Identidades trigonomtricas

Todas las funciones en O.

Identidades trigonomtricas fundamentales, y cmo convertir de una funcin trigonomtrica a otra.

Unaidentidad trigonomtricaes una igualdad entre expresiones que contienenfunciones trigonomtricasy es vlida para todos los valores del ngulo en los que estn definidas las funciones (y las operaciones aritmticas involucradas).

Notacin:se define sin2 como (sin )2. Lo mismo se aplica a las dems funciones trigonomtricas.

ndice

[ocultar] 1Relaciones bsicas 2Teoremas de la suma y diferencia de ngulos 3Identidades del ngulo mltiple 4Identidades del ngulo doble, triple y medio 4.1Producto infinito de Euler 5Identidades para la reduccin de exponentes 6Paso de producto a suma 6.1Deduccin de la identidad 7Paso de suma a producto 8Paso de diferencia de cuadrados a producto 9Eliminar seno y coseno 10Funciones trigonomtricas inversas 10.1Composicin de funciones trigonomtricas 11Frmula de productos infinitos 12Frmula de Euler 13Inicio del teorema del Coseno 14Teorema del seno 14.1Demostracin 14.2Aplicacin 15Definiciones exponenciales 16Vase tambin 17Referencias 17.1Bibliografa 17.2Enlaces externosRelaciones bsicas[editar]Relacin pitagrica

Identidad de la razn

De estas dos identidades, se puede extrapolar la siguiente tabla. Sin embargo, ntese que estas ecuaciones de conversin pueden devolver el signo incorrecto (+ ). Por ejemplo, sila conversin propuesta en la tabla indica que, aunque es posible que. Para obtener la nica respuesta correcta se necesitar saber en qu cuadrante est .

Funciones trigonomtricas en funcin de las otras cinco.

En trminos de

De las definiciones de las funciones trigonomtricas:

Son ms sencillas de probar en lacircunferencia trigonomtricao goniomtrica (que tiene radio igual a 1):

A veces es importante saber que cualquiercombinacin linealde una serie de ondas senoidales que tienen el mismo perodo pero estn desfasadas, es tambin una onda senoidal del mismo perodo pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:

Es llamadaidentidad trigonomtrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades ms, muy tiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la funcin seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).

Por ejemplo, si se divide ambos miembros de "sen + cos = 1" por cos, se obtiene:

Ahora, dividiendo ambos miembros de la misma expresin por el sen, se obtiene:

Entonces puede expresarse la funcin seno segn alguna otra conocida:

Ejemplo 2:

Utilizando la identidad

Entonces:

(*)

substituyendo en (*):

Realizando las operaciones necesarias se llega a:

Y queda demostrado.

El resto de las funciones se realiza de manera anloga.

Teoremas de la suma y diferencia de ngulos[editar]Pueden demostrarse segn laFrmula de Eulero mediante la proyeccin de ngulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recproca correspondiente.

De lo que se sigue para determinadosngulos suplementarios:

Parangulos complementarios:

Para ngulos opuestos:

Identidades del ngulo mltiple[editar]SiTnes eln-simoPolinomio de Chebysheventonces

Frmula de De Moivre:

Identidades del ngulo doble, triple y medio[editar]Pueden obtenerse remplazndolo y por x (o sea) en las identidades anteriores, y usando el teorema de Pitgoras para los dos ltimos (a veces es til expresar la identidad en trminos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando laFrmula de De Moivrecuando.

Frmula del ngulo doble

Frmula del ngulo triple

Frmula del ngulo medio

Producto infinito de Euler[editar]

Identidades para la reduccin de exponentes[editar]Resuelve las identidades tercera y cuarta del ngulo doble para cos(x) y sin(x).

Seno

Coseno

Otros

Paso de producto a suma[editar]Puede probarse usando el teorema de la suma para desarrollar los segundos miembros.

Deduccin de la identidad[editar]

Sabemos por el teorema de la suma y la resta que:

Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles casos:

1):2):Si tomamos la ecuacin 1) y despejamos cos(x)cos(y) nos queda que:

3):Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuacin 2) al miembro izquierdo de la ecuacin 3), y para mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuacin 2) en el lado derecho de la ecuacin 3) (al sumar la misma cantidad a ambos miembros de la ecuacin la nueva ecuacin sigue siendo cierta), quedara:

Simplificando el elemento sin(x)sen(y) y sumando cos(x)cos(y) quedara:

Y por ltimo multiplicando ambos lados de la ecuacin por queda:

Nota 1: este procedimiento tambin se puede aplicar para demostrar el origen de las otras dos ecuaciones simplemente cambiando los valores.

