APLICACIONES DEL VECTOR GRADIENTE EN LA TERMOGRAFA

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN INGENIERIA DE MINAS

DEDICATORIA

Cuando nuestra vida nos enfrenta una tarea de tal magnitud se necesita el apoyo de una mano amiga, por lo que es muy difcil agradecer a todos los que de alguna forma contribuyen a esto.

A todos los que de una forma u otra contribuyeron a la realizacin y culminacin de esta investigacin.

ECUACIONES DIFERENCIALES:

El descubrimiento de Newton y Leibniz en el siglo diecisiete sobre las ideas bsicas del clculo integral fue crucial para el avance que sufrieron las matemticas, y ms importante fue, si cabe, la relacin que encontraron entre el clculo integral y el diferencial, ya que consiguieron fundirlos en uno solo. Una de las aplicaciones de este descubrimiento fue la fsica aplicada, dcese, la Ingeniera.

El maestro de Newton, Isaac Barrow, conoca ya la existencia de la relacin entre la tangente en un punto a una curva (derivada) y el rea de una regin limitada de una curva (Integral Definida), pero fueron Newton y Leibniz los que comprendieron la importancia de esa relacin.

La derivada se utiliz, en principio, para el clculo de la tangente en un punto, y pronto se vio que tambin serva para el clculo de velocidades, y en consecuencia para el estudio de la variacin de una funcin.

Desde los primeros pasos en el clculo diferencial, de todos es conocido que dada una funcin y = f(x), su derivada xf )( dx dy = , en forma de diferencial de una funcin de una sola variable, es tambin una funcin que se puede encontrar mediante ciertas reglas como el Teorema Fundamental del Clculo Integral, que nos muestra la vinculacin entre la derivada de una funcin y la integral de dicha funcin ; si F(x) es la funcin integral que debe ser integrable en el intervalo [a,x] para cada x de [a,b], siendo c tal que bca tenemos que si =xc( )() dttfxF bxa , existe entonces en cada punto x del intervalo abierto (a,b), en el que f es continua, y para tal x tenemos quedando demostrado la relacin entre Integral y Derivada.

xF )(= xfxF )()(

Principios Tericos

Mezclas

Definamos la concentracin de una sustancia como:

Concentracin = Cantidad de sustancia/Volumentotal

Cuando tenemos un recipiente conteniendo una mezcla homognea; el cual tiene una entrada y una salida; entonces:

En un instante cualquiera una sustancia presente en la mezcla se definir como:

Donde:

Q (t) = cantidad de sustancia.

Qe = cantidad de sustancia de entrada.

Qs = cantidad de sustancia de salida.

Adems sabemos que:

Qe = Ve*Ce.

Qs = Vs*Cs.

Donde:

Ve = Volumen entrante.

Vs = Volumen de salida.

Ce = Concentracin de entrada.

Cs = Concentracin de salida.

El volumen en untiempocualquiera ser:

V (t)=V0 + (Ve - Vs) t

Donde:

V (t) = cantidad de sustancia.

Ve = cantidad de sustancia de entrada.

Vs = cantidad de sustancia de salida.

Entonces la concentracin de la sustancia en el recipiente ser:

C (t) = Q (t) / V (t)

Derrama de fluidos

Si tuvisemos un depsito conteniendo a un lquido que escapa por un orificio del depsito (no existe flujo de entrada); entonces:

Puesto que la altura de carga vara con el tiempo, sabemos que, es decir el flujo no es estacionario. Esto significa que la ecuacin de energa debe corregirse introduciendo un trmino de aceleracin, que complica mucho la solucin. En tanto la altura de la carga no vare demasiado rpido no se producir un apreciable error el suponer el flujo estacionario y, por consiguiente, despreciar el termino de carga de aceleracin.

Sean V(t) y h(t) el volumen deaguaen el depsito y la altura del liquido por encima del orificio, en un instante t despus de empezado elproceso:

Por Torrecilla sabemos que:

Pero la diferencial del volumen tambin se puede expresar de la siguiente manera:

dV = A(h)*d(h)

Entonces quedara:

Tendramos una relacin entre la altura y el tiempo.

Ejercicios

1)Una fbrica de papel esta situada cerca de un ro con fluido constante de 100 m3/seg.; el cual va a dar a la nica entrada de un lago de volumen 109 m3. Suponga que en el instante t = 0, la fabrica de papel empieza a bombear contaminantes al ro a razn de 1 m3 por segundo; y que la entrada y salida del lago son constantes e iguales cual ser la concentracin de contaminantes en el lago al cabo de un tiempo t?

