Instituto de Ayuda Politécnica - Kalan un eje de rotación al aplicar una fuerza sobre un punto del objeto que rota. En lo sucesivo del texto se darán algunas aplicaciones adicionales

Instituto de Ayuda Politécnica Quisquís 1020 entre Avenida del Ejército y García Moreno

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Vectores en tres dimensiones: Producto escalar y vectorial

1.5.4. Producto entre vectores. Hay fenómenos en la naturaleza que se explican de una manera muy concisa con el producto entre vectores, por ejemplo, el trabajo mecánico que se genera al aplicar una fuerza sobre un objeto determinado y provocar el movimiento del mismo, la torca que se produce sobre un eje de rotación al aplicar una fuerza sobre un punto del objeto que rota. En lo sucesivo del texto se darán algunas aplicaciones adicionales. Son dos los productos que analizaremos: el producto escalar, y el producto vectorial. 1.5.4.1. Producto escalar. Es el producto realizado entre dos vectores y que da como resultado un escalar (número real). Haremos la deducción de las ecuaciones que nos ayudarán a resolver los ejercicios relacionados con el producto escalar. En la figura 169 se muestran los vectores A y B, y la diferencia que existe entre ellos.

A

B

A - B

θ

Sabemos de la ley del coseno que

θCosBABABA 2222

−+=−rrrr

de allí realizamos las simplificaciones algebraicas necesarias

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) θ

θ

θ

CosBABA

CosBABBAABBBAAA

CosBABBAABABA

rrrr

rrrrrrrrrrrr

rrrrrrrrrr

22

22

2

−=•−

−•+•=•+•−•

−•+•=−•−

θCosBABArrrr

=• (17)

La ecuación 17 nos muestra la relación matemática entre las magnitudes de los vectores, el ángulo que se forma entre ellos y el producto escalar entre sí1.

1 Debido a que el símbolo que representa al producto escalar es un punto, se suele denominar también a este producto como “PRODUCTO PUNTO”. Debido a que el resultado se lo obtuvo de una interpretación geométrica, a este resultado se lo suele llamar producto escalar en la forma geométrica.

Figura 169


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Ahora veremos el efecto que causa la variación del ángulo en el producto escalar, debido a que la magnitud es un valor siempre positivo. Si los vectores tienen la misma dirección, entonces el ángulo entre ellos es cero, y tendríamos

º0CosBABArrrr

=•

( )1BABArrrr

=•

BABArrrr

=• (18)

Este último resultado nos indica que se obtiene el máximo valor posible para el producto escalar entre dos vectores cualesquiera, o sea el producto escalar es igual al producto de los módulos. Si tenemos a un vector multiplicado por sí mismo el resultado sería, entonces,

AAAArrrr

=•

2AAArrr

=• (19)

La ecuación 19 indica que el producto escalar de un vector por sí mismo es igual al cuadrado de la magnitud del vector. Este último resultado nos ayuda a deducir el valor a obtener por el producto de los vectores unitarios de referencia i , j y k .

1ˆˆˆ

1ˆˆˆ

1ˆˆˆ

2

2

2

==•

==•

==•

kkk

jjj

iii

Si ahora el ángulo entre los vectores es 90º, tenemos que los vectores son perpendiculares, y el producto escalar es igual a:

( )0

º90

BABA

CosBABArrrr

rrrr

=•

=•

0=• BArr

(20) La ecuación 20 nos indica que para que dos vectores sean perpendiculares (u ortogonales), el producto escalar entre dichos vectores es cero, y viceversa, si el producto de dos vectores es cero, entonces los vectores son perpendiculares2. 1.5.4.1.1. EJERCICIOS RESUELTOS 1. Demuestre que el producto escalar entre dos vectores cualesquiera es conmutativo. SOLUCIÓN Sean los vectores M

ry N

r no nulos y que forman entre sí un ángulo cualquiera distinto de cero y de noventa grados, entonces el producto

entre ellos será

2 A este resultado obtenido, el producto escalar (o punto) entre dos vectores perpendiculares es cero, se lo suele denominar CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD.


