INTEGRAL_DOBLE2011.pdf

1

INTEGRAL DOBLE

Sea la funcin z =f(x, y) cuyo dominio es la regin R esa regin R se subdivide en varias partes

donde nRRRRR ,.......,,, 4321

Paso 1. el dominio de la funcin z = f(x, y) denominado R se subdivide o se particiona

En cada una de las particiones tiene un punto p de esas particiones hallamos la altura.

Determinar la suma de los volmenes de cada uno de los volmenes que es la suma de Riman.

A esa suma de Riman se aplica el limite cuando la norma de subdivisin tiende a cero con

rectas paralelas al eje x bxa y rectas paralelas al eje y

Paso 2. cada uno de los rectngulos subdivididos tiene su propia rea que se calcula por:

iin AyAxR

AyAxRAyAxRAyAxR

=

===

.

.

.333

222

111

2

Paso 3. Elegimos un punto arbitrario de los rectngulos y reemplazamos en la funcin

( )yxfz ,= y obtendremos la altura de los prismas rectangulares o paraleleppedos de la siguiente manera:

( ) ( ) ( ) ( )ii yxfyxfyxfyxf ,......,,,,, 332211

Paso 4 determinamos el volumen de cada uno de los prismas rectangulares que se muestra en

la fig. 3 el rea por la altura sea hAV = y obtenemos la suma de Rieman de volmenes.

( ) ( ) ( ) ( )

( )= =

=++++n

i

n

jiiii

iii

AyAxyxf

RyxfRyxfRyxfRyxf

1 1

333222111

,

,......,,,

Paso 5. Finalmente se aplica el limite a la suma de Rieman de volmenes cuando la norma de

subdivisin tiende a cero si el limite existe, existe la integral doble de la funcin f(x, y) en la

regin acotada R que es el dominio de la funcin (integral iterada).

La integral doble de una funcin f(x, y) cuyo dominio acotado es la regin R se define como el

limite de la suma de Rieman cuando la norma de subdivisin tiende a cero si el limite existe,

existe la integral doble.

( ) ( ) ( ) === = R R

ji

n

i

n

jijijo

yx

dxdyyxfdAyxfAxAxyxfLim,

,,,1 10

3

Propiedades de la Integral Doble

Sean las superficies z = f(x, y) y z = g(x, y) continuas en su dominio que est

proyectado en el Plano xy cuya regin acotada es D y adems sea n, k, c, etc,

constantes.

1. =DD

dAyxfkdAyxkf ),(),(

2. [ ] =D DD

dAyxgdAyxfdAyxgyxf ),(),(),(),(

3. Si D = D1 U D2 donde D1 y D2 son regiones que no se trasladan excepto para la

frontera de cada regin entonces la propiedad ser.

4. Si la funcin f(x, y) = 1 constante sobre la regin D que es su dominio entonces al

calcular la integral se obtiene el +rea de la regin D.

=D

DAdA )(1

5. Si f(x, y) es mayor que g(x, y) entonces la integral que pertenece a la regin D que

est compartida en D1 y D2 ser.

D1 D2

D D

y

x

4

>12

),(),(DD

dAyxgdAyxkf

6. Si la funcin f(x, y) cuyo dominio es la regin D est acotada por la superficie m y M

la integral ser.

)(),()( DMdAyxfDmD

Si : m< f (x, y ) M

D1 D2

5

Interpretacin Geomtrica de la Integral Doble

Geomtricamente la integral doble representa el clculo de volumen de una

superficie

z = f (x, y) cuyo dominio es la regin D que est en el plano xy el volumen se calcula

Volumen = rea por altura

Donde la funcin f(x, y) en el punto es la altura h y el rea es la regin D en el plano

xy

V = Ah dA = dxdy

==DD

s dxdyyxfdAyxfV ),(),()(

D

6

Integral Iterada.

Denominada tambin integral reiterada supongamos que la funcin f(x, y) es

integrable es la regin D que est acotada por.

a x b ; c y d

Entonces la integral se puede integrar primero respecto de x y luego respecto de y o

viceversa entonces esta integral es posible expresar de la siguiente manera:

a x b ; c y d

:),(=D

dAyxfI

=dycbxa

D

1. { } == dcbaba dcbadcD

dyyxfdxdydxyxfdxdyyxfdAyxf ),(),(),(:),(

Significa que se integra primero respecto de y desde c hasta d luego se integra el

resultado respecto de x desde a hasta b.

