Informe_ejercicios_Matlab

NIVEL: Sexto “A”

Ing. Franklin Silva

Latacunga - Ecuador

REALIZADO POR:

Guevara Daniel

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS

ARMADAS ESPE

FACULTAD DE ENERGÍA Y MECÁNICA

INGENIERÍA MECATRÓNICA

SISTEMAS DE CONTROL Desarrollo de ejercicios de Matlab Sistemas de control para ingeniería de Norman S. Nise

ContenidoTEMA..........................................................................................................................................3

OBJETVOS...................................................................................................................................3

General:......................................................................................................................................3

Específicos:.................................................................................................................................3

RESUMEN....................................................................................................................................3

ABSTRACT:..................................................................................................................................3

MARCO TEÓRICO........................................................................................................................4

MATLAB:.....................................................................................................................................4

Función de Transferencia:...........................................................................................................4

Características de la Función de Transferencia:............................................................................5

DESARROLLO...............................................................................................................................7

CONCLUSIONES.........................................................................................................................21

RECOMENDACIONES.................................................................................................................21

BIBLIOGRAFÍA...........................................................................................................................21

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TEMA

Realización de los ejercicios planteados en el dominio del tiempo o de la frecuencia utilizando el software MATLAB del libro “Sistemas de Control para Ingeniería” de Norman Nise, para el estudio de funciones de transferencia mediante la Transformada de Laplace utilizados en la asignatura de Sistemas de Control.

OBJETVOS

General: Desarrollar y representar los ejercicios en el dominio del tiempo o de la frecuencia utilizando el software MATLAB del libro “Sistemas de Control para Ingeniería” de Norman Nise mediante la Transformada de Laplace utilizados en la asignatura de Sistemas de Control.

Específicos: Utilizar adecuadamente los comandos de MATLAB y sus interfaces gráficas para

desarrollar adecuadamente los ejercicios planteados. Realizar el procedimiento correspondiente a cada ejercicio planteado cumpliendo

sus requerimientos. Verificar los datos ingresados con los obtenidos acorde a la parte teórica recibida.

RESUMEN

La función de transferencia es un modelo matemático que a través de un cociente relaciona la respuesta de un sistema a una señal de entrada o excitación. En la teoría de control, a menudo se usan las funciones de transferencia para caracterizar las relaciones de entrada y salida de componentes o de sistemas que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en el tiempo. Así las funciones de transferencia pueden ser realizadas mediante comandos específicos de MATLAB.

Utilizando los comandos adecuados, se aprende a modelar de una manera práctica y clara la función de transferencia de cualquier sistema, Esto se lleva a cabo con la finalidad de conocer:

La respuesta del sistema ante una señal de entrada determinada. La estabilidad del sistema (si la respuesta del sistema se va a mantener dentro de

unos límites determinados). Los parámetros se pueden aplicar al sistema para que éste permanezca estable.

ABSTRACT:

The transfer function is a mathematical model through a ratio relates the response of a system to an input signal or excitement. In control theory, often transfer functions are used to characterize the relationship of input and output components or systems described by

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linear-invariant differential equations in time. Thus the transfer functions may be performed by specific commands of MATLAB.

Using the appropriate commands, you learn to model in a practical way and clear the transfer function of any system, This is done in order to know:

The system response to a given input signal. The stability of the system (if the system response is to be kept within certain

limits). The parameters can be applied to the system so that it remains stable.

MARCO TEÓRICO

MATLAB:

Es un entorno de computación y desarrollo de aplicaciones totalmente integrado orientado para llevar a cabo proyectos en donde se encuentren implicados avanzados cálculos matemáticos y la visualización gráfica de los mismos. MATLAB integra análisis numérico, cálculo matricial, proceso de señal y visualización gráfica en un entorno completo donde los problemas y sus soluciones son expresados del mismo modo en que se escribirían tradicionalmente, sin necesidad de hacer uso de la programación tradicional.

MATLAB es un software de cálculo técnico y científico, que tiene su propio lenguaje de programación, el cual es una herramienta de alto nivel para desarrollar aplicaciones técnicas relativamente fáciles de utilizar, entre sus principales aplicaciones se destacan el análisis de sistemas descritos por funciones de transferencia.

