INSTITUCIÓN EDUCATIVA DULCE NOMBRE DE JESÚSsupermatematicas2011.weebly.com/uploads/9/5/0/5/9505642/... · Resolver gráficamente el sistema de ecuaciones ... (-11) – 3y = 2→

INSTITUCIÓN EDUCATIVA

DULCE NOMBRE DE JESÚS RACUPERACION ESPECIAL DE MATEMATICAS III PERIODO

ESP: MARIA BEATRIZ BRIEVA PAYARES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, PROBLEMAS DE

APLICACIÓN, NUMEROS COMPLEJOS Y ECUACION

CUADRATICA.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Un conjunto de ecuaciones lineales recibe el nombre de

sistema de ecuaciones lineales. La solución de este

sistema es el conjunto de las parejas ordenadas de

números, que satisfacen las ecuaciones del sistema.

METODOS DE SOLUCIÓN DE UN SISTEMA

DE ECUACIONES LINEALES

Existen diferentes tipos de métodos para solucionar un sistema de ecuaciones lineales, tanto gráfico como algebraico, dentro de los cuales estudiaremos:

1. Método gráfico. 2. Método de eliminación. 3. Método de sustitución 4. Método de igualación. 5. Regla de Cramer.

Veamos como se trabaja cada uno de ellos:

1. MÉTODO GRÁFICO Consiste en graficar en un mismo plano cartesiano las dos ecuaciones del sistema, dando como solución el punto de intersección de estas.

NOTA: En caso de que las rectas sean paralelas; es

decir, no se corten en ningún punto, se dice que el sistema no tiene solución, y si las rectas coinciden, se dice que el sistema tiene soluciones infinitas.

Por ejemplo:

Resolver gráficamente el sistema de ecuaciones lineales:

3

2 3 5

x y

x y

Sol: primero encontremos dos puntos de la 1ra recta para poder graficarla en el plano; después se hace de la misma manera para la otra recta.

Veamos:

Si x = 0 entonces 3 3x y y . Luego el primer

punto es: (0, 3).

Si y = 0 entonces: 3 3x y x . Luego el

segundo punto será: (3, 0)

Si x = 0 entonces: 5

2 3 53

x y y . Luego el

primer punto será: (0, 5/3)

Si y = 0 entonces 5

2 3 52

x y x . Luego el

segundo punto será: (5/2, 0). Por tanto, el sistema quedaría graficado así: Y la solución sería el punto (4, -1). Ejemplo 2:

Resuelve gráficamente: 4 2

4 5

x y

x y

Sol:

Si x = 0, entonces: 4 2 2x y y Así, el primer

punto sería: (0, -2)

Si y = 0, entonces: 1

4 2 4 22

x y x x Así

el segundo punto sería: (1/2, 0).

Ahora, si x = 0, entonces 4 5 5x y y Así el

primer punto será: (0, -5)


4 5 4 54

x y x x Así

el segundo punto será: (5/4, 0). Por tanto, el sistema quedaría graficado así: Como las rectas son paralelas, se dice que el sistema no tiene solución. Ejemplo 3: soluciona gráficamente el siguiente sistema:




4 6 3

8 12 6

x y

x y

Sol: Si x = 0, entonces:

14 6 3 6 3

2x y y y

Así, el primer

punto sería: (0, -1/2)


4 6 3 4 34

x y x x Así

el segundo punto sería: (3/4, 0). Ahora, si x = 0, entonces:

18 12 6 12 6

2x y y y

Así el primer

punto será: (0, -1/2)


8 12 6 8 64

x y x x

Así el segundo punto será: (3/4, 0). Por tanto, el sistema quedaría graficado así:

En este caso, como las rectas coinciden, podemos decir que el sistema posee infinitas soluciones.

ACTIVIDAD Nº 1 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales

aplicando el método gráfico.

1. 1

2 4 2

x y

x y

4.

4 5 5

2 9

x y

x y

2. 2 5 6

4 10 8

x y

x y

5.

