ENSAYOS INDUSTRIALESDpto. de Ingeniería Mecánica y NavalFacultad de IngenieríaUniversidad de Buenos Aires

TORSION

Luis A. de VediaHernán Svoboda

Buenos Aires2001

Ensayos Industriales Teoría ingenieril de torsión6-2

6. TEORIA INGENIERIL DE TORSION DE EJES YTUBOS DE PAREDES DELGADAS.

6.1 Torsión de un eje de sección circular.

Sea un eje de sección circular de radio R y longitud L sometida a unmomento torsor T como se muestra en la Fig. 6.1.

Asumiremos que secciones planas antes de la deformación permanecenplanas después de la deformación, lo que se verifica experimentalmente paraejes de sección circular pero que no es cierto en general para otras secciones.

Una fibra tal como la OA adoptará luego de la deformación la posiciónOB, de modo que

siendo

de modo que

Si se asume además que un diámetro del eje antes de la deformación, locontinua siendo luego de la misma, puede escribirse

Fig. 6. 1O

A

B

γ α α= ≅tg

αθ

= =ABL

RL

γθ

=RL

Ensayos Industriales Teoría ingenieril de torsión 6-3

donde r es la distancia al centro del eje y γr representa la deformación angularen esa posición.

La condición de equilibrio exige

Ahora bien, como

resulta

de modo que

donde J es el momento de inercia geométrico polar de la sección.

Resulta entonces

donde

Obsérvese que dado que

γθ

rrL

=

T rdAr

r dAo

R

o

R= = zz τ τ 2d i

τ γθ

r rG G rL

= =

τ θr

rGL

Cte= = .

Tr

r dAr

Jr rR= =zτ τ2

0

τ rTrJ

=

J D=π 4

32

(6. 1)

Ensayos Industriales Teoría ingenieril de torsión6-4

resulta

donde GJ/L es la Rigidez Torsional del eje.

Resulta ilustrativo extender los resultados anteriores al caso de un eje desección circular levemente variable como se muestra en la Fig. 6.2.

Podemos escribir

Por ser la sección levemente variable, podemos aplicar la 6.2 al elementode longitud dx y radio r para el que obtenemos

G TR JR L

TLJ

r

r

= = =τγ θ θ

//

θ = =TLGJ

TGJ L/ (6. 2)

Fig. 6. 2

r ab a x

L= +

−b g

J D r ab a x

L= = = +

−LNM

OQP

π π π4 4 4

32 2 2b g

Ensayos Industriales Teoría ingenieril de torsión 6-5

de modo que

Integrando obtenemos

6.2 Tubos de paredes delgadas.

Consideremos el caso de un tubo largo de paredes delgadas de seccióncon forma arbitraria, como se muestra en la Fig. 6.3.

d Tdx

G ab a x

L

θπ

=

+−L

NMOQP2

4b g

θπ π

=

+−L

NMOQP

= −FHGIKJ −FHGIKJ =z

+−F

HGIKJ

L

N

MMMM

O

Q

PPPP2 2 1

3 340

0

1TG

dx

ab a x

L

TG

Lb a

L

L

a b a xL

b g ( )

=−

− +FHG

IKJ

23

1 13 3

TLG b a b aπ b g (6. 3)

Fig. 6. 3

Ensayos Industriales Teoría ingenieril de torsión6-6

A diferencia de la sección circular considerada anteriormente, la secciónahora considerada puede alabearse. Asumimos no obstante que no habiendorestricción para este alabeo, no hay generación de tensiones de tracción ocompresión en la dirección longitudinal.

Aislando un elemento de volumen, dado que el espesor es pequeño,puede considerarse razonablemente que las tensiones tangenciales sonconstantes en el espesor y que adoptan la dirección tangente a la línea mediadel contorno, como se muestra en la figura.

El equilibrio en la dirección tangencial exige

mientras que el equilibrio en la dirección longitudinal requiere

Ahora bien, como

surge inmediatamente que

Por otra parte, por condiciones de equilibrio se cumple

de manera que

De modo que el producto q = τt es constante a lo largo del contorno deltubo y se denomina flujo de tensiones tangenciales. Representa la fuerza decorte por unidad de longitud de periferia medida sobre la línea media delespesor.

F F1 2=

F F3 4=

F t dx F t dx3 3 1 4 4 2= =τ τ,

τ τ3 1 4 2t t=

τ τ τ τ3 3 4 4= =' , '

τ τ' '3 1 4 2t t=

Fig. 6. 4

Ensayos Industriales Teoría ingenieril de torsión 6-7

Ahora bien, teniendo en cuenta la Fig. 6.4 puede escribirse

donde A es el área encerrada por la línea media del contorno del tubo.

De modo que

y

Para estimar el ángulo de torsión θ no es posible ahora asumir que lasdistorsiones varían linealmente con la distancia al eje longitudinal. Por lo tanto,considerando el elemento de volumen visto en la dirección n, como se indicaen la Fig. 6.4, tenemos que la fuerza tangencial que produce la distorsión delelemento, es

y el trabajo resulta

Como G = τ/γ, puede escribirse el trabajo sobre toda la periferia porunidad de longitud, como

T qrdS q rdS q dA Aq= = = =zzz 2 20

2π

q TA

=2

τ =TtA2

(6. 4)

(6. 5)

Fig. 6. 5

τ tdx

τ γtdx ds2

Ensayos Industriales Teoría ingenieril de torsión6-8

y como q = τt = Cte, se tiene que el trabajo por unidad de longitud, es

de manera que

o bien, teniendo en cuenta 6.4

y definiendo la resistencia torsional del tubo como

resulta

Obsérvese que esta ecuación es análoga a la 6.2 obtenida para barrascirculares, en la que se reemplaza el momento de inercia polar J por laresistencia torsional R.

