Instituto Politécnico Nacional · derechos autorales, industriales, secretos industriales, ... Primera sección: actividades de construcciones geométricas vinculadas a los usos

Usos y resignificación del número real en la obra matemática de René Descartes

1

Instituto Politécnico Nacional

Centro de Investigación en Ciencia Aplicada

y Tecnología Avanzada

Unidad Legaria

Usos y resignificación del número real en la obra

matemática de René Descartes

Tesis que para obtener el grado de

Maestra en Ciencias en Matemática Educativa

Presenta

María Alexandra Fregueiro

Directora de tesis

Dra. Gabriela Buendía Ábalos

Rocha-Uruguay, 2014


2

Autorización de uso de obra

Instituto Politécnico Nacional

P r e s e n t e

Bajo protesta de decir verdad el que suscribe María Alexandra Fregueiro (se

anexa copia simple de identificación oficial), manifiesto ser autora y titular de

los derechos morales y patrimoniales de la obra titulada (Usos y

resignificación del número real en la obra matemática de René Descartes),

en adelante “La Tesis” y de la cual se adjunta copia, por lo que por medio del

presente y con fundamento en el artículo 27 fracción II, inciso b) de la Ley

Federal del Derecho de Autor, otorgo a el Instituto Politécnico Nacional, en

adelante El IPN, autorización no exclusiva para comunicar y exhibir

públicamente total o parcialmente en medios digitales (formato electrónico

archivo PDF) “La Tesis” por un periodo de (10 años) contado a partir de la

fecha de la presente autorización, dicho periodo se renovará automáticamente

en caso de no dar aviso a “El IPN” de su terminación.

En virtud de lo anterior, “El IPN” deberá reconocer en todo momento mi calidad

de autor de “La Tesis”.

Adicionalmente, y en mi calidad de autor y titular de los derechos morales y

patrimoniales de “La Tesis”, manifiesto que la misma es original y que la

presente autorización no contraviene ninguna otorgada por el suscrito respecto

de “La Tesis”, por lo que deslindo de toda responsabilidad a El IPN en caso de

que el contenido de “La Tesis” o la autorización concedida afecte o viole

derechos autorales, industriales, secretos industriales, convenios o contratos

de confidencialidad o en general cualquier derecho de propiedad intelectual de

terceros y asumo las consecuencias legales y económicas de cualquier

demanda o reclamación que puedan derivarse del caso.

México, D.F., 18 de noviembre de 2014.

Atentamente

____________________________


3

AGRADECIMIENTOS

A los integrantes del sínodo; Dra. Liliana Suárez, Dra. Gisela Montiel y Dr.

Apolo Castañeda por dedicar tiempo a la lectura de este trabajo, por sus

comentarios y aportes que han permitido enriquecerlo.

Al Instituto Politécnico Nacional por brindarme la posibilidad de realizar esta

maestría en línea.

Muy especialmente a:

La Directora de este proyecto, Dra. Gabriela Buendía por toda su dedicación,

apoyo y confianza en este trabajo y en mí.

La Dra. Cristina Ochoviet quien ha dedicado tiempo a leer este trabajo y cuyas

sugerencias y comentarios han generado nuevas instancias de reflexión que

han permitido enriquecerme y enriquecer este trabajo.


4

TABLA DE CONTENIDOS

Agradecimientos .................................................................................................................................... 3

Tabla de contenidos ............................................................................................................................... 4

Tabla de figuras ..................................................................................................................................... 6

Glosario ................................................................................................................................................. 8

RESUMEN ................................................................................................................................ 11

Abstract ............................................................................................................................................. 12

INTRODUCCIÓN .................................................................................................................... 13

1- ANTECEDENTES ............................................................................................................... 16

1.1 Planteamiento del problema ................................................................................................... 16

1.2 Estado del arte .............................................................................................................................. 21

1.2.1 La importancia de la historia de la matemática en la educación matemática. ........................ 22

1.2.2 Acerca de la construcción histórica de los números reales ...................................................... 26

1.2.3 Acerca de los usos y resignificación de conceptos matemáticos ............................................. 33

1.3 Objetivos de esta investigación ............................................................................................... 37

2- ASPECTOS TEÓRICOS Y METODOLÓGICOS ............................................................ 39

2.1 Marco teórico .......................................................................................................................... 39

2.1.1 La aproximación socioepistemológica ...................................................................................... 39

2.1.2 Usos del conocimiento .............................................................................................................. 41

2.1.3 Usos del conocimiento: un ejemplo .......................................................................................... 43

2.2 Selección del momento histórico y diseño de la unidad de análisis. ....................................... 46

3- ANÁLISIS HISTÓRICO-EPISTEMOLÓGICO DE LA OBRA DE RENÉ DESCARTES

.................................................................................................................................................... 49

3.1 Contexto histórico, social y cultural ......................................................................................... 49


5

3.2 La formación matemática de Descartes ................................................................................... 51

3.3 Intencionalidades sociales de la obra matemática de Descartes. ............................................ 57

3.4 La presencia de los números reales en la obra La Geometría .................................................. 63

3.4.1 Análisis del Libro Primero .............................................................................................................. 65

3.4.1.1 Cómo se definen las operaciones aritméticas en el contexto geométrico. ..................... 65

3.4.1.2 Cómo se construyen las soluciones positivas de las ecuaciones algebraicas en el

contexto geométrico. ........................................................................................................................ 72

3.4.1.3 Planteo del problema de Pappus y presentación de la solución para los casos que

contemplan hasta cinco rectas. ......................................................................................................... 80

4- ANÁLISIS SOCIOEPISTEMOLÓGICO ........................................................................... 84

4.1 Análisis epistemológico del Libro I de La Geometría de Descartes. ......................................... 84

4.1.1 Operaciones definidas en el contexto geométrico ................................................................... 85

4.1.2 Construcción geométrica de las soluciones positivas de algunos tipos de ecuaciones. ....... 90

4.2 Usos del número real en la obra cartesiana ............................................................................. 97

4.3 La resignificación del número a partir de su uso en la obra de Descartes .............................. 103

5- ESBOZO DE UNA POSIBLE SECUENCIA DIDÁCTICA ................................... 106

5.1 La reflexión epistemológica en la formación de profesores ................................................... 106

5.2 Objetivos e intencionalidades del esbozo de una posible secuencia didáctica ....................... 109

Primera sección: actividades de construcciones geométricas vinculadas a los usos cartesianos del

número ............................................................................................................................................ 113

Segunda sección: indagando acerca de una posible estructura algebraica en el contexto geométrico

con las operaciones de suma y multiplicación................................................................................. 117

6- REFLEXIONES FINALES ....................................................................................... 119

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................. 124


6

TABLA DE FIGURAS

Figura 1 Problema de las bicicletas ............................................................................................................ 44

Figura 2: Portada libro de Apolonio (1661) ............................................................................................ 52

figura 3: Página del libro de Apolonio. ....................................................................................................... 52

Figura 4: portada libro de Pappus. .............................................................................................................. 53

Figura 5: portada libro de Diofanto. ............................................................................................................ 53

FIGURA 6: Portada de la primera edición del Discurso del método y los tres apéndices. .... 63

Figura 7: portada de la geometría de 1886. ............................................................................................. 63

Figura 8: pág. 1 de la geometría 1886. ....................................................................................................... 64

Figura 9: pág. 15 de la geometría 1886. .................................................................................................... 64

Figura 10: pág. 54 de la geometría 1886. .................................................................................................. 64


Figura 12: párrafos extraídos de la geometría 1886. ........................................................................... 66


Figura 14: imagen del algoritmo de la división. ..................................................................................... 68

Figura 15: ejemplo de división cartesiana. ............................................................................................... 68

Figura 16: ilustración de la construcción de la raíz cuadrada. ......................................................... 69

Figura 17: Construcción de la raíz cuadrada. .......................................................................................... 70

Figura 18: párrafo de la pág. 2 de la geometría 1886. ......................................................................... 70


Figura 20: pág. 3 de la geometría 1886 ..................................................................................................... 73

Figura 21: párrafo de la pág. 4 de la geometría 1886. ......................................................................... 74

Figura 22: pág. 5 de la geometría de 1886. .............................................................................................. 75

Figura 23: construcciones de las soluciones de una ecuación de 2º grado. ............................... 76


Figura 25: párrafo de pág. 7 de la geometría 1886. .............................................................................. 78

Figura 26: soluciones de una ecuac. de 2º grado. .................................................................................. 79

Figura 27: Párrafo pág. 8 de la geometría 1886. .................................................................................... 80

Figura 28: Bosquejo del problema de pappus extraído de la pág. 10 de la geometría 1886

.................................................................................................................................................................................... 83

Figura 29: multiplicación de segmentos. .................................................................................................. 86

Figura 30: Raíz cuadrada de un segmento. .............................................................................................. 87

Figura 31: Construcción de la raíz cuadrada. .......................................................................................... 88

Figura 32: soluciones de una ec. 2º grado. ............................................................................................... 91


7

Figura 33: soluciones de una ecuación de 2º grado. ............................................................................ 92

Figura 34: construcción de soluciones de una ecuac. de 2º grado. ................................................ 93

Figura 35: soluciones ecuación 2º grado. ................................................................................................. 94

Figura 36: solución doble de una ecuac. de 2º grado ........................................................................... 94

Figura 37: no existencia de solución de una ecuac. de 2º grado. .................................................... 94

Figura 38: suma de segmentos ...................................................................................................................... 98

Figura 39: resta de segmentos ...................................................................................................................... 99


8

GLOSARIO

Conocimiento matemático en uso: es el conocimiento matemático que se

pone en juego para explicar y/o resolver una situación específica.

Funcionamiento del conocimiento matemático: conjunto de acciones,

ejecuciones u operaciones que desempeña el conocimiento en una situación

específica.

Forma del conocimiento matemático: maneras de cómo es percibido, cómo

actúa el sujeto, cómo argumenta con el conocimiento matemático que se pone

en juego para resolver una situación.

historia: son los hechos sociales, políticos, religiosos e ideológicos de gran

importancia que tuvieron lugar en un tiempo y lugar determinado y ayudan a

comprender el presente y reorganizar el futuro.

Historia: es la ciencia que estudia los hechos de todo tipo y toda duración que

se consideran trascendentes en el desarrollo de la humanidad y las

interconexiones de estos hechos (pertenecientes a una misma época o a

diferentes épocas).

Número real: Sabemos que definir al número real no es tarea sencilla dado

que existen diversas maneras de caracterizarlo. Para simplificar adoptaremos

la definición axiomática que parte de un conjunto (concepto primitivo, cuyos

elementos son nombrados números reales), la estructura algebraica de este

conjunto es la de un cuerpo conmutativo totalmente ordenado y completo.

Práctica social: son las prácticas humanas establecidas socialmente que dan

origen y asignan roles al conocimiento matemático.

Resignificación: constructo teórico definido dentro de la aproximación

socioepistemológica para dar evidencia de que el conocimiento matemático

tiene significados propios acorde a intencionalidades y contextos específicos

situados social e históricamente.


9

Resignificación de un saber: es la construcción de conocimiento matemático

que se deriva a partir de los usos y desarrollos de usos donde este saber se

pone en juego.

Saber: conocimiento matemático en uso.

Significado: El significado de un saber está asociado a la forma en que un

grupo humano entiende y usa el mismo.

Uso de un saber: constructo teórico introducido en la Socioepistemología que

busca dar explicaciones acerca del rol que determinado saber tiene en la

construcción del conocimiento matemático. Hace referencia a cómo es

percibido un saber, cómo el sujeto actúa sobre este saber y que función cumple

este saber en un conjunto de tareas específicas que se organizan para resolver

una situación determinada.

Uso del número: constructo teórico que busca dar una explicación acerca del

papel que tienen los números en la construcción de conocimiento matemático.


10

Descartes

Soy el único hombre en la tierra y acaso no haya tierra ni hombre.

Acaso un dios me engaña.

Acaso un dios me ha condenado al tiempo, esa larga ilusión.

Sueño la luna y sueño mis ojos que perciben la luna.

He soñado la tarde y la mañana del primer día.

He soñado a Cartago y a las legiones que desolaron a Cartago.

He soñado a Lucano.

He soñado la colina del Gólgota y las cruces de Roma.

He soñado la geometría.

He soñado el punto, la línea, el plano y el volumen.

He soñado el amarillo, el azul y el rojo.

He soñado mi enfermiza niñez.

He soñado los mapas y los reinos y aquel duelo en el alba.

He soñado el inconcebible dolor.

He soñado mi espada.

He soñado a Elizabeth de Bohemia.

He soñado la duda y la certidumbre.

He soñado el día de ayer.

Quizá no tuve ayer, quizá no he nacido.

Acaso sueño haber soñado.

Siento un poco de frío, un poco de miedo.

Sobre el Danubio está la noche.

Seguiré soñando a Descartes y a la fe de sus padres.

Jorge Luis Borges (La Cifra, 1981)


11

R E S U M E N

Este trabajo presenta un análisis histórico-epistemológico del Libro I de la obra

cartesiana “La geometría”. El objetivo de dicho análisis es identificar usos del

número en la obra matemática de René Descartes y posibles resignificaciones

que se deriven de estos usos.

La investigación se ubica dentro de la aproximación socioepistemológica. El

objetivo principal de este enfoque radica en problematizar el saber matemático,

estudiar la problemática que plantea la construcción social del conocimiento

matemático y su difusión institucional. El análisis del saber problematizado se

lleva a cabo considerando de manera integral cuatro dimensiones, la

epistemológica, la didáctica, la cognitiva y la social.

En particular el trabajo se apoya en la noción de uso del conocimiento. Las

investigaciones vinculadas al uso del conocimiento abordan fundamentalmente

“el uso de las gráficas” (Cordero, 2006; Cordero y Flores, 2007; Cordero, Cen y

Suárez, 2010; Buendía, 2006; Buendía, 2012; etc.), a partir de los aportes de

estas investigaciones es posible determinar qué elementos se deben tomar en

consideración para identificar usos del conocimiento en general e identificar

resignificaciones de saberes que resultan de estos usos.

El interés de este trabajo está centrado en identificar cómo es usado cierto

conocimiento en una situación determinada. En particular interesa identificar

usos del número real en la obra matemática de Descartes.

Este análisis de usos y resignificaciones del número busca mostrar que es

posible abordar de una nueva forma el estudio didáctico del número y proveer

de insumos a futuras investigaciones que aborden el diseño de secuencias

didácticas donde el uso del número se ponga en juego.


12

ABSTRACT

This job presents a historical-epistemological analysis of Book 1 of the

Cartesian work “Geometry”. The aim of such analysis is to identify uses of the

number in René Descartes’ mathematical work and possible resignifications

derived from these uses.

The research is located within the socioepistemological approach. The main

objective of this approach is to problematize mathematical knowledge, to study

the problems posed by the social construction of mathematical knowledge and

institutional diffusion. The analysis of knowledge problematized considering

takes place holistically four dimensions, epistemological, didactic, cognitive and

social.

In particular, the work is based on the notion of use of knowledge. Research

involving the use of knowledge mainly address "the use of graphs" (Cordero,

2006; Cordero and Flores, 2007; Cordero, Cen and Suarez, 2010; Buendía,

2006; Buendía, 2012, etc.), from the contributions of this research can

determine which elements should be taken into consideration to identify uses of

knowledge in general and identify resignifications resulting from these uses.

The interest of this work is focused on identifying how certain knowledge is

used in a given situation. In particularly interested in identifying uses of the real

number in the work of Descartes.

This analysis of uses and resignifications of the number seeks to show that is

possible to address of a new form the didactic study the number and provide

input for future researches that address the design of didactics sequences

where is put into play of use of the number.


13

I N T R O D U C C I Ó N

El uso de los números reales es pilar fundamental en la enseñanza del

cálculo de variable real. La enseñanza de este tópico está ocupando en la

actualidad un lugar importante en todo el currículo de enseñanza

secundaria1, no sólo en los años correspondientes a la enseñanza del

bachillerato y primeros años de la universidad. La situación actual vinculada

a la enseñanza de los números reales nos lleva a preguntarnos y tener

intenciones de indagar cómo hacer posible una mejor reflexión por parte de

los docentes acerca de la transposición didáctica de este saber.

A lo largo del currículo en educación secundaria, el número real ha sido

tratado fundamentalmente desde su definición y caracterización axiomática

en el bachillerato, mientras que en ciclo básico el tratamiento tiene un perfil

más intuitivo y se aborda a partir de las expresiones decimales finitas,

infinitas periódicas e infinitas no periódicas. La experiencia personal y de

colegas de bachillerato nos ha permitido evidenciar que a pesar de que el

número real se aborda a lo largo de los seis años de escolaridad que

conforman la enseñanza secundaria en Uruguay, pareciera que aún no se

logra que los estudiantes adquieran una apropiación significativa del mismo.

¿Cómo mejorar la enseñanza de este tópico? Esta pregunta nos lleva a

indagar en la historia e intentar identificar cómo ha sido usado el número

real y qué conocimientos han permitido resignificar estos usos.

Para tal fin se ha elegido identificar usos y consecuentes resignificaciones

en la obra matemática de René Descartes, tan conocido en el ámbito

matemático como el personaje que dio origen a la Geometría Analítica.

René Descartes creó un “puente” que permitió transitar de manera natural

entre los números en el contexto aritmético-algebraico y el contexto

geométrico.

1 En Uruguay la enseñanza secundaria abarca seis años lectivos divididos en Ciclo Básico (C.B.) y Bachillerato.


14

Se considera de importancia relevante analizar e identificar el uso de los

números en la obra de este filósofo-matemático, puesto que es el primero que

intenta vincular la estructura aritmética de los números y llevarla al contexto

geométrico.

Esta investigación se nutre de varias investigaciones, algunas vinculadas al

análisis histórico-epistemológico de la construcción de los números reales,

también se ha visto enriquecida con investigaciones asociadas a los usos y

resignificación de nociones matemáticas.

Este trabajo se divide en seis capítulos:

- El capítulo 1 está dedicado a abordar la problemática y los objetivos

de la investigación además de presentar un estado del arte acerca de

las investigaciones vinculadas a la construcción histórica de los

números reales y al uso del conocimiento dentro de la aproximación

socioepistemológica.

- En el capítulo 2 se presenta el marco teórico y la metodología a usar

en este trabajo. El presente trabajo está enmarcado en la teoría

socioepistemológica y dentro de ésta en la línea de investigación

correspondiente al uso del conocimiento.

- El capítulo 3 aborda el análisis histórico-epistemológico de los

números reales en la obra de René Descartes.

- El capítulo 4 presenta el análisis socioepistemológico de la obra

cartesiana desde la perspectiva del uso del conocimiento,

identificando tres usos del número real y algunas resignificaciones

que se derivan de estos usos.

- En el capítulo 5 se fundamenta y propone el esbozo de una posible

secuencia didáctica que pone en juego el uso cartesiano de los

números e invita a indagar en un posible uso estructural del número

con el fin de enriquecer la reflexión docente acerca de las diversas


15

concepciones asociados al concepto de número y sus diversas

representaciones.

- Finalmente, en el capítulo 6 se presentan las reflexiones finales que

aborda tanto los resultados que se desprenden de esta investigación

como también el planteo de cuestiones que quedan abiertas a partir

de la misma.


16

1 - A N T E C E D E N T E S

1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

La enseñanza media uruguaya abarca seis años lectivos y está compuesta por

dos núcleos: Ciclo Básico (CB) y Bachillerato Diversificado (BD). La escolaridad

a este nivel comienza a los trece años y culmina a los dieciocho años.

A partir de la reforma curricular de la Enseñanza Media en Uruguay del año

2006 y la reformulación planteada para algunos cursos en el año 2010, el

tratamiento de los números reales se introduce en el primer año de CB. Es un

saber que se trabaja de forma transversal a lo largo de toda la formación

escolar de educación secundaria.

En particular aparece explícitamente su enseñanza en el curso de primer año

de CB y en tercer año de BD, aunque se desprende el uso de los números

reales a lo largo de todo el currículo de educación secundaria debido a los

temas que deben ser trabajados en los diversos cursos curriculares.

Todos los cursos básicos universitarios abordan la enseñanza de este tópico

para desarrollar la enseñanza del Cálculo y luego el Análisis Matemático.

La enseñanza de los números reales, que es pilar fundamental para el

desarrollo del cálculo y del análisis en estudios superiores (Bergé 2006, Bergé

y Sessa 2003, Artigue 1998, Romero 1995, Mora y Torres 2004), introducido

desde edades tan tempranas requiere de manera fundamental una profunda

reflexión por parte del docente para lograr una construcción que tenga sentido

para los estudiantes en los diversos niveles educativos donde este tópico debe

ser abordado. Esto nos lleva como docentes a plantearnos y reflexionar sobre

posibles significados asociados al concepto de número real que permitan ser

construidos de manera significativa en el aula acorde a las necesidades y

requerimientos en cada nivel educativo donde este saber se pone en juego.


17

En cada uno de los niveles educativos el uso2 y los significados3 que de ahí se

deriven – a lo cual llamaremos resignificación – asociados al número real son

diversos. Consideramos que es posible proponer algunas resignificaciones del

número real asociadas a los usos que se hagan de este de forma tal que el

estudiante a lo largo de su escolaridad pueda ir construyendo, enriqueciendo y

resignificando este saber de manera que sea posible la construcción de otros

saberes donde el concepto de número real se hace imprescindible.

Son muchísimas las investigaciones en Matemática Educativa que dan cuenta

de la enseñanza y el aprendizaje del número real desde varios aspectos.

Algunos estudios apuntan a investigar acerca de las concepciones acerca del

número real que tienen los estudiantes de secundaria (Romero 1995), en la

formación de profesores de matemática y estudiantes de licenciatura (Mora y

Torres 2004, Bergé 2006), en ambos niveles (Crespo 2009). Otras

investigaciones realizan propuestas didácticas que aportan a una mejora en la

comprensión de este saber (Tovar 2011, Puerto 2011), otras se enfocan en

analizar las dificultades vinculadas a su enseñanza y aprendizaje (García y

otros 1999).

En una investigación vinculada a las dificultades que presenta la enseñanza del

análisis, Artigue afirma: “Diferentes investigaciones muestran claramente que

las concepciones de los números reales que desarrollan los estudiantes no son

apropiadas para el aprendizaje del Análisis (…)” (Artigue, 1998 p. 41).

La construcción significativa de número real no es tarea fácil de implementar

dentro del sistema educativo, pero es de vital importancia realizar esfuerzos

con este fin.

