Instituto Politécnico Nacional · 2012. 10. 2. · Lista de ejercicios del primer departamental de cálculo aplicado. 3. 1 Razones de cambio 1.- ... 3s= x) s= x 3 Sabemos lo siguiente:

Instituto PolitécnicoNacional

Escuela Superior de Cómputo

Cálculo Aplicado

Prof. Salvador Montiel Sánchez

Listas de ejercicios de 1er Departamental

Alumno: Mejía Pérez Javier

Grupo: 1CV16

México, D.F. - October 1, 2012

Contents

1 Razones de cambio 4

2 Gráficas de funciones con pts. de corte con los ejes, máximos,

mínimos o ptos. de inflexión. 14

3 Máximos y Mínimos (Optimización) 37

4 Integración Numérica 49

5 Área bajo la curva 53

2

Lista de ejercicios del primer departamental de cálculo aplicado.

3

1 Razones de cambio

1.- Una partícula se mueve de tal forma que en el instante t, la distancia está

dada por :

S(t) = t3 − 2t

¿En qué momento es la aceleración igual a -5?

Solución:

Sabemos que la aceleración de una partícula cuya posición está en función

del tiempo es la segunda derivada dela posición:

Luego entonces:

(t) = S′′(t) = v′(t)

Sabemo s también que en este caso:

S′(t) = v(t) = 3t2 − 2⇒ S′′(t) = a(t) = 6t

Eso es en cualquier tiempo , ¿Nos interesa en cualquier tiempo? No, el

problema pregunta en que momento la aceleración es -5, lo cual se puede

expresar de la siguiente forma:

a(t) = −5 ⇒ −5 = 6t ⇒ t = −56 = −0.833333333 Solución matemática-

mente correcta pero en el mundo real carece de sentido. Si consideramos que

no existen los tiempos negativos, podemos afirmar que esa partícula nunca

tendrá una aceleración de -5.

2.- Un objeto se mueve sobre una linea recta con una velocidad dada por

la función:

v(t) = 4t5

Encuentre la aceleración en el instante t=2.

Solución:

Sabemos que a(t) = v′(t)⇒ a(t) = 20t4 Luego entonces:

a(2) = 20(2)4 = 320 u de a. Observación: s(t) que es la posición debería ser

algo del estilo 2t6

3 + c para que la velocidad al ser s’(t) fuera 4t5, pero 2t

6

3 no es

una recta como dice el problema.

3.- Un cubo se expande de tal forma que su arista cambia a razón de 5 pul-

4

gadas por segundo.Cuando su arista es de 4 pulgadas, encuentre la razón de

cambio de su volumen.

Solución:

Sabemos que dadt = 5ft/seg Y debemos encontrardvdt cuando a=4 in. Sabemos

también que: dvdt =dvdt · 1 =

dvdt ·

dada Y por conmutatividad:

dvdt =

dvda ·

dadt =

dvda · 5in/seg

Sabemos también que: v = l3 = a3 ∴

dvdt =

d(a3)da · 5in/seg = 3a

2 · 5in/seg Lo cual es nuestra solución general en

cualquier largo de arista, pero no lo queremos en cualquier largo de arista. El

problema pide hayar dvdt cuando a=4 in. Asi, que con lo que hemos encontrado:dvdt = 3(4in)

2 · 5in/seg = 240in3/seg ∴

El volumen se incrementa a razón de 240in3/seg cuando a= 4 in.

4.- Una esfera crece de tal forma que su radio aumenta a razón de 1 pul-

gada por segundo. ¿A que velocidad cambia su volumen cuando su radio es

de 3 pulgadas?

Solución:

¿Que se nos pide? dvdt cuando r=3 in.

Sabemos que drdt = 1in/seg

Sabemos también que: dvdt =dvdt · 1 =

dvdt ·

drdr Y por conmutatividad:

dvdt =

dvdr ·

drdt =

dvdr · 1in/seg

Sabemos también que: vesfera = 4πr3

3 ∴

dvdt =

d( 4πr3

3 )

dr · 1in/seg = 4πr2 · 1in/seg Lo cual es nuestra solución gen-

eral en cualquier radio, pero no lo queremos en cualquier radio. El prob-

5

lema pide hayar dvdt cuando r=3 in. Asi, que con lo que hemos encontrado:dvdt = 4π(3in)

2 · 1in/seg = 36πin3/seg ∴

El volumen se incrementa a razón de 36πin3/seg cuando r= 3 in.

5.-¿Cuál es la razón de cambio del área de un círculo con respecto a su radio,

a su diámetro a su circunferencia?

Solución:

Sabemos que:

A(r) = πr2

D = 2r ⇒ r = D2 ⇒ A(D) = π(D2 )

2

P = Dπ = 2rπ ⇒ r = P2π ⇒ A(P ) = π(P2π )

2

Luego la razón de cambio del área de un círculo con respecto a su

radio podemos expresarla como:dAdr =

d(πr2)dr = 2πr

La razón de cambio del área de un círculo con respecto a su diámetro

podemos expresarla como:dAdr =

d(π(D2 )2)

dr =πD2

La razón de cambio del área de un círculo con respecto a su circunferen-

cia ó perímetro podemos expresarla como:dAdr =

d(π( P2π )2

dr =P2π

6.- Un punto se mueve a lo largo de la gráfica:

y =1

x2 + 4

6

De tal forma que su abscisa cambia a razón de 3 unidades por segundo. ¿Cuál

es la razón de cambio de su ordenada cuando x=2?

Solución:

Sabemos que dxdt = 3 Debemos calculardydt cuando x=2.

Sabemos también que:dydt =

dydt · 1 =

dydt ·

dxdx Y por conmutatividad:

dydt =

dydx ·

dxdt =

dvdr · 3u ∴

dydt =

d( 1x2+4

)

dx · 3u = −2x

(x2+4)2 · 3u Lo cual es nuestra solución general.

Asi, que con lo que hemos encontrado: dydt = −−6x

(x2+4)2u Y si x=2:dydt = −

−6(2)((2)2+4)2u =

−316 y esa es la razón de cambio de la ordenada cuando x

=2.

7.- En lo alto de un farol brilla una luz a 20 pies del suelo. Una mujer con

una estatura de cinco pies se aleja caminando desde el farol. Encuentre la

razón en que aumenta su sombra si se aleja a razón de cuatro pies por se-

gundo.

Solución:

Usemos la geometría para resolver este problema, el cual se puede mod-

elar con la segunda figura (la de los triángulos), puesto que según el Teorema

de Tales:

Teorema primero

Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se

obtienen dos triángulos semejantes. - Tales de Mileto

Y por el corolario del mismo sabemos que para este caso en particular:205 =

x+ss

Despejando a s:

4 = x+ss ⇒ 4s = x+ s⇒ 3s = x⇒

s = x3Sabemos lo siguiente:

7

dxdt = 4

ftseg Lo cual es el diferencial de distancia de la mujer al faro.

