Introducción a la Estadística

1. Introducción a la Estadística

2. Descripción de los conjuntos de datos

3. Uso de la Estadística para sintetizar conjuntos de datos

4. Probabilidad

5. Variables aleatorias discretas

6. Variables aleatorias normales

4.1 Introducción

4.2 Espacio muestral y eventos de un experimento

4.3 Propiedades de la Probabilidad

4.4 Experimentos con resultados igualmente probables

4.5 Probabilidad condicionada e independencia

4.6 Teorema de Bayes

4.7 Principios de recuento

La teoría de la probabilidad es la

teoría matemática que estudia los

fenómenos aleatorios.

(Aleatorio: Al azar, que no sigue un

patrón, secuencia u orden

determinado. Dependiente de algún

hecho fortuito.)

La palabra probabilidad no tiene una

definición consistente.

De hecho, hay muchas

interpretaciones de la probabilidad.

Comentaremos dos:

La frecuentista

La bayesiana

Los frecuentistas hablan de

probabilidades sólo cuando se trata de

experimentos aleatorios bien definidos.

La frecuencia relativa de ocurrencia del

resultado de un experimento, cuando se

repite el experimento, es una medida de

la probabilidad de ese suceso aleatorio.

Los bayesianos, no obstante, asignan

las probabilidades a cualquier

declaración, incluso cuando no implica

un proceso aleatorio, como una manera

de representar su verosimilitud subjetiva.

Supongase un evento o suceso , que de

un total de casos posibles, todos igualmente

factibles, puede presentarse en de los casos.

Entonces la probabilidad de aparición del

evento , viene dada por

A

n

h

A

p P Ah

n

Si echamos un volado, y el evento es que

obtengamos águila, ¿cuál es su probabilidad?

Suponiendo que la moneda es perfecta, o sea

que es igualmente factible que se presente

águila o sol, tenemos dos cas

A

os posibles y

puede presentarse en uno de los casos,

así que

1águila

2

A

p P

Si tiramos un dado perfecto (perfectamente bien

balanceado), ¿cuál es la probabilidad que

obtengamos un número par?

El número de casos posibles es 6: 1,2,3,4,5,6 .

El número de casos favorables es 3: 2,4,6

.

Así que

3 1un número par

6 2p P

Si aventamos dos veces una moneda, ¿cuál es

la probabilidad de que salga águila?

Tenemos 4 casos posibles: aa,as,sa,ss

Los casos favorables son aa,as,sa , es decir

3,

así que

3un águila

4p P

Una desventaja importante del concepto

clásico de probabilidad es su aplicación

limitada, ya que hay muchas situaciones

en que no se pueden considerar las diversas

posibilidades como igualmente probables.

Además, en general es muy difícil,

si no imposible, evaluar tanto el

número toal de casos posibles como

el número total de casos favorables.

Por ejemplo,

¿cuál es la probabilidad que llueva mañana?

¿obtendrá Pedro su ascenso o promoción?

¿quién ganará la elección a gobernador este año?

Supongamos que un experimento aleatorio se

repite veces. Si el evento ocurre veces,

entonces la probabilidad del evento , se define

lim

donde es llamada la frecuencia relativa

del e

n

n A n A

A

n AP A P A

nn A

n

vento .A

Este resultado se puede expresar diciendo que a la

larga, cualquier evento tenderá a presentarse con

una frecuencia relativa aproximadamente igual a la

probabilidad del mismo.

Supongamos que un experimento aleatorio se repite veces.

Si el evento ocurre veces entonces la probabilidad del evento ,

se define como lim donde es llamada la

frecuencia relativa

n

n

A n A A

n A n AP A P A

n n

del evento .A

Dada una moneda, para saber la

probabilidad que caiga águila,

debemos aventar la moneda un

número muy grande de veces,

en principio infinito, y la frecuencia

relativa será la probabilidad buscada.

n volados Águilas Probabilidad

100 38 0.380

500 235 0.470

1,000 504 0.504

2,000 1,014 0.507

5,000 2,497 0.499

10,000 5,073 0.507

50,000 24,911 0.498

1,048,575 524,490 0.500

De acuerdo con este punto de vista,

las probabilidades se interpretan como

evaluaciones personales o subjetivas.

Reflejan la opinión personal acerca de

las incertidumbres ímplicitas y se aplican,

en especial, cuando hay poca o ninguna

evidencia directa, de modo que en realidad

no hay otra alternativa que considerar

información colateral indirecta, "suposiciones

razonables" y tal vez la intuición y otros

factores subjetivos.

Se asignan probabilidades a cualquier tipo de declaración, incluso cuando ningún proceso aleatorio está involucrado.Probabilidad para un bayesiano, es una manera de representar el grado de creencia de un individuo en una declaración, dada la evidencia.

4.1 Introducción







El término probabilidad se utiliza habitualmente en relación con la posibilidad de que ocurra un determinado evento cuando se lleva a cabo un experimento, concebido éste en un sentido muy amplio.

Un experimento es cualquier proceso que produzca una observación o resultado.

Con frecuencia estaremos interesados en experimentos cuyos resultados no sean, de antemano, predecibles con certeza. Y aunque el resultado del experimento no se conozca por adelantado, se supondrá que el conjunto de sus posibles resultados sí es conocido.

El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se denominará espacio muestral y se denotará por S.

El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento se denomina espacio muestral.


Una caja contiene tres bolas: una roja, una azul y una amarilla.

Considere el experimento de extraer una bola de la caja, devolverla a la caja y extraer una segunda bola.

Una caja contiene tres bolas: una roja, una azul y una amarilla. Considere el experimento de extraer una bola de la caja, devolverla a la caja y extraer una segunda bola.

El espacio muestral es el conjunto

Roja,Roja , Roja,Azul , Roja,Amarilla ,

Azul,Roja , Azul,Azul , Azul,Amarilla ,

Amarilla,Roja , Amarilla,Azul Amarilla,Amarilla

que consta de los 9 pares ordenados que se

S

pueden formar

con los colores rojo, azul y amarillo.

Los miembros de una familia han decidido pasar sus próximas vacaciones en Veracruz o en Oaxaca. Si van a Veracruz, pueden ir en autobús o en coche. Si van a Oaxaca pueden ir en coche, en autobús o en avión. Si el resultado del experimento consiste en el país y el tipo de desplazamiento elegidos, liste todos los puntos del espacio muestra.

Los miembros de una familia han decidido pasar sus próximas vacaciones en Veracruz o en Oaxaca. Si van a Veracruz, pueden ir en autobús o en coche. Si van a Oaxaca pueden ir en coche, en autobús o en avión. Si el resultado del experimento consiste en el país y el tipo de desplazamiento elegidos, liste todos los puntos del espacio muestra.

El espacio muestral de este experimento

es el conjunto de 5 elementos:

V,A , V,C , O,A , O,C , O,PS

Se lanzan dos dados.

El experimento consiste en el lanzamiento de los dos dados.

El espacio muestra consiste de los 36 posibles resultados del

experimento:

1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 1,6 , 2,1 , 2,2 , 2,3 ,

2,4 , 2,5 , 2,6 , 3,1 , 3,2 , 3,3 , 3,4 , 3,S

5 , 3,6 ,

4,1 , 4,2 , 4,3 , 4,4 , 4,5 , 4,6 , 5,1 , 5,2 , 5,3 ,

5,4 , 5,5 , 5,6 , 6,1 , 6,2 , 6,3 , 6,4 , 6,5 , 1,6

Cualquier conjunto de resultados de un experimento se denomina evento.


Es decir, un evento es un subconjunto del espacio muestral S.

Los eventos se denotarán mediante letras mayúsculas A, B, C, etc.


Se dice que un evento A ocurre si el resultado está contenido en A.

Una caja contiene tres bolas : una roja, una azul y una amarilla.

Considere el experimento de extraer una bola dela caja,

devolverla a la caja y extraer una segunda bola.

Roja,Roja , Roja,Azul , Roja,Amaril

S

la ,



El evento que consiste en que la primera bola extraida ser

amarilla es el conjunto:

Amarilla,Roja , Amarilla,Azul Amarilla,AmarillaA

Una caja contiene tres bolas : una roja, una azul y una amarilla.

Considere el experimento de extraer una bola dela caja,

devolverla a la caja y extraer una segunda bola.

Roja,Roja , Roja,Azul , Roja,Amaril

S

la ,



El evento que consiste en que la misma bola sea

extraida dos veces es el conjunto:

Roja,Roja , Azul,Azul , Amarilla,AmarillaB

Los miembros de una familia han decidido pasar sus próximas vacaciones en Veracruz

o en Oaxaca.Si van a Veracruz, pueden ir en autobús o en coche. Si van a Oaxaca pueden

ir en coche, en autobús o en avi

ón. Si el resultado del experimento consiste en el país y el

tipo de desplazamiento elegidos,liste todos los puntos del espacio muestra.

V,A , V,C , O,A , O,C , O,PS

El evento que consiste en que la familia

vuele a su destinos es el conjunto de un

sólo elemento:

O,PA


1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 1,6 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 2,4 , 2,5 , 2,6 ,

3,1 , 3,2 , 3,3 , 3,4 , 3,5 , 3,6 , 4,1 , 4,2 , 4,3 , 4,4 , 4,5 , 4,6 ,

5,1 , 5,2 , 5,3 , 5,4 , 5,5 , 5,6 , 6,1 , 6,2 , 6,3 , 6,4 , 6,5

S

, 1,6

El evento que consiste en que la suma delos dados sea par es el conjunto:

1,1 , 1,3 , 1,5 , 2,2 , 2,4 , 2,6 ,

3,1 , 3,3 , 3,5 , 4,2 , 4,4 , 4,6 ,

5,1 , 5,3 , 5,5 , 6,2 , 6,4 , 1,6

A


1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 1,6 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 2,4 , 2,5 , 2,6 ,

3,1 , 3,2 , 3,3 , 3,4 , 3,5 , 3,6 , 4,1 , 4,2 , 4,3 , 4,4 , 4,5 , 4,6 ,

5,1 , 5,2 , 5,3 , 5,4 , 5,5 , 5,6 , 6,1 , 6,2 , 6,3 , 6,4 , 6,5

S

, 1,6

El evento que consiste en que la suma de los

dados sea siete es el conjunto de 7 elementos:

1,6 , 2,5 , 3,4 , 4,3 , 5,2 , 6,1C

Un evento elemental o evento

atómico, es un subconjunto del

espacio muestral que

contiene solamente un elemento.

S

Un evento elemental, a pesar de

contener un sólo elemento, es un

conjunto, no es el elemento por

si mismo.

Un evento elemental o evento atómico,

es un subconjunto del espacio muestral

que contiene solamente un elemento.

S

Al lanzar un dado el espacio muestral

es el conjunto

1,2,3,4,5,6

Los eventos elementales son los conjuntos:

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6

Si aventamos dos monedas, el espacio

muestral es el conjunto

a,a , a,s , s,a , s,s


a,a , a,s , s,a , s,s

Sin embargo, cuando no hay ambigüedad,

cuando no hay posibilidad de confusión,

por simplificar, los eventos elementales

son escritos como elementos más que

como conjuntos.




S

Un evento que no contenga

ningún resultado se denominará

evento nulo, y se designará por .

Dados dos eventos y ,

se define un nuevo evento ,

llamado unión de y , como

aquel que incluye todos los

resultados que están en , en ,

o en ambos.

A B

A B

A B

A B

Dados dos eventos y , se define un nuevo evento ,

llamado unión de y , como aquel que incluye todos los

resultados que están en , en , o en ambos.

A B A B

A B

A B

Es decir, el evento "unión" está formado

por los resultados que están en o en ,

o en ambos.

A B



llamado intersección de y , como


resultados que están simultaneamente

en y en .

A B

A B

A B

A B


llamado intersección de y , como aquel que incluye todos los

resultados que están simultaneamente en y en .

A B A B

A B

A B

Es decir, el evento "intersección" está

formado por los resultados que están

en y en simultaneamente.A B

Sean = {l, 2, 3, 4, 5, 6}, = {l, 3, 5}, = {4, 6} y = {l, 4}.S A B C

1,3,4,5,6

1,4,6

4

1,3,4,5

1

A B

A B

B C

B C

A C

A C


llamado unión de y , como aquel que incluye todos los

resultados que están en , en , o en ambos.

A B A B

A B

A B

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/30/Venn0111.svg


llamado intersección de y , como aquel que incluye todos los

resultados que están simultaneamente en y en .

A B A B

A B

A B

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/99/Venn0001.svg

Si la intersección de y es el

evento nulo, se dirá que y

son disjuntos o mutuamente

excluyentes, puesto que ambos

eventos no pueden ocurrir

simultáneamente.

A B

A B

Si la intersección de y es el evento nulo, se dirá que y

son disjuntos o mutuamente excluyentes, puesto que ambos

eventos no pueden ocurrir simultáneamente.

A B A B

Para cualquier evento , se define el evento ,

llamado complementario de , a aquel que

contiene todos los resultados del espacio

muestral que no están en .

El evento ocurrirá cuando no ocurra ,

y v

c

c

A A

A

A

A A

iceversa

Para cualquier evento , se define el evento , llamado complementario de , a aquel que

contiene todos los resultados del espacio muestral que no están en .


c

c

A A A

A

A A y viceversa.

Para cualquier evento , se define el evento , llamado complementario de , a aquel que

contiene todos los resultados del espacio muestral que no están en .


c

c

A A A

A

A A y viceversa.

El evento complementario del

espacio muestra es el evento nulo.

El evento complementario del

evento nulo es el conjunto muestral.

Igualmente se puede definir la unión

de más de dos eventos.

Por ejemplo, la unión de los eventos

, y , que se escribirá ,

consiste de los resultados que estén

en o en o en .

Así pues, ocurri

A B C A B C

A B C

rá si ocurre

cualquiera de estos tres eventos.

A B C

Igualmente se puede definir la

intersección de más de dos eventos.

Por ejemplo, la intersección de los

eventos , y , que se escribirá

, consiste de los resultados

que estén en y en y en .

As

A B C

A B C

A B C

í pues, ocurrirá si ocurren

simultaneamente los tres eventos.