“La manera en la que los alumnos construyen el concepto de irracionalidad se

refleja también en sus concepciones del número real y posteriormente acarrea

2 La noción de uso de un saber: es un constructo teórico introducido en la Socioepistemología, hace referencia a cómo es percibido un saber, cómo el sujeto actúa sobre este saber y que función cumple este saber en un conjunto de tareas específicas que se organizan para resolver una situación determinada. Esta noción se aborda con exhaustividad en la sección 2.1.2. 3 El significado de un saber está asociado a la forma en que un grupo humano entiende y usa el mismo. No necesariamente dos grupos humanos van a entender y usar un determinado saber de la misma forma o con la misma intencionalidad.


18

problemas en el aprendizaje del análisis matemático, poniendo en evidencia

obstáculos epistemológicos y didácticos en el aula. (…) En el aula de

matemática, uno de los conceptos que los alumnos van construyendo en

sucesivos momentos del aprendizaje a través de su ciclo escolar, es el de

número real. Muchas veces los docentes creemos que estos números han sido

construidos apropiadamente, sin embargo emergen en oportunidades indicios

que muestran que los números irracionales no son correctamente construidos.

La irracionalidad de algunos números reales es un concepto que muchas veces

carece de significado para los estudiantes. (…) Encontrar contextos

significativos de aprendizaje es de primordial importancia para lograr la

construcción sólida del conocimiento.” (Crespo, 2009 p.21)

Las investigaciones mencionadas son sólo una pequeña parte de la abundante

investigación que se viene llevando a cabo en torno a esta temática.

Las citas que se presentan pretenden ilustrar de manera sucinta la

problemática y la importancia de una construcción significativa en torno a la

noción de los números reales.

Los usos del número real y los significados que es factible construir con

estudiantes de CB, de BD y universitarios responden a realidades y

necesidades diferentes. Pero estos usos y significaciones no son excluyentes,

por el contrario, lo deseable es que el docente desarrolle intencionalmente los

diversos usos del número y a partir de ellos permita que el estudiante logre

resignificar este saber, preparando de esta manera el terreno para la

construcción de otros saberes donde éste se pone en juego.

Para ilustrar lo antes expuesto se pueden considerar algunos ejemplos:

- Apuntando a un uso geométrico del número real se puede constatar que

existen números reales que son construibles4 y otros no, por ejemplo

√23

, ℮ y π. Este tipo de usos puede posibilitar una resignificación de los

números reales contemplando una clasificación de los mismos en

construibles y no construibles.

4 En este trabajo se entiende por números reales construibles aquellos que es posible construirlos usando regla sin graduar y compás (procedimiento euclídeo).


19

- A partir de la noción de raíz de una ecuación polinómica de coeficientes

enteros, los números reales se pueden clasificar en algebraicos y

trascendentes.

- El uso gráfico de los números reales, como la representación en la recta

numérica, da lugar a resignificarlos considerando la continuidad de este

conjunto.

- Dentro del análisis matemático, nociones como la de límite de

sucesiones, límite de funciones de variable real hacen uso de los

números reales posibilitando resignificar al mismo poniendo énfasis en

las propiedades de completitud, de densidad y de continuidad.

A partir de lo presentado surgen algunas cuestiones: ¿cómo se ha usado el

número real a lo largo de la historia y qué significados es posible asociar a esos

usos? ¿Qué usos y significados han quedado olvidados en la historia a causa

de la formalización matemática del número real?

Esta diversidad de posibles usos y consecuentes resignificaciones invitan a

mirar a este saber en juego en diferentes contextos tanto históricos como

socioculturales, que nos permitan comprender cómo la humanidad ha ido

construyendo el mismo. El conocer la construcción socio-histórica de un saber

matemático provee al docente de herramientas que posibilitan la transposición

didáctica del mismo al ámbito escolar dotando a este de sentido para el

estudiante acorde a su nivel escolar y necesidades, puesto que lo acerca a

conocer la naturaleza epistemológica del saber matemático en cuestión.

Es la intención de este trabajo realizar una revisión de corte histórico-

epistemológico asociada a la construcción del número real, enfocando nuestra

atención en los usos que han formado parte de la construcción social de este

saber.

Una revisión de este corte aporta valiosos elementos vinculados al saber en

cuestión desde varias perspectivas a la problemática didáctica;

“(…) nosotros identificamos tres diferentes “modos de uso didáctico” del

análisis histórico-epistemológico: permite recuperar la complejidad de los


20

objetos estudiados y ensanchar nuestras concepciones epistemológicas;

amplía la capacidad del investigador para interpretar las conductas y respuesta

de los alumnos; provee de insumos para pensar una problematización

adaptada al aula. (…)” (Bergé y Sessa, 2003, pág. 165).

“Esta clase de estudios ofrece significativos aportes a la Educación

Matemática, pues tener un conocimiento sobre los diversos aspectos y

conceptos que han incidido en la construcción de una teoría, permite formarse

una idea más completa del discurso matemático en la que aparecen otros

elementos constitutivos de las matemáticas y su actividad, los cuales

generalmente se ocultan bajo una presentación acabada y netamente formal.”

(Anacona 2003, pág. 33)

Realizar un análisis histórico epistemológico de los conceptos matemáticos

permite dar cuenta de la complejidad que los rodea y de los múltiples aspectos

que incidieron en su construcción teórica. No solo aporta acerca de la

naturaleza del saber sino que permite dar cuenta de que la matemática es una

construcción humana, producto de una actividad viva del razonamiento, donde

han intervenido históricamente diversos aspectos del contexto sociocultural

(Anacona, 2003).


21

1.2 ESTADO DEL ARTE

El presente trabajo se nutre de varias investigaciones, algunas vinculadas al

análisis histórico-epistemológico de la construcción de los números reales,

también se ha visto enriquecido con investigaciones asociadas a los usos y

resignificación de nociones matemáticas.

Antes de incursionar en los aportes de otras investigaciones al presente

trabajo, se considera pertinente indagar acerca del rol que tiene la historia de la

matemática en la educación matemática y sus importantes aportes a esta

disciplina ya que esta investigación para poder indagar en el uso del número

real debe recurrir indefectiblemente a la historia.


22

1.2.1 LA IMPORTANCIA DE LA HISTORIA DE LA MATEMÁTICA EN LA

EDUCACIÓN MATEMÁTICA.

Partiendo de la premisa de que la matemática es ante todo una actividad

humana, una construcción social compleja que se viene erigiendo a partir de

interrelaciones culturales desde hace miles de años, permite pensar que la

matemática está ineludiblemente ligada a su historia. Esta historia permite

conocer el desarrollo conceptual de los distintos constructos que forman parte

de esta disciplina y también las complejas dinámicas sociales vinculadas a

tales desarrollos.

De esta forma, los trabajos históricos en educación matemática brindan la

posibilidad de analizar los procesos de construcción teórica tanto de conceptos

como de teorías que conforman esta disciplina.

En particular, los estudios de corte histórico – epistemológico donde el rol

fundamental está puesto en el análisis de los procesos de construcción teórica

de conceptos, brindan aportes significativos a la educación matemática. Dentro

de estos aportes se puede considerar que el conocer la génesis e identificar

momentos claves en la constitución de los conceptos permite un acercamiento

más integral a éstos y también conformar una idea más completa del discurso

matemático que muchas veces presenta a los conceptos desligados de su

historia y su desarrollo, como una idea acabada y formal.

Estudios históricos de este tipo brindan la posibilidad de dar cuenta acerca de

la complejidad que rodea la construcción de los constructos matemáticos y los

múltiples aspectos que han incidido en su constitución teórica, permitiendo

identificar aspectos claves para comprender su naturaleza.

“No puede hacerse un análisis epistemológico sin mostrar las condiciones de

posibilidad del saber en sus estratos histórico-culturales que vuelven ese saber

posible” (Radford 2013, p.4).


23

Los diversos estudios históricos pretenden mostrar que la matemática es una

construcción humana y como tal, ligada al entorno social y cultural que la

produce. Esta concepción promueve una enseñanza dinámica de la

matemática, donde tanto docentes como estudiantes podrán ver a la

matemática como una actividad vinculada al arte, la filosofía, la historia y otras

disciplinas de conocimiento. Podrán conocer que en su desarrollo además de

tener lugar la creatividad, también lo tiene el error y en algunos momentos el

fracaso (Anacona, 2003).

Concordando con lo expresado por Anacona (2003), Radford (2013) afirma que

el desarrollo del saber aparece indefectiblemente ligado a su contexto social,

cultural, histórico y político.

Según Anacona (2003), la reflexión histórica en el ámbito de la educación

matemática interviene en dos escenarios; uno ligado a los procesos de

aprendizaje de los conceptos y teorías matemáticas (el lugar del estudiante)

otro vinculado a la formación inicial y permanente del profesorado de

matemática (el lugar del docente).

La historia de la matemática en el ámbito del aprendizaje de la matemática

contribuye a:

- Mostrar la relación entre matemática y experiencia.

- Oficiar de puente entre la matemática y la cultura.

- Encontrar caminos de aprendizaje a partir de la indagación histórico-

filosófica.

- Ser una fuente de problemas y actividades lúdicas.

La historia de la matemática en la formación de profesores de matemática

contribuye en:

- El diseño curricular.

- El diseño de actividades didácticas.

- Reflexionar acerca de la naturaleza de la matemática.


24

- La detección de dificultades de comprensión.

- Conocer acerca de la historia de la educación matemática.

Radford (2014) afirma que la historia de la matemática puede ayudar a mejorar

la comprensión que tienen los estudiantes acerca de la matemática,

desarrollando la sensibilidad de que la matemática es un producto cultural.

Según Miguel de Guzmán (1992), la historia de la matemática debería ser un

poderoso auxiliar para lograr objetivos en la educación matemática tales como:

- Hacer visible como surgen las ideas matemáticas.

- Delimitar en el tiempo y espacio el surgimiento de las grandes ideas y

problemas acompañados de las motivaciones que dieron lugar a éstos.

- Hacer conocer los problemas abiertos de cada época, cómo

evolucionaron y la situación en que se encuentran en la actualidad.

- Señalar las conexiones históricas de la matemática con otras disciplinas

científicas, cuya interrelación ha permitido el surgimiento y desarrollo de

importantes ideas.

Las palabras escritas por de Guzmán (1992), logran resumir brillantemente la

intención que este apartado desea transmitir como fundamentación acerca de

la importancia que la historia de la matemática tiene en la educación

matemática;

“A mi parecer, un cierto conocimiento de la historia de la matemática, debería

formar parte indispensable del bagaje de conocimientos del matemático en

general y del profesor de cualquier nivel, primario, secundario o terciario, en

particular. Y, en el caso de este último, no sólo con la intención de que lo pueda

utilizar como instrumento en su propia enseñanza, sino primariamente porque

la historia le puede proporcionar una visión verdaderamente humana de la

ciencia y de la matemática, de lo cual suele estar también el matemático muy

necesitado.

La visión histórica transforma meros hechos y destrezas sin alma en

porciones de conocimiento buscadas ansiosamente y en muchas ocasiones


25

con genuina pasión por hombres de carne y hueso que se alegraron

inmensamente cuando por primera vez dieron con ellas. Cuántos de esos

teoremas, que en nuestros días de estudiantes nos han aparecido como

verdades que salen de la oscuridad y se dirigen hacia la nada, han cambiado

de aspecto para nosotros al adquirir un perfecto sentido dentro de la teoría,

después de haberla estudiado más a fondo, incluido su contexto histórico y

biográfico.

La perspectiva histórica nos acerca a la matemática como ciencia humana,

no endiosada, a veces penosamente reptante y en ocasiones falible, pero

capaz también de corregir sus errores. Nos aproxima a las interesantes

personalidades de los hombres que han ayudado a impulsarlas a lo largo de

muchos siglos, por motivaciones muy distintas.” (de Guzmán, 1992, p.8).


26

1.2.2 ACERCA DE LA CONSTRUCCIÓN HISTÓRICA DE LOS NÚMEROS

REALES

La siguiente revisión de investigaciones que presentan con diversos fines un

recorrido histórico acerca de la construcción del número real, es de importancia

primordial para este trabajo porque cada una de ellas realiza una selección de

momentos históricos diferentes, donde citan diversos personajes históricos y

caracterizan cada uno de estos momentos de manera distinta. Cada

investigación argumenta la selección de sus momentos históricos, aportes más

relevantes en cada época, caracteriza cada uno de ellos y menciona diferentes

personajes cuyos aportes consideran importantes en el camino hacia la

constitución del número real.

Esta exploración permite analizar diversos momentos que han sido

considerados importantes en el análisis histórico de este concepto y conocer

diversos personajes que han realizado aportes relevantes vinculados al

desarrollo del número real como objeto matemático. Además brinda evidencia

de que un análisis histórico-epistemológico acerca de la construcción del

número real es significativo para realizar importantes aportes a la Matemática

Educativa con numerosos fines didácticos.

Romero (1995) en su tesis doctoral realiza una investigación acerca de las

concepciones del número real que tienen los estudiantes de secundaria, como

parte de este trabajo realiza un recorrido histórico vinculado al desarrollo

conceptual del número real, dónde se pueden identificar las siguientes etapas

históricas:

- El número real en la antigua Grecia.

En este apartado aborda la concepción pitagórica de número y la

relación entre número y magnitud, las circunstancias que dieron lugar al

surgimiento de la irracionalidad y las consecuencias y limitaciones de

este hallazgo en la comunidad científica griega. Los aportes realizados

por matemáticos de la época como Zenón de Elea, Eudoxo de Cnido.


27

- Aportes realizados por árabes e hindúes.

La autora expone los aportes de los matemáticos indúes y árabes entre

el siglo I d.c. y el XIII d.c. Detallando en particular los aportes realizados

por Al-Khowarizmi y Omar Kayyam, mostrando que la brecha entre

números y magnitudes continuas se iba haciendo cada vez más

estrecha y cómo concebían a los números irracionales.

- Invención de las fracciones decimales y tratamiento de los

irracionales

Se relatan los problemas y aportes más significativos correspondientes

al siglo XVI d.c. Se destacan los trabajos realizados por Stevin y la

divulgación de las fracciones decimales junto con su esfuerzo de

describir todos los números irracionales y los trabajos realizados por

Vieta y Stifel.

- Tratamiento de los irracionales en los siglos XVII y XVIII.

Se describen las concepciones acerca de la irracionalidad de algunos

matemáticos como Pascal y Newton y la concepción contrapuesta de

matemáticos de la talla de Stevin, Descartes y Wallis. Los primeros

concebían la irracionalidad vinculada sólo a magnitudes y los segundos

como números.

- Transición al pensamiento moderno. Los números trascendentes.

Se caracteriza al siglo XVIII como el siglo donde se demostró la

irracionalidad de algunos números como e, e2 y π y se realiza la

distinción entre números algebraicos y trascendentes. Para ello se

describen los aportes realizados por Euler, Lambert y Legendre.

- Teorías del número real en el siglo XIX.

La autora describe las problemáticas que motivaron la necesidad de

fundamentar el sistema numérico. Se relatan los aportes realizados por

Hamilton, Weierstrass y Cantor. De manera exhaustiva se realiza un


28

estudio de la construcción de los números reales realizada por Dedekind

y la problemática de la continuidad de R.

- Aportes del siglo XX.

Se realiza una descripción de los aportes realizados por Hilbert y la

importancia del axioma de completitud para asegurar la unicidad del

conjunto de los números reales.

Mora y Torres (2004) en su tesis conjunta de maestría realizan un estudio

acerca de las concepciones que tienen los estudiantes de licenciatura de

matemática sobre los números reales. El desarrollo historiográfico de la

evolución del conjunto de los números reales, forma parte de dicho trabajo.

Las autoras distinguen cuatro etapas claves en el desarrollo histórico del

concepto de número real:

- Etapa 1: Descubrimiento de la inconmensurabilidad

Aquí se relata acerca de los problemas que enfrentaron y los aportes

que realizaron: la civilización babilónica, la escuela pitagórica, la escuela

eleática, la escuela platónica, la escuela de Eudoxo, Euclides y

matemáticos orientales.

- Etapa 2: Fracciones decimales y fracciones continuas

Recorrido histórico en el uso de fracciones continuas y decimales, los

matemáticos que abordaron el trabajo con fracciones decimales y

continuas y sus principales aportes.

- Etapa 3: Distinción de los números trascendentes.

Se identifican y relatan los aportes realizados por matemáticos que

abordaron el tema de los números irracionales trascendentes.

- Etapa 4: Formalización del número real.

Se relatan las problemáticas y los aportes de diversos matemáticos cuyo

legado se considera relevante en la construcción del conjunto de los

números reales como objeto matemático.


29

Bergé y Sessa (2003) realizan un análisis histórico-epistemológico acerca de la

noción de continuidad y completitud revisada a través de 23 siglos. Para llevar

a cabo dicho análisis, las autoras se detienen en seis momentos de la historia

que consideran pertinentes.

Cuatro de estos momentos son previos a la formalización del conjunto de los

números reales, en donde las autoras han identificado ciertos desarrollos

vinculados de manera implícita o explícita con las nociones que en la

actualidad se conocen como la completitud del dominio numérico y la

continuidad de la recta. La selección del quinto momento está motivada por la

presentación de un análisis de las ideas principales de dos construcciones del

conjunto de los números reales realizadas en la segunda mitad siglo XIX. Por

último, el sexto momento responde a la decisión de exponer la presentación

axiomática de R a inicios del siglo XX.

Los momentos seleccionados por las autoras son los siguientes:

- Momento 1: Los elementos de Euclides.

Aquí las autoras a partir de un análisis de los libros de Euclides,

identifican diversos aspectos de las propiedades de la recta vinculadas a

la continuidad.

- Momento 2: El “intermediario” árabe y la Europa medieval.

Este momento permite mostrar la evolución del estatus epistemológico

del número irracional entre el siglo IX y comienzos del siglo XVII.

- Momento 3: El desarrollo del cálculo en los siglos XVII y XVIII.

Se identifican cuatro problemas que están vinculados al desarrollo del

cálculo en este período, que según las autoras condicionaron la

percepción acerca de la problemática de la completitud.

- Momento 4: Comienzos del siglo XIX, los trabajos de Bolzano y

Cauchy.

Las autoras consideran este período como de reorganización de saberes

y tienen como intención mostrar cómo esta reorganización es fuente de

producción de conocimientos.


30

- Momento 5: Cantor y Dedekind y la construcción de un sistema

numérico completo.

Se desarrollan las ideas principales que caracterizaron dos

construcciones de los números reales a partir del conjunto de los

números racionales, la construcción realizada por Dedekind y la

construcción presentada por Cantor. Las autoras señalan el rol diferente

que cumplió el axioma de continuidad en ambas construcciones.

- Momento 6: La definición axiomática de los números reales.

Se presenta la definición axiomática de los números reales enunciada

por Hilbert y se analiza el rol del método axiomático en el trabajo

matemático.

Sánchez y Valdivé (2012) realizan un estudio histórico-epistemológico acerca

de la evolución del concepto de número irracional.

La aproximación histórica de la evolución de este concepto la abordan

seleccionando diversos momentos históricos donde han identificado aportes

realizados por matemáticos y por civilizaciones antiguas que según los autores

han impulsado el desarrollo de este concepto.

La clasificación realizada por los autores es la siguiente: Edad antigua, Edad

media, Renacimiento y Edad moderna y contemporánea. Cada momento

queda caracterizado por una idea:

- Edad antigua: el irracional asociado a una aproximación entre

razones.

Se describen problemas vinculados a la necesidad de aproximación de

π y √2 realizados por las culturas egipcia, babilónica, china y griega.

- Edad media: el irracional asociado a lo aritmético.

En este período se destacan los trabajos de Khayyam, Brahmagupta, Al-

Kashi y Leonardo de Pisa y sus aproximaciones de π y ɸ. Así como

también ɸ como el límite de la sucesión de Fibonacci.


31

- Renacimiento: el irracional asociado a una aproximación de un

número racional cercano.

La concepción intuitiva de Cardano y Chuquet acerca del irracional como

número.

- Edad moderna y contemporánea: el irracional asociado a un

número.

Aceptación y definición del irracional como número a partir de los

trabajos realizados por Méray, Dedekind, Cantor y Weierstrass.

Es pertinente señalar que las investigaciones citadas tienen otros fines que no

competen a este trabajo.

Las tesis de Romero (1995) y Mora y Torres (2004) hacen uso del análisis

histórico-epistemológico porque lo consideran pilar fundamental para realizar el

análisis didáctico que sí es primordial para llevar adelante los respectivos

trabajos de investigación.

Tanto Mora y Torres (2004) como Romero (1995), indagan en la evolución

conceptual desde un punto de vista histórico en la construcción de R, porque

consideran que entender la evolución, las diferentes conceptualizaciones les

permite realizar una análisis epistemológico que les brindan puntos de anclaje

sobre los que apoyar un plan de acción para el terreno didáctico. Ambos

trabajos argumentan que es importante el estudio histórico-epistemológico para

realizar el análisis conceptual que es pilar fundamental en su investigación.

Bergé y Sessa (2003) recurren al análisis histórico-epistemológico con el fin de

analizar los diferentes estadíos que recorrió la noción de continuidad de la recta

y la completitud del sistema numérico para luego realizar una intervención

didáctica que contribuya a mejorar la comprensión de la noción de completitud

de los estudiantes a nivel de Licenciatura, concepto que ellas consideran

relevante.

Sánchez y Valdivé (2012) recurren al análisis histórico-epistemológico para

visualizar diversos momentos donde la noción de número irracional se vio


32

implicada y también identificar las problemáticas y contradicciones que esta

noción provocó en la comunidad matemática. Este análisis les permite brindar

insumos al investigador para diseñar situaciones-problema contextualizadas en

el momento de abordar la enseñanza de este concepto.

Estas investigaciones seleccionadas dan un claro panorama del abordaje y

selección de momentos históricos vinculados a la construcción histórica de los

números reales, existen otras investigaciones que también hacen uso de

momentos históricos vinculados a este concepto y están basadas en algunos

de los trabajos presentes por lo tanto se considera que las investigaciones

presentadas son representativas.

Los momentos expuestos por las citadas investigaciones tienen puntos en

común y puntos de divergencia. Entre los puntos en común se pueden citar: la

antigua Grecia, los aportes de los árabes e hindúes, los tratamientos del

número en el siglo XVII y XVIII y los aportes de los siglos XIX, los aportes

realizados por Dedekind y Cantor. Dentro de los puntos de divergencia están

los aportes citados en los diversos momentos, cada una de las investigaciones

cita aportes de distintos personajes históricos en cada momento seleccionado

(acordes con sus objetivos de investigación) y abordan diversas problemáticas

vinculadas al desarrollo histórico-conceptual del número real, principalmente en

lo que respecta a la concepción y uso del número irracional.

