Introducción a la teoría de la plasticidad - III

2013 – 1erC

Recipientes de paredes delgadas

• Condición a/h>20 • Cálculo de tensión circunferencial Con la condición anterior, puede suponerse que las tensiones circunferenciales se distribuyen uniformemente. Planteando el equilibrio de fuerzas correspondiente:

Pν = P senθ , dA = r dθ dz , r=a en este caso dA’ = dr dz.

∫∑ ∫ =−= 0'2 dAdAPF θθνν σ

haPlhlaP

dzdrdzdsenaPl

a

hal

...2.2.

..

.2.....00 0

=⇒=

= ∫ ∫∫ ∫+

θθθθ

θθ

π

σσ

σθθ

Recipientes de paredes delgadas

• Cálculo de tensión axial Ahora se asume que la tensión axial σzz también es uniforme. el equilibrio de fuerzas correspondiente (ver figura previa) se expresa como: dA = r dθ dz., Tomando los límites de integración correspondientes e integrando, se tiene:

usando la hipótesis de paredes delgadas puede despreciarse h2, resulta

∫∑ ∫ =−= 0dAdAPF zzzz σ

2

2222

2

0

2

0 0

.2.2).).((2).2/.(

...

......

hhaaPahaaP

ddrrddrrP

zzzz

a

ha

zz

a

+=⇒−+=

= ∫ ∫∫ ∫+

σπσπ

θσθππ

2.2. θθσσ ==haP

zz

Recipientes de paredes delgadas

• Cálculo de tensión radial La tensión radial media puede estimarse como:

La suposición de paredes delgadas permite despreciar el valor de σrr ,

que resulta muy pequeño comparado con los valores de las otras tensiones.Resulta un caso de tensión plana.

• Resumiendo:

θθθθ σσσσ <<≅⇒−

=+−

=ahPP

rrrr 2.20

0.2...

=

=

=

rr

zz haPhaP

σ

σ

σθθ

Aplicación

( ) ( ) ( )( ) PhPa

equiv 310.2

3232/2/

21 3/1222 ≡==++−= θθθθθ σσσσσσ

•Se tiene un tanque de aluminio de paredes delgadas (a/h=20) cerrado en ambos extremos y presurizado (presión interna = P). Encontrar la deformación plástica en la dirección circunferencial (despreciar la deformación elástica). Suponer que el material se modela según la ley de Hollomon: σ=k (ε ))n

•Resolución: En la aproximación de recipiente de paredes delgadas, se conoce la expresión de las tensiones principales en función de la presión interna P y de la geometría de la pieza, por lo que se puede calcular la tensión equivalente

Usando las ecuaciones de Levy-Mises, se pueden calcular los incrementos de las deformaciones

θθθ

θθ

θθ

θθθθ

σσεσσ

σε

σσσε

σσσλε

σσεσσ

σε

σσσε

σσσλε

rquiv

equiv

rquiv

equivz

rquiv

equivzrr

rquiv

equiv

rquiv

equivz

rquiv

equivrz

ddddd

ddddd

43]

42[)](

21[)](

21.[

32

43]

4[)](

21[)](

21.[

32

−=+−=+−=+−=

=−=−=+−=

Aplicación – continuación

• Mediante el cálculo directo o asumiendo constancia de volumen resulta que el incremento de deformación en la dirección axial es nulo, se usará la segunda opción:

• Nota: De esta expresión, se desprende que puede usarse la aproximación de fluencia plana, aquí no hace falta.

• Pueden ahora calcularse el incremento de deformación equivalente:

zrquiv

equivz

rquiv

equivrz d

dd

dddddV εσ

σε

εσσε

εεε θθθ =−++=++== )43(

430

( )

( ) ( ) θθθθ

θθ

εεεεεε

εεεεεεε

dddddd

ddddddd

rr

rrzzequiv

326

32)()()(

32

)()()(32

2/122/1222

2/1222

==−+−+=

=−+−+−=

Aplicación – continuación

• De la expresión de Hollom σequiv=k εequivn , resulta

� � εequiv = (σequiv / k)1/n =

• Bajo hipótesis adecuadas se puede integrar la expresión entre 0 y el

valor de la expresión (b), de donde resulta: � εequiv =

n

kP

/1.3.10

n

equiv

equiv

kP

dd

/1

_.

0

_.