A B C

Es el evento ni y ni ;

es decir, no sucede ni ni

c c cA B A B

A B

A B

c c cA B A B

A B

A B

A B

cA B

A B

cA

cB

c cA B

A B

Es el evento ni y ni ;

es decir, no sucede ni ni

c c cA B A B

A B

A B

Es el evento No o No ;

es decir, no suceden

o no sucede

c c cA B A B

A B

A

B

c c cA B A B

A B

4.1 Introducción







Es un hecho empíricamente comprobado que si se repite un experimento sucesivamente bajo las mismas condiciones, se verifica que, para cualquier evento A, la proporción de resultados contenidos en A se aproxima a cierto valor a medida que el número de repeticiones aumenta.

Es un hecho empíricamente comprobado que si se repite un experimento sucesivamente bajo las mismas condiciones, se verifica que, para cualquier evento A, la proporción de resultados contenidos en A se aproxima a cierto valor a medida que el número de repeticiones aumenta.

Por ejemplo, si se lanza una moneda sucesivamente, la proporción de lanzamientos en los que se obtiene águila se aproxima a un valor a medida que el número de lanzamientos crece.

Esta proporción, o frecuencia relativa, a largo plazo, es lo que uno tiene en mente cuando se habla de la probabilidad de un evento.

Por ejemplo, si se lanza una moneda sucesivamente, la proporción de lanzamientos en los que se obtiene águila se aproxima a un valor a medida que el número de lanzamientos crece.

Lanzamientos Águila Frecuencia relativa

10 7 0.7020 12 0.6030 14 0.4740 15 0.3850 27 0.5460 28 0.4770 30 0.4380 41 0.5190 41 0.46

100 45 0.45110 54 0.49120 64 0.53130 64 0.49

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130

0.70

0.60

0.47

0.38

0.54

0.470.43

0.51

0.46 0.450.49

0.530.49

Lanzamientos Sale Águila sale Sol Frecuencia relativa de Águila

10 3 7 0.3000

50 21 29 0.4200

100 46 54 0.4600

500 248 252 0.4960

2,000 1,004 996 0.5020

6,000 3,011 2,989 0.5018

8,000 3,974 4,026 0.4968

10,000 5,011 4,989 0.5011

10 50 100 500 2,000 6,000 8,000 10,000

0.3000

0.4200

0.4600

0.4960

0.5020

0.5018

0.4968

0.5011

Lanzamientos Sale 3 Frecuencia relativa

10 3 0.30

20 2 0.10

30 4 0.13

40 6 0.15

50 6 0.12

60 10 0.17

70 8 0.11

80 13 0.16

90 15 0.17

100 18 0.18

110 21 0.19

120 23 0.19

130 21 0.16

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130

0.30

0.10

0.13 0.15

0.12

0.17

0.11

0.16 0.17 0.18

0.19 0.19

0.16

1 2 3 4 5 6

1724 1664 1628 1648 1672 1664

0.1724 0.1664 0.1628 0.1648 0.1672 0.1664

1 2 3 4 5 6

0.1724

0.1664

0.1628

0.1648

0.1672

0.1664

Consideremos un experimento cuyo espacio

muestral sea .

Supongamos que para cada evento existe

un número, denotado por y llamado

probabilidad del evento , que verifica las

tres propiedades siguiente

S

A

P A

A

s:

PROPIEDAD 1: Para cualquier evento ,la probabilidad de es un número entre 0 y 1.

Esto es, 0 1

AA

P A

Consideremos un experimento cuyo espacio muestral sea .

Supongamos que para cada evento existe un número,

denotado por y llamado probabilidad del evento ,

que verifica las tres propiedades siguien

S

A

P A A

tes:

PROPIEDAD 2: La probabilidad del espacio

muestral es 1.

Es decir, 1P S





S

A

P A A

tes:

PROPIEDAD 3: La probabilidad de una unión

de eventos disjuntos es igual a la suma de las

probabilidades de dichos eventos.

Esto es, si y son disjuntos:

A B

P A B P A P B





S

A

P A A

tes:





S

A

P A A

tes:

PROPIEDAD 1: Para cualquier evento , la probabilidad

de es un número comprendido entre 0 y 1. Esto es, 0 1

PROPIEDAD 2: La probabilidad del espacio muestral es 1.

Es decir, 1

PROPIEDAD 3: La

A

A P A

P S

probabilidad de una unión de eventos disjuntos

es igual a la suma de las probabilidades de dichos eventos. Por

ejemplo, si y son disjuntos, A B P A B P A P B

PROPIEDAD 1:

Para cualquier evento , 0 1

PROPIEDAD 2:

1

PROPIEDAD 3:

Si entonces

A P A

P S

A B P A B P A P B

Puede pensarse que la probabilidad de

un evento cualquiera es el área del

conjunto que lo representa en un

diagrama de Venn.

De tal manera, se entienden facilmente

las propiedades de la probabilidad.

Puede pensarse que la probabilidad de un evento cualquiera es

el área del conjunto que lo representa en un diagrama de Venn.

PROPIEDAD 1: Para cualquier evento , 0 1A P A

El área de cualquier figura es

siempre mayor o igual a cero.



PROPIEDAD 2: 1P S

El área del total la

definimos como 1.



PROPIEDAD 3:

Si entonces A B P A B P A P B

Si dos conjuntos no se intersectan,

el área total es la suma de sus áreas.



PROPIEDAD 3:

Si entonces A B P A B P A P B

Si se interpreta la probabilidad P(A) como el límite de la frecuencia relativa de un evento A, las condiciones establecidas mediante las tres propiedades, se cumplen.

La proporción de experimentos en los que A contenga el resultado será con seguridad un número comprendido entre 0 y 1.

Si se interpreta P(A) como el límite de la frecuencia relativa de un evento A, las condiciones establecidas se cumplen.

La proporción de experimentos en los que S contiene al resultado es 1, puesto que todos los resultados están contenidos en el espacio muestral S.


Finalmente, si A y B no contienen resultados comunes, la proporción de experimentos cuyos resultados estén en A o en B es igual a la proporción de experimentos cuyos resultados estén en A más la proporción de experimentos cuyos resultados estén en B.


Si A y B no contienen resultados comunes, la proporción de experimentos cuyos resultados estén en A o en B es igual a la proporción de experimentos cuyos resultados estén en A más la proporción de experimentos cuyos resultados estén en B.


Por ejemplo, si la proporción de lanzamientos de un par de dados cuyos resultados sumen 7 es 1/6 y la proporción de lanzamientos cuyos resultados sumen 11 es 1/18, la proporción de lanzamientos con una suma resultante igual a 7 o 11 es 1/6 + 1/18 = 2/9.

Se pueden utilizar las propiedades 1, 2 y 3

para establecer algunos resultados generales

relativos a las probabilidades.

Por ejemplo, puesto que y son eventos

disjuntos cuya unión es el espacio mues

cA A

tral

completo, se puede escribir

1cP A P A

Teorema:

Sea un evento cualquiera,

entonces

1 .c

A

P A P A

Teorema: Sea un evento cualquiera, entonces 1 .cA P A P A

i)

ii)

Por tanto,

Usando la propiedad 3,

Usando la propiedad 1, 1

así que despejando, obtenemos finalmente

1

c

c

c

c c

c c

c

A A

A A S

P S P A A

P S P A A P A P A

P S P A A P A P A

P A P A

Teorema.

Sean y dos eventos arbitrarios

cualesquiera, siempre se cumple que

A B

P A B P A P B P A B

P A B P A P B P A B

Para ver por qué la regla de adición es cierta:

1) Observe que es la probabilidad

de todos los resultados que se encuentran en

o en .

P A B

A B

P A B P A P B P A B

Para ver por qué la regla de adición es cierta:

1) Observe que es la probabilidad

de todos los res

2) ( ) (

ul

) es la probabilidad de todos los

resultados q

tados que se encuentran

ue

en

o en .

est

P A P B

P A B

A B

án en más la probabilidad

de todos los resultados que están en .

A

B

Teorema. Sean y dos eventos arbitrarios cualesquiera,

siempre se cumple que

A B

P A B P A P B P A B

1) Observe que es la probabilidad de todos

los resultados que se encuentran en o en .

2) ( ) ( ) es la probabilidad de todos los resultados que están

en más la probabilidad de todos los resu

P A B

A B

P A P B

A

Puesto que todo evento que esté tanto en como en se cuenta

dos veces en ( ) ( ) y sólo una en , se sigue que

si se resta en

ltados que

los dos té

est

rmi

á

nos de la ecuació

n en .

n anterior

s

A B

P A P B P A B

P A B

B

e obtiene la regla de adición.

Teorema. Sean y dos eventos arbitrarios cualesquiera,

siempre se cumple que

A B

P A B P A P B P A B

El experimento es lo que estemos haciendo.

-Un volado

-Observando el decaimiento de un átomo

-La proporción de supernovas

-La hora a la que entra una llamada telefónica

-El número de mujeres en un estadio

-La cantidad de gentes que votarán por el PAN

- Los elementos de son los resultados o

muestras del experimento.

- Los subconjuntos de son los eventos.

S

S

- Los elementos de son los resultados o muestras del experimento.


S

S

Sea un evento y sea el resultado del experimento.

- Si se dice que el evento ha ocurrido.

- En caso contrario, se dice que el evento no

ha ocurrido. Entonces , y el evento

complementario

c

A x

x A A

A

x A

a ha ocurrido.A

Ningún resul

Un evento

tado posibl

es llamado IMPOSIBLE s

e puede ser un

elemento d

i

.

.

e

A

A

A



S

S

Todo resultado posible

Un evento es llamado

es automaticamente

un

SEGURO si

elemento

.

de .

A

A S

A



S

S

La probabilidad asignada al evento , ,

es llamada

exp

.

la

Se dice también que es l

a

probabilidad de que el resultado

del erimento sea uno de los elementos

de A

probabilidad

de que el ev

A P

ento A o

A

P

curra

A

cuando se hace el

experimento.



S

S

Dos eventos, y , son

igualmente probables si

A B

P A P B



S

S

Se dice que

es más probable que

si

A B

P A P B



S

S

Evento

Afirmación Signific

ó even

ado en probabi

to

Evento y evento

lidad

A B A B

A B A B

Al menos uno de los eventos

ó sucede

Los dos, y suceden

Afirmación Significado en probabilidad

Ni , ni suceden

sucede y no

c c

c

x A B

A B

A B x A B

A B x A B

A B x A B

Exactamente uno,

de ó sucede

Ni uno más que ó sucede

Afirmación Significado en probabilida

Si sucede,

también ( implica )

y son mutuamente excluyentes

dc c

c

x A B A B

A B

A B x A B

A A B

B A B

A B A B

1 2 3

4 5 6

El espacio muestral de un experimento es

{1,2,3,4,5,6}

El evento que consiste en obtener el

resultado individual , y

0.10 0.20 0.15

0.15 0.10 0.30

i

S

A

i

P A P A P A

P A P A P A

1 2 3

4 5 6

{1,2,3,4,5,6}

0.10 0.20 0.15

0.15 0.10 0.30

S

P A P A P A

P A P A P A

¿Cuál es la probabilidad que

suceda el evento 1,3,5 ?E

1 2 3

4 5 6

{1,2,3,4,5,6}

0.10, 0.20, 0.15,

0.15, 0.10,

¿Cuál es la probabilidad que s

0.3

uceda el evento 1,3,5 ?

0

S

P A P A P A

P A P A P

E

A

Notemos primero que podemos escribir

1,3,5 1 3 5

y que

1 3 5

Por lo tanto, usando la propiedad 3,

1 3 5 1 3 5

0.10 0.15 0.10 0.35

En conclusión, la probabilidad que suceda el evento es 0.35.

E

P E P P P P

E

1 2 3

4 5 6

{1,2,3,4,5,6}

0.10 0.20 0.15

0.15 0.10 0.30

S

P A P A P A

P A P A P A

Si 1,3,5 y 2,4,6 ,


suceda el evento ?

E F

E F

1 2 3

4 5 6

{1,2,3,4,5,6}

0.10, 0.20, 0.15,

0.15, 0.10, 0.30

Si 1,3,5 y 2,4,6 , ¿Cuál es la probabilidad que suceda el evento ?

S

P A P A P A

P A P

E F E F

A P A

Tenemos que

1,3,5 2,4,6 1,2,3,4,5,6

y por lo tanto, usando la propiedad 2,

1

El evento , es el evento cierto, así que

su probabilidad es 1.

E F S

P E F P S

E F

1 2 3

4 5 6

{1,2,3,4,5,6}

0.10 0.20 0.15

0.15 0.10 0.30

S

P A P A P A

P A P A P A

Si 1,3,5 y 1,4,6 ,


suceda el evento ?

E G

E G

1 2 3

4 5 6

{1,2,3,4,5,6}

0.10, 0.20, 0.15,

0.15, 0.10, 0.30

Si 1,3,5 y 1,4,6 , ¿Cuál es la probabilidad que suceda el evento ?

S

P A P A P A

P A P

E G E G

A P A

Tenemos que

1,3,5 1,4,6 1,3,4,5,6 2

y por lo tanto, usando que para cualquier

evento , 1 obtenemos

1 2 1.00 0.20 0.80

En resumen, 0.80

c

c

E F

A P A P A

P E F P

P E F

1 2 3

4 5 6

{1,2,3,4,5,6}

0.10 0.20 0.15

0.15 0.10 0.30

S

P A P A P A

P A P A P A

Si 2,4,6 y 1,4,6 ,

¿Cuál es la probabilidad de

ocurrencia del evento ?

F G

F G

1 2 3 4 5 6

S

{1,2,3,4,5,6}

0.10, 0.20, 0.15, 0.15, 0.10,

i 2,4,6 y 1,4,6 ,

¿Cuál es la probabilidad de ocurrencia d

0.30

el evento ?

F

S

P A P A P A P

G

F G

A P A P A

Tenemos que

2,4,6 1,4,6 4,6 4 6

y usando la propiedad 3,

4 6 4 6

0.15 0.30 0.45

En resumen, 0.45

F G

P F G P P P

P F G

1 2 3

4 5 6

{1,2,3,4,5,6}

0.10 0.20 0.15

0.15 0.10 0.30

S

P A P A P A

P A P A P A

Si

1,3,5 , 2,4,6 y 1,4,6 ,

¿Cuál es la probabilidad de

ocurrencia del evento ?

E F G

E F G

1 2 3 4 5 6

Si 1,3,5 ,

{1,2,3,4,5,6}

2,4

0.10, 0.2

,6 y 1,4,6 ,

¿Cuál es la probabilidad de ocurrencia del even

0, 0.15, 0.15, 0.10, 0.

to ?