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θcosNMNMrrrr

=•

Si realizamos el producto con el orden invertido, tendríamos

θcosMNMNrrrr

=•

Debido a que los productos de las magnitudes de los vectores son las mismas en un orden u otro, por tratarse de números reales POSITIVOS, y el ángulo es el mismo, se puede concluir que el producto escalar entre dos vectores es conmutativo, es decir

MNNMrrrr

•=• .

2. Demuestre que el producto escalar entre dos vectores Fr

y Gr

es igual a FxGx + FyGy + FzGz. SOLUCIÓN

A los vectores Fr

y Gr

los podemos representar en función de sus componentes ortogonales, esto es,

kFzjFyiFxF ˆˆˆ ++=r

kGzjGyiGxG ˆˆˆ ++=r

y el producto escalar será igual a:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

FzGzFyGyFxGxGF

FzGzFzGyFzGx

FyGzFyGyFyGx

FxGzFxGyFxGxGF

kkFzGzjkFzGyikFzGx

kjFyGzjjFyGyijFyGx

kiFxGzjiFxGyiiFxGxGF

kGzjGyiGxkFzjFyiFxGF

++=•

++++++++=•

•+•+•

+•+•+•

+•+•+•=•

++•++=•

rr

rr

rr

rr

)0()0()0(

)0()1()0(

)0()0()1(

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

)ˆˆˆ()ˆˆˆ(

Y finalmente obtenemos el resultado que debíamos demostrar3. 3. Calcular el producto escalar de los vectores V = 3 i + 5 j - k y W = -2 i + 0 j + 4 k . SOLUCIÓN Utilizamos la ecuación deducida en el ejercicio anterior. V • W = 3(-2) + 5(0) + (-1)(4) = - 6 – 4 = - 10. 4. Encuentre el ángulo formado entre los vectores V y W del ejercicio anterior. SOLUCIÓN Utilizamos la definición de producto escalar en forma geométrica

3 Por ser el resultado obtenido a partir de un proceso algebraico suele denominárselo, también producto escalar en la forma algebraica.


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θcosWVWVrrrr

=•

Ecuación de la que ya conocemos el resultado de V • W, por lo que sólo falta averiguar cuál es la magnitud de los vectores V y W.

20402

35153

222

222

=++=

=++=

W

V

r

r

Al reemplazar los valores ya calculados despejamos el ángulo.

−=

−=

=−

−

2035

10cos

2035

10cos

cos203510

1θ

θ

θ

º21.112=θ

La figura 170 muestra a los dos vectores y el ángulo formado entre ellos.

V

W

112.21º

y

x

z

5. Encuentre la proyección escalar del vector V en la dirección del vector W. SOLUCIÓN La proyección de un vector sobre otro es la “sombra” de un vector que se forma en otro, y se la obtiene al bajar una línea perpendicular desde el fin de un vector sobre la línea que soporta al otro vector, observe la figura 171.

Figura 170


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V

112.21º

Proy VW

W

Se puede observar en la figura que se forma un triángulo entre la magnitud del vector V, la proyección del vector V sobre la dirección del

vector W y el ángulo ϕ.

V

Voy Wr

rrPr

cos =ϕ

Si reemplazamos este resultado en la ecuación del producto escalar tenemos

W

W

W

VoyW

WV

VoyWWV

V

VoyWVWV

WVWV

r

r

r

r

r

rr

rrrr

r

rrrrr

rrrr

Pr

Pr

Pr

cos

=•

=•

=•

=• ϕ

Por lo tanto podemos concluir que la proyección escalar de un vector en la dirección de otro está dada por el producto escalar de los dos vectores dividido entre la magnitud del vector que soporta la proyección. Con este último resultado podemos encontrar ya el resultado que estábamos buscando.

236.2Pr

20

10Pr

−=

−=

W

W

Voy

Voy

r

r

r

r

El signo negativo quiere decir que la proyección tiene la dirección opuesta al vector que soporta la proyección.