3 6

3 5

x y

x y

3. 5 7

2 3

y x

x y

2. MÉTODO DE ELIMINACIÓN El método consiste en eliminar una de las variables x o y

para obtener una ecuación con una sola variable. Esto

se logra mediante las operaciones de adición,

sustracción y multiplicación, para que una de las

variables quede con igual coeficiente numérico y signo

contrario. Veamos con un ejemplo:

Resolver por el método de eliminación el siguiente

sistema:

3

2 3 5

x y

x y

Primero que todo multiplicamos la Ec 1 por 2 y la Ec 2

por -1, para así obtener variables con igual coeficiente

pero de signo distinto. Luego:

Ec1 x 2: 2x + 2y = 6

Ec2 x -1: -2x – 3y = -5

-y = 1 → Y = -1

Luego se remplaza el valor de Y = -1, en cualquiera de

las dos ecuaciones anteriores (la 1 o la 2) así:

X + (-1) = 3 → X = 3 + 1 = 4 → X = 4

Ejemplo 2:

Soluciona el siguiente sistema:

3 4 1

2 3 2

x y

x y

Ec1 x 3: 9x + 12y = -3

Ec2 x -4: -8x – 12y = -8

X = -11

Luego remplazo el valor de X = -11 en Ec2 así:

2(-11) – 3y = 2→ -3y = 2 + 22 → Y = -8

Veamos ahora las aplicaciones de los sistemas de

ecuaciones lineales en la solución de problemas de la

vida cotidiana.




Por ejemplo:

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

P1: La suma de dos números es 82 y 1/3 de su diferencia es 4;

hallar los números.

SOL: primero se lleva el problema al lenguaje

matemático, es decir, se plantean el sistema de

ecuaciones lineales definiendo de antemano las

variables que van a intervenir, así:

Sean: X el número mayor

Y el número menor.

Por tanto el sistema quedaría así:

82

1( ) 4

3

x y

x y

Reorganizando las dos ecuaciones tenemos lo

siguiente:

82

12

x y

x y

Utilizando el método de eliminación

obtenemos:

82

4

2 94 47

x y

x y

x X

Luego remplazando el valor de X en Ec1 tenemos:

47 + Y = 82 → Y = 35

Por tanto los números buscados son: 47 y 35

P2: El perímetro de un cuarto rectangular es 18m, y 4 veces el

largo equivale a 5 veces el ancho. Hallar las dimensiones del

cuarto.

Sean: L = largo gel cuarto

A = ancho del cuarto. Luego:

El perímetro: 2L + 2A = 18

4veces el largo es 5 veces el ancho: 4L = 5A

Por tanto se obtiene el siguiente sistema:

2 2 18

4 5 0

L A

L A

Aplicamos el método de eliminación:

Ec1 x 5: 10L + 10A = 90

Ec2 x 2: 8L – 10A = 0

18L = 90 → L = 5

Ahora remplazamos a L = 5 en Ec2:

4(5) = 5A → A = 4

Finalmente el cuarto tiene 5m de largo y 4m de ancho.

P3: Una persona tiene 5 veces la edad de su hijo. En 5 años

más tendrá sólo el triple. ¿Qué edad tiene el hijo actualmente?

Sol:

La persona tiene 5 veces la edad de su hijo: P = 5H

Dentro de 5 años tendrá solo el triple: P + 5 = 3(H +5)

Por tanto se obtiene el siguiente sistema:

5 0

3 10

P H

P H

LUEGO:

Ec1 x -1: -P + 5H = 0

Ec2 x 1: P – 3H = 10

2H = 10 → H = 5

Finalmente el hijo tiene 5 años.

P4: Hace 7 años la edad de A era el doble de la edad de B y

dentro de 9 años será los 6/5 de la edad de B. Halla las edades

actuales.

Hace 7 años: A – 7 = 2(B – 7)

Dentro de 9 años: A + 9 = 6/5(B + 9)

Por lo que obtenemos el siguiente sistema:

2 7

5 6 9

A B

A B

Aplicamos el método de eliminación:

Ec1 x -5: -5A + 10B = 35

Ec2 x 1: 5A – 6B = 9

4B = 44 → B = 11

Luego, remplazo B = 11 en Ec1: A – 2(11) = -7

A = -7 + 22

A = 15

Finalmente las edades actuales son: 15 años para A

y 11 años para B

L

A




P5: Hace 4 años Martha tenía 7/10 de la edad de Jorge, y

dentro de 6 años será los 4/5 de la edad de Jorge. ¿Qué edad

tiene cada uno?

Sol: sean: M la edad de Martha y J la edad de Jorge.

