Introducción al concepto de módulocasanchi.com/mat/intromodulo01.pdf · Introducción al concepto de módulo Carlos S. CHINEA 4 Dado un submódulo S⊆M, se llama clausura de Sen

Introducción al concepto de módulo Carlos S. CHINEA

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Introducción al concepto de módulo

01. Módulos Consideremos un grupo conmutativo (M,+) y un anillo (A,+,.) con elemento unidad. Si llamamos 0v al elemento neutro del grupo, 0 al elemento neutro de la ley aditiva del anillo y 1 al elemento unidad indicado, diremos que M es un A-módulo a la izquierda, o bien, un módulo a la izquierda sobre A si se verifican las cuatro condiciones siguientes para la ley externa que define el producto por la izquierda de los elementos del anillo por los elementos del grupo. ∀a ,b ∈ A ,∀x , y ∈M :

a .(x + y ) = a .x +a . y (a +b).x = a .x +b.x a .(b.x ) = (a .b).x 1.x = x

Análogamente se define el A-módulo por la derecha exigiendo el cumplimiento de condiciones análogas para la ley externa que define el producto por la derecha de los elementos del anillo por los elementos del grupo. ∀a ,b ∈ A ,∀x , y ∈M :

(x + y ).a = x .a + y .a x .(a +b) = x .a + x .b (x .a ).b = x .(a .b) x .1= x

Los elementos del grupo conmutativo M se denominan vectores del A-módulo y los elementos del anillo A se llaman escalares. Propiedades elementales: 1) 0.x = 0v ,0∈ A ,∀x ∈M En efecto: ∀a ∈ A , a .x = (a +0).x = a .x +0.x → 0.x = 0v

2) (−1).x = −x ,∀x ∈M ,pues0 = (1−1).x = (1+ (−1)).x = x + (−1).x → (−1).x = −x

3) a .0v = 0v ,∀a ∈ A , puesa .x = a .(x +0v ) = a .x +a .0v → a .0v = 0v Se verifican, obviamente, las propiedades análogas para A-módulos a la derecha. Si el anillo fuera conmutativo, es también obvio que el módulo a izquierda y el módulo a la derecha coinciden. Sin embargo, vamos a probar que esto ocurre siempre, sea o no conmutativo el anillo A. En el siguiente teorema veremos que todo A-modulo a la izquierda lo es también a la derecha. Teorema 1.1. Todo A-módulo por la izquierda lo es también por la derecha, y viceversa. Demostración:


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Dado el anillo A, construyamos un anillo A0, que llamaremos anillo opuesto de A. Probaremos que los módulos a la derecha de A coinciden con los módulos a la izquierda de A0. Para construir A0 hemos de definir un conjunto y dos leyes internas que le confieran estructura de anillo con elemento unidad. Como conjunto elegimos el mismo A, y como ley aditiva también elegimos +, la ley aditiva del anillo A. En cambio, la ley multiplicativa * la elegimos de forma que la composición de dos elementos del conjunto A0 sea la conmutación de la composición de estos dos mismos elementos mediante la ley . multiplicativa del anillo A. En A: la composición del par ordenado (x,y) es x.y En A0: la composición del par ordenado (x,y) es y*x De este modo, si se designa por x.y el producto de dos elementos, x e y, en el anillo A, y*x designará el mismo producto en el conjunto A0. O sea:

x . y ≡ y ∗ x Puesto que el anillo A no es conmutativo, obviamente tampoco lo es el anillo A0. De ser conmutativo M sería A-módulo y A0-modulo bilateralmente. Si M es un A-módulo por la derecha, veamos que M es también un A0-modulo por la izquierda, pues definiendo una aplicación de A 0 ×M →M tal que

(a ,x )→ a ∗ x ∈M ,∀a ∈ A ,∀x ∈M se tiene de inmediato que se verifican las condiciones que definen el A0-modulo por la izquierda: ∀a ,b ∈ A 0 ,∀x , y ∈M :

a ∗ (x + y ) = (x + y ).a = x .a + y .a = a ∗ x +a ∗ y (a +b)∗ x = x .(a +b) = x .a + x .b = a ∗ x +b ∗ x (a ∗b)∗ x = x .(b.a ) = (x .b).a = a ∗ (b ∗ x ) 1∗ x = x .1= x

Con esto queda probada la proposición. Concretemos que si el anillo A tuviera estructura de cuerpo, es decir, si tuviera además la propiedad del elemento inverso para la ley multiplicativa, entonces el módulo se denomina Espacio Vectorial sobre el cuerpo A.

