑇1 �1 − �𝑃𝑃2𝑃𝑃1�

(𝛾𝛾−1)𝛾𝛾�

� + 𝑣𝑣12

(2.25b)

En los casos en los que la sección de la cámara de combustión es mucho mayor que la de la

tobera la velocidad v1 puede despreciarse y simplificar la Ecuación de la siguiente manera.

Pudiendo referirse todo a condiciones de estancamiento:


Capítulo 2|

𝑣𝑣2 = �2𝛾𝛾𝛾𝛾 − 1

𝑅𝑅𝑇𝑇1 �1 − �𝑃𝑃2𝑃𝑃1�


� = �2𝛾𝛾𝛾𝛾 − 1

𝑅𝑅′𝑇𝑇0ɱ

�1 − �𝑃𝑃𝑦𝑦𝑃𝑃0�


� (2.26)

Se puede observar que la velocidad de escape de los gases es una función de la relación p1/p2 y

del parámetro γ, y es proporcional a la raíz de la temperatura. También se puede hacer el cambio

de T0 a la velocidad del sonido de estancamiento a0:

𝑔𝑔0 = �𝛾𝛾𝑅𝑅𝑇𝑇0 (2.27)

𝑣𝑣2 = 𝑔𝑔0�2

𝛾𝛾 − 1�1 − �

𝑃𝑃2𝑃𝑃1�


� (2.28)

De estas ecuaciones podemos deducir que existe una velocidad máxima teórica para la salida del

gas de la tobera. Cuando tengamos una relación de presiones infinita:

(𝑣𝑣2)𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 = �

2𝛾𝛾𝑅𝑅𝑇𝑇0𝛾𝛾 − 1

= 𝑔𝑔0�2

𝛾𝛾 − 1 (2.29)

La velocidad de salida tiene un máximo finito para esta situación. En esta expansión, la

temperatura del gas cae por debajo del punto de licuefacción o incluso del punto de

solidificación, por lo que la velocidad teórica calculada no puede ser alcanzada.

2.9.2 Configuración de tobera.

Si en una tobera se desean alcanzar velocidades superiores a las del sonido, el área necesaria de

tobera decrece hasta un mínimo, para posteriormente crecer. Las toberas de este tipo, muchas

veces llamadas toberas de De Laval, consisten en un tramo convergente seguido uno divergente

de conducto. El área mínima de la tobera se llama garganta. Según la Ecuación de conservación

de la masa, o de continuidad, el área es inversamente proporcional a la relación v/V, velocidad -

volumen específico. A la relación del área de salida frente al área de garganta se le denomina

ratio o relación de expansión el cual es un factor importante en el diseño de cohetes y esta dada

por la siguiente Ecuación:

∈=𝐴𝐴2𝐴𝐴𝑠𝑠

(2.30)


Capítulo 2|

El máximo flujo de gas por unidad de área ocurre en la garganta en donde hay una relación de

presión de gas única, la cual está en función de la relación de calores específicos γ, está dada por

la siguiente Ecuación:

𝑃𝑃𝑠𝑠𝑃𝑃1

= ��2

(𝛾𝛾 + 1)��𝛾𝛾

(𝛾𝛾−1) (2.31)

La presión en la garganta Pt hace que el flujo másico sea el máxima y es llamada presión critica.

La presión de entrada a la tobera es muy cercana a la presión de estancamiento de la cámara de

combustión. En el punto que la presión es crítica, el número Match es uno y los valores de

volumen especifico y temperatura pueden ser obtenidos de las siguientes ecuaciones:

𝑉𝑉𝑠𝑠 = 𝑉𝑉1 �

(𝛾𝛾 + 1)2

�

1(𝛾𝛾−1)

(2.32)

𝑇𝑇𝑠𝑠 =2𝑇𝑇1

(𝛾𝛾 + 1) (2.33)

En donde la T1 es muy cercana a la temperatura de combustión y por lo tanto muy cercano al

flujo de estancamiento T0. Haciendo uso de las ecuaciones 2.25, 2.31 y 2.33 se puede obtener la

velocidad crítica en la garganta:

𝑣𝑣𝑠𝑠 = �

2𝛾𝛾𝛾𝛾 + 1

𝑅𝑅𝑇𝑇1 = �𝛾𝛾𝑅𝑅𝑇𝑇𝑠𝑠 = 𝑔𝑔𝑠𝑠 (2.34)

Es decir, en la garganta con condiciones de presión críticas, la velocidad de fluido coincide con la

del sonido, lo que equivale a un Mach. Esto se conoce como bloqueo sónico. Esta velocidad no se

puede superar en un conducto meramente convergente. La parte divergente de la tobera nos

permite disminuir más la presión e incrementar la velocidad más allá de la velocidad del sonido.

Si la tobera acaba en la garganta, la salida del fluido es sónica. La condición de flujo sónico o

supersónico sólo puede darse si se alcanza presión crítica en la tobera. Por lo que básicamente

existen tres posibles tipos de toberas: subsónicas, sónicas y supersónicas. Sus características se

pueden comparar en la Tabla 2.2.

Las toberas supersónicas son las normalmente utilizadas en cohetes. La relación de presiones

entre la cámara de combustión y el ambiente en todos los cohetes es lo suficientemente grande

como para conseguir flujo supersónico. Si la presión de la cámara baja de las 2.17 atm,

aproximadamente, el chorro será subsónico con la tobera funcionando al nivel del mar.


Capítulo 2|

La velocidad del sonido es igual a la velocidad de propagación de una onda de presión en el

medio, ya que el sonido es una onda de presión. Si se alcanza la velocidad sónica en algún punto

de una corriente estacionaria, será imposible que ninguna onda atraviese dicha sección aguas

arriba de la corriente. Por otra parte, cualquier perturbación o pequeña obstrucción del flujo aguas

abajo de la garganta, no tiene influencia sobre el flujo en la garganta o aguas arriba de la misma,

siempre y cuando, esta perturbación no haga aumentar la presión aguas abajo por encima de la

presión crítica. No es posible aumentar la velocidad del flujo en la garganta disminuyendo la

presión aguas abajo. A esta situación se le llama bloqueo sónico.

El flujo a través de la sección crítica o garganta en una tobera supersónica se puede obtener a

partir de las ecuaciones 2.10, 2.32 y 2.34 y es igual al flujo másico en cualquier sección dentro

de la tobera resultando:

�̇�𝑑 =𝐴𝐴𝑠𝑠𝑣𝑣𝑠𝑠𝑉𝑉𝑠𝑠

= 𝐴𝐴𝑠𝑠𝑃𝑃1𝛾𝛾

�� 2𝛾𝛾 + 1�

(𝛾𝛾+1)(𝛾𝛾−1)

�𝛾𝛾𝑅𝑅𝑇𝑇1

(2.35)

Tabla 2.2.- Clasificación de la toberas de acuerdo a su velocidad

Subsónicas Sónicas Supersónicas

Velocidad en la

garganta 𝑣𝑣1 < 𝑔𝑔𝑠𝑠 𝑣𝑣1 = 𝑔𝑔𝑠𝑠 𝑣𝑣1 = 𝑔𝑔𝑠𝑠

Velocidad a la salida 𝑣𝑣2 < 𝑔𝑔𝑠𝑠 𝑣𝑣2 = 𝑔𝑔𝑠𝑠 𝑣𝑣2 > 𝑔𝑔𝑠𝑠

Numero Mach 𝑀𝑀2 < 1 𝑀𝑀2 = 𝑀𝑀𝑠𝑠 = 1 𝑀𝑀2 > 1

Relación de presiones 𝑃𝑃1𝑃𝑃2

< �𝑘𝑘 + 1

2�

𝑘𝑘(𝑘𝑘−1)

𝑃𝑃1𝑃𝑃2

=𝑃𝑃1𝑃𝑃𝑠𝑠�𝑘𝑘 + 1

2�


𝑃𝑃1𝑃𝑃2

> �𝑘𝑘 + 1

2�


Perfil de la tobera


Capítulo 2|

Para una tobera supersónica la relación entre el área garganta y el área a lo largo de la parte

divergente, en la que la presión Px prevalece, puede ser expresada como en función de la relación

de presiones y calores específicos como se expresa en la siguiente Ecuación

𝐴𝐴𝑠𝑠𝐴𝐴𝑥𝑥

=𝑉𝑉𝑠𝑠𝑣𝑣𝑥𝑥𝑉𝑉𝑥𝑥𝑣𝑣𝑠𝑠

= �𝛾𝛾 + 1

2�

1(𝛾𝛾−1)

�𝑃𝑃𝑥𝑥𝑃𝑃1�1𝛾𝛾�𝛾𝛾 + 1𝛾𝛾 − 1

�1 − �𝑃𝑃𝑥𝑥𝑃𝑃1�


�

(2.36)

Cuando sea Px=P2, entonces Ax/At=A2/At=ε. En aplicaciones a bajo nivel (o-10.000m), las

relaciones de área en toberas suelen tener valores de ε=3-35, dependiendo de la presión en la

cámara de combustión, para altitudes mayores se usan valores de entre 40 y 100, aunque a se ha

llegado hasta 400. Una expresión simila para la relación de velocidades en cualquier punto en la

parte divergente de la tobera está dada en función de la presión Px, y la velocidad puede ser

expresada con la siguiente Ecuación

𝑣𝑣𝑥𝑥𝑣𝑣𝑠𝑠

= �𝑘𝑘 + 1𝑘𝑘 − 1

�1 − �𝑃𝑃𝑥𝑥𝑃𝑃1�


(2.37)

Estas ecuaciones permiten obtener inmediatamente la relación de áreas y velocidades en toberas

ideales. Y realizar el dimensionamiento básico de una tobera supersónica de tipo De Laval.

2.10 Dimensionamiento de la tobera.

A pesar de la complejidad, este proceso es básico que para efectos funcionales deberá

corroborarse con un trabajo experimental completo el cual queda fuera de los alcances de este

trabajo.

Para llevar a cabo el dimensionamiento del perfil de una tobera de tipo De Laval se requiere de

una presión en de entrada (cámara de combustión) que para este caso es de 10 Mpa que es una

presión típica para las cámaras de combustión de acuerdo a Valera (2012) y una presión de salida

de 77.327 KPa que es la presión atmosférica en el D.F, que usa como combustible Hidrogeno y

Oxígeno líquido, el cual tiene como relación de calor especifico de 1.26 con una temperatura en

la cámara de combustión de 2959 K° [Sotton y Biblard, 2001]. La tabla 2.3 los datos iniciales

para el cálculo.


Capítulo 2|

Tabla 2.3.- Datos iniciales para el calculo

Concepto Valor Unidades

Presión en la cámara de combustión

(P1)

10 Mpa

Presión de salida (P2) 0.077327 MPa

Relación de calores específicos (k) 1.26 ---

Temperatura en la cámara de

combustión

2959 K°

Empuje 5000 N

Constate de los gases 8314.3 𝐽𝐽𝑑𝑑𝑐𝑐𝑚𝑚 − 𝐾𝐾°

Masa molar 8.9 𝐾𝐾𝑔𝑔𝑑𝑑𝑐𝑐𝑚𝑚

Con la Ecuación 2.34 se obtiene la velocidad del fluido en la garganta, sustituyendo los valores se

tiene.

𝑣𝑣𝑠𝑠 = �2𝛾𝛾𝛾𝛾 + 1

𝑅𝑅𝑇𝑇1 = �2(1.26)1.26 + 1

8314.38.9

2959 = 1758.49 𝑑𝑑𝑔𝑔

Con la Ecuación 2.26 se obtiene a velocidad de escape del fluido.

𝑣𝑣2 = �2𝛾𝛾𝛾𝛾 − 1

𝑅𝑅′𝑇𝑇0ɱ

�1 − �𝑃𝑃𝑦𝑦𝑃𝑃0�


�

𝑣𝑣2 = �2(1.26)1.26 − 1

8314.3(2959)8.9

�1 − �(0.077327)

(10)�

(1.26−1)1.26�

� = 4119.248𝑑𝑑𝑔𝑔

El consumo ideal de propelente ideal para condiciones óptimas de expansión puede ser obtenido

con la siguiente Ecuación.

�̇�𝑑 =𝐹𝐹𝑣𝑣2

=5000

4119.248= 1.2138

𝑘𝑘𝑔𝑔𝑔𝑔𝑒𝑒𝑔𝑔

El volumen específico a la entrada de la tobera se puede obtener con la Ecuación de los gases

ideales:


Capítulo 2|

𝑉𝑉1 =𝑅𝑅𝑇𝑇1ɱ𝑃𝑃1

=8314.3(2959)(8.9)(10𝑒𝑒106)

= 0.27642 𝑑𝑑3

𝑘𝑘𝑔𝑔

Los volúmenes específicos de la garganta y de la sección de salida son obtenidos de las

ecuaciones 2.14 y 2.32:

𝑉𝑉𝑠𝑠 = 𝑉𝑉1 �(𝛾𝛾 + 1)

2�

1(𝛾𝛾−1)

= 0.27642 �(1.26 + 1)

2�

1(1.26−1)

= 0.4423𝑑𝑑3

𝑘𝑘𝑔𝑔

𝑉𝑉2 = 𝑉𝑉1 �𝑃𝑃1𝑃𝑃2�1𝛾𝛾

= 0.27642 �10

0.077327�

11.26

= 13.1068𝑑𝑑3

𝑘𝑘𝑔𝑔

Con los volúmenes específicos de la garganta y de salida se pueden obtener el área de sección

transversal de la tobera y su relación de expansión de la misma con el uso de la Ecuación 2.35 y

su variación para el área de salida.