2. { } == badcdc badcbaD

dxyxfdydxyxfdxdyyxfdAyxf ),(),(),(:),(

Significa que primero es integra respecto la variable x desde a hasta b luego se

integra respecto ala variable y desde c hasta d.

Nota.-

La integral iterada consiste en resolver primeramente la integral hasta transformar

en una integral definida de una variable finalmente se resuelve aplicando los mtodos

de integracin estudiados en avanzados en clculo I y Teorema Fundamental de

Clculo.

7

Teorema de Fubini

Este teorema es demostrado por el matemtico Italiano Guido Fubini naci en 1978

y falleci en 1943 quien demostr en forma general este teorema de la integral

iterada pero anteriormente en el siglo pasado ya haba sido estudiado por el

matemtico Francs Agustn Cuachy.

Este teorema dice si f(x, y) es una funcin continua es la regin D que es el dominio

formado por el rectngulo. { }aycbxayxD = ;/),( Entonces se demuestra

que:

Ejemplo: Calcular las siguientes integrales iteradas:

a) dxyxydydxxydydxxa

223

0

22

1

3

0

22

1

3

0 2

==

=

+

3

0

2223

0

2

23

21

22 dxxdxx

2

2732

323

3

0

33

0

2 =

=

xdxx

b) =

== dx

xydxdyxyydydxx a3

0

32

1

3

0

2

1

3

0

22

1 3

xyydydyy =

===

2

1

22

1

2

1 2999

227

21

229

2

1

22

=

=

8

Clculo De Integrales Dobles

Para calcular la integral doble se debe considerar primeramente la grfica de la regin

D que no solamente es regular puede ser irregular para el clculo de la integral

necesariamente se debe conocer el grfico de la regin D Si la regin D est dada por

un rectngulo de la siguiente manera:

Caso I . Si la regin D est formada por rectas verticales y horizontales el orden de

integracin es indistinto.

{ }dycbxayxD = ;/),(

=d

c

b

aD

dxdyyxfdAyxf ),(),(

9

2. Si la regin D est dada de forma { })()(;/),( xfyxgbxayxD =

=)(

)(),(),(

xf

xg

b

aD

dxdyyxfdAyxf

10

3. Si la regin D tiene la forma: { })()(;/),( yfxygdycyxD =

=

)(

)(),(),(

xf

yg

d

cD

dxdyyxfdAyxf

Y=d

Y=c

D

11

4. Si la regin D est formada por las curvas y = g(x), y = f(x), y = h(x) entonces para

calcular la integral es posible dividir la regin D en dos regiones D1 D2 entonces el

clculo ser la suma de las integrales.

{ } { })()(;/),(;)()(;/),( 21 xfyxhbxcyxDxgyxhbxayxD ==

+=)(

)(

)(

)(),(),(),(

xf

xh

b

c

xg

xh

c

aDdydxyxfdydxyxfdAyxf

12

CALCULO DE INTEGRAL DOBLE

TIPO I

Dada la integral doble y la regin D formada por funciones en plano calcular la integral

Calcular la integral si la regin D esta limitada por las lneas

;

Primer paso : Graficar la regin D en el plano

Segundo paso: Definir el orden de integracin

Variables en y : ;

Constantes en x : Puntos de interseccin

D

13

Tercer paso : escribir la regin D

Cuarto Paso : Plantear la integral y calcular

TIPO II Cambio De Orden en la Integral Doble

Una integral doble se puede plantear de dos formas diferentes dependiendo de la

complejidad o de la facilidad para calcular la integral doble en funcin de la regin D.