02. Submódulos Dado un A-módulo M, se dice que una parte S ⊆M es submódulo de M si tiene también estructura de A-módulo con respecto a las mismas leyes internas que confieren estructura de módulo a M. Veamos a continuación una proposición que nos permite caracterizar los submódu-los de forma sencilla. Teorema 2.1 El conjunto S ⊆M es un submódulo de M sii se verifican las condiciones:


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1) S es subgrupo aditivo de M 2) S es estable para la ley externa de los escalares por los vectores.

Demostración: Es obvio que se cumplen para S las condiciones de definición de A-módulo. Teorema 2.2 Si es S un submódulo de M, el grupo aditivo cociente M/S con la operación externa definida por:

a (x + S ) = ax + S , a ∈ A

es un A-módulo, que denominaremos módulo cociente. Demostración: Veamos que la operación A ×M S →M S indicada está bien definida, es decir, que ∀a ∈ A ,∀x , y ∈M , x + S = y + S → a (x + S ) = a ( y + S ) Efectivamente, pues x + S = y + S → x ∈ y + S , y ∈ x + S , es decir:

x = y + s1 / s1 ∈ S , y = x + s2 / s2 ∈ S →ax = ay +as1 ∈ (ay + S )

ay = ax +as2 ∈ (ax + S )→

⎧⎨⎪

⎩⎪

→ (ax + S ) = (ay + S )→ a (x + S ) = a ( y + S ) Las propiedades que definen el A-módulo cociente son inmediatas: 1) ∀a ∈ A ,∀(x + S ),( y + S )∈M S , a (x + S )+ ( y + S )⎡⎣ ⎤⎦= a (x + y )+ S⎡⎣ ⎤⎦=

= a (x + y )+ S = ax +ay + S = (ax + S )+ (ay + S ) = a (x + S )+a ( y + S ) 2) ∀a ,b ∈ A ,∀(x + S )∈M S , (a +b).(x + S ) = (a +b)x + S = (ax +bx )+ S = = (ax + S )+ (bx + S ) = a (x + S )+b(x + S ) 3) ∀a ,b ∈ A ,∀(x + S )∈M S , a b(x + S )⎡⎣ ⎤⎦= a (bx + S ) = a (bx )+ S = (ab)x + S =

= (ab)(x + S ) 4) ∀(x + S )∈M S ,1.(x + S ) =1.x + S = x + S Teorema 2.3 La intersección de cualquier familia de submódulos de un A-módulo M es un submódulo de M. Demostración: Sea S = Si ,i ∈ I / Si submódulo de M{ } la familia de los submódulos de M y sea

Φ= ∩i∈IS i su intersección. Para que Φ sea submódulo de M debe verificarse que

∀x , y ∈Φ, x + y ∈Φ y ∀a ∈ A ,∀x ∈Φ, ax ∈Φ . Efectivamente se verifica:

∀x , y ∈ Si ,i ∈ I → x + y ∈ Si ,i ∈ I → x + y ∈ ∩i∈IS i =Φ

∀a ∈ A ,∀x ∈ Si ,i ∈ I → ax ∈ Si ,i ∈ I → ax ∈ ∩i∈IS i =Φ

Teorema 2.4 El conjunto F de los A-submódulos de un módulo M es una familia de Moore. Demostración: 1) M ∈ F (pues podemos considerar a M como un submódulo de sí mismo) 2) Si Si ∈ F , i ∈ I → ∩

i∈IS i ∈ F (por el teorema 2.3)

Definición:


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Dado un submódulo S ⊆M , se llama clausura de S en F , al mínimo submódulo S que contenga a S , o también, obviamente, la intersección de todos los submó-dulos que contengan a S . El submódulo clausura, S , se denomina submódulo engendrado por S . Para dos submódulos cualesquiera se tiene:

∀S1,S 2 ∈ F , S1∩S 2________

es el mínimo submódul0o que contiene a S1 y a S 2 . Teorema 2.5 La clausura S de un submódulo S ⊆M es el conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de S . Demostración:

Sea D = ai xi / ai ∈ A ,xi ∈ S∑{ } . Obviamente, S ⊆ D . Si D es submódulo

entonces S ⊆ D , y como es D ⊆ S , se deduce que D = S . Veamos que, efectivamente, D es un submódulo, para lo cual basta comprobar que es cerrado para la suma y que la ley externa por los elementos del anillo es estable: - ∀ ai xi ,∑ bi xi ,∑ ∈ D , ai xi +∑ bi xi =∑ (ai +bi )xi ∈ D∑

- ∀c ∈ A ,∀ ai xi∑ ∈ D , c ai xi =∑ cai xi ∈ D∑

luego, efectivamente, D es submódulo y se verifica el teorema. Definición: Los elementos de S se llaman generadores del submódulo S , pues por el teore-ma anterior S es el conjunto de las combinaciones lineales de tales elementos. Si S es finito, diremos que la clausura S es de generación finita o que es de tipo finito. Si S se redujera a un solo elemento x , el módulo engendrado, x , que también se acostumbra a representar por Ax o (x ) , se denomina módulo monógeno princi-pal. Dado un módulo M, consideremos un subconjunto S1 y un submódulo H de M, existe un submódulo mínimo que contiene a H y a S1, que representaremos por H(S1) y que denominamos extensión de H por adjunción de S1. Por lo visto anteriormente, es

H (S1) = H ∪S1________

Teorema 2.6 Se verifica la igualdad: H (S1∪S 2 ) = H (S1)(S 2 ) Demostración:

H (S1∪S 2 ) = H ∪ (S1∪S 2 )___________________

= H ∪S1________

∪S 2

________________

= H (S1)∪S 2________________

= H (S1)(S 2 )

Si S1 se redujera a un solo elemento x, se dice que la extensión de H es simple. Lo que afirma este teorema 2.6, es que se puede reemplazar la adjunción simultánea de n elementos a1,a2,…,an a H por la adjunción sucesiva de los mismos:

H (a1,a2 ,...,an ) = H (a1)(a2 )...(an )


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Definición: Un subconjunto S de un A-módulo M se dice que es linealmente independiente sobre A si toda combinación lineal de elementos xi de S por elementos de A igual a cero, implica necesariamente que todos los coeficientes, elementos de A, son nulos.

ai xi = 0, xi ∈ S → ai = 0,∀i ∈ Ii∈I∑

Teorema 2.7 Si S ⊆M es linealmente independiente sobre A, se cumple que si dos combinaciones lineales son iguales, entonces coinciden los escalares de ambas combinaciones lineales:

ai xii∈I∑ = bi xi

i∈I∑ → ai = bi ,∀i ∈ I

Demostración: ai xi

i∈I∑ = bi xi

i∈I∑ → (ai −bi )xi =

i∈I∑ 0∧ S linealmente independiente→ ai = bi ,∀i ∈ I

Definición: Un subconjunto S de un A-módulo M que no es linealmente independiente, esto es, tal que existe alguna combinación lineal igual a cero con alguno de los coeficientes distinto de cero, diremos que S es linealmente dependiente. Definición: Sea el A-módulo M, donde el anillo A es un dominio de integridad. Un elemento x ∈M se dice que es elemento de torsión de M sii existe algún elemento del dominio A, distinto de cero, tal el producto por el mismo es cero:

x ∈M elem de torsión↔∃p ∈ A − 0{ } / p.x = 0

Teorema 2.8 El conjunto T(M) de los elementos de torsión de un A-módulo constituye un submódulo de M que llamamos submódulo de torsión de M. Demostración: Se trata de probar que la suma de dos elementos cualesquiera de torsión es también elemento de torsión y que el producto de un escalar cualquiera del dominio por un elemento de torsión es también elemento de torsión:

∀x , y ∈ T (M ),∀a ∈ A / x + y ∈ T (M )∧a .x ∈ T (M ) ∀x , y ∈ T (M )→∃p ,q ∈ A − 0{ } / p.x = 0∧q . y = 0→ p.q ≠ 0∧( p.q )(x + y ) =

= p.q .x + p.q . y = q . p.x + p.q . y = q ( p.x )+ p.(q . y ) = q .0+ p.0 = 0→ x + y ∈ T (M ) ∀x ∈ T (M ),∀a ∈ A / ∃p ∈ A − 0{ } / p.x = 0→ p.(a .x ) = a .( p.x ) = a .o = 0→ a .x ∈ T (M )

Por tanto, T (M ) es submódulo de M Definición: El A-módulo M se dirá de torsión sii coincide con su submódulo de torsión, o dicho de otro modo, si todos sus elementos son de torsión.