La investigación de Romero (1995) es la que realiza con mayor exhaustividad

el análisis histórico y la única que menciona a Descartes y su concepción de

número.


33

1.2.3 ACERCA DE LOS USOS Y RESIGNIFICACIÓN DE CONCEPTOS

MATEMÁTICOS

El trabajo aquí presentado aborda el uso de los números en la obra de

Descartes, por lo tanto es más que pertinente realizar un recorrido por

investigaciones que aborden la noción de uso del conocimiento matemático.

Hasta el momento no ha sido posible encontrar investigaciones que aborden el

uso de los números5, es por ello que las investigaciones expuestas en este

apartado remiten a investigaciones que abordan el uso de otros conceptos

matemáticos como el uso de las gráficas. Los trabajos citados a continuación

nos permiten un acercamiento a qué son los usos de conceptos matemáticos,

la consecuente resignificación de conceptos que se derivan a partir de estos

usos y cómo es factible dar evidencia de ellos.

Cordero, Cen y Suárez (2010) estudian el desarrollo del uso de las gráficas de

las funciones en las prácticas institucionales. Abordan los usos de las gráficas

que generan las prácticas institucionales en el bachillerato, muestran la relación

dialéctica que se establece entre funcionamientos y formas de las gráficas y

que estas formas y funcionamientos dan lugar a otras formas y

funcionamientos, resignificando así el uso de las gráficas.

Los autores distinguen entre el estudio del conocimiento matemático y el

estudio de la función del conocimiento matemático, este último es el que

consideran importante en su investigación.

Para ellos la resignificación se hace manifiesta a través del uso y desarrollo del

uso del conocimiento matemático.

5 En este trabajo “uso de los números” no está vinculado al término coloquial asociado al “empleo” de los números, sino que hace alusión a un constructo teórico definido dentro de la línea de investigación “uso del conocimiento” perteneciente a la aproximación socioepistemológica que investiga el papel que determinados saberes matemáticos tienen en la construcción de conocimiento matemático. Esta noción teórica es tratada en profundidad en la sección 2.1.2.


34

Forma parte de este trabajo el análisis de diez libros de texto a partir del cual

los autores identifican cinco usos distintos vinculados a las gráficas y asociados

a diversas situaciones específicas:

1- El uso distribución de puntos surge en la situación vinculada al

conocimiento de la forma gráfica de una función. Este uso se evidencia

mediante formas como tablas con valores previamente establecidos,

gráficas y ecuaciones, los funcionamientos asociados a estos usos se

presentan a través de la ubicación de puntos, el desplazamiento en el

plano cartesiano y la variación de los puntos para el trazado de curvas.

2- El uso comportamiento geométrico, surge en situaciones vinculadas a la

interpretación geométrica de una función. Se da evidencia de este uso a

partir del funcionamiento que se presenta como la obtención de gráficas

a partir de una dada e identificando formas como la traslación horizontal

o vertical, la simetría y el estiramiento de dichas gráficas.

3- El uso análisis de la curva se evidencia en situaciones que involucran la

variación de una curva. Este uso se identifica a partir de funcionamientos

como el análisis del comportamiento variacional de una función. Las

formas se hacen presentes a partir de tablas de variación y de los

criterios de la primera y segunda derivada.

4- El uso cálculo de áreas y volúmenes, aparece en situaciones ligadas al

cálculo de áreas y volúmenes encerrados entre el gráfico de funciones.

El funcionamiento vinculado a este uso está relacionado con que el

gráfico ayuda a identificar la región sobre la que deben realizarse los

cálculos y la forma es identificada a través de la integración.

5- El uso análisis de información, que se hace manifiesto cuando la

situación recopila o interpreta datos. Las formas asociadas a este uso

incluyen tablas, gráficas de barras, histogramas y la curva gaussiana y

los funcionamientos son los análisis de información.

Cordero y Flores (2007) realizan una investigación que aborda el uso de las

gráficas en el discurso matemático escolar, su objetivo es crear un marco de

referencia que permita entender a la graficación como una práctica social en su

proceso institucional y no como una representación del concepto de función.


35

Este marco de referencia que crean pretende colaborar para que la noción de

gráfica se resignifique.

El escenario de investigación son los libros de textos escolares de Matemática

y de Ciencias Naturales de nivel básico (primaria y secundaria), a partir de

dicho análisis los autores identifican distintos momentos de uso de las gráficas

con la finalidad de aportar a una mayor comprensión del desarrollo del uso de

las gráficas y su génesis en el discurso matemático escolar.

Los autores identifican tres momentos en su análisis:

- El síntoma del uso de la gráfica de la función corresponde al uso de la

gráfica antes de que esta noción sea abordada en el currículo. Las

formas están ligadas a tareas con mapas, planos, cuadrículas cuyos

funcionamientos contemplan ubicación, comparación y optimización de

trayectorias.

- El uso de la gráfica de la función se da cuando la gráfica de la función es

abordada curricularmente. Las situaciones están ligadas a las

actividades que aparecen en los libros. Los usos se evidencian a partir

de formas como tablas, pictogramas, gráficas de barras, gráficas

poligonales situados en ejes de referencia, también puntos ubicados en

los ejes cartesianos, gráficas de curvas continuas; cuyos

funcionamientos implican la determinación de coordenadas y analizar la

distribución de puntos.

- El uso de la curva se evidencia en secundaria y alude a la gráfica de una

curva específica. Este momento se subdivide en tres categorías donde

los usos se evidencian con formas como tablas, gráficas de barras,

gráficas poligonales, gráficas de curvas en el plano cartesiano,

expresiones algebraicas asociadas a curvas continuas y los

funcionamientos asociados se relacionan a la distribución de puntos, la

determinación de coordenadas, análisis de información, asociación de

curva-expresión algebraica.

Estas identificaciones de usos dan evidencia del desarrollo del uso de las

gráficas y por lo tanto del uso del conocimiento y de su desarrollo. Es por ello


36

que se considera pertinente para el trabajo que nos compete incluir el resumen

anterior.

A partir de lo expuesto, se entiende por resignificación de un conocimiento a la

construcción de nuevo conocimiento y al enriquecimiento de los significados

asociados a un saber, que se genera a partir de usos y desarrollos de usos

ligados a este saber.

Los usos del conocimiento se manifiestan a través de la relación dialéctica

forma-funcionamiento del saber en una situación específica. Cada forma-

funcionamiento de un saber se transforma para dar lugar a nuevas formas-

funcionamientos que generan nuevas situaciones específicas y viceversa,

nuevas situaciones dan lugar a nuevas formas-funcionamientos que permiten

identificar nuevos usos del saber en juego.

Las nociones y resultados arrojados por estas investigaciones proveen al

presente trabajo de importantes insumos para plantear y en consecuencia

desarrollar los objetivos de la misma.


37

1.3 OBJETIVOS DE ESTA INVESTIGACIÓN

El objetivo de esta investigación es profundizar en la obra matemática de

Descartes, con el fin de poder identificar algunos usos y resignificaciones del

número real.

Mucho se ha escuchado acerca de Descartes como el “padre de la Geometría

Analítica”, de ahí es que surge el interés por indagar que grado de verdad tiene

esta afirmación. Descartes es mencionado en investigaciones que abordan la

construcción de los números reales, pero la mención a su obra es muy escueta,

no se ha profundizado en los aportes que él ha realizado vinculados a la

construcción de este tópico.

Uno de los intereses principales de esta elección responde al hecho de que son

pocas las investigaciones que han analizado en profundidad los aportes

matemáticos de Descartes. Se considera de importancia relevante analizar e

identificar el uso de los números en la obra de este filósofo-matemático, puesto

que es el primero que intenta vincular la estructura aritmética de los números y

llevarla al contexto geométrico. ¿Cómo lo logra? ¿Por qué?

Descartes es conocido en el ámbito educativo más por sus aportes a la

reestructuración de la filosofía que por los aportes matemáticos. Este trabajo

pretende dar a conocer con cierta profundidad parte de la construcción social

del saber matemático implícito en la obra cartesiana.

La identificación de usos y resignificaciones del número real en la obra

matemática de Descartes responde a la necesidad de recuperar parte de la

historia vinculada a la construcción y constitución de los números reales como

objeto matemático. El número real ha sido manipulado durante varios siglos, en

diversos contextos y por diferentes razones, mucho antes de que se

constituyera como objeto matemático.

El recuperar parte de esta historia permitirá no solo entender e identificar

diversos usos vinculados a la construcción de este concepto, sino que puede


38

abrir un camino para indagar acerca de las intencionalidades de las prácticas

sociales que norman estos usos. Es factible que esta comprensión permita

enriquecer la transposición de este saber al aula, de forma tal que sea posible

lograr que los estudiantes construyan significativamente esta noción que en la

actualidad continúa siendo parcialmente comprendida.

Conocer la obra de Descartes y a partir de ella identificar usos del número y

resignificaciones que se derivan de estos usos en este trabajo, puede brindar

insumos para abordar investigaciones vinculadas al diseño de actividades

didácticas orientadas a futuros docentes y docentes en actividad para continuar

reflexionando acerca de diversas concepciones de lo que es el número y sus

diferentes representaciones. Esta reflexión que intenta ser de corte

epistemológico promueve el enriquecimiento de epistemes vinculadas a

conceptos matemáticos que sin lugar a dudas enriquecerán el bagaje de

conocimientos del docente y por lo tanto el diseño de actividades para la

matemática escolar y en consecuencia su práctica docente.


39

2 - A S P E C T O S T E Ó R I C O S Y

M E T O D O L Ó G I C O S

2.1 MARCO TEÓRICO

2.1.1 LA APROXIMACIÓN SOCIOEPISTEMOLÓGICA

La Socioepistemología es un enfoque teórico dentro de la Matemática

Educativa que surge como línea de investigación en México a finales de la

década del 80 a partir de trabajos realizados por los investigadores Dr. Ricardo

Cantoral y la Dra. Rosa María Farfán del Departamento de Matemática

Educativa del Cinvestav del IPN (Camacho, 2006).

Este enfoque reconoce al hombre haciendo matemáticas, considera al

conocimiento matemático en uso6, en lugar de mirar al conocimiento

matemático como un producto hecho por el hombre (Cordero, Cen y Suárez

2010).

La perspectiva socioepistemológica intenta identificar los marcos de referencia

vinculados a la construcción de los diferentes conceptos matemáticos. Trata de

crear modelos que expliquen la construcción social del conocimiento

matemático histórica y socioculturalmente situado.

El objetivo principal de este enfoque radica en problematizar el saber

matemático, estudiar la problemática que plantea la construcción social del

conocimiento matemático y su difusión institucional. El análisis del saber

problematizado se lleva a cabo considerando de manera sistémica cuatro

dimensiones, la epistemológica, la didáctica, la cognitiva y la social. En

6 El conocimiento matemático en uso hace referencia al conocimiento matemático que se pone en juego para explicar y/o resolver una situación específica.


40

particular considera a lo sociocultural como articulador de las dimensiones

didáctica, cognitiva y epistemológica (Espinoza y Cantoral, 2010).

El eje en este enfoque se encuentra en la noción de práctica social,

entendiendo a la práctica social como un conjunto de actividades que el

individuo desarrolla intencionalmente para construir conocimiento (Arrieta y

otros, 2004).

Para ilustrar la idea de práctica social se considera como ejemplo el binomio de

Newton. Según Cantoral (2003), la expresión (𝑃 + 𝑃𝑄)𝑚/𝑛 (que hoy conocemos

con la notación (𝑎 + 𝑏)𝑛) surge en un contexto donde los científicos buscaban

modelar tanto matemática como lógicamente la evolución de las cosas que

fluyen continuamente, como longitudes de curva, áreas de superficies,

temperaturas o velocidades. En este contexto el autor identifica a la predicción

como una práctica social7, puesto que considera que la predicción es una

noción que se construye socialmente a partir de las actividades que realizan los

individuos. En este caso las actividades están ligadas a la necesidad de

resolver situaciones que requieren conocer el valor de la variable dependiente

antes de que la variable independiente cambie su estado. Cantoral (2003)

afirma que frente a la imposibilidad de adelantar el tiempo a voluntad, el

hombre se vio en la necesidad de predecir.

Respecto a la importancia de las prácticas sociales dentro del enfoque

socioepistemológico Camacho (2006, pp. 145-146) afirma;

“La SE parte del reconocimiento del saber que ha sido manipulado a través de

las prácticas sociales, a fin de establecer los diferentes significados que

adquiere en ese proceso. El estudio se fundamenta en el análisis del

conocimiento de corte epistemológico, por lo que, en la mayoría de los casos,

se hace necesaria la búsqueda en la historia de las prácticas sociales, a fin de

reconocer en ellas bases de significados, o resignificaciones, cuya estructura

lleve a establecer la “construcción del conocimiento matemático”, con lo cual es

posible construir diseños instruccionales”

7 En el sentido de Cantoral (2003), puede entenderse por práctica social a las prácticas humanas establecidas socialmente que dan origen y asignan roles al conocimiento matemático.


41

2.1.2 USOS DEL CONOCIMIENTO

Este trabajo se ubica dentro de la aproximación socioepistemológica y

fundamentalmente se apoya en la noción de uso del conocimiento. Las

investigaciones vinculadas al uso del conocimiento abordan fundamentalmente

“el uso de las gráficas” (Cordero, 2006; Cordero y Flores, 2007; Cordero, Cen y

Suárez, 2010; Buendía, 2006; Buendía, 2012; etc.), a partir de los aportes de

estas investigaciones es posible determinar qué elementos se deben tomar en

consideración para identificar usos del conocimiento en general e identificar

resignificaciones de saberes que resultan de estos usos.

El interés de este trabajo está centrado en identificar cómo es usado cierto

conocimiento en una situación determinada. En particular interesa identificar

usos del número real en la obra de Descartes.

Es pertinente establecer el significado que han de tener en este trabajo algunos

constructos teóricos que son fundamentales en el desarrollo del mismo. Se

explicitará la noción de: saber, usos, funcionamiento, forma y resignificación.

Se entenderá por saber al conocimiento matemático en uso.

El uso de un conocimiento matemático hace referencia a cómo funciona el

conocimiento matemático utilizado por un grupo humano para resolver una

situación específica. El interés se centra no en el desarrollo de los objetos

matemáticos sino en el conocimiento matemático en uso. Determinado

conocimiento es usado en diversas situaciones específicas por grupos sociales

sin que esto implique que éstos tengan un conocimiento profundo sobre el

objeto matemático en cuestión (Cordero y Flores 2007; Cordero, Cen y Suárez,

2010; Buendía, 2012).

Los usos se evidencian a partir de las formas y funcionamientos que presenta

determinado conocimiento matemático acorde a cierto grupo humano y cierta

situación.


42

Los usos de un saber se debaten entre su funcionamiento y su forma. Es a

partir de la identificación en situaciones específicas de los funcionamientos y

formas del saber en cuestión que se hace posible dar evidencias del uso del

mismo.

Las situaciones específicas hacen referencia a un grupo de tareas que han de

realizarse. En estas tareas el conocimiento que se pone en juego se presenta

de cierta manera, esta apariencia perceptible del conocimiento en cuestión y la

forma en que el sujeto actúa sobre este conocimiento es lo que se concibe

como forma del conocimiento. Se entiende por funcionamiento el para qué le

sirve al grupo social determinado conocimiento, se refiere al conjunto de

acciones, ejecuciones u operaciones que desempeña el conocimiento en una

situación específica (Cordero y Flores, 2007; Buendía, 2012).

Estudiar el uso del conocimiento matemático implica identificar y dar evidencia

de las formas y funcionamientos donde el conocimiento se pone en juego. El

uso de un saber tiene una función orgánica pues tiene un funcionamiento

específico acorde a la situación donde este se pone en juego. Un conocimiento

adquiere forma y funcionamiento específico en cada situación, el dar evidencia

de la forma que adopta y el funcionamiento de un conocimiento es lo que

permite identificar usos de este conocimiento en una determinada situación.

Cordero y Flores (2007, pág. 13) presentan la siguiente definición de uso a

partir del funcionamiento8 y forma del saber en cuestión:

“El ‘‘uso’’ es la función orgánica de la situación que se manifiesta por las

‘‘tareas’’ que componen la situación, y la forma del ‘‘uso’’ serán la clase de esas

‘‘tareas’’. Las tareas pueden ser actividades, acciones, ejecuciones y

alternancias de dominios. Cuando la alternancia de tareas sucede se genera

una nueva función orgánica que debatirá con las formas de los usos. A este

acto de ‘‘uso’’ se le llamará resignificación de la gráfica de la función en el

marco socioepistemológico del Cálculo (Cordero, 2006a)”.

8 En esta transcripción Cordero hace referencia al funcionamiento con la frase “tareas que componen la situación”.


43

La resignificación de un saber es entendida como la construcción de

conocimiento que se deriva a partir de los usos vinculados al mismo.

Según Cordero (2006, p. 272);

“(…) La resignificación será la construcción del conocimiento mismo en la

organización del grupo humano, normado por lo institucional, o sea, será el uso

del conocimiento en la situación donde se debate entre su funcionamiento y

forma de acorde con lo que organizan los participantes.”

La resignificación de un saber se puede identificar a partir de los usos y del

desarrollo de los usos de ese saber en una situación específica. Es la

construcción de conocimiento de un grupo humano en un contexto y situación

determinado (Cordero y Flores, 2007).

La noción de resignificación surge como constructo para dar evidencia de que

el conocimiento matemático tiene significados propios acorde a

intencionalidades y contextos específicos situados social e históricamente.

2.1.3 USOS DEL CONOCIMIENTO: UN EJEMPLO

Para ilustrar la noción de uso se considera un ejemplo que aborda el uso de las

gráfica en un escenario escolar donde los sujetos son profesores de

matemática (Buendía, 2012).

Buendía (2012), presenta un análisis de usos de las gráficas a partir de la

siguiente actividad (extraída de El problema de las Bicicletas (Cantoral, R.

Farfán, RM., Montiel, G., Lezama, J., Cabañas, G., Castañeda, A., Martínez-

Sierra, G., Ferrari, M., 2008)).


44

La autora identifica dos momentos del uso de las gráficas vinculadas a las

tareas planteadas en la actividad en los incisos (a) y (b). Solo se comentará la

identificación de usos en el momento 1.

1- Momento 1: hallando el punto de intersección: para obtener la respuesta

a la pregunta (a) ¿Cuánto tardará Juan en alcanzar la velocidad de

Carlos? El funcionamiento de las gráficas que se pone en juego está

vinculado a hallar el punto de intersección de las gráficas y las formas

del uso se evidencian a partir de analizar cómo los docentes hallan el

punto de intersección, algunos docentes aproximan las coordenadas del

punto de intersección, otros ubican puntos conocidos para hallar la

Figura 1 Problema de las bicicletas


45

ecuación de la recta a partir de la regla de tres, otros consideran un

parámetro y expresan las coordenadas del punto empleando este

parámetro. El binomio funcionamiento (acciones a llevar a cabo para

resolver y/o explicar la situación) y forma (cómo el individuo lleva a cabo

esas acciones, cómo resuelve, cómo argumenta) determina la

identificación de distintos usos de las gráficas.

En este primer momento Buendía (2012) identifica tres diferentes usos

de las gráficas:

- uso semiótico: denota un funcionamiento vinculado a hallar las

coordenadas del punto de intersección de los gráficos, la forma está

asociada a la manera en que se hallan estas coordenadas, en este caso

se aproxima de manera visual, se realiza una lectura directa de la gráfica

para obtener la respuesta.

- Uso bajo la idea de proporcionalidad: el funcionamiento que también

está asociado a hallar las coordenadas del punto de intersección, se

lleva a cabo ubicando el punto donde la gráfica seccionada pasa a ser

constante para hacer uso de la noción de proporcionalidad que permite

hallar una expresión analítica para la función velocidad correspondiente

a uno de los ciclistas y luego con la igualación de expresiones

funcionales hallar las coordenadas del punto en cuestión (forma del

uso).

- Uso analítico: el funcionamiento también está asociado a hallar el punto

de intersección de los gráficos, pero la manera de llevar a cabo esta

acción se realiza considerando un parámetro y luego hallando la

expresión general de la función velocidad desconocida y luego se

procede a igualar ambas expresiones funcionales.


46

2.2 SELECCIÓN DEL MOMENTO HISTÓRICO Y DISEÑO

DE LA UNIDAD DE ANÁLISIS.

Numerosas investigaciones en Educación Matemática abordan la construcción

histórica de los números reales con diversos fines. Algunos de estos fines son:

- Estudiar la concepción acerca de los números reales que tienen los

estudiantes universitarios (Mora y Torres, 2004).

- Estudiar la concepción acerca de los números reales que tienen los

estudiantes de secundaria (Romero, 1995).

- Estudiar la evolución histórico-epistemológica de la noción de número

irracional (Sánchez y Valdivé, 2012).

- Estudiar la evolución de las conceptualizaciones en torno a la noción de

completitud de los números reales (Bergé y Sessa, 2003).

En el trabajo de Bergé y Sessa (2003) se puede evidenciar que los criterios de

selección de los momentos históricos elegidos responden a:

- El uso de los números reales como objeto paramatemático desde la

época de los griegos hasta la primera mitad del siglo XIX.

- La necesidad de construir una definición formal del conjunto de los

números reales para poder justificar y construir otros saberes

matemáticos dónde la presencia y uso de éstos se hace indispensable.

- La definición genética versus la definición axiomática, el rol de cada una

de ellas en la producción y difusión del conocimiento matemático.

En cada uno de los momentos elegidos las autoras identifican:

- Matemáticos cuyo trabajo han considerado relevante como aporte a la

evolución del concepto en cuestión.

- Contexto histórico.

- Problemas que han aportado al desarrollo del concepto.

- Contexto matemático.

- Procedimientos de uso.


47

En cada uno de los momentos históricos seleccionados por Sánchez y Valdivé

(2012), los autores han identificado:

- Situaciones problemas de la época.

- Personajes más relevantes.

- Concepciones asociadas al concepto.

- Contexto.

- Ideas principales.


Analizando los momentos históricos seleccionados en la investigación de Mora

y Torres (2004) se desprende que en cada una de las etapas las autoras

identifican:


- Personajes cuyos trabajos influyeron en el desarrollo del concepto.

- Problemas vinculados al uso y desarrollo del concepto.

- Contexto matemático de uso.


- Representaciones y conceptualizaciones.

Es posible deducir que los momentos históricos seleccionados por Romero

están caracterizados por:

- Personajes cuyos aportes son relevantes en la constitución de la noción

de número real.

