DEDICATORIA

El reconocimiento a nuestro Padre celestial Dios por darnos la vida y derramarnos su bendicin desde lo ms alto de los cielos y por ser nuestro gua en el cumplimiento de nuestro sagrado deber como agentes.

AGRADECIMIENTO

Agradeces a Dios, a nuestros docentes por volcar sus invalorables conocimientos y apoyo fundamental, para desarrollarnos en la vida como profesionales de la Ley Tambin damos gracias a nuestros padres por comprendernos durante sta arduo tarea que culminamos satisfactoriamente para el bienestar de nuestra familia y de nuestra Nacin.

NDICE

Tabla de contenidoINTRODUCCIN4MARCO TERICO61.1INTRODUCCIN: LA INTEGRAL DEFINIDA6INTEGRAL DOBLE DE f SOBRE D7EJERCICIOS71.3 INTEGRALES DOBLES SE APLICA141.3.1 REA POR DOBLE INTEGRACIN151.4 APLICACIONES FSICAS DE LAS INTEGRALES DOBLES161.5 COORDENADAS POLARES211.6 Prctica de Clculo25CONCLUSIN29REFERENCIA BIBLIOGRAFICA29

INTRODUCCIN

En este trabajo se extiende el concepto de la integral de una funcin real de variable real a funciones de varias variables, comenzando en este captulo con integrales de funciones de dos variables; es decir, funciones del tipo f : D R2 R2. La integral doble tiene diversas aplicaciones tanto mecnicas como geomtricas, pero su significado intrnseco es el volumen, as como el significado de una integral de una funcin de variable real es el rea.La idea del clculo integral consiste en calcular, en general, superficies curvilneas, es decir, el rea entre la grfica de una funcin y el eje-x.Estamos de acuerdo con la siguiente notacin: Es la integral definida de la funcin f de [variable] x [los lmites] de A a B. Se pretende que la zona entre la curva y los ejes como en la imagen de arriba S. Ms especficamente, es que esta es una integral de Riemann (por ejemplo, Riemann), hay tambin integrante lneas generales. De la misma manera en que la integral de una funcin positiva de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cmo el rea entre la grfica de la funcin y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una funcin positiva de dos variables, definida en una regin del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la funcin y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una funcin definida en una regin del espacio xyz, el resultado es un hiperbolicen, sin embargo es bueno notar que si el resultado se puede interpretar como el volumen de la regin de integracin. Para integrales de rdenes superiores, el resultado geomtrico corresponde a hipervolmenes de dimensiones cada vez superiores.La manera ms usual de representar una integral mltiple es anidando signos de integracin en el orden inverso al orden de ejecucin (el de ms a la izquierda es el ltimo en ser calculado), seguido de la funcin y los diferenciales en orden de ejecucin. El dominio de integracin se representa sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de ms a la derecha. Es importante destacar que no es posible calcular la funcin primitiva o anti derivada de una funcin de ms de una variable por lo que las integrales mltiples indefinidas no existen.

MARCO TERICO

1.1 INTRODUCCIN: LA INTEGRAL DEFINIDAComo referencia para la definicin de la integral doble, se debe recordar la integral definida de una funcin real de variable real, la cual surge como solucin al problema del clculo de rea bajo una curva.

Sea f una funcin real definida en [a,b] y sea P una particin delintervalo cerrado [a,b], donde { } i i n n P x , x , x , , x , x , , x , x 0 1 2 1 1 = .Una suma de Riemann de la funcin f para la particin P , de notada por P R es un nmero real obtenido como:

)RP = f(x i * xi i-1Donde: n es el nmero de su intervalos de la particin P ,* [ ]i i 1 i x x ,x y i x es la longitud del subntralo genrico(Tambin llamado su intervalo i-simo).En la figura 1 se aprecia el significado geomtrico de la Suma deRiemann para el caso de una funcin f positiva en el intervalo cerrado [a,b].

