INTRODUCCION A TOPOGRAFIA BASICA

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CURSO DE TOPOGRAFÍA

INGENIERIA CIVIL

UNIVERSIDAD AUTONOMA DEL

PERU

CURSO DE TOPOGRAFÍA

INGENIERIA CIVIL

UNIVERSIDAD AUTONOMA DEL

PERU

DOCENTE: ING. ENRIQUE JESUS MAGUIÑA TUPAC YUPANQUI

Clases: Miércoles de 8:am a 12:30 pm

Evaluación: De acuerdo a sílabo

Aprobación: El estudiante que acumula inasistencias injustificadas en número igual o mayor al 30 % del total de horas programadas en la unidad didáctica (asignaturas), será desaprobado en forma automática, sin derecho a recuperación.

Reglas del Juego • Apague su celular, iphone, etc.• No comer ni beber en el salón de clases.• Es fundamental escuchar la opinión de sus

otros compañeros.• Las actividades a realizar tendrán un tiempo

determinado y se pide respetar ese horario.• Participación activa del estudiante (se evaluará)• No realizar otras actividades, durante el

desarrollo las clases.• Si desea intervenir levantará la mano.• El alumno deberá contar con calculadora en

clases.

Definiendo Valores personales centrales

• Por que estoy aquí, en este curso?• ¿Porqué estoy dispuesto a esforzarme

hasta el último?• ¿Qué me importa apasionadamente?• ¿Porqué me gustaría ser recordado?• ¿Qué me gustaría haber logrado en 5

años?• Si pudiera defender algunos principios

básicos ¿Cuáles serían?

"El éxito no es ni mágico ni misterioso. El éxito es la consecuencia natural de aplicar con firmeza los principios básicos de la superación personal."

Jim Rohn“Los que emplean mal su tiempo son los primeros en quejarse de su brevedad”.

Jean De La Bruyere

La Topografía es una disciplina cuya aplicación está presente en la mayoría de las actividades humanas que requieren tener conocimiento de la superficie del terreno donde tendrá lugar el desenvolvimiento de actividades variadas

La realización de obras civiles, tales como acueductos, canales, vías de comunicación, embalses etc, en la elaboración de urbanismos, en el catastro, en el campo militar, así como en la arqueología, y en muchos otros campos, la topografía constituye un elemento indispensable.

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

Se puede suponer que la Topografía tuvo su inicio desde el momento en que la especie humana dejó de ser nómada para convertirse en sedentaria. La necesidad de establecer límites precisos e invariables en el tiempo entre las propiedades seguramente hizo surgir los primeros métodos e instrumentos topográficos elementales. Las primeras referencias por escrito sobre el uso de la topografía se remontan a la época del imperio egipcio, hacia el 1.400 a.C., donde fue utilizada para determinar linderos entre propiedades en los valles fértiles del Nilo.

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

DEFINICIÓN 1Disciplina que comprende todos los métodos para medir, procesar y difundir información sobre la tierra y nuestro medio ambiente.

DEFINICIÓN 2Ciencia que estudia el conjunto de principios y procedimientos que tienen por objeto la representación gráfica de la superficie de la tierra.

Topo Grafo

Topografía

Etimológicamente

DEFINICION

DEFINICIÓN 3Es la ciencia y la técnica de realizar mediciones de ángulos y distancias en extensiones de terreno lo suficientemente reducidas como para poder despreciar el efecto de la curvatura terrestre, para después procesarlas y obtener así coordenadas de puntos, direcciones, elevaciones, áreas o volúmenes, en forma gráfica y/o numérica, según los requerimientos del trabajo.

DEFINICION

Los diversos componentes que integran la topografía se agrupan en tres grandes grupos bien diferenciados:Teoría de errores y cálculo de compensación: constituye la agrupación de los métodos matemáticos que permiten la minimización de los inevitables errores cometidos en las mediciones, y que permiten también establecer los métodos y los instrumentos idóneos a utilizar en los diversos trabajos topográficos, para obtener la máxima calidad en los mismos.

