Integracion en El Campo Complejo

5/9/2018 Integracion en El Campo Complejo - slidepdf.com

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Capıtulo 4

Integracion en el campo

complejo

Objetivos

Realizar integrales de funciones complejas a lo largo de curvas.

Comprender los conceptos de independencia del camino y homologıa.

Calcular integrales por medio de las formulas de Cauchy.

4.1. Integracion en el campo complejo

Una funcion compleja de variable real consta de dos componentes reales, porlo cual la definicion de su integral es inmediata, como suma de las integrales desus componentes,

ba

f (t) dt :=

ba

u(t) dt + i

ba

v(t) dt ,f : [a, b] → C

t → u(t) + iv(t). (4.1)

La definicion anterior es correcta si la funcion f es continua.

Ejemplo 4.1.1 Integral de la exponencial imaginaria.

π

0

eit dt = π

0

cos t dt + i π

0

sin t dt = [sin t]π0−

i[cos t]π0 = 2i

o bien directamente, π0

eitdt = [−ieit]π0 = 2i .

En la recta real la unica manera de unir dos puntos es un segmento. Porello el concepto de integral de una funcion de variable real entre dos puntos esunıvoco, pues siempre integramos a lo largo de un segmento.

Para integrar funciones complejas de variable compleja, tenemos mucha maslibertad, ya que entre dos puntos del plano tenemos infinitos caminos que los

1



unen y el concepto de integral ya no es unıvoco. No basta, en general, con indicarlos puntos entre los cuales integramos, sino que tenemos ademas que indicar a

lo largo de que curva estamos realizando la integral. Los resultados seran, enprincipio, dependientes de la curva que escojamos.

¡

Γ ¢

Γ £

Figura 4.1: Dos puntos se pueden unir a lo largo de curvas distintas

Supongamos que queremos integrar una funcion continua de variable com-pleja, f : U → C, definida en un subconjunto abierto U ⊂ C, a lo largo de unacurva Γ en el plano contenida en U . Para ello, tendremos que parametrizar lacurva Γ.

Una parametrizacion es una aplicacion de clase C 1, γ : [a, b] → C tal queγ

[a, b]

= Γ y γ (t) no se anula en ningun punto. La imagen de la funcion γ esla curva Γ. La velocidad de la parametrizacion es la derivada γ (t), que defineun vector tangente a la curva en cada punto z = γ (t). Abusando de la notacion,

podemos denotar z(t) = γ (t), entendiendo que z(t) es la manera en la que serecorre la curva segun la parametrizacion γ .

La parametrizacion define una orientacion para la curva Γ. La curva no esya solo un subconjunto de puntos, sino que esta orientado, al ser recorrido deγ (a) a γ (b) y no al reves.

Diremos que la curva Γ es regular si admite una parametrizacion de claseC 1. Diremos que es simple si no presenta autointersecciones. La curva se llamaabierta si γ (a) = γ (b), y cerrada, si γ (a) = γ (b).

Con esta notacion, definimos la integral de la funcion f a lo largo de

Γ, Γ

f (z) dz :=

ba

f

γ (t)

γ (t) dt . (4.2)

Con esta expresion se entiende nuestro interes porque la parametrizacion seade clase C 1 y porque f sea continua: para que el integrando sea continuo y laintegral este, pues, bien definida.

La interpretacion de esta definicion es inmediata si recurrimos a la analog ıareal, descomponiendo las funciones en sus partes real e imaginaria, f

γ (t)

=

u

γ (t)

+ iv

γ (t)

, γ (t) = x(t) + iy(t),

Γ

f (z) dz =

ba

(u + iv)(x + iy

dt =

ba

{(ux − vy) + i(uy + vx)} dt

2



=

ba

v, τ γ(t) dt + i

ba

v, nγ(t) dt = Cv,Γ + iΦv,Γ ,

identificando el campo tangente a la curva τ = x ux + yuy, el campo normal,n = y ux − x uy, y un campo vectorial v = u ux − v uy, que es esencialmentef .

Ası podemos interpretar la parte real de la integral de f a lo largo de Γ comola circulacion del campo v a lo largo de Γ y la parte imaginaria, como el flujodel campo v a traves de Γ.

Esta definicion tiene unas cuantas buenas propiedades:

Linealidad de la integral: Es obvio que, para λ ∈ C, f, g funcionescontinuas, cuyo dominio comprende a la curva Γ,

Γλf (z) dz = λ

Γ

f (z) dz , Γf +g(z) dz =

Γ

f (z) dz+ Γ

g(z) dz .

Invariancia bajo cambios de parametrizacion: Supongamos que γ :[c, d] → C es otra parametrizacion de la curva Γ, definida por un cambiode parametro biyectivo de clase C 1, t = h(τ ), h : [c, d] → [a, b], tal queh(τ ) > 0 (preserva la orientacion), de modo que γ (t) = γ (h(τ )) = γ (τ ).