Hace 4 años: M – 4 = 7/10(J – 4)

Dentro de 6 años: M + 6 = 4/5(J + 6)

De lo anterior se obtiene el siguiente sistema:

10 7 12

5 4 6

M J

M J

Aplicando el método de eliminación tenemos:

Ec1 x -1: -10M + 7J = -12

Ec2 x 2: 10M – 8J = -12

-J = -24 → J = 24

Remplazo J = 24 en Ec1: 10M – 7(24)= 12

10M = 12 + 168

10M = 180 → M = 18

Finalmente, Martha tiene 18 años y Jorge tiene 24 años.

ACTIVIDAD Nº 2

P1: la edad actual de Alberto es los 9/5 de la edad de su

hermana y dentro de 4 años la edad de su hermana será los 3/5

de la suya. Halla las edades actuales.

P2: Dos ángulos suplementarios son tales que la medida del

primero equivale al doble del segundo aumentada en 30º,

¿cuál es la medida de cada ángulo?

3. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Este método consiste en despejar el valor de una variable cualquiera en función de la otra, en una de las ecuaciones dadas originalmente. Luego, se sustituye en la otra ecuación. Veamos un ejemplo: Ejemplo 1: solucionar el siguiente sistema

3

2 3 5

x y

x y

Despejamos a X en la Ec1 así: X = 3 – Y. ahora

sustituimos a X en la Ec2 así:

2(3 – Y) + 3Y = 5 → 6 – 2Y + 3Y = 5 → 6 +Y = 5 →

Y = -1

Ahora, X = 3 – (-1) → X = 4

Como vemos el resultado es el mismo que cuando se

soluciono este mismo sistema por los métodos gráfico y

de eliminación.

Ejemplo 2: soluciona el sistema:

4 5 20

5 6 14

x y

x y

Despejamos a Y en la Ec1 así: 4 20

5

xy

Sustituimos en la Ec2:

4 205 6 14

5

4 206 5 14

5

6( 4 20) 5( 5 14)

24 25 70 120 50

xx

xx

x x

x x x

Ahora remplazo a X=-50 en Y así:

4( 50) 20 22044

5 5y y

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

P1: Hace 10 años la edad de Juan era el doble de la edad de

Teresa; dentro de 10 años la edad de Teresa será 3/4 de la edad

de Juan. Halla las edades actuales.

Sol: sean: J la edad de Juan y T la edad de Teresa

Hace 10 años: J – 10 = 2(T – 10)

Dentro de 10 años: T + 10 = ¾(J+10)

De lo anterior obtenemos el siguiente sistema:

2 10

4 3 10

T J

T J

Aplicamos el método de sustitución. Despejamos J en

Ec1 así:

J = 2T – 10

Sustituimos en la Ec2: 4T – 3(2T – 10) = -10

4T – 6T + 30 = -10




-2T = -10 – 30

T = -40/-2 → T = 20

Luego: J = 2(20) – 10 → J = 30

Por tanto, la edad actual de Juan es 30 años y la de

Teresa es 20 años.

P2: la edad de Carlos excede en 13 años a la edad de María, y

el duplo de la edad de María excede en 29 años a la edad de

Carlos. Halla ambas edades.

Sol:

C = M + 13

2M = C + 29

Sustituimos a C en la Ec2 así: 2M = (M + 13) + 29

2M = M + 42

M = 42

Remplazo M en: C = M + 13 → C = 42 + 13 → C = 55

Por tanto, la edad de María es 42 años y la edad de

Carlos 55 años.

P3: Dos ángulos complementarios son tales que la medida del

primero es el doble del segundo, ¿Cuál es la medida de cada

ángulo?

Sol: sean: A el ángulo menor y B el ángulo mayor

Ángulos complementarios: A + B = 90

A = 2B

Sustituimos A en Ec1 así:

A + B = 90 → 2B + B = 90 → 3B = 90 → B = 30

Luego, A = 2(30) → A = 60

P4: A cierta función de cine asistieron 700 personas entre

niños y adultos. Cada adulto pagó $400 y cada niño $150. Si la

recaudación por entradas fue de $180.000, ¿cuántos adultos y

cuantos niños asistieron al cine?

Sol: sean: N los niños y A los adultos.

Total de personas: N + A = 700

Total del recaudo: 150N + 400A = 180.000

Despejamos N en Ec1 así: N = 700 – A

Sustituimos en Ec2 así:

150(700 – A) + 400A = 180.000

105.000 – 150A + 400A = 180.000

250A = 180.000 – 105.000

250A = 75.000 → 75000

300250

A A

Por tanto: N = 700 – 300 → N = 400

Finalmente, al cine ingresaron 400 niños y 300 adultos.