- Problemáticas que dieron lugar al desarrollo del concepto.


- Concepciones asociadas al desarrollo del concepto en cuestión.

- Contexto matemático de uso.

Romero (1995) reconoce tres etapas claves en el desarrollo histórico del

concepto de número real:

- Descubrimiento de la irracionalidad

- Decimales infinitos e irracionalidad

- Construcción formal del concepto de número real.


48

En base a las investigaciones analizadas, se considera pertinente profundizar

en un solo momento histórico para identificar usos y resignificaciones

vinculados al número real, en este caso se ha de analizar la obra de Descartes,

la fundamentación de dicha elección se presenta en la sección Objetivos.

A partir de lo expuesto acerca de los trabajos vinculados a la constitución

histórica del número real, definimos:

- Momento histórico es un segmento de la línea del tiempo desde el punto

de vista histórico, cuya selección queda caracterizada por diferentes

aportes, conceptualizaciones y nivel de desarrollo camino a la

constitución histórica del concepto de número real.

- La unidad de análisis queda definida por lo que se va a observar y

analizar en el momento histórico elegido. A partir de las observaciones

realizadas a los trabajos de corte histórico-epistemológico se considera

pertinente caracterizar el momento histórico atendiendo a:

o Conocer la obra matemática de Descartes e identificar aportes

que se consideran relevantes en el desarrollo de la concepción y

constitución del conjunto de los números reales.

o Contexto histórico.

o Contexto sociocultural.

o Contexto matemático de uso del concepto.

o Situaciones específicas donde identificar usos y posibles

resignificaciones asociadas al uso del número real.

Esta unidad de análisis constituye la plataforma sobre la cual se pretende

identificar y comprender usos del número real y a partir de estos identificar

resignificaciones que se deriven de los usos evidenciados.


49

3 - A N Á L I S I S H I S T Ó R I C O -

E P I S T E M O L Ó G I C O D E L A O B R A D E

R E N É D E S C A R T E S

La aritmetización y la algebrización de la geometría. Los aportes de René

Descartes y la disminución de la brecha entre magnitudes geométricas y

números.

"Los que buscan el camino recto de la verdad no deben ocuparse de ningún objeto sobre

el que no puedan tener una certidumbre semejante a las demostraciones de la Aritmética

y de la Geometría".

Descartes. Reglas para la dirección del espíritu [R.AT.X.366].

3.1 CONTEXTO HISTÓRICO, SOCIAL Y CULTURAL

Descartes nació el 31 de marzo de 1596 en la Haye, en el seno de una familia

acomodada, específicamente en casa de su abuela materna, donde se criará

hasta ingresar en el colegio de los jesuitas de La Flèche en el año 1606.

El contexto histórico-social que le toca vivir a Descartes es de crisis. Toda su

adultez se desarrolla en la guerra de los Treinta Años (1618-1648), que se

inicia por conflictos religiosos y se prolonga por ambiciones políticas.

En el terreno religioso se produjo el enfrentamiento entre la Reforma

protestante y la contrarreforma católica. En el contexto social se destacan los

enfrentamientos entre la burguesía emergente y la nobleza que se encuentra

en decadencia. Desde el punto de vista económico, la guerra hizo estragos, la

carestía y la falta de alimentos básicos provocó el surgimiento de hambrunas

endémicas.


50

Las producciones culturales y científicas trasponen los muros de los

monasterios y las universidades. Se desarrollan y se dan a conocer

rápidamente en salones y academias. En esta época surgen afamados

intelectuales que no pertenecen a la órbita de la iglesia.

En el contexto filosófico, la crisis escolástica, la caída de la física aristotélica

provocaron un escepticismo donde urge encontrar los fundamentos de la

verdad por otros caminos. Así surge la fiebre del método, por un lado el método

experimental promovido por Francis Bacon (1561-1622) y el método hipotético-

deductivo propuesto por Galileo (1564-1642) (García, M. 1978).

Es en este contexto que Descartes vive y se forma social y académicamente.

Siguiendo la línea de Bacon y Galileo, dedica gran parte de su vida a

desarrollar un método que conduzca al conocimiento de verdades

absolutas, pero fundamentadas exclusivamente en la razón, así surge el

Racionalismo moderno. El Racionalismo le otorga especial importancia y valor

a la matemática (en esta época se refiere particularmente a la aritmética y a la

geometría) y propone una interpretación mecanicista de la naturaleza.

Considera que un método similar al usado en matemática garantizará un

avance seguro del conocimiento.


51

3.2 LA FORMACIÓN MATEMÁTICA DE DESCARTES

En el colegio de la Flèche en las clases de matemáticas se utilizaba la obra de

Clavius, “Sobre el modo que las matemáticas pueden ser desarrolladas en los

colegios de la Sociedad” que era una guía metodológica interna que usaba los

colegios jesuitas. Esta obra abordaba conocimientos de matemática abstracta

(aritmética y geometría) y matemática sensible (astrología, música, geodesia,

arquitectura civil y militar, óptica, etc.). (Chica, 2001, pág. 27)

“La enseñanza matemática de los Jesuitas tenía una orientación

eminentemente práctica. Además del Cuadrivium9 pitagórico añadía

nociones de Mecánica, Óptica, Acústica, Topografía, Perspectiva,

Hidráulica y Balística, según el cuadro general de la Matemática práctica

renacentista, y con una orientación hacia la ingeniería civil y militar, de

interés para los jóvenes nobles que ocuparían cargos en la

administración y en el ejército.” (González Urbaneja, 2004, pág. 299)

La profundización en esta área la realiza fuera de los muros de la Flèche, pero

la buena formación cultural que le brinda este colegio, principalmente la

enseñanza del latín y del griego le abren las puertas para poder acceder a las

grandes obras. Entre estas se encuentran: Los elementos de Euclides, las

Obras de Arquímedes, La Aritmética de Diofanto y sobre todo Las Cónicas de

Apolonio y La Colección Matemática de Pappus. (González Urbaneja, 2004, p.

301)

9 El Cuadrivium Pitagórico estaba conformado por cuatro artes: Aritmética, Geometría, Música y Astronomía.


52

Portada y página con lustraciones de figuras geométricas de Apollonii Pergaei Conicorum Lib. V,

VI, VII. Edición de Borelli. Florencia 1661. Biblioteca de la Universidad de Pavía. (Fig. 2 y3)

FIGURA 2: PORTADA LIBRO DE APOLONIO

(1661)

FIGURA 3: PÁGINA DEL LIBRO DE APOLONIO.


53

Fig. 4. La Colección Matemática de Pappus.

Edición de F.Commandino. (Bolonia, 1670.

Fig. 5. La Aritmética de Diofanto. Edición de 1670 de S. de Fermat con las observaciones de su

padre P. de Fermat.

Las obras de Pappus y de Diofanto influyeron de manera decisiva en los

trabajos sobre Geometría que realizó Descartes y también en su obra La

Geometría.

La obra de Pappus es una importantísima labor de compilación, comentarios,

restauración, organización, clasificación y generalización del conocimiento

matemático superior de la antigüedad. Contiene soluciones nuevas a una gran

variedad de problemas clásicos, clasifica los problemas geométricos en planos,

sólidos y lineales. Presenta una visión más general del mentado Problema de

Pappus.

Diofanto con su obra La Aritmética, adopta ciertas letras y expresiones para

abreviar cantidades indeterminadas y sus potencias y para las operaciones

más habituales. Es el responsable de dar inicio a un simbolismo que antecede

FIGURA 4: PORTADA LIBRO DE PAPPUS.

FIGURA 5: PORTADA LIBRO DE DIOFANTO.


54

a la notación algebraica y cuya evolución a lo largo del tiempo da lugar a la

simplificación notacional que acuñará Descartes en su obra La Geometría.

Su encuentro con Beeckman, un intelectual amante de las matemáticas y la

física fue trascendental puesto que influido por éste, Descartes comienza una

serie de estudios matemáticos vinculados a los problemas délicos10 y las

ecuaciones cúbicas.

Es importante enfatizar que los trabajos desarrollados por Descartes en

matemática persiguen un fin que escapa a los límites de esta disciplina.

Descartes tiene por objetivo primordial crear un Método que permita desvelar

las verdades que rigen el conocimiento, que permita la búsqueda y la fundación

de un saber científico unificado, universal, cierto y evidente. A este saber

científico universal Descartes lo denomina Mathesis Universalis, una ciencia

general, cuya forma de saber es extraída del modo, el estilo y el método de los

saberes matemáticos.

“Descartes busca un fundamento absoluto e inconmovible de la verdad

en que basar el conocimiento científico sobre el que cimentar la vida y la

acción. Pero ello no es posible alcanzarlo sin método. La Regla IV de las

Regulae se titula precisamente: «El método es necesario para la

investigación de la verdad de las cosas» (RIV.AT.X.371), y en ella

Descartes alude de forma reiterada sobre el asunto:

« [...] Es mucho más acertado no pensar jamás en buscar la verdad de

las cosas que hacerlo sin método» (RIV.AT.X.371).

«[...] Entiendo por método reglas ciertas y fáciles, mediante las cuales el

que las observe exactamente no tomará nunca nada falso por

verdadero, y, no empleando inútilmente ningún esfuerzo de la mente,

sino aumentando siempre su ciencia, llegará al conocimiento verdadero

de todo aquello de que es capaz» (RIV.AT.X.371–372).

«El método explica rectamente de qué modo ha de usarse la intuición de

la mente para no caer en el error contrario a la verdad y cómo han de ser

10 Los tres problemas délicos (calificativo vinculado a la isla de Delos) son: La duplicación del cubo, La trisección del ángulo y la Cuadratura del círculo.


55

hechas las deducciones para llegar al conocimiento de todas las cosas,

[...] ninguna ciencia puede obtenerse, sino mediante la intuición de la

mente o la deducción» (RIV.AT.X.372).” (González Urbaneja, P. 2004,

p.307).

Descartes considera que es a partir de la Aritmética y la Geometría que es

posible comenzar a crear este método que permita encontrar el conocimiento

verdadero y evidente que alcance con certeza la unidad del saber.

“La Aritmética y la Geometría deben, pues, ejercer para Descartes una

función propedéutica e indicativa porque en ellas se experimenta la

certeza y evidencia requeridas para el verdadero saber; a ellas hay que

reducirse, pues sólo ellas están libres de incertidumbre y falsedad, de

modo que (RII.AT.X.363,364):

« [...] Si calculamos bien, de las ciencias ya descubiertas sólo quedan la

Aritmética y la Geometría, a las que la observación de esta regla [Regla

II] nos reduce.»

« [...] Sólo la Aritmética y la Geometría están libres de todo defecto de

falsedad e incertidumbre.»” (González Urbaneja, P. 2004, p. 308).

La siguiente frase extraída de El Discurso del Método de Descartes, reflejan la

importancia significativa que el método matemático, en particular el método

usado por los geómetras tiene en el fundamento del método cartesiano.

“Esas largas cadenas de razonamientos muy simples y fáciles, que los

geómetras acostumbran a utilizar para llegar a sus más difíciles

demostraciones, me habían dado ocasión de imaginar que todas las

cosas que pueden caer bajo el conocimiento de los hombres se siguen

unas a otras de igual modo, (...), y considerando que entre todos los que

hasta entonces han investigado la verdad en las ciencias, sólo los

matemáticos han podido hallar algunas demostraciones, esto es,

algunas razones ciertas y evidentes, no dudaba que debía comenzar por

las mismas que ellos han examinado (…)” (Descartes, pág. 146-147).


56

Poco tiempo antes de ser publicados El Discurso del Método y La Geometría,

en marzo de 1637, Descartes escribe una carta al Padre Mersenne para

comunicarle el título y el contenido de la magnífica obra:

“Proyecto de una Ciencia universal que pueda elevar nuestra naturaleza a su

más alto grado de perfección. Además, La Dióptrica, los Meteoros y la

Geometría, donde las más curiosas materias que el autor haya podido elegir,

para dar prueba de la Ciencia universal que el autor propone, son explicadas

de tal manera, que aun aquellos que no han estudiado puedan entenderlos.”

(González Urbaneja, 2004, pág. 314).

Esta última cita con palabras de Descartes da evidencias claras de que su

ambición escapaba a las fronteras de la geometría y también de la matemática,

los desarrollos realizados en esta disciplina son solo parte de un objetivo

mucho más grande e importante para él, la creación de una Ciencia Universal.


57

3.3 INTENCIONALIDADES SOCIALES DE LA OBRA

MATEMÁTICA DE DESCARTES.

Para poder analizar e inferir cuáles pueden haber sido las intenciones sociales

que llevaron a Descartes a escribir su obra matemática La Geometría, es

necesario incursionar en la situación socio-histórica que se vivió en el siglo XVI

y XVII en Europa.

Entre finales del siglo XVI e inicios del siglo XVII se enmarcan los inicios de la

época histórica denominada Modernidad. La crisis que se vive en esta época

responde fundamentalmente a tres hechos históricos en particular:

1- La destrucción de la unidad religiosa, las guerras de religión y la

inminente llegada del protestantismo. Las luchas que se establecieron

entre hombres de distintos credos religiosos ponen en duda la fe en una

verdad única que pueda unir a todos los hombres en la cristiandad. Se

va destruyendo la creencia de la unicidad de la verdad.

2- El hombre descubre la tierra, a partir de haber logrado dar la vuelta al

mundo y haber demostrado la redondez del planeta. Este hecho provoca

una crisis en cuanto a los conocimientos que del planeta se tenían por

verdaderos hasta ese momento.

3- El hombre descubre el cielo, a partir de los trabajos realizados durante el

Renacimiento por Copérnico y Kepler, se toma conciencia de que la

Tierra es un planeta más, deja de ser considerada como el centro del

Universo. Cambia la idea que tenían los hombres respecto a los astros y

su relación con la Tierra.

Esto provoca una crisis y una destrucción de “verdades” que el hombre tenía

como ciertas. Hace tambalear y cuestiona la estructura de los saberes que la

humanidad había construido. Entra en crisis tanto la filosofía como la ciencia

aristotélica.

Es en este contexto, donde las verdades que venían siendo válidas ya no

valen, en el que vive Descartes.


58

Según García Morente11 (1978, pág. 137), Descartes busca una verdad

primera, que no pueda ser puesta en duda. Para poder encontrar esta verdad

es necesario tener un método.

De la Torre (2006, pág. 4) afirma que:

“En su búsqueda de un método único, Descartes tuvo que romper con la

orientación metodológica de los científicos medievales, quienes sostenían,

apoyados en Aristóteles, que cada una de las ciencias debe tener un método

propio que responda a las diferencias peculiares de los materiales que dicha

ciencia investiga. Descartes, en cambio, sostuvo que, a pesar de las

diferencias en los materiales y en los datos de las distintas ciencias, todas ellas

avanzan mediante el razonamiento, el cual siempre tiene las mismas

características fundamentales, independientemente de los términos. La razón

que opera en todos los hombres es una y la misma, afirmaba Descartes, y, por

lo tanto, no puede haber sino un método universal, que, al ser aplicado a

cualquier clase de datos y problemas, lleve a conclusiones necesarias y que

todos los hombres pueden verificar.

Los resultados obtenidos por la aplicación de dicho método estarán

interconectados y constituirán un cuerpo unitario y comprehensivo, una ciencia

universal única, y no una colección dispersa de curiosidades ni una pluralidad

de ciencias distintas, aisladas una de otra, separadas en compartimentos

estancos.”

El Discurso del Método, cuyo título completo es “Discurso del método para

conducir bien la razón y encontrar la verdad sobre las ciencias”, consta

además de tres apéndices, La Dióptrica, Los Meteoros y La Geometría. Este

método está basado en los procedimientos usados en matemática,

principalmente en geometría y en aritmética.

Descartes consideraba que a partir de la creación de un método, era posible la

unificación del conocimiento científico en una ciencia universal que llamó

Mathesis Universalis. Los tres apéndices presentados junto con el Discurso del

11 El libro aquí citado corresponde a la 20ª edición de la transcripción del curso dictado en 1937 por el profesor Manuel García Morente en el Departamento de Filosofía y Letras de la Universidad de Tucumán.


59

Método corresponden a la aplicación de su método a tres disciplinas, la física

(La Dióptrica), la astronomía (Los Meteoros) y la matemática (La Geometría).

Esta afirmación se explicita con palabras de Descartes en El discurso del

método (pág. 22): “Y además seguía ejercitándome en el método que me había

prescrito; pues sin contar con que cuidaba muy bien de conducir generalmente

mis pensamientos, según las citadas reglas, dedicaba de cuando en cuando

algunas horas a practicarlas particularmente en dificultades de matemáticas, o

también en algunas otras que podía hacer casi semejantes a las de las

matemáticas, desligándolas de los principios de las otras ciencias, que no me

parecían bastante firmes; todo esto puede verse en varias cuestiones que van

explicadas en este mismo volumen12”

Hernández (2002) afirma que: “La Geometría de Descartes fue publicada en

1637 como uno de tres apéndices de su Discurso del Método / para conducir

bien la razón, y buscar / la Verdad en las ciencias. / Además / La Dióptrica / Los

Meteoros / y / la Geometría / que son ensayos de este Método".

Esta cita de Hernández es una traducción del título de la primera edición

publicada en 1637.

González Urbaneja (2004, pág. 314) cita dos párrafos correspondientes a dos

cartas que Descartes escribe al padre Mersenne, el primero de estos párrafos

correspondiente a una carta escrita en diciembre 1637 donde deja constancia

que La Geometría es una aplicación de su método en el campo de las

matemáticas:

“«[...] Con La Dióptrica y Los Meteoros he querido únicamente convencer

de que mi método es mejor que el ordinario y creo que lo he demostrado

con mi Geometría, al resolver en las primeras páginas una cuestión que,

según Pappus, no había podido resolver ningún geómetra de la

antigüedad [...]»”

12 Refiérase a los ensayos científicos: Dióptrica, Meteoros y Geometría, que se publicaron en el mismo tomo que este discurso.


60

Este segundo párrafo, de extraído de una carta que Descartes escribe al padre

Mersenne en marzo de 1637, poco antes de la publicación de su obra “El

discurso del método”, deja constancia de su interés en la construcción de una

ciencia universal para lo cual su método es el camino para llevar a cabo dicha

construcción, siendo La Geometría una prueba de la aplicación de dicho

método:

“«Proyecto de una Ciencia universal que pueda elevar nuestra

naturaleza a su más alto grado de perfección. Además, La Dióptrica, los

Meteoros y la Geometría, donde las más curiosas materias que el autor

haya podido elegir, para dar prueba de la Ciencia universal que él autor

propone, son explicadas de tal manera, que aun aquellos que no han

estudiado puedan entenderlos.»”

Se han presentado hasta aquí evidencias de que una posible motivación que

tuvo Descartes para escribir La Geometría sea la de llevar a la experiencia su

propio método. Este método les permitirá a los hombres conducirse por el

camino de la razón y encontrar la verdad en las ciencias, para la unificación del

conocimiento científico en un conocimiento universal.

Por otro lado otra intención de la que se puede presentar evidencias acerca de

los motivos que llevaron a Descartes a escribir La Geometría, es presentar la

resolución del problema de Pappus usando su “método”.

El problema de Pappus llega a Descartes a través de Golius13, quien en 1632

se lo plantea para que ponga a prueba el método cartesiano.

El Libro I de La Geometría culmina con el abordaje del problema de Pappus

para cuatro rectas. Descartes presenta la solución para el mismo y discute la

solución general para el problema. Es en el Libro II donde Descartes plantea

“El problema general de Pappus”, donde clasifica las distintas soluciones para

las diferentes situaciones del problema.

13 Jacobus Golius (1596-1667), matemático holandés. Fue profesor de la Universidad de Leiden.


61

González Urbaneja (2004, pág. 336) afirma que algunos historiadores (no cita

quiénes) consideran a La Geometría como el tratado general del problema de

Pappus:

“Hasta aquí, Descartes ha elaborado un potente método analítico-

sintético de ataque de los problemas geométricos que utiliza el Álgebra

como instrumento algorítmico y con el que se propone no sólo rehacer la

Geometría griega sino ir mucho más allá en la resolución de antiguos y

nuevos problemas geométricos. Por eso se plantea al final del Libro I el

abordaje del famoso problema de Pappus de las tres o cuatro rectas,

que tan firmemente se había resistido a los geómetras griegos, y que

siendo generalizado a 2n–1, 2n rectas campea a lo largo de La

Geometría de Descartes, de modo que algunos historiadores se atreven

a decir que «Toda La Geometría de Descartes está destinada a la

resolución del Problema de Pappus» o que «El Problema de Pappus

conforma La Geometría de Descartes».”

Lluberes (2005, pág.6) afirma al respecto del vínculo entre La Geometría y el

problema de Pappus:

“Uno de los componentes pivotales del texto cartesiano fue

precisamente, como acabamos de ver, la solución al problema de

Pappus el cual por cierto había desafiado a esclarecidos matemáticos de

la antigüedad clásica. Este problema, cuya escogencia como elemento

central del primer libro de la Geometría fue sin duda un golpe maestro de

Descartes, le ofreció la oportunidad de mostrar la potencia de su

enfoque, evidenciando entre otras cosas una severa limitación de la

geometría clásica por cuanto en familias del mismo se involucran curvas

no construibles con regla y compás.”

En este trabajo es posible afirmar que al menos dos de las intenciones sociales

vinculadas a la obra La Geometría de Descartes responden a:

- La necesidad de construir una Ciencia Universal, denominada

Mathesis Universalis, que permita la unificación de todo el

conocimiento científico. Esta ciencia es factible construirla (según


62

Descartes) a partir de la creación de un método, el método

cartesiano. La Geometría representa una aplicación del método

creado.

- La presentación del problema de Pappus14 y las diversas

soluciones, hasta llegar a presentar el Problema de Pappus

generalizado.

14 En términos actuales en problema de Pappus se puede traducir: “Dadas 2n rectas, encontrar el lugar de los puntos tales que el producto de sus distancias, bajo ángulos dados, a n de esas rectas está en una relación dada con el producto de las distancias, bajo ángulos también dados, a las otras n rectas. “ (Hernández 2002, pág. 40). El problema de Pappus se comenta con cierta profundidad en la sección 3.4.1.3.


63

3.4 LA PRESENCIA DE LOS NÚMEROS REALES EN LA OBRA

LA GEOMETRÍA

La Geometría es la única obra matemática escrita por Descartes. Considera

que La Geometría es un ensayo que muestra cómo usar el Método creado por

él.

