Capacidades...UNIDAD atemtica 2 413unidad Identidades y ecuaciones 3.1. identidades trigonométricas Capacidades Resuelve situaciones en las que intervienen iden-tidades y ecuaciones

41| unidad 3 | Matemática 2

3unidad

Identidades y ecuaciones

3.1. identidades trigonométricas

Capacidades

Resuelve situaciones en las que intervienen iden-tidades y ecuaciones.• Identidades tr igo-nométricas.

• Ecuaciones tr igo -nométricas.

• Ecuaciones exponen-ciales.

• Ecuacioneslogarítmicas.

Figura 3.1.

42 Matemática 2 | unidad 3 |

Las identidades trigonométricas son aquellas igualdades que se verifican para cualquier valor del ángulo que aparece en la igualdad.

= =

=

=

=


=

=

=

=

=

=


Actividades de fijación

= =

=

=

=


3.2. Ecuaciones trigonométricas

3.2.


b) 4 sen2 x = 3 – 4 sen x

• Pasamos todos los términos al primer miembro ya que son todos de la misma función. Tenemos una ecuación cuadrática donde a = 4; b = 4; c = – 3:

• Usamos la fórmula cuadrática:

• Reemplazamos letras por números:

4 sen2 x + 4 sen x – 3 = 0

sen x = – b ± √ b2 – 4ac2a

sen x = – 4 ± √ 42 – 4.4(–3)2.4

sen x = – 4 ± √16 + 48 8

– 4 + 8 = 4 = 18 8

– 4 – 8 = – 12 = – 3 = –1,58 8

sen x = – 4 ± √64 =8

2

2

• Se considera solo el resultado “sen x = 1 ”

porque el otro valor no puede corresponder a la fun-ción seno debido a que el valor máximo del seno es (+1) y el valor mínimo (–1).

• Usamos la tabla de valores para determinar el ángulo “x” cuyo seno es 1 :

• El seno de un ángulo es positivo en los cuadrantes I y II.

• Hallamos el seno del suplemento del ángulo de 30º:

• Luego:

• Verificamos en la ecuación:

2

x = 30º → Solución de la ecuación.2

a) 4 sen2 30º = 3 – 4 sen30º

4. 1 2 = 3 – 4 . 1

4. 1 = 3 – 2

1 = 1

b) 4 sen2 150º = 3 – 4 sen 150º

4. 1 2 = 3 – 4 . 1

1= 3 – 2

1 = 1

sen x = 1 ; x = 30º, 150º

2 2

4

sen (180º – 30º) = sen 150º

x = 150º

2 2

• Por lo tanto:2


c) 6 tg x + 12 cotg x = 5√3 sec x

• Escribimos en función de seno y coseno las demás funciones:

• Hallamos mcm para eliminar denomina-dores (sen x . cos x):

• Sustituimos cos2 x por su valor (1 – sen2 x):

• Aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación:

• Reducimos términos semejantes:

• Ordenamos e igualamos a cero (ecuación de 2º. grado):

• Resolvemos la ecuación aplicando la fórmula general:

• Hallamos el valor de:

• Usamos la tabla de valores para obtener el ángulo “x” cuyo seno es √3 :

• La función sen x es positiva en los cua-drantes I y II

• Hallamos el suplemento de sen 60º: • Luego:

6 sen x + 12 cos x = 5√3 . 1cos x cos xsen x

6 sen2 x + 12 cos2 x = 5√3 . sen x

6 sen2 x + 12(1 – sen2 x) = 5√3 . sen x

6 sen2 x + 12 – 12 sen2 x = 5√3 . sen x

– 6 sen2 x + 12 = 5√3 . sen x

6 sen2 x + 5√3 sen x – 12 = 0

sen x = – b ± √b2 – 4ac = – 5√3 ± √(5√3)2 – 4.6.(–12) 2a 2.6

sen x = – 5√3 ± √75 + 288 = – 5√3 ± √36312 12

sen x = – 5√3 ± 11√312

sen x1 = – 5√3 + 11√3 = 6√3 = √312 12 2

2

x1 = 60º2

sen 60º = sen (180º – 60º) = sen 120º

x = 120º


sen x2 = – 5√3 – 11√3 = – 16√3

= – 4√3

12 12

→ [No corresponde, el valor del seno varía de (+1) a (– 1)].3

6 tg x + 12 cotg x = 5√3 sec 60º

• Hallamos el valor de sen x2:

• Verificamos en la ecuación:




3.3. Ecuaciones exponenciales

Ahora analizaremos expresiones como 2x = 8 o 4x+1 = 8x llamadas ecuaciones exponenciales, pues tienen la incógnita en el exponente.

