“Identificación de parámetros geométricos de un mecanismo

MEMORIAS DEL XXIV CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 19 al 21 DE SEPTIEMBRE DE 2018 CAMPECHE, CAMPECHE, MÉXICO

Tema A3b. Mecanismos y Robótica

“Identificación de parámetros geométricos de un mecanismo de 5 barras por medio de un método de calibración de cámaras”

Mario A. García-Murilloa, Silvia Milena Espinosaa, Juan Francisco Reveles-Arredondoa, Eduardo Aguilera-Gómeza

aUniversidad de Guanajuato, Carretera Salamanca - Valle de Santiago km 3.5 + 1.8, Comunidad de Palo Blanco,Salamaca 36500, Mexico.

*Autor contacto. Dirección de correo electrónico: [email protected]

R E S U M E N

En este trabajo se presenta una metodología novedosa para la determinación de los parámetros geométricos de un

mecanismo plano de cinco barras. La propuesta se basa en el uso del método de calibración de cámara de Zhang usando

un patrón y una cámara, con el objetivo de obtener los parámetros extrínsecos e intrínsecos de la cámara y de esta forma

obtener los parámetros geométricos del mecanismo a partir de la reconstrucción de lugares geométricos utilizando el

método de mínimos cuadrados.

Palabras Clave: Robot paralelo, Calibración de cámaras, Mínimos cuadrados, Parámetros geométricos.

A B S T R A C T

In this work we present a novel methodology for the determination of the geometrical parameters of a five-bar planar

mechanism. The proposal is based on the use of the Zhan’s camera calibration method using a pattern and a camera, to

obtain the extrinsic and intrinsic parameters of the camera and in this way to obtain the geometric parameters of the

mechanism from the reconstruction of geometric places by using the least square method.

Keywords: Parallel robot, Camera calibration, Least squares, Geometric parameters.

1. Introducción

En la última década se han estudiado exhaustivamente los

robots paralelos y se han patentado y comercializado un

número importante de estos; su empleo va desde tareas de

maquinado, operaciones de pick and place, apoyo en la

rehabilitación y en cirugía, simuladores de vuelo hasta

plataformas didácticas. Esto se debe a que muchas de esas

tareas requieren de alta precisión en el posicionamiento del

efector final, una ventaja de los mecanismos de arquitectura

paralela sobre los seriales [1]. Sin embargo, el elevado

número de pares cinemáticos pasivos, los cuales incluyen

errores de manufactura, ensamble y otros, disminuye su

precisión y exactitud. Este problema puede reducirse con

una adecuada identificación de los parámetros geométricos

del mecanismo, aunque esta tarea presenta algunas

dificultades tanto desde el punto de vista teórico como

practico [2]. En la literatura existe una variedad de métodos

para la determinación de los parámetros geométricos de

manipuladores, que generalmente se clasifican en tres

grupos con base en la ubicación de los instrumentos de

ISSN 2448-5551 MT 107 Derechos Reservados © 2018, SOMIM


medición y sus elementos adicionales: medición externa,

auto-calibración y calibración restringiendo movimientos

del robot [2]. El primer grupo incluye estrategias basadas en

la medición de la postura de la plataforma móvil (u otros

elementos) por medio de un instrumento externo, ajeno al

mecanismo, como máquinas de coordenadas [3], sistemas de

visión e instrumentos ópticos [4, 5, 6], sensores laser [7],

sistemas de visión usando patrones [8] o algún otro elemento

como esferas [2]. Las técnicas de auto-calibración consisten

en calibrar automáticamente el robot, incluso durante la

operación, incluyen el uso de sensores redundantes [9] o la

inclusión de extremidades pasivas adicionales [10]. El tercer

grupo se basa en la idea de que generalmente el número de

sensores del robot es igual a su número de grados de libertad

[11], entonces si se restringen algunos movimientos pueden

usarse algoritmos similares a los usados cuando se agregan

sensores redundantes o incluso se introducen componentes

adicionales. Ejemplos de estas técnicas pueden encontrarse

en [12, 13, 14]. En esta contribución se presenta un método

de medición externa para la determinación de parámetros

geométricos de robots y se aplica a un prototipo didáctico.