Lo que buscamos es:dSdt

Ya que el diferencial de sombra(dS) no está en función del tiempo procede-

mos con el método aprendido (multiplicar por 1 y buscar algo para sustituirlo):

Así pues :dSdt =

dSdt · 1 =

dSdt ·

dxdx

Multiplicamos por algo que tenemos, a saber:dxdx

Sustentándolo en la conmutatividad podemos hacer el cambio:dSdt =

dSdt ·

dxdx =

dSdx ·

dxdt

Quedando en términos de cosas que conocemos.

Sustituyendo:dSdt =

d( x3 )

dx · 4ftseg =

13 (4)

ftseg =

43ftseg

8.- Si en el ejercicio anterior la mujer camina hacia la luz, encuentre la razón

en que su sombra decrece si camina razón de cinco pies por segundo.

Solución:

Usemos la geometría para resolver este problema, el cual se puede mod-

elar con la segunda figura (la de los triángulos), puesto que según el Teorema

de Tales:

Teorema primero

Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se

obtienen dos triángulos semejantes. - Tales de Mileto

Y por el corolario del mismo sabemos que para este caso en particular:205 =

x+ss

Despejando a s:

4 = x+ss ⇒ 4s = x+ s⇒ 3s = x⇒

s = x3Sabemos lo siguiente:dxdt = −5

ftseg Lo cual es el diferencial de distancia de la mujer al faro.

Lo que buscamos es:

8

dSdt

Ya que el diferencial de sombra(dS) no está en función del tiempo procede-

mos con el método aprendido (multiplicar por 1 y buscar algo para sustituirlo):

Así pues :dSdt =

dSdt · 1 =

dSdt ·

dxdx

Multiplicamos por algo que tenemos, a saber:dxdx

Sustentándolo en la conmutatividad podemos hacer el cambio:dSdt =

dSdt ·

dxdx =

dSdx ·

dxdt

Quedando en términos de cosas que conocemos.

Sustituyendo:dSdt =

d( x3 )

dx · (−5)ftseg =

13 ((−5))

ftseg =

−53

ftseg

9.- La longitud del lado de un cuadrado aumenta a razón de tres pulgadas

por segundo. Encuentre la velocidad al la que el área aumenta cuando lado

tiene 15 pulgadas de longitud.

Solución:

¿Que se nos pide? dAdt cuando l=15 in.

Sabemos que dldt = 3in/seg

Sabemos también que: dAdt =dAdt · 1 =

dAdt ·

dldl Y por conmutatividad:

dAdt =

dAdl ·

dldt =

dAdl · 3in/seg

Sabemos también que: A = l2 ∴

dAdt =

d(l2)dl · 3in/seg = 2l · 3in/seg Lo cual es nuestra solución general en

cualquier longitud de lado, pero no lo queremos en cualquier longitud de lado.

9

El problema pide hayar dAdt cuando l=15 in. Asi, que con lo que hemos encon-

trado, sustituimos: dAdt = 2(15) · 3in/seg = 90in2/seg ∴

El área incrementa a razón de 90in2/seg cuando l= 15 in.

10.-Una piscina tiene 25 pies de ancho, 40 pies de largo y tres pies de

profundidad en un extremo y me 9 pies en el otro, siendo el fondo un plano

inclinado. Si se bombea agua al interior de la piscina a razón de 10 pies cúbi-

cos por minuto, ¿a que velocidad se está elevando el nivel del nivel del agua

cuando tal nivel es de cuatro pies en el extremo más profundo?

Solución:

10

Figure 1: Vista Transversal

¿Que se nos pide? dhdt cuando h=10 ft.

Sabemos que dvdt = 10ft3/min

Sabemos también que: dhdh =dhdt · 1 =

dhdt ·

dvdv Y por conmutatividad:

dhdt =

dhdv ·

dvdt =

dhdv · 10ft

3/min

Sabemos también que: v = abh2Pero tambiñen sabemos por la figura 1 que:40b =

6h ⇒ b =

40h6 , sustituyendo:

v = a(40h6 )h

2 =250h2

3

Pero buscamos: dhdv Luego entonces despejando de la fórmula del volumen:

h =√

3v250 ∴

dhdt =

d(√

3v250 )

dv · 10ft3/min = 15250 ·

√2503v Lo cual es nuestra solución general

en cualquier volumen, pero no lo queremos en cualquier volumen.

El problema pide hayar dhdt cuando h = 4ft.

Y sabemos que cuando h=4 ft, v = 250(42)

3 = 1354.6666ft3 Asi, que con lo que

hemos encontrado, sustituimos: dhdt =15250 ·

√250

3(1354.6666) = 0.01488ft/min. ∴

La altura incrementa a razón de 0.01488ft/min cuando h= 4ft.

11.-Una infección viral se propagan cierta población de manera tal que V (t) =

130t+ 10t2 personas contraen el virus en t semanas semanas. ¿A qué veloci-

dad se propaga el contacto el final de cuatro semanas?

Solución:

11

dvdt = 130 + 20tSolución general.

Y en 4 semanas:dv(4)dt = 130 + 20(4) = 130 + 80 = 210infectadoszombiesen4semanas.Solución

Particular.

12.-El costo de producir X celulares es: C(x) = 5x + 1000 Dólares y el

ingreso por X artefactos es de R(x) = 0.1x2 + 30x dólares. Encuentre el ben-

eficio marginal cuando la producción está a un nivel de 500 celulares.

Solución:

Ingreso = R(x) = 0.1x2+30x y Costo = C(x) = 5x+1000, Entonces podemos

decir también que:

Ingresomarginal = R(x) = 0.1x2+30xx y Costomarginal = C(x) =

5x+1000x

Y Beneficiomarginal = Ingresomarginal − Costomarginal = 0.1x+ 25− 1000xSabemos que B′(x) = 0.1 + 1000x2

Y se nos pide: dB(500)dx = 0.1 +1000

(500)2 = 0.104dolares

Es decir, el beneficio marginal está aumentando a razón de $0.104 cuando la

producción está en 500 unidades.

13.-Una inyección de X gramos de cierta droga resulta en una disminución

de la presión sanguínea de D(x) = 0.5x3 − 4x milímetros de mercurio. En-

cuentre la sensitividad de 4g de esta droga.

Solución:

Sabemos que D(x) = 0.5x3 − 4x ∴

D′(4) = −4 + 1.5x2

Se nos pide: d(D(4))dx = −4 + 1.5(4)2 = 20

Luego 4 gramos de droga producen una sensitividad de 20 mmHg.

13b.- La inyección de x gramos de VICODINA da lugar a un cambio en la

12

presión sanguinea dada por:

P (x) = 0.2x3 − 1.5x2

Donde P se mide en milímetros de mercurio.

¿Que dosis produce sensibilidad mínima?

Solución:

¿Sabemos algo de medicina? No , pero no importa.

Procedemos de la misma manera: P (x) = (0.2)x3 − (1.5)x2

P ′ = (0.6)x2 − 3x

P ′(x) = 0⇒ 0 = (0.6)x2 − 3x

⇒ 0 = (3x)((0.2)x− 1)

⇒ x1 = 0x2 = 5 ∴ Tenemos 2 puntos críticos, a saber, el 0 y el 5.