30

S

P A P A P A P A P A P A

E F G

E F G

Tenemos que

1,3,5 2,4,6 1,4,6

y usando la propiedad 3,

pero es el evento imposible o nulo, así que

0

En resumen, 0

E F G

P E F G P

P E F G P

P E F G

La fenilcetonuria es una enfermedad

genética que ocasiona un retraso mental.

Aproximadamente, uno de cada 10,000

recién nacidos vivos la padece. ¿Cuál

es la probabilidad que el próximo bebé

que nazca en un hospital dado la padezca?

La fenilcetonuria es una enfermedad genética que ocasiona

retraso mental. Aproximadamente, uno de cada 10,000 recién

nacidos vivos la padece. ¿Cuál es la probabilidad que el

próximo bebé que nazca en un hospital dado la padezca?

Dado que la frecuencia relativa es

1

10,000

la probabilidad es 0.000,1

Si y son eventos disjuntos;

es decir, .

¿es posible que ( ) 1.2?

A B

A B

P A P B

Si y son eventos disjuntos; es decir, .


A B A B

P A P B

Desde luego que no es posible.

es un evento, y por la propiedad 1,

0 ( ) 1

Además, como y son disjuntos ,

usando la propiedad 3, ( ) ( )

Por tanto, 0 ( ) 1

A B

P A B

A B A B

P A B P A P B

P A P B

Si y son eventos disjuntos; es decir, .


A B A B

P A P B

i)

ii) ( ) ( )

0 ( ) ( ) 1

A B S

A B P A B P A P B

P A B P A P B

Ya vimos que si y son eventos

disjuntos ; es imposible

que ( ) 1.2, ¿pero qué

sucede si y NO son eventos

disjuntos?

A B

A B

P A P B

A B

Ya vimos que si y son eventos disjuntos ;

es imposible que ( ) 1.2,

¿pero qué sucede si y no son eventos disjuntos?

A B A B

P A P B

A B

En este caso sí es posible, ya que tenemos

( ) ( ) ( )

o sea

( ) ( ) ( )

y aunque 0 ( ) 1 y 0 ( ) 1

( ) no tiene esa restricción.

P A B P A P B P A B

P A P B P A B P A B

P A B P A B

P A P B

Cuando se teclea un manuscrito de cinco páginas,

una determinada persona comete:

0 errores con probabilidad 0.20

1 error con probabilidad 0.35



4 ó más errores con probabilidad 0.05

Si se le da el manuscrito a esa persona,

encuentre la probabilidad de que cometa:

(a) 3 ó menos errores

(b) 2 ó menos errores

(c) 0 errores

Una persona comete: 0 errores con probabilidad 0.20, 1 error con probabilidad 0.35,

2 errores con probabilidad 0.25, 3 errores con probabilidad 0.15, 4 ó más errores con

probabilidad 0.05. Encuentre la probabilidad de que cometa: (a) 3 ó menos errores

i) 3 ó menos errores 0 errores 1 error 2 errores 3 errores

ii) 0 errores 1 error 2 errores 3 errores

iii) 3 ó menos errores

0 errores 1 error 2 errores 3 errores

0 errores 1 error 2 errores 3

P

P

P P P P

errores

0.20 0.35 0.25 0.15 0.95

3 ó menos errores 0.95P

Una persona comete: 0 errores con probabilidad 0.20, 1 error con probabilidad 0.35,

2 errores con probabilidad 0.25, 3 errores con probabilidad 0.15, 4 ó más errores con

probabilidad 0.05. Encuentre la probabilidad de que cometa: (b) 2 ó menos errores

i) 2 ó menos errores 0 errores 1 error 2 errores

ii) 0 errores 1 error 2 errores

iii) 2 ó menos errores

0 errores 1 error 2 errores

0 errores 1 error 2 errores

0.20 0.35 0.25 0.80

3 ó menos e

P

P

P P P

P

rrores 0.80

Una persona comete: 0 errores con probabilidad 0.20,

1 error con probabilidad 0.35, 2 errores con probabilidad 0.25,

3 errores con probabilidad 0.15, 4 ó más errores con probabilidad 0.05.

Encuentre la probabilidad de que cometa: (c) 0 errores

0 errores 0.20P

Se estima que un 30% del total de los adultos

en Estados Unidos son obesos y que un 3%

sufre diabetes. Si un 2% de la población sufre

simultáneamente de obesidad y de diabetes,

¿qué porcentaje de la población padece obesidad

o diabetes?

Se estima que un 30% del total de los adultos en Estados Unidos

son obesos y que un 3% sufre diabetes. Si un 2% de la población

sufre simultáneamente de obesidad y de diabetes, ¿qué porcentaje

de la población padece obesidad o diabetes?

( ) ( )

0.30 0.03 0.02 0.31

El 31% de la población sufre de obesidad

o de diabetes.

P A B P A P B P A B

Los clientes del departamento de caballeros

de un gran almacén compran un traje con

probabilidad 0.3, compran una corbata con

probabilidad 0.2 y compran un traje y una

corbata con probabilidad 0.1.

¿Qué proporción de clientes no compra ni

traje ni corbata?

Los clientes del departamento de caballeros de un gran almacén compran un traje con

probabilidad 0.3, compran una corbata con probabilidad 0.2 y compran un traje o una

corbata con probabilidad 0.1. ¿Qué proporción de clientes no compra ni traje ni corbata?

No comprar ni traje ni corbata es la negación

de comprar traje y corbata; es decir,

1 pero

( ) ( )

( ) ( )

Por lo tanto,

1.0 0.3 0.2 0.1 0.6

c

c

c

T C

P T C P T C

P T C P T P C P T C

P T C P T P C P T C

P T C

4.1 Introducción







En algunos experimentos es

natural suponer que cada

resultado posible del espacio

muestral tiene la misma

probabilidad de ocurrir.

Es decir, si el espacio muestral tiene resultados

posibles, digamos que 1,2,3,..., es

razonable suponer que

1 2 ... ,

donde es la probabilidad del evento que

contiene únicamente el resultado ;

N

S N

P P P N

P i

i

esto es, es la

probabilidad que el resultado del experimento

sea .i

Si se usan las propiedades de la probabilidad se

puede demostrar que lo anterior implica que la

probabilidad de cualquier evento es igual a la

proporción de resultados del espacio muestral que

están en

A

. Esto es,

número de resultados de que están en

A

S AP A

N

Cuando todos los resultados del

espacio muestral de un experimento

son igualmente probables,

un elemento seleccionado de ese

espacio muestral se dice que ha

sido seleccionado aleatoriamente.

En un experimento relacionado con los

detectores de humo, se hizo que la

alarma sonara en los dormitorios de una

residencia universitaria.

Entre los 216 residentes,

128 no se despertaron.

En un experimento relacionado con los detectores de humo,

se hizo que la alarma sonara en los dormitorios de una residencia

universitaria. Entre los 216 residentes, 128 no se despertaron.

Si se elige a uno de los residentes aleatoriamente,

216 128 88 11haya oido la alarma 0.41

216 216 27

128 16no haya oido la alarma 0.59

216 27

P

P

Se extrae una carta aleatoriamente de una

baraja ordinaria de 52 cartas.

Encuentre la probabilidad de que la carta

seleccionada sea:

(a) un as

(b) distinta de un as

(c) una espada

(d) el as de espadas

Se extrae una carta aleatoriamente de una baraja

ordinaria de 52 cartas. Encuentre la probabilidad

de que la carta seleccionada sea: (a) un as

4 10.08

52 13



de que la carta seleccionada sea: (a) distinta de un as

4 1 121 1 0.92

52 13 13



de que la carta seleccionada sea: (c) una espada

13 10.25

52 4



de que la carta seleccionada sea: (c) el as de espadas

10.02

52

A continuación se muestran los cinco países que han sido

los mayores productores de vehículos de motor en 2002.

Total Coches Camiones

Estados Unidos 12,328,305 5,027,425 7,300,881

Japón 10,239,949 8,618,725 1,621,224

Alemania 5,469,564 5,122,894 346,700

Francia 3,660,985 3,284,000 376,985

Corea del Sur 3,147,584 2,651,273 496,311

Total 34,846,387 24,704,317 10,142,101

Estados Unidos

Japón Alemania Francia Corea del Sur -

2,000,000

4,000,000

6,000,000

8,000,000

10,000,000

12,000,000

14,000,000

TotalCochesCamiones

Column1 Total Coches Camiones Total Coche Camión

Estados Unidos 12,328,305 5,027,425 7,300,881 0.35 0.20 0.72

Japón 10,239,949 8,618,725 1,621,224 0.29 0.35 0.16

Alemania 5,469,564 5,122,894 346,700 0.16 0.21 0.03

Francia 3,660,985 3,284,000 376,985 0.11 0.13 0.04

Corea del Sur 3,147,584 2,651,273 496,311 0.09 0.11 0.05

Total 34,846,387 24,704,317 10,142,101 1.00 1.00 1.00

A continuación se muestran los cinco países que han sido

los mayores productores de vehículos de motor en 2002.

Un total de 44 de los 100 pacientes de un centro

de rehabilitación deben seguir un programa

especial que consiste en recibir clases de natación

y clases de calistenia.

Cada uno de esos 44 pacientes sigue al menos una

de estas clases.

Además 26 pacientes asisten a las clases de natación

y 28 pacientes asisten a las clases de calistenia.

Podemos construir los eventos siguientes:

No sigue el programa especial de rehabilitación

Asiste a clases de natación

Asiste a clases de calistenia

Asiste al menos a una de las dos clases

Asi

Q

N

C

N C

N C

ste a las dos clases

No asiste a ninguna de las dos clasesc

N C Q

Un total de 44 de los 100 pacientes de un centro de rehabilitación deben seguir un

programa especial que consiste en recibir clases de natación y clases de calistenia.

Cada uno de esos 44 pacientes sigue al menos una de estas clases. Además 26

pacientes asisten a las clases de natación y 28 pacientes asisten a las clases de calistenia.

De 100: 44 al menos una, 26 natación, 28 calistenia.




Asiste al menos a una de las dos c

Q

N

C

N C

lases

Asiste a las dos clases


N C

N C Q

560.56

100P Q






Q

N

C

N C

lases



N C

N C Q

260.26

100P N






Q

N

C

N C

lases



N C

N C Q

280.28

100P C






Q

N

C

N C

lases



N C

N C Q

440.44

100P N C






Q

N

C

N C

lases



N C

N C Q

26 28 44 10

0.10100 100 100 100

P N C P N P C P N C






Q

N

C

N C

lases



N C

N C Q

1 1.00 0.44 0.56c

P N C P N C

P Q

Entre las estudiantes de una escuela

femenina un 60% no lleva ni anillos

ni collares, un 20% lleva anillos y

un 30% lleva collares.

Lleva anillo

Lleva collar

Lleva anillo o collar

Lleva anillo y collar

No lleva ni anillo ni collarc

A

C

A C

A C

A C

Entre las estudiantes de una escuela femenina un 60% no lleva ni

anillos ni collares, un 20% lleva anillos y un 30% lleva collares.

Entre las estudiantes de una escuela femenina un 60% no lleva ni

anillos ni collares, un 20% lleva anillos y un 30% lleva collares.

Lleva anillo

Lleva collar

Lleva anillo o collar

Lleva anillo

A

C

A C

A C

y collar

No lleva ni anillo ni collarc

A C

0.2

0.3

1 0.6 0.4

0.2 0.3 0.4 0.1

c

P A

P C

P A C P A C P A C

P A C P A P C P A C

Examen:Viernes 29 de eneroDe 10:00 a 13:00Auditorio del Centro de Información




4. Probabilidad



4.1 Introducción







Resumen para la clase del martes 26 de enero de 2010 de 10:00 a 14:30






Los eventos son los subconjuntos del espacio muestral S.








S




si mismo.




S


es el conjunto

1,2,3,4,5,6


1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6



a,a , a,s , s,a , s,s


a,a , a,s , s,a , s,s





como conjuntos.




S









o en ambos.

A B

A B

A B

A B






en y en .

A B

A B

A B

A B






simultáneamente.

A B

A B






y v

c

c

A A

A

A

A A

iceversa


muestral sea .





S

A

P A

A

s:

PROPIEDAD 1:


PROPIEDAD 2:

1

PROPIEDAD 3:

Si entonces

A P A

P S

A B P A B P A P B

1

0

cP A P A

P

P A B P A P B P A B

Fin del resumen para la clase del martes 26 de enero de 2010 de 10:00 a 14:30

4.1 Introducción







En algunos casos surge la necesidad de examinar varios eventos en correlación, por ejemplo, cuando hay que determinar cómo influye la aparición ó no aparición de un evento sobre la frecuencia del surgimiento de otro.

En este caso, además de la frecuencia del evento B, para toda la serie de experimentos realizados, se calcula también la frecuencia del evento B teniendo en cuenta sólo aquellas pruebas que han llevado a la producción de otro evento A que nos interesa.

Con otras palabras, antes de determinar la frecuencia del evento B se seleccionan sólo aquellos experimentos en los que ha sucedido el evento A, sin tomar en consideración los demás.

La frecuencia del evento B calculada sólo para aquellas pruebas en las que se ha producido el evento A se llama frecuencia condicional del evento B con respecto al evento A.

Si al efectuar experimentos el evento

ha sucedido veces y el acontecimiento

ha sucedido junto con el evento

veces, entonces la frecuencia condicional

del acontecimiento con respecto a es

ig

n A

l

B A

k

B A

ual a

kP B A

l

Puesto que las fracciones y

representan respectivamente la

frecuencia del evento y la de la

producción conjunta de los eventos

y , podemos escribir

/ ( )

/

l k

n n

A

B A

k k n P A BP B A

l l n P A

Es decir,

P A BP B A

P A

Se estima que un 30% de los adultos

de Estados Unidos están obesos,

un 3% de ellos padecen diabetes y

un 2% simultáneamente son obesos

y sufren diabetes.

Diabético

obeso

Diabético u obeso

Diabético y obeso

Diabético, dado que es obeso

Obeso porque es diabético

D

O

D O

D O

D O

O D

Se estima que un 30% de los adultos de Estados Unidos están obesos, un 3% de

ellos padecen diabetes y un 2% simultáneamente son obesos y sufren diabetes.

