Consiste en analizar casos particularespara conseguir ciertos resultados queal analizarlos nos permiten llegar auna conclusión, que llamaremos CasoGeneral.

Al sumar números impares consecutivosen forma ordenada, tenemos:

Vemos que el resultado de sumarnúmeros impares consecutivos es dela forma n2 donde n es la cantidad denúmeros impares que se suman.

Sn = 1 + 3 + 5 + 7 +...(n sumandos) = n2

1) Halla la suma de cifras de:

S1 = 1 = 1 = 12

S2 = 1 + 3 = 4 = 22

S3 = 1 + 3 + 5 = 9 = 32

S4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42

S10=1+3+5+7+...+19=100 = 102

E = (1111...111)2

9 cifras

CasosParticulares Inducción Caso

General

Ejemplo:

Inducción connúmeros

Ejemplo 1:

Resolución:Por Inducción:

Para 2 cifras : (11)2 = 121 cifras = 4 = (1 + 1)2

Para 3 cifras : (111)2 = 12321 cifras = 9 = (1+1+1)2

Para 4 cifras: (1111)2 = 1234321 cifras = 16 =(1+1+1+1)2

2 veces

3 veces

4 veces

Se concluye que la suma de cifras delresultado de efectuar E sería:

cifras = (1+1+...+1+1)2 = (9)2

9 veces

cifras = 81

Por Inducción:Sumando cada fila:Fila (1) = 1 = 13

Fila (2) = 8 = 23

Fila (3) = 27 = 33

Fila (4) = 64 = 43

entonces:Fila (28) = 283 = 21952

Calcula la suma de términos de laFila (28).

Fila (1) 1Fila (2) 3 5Fila (3) 7 9 11Fila (4) 13 15 17 19

Ejemplo 2:

Resolución:

Cuando Gauss tenía diezaños de edad, su maestro solicitóa la clase que encontrara la sumade todos los números naturalesdesde uno hasta cien. El maestro,pensando que con ello la claseestaría ocupada algún tiempo,quedó asombrado cuando Gausslevantó en seguida la mano y diola respuesta correcta. El maestrose dio cuenta que el niño era unapromesa en las matemáticas.

Hijo de un humilde albañil,Gauss dio señales de ser ungenio antes de que cumpliera lostres años. A esa edad aprendió aleer y hacer cálculos aritméticosmentales con tanta habilidad quedescubrió un error en los cálculosque hizo su padre para pagar unossueldos.

El Príncipe de la Matemática

Nació : 30 de abril de 1777 enBrunswick (ahora Alemania).

Falleció : 23 de febrero de1855 en Göttingen, Hanover

(ahora Alemania).

Carl Friedrich Gauss

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Calcula el resultado al operar:

k = 47 x 48 x 49 x 50 +1

Empezamos evaluando valores pequeñosguardando la forma original. Nota queson 4 números consecutivos.

1 . 2 . 3. 4 + 1 = 1 x 4 + 1 = 5

2 . 3. 4. 5 +1 = 2 x 5 + 1 = 11

3 .4 . 5 . 6 + 1 = 3 x 6 + 1 = 19

. . .

Se concluye que también cumplirápara:

47 . 48. 49 . 50 + 1

= 47 x 50 + 1= 2351

x +

x +

x +

+x

¿De cuántas maneras distintas se puedeleer la palabra KARMINZ?

K A A R R R M M M M I I I I I N N N N N N Z Z Z Z Z Z Z

Observamos que Karminz contiene 7letras.

Ejemplo 3:

Resolución:

Ejemplo 4:

Para: 3 letras

K A A R R R 1 2 1

N.° de formas de leer:

KAR = 1 + 2 + 1 = 4 = 23–1

Para: 4 letras

K A A R R R M M M M 1 3 3 1

N.° de formas de leer:

KAR = 1 + 3 + 3 + 1= 8 = 24–1

Luego de analizar los casos particularesconcluimos:

N.° de formas de leer:

KARMINZ = 27–1 = 26 = 64

7 letras

Para: 2 letras

K A A 1 1

N.° de formas de leer:

KA = 1 + 1 = 2 = 22–1

Calcula la suma de todos los elementosde la matriz.

1 2 3 4 ... 20 2 3 4 5 ... 21 3 4 5 6 ... 22 4 5 6 7 ... 23 . . . . . . . . . . . . . . . 20 21 22 23 ... 29

Para 1:

[1] = 1 = 13

Para 2:

1 2 2 3

Para 3:

1 2 3 2 3 4 3 4 5 . . .

Luego de analizar los casos particularesllegamos a la conclusión que:

Para 20:

1 2 3 4 ... 20 2 3 4 5 ... 21 3 4 5 6 ... 22 4 5 6 7 ... 23 . . . . . . . . . . . . . . . 20 21 22 23 ... 29

= 8 = 23

= 27 = 33

= 203 = 8000

Ejemplo 5:

Resolución:

Resolución:

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Nivel I

1) Calcula: 1 x 2 x 3 x 4 +1

a) 3 d) 6 b) 4 e) 7 c) 5

Vamos a calcular:

E = 50 x 51 x 52 x 53 + 1

usando inducción.