Función de Transferencia:

Se define función de transferencia G(s) de un sistema como el cociente entre la transformada de Laplace de la señal de salida y la transformada de Laplace de señal de entrada, suponiendo las condiciones iniciales nulas.

En forma genérica se representa de la siguiente forma:

En sistemas reales o físicamente realizables m <= n.

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El polinomio del denominador igualado a cero representa la ecuación característica que se utiliza ampliamente en el análisis de la estabilidad del sistema.

Características de la Función de Transferencia:

La función de transferencia es una propiedad del sistema y depende de las propiedades físicas de los componentes del sistema, es por tanto independiente de las entradas aplicadas.

La función de transferencia viene dada como el cociente de dos polinomios en la variable compleja s de Laplace, es decir, N(s) (numerador) sobre D(s) (denominador).

El grado del denominador de la función de transferencia es el orden del sistema. El polinomio del denominador, D(s), se llama ecuación característica del sistema. Distintos sistemas pueden compartir la misma función de transferencia, por lo que

ésta no proporciona información acerca de la estructura interna del mismo. Conocida la función de transferencia de un sistema se puede estudiar la salida del

mismo para distintos tipos de entradas. La función de transferencia es muy útil, una vez calculada la transformada de Laplace de la entrada, ya que se puede conocer de forma inmediata la transformada de Laplace de la salida. Calculando la trasformada inversa se obtiene la respuesta en el tiempo del sistema ante esa entrada determinada.

El polinomio del denominador de la función de transferencia, D(s), se llama función característica, ya que determina, por medio de los valores de sus coeficientes, las características físicas de los elementos que componen el sistema.

La función característica igualada a cero se conoce como ecuación característica del sistema

Para crear funciones de transferencia en MATLAB se utilizan los siguientes comandos:

a) g=tf(num,den)

Donde “num” es un vector que contiene los coeficientes del polinomio del numerador de G(s) ordenado respecto a las potencias de s donde el primer elemento es el coeficiente que acompaña a la mayor potencia de s. “den” es otro vector que contiene los coeficientes del polinomio del denominador de G(s) ordenados de la misma forma que para el numerador.

Ejemplo de sintaxis en MATLAB

% Introducir una función de transferencia polinómica

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b) g=zpk(z,p,k)

Donde “z” es un vector que contienen los ceros del numerador de G(s), “p” es un vector que tiene los polos de G(s) y “k” es la ganancia estática de G(s)


%Cargar en MATLAB una G(s) que tiene ceros en -1 y -2, polos en -10, -3+/-3i

% y ganancia estática k=5

c) s=tf(‘s’)

A partir de esta instrucción de puede utilizar la “s” en las expresiones polinómicas de G(s) para que Matlab las interprete como funciones de transferencia.


% Introducir una función de transferencia polinómica

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DESARROLLO

Página 44: Los estudiantes que están usando MATLAB deben ahora correr ch2p1 hasta ch2p8 del apéndice B. este es su primer ejercicio MATLAB. Aprenderá a usas MATLAB para 1) representar polinomios; 2) hallar raíces de polinomios; 3) multiplicar polinomios, 4) encontrar expansiones en fracciones parciales. Por último, el ejemplo 2.3 se resolverá usando el MATLAB.

'(ch2p1)'

Se usarán las cadenas de bits para identificar partes de este tutorial en la salida de su computadora. Las cadenas de bits se representan mediante el texto encerrado entre apostrofes, tales como “ab”. Los comentarías se inician con el signo de % y Matlab los ignora Los números se ingresan sin ningunos otros caracteres. La aritmética se lleva a cabo mediante aperadores aritméticos apropiados. Los números se pueden asignar usando un argumento en el primer miembro y un signo de igual en una expresión.

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'(ch2p1)' % Desplegar etiqueta

'Como estas?' % Mostrar cadena

-3.96 % Mostrar el escalar -3.96-4+7i % Mostrar el número complejo -4+7i-5-6j % Mostrar el número complejo -5-6i

(-4+7i)+(-5-6i) % Suma de dos números complejos y % mostrar la suma

(-4+7j)*(-5-6j) % Multiplicación de dos números % complejos y mostrar el producto

M=5 % Asigna 5 a M y mostrarN=6 % Asigna 6 a M y mostrar

P=M+N % Asigna M+N a P y mostrar

'(ch2p2)'

Los polinomios en s se pueden representar como vectores renglón que contienen los

coeficientes. De esta manera Pi=s3+7 s2−3 s+23 se puede representar mediante el

vector que se muestra a continuación con los elementos separados mediante un espacio o coma. Se pueden usar las cadenas de bits para identificar cada una dc las sesiones de este tutorial.