DEFINICION

Instrumentación: en esta división se estudian los diferentes tipos de equipos usados en topografía para llevar a cabo las mediciones, angulares o de distancias, para establecer sus principios de funcionamiento, llevar a cabo su mantenimiento y lograr su óptima utilización.

DEFINICION

Métodos topográficos: es el conjunto de operaciones necesarias para obtener la proyección horizontal y las cotas de los puntos medidos en el terreno. Generalmente las proyecciones horizontales se calculan en forma independiente de las cotas de los puntos, diferenciándose entonces en dos grandes grupos: Métodos Planimétricos.Métodos Altimétricos.

DEFINICION

1 - Determinación de la forma de la Tierra

3 - Administración de la tierra

4 - Medir distancias y ángulos entre puntos

2 - Localización de objetos en el espacio

5 - Elaborar mapas. Orientación.

APLICACIONES

Actualmente, la topografía está englobada dentro de la Geodesia, donde se le conoce también con el nombre de geodesia común [Wahl, 1964]. Dentro de aquella ciencia general, conformada por diversas disciplinas, la topografía interactúa con las mismas, principalmente con:-Cartografía: para levantamientos topográficos requeridos en la producción yactualización cartográfica con diferentes fines.-Fotogrametría: como base para el control de fotografías y modelos aerofotogramétricos.-Geodesia: para la densificación de redes geodésicas con fines de control enlevantamientos catastrales, localizaciones petroleras etc.- Astronomía Geodésica.

Es importante destacar que la topografía es un valiosa herramienta desde el punto de vista del Derecho, ya que se utiliza para determinar límites entre propiedades y entre distintas zonas administrativas de la Nación.

RELACIÓN DE LA TOPOGRAFÍA CON OTRAS CIENCIAS

Dos ciencias que tienen más o menos la misma finalidad : medir extensiones de tierra. Estas dos ciencias difieren entre sí:

En cuanto a las magnitudes consideradas en cada una de ellas y por consiguiente en los métodos empleados.

DIFERENCIAS ENTRE TOPOGRAFÍA Y GEODESIA

La topografía opera sobre porciones pequeñas de terreno, no teniendo en cuenta laverdadera forma de La Tierra, sino considerando la superficie terrestre como un plano.En error cometido con esta hipótesis es despreciable, cuando se trata de extensiones que no sean excesivamente grandes, si se considera un arco en la superficie terrestre de 18 km de longitud es tan sólo 1,5 cm mas largo que la cuerda subtendida, y que sólo se comete un error de 1” de exceso esférico en un triángulo que tenga un área de 190 km2.


Cuando se trata de medir grandes extensiones de tierra, como por ejemplo, paraconfeccionar la carta de un país, de un estado o de una ciudad grande, no se puede aceptar la aproximación que da la topografía, teniéndose entonces que considerar la verdadera forma de La Tierra y por consiguiente su superficie ya no se considera un plano sino se toma como parte de la superficie de un elipsoide y tendremos que acudir a la geodesia.


Fue costumbre definir la superficie de la tierra como la superficie del geoide o superficie de nivel, que coincide con la superficie del agua en reposo de los océanos, idealmente extendido bajo los continentes, de modo que la dirección de las líneas verticales crucen perpendicularmente esta superficie en todos sus puntos.

Realmente, la superficie del geoide es indeterminada, ya que depende de la gravedad y esta a su vez de la distribución de las masas, de la uniformidad de las mismas y de la deformación de la superficie terrestre.

La tierra no sólo es achatada en los polos sino también en el Ecuador, aunque en menor cantidad.

FORMA DE LA TIERRA

Debido a la complejidad, se ha decidido reemplazar la superficie del geoide por la superficie de un elipsoide que se ajusta lo suficiente a la forma real de la tierra. Con esa aproximación se puede asumir que una superficie de nivel es perpendicular en cualquier punto a la vertical del lugar o a la dirección de la plomada

Aceptando la simplificación sobre la forma de la tierra, debemos estimar el efecto que la misma tiene en el proceso de nivelación.