Halla la suma de los elementos dela siguiente matriz de 10 x 10.

2 4 6 ... 18 20 4 6 8 ... 20 22 6 8 10 ... 22 24 . . . . . . . . . . . . . . . 18 20 22 ... 34 36 20 22 24 ... 36 38

Halla la última cifra del resultadode calcular:

Vamos a calcular la suma de lascifras del resultado de:

P = (999...995)2

70 cifras

2) Calcula: 2 x 3 x 4 x 5 +1

a) 7 d) 10 b) 8 e) 11 c) 9

3) Ahora trata de calcular:

3 x 4 x 5 x 6 + 1

a) 18 d) 21 b) 19 e) 22 c) 20

4) Por lo tanto, la respuesta alproblema inicial es:

a) 2 648 d) 2 651 b) 2 649 e) 2 652 c) 2 650

5) Primero, calcula la suma de:

2 4 4 6

a) 12 d) 18 b) 14 e) 20 c) 16

6) Luego, calcula la suma de:

2 4 6 4 6 8 6 8 10

a) 48 d) 54 b) 50 e) 60 c) 52

7) Finalmente, calcula la suma de:

2 4 6 8 4 6 8 10 6 8 10 12 8 10 12 14

a) 118 d) 100 b) 96 e) 128 c) 124

8) Ahora sí, dime cuál es la respuestadel problema inicial:

a) 1 600 d) 2 000 b) 1 900 e) 2 250 c) 2 100

9) 5520 – 3130

a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

10) (86542 – 1) (262 – 1)

a) 1 d) 4 b) 2 e) 6 c) 0

11) (342)50

a) 2 d) 8 b) 4 e) 0 c) 6

12) (396)50 + (865)76 + (391)51

a) 8 d) 0 b) 2 e) 6 c) 4

13) Primero calculemos la suma delas cifras de (95)2.

a) 12 d) 16 b) 14 e) 17 c) 15

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14) Ahora, calculamos la suma de lascifras del resultado de:

(995)2

a) 17 d) 23 b) 19 e) 25 c) 21

15) Por último, calculamos la sumade las cifras del resultado de:

(9995)2

a) 29 d) 37 b) 31 e) 38 c) 34

Nivel II

16) Nota qué está pasando y ahora sídebes dar la respuesta al problemainicial.

a) 637 d) 613 b) 628 e) 612 c) 621

¿De cuántas maneras se puede leerla palabra «LUCIDEZ»?

L L U L L U C U L L U C I C U L L U C I D I C U L L U C I D E D I C U L L U C I D E Z E D I C U L

Calma, lo vamos a hacer paso apaso.

17) Primero resuelve para este caso.¿De cuántas maneras se puedeleer la palabra «LU»?

L L U L

a) 1 d) 4 b) 2 e) 6 c) 3

18) Ahora, resuelve para «LUC».

L L U L L U C U L

a) 5 d) 8 b) 6 e) 9 c) 7

19) Ahora resuelve para «LUCI».

L L U L L U C U L L U C I C U L

a) 13 d) 18 b) 15 e) 19 c) 17

20) Ahora sí, responde a la preguntainicial:

a) 121 d) 129 b) 125 e) 127 c) 123

21) Halla: 7

a) 65 d) 70 b) 63 e) 64 c) 59

Si:

1 = 5 2 = 10

3 = 17 4 = 26

22) Si x =257, halla «x».

a) 11 d) 15 b) 13 e) 16 c) 14

23) Calcula la suma de cifras delresultado en E si:

E = (333...33)2

49 cifras

a) 450 d) 480 b) 360 e) 510 c) 441

24) Calcula la suma de cifras delresultado de:

B = (999...995)2

101 cifras

a) 900 d) 90 b) 925 e) 907 c) 625

25) Halla la suma de cifras de:

E = 37 x 222 ... 222

222 cifras

a) 451 d) 160 b) 441 e) 453 c) 420

26) Halla la suma de cifras de P:

P =(99999999998) . (9999999992)

a) 88 d) 92 b) 67 e) 96 c) 89

27) Calcula la suma de las cifras delresultado de efectuar.