El título que aparece en el volumen publicado el 5 de junio de 1637 es:

“DISCOURS DE LA METHODE pour bien conduire sa raison et chercher la verite dans les

sciences. Plus LA DIOPTRIQUE, LES MÉTÉORES ET LA GÉOMÉTRIE, qui sont essais de

cette METHODE”.

En su edición original este libro comprende 120 páginas y contiene 48 figuras

(de éstas 30 son diferentes). El análisis aquí realizado entre otras fuentes

utiliza una edición de La Geometría del año 1886.

FIGURA 6: PORTADA DE LA PRIMERA EDICIÓN DEL DISCURSO

DEL MÉTODO Y LOS TRES APÉNDICES.

FIGURA 7: PORTADA DE LA

GEOMETRÍA DE 1886.


64

La Geometría está dividida en tres libros:

- El Libro Primero trata de los Problemas que

pueden resolverse sin emplear más que círculos y líneas

rectas. Es en este libro donde Descartes define el segmento

unidad para luego poder definir la suma, resta,

multiplicación, división y extracción entre segmentos. Así

como también la construcción de soluciones positivas para

algunos tipos de ecuaciones de segundo grado. Por último

enuncia el problema de Pappus y presenta una solución

para el caso de cinco rectas.

- El Libro Segundo titulado De la naturaleza de las líneas

curvas, aborda el tratamiento de las curvas de grado

superior y, principalmente, la construcción y propiedades de

tangentes y normales. La importancia de trabajar sobre

estas rectas particulares se deriva de los problemas

vinculados a la reflexión de la luz sobre las superficies

curvas.

- El Libro Tercero se titula De la construcción de los

problemas que son sólidos o más que sólidos. En este libro Descartes aborda

el estudio de la resolución de ecuaciones, la discusión de sus

raíces y las relaciones que se pueden establecer entre las

raíces de una ecuación y sus coeficientes. Muestra que el

grado de una ecuación es igual al máximo número de raíces

que esta puede admitir, presenta luego la regla de los signos.

Por último, trata los célebres problemas de 3er grado: la

trisección del ángulo y la duplicación del cubo y señala que

cualquier problema de 3er grado puede reducirse a estos dos.

FIG. 7 FIGURA 8: PÁG. 1 DE LA

GEOMETRÍA 1886.

FIGURA 9: PÁG. 15 DE

LA GEOMETRÍA 1886.

FIGURA 10: PÁG. 54 DE

LA GEOMETRÍA 1886.


65

En este trabajo el foco se ubicará en los temas tratados en el Libro Primero,

pues para el tema que compete, que es identificar los usos de los números

reales presentes en la obra de Descartes, el análisis de este texto brinda

evidencias suficientes para identificar los usos mencionados.

3.4.1 ANÁLISIS DEL LIBRO PRIMERO

3.4.1.1 CÓMO SE DEFINEN LAS OPERACIONES ARITMÉTICAS EN EL CONTEXTO

GEOMÉTRICO.

Descartes afirma que todos los problemas de la geometría pueden reducirse de

tal manera, que es suficiente conocer la longitud de algunos segmentos para

resolverlos.

Con estas palabras se inicia el Libro Primero:

La traducción del párrafo de la Fig. 10: “Todos los problemas de geometría

pueden reducirse fácilmente a tales términos, que no es necesario conocer de

antemano más que la longitud de algunas líneas rectas para construirlos.”

Descartes a partir de la estructura de las operaciones aritméticas construye una

estructura operatoria similar en la geometría. Define un segmento unidad que le

va a permitir trasladar la estructura operatoria aritmética a la geometría, donde

define multiplicación y extracción de raíces entre segmentos. Tanto la

diferencia como la suma las asume como operaciones conocidas.

Con estas palabras explica cómo ha de erigir la estructura operatoria entre

segmentos:

FIGURA 11: PÁG. 2 DE LA GEOMETRÍA 1886.


66

Hernández (2002, pág. 35) presenta la siguiente traducción15 del párrafo

anterior (el resaltado no es parte de la transcripción original):

“Y así como la aritmética no comprende más que cuatro o cinco operaciones,

que son la adición, la sustracción, la multiplicación, la división y la extracción de

raíces, que pueden tomarse como una especie de división, así también no hay

otra cosa que hacer en geometría, respecto a las líneas que se buscan, para

prepararlas a ser conocidas, que agregarles o quitarles otras, o bien,

teniendo una, que llamaré la unidad para relacionarla lo más posible con

los números, y que ordinariamente puede ser tomada a discreción, y teniendo

luego otras dos, encontrar una cuarta que sea a una de esas dos, como la otra

es a la unidad, que es lo mismo que la multiplicación; o bien encontrar una

cuarta que sea a una de esas dos como la unidad es a la otra, lo que es lo

mismo que la división; o, en fin, encontrar una, dos, o varias medias

proporcionales entre la unidad y alguna otra línea, lo que es lo mismo que

extraer la raíz cuadrada, o cúbica, etc. Y yo no temeré introducir estos términos

de aritmética en la geometría, a fin de hacerme más inteligible.”

Es importante destacar que Descartes llamará a una de estas líneas unidad

“para relacionarla lo más posible con los números”. Esta estructura aritmética

15 Transcripción parcial de: Descartes, LA GEOMETRÍA, Traducida por Pedro Rossell Soler. Profesor de la Universidad de Buenos Aires. Espasa - Calpe. Argentina. S.A. Buenos Aires - México. 1947

Párrafos extraídos de las

páginas 1 y 2 de La Geometría

editada en 1886

FIGURA 12: PÁRRAFOS EXTRAÍDOS DE LA GEOMETRÍA 1886.


67

que se va erigiendo en el conjunto de los segmentos, permite establecer una

correspondencia entre los conjuntos numéricos y la longitud de los segmentos.

Esta correspondencia que define Descartes rompe con la concepción griega

que distancia lo numérico y discreto de las magnitudes geométricas y su

continuidad.

¿Por qué se hace necesario designar un segmento unidad? La importancia de

esta designación radica en el hecho de que no es posible para Descartes

definir la multiplicación, la división y la extracción de raíces sin nombrar un

segmento que se corresponda con la unidad numérica que equivalga al neutro

de la multiplicación.

¿Cómo define Descartes la multiplicación, la división y la extracción de raíces

en el contexto geométrico?

Fig. 12 Imagen extraída de la página 2 de La Geometría editada en el año

1886.



68

De la imagen anterior se puede observar que para obtener el producto

resultante (representado por el segmento BE) de multiplicar los segmentos BD

y BC, Descartes considera un segmento unidad que nombra como AB y que en

la imagen está incluido en el segmento BD (está implícito en esta relación que

la longitud del segmento BD es mayor que uno). El punto E del segmento

producto BE se obtiene de intersecar la recta paralela a AC que pasa por D,

con la semirrecta BC.

Para definir la división, presenta el ejemplo:

si se quiere dividir el segmento BE entre el

segmento BD (cuyo cociente resultante es

el segmento BC), hay que determinar el

punto C. Para hallarlo basta intersecar la

recta paralela a DE que pasa por A con la

semirrecta BE.

Analizando la construcción de ambas

operaciones, podemos observar que la

definición de las mismas se puede

fundamentar si aplicamos el teorema de Thales. Cabe preguntarse qué pasa si

los segmentos con los que se va a operar tienen longitud menor que la unidad.

Es fácil verificar que es posible realizar las operaciones considerando en todo

momento la proporcionalidad de la longitud de los segmentos en cuestión.

A modo de ejemplo, para realizar la multiplicación de los segmentos BD y BC,

donde ambos tienen longitud menor que la unidad AB, se procederá a:

Donde el planteo que se puede realizar es el

siguiente:

𝐵𝐷̅̅ ̅̅ . 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐸̅̅ ̅̅ ↔ 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ . 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐸̅̅ ̅̅ . 𝐵𝐴̅̅ ̅̅

𝐵𝐶̅̅ ̅̅

𝐵𝐴̅̅ ̅̅=

𝐵𝐸̅̅ ̅̅

𝐵𝐷̅̅ ̅̅

FIGURA 14: IMAGEN DEL ALGORITMO DE LA

DIVISIÓN.

FIGURA 15: EJEMPLO DE DIVISIÓN

CARTESIANA.


69

Con este razonamiento se puede observar la importancia de designar un

segmento unidad, donde una de sus funciones es oficiar de “neutro” en la

multiplicación de segmentos. Luego considerando las longitudes de los

segmentos involucrados es posible haciendo uso del teorema de Thales,

expresar la proporcionalidad entre los mismos, de modo tal que la longitud del

segmento unidad es 1.

En la imagen de la página anterior, extraída del libro La Geometría editado en

1886, Descartes también explica como extraer la raíz cuadrada de un

segmento. Citando nuevamente a Hernández (2002, pág. 36) la traducción es

la siguiente:

“O, si hay que extraer la raíz cuadrada de GH, se le

agrega en línea recta FG, que es la unidad y dividiendo FH

en dos partes iguales por el punto K, con ese punto como

centro se traza el círculo FIH; luego elevando desde el

punto G una línea recta, con ángulos rectos sobre FH,

hasta I, es GI la raíz buscada. No digo nada aquí de la raíz

cúbica, ni de las otras, pues de ellas trataré más

detalladamente más adelante.”

Al leer esta explicación de cómo se construye el segmento que es la raíz

cuadrado de otro segmento dado, cabe preguntarse ¿por qué el segmento IG

así construido es la raíz cuadrada del segmento GH?

Según González Urbaneja (2004), Descartes hace uso del Teorema de Tales

(Euclides III.31) y del Teorema de la Altura (Euclides VI.8) para definir la raíz

cuadrada de un segmento dado.

Se puede observar que usando semejanza de triángulos es posible verificar el

resultado de esta operación geométrica, donde obviamente está implícita la

manipulación con las longitudes de dichos segmentos.

FIGURA 16: ILUSTRACIÓN

DE LA CONSTRUCCIÓN DE

LA RAÍZ CUADRADA.


70

En la figura 17 (réplica de la figura

presentada en La Geometría, los ángulos α y

β tienen igual amplitud, por lo tanto los

triángulos rectángulos FGI y IGH son

semejantes, por lo tanto se cumple que:

𝐺𝐹̅̅ ̅̅

𝐺𝐼̅̅ ̅=

𝐺𝐼̅̅ ̅

𝐺𝐻̅̅ ̅̅ como el segmento GF es la unidad,

se deduce que (𝐺𝐼̅̅ ̅)2 = 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ .

Descartes en la explicación de sus

operaciones geométricas está haciendo uso de las propiedades aritméticas de

los conjuntos numéricos.

En las páginas 2 y 3 de La Geometría, Descartes explica cómo hacer uso de

las letras en geometría.

FIGURA 17: CONSTRUCCIÓN DE LA RAÍZ

CUADRADA.

FIGURA 18: PÁRRAFO DE LA PÁG. 2 DE LA GEOMETRÍA 1886.



71

La traducción que realiza González Urbaneja de las imágenes de las páginas 2

y 3 de La Geometría (fig.18 y fig.19) es:

“«Pero a menudo no hay necesidad de trazar esas líneas sobre el papel y

basta con designarlas por ciertas letras, una sola para cada línea. Así, para

sumar la línea BD a la GH, designo a la una a y a la otra b y escribo a + b; y a -

b para restar b de a; y ab para multiplicar la una por la otra; y a/b para dividir a

por b; y aa o a2 para multiplicar a por sí misma; y a3 para multiplicar otra vez

por a, y así al infinito; y √𝑎2 + 𝑏2 para extraer la raíz cuadrada de a2+b2; y

√𝐶. 𝑎3 − 𝑏3 + 𝑎𝑏𝑏 para extraer la raíz cúbica a3–b3+abb y así otras.

Es de señalar que para a2 o b3 u otras expresiones semejantes, yo no concibo

ordinariamente más que líneas simples, aunque para servirme de los nombres

usados en álgebra, los designe por cuadrados, cubos, etc.

Por último, a fin de no dejar de recordar los nombres de estas líneas, conviene

siempre hacer una anotación separada, a medida que se las coloca o se las

cambia, escribiendo, por ejemplo, AB∞1 , es decir AB igual a 1, GH=a, BD=b,

etc.».”

Aquí es posible constatar que Descartes le asigna una letra a cada segmento,

que no es otra cosa que la asignación de la longitud (medida) del mismo.

Es de fundamental importancia percatarse de que a2, b3 son para Descartes

segmentos, la primera expresión corresponde al producto de un segmento de

longitud a por sí mismo, la segunda expresión es el producto de un segmento

de longitud b2 por un segmento de longitud b. Esto provoca una ruptura con la

concepción geométrica de lo que estas dos expresiones representaban hasta

ese momento, ya que a2, representaba geométricamente un cuadrado de lado

a y b3 representaba geométricamente un cubo de arista b, manteniendo así las

clásicas ideas que los antiguos griegos sostenían acerca de las potencias de

magnitudes geométricas.

En la obra matemática de Descartes las potencias de los segmentos se

mantienen geométricamente como segmentos (no están vinculados a

magnitudes planas o espaciales). Las potencias de segmentos se mantienen

vinculadas esencialmente a las potencias numéricas.


72

Descartes rompe con los legados vinculados a las magnitudes geométricas que

hasta esta época aún mantenían su vigencia.

González Urbaneja cita la Regla XVI de las Regulae de Descartes

(RXVI.AT.X.457), que da evidencia de ello:

“La misma magnitud, aunque sea llamada cubo o bicuadrado, nunca

debe ser propuesta a la imaginación [...] más que como una línea o

como una superficie. Por lo tanto es preciso notar sobre todo que la raíz,

el cuadrado, el cubo, etc., no son otra cosa que magnitudes en

proporción continua, a la que siempre se supone antepuesta aquella

unidad asumida [...]; a esta unidad hace referencia inmediatamente la

primera proporcional y por medio de una única relación; la segunda, por

su parte, por medio de la primera y por lo tanto por medio de dos

relaciones; la tercera, mediante la primera y la segunda, y por medio de

tres relaciones, etc. Llamaremos, pues, en lo sucesivo, primera

proporcional a aquella magnitud que en Álgebra es denominada raíz,

segunda proporcional a la que es llamada cuadrado y así las restantes.”

Esta cita deja también constancia del vínculo que Descartes establece para

manipular el contexto geométrico y el contexto algebraico, requiriendo para ello

introducir en el terreno geométrico el uso de los números y sus operaciones.

3.4.1.2 CÓMO SE CONSTRUYEN LAS SOLUCIONES POSITIVAS DE LAS

ECUACIONES ALGEBRAICAS EN EL CONTEXTO GEOMÉTRICO.

En el libro I, luego de definir las operaciones aritméticas en el contexto

geométrico, Descartes expone cómo construir las ecuaciones que permiten

resolver problemas planos16.

16 Descartes define como problemas planos aquellos cuya solución es construible sólo con la ayuda de líneas rectas y circunferencias.


73

FIGURA 20: PÁG. 3 DE LA GEOMETRÍA 1886

Una traducción del pasaje anterior:

“Cómo se llega a las ecuaciones que sirven para resolver los problemas.

Así, si se quiere resolver algún problema, debe de antemano

considerarse como ya hecho, y dar nombre a todas las líneas que

parecen necesarias para construirlo, tanto a las que son desconocidas

como a las otras. Luego, sin considerar ninguna diferencia entre estas

líneas conocidas y desconocidas, se debe examinar la dificultad según el

orden que se presente como más natural de todos, en la forma como

aquellas líneas dependen mutuamente las unas de las otras, hasta que

se haya encontrado la manera de expresar una misma cantidad de dos

maneras: lo que se denomina una ecuación, pues [el resultado de] los

términos de una de esas dos formas son iguales a los de la otra. ...”

(Hernández, 2002, pág. 37)

En esta frase queda plasmado el tránsito del contexto algebraico al contexto

geométrico que utiliza Descartes, en el que la incógnita de una ecuación

algebraica se representa por un segmento cuya longitud es desconocida.

Descartes expone en la página 4 el tipo de ecuaciones que ha de considerar y

su significado en el contexto geométrico, designando con la letra 𝑧 a la cantidad

desconocida;


74

FIGURA 21: PÁRRAFO DE LA PÁG. 4 DE LA GEOMETRÍA 1886.

Es de gran importancia observar que a cada segmento le asigna un número,

que se corresponde con la medida de dicho segmento, sin considerar la

naturaleza mensurable o inconmensurable de dicha longitud. Se puede afirmar

que Descartes hace uso de los números racionales e irracionales

indistintamente.

Descartes afirma que pueden reducirse todas las cantidades desconocidas a

una sola, siempre que el problema pueda ser construido por líneas rectas y

círculos (aunque en realidad está considerando solo a la circunferencia en

dichas construcciones geométricas), por secciones cónicas o por otras líneas

que estén compuestas a lo sumo por uno o dos grados más.

Los problemas que son resolubles a partir de construcciones de círculos y

líneas rectas únicamente, Descartes los llama problemas planos.

A este respecto, Hernández (2002, pág. 37) escribe la siguiente traducción:

“Cuáles son los problemas planos.

Si este puede ser resuelto por la geometría ordinaria, es decir, sin

servirse más que de líneas rectas y circulares trazadas sobre una

superficie plana, cuando la última ecuación haya sido enteramente

desarrollada, no quedará, al fin, más que un cuadrado desconocido,

igual a lo que resulta de la adición, o sustracción, de su raíz multiplicada

por alguna cantidad conocida [coeficiente], más alguna otra cantidad

también conocida [término independiente].”


75

A partir de la traducción de este pasaje escrito por Descartes, se puede inferir

que se establece una relación entre objetos del contexto geométrico y el

contexto algebraico. En el contexto geométrico todos aquellos problemas que

se pueden clasificar como problemas planos, se corresponden en el contexto

algebraico con aquellas ecuaciones que son reducibles a ecuaciones de

segundo grado.

Ahora que ha quedado establecida la representación geométrica de ecuaciones

algebraicas que se reducen a ecuaciones cuadráticas. Cabe preguntarse:

¿cómo se resuelven estas ecuaciones en el contexto geométrico?

Descartes explicita cómo construir la solución geométrica de una ecuación de

segundo grado a partir del siguiente ejemplo:

FIGURA 22: PÁG. 5 DE LA GEOMETRÍA DE 1886.

Para resolver la ecuación algebraica de la forma: 𝒛𝟐 = 𝒂. 𝒛 + 𝒃𝟐 (1), donde

Descartes asume que 𝑎 y 𝑏 son cantidades conocidas y 𝑧 es una cantidad

desconocida, procede de la siguiente manera:


76

1- Construye un triángulo rectángulo MLN, donde le asigna al segmento LM

la longitud 𝑏 y al segmento LN la longitud 𝑎

2.

2- Construye una circunferencia con centro en N y radio la longitud del

segmento LN.

3- Considera los puntos de intersección entre la circunferencia y la recta

MN, que los nombra P y O respectivamente.

4- Expresa que uno de los valores de 𝑧 corresponde a la longitud del

segmento MO.

La longitud del segmento MO corresponde al valor de z positivo que se obtiene

al resolver algebraicamente la ecuación, obteniendo como solución positiva:

𝑧 =1

2𝑎 + √

1

4𝑎2 + 𝑏2

Es relevante destacar que la construcción geométrica de la solución de esta

ecuación permite argumentar y discutir visualmente el signo de las soluciones

de una ecuación de segundo grado de la forma (1), puesto que a partir de la

construcción es posible ver que una solución es positiva y la otra es negativa,

ya que la hipotenusa del triángulo MLN es siempre mayor que el radio de la

circunferencia de centro N y radio LN (que corresponde a la longitud de uno de

los catetos del triángulo rectángulo MLN).

Las soluciones algebraicas de la ecuación (1) son: 1

2𝑎 ± √

1

4𝑎2 + 𝑏2

FIGURA 23: CONSTRUCCIONES DE LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE 2º GRADO.

Solución positiva: 𝑂𝑀̅̅ ̅̅ ̅ Solución negativa: −𝑀𝑃̅̅̅̅̅


77

En las figuras de arriba se muestran tres posibles construcciones dependiendo

de la relación de orden que pueda establecerse entre a y b, lo cual no influye

en el signo de las dos soluciones de la ecuación (1). Con un programa de

geometría dinámica es posible constatar que las soluciones de esta ecuación

son de signos distintos.

Ahora si en lugar de considerar la longitud del segmento OM, se considera la

longitud del segmento PM. Se puede observar que el segmento PM en la

misma construcción corresponde a la solución geométrica de la ecuación de la

forma: 𝒚𝟐 = −𝒂𝒚 + 𝒃𝒃 (2)

La construcción geométrica de las soluciones de las ecuaciones (1) y (2)

elaboradas en el contexto algebraico están representadas por las longitudes de

los segmentos OM y PM respectivamente.

La fundamentación de estas construcciones está basada en la suma y

diferencia de segmentos y en el teorema de Pitágoras. Puesto que:

- El triángulo rectángulo MLN, cuyos catetos (representados por los

segmentos LN y ML) miden 𝑎

2 y 𝑏 respectivamente, aplicando el

teorema de Pitágoras se deduce que la medida de la hipotenusa

(representada por el segmento MN) es √1

4𝑎2 + 𝑏2.

- El segmento OM es la suma de los segmentos MN y NO, que

miden √1

4𝑎2 + 𝑏2 y

𝑎

2. Por lo tanto el segmento OM corresponde a

la construcción geométrica de una de las soluciones de la

ecuación algebraica (1).

- El segmento PM resulta de restar al segmento MN el segmento

PN (que es radio de la circunferencia).

La construcción geométrica de las soluciones positivas de las ecuaciones

(1)𝒛𝟐 = 𝒂. 𝒛 + 𝒃𝟐 y (2) 𝒚𝟐 = −𝒂𝒚 + 𝒃𝒃 le permite a Descartes construir las

soluciones geométricas de las ecuaciones de la forma: (3) 𝒙𝟒 = 𝒂. 𝒙𝟐 + 𝒃𝟐 y

(4) 𝒚𝟒 = −𝒂𝒚𝟐 + 𝒃𝒃. Donde la longitud del segmento OM corresponde a 𝑥2 y la

longitud del segmento PM corresponde a 𝑦2. Como ya se definió en el contexto


78

geométrico la extracción de la raíz cuadrada, es posible construir los

segmentos solución de ambas ecuaciones.

La construcción geométrica de las soluciones de la ecuación de la forma:

𝒛𝟐 = 𝒂𝒛 − 𝒃𝟐 (5) es un poco más compleja.

Descartes expresa en su obra: “Y si el círculo que tiene su centro en el punto N

y pasa por el punto M no corta ni toca la línea recta LQR, no hay ninguna raíz

de la ecuación, de manera que puede asegurarse que la construcción del

problema propuesto es imposible.” (fig. 24 y fig. 25).