Sabemos que en integrales reales, el cambio de variable t = h(τ ) se rigepor la expresion

ba

g(t) dt =

dc

g

h(τ )dh(τ )

dτ dτ ,

que aplicada a nuestro caso proporciona

ba

f

γ (t)dγ (t)

dtdt =

dc

f

γ (τ )dγ (t)

dt

dh(τ )

dτ dτ =

dc

f

γ (τ )dγ (τ )

dτ dτ ,

por la regla de la cadena, γ (τ ) = γ (t)h(τ ). 2

Por tanto, la integral depende de la curva, no de la parametrizacion em-pleada, siempre que respete la orientacion. La parametrizacion simplemen-te es una herramienta para realizar la integral.

Advi ertase que este hecho esta implıcito en nuestra notacion de la integral,que hace referencia a la curva Γ y no a la parametrizacion.

Cambio de signo por inversion de la orientacion: Denotemos por

−Γ la curva Γ recorrida en sentido inverso. Entonces

−Γ

f (z) dz = − Γ

f (z) dz . (4.3)

La demostracion es bien sencilla, con la parametrizacion γ : [−b, −a] → C

para −Γ dada por γ (τ ) = γ (−t), para la cual t = −τ , γ (τ ) = −γ (−t),

−Γ

f (z) dz =

−a

−b

f

γ (τ )

γ (τ ) dt = − ba

f

γ (t)

γ (t) dt = − Γ

f (z) dz .

3



Γ3

Γ2

Γ1

Figura 4.2: Curva de clase C 1 a trozos

Particion de la curva: Si la curva consta de dos arcos, Γ = Γ1 ∪ Γ2,

Γ

f (z) dz = Γ1

f (z) dz + Γ2

f (z) dz , (4.4)

sin mas que parametrizar Γ mediante una parametrizacion γ : [a, b] →C, de modo que γ

[a, c]

= Γ1, γ

[c, b]

= Γ2. Ya que, denotando por

γ 1 la parametrizacion γ restringida a [a, c], y por γ 2 la parametrizacionrestringida a [c, b],

Γ

f (z) dz =

ba

f (γ (t))γ (t) dt =

ca

f (γ 1(t))γ 1(t) dt +

bc

f (γ 2(t))γ 2(t) dt

=

Γ1

f (z) dz +

Γ2

f (z) dz . 2

Esta ultima propiedad permite extender la definicion de curva parametrizada

regular al caso en el que la parametrizacion es de clase C 1

a trozos, es decir,la parametrizacion γ es de clase C 1 en intervalos [a, c1],. . . , [cn, b]. Ası pues, laparametrizacion restringida a dichos intervalos, γ i : [a, ci] → C, es de clase C 1

y tiene sentido la definicion

Γ

f (z) dz =

ni=1

Γi

f (z) dz , (4.5)

denotando por Γi la curva regular parametrizada por γ i.Podemos incluso extender la definicion de modo que las curvas Γi sean dis-

juntas, es decir, que γ no sea continua en las valores de union, c1, . . . , cn. Si lascurvas Γi son cerradas, la cadena se llama ciclo.

Por ejemplo, esta propiedad puede servir para escindir una curva en dos.

Ejemplo 4.1.2 Integrar la funcion f (z) = (z − z0)n para z0 ∈ C, n ∈ Z, a lo

largo de la circunferencia de radio R centrada en z0.

Como eit, con t ∈ [0, 2π], describe la circunferencia de radio unidad centradaen el origen, γ (t) = z0 + Reit es una parametrizacion de la circunferencia deradio R centrada en z0. La velocidad de la parametrizacion es γ (t) = iReit.Como a lo largo de la curva la funcion va tomando los valores f

γ (t)

= Rneint,

Γ

f (z) dz = iRn+1

2π0

ei(n+1)t dt = Rn+1

ei(n+1)t

n + 1

2π0

= 0 ,

4



Γ 1

Γ 2

Figura 4.3: Ciclo formado por las curvas Γ1 y Γ2

si n = 1. El caso en el que n = −1 tiene que estudiarse aparte, Γ

f (z) dz = i

2π0

dt = i2π .

Volveremos sobre este resultado posteriormente. De momento, fijemonos enque la integral no depende del radio de la circunferencia y que solo en el cason = −1 es diferente de cero.

Ejemplo 4.1.3 Integral a lo largo de un segmento.

Integrar la funcion f (z) = z a lo largo del segmento que une 1 − i con 1+ i.La parametrizacion de un segmento es sencilla, t ∈ [0, 1], γ (t) = (1−t)z0+tz1,

de modo que γ (0) = z0, γ (1) = z1. En nuestro caso, γ (t) = 1 + i(2t

−1),

γ (t) = 2i,

Γ

z dz = 2i

10

1 + i(2t − 1)

dt = 2i

(1 − i)t + it2

10

= 2i .

Ejemplo 4.1.4 Parametrizaciones basadas en graficas.

Una curva definida por una grafica y = g(x), x ∈ [a, b], se puede parametrizarcomo γ (t) = t + ig(t), t ∈ [a, b].

Por ejemplo, integremos la funcion f (z) = z2 a lo largo de la curva deecuacion x = y3, y ∈ [0, 1].

En este caso la parametrizacion es γ (t) = t3 + it, t ∈ [0, 1], γ (t) = 3t2 + i,

Γ

z2 dz = 10

(t3 + it)2(3t2 + i) = 3

t9

3− t5 + it7 − i t

3

310

= 23

(−1 + i) .