P5: La suma de dos números es 190 y 9

1 de su diferencia es

2. Hallar los números.

Sol: sean X el número mayor y Y el número menor

Luego el sistema sería:

190

1( ) 2

9

x y

x y

Despejo X en Ec1 así: X = 190 – Y.

Sustituimos en Ec2:

1

190 29

1(190 2 ) 18

190 18 2

2 172 86

y y

y

y

y y

Luego: X = 190 – 86 → X = 104

Por tanto los números son: 104 y 86

ACTIVIDAD Nº3

Resuelve los siguientes problemas de aplicación

utilizando el método de sustitución.

1. Un cuarto de la suma de dos números es 45 y

un tercio de su diferencia es 4. Hallar los

números.

2. Los 10

3 de la suma de dos números exceden en

6 a 39 y los 65 de su diferencia son 1 menos

que 26. Hallar los números.

3. Dos números están en la relación de 5 a 6. si el

menor se aumenta en 2 y el mayor se disminuye

en 6 la relación es de 9 a 8. Hallar los números.

4. Si el mayor de dos números se divide por el

menor, el cociente es 2 y el residuo 23, y si 3




veces el menor se divide por el mayor, el

cociente es 1 y el residuo 9. Hallar los números.

5. Dividir 52 en dos partes tales que los 74 de la

parte mayor equivalgan a los 32 de la menor.

4. MÉTODO DE IGUALACIÓN Este método consiste en despejar en ambas ecuaciones la misma variable e igualar sus valores, para así obtener una ecuación en una sola variable. Por ejemplo: resolver

8 2 20

3 2 13

x y

x y

Despejamos a X en cada ecuación:

En la Ec1 tenemos: 20 2

8

yx


3

yx

Igualamos ambos resultados así:

20 2 13 23(20 2 ) 8(13 2 )

8 3

60 6 104 16 6 16 104 60

164 8222 164

22 11

y yy y

y y y y

y y y

Remplazo Y en el despeje de la Ec2 así:

82 164 2113 2 137 711 11 11

3 3 3 11 11x x

Ejemplo 2: soluciona el siguiente sistema utilizando el

método de igualación.

4 5 5

2 9

x y

x y

Despejamos Y en ambas ecuaciones:


5

xy

En la Ec2 tenemos: 9 2y x

Igualamos:

5 49 2 5 4 5(9 2 )

5

xx x x

5 4 45 10 4 10 45 5

50 2514 50

14 7

x x x x

x x x

Luego 25 50 13 13

9 2 97 7 7 7

y y

Veamos la solución del siguiente problema:

La edad de Mónica multiplicada por 3/7 y aumentada en

los 3/8 de la edad de Beatriz suman 15 años; y los 2/3

de la edad de Mónica se disminuye en ¾ de la edad de

Beatriz equivale a 2 años. Halla ambas edades.

SOL: el problema anterior nos lleva al siguiente sistema

de ecuaciones lineales.

3 3M B 15 24M 21B 8407 82 3M B 2 8M 9B 243 4

Despejamos M de cada ecuación:

840 21BM

24

y 24 9B

M8

Igualamos: 840 21B 24 9B

24 8

6720 168B 576 216B

168B 216B 576 6720384B 6144

6144B B 16

384

Luego la edad de Mónica será:

24 9(16) 168M 21

8 8




Por tanto las edades de Mónica y Beatriz son: 21 y 16

años respectivamente.

ACTIVIDAD Nº4

Resuelve por el método de igualación los siguientes

ejercicios:

1. 4x 6y 53x 2y 7

2. 9x 15y 202x 3y 6

3. 5x 3y 16x 2y 3

5. REGLA DE CRAMER Antes de comenzar a solucionar sistemas de ecuaciones lineales aplicando la regla de Cramer, es importante conocer el concepto de Determinante. Veamos:

DETERMINANTES

Sean a, b, c y d números reales cualesquiera. Una matriz cuadrada de orden 2x2 es una estructura que se

representa por: a c

Ab d

.

El determinante de la matriz A se define como:

a c

Det A (a d ) (b c)b d

Por ejemplo: Hallar el determinante de la matriz:

3 7A

2 5

3 7

Det A (3 5) ( 2 7) 15 ( 14)2 5

15 1429

Una de las aplicaciones de los determinantes es la solución de sistemas de ecuaciones. El procedimiento utilizado se le conoce con el nombre de REGLA DE CRAMER.