Se estima que un 30% de los adultos de Estados Unidos están obesos, un 3% de

ellos padecen diabetes y un 2% simultáneamente son obesos y sufren diabetes.

Diabético D

obeso

Diabético u obeso Diabético y obeso

Diabético, dado que es obeso Obeso porque es diabético

O

D O D O

D O O D

0.30 0.03 0.02

0.02 20.067

0.3 30

0.02 20.667

0.03 3

P O P D P D O

P D OP D O

P O

P D OP O D

P D

Un club de juegos de mesa tiene 120 miembros:

40 juegan al ajedrez;

56 juegan al bridge,

y 26 juegan tanto al ajedrez como al bridge.

Juega ajedrez Juega bridge

Juega ajedrez o bridge

Juega ajedrez y bridge

Juegue al ajedrez, dado que también juega al bridge

Juegue al bridge, dado que también juega al ajedrez

A B

A B

A B

A B

B A

Un club de juegos de mesa tiene 120 miembros: 40 juegan al ajedrez;

56 juegan al bridge, y 26 juegan tanto al ajedrez como al bridge.

Un club de juegos de mesa tiene 120 miembros: 40 juegan al ajedrez;

56 juegan al bridge, y 26 juegan tanto al ajedrez como al bridge.

(a) Juegue al ajedrez, dado que también juega al bridge.

(b) Juegue a

l bridge, dado que también juega al ajedrez.

Juega ajedrez Juega bridge

Juega ajedrez o bridge Juega ajedrez y bridge

Juegue al ajedrez, dado que también juega al bridge

Juegue

A B

A B A B

A B

B A

al bridge, dado que también juega al ajedrez

40 1 56 7 26 13

120 3 120 15 120 60( ) 13 / 60 13

0.467 / 15 28

( ) 13 / 60 130.65

1 / 3 20

P A P B P A B

P A BP A B

P B

P A BP B A

P A

La siguiente tabla detalla los planes de futuro de los

graduados de la Universidad de Harvard en el año 2004.

DISCIPLINA PORCENTAJE

Estudios posteriores 26.2%

Negocios 23.2%

Comunicaciones 8.4%

Administración pública 8.3%

Ciencia o tecnología 8.0%

Enseñanza 7.9%

Otro 18.0%

100.0%

La siguiente gráfica de pastel detalla los planes de futuro de

los graduados de la Universidad de Harvard en el año 2004.

26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%

18.0%Estudios posteriores

Negocios

Comunicaciones

Administración pública

Ciencia o tecnología

Enseñanza

Otro



26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%

18.0% Estudios posteriores

Negocios

Comunicaciones



Enseñanza

Otro

Supongamos que se elige

aleatoriamente a un graduado.

Dado que ese graduado no se

dedicará a los negocios ni a la

enseñanza, calcule la probabilidad que:

(a) Tenga la intención de realizar

estudios posteriores.

Supongamos que se elige aleatoriamente a un graduado.

Dado que ese graduado no se dedicará a los negocios ni

a la enseñanza, calcule la probabilidad que:

(a) Tenga la intención de realizar estudios posteriores.

Estudios posteriores , Negocios , Enseñanza

Negocios o Enseñanza

Ni Negocios y Ni Enseñanza

Lo que queremos es:

c

c

c

c

G N E

N E

N E

P G N EP G N E

P N E

No se dedicará a los negocios ni a la enseñanza, :

(a) Calcule la probabilidad que tenga la intención de realizar estudios posteriores.


Nego

G N E

N E

cios o Enseñanza , Ni Negocios y Ni Enseñanzac

c

c

c

N E

P G N EP G N E

P N E

26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%


Negocios

Comunicaciones



Enseñanza

Otro

N E




Nego

G N E

N E


c

c

c

N E

P G N EP G N E

P N E

cN E26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%

18.0%Estudios posterioresNegociosComunicacionesAdministración públicaCiencia o tecnologíaEnseñanzaOtro




Nego

G N E

N E


c

c

c

N E

P G N EP G N E

P N E

26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%


26.2%

8.4%

8.3%

8.0%

18.0%

68.9%




Nego

G N E

N E


c

c

c

N E

P G N EP G N

N EE

P

0.689c

P N E

26.2%

8.4%

8.3%

8.0%

18.0%

68.9%

cN E26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%

18.0%

Estudios posterioresNegociosComunicacionesAdministración públicaCiencia o tecnologíaEnseñanzaOtro

26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%


Negocios

Comunicaciones



Enseñanza

Otro

G

cN E

26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%

18.0%


26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%


Negocios

Comunicaciones



Enseñanza

Otro

G

cG N E G




Nego

G N E

N E

cios o Enseñanza , Ni Negocios y Ni Enseñanza

; 0.689

c

c

c c

c

N E

P G N EP G N E P N E

P N E

c cG N E G P G N E P G

0.262P G 26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%

18.0%





Nego

G N E

N E


; 0.689

c

c

c c

c c

N E

P G N E P GP G N E P N E

P N E P N E




Nego

G N E

N E


; 0.689 ; 0.262

c

c

c c

c c

N E

P G N E P GP G N E P N E P G

P N E P N E

0.262 262

0.689 689

c

c

c c

P G N E P GP G N E

P N E P N E




(a) Tenga la intención de realizar estudios posteriores.

La probabilidad que el graduado elegido,

completamente al azar,

vaya a realizar

estudios posteriores es

2620.38

689






(b) Planee dedicarse a la enseñanza

o bien a los estudios posteriores.




(b) Planee dedicarse a la enseñanza o bien a los estudios posteriores.



Estudios posteriores o Enseñanza


Lo que queremos es:

c

c

c

c

G N E

N E

G E

N E

P G E N EP G E N E

P N E

0.689c

P N E

cN E26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%


26.2%

8.4%

8.3%

8.0%

18.0%

68.9%

cN E26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%

18.0%


26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%


Negocios

Comunicaciones



Enseñanza

Otro

G E

cN E26.2%

23.2%

8.4%8.3%

8.0%

7.9%

18.0%

Estudios posteriores NegociosComunicaciones Administración

públicaCiencia o tecnología EnseñanzaOtro

26.2%

23.2%

8.4%8.3%

8.0%

7.9%


Negocios

Comunicaciones



Enseñanza

Otro

G E

cG E N E G




(b) Planee dedicarse a la enseñanza o bien a los estudios posteriores.



planee dedicarse a la enseñanza

o bien a los estudios posteriores es

2620.38

689






(c) Pretenda dedicarse a las comunicaciones

o bien a los estudios posteriores.

Supongamos que se elige aleatoriamente a un graduado. Dado que ese

graduado no se dedicará a los negocios ni a la enseñanza, calcule la

probabilidad que: (c) Pretenda dedicarse a las comunicaciones o bien

a los estudios posteriores.


Comunicaciones


Estudios posteriores o Comunicaciones


Lo que queremos es:

c

c

c

G N E

C

N E

G C

N E

P G C N EP G C N E

cP N E

0.689c

P N E

cN E26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%


26.2%

8.4%

8.3%

8.0%

18.0%

68.9%

cN E26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%

18.0%


26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%

18.0%Estudios poste-rioresNegociosComunicacionesAdministración públicaCiencia o tecnologíaEnseñanzaOtro

G C

cN E

26.2%

23.2%

8.4%8.3%

8.0%

7.9%

18.0%

Estudios posteriores NegociosComunicaciones Administración

públicaCiencia o tecnología EnseñanzaOtro

G C

cG C N E G C

26.2%

23.2%

8.4%8.3%

8.0%

7.9%

18.0%Estudios pos-terioresNegociosComuni-cacionesAdministración públicaCiencia o tecnologíaEnseñanzaOtro

0.262 0.084 0.346

c

c

G C N E G C

P G C N E P G C

P G C P G P C

26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%




planee dedicarse a las comunicaciones

o bien a los estudios posteriores es

3460.50

689



probabilidad que: (c) Pretenda dedicarse a las comunicaciones o bien

a los estudios posteriores.






(d) No tenga intención de dedicarse a

ciencia/tecnología.



probabilidad que: (d) No tenga intención de dedicarse a ciencia/tecnología.

Ciencia/Tecnología , Negocios , Enseñanza



No Ciencia/Tecnología

Lo que queremos es:

c

c

cc

cc

c

T N E

N E

N E

T

P T N EP T N E

P N E

0.689c

P N E

cN E26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%


26.2%

8.4%

8.3%

8.0%

18.0%

68.9%

cN E26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%

18.0%


26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%


cT

ccT N E

O G C A

26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%

18.0%


26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%


pero

así que

Finalmente

cc

cc

cc

T N E O G C A

P T N E P O G C A

O G C A

P O G C A P O P G P C P A

P T N E P O P G P C P A

ccP T N E P O P G P C P A

26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%

18.0%

26.2%

8.4%

8.3%

18.0%

60.9%

0.609ccP T N E



NO planee dedicarse a la ciencia y a la

tecnología es

6090.88

689



probabilidad que:

(d) No tenga intención de dedicarse a ciencia/tecnología.






(e) No intente dedicarse a las

comunicaciones ni a los negocios.



probabilidad que:

(e) No intente dedicarse a las comunicaciones ni a los negocios.

Comunicaciones , Negocios , Enseñanza



Comunicaciones o Negocios

Ni Comunicaciones y Ni Negocios

Lo que queremos es:

c

c

c

c c

C N E

N E

N E

C N

C N

P C N NP C N N E

c

c

E

P N E

0.689c

P N E

cN E26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%


26.2%

8.4%

8.3%

8.0%

18.0%

68.9%

cN E26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%

18.0%


26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%


cC N

c cC N N E

A T O G

26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%

18.0%


26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%


Negocios

Comunicaciones



Enseñanza

Otro

pero

así que

Finalmente

c c

c c

c c

C N N E A T O G

P C N N E P A T O G

A T O G

P A T O G P A P T P O P G

P C N N E P A P T P O P G

c cP C N N E P A P T P O P G

26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%

18.0%

0.605c c

P C N N E

26.2%

8.3%8.0%

18.0%

60.5%



no intente dedicarse a las

comunicaciones ni a los negocios.

6050.88

689



probabilidad que:

(e) No intente dedicarse a las comunicaciones ni a los negocios.






(f) No tenga planeado dedicarse

a ciencia/tecnología

o a administración/política.



probabilidad que: (f) No tenga planeado dedicarse a ciencia/tecnología


Ciencia Tecnologia , Administración

Negocios , Enseñanza



No Ciencia Tecnología o Administración

Lo que queremos es:

c

c

c c

c c

T A

N E

N E

N E

T A

P T A N EP T A N E

cP N E

0.689c

P N E

cN E26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%


26.2%

8.4%

8.3%

8.0%

18.0%

68.9%

cN E26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%

18.0%


26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%


cT A

c cT A N E

O G C

26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%

18.0%


26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%

18.0%Estudios pos-terioresNegociosComunicacionesAdministración públicaCiencia o tecnologíaEnseñanzaOtro

pero

así que

Finalmente

c c

c c

c c

T A N E O G C

P T A N E P O G C

O G C

P O G C P O P G P C

P T A N E P O P G P C

c cP T A N E P O P G P C

26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%

18.0%

0.526c c

P T A N E

26.2%

8.4%

18.0%

52.6%



no tenga planeado dedicarse a

ciencia/tecnología o a administración/política es

5260.76

689



probabilidad que:

(f) No tenga planeado dedicarse a ciencia/tecnología


Esta definición de la probabilidad condicionada es coherente con la interpretación de la probabilidad como la frecuencia relativa a largo plazo.

P A BP B A

P A

1. Supongamos que se llevan a cabo un gran número, digamos n, de repeticiones del experimento.

Esta definición de la probabilidad condicionada es coherente

con la interpretación de la probabilidad como la frecuencia relativa a largo plazo.

P A BP B A

P A


2. Si consideramos solamente aquellos experimentos en los que ocurre el evento A, P(B|A) será igual a la proporción de ellos en los que también ocurre B, puesto que P(A) es la proporción, a largo plazo, de experimentos en los que ocurre A, se tendrá que en n repeticiones del experimento, A ocurrirá aproximadamente nP(A) veces.



P A BP B A

P A


2. Si consideramos solamente aquellos experimentos en los que ocurre el evento A, P(B|A) será igual a la proporción de ellos en los que también ocurre B, puesto que P(A) es la proporción, a largo plazo, de experimentos en los que ocurre A, se tendrá que en n repeticiones del experimento, A ocurrirá aproximadamente nP(A) veces.

3. De igual forma, en aproximadamente nP(A B) de estos experimentos ocurrirán simultáneamente A y B.



P A BP B A

P A

De aquí se deduce que, entre los aproximadamente nP(A) experimentos cuyos resultados están contenidos en A, aproximadamente nP(A B) de ellos tendrán resultados contenidos también en B.

Por consiguiente, de todos aquellos experimentos cuyos resultados están contenidos en A, la proporción de ellos cuyos resultados están también en B es aproximadamente igual a

nP A B P A B

nP A P A

Puesto que esta aproximación se hace más exacta a medida que n crece se ve que la definición anterior de probabilidad condicionada de B, dado que A ha ocurrido, es apropiada.

Dados dos eventos arbitrarios y , se tiene

Es decir, la probabilidad de que ocurran

simultáneamente y es igual a la

probabilidad que ocurra multiplicada

por la probabilidad condicionada

A B

P A B P A P B A

A B

A

de ,

dado que haya ocurrido .

B

A

Dados dos eventos arbitrarios y , se tieneA B

P A B P A P B A

Para demostrar la regla de la multiplicación,

simplemente se toma la definición de probabilidad

condicional, y

se despeja .

P A BP B A

P A

P A B

Por lo general, la probabilidad condicionada

de que ocurra dado que haya ocurrido

no tiene porque coincidir con la probabilidad

(incondicional) de .

Es decir, saber que ha ocurrido

generalmente hac

B A

B

A

e cambiar la probabilidad

de ocurrencia de .B

Cuando es igual a ( ),

se dice que es independiente de .

P B A P B

B A

Puesto que

( )

se deduce que

es independiente de si

( ) ( )

P A B P A P B A

B A

P A B P A P B

Dos eventos arbitrarios, y ,

son independientes si y sólo si

( ) ( )

A B

P A B P A P B

Dos eventos arbitrarios, y , son independientes

si y sólo si ( ) ( )

A B

P A B P A P B

Ya que esta ecuación es

simétrica se tiene que,

si es independiente de ,

también es independieme de .