1.2 INTEGRAL DOBLE SOBRE RECTNGULOS

Sea f :2 una funcin definida sobre la regin rectangular cerrada D , dada por: D = [a,b][c,d ] = {( x, y)2 a x b c y d} (I.3)Sea P una particin de la regin D, la cual se logra con el producto cartesiano de las particiones x P y y P de los intervalos [a,b] y [c, d], respectivamente, como se muestra a continuacin: P x = { , x , x , , x , x , ..., xn -1, x n}

entonces P = Px PySi la particin x P tiene n +1 elementos y n subintervalos [ ] i i x , x 1 de longitud 1 = i i i x x x , y la particin y P tiene m+1 elementos y m subintervalos [ ] j j y , y 1 de longitud 1 = j j j y y y , entonces la regin rectangular D queda dividida por la particin P en n m rectngulos denominados ij D , tal como se muestra en la figura.

INTEGRAL DOBLE DE f SOBRE DDEFINICIN: Integral doble de f sobre DSea f :R2 R una funcin real definida sobre un rectnguloD del plano. La integral doble de f sobre D, denotada porD F( x, y) dA , se define como:

i-l j-lP!O f (x, y )dA = Lim f (xi* , yi*) A

EJERCICIOS1. a. b. c. . 2. Cambie a coordenadas rectangulares y luego evale:3. Evaluar siendo R la regin del plano xy en el primer cuadrante acotada por , , , .4. Evaluar siendo R la regin del plano xy acotada por , , ,. a. .b. c. d. e. f. 5. Describir y graficar el slido cuyo volumen esta dado por la siguiente integral. a. Rescribir la integral doble iterada en el orden dxdy.b. Evaluar 6. Dada la integral doble iterada EJERCICIOSHallar la masa de la lmina bidimensional que adopta la forma del conjunto del plano xy en el primer cuadrante acotado por , , , y , si la densidad en un punto de la lmina es .1. a. Rescribir la integral doble iterada en el orden dydx.b. Evaluar . 2. Dada la integral doble iterada 3. Hallar la masa de la lmina bidimensional que adopta la forma del conjunto del plano xy en el primer cuadrante acotado por, , , y , si la densidad en un punto de la lmina es . a. Rescribir la integral doble iterada en el orden dydx.b. Evaluar . 4. Dada la integral doble iterada a. Rescribir la integral doble iterada en el orden dxdy.b. Evaluar . 5. Dada la integral doble iterada 6. Sea R la regin del plano xy interior a y exterior a , entre las rectas . Evaluar .7. Calcular el volumen del slido que est bajo la superficie y sobre la regin plana R acotada por el paralelogramo de vrtices (4,0), (6,6), (8,4) y (2,2). R es la regin comprendida entre las grficas de .8. Usar el cambio de variables propuesto para evaluar la integral doble , . .Evaluar sta suma expresndola previamente en una sola integral doble.9. Representar grficamente la regin de integracin sealada en la suma de las integrales dobles siguientes: .a. b. Proyectar el slido en el plano xz.c. Plantear la integral triple iterada que permite evaluar el volumen del slido en el orden dydzdx.10. Graficar el slido cuyo volumen es calculado mediante la integral doble11. Sea R la regin en el primer cuadrante acotada por . Evaluar .12. Calcular la masa de la lmina que adopta la forma de la regin del plano xy acotada por las curvas , si la densidad de la lmina en un punto de sta es .13. Sea R la regin en el primer cuadrante acotada por . Evaluar .14. Calcular la masa de la lmina que adopta la forma de la regin del plano xy acotada por las curvas , en el primer cuadrante, si la densidad de la lmina en un punto de sta es . a. , donde R es la regin del plano xy entre las circunferencias , y , y las rectas , y .b. , donde S es la regin del plano xy acotada por la circunferencia , y la parbola . 15. Evaluar las siguientes integrales dobles: a. Represente grficamente la regin S.b. Halle un cambio de variables que transforme geomtricamente la regin S en una regin rectangular del plano uvc. Halle el determinante Jacobiano .d. Evale . 16. S es la regin del plano xy acotada por las curvas , , , y .17. Evaluar , donde R est limitada por las rectas .18. Evaluar , R est limitada por