Recordemos que la longitud de una curva Γ se puede calcular en cualquierparametrizacion γ : [a, b] → C como

L(Γ) =

ba

|γ (t)| dt =

ba

x(t)2 + y(t)2 dt . (4.6)

Como ejercicio, demostrar que la longitud es independiente de la parametri-zacion usada.

5



Ejemplo 4.1.5 Calcular la longitud de una circunferencia de radio R.

Una parametrizacion de la circunferencia centrada en z0 es

γ : [0, 2π] → C

t → z0 + Reit, γ (t) = iReit ,

L(Γ) =

2π0

|iReit| dt = R

2π0

dt = 2πR .

Esta definicion permite una acotacion muy sencilla de las integrales a lo largode curvas:

Prop osicion 4.1.1 Sea f : U → C una funcion continua de variable compleja.

Sea Γ una curva regular contenida en U . Entonces, Γ

f (z) dz

≤ L(Γ) · supz∈Γ

|f (z)| . (4.7)

Para demostrarlo, descomponemos la integral en modulo y argumento, quedenominaremos φ,

Γ

f (z) dz = reiφ .

A nosotros nos interesa r. Usando una parametrizacion γ : [a, b] → C,

r =

Γf (z) dz

= (r) = e−

iφ Γ

f (z) dz

= ba

e−

iφf

γ (t)

γ

(t) dt

≤ ba

|f (γ (t))| · |γ (t)| dt ≤ supz∈Γ

|f (z)| ba

|γ (t)| dt = L(Γ) · supz∈Γ

|f (z)| ,

teniendo en cuenta que (z) ≤ |z|, que la exponencial imaginaria tiene modulounidad, y que |f (z)| ≤ sup |f (z)|. 2

4.2. Independencia del camino

Hemos comentado que, en general, la integral de una funcion depende de lacurva que se emplea, aunque en algunos casos concretos puede que no sea ası.

Si la funcion que queremos integrar tiene primitiva, podemos utilizar la reglade Barrow del calculo integral:

Teorema 4.2.1 Sea F : U → C una funcion holomorfa y f = F . Sea Γ ⊂ U una curva continua de clase C 1 a trozos. Entonces,

Γ

f (z) dz = F (z1) − F (z0) , (4.8)

siendo z1 y z0 los puntos final e inicial de la curva Γ.

6



Realmente debieramos exigir que f fuera continua, pero veremos mas ade-lante que es redundante.

La demostracion, como ya adelantamos, esta basada en la regla de Barrow.Supongamos que Γ es de clase C 1. Usando una parametrizacion γ : [a, b] → C

de la curva Γ,

Γ

f (z) dz =

ba

dF

γ (t)

dzγ (t) dt =

ba

dF

γ (t)

dtdt

= F

γ (b)− F

γ (a)

= F (z1) − F (z0) ,

aplicando la regla de la cadena.En el caso en el que la curva es de clase C 1 a trozos, no tenemos mas que

descomponerla,

Γ

f (z) dz =

ni=1

Γi

f (z) dz = F (z1) − F (z0) + · · · + F (zn) − F (zn−1)

= F (zn) − F (z0) ,

siendo F (zi−1), F (zi) los extremos de cada curva Γi en este caso. 2Un resultado importante de este teorema, es que, si f tiene una primitiva

F , la integral no depende del camino seguido, sino solo de los extremos de lacurva.

Decimos que la integral de una funcion continua de variable compleja f :U → C es independiente del camino en un abierto conexo U si para todopar de curvas Γ1, Γ2 continuas regulares a trozos con los mismos extremos,

Γ1

f (z) dz =

Γ2

f (z) dz . (4.9)

O, lo que es lo mismo, si Γ es un ciclo continuo regular a trozos, Γ

f (z) dz = 0 . (4.10)

La equivalencia entre ambas definiciones es trivial, ya que si unimos Γ1 con−Γ2 obtenemos una curva cerrada y las integrales tienen signo opuesto.

Este concepto tiene su analogo en la fısica y en la teorıa de campos. Lasfunciones cuya integral no depende del camino son los campos conservativos. Laprimitiva, en el lenguaje de los campos, es el potencial escalar.

Ejemplo 4.2.1 Calcular la integral de f (z) = ez entre z = 1 y z = i a lo largo

de un arco de circunferencia y de un segmento.

Integramos f a lo largo del cuadrante de circunferencia de radio unidad, Γ,parametrizado por γ (t) = eit, t ∈ [0, π/2],

Γ

f (z) dz = i

π/20

eeit

eit dt =

eeitπ/20

= ei − e .

Integramos f a lo largo del segmento que une 1 con i, Γ, parametrizado porγ (t) = (1 − t) + it, t ∈ [0, 1],

Γ

f (z) dz = (i − 1)

10

e(1−t)+it dt =

e(1−t)+it10

= ei − e .

7



Obviamente da lo mismo, ya que f (z) tiene una primitiva conocida, F (z) =ez. Por tanto, a lo largo de cualquier curva Γ que una 1 con i,

Γ

f (z) dz = F (i) − F (1) = ei − e .

Hemos visto que la integral de funciones con primitiva es independiente delcamino, pero este resultado tiene su recıproco:

Teorema 4.2.2 Sea f : U → C una funcion continua de variable compleja en

un abierto conexo U . Las integrales de f son independientes del camino en U si y solo si existe una primitiva holomorfa F , de modo que f = F .