𝐴𝐴𝑠𝑠 =�̇�𝑑𝑉𝑉𝑠𝑠𝑣𝑣𝑠𝑠

=1.2138(0.4423)

1758.49= 0.000305298 𝑑𝑑2 = 3.05298 𝑐𝑐𝑑𝑑2

𝐴𝐴2 =�̇�𝑑𝑉𝑉2𝑣𝑣2

=1.2138(13.1068)

4119.248= 0.000386212 𝑑𝑑2 = 38.6212 𝑐𝑐𝑑𝑑2

∈=𝐴𝐴2𝐴𝐴𝑠𝑠

=38.62123.05298

= 12.65

Para obtener la temperatura de salida del dluo se usa la Ecuación 2.16

𝑇𝑇2 = 𝑇𝑇1 �𝑃𝑃2𝑃𝑃1�


= 2959 �0.077327

10�

(1.26−1)1.26

= 1085.935 °𝐾𝐾

De acuerdo a Sharma, et. al (2011) el área de la cámara de combustión se puede obtener con la

siguiente Ecuación.

𝐴𝐴𝑐𝑐 = 3𝐴𝐴𝑠𝑠 = 3(3.05298) = 9.15894 𝑐𝑐𝑑𝑑2

Para obtener el radio de cada una de las áreas se despeja r de la Ecuación del área de un círculo.

𝑟𝑟 = �𝐴𝐴𝜋𝜋

Radio de la garganta.

𝑟𝑟𝑠𝑠 = 0.9857 𝑐𝑐𝑑𝑑

Radio de la cámara de combustión.

𝑟𝑟𝑐𝑐 = 1.7074 𝑐𝑐𝑑𝑑

Radio a la salida de la tobera.


Capítulo 2|

𝑟𝑟𝑠𝑠 = 3.5062 𝑐𝑐𝑑𝑑

Para obtener la longitud de la tobera se usa la siguiente relación.

𝐿𝐿𝑐𝑐𝑜𝑜𝑛𝑛𝑜𝑜 =𝑟𝑟𝑠𝑠 − 𝑟𝑟𝑠𝑠tan𝜃𝜃

𝐿𝐿𝑐𝑐𝑜𝑜𝑛𝑛𝑜𝑜 =3.5062 − 0.9857

tan 15°= 9.4066 𝑐𝑐𝑑𝑑

Con los datos obtenidos se puede realizar el diseño del perfil normalizado de la tobera como. Los

valores obtenidos se emplean para realizar el trazo del perfil que finalmente queda como se

muestra en la figura 2.17

Figura 2.16. Perfil normalizado para el diseño de la tobera

Para obtener el ángulo inicial y final de una tobera contorneada se hace uso de la siguiente gráfica

(Figura 2.18) en donde se hace uso de la relación de expansión para determinar dichos ángulos


Capítulo 2|

Figura 2.18 Angulo inicial y final de una tobera contorneada.

La Tabla 2.3 muestra los datos geométricos requeridos para obtener el perfil de la tobera de

longitud completa.

Tabla 2.3 Parámetros geométricos para el diseño de la tobera.

Geometría Media

Radio de la garganta. 0.9857cm

Radio de salida. 3.5062 cm

Radio de la cámara de

combustión.

1.7074 mm

Longitud total del cono. 9.4066 cm

Angulo inicial de la

parábola.

22°

Angulo final de la

parábola.

6°

En la Figura 2.19 se puede apreciar las dimensiones generales de la tobera.


Capítulo 2|

Figura 2.19 Dimensiones generales de la tobera.

2.11 Uso de las simulaciones numéricas en la tecnología espacial.

La validación de las estructuras de vehículos espaciales por análisis numéricos y pruebas físicas

es planteada en normas como la ECSS-E-ST-10-03C. y la ECSS-E-ST-10-02C, uno de los ciclos

de validación más común es expuesto en el procedimiento en la Figura 2.20.

A fin de avaluar un potencial desajuste entre las cargas de diseño y las cargas actuales en un

vuelo de un cohete. Los análisis numéricos de verificación practicados comúnmente mediante

elemento finito son:

• Análisis modal.

• Análisis de esfuerzos, incluyendo los termo-elásticos.

• Análisis de estabilidad a la flexión.

• Análisis transitorios.

• Análisis de respuesta a la frecuencia.

• Análisis de fatiga y crecimiento de grieta.

• Análisis acústicos.

• Análisis a respuesta aleatorias.

• Análisis de micro-vibraciones.

• Análisis de desplazamiento.


Capítulo 2|

Este trabajo de investigación se enfoca en el análisis estructural mediante elemento finito de la

estructura básica de una tobera de tipo convergente-divergente (De Laval).

Figura 2.16 Ciclo de validación para piezas espaciales.

2.12 Condiciones de la simulación.

Se analizara mediante el método del elemento finito, los esfuerzos en un a tobera de tipo De

Laval, por la presión ejercida por un flujo a través de la misma. El estudio de este tipo de efectos


Capítulo 2|

es de suma importancia para el diseño eficiente, en donde se podrían ver afectados varios

aspectos mecánicos de la tobera. En la Figura 2.17 se muestran las condiciones de frontera y

cargas a aplicar para la obtención de los esfuerzos en la tobera.

2.21 Condiciones empleadas para la realización de la simulaciones

2.13 Sumario.

En el presente capítulo se expuesto las diferentes partes que conforman un cohete de manera

general; así como los diferentes sistemas de propulsión que existen, y sus partes principales, en

donde se puede apreciar que cada uno de ellos, tienen como parte similar la tobera de salida, la

cual es un elemento impórtate, ya que esta es la encargada de transformar la presión de gas

generado en la combustión, en energía cinética y brindar de empuje al cohete.

Así como también lar relaciones termodinámicas que se usan para el dimensionamiento de un

perfil de tobera ideal. Y los cálculos básicos para el dimensionamiento de la misma. Y el ciclo

por el cual debe de pasar las estructuras espaciales para su validación, el cual incluye el uso del

elemento finito. Así como las condiciones de frontera generales para la simulación.

En el siguiente capítulo se aborda la teoría general de flujo, así como también se expone la teoría

general del elemento finito, para de esta manera ampliar la visión general del método del

elemento finito y tener un criterio más amplio sobre lo realiza el programa de computo.


CAPÍTULO 3

Marco Teórico

Es difícil decir que algo es imposible, para el sueño del ayer la esperanza hoy será la realidad del mañana.

Robert Huchings Goddard. Es considerado uno de los padres de la cohetería moderna. (Octubre 1882-Agosto 1945

Capítulo 3|

3.1 Generalidades.

Debido a que el interés del presente trabajo de investigación se enfoca en el análisis de esfuerzos

en una Tobera de tipo De Laval, por el paso de un fluido a presión a través de la misma, se requiere

de un análisis de campos acoplados, en la Figura 3.1 se plantea la metodología para este tipo de

simulación [ANSYS, 2013].

Figura 3.1 Análisis numérico de campos acoplados.

Para este propósito es importante la siguiente limitante: En análisis numéricos de este tipo se

supone que la geometría no se deforma o se deforma muy poco, como para cambiar el patrón de

flujo. El propósito de una simulación numérica es dar una descripción de la realidad o fenómeno

físico, basada en el método científico [Álvarez, 2014]. Algunos autores definen a la simulación

como la técnica numérica para realizar experimentos en un ordenador digital, que implica ciertos

tipos de modelos lógicos y matemáticos que logran describir el comportamiento de los sistemas

sobre un cierto periodo de tiempo [García, et al., 2005]

3.2. Análisis de flujo.

La Dinámica computacional de fluidos o CFD es una rama de la mecánica de fluidos que usa

métodos numéricos y algoritmos para resolver y analizar problemas que involucran el flujo de un

fluido [Satyanarayana, et al., 2013]. Las características físicas de un flujo son usualmente descritas

a través de ecuaciones matemáticas fundamentales, usualmente en forma de ecuaciones

diferenciales parciales, las cuales gobiernan un proceso de interés y son regularmente llamadas

ecuaciones de gobierno en CFD [Tu, Yeoh, et al. 2008]. Uno de los softwares que incluyen esta


Capítulo 3|

relación de ecuaciones fundamentales es ANSYS ® Fluent, el cual consiste en tres principales

elementos: pre-procesamiento, solver o solucionador y post-procesos. La Figura 3.1 presenta la

inter-conectividad de estos tres elementos [Quintao, 2012].

3.2 Algoritmo de solución CFD Fluent

3.2.1 Ecuaciones de gobierno.

Las ecuaciones de gobierno están basadas en la conservación de la masa, el momentum y la energía.

Las ecuaciones de conservación están relacionadas con la tasa de cambio en la cantidad de esa

propiedad dentro de un volumen de control arbitrario, la velocidad de transporte atreves de la


Capítulo 3|

superficie del volumen de control y la tasa de relación de producción dentro de ese volumen

[Tu,Yeoh, et al., 2008; Quintao, 2012].

Las ecuaciones de Navier-Stokes para flujos compresibles son un ejemplo de las ecuaciones de

gobierno. Las siguientes ecuaciones incluyen transferencia de calor ��̇⃗�𝑞� y fuerzas de cuerpo

�𝑏𝑏�⃗ �[Tu,Yeoh, et al., 2008; Quintao, 2012, Alvarez, 2014; Najar, et al., 2013].

Ecuación de la continuidad. Describe la conservación de la masa:

𝜕𝜕𝜌𝜌𝜕𝜕𝑡𝑡

+ ∇�𝜌𝜌𝑉𝑉�⃗ � = 0 (3.1)

Ecuaciones del momento.

𝜕𝜕(𝜌𝜌𝜌𝜌)𝜕𝜕𝑡𝑡

+ ∆(𝜌𝜌𝜌𝜌𝑉𝑉) = �−𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕� + 𝜌𝜌𝑓𝑓𝑥𝑥 (3.2)


+ ∆(𝜌𝜌𝜌𝜌𝑉𝑉) = �−𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕� + 𝜌𝜌𝑓𝑓𝑦𝑦 (3.3)


+ ∆(𝜌𝜌𝜌𝜌𝑉𝑉) = �−𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕� + 𝜌𝜌𝑓𝑓𝑧𝑧 (3.4)

Ecuación de la energía.

𝜕𝜕𝜕𝜕𝑡𝑡�𝜌𝜌 �𝑒𝑒 +

𝑉𝑉2

2�� + ∇ �𝜌𝜌 �𝑒𝑒 +

𝑉𝑉2

2�𝑉𝑉�⃗ � = 𝜌𝜌�̇⃗�𝑞 −

𝜕𝜕(𝜌𝜌𝜕𝜕)𝜕𝜕𝜕𝜕

+𝜕𝜕(𝜌𝜌𝜕𝜕)𝜕𝜕𝜕𝜕

+𝜕𝜕(𝜌𝜌𝜕𝜕)𝜕𝜕𝜕𝜕

+ 𝜌𝜌𝑓𝑓 ∙ 𝑉𝑉�⃗ (3.5)

Ecuaciones de Navier-Stokes

Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Claude-Louis Navier y George Gabriel

Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el

movimiento de un fluido. Estas ecuaciones gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes

oceánicas y el flujo alrededor de vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en el

que se involucren fluidos newtonianos.

Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conservación de la mecánica y la

termodinámica a un volumen fluido. Haciendo esto se obtiene la llamada formulación integral de

las ecuaciones. Para llegar a su formulación diferencial se manipulan aplicando ciertas


http://es.wikipedia.org/wiki/Claude-Louis_Navier

http://es.wikipedia.org/wiki/George_Gabriel_Stokes

http://es.wikipedia.org/wiki/George_Gabriel_Stokes

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_en_derivadas_parciales

http://es.wikipedia.org/wiki/Fluido

http://es.wikipedia.org/wiki/Atm%C3%B3sfera

http://es.wikipedia.org/wiki/Fluido_newtoniano

http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica

http://es.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A1mica

Capítulo 3|

consideraciones, principalmente aquella en la que los esfuerzos tangenciales guardan una relación

lineal con el gradiente de velocidad (ley de viscosidad de Newton), obteniendo de esta manera la

formulación diferencial que generalmente es más útil para la resolución de los problemas que se

plantean en la mecánica de fluidos.

Como ya se ha dicho, las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones en derivadas

parciales no lineales. No se dispone de una solución general para este conjunto de ecuaciones, y

salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas no es posible hallar una solución analítica;

por lo que en muchas ocasiones es preciso recurrir al análisis numérico para determinar una

solución aproximada.

3.2.2 Modelos de turbulencia.

La solución de las ecuaciones que gobiernan el comportamiento del fluido no presentan gran

dificultad en el caso de flujos laminares o no viscos. Por el contrario, la dificultad de predicción de

los flujos turbulentos. La estructura de un fluido en régimen turbulento es caracterizado por la

aleatoriedad, del movimiento tridimensional de las partículas de un fluido además del movimiento

medio, en el cual es un mescla macroscópica de partículas de fluido con las capas de fluido

adyacentes [Quintao, 2012]. La turbulencia es un fenómeno susceptible a ser definido como:

• Un movimiento tridimensional y caótico de torbellinos de distintos tamaños superpuestos

a un movimiento o flujo principal del fluido

• Un disipador importante de energía

• Se considera el último gran problema sin resolver de la Dinámica de Fluidos.

Todos los modelos de turbulencia conocidos tiene sus limitaciones, un modelo de turbulencia

definitivo aún no ha sido desarrollado [Álvarez, 2014]. La clasificación de los principales modelos

de turbulencia que existentes en la literatura se muestra en la Figura 3.2 en donde se ordenan en

función del costo asociado a su empleo [Sanchez 2004].


http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9rico

Capítulo 3|

Figura 3.3. Simplificación de los modelos viscosos

Simulación Numérica Directa (DNS).