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P1= [1 7 -3 23] % Almacenar Polinomio % s^3+7s^2-3s+23 como

% P1 y mostrar etiqueta

'(ch2p3)'

Ejecutar las declaraciones anteriores hace que MATLAB muestre los resultados. El terminar un comando con un punto y coma suprime la exhibición de los resultados. Al escribir uno expresión sin asignación en el primer miembro y sin punto y coma hace que la expresión sea evaluada y despliegue el resultado. Ingresar P2 en la Ventana de Comandos del MATLAB después de la ejecución.

'(ch2p4)'

Una función F(s) en forma factorizada se puede representar en forma polinomial. De este modo, P3=(s+2) (s+5) (s+6) se puede transformar en un polinomio usando el comando poly(V) donde V es un vector reglón que contiene las raíces del polinomio y poly(V) forma los coeficientes del polinomio.

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'(ch2p4)' % Desplegar etiqueta P3=poly([-2 -5 -6]) % Almacenar polinomio

% (s+2) (s+5) (s+6)

% como P3 y despliega

% los coeficientes


P2= [3 5 7 8]; % Asigna 3s^3+5s^2+7s+8 a P2 %sin despliegue

3*5 % Evalúa 3*5 y desplegar el resultado

'(ch2p5)'

Se puede determinar las raíces mediante el comando roots (V). Las raíces se regresan como un vector de columna. Por ejemplo, encuentre las raíces de 5s4+7s3+9s2-3s+2=0.

'(ch2p6)'

Dos polinomios se pueden multiplicar entre si al usar el comando conv(a,b) (lo que

significa convolución). De esta manera P5 = (s3+7s2+10s+9) (s4-3s3+6s2+2s+1) se genera

como sigue:

'(ch2p7)'

La expansión en fracciones parciales para F(s)=b(s)/a(s) se puede encontrar usando el comando [k,p,k] = residue (b,a) (k=residuo; p= raíces del denominador; k=coeficiente directo, lo cual se encuentra mediante la división de los polinomios antes de realizar las expansión en fracciones parciales).

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'(ch2p5)' % Desplegar etiqueta P4=[5 7 9 -3 2] % Forma 5s^4+7s^3+9s^2-3s+2=0 y

% despliega

rootsP4=roots(P4) % Determinar las raíces % 5s^4+7s^3+9s^2-3s+2=0, % asigna a rootsP4, y despliega


P5=conv([1 7 10 9],[1 -3 6 2 1])

% Forma (s^3+7s ^2+10s+9)(s^4-3s^3+6s^2+2s+1), asignar a P5, y despliega

'(ch2p8)’

Realicemos el ejemplo 2.3 del libro mediante MATLAB.

Página 50: Los estudiantes que están usando MATLAB deben correr ahora el ch2p9 al ch2p11 del apéndice B. Aprenderán a usar MATLAB para crear funciones de transferencia con numeradores y denominadores en polinomios o forma factorizada. También aprenderán a convertir los polinomios y sus formas factorizadas.

'(ch2p9)' Creación de Funciones de Transferencia

Método vectorial, forma polinomial: Una función de transferencia se puede expresar como un polinomio del numerador entre un polinomio del denominador, es decir, F(s)=N(s)/D(s). El numerador N(s), se representa mediante un vector renglón, numf, que contiene los coeficientes de N(s). De manera similar el denominador D(s), se representa mediante un vector renglón, denf, que contiene los coeficientes de D(s). Con el comando F=tf (numf,denf). F se denomina un objeto lineal e invariante con el tiempo (LTI). Este

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numf=[7 9 12]; % Definir el numerador de F(s)

denf=conv(poly([0 -7]),[1 10 100]); % Definir el denominador de F(s)

[K,p,k]=residue(numf,denf) % Encontrar los residuos y asignar a k;% encontrar las raíces de denominador% y asignar a p; encontrar las constantes% y asignar a k

'(ch2p8) Example 2.3' % Desplegar etiqueta

numy=32; % Definir el numeradordeny=poly([0 -4 -8]); % Definir el denominador [r,p,k] = residue(numy,deny) % Calcular los residuos, polos, y el cociente directo

objeto, o función de transferencia, se puede usar como una entrada en otras operaciones, tales como adición o multiplicación. Se demuestra con F(s) =150(s2+2s+7)/[s (s2+5s+4)]. Observe que después de ejecutar el comando tf, MATLAB imprime la función de transparencia.