Ejemplo:

Dada la integral doble

Cambiar el orden de integracin

Primer paso : Identificar la Regin D

==

==

3;97;3

1 yx

y

xxD

==

==

xyx

y

xxD

10;99;7

2

14

Segundo paso: Graficar la regin D en el plano xy

Tercer paso : Escribir la nueva regin cambiando orden de integracion D

Constante dx Constantes dy (Puntos de interseccin en y )

Antes: Variable dy ahora Variable dx ;

Puntos de interseccin en y

Cuarto paso : Escribir la nueva Integral

=

15

TIPO III Integral Doble en coordenadas polares

Una integral doble para transformar de coordenadas rectangulares , a coordenadas polares se utiliza las siguientes relaciones

Para convertir de coordenadas rectangulares a polares

cosrx = rseny = Para convertir de coordenadas rectangulares polares a rectangulares

222 yxr += xy

=tan

En la integral doble la regin D y el integrando se transforma a coordenadas polares

0

(x,y) (r,)

y = r sen

x = r cos

r

y

x

16

Si la Regin D esta limitada por y y las curvas y

la regin D en coordenadas polares ser:

La Integral doble en coordenadas polares

Ejemplo Calcular la integral donde la regin D esta limitada por las

circunferencia y

D

D

17

Primer paso : Graficar la regin D en coordenadas polares

Segundo paso: Escribir la integral doble en coordenadas polares

Tercer paso : calcular la integral doble

18

Calculo de rea de figuras planas

El rea de la figura plana limitada por la regio D se define con la integral doble

Ejemplo

Hallar el rea limitado por las curvas 342 += xxy y 1= yx

1. Graficar las curvas en el plano.

1= yx

342 += xxy

19

2. Definicin el diferencial de rea y el orden de integracin.

=+=

1342

xyxxydx

2. Determinar los puntos de interseccin entre curvas

045

1342

2

=+

=+

xxxxx

( )( )

14

014

==

=

xx

xx

4.- Graficar el rea

3. Plantear la integral doble y calcular el rea

342 += xxy

1= xy

20

Clculo del rea de una Superficie

El calculo del rea de una superficie se realiza con integrales doble dependiendo en

que plano se proyecta la regin D se utiliza las derivadas parciales para determinar el

integrando en algunas cosas es conveniente utilizar coordenadas polares.

1. Si una superficie est definida por la ecuacin z = f (x, y) entonces la regin D

que es dominio de la superficie se encuentra en el plano xy y el rea ser:

dAoyoz

oxozA

D

+

+=

22

1

2.Si la superficie est dada por la ecuacin x = f (y, z) entonces la regin D est

proyectada en el plano yz entonces el rea ser:

dA

oyox

ozoxA

D

+

+=

22

1

3.Si la superficie est dada por la ecuacin y = f (x, z) entonces la regin D est

proyectada en el plano xz entonces el rea ser:

dA

ozoy

oxoyA

D

+

+=

22

1

21

Ejemplo:

Calcular el rea de la superficie x2 = 2 z cilindro cortada por los planos

x 2 y =0 y = 2 x ; X = 2 2

Primer Paso. Definir la superficie y los planos .

erficiexZ sup2

2

=

=

=

=

22

22

x

xy

xy

Planos

Segundo Paso.- Identificar la regin D y graficar en el plano

Y=2x

Y=x/2

D

22

Tercer Paso.- determinara las derivadas parciales de la superficie.

0

2

2

=

=

=

yz

xxz

xz

Cuarto Paso.- Definir el orden de integracin y plantear la integral doble para calcular el rea.

dxteCons

xy

xydyVariable

:tan2

2:

=

=

xyxx

D2

2

220:

( ) ( ) 130122

0

2

2

22 =++=x

x

dydxxdA

Ejemplo 2 Calcular el rea de la parte de la esfera 4222 =++ zyx comprendida dentro del cilindro yyx 222 =+ en el primer octante. Respuesta

23

Centro de Masa

Momentos de inercia

Ri*

yi*

xi*

R

24

IINNTTEEGGRRAALL TTRRIIPPLLEE

DEFINICIN:

La integral triple se define con el mismo procedimiento de la integral doble. Sea una funcin cuyo volumen del solido formado es B donde esta definida la integral triple.

La integral triple de la funcin se define como el limite del a suma de Reeman de particiones de volumen, cuando la norma de particin tiende a cero, si existe el limite existe la integral triple.

=

SUMATORIA DE VOLMENES:

Sea la funcin cuyo solido esta formado por la regin B.