La demostracion en un sentido ya se ha visto. Queda por demostrar que silas integrales son independientes del camino, f tiene primitiva.

¢ ¡

¢ ¡

£

Γ ¤

Γ ¤¦ ¥

~

§

Figura 4.4: Construccion de la primitiva

Veremos que una primitiva se puede construir facilmente. Elegimos un puntocualquiera z0

∈U . Lo unimos con cada punto z

∈U por medio de una curva Γz

arbitraria. La funcion

F (z) =

Γz

f (z) dz ,

esta bien definida, ya que la integral es independiente del camino seguido.Esta funcion esta definida salvo una constante, ya que, si tomamos otro

origen z0, la diferencia entre las funciones es una constante,

F (z) =

Γz0

f (z) dz +

Γz

f (z) dz ,

siendo Γz una curva que una z0 con z. El primer termino es constante, ya quees la integral de f entre dos puntos fijos, z0, z0.

Comprobamos que F (z) = f (z). Para ello, tomamos el origen en z y estudia-

mos F (w) en puntos w ∈ U proximos, que podamos unir por medio de segmentoscon z, parametrizados por γ (t) = (1 − t)z + tw, con derivada γ (t) = w − z.Como la expresion de F (w) es

F (w) = (w − z)

10

f

(1 − t)z + tw

dt ,

su derivada queda como

dF (z)

dz= lım

w→z

F (w) − F (z)

w − z= lım

w→z

10

f

(1 − t)z + tw

dt = f (z)

10

dt = f (z) ,

8



luego queda demostrado que F es una primitiva para f . 2Aparte de para calcular primitivas, este teorema nos sirve para discernir

cuando una funcion no admite primitiva.

Ejemplo 4.2.2 Mostrar que f (z) = 1/z no admite primitivas en el dominio

complejo excepto el origen.

Basta encontrar una curva cerrada de modo que la integral de f no de cero.Por ejemplo, una circunferencia, Γ, centrada en el origen, parametrizada porγ (t) = Reit, t ∈ [0, 2π],

Γ

dz

z= iR

2π0

dt

Reiteit = i

2π0

dt = i2π = 0 .

Como esta integral no es nula, sea cual sea el radio de la circunferencia, f

no puede tener primitiva en C\{0}.Este resultado parece contradecir nuestra intuicion de que la primitiva de f

es un logaritmo. Ciertamente, F (z) = (ln z)α es un candidato a primitiva, peropresenta el problema de no ser holomorfa en C α. Como la circunferencia Γ cortaa C α en un punto, no nos vale como primitiva.

Γ1Γ2

Figura 4.5: Curvas Γ1 y Γ2

Aun as ı, podemos recuperar el resultado anterior usando dos primitivas concortes distintos (ln z)π, (ln z)2π. Podemos emplear la primera para integrar enΓ1, la semicircunferencia de radio unidad con parte real positiva,

Γ1

dz

z= F (i) − F (−i) = (ln i)π − (ln −i)π = i

π

2+ i

π

2= iπ ,

y la segunda para integrar en Γ2, , la semicircunferencia con parte real positiva,

Γ2

dz

z= F (−i) − F (i) = (ln −i)2π − (ln i)2π = i

3π

2− i

π

2= iπ ,

de modo que en ambos casos eludimos que la curva intersecte al corte de lafuncion logaritmo. Obviamente, el resultado final,

Γ

dz

z=

Γ1

dz

z+

Γ2

dz

z= i2π ,

es el correcto.

9



4.3. Teorema de Cauchy

Con los resultados anteriores, estamos en condiciones de relacionar holo-morfıa con independencia del camino a traves del conocido teorema de Cauchy.

Teorema 4.3.1 Teorema de Cauchy: Sea f una funcion holomorfa de clase

C 1 en un abierto conexo U . Entonces la integral de f es nula a lo largo de

cualquier ciclo Γ contenido en U que sea borde orientado de alg´ un subconjunto

abierto V ⊂ U .

La idea de usar recintos con borde orientado indica que vamos a recurriral teorema de Green en el plano. Descomponiendo en parte real e imaginaria,f = u + iv,

Γ

f (z) dz = Γ

(u + iv)(dx + idy) = Γ

(u dx − v dy) + i Γ

(v dx + u dy)

= − V

(vx + uy) dxdy + i

V

(ux − vy) dxdy ,

aplicando el teorema de Green en el plano al recinto V de borde Γ,

Γ

(P dx + Q dy) =

V

∂Q

∂x− ∂P

∂y

dxdy ,

para funciones P , Q de clase C 1.Si la funcion es holomorfa y de clase C 1, las integrales se anulan, por las

condiciones de Cauchy-Riemann, ux = vy, uy =−

vx. 2

Γ ¡

Γ ¢

Figura 4.6: El ciclo formado por las curvas orientadas Γ1 y Γ2 es el borde de lacorona V

Como ya hemos anunciado en repetidas ocasiones, la condicion de ser declase C 1 se puede relajar:

Teorema 4.3.2 Teorema de Cauchy-Goursat: Sea f una funcion holomor-

fa en un abierto conexo U . Entonces la integral de f es nula a lo largo de

cualquier ciclo Γ contenido en U que sea borde orientado de alg´ un subconjunto

abierto V ⊂ U .