El método se basa en una técnica de calibración de cámaras

propuesta por Zhang [15] que está basada en la observación

de un patrón plano en varias posiciones y orientaciones. Esta

tiene la ventaja de permitir obtener los parámetros de la

cámara fácilmente sin conocer previamente la posición de

los puntos de interés, ni la de la cámara desde donde se han

tomado las imágenes del patrón. El resto de este trabajo está

organizado de la siguiente forma: la Sección 2 presenta una

breve descripción del mecanismo bajo estudio. En la sección

3 se describe de forma breve el método de Zhang y el de

mínimos cuadrados y la metodología propuesta, en la

sección 4 se indican los parámetros del mecanismo y en la

sección 5 se presenta la implementación de la técnica y

finalmente se dan las conclusiones del trabajo.

2. Descripción del robot

El mecanismo bajo estudio es un manipulador paralelo plano

5R didáctico y se muestra en la Fig. 1. Este dispositivo se

emplea para posicionar un palpador de un sistema

digitalizador de geometría con el cual se pueden obtener las

coordenadas de los puntos pertenecientes a los contornos de

diferentes piezas y generar archivos para ser procesados y

poder, por ejemplo, crear, modificar y exportar un plano de

la pieza a un centro de maquinado asistido por computadora.

Los parámetros geométricos a considerar en este estudio son

las longitudes de los cinco eslabones y las direcciones de las

revolutas como se muestra en la Fig. 2. Los primeros están

denotados por 𝐿𝑖 para el i-ésimo eslabón mientras que las

direcciones están dadas por los vectores unitarios

𝒖𝐴, 𝒖𝐵 , 𝒖𝐶 , 𝒖𝐷 𝑦 𝒖𝐸, y son nominalmente paralelos entre sí

y normales al plano de movimiento del mecanismo.

Figura 1 – Robot bajo estudio

Figura 2 – Esquema del robot y sus parámetros geométricos

3. Descripción del método

Como se mencionó anteriormente, la técnica de

identificación de parámetros propuesta se basa en analizar

las características del lugar geométrico que genera un punto

sobre un eslabón que se mueve con respecto a otro y las

características del par cinemático que forman ambos

elementos; una vez obtenidas las coordenadas de un

conjunto de puntos pertenecientes a dicho lugar geométrico

se procede a reconstruirlo empleando el método de mínimos

cuadrados. Para obtener las coordenadas de los puntos a

analizar se hace uso del bien conocido método de calibración

de cámaras propuesto por Zhang [15], el cual es

implementado en Matlab©, tal como se presenta en [16]. La

técnica de Zhang está basada en la observación de un patrón

plano, del tipo "tablero de ajedrez", en varias posiciones y

orientaciones con una cámara. La ventaja de este método de

calibración es que permite obtener los parámetros

extrínsecos fácilmente sin conocer la posición de los puntos

de interés, ni la posición de la cámara desde donde se han

tomado las imágenes del patrón. A continuación, se describe

brevemente el fundamento de esta técnica.



3.1. Técnica de calibración de cámaras

La calibración de cámara permite estimar los parámetros

intrínsecos y extrínsecos de la misma, los cuales son

necesarios para realizar la reconstrucción 3D del entorno y

situar la cámara en el mismo. En la Fig. 3 se muestran los

principales elementos considerados en el modelo

geométrico de la cámara. El punto M, localizado por el

vector de posición M, tiene coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧) en el

mundo real, mientras que su punto correspondiente m tiene

coordenadas (𝑢, 𝑣) en el plano de la imagen. De esta forma,

las coordenadas M tienen dos transformaciones:

Figura 3 – Elementos del modelo geométrico de la cámara

Proyección que transforma un punto 3D en un punto 2D

en la imagen.