Figura 171


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1.5.4.2. Producto vectorial. Es el producto entre dos vectores que da como resultado otro vector, y se lo representa como BA

rr× 4. Este vector presenta la

característica de que es perpendicular a los vectores que lo formaron. En la figura 172 se muestra los vectores iniciales y los posibles resultados.

m

n

Fíjese que tanto el vector que está con azul, como el de color rojo son perpendiculares a los dos vectores que están en el plano, pero el producto vectorial sólo da como resultado a uno de los dos vectores. La regla de la mano derecha es la que nos da la dirección del vector. Esta regla indica que debemos colocar la mano derecha en el primer vector, en este caso si el producto vectorial es nm

rr × , la mano la colocamos en el vector m

r, luego cerramos la mano hacia el segundo vector, en este caso n

r, el pulgar extendido es quien da la dirección

del vector nmrr × (Revise la figura 76 para tener un poco más de claridad con una situación real).

En la figura, el vector rojo representa al producto nm

rr × , mientras que el vector azul representa al vector mnrr× .

La magnitud del producto vectorial se la puede definir como el área del paralelogramo que forman los vectores, fíjese en la figura 173.

F

GG

F

El área del paralelogramo está dado por el producto de la base por la altura del paralelogramo, observe los datos presentados en la figura 174.

F

GG

F

h

θ

4 Debido a que el símbolo que representa al producto vectorial es una cruz, ×, también es común llamar a este producto como PRODUCTO CRUZ.

Figura 172

Figura 173

Figura 174


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La base es la magnitud del vector F

r y la altura la podemos calcular por medio de la función seno

θ

θ

senGh

G

hsen

r

r

=

=

Área = b*h = θsenGF

rr

por lo tanto la magnitud del producto vectorial de los vectores Fr

y Gr

está dada por

θsenGFGFrrrr

=×


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1.5.4.2.1. EJERCICIOS RESUELTOS 1. Encuentre el área del triángulo formado por los vectores V = 3 i + 5 j - k y W = -2 i + 0 j + 4 k . SOLUCIÓN En la figura se muestran a los vectores V y W. Si graficamos sólo a los vectores y formamos con ellos un paralelogramo observaremos que el triángulo tiene la mitad del área que la del paralelogramo, sea éste el triángulo que formemos con la diagonal mayor o con la diagonal menor del paralelogramo.

En la figura 176 se puede observar al paralelogramo formado por los dos vectores, V y W.

Además, se muestra la altura del paralelogramo. El ángulo que forma el vector V con la línea sobre la que reposa el vector W es el suplemento del ángulo formado por los dos vectores, esto es, 180º - 112.21º = 67.79º. El área del paralelogramo es

Área = º79.67SenVWrr

20402

35153

222

222

=++=

=++=

W

V

r

r

Área = º79.673520 sen Área = 24.5 u2

V

W

y

x

z

V

W

V

h

V

W

V

h

Figura 175 V

112.21º

W

V

h

Figura 176


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En la figura se prueba que el área del triángulo (sea el formado por la diagonal mayor del paralelogramo, o por la menor) es la mitad de la del paralelogramo. Por tanto el área del paralelogramo es 12.25 u2. Como se expresó al definir el producto vectorial, el producto de los dos vectores da como resultado otro vector. La forma en que calcularemos a este vector se fundamenta en la teoría de matrices y determinantes, razón por la que no demostraremos el origen de la siguiente operación

( ) ( ) ( )kAyBxAxByjAzBxAxBziAzByAyBzBA

BzByBx

AzAyAx

kji

BA

ˆˆˆ

ˆˆˆ

−+−−−=×

=×

rr

rr

2. Encuentre el producto vectorial entre los vectores V = 3 i + 5 j - k y W = -2 i + 0 j + 4 k . SOLUCIÓN Usaremos la fórmula expresada en el párrafo anterior

( )[ ] ( )( )[ ] ( )[ ]kjiWV

jiWV

kji

WV

ˆ10ˆ10ˆ20

2*50*3ˆ214*3ˆ0*14*5

402

153

ˆˆˆ

+−=×

−−+−−−−−−=×

−−=×

rr

rr

rr

Con este resultado comprobaremos si el resultado del ejercicio anterior corresponde, esto es, el área del paralelogramo es

5.24101020 222 =++=×WVrr

Por tanto el resultado anterior corresponde con la operación matemática que acabamos de definir5.