No se trata en si de un modelo de turbulencia, sino la solución completa de las ecuaciones de

Navier-Stokes. Este método resulta inabordable en problemas con altos números de Reynolds, ya

que sería preciso resolver todas las escalas del movimiento (desde la dimensión característica del

problema hasta la escala de pequeños torbellinos). Para ello resulta necesario definir un gran

número de elementos, el cual se estima en el orden de Re9/4[Deissler, 1998] aproximadamente. No

obstante, las supercomputadores y grandes clúster, han obtenidos buenos resultados para flujos

simples a números de Reynolds moderados, ayudándonos a comprender el fenómeno de la


Capítulo 3|

turbulencia y a desarrollar modelos más simples [Álvarez, 2014; Sánchez, 2004]. Los

requerimientos computacionales incrementan con el número de Reynolds. Esto hace que la

aplicabilidad del DNS para uso industrial sea limitada. Las restricciones provienen del hecho de

que se resuelven escalas de flujo del orden de Kolmogorov(𝜂𝜂). En el orden en que se resuelve el

campo turbulento para DNS, diferentes soluciones en sido sugeridas en la literatura. Acuerdo con

Leonard, para realizar una simulación numérica confiable la energía de disipación turbulenta, el

espacio dela malla deben de ser tan pequeñas que la longitud de la escala correspondiente para el

pico en el espectro de disipación y el espacio medio entre la malla no sean más largos que

determinaciones viscosa de Kolmogorov [Uddin, 2008].

Gran simulación de Eddy (Large Eddy Simulation “LES”).

La simulación completa de un flujo turbulento, dependen del tiempo y a elevados números de

Reynols, es prácticamente imposible por la finura de la desratización que se necesita; el tamaño de

los elementos debe de ser menor que la más pequeña escala de movimiento. Así es como él LES

aparece como una alternativa más viable que el DNS [Zapata, 2014]. El desarrollo del LES se basa

en la observación de que las pequeñas escalas de turbulencia poseen un carácter más universal que

las grandes. Por lo tanto, la idea es resolver únicamente las grandes escalas de la turbulencia y

aproximar el efecto de las pequeñas escalas (por esto él LES necesita una desratización menos fina

que el DNS) [Sánchez, 2004]. La razón del LES es que un fluido a gran escala sea turbulento es

debido directamente por inestabilidad del flujo principal (esfuerzos cortantes y efectos de

flotabilidad) debe ser simuladas directamente como dependientes del problema, anisotrópico y

juegan un papel en el transporte de la masa, el momentum y la energía. Por otro lado, las escalas

más pequeñas pueden ser modeladas con menos efecto en la calidad de predicción [Uddin, 2008].

El modelo LES se basa en un filtrado espacial de las ecuaciones de gobierno del fluido de tal

manera que se resuelven computándose las grandes escalas (el movimiento turbulento de grandes

remolinos), mientras que para escalas más pequeñas se asume un modelo que permite considerar

de forma aproximada su influencia en la variación general de los parámetros del flujo.

Teóricamente esto corresponde al filtrado matemático de las ecuaciones de conservación mediante

la convoluciòn de estas con diferentes funciones filtrantes, que pueden ser de dependencia espacial

o frecuencial. Comúnmente se emplean dos funciones espaciales, una de tipo rectangular y otra


Capítulo 3|

gausiana y una frecuencial de tipo filtro pasa bajo. Las más empleadas son las de filtrado espacial

[Capote,J., et al., 2008]. Cabe mencionar que este tipo de modelos se comportan bien en las

regiones alejadas de la frontera de contorno, mientras que el comportamiento turbulento del flujo

cerca de la frontera no es tan bueno.

Promedio de Reynolds Navier-Stokes (Reynolds Average Navier-Stokes “RANS”).

El siguiente modelo de aproximación es el promedio de Reynolds de las ecuaciones de Navier-

Stokes. Esta aproximación propuesta por Reynolds en 1895 está basada en la descomposición de

las variables de flujo en un valor medio y otro fluctuante. Las ecuaciones de Navier-Stokes se

formulan en función de las variables promedio, obteniendo así un nuevo sistema de ecuaciones

denominado RANS, muy parecido al original, pero con un término adicional y desconocido que

hace falta modelar [Alvarez, 2014] en adición se requieren de otras ecuaciones para cerrar el

sistema, Se presentan dos variantes principales de evaluación: La de Reynolds y la de Favre. Esta

última emplea magnitudes promedias por unidad de masa. En todos los casos la dificultad para el

cierre del sistema de ecuaciones se deriva de la elección de las ecuaciones para representar el tensor

𝜏𝜏𝑖𝑖𝑖𝑖 que representan las tenciones de turbulencia de Reynolds.

𝜏𝜏𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝜇𝜇𝑡𝑡 �𝑆𝑆𝑖𝑖𝑖𝑖23𝛿𝛿𝑖𝑖𝑖𝑖(∇ ∙ 𝜌𝜌��)�

En la actualidad existen diferentes métodos o modelos de solución para el RANS encaminados a

calcular este coeficiente de viscosidad dinámica (𝜇𝜇𝑡𝑡),. Los grandes grupos se pueden dicidir en los

siguientes incisos [Capote, et al., 2008]:

• Modelos de cero ecuaciones.

El método más sencillo para hallar el coeficiente de viscosidad dinámica (𝜇𝜇𝑡𝑡), es emplear un

modelo que no precise ninguna ecuación adicional. Esta es la base del modelo de la longitud

mezclada de Prandtl que establece un enlace entre (𝜇𝜇𝑡𝑡) y el gradiente de velocidad a través de una

expresión algebraica [Capote, et al., 2008].

• Modelos de una ecuación.

Existen diferentes modelos que emplean una ecuación para calcular (𝜇𝜇𝑡𝑡), el modelo de Baldwin-

Barth, el modelo Sparlat-Allmara, el modelo Prandtl-Kolmgorov, etc. El modelo Sparlat-Allmara

el cual resuelve las ecuaciones de conservación para viscosidad cinemática turbulenta (Eddy

viscosity) [Capote, et al., 2008]. Este modelo fue diseñado específicamente para las aplicaciones


Capítulo 3|

aeroespaciales concernientes a paredes delimitadas y ha mostrado excelentes resultados para capa

límite sometido a gradientes de presión adversos, este modelo fue desarrollado para perfiles

aerodinámicos y no para flujos industriales en general. La variable de transporte dentro del modelo

Sparlat-Allmaras es la viscosidad dinámica (�⃗�𝜌) y por lo regular se aproxima mucho a la viscosidad

cinemática, excepto en la región cercana a la pared [Álvarez, 2014].

• Modelos de dos ecuaciones.

Los modelos de dos ecuaciones son los más empleados dentro de los modelos RANS. Existen

diferentes modelos dentro de este apartado, siendo los más conocidos el modelo 𝑘𝑘 − 𝜀𝜀 y el modelo

𝑘𝑘 − 𝜔𝜔. Estos modelos están vasados en la energía cinetica tubulenta, para las ecuaciones de cierre.

Y en la ecuación de la relación de disipación para el caso de 𝑘𝑘 − 𝜀𝜀 y el la ecuación de la disipación

especifica par el caso de 𝑘𝑘 − 𝜔𝜔 [Quintao, 2012].

o Modelo 𝑘𝑘 − 𝜀𝜀.

El modelo estándar 𝑘𝑘 − 𝜀𝜀 es un modelo semi-empirico basado en las ecuaciones de

energía cinetica del fluido turbulento (K) y en la velocidad de disipacion (ԑ) al sistema

de ecuaciones del fluido. Mediante estas dos ecuaciones se calculan los valores de estas

variables para posteriormente calcular 𝜇𝜇𝑡𝑡 [Capot, et al, 2008].

𝜇𝜇𝑡𝑡 = �̅�𝜌𝐶𝐶𝜇𝜇𝑘𝑘2

𝜀𝜀

o Modelo 𝑘𝑘 − 𝜔𝜔

El modelo 𝑘𝑘 − 𝜔𝜔 es un modelo empírico basado en el las ecuaciones del modelo de

transporte de la energía cinética turbulenta (k) y el las tasa de disipación especifica (𝜔𝜔)

estas ecuaciones interactúan para el posterior cálculo de 𝜇𝜇𝑡𝑡, en este caso de la energía

cinética del fluido turbulento k y de la disipación especifica 𝜔𝜔. Esta última variable

determina la escala de la turbulencia, mientras que k determina la energía de la

turbulencia [Capot, et al, 2008].

𝜇𝜇𝑡𝑡 = �̅�𝜌𝑘𝑘𝜔𝜔

• Modelos de más ecuaciones.

Existen modelos que emplean un mayor número de ecuaciones para poder calcular el

Valor de 𝜇𝜇𝑡𝑡.


Capítulo 3|

Dentro de estos modelos se encuentra el modelo de tención de Reynolds (RSM): son modelos que

emplean siete ecuaciones para el cálculo de 𝜇𝜇𝑡𝑡. . Este método intenta resolver las ecuaciones del

transporte para las tensiones de Reynolds. Esto significa la introducción de varias ecuaciones del

transporte para todas las tensiones de Reynolds y por lo tanto un mayor coste computacional.

Actualmente hay muchas investigaciones en curso sobre este método, proponiéndose

continuamente nuevos modelos. Todavía no está claro que modelo es el mejor para cada clase de

flujo debido al hecho de que al estar en la necesidad de resolver un gran número de ecuaciones no

se sabe si los errores numéricos que se generan son excesivamente grandes [Capote, et al. 2008].

3.2.3 Discretización espacial.

Hay algunas técnicas computacionales que son requeridas para resolver las ecuaciones de gobierno.

El proceso para obtener la solución computacional consiste en dos etapas. La primera implica la

conversión de las ecuaciones parciales diferenciales y condiciones auxiliares (condiciones de

frontera e iniciales) en un sistema discreto de ecuaciones algebraicas. Esta etapa es conocida como

de desertización. La segunda etapa involucra la solución numérica de las ecuaciones algebraicas.

La cuales pueden ser resueltas por métodos directos, como el de la eliminación Gaussiana y el

algoritmo de Tomas, o por métodos iterativos como el de Jacobi y Gauss-Siedel [Tu, et al., 2008].

Una visión general de la solución del proceso computacional se presenta en la figura 3.4.

Dos de las más conocidas herramientas de discretización son el método de las diferencias finitas,

el método de los volúmenes finitos y el método del elemento finito.

Método de las diferencias finitas (DF).

En el método de las diferencias finitas, cada punto de la malla es usada para describir el dominio

del flujo el fluido, las expansiones de la serie de Taylor son usadas para generar las aproximaciones

de las diferencias finitas para las derivadas parciales de las ecuaciones de gobierno o un ajuste

polinominal, para obtener aproximaciones de la primera y segunda derivada de las variables con

respecto a las coordenadas


Capítulo 3|

Figura 3.4 Esquema general del procedimiento de la solución computacional.

Estas derivadas, remplazadas por aproximaciones en diferencias finitas, producen una ecuación

algebraica para la solución de flujo en cada punto de la cuadricula. Este método requiere

generalmente una malla uniformemente distribuida. Para mallas de distribución no uniforme,

alguna manipulación matemática es requerida para transforma las ecuaciones de gobierno en un

dominio computacional en coordenadas generalizadas antes de aplicar las aproximaciones de las

diferencias finitas [Quintao, 2008]. En principio el método de las diferencias finitas puede ser

aplicado a cualquier tipo de malla. Sin embargo, en todas las aplicaciones del método de las

Diferencias Finitas es aplicado a mallas estructuradas. Ya que el método de las DF´s se realiza

normalmente en una malla estructurada, esto es que cada nodo de la malla puede ser considerada

como el origen de un sistema de coordenadas, cuyos ejes coinciden con las líneas de la malla. Esto


Capítulo 3|

implica que dos líneas de la malla pertenecen a la misma familia, es decir 𝜉𝜉1, no interseca o se corta

y que cualquier par de líneas de la malla que pertenecen a diferentes familias, es decir 𝜉𝜉1 y 𝜉𝜉2 es

contante y solo se intersecan una vez, La Figura 3.5 muestra una representación de una y dos

dimensiones de una malla cartesiana para el método de las diferencias finitas.

Figura 3.5 Representación de una malla cartesiana para el método de Diferencias Finitas

a) Una dimensión; b) Dos dimensiones

Método de los Volúmenes Finitos (VF).

En el Método del Volumen Finito, el dominio computacional es sub-dividido en un número finito

de volúmenes contiguos. Por lo tanto, porque este método no trabaja como puntos de intersección

en la malla, tiene la capacidad de acomodarse a cualquier tipo de malla. Entonces, en lugar de una

malla estructurada, una malla no estructurada puede ser empleada. La solución del dominio esta

sub-dividido en un número contiguo de volúmenes de control (VC) y las ecuaciones de

conservación son aplicadas a cada volumen de control. En el centroide de cada VC se encuentra

un nodo de cálculo en el cual los valores de las variables han de ser calculados. La interpolación

es usada para para expresar los valores de las variables de las superficies del VC en términos del

valor nodal (centro del VC). Las integrales de superficie y de volumen se aproximan empleando


Capítulo 3|

fórmulas de cuadratura adecuadas. Como resultado se obtiene una ecuación algebraica para cada

VC, en que se presentan una seria de valores nodales vecinos. Debido a que no requiere de una

malla estruturada, es un método es adecuado para geometrías complejas, en donde la malla se limita

a definir las fronteras del VC y no necesita estar relacionado con un sistema de coordenadas. El

método es conservativo en cuanto las integrales de superficie (que representan los flujos

convectivos y difusivos) sean las mismas para los VC que comparten fronteras. El valor nominal

se deriva a partir de cantidades en la celda aguas arriba con respecto a la dirección normal de la

velocidad. De forma predeterminada, ANSYS Fluent ® almacena valores discretos del escalar en

el nodo central. En la Figura 3.6 se muestra una representación de una malla estructurada y no

estructurada para el método del volumen finito [Alvarez, 2014; Quintao, 2008]. La desventaja del

método del VF comparado con el de las DF es que en métodos de orden mayor al segundo son más

complicados de desarrollar para aplicaciones 3D. Esto es debido al hecho que las aproximaciones

del VF requieren de tres niveles de aproximación (interpolación, diferenciación e integración

[Álvarez, 2014].