M mod de torsion↔T (M ) =M


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M se dirá sin torsión sii no tiene elementos de torsión, o sea, si T (M ) = 0{ }

Corolario 2.8_1 T(M) es un módulo de torsión para cualquier A-módulo M En efecto: por el teorema 2.8, es un módulo cuyos elementos son todos de torsión. Corolario 2.8_2 Todo submódulo de un A-módulo de torsión es también submódulo de torsión. Demostr.: Es obvio, por el teorema 2.8. Corolario 2.8_3 Todo submódulo de un A-módulo sin torsión es también un submódulo sin torsión. Demostr.: Trivial. Definición: Sea el A-módulo M donde A es un dominio de integridad. Un elemento x ∈M se dice que es divisible sii para todo elemento p no nulo del dominio de integridad existe otro elemento y ∈M tal que x = p. y . Teorema 2.9 El conjunto D(M) de los elementos divisibles de un módulo M es también un submódulo de M, que llamaremos submódulo divisible de M. Demostración: Se trata de probar que

∀x , y ∈ D (M ),∀a ∈ A / x + y ∈ D (M )∧a .x ∈ D (M ) ∀x , y ∈ D (M )→∀p ∈ A ,∃v , z ∈M / x = p.v ∧ y = p.z → x + y = = x + y = p.v + p.z = p.(v + z )→∃(v + z )∈M / x + y = p.(v + z )→ x + y ∈ D (M ) ∀x ∈ D (M )→∀p ∈ A ,∃v ∈M / x = p.v →∀a ∈ A ,a .x = a . p.v = (a . p ).v → →∃v ∈M / (a . p ).v = a .x → a .x ∈ D (M ) Definición: Un módulo M se dice divisible sii D(M)=M Corolario 2.9_1 Todo submódulo de un módulo divisible es, también, un módulo divisible. Demostración: Es obvio. Teorema 2.10 La suma de dos submódulos es un submódulo. Demostración: Hemos de probar que

a) si dos elementos cualesquiera pertenece a la suma de ambos submódulos, la suma de ambos elementos también pertenece.

b) Si un elemento pertenece a la suma de ambos submódulos, entonces su producto por un elemento cualquiera de A también pertenece.

∀x , y ∈ S1 + S 2 , ∃v1, z1 ∈ S1∧∃v2 , z2 ∈ S1 + S 2 / x =v1 +v2 ∧ y = z1 + z2 → x + y =

= (v1 +v2 )+ (z1 + z2 ) = (v1 + z1)+ (v2 + z2 )∈ S1 + S 2 , pues v1 + z1 ∈ S1,v2 + z2 ∈ S 2 ∀x ∈ S1 + S 2 , ∃v ∈ S1∧∃z ∈ S 2 / x =v + z →∀a ∈ A , a .x = a (v + z ) =

= a .v +a .z ∈ S1 + S 2 , pues av ∈ S1,az ∈ S 2


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03. Homomorfismos de módulos Definición: Un homomorfismo del A-módulo M en el A-módulo M’ es un homomorfismo, morfismo o aplicación lineal, f :M →M ' , que sea homomorfismo del grupo abeliano de M en el grupo abeliano de M’ y que además conserve la multiplicación de los elementos del grupo por los escalares del anillo:

∀x , y ∈M , f (x + y ) = f (x )+ f ( y ) ∀x ∈M ,∀α ∈ A , f (αx ) =α f (x )

Teorema 3.1 Se cumplen las propiedades siguientes

1) f(0)=0 2) f(-x)=-f(x) 3) Si n elementos de M son linealmente independientes, sus imágenes también

lo son. En efecto:

1) Si hacemos en la definición α = 0→ f (0.x ) = 0. f (x )→ f (0) = 0 . 2) Igualmente, para α = −1→ f (−1.x ) = −1. f (x )→ f (−x ) = − f (x )

3) Si es xi{ }n linealmente independiente: ai xi = 0→ ai = 0i =1

n

∑ , i =1,...,n , y

entonces f ai xii =1

n

∑⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟= ai f (xi ) = f (0) = 0→ ai = 0

i =1

n

∑ , por tanto f (xi ){ }n es

también linealmente independiente. Teorema 3.2 Dados los A-módulos M, M’ , M” y los homomorfismos h :M →M ' y g :M '→M " se cumple que la aplicación compuesta f = g !h :M →M " es también un homomorfismo que se denomina homomorfismo producto de ambos. Demostración: Veamos que se verifican las dos condiciones de la definición de homomorfismo: ∀x , y ∈M , f (x + y ) = (g !h )(x + y ) = g h (x + y )⎡⎣ ⎤⎦= g h (x )+ h ( y )( ) = = g h (x )⎡⎣ ⎤⎦+ g h ( y )⎡⎣ ⎤⎦= (g !h )(x )+ (g !h )( y ) = f (x )+ f ( y )

∀x ∈M ,∀α ∈ A , f (αx ) = (g !h )(αx ) = g h (αx )⎡⎣ ⎤⎦= g αh (x )( ) =αg h (x )⎡⎣ ⎤⎦=

=α(g !h )(x ) =α f (x ) Teorema 3.3 La imagen de un submódulo mediante un homomorfismo es un submódulo. Lo mismo ocurre con la imagen inversa de un submódulo. Es decir, para dos módulos, M y M’ y un homomorfismo f de M en M’ se verifica que la imagen de un submódulo S de M es también un submódulo f(S) de M’, y la imagen inversa de un submódulo S’ de M’ es también un submódulo f-1(S’) de M. Demostración: Sea f :M →M ' un homomorfismo y sea S ∈M submódulo .

Será f (S ) = f (x ) / x ∈ S{ }

∀x , y ∈ S , sean u = f (x ),v = f ( y )→u +v = f (x )+ f ( y ) = f (x + y )∈ f (S ) ,


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pues x + y ∈ S . ∀x ∈ S ,∀a ∈ A , a .u = af (x ) = f (ax )∈ f (S ),pues ax ∈ S En definitiva :

∀u ,v ∈ f (S )→u +v ∈ f (S )∀u ∈ f (S ),∀a ∈ A , au ∈ f (S )

⎫⎬⎪

⎭⎪→ f (S ) submódulo de M’

Asimismo, para la imagen inversa: ∀u ,v ∈ S , f −1(u ), f −1(v )∈ f −1(S )→ f −1(u )+ f −1(v ) =

= f −1(u +v )∈ f −1(S ) ∀a ∈ A ,∀u ∈ S ,af −1(u ) = f −1(au )∈ f −1(S )

∀f −1(u ), f −1(v )∈ f −1(S )→ f −1(u )+ f −1(v )∈ f −1(S )∀f −1(u )∈ f −1(S ),∀a ∈ A , af −1(u )∈ f −1(S )

⎫⎬⎪

⎭⎪→ f −1(S ) submod de M’

Definiciones:

- Si el submódulo S de M es el mismo M, entonces la imagen directa

im( f ) = f (M ) es un submódulo de M’ que denominamos imagen del homomorfismo f :M →M ' .

- Si el submódulo S de M es el submódulo trivial 0{ } de M, entonces la imagen

inversa ker( f ) = f −1(0)

es un submódulo de M que denominamos núcleo del homomorfismo f :M →M ' .

- Definimos asimismo la coimagen y el conúcleo, coim( f ), co ker( f ) ,comolosmóduloscocientes

coim( f ) =M ker( f )co ker( f ) =M ' im( f )

- La clasificación de los homomorfismos de módulos es la habitual:

f monomorfismo, si f es inyectiva. f epimporfismo, si f es suprayectiva. f isomorfismo, si f es biyectiva f será endomorfismo si M=M’ f será automorfismo si M=M’ y f es isomorfismo.

Teorema 3.4 Sean los A-módulos M y M’. Un homomorfismo f :M →M ' es monomorfismo sii ker( f ) = 0{ } .

Demostración: - Si f :M →M ' es monomorfismo, será f (0) = 0→ 0∈ ker( f ) , y como f es

inyectiva, será 0 el único elemento del núcleo, luego ker( f ) = 0{ } .


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- Sea ker( f ) = 0{ } y sean x , y ∈M tales que f (x ) = f ( y ) . Será:

f (x )− f ( y ) = f (x − y ) = 0→ x − y ∈ ker( f )→ x − y = 0→ x = y → f inyectiva Teorema 3.5 Sean los A-módulos M y M’. Un homomorfismo f :M →M ' es epimorfismo sii co ker( f ) = 0{ } .

Demostración: - Si f :M →M ' epimorfismo, es f suprayectiva → Im( f ) = f (M ) =M '→

→M ' Im( f ) = 0→ co ker( f ) = 0{ }

- Si es co ker( f ) = 0{ }→ co ker( f ) = 0{ }→ f (M ) = Im( f ) =M '→

→ f homomorfismo∧ f suprayectiva → f epimorfismo Corolario 3.5.1

La composición de dos monomorfismos es monomorfismo. La composición de dos epimorfismos es epimorfismo. La composición de dos isomorfismos es isomorfismo.

En efecto: Por el teorema 3.2, la composición de dos homomorfismos es homomorfismo (homomorfismo producto). Elementalmente, la composición de aplicaciones inyectivas es también aplicación inyectiva, la composición de aplicaciones suprayectivas es suprayectiva, y también es biyectiva la composición de aplicaciones biyectivas. Corolario 3.5.2 Si es f = g !h el homomorfismo producto de los homomorfismos f y g se verifica:

a) Si f es monomorfismo, también lo es h . b) Si f es epimorfismo, también lo es g .

Efectivamente: Es trivial de las propiedades elementales de la composición de aplicaciones. Definición: Dados los A-módulos M y M’, se denomina homomorfismo trivial de M en M’ al ho-momorfismo f :M →M ' definido por ∀x ∈M , f (x ) = 0∈M ' , que denotamos por f = 0 . Teorema 3.6 Sean los A-módulos M y M’, y el homomorfismo f :M →M ' .Sonequivalenteslasafirmacionessiguientes:1) f = 0 2) Im( f ) = 0 3) ker( f ) =m Demostración:Esinmediato,delasdefinicionesde Im( f ) , ker( f ) yelhomomorfismotrivialf = 0 .


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Teorema 3.7 Dados los A-módulos M, M’ y M”, el homomorfismo producto f = g !h de los homomorfismos h :M →M ' y g :M '→M " será el homomorfismo trivial f = 0 sii Im(h )⊂ ker f (g ) . Demostración:

- condición necesaria: Sea f = 0 . Si es z ∈ Im(h ) , existe por definición un elemento x ∈M tal que

h (x ) = z . De lo cual: g (z ) = g h (x )⎡⎣ ⎤⎦= (g !h )(x ) = f (x ) = 0→ z = g −1(0) = ker(g )

Es decir: ∀z ∈ Im(h ), z ∈ ker(g )→ Im(h )⊂ ker(g ) - condición suficiente:

Sies Im(h )⊂ ker(g ) ,∀x ∈M , h (x )∈ Im(h )⊂ ker(g )→ g h (x )⎡⎣ ⎤⎦= 0→

→ f (x ) = g h (x )⎡⎣ ⎤⎦= 0

ycomo x esarbitrario, f = 0

04. Los teoremas de isomorfía: Mostramos finalmente los tres principales teoremas de isomorfismos de módulos, de los cuales el segundo y tercero se deben al trabajo de la gran matemática del pasado siglo Emmy Noether. Por razones de espacio, probamos aquí solo el primero de los tres teoremas.

04.1. El primer teorema de isomorfía: Dados los A-módulos M y M’, y el homomorfismo f :M →M ' , se verifica que los

módulos M ker( f ) y Im( f ) son siempre isomorfos. Esto es, existe una aplicación ϕ :M ker( f )→ Im( f ) que es isomorfismo. Demostración: a) Veamos que ϕ está bien definida, esto es que si x1 + ker( f ) = x2 + ker( f ) entonces ϕ(x1 + ker( f )) =ϕ(x2 + ker( f )) : x1 + ker( f ) = x2 + ker( f )→ x1 − x2 ∈ ker( f )→ f (x1 − x2 ) = 0→ f (x1)− f (x2 ) = 0→

→ f (x1) = f (x2 )→ϕ(x1 + ker( f )) =ϕ(x2 + ker( f )) b) Veamos que es homomorfismo: - ∀(x1 + ker( f )),(x2 + ker( f ))∈M ker( f )→ϕ (x1 + ker( f ))+ (x2 + ker( f ))⎡⎣ ⎤⎦=

=ϕ x1 + x2 + ker( f )⎡⎣ ⎤⎦= f (x1 + x2 ) = f (x1)+ f (x2 ) =ϕ x1 + ker( f )⎡⎣ ⎤⎦+ϕ x2 + ker( f )⎡⎣ ⎤⎦

- ∀(x + ker( f )),∀a ∈ A ,ϕ a (x + ker( f ))⎡⎣ ⎤⎦=ϕ ax + ker( f )⎡⎣ ⎤⎦= f (ax ) = af (x ) =

= aϕ(x + ker( f )) c) Veamos que es inyectivo: Del teorema 3.4, como ϕ es homomorfismo, bastará probar que ker(ϕ ) = 0 : ∀(x + ker( f ))∈ ker(ϕ )→ϕ(x + ker( f )) = 0→ f (x ) = 0→ x ∈ ker( f )→ → x + ker( f ) = ker( f )→ x = 0→ ker(ϕ ) = 0 d)Veamosquetambiénessuprayectivo:∀y ∈ f (M )→∃x ∈M / f (x ) = y → →∃x ∈M , x + ker( f )∈M ker( f ) /ϕ(x + ker( f )) = f (x ) = y En definitiva, ϕ :M ker( f )→ Im( f ) es isomorfismo.


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Corolario: La aplicación p :M →M ker( f ) definida por la condición

∀x ∈M , p (x ) = x + ker( f )∈M ker( f ) es un epimorfismo que se denomina pro-yección natural del módulo M en el módulo cociente . En efecto: Es obvio que se trata de un epimorfismo de grupos, y además se verifica que p (ax ) = ax + ker ( f ) = a (x + ker( f )) = ap (x ),∀a ∈ A . Corolario: La aplicación i : f (M )→M ' definida por ∀f (x )∈ f (M ), i f (x )⎡⎣ ⎤⎦= f (x )∈M '

es un monomorfismo que se denomina inmersión natural de f (M ) en M ' . En efecto: trivial.

o bien

Diagrama conmutativo que establece el primer teorema de isomorfía

04.2. El segundo teorema de isomorfía (Teorema del paralelogramo de Noether): Dado el A-módulo M y los submódulos N1 y N2 de M, se verifica que la aplicaciónn

ϕ :N 1

N 1∩N 2

→N 1 + N 2

N 2

definida por la condición:

∀(x + (N 1∩N 2 ))∈N 1

N 1∩N 2

,ϕ x + (N 1∩N 2 )( ) = x + N 2 ∈N 1 + N 2

N 2

es un isomorfismo. Es decir:


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N 1

N 1∩N 2

≈ϕ N 1 + N 2

N 2

Estableciendo el siguiente diagrama conmutativo:

04.3. El Tercer teorema de isomorfía (Teorema del doble cociente de Noether):

Dado el A-módulo M y los submódulos N1 y N2 de M, tales que es N 1 ⊂ N 2 ,existeunisomorfismo

ϕ : M N 1

N 2 N 1

→MN 2

definido por la condición:

∀(x +M + N 2 N 1)∈M N 1

N 2 N 1

,ϕ(x +M + N 2 N 1) = x + N 2 ∈MN 2

O sea: M N 1

N 2 N 1

≈ϕ MN 2

estableciendo el siguiente diagrama conmutativo:

05. Bibliografía ABELLANAS C., P.; Geometría Básica, Edit Romo, Madrid, 1969 ATIYAH, M. F.; Introducción al Álgebra Conmutativa, Edit Reverté, Barcelona, 1973 BIRKHOFF, G.; MACLANE, S.; Álgebra Moderna, Edit Teide, Barcelona, 1960 DUBREIL, P.; DUBREIL-JACOTIN, M.L.; Lecciones de Álgebra Moderna, Edit Reverté, Barcelona, 1971 GODEMENT, R.; Álgebra, Edit Hermann, Paris,1969


13

HU, S.T.; Introducción al álgebra homológica, Edit Vicens Vives, Barcelona, 1974 LANG, S.; Introducción al Álgebra lineal, Edit Addison Wesley, Iberoamericana, 1990

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Introducción al concepto de módulocasanchi.com/mat/intromodulo01.pdf · Introducción al concepto de módulo Carlos S. CHINEA 4 Dado un submódulo S⊆M, se llama clausura de Sen