Transformación del marco de la cámara (en unidades

métricas) al marco de la imagen (en pixeles).

Estas dos transformaciones se representan matemáticamente

de la siguiente manera:

[𝑢𝑣1

] = [𝛼 𝛾 𝑢0 00 𝛽 𝑣0 00 0 1 0

] [𝐑 𝒕0 1

] [𝑴1

]

La primera matriz del lado derecho se denomina matriz de

parámetros intrínsecos de la cámara, donde (𝛼, 𝛽)

representan un factor de escala en los ejes x e y; (𝑢0, 𝑣0)

están asociados al punto central de la imagen y 𝛾 representa

un factor de asimetría entre pixeles. Por otro lado, la segunda

matriz contiene los parámetros extrínsecos donde 𝐑 es la

matriz de rotación del sistema asociado al plano de la

imagen y el sistema de referencia asociado al mundo real;

finalmente, t es el vector de traslación entre ambos sistemas

de referencia.

La idea principal tras el proceso de calibración de cámara es

describir el modelo que relaciona los sistemas de

coordenadas que permiten obtener los parámetros de la

cámara. La calibración consiste en determinar la geometría

y las características internas de la cámara, los parámetros

intrínsecos (los pixeles o aspecto proporcional, coordenadas

de proyección del centro óptico, largo focal), y los

parámetros extrínsecos (rotación y traslación), que

representan la localización y orientación de la cámara

relativa a una imagen en un sistema de coordenadas. Estos

parámetros son calculados de un patrón de calibración

conformado por cuadros negros y blancos (tipo tablero de

ajedrez), que contiene rasgos fácilmente detectables en la

imagen capturada.

El proceso de calibración es sencillo, requiere la toma de 30

a 50 fotografías del patrón en diversas posiciones, por medio

del Toolbox de Camera Calibration en Matlab© [16], se

procede a detectar las esquinas de cada patrón conservando

el mismo punto de origen y secuencia en cada una de las

imágenes y finalmente se selecciona la opción de calibrar,

entregando los siguientes resultados: centro del eje óptico

𝑐𝑐 = (𝑢0, 𝑣0) o punto principal; define el punto donde el eje

óptico atraviesa el plano imagen, distancia focal 𝑓𝑐 ;

distancia entre el centro óptico y el centro del plano imagen,

el coeficiente de asimetría que es el ángulo definidos por los

ejes x e y del pixel, y los coeficientes de distorsión (radial y

tangencial).

3.2. Reconstrucción de formas geométricas

En esta sección se presentan la metodología para la

reconstrucción de formas geométricas mediante el método

de mínimos cuadrados. La librería de elementos geométricos

de mínimos cuadrados de Matlab© está compuesta por una

serie de funciones para encontrar el ajuste de mínimos

cuadrados de las formas geométricas de los datos,

implementado varias de las funciones claves de las rutinas

de ajuste geométrico. Se basa en un solucionador de

mínimos cuadrados no lineales de propósito general que

toma como rutinas de función y gradientes de entrada, y

estas rutinas con implementaciones de las funciones clave

de evaluación geométrica.

Debido a que los eslabones están unidos por medio de

revolutas, el movimiento relativo de un eslabón respecto al

otro formará un arco de puntos, que se reconstruirá

obteniendo un valor aproximado del centro y del radio. Por

tal motivo se hará uso de la rutina LSGE ls3dcircle [17] en

Matlab, función de círculo de mínimos cuadrados en tres

dimensiones usando Gauss-Newton. Los datos de entrada

son las coordenadas (x, y, z) de cada punto, una estimación

del centro del círculo, una estimación de la normal, del radio

y un valor de tolerancia. Esta función utiliza el algoritmo de

Gauss-Newton para encontrar una estimación de los

parámetros de rotación-traslación que transforman los datos

para que el circulo se ajuste aun mejor a la posición estándar.