3.6 Representación de una malla para volumen finito

a) Malla estructurada; b) Malla no estructurada


Capítulo 3|

Método del Elemento Finito.

Son en general extensiones de los métodos de estabilización desarrollados en diferencias finitas.

La estabilización en problemas de flujos compresibles consta de dos términos, uno para estabilizar

efectos de advección dominante, más un término de estabilización de discontinuidades o de choque

[Weht; Giovancchini, 2011]. El dominio es partido en un conjunto de volúmenes discretos o

elementos finitos los cuales generalmente están sin estructura definida (no estructurada). En dos

dimensiones, normalmente los elementos más empleados son triángulos o cuadriláteros, mientras

que en 3D se usan tetraedros o hexaedros En los métodos de los Elementos finitos más sencillos,

la solución es aproximada a través de una función de forma lineal dentro de cada elemento, de

manera que garantizar la continuidad de la solución a través de las fronteras del elemento.

Esta aproximación es sustituida posteriormente, en la integral ponderada de la ley de conservación

y las ecuaciones a resolver se derivan al requerir que la derivada de la integral con respecto a cada

valor nodal sea cero; esto corresponde a seleccionar la mejor solución dentro del conjunto de

funciones permitidas (la del residual mínimo). El resultado es un conjunto de ecuaciones

algebraicas no lineales. Una importante ventaja del método del elemento finito es la gran capacidad

en geometrías arbitrarias; existe amplia literatura dedicada a la construcción de mallas para el

método del elemento finito [Álvarez, 2014].

3.2.4 Condiciones de Contorno.

Independientemente de la metodología empleada para resolver las ecuaciones de gobierno, se

deben de especificar las condiciones de contorno e iniciales [Chattot, 2002]. Las condiciones

iniciales determinan el estado de las variables fluidas en el instante t = 0, o en el primer paso del

esquema de integración. Es obvio pensar que cuanto más cercana sea la condición inicial a la

solución final del problema, menor será el tiempo necesario empleado para la convergencia.

Además se reduce la posibilidad de que el problema se vuelva inestable y se llegue a la

convergencia de la solución. Una práctica general en aerodinámica es imponer como valores

iniciales las condiciones de flujo libre en velocidad, presión, densidad y temperatura.

En toda simulación numérica, se considera una parte del dominio fluido para la resolución de las

ecuaciones. Esto da lugar a un contorno artificial donde el valor de las variables fluidas tiene que


Capítulo 3|

ser especificados a través de lo que se conoce como condiciones de contorno (Figura 3.7). En

general, las condiciones de contorno se pueden clasificar en [Sánchez, 2004]:

• Condiciones de contorno de flujo libre: pueden ser de entrada, de salida o entrada/salida. Las

condiciones de contorno de entrada de flujo se especifican mediante las condiciones en el

infinito�𝜌𝜌∞,𝜇𝜇∞,𝜌𝜌∞,𝜌𝜌∞,𝜌𝜌∞,𝜕𝜕∞,𝑇𝑇∞�

• Condiciones de contorno de pared: modelan el comportamiento del flujo en las proximidades

de la superficie. Se puede imponer una condición de contorno de no deslizamiento (velocidad

nula en el punto de contacto, 𝜌𝜌 = 0), o de tangencia (velocidad normal a la superficie igual a

cero), como se puede observar en la figura 3.7.

•

Figura 3.7 Condiciones de contorno en el contacto del flujo con una superficie

a) No deslizamiento; b) Tangencia

3.3 Análisis Mecánico.

Klaus J. Bathe (1996) resume un proceso de análisis de elemento finito el cual se expone en la

Figura 3.8. El problema físico involucra una estructura o componente estructural sujeto a ciertas

cargas. La idealización de un problema físico en un modelo matemático requiere asumir ciertas

cosas que conllevan a ecuaciones diferenciales que gobiernan el modelo matemático. El análisis

de elemento finito resuelve el modelo matemático. Como la solución del elemento finito es un

procedimiento numérico, es necesario valorar la solución adecuadamente, de lo contrario, la

solución numérica debe repetirse con parámetros de solución refinados (mallado más fino) hasta

alcanzar valores aceptables. Una malla con pocos elementos proporciona resultados que de manera


Capítulo 3|

general indicarán las zonas críticas. Por otro lado una malla muy densa proporciona los puntos

críticos muy definidos.

Es claro que la solución del elemento finito resolverá únicamente el modelo matemático y que

todas las consideraciones en el modelo se reflejarán en la respuesta predecida. No se puede esperar

mayor información en la predicción del fenómeno físico, que la contenida en el modelo

matemático. Por lo tanto, la selección de un modelo matemático adecuado es crucial y determina

por completo la visión del problema físico que se puede obtener por medio del análisis.

Se enfatiza que por medio del análisis se obtiene una visión del problema físico considerado, no se

puede predecir la respuesta de un problema físico de manera exacta porque es imposible reproducir,

ni con el modelo matemático más refinado ,toda la información que está presente en la naturaleza

y, por lo tanto, contenida en el problema físico [Flores, 2002].

Una vez que se ha resuelto adecuadamente el modelo matemático y que los resultados han sido

interpretados se puede decidir si se refinará el modelo matemático para incrementar la visión de la

respuesta del modelo físico

.

La clave en el análisis de ingeniería es por lo tanto seleccionar modelos matemáticos apropiados,

dependiendo del fenómeno a evaluar por lo tanto es mejor seleccionar modelos matemáticos

confiables y efectivos para predecir las cantidades buscadas [Flores, 2002].

El método de los elementos finitos es un método de aproximación de problemas continuos, de tal

forma que [Zienkiewicz, 1994]:

• El continuo se divide en un número finito de partes, “elementos”; cuyo comportamiento se

especifica mediante un numero finito de parámetros asociados a ciertos puntos

característicos denominados “nodos”. Estos nodos son los puntos de unión de cada

elemento con sus adyacentes.

• La solución del sistema completo sigue las reglas de los problemas discretos. El sistema

completo se forma por ensamblaje de los elementos

• Las incógnitas del problema dejan de ser funciones matemáticas y pasan a ser el valor de

estas funciones en los nodos.

• El comportamiento en el interior de cada elemento queda definido a partir del

comportamiento de los nodos mediante las adecuadas funciones de interpolación o de forma


Capítulo 3|

Figura 3.8 Proceso del análisis por medio de elemento finito

• El comportamiento en el interior de cada elemento queda definido a partir del

comportamiento de los nodos mediante las adecuadas funciones de interpolación o de forma

El método del elemento finito, por lo tanto se basa en transformar un cuerpo de naturaleza continua

en un modelo discreto aproximado, estas transformaciones se denomina desratización del modelo.

El conocimiento de lo que sucede en su interior de este modelo del cuerpo aproximado, se obtiene

mediante la interpolación en donde os valores conocidos en los nodos. Es por tanto una

aproximación de los valores de una función a partir del conocimiento de un numero determinado

y finito de puntos [Zienkiewicz, 1994]


Capítulo 3|

3.3.1 Hipótesis de la discretización.

En una estructura discreta, su deformación viene definida por un número finito de parámetros,

que juntos conforman el vector de deformaciones Δ, y la estructura tiene tantas formas de

deformarse como términos tenga dicho vector. Un medio continuo tiene un número infinito de

formas posibles de deformarse, he independientes unas de otras, ya que cada punto puede

desplazarse manteniendo fijo un numero finito de puntos restantes, por lo tanto la deformación de

una estructura no puede venir dada por un vector finito Δ, sino que es una función vectorial u,

que nos muestra cuáles son sus deformaciones en cualquier punto del medio, este contiene tres

componentes escaleras.

𝜌𝜌 = �𝜌𝜌(𝜕𝜕,𝜕𝜕, 𝜕𝜕)𝜌𝜌(𝜕𝜕,𝜕𝜕, 𝜕𝜕)𝜌𝜌(𝜕𝜕,𝜕𝜕, 𝜕𝜕)

�

Esta función es la solución a una ecuación diferencial que gobierna el sistema, y si está bien

planteado, cumplirá las condiciones de frontera impuestas, pero no nos asegura que la ecuación

es una expresión analítica manejable, y/o que se pueda calcular, por lo tanto la función u no

podrá conocerse.

Para resolver este problema, el Método del elemento finito recurre a la hipótesis de la

discretización, que se basa en los siguientes supuestos:

• El continuo se divide por medio de líneas o superficies imaginarias en una serie de regiones

contiguas y disjuntas entre sí, de formas geométricas sencillas y normalizadas, llamadas

elementos finitos.

• Los elementos finitos se unen entre sí en un número finito de puntos, llamados nodos.

• Los desplazamientos de los nodos son las incógnitas básicas del problema, y éstos

determinan unívocamente la configuración deformada de la estructura. Sólo estos

desplazamientos nodales se consideran independientes.

• El desplazamiento de un punto cualquiera, viene unívocamente determinado por los

desplazamientos de los nodos del elemento al que pertenece el punto. Para ello se definen

para cada elemento, unas funciones de interpolación que permiten calcular el valor de

cualquier desplazamiento interior por interpolación de los desplazamientos nodales. Estas

funciones de interpolación serán de tal naturaleza que se garantice la compatibilidad de

deformaciones necesaria en los contornos de unión entre los elementos.


Capítulo 3|

• Las funciones de interpolación y los desplazamientos nodales definen unívocamente el

estado de deformaciones unitarias en el interior del elemento. Éstas, mediante las

ecuaciones constitutivas del material definen el estado de tensiones en el elemento y por

supuesto en sus bordes.

• Para cada elemento, existe un sistema de fuerzas concentradas en los nudos, que equilibran

a las tensiones existentes en el contorno del elemento, y a las fuerzas exteriores sobre él

actuantes.

Los dos aspectos más importantes de esta hipótesis, sobre los que hay que hacer hincapié son:

• La función solución del problema u es aproximada de forma independiente en cada

elemento. Para una estructura discretizada en varios elementos, pueden utilizarse funciones

de interpolación distintas para cada uno de ellos, a juicio del analista, aunque deben

cumplirse ciertas condiciones de compatibilidad en las fronteras entre los elementos.

• La función solución es aproximada dentro de cada elemento, apoyándose en un número

finito (y pequeño) de parámetros, que son los valores de dicha función en los nudos que

configuran el elemento y a veces sus derivadas.

Esta hipótesis de desratización es el pilar básico del MEF, por lo que se suele decir de éste, que es

un método discretizante, de parámetros distribuidos [Celigueta, 2011].

Las propiedades de los elementos que unen a los nodos, están dadas por el material asignado al

elemento, que define la rigidez del mismo y la geometría de la estructura a modelisar (ley de

Hooke). Las deformaciones y las fuerzas externas se relacionan entre si mediante la rigidez y las

relaciones constitutivas del elemento. Trabajando en régimen elástico, las ecuaciones que definen

el sistema pueden expresarse de forma matricial como se muestra a continuación.

[𝐾𝐾] ∙ {𝛿𝛿} = {𝐹𝐹}

Dónde:

[K]: Es la matriz de rigidez.

{δ}: es el vector de desplazamiento.

{F}: E el vector de los esfuerzos.

Los tipos de elementos utilizados generalmente en la solución de un problema a través de FEM son

los elementos lineales, elementos planos o tipo Shell y elementos sólidos [Pezzoti y Antico, 2008]


Capítulo 3|

Tipos de elemento.

Hay muchos tipos de elementos como son los truss, beam, plane stress, plane strain, axisymmetric,

membrane, plate, shell, solid ó brick, tetrahedral, hexahedral, boundary, y gap. Los programas

comerciales de elementos finitos poseen una gran cantidad de elementos en sus librerías. Sin

embargo, la mayoría de las estructuras y aplicaciones mecánicas pueden ser solucionadas con los

elementos básicos ya mencionados.

Dependiendo la dimensión, los elementos básicos se pueden dividir en tres categorías: elemento de

línea, área y volumen. Truss, beam y los elementos de restricción, son de línea. Plane stress, plain

strain, axisymmetric, membrane, plate y shell son elementos de área. Solid ó brick, tetrahedral y

hexahedral son elementos de volumen.

• Elementos unidimencionales

o Elementos “Truss”: El elemento truss, es un elemento caracterizado básicamente

por que solo puede comportarse como un miembro sometido a dos fuerzas (se sabe

por tanto que estas cargas deben estar dirigidas a lo largo del eje longitudinal del

elemento). Una estructura los elementos se pueden modelar como un elementos

Truss si cumplen estos tres requerimientos:

Su longitud es mucho mayor que su alto o ancho (entre 8 y 10 veces);

Esta es conectada con el resto de la estructura con pasadores que no

transfieren momentos.; y

Las cargas externas solo son aplicadas en el extremo de los elementos, y son

paralelas al mismo (Carga Axial).

