MATE1214 -Calculo IntegralParcial -2

Duracion: 60 minutos

1. Encuentre la longitud del arco de la curva y = x3/2 comprendidoentre los puntos (1, 1) y (4, 8).

2. Encuentre el area de la superficie de revolucion obtenido al girarun lazo de la curva y2 = 4x, 0 x 2 en torno del eje y.

3. Un cultivo tiene una cantidad inicial N0 de bacterias. Cuando t =1 hora, la cantidad medida de bacterias es 3

2N0. Si la razon de

reproduccion es proporcional a la cantidad de bacterias presentes,calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de losmicroorganismos.

4. Halle la solucion de la ecuacion diferencial:

xdy + (y ex)dx = 0.

1

Calculo IntegralParcial 2

1. Encuentre el centro de masa de la lamina delimitada por y = sin x, y =cos x, x = 0 y x = pi

4.

2. El campo direccional de la ecuacion dPdt

= 4P (1 P8) es

(a)

0

2

4

6

8

10

y(t)

0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

(b)

0

2

4

6

8

10

y(t)

0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

1

2(c)

0

2

4

6

8

10

y(t)

0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t

3. Solucione las ecuaciones diferenciales

(a) dydt

= tey, y(1) = 0

(b) xy + y = y2, y(1) = 1

(c) tdydt 2y = t3, t > 0, y(1) = 0

4. Un tanque contiene 1000 L de agua salada conteniendo 15 kg de sal. Aguapura entra al tanque a una taza de 10 L/min. La solucion se mantienebien mezclada, y es drenada del tanque a la misma taza. Cuanta sal hayen el tanque despues de t minutos?

5. Sea P la cantidad de bacterias en una poblacion. Suponga que para unaconstante k,

dP

dt= kP

en todo momento. Si la poblacion inicial es de 200, y despues de 1.5 horashay 800 bacterias, cuantas hay dentro de 3 horas?

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES - DEP. DE MATEMATICASSegundo Parcial de Calculo Integral

CODIGO: NOMBRE:

SECCION (marque la suya!): MARIANA LAURA LUIS JUAN DAVID

Prob. 1 Prob. 2 Prob. 3 Prob. 4 Prob. 5. Bono NOTA

INSTRUCCIONES: Resuelva las preguntas 1, 2, y 3. Escoja una pregunta adicional (4o 5). Si no indica cual, se calificara la 4. Recuerde que sin desarrollo sus respuestas no valen.Devuelva esta hoja y todas las que haya utilizado. Respete el juramento uniandino: cualquiercaso de fraude sera reportado. Buena suerte!

PREGUNTAS

BONO: (2 puntos): Quiero que me califiquen los problemas 1, 2, 3, y .

1. (12 pts) Resuelva el problema de valores iniciales

(y2 + 1)sec(x) + 2yycsc(x) = 0, y(0) =e 1.

Puede dejar su solucion en forma implcita, para simplificar calculos.

2. Encuentre la solucion general de las ecuaciones siguientes. Asuma x > 0:

(a) (9 pts) xu + u = ln(x).(b) (4 pts) xy + y = ln(x).

3. Encuentre el area de la superficie que resulta al rotar:

(a) (9 pts) La curva y = x2, para 0 x 2, con respecto al eje y.(b) (4 pts) La curva y = x2 6x+ 9, para 3 x 5, con respecto a la recta x = 3.

Le sugerimos que haga el dibujo!

4. En condiciones naturales (es decir, sin enemigos), la poblacion de mosquitos en ciertaregion del Amazonas crece de manera proporcional a la poblacion actual. De hecho, lapoblacion se duplica cada semana.

(a) (8 pts) Suponga que la poblacion inicial de mosquitos era de 200 millones. En-cuentre la funcion P (t) que da la poblacion de mosquitos en el tiempo t.

(b) (4 pts) Ivancito ha ido a acampar al Amazonas y esta desesperado con los mosquitos.El logra matar 1000 moscos por semana con un insecticida. Suponiendo que la con-stante de proporcionalidad k es la misma de la parte (a), plantee y resuelva unaecuacion diferencial cuya solucion da la poblacion de mosquitos en el tiempo t bajoestas nuevas circunstancias.

5. (12 pts) Encuentre la ecuacion de una curva que pase por (4, 12) y que cumpla quepara todo punto P = (x, y) sobre la curva, el area del triangulo formado por:

- la recta tangente a la curva en P ,- el eje x- la recta vertical que pasa por P

es xy. Puede asumir que x > 0, y > 0, y > 0. Ayuda: Vea el dibujo en el tablero.

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES - DEP. DE MATEMATICASSegundo Parcial de Calculo Integral

CODIGO: NOMBRE:

SECCION (marque la suya!): MARIANA LAURA LUIS JUAN DAVID

Prob. 1 Prob. 2 Prob. 3 Prob. 4 Prob. 5. Bono NOTA

INSTRUCCIONES: Resuelva las preguntas 1, 2, y 3. Escoja una pregunta adicional(4 o 5). Si no indica cual, se calificara la 4. Recuerde que sin desarrollo sus respuestas novalen. Sea ordenado. Devuelva esta hoja y todas las que haya utilizado. Respete el juramentouniandino: cualquier caso de fraude sera reportado. Buena suerte!

PREGUNTAS

BONO (2 puntos): Quiero que me califiquen los problemas 1, 2, 3, y .

1. (13 puntos) Resuelva el problema de valores iniciales

(y2 + 2)csc(x) 2yysec(x) = 0, y(pi/2) = e 2.Puede dejar su solucion en forma implcita.