REGLA DE CRAMER

Consideremos el sistema 1 1 1

2 2 2

a x by c

a x b y c

siendo a1,

b1, c1, a2, b2 y c2, números reales. El desarrollo de este sistema por medio de la regla de Cramer es el siguiente: PASO1: Hallar el determinante del sistema, esto es, la solución de la matriz formada por los coeficientes de las variables en las dos ecuaciones:

1 11 2 2 1

2 2

a ba b a b

a b

PASO2: Se halla el valor de X calculando el siguiente cociente:

1 1

1 2 2 12 2

1 2 2 11 1

2 2

c b

c b c bc bX

a b a ba b

a b

NOTA: Para hallar el valor de X, se debe remplazar, en la matriz del numerador, los coeficientes de X por los términos independientes de las ecuaciones. PASO3: Se halla el valor de Y calculando el siguiente cociente:

1 1

2 2 1 2 2 1

1 2 2 11 1

2 2

a ca c a c a c

Ya b a ba b

a b

Por ejemplo: calcular la solución del siguiente sistema:

2x 5y 233x y 9

Veamos la solución: Hallamos el valor de X:

23 59 1 23 1 9 5 23 ( 45)

x 2 5 2 1 3 5 2 ( 15)3 1

23 45 684

2 15 17

Luego: X = 4




Ahora hallemos el valor de Y así:

2 233 9 2 9 3 23 18 69

y 2 5 17 173 1

513

17

Luego, Y = -3 Ejemplo 2: Resuelve el siguiente sistema:

5x 11y 93

2x y 28

Solución:

Hallemos el valor de X:

9 1133 9 2 11288x 5 11 35 2 11832

827 ( 22)815 ( 22)827 14922 1498 8

19115 1912288

Hallamos ahora el valor de Y así:

5 92 2 5 2 2 9

y 1915 11832

810 ( 18)

1918

10 18 28 224191 191 1918 8

ACTIVIDAD Nº5 Aplica la regla de Cramer y resuelve los siguientes ejercicios:

1. 5x 2y 103x y 3

4.

3x 2y 112x 3y 16

2. 6x 11y 98x 3y 23

5. 7x 2y 53x 4y 1

3.

1x 4y 7

39x y 3

6.

85x y 18

3x y 3

NOTA IMPORTANTE:

Además de los ejercicios propuestos en esta guía taller,

también deben repasar los ejercicios vistos en clase

para la evaluación. Ustedes saben que este fue el

periodo más complicado y donde los temas fueron mas

extensos ok.




NÚMEROS IMAGINARIOS Solucionar la ecuación: X

2 + 4 = 0

Veamos: 2 2x 4 0 x 4

x 4

En el conjunto de los números Reales no hay valores que satisfagan esta ecuación, pero se puede seguir el proceso así:

x 4 x 4 1

x 4 1

x 2 1

En este proceso, 2 es la raíz cuadrada de 4.

Ahora 1 es llamada UNIDAD IMAGINARIA y se

representa con la letra i.

Luego la solución de la ecuación dada es: x 2i

Por tanto: Los números que se representan de la forma bi reciben el nombre de CANTIDADES IMAGINARIAS PURAS. En la expresión bi, b representa el valor de la cantidad imaginaria, mientras que i es la unidad imaginaria cuyo

valor es 1 .

Cabe resaltar que con estas cantidades imaginarias se pueden hacer operaciones como se hace en los monomios algebraicos. Por ejemplo:

Sumar: 25 3 4 2 49

25 3 4 2 49

25 1 3 4 1 2 49 1

25 1 3 4 1 2 49 1

5i 3(2)i 2(7)i

5i 6i 14i

3i

Ejemplo 2: consulta como sería: 16 25 = ¿??

POTENCIAS DE i

Antes de estudiar los números complejos y sus operaciones es necesario conocer los valores de las potencias de i. Por ejemplo:

0

1

22

3 2 1

4

i 1

i i

i 1 1

i i i 1 i i

i 1

La pregunta sería ahora, ¿cómo calcular una potencia de i que sea mayor que 4? Veamos un ejemplo: Calcular: i

25 = ¿?

