Incremento y Tasas 02

Incrementos y tasas – Lic. José L. Estrada P. Página 1

INCREMENTOS, TASAS Y RAZONES DE CAMBIO PROMEDIO

El cálculo diferencial es el estudio del cambio que ocurre en una cantidad cuando ocurren variaciones en otras cantidades de las cuales depende la cantidad original.

Sea ( )y f x= una función definida en el intervalo [ ] 2 11 2

2 1 2 1

,( ) ( )

x x xx x

y y y f x f x

∆ = −→ ∆ = − = −

Definición.Definición.Definición.Definición. La tasa de cambio promedio de una función f sobre un intervalo de x a x+ x∆ se

define por la razón y

x

∆∆

. Por tanto, la tasa de cambio promedio de y con respecto a x es:

( ) ( )y f x x f x

x x

∆ + ∆ −=∆ ∆

Donde es necesario que el intervalo completo de x a x+ x∆ pertenezca al dominio de f. Ejemplo.Ejemplo.Ejemplo.Ejemplo. El volumen de ventas de gasolina de cierta estación de servicio depende del precio por litro. Si p es precio por litro en centavos( /c ), se encuentra que el volumen de venta q (en litros por día) está dado por; 500(150 )q p= − . Calcule el incremento en el volumen de ventas

que corresponde a un incremento en el precio de 120 /c a 130 /c por litro.

1 1( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ − ( )y y f x x+ ∆ = + ∆

Graficar variaciones Ejemplo.Ejemplo.Ejemplo.Ejemplo. Dada 2( )f x x= , calcule y∆ si x=1 y 0.2x∆ =

Cuando se establecen en términos absolutos, los cambios de la variable dependiente contienen menos información de la que tendrían si se establecieran en términos relativos. Por ejemplo, enunciados absolutos como, “la temperatura descendió 10˚C” o “las ganancias se incrementarán en $3000” son menos informativos que proposiciones relativas como, “la temperatura descendió 10˚C en las últimas 5 horas” o “las ganancias se incrementarán en $3000 si se venden 60 unidades extras” en consecuencia se tiene 2˚C por hora, $50 dólares por unidad. Incremento de una función en forma general

2 1 2 1x x x x x x∆ = − → = + ∆ , como se puede ver en la gráfica.

2 1 2 1( ) ( )y y y f x f x∆ = − = − . Por lo tanto sustituyendo 2x se

tiene que para cualquier incremento de x, a partir de un valor conocido de x. En general, para cualquier valor de x y cualquier incremento de x se tiene que: Sea P el punto 1 1( , )x y y Q el punto 2 2( , )x y , ambos situados en la gráfica de la función

y=f(x). (Véase la figura adjunta) Entonces el incremento x∆ es igual a la distancia

1 1( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ −

( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ −


horizontal de P a Q, mientras que y∆ es igual a la distancia vertical de P a Q. En otras

palabras, x∆ es el recorrido y y∆ es la elevación de P a Q.

En el caso ilustrado en la parte (a) de la figura, tato x∆ como y∆ son positivos. Es posible

que x∆ , y∆ o ambos sean negativos y aún y∆ puede ser cero. Un ejemplo típico de un caso

en que 0 0x y y∆ > ∆ < se ilustra en la parte (b) de la figura.

En algunas de las aplicaciones que abordaremos más tarde, nos convendrá pensar el incremento x∆ como muy pequeño (esto es, sólo desearemos considerar pequeños cambios en la variable independiente). Se sobreentiende, por antonomasia, que x∆ significa un cambio pequeño de x más bien que sólo un incremento. Sin embargo, en esta sección no se pondrá alguna restricción en el tamaño de los incrementos considerados; pueden pequeños así como relativamente grandes. Ejemplo:

2( ) 4f x x= − a) Calcular el incremento de y si 3, 0.8x x= ∆ =

b) Calcular el incremento de y si 3x = , para cualquier incremento de x. c) Calcular el incremento de y para cualquier valor de x y cualquier incremento de x. Solución: a)

2 2( ) ( ) (3 0.8) (3) (3.8) (3) (3.8) 4 (3) 4 10.44 5 5.44y f x x f x f f f f ∆ = + ∆ − = + − = − = − − − = − =

b)

[ ]2 2 2( ) ( ) (3 ) (3) (3 ) 4 (3) 4 9 6 ( ) 4 9 4y f x x f x f x f x x x ∆ = + ∆ − = + ∆ − = + ∆ − − − = + ∆ + ∆ − − −

2 25 6 ( ) 5 6 ( )y x x x x∆ = + ∆ + ∆ − = ∆ + ∆ . c)

2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 4 4 2 ( ) 4 4 2 ( )y f x x f x x x x x x x x x x x x ∆ = + ∆ − = + ∆ − − − = + ∆ + ∆ − − − = ∆ + ∆ .