τ γ τ τt dsG

tdstG

dst2 2 2

2 2

= = zzz b g

qG

dst

2

2 zT q

Gdst L

θθ

θ' '2 2

2

= =FHGIKJz

θ '= =

zzT

A Gdst

TA Gdst

4 42 2

R Adst

=

z4 2

θ θ= ='L TLGR

(6. 6)

(6. 7)

Ensayos Industriales Teoría ingenieril de torsión 6-9

6.3 Tensiones de torsión para grandes deformaciones.

Superado el límite elástico del material, las tensiones de corte en el eje noson más proporcionales a la distancia al centro del mismo. No obstante secontinúa cumpliendo que

donde θ’ = θ/L.

Por otra parte, si la sección es circular, podemos escribir

donde a es el radio del eje y siendo ahora en general

una función desconocida a determinar.

Teniendo en cuenta (6.8) podemos escribir

y

Efectuando un cambio de variables (6.9) resulta entonces

siendo γa = aθ.

γ θ= r ' (6. 8)

T r dra

= z20

2π τ (6. 9)

τ γ= f ( ) (6. 10)

r 22

2=γθ '

dr d=

γθ '

T f da

= z20

2

2π γγθ

γθ

γ

b g' '

Ensayos Industriales Teoría ingenieril de torsión6-10

De manera que

Derivando la (6.11) respecto de θ’, y teniendo en cuenta que

obtenemos (para r = a)

pero como es f(aθ’) = τa, la (6.12) resulta

es decir

por lo que resulta

T f da

θ π γ γ γγ

'3 2

0

2= z b g (6. 11)

dd

d

dr

r ddθ γ γ'

= FHGIKJ=

dd

T a f a a a f aθ

θ π θ θ π θ θ'

' ' ' ' '3 2 3 22 2d i b gb g b g= = (6.12)

dd

T a aθθ π θ τ

'' '3 3 22d i =

3 22 3 3 2T dTd

a aθ θθ

π θ τ' ''

'+ =

τπ

θθa a

dTd

T= +FHG

IKJ

12

33 ''

(6. 13)

Ensayos Industriales Teoría ingenieril de torsión 6-11

Ahora bien, a partir de la curva experimental T = f(θ’) que se muestraesquemáticamente en la Fig. 6.6, podemos determinar para un punto genéricosobre la misma tal como el C el valor de τa como

Además, para TMáx. se cumple

de modo que de (6.13) resulta

donde a la tensión última de corte τu se la denomina Módulo de rotura.

Dado que γa = aθ’, la (6.14) brinda una forma particularmente útil paradeterminar la curva tensión-deformación en corte τ = f(γ) a partir de un ensayode torsión. Por este motivo los ensayos de torsión son frecuentementeutilizados para determinar las propiedades de flujo plástico de materiales,particularmente a alta temperatura, aunque en este caso se hace necesario engeneral introducir correcciones para tener en cuenta la dependencia de latensión de flujo plástico con la velocidad de deformación.

τπa a

BC CD= +1

233 e j (6. 14)

dTdθ '

= 0

τπu

MáxTa

=32 3

. (6. 15)

Fig. 6. 6

Ensayos Industriales Teoría ingenieril de torsión6-12

6.4 Ensayo de tracción vs. Ensayo de torsión.

Resulta útil efectuar una comparación entre el ensayo de tracción y el detorsión. La Fig. 6.7 muestra esquemáticamente las tensiones actuantes en uneje sometido a torsión. Es fácil verificar que en general será

Tracción Torsión

Las dos últimas relaciones de la columna de la derecha de (6.16) sonparticularmente útiles porque en conjunción con la (6.14) nos permitendeterminar la curva de flujo plástico tensión efectiva-deformación efectiva de unmaterial a partir de un ensayo de torsión.

σ σ σ σ σ σ σ

τσ σ

τσ

σ σ

ε ε ε εε

ε ε ε ε

γ ε γ ε ε ε

σ σ σ σ

ε ε ε εγ

1 2 3 1 3 2

1 11

1 2 31

1 3 2

1 1 3 1

1 1

1 1

0 0

2 222

20

32

2

323 3

= = = = − =

= = = = =

= = = − = = − =

= = − =

= =

= = =

Máx

MáxMáx

Máx Máx

Máx Máx

Máx Máx

.

..

. .

. .

. .

, ,

, ,(6. 16)

Fig. 6. 7

Ensayos Industriales Teoría ingenieril de torsión 6-13

En un eje sometido a torsión, las máximas tensiones de corte seproducen en el plano normal al eje y la máxima tensión de tracción en un planoa 45º del mismo. Por tal motivo, un material dúctil fallará en torsiónpresentando una superficie de fractura como se muestra en la Fig. 6.7(a). Encambio, un material frágil lo hará como se indica en la Fig. 6.7(b), ya que en talcaso serán las máximas tensiones de tracción las que producirán la falla.

La Fig. 6.8 representa la tensión de corte máxima vs. la tensión normalmáxima en un ensayo de tracción y en un ensayo de torsión. La comparaciónnos muestra que τMáx. en torsión es el doble que en tracción para un mismovalor de σMáx. Dado que en primera aproximación puede considerarse que larotura por deformación plástica se produce al alcanzarse un valor crítico deτMáx. y que la fractura frágil se produce al alcanzarse un valor crítico de σMáx.,las posibilidades de ruptura dúctil son mayores en torsión que en tracción. Poresta razón en un ensayo de torsión es más probable alcanzar la tensión críticade corte antes que la tensión crítica normal, mientras que en un ensayo detracción es más probable alcanzar la tensión crítica normal antes que la críticade corte.

Fig. 6. 8