Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ingeniería

Departamento de Ingeniería Mecánica

Nombre Profesor : Roberto Santander. Nombre Alumno : Víctor Sepúlveda. Asignatura : Transferencia de Calor. Fecha entrega : 26/08/2013

Resumen

En presentes informe está enfocado en el comportamiento de los fluidos dentro de ductos, es decir, en “flujo interno”, que corresponde a un fluido confinado por una superficie que permite que la capa límite cinética logre ser independiente a lo largo del ducto. Además de considerar los efectos hidrodinámicos de la velocidad en flujos internos y del comportamiento de la capa límite, se considerarán las variaciones de temperatura del fluido en la dirección del flujo, para luego realizar correlaciones para obtener el coeficiente de transferencia de calor por convección dependiendo de las condiciones del flujo interno.

Los problemas presentes en este trabajo, será el determinar el perfil cinético en un

tubo de forma analítica para luego comparar con el método numérico, facilitado por el software Comsol. Además se analizaran los efectos hidrodinámicos y térmicos en tubos el que estará sometido a un flujo de calor constante en su superficie y posterior a eso se repetirá con una temperatura impuesta en la superficie, para ambos caso se realizara la comparación entre las soluciones por los dos métodos antes señalados.

Posterior a esto se obtendrá el perfil de velocidad del primer caso, pero esta vez

imponiendo un perfil de temperatura al software Comsol, comparando ambas soluciones. Finalmente se resolverá un problema de ingeniería para aplicar los conocimientos

obtenidos en el análisis de los casos anteriores. Objetivos Objetivos Específicos

Determinar el perfil de velocidades en ductos, caso laminar y comparar entre caso analítico y numérico.

Solución térmica de un flujo en ductos para temperatura prescrita y calor prescrito

en superficie del ducto, caso laminar y comparar con solución analítica.

Conocido el campo de velocidades imponer en Comsol sin que se resuelva la ecuación de Navier-Stoke.

Establecer una aplicación de ingeniería.

Desarrollo Perfil de velocidad flujo interno

Para analizar flujo interno en ductos (flujo de Pouseuille), se obtendrá el perfil de velocidades que forma el agua a cierta temperatura y velocidad al pasar dentro de un tubo. Datos Fluido Agua a 25°C V=0.02 [m/s] μ= 0.895*10^(-3) [Pa*s] ρ= 997.1 [Kg/m^3] Datos Tubo R = 0.025 [m] L = (Dependerá del número de Reynolds, indicando la distancia a la cual el perfil se

encuentra totalmente desarrollado.) Ecuación Gobernantes del problema Para lograr el análisis de este problema se necesita que se cumplan dos ecuaciones. La ecuación de continuidad y la ecuación de Navier- Stoke. Como se trata de un tubo lo más conveniente es utilizar dichas ecuaciones en coordenadas cilíndricas. Continuidad Navier- Stoke

Supuestos del problema

Axisimetría

Perfil desarrollado en la direccion z Esto implica que la velocidad del flujo en la direccion radial es despreciable

Fluido Newtoniano

Flujo incompresible y laminar

Régimen Estacionario

Caso Bidimensional

Fuerza másica despreciable

Propiedades del fluido constantes Como la velocidad es en dirección Z utilizamos la ecuación de N-S (z) Por lo tanto nos queda

ó

(

(

))

Como el gradiente de presión axial es independiente de r, integrando dos veces nos queda

( ) (

) (

) (

) ( )

Para determinar las constantes de integración aplicamos las condiciones de borde del problema

( ) ( )

Por lo tanto nos queda

( ) (

) (

) ( (

)

)

Determinando la velocidad media del fluido que estará en función de la diferencia

de presión, al reemplazarla en la ecuación anterior podemos determinar el perfil de velocidad en función del radio y la velocidad media es:

( ) ( (

)

)

Solución Analítica Para un flujo laminar Reynolds < 2300

Solución Software Comsol Pasos para la simulación del flujo de Poiseuille 1.- 2.- 3.- 4.- Selección de geometría y material

(En la imagen se muestra solo una parte de del cilindro debido a que el largo no permite mostrar con claridad la región que será revolucionada con respecto a eje z)

5.- Condiciones de Frontera y generación de la Malla

Propiedades del fluido Se determina la temperatura a la cual entra el fluido.