Ejemplos 01 1 ( ) 2 5f x x= − . Encontrar la tasa de cambio promedio cuando 3 y 4x x= ∆ =

2(7) 5 2(3) 5(7) (3) 9 1 3 1 2 10.5

4 4 4 4 4 2

y f f

x

− − −∆ − − −= = = = = = =∆

(a) (b)


2 Para cierto fabricante, el costo de producción de x toneladas por semana de un producto químico, expresado en dólares está dado por: ( ) 50,000 60C x x= + y el ingreso

correspondiente por la venta de x toneladas semanales de producto químico, expresado

también en dólares, está dado por: 2( ) 300 0.03R x x x= − . La compañía actualmente

produce 4,000 toneladas por semana, pero desea incrementar la producción a 4,200 toneladas de producto químico semanales, calcular:

a) El incremento semanal en los costos de producción. b) El incremento semanal en los ingresos. c) El incremento semanal en las utilidades. d) La tasa de cambio promedio de la utilidad por las toneladas extra producidas.

a) [ ] [ ](4,200) (4,000) 50,000 60(4,200) 50,000 60(4,000) 302,000 290,000C C C∆ = − = + − + = −$12,000C∆ =

b) 2 2(4,200) (4,000) 300(4,200) 0.03(4,200) 300(4,000) 0.03(4,000)R R R ∆ = − = − − − 730,800 720,000 $10,800R∆ = − =

c) ( ) ( )2 2300 0.03 50,000 60 300 0.03 50,000 60P R C x x x x x x= − = − − + = − − −

( )20.03 240 50,000 4,200 (4,000)P x x P P P= − + − → ∆ = −

2 20.03(4,200) 240(4,200) 50,000 0.03(4,000) 240(4,000) 50,000 ∆ = − + − − − + − P

428,800 430,000 $ 1,200.00= − = −

Otra formaOtra formaOtra formaOtra forma: 10,800 12,000 $ 1,200P R C∆ = ∆ − ∆ = − = −

d) 1,200

6200

P

x

∆ −= = −∆

. Lo que significa que, en promedio, por cada tonelada adicional

producida y vendida por semana, la utilidad disminuye en $6. Ejemplos 02

1. Un fabricante de productos químicos advierte que el costo por semana de producir x toneladas

de cierto fertilizante esta dado por ( ) 20000 40C x x= + dólares y el ingreso obtenido por la

venta de x toneladas está dado por 2( ) 100 0.01R x x x= − . La compañía actualmente produce

3100 toneladas por semana, pero está considerado incrementar la producción a 3200 toneladas

por semana. Calcule los incrementos resultantes en el costo, el ingreso y utilidad. Determine

la tasa de cambio promedio de la utilidad por las toneladas extras producidas.

2. Cuando cualquier objeto se suelta del reposo y se le permite caer libremente bajo la fuerza de

la gravedad, la distancia s (en pies) recorrida en el tiempo t (en segundos) está dada por: 2( ) 16s t t=

Determine la velocidad promedio del objeto durante los intervalos de tiempo siguientes.

a) El intervalo de tiempo de 3 a 5 segundos

b) El cuarto segundo(de t=3 a t=4 segundos)

c) El intervalo de tiempo entre los instantes 3 y 31/2 segundos

d) El lapso de t a t+ t∆

3. Determine los incrementos de las funciones siguientes para los intervalos dados:

a) f(x) =2x+7; x=3, 0.2x∆ =

b) 2( ) 2 3 5; 2, 0.5f x x x x x= + − = ∆ =

c) 900

( ) ; 25, 5f t t tt

= = ∆ =


4. Calcule la tasa de cambio promedio de cada función en el intervalo dado

a) f(x)=3-7x;x=2, 0.2x∆ =

b) f(x)= 23 5 1x x− + ;x=3, x∆ =0.2

c) f(t)= 4 t+ ;t=5, t∆ =1.24

5. Un fabricante descubre que el costo de producir x artículos está dado por: 3 20.001 0.3 40 1000C x x x= − + +

Determine el incremento en el costo cuando el número de unidades se incrementa de 50 a 60.