B A

A B



A B

P A B P A P B

También se puede demostrar que si

y son independientes,

la probabilidad de dado que

no ocurra es igual a la probabilidad

(incondicional) de .

A B

B

A

B



A B

P A B P A P B

Esto es,

si y son independientes,

se cumple quec

A B

P B A P B



A B

P A B P A P B

Así pues, cuando y son independientes,

cualquier información acerca de la ocurrencia

o no ocurrencia de uno de estos eventos no

afecta a la probabilidad del otro.

A B

Aunque hasta ahora sólo se ha

considerado la independencia

de un par de eventos, este

concepto se puede extender a

cualquier número de eventos.

La probabilidad de la intersección

de cualquier número de eventos

independientes será igual al

producto de sus probabilidades.

1 2

1 2 1 2

Si

, ,...,

son eventos independientes,

se cumple que

( ... ) ...

n

n n

A A A

P A A A P A P A P A

Una urna contiene 2 bolas rojas, 3 bolas verdes,

y 5 bolas azules. Una bola se selecciona al

azar y se anota su color. Se regresa la bola y se

selecciona otra bola, y se anota su color.

Encuentre la probabilidad de cada uno de estos

eventos:

a. Que las dos bolas sean azules.

b. Que la primera bola sea azul y la segunda sea roja.

c. Que la primera bola sea verde y la segunda sea azul.

Dado que la primera bola es sustituida antes que la segunda

bola sea seleccionada, los eventos son independientes.

Hay 5 bolas azules y un total de 10 bolas, por lo tanto,

la probabilidad de selección de

dos bolas de color azul

con la sustitución es:

(azul y azul) azul Azul

5 5 25 1

10 10 100 4

P P P

Una urna contiene 2 bolas rojas, 3 bolas verdes, y 5 bolas azules. Una bola se selecciona al

azar y se anota su color. Se regresa la bola y se selecciona otra bola, y se anota su color.

Encuentre la probabilidad que: a. Que las dos bolas sean azules.



Hay 5 bolas azules, 2 rojas y un total de 10 bolas, por lo

tanto:

(azul y roja) azul rP P P oja

5 2 10 1

10 10 100 10



Encuentre la probabilidad que: b. Que la primera bola sea azul y la segunda sea roja.



Hay 5 bolas azules, 3 bolas verde y un total de 10 bolas,

por lo tanto, la probabilidad

es:

(verde y azul) verde azul

3 5 15 3

10 10 100 20

P P P



Encuentre la probabilidad que: c. Que la primera bola sea verde y la segunda sea azul.

Si el 12% de la población de la población

adulta es zurda, ¿cuál es la probabilidad

que al seleccionar 3 adultos todos sean

zurdos?

Si el 12% de la población de la población adulta es zurda, ¿cuál

es la probabilidad que al seleccionar 3 adultos todos sean zurdos?

Cuando los sujetos son seleccionados de una población

grande, a pesar de que no se sustituyen, los cambios de

la probabilidad son muy pequeños, de modo que el

cambio puede ser ignorado.

Por lo tanto,

tresP zurdos zurdo zurdo zurdo

12 12 12 17280.001728

100 100 100 1000000

P P P

José y Gil van juntos a cazar patos. Supongamos que

José tiene una probabilidad 0.3 de dar en el blanco y que

Gil, independientemente, tiene una probabilidad 0.1.

Los dos han disparado al mismo pato.

(a) Dado que solamente uno de ellos ha acertado.

¿cuál es la probabilidad condicionada que haya

acertado José. ¿Y la que haya acertado Gil?

(b) Dado que el pato ha sido alcanzado.

¿cuál es la probabilidad condicionada que José haya

acertado? ¿Y la que haya acertado Gil?

José tiene una probabilidad 0.3 de dar en el blanco y que Gil,

independientemente, tiene una probabilidad 0.1. Los dos han

disparado al mismo pato. (a) Dado que solamente uno de ellos

ha acertado. ¿cuál es la probabilidad condicionada que haya


Definimos los eventos

Acierta José Acierta Gil

El evento "solamente uno de ellos ha acertado"

es:

= c c c

J G

J G J G J G J G

= c c cJ G J G J G J G

J G


J G


cJ G


cJ G

J G







Lo que queremos calcular es

es decir, dado que solamente uno de ellos

ha acertado. ¿cuál es la probabilidad

condicionada que haya acertado José.

c cP J J G J G

( )P A B

P B AP A

c c

c c

c c

P J J G J G

P J J G J G

P J G J G

( )P A B

P B AP A

c c

c c

c c

P J J G J G

P J J G

P J G J

J G

G

c cP J G J G

Como los eventos y son disjuntos;

es decir,

tenemos que

c c

c c

c c c c

J G J G

J G J G

P J G J G P J G P J G

c cP J G J G

Pero ademas, los eventos y son independientes,

por tanto,

y

así que

c c c c

c c

c c

c c c c

P J G J G P J G P J G

J G

P J G P J P G

P J G P J P G

P J G J G P J P G P J P G

c cP J G J G

Usamos ahora que

1 y 1

para obtener

1 1

2

c c c c

c c

c c

P J G J G P J P G P J P G

P J P J P G P G

P J G J G

P J

P J P G P

P G P J P G

J P G

2c cP J G J G P J P G P J P G






Sustituyendo los valores del problema,

0.3 0.1 2 0.3 0.1 0.34

c cP J G J G

( )P A B

P B AP A

0.34

c c

c cP J J G

P

J

G J G

G

J J

c c

c c

c c

c

c c

J J G J G

J J G J J G

J J G J J G

G J G

J G J G

c cP J J G J G

c cJ J G J G

J

c cJ G J G

c cJ J G J G

J

c cJ G J G

c c cJ J G J G J G

Como y son eventos independientes,

pero ademas 1 , así que

c c c

c

c c

c

c

cP J J G J G

P J P J P

P J J G J G P J G

J G

P J G P J P G

P G P G

G

c cP J J G J G

c cP J J G J G P J P J P G







0.3 0.3 0.1 0.27

c cP J J G J G

0.27

0.39

40.7c cP J J G J G






Habiendo acertado sólo uno de ellos,

la probabilidad que haya sido José

es 0.79.












es decir, dado que solamente uno de ellos

ha acertado. ¿cuál es la probabilidad

condicionada que haya acertado Gil.

c cP J JG G G

( )P A B

P B AP A

c c

c c

c c

P J G J G

P J G J G

P J G

G

G

J G

( )P A B

P B AP A

0.34

c c

c c

P G J G J G

P G J G J G

c c

c c

c c

c

c c

G J G J G

G J G G J G

G G J G G J

G J J

G J G J

c cP G J G J G

Como y son eventos independientes,

pero ademas 1 , así que

c c c

c

c c

c

c

cP G J G J G

P G P G P

P G J G J G P G J

G J

P G J P G P J

P J P J

J

c cP G J G J G

c cP G J G J G P G P G P J







0.1 0.1 0.3 0.07

c cP G J G J G

0.07

0.31

40.2c cP J J G J G







la probabilidad que haya sido Gil

es 0.21.







la probabilidad que haya sido José es

0.79 y la probabilidad que haya sido

Gil es 0.21.












acertado Jo

(b) Dado que el pato ha sido alcanza

sé. ¿Y la que h

do.

¿cuál es la

aya

pro

ace

babi

rtado Gil?

lidad condicionada que José haya



independientemente, tiene una probabil

(b) Dado

idad 0.1

que el

. Los dos han

dis pato ha sido alcparado anzado.al mismo p

¿cuál es l

ato.

a probabilidad condicionada que José haya


Definimos los eventos

Acierta José Acierta Gil

El evento "el pato ha sido alcanzado"

es:

J G

J G



(b) Dado

idad 0.1

que el

. Los dos han


¿cuál es l

ato.




es decir, dado que el pato ha sido

alcanzado, ¿cuál es la probabilidad

condicionada que haya acertado José?

P J J G

( )P A B

P B AP A

P J J GP J J G

P J G

( )P A B

P B AP A

P J

P J J GP J J G

G

P J G

Tenemos

Además como y son eventos

independientes,

así que

P J G P J P G P J G

J G

P J G P J

P J G P J P G P J P

G

G

P

P J G

Sustiuyendo valores,

0.3 0.1 0.3 0.1 0.37P

P J G P J P G P J P G

J G

( )P A B

P B AP A

0.37

P J J GP J J G

P J J G

Por tanto,

0.3

J J G J J J G

J J G J

P J J G P J

0.300.81

0.37P J J G



(b) Dado

idad 0.1

que el

. Los dos han


¿cuál es l

ato.



Habiendo sido alcanzado el pato,


es 0.81.



(b) Dado

idad 0.1

que el

. Los dos han


¿cuál es l

ato.





disparado al mismo pato. (b) Dado que el pato ha sido alcanzado.


a ¿Y la que haya acertcerta ado do? Gil?


es decir, dado que el pato ha sido

alcanzado, ¿cuál es la probabilidad

condicionada que haya acertado Gil?

P G J G

( )P A B

P B AP A

P G J GP G J G

P J G

( )P A B

P B AP A

0.37

P G J GP G J G

P G J G

Por tanto,

0.1

G J G G J G G

G J G G

P G J G P G

0.100.27

0.37P G J G





a ¿Y la que haya acertcerta ado do? Gil?


la probabilidad que haya sido Gil

es 0.27.





a ¿Y la que haya acertacerta do do? Gil?



es 0.81 y la probabilidad que haya

sido Gil es 0.27.






Se eligen aleatoriamente dos cartas

de una baraja de 52 naipes.

Encuentre la probabilidad que:

(a) Ninguna sea de espadas.

(b) Al menos una sea de espadas.

(c) Las dos sean de espadas.

Se eligen aleatoriamente dos cartas de una baraja de 52 naipes.

Encuentre la probabilidad que: (a) Ninguna sea de espadas.

se saca una espada

se saca una espada

ninguna es espada

Queremos

c

c

A

B

A B

P A B



Sabemos que

1

Ahora hay que determinar

cP A B P A B

P A B



1

( ) ( )

13 1

52 4

cP A B P A B

P A B P A P B P A B

P A P B



1

( ) ( )

( )

Así que

1 ( )

c

c

P A B P A B

P A B P A P B P A B

P A B P B A P A

P A B P A P B P B A P A



¿Cuánto vale ?

Si la primera carta fue una espada,

quedan 12 espadas de un total de

51 cartas, así que

12 4

51 17

P B A

P B A



1 ( )

1 4( )

4 17Entonces

1 1 4 1 1 11

4 4 17 4 2 1717 2 19

34 34

c

c

P A B P A P B P B A P A

P A P B P B A

P A B



La probabilidad que ninguna de las

dos cartas extraidas sea de espadas

19es de 0.56

34


Encuentre la probabilidad que: (b) Al menos una sea de espadas.

se saca una espada

se saca una espada

al menos una es espada

Queremos

A

B

A B

P A B



Pero

1

así que

19 34 19 151

34 34 34

cP A B P A B

P A B



La probabilidad que al menos

una de dos cartas extraidas

sea de espadas

15es 0.44

34


Encuentre la probabilidad que: (c) Las dos sean de espadas.

se saca una espada

se saca una espada

las dos son espadas

Queremos

A

B

A B

P A B



Pero

Por tanto,

4 1 1( )

17 4 17

P A B P B A P A

P A B



La probabilidad que las dos

cartas extraidas

sean de espadas es

1 0.0617

4.1 Introducción







Para dos eventos arbitrarios

cualesquiera, y ,

siempre se verifica quec

A B

A A B A B

Para dos eventos arbitrarios cualesquiera, y ,

siempre se verifica que c

A B

A A B A B

Se puede comprobar que la igualdad

anterior es cierta con sólo observar

que para que un resultado esté en

debe estar en y en o bien debe

estar en pero no en .

A

A B

A B

Para dos eventos arbitrarios cualesquiera, y ,

siempre se verifica que c

A B

A A B A B

Puesto que y son mutuamente

exc1uyentes (¿por qué?), se tiene, por la propiedad 3,

que ( ) ( ) ( )

Puesto que

( ) ( ) y ( ) ( )

se ha demostrado la siguiente igualdad:

c

c

c c c

A B A B

P A P A B P A B

P A B P A B P B P A B P A B P B

P A

( ) ( )c cP A B P B P A B P B

1) = ( ) ( ) ( )

2) ( ) ( )

3) ( ) ( )

( ) ( )

c c

c c c

c c

A B A B P A P A B P A B

P A B P A B P B

P A B P A B P B

P A P A B P B P A B P B

( ) ( )c cP A P A B P B P A B P B

Esta igualdad establece que la probabilidad

de un evento es igual a la media ponderada

de las probabilidades condicionadas que ocurra

dado que haya ocurrido y que ocurra dado

que no haya ocurrid

A

A B A

B o: cada una de estas

probabilidades condicionadas tiene un peso igual

a la probabilidad del evento condicionante.

( ) ( )c cP A P A B P B P A B P B

Esta es una fórmula muy útil porque

nos permite calcular la probabilidad

de cualquier evento "condicionando"

primero por los hechos que otro evento

cualquiera haya ocurrido o no.

A

B


( ) ( )c c

A B


Antes de ilustrar la utilidad de la ecuación

( ) ( )

se considerará el problema de cómo

reevaluar una probabilidad inicial a la luz

de una evidencia adicional.

c cP A P A B P B P A B P B

Se está estudiando una cierta hipótesis:

1) Supongamos que denota el evento

que la hipótesis es cierta y que ( )

denota la probabilidad que sea cierta.

H

P H


1) Supongamos que denota el evento

que la hipótesis es cierta y que ( )

denota la probabilidad que sea cierta.

2) Ahora supongamos que se dispone

de una evidenci

H

P H

a adicional, llamémosla ,

concerniente a la hipótesis citada.

E


1) Supongamos que denota el evento que la hipótesis

es cierta y que ( ) denota la probabilidad que sea cierta.

2) Ahora supongamos que se dispone de una eviden

H

P H

En consecuencia, se desearía determinar ,

la probabilidad condicio

cia

adicional, llamémosla , concern

nada de que la hipótesis es cierta

ient

,

dad

e a la h

a la evi

ipótesis citada

dencia adicional E.

