Ing. De Minas

Momentos de Inercia

10.1 Introducción

En el análisis de esfuerzos y deformaciones de vigas y árboles (ejes que trabajan a torsión) se encuentran frecuentemente expresiones de la forma

A

dAx2

Donde dA representa un elemento de superficie y x la distancia de este elemento a un cierto eje contenido en el plano de la superficie o perpendicular a él. Son siempre positivos y sus dimensiones serán L4 (unidades: mm4 o cm4).

En el análisis del movimiento de rotación de un cuerpo rígido, aparecen expresiones de la forma

Momento segundo de la superficie

m

dmr 2

Donde dm representa un elemento de masa y r la distancia de este elemento a un eje. Son siempre positivos y sus dimensiones serán ML2 (unidades: kg.m2).

Momento de inercia (de masa)

10.2 Momento segundo de una superficie plana

El momento segundo de una superficie respecto a un eje (indicado con subíndices) se representará por el símbolo I cuando el eje esté en el plano de la superficie y por J cuando el eje sea perpendicular a ella.

Los momentos segundos rectangulares de la superficie A respecto a los ejes x e y del plano de la superficie son:

dAxIedAyIA

y

A

x 22

Análogamente, el momento segundo polar de la superficie A respecto al eje z, que es perpendicular al plano de la superficie en el origen O del sistema de coordenadas xy, es

yx

AAAA

z IIdAydAxdAyxdArJ 22222

10.2.1 Teorema de Steiner para momentos segundos de superficie

Cuando se haya determinado el momento segundo de una superficie respecto a un eje dado, se podrá obtener el correspondiente a un eje paralelo a éste aplicando el Teorema de Steiner. Demostración: Si uno de los ejes pasa por el Centroide de la

superficie, el momento segundo de superficie respecto a un eje x´ paralelo a él es

AAAA

x dAydAyydAydAyyI 222

´ 2

el segundo término es nulo ya que se trata del momento primero de superficie respecto al eje x que pasa por el centroide de la superficie, quedando:

AyII xCx2

´ donde IxC es el momento segundo de la superficie respecto al eje x que pasa por el centroide e y es la separación de los ejes x y x´.

Por tanto, el Teorema de Steiner dice que:El momento segundo de una superficie respecto a un eje cualquiera contenido en el plano de la superficie es igual al momento segundo de la superficie respecto a un eje paralelo que pase por el Centroide de la superficie más el producto del área de ésta por el cuadrado de la separación de los ejes.

Este teorema solo es válido para pasar de un eje a uno paralelo centroidal o, al revés, para pasar de un eje centroidal a otro paralelo a él.

análogamente, se puede demostrar que AdJAyxJJ zCzCz222

´

donde JzC es el momento segundo polar de la superficie respecto al eje z que pasa por el centroide y d es la distancia que separa los ejes z y z´.

10.2.2 Radio de giro de una superficie

El momento segundo de una superficie (al tener las dimensiones de la cuarta potencia de una longitud) se podrá expresar como producto del área A de la superficie por el cuadrado de una longitud k llamada radio de giro. Así pues,

A

Jk

A

Ik

A

Ik

kAdArJkAdAxIkAdAyI

zz

yy

xx

A

zz

A

yy

A

xx

222222

Y como 222yxzyxz kkkIIJ

Al igual que cuando vimos el Teorema de Steiner para momentos segundos de superficie, existirá una relación correspondiente entre los radios de giro de la superficie respecto a dos ejes paralelos, uno de los cuales pase por el centroide de la superficie. 222222

´222

´222

´ dkyxkkxkkykk zCzCzyCyxCx

10.2.3 Momentos segundos de superficiescompuestas

Frecuentemente, en la práctica, la superficie A es irregular pero se puede descomponer en superficies sencillas A1, A2, A3, …, An para las cuales las integrales ya estén calculadas y tabuladas. Así, el momento segundo de la superficie compuesta, respecto a un eje es igual a la suma de los momentos segundos respecto a dicho eje de las distintas partes.

Los momentos segundos de una superficie respecto a cualquier sistema de ejes de coordenadas x, y, z se han definido en la forma:

dArJdAxIdAyIA

z

A

y

A

x 222

n

n

xxx

AAAA

x IIIdAydAydAydAyI ......21

21

2222

Cuando se quite una superficie (agujero) de una superficie mayor, su momento segundo deberá restarse del momento segundo de dicha superficie mayor para obtener el momento segundo resultante.

Momentos segundos de superficies planas2/2

Propiedades de algunasformas de perfiles

Exemplos de Momento de Inércia

Aro ou casca cilíndrica 2MRICM

Cilindro sólido ou disco 2

21 MRICM

Cilindro oco 2

22

121 RRMICM

Placa retangular

22121 baMICM

Longa Haste fina com eixo de rotação que passa pelo centro.

2121 MLICM

Esfera sólida

252 MRICM

Esfera oca2

32 MRICM

231 MLI

Longa haste fina com o eixo de rotação que

passa pelo fim

PROBLEMA 10.6

PROBLEMA 10.7