5 Para que tenga una mejor comprensión sobre la teoría de matrices y determinantes consulte un texto de álgebra lineal, o de álgebra previa al cálculo.

Figura 177


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3. Encuentre un vector que sea perpendicular a los vectores Pr

y Q mostrados en la figura 178.

3

5

5

y

x

z

PQ

SOLUCIÓN Por definición el vector que es perpendicular a otros dos, es el que resulta del producto vectorial entre dichos vectores.

Los vectores Pr

y Qr

son

kjiP ˆ5ˆ5ˆ0 ++=r

kjiQ ˆ5ˆ5ˆ3 ++−=r

y el vector que resulta del producto vectorial de los dos es

( ) ( )[ ] ( )[ ]kjiQP

kjiQP

kji

QP

ˆ15ˆ15ˆ0

ˆ355*0ˆ355*0ˆ5*55*5

553

550

ˆˆˆ

+−=×

−−+−−−−=×

−=×

rr

rr

rr

Comprobaremos ahora que el nuevo vector, QP

rr× , es perpendicular al vector P

r y al vector Q

r. Sea RQP

rrr=× , entonces se debe

cumplir que el producto escalar (punto) del vector Pr

con el vector Rr

debe ser cero

De igual manera, debe cumplirse que el producto escalar entre el vector Q

r y el vector R

r debe ser cero, por la condición de

perpendicularidad.

( ) ( ) ( ) 01551550*3 =+−+−=• RQrr

Con esto último comprobamos que el vector Rr

es efectivamente el vector perpendicular a los vectores Pr

y Qr

. 1.4. Producto escalar y vectorial.

( ) ( ) 01551550*0 =+−+=• RPrr

Figura 178


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4. El producto (A•B)•C da como un escalar (un número). a) VERDADERO b) FALSO

SOLUCIÓN

El producto A•B es ya un número, y un número no se puede multiplicar escalarmente por un vector. El producto escalar es exclusivo de los vectores. La afirmación es falsa.

5. La proyección escalar de la suma de los tres vectores de la parte superior inscritos en la circunferencia, sobre la suma de los dos vectores restantes es 4R, donde R es el radio de la circunferencia. a) VERDADERO b) FALSO

SOLUCIÓN Falso porque la proyección es:

RAoyR

iRiRAoy

A

BAAoy

B

B

B

2Pr2

ˆ2ˆ2Pr

Pr

=

•=

•=

6. La proyección vectorial es igual al producto escalar de los vectores unitarios de los vectores dados, multiplicados por el unitario del vector sobre el que se realiza la proyección. a) VERDADERO b) FALSO

SOLUCIÓN Falso porque la proyección vectorial está dada por:

BB

BBB

B

BAAoy

AoyAoy

µ

µ

•=

=

Pr

PrPr

De donde se sabe además que el vector unitario de cualquier vector está dado por

A

AA =µ

tenemos, por tanto,

BBAB

BBB

BBB

AAoy

AAoy

AoyAoy

µµµµµµ

)(Pr

)(Pr

PrPr

•=•=

=

7. Si los ángulos directores son menores a 90°, la suma de estos es 180°. a) VERDADERO b) FALSO 8. Cuando la proyección de un vector sobre otro es cero, los vectores son perpendiculares


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a) VERDADERO b) FALSO


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SOLUCIÓN Verdadero porque la proyección de un vector sobre otro depende del producto escalar, y el producto escalar es cero cuando los vectores son perpendiculares entre sí. 9. La proyección de un vector A sobre otro, B, puede en algún momento ser igual a la proyección del vector B sobre el vector A.

a) VERDADERO b) FALSO

SOLUCIÓN Verdadero, cuando los vectores tienen la misma magnitud. 10. Una partícula pasa de un punto de coordenadas (3,-2,1) al punto (-1,4,3). El ángulo que forma el desplazamiento efectuado con el

vector de posición inicial de la partícula es: a) 10.2° b) 25.7° c) 75.4° d) 102.7° e) 141.8°

SOLUCIÓN Un vector que sale de un punto y llega a otro, se lo determina restando el punto inicial (P0) del final (Pf), esto es,