Para resolverlo, basta dividir el exponente de la potencia dada por 4, determinar el residuo y compararlo con los exponentes básicos. Por ejemplo:

25 4 6 y sobra 1. Por lo tanto:

25 1i i i

EJERCICIOS Calcula el valor exacto de las siguientes potencias de i:

78

64

35

123

29

1. i

2. i

3. i

4. i

5. i

Ahora bien los números reales y los números imaginarios son subconjuntos de otro conjunto llamado NÚMEROS COMPLEJOS, el cual denotaremos con la letra C.

NÚMEROS COMPLEJOS

Toda cantidad que se pueda expresar de la forma a + bi se denomina número complejo, a y b son valores reales; a recibe el nombre de parte real, mientras que bi es la parte imaginaria. En otras palabras, un número complejo es aquel que está compuesto por una parte real y una parte imaginaria. Son ejemplos de números complejos: 3 + 2i; -6 - 3i; -7 + 6i, etc… Ahora bien, todo número complejo tiene un conjugado, así como todo real tiene un número opuesto.




Luego se define como expresión CONJUGADA a un número complejo que se diferencia de otro, únicamente, en el signo de la parte imaginaria. Por ejemplo: El complejo: 7 + 3i, tiene como conjugada: 7 – 3i

-3-5i, tiene como conjugada: -3 + 5i

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1: llevar a la forma a + bi el complejo:

7 25

7 25 7 25 1

7 25 1

7 5i

EJERCICIOS Lleva a la forma a + bi:

1. 25 36

2. 1

74

3. 6 3

4. 7

14

5. 20 16

OPERACIONES CON NÚMEROS

COMPLEJOS

A continuación analizaremos la forma de desarrollar

operaciones entre complejos, además de examinar las

propiedades que se cumplen en ellas.

1. ADICIÓN Para sumar números complejos se utiliza la reducción

de términos semejantes; es decir, para sumar números

complejos se suman algebraicamente las partes reales

entre si y de igual forma las partes imaginarias.

Por ejemplo:

Sumar:

(5 + 7i) + (-3 + i) = 5 + (-3) + 7i + i

= 2 + 8i

Ej. 2: (-7 + 2i) + (4 - 3i) = (-7 + 4) + (2i – 3i) = -3 – i

Ej. 3: halla la suma de

7 36con 2 3 25

Sol.

Como vemos, primero hay que transformar los

complejos a la forma a + bi.

7 36 7 36 1 7 6i

2 25 2 3 25 1

2 3 5i

2 15i

Adicionamos las cantidades:

(-7 + 6i) + (-2 - 15i) = -7 – 2 + 6i – 15i = -9 – 9i

EJERCICIOS

Efectúa las siguientes operaciones:

a. 6 3i 5 4i 7 3i

b. 2 1 5 100 2 6i

c. 7 3i 7 3i 7 3i

d. 3 4 4 36 5 4

e. 8i 10 9 12i 4

f. 4 4i 2 9 7

g. 3 7i 6i 8

2. SUSTRACCIÓN

Para hallar la diferencia entre dos números complejos

basta cambiar el signo del sustraendo y reducir entre sí

tanto las partes reales como las partes imaginarias.

Por ejemplo:

Restar 5 – 7i de 4 + i

Sol:

Determinamos cual es el sustraendo y cuál es el

minuendo.

Minuendo: 4 + i

Sustraendo: 5 – 7i. Luego la operación se plantea así:




4 i 5 7i 4 i 5 7i

4 5 i 7i 1 8i

Ejemplo 2:

De 7 – 3i restar su conjugada.

Sol:

(7 – 3i) – (7 + 3i) = 7 – 3i – 7 – 3i = 7 – 7 – 3i – 3i = 0 –

6i

NOTA: todo número complejo tiene un conjugado que

es igual a él, pero con signo contrario en la parte

imaginaria.

EJERCICIOS

Restar:

a. 2 i de 5 i

b. 3 2i de 6 3i

c. 3 4i de 6i

d. 11 i de 3 i

e. 5 de 7 4i

f. De 6 i resta 3 i

g. De 11 4i resta 1 i

h. De 6 resta 4 6i

3. MULTIPLICACIÓN Para multiplicar números complejos:

a. Se desarrolla la operación como si fueran binomios algebraicos.

b. Se reemplazan las potencias de i por sus valores respectivos.

c. Se reducen términos semejantes. Por ejemplo: Desarrollar la siguiente operación:

3 2i 5 4i

Para realizar la operación aplicamos la propiedad distributiva.