.

P H E

E

Se, tiene por la definición de la

probabilidad condicionada,

( ) P E H P HP H EP H E

P E P E

Si se usa la ecuación

( ) ( )

se puede calcular ( ) condicionando por los

hechos que la hipót

Esto conduce a la s

esis

igui

sea cie

ente ide

rta y no sea cie

ntidad, conocida

rta.

como teorema de Bay

c cP E H P H P E H P H

P E

es:

( ) P E H P HP H E

P H EP E P E

Dados dos eventos arbitrarios y ,

siempre se cumple

( ) ( )c c

H E

P E H P HP H E

P E H P H P E H P H

Hay dos monedas sobre una mesa.

Cuando se lanzan, la probabilidad de que salga Sol es

0.5 para una moneda. mientras que para la otra es 0.6.

Se selecciona aleatoriamente una de las monedas

y se lanza.

(a) ¿Cuál es la probabilidad que salga Sol?

(b) Si sale Sol, ¿cuál es la probabilidad que la moneda

lanzada sea la que está bien construida? (Es decir, aquélla

cuyos resultados Sol y Águila son igualmente probables.)

1

2

Utilizamos la fórmula

( ) ( )

con los valores

Sale sol

Se elige la moneda con probabilidad 0.5


c c

c


A S

B M

B M

Cuando se lanzan dos monedas, la probabilidad de que salga

Sol es 0.5 para una moneda. mientras que para la otra es 0.6.

Se selecciona aleatoriamente una de las monedas y se lanza.


1 1 2 2

Así que

( ) ( )

y sustituyendo los valores

0.5 0.

0.55

5 0.6 0.5 0.25 0.30

P S P S M P M P S M P M

P S

P S





1

2

Usando el teorema de Bayes

( ) ( )

con los eventos

Sale sol



c c

c

P E H P HP H E

P E H P H P E H P H

A S

B M

B M





lanzada sea la que está bien construida?

1

1 11

1 1 2 2

Así que

( ) ( )

0.5 0.5 0.25 0.25 5

0.5 0.5 0.6 0.5 0.25 0.30 0.55 11

Finalmen1

t5

1e

P S M P MP M S

P

P

S M P M P S

S

P

M

M M





lanzada sea la que está bien construida?

Una inspectora a cargo de una investigación criminal tiene

una certeza del 60% de la culpabilidad de un sospechoso.

Se acaba de descubrir un hecho que evidencia que el

criminal es zurdo.

Aunque la inspectora sabe que un 18% de las personas

son zurdas, le gustaría saber si el sospechoso es zurdo.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que el sospechoso sea zurdo?

(b) Si el sospechoso resulta ser zurdo. ¿cuál es la

probabilidad de que el sospechoso sea culpable?

Usamos la fórmula

( ) ( )

con las definiciones

el sospechoso es zurdo

el sospechoso es culpable

el sospechoso NO es culpable

Así que

( ) ( )

1.00 0.60 0.18 0.40 0.60 0.072

c c

c

c c


Z

C

C

P Z P Z C P C P Z C P C

P Z

0.672

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que el sospechoso sea zurdo?

Utilizando el teorema de Bayes

( ) ( )

con las definiciones de los eventos antes hechas,

( ) ( )

1.0 0.6 0.0.

600 25

1.0 0.6 0.18 0.4 0.67 29

28 3

8

c c

c c

P E H P HP H E

P E H P H P E H P H

P Z C P CP C Z

P Z C P C P Z C P C

(b) Si el sospechoso resulta ser zurdo. ¿cuál es la

probabilidad de que el sospechoso sea culpable?

En una ciudad, el 52% de los residentes con edad de votar

son republicanos, y el otro 48% son demócratas.

Entre los residentes, un 64% de los republicanos y un 42%

de los demócratas se muestran a favor que se suspenda una

política activa de alquileres promovida por el ayuntamiento.

Se selecciona aleatoriamente a un residente con derecho a voto.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona elegida esté a

favor que se suspenda la política de alquileres?

(b) Si la persona elegida está en contra que se suspenda dicha

política de alquileres, ¿cuál es la probabilidad que sea

republicana?

Republicano , Demócrata

está en contra , está a favo

Ojo:

r

y c cR

R D

D F

C F

C

Republicanos 52% Demócratas 48%

64% de republicanos a favor 42% de demócratas a favor






favor que se suspenda la política de alquiler

es?


está en contra , está a favor

R D

C F

¿Qué tenemos?:

0.52 0.48

0.64 0.42

P R P D

P F R P F D





es?



0.52 0.48

0.64 0.42

R D

C F

P R P D

P F R P F D

¿Qué queremos?: P F


( ) ( )c c

A B






es?



0.52 0.48

0.64 0.42

R D

C F

P R P D

P F R P F D

0.64 0.52 0.42 0.48 0.5344

P F P F R P R P F D P D




política de alquileres, ¿cuál es la probabilidad que sea republicana?



Ojo:

r

y c cR

R D

D F

C F

C




política de alquileres, ¿c

uál es la probabilidad que sea republicana?



R D

C F

¿Qué tenemos?:

0.52 0.48

0.64

Es claro qu

e

0.36 y

0.4

0.58

2

P

P R P D

P F

C R P C D

R P F D








0.52 0.48

0.64 0.42

R D

C F

P R P D

P F R P F D

¿Qué queremos?: P R C


siempre se cumple

( ) ( )c c

H E

P E H P HP H E

P E H P H P E H P H








0.52 0.48

0.64 0.42

R D

C F

P R P D

P F R P F D

( ) ( )

0.36 0.520.402

0.36 0.52 0.58 0.48

P C R P RP R C

P C R P R P C D P D





4. Probabilidad



4.1 Introducción




















S




si mismo.




S


es el conjunto

1,2,3,4,5,6


1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6



a,a , a,s , s,a , s,s


a,a , a,s , s,a , s,s





como conjuntos.




S









o en ambos.

A B

A B

A B

A B






en y en .

A B

A B

A B

A B






simultáneamente.

A B

A B






y v

c

c

A A

A

A

A A

iceversa


muestral sea .





S

A

P A

A

s:

PROPIEDAD 1:


PROPIEDAD 2:

1

PROPIEDAD 3:

Si entonces

A P A

P S

A B P A B P A P B

1

0

cP A P A

P

P A B P A P B P A B

Definimos la probabilidad

condicional como

P A BP B A

P A

P A BP A B

P B






A B

P A B P A P B A

A B

A

de ,


B

A




se dice que es independiente de

P B A P B

B A

P A B P A

B A

Dos eventos arbitrarios,

y ,

son independientes

si y sólo si

( ) ( )

A B

P A B P A P B



A B

P A B P A P B

Esto es,


se cumple quec

A B

P B A P B

1 2

1 2 1 2

Si

, ,...,


se cumple que

( ... ) ...

n

n n

A A A

P A A A P A P A P A

Para dos eventos arbitrarios

cualesquiera, y ,

siempre se verifica quec

A B

A A B A B

1)

2) = ( ) ( ) ( )

3) ( ) ( )

4) ( ) ( )

( ) ( )

c

c c

c c c

c c

A A B A B

A B A B P A P A B P A B

P A B P A B P B

P A B P A B P B


Sean y dos eventos arbitrarios,

tenemos

( ) ( )c c

A B


( )1)

( )2) ( )

( )

P A BP B A

P A

P A BP A B P A B P A B P B

P B

P A B P BP A BP B A

P A P A

P A B P BP B A

P A

Usando ahora la fórmula de la

probabilida

( )

d total

( ) ( )

y sustituye do

( )

n

c c

c c

P A P A B P

P A B P BP B A

P A B P B P A B

B P

P B

A B P B

P A B P BP B A

P A

La siguiente tabla detalla los planes de futuro de los

graduados de la Universidad de Harvard en el año 2004.

DISCIPLINA PORCENTAJE

Estudios posteriores 26.2%

Negocios 23.2%

Comunicaciones 8.4%

Administración pública 8.3%

Ciencia o tecnología 8.0%

Enseñanza 7.9%

Otro 18.0%

100.0%



26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%

18.0% Estudios posteriores

Negocios

Comunicaciones



Enseñanza

Otro






(f) No tenga planeado dedicarse

a ciencia/tecnología


TA

TA

c cT A S



probabilidad que: (f) No tenga planeado dedicarse a ciencia/tecnología


Ciencia Tecnologia , Administración

Negocios , Enseñanza



No Ciencia Tecnología o Administración

Lo que queremos es:

c

c

c c

c c

T A

N E

N E

N E

T A

P T A N EP T A N E

cP N E

0.689c

P N E

cN E26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%


26.2%

8.4%

8.3%

8.0%

18.0%

68.9%

cN E26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%

18.0%


26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%


cT A

c cT A N E

O G C

26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%

18.0%


26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%

18.0%Estudios pos-terioresNegociosComunicacionesAdministración públicaCiencia o tecnologíaEnseñanzaOtro

pero

así que

Finalmente

c c

c c

c c

T A N E O G C

P T A N E P O G C

O G C

P O G C P O P G P C

P T A N E P O P G P C

c cP T A N E P O P G P C

26.2%

23.2%

8.4%

8.3%

8.0%

7.9%

18.0%

0.526c c

P T A N E

26.2%

8.4%

18.0%

52.6%



no tenga planeado dedicarse a

ciencia/tecnología o a administración/política es

5260.76

689



probabilidad que:

(f) No tenga planeado dedicarse a ciencia/tecnología









(b) Dado que el pato ha sido alcanzado.




la probabilidad que haya sido José es

0.79 y la probabilidad que haya sido

Gil es 0.21.








es 0.81 y la probabilidad que haya

sido Gil es 0.27.






En una ciudad, el 52% de los residentes con edad de votar

son republicanos, y el otro 48% son demócratas.

Entre los residentes, un 64% de los republicanos y un 42%

de los demócratas se muestran a favor que se suspenda una

política activa de alquileres promovida por el ayuntamiento.

Se selecciona aleatoriamente a un residente con derecho a voto.




política de alquileres, ¿cuál es la probabilidad que sea

republicana?



Ojo:

r

y c cR

R D

D F

C F

C









es?



R D

C F

¿Qué tenemos?:

0.52 0.48

0.64 0.42

P R P D

P F R P F D





es?



0.52 0.48

0.64 0.42

R D

C F

P R P D

P F R P F D

¿Qué queremos?: P F


( ) ( )c c

A B






es?



0.52 0.48

0.64 0.42

R D

C F

P R P D

P F R P F D

0.64 0.52 0.42 0.48 0.5344

P F P F R P R P F D P D




política de alquileres, ¿cuál es la probabilidad que sea republicana?



Ojo:

r

y c cR

R D

D F

C F

C








R D

C F

¿Qué tenemos?:

0.52 0.48

0.64

Es claro qu

e

0.36 y

0.4

0.58

2

P

P R P D

P F

C R P C D

R P F D








0.52 0.48

0.64 0.42

R D

C F

P R P D

P F R P F D

¿Qué queremos?: P R C


siempre se cumple

( ) ( )c c

H E

P E H P HP H E

P E H P H P E H P H








0.52 0.48

0.64 0.42

R D

C F

P R P D

P F R P F D

( ) ( )

0.36 0.520.402

0.36 0.52 0.58 0.48

P C R P RP R C

P C R P R P C D P D

4.1 Introducción







Supongamos que un experimento consta

de dos partes. Si en la parte l se pueden

obtener posibles resultados y si por cada

resultado de la parte l existen resultados

posibles de la parte 2, el número to

n

m

tal de

resultados posibles del experimento es .nm

Que este principio básico es cierto se puede

ver fácilmente con sólo enumerar todos los

resultados posibles del experimento:

1,1 1,2 ... 1,

2,1 2,2 ... 2,

.

.

.

,1 ,2 ... ,

m

m

n n n m

1,1 1,2 ... 1,

2,1 2,2 ... 2,

.

.

.

,1 ,2 ... ,

donde el resultado del experimento , significa que

en la parte 1 del experimento se ha obtenido el resultado

-ésimo y que en la parte 2 s

m

m

n n n m

i j

i e ha obtenido el resultado

-ésimo.j

1,1 1,2 ... 1,

2,1 2,2 ... 2,

.

.

.

,1 ,2 ... ,

Puesto que la tabla anterior de resultados contiene

filas y cada fila tiene resultados posibles,

existe un total de ... resultados.

m

m

n n n m

n m

m m m nm

1

2

3

Supongamos que un experimento consta de

partes.

Supongamos que existen resultados

posibles en la parte 1, resultados

posibles en la parte 2, resultados

posibles en la parte 3, y así sucesivament

r

n

n

n

1 2

e.

En estas condiciones, existen un total

de ... , resultados posibles del experimento.rn n n

Como aplicación del principio generalizado,

supongamos que se quiere determinar el

número de formas diferentes de colocar

las tres letras , y en línea.

Por enumeración se puede ver directamente

que ex

a b c

isten 6 posibilidades:

, , , , , abc acb bac bca cab cba

Se puede obtener este mismo resultado si se

usa el principio básico de recuento generalizado.

Esto es, existen 3 elecciones para la primera

letra, existen 2 para la segunda y, por último,

existe solamente una elección posible para la

tercera.

En consecuencia, existen 3 ·2· l = 6 resultados

posibles.

Supongamos ahora que se desea determinar el

número de formas en las que se pueden colocar

objetos en fila.

Por un razonamiento similar, se ve que existen

un total de

1 2 ... 3 2 1

colocaciones difere

n

n n n ntes.

Cada una de estas colocaciones determina una

permutación.

Es conveniente introducir la notación !,

léase "factorial de ", para representar la

expresión anterior.

Esto es,

! 1 2 ... 3 2 1

n

n

n n n n

! 1 2 ... 3 2 1n n n n

Por ejemplo,

1!=1

2!=2 1=2

3! 3 2 1 6

4! 4 3 2 1 24

7! 7 6 5 4 3 2 5,040

21! 51,090,942,171,709,440,000

! 1 2 ... 3 2 1n n n n

Además, se define

0! 1

Ahora suponga que estamos interesados

en elegir 3 de las 5 letras , , , y .

¿Cuántas elecciones diferentes son posibles?

a b c d e



¿Cuántas elecciones d

Para contestar a esta pregunta, se puede

razonar q

i

ue, puesto que existen

ferentes son posibles?