Como puede observarse en la siguiente figura, una distancia horizontal lanzada desde el punto A se aleja de la superficie de la tierra en función de la distancia horizontal D, por lo que el efecto de la curvatura de la tierra (ec) será la distancia BB’.

CURVATURA Y REFRACCION

Error A'B'-ABSuponiendo AB 30 kmpara 20 km da 4,2 mm por kmpara 25 km da 4,8 mm por km

LIMITES DEL CAMPO DE LA TOPOGRAFÍA

El sistema de coordenadas geográficas es un sistema de referencia que utiliza las dos coordenadas angulares latitud (norte o sur) y longitud (este u oeste) para determinar las posiciones de la superficie terrestre (o en general de una esfera o un esferoide). Estas dos coordenadas angulares medidas desde el centro de la Tierra son de un sistema de coordenadas esféricas que está alineado con su eje de rotación. La definición de un sistema de coordenadas geográficas incluye un datum, meridiano principal y unidad angular. Estas coordenadas se suelen expresar en grados sexagesimales.

SISTEMA DE COORDENADAS GEOGRAFICAS

LATITUD LONGITUD


LATITUD

La latitud mide el ángulo entre cualquier punto y el ecuador. Las líneas de latitud se llaman paralelos y son círculos paralelos al ecuador en la superficie de la Tierra. La latitud es la distancia que existe entre un punto cualquiera y el Ecuador, medida sobre el meridiano que pasa por dicho punto.Para los paralelos, sabiendo que la circunferencia que corresponde al Ecuador mide 40.075,004 km, 1º equivale a 111,319 km.

La latitud se suele expresar en grados sexagesimales.Todos los puntos ubicados sobre el mismo paralelo tienen la misma latitud.Aquellos que se encuentran al norte del Ecuador reciben la denominación Norte (N).Aquellos que se encuentran al sur del Ecuador reciben la denominación Sur (S).Se mide de 0º a 90º.Al Ecuador le corresponde la latitud de 0º.Los polos Norte y Sur tienen latitud 90º N y 90º S respectivamente.


LATITUD

LONGITUD

La longitud mide el ángulo a lo largo del ecuador desde cualquier punto de la Tierra. Se acepta que Greenwich en Londres es la longitud 0 en la mayoría de las sociedades modernas. Las líneas de longitud son círculos máximos que pasan por los polos y se llaman meridianos. Los meridianos, sabiendo que junto con sus correspondientes antimeridianos se forman circunferencias de 40.007 km de longitud, 1º equivale a 111,131 km.



X X

Y

Y

PAbsci

sa de P

Ordenada de P

Y-Y: Eje Norte – SurX-X: Eje Este – Oeste

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

La escala es la relación matemática que existe entre las dimensiones reales y las del dibujo que representa la realidad sobre un plano o un mapa. Es la relación de proporción que existe entre las medidas de un mapa con las originales.

ESCALA CARTOGRAFICA

Las escalas se escriben en forma de razón donde el antecedente indica el valor del plano y el consecuente el valor de la realidad. Por ejemplo la escala 1:500, significa que 1 cm del plano equivale a 5 m en la realidad.Ejemplos: 1:1, 1:10, 1:500, 5:1, 50:1, 75:1

ESCALA CARTOGRAFICA

http://es.wikipedia.org/wiki/Raz%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)

http://es.wikipedia.org/wiki/Medici%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Cent%C3%ADmetro

http://es.wikipedia.org/wiki/Plano_(cartograf%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/M

En un plano a escala 1:5.000 calcula la longitud que corresponde a 400m del terreno.SOLUCION:

La escala es la relación entre una longitud P medida en el plano y su equivalente T en el terreno:

Por tanto:

EJERCICIO

En un plano a escala 1:1.000 una distancia mide 30cm. Calcula la longitud que corresponde en el terreno.