Vamos a ver ahora como se utiliza el mtodo de doble integracin para calcular el rea o el centro de gravedad de una regin A, limitada superiormente por la curva y=f2(x), inferiormente de y=f1(x), a la izquierda por la recta x=a y a la derecha por x=b. pero es de considerar aplicaciones concretas, vamos a procesar el concepto de integral doble de una funcin F(x,y) de dos variables x e y. Las aplicaciones fsicas resultan inmediatamente eligiendo expresiones particulares para F(x,y); esto es, F(x,y)= 1, oF(x,y)= y,Cuando se trate de calcular el rea,o el momento del rea respecto al eje x.La notacin"A" F(x, y)dA (1)Ahora para designar la integral doble, extendida a la regin A, de la funcin F(x,y). Imaginmonos la regin A cubierta por una red de rectas paralelas a los ejes x e y. Estas rectas dividen al plano en pequeas reas rectangulares,A=xy=yx (2)algunas de las cuales yacen por completo en la regin A, otra son exteriores y otras, finalmente, quedan atravesadas por su contorno. No tendremos pendientes las que estn de A y podemos tomar o no en consideracin aquellas que se hayan parcialmente dentro. Concretamente, fijemos la atencin en A interiores al contorno que numeramos en cierto orden A1, A2.An (3)sea (xk,yk) un punto cualquiera de Ak y formemos la suma

(4)Si la funcin F(x, y) es continua en todo punto de A y si las curvas toman su contorno son continuas y tiene longitud total finita, cuando se hace ms tupida, de forma que x y y tienden a cero (podemos poner y= 2x 0), el lmite

(5)Existe, y se expresa por la notacin utilizada en la ecuacin (1)

La integral doble (1) se puede interpretar como un volumen, al menos en el caso de que F(x, y) sea positiva. Supongamos, por ejemplo, que la regin de la base de un slido F2 cuya altura es el punto (x, y) esta dado en z= F(x, y)El trminoF(xk, yk) AkRepresenta una aproximacin razonable del volumen de aquella porcin que tiene por base Ak. La suma Sn de la ecuacin (2) nos da as una aproximacin del volumen total del slido, del lmite (3) proporciona un volumen exacto.La utilidad de esta concepto de integral doble seria solo aparente si tuvisemos que hallar el lmite de estas sumas, (3) para dar respuesta numrica a los diversos problemas particulares que se planteen. Pero afortunadamente, existen mtodos para calcular la integral doble mediante integrales sucesivas. Esto es, en la prctica, integral doble se reduce al clculo o otra de las siguientes integrales iteradas:"A" F(x,y) dx dy o "A" F(x,y) dy dx

1.3 INTEGRALES DOBLES SE APLICA

Que vamos a explicar a continuacin. Antes de ello observemos que existen un mtodo (que no demostraremos), el cual asegura que las integrales iteradas no son iguales entre s y a la integral doble (1), con tal que la funcin sea continua en A y sobre su contorno, si este no es demasiado completa, las condiciones necesarias para ella se cumplen para los ejemplos.Vamos a explicar ahora el significado de la notacin"A" F(x,y) dy dxEl resultado de la integral " F(x,y) dy respecto a y, (Manteniendo fijo x) y calcularla en funcin resultante entre los lmites y=f1(x) e y=f2(x);para integrar el resultado de a) respecto a x entre los lmites x=a y x=b.Partimos de la integral interior y realizamos integraciones sucesivas como sigue:

Considerando x como constante se hace la integracin respecta a y.Podemos adquirir ideas del significado geomtrico de la ecuacin (7) de manera siguiente. Imaginemos un slido cuya base sea la regin A del plano siendoz= F(x, y) su altura en el punto (x, y) de A. [Supondremos a simplificar, que F(x, y) es positiva.] Imaginemos ahora rebanadas de slido determinadas por planos perpendiculares al eje x en x y x+dx. Aproximadamente el volumen de cada rebanada mediante la diferencial del volumen.dV=A(x)dx,Siendo A(x) el rea de la seccin del slido por el plano trazado por x. Esta viene dada por la f2 por la integral

donde x se considera constante, dependiendo de los lmites de integracin del rea plana considerada. Esto es, los lmites y son aquellas funciones de x que representan las curvas de contornos de A. Finalmente, se ve que la integral iterada de la ecuacin (7) coincide con

1.3.1 REA POR DOBLE INTEGRACINLa aplicacin ms simple de las integrales dobles es para hallar el rea de una regin del plano xy. Esta rea esta dada por una cualquiera de las integrales

Los lmites de integracin apropiados. Ya hemos visto como se hace esto en la figura 1, cuando se efectan las integraciones primero respecto a y, y despus respecto a x; es decir