Simetría axial Se determina el eje en donde va a revolucionar la geometría (línea en rojo).

Pared Indica la condición de pared, de no deslizamiento (línea en azul vertical).

Entrada y Salida Entrada del flujo (línea horizontal inferior azul) y Salida del flujo (línea horizontal superior azul).

Malla 1 Se utilizaron elementos triangulares refinándola en la pared que posee la condición de no deslizamiento.

Velocidad del flujo en la mitad inferior del tubo con respecto al largo

Salida del flujo donde se ve que el Perfil de velocidad está desarrollado

Flujo en la mitad del ducto donde el perfil de velocidad es parcialmente desarrollado

Flujo en la entrada donde se nota claramente el comienzo de la capa limite cinética y el perfil comenzando con el desarrollo

Gráfica lineal del perfil desarrollado de la velocidad del flujo

(Perfil de velocidad simétrico con respecto a al eje de simetría (z))

Este perfil es analizado a la salida del tubo (3 metros) ya que, con los cálculos analíticos se determinó que la longitud hidrodinámica (perfil desarrollado) se encuentra a los 2.875 metros.

Refinamiento de la Malla

Fina Normal Gruesa

Perfil de velocidad según el refinamiento de la malla

Comparación Solución Analítica y Numérica

Para el mismo caso anterior se obtendrá la solución térmica dentro del tubo para un flujo de calor constante en la Superficie.

Datos Agua a 25°C μ = 0.985*10^-3 [Pa*s] ρ = 997.1 [kg/m^3] Cp = 4.18 [kJ/kg*K] k.h2o = 0.58 [W/m*K] T = 298[K] V = 0.02 [m/s] h = 50.576 [W/m^2*K] Flujo de Calor = 500 [W/m^2] Datos tubo R =0.025 [m] L = Depende del largo en el que el perfil se encuentre desarrollado.

Ecuación Gobernante

(

(

))

Aplicando las condiciones de un perfil térmico completamente desarrollado y las condiciones de contorno obtenemos

Para este caso (flujo de calor constante) el comportamiento de la temperatura media está dada por

( ) (( ) ( ))

Y la temperatura como no es independiente de x se determina de la siguiente manera

( ) ( )

Solución Analítica (mathcad) Se obtiene el perfil térmico en función del radio para el caso en que se aplica flujo de calor constante en la superficie.

Temperatura media y superficial a lo largo del tubo Solución Software Comsol Como en esta ocasión se requiere del análisis térmico necesitamos agregar al módulo de flujo laminar el de transferencia de calor en fluidos. 1.- 2.- 3.- 4.- El fluido (agua) utilizado es el mismo que el caso anterior y la geometría solo variará en el largo debido a que el perfil térmico se desarrolla completamente una distancia diferente que el perfil cinético.

5.- Como se necesita relacionar el módulo de flujo laminar con la transferencia de calor se modifica las entradas del modelo (Temperatura [ht/fluid1]). Además se repiten las mismas condiciones de borde del problema cinético 6.- En el módulo de transferencia de calor se aplican las condiciones de borde correspondientes.

Transferencia de calor en fluidos

Se modifica la opción para que la transferencia sea en fluidos y no es sólido. Además se modifica la entrada para enlazar los dos módulos (flujo laminar y transferencia en fluidos).

Simetría axial

Se selecciona el eje z como eje de simetría para que la geometría revolucione, y forme el cilindro completo.

Temperatura 1

Se establece la temperatura con la que entrara el fluido.

Flujo de calor

Se aplica condición de flujo constante en la superficie.