FIGURA 25: PÁRRAFO DE PÁG. 7 DE LA GEOMETRÍA 1886.


79

A partir de las imágenes anteriores se expone la explicación que brinda

Descartes para resolver geométricamente la ecuación de segundo grado de la

forma: 𝑧2 = 𝑎𝑧 − 𝑏2

1- Construye el segmento NL de longitud 𝑎

2

y el segmento LM de longitud 𝑏. <NLM=90º.

2- Construye la recta MR paralela a NL.

3- La intersección de la recta MR con la

circunferencia de centro N y radio NL, es el

conjunto formado por los puntos R y Q.

4- Las soluciones geométricas de la

ecuación (3) son los segmentos MQ y MR.

Descartes explicita el caso en que la recta MR no interseque a la circunferencia

de centro N y radio NL y afirma que es imposible construir la solución de la

ecuación (3).

En el siguiente capítulo dedicado al análisis socioepistemológico del Libro I de

La Geometría se mostrará una justificación que permita validar la construcción

geométrica de estas soluciones.

Luego de exponer la construcción geométrica de las operaciones aritméticas y

las soluciones de diversas ecuaciones de segundo grado, cabe preguntarse:

¿por qué Descartes erige toda esta estructura aritmética en el contexto

geométrico? ¿Qué es lo que motiva toda esta construcción de conocimiento

matemático?

FIGURA 26: SOLUCIONES DE UNA

ECUAC. DE 2º GRADO.


80

3.4.1.3 PLANTEO DEL PROBLEMA DE PAPPUS Y PRESENTACIÓN DE LA

SOLUCIÓN PARA LOS CASOS QUE CONTEMPLAN HASTA CINCO RECTAS.

El Libro I finaliza enunciando el Problema de Pappus y presentando una

solución para el caso de tres, cuatro o cinco rectas. Descartes afirma que el

problema de Pappus es resoluble con la geometría simple hasta el caso que se

consideren cinco rectas.

Descartes transcribe el problema de Pappus en latín:

FIGURA 27: PÁRRAFO PÁG. 8 DE LA GEOMETRÍA 1886.

TRANSCRIPCIÓN REALIZADA POR DESCARTES DEL PROBLEMA DE PAPPUS EN LATÍN.

González Urbaneja (2004, pág. 337) presenta la siguiente traducción de la

explicación de Descartes sobre el problema de Pappus:

“Continúa Descartes escribiendo su propio enunciado del Problema de Pappus:

«Así pues, la cuestión que Euclides había empezado a resolver y que Apolonio

había proseguido sin que nadie la hubiera terminado, era ésta: Dadas tres,

cuatro o más rectas, se trata de encontrar un punto del que se puedan trazar

otras tantas líneas rectas, una sobre cada una de las dadas, y haciendo con

ellas ángulos dados, y que el rectángulo formado por dos de esas así trazadas

desde el punto, tenga una proporción dada con el cuadrado de la tercera, si no


81

hay más que tres; o bien con el rectángulo de las otras dos, si hubiera cuatro; o

bien si hay cinco que el paralelepípedo compuesto por tres tenga la proporción

dada con el paralelepípedo formado por las dos que restan y por otra línea

dada. O bien si hay seis, que el paralelepípedo formado por tres tenga una

proporción dada con el paralelepípedo de las otras tres. O bien si hay siete,

que lo que se produce multiplicando cuatro la una por la otra, tenga la razón

dada con lo que se produce por la multiplicación de las otras tres y además por

otra línea dada. O si hay ocho, que el producto de la multiplicación de cuatro

tenga la proporción dada con el producto de las otras cuatro. Y así este

problema se puede extender a todo número de líneas. Pero, a causa de que

hay siempre una infinidad de diversos puntos que pueden satisfacer lo que aquí

se pide, se requiere también conocer y trazar la línea sobre la cual deben todos

ellos encontrarse; y Pappus dice que cuando no hay más que tres o cuatro

líneas rectas dadas, es en una de las tres secciones cónicas, pero él no trata

de determinarla ni describirla; ni explicar la línea en que los puntos deben

encontrarse cuando el problema está propuesto para un mayor número de

líneas. Solamente agrega que los antiguos habían imaginado una, que

mostraban ser útil [para la resolución del problema], y aunque parecía la más

manifiesta, sin embargo no era la primera. Lo que me ha dado ocasión para

ensayar si, por el método de que me valgo, se puede ir tan lejos como ellos

fueron.»”

En términos actuales en problema de Pappus se puede traducir:

“Dadas 2n rectas, encontrar el lugar de los puntos tales que el producto

de sus distancias, bajo ángulos dados, a n de esas rectas está en una

relación dada con el producto de las distancias, bajo ángulos también

dados, a las otras n rectas. “ (Hernández 2002, pág. 40).

Descartes explica por qué el Problema de Pappus es un problema plano si se

consideran los casos hasta cinco rectas:

“«Además, a causa de que para determinar el punto C no hay más que una

sola condición requerida [la de la igualdad de las multiplicaciones de líneas],

puede tomarse a discreción una de estas cantidades desconocidas x o y, y


82

buscar la otra por la ecuación, en la cual es evidente que cuando el problema

no está propuesto para más de cinco líneas, la cantidad x que no es utilizada

para la expresión de la primera de las líneas nunca puede tener más de dos

dimensiones. De modo que tomando y como una cantidad conocida tendremos

xx = + o – ax + o –bb [x2 = ± ax ± b2]

y así se podrá encontrar la cantidad x con la regla y el compás de la manera ya

explicada. Lo mismo tomando sucesivamente infinitos valores para la línea y,

podemos hallar otros tantos para la línea x; y así se tendrá una infinidad de

diversos puntos tales como el que se ha señalado con C, por medio de los

cuales se describirá la línea curva pedida.»” (González Urbaneja 2004,

pág.339-340).

Así culmina el Libro I de La Geometría, exponiendo el problema de Pappus y

presentando una solución para el caso de hasta cinco rectas, la cual logra

construir a partir de las herramientas aritméticas y algebraicas construidas en el

contexto geométrico y mostrando que es posible traducir este problema al

lenguaje algebraico considerando una ecuación de segundo grado.

Para presentar la solución de este problema Descartes hace uso de su método:

“«Primeramente yo supongo la cosa como ya hecha y para salir de la confusión

de todas esas líneas, considero una de las dadas y una de las que hay que

encontrar, por ejemplo AB y CB como las principales y a las cuales trato de

referir todas las otras.

Sea designado x el segmento de la línea AB comprendido entre los puntos A y

B; y CB sea designado y; y todas las demás líneas se prolonguen hasta que

corten a estas dos también prolongadas, si es necesario y si no le son

paralelas; como se ve cortan la línea AB en los puntos A, E, G y la línea BC en

los puntos R, S, T.»” (González Urbaneja 2004, pág.338).


83

A lo largo de su obra, Descartes presenta la solución para este problema en

forma general, es decir para 2n-1 y 2n rectas. Según González Urbaneja

(2004), hay historiadores que consideran que la obra La Geometría está

destinada a resolver el problema de Pappus.

No concierne a este trabajo realizar un relato y un análisis exhaustivo del

problema de Pappus, pero sí se considera relevante mencionarlo, puesto que

es tal vez la principal motivación que llevó a Descartes a escribir esta obra

matemática.

FIGURA 28: BOSQUEJO DEL PROBLEMA DE PAPPUS

EXTRAÍDO DE LA PÁG. 10 DE LA GEOMETRÍA 1886


84

4 - A N Á L I S I S

S O C I O E P I S T E M O L Ó G I C O

4.1 ANÁLISIS EPISTEMOLÓGICO DEL LIBRO I DE LA

GEOMETRÍA DE DESCARTES.

Conocimientos matemáticos identificados en la obra.

A partir del relato histórico expuesto en el capítulo anterior, se presenta en este

apartado un análisis de los conocimientos matemáticos que entran en juego

para la construcción y fundamentación de una aritmética en el contexto

geométrico y en la construcción geométrica de las soluciones positivas de

algunos tipos de ecuaciones algebraicas.

En primer lugar es de orden dejar constancia que las operaciones de suma y

resta de segmentos no se hacen explícitos en esta obra. Sí se hace evidente

del uso de estas operaciones entre segmentos y se asumen como conocidas

en la obra matemática de Descartes.

González Urbaneja (2004, pág. 351) cita un párrafo de una carta que Descartes

escribe a la Princesa Elisabeth en noviembre de 1643, donde deja constancia

de los conocimientos matemáticos empleados en su obra, haciendo referencia

al Teorema de Thales y al Teorema de Pitágoras:

“«Yo no considero otros teoremas que los lados de los triángulos

semejantes están en proporción, y que, en los triángulos rectángulos, el

cuadrado de la base es igual al cuadrado de los dos lados».”


85

4.1.1 OPERACIONES DEFINIDAS EN EL CONTEXTO GEOMÉTRICO

En el Libro I Descartes explicita la definición de cuatro operaciones en el

contexto geométrico:

1- Multiplicación de segmentos.

2- División de segmentos.

3- Raíz cuadrada de un segmento.

4- Potencia de un segmento.

Para definir cada una de estas operaciones se hace necesario considerar:

1- Asignación de un número positivo asociado a cada segmento, esto

implica que la asignación de este valor numérico está asociada a la

longitud del segmento en cuestión.

Esta asignación que aparece de manera implícita permite observar la

transición del contexto aritmético al contexto geométrico de manera

“natural”17 y viceversa.

Es relevante destacar que Descartes no diferencia entre longitudes

conmensurables e inconmensurables, da por sobreentendido el hecho

de que a todo segmento le puede asignar un número positivo. A todo

segmento es posible asignarle un valor numérico que implícitamente

está asociado a la longitud del mismo.

2- La correspondencia de la unidad numérica con la longitud de un

segmento. Esta correspondencia que Descartes realiza de manera

tácita, le es imprescindible para definir tanto la multiplicación como la

división y la extracción de la raíz cuadrada de segmentos, como se verá

a continuación.

El discurso que utiliza Descartes en su obra no explicita la validez de las

operaciones que define en el contexto geométrico.

17 Se define como “natural” por el hecho de que el pasaje del contexto aritmético al contexto geométrico (y viceversa) se da de facto, sin elaboradas fundamentaciones matemáticas.


86

Es probable que la validez de las operaciones definidas consideren el uso de

propiedades tales como: Teorema de Thales, la teoría de las proporciones de

Eudoxo, el Teorema de Pitágoras. González Urbaneja (2004) y Hernández

(2002), realizan algunos comentarios acerca de estas propiedades en sus

análisis de la obra matemática de Descartes.

Multiplicación y división de segmentos

Para multiplicar los segmentos BD y BC, Descartes

designa al segmento AB como unidad y como

muestra la figura, traza la paralela a AC a la cual D

pertenece. El punto E resulta de intersecar la

semirrecta BC con la recta paralela anteriormente

construida.

A partir de esta construcción presentada por

Descartes, sin mediar justificación, cabe preguntarse: ¿Cómo es posible

fundamentar la validez de dicha construcción? ¿Cómo justificó Descartes la

multiplicación así presentada?

Una posible respuesta a estos cuestionamientos es la siguiente:

Haciendo uso del Teorema de Thales18, los triángulos BAC y BDE son

semejantes y por lo tanto los lados homólogos son proporcionales, resultando:

𝐵𝐷̅̅ ̅̅

𝐴𝐵̅̅ ̅̅=

𝐵𝐸̅̅ ̅̅

𝐵𝐶̅̅ ̅̅→ 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ . 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . 𝐵𝐸̅̅ ̅̅ 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 1 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒: [𝐵𝐸] = [𝐵𝐷]. [𝐵𝐶]19

Es notoria la importancia de designar en el contexto geométrico un segmento

unidad que está asociado en el contexto aritmético con el número 1, sin esta

correspondencia no sería posible definir esta operación entre segmentos.

Descartes para definir la división entre segmentos procede de forma muy

similar a la multiplicación de segmentos. En la figura anterior en lugar de tener

18 “Si en un triángulo se traza una recta paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.” 19 A partir de ahora se aceptará la notación [AB] para designar al segmento de extremos A y B.

FIGURA 29: MULTIPLICACIÓN

DE SEGMENTOS.


87

que construir el [BE], ahora se debe construir el [BC] que es el segmento

cociente que resulta de dividir a [BE] entre [BD].

Una posible justificación de dicha operación utiliza el mismo razonamiento que

para la multiplicación, resultando:

𝐵𝐷̅̅ ̅̅

𝐴𝐵̅̅ ̅̅=

𝐵𝐸̅̅ ̅̅

𝐵𝐶̅̅ ̅̅→

𝐵𝐶̅̅ ̅̅

𝐴𝐵̅̅ ̅̅=

𝐵𝐸̅̅ ̅̅

𝐵𝐷̅̅ ̅̅ 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 1 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒: [𝐵𝐶] =

[𝐵𝐸]

[𝐵𝐷]

En ambas operaciones la existencia de un segmento definido como unidad es

lo que permite la transición de las operaciones de multiplicación y de división

del contexto aritmético al contexto geométrico. Descartes le asigna al segmento

unidad el valor de la unidad numérica sin explicitaciones, solo haciendo uso de

ella.

Raíz cuadrada de un segmento

En la figura [GI] representa la raíz cuadra de [GH]. Para

la construcción de [GI] se hace necesario:

1- Considerar un segmento unidad, en este caso

[FG].

2- Considerar el punto medio de [FH], en el dibujo

representado por K.

3- Construir la circunferencia de centro K y radio

KH.

4- Trazar la recta perpendicular a FH que pase por G.

5- El punto I pertenece a la intersección de la circunferencia construida con

la recta perpendicular trazada.

La justificación de esta nueva operación en el contexto geométrico es un poco

más elaborada que las anteriores, puesto que es factible que haga uso del

Lugar Geométrico de Thales20, del teorema de la altura o también puede hacer

solo uso de semejanza de triángulos y la proporcionalidad entre lados

homólogos.

20 Lugar geométrico de Thales: “El L.G. de los puntos del plano que miran a un segmento fijo AB, bajo un ángulo constante de 90° es la circunferencia de diámetro [AB]”.

FIGURA 30: RAÍZ CUADRADA

DE UN SEGMENTO.


88

1- Si se hace uso solo del teorema de la altura21 en el triángulo rectángulo

FIH (cuya naturaleza se justifica por el Lugar Geométrico de Thales)

resulta:

𝐼𝐺̅̅ ̅2 = 𝐹𝐺̅̅ ̅̅ . 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ , 𝑐𝑜𝑚𝑜 [𝐹𝐺]𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 → 𝐹𝐺̅̅ ̅̅ = 1

𝑦 𝐼𝐺̅̅ ̅2 = 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ , 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 [𝐼𝐺]𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑎í𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 [𝐺𝐻].

2- Si se hace uso de la semejanza de triángulos y

de la proporcionalidad de sus lados homólogos

entonces resulta:

Considerando que el triángulo FIH es

rectángulo22, es inmediato constatar que los

ángulos α y β tienen igual amplitud, por lo

tanto los triángulos rectángulos FGI y IGH son semejantes, entonces se

cumple que: 𝐺𝐹̅̅ ̅̅

𝐺𝐼̅̅ ̅=

𝐺𝐼̅̅ ̅

𝐺𝐻̅̅ ̅̅ como [GF] es la unidad, se deduce que (𝐺𝐼̅̅ ̅)2 = 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ .

Para esta demostración es necesario poner en juego el Lugar Geométrico de

Thales, pues de otro modo, ¿cómo es posible justificar la naturaleza del

triángulo FIH?

Evidencia del tránsito entre el contexto aritmético y el contexto geométrico que

realiza Descartes de manera que se puede definir como natural, al asignarle

letras a cada segmento, donde cada letra hace referencia a la longitud

asignada a cada segmento se hace presente en la siguiente pasaje de las

páginas 2 y 3 de Libro I de La Geometría que escribe González Urbaneja

(2004, pág.326):

“«Pero a menudo no hay necesidad de trazar esas líneas sobre el papel y

basta con designarlas por ciertas letras, una sola para cada línea. Así, para

sumar la línea BD a la GH, designo a la una a y a la otra b y escribo a + b; y a -

b para restar b de a; y ab para multiplicar la una por la otra; y a/b para dividir a

21 Teorema de Euclides relativo a la altura: “En un triángulo rectángulo la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional geométrica entre los segmentos que dicha altura determina en ella.” 22 Volviendo a hacer uso del Lugar geométrico de Thales.

FIGURA 31: CONSTRUCCIÓN DE LA

RAÍZ CUADRADA.


89

por b; y aa o a2 para multiplicar a por sí misma; y a3 para multiplicar otra vez

por a, y así al infinito; y √𝑎2 + 𝑏2 para extraer la raíz cuadrada de a2+b2; y

√𝐶. 𝑎3 − 𝑏3 + 𝑎𝑏𝑏 para extraer la raíz cúbica a3–b3+abb y así otras.

Es de señalar que para a2 o b3 u otras expresiones semejantes, yo no concibo

ordinariamente más que líneas simples, aunque para servirme de los nombres

usados en álgebra, los designe por cuadrados, cubos, etc.

Por último, a fin de no dejar de recordar los nombres de estas líneas, conviene

siempre hacer una anotación separada, a medida que se las coloca o se las

cambia, escribiendo, por ejemplo, AB∞1 , es decir AB igual a 1, GH=a, BD=b,

etc.».”

Esta traducción de lo expresado por Descartes en su obra, es de la mayor

relevancia puesto que da evidencias del tránsito entre el contexto aritmético y

el contexto geométrico que realiza Descartes:

1- Designando con la letra 𝑎 al segmento BD y con la letra 𝑏 al segmento

GH y mencionando como escribir el resultado de las operaciones con los

segmentos BD y GH. Es evidencia que está asociando a cada segmento

un número positivo, sin cuestionar a conmensurabilidad o

inconmensurabilidad del mismo. Esto permite acortar la brecha entre los

números y las magnitudes.

2- La asignación del número 1 al segmento unidad.

3- La correspondencia biunívoca entre operaciones en el contexto

aritmético y el contexto geométrico. Designando por 𝑎. 𝑏 al producto de

los segmentos de longitud 𝑎 y longitud 𝑏, 𝑎 + 𝑏 a su suma, 𝑏 − 𝑎 a su

diferencia (está asumiendo que 𝑏 > 𝑎), √𝑎 a la raíz cuadrada del

segmento de longitud 𝑎.

4- Define explícitamente y de manera coloquial la potencia de un

segmento, siendo 𝑎2 el resultado de multiplicar por sí mismo a [BD] y 𝑎3

el resultado de multiplicar a [BD] por el segmento que representa su

cuadrado.


90

5- Queda explícito el hecho de que la suma, la diferencia, la multiplicación,

la raíz cuadrada y la potencia de cualquier orden da como resultado otro

segmento.

El hecho de que las operaciones entre segmentos que Descartes define en el

contexto geométrico den como resultado segmentos es de crucial importancia

puesto que rompe con las ideas de los antiguos matemáticos griegos que hasta

ese momento seguían en vigencia. Hasta el momento el resultado de

multiplicar dos segmentos estaba representado por un rectángulo de longitudes

los segmentos en cuestión. La potencia de un segmento solo se concebía de

orden 3, puesto que la potencia de orden 2 se asociaba a un cuadrado de lado

el segmento en cuestión y el cubo de un segmento se asociaba a un cubo cuya

arista era el segmento considerado.

A partir del trabajo de Descartes es posible construir la potencia de exponente

entero de un segmento dado.

4.1.2 CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE LAS SOLUCIONES POSITIVAS DE

ALGUNOS TIPOS DE ECUACIONES.

En el Libro I, Descartes construye las soluciones positivas de ecuaciones

algebraicas de la forma23:

𝒛𝟐 = 𝒂. 𝒛 + 𝒃𝟐 (1)

𝒚𝟐 = −𝒂𝒚 + 𝒃𝒃 (2)

𝒙𝟒 = 𝒂. 𝒙𝟐 + 𝒃𝟐 (3)

𝒚𝟒 = −𝒂𝒚𝟐 + 𝒃𝒃 (4)

𝒛𝟐 = 𝒂𝒛 − 𝒃𝟐 (5)

23 Las ecuaciones aquí escritas respetan la simbología utilizada por Descartes.


91

A partir de la figura 32 se analiza la construcción

geométrica de las soluciones positivas de las

ecuaciones (1) y (2).

La construcción de las soluciones parte de la

construcción de un triángulo rectángulo MLN,

donde 𝑁𝐿̅̅ ̅̅ =𝑎

2 𝑦 𝐿𝑀̅̅ ̅̅ = 𝑏. Haciendo uso de la

notación de Descartes quedaría: NL= 𝑎

2 y LM=𝑏

La solución geométrica para la ecuación (1) es [MO]. Haciendo uso del teorema

de Pitágoras se hace evidente que 𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅ =√𝑎2+4𝑏2

2.

Sumando segmentos se obtiene: [MO] = [MN] + [NO], resultando que [MO]

tiene asignado el número 𝑎

2+

√𝑎2+4𝑏2

2.

La construcción geométrica de la solución positiva de la ecuación (2) es [MP].

Para fundamentar dicha construcción se hace uso del teorema de Pitágoras y

de la diferencia de segmentos, resultando: [MP] = [MN]-[PN]

Teniendo [MP] asignado el número −𝑎

2+

√𝑎2+4𝑏2

2

Es fácil verificar que las soluciones algebraicas positivas de las ecuaciones (1)

y (2) coinciden con los números asignados a cada segmento solución

construidos.

Se puede constatar a partir de la figura que ambas soluciones son positivas

puesto que la construcción asegura que la longitud de la hipotenusa del

triángulo NLM es siempre mayor que el radio de la circunferencia, ya que el

radio corresponde a la longitud del cateto [NL].

En consecuencia, es posible fundamentar geométricamente que las ecuaciones

del tipo (1) y (2) siempre admiten una solución positiva.

La construcción geométrica de las soluciones positivas para las ecuaciones de

la forma (3) y (4), están basadas en usar las soluciones geométricas de las

FIGURA 32: SOLUCIONES DE

UNA EC. 2º GRADO.


92

ecuaciones (1) y (2). Implícitamente Descartes propone una especie de cambio

de variable, puesto que considera que las soluciones anteriormente construidas

son los cuadrados de las soluciones buscadas para estas ecuaciones y alcanza

para construirlas hallar el segmento que corresponde a la raíz cuadrada de

éstas.