Calcule el costo promedio por unidad adicional de incremento en la producción de 50 a 60

unidades.

6. La población de cierta isla como función del tiempo t se encuentra que está dada por la

fórmula

0.1

20000

1 6(2) ty −=

+

Calcule el incremento de y entre t=10 y t=30 y el crecimiento promedio de la población por

año durante este periodo.

7. El ingreso semanal total R (en dólares) obtenido por la producción y venta de x unidades de

cierto artículo está dado por: 2( ) 500 2R f x x x= = −

Determine la tasa promedio de ingresos por unidad extra cuando el número de unidades

producidas y vendidas por semana se incrementa de 100 a 120.

Ejemplos 03

1 Para la función 24 2y x x= − + , calcular el incremento de x y el incremento de y para

1 21, 2x x= − =

2 1 2 ( 1) 3x x x∆ = − = − − = 2

12 12

2

4 2( 1) ( 1) 4 2 1 74 7 3

4 2(2) (2) 4 4 4 4

yy y y

y

= − − + − = + + = → ∆ = − = − = −= − + = − + =

El incremento de y negativo significa una disminución de la función, lo cual quiere decir que al aumentar la x tres unidades, la función (y) disminuye en tres unidades.

2 El volumen de ventas de gasolina (No. de litros vendidos por día) es ( )1,000 200q p= − , en

donde p es el precio por litro en centavos. Calcular el incremento en el volumen de ventas de gasolina que corresponde a un incremento en el precio por litro, de $1.50 a $1.60. ¿Cuál es el incremento en el precio?

2 1 160 150 10p p p−∆ = = − = centavos/litro.

12 1

2

1,000(200 150) 50,000 litros/dia40,000 50,000 10,000

1,000(200 160) 40,000 litros/dia

qq q q

q

= − =→ ∆ = − = − = − = − =

litros/día.

Lo cual quiere decir que al aumentar el precio por litro en 10 centavos, el volumen de ventas disminuye en 10,000 litros diarios.


Ejemplos Ejemplos Ejemplos Ejemplos 00004444 1. 1. 1. 1. Use la gráfica de la función f(x)f(x)f(x)f(x) para encontrar

cada uno de los siguiente valores.

a) f(l) b) f(3) c) f(5) - f(1) d) La razón de cambio promedio de

f(x) cuando x cambia de 1 a 5. e) La razón de cambio promedio de

f(x) cuando x cambia de 3 a 5

2222. La gráfica muestra las ventas totales en miles de

dólares por la distribución de x miles de catálogos. Encuentre e interprete la razón de cambio promedio de ventas con respecto al número de catálogos distribuidos para los siguientes cambios en x. a) l0 a 20 b) 20 a 30 c) 30 a 40 d) ¿Qué le está pasando a la razón de

cambio promedio de ventas cuando el número de catálogos distribuidos crece?

e) Explique por qué podría suceder el inciso (d).

3.3.3.3. La gráfica muestra las ventas anuales (en unidades apropiadas) de un juego de computadora. Encuentre la razón de cambio anual promedio en ventas para los siguientes cambios en años.

a) 1 a 4 b) 4 a 7 c) 7 a 9 d) ¿Qué le dicen sus respuestas a los incisos

anteriores acerca de las ventas de este producto?

e) Dé un ejemplo de otro producto que tenga una curva de ventas similar

4444. La gráfica muestra el número de restaurantes

McDonald en Estados Unidos como función del tiempo.* Encuentre e interprete la razón de cambio promedio en el número de restaurantes con respecto al tiempo sobre los siguientes intervalos.

a) 1955 a 1965 b) 1965 a 1975 c) 1975 a 1985 d) 1985 a 1995 e) 1955 a 1995 f) ¿Qué está pasando con la razón de

cambio promedio del número de


restaurantes conforme pasa el tiempo? g) ¿Cómo puede la respuesta al inciso (e)

obtenerse de las respuestas a los incisos anteriores? *Chicago Tribune, 20 de enero de 1996.