V= Pf – P0 V= (-i + 4j + 3k) – (3i - 2j + k) V= - 4i + 6j + 2k Para determinar el ángulo entre dos vectores, utilizamos la definición de producto escalar

V••••P0=|V||P0|Cosθ

( )

°=−=

−=

+++++−+−=

•=

18.14

786.01456

2214943616

1*22*63*40

0

θθ

θ

θ

θ

Cos

Cos

Cos

PV

PVCos

Respuesta: e) 11. Un vector A forma un ángulo de 40° con el eje x y 80° con el eje Y; otro vector, B, forma un ángulo de 30° con el eje x y 60° con el

eje Y. Encuentre el ángulo entre A y B. a) 10.0° b) 20.4° c) 41.4° d) 83.2° e) 141.2°


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SOLUCIÓN De la definición de producto escalar podemos deducir una ecuación para encontrar el ángulo entre dos vectores.

BACos

BA

BACos

CosAABA

µµθ

θ

θ

•=

•=

=•

Como se puede ver en la ecuación anterior el ángulo entre dos vectores se lo puede calcular, ya sea que se conozca a los dos vectores o a sus unitarios. En este caso, el problema presenta datos de tal manera que sólo se pueden obtener los unitarios de A y B.

Recuerde que µA =cosαi + cosβj + cosγk, y como el módulo del vector unitario es 1, se deduce que 1 = cos2α + cos2β + cos2γ. Para el vector A se tiene que

( ) ( )

619.0

030.0587.01

80401

1

2

222

222

=−−=

+°+°=

++=

γγ

γ

γβα

Cos

Cos

CosCosCos

CosCosCos

Para el vector B

( ) ( )

0

25.075.01

680301

1

2

222

222

=−−=

+°+°=

++=

γγ

γγβα

Cos

Cos

CosCosCos

CosCosCos

De los resultados anteriores ya podemos obtener el ángulo entre los vectores A y B.

Cosθ =µA•µB =(Cos 40°i + Cos 80°j + Cos γ)•(Cos 30°i + Cos 60°j + Cos γ) Cosθ= (Cos 40°)(Cos 30°) + (Cos 80°)(Cos 60) + (0.619)(0)

Cosθ= 0.663 + 0.087 = 0.75

θ= Cos-1(0.75)= 41.4° Respuesta: c)

12. Obtenga un vector unitario que esté dirigido en el sentido del vector (A••••B)C, donde A = 3i – 5j + 2k; B = 2i + 3j + 4k; C = 3i – 4j – 5k. a) (-3/5 2 )i + (4/5 2 )j + (1/ 2 )k

b) (-1/ 14 )i + (2/ 14 )j + (3/ 14 )k

c) (1/ 14 )i - (2/ 14 )j - (3/ 14 )k d) (3/5 2 )i - (4/5 2 )j - (1/ 2 )k e) (2/ 29 )i - (3/ 29 )j + (4/ 29 )k

SOLUCIÓN

A•B = 3(2)-5(3)+2(4) = -1 (A•B)C =-3i + 4j + 5k

El vector unitario de (A•B)C es


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( )

( )

( )

( ) kji

kji

kji

kji

CBA

CBA

CBA

CBA

ˆ2

1ˆ25

4ˆ25

3

ˆ25

5ˆ25

4ˆ25

3

ˆ2*25

5ˆ2*25

4ˆ2*25

3

ˆ50

5ˆ50

4ˆ50

3

++−=

++−=

++−=

++−=

•

•

•

•

µ

µ

µ

µ

r

r

Respuesta: a) 13. Dados los vectores A = 2i + 2j + k y B = 2i – 3j + 6k, determine el vector que representa a la proyección del vector A sobre B.

a) (8/49)i - (12/49)j + (24/49)k b) 8i - 12j + 24k c) (8/7)i - (12/7)j + (24/7)k d) (2/49)i - (3/49)j + (6/49)k e) (2/7)i - (3/7)j + (6/7)k

SOLUCIÓN La proyección vectorial de un vector sobre otro, está dada por

( )