Los elementos Truss solo pueden ser sometidos a tracción o compresión. De esta forma, la

única propiedad de la sección que se debe especificar es el área axial del elemento. La figura

3.9 muestra la geometría y las fuerzas nodales en un elemento truss tridimensional, el cual

posee tres grados de libertad por nodo, es decir desplazamientos sobre los eje X, Y y Z


Capítulo 3|

Figura 3.9 Elemento Truss tridimensional

• Elemento tipo “Beam”: El elemento Beam, es probablemente el más usado. Además de sus

aplicaciones obvias en estructuras, muchos otros sistemas, como uniones mecánicas,

sistemas de conductos, tuberías y vigas en puentes pueden ser modeladas con el elemento

‘beam’. Para miembros estructurales para ser modelados con elementos ‘Beam’, una de sus

dimensiones debe ser mucho mayor, por lo menos 10 veces más grande que las otras dos.

Contrario al elemento truss, el elemento beam puede estar sometido a cargas transversales

y/o momentos flectores en adición a la tracción y compresión. La geometría y los

desplazamientos/rotación son mostrados en la figura. Note que el elemento beam

tridimensional posee seis grados de libertad por nodo, esto es, tres desplazamientos y tres

rotaciones sobre los ejes globales X, Y y Z. Figura 3.10. Elemento beam tridimensional.

Los perfiles comunes de elementos beam, son la sección I, sección en T, caja, circular y

canales. Dentro de las propiedades de la sección, se debe especificar el área axial, la

resistencia a la torsión y el momento de inercia.


Capítulo 3|

Figura 3.10 Elemento Beam tridimensional

Elementos elásticos bidimensionales

• Elementos sometidos a Esfuerzo plano y Deformación plana: Para el caso de análisis plano

existen principalmente dos tipos de elementos: Triangular y Cuadrilátero como se muestra

en la figura 3.11. Dependiendo el tipo del tipo de esfuerzo al que está sometido el elemento,

este se debe modelar como esfuerzo plano o deformación unitaria plana.

Figura 3.11 Elemento bidimensional

a) Triangular; b) Cuadrilátero


Capítulo 3|

Como regla, se prefieren los elementos cuadriláteros a los triangulares por razones de isotropía

geométrica. Sin embargo, se sugiere el uso de elementos triangulares cuando se presentan

irregularidades en la geometría del elemento a modelar, como se muestra en la Figura 3.12

Figura 3.12 Mallado con elementos triangulares y cuadriláteros.

• Elementos axisimetricos: Tanques de acero y concreto, rotores, conchas, toberas y

contenedores son algunos ejemplos representativos de estructuras axisimétricas. De forma

similar a las estructuras tridimensionales que están bajo condición de esfuerzo plano o

deformación plana, las estructuras axisimétricas sometidas a cargas axisimétricas, pueden

ser analizadas en un modelo bidimensional. Para analizar una estructura axisimétrica, como

un cilindro de pared delgada t, sujeta a una presión constante p, el modelo es la intersección

del cilindro con el plano YZ como se muestra en la figura 3.13

La carga p, es aplicada al modelo de elementos finitos como se muestra en la figura 3.12

(b). Cuadriláteros y triángulos axisimétricos poseen dos grados de libertad en cada nodo,

figuras. 3.12 (c) y (d).


Capítulo 3|

Figura 3.13 a) Cilindro bajo presión; b) Modelo axisimetrico;

c) Alementos finitos cuadrilátero y triangular

Elementos elásticos tridimensionales.

• Elementos tipo Brick: Los elementos sólidos son elementos tridimensionales con tres

grados de libertad transnacional por nodo, como se muestra en la figura 3.13. Los nodos

son usualmente introducidos en la intersección de los tres planos, o en la mitad de la

intersección de dos planos Un elemento brick de 8 nodos, con sus respectivos grados de

libertad se puede apreciar en la figura 3.14

Figura 3.14 Elemento tipo brick y sus grados de libertad por nodo (8 nodos)


Capítulo 3|

El elemento brick puede proveer información acerca de la variación tridimensional de los

esfuerzos y deformaciones del elemento.

• Elementos Tetraédricos y Hexaédricos: Así como los elementos brick, los elementos

‘tetrahedral’ y ‘hexahedral’ pueden ser usados para modelar estructuras tridimensionales.

El tetraedro puede ser visto como un triángulo en tercera dimensión, como se ve en a figura

3.14, mientras que el hexaedro puede ser visto como un cuadrilátero extendido en la tercera

dimensión. Se puede apreciar entonces que el hexaedro tiene la misma geometría del

elemento brick de 8 nodos. La diferencia entre estos dos, es la formulación y precisión

computacional. Por lo general los elementos tetraedro y el hexaedro poseen solo tres grados

de libertad por nodo, y la precisión de estos elementos se puede incrementar colocando

nodos en la mitad de los lados

Figura 3.15 a) Tetraedro de 5 nodos; b) Tetraedro de 10 nodos

Elementos elásticos isoparametricos.

Cuando se tienen dificultades en idealizar superficies o fronteras curvas usando elementos con

lados rectos y superficies planas, se requiere emplear elementos con lados y/o caras curvas. Esto

elementos son parametricamenete equivalentes con sus elementos rectilíneos correspondientes, por

ello se les denomina “elementos isoparamentricos”. Las figuras 3.16 muestran este tipo de

elementos [Sandoval, 2004]


Capítulo 3|

Figura 3.16 Equivalentes de algunas figuras isoperimétricas.

3.4 Mallado.

Descomponer una región R como una unión de regiones elementales que en general llamamos

celdas; normalmente las celdas son triangulares o cuadrangulares (en caso de un dominio

bidimensional), o tetraédricas o hexaédricas (para tres dimensiones). A la salida de este proceso de

discretización es a lo que llamamos Malla.

Las mallas pueden clasificarse como estructuradas o no estructuradas, la figura 3.17 ilustra un

ejemplo de cada uno. Las mallas estructuradas topológicamente presentan una estructura en la

adyacencia que es uniforme mientras que las no estructuradas carecen de tal. En la malla

estructurada, los índices de los vecinos a cualquier nodo son fácilmente identificables por que la

adyacencia resulta natural, mientras que una malla no estructurada requiere del almacenamiento en

una lista de los vecinos de cada nodo.

Tanto la generación de mallas estructuradas como las no estructuradas presentan dificultades a

resolver, y cada una de ellas abre un campo de estudio interesante [Velázquez, 2009].

El problema de discretización de un dominio para la simulación numérica puede ser un problema

más difícil de lo que parece a simple vista. Una malla debe ajustarse a la región dominio a modelar,

y también, debe cumplir condiciones sobre el tamaño y la forma de sus elementos, a veces una

malla útil debe satisfacer condiciones que a primera instancia parecen contradictorias. El primer

objetivo del modelado de la región es mantener o conservar lo mejor posible su forma.

Un segundo objetivo de generación de mallas es ofrecer el máximo control posible sobre los

tamaños de los elementos de la malla. Idealmente, este control incluye la capacidad de pasar de

elementos pequeños a grandes a través de una distancia relativamente corta. Al resolver un


Capítulo 3|

problema numérico hay que considerar que los elementos pequeños, que conforman una región

densa, ofrecen más precisión que los grandes cuyo espaciamiento es mayor y que el tiempo de

cálculo para resolver el problema numérico es proporcional al número de elementos, por lo cual es

recomendable plantear la posibilidad de usar distintas distribuciones. Por lo tanto, elegir el tamaño

supone un elemento de negociación entre la velocidad de procesamiento y la precisión la

aproximación. Además, el tamaño del elemento necesario para alcanzar una determinada cantidad

de precisión depende del comportamiento de los fenómenos físicos en que se basa el modelo, y

puede variar a lo largo del dominio.

Figura 3.16 a) Malla estructurada, generada por un mapeo de triángulos del cuadrado

unitario a la región; b) Malla no estructurada, generada usualmente por algún criterio de

ángulo mínimo sobre el conjunto de nodos de la malla estructurada.

Un tercer objetivo de la generación de mallas, y la verdadera dificultad, es que los elementos

deberían ser relativamente de buena forma, ya que los elementos con ángulos interiores grandes o

pequeños pueden degradar la calidad de la solución numérica, así que se busca que el rango de los

ángulos sea corto [Velázquez, 2009].

En los métodos numéricos, los elementos con ángulos grandes pueden causar un gran error de

discretización, es decir, la precisión de la solución dada sobre la malla puede ser mucho menor que

si los tres ángulos de cada elemento son parecidos. En principio, la solución numérica se aproxima

a la solución exacta conforme el tamaño del elemento más grande se acerca a cero. Sin embargo,

Babuska y Aziz (1976) muestran que en mallas densas la convergencia a la solución exacta puede


Capítulo 3|

no ocurrir si los ángulos de la malla son muy abiertos. Debido a los errores de aproximación de las

derivadas de la solución, que surgen como efecto de interpolación sobre la malla.

3.5 Características para la discretización.

A partir de la teoría dada de elemento finito expuesta se lleva a cabo la selección de los elementos

adecuados para discretizar el sistema en donde para la simulación de flujo y la malla a generar.

3.5.1 Discretización del volumen de control.

Para distcretizar el volumen del control, se hace uso de elemento “Fluid 142”, el cual es un

elemento para modelar sistemas flujos transitorios y estáticos. Las ecuaciones de conservación para

fluidos viscosos y de energía son resueltas en la región de fluido mientras la ecuación de energía

es resuelta en la región de no-fluido.

En este elemento, la velocidad es obtenida por el principio de la conservación del momento, y la

presión es obtenida del principio de conservación de la masa y temperatura es obtenida del

principio de conservación de la energía.

3.5.2 Discretización del sólido.

Para discretizar el sólido, se hace uso de los elementos “Solid 187” y “Solid 187” los cuales nos

permiten discretisar todo el continuo y son los elementos más comúnmente usados en ANSYS®.

“SOLID 186”, es un elemento tridimensional (3D) de alto orden que exhibe un

comportamiento de desplazamiento cuadrático. El elemento es definido por 20 nodos

teniendo tres grados de libertad por nodo (traslación en el eje “X”, “Y” y “Z”). Este

elemento soporta análisis plásticos, hiper-elacticos, tensión (arrastre), rigidez al esfuerzo,

deflexiones largas y capacidades a tensión. En la figura 3.18 se muestra la descripción

grafica del elemento SOLID186.

“SOLID 187”, es un elemento tridimensional (3D) de alto orden que exhibe un

comportamiento de desplazamiento cuadrático de 10 nodos de tres grados d libertad por

cada nodo: T y es usado para mallados irregulares, al igual que el SOLID 186, este elemento

soporta análisis plásticos, hiper-elacticos, tensión (arrastre), rigidez al esfuerzo,

deflexiones largas y capacidades a tensión. En la figura 3.19 se muestra la descripción

grafica del elemento SOLID187.


Capítulo 3|

“SURF 154”, es usado para varias cargas y aplicaciones de efectos de superficie en análisis

estructurales 3D. Este puede ser superpuesto en cualquier área del elemento 3D. En la figura

3.20 se muestra la descripción grafica del elemento SURF154 (Figura 3.20).

Figura 3.18 Descripción grafica del elemento SOLID 186 a) Hexaédrico; b) Tetraédrico; c) Piramidal d)Prismático

Figura 3.19 Descripción grafica del elemento SOLID 186


Capítulo 3|

Figura 3.20 Descripción grafica del elemento SOLID 186

3.6 Sumario.

En el presente capítulo se presentan los principales aspectos sobre la teoría del elemento finito,

para la parte de mecánica de fluidos o CDF y para la parte de análisis mecánico estructural.

El cual nos brinda un amplio criterio, para realizar en análisis numérico fluido-mecánico, en donde

se requiere del conocimiento de los pasos o metodología a seguir para realizar una simulación por

medio del elemento finito para ambos casos y como hacerlos interactuar. Así como de los diversos

modelos viscosos que existen, así como los de los requerimientos computacionales que requiere la

solución del método viscoso elegido, así como de las condiciones de contorno a usar. En las

condiciones mecánicas el tipo de elemento a usar y las condiciones de frontera a usar. Así como de

las características favorables para realizar una malla de buena calidad que nos lleve a la solución

correcta y con un tiempo computacional óptimo.

En el siguiente capítulo se exponen las características generales de la evaluación numérica a

realizar, así como las principales características de la malla realizada, y el análisis de los resultados

obtenidos de la evaluación numérica computacional.


CAPÍTULO 4

EVALUACIÓN NUMÉRICA

Investigación, es lo que hago cuando no sé lo que estoy haciendo.

Werhern von Braun. Ingeniero aeroespacial, alemán nacionalizado estadunidense; dedico su vida al desarrollo de cohetes para la conquista espacial (Alemania 1912-USA1977)

Capítulo 4|

4.1 Generalidades.

La evaluación numérica se realiza en el software de ANSYS® Workbench la cual es una plataforma

multidisciplinaria en donde se puede trabajar con diferentes ambientes físicos, así como la

interacción entre ellos. En la figura 4.1 se muestra el diagrama de distribución de actividades de

análisis de una simulación con acoplamiento de campos fluido-mecánica, en la cual se puede

observar la metodología vista en el Capítulo 3 aplicada al software. En las simulaciones con un

esqueleto general suponemos que la geometría no se deforma y el patrón de flujo no se altera.

Como se muestra en la imagen, primero se tiene que realizar la evaluación numérica del flujo, y

los resultados obtenidos se exportan al módulo de análisis estructural parte estructural de

ANSYS®, para obtener los esfuerzos en las toberas.

Figura 4.1 Esqueleto de una simulación fluido-mecánica en ANSYS®.

De acuerdo a la metodología planteada en el Capítulo 3 y con el esquema antes mencionado

(figura 4.1) los pasos a seguir para realizar la simulación se presentan en el siguiente diagrama de

flujo.