Método vectorial, forma factorizada: También se pueden crear funciones de transferencia LTI si el numerador y denominador están expresados en forma factorizada. Esto se logra mediante el uso de vectores renglón que contiene las raíces del numerador y denominador. De este modo, G(s)=K*N(s)/D(s) se pueden expresar como objeto de LTI al usar el comando G=zpk (numg, deng, k), donde numg es un vector renglón que contiene las raíces de N(s) y deng es un vector renglón que contiene las raíces de D(s). La expresión zpk significa ceros (raíces del polinomio del numerador), polos (raíces del polinomio del denominador) y la ganancia, K. Podemos demostrar con G(s)=20(s+2) (s+4) / [(s+7)(s+8)(s+9)]. Después de ejecutar el comando zpk observe que el MATLAB imprime la función de transferencia.

Método de la expresión racional en s, forma polinomial: Este método permite escribir la función de transferencia como usted lo hace normalmente. La declaración s=tf(‘s’) debe preceder a la función de transferencia si se desea crear una función de transferencia LTI en la forma polinomial equivalente a que se tiene al usar G=tf(numg, deng).

Método de la expresión racional en s, forma factorizada: Este método permite escribir la función de transferencia como usted lo hace normalmente. La declaración s=zpk(‘s’) debe preceder a la función de transferencia, si se desea crear una función de transferencia LTI en la forma polinomial equivalente a que se tiene al usar G=zpk(numg, deng,k).

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'(ch2p9)'

'Método vectorial, forma polinomial'

numf=150*[1 2 7]denf=[1 5 4 0]

'F(s)'

F=tf(numf,denf)clear

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'Método vectorial, forma factorizada'

numg=[-2 -4]deng=[-7 -8 -9]

K=20

'G(s)'G=zpk(numg,deng,K)

clear

'Método de la expresión racional, forma polinomial'

s=tf('s')F=150*(s^2+2*s+7)/[s*(s^2+5*s+4)]

G=20*(s+2)*(s+4)/[(s+7)*(s+8)*(s+9)]clear

'(ch2p10)'

Los vectores del numerador y denominador de la función de transferencia se pueden convertir de la forma polinomial que contiene coeficientes y la forma factorizada que contiene raíces. La función de MATLAB tf2zp (numtf, dentf) convierte el numerador y denominador de coeficientes a raíces. Los resultados están en la forma de vectores columna. Esto se demuestra con F(s)= (10s2+40s+60)/(s3+4s2+5s+7). La función de MATLAB zp2tf (numzp, denzp, k) convierte el numerador y denominar de raíces a coeficientes. Los resultados están en la forma de vectores columna. La conversión de raíces a coeficientes se demuestra con G(s)=10(s+2)(s+4)/[s(s+3)(s+5)].

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'Método de la expresión racional, forma factorizada'

s=zpk('s')F=150*(s^2+2*s+7)/ [s*(s^2+5*s+4)]

G=20*(s+2)*(s+4)/[(s+7)*(s+8)*(s+9)]

'(ch2p10)'

'Coefficients for F(s)'

numftf=[10 40 60]denftf=[1 4 5 7]

'Roots for F(s)'

[numfzp,denfzp]=tf2zp(numftf,denftf)

'Roots for G(s)'

numgzp=[-2 -4]K=10

dengzp=[0 -3 -5]

'Coefficients for G(s)'

[numgtf,dengtf]=zp2tf(numgzp',dengzp',K)

'(ch2p11)'

Los modelos TLI también se pueden convertir de la forma polinomial a la forma factorizada. Los comandos de MATLAB tf y zpk también se usan para la conversión entre modelos LTI. Si una función de transferencia Fzpks(s) se expresa como factores en el numerador y denominador, entonces tf(Fzpk) convierte a Fzpk(s) a una función de transferencia expresada como coeficientes en el numerador y en el denominador. De modo similar, si la función de transferencia Ftf(s) se expresa como coeficientes en numerador y denominador, entonces zpk(Ftf) convierte Ftf(s) a una función de transferencia expresada como factores en numerador y en denominador.