49

ˆ24ˆ12ˆ8Pr

ˆ6ˆ3ˆ249

4Pr

3694

ˆ6ˆ3ˆ2

3694

6*1)3(*22*2Pr

Pr

kjiAoy

kjiAoy

kjiAoy

B

BAAoy

B

B

B

AB

+−=

+−=

+++−

+++−+=

•= µ

Respuesta: a) 14. Encuentre un vector unitario que esté en el plano formado por los vectores A= i + 2j y B= j + 2k y que sea perpendicular al

vector C= - i + 2j.

a) (4/√21)i – (2/√21)j + (1/√21)k b) -(2/√41)i – (1/√41)j + (6/√41)k

c) -(1/√5)i + (2/√5)j

d) (1/√3)i + (1/√3)j + (1/√3)k e) (4i – 2j + k)/√2

SOLUCIÓN Si se practica el producto vectorial entre el vector A y B, se obtendrá un vector que será perpendicular al vector A, al vector B y al plano que contiene a ambos vectores. Véase la figura mostrada a continuación y se podrá comprender mejor lo antes dicho.

Si a continuación se practica el producto vectorial entre el resultado anterior,(AxB), y el vector C este nuevo vector será perpendicular al vector C y al vector AxB, pero al ser perpendicular al vector AxB estará en el plano que contiene a A y a B porque AxB también es perpendicular a A y a B, observe el segundo gráfico para que comprenda mejor lo antes dicho. A

BAxB


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Por tanto, podemos concluir que el triple producto vectorial da como resultado un vector paralelo a los dos vectores del primer producto vectorial.

( ) ( ) ( )kjiAxB

kjiAxB

kji

AxB

ˆˆ2ˆ4

ˆ0*21*1ˆ0*02*1ˆ1*02*2

210

021

ˆˆˆ

+−=−+−−−=

=

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) kjixCAxB

kjixCAxB

kji

xCAxB

ˆ6ˆˆ2

ˆ1*22*4ˆ1*10*4ˆ2*10*2

021

124

ˆˆˆ

+−−=−−−+−−−−−=

−−=

Una vez desarrollado el triple producto vectorial, encontramos el vector unitario del resultado del triple producto vectorial.

( )

( ) 41

623614

62

kji

kji

xCAxB

xCAxB

+−−=

+++−−=

µ

µ

Respuesta: b) 15. Determine la altura del paralelepípedo formado por los vectores A, B y C, si la base está formada por los vectores A y B.

A= i + j + k; B= 2i + 4j – k y C= i + j + 3k a) 0.32 b) 0.65 c) 1.6 d) 4.0 e) 6.2

SOLUCIÓN Primero haremos un gráfico que presente el prisma que se forma con los vectores A, B y C. Si multiplicamos vectorialmente a los vectores A y B, se obtendrá un vector perpendicular al plano que contiene a dichos vectores, grafiquemos este nuevo vector en el gráfico anterior.

Del gráfico se puede observar que el vector AxB está en la misma dirección que h. El valor de h es la proyección de C sobre AxB, esto es,

A

BAxB

C

(AxB)xC

A

BCh

A

BCh

AxB


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( )

65.038

2*33*1)5(*1

38

2ˆ3ˆ5

142

111

=

++−=

=

++−=

−=

•=

h

h

AxB

kjiAxB

kji

AxB

AxB

AxBCh

r

rrr

Respuesta: b)


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16. Encuentre un vector perpendicular al plano sombreado. a) 16i + 16j b) - 2 /2i + 2 /2j + 2 /2k c) 2 /2i + 2 /2k d) 2 /2i + 2 /2j e) i + j + k

SOLUCIÓN El producto vectorial da como resultado a un vector perpendicular a los dos vectores con los que se hizo la operación, y al plano que los contiene. Tomemos, entonces, un par de vectores del plano sombreado que salgan del mismo punto. Tomaremos como referencia al punto inferior izquierdo, del cual saldrán dos vectores, M y N. M= 0i + 4j + 0k N= -4i + 0j + 4k El producto vectorial entre los dos vectores es:

( ) ( )( ) ( )( )kiMxN

kjiMxN

kji

MxN

ˆ16ˆ16

ˆ4*40*0ˆ4*04*0ˆ0*04*4

404

040

ˆˆˆ

+=−−+−−−−=

−=

17. Sean los vectores A= 2i + 3j – 5k y B= - 2i – 2j + bk, determine el valor de b de tal forma que A y B sean ortogonales.

a) – 0.5 b) 2 c) – 2 d) 4 e) 6

SOLUCIÓN Dos vectores son ortogonales (perpendiculares) si el producto escalar entre ellos es cero.