2. Encuentre la solucion general de las ecuaciones siguientes. Asuma x > 0:

(a) (9 pts) xu + u = ln(x).(b) (4 pts) xy + y = ln(x).

3. Encuentre el area de la superficie que resulta al rotar:

(a) (9 pts) La curva y = x2, para 0 x 1, con respecto al eje y.(b) (4 pts) La curva y = x2 4x+ 4, para 2 x 3, con respecto a la recta x = 2.

Le sugerimos que haga el dibujo!

4. En condiciones naturales (es decir, sin enemigos), la poblacion de mosquitos en ciertaregion del Amazonas crece de manera proporcional a la poblacion actual. De hecho, lapoblacion se duplica cada semana.

(a) (8 pts) Suponga que la poblacion inicial de mosquitos era de 100 millones. En-cuentre la funcion P (t) que da la poblacion de mosquitos en el tiempo t.

(b) (4 pts) Ivancito ha ido a acampar al Amazonas y esta desesperado con los mosquitos.El logra matar 3000 moscos por semana con un insecticida. Suponiendo que la con-stante de proporcionalidad k es la misma de la parte (a), plantee y resuelva unaecuacion diferencial cuya solucion da la poblacion de mosquitos en el tiempo t bajoestas nuevas circunstancias.

5. (12 puntos) Encuentre la ecuacion de una curva que pase por (9, 15) y que cumpla quepara todo punto P = (x, y) sobre la curva, el area del triangulo formado por:

- la recta tangente a la curva en P ,- el eje x- la recta vertical que pasa por P

es xy. Puede asumir que x > 0, y > 0, y > 0. Ayuda: Vea el dibujo en el tablero.

Universidad de los Andes Departamento de Matematicas

MATE1214Calculo IntegralTaller (17/09/2007) 1

1. En cuentre el area de la superficie de revolucion que se obtiene al girar la curvay =

6x x2; 1 x 3, alrededor del eje x

2. Un tanque con capacidad para 200 galones, contiene 100 galones de agua pura.En el tiempo t = 0 se introduce una solucion salina que contiene 0.5 libras desal por galon a una razon de 5 galones por minuto, la mezcla se mantiene uni-formemente revolviendola, y sale del tanque a razon de 3 galones por minuto.Determine la cantidad de libras de sal que contiene el tanque en el momentoen el que esta lleno?

3. Considere la ecuacion diferencial autonomady

dx= y2(1 y2). Determine las

soluciones de equilibrio y su estabilidad, realice un diagrama mostrando elcomportamiento de las soluciones.-OpcionalDemostrar que la ecuacion y = q(x) + p(x)y + r(x)y2 se puede convertir enuna lineal de primer orden mediante la sustitucion y = y1(x) + z(x), donde y1es una solucion conocida.

1El juramento del uniandino dice: Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir enactos que pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas academicas, o en cualquier otroacto que perjudique la integridad de mis companeros o de la misma Universidad

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

SEGUNDO PARCIAL. CALCULO INTEGRAL

SEPTIEMBRE 25 DE 2007.

TEMA 1

1. Un depsito contiene 100 galones de salmuera en la que hay disueltas 40 libras de sal. Se desea reducir la concentracin de sal

hasta 0.1 libras por galn, y ello vertiendo en el depsito agua pura a

razn de 5 galones por minuto y permitiendo que la solucin

homogenizada salga a razn de 4 galones por minuto, cunto

tiempo tardar en conseguirse el propsito?

2. Halle el centroide de una lmina homognea que ocupa la regin en el primer cuadrante que est por encima de la recta 1 yx y es

interior al crculo 122 yx .

3. Realice lo indicado:

a) Use la sustitucin 2uxy , para resolver la ecuacin diferencial

2tan

2

x

yx

x

yy

b) Calcule el rea de la superficie del slido generado al girar la

curva 23

xy alrededor del eje y, para 10 x .

TIEMPO: 50 MINUTOS

SUERTE!

Opcional

Si )(x es la solucin del problema de valor inicial

1)0(

)1(

y

xeyeyx xx,

calcule )0( y )0(

Universidad de los Andes Departamento de Matemticas Segundo Parcial Clculo Integral, Septiembre 24 de 2007 1. Halle la longitud de un cable que cuelga entre x = -b y x = b si el cable toma la forma dada por la

ecuacin cosh xy c a a 2. Halle el centro de masa de la regin limitada por y = 1 y y = x2, si la densidad viene dada por d(x) = 1+x2.

3. Resuelva la ecuacin 2

3

dy y x

dx x y

4. Resuelva la ecuacin 355

2

dyy xy

dx .

MATE-1214 PARCIAL II

27 de febrero de 2007

Por favor, conteste a las preguntas explicando claramente su respuesta. No se admite el usode libros, notas, calculadoras y telefonos celulares. Las respuestas sin justificacion no serantenidas en cuenta. Tiempo: 60. Buena suerte!

(1.) Resuelva la siguiente ecuacion diferencial: xy =

x y.

1/4

(2.) Resuelva el siguiente problema de valor inicial donde A R es constante:

dx

dy=

x + 1

Ax 1 ,

y(0)=1.

2/4

(3.) Sea f(x) una solucion de la ecuacion diferencial dydx

=

9x2 1 en el intervalo [4, 5]. Encuentrela longitud de la curva de ecuacion y = f(x) en ese intervalo.

3/4

(4.) El arco de curva de ecuacion

y = 2x entre los puntos de coordenadas (1, 4) y (2, 16) se hacerotar alrededor del eje-y. Determine el area de la superficie obtenida.

4/4