Evaluación del comportamiento mecánico de una tobera De Laval. 76

Capítulo 4|

4.2 Generación de la geometría.

El desarrollo de la geometría CAD es muy importante para la obtención de resultados adecuados

en una simulación. Puede considerarse una buena geometría cuando ésta permite la interpretación

adecuada de los resultados del escenario a analizar. Sin embargo esto puede variar dependiendo de

los campos físicos de análisis. De esta forma las consideraciones para una geometría que puede ser

buena para un análisis de fluidos podrían no ser adecuadas para un análisis mecánico. Para el caso

de análisis de fluidos se requiere, que un volumen represente el espacio ocupado por el aire o el

gas contenido en un recipiente. Pero en el caso de la representación de espacios abiertos entonces

se deberá decidir el tamaño del volumen a construir de tal forma que el alcance de la observación

de resultados represente adecuadamente el comportamiento que se desea observar. A este volumen

se le conoce en algunos casos como el volumen de control y la mala decisión en el tamaño de este


Capítulo 4|

volumen puede generar tiempos de cómputo demasiado largos dependiendo de la capacidad de

cómputo o en algunos casos tiempos innecesarios. Geometrías básicas o sencillas son mejores para

generar este tipo de escenarios de análisis de flujo. Las geometrías complicadas o con muchos

detalles causarán en consecuencia una mayor cantidad de elementos. La distribución de los nodos

en el análisis de fluidos se emplea para ubicar la posición y dirección de los vectores que describen

el comportamiento del fluido. En el caso de las geometrías para los análisis mecánicos, la filosofía

de distribución de los nodos es diferente.

4.3 Generación del archivo de intercambio de datos.

Se trabajó el desarrollo del modelo mediante la creación de un sólido creado en el programa

CATIA® como se muestra en la figura 4.2 En este caso el uso de este programa se seleccionó

debido a que permite la generación de las geometrías curvas requeridas para formar la tobera De

Laval. Las herramientas de dibujo de este programa ayudaron a seguir con mucha fidelidad los

contornos requeridos. Una vez terminado el modelo se procedió a exportarlo al programa ANSYS®

que cuenta con una parte de modelado llamada Desing Modeler. Esta aplicación permite la lectura

digital del modelo creado ya sea en ANSYS® o en otro programa CAD respetando los formatos

comerciales, en este caso los formatos IGES o STEP. El formato IGES se refiere a Initial Graphics

Exchange Specification o Especificación inicial de intercambio de gráficos y el formato STEP se

refiere a Standard for the Exchange of Product Model Data o Estándar para el intercambio de datos

del modelo del producto.

4.4 Errores de intercambios de datos.

El intercambio de datos electrónicos de geometrías también tiene una serie de consideraciones que

se deben tomar en cuenta. No todos los formatos de intercambio de datos que comúnmente se

llaman archivos para exportación envían de manera ideal la información. Ha sido común darnos

cuenta de estos errores a lo largo de la realización de varias evaluaciones numéricas por medios

computacionales de varios fenómenos físicos en diversa piezas realizadas. En algunos casos una

geometría puede aparecer con cambios debido a que el proceso de intercambio no pudo detectar

adecuadamente un perfil o un contorno y genera en consecuencias geometrías incompletas. En

algunos casos esos faltantes de área o de volumen pueden corregirse pero en muchos casos no es


Capítulo 4|

posible ya que la aplicación de intercambio de datos solo genera una traducción del archivo pero

no siempre permite su posterior edición.

Otro caso típico de error que se puede presentar al intercambiar los archivos de datos es el error de

generación de elementos extra. En este caso la aplicación de traducción del archivo genera una

geometría compuesta por líneas de más, áreas o volúmenes que no estaban en el archivo original.

A simple vista pudiera no identificarse este error ya que la imagen se observa similar a la original.

En este caso un detallado proceso de observación es necesario para encontrar este error.

Es posible también observar el error de generación de elementos extra en una etapa ya avanzada

del trabajo de simulación que es la etapa de generación del mallado. Al tener la presencia de

volúmenes, áreas o líneas ocupando el mismo lugar geométrico se genera en consecuencia una

doble, triple o mayor generación de nodos y elementos ocupando los espacios de un mismo

volumen o de volúmenes dentro de otros volúmenes. En este caso el generador de malla identifica

errores debido a que la matriz matemática intenta crear ubicaciones en sus renglones y columnas

con diferencias numéricas muy pequeñas de sus ubicaciones coordenadas.

El error de corte del volumen original es un error en el cual una geometría si fue intercambiada

pero por medio de la construcción automática de partes o pedazos de la figura original. Es algo

similar a una división o corte de partes muy pequeñas del modelo original. En este caso un análisis

modal puede ayudar a revelar la existencia de este tipo de error. Si es detectable, se encontrará un

error de movimiento de cuerpo rígido que es a primera vista imperceptible.

El módulo de Desing Modeler de ANSYS® ayuda a realizar pequeñas correcciones en la geometría

y de esta manera disminuye el tiempo en la modificación de los modelos. Los diseños utilizados

para la manufactura, generalmente no pueden ser utilizados, debido a varias razones. Muchas veces

contienen detalles que no son necesarios para la simulación, como los logos o pequeños rasgos de

diseño estético, que complican el mallado y pueden incrementar el tiempo de simulación. Las notas

auxiliares y acotaciones también entran dentro de esta categoría de errores. Detalles de chaflanes

deben considerarse según el caso de estudio y el tamaño o dimensión del modelo con respecto al

resultado que se desea obtener y observar.


Capítulo 4|

Figura 4.2. Solidos creados en CATIA.

4.5 Análisis de flujo.

El análisis numérico del flujo se realiza en el módulo Fluent de ANSYS ® de manera

tridimensional para obtener el perfil de presiones a lo largo de toda la tobera y en toda la

circunferencia de la misma, así como la mejor visualización del fenómeno físico dentro de la

misma.

Para llevar a cabo la simulación de flujo se tiene que poseer un volumen de control del flujo para

realizar la discretización y la evaluación numérica del flujo como se muestra en la figura 4.3

Figura 4.3 Tobera y Flujo de control.


Capítulo 4|

4.5.1 Pre-procesamiento (mallado). La malla se realiza en el modulo ANSYS ICEM CDF ®, el cual es un programa de computo de capacidades

avanzadas que permite a los usuarios una variedad de tolerancias geometricas en el mallado y produce

calides muy buenas de malla sin mucho esfuerzo. En la figura 4.4 se muestra la malla del volumen de

control.

Figura 4.4 Malla del volumen de control.

En la figura 4.5 se muestra a detalle la malla en donde se aprecia que es una malla estructurada y con

elementos muy uniformes, este tipo de tiene las características para obtener una buena calificación de

calidad de malla.

Figura 4.5 Detalle de la malla del volumen de control


Capítulo 4|

En la tabla 4.1 se muestran las generalidades de la malla del volumen de control.

Tabla 4.1 Generalidades de la malla.

Descripción Numero

Nodos 102546

Elementos 97120

Para evaluar la calidad de la malla se recurren a tres factores de evaluación fundamentales para un análisis

de flujo los cuales son Orthogonal Quality, Skewness, y Apect Ratio, en la tabla 4.2 se muestran los valores

obtenidos en la malla para el modelo contorneado.

Tabla 4.2 Valores de calidad de malla.

Orthogonal Quality

Mínimo 0.556

Máximo 0.998

Promedio 0.9501

Skewness

Mínimo 0.02306

Máximo 0.6367

Promedio 0.18623

Aspect Ratio

Mínimo 1.0266

Máximo 5.3808

Promedio 1.85

Estos parámetro indican que la malla del modelo es de buena calidad de acuerdo a los parámetros

manejados por Fluent ANSYS® [ANSYS Lecture, 2013].

El Ortohonal Quality nos indica qué tan alineados están los elementos unos de otros, donde el valor

ideal es 1 el cual nos indica que la cara o célula está alineada perfectamente y un valor de cero nos

indica una desalineación total de la célula o cara como se muestra en la figura 4.6.


Capítulo 4|

Figura 4.6. Rangos de calidad Orthogonal Quality

El Skewness nos determina que tan cerca esta una cara o celula de lo ideal (Equilateral o

Equiangular), de acuerdo con la definición de oblicuidad un valor de cero indica una celula

equilátera y un valor de 1 indica una célula completamente degenerada. En la figura 4.7 se muestran

los rangos de calidadz. Una célula o cara con una alta oblicuidad es inaceptable ya que las

ecuaciones a resolver por el solver asumen que las células están relativamente

equilaterales/equinangulares

Figura 4.7 Rangos de calidad Skewness

Los parámetros para la relación de aspecto pueden variar de acuerdo la simulación a realizar, por

lo general cuando se tiene un gradiente muy grande de presión, temperatura o velocidad es

recomendable una relación de aspecto lo más cercano a 1. La relación de aspecto es una medida

del estrechamiento de la célula o cara [ANSYS Help, 2013].

4.5.2. Procesamiento.

En la tabla 4.3 Se muestran las generalidades de la simulación de flujo para el análisis de la

tobera.

Los modelos que basan su cálculo en las propiedades de densidad son aplicados cuando hay una

fuerte interrelación entre la densidad, la energía, momentum, y o la una mescla de gases. Un

ejemplo de ello son los flujos compresibles con combustión, flujos hipersónicos, o interacción de

ondas de choque [ANSYS, 2010]


Capítulo 4|

Tabla 4.3. Generalidades de la simulación de flujo.

General Espacio computacional Tridimensional (3D)

Tipo de solución Basado en densidad

Tiempo Estático

Formulación de la

velocidad

Absoluta

Modelos Ecuación de la energía on

Modelo viscoso K-ε Standar, funciones de pared

mejoradas [Deshpande, N.,

2014: ANSYS Lecture8, 2013

Materiales Vapor de agua Gas ideal

Peso

molecular 8.9 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘�

Condiciones de frontera Entrada (inlet) 10 Mpa

2959 °K

Salida (outlet) 77.327 Kpa

1085 °K

El modelo viscoso turbulento k-ε, (el cual fue seleccionado para esta simulación) es uno de los más

ampliamente usados [Kuttan y Sajesh, 2013] y ha mostrado buenos resultados muy precisos

comparados con los resultados experimentales [Yumusak, 2013].

En la tabla 4.4 se muestran las generalidades del criterio de convergencia para la simulación de

flujo.

Tabla 4.4. Generalidades del criterio de convergencia.

Residuales Criterio Absoluto

Continuidad 0.001

x-velocidad 0.001

y- velocidad 0.001

energía 0.001

k 0.001


Capítulo 4|

épsilon 0.001

En la figura 4.8 se muestran las gráficas de los residuales para el perfil contorneado en la cual se

puede observar que la gráfica tiende a cero y se logra la convergencia en 131 iteraciones.

Figura 4.8 Residuales de la simulación de flujo (3D), Criterio de convergencia(0.001)

Como se observa que la gráfica anterior (figura 4.8) los de residuales son muy estables y tiende a

la disminución del error iteración tras iteración, se establece un criterio de convergencia menor

para obtener resultados más exactos. Todo esto se realiza basándose en las capacidades

computacionales con las cuales y adaptarlos para obtener una solución adecuada en un tiempo

razonable. El criterio de convergencia establecido se muestra en la tabla 4.5

Tabla 4.5. Generalidades del criterio de convergencia menor.


Continuidad 0.000001

x-velocidad 0.000001

y- velocidad 0.000001

energía 0.000001

k 0.000001

épsilon 0.000001


Capítulo 4|

En la figura 4.9 se muestran las gráficas de los residuales con el criterio de convergencia menor

para el perfil contorneado en la cual se puede observar que la gráfica tiende a cero y se logra la

convergencia en 213 iteraciones.

Figura 4.9 Residuales de la simulación de flujo (3D), Criterio de convergencia(0.000001)

A fin de validar los resultados de la simulación del campo computacional tridimensional (3D) se

realiza paralelamente la simulación de flujo en un campo computacional bidimensional (2D),

debido a que el flujo en la tobera es simétrico y los resultados que se han obtenido en validaciones

de elemento finito mediante métodos experimentales. Se han observado que los resultados

aproximadas a los reales como se muestran en diversos trabajos de investigación [Deshpande, N.,

2014; Satyanarayana, et al., 2013; Quintao, 2012]. En la figura 4.10 se muestra el mallado del flujo

en un campo computacional


Capítulo 4|

Figura 4.10 Mallado del flujo en un espacio 2D

En la tabla 4.6 se muestran las generalidades de la malla plana de control del contorno de la tobera.

Tabla 4.6 Generalidades de la malla plana.

Descripción Numero

Nodos 3627

Elementos 3496

Como se menciona previamente la evolución de la calidad de la malla se ocupa tres factores

principales que se muestran en la tabla 4.7

Tabla 4.7 Valores de calidad de malla plana.

Orthogonal Quality

Mínimo 0.554

Máximo 0.999

Promedio 0.978

Skewness

Mínimo 0.001303

Máximo 0.63109


Capítulo 4|

Promedio 0.10229

Aspect Ratio

Minimo 1.0042

Maximo 2.5311

Promedio 1.4088

Estos parámetros indican que la malla del modelo es de buena calidad de acuerdo a los parámetros

manejados por Fluent ANSYS® [ANSYS Lecture, 2013].

Las características generales de la simulación para el espacio computacional 2D, son prácticamente

las mismas que en la de la simulación 3D y se muestran en la tabla 4.8

Tabla 4.8 Generalidades de la simulación de flujo bidimensional.

General Espacio computacional Bidimensional (2D), Plano.