Sabemos que: P ′′(x) = 1.2x− 3

⇒ P ′′(0) = −3 < 0 Luego,es un máximo. P ′′(5) = 3 > 0 ∴Es un mínimo.es un

mínimo.

¿Que dosis produce sensibilidad mínima?

5 mg de Vicodina.

Y aquí hay algo interesante, evaluando en la función original ese máximo:

P (5) = 0.2(5)3 − 1.5(5)2 = −12.5mmHg

Lo cual a nosotros nos parece raro por el signo y las unidades, pero como

no sabemos de medicina, nos es indiferente, sólo proporcionamos la solución

13

matemática, el médico se encargará de interpretarla.

2 Gráficas de funciones con pts. de corte con los

ejes, máximos, mínimos o ptos. de inflexión.

14.-Grafique las siguientes funciones.

i)f(x) = 4x5 − 25x4 + 40x3

Solución:

1) Puntos de corte con el eje y:

Si x=0: f(0) = 4(0)5 − 25(0)4 + 40(0)3 = 0

Luego esa función corta al eje y en: (0, 0) 2) Puntos de corte con el eje x:

Si y=0:

0 = 4x5 − 25x4 + 40x3 = x3(4x2 − 25x+ 40)⇒ x3 = 04x2 − 25x+ 40 = 0

Es claro que: x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0

Entonces la función corta al eje x en (0, 0) (Puesto que es la misma solución,

triple).

Luego queda ver el caso: 4x2 − 25x + 40 = 0 ⇒ x = 25±√

(−25)2−4(4)(40)2·4 =

25±i√

158

Y es claro que x4 y x5 serán imaginarias, luego entonces son irrelevantes en

nuestro método.

De esto obtuvimos un solo punto remarcable, a saber: (0, 0).

3) Puntos críticos:

Si f(x) = 4x5 − 25x4 + 40x3 ⇒ f ′(x) = 20x4 − 100x3 + 120x2

14

Y si f ′(x) = 0:

20x4 − 100x3 + 120x2 = 0⇒ x2(20x2 − 100x+ 120) = 0⇒

x2 = 0 o (20x2 − 100x+ 120) = 0

Es claro, entonces que x1 = 0 y x2 = 0

Y el caso en el que (20x2 − 100x + 120) = 0: (20x2 − 100x + 120) = 0 ⇒

x2 − 5x+ 6 = 0⇒

x = 5±√

(−5)2−4(1)(6)2 =

5±1)2 ⇒ x3 = 3 y x4 = 2 ∴

Tenemos 3 puntos críticos, a saber: 0, 2, 3

Hay que ver si son máximos o mínimos.

4) Calcular si son máximos o mínimos:

Sabemos que f ′′(x) = 80x3 − 300x2 + 240x

Evaluamos, pues en la segunda derivada:

Para el punto crítico 0:

f ′′(0) = 80(0)3 − 300(0)2 + 240(0) = 0

Eso indica que hay un punto de inflexión en 0. Con coordenada en y:

f(0) = 4(0)5 − 25(0)4 + 40(0)3 = 0 ∴

Hay un punto de inflexión en (0, 0)


f ′′(2) = 80(2)3 − 300(2)2 + 240(2) = −80 < 0

Eso indica que hay un Máximo. Con coordenada en y:

f(2) = 4(2)5 − 25(2)4 + 40(2)3 = 48 ∴

Hay un punto máximo en (2, 48)


f ′′(3) = 80(3)3 − 300(3)2 + 240(3) = 180 > 0

Eso indica que hay un mínimo. Con coordenada en y:

f(3) = 4(3)5 − 25(3)4 + 40(3)3 = 27 ∴

15

Hay un punto máximo en (3, 27)

Y procedemos a graficar correctamente.

5) Gráfica:

16

ii) f(x) = x−1

Solución:


Si x=0: f(0) = (0)−1 = 10 = ind

Eso no existe, por lo tanto esa función nunca corta al eje de las y. 2)

Puntos de corte con el eje x:

Si y=0:

0 = 1xY un cociente es cero cuando el numerador es 0, y 1=0? no, Por lo tanto,

esa función nunca corta al eje de las x tampoco, por que de hecho x no

puede ser 0, eso generaría otra indeterminación.

Luego entonces no hemos podido hayar cortes con los ejes.


Si f(x) = 1x ⇒ f′(x) = − 1x2

Y si f ′(x) = 0:

0 = 1x2

Y un cociente es cero cuando el numerador es 0, y 1=0? no, Por lo tanto tam-

poco hay puntos críticos.

17


En este caso (al no encontrar puntos importantes de la función, pro-

cedemos por tanteo.)

x y

1 1

2 123 134 14-1 −1

-2 − 12-3 − 13-4 − 14

5) Gráfica:

iii)f(x) = x4 − 4x3 − 8x2 + 60

18

Solución:


Si x=0: f(0) = 04 − 4(0)3 − 8(0)2 + 60 = 60

Luego esa función corta al eje y en: (0, 60) 2) Puntos de corte con el eje x:

Si y=0:

0 = x4 − 4x3 − 8x2 + 60

Usemos División sintética para aproximar las raices de esa función.

Divisores de 60: a0 : ±1,±2,±3,±4,±5,±6,±10,±12,±15,±20,±30,±60

Divisores de 1: an = 1

a0an

: −60,−30,−20,−15,−12,−10−,−6,−5,−4,−3,−2,−1, 1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 12, 20, 30, 60

+1

1 -4 -8 0 60

1 -3 -11 -11

1 -3 -11 -11 49

+2

1 -4 -8 0 60

2 -4 -24 -48

1 -2 -12 -24 12

+3

1 -4 -8 0 60

3 -3 -33 -99

1 -1 -11 -33 -39

Pero observemos que hubo un cambio de signo en evaluaciones consecuti-

vas, a saber el 2 y el 3, por lo tanto sabemos que una raíz (no racional) se

encuentra entre 2 y 3, así pues evaluemos en un punto cercano, tomemos en

cuenta el 2.2.

+2.2

1 -4 -8 0 60

2.2 -3.96 -26.31 -52.62

1 -1.8 -11.96 -26.31 7.37

Y como la evaluación sigue siendo del mismo signo que 2 probamos con algún

número entre 2.2 y 3:

19

+2.4

1 -4 -8 0 60

2.4 -3.84 -28.416 -68.1984

1 -1.6 -11.84 -28.416 -8.1984

Y como hay un cambio de signo probamos con un número enre 2.2 y 2.4,

a saber el 2.3:

+2.3

1 -4 -8 0 60

2.3 -3.91 -27.39 -63.0039

1 -1.7 -11.91 -27.39 -3.0039

Como sigue siendo negativo(no hay cambio de signo ) probemos con algo

entre 2.2 2.3 , a saber el 2.24:

+2.24

1 -4 -8 0 60

2.24 -3.9424 -26.750976 -59.92218624

1 -1.76 -11.9424 -26.750975 0.07781346

Y la última evaluación (0.07781346) no es cero, pero ya se parece lo que nos

indica que aproximadamente esa es la solución.

La solución real es 2.24152.

Procedemos de la misma forma tratando de encontrar otra solución, pero nue-

stro número incial sería diferente, y haciendo esto llegamos a que la otra solu-

ción es: 5.11565.