2

2

3 2i 5 4i 15 12i 10i 8i

15 2i 8i

15 2i 8 1

15 2i 8

23 2i

Ejemplo 2: multiplicar: 4 3 5 2

Antes de proceder a realizar la multiplicación es necesario llevar los números complejos a la forma a + bi.

Luego:

4 3 4 3i

5 2 5 2i

Por tanto, multiplicaremos:

2

4 3i 5 2i

20 4 2i 5 3i 6i

20 4 2 5 3 i 6 1

20 4 2 5 3 i 6

20 6 4 2 5 3 i

EJERCICIOS

Efectúa los siguientes productos

a. 1 7i 1 7i

b. 3i 2 6i

c. 2 3i 5 i

d. 5 i 7 4i

e. 11 3i 2 i

f. 5 4i 12 i




g. 1 13 7i i3 7

4. DIVISIÓN Para dividir cantidades complejas se procede de la siguiente manera:

a. Se expresa la operación en forma fraccionaria. b. Se multiplican ambos elementos de la fracción

por la expresión conjugada del denominador. c. Se desarrollan los productos indicados,

presentando el resultado en forma discriminada, es decir, diferenciando la parte real de la parte imaginaria.

Veamos un ejemplo:

Calcular el cociente: 2 3i 1 3i

Sol:

a. 2 3i

2 3i 1 3i1 3i

b. 2 3i 1 3i1 3i 1 3i

c.

2

2

2 3i 1 3i 2 6i 3i 9i1 3i 1 3i 1 9i

2 6i 3i 91 9

11 3i10

11 3 i10 10

Ejemplo 2.

Dividir: 7 5i 2 i

Solución:

2

2 2

7 5i 2 i 14 7i 10i 5i2 i 2 i 2 i

14 3i 54 1

19 3i 19 3i

5 5 5

EJERCICIOS

Desarrolla las operaciones indicadas.

a. 8 5i 2 i

b. 6 9i 4 7i

c. 9i 1 i

d. 7 10i 4 3i

e. 1 i 2 i

f. 11 5i 4 6i

g. 7 5i 7 5i




ECUACIONES CUADRATICAS

Las funciones cuadráticas que se estudiaron

anteriormente, tales como:

2

2

2

( ) 2 4 6

( ) 9 20

( ) 7

f x x x

f x x x

f x x

podemos transformarlas en:

2

2

2

2 4 6 0

9 20 0

7 0

x x

x x

x

Esta nueva forma se le llama ecuación asociada a la función polinómica dada o, comúnmente, ecuación cuadrática o de segundo grado.

Se sabe que 2( ) 2 4 6f x x x es equivalente a:

22 4 6y x x Por ser ( )y f x , es decir,

Y es la imagen de X mediante la función f, por tanto, cuando:

22 4 6 0 0x x y

Este proceso se llama raíces de la función cuadrática,

es decir, cuando hacemos 0y se determinan los

puntos (si los hay), en los cuales la gráfica de la función corta al eje x.

SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS

Existen diversas formas de solucionar ecuaciones cuadráticas. En nuestro caso, estudiaremos dos de ellas, tales como:

1. Por factorización 2. Por formula general.

Veamos en qué consiste cada una de ellas.

SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR

FACTORIZACIÓN Veamos el procedimiento para resolver una ecuación cuadrática por factorización. Por ejemplo. Resolver por factorización:

24 3 22 0x x

Veamos paso a paso el proceso de solución:

1.

24(4 3 22)0

4

x x

Multiplicamos y dividimos por el coeficiente del

término X2

2.

216 3(4 ) 880

4

x x

Efectuando el producto dejando

indicado el del segundo término

3. (4 11)(4 8)

04

x x

Descomponiendo el trinomio en dos factores. Es decir,

buscar dos números que

multiplicados den 88 y que sumados o restados den 3.

4. (4 11)4( 2)

04

x x

Extrayendo el factor común en

el numerador

5. (4 11)( 2) 0x x

Simplificando los 4 presentes en el

numerador y denominador

6. 4 11 0 2 0x x Igualando cada factor a cero

7. 4 11 2x x Despejando la variable X en cada factor.

8. 11

24

x x

Desarrollando

para X en cada factor.