Es constante, si el rea esta limitada a la izquierda por la curva x=g1(y), a la derecha por la curva x=g2(y), inferiormente por la recta y=c y superiormente por xy=d, (figura 3), Es preferible integrar primero respecto a x [que puede ir desde g1(y) a g2(y)] y despus respecto a y; es decir como

Para interpretar la primera integracin respecto a x, como suma de todos los elementosdA= dxdysituados en una faja horizontal que se extiende desde la curva x=g1(y) a izquierda hasta la curva x=g2(y) a la derecha. El clculo de esta integral es

Esta ltima integral poda haberse escrito de primera intencin, puesto que expresa el rea como lmite de la suma de fajas horizontales.1.4 APLICACIONES FSICAS DE LAS INTEGRALES DOBLESSi tenemos una masa distribuida de modo continua sobre una regin A del plano xy, un elemento dm de masa serdm= (x, y)dydx= (x, y)=dA (11)en donde = (x, y) es la densidad en el punto (x, y) de A (figura 6), en tal supuesto, cabe utilizar una integral doble para calculara) la masaM="" (x, y)dA; (12) b) el primer momento de la masa respecto al eje xMx="" y (x, y)dA (13a)c) su primer momento respecto al eje y,My="" x(x, y)dA (13b)de 12 y 13 se deduce las coordenadas del centro de masa

Otros momentos de importancia en las aplicaciones a la mecnica son los momentos de inercia de la masa. estos son los segundos momentos que se obtienen utilizando los cuadrados en lugar de las primeras potencias de las distancias o brazos de palanca x y y. As el momento de inercia respecto al eje x representado por Ix se define por

y el momento de inercia respecto al eje y es

Tiene tambin inters el momento de inercia polar respecto al origen dado por

Esta ultima formula r2=x2+y2 es el cuadrado de la distancian desde el origen al punto representativo (x, y)En todas estas integrales deben ponerse los mismos lmites de integracin que si se tratara solo de calcular el rea de A.Observacin 1.- Cuando una partcula de masa m gira alrededor de un eje, y describiendo una circunferencia de radio r con velocidad angular o velocidad lineal v= r, su energa cintica esmv=mv.Si un sistema de partculas de masa m1, m2,, mn gira alrededor de su eje con la misma velocidad angular, siendo r1,r2,,rn sus distancias al eje de giro, la energa cintica del sistema es

Donde

Es el momento de inercia del sistema respecto al eje en cuestin que depende de los valores mk de las masas y de sus distancias rk.Cuando una masa m se mueve sobre una recta con velocidad v como su energa cintica es mv, y se precisa una cantidad de trabajo para detener la partcula. Esta forma anloga, si un sistema de masas efecta un movimiento de rotacin como en el caso de un volante, la energa cintica de que esta animado esto

y se necesita esta misma cantidad de trabajo para llevar al reposo el sistema giratorio. Vemos que I desempea en este caso el mismo papel que ejerce m volante en el movimiento rectilneo. En cierto sentido el momento de inercia de un volante el lo que se opone a iniciar o detener su movimiento de rotacin de igual modo que la masa de un automvil podra consumir trabajo para iniciar o detener su movimiento.Si en lugar de un sistema discreto de partculas, como en las ecuaciones 17, 18, se tiene una distribucin continua de masa en un alambre, una placa delgada o un slido, hay que dividir la masa que total en elementos de masa m tales que si r representa la distancia de cierto punto de m a un eje, todos los dems puntos del elemento m se hallan a distancia r del eje donde 0 cuando tienden a cero la mxima dimensin del m. El momento de inercia de la mas total respecto al eje en cuestin se define por

As, por ejemplo, el momento polar de inercia dado por la ecuacin de un eje z trazado por el punto 0 perpendicular al plano xy.Adems de su importancia en relacin con la energa cintica de los cuerpos en rotacin, el momento de inercia desempea un papel decisivo en la teora de la flexin de vigas cargadas, cuyo coeficiente de rigidez viene dado por EI, siendo E el modulo de Young, e I, el momento de inercia de una seccin recta de la viga respecto a un eje horizontal que pasa por su centro de gravedad. Cuanto mayor sea I, tanto mejor resistir la viga a la flexin. Este hecho se utiliza en las vigas de perfil en I con cuyas alas superior e inferior estn a distancias relativamente grandes del centro, y proporcionan, por tanto, mayores valores de r2 en la ecuacin 20, contribuyendo as a incrementar el momento de inercia respecto al que sera si toda la masa se hallase distribuida uniformemente; por ejemplo, en una viga de de perfil cuadrado.Observacin 2.- Los momentos son tambin importantes en estadstica. El primer momento se utiliza en el clculo de la media (es decir, valor promedio) de un conjunto de datos. El segundo momento (que corresponde al momento de inercia) se usa en el clculo de varianza () o de la desviacin tpica ().Los momentos tercero y cuarto tambin se Emplean en relacin con ciertas magnitudes estadsticas denominadas torcimiento o sesgo y curtosis y el momento de t-simo se define por