Estas dos soluciones son las únicas reales, el otro par es imaginario(recordemos

que las raices imaginarias siempre vienen en pares), y esas son irrelevantes

para nuestro método.

Entonces la función corta al eje x en (2.24152, 0) y (5.11565, 0).


Si f(x) = x4 − 4x3 − 8x2 + 60⇒ f ′(x) = 4x3 − 12x2 − 16x

Y si f ′(x) = 0:

4x3 − 12x2 − 16x = 0⇒ x(4x2 − 12x− 16) = 0⇒

x1 = 0 o (x2 − 3x− 4) = 0

20

(x2 − 3x− 4) = 0⇒

x = 3±√

(−3)2−4(1)(−4)2 =

3±5)2 ⇒ x2 = 4 y x3 = −1

Por lo tanto tenemos 3 puntos críticos, a saber: 0, 4,−1

Hay que ver si son máximos o mínimos.


Sabemos que f ′′(x) = 12x2 − 24x− 16

Evaluamos, pues en la segunda derivada:


f ′′(0) = −16 < 0

Eso indica que es máximo. Con coordenada en y:

f(0) = 60 ∴

Hay un punto de inflexión en (0, 60)


f ′′(2) = 80 > 0


f(4) = −68 ∴

Hay un punto máximo en (4,−68)


f ′′(−1) = 20 > 0


f(−1) = 57 ∴

Hay un punto máximo en (−1, 57)

Y procedemos a graficar correctamente.

5) Gráfica:

21

iv)f(x) = −3x4 + 8x3 − 10

Solución:


Si x=0

f(0) = −10 ∴

Un punto importante: (0,−10)

2) Puntos de corte con el eje x:

Si y=0:

0 = −3x4 + 8x3 − 10 Procedemos por división sintética:

Divisores de 10: a0 : ±1,±2,±5,±10

Divisores de 1: an = 1, 3

a0an

: ±1,± 13 ,±2,±23 ,±5,±

53 ,±10,±

103

22

+1

-3 8 0 0 -10

-3 5 5 5

-3 5 5 5 -5

+2

-3 8 0 0 -10

-6 4 8 16

-3 2 4 8 6

Y observamos que hay un cambio de signo, por lo tanto hay una raíz entre

1 y 2, usemos 1.4 por ejemplo:

+1.4

-3 8 0 0 -10

-4.2 5.32 7.448 10.42

-3 3.8 5.32 7.448 0.42

Pero observemos que hubo un cambio de signo entre el 1 y el 1.4, por lo

tanto sabemos que una raíz (no racional) se encuentra entre 1 y 1.4, así pues

evaluemos en un punto entre ellos, tomemos en cuenta el 1.35 .

+1.35

-3 8 0 0 -10

-4.05 5.3325 7.198815 9.718481

-3 3.95 5.3325 7.198875 -0.28151

Luego entonces la solución es aproximadamente 1.35.

Busquemos otra solución, intentemos con 103 :

+ 103

-3 8 0 0 -10

-10 − 203 −2003 −

20003

-3 -2 − 203 −2003 -84.07

Y como hay un cambio de signo probamos con un número enre 2 y 103 ,usemos

2.43 por ejemplo:

+2.3

23

-3 8 0 0 -10

-0.729 1.17253 4.1924 10.18

-3 0.71 1.7253 4.1924 0.18

Por lo tanto una solución es aproximadamente 2.43.

Entonces la función corta al eje x en (2.43, 0) y (1.35, 0).


Sabemos que f ′(x) = −12x3 + 24x2 y si x2(−12x+ 24) = 0⇒ x = 0 o x = 2

Y tenemos puntos críticos en 0 y 2.


Sabemos también que :

f ′′(x) = −36x2 + 48x⇒ f ′′(0) = 0 es un punto de inflex.,

f ′′(2) = −48 < 0 es un max.

5) Gráfica:

v)f(x) = x4 − 8x3 + 18x2 − 10

Solución:

24

Si x=0

f(0) = −10 ∴

Un punto importante: (0,−10)


Si y=0:

Procedemos por división sintética:

Divisores de -10: a0 : ±1,±2,±5,±10

Divisores de 1: an = 1, 3

a0an

: ±1,±2,±5,±10

-1

1 -8 18 0 -10

-1 9 -9 9

1 -9 9 -9 -1

+1

1 -8 18 0 -10

1 -7 11 11

1 -7 11 11 1


-1 y 1, usemos 0.93 por ejemplo:

+0.93

1 -8 18 0 -10

0.93 -7.2912 9.959 9.26

1 -7.84 10.7088 9.959 -0.73Lo cual usaremos como solución de la ecuación.

25

Probemos con otro número, a saber el -2.

-2

1 -8 18 0 -10

-2 20 -76 152

1 -10 38 -76 142

-0.6

1 -8 18 0 -10

-0.6 5.16 -13.896 8.33

1 -8.6 23.16 -13.896 -1.66

-0.65

1 -8 18 0 -10

-0.65 5.6225 -15.354625 9.98050625

1 -8.65 23.6225 -15.354625 -0.01949375

Luego entonces la solución es aproximadamente -0.65.

Entonces la función corta al eje x en (−0.65, 0) y (0.93, 0).


f ′(x) = 4x3 − 24x2 + 36x sif ′(x) = 0⇒ x(4x2 − 24x+ 36) = 0

⇒ x = 0ox2 − 6x+ 9 = 0⇒ (x− 3)2 = 0⇒ x = 3


Sabemos que f ′′(x) = 12x2 − 48x+ 36, entonces:

f ′′(0) = 36 > 0 Es un mínimo.

Con coordenada en y:

y = f(0) = −10

f ′′(3) = 0 Es un punto de inflexión.


y = f(3) = 17

Y procedemos a graficar.

26

5) Gráfica:

vi) f(x) = x13

Solución:


Si x=0:

f(0) = (0)13 = 0

(0, 0)


0 = x13 ⇒ 03 = x⇒ (0, 0)

Punto de corte con y.


f ′(x) = 13x

23Si f ′(x) = 0 ⇒ 0 = 1

3x23

Y para que eso fuera cierto 1 tendria

que ser igual a 0, eso es una contradicción, por lo tanto no hay puntos críticos,

ergo, no hay ni máximos, ni mínimos, ni puntos de inflexión.

27

5) Gráfica:

vii)f(x) = x4 − 13x2 + 36

Solución:


Si x=0:

f(0) = 36

Punto importante: (0, 36)


Si y=0:

0 = x4 − 13x2 + 36

Sea z = x2, luego entonces:

0 = z2 − 13z + 36⇒ z = 13±√

(−13)2−4(1)(36)2 =

13±52

⇒ z1 = 9 y z2 = 4 y como : z = x2 ⇒ x =√z ⇒ x1 = ±3 y x2 = ±2

Puntos importantes: (3, 0), (2, 0)


f ′(x) = 4x3 − 26x

Si f ′(x) = 0 ⇒ 0 = 4x3 − 26x = x(4x2 − 26) ⇒ x = 0 o 4x2 − 26 = 0 ⇒ x =

28

±√

13/2 4) Calcular si son máximos o mínimos:

Sabemos que f ′′(x) = 12x2 − 26, entonces:

f ′′(0) = −26 < 0 Es un máximo. Con coordenada en y:

y = f(0) = 36

f ′′(+√

132 ) = 52 > 0 Es un mínimo. Con coordenada en y:

y = f(+√

132 ) = −6.25

f ′′(−√

132 ) = 52 > 0 Es un mínimo. Con coordenada en y:

y = f(−√

132 ) = −6.25

Y procedemos a graficar.