4. Parámetros geométricos del mecanismo de 5 barras.

4.1. Determinación de �̂�𝑨, �̂�𝑬 𝒚 𝑳𝟎

Sean 𝑂1 𝑦 𝑂4 dos puntos, localizados por los

vectores 𝒓1 𝑦 𝒓4 , pertenecientes a los eslabones 1 y 4

respectivamente según se describe en la Fig. 4. Note que los

puntos 𝑂1 𝑦 𝑂4 siguen trayectorias circulares sobre planos

normales a los vectores unitarios �̂�𝐴 𝑦 �̂�𝑬 respectivamente.

Estos vectores son, a su vez, paralelos a las direcciones de

las revolutas ubicadas en los puntos 𝐴 y 𝐸.

Figura 4 – Trayectoria de los puntos 𝑶𝟏 𝒚 𝑶𝟒

En primer lugar, se analiza el movimiento del punto 𝑂1. El

punto 𝐴 , localizado por el vector 𝒓𝐴 , es el centro de la

trayectoria circular descrita por 𝑂1. Sin embargo, la citada

ecuación requiere de una aproximación de los valores de

𝒓𝐴 y del radio de la circunferencia, 𝑟𝑂1/𝐴 ; tales

aproximaciones se denotarán por (𝒓𝐴)0, y (𝑟𝑂1/𝐴)0

. Es posible

calcular �̂�𝐴 reconstruyendo el plano formado por los puntos

𝑂1 utilizando la bien conocida metodología de

descomposición de matrices:

𝐔𝟏𝐒𝟏𝐕𝟏𝑻 = [

𝒓1,1 − 𝒑1

𝒓1,2 − 𝒑1. . .

𝒓1,𝑛1 − 𝒑1

] (2)

donde 𝑛1 es el número de puntos conocidos sobre la

trayectoria de 𝑂1, y el vector 𝒑1 está dado por:

𝒑1 = ∑ 𝒓1,𝑖

𝑛1

𝑖=1

De las primeras tres columnas de 𝐔1 se obtiene una matriz

de rotación 𝐑.0 1 cuya tercera columna es un vector unitario

paralelo a �̂�𝐴 y las dos columnas restantes definen dos

vectores unitarios que yacen sobre el plano Π1 y que son

perpendiculares entre sí. Ahora, los puntos 𝑂1,𝑖 son

proyectados sobre Π1 y se reconstruye el círculo proyectado

utilizando la ecuación (2) cuyo centro está localizado por el

vector 𝒓 . De esta manera, el vector (𝒓𝐴)0 puede ser

calculado como sigue:

(𝒓𝐴)0 = 𝐑.0 1(𝒓𝐴,𝜋1) + 𝒑𝟏 (3)

donde 𝒓𝐴,𝜋1 es el vector de posición del centro de la

trayectoria circular referida al sistema de referencia fijo al

plano Π1.

Figura 5 – Proyección de 𝑬 sobre el plano 𝚷𝟏

Utilizando las aproximaciones iniciales obtenidas puede

emplearse la ecuación (2) para determinar los valores de 𝒓𝐴

y de �̂�𝐴. Siguiendo un procedimiento similar, se calculan 𝒓𝐸

y �̂�𝐸 . Por otro lado, el parámetro 𝐿0 esta dado por la

distancia entre las rectas �̂�𝐴 y �̂�𝐸 , como se muestra en la

Fig. 2. En la Fig. 4, note que los planos Π1 y Π4 no son

necesariamente paralelos, por lo que para calcular la

posición 𝐸, por ejemplo, se hace necesario proyectar dicho

punto sobre Π1 . Tal proyección, denotada por 𝐸Π1, está

definida por el punto donde la recta dirigida por �̂�𝐸

intersecta a Π1 , ver Fig. 5. Considerando lo anterior, 𝐿0

puede ser determinado como sigue:

𝐿0 = ‖𝒓𝐴 − [�̂�𝐸 +(𝒓𝐴∙ �̂�𝐴)(𝒓𝐸∙ �̂�𝐴)

�̂�𝐴∙�̂�𝐸]‖ (4)

4.2. Determinación de �̂�𝑩, �̂�𝑪, �̂�𝑫, 𝑳𝟏, 𝑳𝟐, 𝑳𝟑 𝒚 𝑳𝟒

Considere ahora que sobre el punto 𝑂𝑗 , se monta el sistema

de referencia 𝑂𝑗𝑥𝑗𝑦𝑗𝑧𝑗 , para 𝑗 = 1,2,3,4 tal como se describe

en la Fig.6. La trayectoria de 𝑂2 respecto al sistema de

referencia 𝑂1𝑥1𝑦1𝑧1 es un arco circular cuyo centro 𝐵 pasa

por una recta colineal a �̂�𝑩; cualquier punto perteneciente a

dicha trayectoria puede ser localizado, en términos del



sistema de referencia fijo en 𝑂1, por el vector 𝒓𝟐/𝟏.𝟏 el cual

está dado por:

𝒓𝟐/𝟏.𝟏 = ( 𝐑.

0 1)−1(𝒓2 − 𝒓1) (5)

Donde 𝐑.0 1 es la matriz de rotación del sistema de referencia

𝑂1𝑥1𝑦1𝑧1 respecto al marco global fijo. Siguiendo un

procedimiento similar al descrito anteriormente, es posible

calcular las coordenadas de 𝐵 cuyo vector de posición,

referido al marco fijo en 𝑂1 es 𝒓𝐵/𝑂1.1 ademas del vector

unitario normal al plano de movimiento �̂�𝐵.1 .

Figura 6 – Trayectoria relativas a sistemas de referencia móviles

Note que el primer vector, representado en el sistema de

referencia mencionado, es un vector constante. De esta

manera, el vector �̂�𝐵 puede ser obtenido con la siguiente

expresión:

�̂�𝐵 = 𝐑.0 1 ( �̂�𝐵).

1 (6)

Más aun, analizando el movimiento relativo del punto 𝐴

respecto al marco de referencia 𝑂1𝑥1𝑦1𝑧1 de forma análoga

a la descrita arriba, se puede calcular el vector de posición,

�̂�𝐴.1 , de tal punto en términos de ese marco. De la Fig. 7, la

longitud del eslabón 1 puede determinarse proyectando el

punto B sobre un plano normal �̂�𝐴 = ( 𝐑.0 1) �̂�𝐴.

−1.

1 y que

contiene al punto A; el punto proyectado se denota por 𝐵Π1.

De esta manera, 𝐿1, está dado por:

𝐿1 = ‖ 𝒓𝐴/𝑂1.1 − [ 𝒓𝐵/𝑂1.

1 +( 𝒓𝐴/𝑂1.

1 ∙ �̂�𝐴.1 )( 𝒓𝐵/𝑂1.

1 ∙ �̂�𝐴.1 )

�̂�𝐴.1 ∙ �̂�𝐵.

1 ]‖ (7)

Figura 7 – Determinación de la longitud del eslabón 1

Figura 8 – Trayectoria de 𝑶𝟏 𝒚 𝑶𝟑 respecto al marco de referencia

𝑶𝟐𝒙𝟐𝒚𝟐𝒛𝟐

Para el cálculo de 𝐿2, se hace necesario conocer los vectores

de posición de los puntos 𝐵 𝑦 𝐶 en términos del sistema de

referencia 𝑂2𝑥2𝑦2𝑧2 , 𝒓𝐶/2.2 y 𝒓𝐵/2.

2 respectivamente. De la

Fig. 8, es posible calcular el primero de ellos analizando el

movimiento de 𝑂1 tal como es visto desde el marco fijo en

𝑂2 , mientras que el segundo puede ser encontrado

estudiando la trayectoria de 𝑂3 respecto a dicha referencia.