5555. IBM Europa perdió continuamente su

participación en el mercado de 1985 a 1990, como se muestra en la figura.* Estime la caída promedio en la participación en el mercado (en porcentaje) en los siguientes intervalos. a)1985 a 1986 b) 1986 a 1988 c)De sus respuestas a los incisos anteriores,

¿parece el decaimiento en la participación en el mercado estar creciendo o disminuyendo gradualmente?

d) ¿En qué período de un año fue el máximo decaimiento?

*“IBM Europe Is Losing Market

Share. . . and Feeling a Profit Pinch” mayo de 1991 de Business Week

6.6.6.6. La gráfica* muestra el comparativo

entre el precio de la gasolina, el del servicio telefónico y el índice nacional de precios y cotizaciones en México en el periodo 2000-2004.

Encuentra la razón de cambio anual promedio en los precios de las tres variables para los siguientes cambios en años. a) 2000 a 2001 b) 2001 a 2003 c) 2000 a 2004 ¿Qué le dicen sus respuestas a los incisos anteriores acerca de los precios de la gasolina y el servicio telefónico? *Fuente: Indicadores del Banco de México, Telmex.

7.7.7.7. La gráfica* muestra la cantidad pagada por el

Medicaid (Seguro Médico en EUA) del gobierno federal y estatal por medicamentos prescritos durante un periodo de once años. El gasto pasó de 1.6 mil millones de dólares en 1981 a 4.4 mil millones en 1990 y a 6.7 mil millones en 1992. ¿Cuál fue la razón de cambio del gasto (en mil millones de dólares por año) de: a) 1981 a 1984? b) 1984 a 1987? c) 1987 a 1990? d) 1990 a 1992? e) ¿Cómo se compara la razón de cambio en

los primeros tres años del periodo mostrado sobre la gráfica con la razón de cambio durante los dos últimos años?

*Spending Soars” de The New York Times, julio 7, 1993.

(8888----11111111) Determina para los intervalos dados: a) los incrementos de las funciones

Comparativo entre serviciosEvolución de los índices de precios (Base 1990 = 100)

1708,3

1371,9

1727,71861,6

2008,3

688,5 714,9 743,1 761,5 794,9

371,7 363,7 358,5 354 348,3

0

200

400600

800

1000

12001400

1600

1800

2000

2000 2001 2002 2003 2004

Año

GasolinaINPCS. Telefónico


b) la tasa de cambio promedio

8. 8. 8. 8. 23 5 12y x x= − + ; x1 = 4, x2 = 4.8 9.9.9.9. 56 12 7y x x= + − ; x = 4, ∆x =0.5

10. 10. 10. 10. 25 2

7 1x x

yx

−=−

; x = 3, ∆x =0.1 11.11.11.11. 1

4 1y

x=

+; x = 6, ∆x =0.3

12.12.12.12. La función de ingreso para el producto de un fabricante es 3 2

(x)R = 2x - 90x +1,200x 0 x 50≤ ≤ ,

siendo x el número de unidades vendidas y R el ingreso en miles de pesos. El fabricante actualmente vende 20 unidades por semana, pero está considerando incrementar las ventas a 24 unidades. Calcula el incremento en el ingreso. Determina la tasa de cambio promedio del ingreso por las unidades extra vendidas.

13. Para el producto de un monopolista la función de costo total, está dada por

( )3 2

xC = 10x - 60x + 90x +1,200 , calcula el incremento en los costos si la producción x cambia de 5 a

7 unidades diarias. Determina la tasa de cambio promedio del costo por las unidades extra producidas.

14. La función de costo de cierto artículo es 3 2

( ) 0.032 16 4000 320,000xC x x x= − + + , calcula el incremento

en los costos si la producción x cambia de 100 a 105 unidades. Determina la tasa de cambio promedio del costo por las unidades extra producidas.

15. La función de utilidad de una compañía está dada por ( )2

xP = -0.004x + 40x - 20 , para 0 65x≤ ≤ . El

fabricante actualmente produce y vende 50 unidades diariamente, pero está considerando incrementar las ventas a 53 unidades. Calcula el incremento en la utilidad. Determina la tasa de cambio promedio de la utilidad por las unidades extra vendidas.