5) Gráfica:

viii)f(x) = x3 − 8x2 − 9x+ 18

Solución:


Si x=0:

f(0) = 18

29

Punto de corte con y: (0, 18)


Si y =0:

f(x) = x3 − 8x2 − 9x+ 18 = 0

⇒ Procedemos por división sintética:

Divisores de 18: a0 : ±1,±2,±3,±6,±9,±18

-2

1 -8 -9 18

-2 20 -22

1 -10 11 -4

-1

1 -8 -9 18

-1 9 0

1 -9 0 18


-2 y -1, usemos -1.88 por ejemplo:

-1.88

1 -8 -9 18

-1.88 18.5744 -17.999872

1 -9.88 9.5744 0.000128

Lo cual usaremos como solución de la

ecuación.

Probemos con otro número, a saber el 1.

+1

1 -8 -9 18

1 -7 -16

1 -7 -16 2+2

30

1 -8 -9 18

2 -12 -42

1 -6 -21 -24


1 y 1, usemos 1.08 por ejemplo:

+1.08

1 -8 -9 18

1.08 -7.4736 -17.79

1 -6.92 -16.43735 0.20Luego entonces la solución es aproximadamente 1.08.

Usemos 6 por ejemplo:

+6

1 -8 -9 18

6 -12 -126

1 -2 -24 -108

Usemos ahora 9:

9

1 -8 -9 18

9 9 0

1 1 0 18

Observemos que hay un cambio de signo, entonces probe-

mos con un número entre 6 y 9, por ejemplo el 8.79:

Probemos con otro número, a saber el 1.

+8.79

1 -8 -9 18

8.79 6.9441 -18.07

1 0.79 -2.0559 -0.071

31

Luego entonces la solución es aproximadamente 8.19

Entonces la función corta al eje x en (1.8, 0),(−1.88, 0) y (8.79, 0).


Sabemos que: f ′(x) = 3x2−16x−9⇒ 0 = 3x2−16x−9⇒ x = 16±√

(−16)2−4(3)(−9)6 =

16±19.0786

x1 = −0.513 y x2 = 5.84


Sabemos también que:

f ′′(x) = 6x− 16

∴ f ′′(−0.513) < 0 ∴ es un máximo.

Con coordenada y:

f(-0.513)=20.3766

f ′′(5.84) > 0 ∴ es un mínimo.

Con coordenada y:

f(5.84)=-108.228

Y procedemos a graficar con los puntos que encontramos.

5) Gráfica:

32

ix)f(x) = x4 − 4x3 − 35x2 + 192x

Solución:


Si x=0:

f(0) = 0

Punto de corte con y: (0, 0)


Si y =0:

f(x) = x4 − 4x3 − 35x2 + 192x = 0⇒ x(x3 − 4x2 − 32x+ 192) = 0

⇒ x = 0 o x3− 4x2− 32x+ 192 = 0 Si procedemos por división sintética pode-

mos ver claramente la raíz real de esa función, es decir, cuando corta al eje x

es:

(−6.32734, 0)

Por lo tanto corta al eje x en : (−6.32734, 0), (0, 0)


Sabemos que: f ′(x) = 4x3 − 12x2 − 64x + 192 ⇒ 0 = x3 − 3x2 − 16x + 48 =

33

(−4 + x)(−3 + x)(4 + x)⇒ x1 = 4, x2 = 3, x3 = −4


Sabemos también que:

f ′′(x) = 12x2 − 24x− 64

∴ f ′′(−4) = 224 > 0 ∴ es un mínimo.

Con coordenada y:

f(4)=256

f ′′(4) = 32 > 0 ∴ es un mínimo.

Con coordenada y:

f(-4)=-768

f ′′(3) = −28 < 0 ∴ es un máximo.

Con coordenada y:

f(3)=261

5) Gráfica:

x)f(x) = xln(x)

Solución:


34

Si x=0: f(0) = 0ln(0)⇒ # ∴

Nunca corta al eje y.


Si y=0: 0 = xlnx ⇒ x = 0 o ln(x) = 0 Pero x no puede ser 0 por la definición

de ln(x), luego la única solución coherente es cuando ln(x) = 0⇒ x = 1 (1, 0)


Sabemos que la derivada sería:

f ′(x) = 1 + ln(x)

Si f’(x)=0:

0 = 1 + ln(x)⇒ −1 = ln(x)⇒ e−1 = x = 1e4) Calcular si son máximos o mínimos:

f ′′(x) = 1x ⇒ f′′( 1e ) =

1qe

= e > 0 ∴

Es un mínimo.


f( 1e ) =1e ln(

1e ) = −

1e ∴ Hay un mínimo en: (

1e ,−

1e ) 5) Gráfica:

xi)f(x) = e−x

Solución:

35


Si x=0:

f(0) = e−0 = 1

(0, 1)


0 = e−x ⇒ −ln(x) = x⇒ # ∴

Nunca corta al eje x.


f ′(x) = −e−x Si f ′(x) = 0 ⇒ 0 = −e−x ⇒ ln(0) = −e−x ⇒ # ∴ No hay

puntos críticos.

5) Gráfica:

36

3 Máximos y Mínimos (Optimización)

15.-El señor Tomás va a construir un jardín rectangular con área de 400 pies

cuadrados. Si por la barda cobran 0,30 por pie lineal cuál es la mínima canti-

dad que le costará bordearlo.

Solución:

Sabemos que el costo de esa barda en términos simples estaría dado por:

c = 0.30 · perimetro

Pero también sabemos que el perímetro de un rectángulo está dado por:

P = 2a+ 2b

Sustituimos:

c = 0.30 · (2a+ 2b)

Lo cual está en función de dos variables, para hacerlo mas fácil hay que

dejarlo en función de una sola variable.

Sabemos que el área de un rectángulo está dada por:

37

A = a · b

Para este problema sabemos que A=400, luego entonces:

400 = a · b, despejando cualquiera de las dos variables, a saber, a:

a = 400bSustituimos en la fórmula del costo:

c = 0.30 · (2( 400b ) + 2b) = 240b−1 + 0.6b

Lo cual ya es una función de una sola variable, la cual ya podemos derivar,

a saber , como sigue:

c′(b) = −240c−2 + 0.6

Encontremos los puntos críticos de esa función, si:

0 = −240b−2 + 0.6⇒ b2 = 400

⇒ b1 = 20, b2 = −20

¿Como saber si son máximos?

Podríamos evaluar en la segunda derivada de c(b) pero si nos fijamos un

valor es negativo.