Tipo de solución Basado en densidad

Tipo de solución. Basado en la densidad

Tiempo Estático

Formulación de la

velocidad

Absoluta

Modelos Ecuación de la energía on

Modelo viscoso K-ε Standar, funciones de pared

mejoradas [Deshpande, N.,

2014: ANSYS Lecture8, 2013

Materiales Vapor de agua Gas ideal

Peso

molecular 8.9 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘�

Condiciones de frontera Entrada (inlet) 10 Mpa

2959 °K

Salida (outlet) 77.327 Kpa

1085 °K


Capítulo 4|

El criterio de convergencia establecido para la simulación 2D se muestra en la tabla 4.9, el cual

como se observa es el mismo.

Tabla 4.9 Generalidades del criterio de convergencia de la simulación bidimensional.


Continuidad 0.000001

x-velocidad 0.000001

y- velocidad 0.000001

energía 0.000001

k 0.000001

épsilon 0.000001

En la figura 4.11 se muestran las gráficas de los residuales con el criterio de convergencia menor

para el perfil contorneado en la cual se puede observar que la gráfica tiende a cero y se logra la

convergencia en 326 iteraciones.

Figura 4.11 Residuales de la simulación de flujo 2D.

4.5.3 Post-procesamiento.

La simulación del fluido no termina con la predicción del mismo, para visualizar los resultados de

la predicción se requiere de un post-procesamiento para proveer una completa visualización del


Capítulo 4|

fenómeno que ocurre dentro del fluido, ANSYS® cuenta con su módulo de visualización (CDF

Post) el cual permite visualizar de una mejor manera los resultados gráfica, generar tablas, etc.

En la figura 4.12 se muestra la distribución de la velocidad a lo largo del flujo de la tobera.

Figura 4.12 Contorno de velocidades. ; a) Simulación 3D; b) Simulación 2D

En la figura 4.13 se puede apreciar las gráficas comparativas entre las simulaciones realizadas (2D

y 3D) de la velocidad del flujo en la parte interna del flujo. En estas graficas se pueden observar

los puntos de interés como son la velocidad del flujo en la garganta, y la velocidad del flujo en la

salida los cuales permiten realizar una comparativa con los cálculos analíticos previamente

realizados en el capítulo 2. En la tabla 4.10 se muestran estos valores.

Tabla 4.10 Valores comparativos de velocidad

Calculados Simulación 3D Simulación 2D

Garganta 1758.5 m/s 1650 m/s 1650 m/s

Salida 4119.24 m/s 4200 m/s 3600 m/s

Los valores de velocidad en la garganta en ambas simulaciones son cercanos a los calculados en el

capítulo 2, podría decirse que el valor calculado se encuentra en la sección de la garganta, como

se observa en la gráfica (figura 4.13). Los valores de salida del flujo son los que más se diferencían

de los valores calculados, como se puede apreciar en la gráfica (figura 4.13).


Capítulo 4|

Figura 4.13 Grafica comparativa de velocidad vs longitud de la tobera

En la figura 4.14 se puede observar el contorno de presión a lo largo de la tobera. En la figura 4.15

se puede apreciar las gráficas comparativas entre las simulaciones realizadas (2D y 3D) de la

presión del flujo en la parte interna del flujo. Se observa que el comportamiento de la presión en

ambas simulaciones es muy similar, en donde la presión del flujo tiende a disminuir conforme se

llega al final de la tobera.


Capítulo 4|

Figura 4.14 Contorno de presiones. ; a) Simulación 3D; b) Simulación 2D

En la figura 4.14 se puede observar el contorno de presión a lo largo de la tobera. En la figura 4.15

se puede apreciar las gráficas comparativas entre las simulaciones realizadas (2D y 3D) de la

presión del flujo en la parte interna del flujo. En donde podemos observar que el comportamiento

de la presión en ambas simulaciones es muy similar, en donde la presión del flujo tiende a disminuir

conforme se llega al final de la tobera.

En la tabla 4.11 se observan los valores de la presión para la salida de la tobera, los cuales nos

permites realizar una comparativa en relación con los cálculos teóricos, los valores obtenidos en

ambas simulaciones.

Tabla 4.11 Valores comparativos de presión.

Teórico Simulación 3D Simulación 2D

77327 [Pa] -25000 [Pa]- 320000 [Pa]

Esta diferencia entre los valores de ambas simulaciones entre presiones podría parecer muy grande

de aproximadamente 345000 [Pa]= 0.345 [MPa] y teniendo en cuenta que el esfuerzo permisible

para aceros al bajo carbón es de 165 Mpa [Popov, 1982], El valor de la diferencia de presiones es

prácticamente insignificante.


Capítulo 4|

Figura 4.15 Grafica comparativa de velocidad vs longitud de la tobera

En la figura 4.16 se pueden apreciar las gráficas comparativas entre las simulaciones realizadas

(2D y 3D) de la presión del flujo en las paredes de la tobera. Se observa que el comportamiento de

la presión en la pared es muy similar hasta la garganta, en la parte convergente de la tobera tiende

a ser un poco diferente, pero al igual que en los valores obtenidos en la gráfica de presión a través

de la longitud de la tobera estos valores pueden ser insignificantes.


Capítulo 4|

Figura 4.16 Grafica comparativa de velocidad vs longitud pared de la tobera

En la tabla 4.12 podemos observar los valores de la presión para la salida de la tobera, los cuales

permiten realizar una comparativa en relación con los cálculos teóricos, los valores obtenidos en

ambas simulaciones.


Capítulo 4|

Tabla 4.12 Valores comparativos de presión en la pared de la

tobera.

Simulación 3D Simulación 2D

Final de sección de

la garganta 4125000 [Pa] 4125000 [Pa]

Salida 42000[Pa] 490000 [Pa]

La diferencia más grande de presión entre ambas simulaciones en la pared es después de la garganta

como se muestra en la gráfica (figura 4.16) esta diferencia es de aproximadamente 650000

[Pa]=0.650 [Mpa] aproximadamente. La diferencia entre los valores de ambas simulaciones entre

presiones en la pares en la salida es de 448000 [Pa]= 0.448 [MPa].

La siguiente tabla 4.13 se una muestra una comparación con otro trabajo de investigación realizado

previamente del comportamiento de la presión a lo largo de la tobera.

Tabla 4.13 Tabla comparativa del comportamiento de la presión

Simulación realizada en el trabajo de

investigación

Simulación realizada por Pardhasaradhi, N., et. al. en Flow Analisys of Rocket Nozzle Using

Computational Fluid Dynamics (CFD)

El análisis anterior de las gráficas y los valores obtenidos, así como con la comparación con

trabajos previamente hechos como se muestra en la tabla se concluye que la simulación 3D tiene

validación. Cabe mencionar que una validación 100% correcta y segura se realiza mediante

métodos experimentales.


Capítulo 4|

Para realizar la simulación mecánica los datos que se van a exportar son los de la presión en la

pared de la tobera obtenidos por la simulación 3D. En la figura 4.17 se muestra el contorno de

presión en la pared de la tobera de la simulación 3D.

Figura 4.17 Distribución de la presión en la pared de la tobera (Simulación 3D).

4.6 Análisis mecánico.

El software de ANSYS Mechanical® es una herramienta de análisis estructural en el cual se pueden

resolver modelos lineales y no lineales. Esta herramienta tiene la capacidad de integrar varios

análisis de diferentes medios físicos que afectan al escenario estructural, como son los térmicos,

causados por presión debida al paso de un flujo, los acústicos, etc. En el análisis mecánico que se

realizó se supuso que la estructura no se deformaba por el paso del flujo como se explicó en las

generalidades del capítulo presente.

4.6.1 Pre-procesamiento.

El pre-procesamiento para la simulación mecánica, en el programa de cómputo ANSYS, incluye

varios pasos:

• Cargar los datos ingenieriles del material que se va a usar para la simulación.De acuerdo a Steel

(2004) los materia usados para la cámara de combustión y tobera, se muestran en la tabla 4.14


Capítulo 4|

Tabla 4.14 Materiales usados en la construcción de la cámara de combustión y tobera.

Motor Año Cohete Dispositivo Material

Alemán V-2 1942 V-2 Cámara de

combustión

Acero de baja

alecion Cr-

Mn-V

LR91

Aerojet

1960 Titan Stage II Cámara de

combustión

Acero

inoxidable

desues

Hastelloy X

RL-10 Pratt

& Whitney

1963 Centaur Cámara de

combustión

AISI 347

F-1

Rocketdyne

1967 SaturnV Cámara de

combustión

Inconel X

SSME

Rocketdyne

1981 Transbordador

espacial

Cámara de

combustión

CuAgZr liner

Inconel 718,

enchaquetdo

718

SSME

Rocketdyne

1981 Transbordador

espacial

Tobera A248 acero

inoxidable

Enchaquetado

Inconel 718

Vulcan 2

Astrium

2003 Ariane V Cámara de

combustión

CuAgZr liner

Enchaquetado

Niquel

Vulcain 2

Volvo

2003 Ariane V Tobera Inconel 600

Para el caso de análisis se usa como material de referencia el Inconel 600, tomando en cuenta como

temperatura 1000 C° como máxima de trabajo, tiene como datos característicos los mostrados en

la tabla 4.15 [Spacial Metals, 2008 ]


Capítulo 4|

Tabla 4.15 Propiedades Inconel 600

Densidad. 8470.1 kg/m3

Módulo de Young. 143 Gpa

Relación de

Poisson 0.339

• Mallado (Discretización)

El mallado se realiza en el ANSY Meshing multiphysics el cual es un software que realiza la

discretización para varios tipos de análisis mecánicos. En la figura 4.18 se muestra la malla de la

tobera. En donde se puede observar que es una malla hexaédrica.

Figura 4.18 Malla de la tobera

En la figura 4.19 se muestra a detalle la malla resultante, se aprecia que es una malla estructurada y con

elementos uniformes, dan una buena calidad de malla.


Capítulo 4|

Figura 4.19 Detalle de la malla de la tobera.

En la tabla 4.16 se muestran las generalidades de la malla del volumen de control.

Tabla 4.17 Generalidades de la malla mecánica.

Descripción Numero

Nodos 2998472

Elementos 888709

Para evaluar la calidad de la malla se concideran a tres factores de evaluación fundamentales para un análisis

de flujo los cuales son Orthogonal Quality y Skewness, en la tabla 4.18 se muestran los valores obtenidos

en la malla para el modelo contorneado.

Tabla 4.178Valores de calidad de malla mecánica.

Orthogonal Quality

Mínimo 0.00486

Máximo 0.999

Promedio 0.7195

Skewness

Mínimo 0.00109


Capítulo 4|

Máximo 0.9999

Promedio 0.397

Estos parámetros indican que la malla de ambos modelos es de buena calidad de acuerdo a los

parámetros previamente mencionados.

4.6.2 Procesamiento.

En la figura 4.21 se muestran las condiciones de frontera aplicadas a ambos perfiles de tobera,

donde se muestra que se tiene un soporte fijo y la zona en la cual se aplicó la presión importada

de Fluent ANSYS ®.

Figura 4.21 Condiciones de frontera (simulación mecánica)

En la figura 4.22 se puede observar con más detalle y de manera vectorizada la presión aplicada a

la tobera.


Capítulo 4|

Figura 4.22 Vectores de la presión aplicada a la tobera.

4.6.3 Post-Procesamiento

Para visualizar los resultados, ANSYS Static Structural® cuenta con varias herramientas que

permiten visualizar los resultados, como son esfuerzos máximos principales, esfuerzos von Misses,

deformaciones, etc. en la forma de contornos, obteniendo una tabla de datos y generación

degráficas. En la figura 4.23 se puede observar la distribución de los esfuerzos a lo largo de la

tobera.

Figura 4.23 Distribución de los esfuerzos en la tobera.

En la figura 4.24 se puede observar la distribución de los esfuerzos internos a lo largo de la tobera.


Capítulo 4|

Figura 4.24 Distribución de los esfuerzos internos a lo largo de la tobera.

En la figura 4.25 se puede aprecia la zona máxima de esfuerzo la cual se encuentra en el soporte

fijo de la tobera. En este acercamiento de manera conjunta se puede observar que esta misma zona

se encuentra esfuerzos debidos a la compresión.

Figura 4.25 Detalle de los esfuerzos máximos.

Para apreciar de una manera más exacta y entendible el comportamiento mecánico, se hacen uso

de diferentes graficas en tres diferentes espesores de la pared (1 mm, 2 mm y 3 mm).


Capítulo 4|

En la figura 4.26 se puede apreciar la distribucón los esfuerzos debidos al flujo a 1 mm de pared

en la tobera.

Figura 4.26 Esfuerzos a 0-1 mm de pared.

En la gráfica siguiente (Figura 4.27) se puede apreciar la distribución de los esfuerzos, así como el

comportamiento mecánico de la tobera de una manera más precisa en la pared de la tobera. En la

gráfica se puede observar que de un punto máximo de esfuerzo ubicado en el soporte fijo, este

valor decae abruptamente hasta llegar a un punto mínimo, para volver a incrementar en la sección

de la garganta, en donde después decrece de manera gradual hasta llegar a su valor mínimo al final

de la tobera. En la tabla 4.19 se pueden observar estos valores.

Tabla 4.19 Valores máximos y mínimos de esfuerzo en la pared de la tobera (0mm)

Sección convergente Garganta-Sección divergente.

Máximo soporte fijo Mínimo Máximo Minimo

145 [Mpa] 0.999 [MPa] 24.023 [Mpa] 0.508 [Mpa]


Capítulo 4|

Figura 4.27 Grafica de la distribución de esfuerzos en la pared de la tobera.

En la gráfica de la figura 4.28 se puede apreciar la distribución de los esfuerzos, así como el

comportamiento mecánico de la tobera de una manera más precisa a 1 mm de la pared de la tobera.