Ejemplos: 5x = 125 ; 3x + 2 = 9x + 1

Con frecuencia hemos manejado expresiones algebraicas con términos de la forma xn, en donde x es una variable llamada base y n es una constante llamada exponente.Si ahora intercalamos la base y el exponente, obtenemos una expresión de la forma ax, en donde la base es una constante mayor que cero y diferente de uno y el exponente x es una variable. Dicha expresión representa una función exponencial, y = ax, con a > 0, como por ejemplo y = 3x, que hemos estudiado recientemente.

Recordemos que en la función exponencial cuya expresión es y = ax, se tienen dos variables, la y, que es la dependiente y la x, que está como exponente, es la variable independiente. Nos indica que el valor de y, depende del valor de x y con estos datos podemos graficar una función exponencial. En las ecuaciones exponenciales, de la forma ax = b, podemos calcular los valores de la variable x.

La diferencia entre función exponencial y ecuación exponencial es:En la función exponencial, y = ax, el valor de y depende del valor de x; y puede tener infinitos valores, en cambio, la ecuación indica una igualdad que sólo se cumple para determinados valores, general-mente desconocidos (incógnitas).

1. Axioma fundamental de las ecuaciones Si con cantidades iguales se verifican operaciones iguales, los resultados

serán iguales.

Reglas que se derivan de este axioma: a. Si a los dos miembros de una ecuación se suma o se resta una misma can-

tidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.

b. Si los dos miembros de una ecuación se multiplican o dividen por una misma cantidad distinta de cero, positiva o negativa, la igualdad subsiste.

2. Transposición de términos Consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro a otro.

Regla: Cualquier término de una ecuación se puede pasar de un miembro a otro de

una igualdad, cambiándole el signo.

3. Cambios de signos Los signos de todos los términos de una ecuación se pueden cambiar sin

que la ecuación varíe, porque equivale a multiplicar los dos miembros de la ecuación por -1, y la igualdad no varía.


Descomponemos en sus factores primos el 8 que está en el segundo miembro de manera que en los dos miembros tengan igual base, es decir, aparezca la base 2.

Escribimos: 2x = 23

Como es una igualdad y en los dos miembros la potenciación tiene la misma base, entonces los exponentes deben ser también iguales.

O sea: x = 3

3.3.1. Resolución de ecuaciones exponenciales

Resolvemos ecuaciones exponenciales con diferentes tipos de dificultades.

Ejemplo A: 2x = 8

8 2 4 2 23

2 2 (1)

Ejemplo B: 25x = 625

Si descomponemos en sus factores primos el término del segundo miembro, tendremos 54, cuya base no coincide con la del primer miem-bro. Entonces disponemos de manera que la base sea 25, así:

25x = 252

Como tienen la misma base, los exponentes serán iguales. x = 2

625 5 25 125 5 252

25 5 25 5 5 (1)

Ejemplo C: (4)x = 256

Descomponemos en sus factores primos el numerador y denominador del segundo miembro, de manera que tengamos una potenciación de igual base que en el primer miembro: (4)x = (4)

4

7 7Como las bases son iguales, los exponentes deben ser iguales.

x = 4

256 2 4128 2 64 2 4 32 2 44

16 2 4 8 2 4 2 4 2 2 (1)

2401 7 343 7 74

49 7 7 7 (1)

Ejemplo D: 2x = 1 256Descomponemos el denominador del segundo miembro: 2x = 1 28

Para poder comparar los exponentes de las potencias, ambas deben estar en el numerador, de manera que pasamos 28 al numerador en el mismo miembro: 2x = 2–8

Luego, los exponentes deben ser iguales: x = – 8

En una fracción, cualquier factor puede ser transpuesto del numerador al denomi-nador y viceversa siempre que se cambie el signo de su exponente.a – m = 1 ; a ≠ 0

am

24017


Ejemplo E: 2x = √8

Descomponemos el radicando que se halla en el segundo miembro: 2x = √23

Convertimos la expresión radical en exponente fraccionario:

2x = 2 3

Siendo las bases iguales, los exponentes serán también iguales: x = 3 4

Ejemplo F: 53x – 2 = 25x

Ejemplo G: (2x)x –1 = 64

Descomponemos en sus factores primos el término del segundo miem-bro y lo expresamos como potenciación: (2x) x – 1 = 26

Multiplicamos los exponentes en el primer miembro e igualamos con el exponente del segundo miembro: x.(x – 1) = 6

Obtenemos una ecuación de segundo grado: x2 – x = 6Igualamos a cero: x2 – x – 6 = 0Resolvemos por factoreo: (x – 3).(x + 2) = 0 x – 3 = 0 x + 2 = 0 x = 3 x = – 2

64 2 32 2 16 2 26 8 2 4 2 2 2 (1)

4

Descomponemos la base de 25x para igualarla con la base del primer miembro: 53x – 2 = (52)x

Para hallar una potencia de otra se multiplican los exponentes: 53x – 2 = 52x

Igualamos los exponentes: 3x – 2 = 2x(Se forma una ecuación de primer grado o lineal).Resolvemos la ecuación: 3x – 2x = 2

x = 2


Ejemplo H: √32x + 1 = 27

Convertimos la expresión radical a exponente fraccionario:

3 3 = 27

Expresamos como potenciación el número 27:

3 3 = 33

Igualamos los exponentes porque las bases son iguales: 2x + 1 = 3 3Resolvemos la ecuación de primer grado formada: 2x + 1 = 9 2x = 9 – 1 x = 8 2 x = 4

2x + 1

mcm = 3

Ejemplo I: 6x – 5 – 1 = 0

Si sumamos 1 a los dos miembros de esta ecuación, la igualdad subsiste. (Regla a). Luego: 6x – 5 – 1 + 1 = 0 + 1 y como 1 – 1 = 0 queda 6x – 5 = 1Observamos que –1, que estaba en el primer miembro de la ecuación dada, ha pasado al segundo miembro con el signo +.

Como no podemos igualar los exponentes, ya que sabemos que para hacerlo las bases deben ser iguales, sustituimos el 1 por 60 (recordamos que 60 = 1): 6x – 5 = 60

Como las bases ahora son iguales, podemos igualar los exponentes: x – 5 = 0 x = 5

Luego:

Si dividimos entre 2, ambos miembros de esta ecuación, la igualdad subsiste (Regla b). Luego: 2 . 7x – 3 = 98 2 2

Efectuamos la división: 7x – 3 = 49

Escribimos 49 como potenciación: 7x – 3 = 72

Igualamos los exponentes: x – 3 = 2 x = 5

Ejemplo J: 2.7x – 3 = 98

3

2x + 1


Resolvemos la ecuación de segundo grado que se formó: y2 − 10y + 9 = 0

(y – 9) (y – 1) = 0 y = 9 ; y = 1

Como: 3x = y podemos escribir para la primera solución:

y también para la segunda solución:

Ejemplo K: 32x – 10.3x + 9 = 0

Desde el primer ejemplo hasta el anterior a este hemos seguido el procedimiento de disponer la ecuación exponencial de manera que en cada uno de los dos miembros queden potenciaciones de igual base para así poder igualar los exponentes y hallar x.

En este ejemplo ya no es posible hacer eso y seguiremos otro procedimiento.

Observemos que en el primer término hay una expresión “32x” que es el cuadrado de “3x”, que está en el segundo término, porque: (3x)2 = 32x.

Luego, podemos usar un recurso matemático que consiste en igualar 3x a una variable o letra cualquiera para convertir la expresión inicial en otra más simple. O sea, hacer 3x = y.