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Página 49: Los estudiantes que trabajen los ejercicios en MATLAB y deseen explorar las rutinas de matemáticas simbólicas (Symbolic Math Toolbox del MATLAB), deben correr ahora el ch2sp1 y ch2sp2 del Apéndice E, aprenderán a construir objetos simbólicos y luego hallar las transformadas de Laplace y transformadas inversas de Laplace de funciones en la frecuencia y el tiempo, respectivamente. Los ejercicios en el caso 2 y caso 3 de esta sección se resolverán usando las rutinas de matemáticas simbólica Symbolic Math Toolbox.

'(ch2sp1)’

El poder de cálculo ele MATLAB se ve enriquecido ampliamente al usar las Rutinas de Matemática simbólicas. En este ejemplo se demuestra su poder mediante los cálculos de transformadas inversas de F (s). El inicio de cualquier cálculo simbólico requiere definir los objetos simbólicos. Por ejemplo, la variable de la transformada de Laplace s, o la variable tiempo. R, se deben definir como objetos simbólicos. La definición se realiza mediante el uso del comando sym. De esta manera, sym s define a s y t ambas como un objeto simbólico. Solamente se necesitan definir los objetos que entran al Programas. Las variables producidas por el programa no necesitan definirse, De este modo, si se está determinando

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'(ch2p11)'

'Fzpk1(s)'Fzpk1=zpk([-2 -4],[0 -3 -5],10)

'Ftf1'Ftf1=tf(Fzpk1)

'Ftf2'Ftf2=tf([10 40 60],[1 4 5 7])

'Fzpk2'Fzpk2=zpk(Ftf2)

transformadas inversas de Laplace. Solamente se necesita definir s como objeto simbólico, puesto que t resulta del cálculo.

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'(ch2sp1)'

syms s

'Transformada Inversa de Laplace'

F=2/[(s+1)*(s+2)^2];

'F(s) from Case 2'

pretty(F)f=ilaplace(F);

'f(t) for Case 2'pretty(f)

F=3/[s*(s^2+2*s+5)];

'F(s) for Case 3'pretty(F)

f=ilaplace(F);

'f(t) for Case 3'

pretty(f)

'(ch2sp2)'

En este ejemplo se determina la transformada de Laplace de funciones del tiempo usando el comando Laplace (f), donde f es una función del tiempo, f (t). Corno un ejemplo se usa las funciones del tiempo que resultan de los casos 2 y 3 en la sección 2.2 en el texto y trabajamos en inverso para obtener sus transformarlas de Laplace. Veremos que el comando Laplace (f) da F(s) en fracciones parciales.

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'(ch2sp2)'

syms t

'Transformada de Laplace''f(t) from Case 2'

f=2*exp(-t)-2*t*exp(-2*t)-2*exp(-2*t);pretty(f)

'F(s) para el Caso 2'F=laplace(f);

pretty(F)F=simplify(F);

pretty(F)

'f(t) para el Caso 3'f=3/5-3/5*exp(-t)*[cos(2*t)+(1/2)*sin(2*t)];

pretty(f)

'F(s) para el Caso 3 – Fracciones simbólicas'

F=laplace(f);pretty(F)

'F(s) para el Caso 3 – Representación Decimal'

F=vpa(F,3);pretty(F)

F=simplify(F);pretty(F)

Página 51: Los estudiantes que trabajen los ejercicios de MATLAB, y deseen explotar las

rutinas de matemáticas simbólicas (Symbolic Math Toolbox del MATLAB), deben correr el

ch2sp3 del Apéndice E. aprenderán a usar las rutinas de matemáticas simbólica para

simplificar la entrada de funciones de transferencia complicadas, así como mejorar la

legibilidad. Aprenderán a introducir una función de transferencia simbólica y convertirla en

un objeto lineal en invariable en el tiempo (LTI), como se presenta en el apéndice B,

chp2p9.