Temperatura del tubo con respecto al largo El perfil en la parte final del tubo se encuentra completamente desarrollado, ya que se calculó en la parte analítica el largo térmico en el que el perfil es independiente de la distancia. Zona media del tubo en donde se ve claramente como la capa limite térmica aumenta a medida que incrementa la distancia. En la entrada del tubo se nota como el la capa limite térmica se demora mucho más en desarrollarse que la cinética, debido a que el numero adimensional de Prandtl es mayor que la unidad.

Gráfica lineal del perfil desarrollado de Temperatura con flujo constante en la superficie.

Comparación Solución Analítica y Numérica

Temperatura superficial constante Para este caso obtener el perfil de temperatura completamente desarrollado mediante la solución analítica requiere de un proceso iterativo, que implica hacer aproximaciones sucesivas al perfil de temperatura. Sin embargo se logró determinar la variación de temperatura media y superficial a lo largo de la tubería.

Solución Mediante Comsol (Temperatura superficial constante) Como el desarrollo de esta simulación difiere del caso anterior (flujo de calor constante) solo en la condición de borde, no es necesario detallar los paso seguidos. Distribución de temperatura dentro dela tubería. Gráfica Lineal del perfil de temperatura desarrollado con respecto al radio del tubo

Campo de velocidades Impuesto en Comsol Para este caso como el fluido y sus propiedades se mantienen constantes y la geometria del tubo tambien con respecto al primer caso (perfil de velocidad cinetico), se ingresa el perfil de velocidades obtenido en la solucion analítica en el modulo de flujo laminar, es decir , en vez de indicar la velocidad de entrada y dejar que el programa resuelva las ecuaciones gobernantes (Navier-Stoke) se le impone el perfil de velocidades solucionado previamente de forma analitica. Perfil de velocidades desarrollado obtenidos de la solucion analítica V = 0.02 [m/s] R = 0.025 [m] Gráfica comparativa del perfil de velocidad desarrollado impuesto en el software y el perfil la solución analítica.

Aplicación de Ingeniería

Aire atmosférico entra a la sección caliente de un tubo circular con un flujo de 0.005 [kg/s] y una temperatura de 20°C. El tubo es de diámetro D= 5[mm], y existen condiciones completamente desarrollado con h = 25[W/m^2*K] sobre toda la longitud L= 3[m]. Si existe un flujo de calor constante en la superficie ¿cuánto será la transferencia total de calor? Y ¿Cuál será la temperatura media del aire que sale del tubo, y la temperatura superficial al inicio y termino del tubo?

Análisis de Resultados y Conclusiones

Perfil de velocidad Cinemático Identificando el fenómeno se determinó que las ecuaciones gobernantes del problema correspondían a las ecuaciones de Navier-stokes, junto con la ecuación de continuidad. Gracias a estas relaciones, y aplicando supuestos y condiciones de borde se logró determinar el perfil de velocidad dentro del ducto de forma analítica.

Uno de los primeros cálculos que se realizaron fueron el numero adimensional de Reynolds, para determinar si el flujo era laminar y luego la longitud hidrodinámica que corresponde a la distancia a lo largo del tubo en que el perfil cinético está completamente desarrollado. En base a esto se definió el largo de la tubería para obtener los valores en esa zona (desarrollada). Al obtener la solución mediante el software se nota claramente como comienza en la entrada del tubo a formarse la capa limite cinética, llegando a un punto en que se vuelve constante (perfil desarrollado).

Comparando ambas soluciones se puede concluir que el error es insignificante para efectos de ingeniería, y más aun demostrando que la solución numérica es independiente del mallado, ya que, se simuló el problema con tres mallas distintas llegando al mismo resultado. Perfil Térmico (Flujo de calor constante) En este caso se obtendrán resultados de la relación hidrodinámica del problema anterior y térmico debido a la aplicación de un flujo de calor constante a lo largo de la tubería. Como en el caso anterior se necesitaba definir una velocidad media, este requiere de una temperatura media, debido a que, tanto esta temperatura como la temperatura superficial varían con respecto al largo.