Note que la trayectoria de 𝑂1 respecto a 𝑂2𝑥2𝑦2𝑧2, es un

arco circular formado por el cambio del vector 𝒓1/2.2 ,

mientras que la de 𝑂3 se genera con el vector 𝒓3/2.2 , los

cuales están dados por:

𝒓1/2.2 = ( 𝐑.

0 2)−1(𝒓1 − 𝒓2) (8)

𝒓3/2.2 = ( 𝐑.

0 2)−1(𝒓3 − 𝒓2) (9)

Siguiendo un procedimiento descrito en la sección 3.4, es

posible encontrar los puntos 𝐵 𝑦 𝐶 cuyos vectores de

posición son 𝒓𝐵/2.2 y 𝒓𝐶/2.

2 , que representan

respectivamente las trayectorias de 𝑂1 𝑦 𝑂3 , así como las

direcciones de las revolutas asociadas a tales puntos en

términos del marco de referencia 𝑂2𝑥2𝑦2𝑧2. Para calcular la

longitud del eslabón 𝐿2 es necesario proyectar el punto 𝐶

sobre un plano normal al eje de revoluta que pasa por 𝐵

como se muestra en la Fig. 9. De esta manera, 𝐿2 puede ser

obtenido de:

𝐿2 = ‖ 𝒓𝐵/𝑂2.2 − [ 𝒓𝐶/𝑂2.

2 +( 𝒓𝐵/𝑂2.

2 ∙ �̂�𝐵.2 )( 𝒓𝐶/𝑂2.

2 ∙ �̂�𝐵.2 )

�̂�𝐵.2 ∙ �̂�𝐶.

2 ]‖ (10)

Además, la dirección del eje de revoluta que pasa por C, en

términos del sistema de referencia global está dado por:

�̂�𝐶 = ( 𝐑.0 2) �̂�𝐶.

2 (11)



Figura 9 – Determinación de la longitud del eslabón 2

Siguiendo un procedimiento similar al utilizado para

determinar el valor de 𝐿1 y �̂�𝐵 es posible determinar 𝐿4 y

�̂�𝐷 si se analiza el movimiento del punto 𝑂3 respecto al

sistema de referencia 𝑂4𝑥4𝑦4𝑧4. Por otro lado, el parámetro

𝐿3 se calcula de manera similar a 𝐿2 reformulando la ec.(9),

analizando los movimientos de los puntos 𝑂4 y 𝑂2 respecto

al sistema de referencia 𝑂3𝑥3𝑦3𝑧3.

5. Implementación de la metodología

En esta sección se presenta la implementación de la

metodología descrita en secciones previas. El robot bajo

estudio posee los parámetros descritos en la Tabla 1. El

sistema de medición consiste en una cámara fija en un

bastidor y dos patrones binarios del tipo "tablero de ajedrez"

cuyos cuadros miden 5 mm por lado.

Tabla 1 – Dimensiones nominales del mecanismo

Parámetro Magnitud (mm)

𝐿0 68.4

𝐿1 176

𝐿2 177

𝐿3 177

𝐿4 176

Angulo entre normales 0°

Como una etapa preliminar, se lleva a cabo la calibración de

la cámara para conocer los parámetros intrínsecos de ésta,

los cuales son necesarios para formular el modelo

matemático descrito en la sección 3. Para ello, se toma un

conjunto de entre 30 y 50 fotografías y se procede según la

herramienta para Matlab descrita en [16].

Figura 10 – Disposición de los patrones en la ronda 1

Los resultados de la calibración se muestran la Tabla 2.