5 po

a b c d e

sibilidades

para la primera elección, 4 posibilidades para

la segunda y 3 para la tercera, se tiene que

existen 5 4 3 posibles elecciones, cuando el

orden de elección se considera relevante.




Sin embargo. en este conjunto de elecciones

ordena

i

das, cada grupo de tres


let

a b c d e

ras aparece

3 veces.




Si consideramos el grupo de las letras

, y

iferentes s

, cad

on pos

a una de las permuta

ib

ci

le

one

s?

a b c

a b c d e

s

, , , , , abc acb bac bca cab cba




En consecuencia, resulta que el número de grupos

d

i

iferentes de tamaño 3 q


ue s

a b c d e

e pueden formar con

las 5 letras, cuando se considera que el orden de

selección no tiene importancia, es

5 4 3 6010

3 2 1 6

Supongamos ahora que se está interesado en determinar

el número de grupos diferentes de tamaño que se

pueden extraer de un conjunto de elementos. Por un

razonamiento similar al anterior, existen

r

n

n n

1 ... 1 grupos diferentes. Puesto que

!1 ... 1 se puede escribir como !/ ( )!,

el valor anterior se puede expresar como

!

! !

n r

rn n n r n n r

n

n r r

Definamos , para , mediante

!

! !

La expresión se denomina número

de combinaciones de elementos

tomados de en .

nr n

r

n n

r n r r

n

r

n

r r

!

representa el número de! !

grupos distintos de tamaño que se

pueden extraer de un conjunto de

elementos cuando el orden de selección

no tiene importancia.

n n

r n r r

r

n

Se puede comprobar la igualdad

mediante un "razonamiento de recuento".

Supongamos que pretendemos seleccionar

elementos de un conjunto de elementos.

Puesto que esto se puede hacer

n n

r n r

r n

seleccionando

directamente los elementos del grupo, o

bien seleccionando los elementos que no

pertenecerán al grupo, se tiene que el

número de elecciones de elementos es igual

al número de eleccion

r

n r

r

es de elementos.n r

Por ejemplo, cualquier elección

de 8 cualquiera de los 10 primeros

números naturales se corresponde

con una elección de los 2 enteros

que no están entre los 8 anteriores.

¿De cuántas maneras diferentes

se puede dar una mano de poker?

As,As,As,As,Rey , As,As,As,As,Reina ,

As,As,As,As,Joto , As,As,As,As,Diez ,

As,As,As,As,Nueve ,.........

Nueve,Joto,Siete,Cuatro,As .........

¿De cuántas maneras diferentes se puede dar una mano de poker?

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/36/Playing_card_club_A.svg

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/80/Playing_card_diamond_6.svg

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/52/Playing_card_spade_3.svg

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b7/Playing_card_club_J.svg

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/dc/Playing_card_heart_K.svg


Esta

carta

de 52

formas

diferentes

Esta

carta

de 51

formas

diferentes

Esta

carta

de 50

formas

diferentes

Esta

carta

de 49

formas

diferentes

Esta

carta

de 48

formas

diferentes






52 51 50 49 48







¿De cuántas maneras diferentes se puede dar una mano de poker?Una mano de poker:

¿Otra mano de poker?












Dadas estas 5 cartas, como las podemos

reacomodar y que nos den siempre la

misma mano, el mismo juego.







Esta

carta

de 5

formas

diferentes

Esta

carta

de 4

formas

diferentes

Esta

carta

de 3

formas

diferentes

Esta

carta

de 2

formas

diferentes

Esta

carta

de 1

formas

diferentes







5 4 3 2 1







Así que, el número de formas es:

52 51 50 49 48

5 4 3 2 1






Todo lo anterior se escribe como

52 52! 52!

5 5! 52 5 ! 5!47!

52 51 50 49 4

2,598,960

852 17 10 49 6

5 4 3 2 1


¿De cuántas maneras diferentes

se puede dar una mano de poker?

¿Y de cuántas maneras se

puede dar un poker de ases?

¿Y de cuántas maneras se puede dar un poker de ases?

?La quinta carta se puede escoger

únicamente de 48 maneras diferentes,

así que sólo hay 48 manos diferentes

con poker de ases.


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d3/Playing_card_diamond_A.svg

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/57/Playing_card_heart_A.svg

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/25/Playing_card_spade_A.svg

¿Y de cuántas maneras se puede dar un poker de ases?

?Por tanto, la probabilidad de obtener un poker

"de mano" es de

48 1

2,598,960 54,1450.000,018


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d3/Playing_card_diamond_A.svg

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/57/Playing_card_heart_A.svg

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/25/Playing_card_spade_A.svg

¿De cuántas maneras diferentes se

puede dar una mano de bridge?

En el bridge se dan 13 cartas.

Así que son:

52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40

13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1



52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40

13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1Resumido se puede escribir

52! 52!

13!39! 13! 52 13 !

que, por definición es

52635,013,559,600

13



Finalmente

52635,013,559,600

13



¿Cuántas combinaciones hay en el Melate?


- De 56 números (del 1 al 56),

hay que elegir, sin repetir, 6.

- El orden en que se colocan

no importa.


Para el Melate estas dos

combinaciones son idénticas:

7, 11, 23, 43, 48, 51

48, 11, 7, 23, 51, 43

¿Cuántas combinaciones hay en el Melate?- Hay que elegir 6 números del 1 al 56- El orden en que se colocan no importa.

56 55 54 53 52 51

6 5 4 3 2 1


56 55 54 53 52 51

6 5 4 3 2 15656! 56!

66!50! 6! 56 6 !

Finalmente

5632,468,436

6


Se lanza un dado, y se obtiene

un número par.


dicho número sea divisible

entre 3?

i) Sea el evento, el resultado es par;

es decir, 2,4,6 .

Tenemos 3 casos favorables de un

total de 6 posibles.

Por lo tanto, es claro que

3 1= =

6 2

B

B

P B

Se lanza un dado, y se obtiene un número par. ¿Cuál es

la probabilidad que dicho número sea divisible entre 3?

ii) Sea el evento, el resultado es divisible

por 3; es decir, 3,6 .

A

A



Tenemos 2,4,6 y 3,6 .

Por lo tanto,

6

y

1 / 6

ya que es 1 caso favorable de 6.

B A

A B

P A B



Tenemos 2,4,6 , 3,6 , 6

y

3 1 1 ,

6 2 6Por lo tanto,

1 / 6 1

3 / 6 3

B A A B

P B P A B

P A BP A B

P B



La probabilidad que el número sea

divisible por 3 es 1/3.



Una urna contiene seis bolas negras y

cuatro bolas blancas.

Se extraen sin reposición dos bolas,

una a una.

¿Cuál es la probabilidad de seleccionar

una bola blanca en la primera extracción

y una bola negra en la segunda?

i) Sea el evento

Bola blanca en la primera extracción

4 2Es claro que

10 5ya que hay 4 bolas blancas de un total de 10.

B

P B

Una urna contiene seis bolas negras y cuatro blancas.

Se extraen sin reposición dos bolas, una a una.

¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una bola blanca

en la primera extracción y una bola negra en la segunda?

ii) Sea el evento

Bola negra en la segunda extracción

6 2Es claro que

9 3ya que después de sacar la bola blanca

(evento ), quedan 6 bolas negras de un

total de 9 bolas.

A

P A B

B





Usamos ahora la fórmula

( )

y obt

40.26

enemos

2 2

5 37

15

P A B P A B P B

P A B





Un dado cargado tiene las probabilidades

1 / 21, 2 / 21, 3 / 21, 4 / 21, 5 / 21, 6 / 21

de salir 1,2,3,4,5,6 respectivamente.

Es decir, 21

ip i

Notese que se cumple:

1 / 21 2 / 21 3 / 21 4 / 21 5 / 21 6 / 21

1 2 3 4 5 6 211

21 21

Como evidentemente los eventos

{Salga un 3

¿Cuál es la probabilidad de al lanzarlo dos

al lanzar el dado}

son independientes de un

veces se obtengan dos

a lanzada a la otra,

3 en suc

(obtene

e

r

sió

3

n?

dos P 2 en sucesión)=(3/ 21) 1/ 49

Un dado cargado tiene las probabilidades 1/ 21, 2 / 21, 3/ 21, 4 / 21, 5 / 21, 6 / 21


Como evidentemente los eventos {Sacar un 4 en la primer tirada}

y {No sacar un 4

¿Cuál es la probabilida

en la segunda tirada}

d de sacar u

son indepen

n 4 y luego no sacar

dientes, tenemos

Sac

un 4?

ar un

P

4 en la primer tirada

y

No sacar un 4 en la segunda tirada

Sacar un 4 en la primer tirada

No sacar un 4 en la segunda tirada

P

P



1 2 3 5 6 17Noten que

21 21 21 21 21 21



No sacar un 4 en la s

¿Cuál es la probabili

egunda tirada

1 Sacar un 4 en la segunda tirada

4 171

21 21

dad de sacar un 4 y luego no sacar un 4?

P

P


y

No sacar un 4 en la segunda t

¿Cuál es la probabilidad de sacar un 4 y luego no sacar un 4

irada


No sacar un 4 e

?

n l

P

P

P

a segunda tirada

4 17 680.154

21 21 441



Se lanzan los dos dados cargados. Se sabe

que la suma de los dos números mostrados

es igual o mayor que 10, ¿Cuál es la

probabilidad de que ambos números sean 5?





es igual o mayor que 10, ¿Cuál es la

probabilidad de que ambos números

la suma de los dos números es

sean

10

o

?

l s

5

d

B

A

os números son 5





es igual o mayor que 10, ¿Cuál es la probabilidad

de que ambos números

la suma de los dos números es

sean

10

6 4

?

,

5

, 6

B

,5 , 6,6 , 5,6 , 5,5 , 4,6

los dos números son 5 5,5A



Se lanzan los dos dados cargados. Se sabe que la suma de

los dos números mostrados es igual o mayor que 10,

¿Cuál es la probabilidad de que ambos número

la suma de los dos números e

s sean

s 10

,

?

6 4

5

B

2

, 6,5 , 6,6 , 5,6 , 5,5 , 4,6

6,4 6,5 6,6 5,6 5,5 4,6

6 4 6 5 6 6 5 5 1692 2

21 21 21 21 21 21 21 21 21

P B P P P P P P






de que ambos números

los dos números son 5 5,5

5 5 5

21 21 21

sean 5?

A

P A

2



Se lanzan los dos dados cargados. Se sabe que la

suma de los dos números mostrados es igual o

mayor que 10, ¿Cuál es la probabilidad de que

ambos núm

6,4 , 6,5 , 6,6 , 5,6 , 5

eros sean

,5 , 4,6 5,5

5

?

,5

5

A B



2

2




de que ambos números s

55

ean

21169 1321

5?

P A BP A B

P B

24225

0.148194481



¿Cuántas veces tenemos que tirar el dado cargado

para tener una probabilidad mayor que 1/2 de

obtener un as?

Obtener un as en una tirada 1/ 21

No obtener un as en una tirada 20 / 21

No obtener un as en tiradas 20 / 21n

P

P

P n




para tener una probabilidad mayor que 1/2 de

obtener un as?

Queremos que

No obtener un as en tiradas 20 / 21 1/ 2

De aquí despejamos

nP n

n




para tener una probabilidad mayor que 1/2 de obtener un as?

ln 20 / 21 ln 1/ 2

ln 20 / 21 ln 1/ 2 ln 2

ln 21/ 20 ln 2

ln 214.2

ln 21/ 20

n

n

n

n



¿Cuántas veces tenemos que tirar el dado

cargado para tener una probabilidad

mayor que 1/2 de obtener un as?

Tenemos que lanzar el dado

15 veces



Se tienen dos urnas, la primera contiene diez bolas negras

y cinco blancas, la segunda contiene tres bolas negras y

tres blancas. Si una bola seleccionada aleatoriamente de

una de las urnas es blanca, determina la probabilidad de

que haya sido extraida de la primera urna.

10 negras5 blancas

3 negras3 blancas

1

2

1

Seleccionar la primera urna

Seleccionar la segunda urna

Seleccionar una bola blanca

Lo que estamos buscando es

A

A

B

P A B

10 negras5 blancas

3 negras3 blancas

1 2

1 2

A priori tenemos

1

2y

5 1 3 1

15 3 6 2

P A P A

P B A P B A

10 negras5 blancas

3 negras3 blancas

1

2

Seleccionar la primera urna

Seleccionar la segunda urna

Seleccionar una bola blanca

A

A

B

1 11

1 1 2 2

1

1 123 2 =

1 1 1 1 53 2 2 2

25

P B A P AP A B

P B A P A P B A P A

P A B

1 2 1 2

1 1 1, ,

2 3 2P A P A P B A P B A

Se lanzan dos dados 24 veces,

¿es ventajoso apostar, uno a uno,

a que salga un doble 6?

Consideremos primero el caso en que se lanzan los

dos dados una sola vez. Los posibles 36 resultados son:

1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 1,6 ,

2,1 , 2,2 , 2,3 , 2,4 , 2,5 , 2,6 ,

3,1 , 3,2 , 3,3 , 3,4 , 3,5 , 3,6 ,

4,1 , 4,2 , 4,3 , 4,4 , 4,5 , 4,S

6 ,

5,1 , 5,2 , 5,3 , 5,4 , 5,5 , 5,6 ,

6,1 , 6,2 , 6,3 , 6,4 , 6,5 , 6,6

Se lanzan dos dados 24 veces,¿es ventajoso

apostar, uno a uno, a que salga un doble 6?

Suponiendo que el dado es perfecto,

a cualquiera de las 36 parejas le

asignamos la probabilidad 1/36.

1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 1,6 ,

2,1 , 2,2 , 2,3 , 2,4 , 2,5 , 2,6 ,

3,1 , 3,2 , 3,3 , 3,4 , 3,5 , 3,6 ,

4,1 , 4,2 , 4,3 , 4,4 , 4,5 , 4,6 ,

5,1 , 5,2 , 5,3 , 5,4 , 5,5 , 5,6 ,

6,1 , 6,2 , 6,3 , 6,4 , 6,5 , 6,6

S

Los diversos lanzamientos son

eventos independientes, así que

P A B P A P B



Sea el evento al menos un doble 6 en tiradas .

