1
INTEGRAL DOBLE
Sea la funcin z =f(x, y) cuyo dominio es la regin R esa regin R se subdivide en varias partes
donde nRRRRR ,.......,,, 4321
Paso 1. el dominio de la funcin z = f(x, y) denominado R se subdivide o se particiona
En cada una de las particiones tiene un punto p de esas particiones hallamos la altura.
Determinar la suma de los volmenes de cada uno de los volmenes que es la suma de Riman.
A esa suma de Riman se aplica el limite cuando la norma de subdivisin tiende a cero con
rectas paralelas al eje x bxa y rectas paralelas al eje y
Paso 2. cada uno de los rectngulos subdivididos tiene su propia rea que se calcula por:
iin AyAxR
AyAxRAyAxRAyAxR
=
===
.
.
.333
222
111
2
Paso 3. Elegimos un punto arbitrario de los rectngulos y reemplazamos en la funcin
( )yxfz ,= y obtendremos la altura de los prismas rectangulares o paraleleppedos de la siguiente manera:
( ) ( ) ( ) ( )ii yxfyxfyxfyxf ,......,,,,, 332211
Paso 4 determinamos el volumen de cada uno de los prismas rectangulares que se muestra en
la fig. 3 el rea por la altura sea hAV = y obtenemos la suma de Rieman de volmenes.
( ) ( ) ( ) ( )
( )= =
=++++n
i
n
jiiii
iii
AyAxyxf
RyxfRyxfRyxfRyxf
1 1
333222111
,
,......,,,
Paso 5. Finalmente se aplica el limite a la suma de Rieman de volmenes cuando la norma de
subdivisin tiende a cero si el limite existe, existe la integral doble de la funcin f(x, y) en la
regin acotada R que es el dominio de la funcin (integral iterada).
La integral doble de una funcin f(x, y) cuyo dominio acotado es la regin R se define como el
limite de la suma de Rieman cuando la norma de subdivisin tiende a cero si el limite existe,
existe la integral doble.
( ) ( ) ( ) === = R R
ji
n
i
n
jijijo
yx
dxdyyxfdAyxfAxAxyxfLim,
,,,1 10
3
Propiedades de la Integral Doble
Sean las superficies z = f(x, y) y z = g(x, y) continuas en su dominio que est
proyectado en el Plano xy cuya regin acotada es D y adems sea n, k, c, etc,
constantes.
1. =DD
dAyxfkdAyxkf ),(),(
2. [ ] =D DD
dAyxgdAyxfdAyxgyxf ),(),(),(),(
3. Si D = D1 U D2 donde D1 y D2 son regiones que no se trasladan excepto para la
frontera de cada regin entonces la propiedad ser.
4. Si la funcin f(x, y) = 1 constante sobre la regin D que es su dominio entonces al
calcular la integral se obtiene el +rea de la regin D.
=D
DAdA )(1
5. Si f(x, y) es mayor que g(x, y) entonces la integral que pertenece a la regin D que
est compartida en D1 y D2 ser.
D1 D2
D D
y
x
4
>12
),(),(DD
dAyxgdAyxkf
6. Si la funcin f(x, y) cuyo dominio es la regin D est acotada por la superficie m y M
la integral ser.
)(),()( DMdAyxfDmD
Si : m< f (x, y ) M
D1 D2
5
Interpretacin Geomtrica de la Integral Doble
Geomtricamente la integral doble representa el clculo de volumen de una
superficie
z = f (x, y) cuyo dominio es la regin D que est en el plano xy el volumen se calcula
Volumen = rea por altura
Donde la funcin f(x, y) en el punto es la altura h y el rea es la regin D en el plano
xy
V = Ah dA = dxdy
==DD
s dxdyyxfdAyxfV ),(),()(
D
6
Integral Iterada.
Denominada tambin integral reiterada supongamos que la funcin f(x, y) es
integrable es la regin D que est acotada por.
a x b ; c y d
Entonces la integral se puede integrar primero respecto de x y luego respecto de y o
viceversa entonces esta integral es posible expresar de la siguiente manera:
a x b ; c y d
:),(=D
dAyxfI
=dycbxa
D
1. { } == dcbaba dcbadcD
dyyxfdxdydxyxfdxdyyxfdAyxf ),(),(),(:),(
Significa que se integra primero respecto de y desde c hasta d luego se integra el
resultado respecto de x desde a hasta b.
2. { } == badcdc badcbaD
dxyxfdydxyxfdxdyyxfdAyxf ),(),(),(:),(
Significa que primero es integra respecto la variable x desde a hasta b luego se
integra respecto ala variable y desde c hasta d.
Nota.-
La integral iterada consiste en resolver primeramente la integral hasta transformar
en una integral definida de una variable finalmente se resuelve aplicando los mtodos
de integracin estudiados en avanzados en clculo I y Teorema Fundamental de
Clculo.
7
Teorema de Fubini
Este teorema es demostrado por el matemtico Italiano Guido Fubini naci en 1978
y falleci en 1943 quien demostr en forma general este teorema de la integral
iterada pero anteriormente en el siglo pasado ya haba sido estudiado por el
matemtico Francs Agustn Cuachy.
Este teorema dice si f(x, y) es una funcin continua es la regin D que es el dominio
formado por el rectngulo. { }aycbxayxD = ;/),( Entonces se demuestra
que:
Ejemplo: Calcular las siguientes integrales iteradas:
a) dxyxydydxxydydxxa
223
0
22
1
3
0
22
1
3
0 2
==
=
+
3
0
2223
0
2
23
21
22 dxxdxx
2
2732
323
3
0
33
0
2 =
=
xdxx
b) =
== dx
xydxdyxyydydxx a3
0
32
1
3
0
2
1
3
0
22
1 3
xyydydyy =
===
2
1
22
1
2
1 2999
227
21
229
2
1
22
=
=
8
Clculo De Integrales Dobles
Para calcular la integral doble se debe considerar primeramente la grfica de la regin
D que no solamente es regular puede ser irregular para el clculo de la integral
necesariamente se debe conocer el grfico de la regin D Si la regin D est dada por
un rectngulo de la siguiente manera:
Caso I . Si la regin D est formada por rectas verticales y horizontales el orden de
integracin es indistinto.
{ }dycbxayxD = ;/),(
=d
c
b
aD
dxdyyxfdAyxf ),(),(
9
2. Si la regin D est dada de forma { })()(;/),( xfyxgbxayxD =
=)(
)(),(),(
xf
xg
b
aD
dxdyyxfdAyxf
10
3. Si la regin D tiene la forma: { })()(;/),( yfxygdycyxD =
=
)(
)(),(),(
xf
yg
d
cD
dxdyyxfdAyxf
Y=d
Y=c
D
11
4. Si la regin D est formada por las curvas y = g(x), y = f(x), y = h(x) entonces para
calcular la integral es posible dividir la regin D en dos regiones D1 D2 entonces el
clculo ser la suma de las integrales.
{ } { })()(;/),(;)()(;/),( 21 xfyxhbxcyxDxgyxhbxayxD ==
+=)(
)(
)(
)(),(),(),(
xf
xh
b
c
xg
xh
c
aDdydxyxfdydxyxfdAyxf
12
CALCULO DE INTEGRAL DOBLE
TIPO I
Dada la integral doble y la regin D formada por funciones en plano calcular la integral
Calcular la integral si la regin D esta limitada por las lneas
;
Primer paso : Graficar la regin D en el plano
Segundo paso: Definir el orden de integracin
Variables en y : ;
Constantes en x : Puntos de interseccin
D
13
Tercer paso : escribir la regin D
Cuarto Paso : Plantear la integral y calcular
TIPO II Cambio De Orden en la Integral Doble
Una integral doble se puede plantear de dos formas diferentes dependiendo de la
complejidad o de la facilidad para calcular la integral doble en funcin de la regin D.
Ejemplo:
Dada la integral doble
Cambiar el orden de integracin
Primer paso : Identificar la Regin D
==
==
3;97;3
1 yx
y
xxD
==
==
xyx
y
xxD
10;99;7
2
14
Segundo paso: Graficar la regin D en el plano xy
Tercer paso : Escribir la nueva regin cambiando orden de integracion D
Constante dx Constantes dy (Puntos de interseccin en y )
Antes: Variable dy ahora Variable dx ;
Puntos de interseccin en y
Cuarto paso : Escribir la nueva Integral
=
15
TIPO III Integral Doble en coordenadas polares
Una integral doble para transformar de coordenadas rectangulares , a coordenadas polares se utiliza las siguientes relaciones
Para convertir de coordenadas rectangulares a polares
cosrx = rseny = Para convertir de coordenadas rectangulares polares a rectangulares
222 yxr += xy
=tan
En la integral doble la regin D y el integrando se transforma a coordenadas polares
0
(x,y) (r,)
y = r sen
x = r cos
r
y
x
16
Si la Regin D esta limitada por y y las curvas y
la regin D en coordenadas polares ser:
La Integral doble en coordenadas polares
Ejemplo Calcular la integral donde la regin D esta limitada por las
circunferencia y
D
D
17
Primer paso : Graficar la regin D en coordenadas polares
Segundo paso: Escribir la integral doble en coordenadas polares
Tercer paso : calcular la integral doble
18
Calculo de rea de figuras planas
El rea de la figura plana limitada por la regio D se define con la integral doble
Ejemplo
Hallar el rea limitado por las curvas 342 += xxy y 1= yx
1. Graficar las curvas en el plano.
1= yx
342 += xxy
19
2. Definicin el diferencial de rea y el orden de integracin.
=+=
1342
xyxxydx
2. Determinar los puntos de interseccin entre curvas
045
1342
2
=+
=+
xxxxx
( )( )
14
014
==
=
xx
xx
4.- Graficar el rea
3. Plantear la integral doble y calcular el rea
342 += xxy
1= xy
20
Clculo del rea de una Superficie
El calculo del rea de una superficie se realiza con integrales doble dependiendo en
que plano se proyecta la regin D se utiliza las derivadas parciales para determinar el
integrando en algunas cosas es conveniente utilizar coordenadas polares.
1. Si una superficie est definida por la ecuacin z = f (x, y) entonces la regin D
que es dominio de la superficie se encuentra en el plano xy y el rea ser:
dAoyoz
oxozA
D
+
+=
22
1
2.Si la superficie est dada por la ecuacin x = f (y, z) entonces la regin D est
proyectada en el plano yz entonces el rea ser:
dA
oyox
ozoxA
D
+
+=
22
1
3.Si la superficie est dada por la ecuacin y = f (x, z) entonces la regin D est
proyectada en el plano xz entonces el rea ser:
dA
ozoy
oxoyA
D
+
+=
22
1
21
Ejemplo:
Calcular el rea de la superficie x2 = 2 z cilindro cortada por los planos
x 2 y =0 y = 2 x ; X = 2 2
Primer Paso. Definir la superficie y los planos .
erficiexZ sup2
2
=
=
=
=
22
22
x
xy
xy
Planos
Segundo Paso.- Identificar la regin D y graficar en el plano
Y=2x
Y=x/2
D
22
Tercer Paso.- determinara las derivadas parciales de la superficie.
0
2
2
=
=
=
yz
xxz
xz
Cuarto Paso.- Definir el orden de integracin y plantear la integral doble para calcular el rea.
dxteCons
xy
xydyVariable
:tan2
2:
=
=
xyxx
D2
2
220:
( ) ( ) 130122
0
2
2
22 =++=x
x
dydxxdA
Ejemplo 2 Calcular el rea de la parte de la esfera 4222 =++ zyx comprendida dentro del cilindro yyx 222 =+ en el primer octante. Respuesta
23
Centro de Masa
Momentos de inercia
Ri*
yi*
xi*
R
24
IINNTTEEGGRRAALL TTRRIIPPLLEE
DEFINICIN:
La integral triple se define con el mismo procedimiento de la integral doble. Sea una funcin cuyo volumen del solido formado es B donde esta definida la integral triple.
La integral triple de la funcin se define como el limite del a suma de Reeman de particiones de volumen, cuando la norma de particin tiende a cero, si existe el limite existe la integral triple.
=
SUMATORIA DE VOLMENES:
Sea la funcin cuyo solido esta formado por la regin B.
1. El volumen B se subdivide en volmenes no necesariamente iguales.
25
2. Dentro de cada volumen subdividido que son pequeos volmenes o cajitas, se elije puntos arbitrarios y se reemplaza en la funcin .
3. Se determina el volumen de cada una de las particiones (cajitas) de la siguiente
manera:
4. Se realiza la sumatoria de Reeman, que es la suma de volmenes por la funcin en el punto.
5. Se aplica el lmite a la suma de Reeman, cuando la norma de particin de volmenes tiende a cero, si el lmite existe, existe la integral triple, se define como integral triple de la funcin sobre la regin D como el lmite de la suma de Reeman cuando la norma de particin tiende a cero.
=
PROPIEDADES:
Sean las funciones y definidas en una regin D.
1.
2.
3. Si
26
CALCULO DE LA INTEGRAL TRIPLE:
Consiste en aplicar las mismas propiedades que en la integral triple.
Existe 6 formas posibles para escribir y calcular la integral triple de acuerdo a la altura que tenga el volumen B y donde este proyectada la regin D.
27
1. Si la altura del solido esta en z, entonces la regin D se encuentra en el plano (x,y), la integral ser:
1)
2)
2. Si el volumen del solido esta en y, entonces la regin D esta en el plano (x,z).
1)
2)
28
3. Si la altura del solido esta en X, entonces la regin D esta en (y,z).
1)
2)
Calcular la INTEGRAL TRIPLE del volumen del solido:
1 Graficar el volumen del solido:
2 Identificar la altura, graficar y escribir la regin D y B:
Altura: z
29
dy: VARIABLES
dx: CONSTANTES
3 Plantear la integral triple y calcular el volumen:
Integrando respecto dz tenemos:
Integrando respecto dy:
30
Reemplazando los limites superior e inferior en y:
Integrando respecto dx
Reemplazando limites superior e inferior en x
El volumen del solido es:
31
Calcular la INTEGRAL TRIPLE del volumen del solido:
1 Graficar el volumen del solido:
2 Identificar la altura, graficar y escribir la regin D:
Altura: z
32
3 Plantear la integral triple y calcular el volumen:
33
Calcular la INTEGRAL TRIPLE del volumen del solido:
1 Graficar el volumen del solido:
2 Identificar la altura, graficar y escribir la regin D y B:
Altura: z
34
dy: VARIABLES
dx: CONSTANTES
3 Plantear la integral triple y calcular el volumen:
35
INTEGRAL TRIPLE CON COORDENADAS CILNDRICAS
36
Para transformar las coordenadas rectangulares y las coordenadas polares se utiliza una relacin que existe entre cada una de las variables que es:
Para transformar la integral triple a coordenadas cilndricas se debe graficar el volumen del solido de la regin B y la relacin que existe entre coordenadas rectangulares y cilndricas.
37
DIFERENCIALES:
DIFERENCIAL
DIFERENCIAL
38
DIFERENCIAL
Si la regin B en coordenadas cilndricas definiendo los lmites de integracin, las diferenciales sern:
Calcular el volumen del solido formado por la superficie:
39
1 Graficar en V el volumen del solido:
2 Graficar y escribir la regin D:
40
3 Transformar a coordenadas cilndricas
Altura: z
4 Calcular la integral que ser el volumen:
41
INTEGRAL TRIPLE EN COORDENADAS ESFRICAS
42
Las coordenadas rectangulares se transforman a coordenadas esfricas utilizando las relaciones trigonomtricas con la esfera que son las siguientes:
Para calcular la integral triple , de la regin del volumen del solido de B
en coordenadas esfricas se debe identificar el volumen de l solido y la superficie que forma par escribir los limites de la integral.
La transformacin del volumen del solido B en la integral triple ser:
SOLIDO
DIFERENCIAL
43
Para calcular la integral triple en coordenadas esfricas se utiliza tambin el determinante de derivadas parciales respecto de cada variable de denominada JACOBIANO DE LAS DERIVADAS PARCIALES y la transformacin es de la siguiente manera:
Calcular el volumen del slido que est formado por:
44
1. Graficar la regin B
2. Transformar las coordenadas esfricas:
Interseccin cono con esferoide para transformar a coordenadas esfricas:
Igualando ecuacin 1 y 2 para hallar :
45
3. Escribir la regin B:
4. Calculo de la integral para el volumen:
46
47
Propiedades de la Integral DobleInterpretacin Geomtrica de la Integral DobleIntegral Iterada.Clculo De Integrales DoblesClculo del rea de una Superficie