Recordemos que b es la base del rectángulo a bardear, y ¿podemos tener

longitudes negativas? no, luego entonces el que buscamos es 20 y ya no

tenemos que evaluar, nótese que si no nos hubiéramos fijado hubiéramos he-

cho cosas en vano, y es lo que queremos evitar razonando lo que estamos

haciendo.

Entonces podemos dar un resultado, a saber b=20, calculemos a:

a = 400b =40020 = 20

∴

Y lo que se nos pide es que optimicemos el costo de la barda, luego en-

tonces como a=20 y b=20 son las medidas del terreno que optimizan el costo,

sustituimos en la fórmula del costo para saber cuanto pagaremos por dicha

barda.

c(b) = 240b−1 + 0.6b

∴ c(20) = 240(20)−1 + 0.6(20)

= 12 + 12 = 24

La cerca costará 24 centavos, pesos o la unidad monetaria que se maneje,

nos es indistinto.Luego entonces, el costo fué optimizado.

38

16.-La compañía de reproducciones originales "El pirata feliz" puede producir

un máximo de 30 videos semanales. Se estima que se pueden vender n videos

P pesos cada uno, donde P = 120 -2n , el costo total de producir videos es:

C(x) = 500 − 8n + 22 ¿Cuantos vídeos deberán vender para maximizar las

utilidades de la compañía?

Solución:

De manera general y en simples términos, por que no somos contadores, los

gastos se pueden expresar de la siguiente forma:

G = Entradasdinero − Salidasdinero =

(numero de productos · precio)− costo =

n(120− 2n)− n2 − 8n− 500 =

120− 2n2 − n2 − 8n− 500 =

− 3n2 + 112n− 500

Derivando e igualando a 0:

G′(n) = −6n+ 112

Si

− 6n+ 112 = 0⇒ n = 1126 = 18.666666667

Para saber si es mínimo o máximo evaluamos en la segunda derivada:

39

G′′(n) = −6

y

G′′(18.66) = −6 < 0⇒

es un máximo.

Pero, ¿será conveniente fabricar 18 DVD’s y 0.66 DVD ?

No

¿Por que no?

Por que gastamos material en vano, no podemos vender 0.66 partes de

disco, y eso se queda, es inutilizable.

Luego entonces lo que se hace en este tipo de situaciones es evaluar en

los enteros mas próximos a nuestra solución matemática, que aclarando no es

incorrecta, solo que se sale del contexto del problema.

Los enteros más próximos son 18 y 19, evaluemos pues en ellos:

Si:

G(n) = −3n2 + 112n− 500⇒

G(18) = 544

G(19) = 545

Entonces 19 discos es nuestra solución mas óptima, basada en la solución

matemática pero ajustada al mundo real.

17.- Una compañía quiere entregar gas natural desde un punto S a una planta

P localizada al otro lado de un río de 3 km de ancho y Río Abajo,5 km. Si

cuesta cuatro pesos la colocación de 1 m de tubería en el lecho del río sola-

mente dos pesos en tierra, ¿cuál es la trayectoria más económica para poner

el tubo.?

Solución:

Precios: AGUA: 4 - 1m⇒ 4000 - 1km

TIERRA: 2 - 1m⇒ 2000 - 1km

Luego el costo está dado por la siguiente función y es la que trataremos de

minimizar:

40

C(x) = 4000(√

32 + (5− v)2) + 2000v

Sabemos que:

C ′(x) = 2000(1 + (2(−5+v))√(34−10v+v2)

)

Busquemos un punto crítico:

0 = 2000(1 + (2(−5+v))√(34−10v+v2)

)⇒ −11 =(2(−5+v))√(34−10v+v2)

⇒ (2(−5 + v)) = −√

(34− 10v + v2) ⇒ (2(−5 + v))2 = (34 − 10v + v2) ⇒

(−10 + 2v)2 = (34− 10v + v2)

⇒ 100− 40v + 4v2 = (34− 10v + v2)

⇒ v−10v + 22 = 0⇒ v = 50±√

(−10)2−4(22)2 ⇒ v1 = 6.73205 o v2 = 3.2679

Y aqui observemos que sería v lo que estaríamos calculando, a saber la dis-

tancia por tierra pero la distancia por tierra tiene un límite, a saber 5km y una

solución se sale de la realidad o básicamente incrementa los costos en lugar

de minimizarlos, luego la solución correcta es 3.26 y es la que minimiza los

costos.

Luego entonces el costo vendría dado por C(x) = 4000(3.46) + 2000(3.2679)

Esto quiere decir 3.46 km por río y 3.26 por tierra, lo cual costará 20375.8 pe-

sos.

41

18.- Si un cultivador veracruzano planta 20 naranjos por acre, entonces el

rendimiento promedio es de 360 naranjas por árbol, Por cada árbol adicional

por acre que pase de 20, el cultivador obtendrá 15 naranjas menos por árbol .

¿Cuántos árboles por acre darán la mejor cosecha?

42

Solución:

Sabemos que la cosecha está dada por :

cosecha = N.dearboles ·N.denaranjas

Es decir:

c = a · n

Lo cual vuelve a estar en función de dos variables, así que con o que nos

dice el problema trataremos de reescribirla de forma que nos convenga, a

saber:

Se siembran originalmente 20 árboles pero habrá árboles extra, llamemos

x a los árboles extra, el nombre de la variable es indiferente. Luego:

a = 20 + x (20 arboles mas los extra, que no sabemos cuantos serían).

También sabemos que el número de naranjas disminuye en 15 por cada

árbol extra, esto es: n = 360− 15x Sustituyendo:

43

c = a ·n = (20 + x) · (360− 15x) Haciendo álgebra: c = −15x2 + 60x+ 7200

La cual es una función de una variable, derivable y que por lo tanto pode-

mos trabajar como ya hemos aprendido.

Encontremos los puntos críticos si es que los hay:

Sabemos que la derivada de c(x) es: c(x)′ = −30x + 60 Si c(x)′ = 0 ⇒

−30x+ 60 = 0⇒ x = −60−30 = 2

Entonces 2 es un punto crítico, veamos si un máximo o mínimo:

Sabemos que : c(x)′′ = −30 Evaluamos el punto crítico que obtuvimos:

c(2)′′ = −30 < 0 ∴ Es un máximo, el que estamos buscando.

Con: c(2) = (22)(360 − 15(2)) = 22(330) = 7260 será la cosecha máxima.

Luego entonces:

Para tener una cosecha máxima de 7260 naranjas hay que sembrar

22 árboles por acre y cada árbol producirá 330 naranjas, luego entonces

hemos optimizado la cosecha del agricultor, y por lo tanto ya podemos

cobrar.