Como se observó en los resultados obtenidos analíticamente de las variaciones de las temperaturas media y superficial, estas se comportan de forma lineal, indicando que se encuentran en la zona del tubo en que el perfil de temperatura es independiente del largo (perfil completamente desarrollado).

Al obtener un número Pr mayor a uno, indica que el perfil térmico desarrollado se

alcanzará mucho después del perfil cinético, esto es confirmado al realizar el cálculo de la longitud térmica que corresponde aproximadamente a 18 metros , mucho mayor al largo hidrodinámico que solo es de 3 metros. Además si se observa la distribución de temperatura obtenida por el software se puede observar que a la entrada del tubo en los primeros metros la capa límite no se nota, debido a que es muy fina.

Finalmente al comparar el perfil térmico obtenido por ambas métodos se puede

observar un error muy pequeño del orden de los 0.5 °C de diferencia, que para la mayoría de las aplicaciones ingenieriles es despreciable.

Para este caso el mallado no se logró refinar debido a que el computador utilizado

para realizar estos cálculos al momento de refinar no se obtenían ningún resultado, llegando a un error del software. (Solo entregaba resultados con malla gruesa).

Perfil Temperatura (Temperatura constante) Para este caso la solución analítica no se llevó a cabo debido a que el problema se tornó de una mayor complejidad para obtener el perfil térmico, ya que la temperatura al aplicar las condiciones y supuestos pertinentes quedaba en función de si misma, en donde se requería de una iteración para llegar a los valores esperados. Sin embargo se pudo obtener el comportamiento de la temperatura media y superficial a lo largo del tubo. Como el caso analizado es con la condición de contorno de una temperatura superficial constante esta no depende de x, formando una línea recta paralela al eje x. La temperatura media se comportaba exponencialmente en donde la mayor diferencia con la temperatura antes mencionada corresponde al inicio de la tubería. La temperatura media alcanzaba su temperatura máxima al final de la tubería sin sobrepasar la temperatura superficial. Como el software utilizado trabaja con métodos numéricos no tuvo mayor problema en desarrollar este caso obteniendo la curva parabólica característica del perfil de temperatura. Perfil de velocidad (Perfil impuesto al software) El software utilizado es muy amigable con el usuario, porque te da a elegir dentro de muchas opciones si quieres que te calcule el perfil de velocidad con solo indicar la velocidad de entrada del flujo (resolver Navier-Stoke), o más bien para caso especiales calcular de forma analítica el perfil e imponerlo en el software.

Para el primer caso en vez de dejar que el Comsol resuelva todo, calculamos el mismo perfil de velocidades que debería entregar la solución numérica, para luego ingresarla en el software y comparar ambas soluciones. Los resultados indicaron un error insignificante al momento de graficar los valores obtenidos de las dos formas. Aplicación de Ingeniería En este último problema se cambió el fluido de trabajo a aire resolviendo una aplicación sencilla en donde se determinó el flujo total de calor que se transmite en todo el manto de la tubería, además de la temperatura media final y las temperaturas superficiales a la entrada y salida del tubo. En la gráfica obtenida se puede observar como varían linealmente ambas temperaturas a lo largo de la tubería.

Finalmente, una vez mas no se puede dejar de lado la importancia que tiene el software utilizado al momento de verificar resultados analíticos para cálculos de la ingeniería, ya que al momento de realizar cálculos muy complejos , que no se pueden resolver fácilmente de manera analítica, no tiene mayor problema en entregar los resultados esperados. Más aun el tiempo aplicado para resolverlos es mucho menor, ya que se trata de un software inteligente que funciona en base a elementos finitos (Métodos numéricos). Pero para que el programa funcione en sus óptimas condiciones requiere de un buen usuario capacitado para problemas de ingeniería y además de un buen computador que soporte el trabajo que le entrega el Software COMSOL.

Bibliografía

F. Impropera, “Fundamentos de la transferencia de calor”.

Cengel, “Transferencia de Calor”.

Materia Cátedra “Transferencia de Calor”.