Como en el ejercicio anterior:

Por tanto:

EJERCICIO

CONCEPTOS BASICOS DE TRIGONOMETRIA

La trigonometría (del griego, la medición de los triángulos) es una rama de las matemáticas que estudia los ángulos y los lados de un triángulo cualquiera y las relaciones entre ellos.

DEFINICION DE TRIGONOMETRIA

• Está compuesta por: Prefijo Tri- cuyo significado es tres Lexema –gono- cuyo significado es ángulo y Sufijo –metría cuyo significado es medida.


Ángulo: Es la abertura formada por dos semirrectas unidas en un solo punto llamado vértice.

Es la porción de plano limitada por dos semirrectas que se unen en un punto.


• Los ángulos se pueden representar centrados en los ejes de coordenadas.

• El sentido positivo es contrario a las agujas del reloj


En la trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado Sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada.RADIAN. Es el ángulo plano que, teniendo su vértice en el centro de un círculo, de manera que el arco situado sobre la circunferencia de ese círculo, tiene la longitud igual al radio. Su símbolo es rad.

RADIAN se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado Centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, pero su uso prácticamente es inexistente.

MEDIDA DE UN ANGULO

• La unidad de medida de los ángulos se llama grado; y para los diferentes casos resulta de dividir un ángulo recto en 90 partes iguales (en sexagesimal), 100 partes iguales (en centesimal) y π/2 radianes, de ahí la relación.:

R/ πrad = S/180 = C/200

Por lo tanto, un ángulo recto mide 90º sexagesimales.• El grado sexagesimal se divide en 60 minutos, y un minuto

a su vez en 60 segundos.

MEDIDA DE UN ANGULO

Las funciones trigonométricas resultan básicamente de realizar divisiones entre los lados de un triángulo. Su aplicación se extiende a parte de las ramas de la matemática, al estudio de muchos conceptos básicos de la física. Para una mejor comprensión del tema, analicemos la siguiente gráfica:

CONCEPTOS GENERALES

En la figura se observa un ángulo que orientado en forma positiva (en sentido contrario a las manecillas del reloj), en el cual su lado inicial es el mismo eje de coordenadas x, y su lado Terminal el nombrado con la letra A. Sobre este lado terminal se han localizado dos puntos P1 y P2 respectivamente, y por cada uno de los dos puntos hemos trazado igual número de perpendiculares sobre el eje de coordenadas x, formando así dos triángulos rectángulos a saber: triángulo 0M1P1 y 0M2P2.

De lo anterior, se deduce, que de la misma forma que hemos construido dos triángulos rectángulos, se pueden construir una cantidad infinita de triángulos, que por geometría se sabe que serán semejantes entre sí.

Sea el triángulo rectángulo:

El lado que se encuentra al frente del ángulo recto, en cualquier triángulo rectángulo recibe el nombre de hipotenusa, que en la gráfica la hemos señalado con la letra r.Por el teorema de Pitágoras se halla el valor de r, entonces:

Esta relación indica que para cualquier ángulo dado, cualquiera que sea el punto P que se tome sobre su lado terminal, el cociente entre cualquiera de los lados y r, tiene un valor constante.Es decir:

Siempre van a tener un valor constante.

De igual manera, como se han encontrado los valores de estas dos funciones, por semejanza de triángulos se puede hallar otras proporciones y nombrarlas con diferentes nombres, que en conjunto son las que llamamos funciones trigonométricas.En función del triángulo rectángulo se definen las funciones trigonométricas así:

Llamando:r = hipotenusa del triánguloy = cateto opuesto respecto dex = cateto adyacente respecto de

.