Nota 2: Usando 3) y el resultado anterior se obtiene tambin:

Notar el cambio de signo.

Paso de suma a producto[editar]Reemplazandoxpor (a+b) / 2e "ypor (ab) / 2 en las identidades de producto a suma, se tiene:

Paso de diferencia de cuadrados a producto[editar]

Deduccin

1) recordando: que cateto opuesto sobre cateto adyacente

multiplicando

De tal manera que obtendremos:

aplicando esto en la ecuacin inicial

multiplicando

De una manera anloga se halla el primer teorema.

Eliminar seno y coseno[editar]A veces es necesario transformar funciones de seno y coseno para poderlas sumar libremente, en estos casos es posible eliminar senos y cosenos en tangentes.

Funciones trigonomtricas inversas[editar]

Composicin de funciones trigonomtricas[editar]

para

Frmula de productos infinitos[editar]SenoCoseno

Frmula de Euler[editar]

Inicio del teorema del Coseno[editar]Los ElementosdeEuclides, que datan delsiglo IIIa.C., contienen ya una aproximacin geomtrica de la generalizacin delteorema de Pitgoras: las proposiciones 12 y 13 dellibro II, tratan separadamente el caso de untringulo obtusnguloy el de untringulo acutngulo. La formulacin de la poca con la ausencia defunciones trigonomtricasy dellgebraoblig a razonar en trminos de diferencias de reas.1Por eso, la proposicin 12 utiliza estos trminos:

En los tringulos obtusngulos, el cuadrado del lado opuesto al ngulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ngulo obtuso en dos veces el rectngulo comprendido por un lado de los del ngulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ngulo obtuso.

Euclides,Elementos.2SiendoABCel tringulo, cuyo ngulo obtuso est enC, yBHla altura respecto del vrticeB(cf. Fig. 2 contigua), la notacin moderna permite formular el enunciado as:

Fig. 2 - TringuloABCcon alturaBH.

Luego, con la trigonometra rabe-musulmana de laEdad Mediael teorema evoluciona a su forma y en su alcance: elastrnomoy matemticoal-Battani3generaliz el resultado de Euclides en la geometra esfrica a principios delsiglo X, lo que permiti efectuar los clculos de la distancia angular entre elSoly laTierra.45Fue durante el mismo perodo cuando se establecieron las primeras tablas trigonomtricas, para las funcionessenoycoseno. Eso permiti aGhiyath al-Kashi,6matemtico de la escuela deSamarcanda, de poner el teorema bajo una forma utilizable para latriangulacindurante elsiglo XV. La propiedad fue popularizada en occidente porFranois Vitequien, al parecer, lo redescubri independientemente.7Fue a finales delsiglo XVIIcuando la notacin algebraica moderna, aunada a la notacin moderna de las funciones trigonomtricas introducida porEuleren su libroIntroductio in analysin infinitorum, permitieron escribir el teorema bajo su forma actual, extendindose el nombre de teorema (o ley) del coseno.8Teorema del seno[editar]En todo tringulo se da la siguiente relacin entre la longitud de sus lados a, b y c y el seno de sus respectivos ngulos opuestos A, B y C

Demostracin[editar]

El teorema de los senos establece quea/sin(A)es constante.

Dado el tringuloABC, denotamos porOsucircuncentroy dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmentoBOhasta cortar lacircunferencia, se obtiene undimetroBP.

Ahora, el tringuloPCBes recto, puesto queBPes un dimetro, y adems los ngulosAyPson iguales, porque ambos sonngulos inscritosque abren el segmentoBC(Vase definicin dearco capaz). Por definicin de la funcin trigonomtricaseno, se tiene

dondeRes el radio de la circunferencia. Despejando2Robtenemos:

Repitiendo el procedimiento con un dimetro que pase porAy otro que pase porC, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor2Ry por tanto son iguales.

La conclusin que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y establece:

Para un tringuloABCdondea, b, cson los lados opuestos a los ngulosA, B, Crespectivamente, siRdenota el radio de la circunferencia circunscrita, entonces:

Puede enunciarse el teorema de una forma alternativa:

En un tringulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ngulo opuesto es constante e igual al dimetro de la circunferencia circunscrita.

Aplicacin[editar]El teorema del seno es usado con frecuencia para resolver problemas en los que se conoce un lado del tringulo y dos ngulos y se desea encontrar las medidas de los otros lados.

Definicionesexponenciales[editar]La mayor parte de funciones trigonomtircas admiten una formulacin en trminos de nmeros complejos, algunos ejemplos:

FuncinFuncin inversa

Vase tambin[editar]