De esta manera la ecuación inicial se transformará de:

32x – 10.3x + 9 = 0

en la siguiente ecuación: y2 – 10.y + 9 = 0

3x = 93x = 32

x = 2

En esta ecuación no es posible dejar una potenciación en cada miembro y compararlas (como en los ejemplos “A” hasta ”J”), porque tiene tres términos; tampoco es posible convertirla en una ecuación cuadrática (como en el ejemplo “K”) porque no contiene una expresión que sea el cuadrado de otra. Trataremos, entonces, de dejar la expresión “5x” sin ningún otro elemento en su exponente más que la letra “x” para lo cual usaremos las propiedades de las diferentes operaciones.Los dos primeros términos de la ecuación provienen de multiplicaciones de potencias de igual base y podemos escribir esos productos originales de esta manera: 5x + 1 = 5x.51 (porque am + n = am.a n)

5x – 1 = 5x.5–1

Luego, la ecuación se puede escribir así: 5x.51 + 5x.5–1 = 130Hallamos factor común: 5x (5 + 5–1) = 130Convertimos a positivo el exponente negativo: 5x (5 + 1 ) = 130Resolvemos la expresión que se halla entre paréntesis: 5x ( 26 ) = 130

Despejamos 5x: 5x = 130 x 5

Resolvemos: 5x = 25

Escribimos como potencias de igual base: 5x = 52

Comparamos exponentes: x = 2

5

5

26

Ejemplo L: 5x + 1 + 5x – 1 = 130

3x = 13x = 30

x = 0


a. Ajapo ko’ã ecuaciones exponenciales, upe rire ambojoja che irũnguéra mba’ére ahecha haua oĩ porãm-bápa.

Ñaikũmby porãve haua

1) 5x = 625

2) 4x = 256

3) ( 54

)x =

1128

4) 3x = 1

5) 3x = √27

6) 45x–6 = 44x+5

7) 97x+ 2 = 35x–6

8) (3x)x–3 = 81

9) 3√5x+2 = 25

10) 17 2x+3 = 1

11) 7x2–2x–15 =1

12) 8.22x–1 = 1

64

13) 22x – 12.2x + 32 = 0

14) 2x+3 + 2x+2 = 4881

Son ecuaciones que pueden resolverse aplicando las propiedades de los logaritmos. En general, debemos tratar que en ambos miembros de la ecuación aparezca la expresión “log” de manera a poder eliminarla de ambos miembros.

Ejemplos:

a) log2 (x – 3) = 3 como 23 = 8 → log2 8 = 3

• Reemplazando el segundo miembro de la ecuación tenemos: log2 (x – 3) = log2 8

• Si los logaritmos son iguales, las expresiones también lo serán: x – 3 = 8 x = 11

Luego la solución es x = 11

3.4. Ecuaciones logarítmicas

log2 (x – 3) = 3log2 (11 – 3) = 3 log2 8 = 3

3 = 3

b) log (x2 – 9x + 18) = 1 como 101 = 10 → log 10 = 1

• Reemplazando el segundo miembro de la ecuación, tenemos: log (x2 – 9x + 18) = log 10 x2 – 9x + 18 = 10 x2 – 9x + 8 = 0

• Factorizamos: (x – 8) (x – 1) = 0 x1 = 8 x2 = 1

Luego, las soluciones son: 8 y 1.

Para x = 8log (82 – 9.8 + 18) = 1 log 10 = 1 1 = 1Para x = 1log (12 – 9.1 + 18) = 1 log 10 = 1 1 = 1


c) log2 (x + 6) + log2 (x – 6) = 6 como 26 = 64 → log2 64 = 6

• Reemplazamos en el segundo miembro de la ecuación, tenemos:

log2 (x + 6) + log2 (x – 6) = log2 64 log2 (x + 6) (x – 6) = log2 64 (x + 6) (x – 6) = 64 x2 – 36 = 64 x2 = 64 + 36 x2 = 100 → x = √100 = ± 10

Luego, la solución es 10.

Para x = 10log2 (10 + 6) + log2 (10 – 6) = 6 log2 16 + log2 4 = 6 4 + 2 = 6 6 = 6Para x = –10log2 (–10 + 6) + log2 (–10 – 6) = 6 log2 (–4) + log2 (–16) = 6

Nos da logaritmos de canti-dades negativas, luego x = –10 no es solución.

d) 2 log x = log 2x + log 5 log x2 = log (2 x 5) log x2 = log 10x x2 = 10x x2 – 10x = 0 x (x – 10) = 0 x1 = 0 x2 = 10

Luego, la solución es 10.