En esta expresin; rk recorre todos los valores de la variable estadstica en consideracin por ejemplo: rk puede representar altura en centmetro o peso en decagramos, etc. Mientras que mk Es el nmero de individuos de todo el grupo cuya medida es igual a rk. Una tabla de valores mk en funcin de rk constituye una distribucin de frecuencias, de la Mt es el t-simo momento. La medida r se define por

Donde M1 es el primer momento, y m="mk, el nmero total de individuos de la poblacin considerada. La varianza 2 depende del segundo momento respecto a la media, y se define por

donde es la llamada desviacin tpica. Tanto la varianza como la desviacin tpica miden la forma en que los valores de r tienden a agruparse en torno a r (pequeos valores de ) o a diseminarse (grandes valores de ). Mediante transformaciones algebraicas en (22), la varianza se puede escribir tambin as

Hay una diferencia esencial entre el significado atribuido a y en el caso de la frmula

Que expresa el rea en la figura 5 bajo la curva y=f(x) desde x=a a x=b , y el que se le da en las integrales dobles de las ecuaciones 12 a 13. En 23 se debe remplazar y por f(x) deducido de la ecuacin de la curva, antes de integrar, puesto que y significa la ordenada del punto (x, y) sobre la curva y=f(x). Pero en el caso de las integrales dobles 12 a 13 no hay que reemplazar por una funcin de x antes de integrar, porque el punto (x, y) es, en general, un punto del elemento dA=dydx y x e y son variables independientes. Las ecuaciones de las curvas que constituyen la frontera la regin A intervienen solo en los lmites de integracin. As:1.- En el caso de integrales simples tales como

No se integra respecto a y, sino que se sustituye y por su valor en funcin de x antes de realizar la integracin.2.- En el caso de integrales dobles, tales como

Hay que integrar respecto a y; por consiguiente no se debe sustituir y antes de efectuar la integracin. Las ecuaciones y=f1(x) e y=f2(x) de las curva de contorno de A se utilizan para los lmites de integracin y solo se debern sustituir despus de efectuar la integracin.1.5 COORDENADAS POLARESConsideremos la regin A determinada por las semirrectas =, = y las curvas r=f1(), r=f2(), como en la figura 6. Supongamos que A queda incluida por completo en el sectorR: 0 " r " a, " " Sean m y n dos enteros positivos y hagamos

Cubrimos ahora R por una red de arcos circulares de centro 0 y radios r, 2r,.mr y trazamos por 0 los rayos =, +, +2,, +n= con ello, R queda dividido en tres tipos de subregiones: a) exteriores de A; b) interiores a A, y c) atravesadas por el contorno de A. Prescindimos que todas las del primer tipo e incluimos todas las del segundo. En cuanto a las del tercero sugerimos un criterio eclctico, incluyendo algunas, todas o ninguna. Aquellas que hayan de incluirse se numeraran en cierto orden por 1, 2, 3,,N, eligiendo en cada una de ellas un punto (rk, k). Se multiplica el valor de F (funcin dada, definida sobre la regin A) en cada punto (rk, k) por el rea de la correspondiente subregin, y se suman los productos as obtenidos; es decir, consideramos la suma

(26)

(27)Segn vamos a ver. El radio del arco interior que limita Ak es rk-r; el del exterior, rk-r; por consiguiente

Que despus de efectuar operaciones se reduce a 27.Imaginemos reiterado este proceso con retculos cada vez ms tupidos, y consideremos el lmite de las sumas cuando tienden a 0 las diagonales de todas las subregiones. Si la funcin F es contina y la regin A esta limitada por curvas continuas rectificables, las sumas tiene como lmite la integral doble de F extendida a A:

(28)Este lmite puede calcularse utilizando la siguiente integral iterada:

(29)Surge ahora la pregunta de si es posible utilizar primero coordenadas cartesianas para escribir la integral doble y transformarla despus a coordenadas polares. La respuesta es afirmativa en trminos generales.X=f(u, v), y=g(u, v) (30)Se puede interpretar como la representacin de una regin A del plano xy mediante otra regin G del plano uv. Bajo determinadas condiciones respecto a las funciones f y g, la siguiente ecuacin constituye la frmula para el pase de las coordenadas xy a las coordenadas uv en una integral doble:

(31)Donde el smbolo (x, y)/(u, v) designa el jacobiano que se define por el siguiente determinante

En el caso de coordenadas polares se tiene:x=r cos, y=r sen y

Por consiguiente, la ecuacin 31 se adopta la forma:" " (x, y) dx dy = " " (cos + sen ) r dr d (32)Que corresponde a la 29El rea total de una regin esta dad por una cualquiera de las dos integrales doblesA=" " dx dy= " " r dr d (33)Con lmites apropiados. Esto, esencialmente significa que la regin dada se puede dividir en porciones de reaDAxy= dx dy (34)Mediante rectas paralelas a los ejes x e y o que tambin puede dividirse en porciones de reasDAr=r dr d (35)Por medio de semirrectas trazadas por el origen y arcos circulares, y que el rea totales obtiene sumando todos los elementos de uno cualquiera de esos tipos. Pero obsrvese que las reas elementales de ambos tipos no son equivalentes. En efecto, mediante un clculo elemental que se ve queDAxy=dx dy= d(r cos )d(r sen) " r dr d = dAr1.6 Prctica de ClculoFuncin, la integral de una funcin de dos variables sobre una regin representa el volumen del espacio que queda entre la grfica (tridimensional) de la funcin y el plano sobre el cual la dibujamos. La integral en una cierta regin de una funcin de dos variables se llama integral doble. Mathematica calcula integrales dobles con el mismo comando con el que calcula integrales de funciones de una variable, modificando los argumentos para especificar que queremos integrar en las dos variables. La nica dificultad est en la forma de especificar en qu regin queremos integrar, ya que ahora no se trata de un intervalo sino de una parte del plano. Cmo definir una regin del planoEsta seccin no habla especficamente de Mathematica, sino de cmo delimitar una regin del plano de forma precisa.Luego ser necesario usar esto para especificar en el ordenador en qu regin deseamos integrar."A es la regin que contiene todos los puntos (x,y) tales quea < x < bg1(x) < y < g2(x)"Donde g1 y g2 son funciones adecuadas. Tambin puede cambiarse x por y y escribir la regin como:"A es la regin que contiene todos los puntos (x,y) tales quec < y < dh1(y) < x < h2(y)"Con funciones h1, h2 (usaremos la forma que resulte ms cmoda en cada caso). Estas formas de definir una regin sontiles para calcular la integral de una funcin sobre ellas. Es la misma forma de describir regiones que se usa en teoraPara calcular integrales a mano. Luego veremos algunos ejemplos de esto. Cmo usar NIntegrate para calcular integrales doblesSi tenemos una funcin de dos variables f y una regin dada como se ha explicado arriba (en el primer caso), podemosCalcular la integral de f sobre esa regin con la ordenNIntegrate [f[x,y], {x, a, b}, {y, g1[x], g2[x]}]Si la regin est dada de la segunda forma el comando es casi igual:NIntegrate [f[x,y], {y, c, d}, {x, h1[y], h2[y]}]Integral_doble.nb 1Para calcular una integral doble con Mathematica debemos:1 Definir la regin sobre la que queremos integrar de una de las formas anteriores.2 Usar el comando NIntegrate adecuado. EjemplosDefinamos una funcin para usar en los ejemplos siguientes:In[1]:= f@x_, y_D := x^2 - x * y. La integral sobre un rectnguloEs sencillo especificar un rectngulo: es el conjunto de puntos (x,y) con x entre dos valores dados e y entre otros dos valores dados. En este caso, definir la regin es muy fcil: por ejemplo, para calcular la integral de f en el rectngulo dado por 2 < x < 5, 2 < y < 3 no tenemos ms que escribir: In[2]:= NIntegrate@f@x, yD, 8x, -2, 5