Ejemplo 4.3.1 Integral de la funcion f (z) = 1/z.

10



Como la funcion es holomorfa salvo en el origen, su integral sera nula a lolargo de cualquier curva cerrada que no rodee el origen.

Al contrario, hemos visto que a lo largo de curvas que rodean el origen laintegral no es nula. El teorema nos nos proporciona el valor de la integral, peronos indica que es el mismo para curvas simples que rodeen el origen en el mismosentido. Habra que avanzar un poco mas para calcular el valor de la integralsin efectuarla directamente. Tambien sera preciso generalizar el resultado paraaplicarlo a ciclos mas complejos.

El teorema de Cauchy es muy util para cuantificar el numero de vueltas queda una curva cerrada alrededor de un punto a ∈ C, dado que es una sorprendenterelacion entre calculo y topologıa. Sea Γ una curva cerrada compleja que no pasapor a. El ındice de Γ respecto de a es

n(Γ, a) =1

i2π

Γ

dz

z

−a

, (4.11)

y coincide con el numero de vueltas que efectua Γ alrededor de a, contabilizandoel signo de estas: negativo, si la orientacion es negativa y positivo, si es positiva.

Por ejemplo, si Γ no rodea a a, 1/(z − a) = d(ln(z − a))α/dz, usando unadeterminacion α de modo que C α no corte a Γ. De este modo, en este caso laintegral es nula. Como corresponde al hecho de que Γ no rodea a a.

Γ1

Γ2

a

Γ

z1

z2

~Γ

Figura 4.7: El ındice respecto de a de Γ es uno y cero el de Γ

Si a esta dentro de Γ y esta es una curva simple orientada positiva, la rom-pemos en dos trozos, cortandola con la recta vertical que pasa por a. Para laintegral en el fragmento de la derecha, Γ1, podemos emplear la determinacionπ y la para el de la izquierda, Γ2, la determinacion 2π,

Γ1

dzz − a =

ln(z − a)π

z1z2 = log |z1 − a| + i π

2 − log |z2 − a| + i π2

, Γ2

dz

z − a=

ln(z − a)

2π

z2z1

= log |z2 − a| + i3π

2− log |z1 − a| − i

π

2,

Γ

dz

z − a= i2π ,

con lo cual n(Γ, a) = 1.Obviamente, si la curva se recorre en sentido horario, el ındice cambia de

signo, n(Γ, a) = −1.

11



Finalmente, si Γ es un ciclo que se puede descomponer en varias curvascerradas, Γ = n1Γ1 +

· · ·+ nN ΓN ,

n(Γ, a) =

Γ

dz

z − a=

N i=1

ni

Γi

dz

z − a=

N i=1

nin(Γi, a) .

Γ1

Γ2

Γ3

V

Figura 4.8: El interior del ciclo formado por las curvas Γ1, Γ2, Γ3 es el abiertoV

Esta definicion permite visualizar cual es la region de la cual es borde unacurva cerrada simple Γ, que denominaremos interior de Γ. Un punto a estara enel interior de Γ si Γ da vueltas alrededor de el.

intΓ = {a ∈ C\Γ : n(Γ, a) = 0} . (4.12)

Esta definicion se aplica a ciclos mas complicados tambi en, cuya relacion conun borde orientado es mas difusa, pero que se pueden entender como union decurvas cerradas simples.

Finalmente, una definicion adicional, que permite caracterizar los ciclos a losque se refiere el teorema de Cauchy. En un abierto conexo U ⊂ C decimos queun ciclo Γ es homologo a cero modulo U si para todo a ∈ U , n(Γ, a) = 0. Esdecir, si Γ no da vueltas alrededor de los puntos que no estan en U . O, lo quees lo mismo, si el interior de Γ esta contenido en U .

Γ1

Γ2

Γ3

U

Figura 4.9: Γ1 es homologa a Γ2 modulo U , pero no a Γ3. Γ3 es homologa acero, lo mismo que Γ1 − Γ2, pero no lo son Γ1 ni Γ2

Del mismo modo, decimos que dos ciclos Γ1, Γ2 son homologos modulo

U , Γ1 ∼ Γ2 (mod U ), si Γ1 − Γ2 es homologo a cero modulo U . O lo que es

12



lo mismo, si ambos dan el mismo n umero de vueltas alrededor de los puntosa

∈U , n(Γ1, a) = n(Γ2, a).

Con estas definiciones, el teorema de Cauchy-Goursat se puede reescribir ygeneralizar de una manera elegante y concisa:

Teorema 4.3.3 Teorema de Cauchy-Goursat: Sea f una funcion holomor-

fa en un abierto conexo U . Entonces la integral de f es nula a lo largo de cual-

quier ciclo Γ hom´ ologo a cero modulo U .

Un caso particularmente interesante son los subconjuntos simplemente co-

nexos, que son aquellos subconjuntos de C en los cuales todo ciclo es homologoa cero. Obviamente, se trata de subconjuntos que no tienen agujeros compactos.El siguiente corolario es trivial, entonces:

Corolario 4.3.1 Sea f una funcion holomorfa en un abierto simplemente co-

nexo U . Entonces la integral de f es nula a lo largo de cualquier ciclo contenidoen U .