M = 997 x 998 x 999 x 1000 + 1

a) 26 d) 25 b) 27 e) 24 c) 28

28) En un campeonato de ajedrez hay15 participantes. Si juegan todoscontra todos, ¿cuántas partidasse realizarán?

a) 120 d) 105 b) 108 e) 210 c) 180

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29) Halla la suma de todos loselementos de la s iguientematriz:

1 2 3 4 ... 9 10 2 3 4 5 ... 10 11 3 4 5 6 ... 11 12 4 5 6 7 ... 12 13 . . . . . . . . . . . . . . . 9 10 11 12 ... 17 18 10 11 12 13 ... 18 19

a) 100 d) 1001 b) 500 e) 3000 c) 1000

60sumandos

30) En qué cifra termina:

M = 4 + (10700+1399) ... (103+5)(102+3)(10+1)

a) 1 d) 5 b) 4 e) 9 c) 8

Nivel III

31) Calcula:

a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 c) 4

(3 x 5 x 17 x 257...) + 1

2004 factores

22004

32) Efectúa: 1–2+3–4+5–6+ ... (2003 términos)

a) 998 d) 2003 b) 1005 e) 1002 c) 2120

33) Calcula la suma de cifras delresultado de efectuar:

P = (1234567)2 – (1234556)2

a) 20 d) 27 b) 26 e) 29 c) 28

34) Halla a + b + c.

4 + 4 4 4 4 4 4 4 4 4 . . . . . . 4 4 ..... 4 4 4 4 a b c

a) 7 d) 10 b) 8 e) 11 c) 9

35) ¿De cuántas maneras diferentes sepuede leer la palabra INGENIOen el siguiente arreglo?

I I N I I N G N I I N G E G N I I N G E N E G N I I N G E N I N E G N I I N G E N I O I N E G N I

a) 128 d) 125 b) 127 e) 124 c) 126

36) Calcula la suma de cifras deF(10) si:

F(1) = 32

F(2) = (33)2

F(3) = (333)2

F(4) = (3333)2

a) 80 d) 92 b) 90 e) 99 c) 91

37) Calcula f(100) si: F(1) = 1 + 1/2 F(2) = 1 + 1/3 F(3) = 1 + 1/4

a) 100/99 d) 102/101 b) 100/101 e) 103/102 c) 100/102

38) Si se observa que: 1 = 22 – 3 x 1 2 = 32 – 4 x 2 3 = 42 – 5 x 3 4 = 52 – 6 x 4 halla 15

a) 255 d) 256 b) 511 e) 25 c) 1

39) Calcula la suma de cifras de (11111111)2

a) 49 d) 81 b) 36 e) 100 c) 64

40) Halla el valor de la fila (12) si: Fila (1) = 1 Fila (2) = 1 + 1 Fila (3) = 1 + 2 + 1 Fila (4) = 1 + 3 + 3 +1

a) 2 025 d) 3 125 b) 2 048 e) 4 120 c) 3 600

41) ¿De cuántas formas consecutivasdiferentes se puede formar lapalabra RAZONA, uniendo lasletras en forma consecutiva?

R R A R R A Z A R R A Z O Z A R R A Z O N O Z A R R A Z O N A N O Z A R

a) 64 d) 31 b) 63 e) 128 c) 127

42) Calcula: 1–4+9–16+25–36 ... (99 términos)

a) 5 000 d) 2 150 b) 4 950 e) 4 005 c) 3 850

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43) En qué cifra termina «M» si: M = 134954 + 34196 + 54536

a) 5 d) 8 b) 6 e) 9 c) 7

44) Calcula:

a) 1 d) 2002 b) 2 e) 2003 c) 32

1 + ( 3 x 5 x 17 x ...)

25 factores

225

45) Calcula la suma de cifras delresultado de efectuar:

E = 81(12345679)2

a) 49 d) 100 b) 64 e) 72 c) 81

46) Halla las 2 últimas cifras delresultado de sumar:

4 + 54 + 454 + 5454 + .....

100 términos

a) 40 d) 54 b) 50 e) 55 c) 45

47) Calcula la suma de cifras delresultado:

A = 555 ... 555 x 999 ... 999

100 cifras 100 cifras

a) 1 d) 90 b) 10 e) 900 c) 100

48) Halla la suma de los elementos dela siguiente matriz de 10 x 10.

2 4 6 ... 18 20 4 6 8 ... 20 22 6 8 10 ... 22 24 . . . . . . . . . . . . . . . 18 20 22 ... 34 36 20 22 24 ... 36 38

a) 2500 d) 2000 b) 1900 e) 3600 c) 1650

49) ¿Cuántas «cerillas» conforman latorre mostrada?

a) 20 d) 200 b) 21 e) 420 c) 210

1 2 3 4 19 20 21

50) Halla el total de palitos queforman la pirámide.

1 2 3 4 48 49 50

a) 2 500 d) 2 499 b) 5 500 e) 2 4 98 c) 2 050

...

Platón

«Que no entre nadie que no sepa geometría»Esta frase estaba a la vista en la entrada de la Academia de Platón ymuestra el valor que este hombre asignaba a la matemática a pesar deser fundamentalmente un estudioso de la filosofía.El acontecimiento espiritual más importante en la vida de Platón fue suencuentro con Sócrates. De todos modos queda claro que no perteneciónunca al círculo de sus amigos más íntimos, ni se consideraba unverdadero discípulo de Sócrates ya que se refería a él como su amigo yno como su hermano.

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