0

.3.1023

32

32

=⇒

==∫ ∫

θ

ε θε

θθ

ε

εεε

Valores de tensiones y deformaciones verdaderas en tracción uniaxial y en corte puro

• En las aplicaciones que involucran deformaciones plásticas, los estados (ideales) de tracción uniaxial y corte puro servirán para modelar varios procesos

Tracción uniaxial Corte puro σ1 =σmax , σ2=σ3=0

σ1 =-σ3=σma, σ2 = 0

τmax= σ1/2=σmax/2

τmax= 2σ1/2=σmax

εmax=ε1, ε2=ε3=ε1/2

εmax=ε1=-ε3, ε2=0

γmax=(3/2)ε1

γmax=ε1-ε3 = 2ε1

σequiv = σ1

σequiv = 3 σ1

εequiv = ε1

εequiv= (2/ 3 )ε1

Trabajado mecánico de metales

• El trabajado mecánico de metales está relacionado con el comportamiento plástico de los mismos y por tanto con la curva de flujo.

• • Estos procesos pueden agruparse en grandes categorías,

según la siguiente clasificación • 1) Procesos del tipo de compresión directa, • 2) procesos de compresión indirecta, • 3) procesos de tipo tracción, • 4) procesos de flexión, • 5) procesos de corte.

Trabajado mecánico de metales

Trabajado mecánico de metales • A fin de sistematizar los requerimientos teóricos, se hacen hipótesis

simplificativas que permiten predecir razonable las tensiones y deformaciones que se generan (y también las velocidades de deformación) en cada punto de la región deformada de la pieza a ser trabajada plásticamente. Los sistemas de ecuaciones a plantear son los siguientes:

• 1) las ecuaciones de equilibrio estático bajo las solicitaciones asumidas,

• 2) las ecuaciones de Levy-Mises o Prandlt-Reuss, según corresponda para relacionar tensiones con deformaciones o tasa de deformaciones,

• 3) el criterio de fluencia que mejor se adapte a la situación de interés. • • Esto da lugar a un sistema de 9 ecuaciones con 9 incógnitas (6

componentes de la tension y de las velocidad en cada punto) que puede o no tener solución dependiendo de las condiciones de contorno que imponga la geometría.

Trabajado mecánico de metales

• Cuando es resoluble, su complejidad es tan grande que, generalmente. se lo calcula en forma aproximada. Los métodos de análisis habituales son los siguientes:

• • 1) Método de la placa • 2) Método de energía de deformación uniforme • 3) Método del campo de líneas de deslizamiento • 4) Soluciones de cotas superior e inferior • 5) Método de los elementos finitos. • • No se explicarán pues exceden los alcances del curso.

Trabajado mecánico de metales

• En conformado plástico de metales, la tensión de conformado o presión que se ejerce (p) se describe como:

•

con : resistencia al flujo del material para el estado tensional correspondiente (es función de la deformación, la temperatura, la tasa de deformación, etc. • g(f) una expresión apropiada para la fricción en la interfase pieza-herramienta, • h(c) función de la geometría (de la pieza y de la herramienta) no se tratará aquí pues depende de cada proceso en particular.

)()(0 chfgp σ=

0σ

Ensayo de Watts y Ford

• Es un ensayo de compresión adecuado para láminas u hojas metálicas

• El ensayo consiste en comprimir una banda angosta de la lámina entre dos placas de ancho b. Los “hombros” del material a cada lado de las placas, impiden que el material deforme en la dirección del ancho w. Se requiere que w/b>5. Si el espesor original de la placa era t0 y después de la compresión es t, debe verificarse, además, 1/4<t/b<1/2. Esta dos condiciones aseguran fluencia plana.

• Las placas se cambian a fin de garantizar las condiciones anteriores. La lubricación es fundamental: si no hay buena lubricación se forma una“zona muerta” junto a las placas.

Ensayo de Watts y Ford aplicación

Calcular la tensión y deformación verdaderas y tensión y deformación equivalentes para el ensayo de Watts y Ford. Resolución En la dirección de compresión (1) se calculan (invirtiendo el signo en la figura, para que resulte positiva): Tensión verdaderas: p=P/(wb) = σ1, Deformación verdadera: ε =ln(t0/t) = ε1

1

3

2

Ensayo de Watts y Ford aplicación

• Las direcciones indicadas en la figura son principales. • En la dirección (2 no hay deformación (ε2 = 0), es

fluencia plana • Por volumen constante, resulta: 0 = ε1 + ε2 + ε3 = ε1 + ε3 => ε1 = -ε3 • En la dirección (3) el material fluye libremente, σ3 = 0. • La teoría de Levy-Mises, permite calcular σ2 = (σ1 + σ3) / 2 = σ1/2 • De lo anterior resulta: • Tensión equivalente: • Deformación equivalente:

155.123

1p

equiv == σσ

εεε 155.13

21 ==equiv