A•B= 0 =2(-2) + 3(-2) – 5b - 4 – 6 – 5b = 0 - 10 = 5b b= -2 Respuesta: c) 18. Para el gráfico de la figura, determine el valor del ángulo

sombreado. a) 90° b) 72° c) 67°

4

4

4

y

z

x

24

3

y

z

x

M

4

4

y

z

x

N

4


(04)2 – 282705


d) 60° e) 55°

SOLUCIÓN Obtenemos los vectores que forman al ángulo sombreado, digamos que uno de ellos sea el vector P y el otro sea Q.

P= 2i + 0j – 3k Q= 0i + 4j – 3k

El ángulo entre dos vectores podemos determinarlo por la definición de producto escalar.

P•Q= |P||Q|Cosθ

( ) ( )

( ) ( )

°=

=

−−++=

++−+•−+=

•=

−

05.60

135

9

135

3*34*00*291694

ˆ3ˆ4ˆ0ˆ3ˆ0ˆ2

1

θ

θ

θ

θ

θ

Cos

Cos

kjikjiCos

QP

QPCos

Respuesta: d) 19. Sean los vectores a= -2i + 3j + 5k; b= 4i – 2j + 3k. Determine la proyección del vector a x b sobre el eje positivo de las y.

a) 24 b) 26 c) 28 d) 30 e) 32

SOLUCIÓN La proyección de un vector sobre uno de los ejes coordenados es la componente del vector en ese eje.

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )kjiaxb

kjiaxb

kji

axb

ˆ8ˆ26ˆ19

ˆ4*32*2ˆ4*53*2ˆ2*53*3

324

532

ˆˆˆ

−+=−−−+−−−−−=

=−

−=

Por tanto, la proyección de axb sobre el eje y es 26. Respuesta: b)

24

3

y

z

x

PQ


(04)2 – 282705


20. Sean los vectores a= 2i + 3k; b= 4i + 2j y c= - 5i + 3j – 4k. Obtenga el resultado de (a x b)•c. a) – 82 b) 82 c) 50 d) 22 e) – 10

SOLUCIÓN

024

302

ˆˆˆ kji

axb =

axb= - 6i + 12j + 4

(axb)•C= (- 6i + 12j + 4)•(- 5i + 3j - 4k)

(axb)•C= 30 + 36 – 16 (axb)•C= 50 Respuesta: c) 21. Determine el área del plano formado por los vectores a, b y c.

a) 37.50 u2 b) 32.30 u2 c) 18.80 u2 d) 16.15 u2 e) 14.20 u2

SOLUCIÓN La magnitud del producto cruz (producto vectorial) es igual al área del paralelogramo que forman dos vectores, por tanto, el área de un triángulo es el módulo del producto vectorial de dos vectores cualesquiera, pertenecientes al plano, dividido entre 2. Los vectores deben salir desde el mismo punto. Tomaremos como referencia al punto superior izquierdo de la cara frontal del prisma. Sea M= c y N=- b M=4i – 6j + 0k N=4i + 0j – 3k MxN = 18i + 12j + 24k |MxN|= 31.32576144324 =++ Área del triángulo = 16.16 u2. Respuesta: d)

ac

b

43

6

y

x

z


(04)2 – 282705


22. Para el gráfico de la figura, determine el ángulo (menor de 90°) que forman el plano sombreado y el plano x – y. a) 22° b) 44° c) 68° d) 72° e) 82°