16. Las ecuaciones de ingreso y de costo de cierto producto de un fabricante son R(q) =30q-0.30q2, y

C(q)=4.5q+100 respectivamente, donde q es el número de unidades. Calcula los incrementos resultantes en el costo, el ingreso y la utilidad si q cambia de 40 a 42 unidades. Determina la tasa de cambio promedio de la utilidad por unidad extra producida.

RESPUESTAS A LOS EJERCRESPUESTAS A LOS EJERCRESPUESTAS A LOS EJERCRESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DE INCREMENTOS Y TASASICIOS DE INCREMENTOS Y TASASICIOS DE INCREMENTOS Y TASASICIOS DE INCREMENTOS Y TASAS 1. a) f(1) = 2 b) f(3) = 3 c) f(5) — f(1) = 4 — 2 = 2 d) TCP = (4-2)/(5-1) = ˝ = 0.5 e) TCP = (4-3)/(5-3) =1/2 =0.5 2. a) TCP = (40-30)/(20-10) = 1 Es decir, por cada mil catálogos más que se distribuyan, las ventas aumentan mil unidades. b) TCP = (46-40)/(30-20) = 0.6 Es decir, por cada mil catálogos más que se distribuyan, las ventas aumentan 600 unidades c) TCP = (50-46)/(40-30) = 0.4 Es decir, por cada mil catálogos más que se distribuyan, las ventas aumentan 400 unidades. d) Decrece. e) Porque se va saturando el mercado. 3. a) TCP = (10-1)/(4-1) = 3 b) TCP = (10-10)/(7-4) = 0 c) TCP = (6-10)/(9-7) = - 2 d) En los primeros años las ventas aumentan, luego se estabilizan durante algunos años y finalmente decrecen año con año. e) La renta de películas en video. 4. a) 73.7 restaurantes / año. Es decir, cada año, el número de restaurantes aumenta en 73.7, como promedio. b) 261.4 restaurantes / año. c) 362 restaurantes / año. d) 398.1 restaurantes / año. e) 273.8 restaurantes / año.


f) Se está incrementando. g) Sacando el promedio de las respuestas de los incisos anteriores (porque los periodos fueron iguales) . Es decir: (73.7+261.4+362+398.1)/4 = 273.8 restaurantes / año.

5. a) Decae 5%/año. b) Decae 1.5%/año. c) Parece estar disminuyendo gradualmente. d) De 1985 a 1986. 6. a) TCP = -336.4 gasolina, 26.4 INPC, -8 serv. telefónico b) TCP= 244.85 gasolina, 23.3 INPC, -

4.85 serv. telefónico c) TCP = 75.0 gasolina, 26.6 INPC, -5.85 serv. telefónico

7. a) 0.067 miles de millones de dólares/año b) 0.23 mmd/año c) 0.63 mmd/año d) 1.15 mmd/año.

e) La tasa de crecimiento en el gasto fue muy baja en los primeros tres años y muy fuerte en los últimos dos años (17.16 veces mayor).

8. a) y∆ = 17.12 9. a) y∆ = 4,933.6975 10. a) y∆ = 0.071739 11. a) y∆ = -

0.004633834 b) TCP = 21.4 b) TCP = 9,867.375 b) TCP = 0. 71739 b) TCP = - 0.015446113 12. ∆ R = 4,608 — 4,000 = 608. Es decir $608,000. TCP = 608/4 = 152. Es decir $152,000/unidad

extra vendida. 13. ∆ C = 2,320 — 1,400 = $920. TCP = 920/2 = $460/unidad extra producida. 14. ∆ C = 600,644 — 592,000 = $8,644. TCP = 8,644/5 = $1,728.80/unidad extra producida. 15. ∆ P = $2,088.76 — 1,970 = $118.76 TCP = 118.76/3 = $39.59/ unidad extra producida y

vendida. 16. ∆ C = 289 — 280 = $9 ∆ R = 730.8 — 720 = $10.80 ∆ P = 10.8 — 9 = $1.80 TCP = 1.8/2 = $0.90/ unidad extra producida y vendida.

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