Tabla 2 – Calibración de la cámara

Parámetro Valor

F. Length (fc) [1385.67462 1383.83430] ± [76.68132 76.37584]

P. Point (cc) [374.85225 191.19594] ± [76.68132 30.58515]

Skew (alpha_c) [0.0] ± [0.0]

Distortion (kc) [-0.38328 -0.27156 0.00414 0.00399 0.0] ±

[0.05340 0.61037 0.61037 0.00416 0.00477 0.0]

Pixel error [0.08283 0.08386]

Con la finalidad de obtener los vectores r1, r2, r3 y r4 se

montan patrones a los eslabones del mecanismo y se toman

fotografías de diferentes poses de tal manera que la cámara

permanezca fija. Debido a que las dimensiones de los

patrones binarios es tal que pueden causar interferencia entre

ellos o con los eslabones del mecanismo, se tomaran tres

rondas de fotografías de la siguiente manera:

Ronda 1: Se fija el patrón 𝐴 sobre el eslabón 1 y el

patrón 𝐵 sobre el 2 como se describe en la Fig. 10.

Ronda 2: Sin mover el patrón B del eslabón 2, se fija el

𝐴 a la barra 3 (ver Fig. 11)

Ronda 3: Dejando unido el patrón 𝐴 en el tercer

eslabón, se coloca el 𝐵 sobre el 4 como se muestra en la

Fig. 12.





Para ilustrar el procedimiento, la Fig. 13, muestra algunas

fotografías obtenidas en la ronda 1. Una vez obtenidas las

imágenes, se extraen los parámetros extrínsecos para cada

una y para cada patrón. Dichos parámetros consisten un

vector de posición ir del origen del sistema de referencia

𝑂𝑖 asociado al patrón fijo al i-esimo eslabón y una matriz de

rotación 𝐑.0 1 que describe tal sistema de referencia en

terminos del marco de la cámara, cuyo origen es el punto O

en la figura [2]. La Fig. 14, muestra las coordenadas de los

puntos 𝑂4 para las poses del mecanismo en las tres rondas.

Siguiendo la metodología descrita en la sección 4, se

obtienen los parámetros geométricos para el mecanismo

listados en la Tabla 3.

Tabla 3 – Dimensiones calculadas del mecanismo

Parámetro Magnitud (mm)

𝐿0 68.3254

𝐿1 175.9642

𝐿2 177.7141

𝐿3 177.4122

𝐿4 174.9166

< (�̂�𝐴, �̂�𝐵) 1.8012°

< (�̂�𝐴, �̂�𝐶) 2.7507°

< (�̂�𝐴, �̂�𝐷) 2.9823°

< (�̂�𝐴, �̂�𝐸) 2.0123°

Figura 13 –Algunas poses del mecanismo durante la ronda 1

Figura 14 –Posiciones de los puntos 𝑶𝟏 para diferentes poses del

mecanismo

En la Tabla 4 se listan los porcentajes de error de los

parámetros del mecanismo respecto a los valores nominales.

Los parámetros del mecanismo presentaron porcentajes de

error por debajo del 1%.

Tabla 4 – Porcentaje de error de los parámetros

Parámetro Nominal

(mm)

Calculada

(mm)

Error %

𝐿0 68.4 68.3254 0.1091

𝐿1 176 175.9642 0.0203

𝐿2 177 177.7141 0.4034

𝐿3 177 177.4122 0.2328

𝐿4 176 174.9166 0.6156

5. Conclusión

En esta contribución se presentó un método para obtener los

parámetros geométricos de un robot paralelo basado en una

técnica de calibración de cámara. Para mostrar el potencial

de este método, se calcularon las dimensiones de un

mecanismo plano de 5 barras con 2-DOF. La metodología

propuesta es fácil de implementar y requiere una sola

cámara, a diferencia de otros métodos donde se necesitan

sensores adicionales o instalar articulación o extremidades

adicionales. Además, no es necesario mover el robot usando

un sistema de control ni implementar un algoritmo para

elegir un gran número de poses del robot.

Agradecimientos

Los autores de este trabajo agradecen al Dr. Max A. González-Palacios, por el equipo y facilidades brindadas.

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