En el caso de los subconjuntos simplemente conexos vemos que se da laindependencia del camino para las integrales de funciones holomorfas.

Ejemplo 4.3.2 La integral de f (z) = sin ez2

a lo largo de cualquier ciclo es

nula.

Puesto que f es entera, por ser composicion de funciones enteras y, por tanto,su dominio de holomorfıa, U = C, es simplemente conexo.

Pero hay muchos subconjuntos sencillos que no son simplemente conexos:

Ejemplo 4.3.3 El subconjunto C\{P } no es simplemente conexo.

El dominio complejo salvo un punto P no es simplemente conexo, ya que lascurvas simples que rodean a P no son homologas a cero, ya que dan una vueltaalrededor de el y, por tanto, no tienen ındice nulo.

Por eso este subconjunto es doblemente conexo, ya que hay dos tipos deciclos, los que dan vueltas alrededor de P y los que no las dan.

P

Γ1Γ2

Figura 4.10: Γ1 es homologa a homologa a cero, pero no lo es Γ2

Este ejemplo se aplica al dominio de holomorfıa de la funcion f (z) = 1/z.Como hemos visto, las integrales de ciclos que no rodean al origen son nulas, alcontrario que las que sı lo rodean.

Del teorema de Cauchy-Goursat se siguen otras consecuencias interesantes:

Si Γ1 ∼ Γ2 (mod U ), entonces

Γ1

f (z) dz =

Γ2

f (z) dz.

Puesto que Γ1 − Γ2 es homologo a cero modulo U .

13



Si Γ1, Γ2 son dos curvas regulares a trozos en U y Γ1 − Γ2 ∼ 0 (mod U ),

entonces Γ1 f (z) dz =

Γ2 f (z) dz.

Ejemplo 4.3.4 La funcion √

z − 1π

√z + 1

π

es holomorfa salvo en el seg-

mento del eje real [−1, 1].

Por tanto, la integral a lo largo de cualquier curva cerrada simple que rodeeel segmento toma el mismo valor, siempre que la orientacion sea la misma entodos los casos.

Pero seguimos sin saber evaluar la integral de una funcion holomorfa a lolargo de un ciclo no homologo a cero, a pesar de que sabemos que para cicloshomologos proporciona el mismo valor. Esta precision final nos la facilita laformula integral de Cauchy.

4.4. Formula integral de Cauchy

Comenzaremos refinando el teorema de Cauchy en el caso de que la funcionpresente singularidades d ebiles o evitables:

Corolario 4.4.1 Sea U ⊂ C un abierto simplemente conexo y f una funcion

holomorfa en U salvo en una coleccion finita de puntos {a1 . . . , aN }, pero de

modo que lımz→ai

(z − ai)f (z) = 0. Entonces Γ

f (z) dz = 0 a lo largo de cualquier

ciclo Γ contenido en U \{a1 . . . , aN }.

Sea Γ un ciclo contenido en U \{a1 . . . , aN }. Si denotamos por ni = n(Γ, ai),entonces Γ ∼

niΓi (mod U ), donde Γi es una circunferencia centrada en aide radio suficientemente pequeno, Ri, para que est e contenida en U

\{a1 . . . , aN

}.

Por tanto, Γ

f (z) dz =N i=1

ni

Γi

f (z) dz .

a1

a2

a3Γ1

Γ2

Γ3

Γ

Figura 4.11: Γ es homologa a homologa a Γ1 + Γ2 + Γ3

Acotando el valor de cada integral por medio de la cota de la proposicion4.1.1,

Γi

f (z) dz

≤ 2πRi maxz∈Γi

|f (z)| = 2π|zi − ai|f (zi)| → 0 ,

14



cuando Ri tiende a cero, teniendo en cuenta que el supremo de una funcion sealcanza en algun punto zi, en el caso de subconjuntos compactos, como es el

caso de una circunferencia.Por tanto, el valor absoluto de la integral esta acotado por cero, con lo cual

solo puede ser nulo y las integrales son todas nulas. 2Una consecuencia directa de este sencillo resultado es la formula integral de

Cauchy, que permite evaluar integrales.

Teorema 4.4.1 Formula integral de Cauchy: Sea f una funcion holomorfa

en un abierto conexo U . Sea Γ un ciclo homologo a cero modulo U . Entonces,

para a ∈ U \Γ, Γ

f (z)

z − adz = i2πn(Γ, a)f (a) . (4.13)

Definimos una funcion holomorfa en U

\{a

},

g(z) =f (z) − f (a)

z − a.

Si el ındice de Γ respecto de a es n = n(Γ, a), este ciclo sera homologo an circunferencias Γ(r) centradas en a de radio r < R suficientemente pequenopara que la bola de radio R, B(a; R), este contenida en U . Entonces,

Γ

g(z) dz =

nΓ(r)

g(z) dz = n

Γ(r)

g(z) dz .