1. El volumen B se subdivide en volmenes no necesariamente iguales.

25

2. Dentro de cada volumen subdividido que son pequeos volmenes o cajitas, se elije puntos arbitrarios y se reemplaza en la funcin .

3. Se determina el volumen de cada una de las particiones (cajitas) de la siguiente

manera:

4. Se realiza la sumatoria de Reeman, que es la suma de volmenes por la funcin en el punto.

5. Se aplica el lmite a la suma de Reeman, cuando la norma de particin de volmenes tiende a cero, si el lmite existe, existe la integral triple, se define como integral triple de la funcin sobre la regin D como el lmite de la suma de Reeman cuando la norma de particin tiende a cero.

=

PROPIEDADES:

Sean las funciones y definidas en una regin D.

1.

2.

3. Si

26

CALCULO DE LA INTEGRAL TRIPLE:

Consiste en aplicar las mismas propiedades que en la integral triple.

Existe 6 formas posibles para escribir y calcular la integral triple de acuerdo a la altura que tenga el volumen B y donde este proyectada la regin D.

27

1. Si la altura del solido esta en z, entonces la regin D se encuentra en el plano (x,y), la integral ser:

1)

2)

2. Si el volumen del solido esta en y, entonces la regin D esta en el plano (x,z).

1)

2)

28

3. Si la altura del solido esta en X, entonces la regin D esta en (y,z).

1)

2)

Calcular la INTEGRAL TRIPLE del volumen del solido:

1 Graficar el volumen del solido:

2 Identificar la altura, graficar y escribir la regin D y B:

Altura: z

29

dy: VARIABLES

dx: CONSTANTES

3 Plantear la integral triple y calcular el volumen:

Integrando respecto dz tenemos:

Integrando respecto dy:

30

Reemplazando los limites superior e inferior en y:

Integrando respecto dx

Reemplazando limites superior e inferior en x

El volumen del solido es:

31



2 Identificar la altura, graficar y escribir la regin D:

Altura: z

32


33



2 Identificar la altura, graficar y escribir la regin D y B:

Altura: z

34

dy: VARIABLES

dx: CONSTANTES


35

INTEGRAL TRIPLE CON COORDENADAS CILNDRICAS

36

Para transformar las coordenadas rectangulares y las coordenadas polares se utiliza una relacin que existe entre cada una de las variables que es:

Para transformar la integral triple a coordenadas cilndricas se debe graficar el volumen del solido de la regin B y la relacin que existe entre coordenadas rectangulares y cilndricas.

37

DIFERENCIALES:

DIFERENCIAL

DIFERENCIAL

38

DIFERENCIAL

Si la regin B en coordenadas cilndricas definiendo los lmites de integracin, las diferenciales sern:

Calcular el volumen del solido formado por la superficie:

39

1 Graficar en V el volumen del solido:

2 Graficar y escribir la regin D:

40

3 Transformar a coordenadas cilndricas

Altura: z

4 Calcular la integral que ser el volumen:

41

INTEGRAL TRIPLE EN COORDENADAS ESFRICAS

42

Las coordenadas rectangulares se transforman a coordenadas esfricas utilizando las relaciones trigonomtricas con la esfera que son las siguientes:

Para calcular la integral triple , de la regin del volumen del solido de B

en coordenadas esfricas se debe identificar el volumen de l solido y la superficie que forma par escribir los limites de la integral.

La transformacin del volumen del solido B en la integral triple ser:

SOLIDO

DIFERENCIAL

43

Para calcular la integral triple en coordenadas esfricas se utiliza tambin el determinante de derivadas parciales respecto de cada variable de denominada JACOBIANO DE LAS DERIVADAS PARCIALES y la transformacin es de la siguiente manera:

Calcular el volumen del slido que est formado por:

44

1. Graficar la regin B

2. Transformar las coordenadas esfricas:

Interseccin cono con esferoide para transformar a coordenadas esfricas:

Igualando ecuacin 1 y 2 para hallar :

45

3. Escribir la regin B:

4. Calculo de la integral para el volumen:

47

Propiedades de la Integral DobleInterpretacin Geomtrica de la Integral DobleIntegral Iterada.Clculo De Integrales DoblesClculo del rea de una Superficie

Documents

INTEGRAL_DOBLE2011.pdf