Se sabe por definición que los ángulos internos de cualquier triángulo suman 180°.Si a un cuadrado se le traza una diagonal, genera dos triángulos rectángulos, con un ángulo de 90° y dos de 45°. Ahora, si se trata de un triángulo equilátero donde sus tres ángulos son iguales (60° cada uno) y se divide en dos partes trazando una de las alturas del triángulo, genera dos triángulos rectángulos, donde cada uno de los triángulos tiene un ángulo de 90°, uno de 60° y el otro de 30°. A los ángulos de 30°, 45° y 60° son los que llamamos ángulos notables.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS NOTABLES

Funciones trigonométricas para los ángulos de 30° y 60°Para hallar las funciones trigonométricas de los ángulos de 30° y 60°, tomaremos como base un triángulo equilátero


Observemos que al dividir el triángulo equilátero en dos partes, resultan dos triángulos rectángulos.Tomemos uno de ellos:


Para hallar las funciones trigonométricas de los ángulos de 30° y 60°,es necesario encontrar el valor de la altura del triángulo. Este valor se halla por medio del teorema de Pitágoras:


Teniendo los datos del triángulo completos, se hallan las funciones trigonométricas para cada uno de los ángulos:


De igual manera se procede para el ángulo de 30°, y se tendrá:


De lo anterior se establece una serie de relaciones entre los dos ángulos:

Seno 60° = Coseno 30°Coseno 60° = Seno 30°Tangente 60° = Cotangente 30°Secante 60° = Cosecante 30°Cosecante 60° = Secante 30°


Funciones trigonométricas para el ángulo de 45°Para encontrar las funciones trigonométricas del ángulo de 45°, se utiliza un cuadrado como referencia:

Si al cuadrado de la figura se le traza una diagonal, el cuadrado queda dividido en dos triángulos rectángulos, donde se conocen los valores de los catetos (L), y se desconoce el valor de la hipotenusa (x). Este valor al igual que en el caso anterior, se halla por medio del teorema de Pitágoras:


Con el anterior valor se completan los datos de la figura:

De esta manera hallamos las funciones trigonométricas para el ángulo de 45°.


Resumiendo en un cuadro general todas las funciones trigonométricas para los ángulos de 30°, 45° y 60°, tenemos:


REDUCCION DE ANGULOS AL PRIMER CUADRANTE

Para una mejor explicación, observemos la siguiente figura: En la figura se tiene que:

OA = OA´ = radio de la circunferencia.El lado OA´ corresponde al lado terminal de un ángulo ubicado en el segundo cuadrante, y por semejanza de triángulos las funciones trigonométricas de éste ángulo son iguales que las funciones trigonométricas del ángulo del primer cuadrante.

REDUCCION DE ANGULOS AL SEGUNDO CUADRANTE

Al ángulo marcado comoLe corresponde las mismas funciones trigonométricas del ángulo a del primer cuadrante. Aplicando las definiciones de las funciones trigonométricas se tiene:

REDUCCION DE ANGULOS AL SEGUNDO CUADRANTE

El ángulo referencia para el cuarto cuadrante será 360°.OA = OA´ = radio de la circunferenciaEl lado OA´ corresponde al lado terminal de un ángulo ubicado en el cuarto cuadrante, y por semejanza de triángulos las funciones trigonométricas de este ángulo son iguales a las funciones trigonométricas del ángulo del primer cuadrante. Se debe tener en cuenta que: al ángulo marcado como

REDUCCION DE ANGULOS AL CUARTO CUADRANTE

le corresponde las mismas funciones trigonométricas del ángulo a del primer cuadrante. Aplicando las definiciones de las funciones trigonométricas se tiene:

Los ángulos negativos presentan relaciones con su respectivo ángulo positivo en los cuadrantes I y IV, o también en el II y III cuadrantes.

Observemos que en las dos figuras los puntos escogidos sobre los lados terminales P y P´, tienen la misma abscisa (x), los mismos valores del radio (r) y difieren solamente en el signo algebraico de la ordenada (y). Aplicando las definiciones de las funciones trigonométricas para los ángulos

representados en las figuras (1) y (2), se tiene:

Figura No. 2

Figura No. 1

REDUCCIÓN DE FUNCIONES DE ÁNGULOS NEGATIVOS


Si se realiza el mismo procedimiento para las demás funciones trigonométricas, se llega a las siguientes conclusiones:


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