Podemos aplicar el corolario anterior a la bola B(a; R), donde la funcion g esholomorfa, excepto en a. Como la bola es simplemente conexa y lım

z→a(z−a)g(z) =

lımz→a

f (z)−

f (a) = 0,

0 =

Γ(r)

g(z) dz =

Γ(r)

f (z)

z − adz − f (a)

Γ(r)

dz

z − a,

Γ(r)

f (z)

z − adz = i2πn(Γ, a)f (a) . 2

Con este teorema hemos ganado una avance sustancial. Nos permite extenderel teorema de Cauchy de funciones holomorfas a funciones holomorfas con unpolo aislado.

Ejemplo 4.4.1 Integral de g(z) = 1/z a lo largo de la circunferencia, Γ, de

radio unidad centrada en z = 0, orientada positivamente.

La funcion constante f (z) = 1 es entera y el ciclo Γ da una vuelta alrededorde z = 0. Por tanto,

Γ

g(z) =

Γ

f (z)

z= i2πf (0) = i2π .

Si la circunferencia hubiera estado centrada en z = 5, el ciclo Γ no darıaninguna vuelta alrededor de z = 0 y la integral hubiera resultado nula.

Este resultado ya era conocido, pero ahora lo hemos recuperado sin necesidadde efectuar las integrales directamente, ni calcular primitivas.

15



¡

Γ

Figura 4.12: Ejemplo 4.4.2

Ejemplo 4.4.2 Integral de g(z) = 1/(z2− 1) a lo largo de la circunferencia, Γ,

de radio unidad centrada en z = 1, orientada positivamente.

La funcion f (z) = 1/(z +1) es holomorfa salvo en z = −1 y la circunferenciaΓ no rodea este punto, luego es un ciclo homologo a cero en U = C\{−1}. Portanto, por la formula de Cauchy, como Γ da una vuelta alrededor de z = 1,

Γ

g(z) =

Γ

f (z)

z − 1= i2πf (1) = iπ .

Este ejemplo nos da idea de las generalizaciones que tenemos que acometer.Por una parte, si la circunferencia hubiera tenido un radio mayor, de modo queenglobara tambien a z = −1, no podrıamos aplicar la formula de Cauchy, yaque el ciclo no serıa homologo a cero.

¢

¢

Γ

Γ 1Γ 2

∼

Figura 4.13: Ejemplo 4.4.2

Pero esa circunferencia es homologa a dos circunferencias con centros enz = ±1, con lo cual podemos descomponer la integral,

Γ

g(z) dz =

Γ1

g(z) dz +

Γ2

g(z) dz = i2π{f (1) + f (−1)} = 0 ,

denotando por f (z) = 1/(z − 1).Por otra parte, si en vez de tratarse de polos simples hubieran sido multiples,

tampoco hubieramos podido emplear la formula. De esta segunda generalizacionnos ocupamos a continuacion.

16



Como sorprendente resultado intermedio, demostraremos que una funcionholomorfa es derivable tantas veces como se quiera en su dominio de holomorfıa.

Este resultado es exclusivo de la variable compleja y no es compartido con lasfunciones de variable real.

Por tanto, decir que una funcion es de clase C r no tiene sentido en variablecompleja, ya que todas las funciones holomorfas son de clase C ∞.

Teorema 4.4.2 Formula integral de Cauchy generalizada: Sea f una

funcion holomorfa en un abierto conexo U . Entonces f tiene derivadas de cual-

quier orden en U . Sea Γ un ciclo homologo a cero m´ odulo U . Entonces, para

a ∈ U \Γ, Γ

f (z)

(z − a)n+1dz = i2πn(Γ, a)

f n)(a)

n!. (4.14)

Sea z0 ∈ U . Como U es abierto, podemos encontrar una bola cerrada de radio

suficientemente pequeno, B(z0; R), contenida en U . Por la formula de Cauchy,para z ∈ B(z0; R),

f (z) =1

i2π

Γ(R)

f (w)

w − zdw ,

siendo Γ(R) la circunferencia de radio R centrada en z0.Estudiemos la funcion g(z, w) = f (w)/(w − z). Para z ∈ B(z0; R), w ∈ Γ(R)

es continua, ya que el denominador no se anula y f es continua. Por tanto, laintegral esta, como sabıamos, bien definida.

Mas aun, las derivadas de esta funcion respecto a z son todas continuas,

∂g(z, w)

∂z=

f (w)

(w − z)2,

∂ ng(z, w)

∂zn= n!

f (w)

(w − z)n+1,

ya que no se anula nunca el denominador.Por tanto, podemos efectuar la derivacion bajo la integral y concluir

f (z) =1

i2π

Γ(R)

∂

∂z

f (w)

w − z

dw =

1

i2π

Γ(R)

f (w)

(w − z)2dw ,

f n)(z) =1

i2π

Γ(R)

∂ n

∂zn

f (w)

w − z

dw =

n!

i2π

Γ(R)

f (w)

(w − z)n+1dw ,

es decir, existen las derivadas de f de todos los ordenes y son continuas. 2Finalmente, si Γ es un ciclo homologo a cero modulo U para a ∈ U \{Γ},

como Γ solo da vueltas alrededor de a, es homologo a n(Γ, a) circunferenciasΓ(R) de radio suficientemente pequeno para que B(a; R) este contenida en U .Por tanto,

Γ

f (z)(z − a)n+1

dz = n(Γ, a) Γ(R)

f (z)(z − a)n+1

dz = i2πn(Γ, a) f n)(a)n!

