Integracin por sustitucin trigonomtricaExisten integrales que se
pueden resolver de manera inmediata, pero cuando no es posible
completar el diferencial para integrar de manera inmediata y adems
contiene un integrando con expresiones de tipo: , , , donde y otras
como: , ; de inicio deben tratar de resolverse por sustitucin
algebraica, pero so este procedimiento no se puede aplicar,
entonces podemos transformarla en una integral trigonomtrica, donde
la raz cuadrada ser uno de los lados del tringulo rectngulo.
Dependiendo de la posicin de estos elementos cuadrticos se reducir
el elemento faltante del tringulo usando para ello el teorema de
Pitgoras. Teorema de PitgorasHipotenusa Cateto opuesto Cateto
adyacente
A continuacin se presenta la manera como quedara el tringulo.
=
Para este tema tambien sera necesariorecordar las funciones del
triangulo rectangulo, asi como algunas identidades basicas, para
ello te las presentamos acontinuacion:
Sen = csc = cos = Sec = tan = cot =
Pasos para la integracin por sustitucin trigonomtrica:
Identificamos u y a Identificamos el tringulo que vamos a usar y
sustituimos Sustituimos el valor del radical x y derivamos
Sustituimos los valores obtenidos en el paso anterior en la
integral original Integrar, si es necesario utilizar identidades
trigonomtricas Sustituir las funciones trigonomtricas en el
resultadoIdentidades trigonomtricas bsicas.sen = tan =
cos =
tan =
cot =
sec =
csc =
sen = tan cos
cos =
tan = sen 2 = 2sen cos
cos = tan cot
Ejemplos.
Paso 1Identificar u y au==4a==4
Paso 2Identificar el tringulo y sustituir
Paso 3Sustiuir el valor del radical y x
, como entonces:
, como entonces:
Derivando x obtendremos:dx= 4dx= 4Paso 4Sustituir los valores en
la integral. Dividimos los y obtenemos:=Usando la identidad de:sen
= Por lo tanto Sustituyendo la identidad en la integral:
= Realizamos la divisin obtenemos =
Paso 5Integramos. Realizando la multiplicacin se obtiene:
Paso 6Sustituir el , en el resultado Sustituyendo
Realizando la multiplicacin
=