Solucin:

Sea X (t) la cantidad de sal que hay en el tanque en el instante t; entonces lavelocidadde entrada de sal al tanque en el instante t es:

Tambin en el instante t, la cantidad de lquido en el tanque es de:

La concentracin es de:

La velocidad de salida de la sal es de:

Luego nuestra ecuacin diferencial es:

Para resolverla consideremos la ecuacin Homognea:

Que se puede escribir:

La solucin de la homognea es:

Haciendo variar la constante: c = c (t) y reemplazando en la no homognea tenemos:

Por lo tanto:

Como x (0) = 0, tenemos c =10006, y entonces nuestra solucin es:

As, la concentracin de sal en el instante t es de:

Tenemos que encontrar t tal que:

Entonces:

Por tanto:

t = 1000 min.

2)Ciertoproductoqumico se disuelve enel aguaa una velocidad proporcional al producto de la cantidad aun no disuelta y la diferencia entre las concentraciones en una solucin saturada y la concentracin en la solucin real. Si sabe que en 100 gr. de una solucin saturada estn disueltos 50 gr. de la sustancia. Si se agitan 30 gr. del producto qumico con 100 gr. de agua en 2 horas se disuelven 10 gr. Cunto se disolver en 6 horas?

Solucin:

Sea Q (t) = numero de gramos del producto qumico no disuelto despus de un instante t.

La concentracin real ser: Cr(t) =; y la concentracin saturada: Cs(t) =

Por dato:

d Q (t) / d t = kQ(Cs Cr) = kQ (-) = kQ()

Resolviendo resulta:

=>=>=>..(1)

Para t = 0 => Q = 30 en (1)

, en (1):.. (2)

Para t = 2 => Q = 30 -10 = 20 en (2)

En (2), queda:

Para t = 6 =>

=>La cantidad disuelta en 6 horas es, por lo tanto la disuelta ser:

3)Un liquido transparente transporta unadrogadentro de un rgano de volumen V cm3 a una velocidad de "a" cm3/seg. y sale a una velocidad de "b" cm3/seg. Si la concentracin de la droga con el liquido que entra es "c" gr. /cm3.

a) Escriba la ecuacin diferencial para la cantidad de droga en un instante cualquiera.

b) Resolver dicha ecuacin diferencial.

Solucin:

a)Sea Q (t) la cantidad de droga en el rgano en un instante cualquiera.-

Luego: (1)

Pero (2)

Y adems. (3)

Para un instante cualquiera la concentracin es:

Ahora

, en (3):. (4)

(2) y (4) en (1):

. (5)

F.I. =para todo (6)

b) (5) * (6):

(7)

Condicin inicial: t = 0 =>. En (7):

En (7):

4)Un depsito tiene la forma de un cono truncado con 2,4 m de dimetro en la base superior y 1.2 m en la inferior. El fondo contiene un orificio cuyo coeficiente medio de descarga es de 0,60 m. Cul deber ser el dimetro del orificio para vaciar el deposito en 6 minutos si la altura de carga inicial es de 3,0 m?

Solucin:

Sabemos que:

En el problema:

0.6 * (1/4) * d2 * dt =

Donde:

d2 = dimetro del orificio.

Puesto que t = 360 segundos; integrando en ambos lados se obtiene:

d2 =

Operando tenemos:

d = 0.0987

5)Un embudo, en cuya salida se tiene un angulo de 60o y un area de la seccion recta de 0.5 cm2, contiene agua. En el instante t = 0 se abre la salida y el agua fluye afuera. Determinar el tiempo en que se vaciara el embudo, suponiendo que la altura inicial del nivel del agua es de 10 cm.

Por Torricelli:

A (h) =

Entonces reemplazando tenemos:

Para t = 0 => h = 10

Luego:

Reemplazando tenemos:

Para h = 0;

LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Y SUS APLICACIONES EN LA INGENIERA

La Derivada de la Integral de una funcin es la propia funcin:

= xfxF )()(

La Integral de la Derivada de una funcin es la propia funcin:

=xa( )() dxxfxf

Con lo antes mencionado, a lo que se une La Regla de Barrow (que no es ms que la aplicacin del teorema fundamental), es posible conseguir la funcin primitiva de la funcin derivada xf )( dx dy = mediante la integracin de dicha funcin, que es lo que necesitamos para poder resolver las ecuaciones diferenciales, pero antes debemos definirlas.

Hay una gran variedad de problemas en los cuales se desea conocer un elemento variable a partir de su coeficiente de variacin, o dicho de otra forma, queremos conocer cmo vara dicho elemento en funcin de una o varias variables.

En definitiva, lo que se pretende es determinar una funcin desconocida mediante datos relacionados por una ecuacin que contiene, por lo menos, una de las derivadas de la funcin desconocida.

Estas ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales y su estudio por parte de Newton,

Leibniz y los Bernouilli para resolver algunas de las ecuaciones diferenciales sencillas que se presentaron en geometra y mecnica, llevaron al conocimiento sobre la resolucin de ciertos tipos de ecuaciones diferenciales; se conoce mediante la prctica que es difcil obtener teoras matemticas de gran generalidad para la resolucin de estas ecuaciones diferenciales, salvo para algunos tipos, como las ecuaciones lineales, muy extendidas para problemas de tipo cientfico.