,

por el resultado deducido anteriormente. 2

Ejemplo 4.4.3 Integrar f (z) = 1/zn, n > 1, a lo largo de cualquier ciclo.

Si el ciclo no da vueltas alrededor de z = 0, sabemos que la integral es nula.Pero si da vueltas alrededor de z = 0, la integral sera proporcional a la

derivada (n − 1)-esima de la funcion constante g(z) = 1. Por tanto, la integrales nula tambien en este caso.

17



Ejemplo 4.4.4 Integrar f (z) = cos z/z3, n > 1, a lo largo de una circunferen-

cia orientada positivamente con centro en el origen.

En este caso g(z) = cos z es entera, por lo que la circunferencia es hom ologaa cero. Por tanto,

Γ

f (z) dz =

Γ

g(z)

z3dz = i2π

g(0)

2!= −iπ .

4.5. Consecuencias de la formula de Cauchy

La primera consecuencia, aparte de la sorprendente de que las funcionesholomorfas tienen derivadas de todos los ordenes, es que el teorema de Cauchy-Goursat tiene su recıproco. No solo la holomorfıa implica la independencia del

camino, sino que la independencia del camino caracteriza la holomorfıa:

Teorema 4.5.1 Teorema de Morera: Sea f una funci´ on continua en un

abierto conexo U . Si la integral de f sobre todo ciclo homologo a cero moduloU es nula, entonces la funci´ on es holomorfa.

La demostracion es sencilla. Tomamos z ∈ U . Podemos encontrar una bolaB(z; R) de radio suficientemente pequeno para que este contenida en U . Enton-ces, todo ciclo Γ contenido en la bola sera homologo a cero modulo U y, por lahipotesis del teorema, la integral de f a lo largo de Γ sera nula.

Por tanto, las integrales de f son independientes del camino en la bolaB(z; R) y por el teorema 4.2.2, f tiene una primitiva holomorfa F en la bo-la B(z; R).

Como F es holomorfa, sus derivadas tambien lo son. En particular, f = F

es holomorfa en B(z; R). Como este razonamiento se puede realizar en cualquierpunto z ∈ U , resulta que f es holomorfa en U . 2

Γ

Β

¡

Figura 4.14: Teorema de Morera

Corolario 4.5.1 Desigualdades de Cauchy: Sea f una funci´ on holomorfa

en un abierto conexo U . Para toda bola B(a; R) contenida en U se verifica

|f n)(a)| ≤ n!

Rnsup

z∈Γ(a;R)

|f (z)| , (4.15)

siendo Γ(a; R) la circunferencia centrada en a de radio R.

18



Como la bola esta contenida en U , la circunferencia Γ(a; R) es homologa acero modulo U y podemos aplicar la formula de Cauchy generalizada,

Γ(a;R)

f (z)

(z − a)n+1dz = i2π

f n)(a)

n!,

de donde podemos obtener una acotacion,

|f n)(a)| =n!

2π

Γ(a;R)

f (z)

(z − a)n+1dz

≤ n!

2πsup

z∈Γ(a;R)

f (z)

(z − a)n+1

2πR

=n!

Rnsup

z∈Γ(a;R)

|f (z)| . 2

Una consecuencia sorprendente de estas desigualdades es que no puede haber

funciones enteras acotadas no triviales:

Teorema 4.5.2 Teorema de Liouville: Sea f una funcion entera acotada

superiormente. Es decir, existe una constante M > 0 tal que |f (z)| ≤ M para

todo z ∈ C. Entonces f es una funci´ on constante.

Por las desigualdades anteriores, para la derivada primera, para una circun-ferencia de radio R,

|f (a)| ≤ 1

Rsup

z∈Γ(a;R)|f (z)| ≤ M

R.

Como esta desigualdad es cierta para cualquier radio R, ya que la funciones holomorfa, tenemos que

|f (a)

|es menor que cualquier numero positivo, sim-

plemente tomando radios grandes. Por tanto, f (a) = 0 para todo a ∈ C y lafuncion es constante. 2

Otro resultado practicamente inmediato es el teorema fundamental del alge-bra, que afirma que todo polinomio de grado mayor que cero tiene al menos unaraız compleja:

Teorema 4.5.3 Teorema de D’Alembert: Sea p(z) = a0 + · · · + anzn un

polinomio de grado n > 0 con coeficientes complejos. Entonces existe al menos

un valor z0 ∈ C, tal que p(z0) = 0.

Supongamos que no existiese ningun valor z0 tal que p(z0) = 0. Entonces lafuncion racional f (z) = 1/p(z) ser ıa entera.

Por una parte, como lımz→∞

f (z) = 0, para todo valor ε > 0 existira un valor

R tal que, para |z| > R, |f (z)| < ε.Por otra parte, como f es continua, su modulo esta acotado en un compacto.

Por ejemplo, para |z| ≤ R, |f (z)| ≤ M , siendo M > 0.Combinando ambos resultados, concluimos que f es una funcion acotada

superiormente, bien por M , bien por ε.Por tanto, por el teorema de Liouville, si f es entera, tiene que ser constante.

Es decir, si p(z) no tiene ra ıces, es un polinomio de grado cero, en contra de lahipotesis de partida. 2

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