19.- La compañía de disco "COOL" estima poder vender 400 álbumes de cierto

grupo de rock 5.05 pesos la pieza. Por cada 0,10 de menos en el precio es-

tima que venderá 200 álbumes más. A la compañía le cuesta cada álbum dos

pesos y sus costos fijos son de 5000. Determine el precio óptimo

Solución:

De manera simple podemos escribir las ganancias o el dinero ganado la com-

pañia Cool como:

Dinero = Ingresos−Gastos Donde:

Ingresos = (albumes) · (precio)

Donde:

albumes = 400 + 200x

precio = 5.05− 0.10x

y:

Gastos = (2(400 + 200x)) + 5000

∴ D(x) = ((400 + 200x)(5.05 − 0.10x)) − ((2(400 + 200x)) + 5000) = −5000 −

2(400 + 200x) + (5.05− 0.1x)(400 + 200x)

Sabemos que D′(x) = 570− 40x

44

Y buscamos un máximo:

0 = 570− 40x⇒ x = 14.25

Sabemos también que D′′(x) = −40⇒ D′′(14.25) = −40 < 0 ∴ es un máximo.

Luego entonces produciría dinero:

D(14.25) = 281.25 ∴ el precio óptimo es (5.05− 0.10(14.25)) = 3.625 y con eso

se consiguen ganancias máximas de $281.25 .

20.- El promotor algún artista sabe que él podrá llenar un estadio de 50.000

localidades cobrando 120 por asiento, pero sólo venderá 40000 si eleva el pre-

cio 150. Los gastos para el concierto alcanzan 15 millones y además de esto,

el promotor deberá pagar a los dueños del estadio seis pesos por boleto ven-

dido. Optimice.

Solución:

De manera simple podemos escribir las ganancias o el dinero ganado por

el equipo del artista como:


Ingresos = (personas) · (entrada)

Donde:

personas = 50000− 10000x

entrada = 120 + 30x

y:

Gastos = (15000000) · (6(entrada)) = (15000000) · (6(120 + 30x))

∴ D(x) = ((50000− 10000x)(120 + 30x))− (15000000 + 6(120 + 30x))

Sabemos que D′(x) = 299820− 600000x


0 = 299820− 600000x⇒ x = 0.4997

Sabemos también que D′′(x) = −600000⇒ D′′(0.4997) < 0 ∴ es un máximo.


D(0.4997) = −8.92581 · 106 Lo cual es una pérdida de dinero, por lo tanto no le

conviene invertir en ese negocio.

Suponiendo que los gastos para el concierto fueran 1500000:

45

De manera simple podemos escribir las ganancias o el dinero ganado por el

equipo del artista como:


Ingresos = (personas) · (entrada)

Donde:

personas = 50000− 10000x

entrada = 120 + 30x

y:

Gastos = (1500000) · (6(entrada)) = (1500000) · (6(120 + 30x))

∴ D(x) = ((50000− 10000x)(120 + 30x))− (1500000 + 6(120 + 30x))

Sabemos que D′(x) = 299820− 600000x


0 = 299820− 600000x⇒ x = 0.4997

Sabemos también que D′′(x) = −600000⇒ D′′(0.4997) < 0 ∴ es un máximo.


D(0.4997) = 4.57419 · 106 lo cual serían ganancias máximas.

21.- Durante una epidemia de gripa que dura 22 días, el número de personas

contagiadas pasados t días es N(t) = 288 + 30t2 − t3. ¿En qué momento se

propaga más rápidamente la enfermedad?

Solución:

¿Sabemos algo de salud pública? No, pero no importa.

No importa por que ya tenemos una función, a saber N(t), la cual es deriv-

able.

Sabemos que:

N ′(t) = 60t− 3t2

Si N ′(t) = 0⇒ 0 = 60t− 3t2

46

⇒ 0 = (3t) · (20− t)⇒ t1 = 0 o t2 = 20 ∴

Hay dos puntos críticos, a saber el 0 y el 20

Sabemos que :

N ′′(t) = 60− 6t

⇒ N ′′(0) = 60 > 0 es un min

N ′′(20) = −60 < 0 es un max

¿En que momento se propaga mas rápidamente la enfermedad?

Como el máximo fué 20, sabemos que pasados 20 días la enfermedad se

propaga con mas rapidéz.

22.-La producción diaria de una mina de carbón que puede operar hasta

14 horas diarias es 54t− 0.09t3 pasadas t horas. ¿Cuantas horas diarias debe

trabajar lámina para una producción máxima?

Solución:

P (t) = 54t− 0.09t3 ⇒ P ′(t) = 54− 0.27t2

Calculemos puntos críticos:

0 = 54− 0.27t2 ⇒ t = ±14.14

Sabemos que una de las respuestas es negativa y como es tiempo de lo que

hablamos pues la descartamos.

Entonces procedemos con la segunda(la positiva),pero la mina no puede tra-

bajar mas de 14 horas, así que 14 horas maximiza la producción.

23.- Se ha demostrado experimentalmente que la velocidad V del aire

que penetra en un tubo especial al toser una persona está dado por v(r) =

47

kr2(r0 − r); en donde r0 es el radio del tubo cuando la persona no tose, R es

el radio cuando tose y k es una constante. Cual es el valor de R para que la

velocidad del flujo de aire sea máximo?

Solución:

Sabemos que v′(r) = r(2(r0 + r)− kr) Encontremos un punto crítico:

0 = r(2(r0 +r)−kr)⇒ r = 0 o 2(r0 +r)−kr = 0⇒ r = 2r0k−2 K siempre es pos-

itiva por que si fuera negativa implicaría una velocidad negativa, eso implicaría

a su vez que el paciente no tose, aspira y esa no es la situación contemplada

en el problema.

Si r=0, implica que no hay velocidad, esto es, cuando el paciente no tose.

Entonces el caso que nos interesa es cuando r = 2r0k−2 :

Sabemos que: v′′(r) = 4r − 2kr + 2r0Evaluando r = 2r0k−2 :

v′′( 2r0k−2 ) = 4(2r0k−2 )− 2k(

2r0k−2 ) + 2r0 = −2r0 < 0 ∴ es un máximo.

∴ Si r = 2r0k−2 la velocidad es máxima.

24.-La propietaria de un jardín de niños puede recibir 25 niños a razón de

95 mensuales. Por cada aumento de cinco pesos perder a un alumno, si el

cupo máximo es de 30, que cuota mensual maximizará sus ingresos

Solución:

Podemos expresar en simples términos las ganancias de la propietaria

como: Dinero = infantes x cuotamensual

Donde:

cuotamensual = 95 + 5x

y:

infantes = 25− x

Luego: D(x) = (95 + 5x) · (25− x) = 2375 + 30x− 5x2

Optimicemos esa función:

Sabemos que:

D′(x) = 30− 10x

Encontrando puntos críticos:

48

0 = 30− 10x⇒ x = 3

Sabemos tambien que:

f ′′(3) = −10 < 0 ∴ Es un máximo.

El cual logrará ganancias:

D(3) = 2420 ∴ que serán máximas.

Resumiendo:

Si la propietaria del jardín de niños hace 3 aumentos de $5 a la cuota men-

sual, las ganancias máximas de $2420 se lograrán si 22 niños dan una cuota

mensual de 110.