Es más fácil calcular la probabilidad del evento

complementario ningún doble 6 en tiradas ;

es decir,

ningún doble 6 en tiradasc

A n

n

A n



Cada elemento de es una -ada

de parejas que pueden ser cualesquiera,

excepto 6,6 .

Por lo tanto, hay 35 posibles valores

en y 35 -adas en .

c

n c

A n

S n A



35Por tanto,

36

y, logicamente,

351

36

nc

n

P A

P A



24

25

Tenemos para

3524, 1 0.4914

36

3525, 1 0.5055

36

n P A

n P A



24

25

35Para 24, 1 0.4914

36

es desventajoso apostar uno a uno.

35Para 25, 1 0.5055

36

es ventajoso apostar uno a uno.

n P A

n P A







4. Probabilidad



4.1 Introducción




















S




si mismo.




S









o en ambos.

A B

A B

A B

A B






en y en .

A B

A B

A B

A B






simultáneamente.

A B

A B






y v

c

c

A A

A

A

A A

iceversa


muestral sea .





S

A

P A

A

s:

PROPIEDAD 1:


PROPIEDAD 2:

1

PROPIEDAD 3:

Si entonces

A P A

P S

A B P A B P A P B

1

0

cP A P A

P

P A B P A P B P A B


condicional como

P A BP B A

P A

P A BP A B

P B






A B

P A B P A P B A

A B

A

de ,


B

A




se dice que es independiente de

P B A P B

B A

P A B P A

B A

Dos eventos arbitrarios,

y ,

son independientes

si y sólo si

( ) ( )

A B

P A B P A P B



A B

P A B P A P B

Esto es,


se cumple quec

A B

P B A P B

1 2

1 2 1 2

Si

, ,...,


se cumple que

( ... ) ...

n

n n

A A A

P A A A P A P A P A

Sean y dos eventos arbitrarios,

tenemos

( ) ( )c c

A B


P A B P BP B A

P A

( ) ( )c c

P A B P BP B A

P A B P B P A B P B

P A B P BP B A

P A

1

2

3

Supongamos que un experimento consta de

partes.

Supongamos que existen

resultados posibles en la parte 1,



y así sucesivamente

r

n

n

n

1 2

.

En estas condiciones, existen un total de

... , resultados posibles del experimento.rn n n

Si se tienen objetos, el número

total de formas diferentes en que

esos objetos de pueden acomodar

en una fila son

1 2 ... 3 2 1 !

n

n

n n n n

[ ], , , , ,[ ], ,a b c [ ], ,a c b [ ], ,b a c [ ], ,b c a [ ], ,c a b [ ], ,c b a

Número de formas en que podemos

colocar en fila las letras , ,a b c

3! 3 2 1 6

Número de formas en que podemos

colocar en fila las letras , , , ,a b c d e5! 120

[a, b, c, d, e], [a, b, c, e, d], [a, b, d, c, e], [a, b, d, e, c], [a, b, e, c, d], [a, b, e, d, c], [a, c, b, d, e], [a, c, b, e, d], [a, c, d, b, e], [a, c, d, e, b], [a, c, e, b, d], [a, c, e, d, b], [a, d, b, c, e], [a, d, b, e, c], [a, d, c, b, e], [a, d, c, e, b], [a, d, e, b, c], [a, d, e, c, b], [a, e, b, c, d], [a, e, b, d, c], [a, e, c, b, d], [a, e, c, d, b], [a, e, d, b, c], [a, e, d, c, b], [b, a, c, d, e], [b, a, c, e, d], [b, a, d, c, e], [b, a, d, e, c], [b, a, e, c, d], [b, a, e, d, c], [b, c, a, d, e], [b, c, a, e, d], [b, c, d, a, e], [b, c, d, e, a], [b, c, e, a, d], [b, c, e, d, a], [b, d, a, c, e], [b, d, a, e, c], [b, d, c, a, e], [b, d, c, e, a], [b, d, e, a, c], [b, d, e, c, a], [b, e, a, c, d], [b, e, a, d, c], [b, e, c, a, d], [b, e, c, d, a], [b, e, d, a, c], [b, e, d, c, a], [c, a, b, d, e], [c, a, b, e, d], [c, a, d, b, e], [c, a, d, e, b], [c, a, e, b, d], [c, a, e, d, b], [c, b, a, d, e], [c, b, a, e, d], [c, b, d, a, e], [c, b, d, e, a], [c, b, e, a, d], [c, b, e, d, a], [c, d, a, b, e], [c, d, a, e, b], [c, d, b, a, e], [c, d, b, e, a], [c, d, e, a, b], [c, d, e, b, a], [c, e, a, b, d], [c, e, a, d, b], [c, e, b, a, d], [c, e, b, d, a], [c, e, d, a, b], [c, e, d, b, a], [d, a, b, c, e], [d, a, b, e, c], [d, a, c, b, e], [d, a, c, e, b], [d, a, e, b, c], [d, a, e, c, b], [d, b, a, c, e], [d, b, a, e, c], [d, b, c, a, e], [d, b, c, e, a], [d, b, e, a, c], [d, b, e, c, a], [d, c, a, b, e], [d, c, a, e, b], [d, c, b, a, e], [d, c, b, e, a], [d, c, e, a, b], [d, c, e, b, a], [d, e, a, b, c], [d, e, a, c, b], [d, e, b, a, c], [d, e, b, c, a], [d, e, c, a, b], [d, e, c, b, a], [e, a, b, c, d], [e, a, b, d, c], [e, a, c, b, d], [e, a, c, d, b], [e, a, d, b, c], [e, a, d, c, b], [e, b, a, c, d], [e, b, a, d, c], [e, b, c, a, d], [e, b, c, d, a], [e, b, d, a, c], [e, b, d, c, a], [e, c, a, b, d], [e, c, a, d, b], [e, c, b, a, d], [e, c, b, d, a], [e, c, d, a, b], [e, c, d, b, a], [e, d, a, b, c], [e, d, a, c, b], [e, d, b, a, c], [e, d, b, c, a], [e, d, c, a, b], [e, d, c, b, a]

El número de permutaciones de

objetos seleccionados de un

conjunto de objetos distintos es

¡

¡

r

n

n

n r

Número de formas en que permutar

las letras , , , de 2 en 2:a b c d

4! 44 3 12

2! 2 1

3 2 1

[ ], , , , , , , , , , ,[ ],a b [ ],a c [ ],a d [ ],b a [ ],b c [ ],b d [ ],c a [ ],c b [ ],c d [ ],d a [ ],d b [ ],d c


las letras , , , , de 3 en 3:A B C D E

5! 5 45 4 3 60

3! 3 2 1

3 2 1

[A, B, C], [A, B, D], [A, B, E], [A, C, B], [A, C, D], [A, C, E], [A, D, B], [A, D, C], [A, D, E], [A, E, B], [A, E, C], [A, E, D], [B, A, C], [B, A, D], [B, A, E], [B, C, A], [B, C, D], [B, C, E], [B, D, A], [B, D, C], [B, D, E], [B, E, A], [B, E, C], [B, E, D], [C, A, B], [C, A, D], [C, A, E], [C, B, A], [C, B, D], [C, B, E], [C, D, A], [C, D, B], [C, D, E], [C, E, A], [C, E, B], [C, E, D], [D, A, B], [D, A, C], [D, A, E], [D, B, A], [D, B, C], [D, B, E], [D, C, A], [D, C, B], [D, C, E], [D, E, A], [D, E, B], [D, E, C], [E, A, B], [E, A, C], [E, A, D], [E, B, A], [E, B, C], [E, B, D], [E, C, A], [E, C, B], [E, C, D], [E, D, A], [E, D, B], [E, D, C]

El número de combinaciones de

objetos distintos, tomados de

a la vez, es

¡

! ¡

n r

n

r n r

Número de formas de combinar


[ ], , , , ,[ ],a b [ ],a c [ ],a d [ ],b c [ ],b d [ ],c d

4! 4

62! 4 2 ! 2 1 2 1

3 2 1



4! 44 3 12

2! 2 1

3 2 1

[ ], , , , , , , , , , ,[ ],a b [ ],a c [ ],a d [ ],b a [ ],b c [ ],b d [ ],c a [ ],c b [ ],c d [ ],d a [ ],d b [ ],d c

Número de formas de combinar

las letras , , , , , de 3 en 3:a b c d e f

6! 6 5 4

203! 6 3 ! 3 2 1 3 2 1

3 2 1

[a, b, c], [a, b, d], [a, b, e], [a, b, f], [a, c, d][a, c, e], [a, c, f], [a, d, e], [a, d, f], [a, e, f][b, c, d], [b, c, e], [b, c, f], [b, d, e], [b, d, f][b, e, f], [c, d, e], [c, d, f], [c, e, f], [d, e, f]

En una fiesta hay personas,

¿cuál es la probabilidad que

al menos haya dos personas que

tengan el mismo cumpleaños?

N

En una fiesta hay personas, ¿cuál es la probabilidad que al

menos haya dos personas que tengan el mismo cumpleaños?

N

Es más fácil calcular la probabilidad

del evento complementario; es decir,

¿cuál es la probabilidad que las

personas tengan todas cumpleaños

distintos?

N

Tenemos los eventos

De personas que haya al menos

dos con el mismo cumpleaños

De personas que todas tengan

cumpleaños diferentesc

NA

NA



N

Puesto que hay personas y 365 días

en el año, hay 365 en las cuales las

personas pueden tener sus cumpleaños.

N

N

N



N

Si todos tienen que tener cumpleaños distintos,

entonces la primera persona pudo haber nacido

en cualquiera de los 365 días, la segunda persona

pudo haber nacido en cualquiera de los 364 días

restantes, la tercera persona pudo haber nacido

en cualquiera de los 363 días restantes, y así

sucesivamente, hasta 365 1.N



N

Hay entonces

365 364 363 ... 365 1

maneras en que las personas

pueden tener cumpleaños distintos.

N

N



N

Por lo tanto,

365 364 363 ... 365 1=

365y

365 364 363 ... 365 11

365

cN

N

NP A

NP A



N

En una fiesta hay personas,

¿cuál es la probabilidad que

al menos haya dos personas

que tengan el mismo cumpleaños?

N

N P(X=N)2 0.0033 0.0084 0.0165 0.0276 0.0417 0.0568 0.0749 0.095

10 0.11711 0.14112 0.16713 0.19414 0.22315 0.25316 0.28417 0.31518 0.34719 0.37920 0.41121 0.44422 0.47623 0.50724 0.53825 0.569

Para 50 personas es 97%

Para 100 personas es 99.99997%

La tabla proporciona un ejemplo de 400 piezas

clasificadas por defectos de superficie y como

funcionalmente defectuosas.Fallas superficiales

Sí (evento F) No Total

Defectuosa Sí (evento D) 10 18 28

No 30 342 372

Total 40 360 400

¿Cuáles son las probabilidades condicionales?

Fallas superficialesSí (evento F) No Total

Defectuosa Sí (evento D) 10 18 38No 30 342 362Total 40 360 400

10 1 18 1

40 4 360 20cP D F P D F


condicional como

P A BP B A

P A



1010 400 10 1400

40 400 40 40 4400

P D FP D F

P F



1818 400400

360 400 360400

18 1

360 20

c

c

c

P D FP D F

P F

Debido a que un nuevo procedimiento médico ha

demostrado ser eficaz en la detección precoz de una

enfermedad, se propone un examen médico de la población.

La probabilidad que la prueba identifique correctamente a

alguien con la enfermedad es 0.99, y la probabilidad que la

prueba identifique correctamente a alguien sin la

enfermedad es 0.95. La incidencia de la enfermedad en la

población general es 0.0001. Le hacen a usted la prueba y

el resultado es positivo. ¿Cuál es la probabilidad que usted

tenga la enfermedad?

Detección positiva con probabilidad 0.99. Detección negativa con probabilidad 0.95

Incidencia en la población general es 0.0001.

Le hacen a usted la prueba y el resultado es positivo.

¿Cuál es la probabilidad que usted tenga la enfermedad?

está enfermo

la prueba sale positiva

Lo que queremos encontrar es:

E

S

P E S


siempre se cumple

( ) ( )c c

A B

P B A P AP A B

P B A P A P B A P A

( ) ( )

c c

P S E P EP E S

P S E P E P S E P E

( ) ( )

0.99 0.0001

0.05 0.9999

0.99 0.0001

0.99 0.0001 0.05 0.9999

10.002

506

c c

c c

P S E P EP E S

P S E P E P S E P E

P S E P E

P S E P E

P E S

Detección positiva con probabilidad 0.99. Detección negativa con probabilidad 0.95

Incidencia en la población general es 0.0001.

Le hacen a usted la prueba y el resultado es positivo.

¿Cuál es la probabilidad que usted tenga la enfermedad?

La probabilidad que usted esté enfermo,

habiendose hecho la prueba y habiendo

esta salido positiva, es 0.002

La probabilidad que usted esté enfermo,

habiendose hecho la prueba y habiendo

esta salido positiva, es 0.002

¡Este hecho es sorprendente!

A pesar que la prueba es bastante efectiva, en el sentido que

es grande y que es pequeña, el que la

incidencia de la enfermedad en la población en general sea

tan chi

cP S E P S E

ca, hace que las probabilidad que usted tenga en

realidad la enfermedad, aún si la prueba resulto positiva,

sea también muy chica.

Un experimento tiene dos eventos

y mutuamente excluyentes,

y es cinco veces más probable que .

Determinar ( ) y ( ).

A B

A B

P A P B

Como ( ) ( ) 1 y ( ) 5 ( )

tenemos

5 ( ) ( ) 1

de donde

1 ( )

65

y por tanto, ( ) 6

P A P B P A P B

P B P B

P B

P A

Un experimento tiene dos eventos

y mutuamente excluyentes,

y es cinco veces más probable que .

Determinar ( ) y ( ).

A B

A B

P A P B

1.Probabilidad de dos eventos conociendo probabilidad de su unión y su intersección.

2.Comparacion de las probabilidades condicionales de eventos

3.Calcular la probabilidad de sacar 2 bolas blancas de una urna

4.Cantidad de palabras que se pueden formar con el alfabeto

5.Encuentra la probabilidad de los eventos elementales conocidas las de algunos eventos

6.Probabilidad de dos eventos conociendo probabilidad de su union y su interseccion

7. Probabilidad de obtener 2 águilas al lanzar una moneda 5 veces

8. Espacio muestral de un experimento sencillo

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Introducción a la Estadística