'(ch2sp3)'

Las Rutinas de Matemática Simbólica de MATLAB se pueden usar para simplificar el

ingreso de funciones de transferencia complicadas como sigue: en principio, se ingresa la

función de transferencia, G(s) = numg/deng, a través de las declaraciones de la

matemática simbólica. Entonces se convierte G(s) a un objeto función de transferencia

LTI. La conversión se lleva a cabo en dos pasos .en el primer paso se usa el comando

[numg,deng] = numden(g) para extraer en forma simbólica el numerador y denominador

de G . En el segundo paso se convierte en forma separada, el numerador y el

denominador a vectores usando el comando sym2pol(s), donde s es un polinomio

simbólico.

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Página 59: Los estudiantes que estén trabajando ejercicios con el MATLAB, y deseen explotar las capacidades de matemáticas simbólicas del MATLAB, deben correr el ch2sp4 del apéndice E, donde está resuelto el ejemplo 2.10. Aprenderán a usar las rutinas de matemática simbólica para resolver ecuaciones simultáneas, usando la regla de Cramer. Específicamente, las rutinas de matemática simbólica se usaran para despejar las ecuaciones de transferencia de la ecuación (2.82), utilizando las ecuaciones (2.80).

'(ch2sp4)’

Las Rutinas de matemáticas simbólicas de MATLAB se pueden usar para simplificar la

solución de ecuaciones simultáneas mediante la regla de Cramer. Un sistema de

ecuaciones simultaneas se pueden representar mediante Ax=B. donde A es una matriz

formada por los coeficientes de las incógnitas en las ecuaciones simultaneas, x es el

vector de incógnitas, y B es un vector que contiene las entradas. La regla de Cramer

establece que xk, el k-esimo elemento del vector de solución x, se determina usando

xk=det(Ak)/det(A), donde Ak es la matriz formada al reemplazar la k-ésima columna de la

matriz A con el vector de entrada B.

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'(ch2sp3)'syms s

G=54*(s+27)*(s^3+52*s^2+37*s+73).../

(s*(s^4+872*s^3+437*s^2+89*s+65)*(s^2+79*s+36)

);

'G(s) en forma simbólica'

pretty(G)

[numg, deng]=numden(G);

numg=sym2poly(numg);

deng=sym2poly(deng);

'LTI G(s) en Forma Polinomial'

Gtf=tf(numg,deng)

'LTI G(s) en Forma Factorizada'

Gzpk=zpk(Gtf)

CONCLUSIONES

Mediante el software matemático MATLAB, el mismo que nos resuelve ecuaciones diferenciales a través de diferentes comandos que obtener resultados exactos.

Gracias a la utilización de comandos directos se puede obtener la transformada de Laplace de cada ejercicio obteniendo de esta manera la respuesta de forma directa.

La utilización del software MATLAB es relevante en la ingeniería ya que como se demostró en este documento, este software permitió estructurar y encontrar la función de transferencia de un determinado sistema.

RECOMENDACIONES

Utilizar correctamente los comandos de Matlab ya que estos se encuentran en ingles a veces se nos escapa Al momento de digitalizar las diferentes expresiones matemáticas se debe respetar obligatoriamente las reglas sintácticas del software MATLAB, puesto que sólo de esta manera se puede obtener una respuesta satisfactoria.

BIBLIOGRAFÍA

Norman S. Nise. (2006). “Sistemas de Control para Ingeniería”, Tercera Edición. México: Editorial Continental. Pág. 44,49,50,51,59.

Bioingenieria.edu.ar. “Guía de Usuario Básico para Matlab”. (2013). Disponible en http://www.bioingenieria.edu.ar/academica/catedras/control/archivos/material/Anexos/apunte%20matlab%20parte1%20y%202.pdf

Wikipedia.org. “MATLAB”. (2014). Disponible en http://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB

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'(ch2sp4)Example 2.10'

syms s R1 R2 L C V

A2=[(R1+L*s) V;-L*s 0]A=[(R1+L*s) -L*s;-L*s (L*s+R2+(1/(C*s)))]

I2=det(A2)/det(A);I2=simple(I2);

G=I2/V;

'G(s)'pretty(G)

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