En la gráfica de la figura 4.28 se puede observar que el valor en el soporte fijo disminuye

considerablemente de 145 [Mpa] a 19.897 [MPa], al igual que en la gráfica anterior el valor del

esfuerzo disminuye, para volver a incrementar en la sección de la garganta, para después decrecer

gradualmente hasta llegar a su valor mínimo al final de la tobera. En la tabla 4.20 se pueden

observar estos valores.


Sección convergente Garganta-Sección divergente.

Máximo Mínimo Máximo Minimo

26.632 [Mpa] 9.5439 [MPa] 23.76 [Mpa] 0.4901 [Mpa]

0

20

40

60

80

100

120

140

160

02.

921

5.84

218.

7631

11.6

8414

.605

17.1

520

.115

23.0

826

.044

29.0

0931

.974

34.9

3937

.91

40.8

9543

.881

46.8

6649

.851

52.8

3655

.821

58.8

0761

.792

64.7

7767

.762

70.7

4873

.733

76.7

1879

.703

82.6

8985

.674

88.6

5991

.644

94.6

397

.615

100.

610

3.59

106.

5610

9.52

112.

47

Esfu

erzo

en

la p

ared

[MPa

]

Longitud [mm]

Esfuerzo en la pared Vs Longitud


Capítulo 4|

Figura 4.28 Grafica de la distribución de esfuerzos a 1 mm de la pared de la tobera

En la figura 4.29 se pueden apreciar los esfuerzos debidos al flujo a 1-2 mm de pared en la tobera.



comportamiento mecánico de la tobera de una manera más precisa a 2 mm de la pared de la tobera.

0

5

10

15

20

25

02.

6238

5.59

148.

5589

11.5

2714

.494

17.4

4420

.409

23.3

7426

.339

29.3

0332

.268

35.2

3338

.209

41.1

944

.172

47.1

5450

.136

53.1

1756

.099

59.0

8162

.062

65.0

4468

.026

71.0

0773

.989

76.9

7179

.953

82.9

3485

.916

88.8

9891

.879

94.8

6197

.843

100.

825

103.

8110

6.78

109.

7311

2.69

Esfu

erzo

a 1

mm

de

pare

d [M

pa]

Longitud [mm]

Esfuerzo a 1 mm de pared Vs Longitud


Capítulo 4|

Figura 4.30 Grafica de la distribución de esfuerzos a 2 mm de la pared de la tobera.

En la gráfica de la Figura 4.30 se observa que el comportamiento mecánico de la tobera en este

espesor ha cambiado considerablemente que en los espesores anteriores, en este caso se puede

observar que los valores desde un principio aumentan hasta un máximo antes de la garganta en la

sección convergente, para después decrecer gradualmente hasta su valor mínimo a la salida de la

tobera.

En la tabla 4.21 se pueden observar estos valores.


Sección convergente Sección divergente.

Mínimo Máximo Mínimo

0.9818 [Mpa] 26.197 [MPa] 0.4792 [Mpa]

0

5

10

15

20

25

30

02.

7286

45.

7024

8.67

6111

.649

814

.623

417

.178

420

.143

423

.107

426

.072

429

.037

432

.002

434

.966

437

.950

440

.944

443

.938

446

.932

449

.925

452

.919

455

.913

458

.907

461

.900

464

.894

467

.888

470

.882

473

.875

476

.869

479

.863

482

.857

485

.850

488

.844

491

.838

494

.832

497

.825

410

0.81

9410

3.81

7410

6.78

7410

9.74

7411

2.69

74

Esfu

erzo

a 2

mm

de

pare

d [M

pa]

Longitud [mm]



Capítulo 4|

En la figura 4.31 se pueden apreciar los esfuerzos debidos al flujo a 2-3 mm de pared en la tobera.



comportamiento mecánico de la tobera de una manera más precisa a 3 mm de la pared de la tobera,

se observaron esfuerzos negativos o de compresión, en la zona del soporte fijo, después a los

esfuerzos de tensión para alcanzar el esfuerzo máximo en la sección convergente de la tobera, para

pasar a decrecer gradualmente hasta llegar a su valor mínimo


Capítulo 4|

Figura 4.32 Grafica de la distribución de esfuerzos a 3 mm de la pared de la tobera

En la tabla 4.21 se pueden observar los valores resultantes


Sección convergente Sección divergente.

Máximo a compresión Máximo a tensión Mínimo

-19.484 [Mpa] 30.674 [MPa] 0.469 [Mpa]

En la gráfica de la figura 4.33 se pueden apreciar las comparaciones del comportamiento mecánico

de la tobera debido al paso de un flujo en sus diferentes espesores.

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

02.

8655

35.

8423

8.81

9111

.795

814

.772

417

.425

420

.390

423

.354

426

.319

429

.284

432

.248

435

.213

438

.194

441

.179

444

.163

447

.147

450

.132

453

.116

456

.100

459

.085

462

.069

465

.053

468

.038

471

.022

474

.006

476

.991

479

.975

482

.959

485

.944

488

.928

491

.912

494

.897

497

.881

410

0.86

5410

3.84

9410

6.81

9410

9.77

9411

2.72

94

Esfu

erzo

a 3

mm

de

pare

d [M

Pa]

Longitud [mm]



Capítulo 4|

Figura 4.33 Grafica de comparativa de distribución de esfuerzos

En la gráfica comparativa de la figura 4.33 se puede observar de manera más amplia el

comportamiento general de la tobera a través de su espesor, en esta grafica se puede observar lo

que se ha mencionado previamente, como es el paso de esfuerzos de tensión a los de compresión

en la zona del soporte fijo, como también que los esfuerzos máximos después de los del soporte

fijo se encuentra antes de la garganta o muy cercanos a esta en la sección convergente, pero sin

llegar a la sección divergente, y que los valores mínimos de los esfuerzos se encuentran al final de

la sección divergente.

-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

1601 13 25 37 49 61 73 85 97 109

121

133

145

157

169

181

193

205

217

229

241

253

265

277

289

301

313

325

337

349

361

373

385

397

409

421

433

445

457

Esfu

erzo

s [M

Pa]

Grafica comparativa de esfuerzos atraves de la pared.

Esfuerzo en la pared

Esfuerzo a 1 mm de pared




Capítulo 4|

4.7 Sumario.

En el presente capítulo se expusieron las principales características de la simulación, tanto de flujo

como las mecánicas, como son las características de la malla con las que se realizaron la simulación

y su evaluación para determinar la calidad del mallado. También se pueden apreciar las

condiciones de frontera empleadas para la realización de la simulaciones, y el análisis de los

resultados obtenidos a partir de las simulaciones, los cuales son de interés para este trabajo de

investigación en donde se obtuvieron valores, como son la presión del fluido a través de la tobera

y en las paredes de la misma, velocidad de flujo, esfuerzos mecánicos a través del espesor de la

tobera, los cuales fueron graficados para observar el comportamiento fluido-mecánico.


Conclusiones y Trabajos futuros

“Politécnico, fragua encendida con la chispa del genio creador en ti forja su nueva estructura nuestra noble y pujante nación. En la aurora de un día venturoso te dio vida la Revolución; una estrella te puso en las manos, ¡que no apague su limpio fulgor!...”

Conclusiones|

CONCLUCIONES.

Durante el desarrollo del presente trabajo de investigación se observó que la propulsión a pesar de

que es una ciencia exacta no es una ciencia básica, ya que depende de otras ciencias básicas y

aplicadas como la Química, Mecánica de fluidos, Mecánica estructural, Transferencia de calor

El dimensionamiento de la tobera que aquí se presenta es básico teorico, ya que no se tomaron en

cuenta los factores de corrección que lleva el diseño del perfil de una tobera real. El espesor de la

pared se tomó arbitrariamente de 3 milímetro a fin de realizar la evaluación numérica. Cabe

mencionar que para calcular el espesor de la pared se tienen que tomar en cuenta factores

experimentales que estaban fuera del alcance de esta investigación, como son la tasa de erosión de

la tobera debida a la fricción producida por el fluido que como se sabe en la reacción química

producida en la cámara de combustión no todo es gas, existen partículas sólidas y/o liquidas que

afectan el rendimiento de la tobera y provocan como menciono anteriormente erosión en la tobera,

otro factor faltante es con la transferencia de calor que se lleva a cabo entre el fluido y las paredes

y el correcto dimensionamiento del sistema de refrigeración de la tobera, las inestabilidades en la

combustión, la tasa de regresión y las ondas acústicas producidas por el sistema deben de ser

tomadas en cuenta para dimensionar la pared de la tobera a prueba de fatiga. El proceso de

dimensionamiento de la tobera que aquí se presenta no es el único, existen otros métodos en los

cuales no se indagaron, como son el Método Característico, por medio de perfiles NACA, etc.

También se pudo conocer que actualmente existen una gran variedad de programas de cómputo

que no ayudan a diseñar el perfil de la tobera con factores de corrección, como son las perdidas por

fricción, transferencias de calor (principalmente en la garganta), gases imperfectos y una

combustión incompleta, así como programas de cómputo en los cuales el diseño completo de un

sistema de propulsión se vuelve más fácil, como son: ESPSS (European Space Propulsion System

Simulation) el cual consta de una librería existente en el software EcosimPro, MatLab también

cuenta con una librería especializada en este tipo de cálculos, Rocket Nozzle Desing, el cual es un

programa que nos ayuda al diseño de la tobera y a la visualización del flujo dentro de la misma,

entre otros más. Por otro lado se llevaron a cabo las evaluaciones numéricas con un perfil

previamente calculado, en cual al final de la evaluación numérica se pudo corroborar que los datos

calculados de velocidad que fueron los valore que no fueron manipulados en la simulación de flujo

fueron muy cercanos a los calculados en el capítulo 2, por lo tanto pudimos dar cierta validez a la

Evaluación un numérica del comportamiento mecánico de una Tobera De Laval 112

Conclusiones|

evaluación numérica realizada con el programa fluent ANSYS® en la tabla I se puede apreciar esto

en porcentaje de error diferencia:

Tabla I. Valores comparativos de velocidad

Calculados Simulación 3D Simulación 2D

Garganta 1758.5 m/s 1650 m/s 1650 m/s

Salida 4119.24 m/s 4200 m/s 3600 m/s

Porcentaje de

erros diferencial

Garganta 6.17% 6.17%

Salida 1.96% 12.605%

Otra manera de validar la simulaciones era comparándolas con trabajos previos realizados en otras

instituciones y/o personas, en donde se pueda apreciar que el comportamiento del flujo es similar.

Los datos obtenidos se platearon en la pared de la tobera, para realizar la evaluación numérica de

la parte mecánica cumpliéndose así los objetivos plateados al principio de la tesis.

Durante el desarrollo de las evaluaciones numérica se concluyó que se debe tener especial cuidado

en el mallado del flujo y de la incidencia directa que tiene en la convergencia de la solución del

flujo, teniéndose como una malla correcta una malla hexaédrica y ordenada con un método

“sweep”, el cual mantiene el mismo número de elementos a través de toda la tobera.

Para la realización de simulaciones se invirtió un aproximado de 1000 horas, en donde más de la

mitad de las horas se emplearon en la investigación y la obtención de las condiciones generales

para la simulación y la obtención del mallado así como en el razonamiento y comprensión del uso

del software.

Otro aspecto importante de las simulaciones, es la capacidad de cómputo con la que se cuenta,

cuando se iniciaron las simulaciones se contaba con equipos de cómputo básicos, con las siguientes

capacidades: Laptop con un procesador i5-3210M a 2.50 GHz con 6 Gb de Ram, y con una tarjeta

gráfica dedicada nvidia GEFORCE de 2GB, con este equipo de cómputo, la realización de la malla

tardaba de 1-3 horas dependiendo del número de elementos generados, del método de mallado

usado, etc. La simulación del flujo 3D tardaba alrededor de 4 a 6 hrs por simulación para llegar a

un criterio de convergencia relativamente bajo, todo esto dependiendo del número de elementos

usados. En la búsqueda de opciones para reducir el tiempo de la simulación la más practica fue la


Conclusiones|

de armar un equipo de cómputo más sofisticado con las siguientes características Procesador i7 a

3.1 GHz 16 Gb en memoria Ram con un bus de 1600 Ghz, una tarjeta gráfica dedicada nvidia

QUADRO de 2gb con 194 corequads, con este equipo de cómputo el tiempo del mallado se redujo

drásticamente de 0.5 de 1.5 hrs. Y el tiempo de la simulación de redujo de 2 a 4 hrs. Con esto nos

pudimos dar cuenta que para realizar simulaciones más complejas se requieres de capacidades de

computo mayores.


Trabajos futuros|

TRABAJOS FUTUROS.

Con forme se desarrolló este trabajo de investigación se identificaron diversos trabajos que se

pueden a realizar en un futuro y que se describen a continuación:

• Observación de los comportamientos de distintos escenarios de análisis y simulaciones

como son:

o Simulaciones transitorias para observar el comportamiento del paso de flujo,

cuando se presenta el arranque y paro del flujo, así como los efectos de las

inestabilidades de la combustión.

o Simulaciones de transferencia de calor para observar el comportamiento mecánico

de la tobera debido a la transferencia de calor así como la efectividad del sistema

de refrigeración.

o Simulaciones armónicas y de fatiga en donde se puedan apreciar las zonas de

fatiga debido a las frecuencias de inestabilidad de la combustión, ondas acústicas y

tasas de regresión.

• Validación experimental de las simulaciones numéricas.

Para llevar a cabo este trabajo se requiere de un conjunto de trabajos, como son la

investigación y desarrollo de un sistema de manufactura de la tobera, el diseño y

construcción de un banco de prueba para los sistemas de propulsión, diseño e

implementación del banco de pruebas para controlar las variables a las que se somete el

sistema.

• Creación de un grupo interdisciplinario para llevar acabo el diseño y desarrollo óptimo de

un sistema de propulsión.


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