ECUACIN DIFERENCIAL (E.D.) es una ecuacin que relaciona una funcin (o variable dependiente), su variable o variables (variables independientes), y sus derivadas.

Si la ecuacin contiene derivadas respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuacin diferencial ordinaria (E.D.O); y si contiene las derivadas parciales respecto a dos o ms variables independientes, se llama ecuacin en derivadas

LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Y SUS APLICACIONES EN LA INGENIERA

Otro tipo de ecuaciones son las ecuaciones diferenciales de retraso (o retardo) que estn caracterizadas por la presencia de un desplazamiento en el argumento o variable (x-x0).

La ecuacin diferencial al orden de la derivada o derivada parcial ms alta que aparece en la ecuacin.

Una ecuacin diferencial (de orden n) est expresada en forma implcita cuando tiene la forma.

Siendo F una funcin siendo un subconjunto (generalmente abierto) de R0),....,,,( )( = n yyyxF RRF n +2 :n+2

Una ecuacin diferencial (de orden n) est expresada en forma explcita cuando tenemos y (n)= f(x,y,y,.,y(n-1)) con siendo la funcin definida en el subconjunto D (generalmente abierto) de R RRDf n +1 :n+1 .

Una funcin y = (x) definida en un intervalo I es solucin de una diferencial en el intervalo si, sustituida en dicha ecuacin, la reduce a una identidad.

Una E. D. se dice resoluble (o integrable) por cuadraturas si su solucin es expresable mediante integrales.

En general, la solucin de la ecuacin diferencial de orden n depender de n parmetros.

Pero incluso de esta forma pueden no obtenerse todas las soluciones de una E. D. Por ejemplo, cuando tenemos una familia uniparamtrica de soluciones de una E. D., una sencilla interpretacin geomtrica nos muestra que tambin la envolvente de la familia de curvas (si existe) es solucin de la E. D.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN APLICADA A LA INGENIERIA DE MINAS

ANTIGEDAD DE UN FSIL: PARA DETERMINAR LA EDAD DE LOS MANTOS DE CARBN.

Se analiz un hueso fosilizado y se encontr que contena la centsima parte de la cantidad original de C-14. Determine la edaddel fsil.

En realidad, la edad determinada en el ejemplo 3 est en ellmite de exactitud del mtodo. Normalmente esta tcnica se limita a unos 9 periodos medios del istopo, que son unos50.000 aos. Una razn para ello es que el anlisis qumico necesario para una determinacin exacta del

C-14remanente presenta obstculos formidables cuando se alcanza el punto de A0 /1000

Tambin, para este mtodo se necesita destruir una muestra grande del espcimen. Si la medicin se realiza en forma indirecta, basndose en la radiactividad existente en la muestra, es muy difcil distinguir la radiacin que procede del fsil de la radiacin normal de fondo. Pero en ltimas fechas, los cientficos han podido separar al C-14 del C-12, la forma estable, con los aceleradores de partculas. Cuando se calcula la relacin exacta de C-14 a C-12,la exactitud de este mtodo se puede ampliar hasta antigedades de 70 a 100.000 aos. Hay otras tcnicas isotpicas, como la que usa potasio 40 y argn 40, adecuadas para establecer antigedades de varios millones de aos. A veces, tambin es posible aplicar mtodos que se basan en el empleode aminocidos

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AO DE LA PROMOCION DE LA INDUSTRIA RESPONSABLE Y DEL COMPROMISO CLIMTICO

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN INGENIERIA DE MINAS

APLICACIN DE CURVAS DE NIVEL EN EL LEVANTAMIENTO TOPOGRFICO MINERO

ANLISIS MATEMTICO IIi Edwin Pariente

INTEGRANTES:

BERNEDO MOLLAPAZA CRISTIAN

CCOYORI SAMUEL

CHVEZ MAMANI FLOR ANGELA

TURPO HUARACALLO DANILO

NO OLVIDAR LA ESTRUCTURA DE UN TRABAJO DE INVESTIGACION: INDICE, EL PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Y SU JUSTIFICACION. LOS OBJETIVOS, ETC

ORDENAR EL TRABAJO DE MANERA QUE SE DIFERENCIEN LAS PARTES. PUEDEN DIVIDIRLO EN CAPITULOS

PARA SU EXPOSICION EVITAR TEXTOS PESADOS Y PONER ENFASIS EN ESQUEMAS Y GRAFICOS

TIENEN QUE PLANTEAR UNA APLICACIN EN LA INGENIERIA DE MINAS QUE TENGA RELACION CON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES, NO CUENTAN LAS APLICACIONES QUE HEMOS ESTUDIADO

NO OLVIDAR LA BIBLIOGRAFIA