Más explícitamente:

La construcción geométrica de la solución positiva para la ecuación

(3) 𝒛𝟒 = 𝒂. 𝒛𝟐 + 𝒃𝟐 se construye a partir de la solución de la ecuación

(1) 𝒙𝟐 = 𝒂. 𝒙 + 𝒃𝟐. Sea [MO] la solución de (1), entonces la solución de (3) es la

raíz cuadrada de [MO].

En definitiva el cambio de variable implícito en la resolución de la ecuación (3)

es 𝑥 = 𝑧2.

Como las soluciones geométricas de las ecuaciones (3) y (4) se construyen

hallando la raíz cuadrada de los segmentos solución de las ecuaciones (1) y

(2), se puede afirmar que las ecuaciones de la forma (3) y (4) siempre admiten

una solución algebraica positiva.

La construcción geométrica de las soluciones de la ecuación 𝒛𝟐 = 𝒂𝒛 − 𝒃𝟐 (5)

es un poco más elaborada.

La imagen de la fig. 33 representa la construcción geométrica de las soluciones

de la ecuación (5).

La construcción que describe Descartes

nos asegura que el triángulo NLM es

rectángulo en L.

[NL] tiene asignado el número 𝑎

2 y [LM] el

número 𝑏.

FIGURA 33: SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE

2º GRADO.


93

Descartes afirma que si la recta MR interseca a la circunferencia de centro N y

radio [NL] entonces las soluciones geométricas son (según la figura): [MQ] y

[MR].

Los conocimientos que se ponen en juego en esta construcción dependen de la

fundamentación de la misma.

Una posible fundamentación de dicha construcción se puede realizar haciendo

uso del teorema de Pitágoras, de la suma y diferencia de segmentos.

Observando las figuras 33 y 34, considerando O punto medio de [QR] y usando

el teorema de Pitágoras se puede afirmar que 𝑂𝑅̅̅ ̅̅ =√𝑎2−4𝑏2

2

𝑀𝑂̅̅ ̅̅ ̅ =𝑎

2 (puesto que NLMO es un

rectángulo). [MR]=[MO]+[OR] y

[MQ]=[MO]-[QO]

Resulta que las soluciones

geométricas [RQ] y [MQ] tienen

asignados los números

(𝑎

2+

√𝑎2−4𝑏2

2) y (

𝑎

2−

√𝑎2−4𝑏2

2)

respectivamente.

Dichos números se corresponden

con las soluciones algebraicas de la ecuación 𝒛𝟐 = 𝒂𝒛 − 𝒃𝟐, como se quería

constatar.

Al respecto de esta construcción Descartes afirma que si la recta paralela a NL

que pasa por M no interseca a la circunferencia entonces es imposible construir

la solución geométrica de dicha ecuación.

Al observar las siguientes figuras, se puede inferir que la posibilidad de

construir geométricamente las soluciones de esta ecuación está ligada a la

relación de orden que es posible establecer entre 𝑎 y 𝑏.

FIGURA 34: CONSTRUCCIÓN DE SOLUCIONES DE

UNA ECUAC. DE 2º GRADO.


94

En la fig. 35 se muestra el caso donde existen

dos soluciones geométricas positivas

distintas, [MR] y [MQ]. La longitud de [LM] es

menor que la longitud de [NL]. Es decir que

𝑏 <𝑎

2.

En la fig. 36 los segmentos

[LM] y [NL] tienen igual longitud

(𝑎

2= 𝑏) y se puede construir una

solución geométrica. La solución es

[MA].

La fig. 37 muestra el caso en el que es

imposible construir la solución

geométrica puesto que la recta

perpendicular a LM por M, no interseca

a la circunferencia. La longitud de [LM]

es mayor que la longitud de [NL]

(𝑏 >𝑎

2).

FIGURA 35: SOLUCIONES ECUACIÓN 2º GRADO.

FIGURA 36: SOLUCIÓN DOBLE DE UNA

ECUAC. DE 2º GRADO

FIGURA 37: NO EXISTENCIA DE SOLUCIÓN DE UNA

ECUAC. DE 2º GRADO.


95

Tomando en cuenta la discusión algebraica de la existencia de raíces reales de

la ecuación 𝒛𝟐 = 𝒂𝒛 − 𝒃𝟐, se obtiene lo siguiente:

𝑧 =𝑎±√𝑎2−4𝑏2

2 , z es un número real si y solo si 𝑎2 − 4𝑏2 ≥ 0 si

consideramos estar trabajando solo con números positivos entonces existe

solución real ↔𝑎

2≥ 𝑏. Esta condición de existencia de raíces algebraicas reales

coincide plenamente con la acotación que se requiere para que sea posible la

construcción geométrica de las soluciones de la ecuación en cuestión.

Es posible inferir que la interpretación geométrica de la figura que corresponde

a la construcción geométrica de una única solución (fig. 36) se puede asociar a

la solución real doble en el contexto algebraico.

Las construcciones geométricas de las soluciones de ecuaciones como las

presentadas en este apartado permite evidenciar como Descartes transita entre

los diversos contextos (aritmético, geométrico, algebraico), sin dificultades. La

resolución de una ecuación de segundo grado (como las presentadas) en el

contexto algebraico guarda una íntima correspondencia en el contexto

geométrico. Cada coeficiente positivo de la ecuación está asociado a un

segmento, la incógnita numérica se presenta asociada a un “segmento

desconocido” y la resolución geométrica de dicha ecuación está asociada a la

posibilidad de construir dicho segmento “incógnita”.

La existencia de raíces positivas de ecuaciones algebraicas en el contexto

algebraico como las expuestas en este análisis, se corresponde en el contexto

geométrico a la posibilidad de construir el segmento considerado “incógnita”.

Descartes hace uso de la estructura algebraica de los números para construir

las soluciones de algunas ecuaciones algebraicas en el contexto geométrico y

asociar relaciones entre segmentos con expresiones y ecuaciones algebraicas.

Esto le permite encontrar una manera de representar en lenguaje algebraico

problemas originados en el contexto geométrico.

A diferencia de los antiguos griegos, de los árabes y los matemáticos del siglo

XVI que hacían uso del contexto geométrico para hallar soluciones de


96

problemas algebraicos, Descartes utiliza el álgebra para resolver problemas

originados en el contexto geométrico.

Lo anterior se reafirma con las palabras de Hernández (2002, pág. 34):

“Descartes empezó con un problema geométrico, que comúnmente involucraba

una curva dada, y la definía tanto como un lugar geométrico estático a la

manera de los griegos como en términos de un movimiento continuo uniforme

(como la espiral de Arquímedes). Su procedimiento fue trasladar un problema

geométrico al lenguaje de una ecuación algebraica, luego simplificarla y

finalmente resolver esta ecuación.”

Acerca de la manera en que transita Descartes entre el contexto aritmético, el

contexto algebraico y el contexto geométrico, de la Torre (2006, pág. 10)

afirma:

“Descartes legitimó las operaciones algebraicas (adición, sustracción,

multiplicación, división), dándoles interpretaciones geométricas como

operaciones con segmentos rectilíneos, en el marco de la geometría euclidiana.

Una vez aclarado el status de las operaciones algebraicas en el marco de la

teoría de las magnitudes geométricas, Descartes avanzó en el simbolismo

algebraico.”


97

4.2 USOS DEL NÚMERO REAL EN LA OBRA CARTESIANA

En este apartado se analiza el uso de los números, identificando diversas

formas y funcionamientos que estos presentan acorde a la situación y contexto

específico.

Descartes construye una estructura operatoria en el contexto geométrico, para

ello se apoya en la estructura aritmética de los números. Partiendo de los

números definidos en el contexto aritmético, de expresiones algebraicas

vinculadas a ellos, y de las operaciones aritméticas de suma, diferencia,

multiplicación, división, radicación y potenciación, construye una estructura

operatoria en el contexto geométrico, las cuales están definidas entre

segmentos y fundamentalmente, los resultados de estas operaciones entre

segmentos son segmentos.

En primer lugar le asigna a cada segmento un número, el cual está asociado a

la longitud del mismo lo cual denota un funcionamiento de los números

positivos en el contexto geométrico.

Es de destacar que solo es posible manipular con números reales positivos que

sean factibles de construir geométricamente. Esto denota un uso exclusivo de

los números reales positivos asociado con los números reales positivos

construibles, puesto que existen números reales como π, e, √23

que no es

posible construir geométricamente por el procedimiento euclídeo24. Es decir

que en este contexto no se evidencia el uso de los números reales no

construibles.

Los usos se evidencian a partir de la identificación de formas y funcionamientos

en situaciones específicas.

Forma y funcionamiento del número uno en la obra de Descartes

Para poder definir la multiplicación, la división, la raíz cuadrada y la

potenciación entre segmentos Descartes considera un segmento unidad (un 24 Construcción usando regla sin graduar y compás.


98

segmento de longitud uno), por lo tanto es posible identificar una nueva forma

para el número uno.

Uno de los funcionamientos que tiene el número uno en el contexto aritmético

es el de oficiar de neutro de la multiplicación. De manera similar el segmento

unidad ejerce de neutro, puesto que todas las operaciones mencionadas en el

contexto geométrico se justifican a partir de relaciones de proporción y el

funcionamiento del segmento unidad está ligado al número uno.

Por como construye Descartes las operaciones en el contexto geométrico, se

evidencia cómo funciona la unidad en el mismo. El segmento unidad es

utilizado en la construcción de la multiplicación, división, extracción de raíz

cuadrada y también en la potenciación de orden n, puesto que esta última

Descartes la define a partir de la multiplicación.

El número en la suma

Es posible dar evidencia que la forma que adquiere el número en la suma en la

obra de Descartes es la de un segmento que resulta de unir otros dos. De la

siguiente manera:

Siendo c=a+b, donde a=[AB] b=[CD] entonces c=[AD]

c se obtiene de colocar los segmentos a y b uno a continuación del otro.

FIGURA 38: SUMA DE SEGMENTOS

Descartes utiliza esta noción para presentar la solución geométrica de una

ecuación de segundo grado como la siguiente:


99

Donde señala que la solución geométrica de la ecuación 𝑧2 = 𝑎𝑧 + 𝑏2 es el

segmento [MO], resultante de sumar [MN] y [NO].

Es posible observar que la forma en que construye la solución da evidencia que

a [MN] es el número √1

4𝑎2 + 𝑏2 y [N,O] es el número

1

2𝑎. Siendo [MO] el

número 1

2𝑎 + √

1

4𝑎2 + 𝑏2

El número en la resta

La obra de Descartes da evidencia de que el número adopta la forma de un

segmento resultante de superponer otros dos.

Siendo c=a-b, donde a=[AB] y b=[CD] entonces c=[DB]

FIGURA 39: RESTA DE SEGMENTOS

El número en la resta se evidencia en la obra de Descartes cuando presenta la

construcción de las soluciones de una ecuación de segundo grado de la forma:

𝑦2 = −𝑎𝑦 + 𝑏2

Donde la construcción geométrica de la solución buscada corresponde a

[MP]=[MN]-[PN]

La construcción de esta solución geométrica tal cual la relata Descartes, da

evidencia de que [MN] es el número √1

4𝑎2 + 𝑏2, [PN] es el número

1

2𝑎,

resultando ser [MP] el número −1

2𝑎 + √

1

4𝑎2 + 𝑏2 como él lo explicita.


100

El número en la extracción de la raíz cuadrada

La forma que adopta el número en la extracción de la raíz cuadrada en la obra

de Descartes está asociada a un segmento que resulta de una construcción

que involucra circunferencias y rectas.

Evidencia de la utilidad (funcionamiento) del segmento raíz cuadrada es la

resolución de ecuaciones bicuadradas.

El número en la multiplicación

La forma que adopta el número en la multiplicación geométrica, es la de un

segmento que resulta ser un lado de un triángulo semejante al formado por uno

de los segmentos factores y el segmento unidad.

A partir de esta noción de segmento producto Descartes define la potencia en

el contexto geométrico, que da evidencia de cómo funciona el número en la

multiplicación y además permite identificar la forma que adopta el número como

potencia.

De esta manera, con estas operaciones así definidas, Descartes expresa

algunas ecuaciones de segundo grado en el contexto geométrico, donde la

construcción geométrica de las soluciones hace explícita en su obra.

La potenciación junto con el resto de las operaciones definidas en la obra le

permite a Descartes transitar entre el contexto algebraico y el contexto

geométrico, otorgándole un significado geométrico a algunos tipos de

ecuaciones de segundo grado.

Es posible identificar tres situaciones específicas donde se evidencia el uso del

número real positivo construible:

S1: La construcción de algoritmos geométricos para las operaciones

aritméticas.

S2: La construcción de algoritmos geométricos para la resolución de ciertas

ecuaciones algebraicas.


101

S3: La representación en lenguaje algebraico de problemas que tienen origen

en el contexto geométrico.

En cada una de las situaciones mencionadas se identifican diversas formas y

funcionamientos que permiten evidenciar el uso del número.

A continuación se expone un resumen del análisis de los usos que se ha

realizado en este apartado. Se han identificado tres diferentes usos del número

ligados a cada situación especificada;

- Uso geométrico-aritmético asociado a S1. Las tareas que se

identifican en esta situación están ligadas a la construcción de

algoritmos para la multiplicación, la división, la extracción de la

raíz cuadrada y la potenciación de un número en el contexto

geométrico. Es posible identificar formas asociadas a segmentos

de recta, que aparecen ligadas en general a lados de triángulos y

radios de circunferencias y permiten visualizar el número como

producto, cociente, raíz cuadrada y potencia. Entre los

funcionamientos ligados a estas formas que adopta el número se

identifican:

o el segmento unidad (el número uno en el contexto

geométrico) posibilita la construcción del producto, del

cociente y de la raíz cuadrada,

o la multiplicación permite definir la potenciación en el

contexto geométrico.

o Es posible evidenciar el funcionamiento de números

racionales positivos y números irracionales positivos que

son construibles. No se evidencia el funcionamiento de

números reales negativos ni aquellos que no pueden

construirse con regla y compás.

- Uso geométrico-algebraico asociado a S2, dónde se identifican

tareas como la representación de expresiones algebraicas y la

resolución de ecuaciones en el contexto geométrico. Se

evidencian formas como las presentadas en el uso anterior, letras


102

asociadas a los segmentos y a las operaciones que se han

definido, expresiones algebraicas definidas en el contexto

geométrico. Los funcionamientos están asociados a la

construcción geométrica de soluciones. La construcción de estas

soluciones pone en funcionamiento la estructura aritmética

definida y en particular la suma, la multiplicación y la extracción

de la raíz cuadrada.

- Uso geométrico-analítico asociado a S3. La tarea que se

evidencia es expresar en lenguaje algebraico problemas que

tienen origen en el contexto geométrico, en la obra de Descartes

se evidencia la necesidad de presentar una solución general para

el problema de Pappus. Se identifican formas asociadas a

segmentos de recta vinculados por determinadas relaciones,

letras y expresiones algebraicas definidas en el contexto

geométrico, la presencia incipiente de ejes coordenados. Dichas

formas están asociadas a funcionamientos tales como la

igualación de expresiones, la identificación de relaciones de

proporcionalidad, la sustitución de expresiones equivalentes y la

construcción de soluciones para la expresión algebraica

encontrada.


103

4.3 LA RESIGNIFICACIÓN DEL NÚMERO A PARTIR DE SU

USO EN LA OBRA DE DESCARTES

Los usos del número identificados en la obra de Descartes dan lugar a la

construcción de nuevo conocimiento matemático, que es pertinente identificar y

abordar en esta sección.

En primer lugar el uso geométrico-aritmético permite generar un nuevo

significado a la noción de número real positivo construible asociada ahora a la

de segmento y de igual manera también se ve resignificada la idea de

segmento de recta que a partir de este uso está ligada a la noción de número

real positivo construible. Esta resignificación trae aparejado nuevos usos del

número vinculados a la estructura aritmética del mismo, lo que posibilita la

construcción de un nuevo significado para esta estructura, ahora en el contexto

geométrico. La manipulación con diversas nociones geométricas asociadas a la

construcción de triángulos, circunferencias y propiedades con éstas cobran un

nuevo significado que es posible identificar con la construcción de una

estructura aritmética en el contexto geométrico.

El uso geométrico-algebraico del número permite establecer una relación

dialéctica entre el significado de variable y ecuación en el contexto algebraico y

el contexto geométrico. Este uso da evidencia de nuevas formas y

funcionamientos de conocimientos que se han generado a partir del uso

geométrico-aritmético del número, como la posibilidad de expresar a partir de

una ecuación algebraica determinadas relaciones entre segmentos. La noción

de ecuación algebraica, de solución de una ecuación y de raíz de una ecuación

cobra un nuevo significado a partir de este uso.

El uso geométrico-analítico del número posibilita otorgarle una nueva expresión

a determinados problemas geométricos. Esta relación es dialéctica puesto que

determinadas ecuaciones del contexto algebraico encuentran una

representación en el contexto geométrico y viceversa. El planteo de problemas

geométricos encuentra una nueva forma de expresión, ahora en el contexto


104

algebraico. Este uso permite evidenciar nuevas formas y funcionamientos para

el conocimiento que es generado a partir de los usos geométrico-aritmético y

geométrico-algebraico.

Se evidencia en forma incipiente la noción de ejes coordenados, que poco más

tarde será desarrollada por otros matemáticos dando constitución a lo que en el

futuro será conocido como Geometría Analítica.

A modo de cierre

Estos nuevos usos del número y sus consecuentes resignificaciones dan

evidencia del modo en que Descartes transita entre los diversos contextos;

geométrico, algebraico y aritmético.

Este tránsito natural que hace Descartes entre diversos contextos le permite

encontrar una solución para el problema de Pappus. Este problema que tiene

su origen en el contexto geométrico, “sale” de dicho contexto para encontrar

una expresión y solución en el contexto algebraico la cual es posible construir

en el contexto geométrico.

Los usos de los que se han dado evidencias permiten identificar algunas

resignificaciones de la noción de número. El número y su estructura aritmética,

el número en la ecuación algebraica, el número y una incipiente estructura

analítica erigidas en el contexto geométrico.

Se han identificado dos intencionalidades sociales que pueden estar vinculadas

a la creación de esta obra por parte de Descartes.

La primera responde a la convicción de Descartes en la posibilidad de crear

una Ciencia Universal, denominada Mathesis Universalis. Esta Ciencia

Universal es posible construirla si se tiene un “método”. Descartes crea lo que

hoy se conoce por método cartesiano y La Geometría es una obra donde se

pone a prueba este método.

La segunda intención social identificada está vinculada a la solución general del

problema de Pappus. El arribar a esta solución general requirió por parte de

Descartes la construcción de una estructura aritmética en el contexto


105

geométrico y encontrar la forma de expresar relaciones entre segmentos como

ecuaciones algebraicas, para poder traducir a lenguaje algebraico el problema

que se origina en el contexto geométrico.

La creación matemática de Descartes permite abordar de una nueva forma los

problemas geométricos, los cuales es posible traducirlos al lenguaje algebraico

con el fin de facilitar la construcción de la solución buscada. Esta solución es

posible construirla geométricamente, por lo tanto el tránsito entre el contexto

geométrico y el contexto algebraico permite un nuevo abordaje para resolver

problemas geométricos.

Descartes acorta la brecha entre números y magnitudes, en su obra se

evidencia que es posible asignarle un número real positivo construible a

cualquier segmento, por lo tanto no hay distinción entre cantidades

conmensurables e inconmensurables. Está considerando como número tanto a

los racionales positivos como a los irracionales positivos algebraicos

construibles.


106

5 - E S B O Z O D E U N A P O S I B L E

S E C U E N C I A D I D Á C T I C A

5.1 LA REFLEXIÓN EPISTEMOLÓGICA EN LA FORMACIÓN

DE PROFESORES

El profesor Francesco Speranza, citado por D’Amore (2004) afirmó de manera

radical que para el profesor de matemática es tan importante conocer sobre

epistemología de la matemática como conocer sobre matemática, puesto que

conocer sólo matemática no es suficiente si no se tiene el sentido mismo de la

evolución del pensamiento matemático.

Según D’Amore (2004) existen dos motivaciones principales que justifican la

formación en epistemología de la matemática de los futuros docentes de

matemática; motivaciones culturales y motivaciones profesionales.

El reflexionar sobre el desarrollo del conocimiento matemático involucra

implícitamente la reflexión acerca de la naturaleza de los objetos matemáticos.

El profesor tiene dos deberes principales:

- la transposición didáctica; el profesor no puede remitirse a enseñar los

conceptos matemáticos tal y como son producidos en la comunidad

matemática o como le fueron enseñados en su formación profesional,

sino que debe transformar esos saberes y transformarlos en saberes a

enseñar en la escuela. Esta transformación requiere por parte del

docente de mucha creatividad y el llevar a cabo esta transformación del

saber en “saber a enseñar” es pilar fundamental de la función del

docente.

- comunicar la matemática; en una situación de aula el carácter mediador

del profesor es fundamental, pues generalmente el saber le llega al

estudiante a través de las elecciones y reflexiones que el profesor ha


107

realizado. El estudiante en general no tiene acceso directo al saber,

accede al conocimiento a través del profesor.

Basado en estos dos puntos, el profesor no puede obviar el sentido del

desarrollo del conocimiento matemático. La transposición didáctica es solo

posible si el docente reflexiona de manera crítica los conceptos a enseñar y

diseña creativamente las actividades involucradas en el desarrollo de los

conceptos matemáticos. Si el docente considera a la matemática como algo

dado, inmutable, incuestionable y absoluto, no va a existir la transposición

didáctica de los saberes sino una mera reproducción de saberes ya

institucionalizados, sin dar lugar al cuestionamiento, a la reflexión.

Si es obviado el sentido del desarrollo del conocimiento matemático no es

posible que el docente sea un comunicador de la matemática, pues la

comunicación de los conocimientos involucra un trabajo personal de reflexión,

de cuestionamiento, de elecciones. Si el docente considera al conocimiento

matemático como algo a-temporal, a-histórico no es factible que pueda

establecer una comunicación del conocimiento matemático en el aula con sus

estudiantes, perdiéndose la historia de los acontecimientos vinculados al

desarrollo del conocimiento, no concibiendo a la matemática como una

actividad humana que se ha ido construyendo con muchas dificultades y

esfuerzos a lo largo de los siglos.