SOLUCIÓN No existe operación vectorial que pueda calcular directamente el ángulo entre dos planos, pero sí entre dos vectores. El ángulo entre dos planos es el mismo ángulo que forman sus vectores ortogonales. Un vector perpendicular al plano sombreado lo calculamos por medio del producto vectorial de dos vectores que pertenezcan al plano. Un vector perpendicular al plano x – y es cualquier vector en el eje z. Tomaremos como referencia el punto inferior izquierdo de la cara frontal del prisma, para la obtención de los dos vectores que pertenezcan al plano sombreado. a= - 5i + 4j + 0k b= 0i + 4j + 8k

axb = 32i + 40j + 20k c=0i + 0j + k

°=

=

++=

•=

−

67.68

3024

20

40016001024

20

)(

1

θ

θ

θ

θ

Cos

Cos

caxb

caxbCos

Respuesta: c) 23. Sean los vectores a= 5i – 2j + 3k y b= 2i + 5j + 6k, entonces la proyección del vector a sobre el vector b es:

a) 4.6 b) 3.2 c) 2.8 d) 2.2 e) 1.2

SOLUCIÓN

23.2Pr36254

181010Pr

Pr

=+++−=

•=

b

b

b

aoy

aoy

b

baaoy r

5

8

4

y

z

x

5

8

4

y

z

x

a

b


(04)2 – 282705


Respuesta: d) 24. Considere la línea que une los puntos extremos de los vectores A= 2i – j – k y B = - i + 3j – k. ¿Cuál de las siguientes opciones

es verdadera? a) La línea es paralela al plano YZ. b) La línea es perpendicular al plano YZ. c) La longitud de la línea es 10 unidades. d) La línea es paralela al plano XY. e) Ninguna de las anteriores.

SOLUCIÓN Primero representamos gráficamente los dos vectores, luego realizamos la operación. Un vector que va de un punto a otro, se lo obtiene restando el punto inicial del final. AB= B – A = - 3i + 4j Debido a que el vector está en dos dimensiones, se encuentra en el plano que contiene a esas dos dimensiones. Por tanto la línea es paralela al plano XY. Respuesta: d) 25. Con los vectores A= (2i + 6j + 3k) cm y B= (3i + 4j + 8k)

cm, se forma el triángulo mostrado en la figura. ¿Cuál es el valor de la altura h? a) 5.4 cm b) 8.6 cm c) 9.7 cm d) 3.7 cm e) 2.5 cm

SOLUCIÓN Se puede observar del gráfico que la proyección del vector B sobre el vector A, es uno de los catetos del triángulo rectángulo formado, mientras que el otro cateto es h, y la hipotenusa es la magnitud de B. Luego de obtener la magnitud de B y la proyección de B sobre A, utilizamos el teorema de Pitágoras para hallar h.

( )cmh

hBoyB

B

Boy

A

A

43.5714.7434.9

Pr

434.964169

714.79364

3*86*42*3Pr

22

222

=−=

+=

=++=

=++++=

Respuesta: a) 26. El vector A es un vector unitario que tiene sus tres ángulos directores iguales y están entre 0° y 90°, mientras que B= (2 3 ,- 3 ,

3 ), entonces podemos afirmar que:

A

Bh

A

B

x

y

z

|B-A| = |A - B|

B

Proy BA

h


(04)2 – 282705


a) A•B= 0

b) A•B= 2

c) A•B= 2 3

d) A•B= 2i + 3j – 3k e) Ninguna de las anteriores Si los 3 ángulos directores son iguales, se tiene que

3

1

13

1

1

2

222

222

=

==++=++

===

ϕ

ϕϕϕϕγβα

ϕγβα

Cos

Cos

CosCosCos

CosCosCos

Como el vector A es unitario, se lo puede expresar como función de los cosenos directores

kjiA

kCosjCosiCosA

ˆ3

1ˆ3

1ˆ3

1

ˆˆˆ

++=

++= ϕϕϕ

Al realizar el producto escalar entre A y B tenemos:

( ) ( )

2

112

3*3

13*

3

132*

3

1

=•+−=•

+−+=•

BA

BA

BA

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Instituto de Ayuda Politécnica - Kalan un eje de rotación al aplicar una fuerza sobre un punto del objeto que rota. En lo sucesivo del texto se darán algunas aplicaciones adicionales