Luego el conjunto de valores que satisface la ecuación

dada es: 11

,24

S

EJEMPLO 2: resolver por factorización

22 5 12 0x x

Una ecuación cuadrática o de segundo

grado es una igualdad de la forma 2 0ax bx c , donde , 0a b yc y a




SOL: Procedemos de igual manera que en el ejemplo

anterior

22

2

2(2 5 12)2 5 12 0 0

2

4 5(2 ) 240

2

(2 8)(2 3)0

2

2( 4)(2 3)0

2

( 4)(2 3) 0

4 0 2 3 0

4 2 3

34

2

x xx x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

Luego, el conjunto solución de la ecuación es::

3

4,2

S

EJEMPLO 3:

Resolver por factorización: 2 9 20 0x x

Sol. Como podemos ver en este caso el término de X

2 no

tiene un coeficiente diferente de uno (1), por lo tanto, para factorizarlo no es necesario realizar todos los pasos como en los dos ejemplos anteriores, sino que se realiza de una manera más sencilla. Veamos:

1. 2 9 20 0x x

Se comprueba que el coeficiente de X

2

sea 1

2. ( 5)( 4) 0x x Descomponiendo el trinomio en dos factores. Es decir, buscar dos números que multiplicados den 20 y que sumados o restados den -9.

3. 5 0 4 0x x Igualando cada factor a cero

4. 5 4x x Despejando la variable X en cada factor.

Luego, el conjunto solución será: 5,4S

EJEMPLO 4:

Resolver por factorización: 2 4 21 0x x

2 4 21 0 ( 7)( 3) 0

7 0 3 0

7 3

x x x x

x x

x x

Luego el conjunto solución es: 7, 3S

ACTIVIDAD 1 Resolver por factorización

1. 2 13 42 0x x

2. 2 3 4 0x x

3. 2 4 5 0x x

4. 2 6 9 0x x

5. 2 4 4 0x x

6. 22 5 2 0x x

7. 28 9 1 0x x

8. 23 7 6 0x x

9. 22 11 12 0x x

10. 23 2 0x x

SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FÓRMULA

GENERAL

Para resolver ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula general es necesario dar a conocer dicha fórmula la cual será muy útil al momento de solucionar las ecuaciones sin necesidad de factorizar. Veamos: Para toda ecuación cuadrática de la forma:

2 0ax bx c se cumple que:

Donde los valores que intervienen (a, b y c) son los coeficientes de la ecuación cuadrática que se va a solucionar.

2 4

2

b b acx

a




EJEMPLO 1. Utilizando la fórmula general, resolver:

23 2 1 0x x

Solución: Identificamos los coeficientes o valores conocidos que intervienen en la fórmula con el signo algebraico que intervienen en la ecuación, así: a = 3; b = 2 y c = -1.

Escribimos la fórmula:

2 4

2

b b acx

a

Remplazamos los valores en dicha fórmula así.

2

1

2

2 2 4(3)( 1)

2(3)

2 4 12 2 16

6 6

2 4

6

2 4 2 1

6 6 3

2 4 61

6 6

x

x

x

Luego el conjunto solución es: 1

, 13

S

EJEMPLO 2:

Resolver: 22 4 1 0x x

Aquí a = 2; b = -4 y c = 1 VEAMOS LA SOLUCIÓN:

2

1

2

( 4) ( 4) 4(2)(1)

2(2)

4 16 8 4 8

4 4

4 4 2 4 2 2

4 4

4 2 2 2 2

4 2

4 2 2 2 2

4 2

x

x

x

Luego el conjunto solución es: 2 2 2 2

,2 2

S

EJEMPLO 2:

Resolver: 2 6 11 0x x

Aquí a = 1; b = -6 y c = 11

Veamos la solución:

2

1

2

( 6) ( 6) 4(1)(11)

2(1)

6 36 44 6 8

2 2

6 4 2 6 2 2

2 2

6 2 23 2

2

6 2 23 2

2

x

i

ix i

ix i

Luego el conjunto solución es: 3 2 ,3 2S i i




ACTIVIDAD 2 Resuelve aplicando la fórmula general para la solución de ecuaciones cuadráticas:

1. 23 6 0x x

2. 2 3 4 0x x

3. 2 2 3 0x x

4. 24 11 3 0x x

5. 214 29 15 0x x

6. 210 21 10 0x x

7. 23 10 3 0x x

8. 22 16 30 0x x

9. 24 21 49 0x x

10. 23 17 10 0x x

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