“(…) sólo se puede comunicar lo que se ha construido dentro, aquello que

forma parte de la experiencia personal, vivida, es decir personalizada; si la

Matemática es vista como algo de impersonal, de a-temporal, sólo una

sucesión de resultados secuenciales obtenidos por seres humanos que,

mientras producen, sólo piensan al interno de la teoría en la cual crean,

entonces no se puede hablar de comunicación sino de repetición de resultados;

en la pragmática de la comunicación humana es implícito un sentido de

propiedad crítica, de capacidad y de disponibilidad en la elección personal; de

otra parte, uno de los límites de la Matemática transmitida en la escuela, más

de una vez denunciado por Brousseau (1986, por ejemplo) es precisamente el

carácter impersonal y a-temporal, este querer esconder la rica historia del


108

esfuerzo y de las dificultades que los seres humanos han encontrado en la

construcción de la Matemática tal y como la conocemos hoy; el estudiante que

ve en la Matemática sólo los resultados finales, limpios y cristalinos, libres de

toda fatiga y de toda discusión, ordenados, obtenidos aparentemente como

consecuencia de una deducción axiomática que parece caída del cielo, se le

induce a pensar que la Matemática deba ser así por naturaleza; si este

estudiante es un futuro profesor de Matemáticas, llevará con sí, en su historia

profesional, esta concepción equivocada de la disciplina.” (D’Amore, 2004,

pág.417).

Coincidiendo totalmente con la postura de D’Amore se considera de prioridad

realizar aportes para que los docentes y los futuros docentes continúen

reflexionando sobre la naturaleza de los conceptos matemáticos a enseñar.

En la siguiente sección se presenta el esbozo de una posible secuencia

didáctica que busca aportar en este sentido, invitando a los docentes y a los

futuros docentes a continuar con la reflexión acerca de la naturaleza del

conocimiento matemático en general y de usos del número en particular.

No es objetivo de esta investigación realizar el diseño de secuencias

didácticas, pero sí se considera importante señalar que a partir del análisis

histórico-epistemológico que se ha llevado a cabo se brindan insumos para

que en futuras investigaciones se pueda abordar el diseño de secuencias

didácticas que promuevan el uso cartesiano del número.


109

5.2 OBJETIVOS E INTENCIONALIDADES DEL ESBOZO DE

UNA POSIBLE SECUENCIA DIDÁCTICA

El esbozo de esta secuencia didáctica se divide en dos secciones. El diseño

del esbozo está inspirado en un posible taller para docentes y futuros docentes

y busca generar un espacio de intercambio de ideas que enriquezcan las

reflexiones personales y grupales acerca de la naturaleza de lo que es el

número y sus diversas representaciones.

La primera sección está conformada por seis actividades. Todas ellas apuntan

a promover el uso cartesiano del número, considerando tareas que involucran

construcciones geométricas que requieren de emplear los algoritmos

geométricos para la suma, diferencia, multiplicación, división y extracción de la

raíz cuadrada.

La secuencia está organizada atendiendo en principio a promover el uso de

una sola operación y luego buscando combinar las operaciones presentadas.

Las actividades 1, 2 y 3 tienen por objetivo generar en los estudiantes (futuros

docentes) la necesidad de emplear los algoritmos geométricos para la

multiplicación, la división y la extracción de la raíz cuadrada respectivamente

para poder resolver las situaciones presentadas.

Las actividades 4, 5 y 6 pretenden que los estudiantes requieran el empleo de

operaciones geométricas combinadas para poder resolver las situaciones

planteadas.

La actividad 7 presenta una situación donde queda en evidencia que no todos

los números reales no negativos son construibles, es decir que en este

contexto no pueden ser representados con los algoritmos anteriores todos los

números reales no negativos.

La resolución de estas actividades por parte de los estudiantes busca promover

en ellos la posibilidad de que despierte su interés en realizar el diseño de

actividades para llevar al aula donde sea posible rescatar el uso cartesiano del


110

número. Además de mostrar que es posible diseñar secuencias didácticas con

temas que se abordan en la actualidad pero buscando rescatar usos que en

cierta medida han quedado olvidados en la historia.

Este primer grupo de actividades acerca a los estudiantes al empleo de los

algoritmos operatorios geométricos, es decir prepara el terreno para incursionar

en el segundo grupo de actividades que forman parte de la segunda sección y

está orientada a:

i- analizar la validez de los algoritmos presentados en la primera

sección,

ii- analizar las potencialidades y limitaciones de estos algoritmos e

indagar el rol del segmento unidad en los mismos.

iii- analizar las propiedades que estos algoritmos verifican.

iv- indagar acerca de la posibilidad de identificar alguna estructura

algebraica en el conjunto de los segmentos de recta con las

operaciones de suma y multiplicación.

Esta indagación que podría asociarse con un uso que podemos llamar

informalmente como “uso estructural” busca que los estudiantes continúen

enriqueciendo su reflexión epistemológica acerca de la noción de número

transitando del contexto aritmético-algebraico al contexto geométrico-

algebraico, buscando argumentos que permitan admitir a los segmentos de

recta como una posible representación de los números reales no negativos

construibles. ¿Será posible identificar una estructura algebraica en el conjunto

de los segmentos de recta con las operaciones de suma y multiplicación,

similar a la estructura algebraica que es posible definir en (R+U{0}, +, .)

axiomáticamente? ¿De qué manera? ¿Qué restricciones surgen en el contexto

geométrico? ¿Por qué?

Otro de los objetivos de promover estos usos es mostrar que es posible

vincular los segmentos de recta con una forma de representar ciertos números

reales no negativos, pero no todos. Lo que permite caracterizar a los números

reales no negativos como construibles y no construibles y analizar también las

limitaciones del uso del número en el contexto geométrico.


111

Si bien es cierto que a lo largo de nuestra formación hemos transitado de

manera natural entre el contexto aritmético-algebraico y el contexto geométrico,

ya sea para calcular longitudes, áreas y volúmenes de figuras geométricas,

para asociar algunas expresiones algebraicas con curvas geométricas, con

tangentes y normales a ciertas curvas y viceversa. Consideramos que el diseño

de actividades como el esbozo de una posible secuencia que se presenta en

este capítulo orientada a docentes y futuros docentes posibilita un

acercamiento a conocer un momento de la historia donde se evidencia un

posible origen vinculado a este tránsito entre contextos que empleamos con

naturalidad y que nos permite en cierta forma comprender la validez del mismo

y enriquecer la comprensión que tenemos acerca del porqué de este tránsito.

Esta segunda sección pretende poner en juego la posibilidad de analizar el

vínculo que es posible establecer entre algunos números reales no negativos y

los segmentos de recta del plano. Esta intención se hace presente en la

actividad 1 que se presentará separada del resto de las actividades de esta

sección.

Luego de acordar que a cada número real no negativo construible 𝒂 se le

asigna la longitud de un segmento que representa a todos los segmentos cuya

longitud es 𝒂, se procede a presentar el resto de las actividades que componen

esta sección.

El grupo de actividades que se proponen pretende:

i- poner en discusión y analizar la validez de los algoritmos

geométricos para la multiplicación, la división y la extracción de la

raíz cuadrada presentados en la primera sección.

ii- analizar las propiedades que se verifican en las operaciones

presentadas, con el fin intentar identificar alguna estructura

algebraica definida en el conjunto de los segmentos del plano con los

algoritmos de suma y multiplicación que se han presentado en la

primera sección y compararlos con la estructura algebraica (R+U{0},

+, .).

iii- Indagar acerca del papel que juega la elección de dónde ubicar el

segmento unidad.


112

La actividad 2 invita a analizar la validez de los algoritmos geométricos

presentados.

La actividad 3 busca:

i- abrir el camino para analizar las propiedades de suma y

multiplicación que se verifican en este contexto (las cuales serán

abordadas en las actividades 8 y 9).

ii- que los estudiantes analicen qué importancia tiene la ubicación del

segmento unidad dependiendo de su ubicación respecto de los

segmentos factores. Se buscará encontrar una vinculación entre la

propiedad conmutativa y el hecho de que no afecta al producto sobre

cuál semirrecta se considere al segmento unidad.

iii- analizar la forma en que varía la construcción del producto

dependiendo de la relación de orden que es posible establecer entre

𝑎 y la unidad.

iv- mostrar que la multiplicación posibilita definir un algoritmo para la

potenciación de exponente natural y entero.

La actividad 4 tiene por objeto:

i- analizar las posibilidades de la división en este contexto y observar la

importancia de que el segmento unidad debe considerarse sobre la

semirrecta donde se ubica el segmento dividendo.

ii- abrir camino para poder determinar la existencia del inverso que será

necesario en la indagación de las propiedades vinculadas a la

multiplicación.

iii- analizar la forma en que varía la construcción del cociente

dependiendo de la relación de orden que es posible establecer entre

𝑎 y la unidad.

La actividad 5 tiene por objeto poner en discusión la posibilidad de presentar un

algoritmo para la potenciación de exponente natural haciendo uso del algoritmo

de la multiplicación y de exponente entero a partir de combinar el algoritmo de

la multiplicación y el de la división.

La actividad 6 abre la discusión de cómo es posible representar al número 0 en

el contexto geométrico, lo que posibilitará abordar las actividades 7 y 8 que


113

buscan analizar si en este contexto se verifican la existencia del neutro en la

suma y la propiedad de absorción.

Las actividades 9, 10, 11 y 12 pretenden analizar la posibilidad de determinar la

existencia de alguna estructura algebraica en el contexto geométrico a partir de

lo abordado a lo largo de toda la secuencia. Este análisis pretende analizar la

viabilidad de promover otro uso de los números cartesianos, un posible uso que

llamaremos de manera totalmente informal como uso estructural.

PRIMERA SECCIÓN: ACTIVIDADES DE CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS

VINCULADAS A LOS USOS CARTESIANOS DEL NÚMERO

Considere las siguientes operaciones entre segmentos definidas en el plano.

La suma:

Siendo c=a+b, donde a=[AB] b=[CD] entonces c=[AD]

c se obtiene de colocar los segmentos a y b uno a continuación del otro.

La resta:

Siendo c=a-b, donde a=[AB] y b=[CD] entonces c=[DB]


114

La multiplicación:

Para obtener el producto de los segmentos [B,D] y [B,C], basta con considerar

al segmento unidad (en este caso [A,B]) y

considerar la recta paralela a AC a la cual

D pertenece, de este modo el punto E que

resulta de la intersección de la semirrecta

BC con la recta paralela mencionada es

uno de los extremos del segmento

producto, que en la figura corresponde a

[B,E].

La división:

Valiéndonos de la misma figura, ahora se desea encontrar el segmento

cociente resultante de dividir a [B,D] entre [B,E]. Para construir dicho segmento

basta con considerar nuevamente el segmento unidad ([A,B]) y trazar por A la

recta paralela a la recta DE. El segmento buscado es [B,C], dónde C es la

intersección de la paralela que pasa por A con la semirrecta BE.

La extracción de la raíz cuadrada:

Si se desea extraer la raíz cuadra de [G,H], se debe

considerar el punto F (como muestra la figura), de tal

modo que [F,G] es la unidad. Luego se construye la

circunferencia de diámetro [F,H]. El segmento [G,I] es la

raíz cuadrada del segmento [G,H], siendo I el punto de

intersección de la semicircunferencia de diámetro [F,H]

con la recta perpendicular a FH por el punto G.


115

ACTIVIDADES

Todas las construcciones deben realizarse utilizando sólo regla y

compás.

1- Considera el siguiente rectángulo y el segmento unidad:

Construye con regla y compás el segmento asociado al valor del área

del mismo. Justifica tu construcción.

2- Construye un rectángulo conociendo el segmento correspondiente a uno

de sus lados y el segmento asociado al área del mismo ([EF]

corresponde al segmento unidad). Fundamenta tu construcción.

3- Construye un cuadrado sabiendo que el siguiente segmento corresponde

al valor asociado al área del mismo. Fundamenta tu construcción.

4- Construye un triángulo isósceles, conociendo el segmento asociado al

valor del área y el segmento correspondiente al cuadrado de la altura

respecto del lado desigual. Fundamenta tu construcción.


116

Construye el segmento asociado al valor del perímetro.

5- Construye un triángulo rectángulo conociendo el segmento asociado al

cuadrado de la hipotenusa y sabiendo que uno de sus ángulos mide 60º

([EF] corresponde al segmento unidad). Fundamenta tu construcción.

Construye el segmento asociado al valor de su área.

6- Construir un pentágono regular conociendo el segmento asociado a su

área y el segmento correspondiente a su apotema. Fundamenta tu

construcción.

7- Construye una circunferencia cuyo radio es [A,B].

¿Es posible construir un segmento que represente la longitud de la

misma? ¿Y que represente el área del círculo? Fundamenta.


117

SEGUNDA SECCIÓN: INDAGANDO ACERCA DE UNA POSIBLE ESTRUCTURA

ALGEBRAICA EN EL CONTEXTO GEOMÉTRICO CON LAS OPERACIONES DE SUMA Y

MULTIPLICACIÓN.

1- ¿Es posible establecer una correspondencia entre los segmentos del

plano y los números reales? ¿Qué tipo de correspondencia? ¿En esta

correspondencia qué números reales entran en juego?

2- ¿Qué conocimientos matemáticos se ponen en juego para construir el

producto, el cociente y la raíz cuadrada de un número real en el contexto

geométrico? Explicite con fundamento e intente validar los algoritmos.

3- A partir del algoritmo geométrico para la multiplicación y para la suma

que se presenta en la sección anterior, realice las siguientes

operaciones en el contexto geométrico. Para el caso de la multiplicación

considere el segmento unidad primero sobre una de las semirrectas que

contiene a uno de los segmentos factores y luego sobre la otra.

a- 2+(3+5)

b- (3+5)+2

c- (2+3)+5

d- 2x3

e- 5x(2x3)

f- (2x5)x3

g- ¿afecta al producto la ubicación del segmento unidad? Fundamente.

h- 𝑎3, siendo 𝑎 ∈ 𝑅0+ construible

(considere los casos 𝑎 < 1, 𝑎 = 1, 𝑎 > 1).

4- A partir del algoritmo geométrico para la división, realice las siguientes

operaciones en el contexto geométrico:

a- 6/3

b- 3/6

c- 1/3

d- 5/3


118

e- ¿afecta al cociente la ubicación del segmento unidad? Fundamente.

f- 𝑎/5, siendo 𝑎 ∈ 𝑅0+ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑖𝑏𝑙𝑒 (considere los casos 𝑎 < 1 𝑦 𝑎 > 1).

5- ¿Es posible presentar en este contexto un algoritmo para la

potenciación? ¿con qué restricciones?

6- ¿Cómo se representaría al número 0?

7- ¿Es posible realizar 4x0? Fundamente.

8- ¿Es posible realizar 4+0? Fundamente.

9- Analice qué propiedades cumple la suma en el contexto geométrico.

10- Analice qué propiedades cumple la multiplicación en este contexto.

11- A partir de los algoritmos de la suma y la multiplicación presentados,

¿es posible definir la suma y la multiplicación entre segmentos como

operaciones binarias? ¿de qué manera? Explicite con fundamento.

12- Considerando el conjunto de todos los segmentos del plano, la suma y la

multiplicación en el contexto geométrico, ¿es posible identificar alguna

estructura algebraica? Explicite con fundamento.


119

6 - R E F L E X I O N E S F I N A L E S

Las conclusiones que se desprenden de este trabajo de investigación es

posible agruparlas en tres ítems: el primero brinda respuestas a las preguntas

que forman parte de los objetivos de esta investigación y puntualiza algunas

cuestiones que quedan abiertas; el segundo menciona los aportes de esta

investigación a la aproximación socioepistemológica y el tercer ítem aborda el

vínculo de los resultados de esta investigación y posibles aportes para futuras

investigaciones que aborden el diseño de secuencias didácticas vinculadas al

uso del número.

- Referente a las preguntas de investigación

Se considera que este trabajo ha logrado responder las preguntas planteadas

en los objetivos de investigación.

A partir del análisis histórico-epistemológico y del análisis de usos se ha

logrado entender cómo logra Descartes llevar la estructura aritmética de los

números reales positivos al contexto geométrico, identificando además algunas

restricciones en los usos de estos números.

Con respecto al por qué de este tránsito entre contextos se han podido

evidenciar dos razones principales que están entrelazadas:

- la construcción de algoritmos geométricos para la resolución de algunos

tipos de ecuaciones de segundo grado (y otras ecuaciones de grado

superior que pueden reducirse a éstas) en el contexto geométrico.

- transitar del contexto geométrico al contexto algebraico para lograr

expresar en lenguaje algebraico problemas que tienen origen en el

contexto geométrico con el fin de encontrar soluciones para problemas

que en el contexto geométrico hasta ese momento aún no habían

encontrado solución.

Se considera que queda abierta la posibilidad de continuar indagando en la

obra matemática de Descartes para identificar otros usos como por ejemplo el

uso de ecuaciones algebraicas, otras resignificaciones, indagar acerca de las


120

prácticas sociales que norman la construcción del conocimiento matemático

vinculado a los aportes de Descartes.

- Referente a los aportes de esta investigación a la aproximación

socioepistemológica

A partir del análisis histórico-epistemológico se han identificado tres usos del

número en la obra de Descartes que se han denominado: el uso geométrico-

aritmético, el uso geométrico-algebraico y el uso geométrico-analítico. De cada

uno de estos usos se ha dado evidencia de las siguientes resignificaciones: la

resignificación de número real positivo, la resignificación de operaciones

aritméticas, la resignificación de ecuación algebraica, la resignificación de

solución positiva de una ecuación, la resignificación de problemas geométricos.

El análisis de usos y la identificación de algunas resignificaciones que se

derivan de éstos en este trabajo, posibilita el contemplar una nueva forma de

abordar el estudio didáctico del número.

Dado que el número en el contexto geométrico está asociado a la construcción

geométrica de los mismos es importante señalar que no es posible evidenciar

una forma y un funcionamiento para los números reales positivos no

construibles (como los irracionales trascendentes y algunos irracionales

algebraicos), por lo tanto en la obra de Descartes no se da evidencia del uso de

estos números irracionales, como por ejemplo el número e, π,√23

, cos 20º, etc.

Todos los números reales negativos y los positivos no construibles quedan

excluidos en la obra de Descartes aquí analizada.

Hasta el momento no han sido publicados trabajos que aborden el análisis del

uso del número dentro de la aproximación socioepistemológica, por lo que se

considera que el presente trabajo realiza un pequeño aporte a la línea de

investigación denominada uso del conocimiento, puesto que brinda evidencia

histórico-epistemológica sobre el uso del número.

A partir de las investigaciones vinculadas al uso de las gráficas y haciendo uso

de constructos teóricos definidos en esta línea de investigación es posible

hacer acopio de elementos teóricos que nos permitan identificar usos del


121

número, desarrollos de estos usos y resignificaciones asociadas a estos usos.

Se considera que es posible identificar usos del número a partir de la

identificación de formas y funcionamientos del mismo en situaciones

específicas donde el grupo social pone en juego este conocimiento, como se

ha pretendido presentar en este trabajo. Esto da lugar a continuar con

investigaciones asociadas al uso de los números a lo largo de la historia, la

identificación de resignificaciones asociadas a estos usos y la posibilidad de

indagar en torno al desarrollo de usos del número.

- Referente a los aportes de esta investigación al diseño de actividades

que promuevan la reflexión epistemológica de los docentes.

Como ya se ha hecho explícito, la transposición didáctica requiere por parte del

docente de una gran creatividad y reflexión de la naturaleza de los conceptos a

enseñar. Se considera que el diseño de actividades orientadas a docentes y

futuros docentes puede generar espacios de discusión que enriquezca y

contribuya a la continua reflexión que forma parte de la labor docente. El

promover en los futuros docentes la continua reflexión epistemológica, desde

nuestra visión es considerado crucial, creemos que potencia el cuestionamiento

de la naturaleza de los conocimientos matemáticos a ser enseñados y por

ende proveerá de más herramientas para la transposición de los mismos al

aula.

Se ha presentado el esbozo de una posible secuencia didáctica cuyo diseño se

inspira en algunos resultados vinculados al uso cartesiano del número de los

que se ha dado evidencia en esta investigación. Esta secuencia busca

promover el uso cartesiano del número e invita a indagar sobre la posibilidad

de identificar alguna estructura algebraica en el contexto geométrico. El uso

cartesiano de los números, vinculados a indagar sobre la posibilidad de

identificar alguna estructura algebraica en el contexto geométrico puede estar

promoviendo lo que hemos llamado informalmente como uso estructural. Este

uso del cual no se ha dado evidencia en este trabajo puede ser considerado en

futuras investigaciones que aborden usos de los números.


122

El esbozo de la secuencia didáctica presentada pretende dejar abierta la

posibilidad de proponer futuras investigaciones que aborden el diseño de

secuencias didácticas orientadas a docentes y futuros docentes donde sea

factible poner en juego el uso cartesiano del número (incluso otros usos de los

números de los que otras investigaciones puedan dar evidencia) y con ello

generar espacios de reflexión acerca de la naturaleza epistémica del mismo.

Las actividades que conforman la secuencia pretenden presentar a los

docentes y futuros docentes una nueva forma de mirar al número, ampliando

los posibles usos de estos y diversas representaciones asociadas a estos usos.

Eso invita a los docentes a reflexionar acerca de las diversas concepciones que

es posible presentar asociadas a la noción de número, diversos usos y

representaciones del mismo, intentando enriquecer las concepciones que han

venido construyendo los docentes en torno a este tópico.

El hecho que los docentes estén familiarizados a partir de su formación

académica con la asociación de segmentos a determinados números reales

positivos (por ejemplo en los cursos curriculares de geometría métrica y

analítica) no implica necesariamente que hayan tenido la oportunidad de

acercarse al porqué de esta asociación, sus razones históricas social y

culturalmente situadas. Uno de los objetivos primordiales de este trabajo está

basado en dar a conocer algunas de las razones asociadas a la génesis de

estos usos, que tan comúnmente aceptamos como válidos sin cuestionar las

causas sociales, históricas y culturales asociadas al surgimiento del desarrollo

de estos usos. Se pretende dar evidencias de algunas razones vinculadas a

este uso que generalmente se dan de modo implícito sin ser cuestionadas,

puesto que han quedado ocultas en la historia, privilegiando la aceptación de

facto y no la indagación acerca de las causas que llevaron a la

institucionalización de este saber. Si lo que se pretende es formar individuos

críticos y reflexivos no es posible dejar en el olvido los fundamentos históricos y

epistemológicos vinculados a la construcción de los saberes que son

aceptados socialmente en nuestras instituciones educativas y que se hacen

explícitos en el currículo.


123

Abogamos por una formación crítica, comprometida y reflexiva de nuestros

docentes pues es el camino que permitirá que nuestros estudiantes se

comprometan con su aprendizaje de manera crítica, reflexiva y responsable, de

otro modo estamos confundiendo enseñanza con reproducción de

conocimientos carente de significado y aprendizaje con la mera repetición de

información despojada de todo sentido social, político y cultural.


124

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