Para x = 10 log x2 = log 10x log 102 = log 10.10 log 100 = log 100 2 = 2

Para x = 0

No verifica pues el número debe ser mayor que cero para hallar su logaritmo.

a. Resuelvo las siguientes ecuaciones logarítmicas y verifico los resultados.

1) log3 (x – 9) = 2

2) log (x2 + 5x + 10) = 1

3) log8 (x2 – 7x) = 1

4) log 5x = 3

5) log (9x + 1) – log (5x – 1) = 1 – log 5

6) log x = log (55 – x) – 1



actividades de retroalimentación

Investigo en clases de Ciencias Naturales y Salud:a) ¿En qué grupo de organismos vivos se encuen-tran las bacterias?b) ¿Qué caracteres morfológicos y fisiológicos tienen las células que forman las bacterias?c) ¿Cuáles son algunas bacterias que producen enfermedades en las personas? ¿Cómo podemos prevenirlas?

c. Resuelvo las ecuaciones exponenciales teniendo en cuenta los procedimientos correspondientes y valoro la obtención de los resultados correctos.

8) 20.3x = 1620

9) 42x – 17.4x + 16 = 0

10) 3x – 3 + 3x – 1 = 90

11) 22x – 17.2x + 16 = 0

12) 52x – 126.5x + 125 = 0

13) 22x – 24.2x + 128 = 0

14) 4x + 2 – 4x+1 = 48

1) 9x – 729 = 0

2) 0,0081 – 0,3x = 0

3) ( 1 )x = 0,03125

4) 17x = 1

5) 4x = √1024

6) 53x – 1 = 25x + 1

7) 5√ 4x + 1 = 64

2

289

Todas las ecuaciones exponen-ciales que presentamos en esta unidad pueden ser resueltas por los procedimientos seña-lados; sin embargo, hay otras como: 2x=5, que pueden ser resueltas solamente por medio del logaritmo.

d. Busco estrategias para resolver los problemas que se exponen y verifico si son correctas las soluciones. En caso contrario, solicito ayuda a mis compañeros y compañeras.

1) Dora deposita en un Banco G 2 000 000 después de haber recibido una pequeña herencia de sus padres, que fueron colocados al 16% de interés compuesto anual en 4 años. ¿En qué monto se convertirá su capital en el tiempo mencionado?

2) ¿En cuántas horas un grupo de 1 000 bacterias, que triplican su población cada media hora, lle-garán al número 729 000?

a. Demuestro la identidad: tg a + cotg a + sec a.cosec a = 2 sec a.cosec a.

b. Resuelvo las ecuaciones:

1) tg x + cotg x = 2.

2) 2 sen x . cos x =sec x.cos2x.tg x

3) 2 sen x − sec x = 0


d. Resuelvo las ecuaciones con precisión y verifico.

1) 7x = 343 6) 8x = 512

2) ( 4 )x = 16 7) 5x = 7√125

9 81

3) ( 2

)x =

5√ 4 8) 94x + 1 = 273x – 2

3

4) 9x (2x – 1) = 34 – 2x 9) 5√33x – 2 = 3x – 2

5) 10 . 4x2 + x = 160

e. Resuelvo las siguientes ecuaciones logarítmicas y verifico mis resultados.

5) log2 (4x + 4) – log2 (x2 – 1) = 1

6) log (x – 21) + log x = 2

7) log (x2 – 4x + 95) = 2

8) log3 (x + 3) + log3 (x – 3) = 3

1) log2 (x + 2) – log2 (x – 1) = 1

2) 2log x + log 5 = log x3

3) log (x2 – 6x + 15) = 1

4) 1 log 49 + log x = log x2

2

Autoevaluación

b. Resuelvo las ecuaciones, usando logaritmos.

1) log2 (x + 1) + log2 (x – 1) = 3

2) 3 log x + log 5 = 2 log x

3) 42x = 11

a. Resuelvo las ecuaciones exponenciales, usando logaritmos.

1) 7x = 26,3 2) 3.5x = 17

9

c. Demuestro la siguiente identidad y comparo el proceso con el de mi compañero o compañera.

(sen a – cos a)2 + (sen a + cos a)2 = 2

d. Resuelvo y verifico las ecuaciones, dando como solución ángulos positivos del primer cuadrante.

1) sec2 x = 2 tg2 x

2) 2 sen x = tg x

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