4 Integración Numérica

25.-Integre numéricamente

i)6∫0

x2 dx

Solución:

Por defecto:

Ad = f(0)(1) + f(1)(1) + f(2)(1) + f(3)(1) + f(4)(1) + f(5)(1) =

02 + 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 0 + 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55

Por exceso:

Ae = f(1)(1) + f(2)(1) + f(3)(1) + f(4)(1) + f(5)(1) + f(6)(1) =

12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91

Área promedio:

Ap = Ad+Ae2 =1462 = 73

49

ii)9∫4

e−x2dx

Solución:

Por defecto:

Ad = f(4)(1) + f(5)(1) + f(6)(1) + f(7)(1) + f(8)(1) =

e−(4)2+ e−(5)

2+ e−(6)

2+ e−(7)

2+ e−(8)

2= 1.12549x10−7

Por exceso:

Ae = f(5)(1) + f(6)(1) + f(7)(1) + f(8)(1) + f(9)(1) =

e−(5)2+ e−(6)

2+ e−(7)

2+ e−(8)

2+ e−(9)

2= 1.38882x10−11

Área promedio:

Ap = Ad+Ae2 =1.12549x10−7+1.38882x10−11

2 = 5.62814x10−8

50

iii)20∫0

x2ln(x) dx

Solución:

Por exceso:

Ad = f(1)(1) + f(2)(1) + f(3)(1) + f(4)(1) + f(5)(1) + f(6)(1) + f(7)(1) +

f(8)(1) + f(9)(1) + f(10)(1)

+ f(11)(1) + f(12)(1) + f(13)(1) + f(14)(1) + f(15)(1) + f(16)(1) + f(17)(1) +

f(18)(1) + f(19)(1) + f(20)(1) =

(1)2ln(1)+(2)2ln(2)+(3)2ln(3)+(4)2ln(4)+(5)2ln(5)+(6)2ln(6)+(7)2ln(7)+

(8)2ln(8) + (9)2ln(9) + (10)2ln(10) + (11)2ln(11) + (12)2ln(12) + (13)2ln(13) +

(14)2ln(14)+(15)2ln(15)+(16)2ln(16)+(17)2ln(17)+(18)2ln(18)+(19)2ln(19)+

(20)2ln(20)

= 7710.5597124624234474630974859802564090662150157244825

51

iv)6∫5

xln(x2) dx

Solución:

Por exceso:

Ad = f(6)(1) = (6)ln(62) = 21.501113630736660009749728300568427272675888306196056

52

v)∫

13√

2πe−

12 (x−53 )

2dx

Solución:

Esa integral no se puede integrar numéricamente puesto que carece de límites

de integración, los cuales son necesarios para el método de integración numérica,

esto es, no pudeo saber cual será la longitud de los rectángulos que se van a

usar y no la vamos a inventar.

5 Área bajo la curva

26.-Encuentre el área bajo la curva dada en el intervalo definido

Solución:

i) y = x3 − 3x2 − x en (0,3)

53

i hacemos y = x3 − 3x2 − x = 0 sabemos que esa función corta al eje de

las x en: (−0.302, 0), (0.0), (3.302, 0).

Pero observemos que el intervalo de integración es de 0 a 3 por lo tanto:

El área total la podemos escribir como sigue:

AT = A1

A1 =0∫3

x3 − 3x2 − x dx = 11.25

AT = A1 = 11.25u2

ii) y = ex en (-3,8)

54

De la gráfica podemos observar que no hay área bajo el eje x, por lo tanto

el área de la función ex desde 0 hasta 3 viene dada por:8∫−3ex dx = ex|8−3 = e8 − e−3 = − 1e3 + e

8 = 2980.90819u2

iii) y = x4 − 4x2 + 3 en (-2,2)

55

De la gráfica podemos observar que hay 2 secciones de área bajo el eje x,

por lo tanto el área de la función se debe descomponer en varias secciones, 1

por cada sección de área, en este caso 5.

Si hacemos y = x4 − 4x2 + 3 = 0 sabemos que esa función corta al eje de las

x en: (1, 0), (−1, 0), (√

3, 0), (−√

3, 0)


AT = A1 +A2 +A3 +A4 +A5

A1 =−√

3∫−2

x4 − 4x2 + 3 dx = 0.34769262

A2 =−√

3∫−1

x4 − 4x2 + 3 dx = 0.48102602

A3 =1∫−1x4 − 4x2 + 3 dx = 3.73333

56

A41∫√

3

x4 − 4x2 + 3 dx = 0.48102602

A52∫√

3

x4 − 4x2 + 3 dx = 0.3476926

AT = A1 +A2 +A3 +A4 +A5 = 5.39076724u2

iv) y = x3 − 3x2 + 3x− 1 en (-4,10)

De la gráfica podemos observar que hay 1 sección de área bajo el eje x,

por lo tanto el área de la función se debe descomponer 2 secciones.

Si hacemos y = x3 − 3x2 + 3x − 1 = 0 sabemos que esa función corta al eje

de las x en: (1, 0)


57

AT = A1 +A2

A1 =−4∫1

x3 − 3x2 + 3x− 1 dx = 156.25

A2 =10∫1

x3 − 3x2 + 3x− 1 dx = 1640.25

AT = A1 +A2 = 1796.5u2

v) y = x4 + 8x3 + 18x2 + 16x+ 1 en (-3,12)

Si hacemos y = x4 + 8x3 + 18x2 + 16x + 1 = 0 sabemos que esa función

corta al eje de las x en: (−5.05, 0) y (−0.067, 0), interesándonos solo el se-

gundo por los límites del problema.

Por lo tanto el área de la función se debe descomponer 2 secciones.


AT = A1 +A2

A1 =−3∫

−0.067x4 + 8x3 + 18x2 + 16x+ 1 dx = 20.4325

58

A2 =12∫

−0.067x4 + 8x3 + 18x2 + 16x+ 1 dx = 102770

AT = A1 +A2 = 102790.4325u2

vi) y = x5 + 3x4 − 2x3 + 5 en (-10,10)

Si hacemos y = x5 + 3x4 − 2x3 + 5 = 0 sabemos que esa función corta al

eje de las x en: (−3.58765, 0).



AT = A1 +A2

59

A1 =−10∫

−3.58765x5 + 3x4 − 2x3 + 5 dx = 101719

A2 =10∫

−3.58765x5 + 3x4 − 2x3 + 5 dx = 221819

AT = A1 +A2 = 323538u2

vii) y = x5 + 5x4 + 10x3 + 10x2 + 5x en (-8,15)

Si hacemos y = x5 + 5x4 + 10x3 + 10x2 + 5x = 0 sabemos que esa función

corta al eje de las x en: (0, 0).



AT = A1 +A2

60

A1 =−8∫0

x5 + 5x4 + 10x3 + 10x2 + 5xdx = 19616

A2 =15∫0

x5 + 5x4 + 10x3 + 10x2 + 5x dx = 2.7961875 · 106

AT = A1 +A2 = 2.8158035 · 106u2

Lista de ejercicios del primer departamental de cálculo aplicado.

61

Razones de cambioGráficas de funciones con pts. de corte con los ejes, máximos, mínimos o ptos. de inflexión.Máximos y Mínimos (Optimización)Integración NuméricaÁrea bajo la curva

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Instituto Politécnico Nacional · 2012. 10. 2. · Lista de ejercicios del primer departamental de cálculo aplicado. 3. 1 Razones de cambio 1.- ... 3s= x) s= x 3 Sabemos lo siguiente: