Introducción al Análisis de Espacios Métricos

8/18/2019 Introducción al Análisis de Espacios Métricos

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INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE

ESPACIOS MÉTRICOS

M.C. Ma. Guadalupe Raggi Cárdenas

Dr. Juan Alberto Escamilla Reyna

Dr. Francisco Javier Mendoza Torres

F.C.F.M. BUAP


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BENEMÉRITA UNIVERSIDAD

AUTÓNOMA

DE

PUEBLA

Enrique Agüera Ibáñez Rector.

José Ramón Eguíbar Cuenca Secretario General.

Pedro Hugo Hernández Tejeda Vicerrector de Investigación y Estudios de Posgrado. Lilia Cedillo Ramírez Vicerrectora de Extensión y Difusión de la Cultura. Cupatitzio Ramírez Romero Director de la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas. Carlos Contreras Cruz Director Editorial.

Primera edición 2010

ISBN: 978‐607‐487‐139‐5

©Benemérita Universidad Autónoma de Puebla

Dirección de Fomento Editorial

2 Norte 1404, CP 72000

Puebla Pue.

Teléfono fax 01 222 2468559

Impreso en México Printed in México

Agradecimientos

Los autores

agradecen

el

apoyo

financiero

del

PIFCA

2009

(Proyecto Institucional de Fortalecimiento para los Cuerpos Académicos) obtenido a través del Cuerpo Académico de Modelación Matemática y Ecuaciones Diferenciables.


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Índice General

Prólogo. 1

1. Teoŕıa de Conjuntos. 31.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Preliminares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Operaciones con Conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Familias de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7. El Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.8. Axioma de Elección. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.9. Cardinalidad de Conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Espacios Métricos. 152.1. Definiciones y Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2. Construcción de Métricas a Partir de Métricas Dadas. . . . . . . . . . . . 182.3. Conceptos Topológicos en Espacios Métricos. . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4. Conjuntos Acotados en Espacios Métricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.5. Conjuntos Totalmente Acotados en Espacios

Métricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.6. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3. Sucesiones en Espacios Métricos. 49

3.1. Convergencia de una Sucesíon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2. Subsucesiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3. Sucesiones de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.4. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4. Funciones Continuas en Espacios Métricos. 634.1. Funciones Continuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2. Continuidad Uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

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ii ÍNDICE GENERA

4.3. Métricas Equivalentes, Semejantes,

Uniformemente Equivalentes e Isometŕıas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5. Espacios Métricos Completos. 85.1. Espacios Métricos Completos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.2. Completación de un Espacio Métrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

6. Conjuntos Compactos. 96.1. Conjuntos Secuencialmente Compactos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96.2. Conjuntos que tienen la Propiedad de Bolzano-Weierstrass (BW). . . . . 10

6.3. Conjuntos Compactos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.4. Caracterizaciones de la Compacidad en Espacios Métricos. . . . . . . . . 106.5. Relación entre la Compacidad y la Completitud. . . . . . . . . . . . . . . 106.6. Funciones Continuas en Conjuntos Compactos. . . . . . . . . . . . . . . . 106.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

7. Aplicaciones Contractivas. 117.1. Contracciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117.2. Aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117.3. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

8. Conexidad. 128.1. Conjuntos Conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128.2. Continuidad en Conjuntos Conexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138.3. Componentes Conexas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138.4. Arco–conexidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Bibliograf́ıa. 13


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Prólogo.

Este libro fue elaborado para el curso de Análisis Matemático en EspaciosMétricos, el cual está ubicado en el sexto semestre del mapa curricular de la carreraLic. en Matemáticas . Los autores hemos impartido esta materia en diversos cuatrimestres

(semestres). Versiones preliminares de este libro han apoyado a los estudiantes de dichocurso, en su formación profesional.

M.C. Ma. Guadalupe Raggi Cárdenas.Dr. Juan Alberto Escamilla Reyna.

Dr. Fco. Javier Mendoza Torres.

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Caṕıtulo 1

Teoŕıa de Conjuntos.

1.1. Introducción

En este caṕıtulo, daremos una introducción breve a la teoŕıa de conjuntos, revisa-remos la notación, los conceptos y resultados básicos que necesitaremos a lo largo dellibro. Nuestro enfoque será intuitivo y no axiomático, a pesar de saber que este enfoquenos puede conducir a paradojas, sin embargo, para nuestros propósitos es suficiente.La mayoŕıa de los resultados aqúı incluidos se demuestran en los cursos básicos de laslicenciaturas en ciencias, es por esto que no daremos las demostraciones en este texto.

La teorı́a de conjuntos es, por si misma, un área muy importante de las matemáticas,

que tiene su propio desarrollo, pero también juega un papel relevante en la organización,unificación y comprensión de la mayor parte de las matemáticas.

1.2. Preliminares.

Para nosotros, un conjunto es una colección (familia) de objetos a los que llamaremoselementos del conjunto. Para denotar un conjunto, usualmente se utilizan letras mayúscu-las: A, B , C , . . . , X, Y , etc. y a veces se usan letras mayúsculas con sub́ındices. Para loselementos, usaremos letras minúsculas a ,b ,c, . . . ,x,y, etc. y también letras minúsculascon sub́ındices.

Dado un elemento x y un conjunto A, si x es elemento de A , lo denotaremos comox ∈ A, también se suele decir que x pertenece a A, x es miembro de A, x está en A; enel caso de que x no sea elemento de A, lo denotaremos como x /∈ A, también se sueledecir que x no pertenece a A, x no es miembro de A, x no está en A.

La regla fundamental es: dado un conjunto A y un elemento x, ocurre una y sólo unade las siguientes afirmaciones: x ∈ A ó x /∈ A.

Existen dos formas básicas de expresar un conjunto, una, enlistando entre llavestodos sus elementos, en este caso decimos que el conjunto est á definido por extensión.

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4 CAP ́ITULO 1. TEOR ́IA DE CONJUNTOS

Obviamente esta manera de definir conjuntos es muy limitada. Otra manera de definirl

es a través de una “propiedad” el conjunto se forma con todos los elementos que cumpladicha propiedad, en este caso decimos que el conjunto está definido por comprensión.

Definición 1.1. Sean X y Y dos conjuntos. Decimos que X es subconjunto de Y , si

para cada x, si x ∈ X, entonces x ∈ Y.

Cuando X es subconjunto de Y lo denotamos como X ⊂ Y ó Y ⊃ X . Cuando X nes subconjunto de Y lo denotamos como X ⊂ Y .

Definición 1.2. Sean X y Y dos conjuntos. Decimos que

X = Y, si y s´ olo si, X ⊂ Y y Y ⊂ X.

Si X ⊂ Y , pero X = Y , decimos que X es un subconjunto propio de Y . Se denotcomo X Y .

Usualmente, cuando trabajamos en determinado contexto, consideramos a los con juntos como subconjuntos de un conjunto U , al que llamamos conjunto universal. Poejemplo, el conjunto de números naturales N es un subconjunto del conjunto de lonúmeros reales R, en este caso, U = R.

Propiedades de la contención y la igualdad.Teorema 1.1. Sean X, Y y Z conjuntos. Entonces

1. X ⊂ X . Ley reflexiva.

2. X ⊂ Y y Y ⊂ X , implica que X = Y . Ley antisimétrica.

3. X ⊂ Y y Y ⊂ Z , implica que X ⊂ Z . Ley transitiva.

Teorema 1.2. Sean X, Y y Z conjuntos. Entonces

1. X = X . Ley reflexiva.

2. X = Y implica que Y = X . Ley simétrica.

3. X = Y y Y = Z implica que X = Z . Ley transitiva.

Al conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado X se le llama el conjuntpotencia de X y se le denota como P (X ).


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1.3. OPERACIONES CON CONJUNTOS. 5

1.3. Operaciones con Conjuntos.

Definición 1.3. Sean X y Y dos conjuntos. Definimos

La uni´ on de X y Y , denotada por X ∪Y , como X ∪Y = {x ∈ U | x ∈ X ´ o x ∈ Y }.La intersecci´ on de X y Y , denotada por X ∩ Y , como X ∩ Y = {x ∈ U | x ∈X y x ∈ Y }.

Teorema 1.3. Sean X, Y y Z tres conjuntos. Entonces

1. X ∪ ∅ = X y X ∩ ∅ = ∅. (leyes de identidad).

2. X ∪ X = X y X ∩ X = X . (leyes de idempotencia).3. X ∪ Y = Y ∪ X y X ∩ Y = Y ∩ X . (leyes conmutativas).4. X ∪ (Y ∪ Z ) = (X ∪ Y ) ∪ Z y X ∩ (Y ∩ Z ) = (X ∩ Y ) ∩ Z . (leyes asociativas).5. X ∪ (Y ∩ Z ) = (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z ) y X ∩ (Y ∪ Z ) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z ). (leyes

distributivas).

El siguiente teorema nos da una relación entre las operaciones de unión, intersecciónde conjuntos y la relación de contención.

Teorema 1.4. Sean X y Y dos conjuntos. Son equivalentes

1. X ⊂ Y .2. X ∪ Y = Y .3. X ∩ Y = X .

Definición 1.4. Sean X y Y dos conjuntos. Definimos

La diferencia de X y Y , denotada por X −Y , como X −Y = {x | x ∈ X y x /∈ Y }.

En particular, si Y ⊂ X , el complemento de Y con respecto a X , denotado por ∁X Y , como ∁X Y = X − Y .

Obsérvese que la operación de complementación está definida únicamente cuandoun conjunto es subconjunto de otro, sin embargo en la operaci ón diferencia no existe,necesariamente, una relación entre los dos conjuntos. Se suele denotar a ∁X Y como Y

C

cuando no hay confusión de quién es X . La relación entre ambas operaciones está dadapor el siguiente teorema


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Teorema 1.5. Sea Z un conjunto. X y Y subconjuntos de U Entonces

X − Y = X ∩ Y C .

Algunas de las propiedades básicas del complemento son:

Teorema 1.6. Sea X y Y subconjuntos de U . Entonces

1. X ∩ X C = ∅.2. X ∪ X C = Z .3. (X C )C = X .

4. X ⊂ Y , si y s´ olo si, Y C ⊂ X C .5. (X ∪ Y )C = X C ∩ Y C .6. (X ∩ Y )C = X C ∪ Y C .Las dos últimas propiedades se les suele conocer como las leyes de De Morgan.

Propiedades de la Diferencia.

Teorema 1.7. Sean X, Y y Z conjuntos.

1. X − Y ⊂ X .2. (X − Y ) ∩ Y = ∅.3. X − Y = ∅, si y s´ olo si, X ⊂ Y .4. X = (X − Y ) ∪ (X ∩ Y ).5. X − (X − Y ) = X ∩ Y .6. (X − Y ) − Z = (X − Z ) − Y .7. X

−(Y

−Z ) = (X

−Y )

∪(X

∩Z ).

8. (X − Y ) ∪ (Y − X ) = (X ∪ Y ) − (X ∩ Y ).Por su importancia, destacamos las siguientes propiedades conocidas como las leye

de De Morgan.

Teorema 1.8 (Leyes de De Morgan). Sean X, Y y Z conjuntos.

(a) Z − (X ∪ Y ) = (Z − X ) ∩ (Z − Y ).


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1.4. FAMILIAS DE CONJUNTOS 7

(b) Z − (X ∪ Y ) = (Z − X ) ∩ (Z − Y ).

Producto Cartesiano de dos Conjuntos.En la teoŕıa de conjuntos se define, de manera formal, el concepto de pareja ordenada

como:

Definición 1.5. Sean a y b dos objetos. Definimos la pareja ordenada, denotada por (a, b) por

(a, b) = {{a}, {a, b}}.A a se le llama el primer elemento (primera coordenada, primera componente) de

la pareja ordenada (a, b) y a b se le llama el segundo elemento (segunda coordenada,segunda componente) de la pareja ordenada (a, b).

Teorema 1.9.(a, b) = (c, d), si y s´ olo si , a = c y b = d

En muchos textos, no se define el concepto de pareja ordenada, únicamente se ca-racteriza a la pareja ordenada con la igualdad de parejas, como lo afirma el teorema1.9

Definición 1.6. Sean X y Y dos conjuntos. Definimos el producto cartesiano de X y Y , denotado por X × Y , como

X

×Y =

{(x, y)

|x

∈X, y

∈Y

}.

Teorema 1.10. Sean W, X, Y y Z conjuntos. Entonces

1. W × (X ∪ Y ) = (W × X ) ∪ (W × Y ). Ley distributiva.2. W × (X ∩ Y ) = (W × X ) ∩ (W × Y ). Ley distributiva.3. Si W ⊂ X y Y ⊂ Z , entonces W × Y ⊂ X × Z .4. X × Y = ∅, si y s´ olo si, X = ∅ ´ o Y = ∅.

1.4. Familias de Conjuntos

Definición 1.7. Sea a una familia de conjuntos. Definimos 1. La uni´ on, denotada por

A∈a

A ´ o {A | A ∈ a } , de esta familia es el conjunto:

A∈a

A = {x | existe A ∈ a , con x ∈ A}.


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2. La intersecci´ on, denotada por

A∈a A ´ o

{A | A ∈ a }, de esta familia, es

conjunto A∈a

A = {x | para toda A ∈ a , x ∈ A}.

Con frecuencia ocurre que a cada elemento de un conjunto A, diferente del vaćıse le asigna un único conjunto Aα, en este caso, la familia de conjuntos que se formcon estos conjuntos se denota por {Aα | α ∈ A} y se dice que la familia de conjuntoestá indexada por el conjunto A.

Si {Aα | α ∈ A}, es una familia indexada de conjuntos, la unión y la intersección desta familia de conjuntos, las denotaremos por

α∈A Aα y

α∈A Aα, respectivamente, e

decir α∈A

Aα = {x | existe α ∈ A, tal que x ∈ Aα}.

Similarmente α∈A

Aα = {x | para cada α ∈ A, x ∈ Aα}.

Frecuentemente, denotaremos

α∈A Aα como

α Aα ó {Aα | α ∈ A}. De maner

análoga, para

α∈A.En el caso de que A = N, la familia de conjuntos se denota por {An | n ∈ N} y s

unión

n∈N An ó

∞n=1 An. Para la intersección, tenemos una notación similar.

Cuando

A=

{1, 2, . . . , n

}, la familia se denota por

{Ai

|i

∈ {1, 2, . . . , n

}}y su unió

por ni=1 Ai. Para la intersección, tenemos una notación similar.Teorema 1.11. Sean {Aα | α ∈ A} y {Bβ | β ∈ B} dos familias de conjuntos. Entonce

1.

α∈A

Aα

∩

β ∈B

Bβ

={(Aα ∩ Bβ ) | (α, β ) ∈ A × B }.

2.

α∈A

Aα

∪

β ∈B

Bβ

={(Aα ∪ Bβ ) | (α, β ) ∈ A × B }.

En 1. decimos que la unión se distribuye con respecto a la intersección y en 2. decimoque la intersección se distribuye con respecto a la unión.

Teorema 1.12 (Leyes de Morgan). Sea X un conjunto no vaćıo y {Aα | α ∈ A} un familia de subconjuntos de X . Entonces

1.

α∈A

Aα

c

=

α∈A

[Aα]c .

2.

α∈A

Aα

c

=

α∈A

[Aα]c .


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1.5. RELACIONES 9

1.5. Relaciones

Definición 1.8. Sean X y Y dos conjuntos. Una relaci´ on R de un conjunto X a un conjunto Y , es cualquier subconjunto de X × Y , esto es R ⊂ X × Y . Una relaci´ on en un conjunto X es una relaci´ on de X a X .

Si la pareja (x, y) ∈ R, decimos que x está relacionado con y y lo denotamos xRy. Sila pareja (x, y) no pertenece a R, decimos que x no está relacionado con y y lo denotamosx/Ry.

Si R es una relación de X en Y .Al conjunto

{x ∈ X | existe y ∈ Y, que cumple (x, y) ∈ R}se le llama dominio de la relación R y se le denota como DomR o Dom(R).Al conjunto

{y ∈ Y | existe x ∈ X que cumple (x, y) ∈ R}se le llama rango o imagen de la relación y se denota como Img R o Ran R.

Definición 1.9. Sea R una relaci´ on en un conjunto X . Decimos que R es una relaci´ on de equivalencia en X si:

(a) Para cada x

∈X, x

Rx. (Reflexividad).

(b) Si xRy, entonces yRx. (Simetŕıa).(c) Si xRy y yRz , entonces xRz . (Transitividad).

Generalmente una relación de equivalencia en un conjunto X se denota por los sı́mbo-los ∼, ∼=, ≈, ≡.Definición 1.10. Sea X un conjunto no vaćıo y ∼ una relaci´ on de equivalencia en X . Para x ∈ X , definimos la clase de equivalencia de x con respecto a la relaci´ on ∼,denotada por [x], como el conjunto

[x] = {y ∈ X | y ∼ x}.

Al conjunto de las clases de equivalencia se le denota como X/∼ y se le llama elconjunto cociente de X con respecto a la relación ∼.

Teorema 1.13. Sea ∼ una relaci´ on de equivalencia en un conjunto no vaćıo X . Entonces

1. Para cada x ∈ X, x ∈ [x], en particular, [x] = ∅.


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2.

x∈X [x] = X .

3. Para x, y ∈ X, [x] ∩ [y] = ∅ o [x] = [y].Un concepto cercano al concepto de relación de equivalencia es el de partición.

Definición 1.11. Sea X un conjunto no vaćıo. Una familia P de subconjuntos no vacı́ode X se llama una partici´ on de X si

para cada A y B elementos de P , A = B, se cumple que A ∩ B = ∅,A∈P

A = X .

Como consecuencia del teorema 1.13, se tiene que el conjunto cociente X/∼ corespecto a la relación ∼ es una partición del conjunto X . También se tiene que si P euna partición del conjunto X y definimos la relación

x ∼ y, si existe A ∈ P tal que x, y ∈ A.∼ es una relación de equivalencia en X y el conjunto cociente X/∼= P .

1.6. Funciones

El concepto de función es uno de los conceptos más importantes de las matemáticaa nivel elemental, una función de un conjunto X a un conjunto Y se define como unregla que asocia a cada elemento de X un único elemento de Y . Si bien esta definición eadecuada para muchos propósitos y capta la esencia del concepto, éste se puede definen el lenguaje de la teoŕıa de conjuntos.

Definición 1.12. Sean X y Y dos conjuntos. Una funci´ on es una relaci´ on f de X eY que cumple

El dominio de f es X , esto es, Dom(f ) = X .

Si (x, y)

∈f y (x, z )

∈f , entonces y = z .

Obsérvese que esta definión refleja la definición dada al inicio, pero tiene la ventajde evitar el término regla.

Dependiendo de la naturaleza de los conjuntos X y Y , en las distintas áreas de lamatemáticas, el término “función”se sustituye por mapeo, transformación, morfismoperador, funcional . . .

Al elemento y que le corresponde a x, se le acostumbra denotar por y = f (x) y se llama el valor de la función en x o la imagen de x bajo f . A x se le llama la preimage


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1.6. FUNCIONES 11

de y bajo f . Usualmente para definir una función se especifica el dominio y el valor de

la función en cada punto del dominio.Si f es una función de X en Y se le denota por f : X → Y , aunque con frecuencia,cuando es claro quien es el dominio y el codominio, únicamente se usa el śımbolo f .

Como una función es un conjunto, la igualdad de funciones es en términos de laigualdad de conjuntos, de esto, es inmediato que dos funciones f y g son iguales, siDom(f ) = Dom(g) y f (x) = g(x) para cada x ∈ X .Definición 1.13. Sea X y Y conjuntos no vacı́os, A ⊂ X, B ⊂ Y y f : X → Y una

funci´ on.

1. La imagen de A en Y bajo f , denotada por f (A) es el subconjunto de Y definidocomo

f (A) = {y ∈ Y | existe x ∈ A, tal que f (x) = y}.

2. La imagen inversa de B en X bajo f , denotada por f −1(B), es el subconjunto de X definido como

f −1(B) = {x ∈ X | existe y ∈ B tal que f (x) = y}.

Teorema 1.14. Sea f : X → Y una funci´ on, entonces:1. f (∅) = ∅.

2. Si A ⊂ B ⊂ X , entonces f (A) ⊂ f (B).3. Si A ⊂ B ⊂ X , entonces f (B) − f (A) ⊂ f (B − A).

Teorema 1.15. Sea f : X → Y una funci´ on y {Aα | α ∈ A} una familia de subconjuntos de X . Entonces

1. f (

α Aα) =

α f (Aα).

2. f (

α Aα) ⊂

α f (Aα).

Teorema 1.16. Sea f : X →

Y una funci´ on.

1. Para cada A ⊂ X , se cumple que A ⊂ f −1[f (A)].2. Para cada B ⊂ Y , f [f −1(B)] ⊂ B.

Definición 1.14. Sean f : X → Y y g : Y → Z dos funciones. Definimos la composici´ on g · f : X → Z como

(g · f )(x) = g(f (x)).


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Teorema 1.17. Sean f : X → Y y g : Y → Z dos funciones. Sea A ⊂ Z . Entonces

(g · f )−1

(A) = f −1

(g−1

(A)).Definición 1.15. Sea f : X → Y una funci´ on. Decimos que:

f es inyectiva (o uno a uno), si para cada x1, x2 ∈ X , si x1 = x2, entoncf (x1) = f (x2). Esto equivale a decir que si f (x1) = f (x2), entonces x1 = x2.f es sobreyectiva (suprayectiva o sobre), si para toda y ∈ Y , existe x ∈ X tal quf (x) = y. Dicho de otra manera, f es sobreyectiva si f (X ) = Y .

f es biyectiva, si es inyectiva y sobreyectiva.

Teorema 1.18. Sea f : X → Y una funci´ on. f es biyectiva, si y s´ olo si, exisg : Y

→X , tal que

g · f = I X y f · g = I Y .A lo más puede existir una función g que cumpla con el teorema 1.18. Si f es biyectiv

a la función g se le llama la inversa de f y se denota por f −1.

1.7. El Producto Cartesiano

Definición 1.16. El producto cartesiano de una familia de conjuntos {X α | α ∈ Adenotado por

α∈A X α, se define como el conjunto

α∈AX α = {f : A → α∈AX α f (α) ∈ X α para cada α ∈ A}.A cada X α se le llama el α-ésimo factor del producto. Usualmente, a un element

f ∈ α∈A X α se le denota por {xα}α∈A, donde xα = f (α), y a xα se le llama la α -́esimcoordenada del elemento {xα}α∈A.

Nótese que si X α = X , para cada α ∈ A, donde X es un conjunto dado, entonces eproducto cartesiano de la familia {X α}α∈A es el conjunto formado por todas las funcionecon dominio A y codominio X , en este caso, se acostumbra usar la notación X A.

Propiedades.

Teorema 1.19. Sea {Bα}α∈A una familia de conjuntos y Aα ⊂ Bα para cada α ∈ AEntonces

α∈A

Aα ⊂ α∈A

Bα.

Teorema 1.20. Sea {X α}α∈A una familia de conjuntos y Aα, Bα subconjuntos de Xpara cada α ∈ A. Entonces

1.

α∈A

α∈A =

α∈A(Aα ∩ Bα).

2.

α∈A

α∈A =

α∈A(Aα ∪ Bα).


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1.8. AXIOMA DE ELECCI ÓN. 13

1.8. Axioma de Elección.

Si bien es cierto que dijimos que nuestro enfoque de la teoŕıa de conjuntos no esaxiomática, consideramos conveniente introducir expĺıcitamente el axioma de elección(de selección).

Este axioma ha sido fuente de fuertes controversias en el estudio de la axiomatizaci ónde la teoŕıa de conjuntos. Sin embargo se usa en la demostración de muchos resultadosimportantes en diversas áreas de las matemáticas, algunos de ellos parecen contradecirla intuición.

El axioma de elección fue enunciado explı́citamente por Zermelo a principios del siglopasado, aunque ya se usaba impĺıcitamente en algunas demostraciones.

Enunciaremos dos versiones equivalentes del axioma de elección (aunque existen

muchas más).

El producto cartesiano de una familia no vacı́a, de conjuntos no vacı́os, es no vacı́o.

Para cada familia de conjuntos no vaćıos, ajenos dos a dos, existe un conjuntoformado con exactamente un elemento de cada conjunto de la familia.

En este trabajo, será usado en algunas demostraciones, sin mencionarlo, seŕıa perti-nente que el lector se percatará en cuales.

1.9. Cardinalidad de Conjuntos.Definición 1.17. Sean X y Y dos conjuntos. Decimos que X es equipotente a Y , (o que X tiene la misma cardinalidad que Y ), si existe una funci´ on biyectiva de X sobre Y .

Denotaremos X es equipotente a Y por card X = card Y .Es claro que la relación de equipotencia es una relación de equivalencia en la clase de

todos los conjuntos.

Decimos que el conjunto X es:

Numerable si es equipotente al conjunto de los números naturales N.

Finito si X = ∅ o existe n ∈ N tal que X es equipotente al conjunto {1, 2, . . . , n}.Infinito si X no es finito.

A lo más numerable si X es un conjunto finito o un conjunto numerable.

Propiedades.


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Teorema 1.21. Sea X un conjunto no vaćıo. Son equivalentes:

1. X es numerable.

2. Existe una funci´ on sobreyectiva f : N → X .3. Existe una funci´ on inyectiva g : X → N.

Teorema 1.22. Sea X un conjunto numerable y A ⊂ X . Entonces A es a lo manumerable.

Teorema 1.23. Sean X y Y numerables. Entonces X × Y es numerable.Este resultado se puede extender cuando tenemos una familia finita {X i}ni=1 de con

juntos numerables, es decir, el producto finito de conjuntos numerables es numerablSin embargo, el producto numerable de conjuntos numerables puede no ser numerable

Teorema 1.24. Sea {X i}i∈N una familia numerable de conjuntos numerables. Entoncei∈N X i es numerable.

Teorema 1.25. Sea X un conjunto infinito. Entonces existe un subconjunto numerabde X .

Ejemplos de conjuntos numerables.

El conjunto de los números naturales N.

El conjunto de los números enteros Z.

P = {2n | n ∈ Z}.Im = {2n + 1 | n ∈ Z}.El conjunto de los números racionales Q.

El conjunto de todos los polinomios con coeficientes racionales.

El conjunto de los números algebraicos en R.

El conjunto de todos los subconjuntos finitos de N.Ejemplos de conjuntos no numerables.

El conjunto de los números reales R.

Cualquier intervalo: [a, b], (a, b], (a, ∞), (−∞, a], etc.El conjunto de los números irracionales I.


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Caṕıtulo 2

Espacios Métricos.

2.1. Definiciones y Ejemplos.

Definición 2.1. Sean X un conjunto diferente del vaćıo y d : X × X → R una funci´ on.Diremos que d es una métrica o una distancia en X , si para cada x, y,z ∈ X, d cumple con las siguientes propiedades:

1. d(x, y) ≥ 0.2. d(x, y) = 0, si y s´ olo si, x = y.

3. d(x, y) = d(y, x).

4. d(x, z ) ≤ d(x, y) + d(y, z ). (Desigualdad del Tri´ angulo).A la pareja ordenada (X, d) le llamaremos espacio métrico. En general, diremos sim-

plemente espacio métrico X .Si la función d cumple con 1, 3, 4 y en lugar de 2 cumple con

2’ . d(x, x) = 0, diremos que d es una pseudométrica en X .Es decir, en el caso de que d sea pseudométrica, no garantizamos que d(x, y) = 0,

implique que x = y.

Ejemplos de métricas y pseudométricas:

1. Sea X = R, definamos d : R×R → R como

d(x, y) = |x − y|.

En los cursos elementales de matemáticas, se demuestran las propiedades 1, 2, 3,4. Esta métrica se conoce como la métrica usual en R.

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16 CAP ́ITULO 2. ESPACIOS M ́ETRICOS

2. Sea X = Rn, definamos d1 : Rn ×Rn → R, como

d1(x, y) =n

i=1

|xi − yi|.

Las propiedades 1, 2, 3, 4 se siguen inmediatamente de las propiedades del valoabsoluto. Esta métrica se conoce como la métrica del taxista.

3. Sea X = Rn, n ∈ N, n ≥ 2, definamos d2 : Rn × Rn → R como

d2(x, y) =

n

i=1(xi − yi)2, con x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn).

En el curso de cálculo diferencial en varias variables, se demuestran las propiedade1, 2, 3, 4. Esta métrica se conoce como la métrica euclidiana en Rn.

4. Sea X = Rn, p ≥ 1. Definamos d p : Rn × Rn → R por

d p(x, y) =

ni=1

|xi − yi| p1/p

, donde x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn).

Frecuentemente a Rn con esta métrica se le denota por l p(n) La demostración d

que d p es una métrica se encuentra en [4].5. Sea X = {{xn}n∈N

n∈N |xn| p


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2.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS. 17

7. Sea X = {{xn} | {xn} es una sucesión acotada de números reales }. Definamos

d∞ : X × X → R comod∞({xn}, {yn}) = sup{|x j − y j| | j ∈ N}.

Las propiedades 1, 2 y 3 son inmediatas, para la desigualdad triangular, se usa

|x j − y j| ≤ d∞, para cada j ∈ N.

8. Sea X = c = {{xn} ∈ l∞ | {xn} es convergente }. Si consideramos la funciónd∞ definida en el ejemplo anterior, restringida a c × c, entonces, también es unamétrica.

9. Sea X = co = {{xn} ∈ c | ĺımn→∞(xn) = 0} Si consideramos la función d∞ definidaen el ejemplo anterior, restringida a co × co, entonces, también es una métrica.

10. Sea X = B(A,R) = {f : A → R f es una función acotada en A}.Definamos d∞ : X × X → R por

d∞(f, g) = sup{|f (x) − g(x)| x ∈ A}.

Observe que d∞(f, g) ∈ R ya que, la función f − g es acotada.Las propiedades 1, 2 y 3 son inmediatas, para la desigualdad triangular se usa

|f (x) − g(x)| ≤ d∞(f, g), para x ∈ A.

Esta métrica se conoce como la métrica uniforme en B(A,R).Si A = {1, 2, . . . , n}, B(A,R) se puede “identificar” con l∞(n). En el caso de queA = N, B(A,R) es el espacio de sucesiones acotadas y se le denota por l∞.

11. Sea X = C[a, b] = {f : [a, b] → R f es continua en [a, b]}. Definamosd∞X × X → R por

d∞(f, g) = sup

{|f (x)

−g(x)

| x ∈ [a, b]}.Observe que como C[a, b] es subconjunto de B([a, b],R) y la función d∞ es la misma,entonces d∞ es una métrica.

12. Sea X = C[a, b]. Definamos d1 : X × X → R por

d1(f, g) =

ba

|f (x) − g(x)| dx .


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Recuerde que una función continua en un intervalo cerrado [a, b] es Riemann

integrable en [a, b], esto nos dice que d1(f, g) ∈ R. Las propiedades 1, 2, 3 y 4

soconsecuencia de las propiedades de la integral de Riemann para funciones continua

Observaci´ on . Si X = {f : [a, b] → R f es Riemann–integrable en [a, b]} y consideramos en X × X la misma función d1, entonces d1, en este caso, es una pseudométrica, ya que,

ba |f (x) − g(x)| dx = 0, no nos garantiza que f = g.

13. Sea X = C ′[a, b] = {f : [a, b] → R f es continuamente diferenciable en [a, b]Definamos las siguientes funciones

a ) d(f, g) = d∞(f, g).

b) d̄(f, g) = d∞

(f ′, g′).

c ) d′(f, g) = d∞(f, g) + d∞(f ′, g′).

El primer y tercer caso son métricas, el segundo caso es un ejemplo de una pseudométrica.

14. Sea f : R → R inyectiva. definimos df : R× R → R como

df (x, y) = |f (x) − f (y)|.

Es fácil demostrar que es una métrica en R. En el caso de que la función f no sea inyectiva, df es una pseudométrica, ya que no podemos garantizar que si df (x, y) = entonces x = y.

15. Sea X cualquier conjunto diferente del vaćıo. Definamos d : X × X → R por

dd(x, y) =

1, si x = y,0, si x = y.

Es fácil probar que dd es una métrica. Esta métrica se conoce como la métricdiscreta en X . Es una métrica útil para contraejemplos, además de decirnos qu

podemos definir una métrica en cualquier conjunto.

2.2. Construcción de Métricas a Partir de MétricaDadas.

1. Sea d una métrica en un conjunto X .


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2.2. CONSTRUCCI ́ON DE M ́ETRICAS A PARTIR DE M ́ETRICAS DADAS. 19

a ) E ⊂ X . Definamos dE : E × E → R por

dE (x, y) = d(x, y).

Evidentemente dE es una métrica, llamada la métrica inducida por d. Se diceque E es un subespacio métrico de X , cuando E es considerado con la métricainducida.

b) Definamos d̂ : X × X → R comod̂(x, y) = mı́n{d(x, y), 1}.

Es inmediato demostrar que d̂ es una métrica en X .

c ) Definamos d̄ : X × X → R pord̄(x, y) =

d(x, y)

1 + d(x, y) .

Las propiedades 1, 2 y 3 son fáciles de demostrar. Para la desigualdad trian-

gular, se usa el hecho de que la función f (x) =x

1 + x es una función creciente

para x > 0.

2. Para cada i = 1, . . . , n, sea di una métrica en el conjunto X i y sea X =

ni=1 X i.

Definamos d : X

×X

→R por:

a )

d(x, y) =n

i=1

di(xi, yi), x = (x1, . . . , xn), y = (x1, . . . , yn).

Es inmediato que d es una métrica.

b)

d∞(x, y) = máx{di(xi, yi), | i = 1, n}, x = (x1, . . . , xn), y = (x1, . . . , yn).

También es inmediato que es una métrica.

3. Para cada i ∈ N, sea di una métrica en X i y sea X = i∈N X i. Definamosd : X × X → R como

d(x, y) =∞i=1

di(xi, yi)

2i(1 + di(xi, yi)).

La demostración de este ejemplo se la dejamos al lector. Ver ejercicio 8.


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2.3. Conceptos Topológicos en Espacios Métricos.

Muchos conceptos en Rn se pueden trasladar de manera inmediata a espacios métrico(X, d).

Definición 2.2. Sea xo ∈ X y r > 0.La bola abierta con centro en xo y radio r, denotada por B(xo, r), es el conjunto

B(xo, r) = {x ∈ X d(x, xo) < r}.

La bola cerrada con centro en xo y radio r, denotada por B[xo, r], es el conjunto

B[xo, r] = {x ∈ X

d(x, xo) ≤ r}.

La esfera con centro en xo y radio r, denotada por S (xo, r), es el conjunto

S (xo, r) = {x ∈ X d(x, xo) = r}.

Observaci´ on. Se pide que el radio r sea un número estrictamente positivo, de estmanera, garantizamos que la bola abierta y la bola cerrada sean conjuntos diferentes devaćıo, ya que al menos contienen al centro.

En los espacios usuales, como R, R2, R3, estos conceptos, se corresponden con enombre, y es importante mantener esta visión geométrica, pero debemos ser cuidadosoya que, en otros espacios la interpretación geométrica no se corresponde con la anteriocomo veremos a continuación.

Ejemplos.

1. En R con la métrica usual B(xo, r) = (xo − r, xo + r), B[xo, r] = [xo − r, xo + rS (xo, r) = {xo − r, xo + r}.

2. En el intervalo [0, 1), con la métrica inducida de R, la bola abierta con centro en y radio 1/2 es el intervalo [0, 1/2).

3. En R2, con la métrica euclidiana, B(xo, r) es el interior del ćırculo centrado en xo radio r, B [xo, r] es el ćırculo, y S (xo, r) es la circuferencia con centro en xo y radir. En R3 la bola abierta es el interior de la esfera, la bola cerrada es el interior d

la esfera con su cáscara y la esfera es la cáscara. Ver figura 1.1.

4. En R2 con la métrica d1, se tiene

B((a, b), r) = {(x, y) ∈ R2 |x − a| + |y − b| < r}es el interior de un cuadrado con centro en (a, b) y rotado π/4 radianes con respecta los ejes, de manera similar, la bola cerrada es el interior de este cuadrado juntcon su frontera y la esfera es la frontera de este cuadrado. Ver figura 1.1.


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2.3. CONCEPTOS TOPOLÓGICOS EN ESPACIOS M ́ETRICOS. 21

5. En R2 con la métrica uniforme d∞ se tiene

B((a, b), r) = {(x, y) ∈ R2 máx{|x − a|, |y − b|} < r}es el interior de un cuadrado con centro en (a, b) y lados parelelos a los ejes, demanera similar, la bola cerrada es el interior de este cuadrado junto con su fronteray la esfera es la frontera de este cuadrado. Ver figura 1.1.

Las bolas en R2 con las métricas d2, d1 y d∞.

Figura 1.1

Métrica Euclidiana Métrica del taxista Métrica uniforme

6. Sea X = ∅ con la métrica discreta.B(x, 1/2) = B[x, 1/2] = {x}, S (x, 1/2) = ∅.B(x, 1) = {x}, B[x, 1] = X, S (x, 1) = X − {x}.B(x, 2) = B[x, 2] = X, S (x, 2) = ∅.

7. En C [a, b] con la métrica uniforme, d∞ la bola centrada en f o y radio r, es elconjunto de todas las funciones continuas cuyas gráficas están contenidas en labanda con centro en f o y radio r. Ver figura 1.2.


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Demostración: Sea y ∈ B(x, r). Tomemos r′ = r−d(x, y) > 0, ya que d(x, y) < r.

Ver figura 1.3.Probemos que B(y, r′) ⊂ B(x, r). Sea z ∈ B(y, r′),

d(x, z ) ≤ d(x, y) + d(y, z ) < d(x, y) + (r − d(x, y)) = r,

luego, z ∈ B(x, r), por lo tanto, B(y, r′) ⊂ B(x, r).

r

.

x

r’

•

Figura 1.3

Obsérvese que este resultado se cumple para cualquier espacio métrico, independien-temente de cual sea el conjunto y la métrica que se defina en él.

El teorema siguiente es muy importante en el estudio de espacios métricos, ya que,con él, concluimos que todo espacio métrico es un espacio topológico, y de esta manera,estudiar en un marco más general, entre otros, los conceptos de sucesión convergente yde función continua.

Teorema 2.2. Sea (X, d) un espacio métrico.

(a) ∅, X son conjuntos abiertos.(b) La intersecci´ on finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

(c) La uni´ on arbitraria de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

Demostración: El inciso (a) es evidente.


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Para (b). Sean O1, O2, . . . , On, n conjuntos abiertos. Si

ni=1 Oi = ∅ es inmediat

de (a). Supongamos que ni=1 Oi = ∅, sea x ∈ ni=1 Oi, entonces, como x ∈ Oi y Oi eabierto, existen ri > 0, i = 1, n tales queB(x, ri) ⊂ Oi, i = 1, n.

Sea r = mı́n{ri i = 1, n}, obviamente r > 0. Como r ≤ ri

B(x, r) ⊂ B(x, ri) ⊂ Oi, i = 1, n,aśı que B(x, r) ⊂ ni=1 Oi.

Para el inciso (c). Sea {Oα

α ∈ I } una familia cualquiera de conjuntos abiertos eX . Si α∈I Oα = ∅ es inmediato de (a). Supongamos que α∈I Oα = ∅. Sea x ∈ α∈I Oentonces existe αo ∈ I , tal que x ∈ Oαo, como Oαo es abierto, existe r > 0 tal que

B(x, r) ⊂ Oαo ⊂α∈I

Oα.

Por lo tanto

α∈I Oα es un conjunto abierto.

En general, la intersección arbitraria de abiertos no es abierta. Más adelante darmos el contraejemplo. Si “copiamos” la demostración que se hizo para el caso finitodetectaremos un error. Sea x ∈ α∈I Oα. Como x ∈ Oα y Oα es un conjunto abiertoexiste rα > 0 tal que B(x, rα) ⊂ Oα. Tomemos r = ı́nf {rα α ∈ I }. Como r ≤ rα,B(x, r) ⊂ B(x, rα) ⊂ Oα, α ∈ I,luego, B(x, r) ⊂ α∈I Oα, por lo tanto α∈I Oα es abierto. ¿Dónde se encuentra el errorRespuesta: No podemos garantizar que r > 0.

Esto no nos garantiza que sea falso que la intersecci ón arbitraria de abiertos seun conjunto abierto. Para demostrar la falsedad de esta afirmación, necesitamos daun contraejemplo. Consideremos R con la métrica usual, para cada n ∈ N, se tienque B(0, 1/n) = (−1/n, 1/n) es un conjunto abierto, pero n∈N B(0, 1/n) = {0}. Estconjunto no es abierto.

A la familia τ formada por todos los conjuntos abiertos, se le llama la topologinducida por la métrica d.

Ejemplos.

1. En R con la métrica usual los siguientes conjuntos son abiertos: (a, b), (a, ∞(−∞, b). Sin embargo, existen métricas en donde un intervalo abierto no eun conjunto abierto, aśı que debemos ser cuidadosos para no confundir amboconceptos. Los siguientes conjuntos, con la métrica usual, no son abiertos en [a, b], [a, b), (a, b], (−∞, b], [a, ∞), N, Z, Q.


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2. Sea X = [0, 1), con la métrica inducida de R. El intervalo [0, 1/2) es un conjunto

abierto.

3. En R2 con la métrica euclidiana, son abiertos, el interior de un rectángulo, el interiorde un semiplano, el interior de un ćırculo, el interior de un triángulo, etc. No sonabiertos, estas mismas figuras, si inclúımos al menos un punto de su frontera,N×N,N× A, con A ⊂ R, A = ∅.

4. Sean X = ∅ y dd la métrica discreta en X . En este caso, cualquier subconjunto Ade X es abierto.

5. Sea X = C [0, 2π] con la métrica uniforme y

O = {sen x + k 0 < k 0, la función g(x) = sen x + r/2sen8x + ko ∈ B(f, r)y g /∈ O.

Definición 2.4. Sean (X, d) un espacio métrico y F ⊂ X . Decimos que F es un conjuntocerrado, si F C es un conjunto abierto.

Observaci´ on . En un espacio métrico, puede ocurrir que un subconjunto de él, no seaabierto, ni cerrado. También podemos encontrar conjuntos que son abiertos y cerradosal mismo tiempo. Además el hecho de que un conjunto no sea abierto, no significa que elconjunto sea cerrado. De manera análoga, si un conjunto no es cerrado, no implica quesea un conjunto abierto.

Probaremos, ahora, resultados similares a los probados para conjuntos abiertos.


1. B[x, r] es un conjunto cerrado, para cada x ∈ X y r > 0.

2. ∅ y X son conjuntos cerrados.

3. La interseccí on arbitraria de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.

4. La uni´ on finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.


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Demostración: Para 1. sea y ∈ B[x, r]C . Tomemos s = d(x, y) − r > 0. Probar

mos que B(y, s) ⊂ B[x, r]C

. Sea z ∈ B(y, s), se tiene que d(y, z ) < s = d(x, y) − r, désto y de la desigualdad del triángulo, obtenemosr < d(x, y) − d(y, z ) ≤ d(x, z ).

Hemos demostrado que z ∈ B[x, r]C , por lo tanto, B(y, s) ⊂ B[x, r]C , es deciB[x, r]C es un conjunto abierto.

La demostración del 2 . es inmediata, ya que ∅C = X y X C = ∅.3 . y 4. se demuestran, usando las leyes de Morgan.

Ejemplos.

1. Los conjuntos unitarios en espacios métricos son conjuntos cerrados. Es inmediatsu demostración. De esto y 4. del teorema inmediato anterior, se infiere que todconjunto finito en un espacio métrico es un conjunto cerrado.

2. En R con la métrica usual, los intervalos de la forma [a, b], [a, ∞), (−∞, a] soconjuntos cerrados. Los intervalos de la forma [a, b), (a, b] no son conjuntos, nabiertos, ni cerrados. N y Z son conjuntos cerrados, pero Q no es un conjunto, nabierto, ni cerrado.

3. Sea dd la métrica discreta en un conjunto X . Ya demostramos que todo subconjuntde X es abierto, de aqúı se infiere que todo subconjunto de X es cerrado, es decien este caso, todo subconjunto de X es abierto y cerrado simultáneamente.

A continuación, presentaremos una serie de conceptos que son generalizaciones dconceptos familiares en Rn.

Definición 2.5. Sean (X, d) un espacio métrico, A ⊂ X y x ∈ X .1. x es un punto interior de A, si existe un conjunto abierto O = Ox, tal qu

x ∈ O ⊂ A. Observe que esta definici´ on es equivalente a: x es punto interiode A, si existe r = rx > 0 tal que B(x, r) ⊂ A El interior de A, denotado point(A) ´ o Ao es el conjunto de los puntos interiores de A.

2. V = V x es una vecindad de x, si x es un punto interior de V .

3. x es un punto de acumulaci´ on de A, si para cada vecindad V = V x de x se cumpque (V − {x}) ∩ A = ∅. Observe que esta definici´ on es equivalente a: x es punto dacumulaci´ on de A, si para cada r > 0, B(x, r) − {x} ∩ A = ∅ El conjunto de lopuntos de acumulaci´ on de A se denota por A′. Algunos autores le llaman a esconjunto, el conjunto derivado de A.


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4. x es un punto adherente de A, si para cada vecindad V = V x de x se tiene que

V ∩ A = ∅. Esta definici´ on es equivalente a: x es punto adherente de A, si para cada r > 0, B(x, r) ∩ A = ∅. La cerradura del conjunto A denotada por A, es el conjunto formado por todos los puntos adherentes de A.

5. x es un punto exterior a A si existe una vecindad V = V x de x, tal que x ∈ V ⊂ AC .El exterior de A, denotado por ext(A) es el conjunto de todos los puntos exteriores de A.

6. x es un punto frontera de A si toda vecindad V = V x de x cumple que V ∩ A = ∅ y V ∩AC = ∅. La frontera de A, es el conjunto formado por todos los puntos frontera de A y se denota fr(A).

7. x es un punto aislado de A, si existe una vecindad V = V x de X tal que V ∩A = {x}.Ejemplos.

1. En R con la métrica usual:

a ) int(Q) = ∅, ext(Q) = ∅, fr(Q) = R, Q′ = R, Q = R.b) int(N) = ∅, ext(N) = R− N, fr(N) = N, N′ = ∅, N = N.c ) int[a, b) = (a, b), ext[a, b) = (−∞, a) ∪ [b, ∞), fr[a, b) = {a, b}, [a, b)′ = [a, b],

[a, b) = [a, b].

2. Sea X = (0, 1] ∪ {2} con la métrica usual; sea A = {2}, entonces int(A) = A,ext(A) = (0, 1], fr(A) = ∅, A′ = ∅, A = A.

3. En cualquier espacio métrico un conjunto finito no tiene puntos de acumulación,pero el hecho de que un conjunto no tenga puntos de acumulación, no significaque sea finito, (sea N ⊂ R con la métrica usual). También observe que si A′ = ∅entonces A debe ser un conjunto infinito.

4. El siguiente ejemplo nos muestra que la cerradura de la bola abierta no es nece-sariamente la bola cerrada (como ocurre en Rn con la métrica usual). Considere Rcon la métrica discreta, tomemos B(x, 1), B(x, 1) =

{x

} y B [x, 1] = R.

A continuación, presentaremos algunas propiedades de estos conceptos y su relacióncon los conceptos de conjunto abierto y conjunto cerrado.

Teorema 2.4. Sea A ⊂ X , entonces X = int(A) ∪ ext(A) ∪ fr(A).

Adem´ as, estos conjuntos son disjuntos dos a dos.


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Le dejamos al lector, demostrar este resultado.


1. int(A) ⊂ A.2. Para cada A ⊂ X, int(A) es un conjunto abierto.3. El interior de A es el m´ aximo conjunto abierto contenido en A, es decir,

int(A) =

{O ⊂ X O es abierto, y O ⊂ A}.4. A es un conjunto abierto, si y s´ olo si, int(A) = A.

5. Si A ⊂ B, entonces int(A) ⊂ int(B).6. int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B). ¿Ser´ a int α∈I Aα = α∈I int(Aα)? 7. int(A ∪ B) ⊃ int(A) ∪ int(B). la contenci´ on puede ser estricta.

Demostración: La demostraciones de 1, 2, 4 y 5 son obvias.Para la demostración de 3 , como int(A) es abierto e int(A) ⊂ A, tenemos que

int(A) ⊂

{O ⊂ X

O es abierto, y O ⊂ A}.

Para la otra contención, sea x ∈ {O ⊂ X O es abierto, y O ⊂ A}, entonceexiste un conjunto abierto O tal que x ∈ O y O ⊂ A, entonces x ∈ int(A), por lo tanto{O ⊂ X O es abierto, y O ⊂ A} ⊂ int(A).

Aśı, hemos demostrado la igualdad.Para la demostración de 6 , int(A) ⊂ A e int(B) ⊂ B, por lo tanto

int(A) ∩ int(B) ⊂ A ∩ B.Como int(A) ∩ int B es un conjunto abierto, que está contenido en A ∩ B, por 3 , s

concluye queint(A)

∩int(B)

⊂int(A

∩B).

Para la otra contencíon, sea x ∈ int(A ∩ B), entonces existe O abierto tal qux ∈ O ⊂ A ∩ B, de aqúı se concluye que x ∈ O ⊂ A y x ∈ O ⊂ B, es decix ∈ int(A) ∩ int B.

Obsérvese que este último argumento se puede usar para demostrar que el interiode la intersección arbitraria de conjuntos es un subconjunto de la intersecci ón de lointeriores de estos conjuntos, pero que el argumento inicial de esta demostración no spuede usar, en general, (ya que la intersección arbitraria de abiertos no necesariament


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es abierta). Esto nos da un indicio de que la respuesta a la pregunta del inciso 6 es no.

Un contraejemplo es: tome An = (−1/n, 1/n) ⊂ R considerando R con la métrica usual.La demostración de 7 se deja al lector.


1. A ⊂ A.2. Para cada A ⊂ X, A es un conjunto cerrado.3. Si A ⊂ B, entonces A ⊂ B.4. A es cerrado, si y s´ olo si, A = A.

5. A es el mı́nimo conjunto cerrado que contiene a A, es decir,

A =

{F ⊂ X F es cerrado y A ⊂ F }.

6. A′ ⊂ A, A = A ∪ A′ y A es cerrado, si y s´ olo si, A′ ⊂ A.7. A = int(A) ∪ fr(A).8. A

∩B

⊂A

∩B. La contenci´ on puede ser propia.

9. A ∪ B = A ∪ B. ¿Ser´ a α∈I Aα = α∈I Aα? Demostración: La demostración de 1 y 3 son inmediatas.Para 2 , demostraremos que (A)C es un abierto. Sea x ∈ (A)C , entonces existe r > 0

tal que B(x, r) ∩ A = ∅, como B(x, r) es vecindad de cada uno de sus puntos, tenemosque B(x, r) ⊂ (A)C .

La demostración de 4 se le deja al lector.Para 5 , como A es un conjunto cerrado que contiene a A se concluye que

{F ⊂ X F es cerrado y A ⊂ F } ⊂ A.La otra contención se sigue de 3 y 4, ya que si F es cualquier cerrado, tal que A ⊂ F ,

entoncesA ⊂ F = F,

aśı que A ⊂ {F ⊂ X F es cerrado y A ⊂ F }.Para 6 , es claro que A′ ⊂ A, además, como A′ ⊂ A y A ⊂ A, entonces A′ ∪ A ⊂ A.

Para la otra contención, sea x ∈ A, entonces, si x ∈ A, ya terminamos, si x /∈ A, como


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x ∈ A, entonces toda vecindad de x intersecta a A en un punto diferente de x, es deci

x ∈ A′

. Por lo tanto A ⊂ A ∪ A′

.Que A es cerrado, si y sólo si, A′ ⊂ A es consecuencia de las dos anteriores.Las demostraciones de 7, 8 y 9 de dejan al lector.

A continuación veremos un criterio para determinar cuando un punto es punto dacumulación de un conjunto.

Teorema 2.7. Sea A un subconjunto del espacio métrico X . x ∈ A′, si y s´ olo si, partoda vecindad V de x, existe un subconjunto C de A, infinito, con C ⊂ V .

Demostración:⇒] Probaremos la contrarrećıproca. Basta demostrar este resultado para bolas abietas centradas en x. Supongamos que existe una bola B(x, r) tal que B(x, r) contiene lo más una cantidad finita de puntos de A, digamos A ∩ B(x, r) = ∅ ó {x1, x2, . . . , xn}(A ∩ B(x, r)), xi = x. Es claro que si A ∩ B(x, r) = ∅ entonces, x /∈ A′. En el otro casoconsideremos ro = mı́n{r, d(xi, x)

i = 1, 2, . . . , n}. Consideremos B(x, ro), entonce(B(x, ro) − {x}) ∩ A = ∅.

⇐] Sea V vecindad de x. Consideremos V − {x}, como V contiene una cantidainfinita de puntos de A, podemos tomar z ∈ A, z = x y z ∈ V , por lo tanto x ∈ A′.

Obśervese que de este teorema, se deduce que un conjunto finito no puede ten

puntos de acumulación. Sin embargo, existen conjuntos infinitos que tampoco tienepuntos de acumulación, por ejemplo, en R con la métrica usual, el conjunto N no tienpuntos de acumulación.

Sean (X, d) un espacio métrico y Y ⊂ X . Hemos visto que Y hereda la métrica dX y podemos considerar a Y como espacio métrico. Adoptaremos la siguiente notaciónBY (y, r), BY [y, r], S Y (y, r) para la bola abierta, bola cerrada, esfera en Y y les llamaremos la bola abierta, la bola cerrada y la esfera con centro en y y radio r relativa en Y . Dmanera similar diremos abierto, cerrado relativo en Y cuando nos refiramos a abiertos cerrados en Y . También adoptaremos la notación AY para la cerradura de A ⊂ Y en Yy notaciones similares para los demás conceptos.

En el siguiente teorema, veremos la relación de estos conceptos en el espacio métricY con respecto al espacio métrico X . La demostración de estas afirmaciones es elementy la dejaremos como ejercicio al lector.

Teorema 2.8. Sea (X, d) un espacio métrico y Y ⊂ X , entonces 1. Sea y ∈ Y , entonces BY (y, r) = Y ∩ B(y, r).


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2.4. CONJUNTOS ACOTADOS EN ESPACIOS M ́ETRICOS. 31

2. Sea A ⊂ Y, A es abierto relativo en Y , si y s´ olo si, existe O abierto en X tal que

A = Y ∩ O.3. Sea A ⊂ Y, A es cerrado relativo en Y , si y s´ olo si, existe F cerrado en X tal que

A = Y ∩ F .4. AY = Y ∩ A, A′Y = Y ∩ A′, intY (A) ⊃ Y ∩ int(A) y frY (A) = Y ∩ fr(A), donde

A ⊂ Y .

Observaci´ on . No necesariamente un abierto, cerrado relativo en Y es abierto, cerradoen X , por ejemplo, en R con la métrica usual, consideremos Y = [0, 1), el conjunto[0, 1/2) es un abierto relativo en Y , de hecho, es la bola abierta relativa en Y con centro

en 0 y radio 1/2, este conjunto no es abierto en R. Sin embargo tenemos el siguienteresultado, cuya demostración es inmediata.

Teorema 2.9. Sean (X, d) un espacio métrico, Y ⊂ X cerrado (abierto) en X y A ⊂ Y .Si A es cerrado (abierto) relativo en Y , entonces A es cerrado (abierto) en X .

2.4. Conjuntos Acotados en Espacios Métricos.

Definición 2.6. Sea A un conjunto no vacı́o en (X, d) espacio métrico. Decimos que Aes acotado, si existe k

∈R, k > 0 tal que para todo x, y

∈A, se tiene que

d(x, y) ≤ k.

Obsérvese que decir que un conjunto A no es acotado, equivale a decir que, para todok > 0 existen xo, yo ∈ A tales que d(xo, yo) > k.

Evidentemente si B ⊂ A, y A es acotado, entonces B también es acotado.

Ejemplos.

1. En cualquier espacio métrico X , la bola abierta B(a, r), la bola cerrada B[a, r] y la

esfera S (a, r), A son conjuntos acotados. Esta afirmación se demuestra fácilmenteusando la desigualdad triángular, esto es, si x, y pertenecen a cualquiera de estosconjuntos, se tiene que

d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, y).

2. Consideremos en (R2, d2), el conjunto

A = {(x, y) xy = 1}.


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Este conjunto no es acotado. Sea k > 0, elijamos a, b ∈ A de la siguiente manera

a = (n, 1/n), b = (1/n,n) con n ∈ N. Entonces la distancia entre a y b esd2((n, 1/n), (1/n,n)) =

(n − 1/n)2 + (n − 1/n)2 =

√ 2(n − 1/n)

como n − 1/n > n − 1, si tomamos n ∈ N tal que n > k√ 2

+ 1 entonces

d2(a, b) >√

2(n − 1) > k.

3. En el mismo (R2, d2), consideremos el conjunto

C = {(x, y) 4(x − 2)2 + (y − 1)2 = 1}.Este conjunto śı está acotado. La demostración es sencilla.

4. En R con la métrica usual, el concepto de conjunto acotado mediante la definiciódada coincide con el que ya conoćıamos, es decir, “A es acotado, si existe k > tal que para todo x ∈ A, |x| ≤ k”. Sea A acotado, entonces existe k > 0 tal qud(x, y) = |x−y| ≤ k, fijemos y ∈ A despejemos x y obtenemos que y−k ≤ x ≤ y+para todo x ∈ A, lo cual significa que A está acotado inferior y superiormente, sea, A está acotado.

El que un conjunto A sea acotado nos lleva a considerar que el conjunto de númeroreales {d(x, y) x, y ∈ A} es un conjunto acotado superiormente, luego tiene sentidconsiderar el supremo de este conjunto, el cual nos proporciona la siguiente definición

Definición 2.7. Sea X un espacio métrico y sea A un conjunto no vaćıo y acotadLlamamos “di´ ametro de A” al n´ umero

δ (A) = sup{d(x, y)

x, y ∈ A}.

Si un conjunto no está acotado, decimos que carece de diámetro, algunos autores diceque δ (A) = ∞. además, si el conjunto {d(x, y) x, y ∈ A} está acotado superiormententonces A está acotado.

Si A es acotado y B ⊂ A, entonces B es acotado y δ (B) ≤ δ (A). Este resultado eevidente.

Un resultado importante y de mucha utilidad, como veremos más adelante, es siguiente.


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2.4. CONJUNTOS ACOTADOS EN ESPACIOS M ́ETRICOS. 33

Teorema 2.10. Sean (X, d) un espacio métrico y A ⊂ X un conjunto no vaćıo. A es

acotado, si y s´ olo si, est´ a contenido en una bola abierta.

Demostración:⇐] Como toda bola abierta B(x, r), x ∈ X , r > 0 es acotada, y A ⊂ B(x, r),

entonces A es acotado.⇒] Sea δ (A) el diámetro de A, sea xo ∈ X un punto cualquiera. Construiremos una

bola centrada en x0 que contenga a A. Sea z ∈ A y definamos el radio de la bola aśı:

r = d(z, xo) + δ (A) + 1.

Veamos que todo elemento x de A pertenece a B(xo, r)

d(x, xo) ≤ d(x, z ) + d(z, xo) ≤ δ (A) + d(z, xo) < δ (A) + d(z, xo) + 1.

Esto es, x ∈ B(xo, r).

Ejemplos.

1. Todo conjunto unitario tiene diámetro cero. Rećıprocamente, si δ (A) = 0, entonces,para todo x, y ∈ A se tiene que 0 ≤ d(x, y) ≤ 0, o sea x = y, luego A es unitario.

2. Toda bola abierta B(x, r) (cerrada B[x, r]) en un espacio métrico tiene diámetro

≤ 2r. No necesariamente su diámetro es 2r, por ejemplo, en el espacio métricodiscreto, B(x, 1) = {x} y su diámetro es cero.

3. En R con la métrica usual, δ ((a, b)) = δ ([a, b]) = δ ({a, b}) = b − a. Obsérveseque estos conjuntos son diferentes, en el primer caso, no existen elementos delconjunto (a, b) tales que d(x, y) = b − a, a diferencia del segundo conjunto y eltercer conjunto, en donde d(a, b) = b − a.

El ejemplo 3 anterior, se generaliza para un conjunto acotado y su cerradura.

Teorema 2.11. Sea (X, d) espacio métrico. Si A ⊂ X es un conjunto acotado, entonces δ (A) = δ (A).

Demostración: Como A ⊂ A, se tiene que δ (A) ≤ δ (A). Para la otra desigualdad,sea ǫ > 0 y sean x, y ∈ A. Entonces

B(x,ǫ/2) ∩ A = ∅ y B(y,ǫ/2) ∩ A = ∅.


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Tomemos p ∈ B(x,ǫ/2) ∩ A y q ∈ B(y,ǫ/2) ∩ A, entonces

d(x, y) ≤ d(x, p) + d( p, y)≤ d(x, p) + d(y, q ) + d( p, q )< δ (A) + ǫ.

De esta desigualdad se deduce que A es acotado y que

δ (A) ≤ δ (A) + ǫ,

como ǫ es arbitrario, se concluye que δ (A) ≤ δ (A). Luego, se tiene la igualdad.

Como consecuencia inmediata se tiene el siguiente resultado.

Corolario 2.1. Un conjunto A es acotado, si y s´ olo si, A es acotado.

Otro concepto que involucra distancias es el siguiente.

Definición 2.8. Sean X un espacio métrico, A y B subconjuntos no vaćıos de X . Sdefine la distancia entre los conjuntos A y B como

d(A, B) = ı́nf {

d(a, b) a ∈ A, b ∈ B}.Observaciones.

d(A, B) no es propiamente una distancia, a pesar de su nombre.

d(A, B) = d(B, A) para toda A, B ⊂ X , es decir cumple con el axioma de simetŕı

Si A ∩ B = ∅ entonces d(A, B) = 0. El rećıproco no se cumple, se puede tener qud(A, B) = 0 y sin embargo, A ∩ B = ∅, por ejemplo A = (0, 1), B = (1, 2).

Si el conjunto A está formado por un único punto a, la distancia se denomina distanci

de un punto a un conjunto:

d(a, B) = ı́nf {d(a, b) b ∈ B}.Ejemplos.

1. Sean X = R con la métrica usual y B = Q. Para cualquier a ∈ R, se cumple qud(a,Q) = 0. También d(Q, I) = 0, donde I es el conjunto de números irracionales


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2.5. CONJUNTOS TOTALMENTE ACOTADOS EN ESPACIOS M ́ETRICOS. 35

2. Sean R con la métrica usual y A = (1, 2]. Se comprueba directamente que

d((3/2, A) = ı́nf a∈A |3/2 − a| = 0d(1, A) = ı́nf a∈A |1 − a| = 0d(0, A) = ı́nf a∈A |a| = 1.

3. Sean R2 con la métrica del taxista y

A = {(x, y) ∈ R2 y = x2} = {(x, x2) x ∈ R}entonces

d2((2, 0), A) = ı́nf (x,y)∈A d2((2, 0), (x, y))= ı́nf x∈R d2((2, 0), (x, x

2))

= ı́nf x∈R{

(2 − x)2 + x2}=

√ 2 ı́nf x∈R

√ 2 − 2x + x2

Si definimos f (x) =√

2 − 2x + x2, se tiene que

0 = f ′(x) = x − 1√ 2 − 2x + x2 , si y sólo si, x = 1

luegoı́nf x∈R f (x) = f (1) = 1.

Por lo tanto d2((2, 0), A) =√

2.

Una desigualdad auxiliar que se usará con frecuencia es la siguiente.

Teorema 2.12. Sea X un espacio métrico, A ⊂ X un subconjunto no vacı́o y x, y ∈ X .Entonces.

|d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y).Dejamos la demostración al lector.

2.5. Conjuntos Totalmente Acotados en EspaciosMétricos.

Otro concepto, que utilizaremos más adelante, es el de conjunto totalmente acotado,el cual es más fuerte que el de conjunto acotado, como veremos enseguida.


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Definición 2.9. Sea (X, d) un espacio métrico. Diremos que A ⊂ X es totalmen

acotado (algunos autores le llaman precompacto), si para todo ǫ > 0, existe un conjunt finito de puntos x1, x2, . . . , xn ∈ A, tales que

A ⊂n

i=1

B(xi, ǫ).

Ejemplos.

1. Si A es finito, evidentemente es totalmente acotado.

2. Si X tiene la métrica discreta y A ⊂ X es totalmente acotado, entonces A es finit3. En R el intervalo (0, 1) es totalmente acotado: sea ǫ > 0, para dicha ǫ existe n ∈

tal que 1/2n < ǫ. Los puntos

xi = 2i − 1

2n i = 1, 2, . . . , n ,

pertenecen al intervalo (0, 1) y dividen al intervalo en subintervalos de longitu1/n. Si y ∈ (0, 1), entonces y pertenece a uno de los subintervalos, es decir, existi ∈ {1, 2, . . . , n} tal que y ∈ [(i − 1)/n,i/n], de donde d(y, xi) ≤ 1/2n < ǫ. Daqúı concluı́mos que

(0, 1) ⊂ ni=0

B(xi, ǫ).

Teorema 2.13. En un espacio métrico (X, d), todo conjunto totalmente acotado es acotado.

Demostración: Sea A ⊂ X totalmente acotado y ǫ = 1, entonces existe uconjunto {x1, x2, . . . , xn} ⊂ A, tales que A ⊂

ni=1 B(xi, 1). Sea

h = máx{d(xi, x j) i = 1, 2, . . . , n}.Si x, y ∈ A, por la hipótesis x ∈ B(xi, 1) para alguna i y y ∈ B(x j , 1) para alguna j

Luegod(x, y) ≤ d(x, xi) + d(xi, x j) + d(x j , y)


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2.6. EJERCICIOS. 37

El rećıproco no siempre es cierto, un conjunto puede ser acotado y no ser totalmente

acotado: sea X un espacio infinito, con la métrica discreta, cualquier subconjunto A deX está acotado, ya que, δ (A) = 1, pero, si A es infinito, es fácil demostrar que no estotalmente acotado. Sin embargo, en R, con la métrica usual, veremos más adelante quetodo conjunto acotado es totalmente acotado.

Teorema 2.14. Sea (X, d) espacio métrico. Si A ⊂ X es totalmente acotado entonces cualquier subconjunto no vaćıo de A es totalmente acotado.

Demostración: Sea C ⊂ A, con C = ∅. Dado ǫ > 0, existe un conjunto finitox1, x2, . . . , xn de elementos de A, tales que

A ⊂ ni=1

B(xi, ǫ/2).

Eliminemos las bolas cuya intersección con C sea vaćıa, reordenando ı́ndices, tenemosque

C ⊂m

j=i

B(x j, ǫ/2), m ≤ n.

Consideremos ahora, para cada j = 1, 2, . . . , m, z j ∈ C ∩B(x j , ǫ/2) y la bola B(z j , ǫ).Veamos que B(x j, ǫ/2) ⊂ B(z j , ǫ). Sea y ∈ B(x j , ǫ/2), entonces

d(y, z j) ≤ d(y, x j) + d(x j, z j) < ǫ/2 + ǫ/2 = ǫ,

luego, y ∈ B(z j , ǫ), de dondeC ⊂

m j=1

B(z j , ǫ).

Lo que significa que C está totalmente acotado.

2.6. Ejercicios.

1. Sea X = ∅,a ) Sea d : X × X → R, una función que cumple las siguientes propiedades:

d(x, y) = 0, si y sólo si, x = y.

d(x, y) ≤ d(x, z ) + d(y, z ), para cada x, y,z ∈ X .Demuestre que d es una métrica en X .


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b) d : X × X → R una función que cumple las siguientes propiedades:

d(x, y) = 0, si y sólo si, x = y.d(x, y) ≤ d(x, z ) + d(z, y), para cada x, y,z ∈ X .

¿Es d una métrica en X ?

2. Sea g : [0, ∞) → R tal que g(0) = 0, con g estrictamente creciente y que satisfacg(x + y) ≤ g(x) + g(y) para todo x ≥ 0, y ≥ 0. Pruebe que si d es una métrica eun conjunto X , entonces d1 = g ◦ d es también una métrica en X .

3. De las siguientes funciones, determine cuáles son métricas en R.

a ) d(x, y) = (x − y)2, x, y ∈ R.b) d(x, y) = |x2 − y2|, x, y ∈ R.c ) d(x, y) = |x3 − y3|, x, y ∈ R.d ) d(x, y) =

|x − y|, x, y ∈ R.e ) d4(x, y) = |x − 2y|, x, y ∈ R.

f ) d5(x, y) =|x − y|

1 + |x − y|, x , y ∈ R.

4. Sea d : R2 ×R2 → R definida por

d(x, y) = |x1 − y1|, donde x = (x1, x2), y = (y1, y2)¿es d una métrica en R2? ¿es una pseudométrica?

5. Sean d1, d2, . . . , dn métricas en un conjunto X . demuestre que

d(x, y) =n

i=1

di(x, y), para x, y ∈ X

es una métrica en X .

6. Sean (R2, d2) (d2 métrica euclidiana) y A

⊂R2, definido por

a ) A = {(x, y) ∈ R2 (x − 2)2 + y2 ≤ 1} ∪ {(x, y) ∈ R2 (x + 2)2 + y2 ≤ 1Determine en (A, d2) los puntos a ∈ A que verifican

d2(0, a) ≤ 1.

b) A = {(x, y) ∈ R2 y = x2}. Proporcione una forma expĺıcita de las métrica

inducidas por d1, d2 y d∞ en A.


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2.6. EJERCICIOS. 39

7. Encuentre todas las métricas en un conjunto X que conste de sólo dos puntos.

Tambíen en X , donde X consta de un sólo punto.8. Sea {(X i, di), i ∈ N} una sucesión de espacios métricos.

Sea X =

i∈N X i = {{xi} xi ∈ X i, i ∈ N}. Definamos d : X × X → R como

d(x, y) =∞i=1

di(xi, yi)

2i(1 + di(xi, yi)), donde x = {xi} , y = {yi}.

Demuestre que d es una métrica.

9. Sea (X, d) un espacio métrico. Definamos d : X × X → R comod(x, y) = mı́n{1, d(x, y)}.


10. Sean X = ∅, (Y, d) espacio métrico y φ : X → Y una función inyectiva. Definamosd1 : X × X → R como

d1(x, z ) = d(φ(x), φ(z )).

Demuestre que d1 es una métrica en X . En el caso de que φ no sea inyectiva,demuestre que d1 es una pseudométrica en X .

11. Sea (X, d) espacio métrico. Definamos d : X × X → R comod(x, y) =

d(x, y).

¿Es d una métrica en X ? Si definimos d como

d(x, y) = (d(x, y))2,

¿es d una métrica en X ?

12. Sean A = ∅, A ⊂ R y X = RA = {f : A → R

f es función }. Sea xo ∈ A,

definamos dxo : X ×

X →

R como

dxo(f, g) = |f (xo) − g(xo)|.

¿Es dxo una métrica en X ? ¿es pseudométrica?

13. Sea P (N) el conjunto potencia de N. Para cada A, B ∈ P (N), definamosd : P (N) × P (N) → R como d(A, B) = 0, si A = B, d(A, B) = 1/m, donde m esel número natural más pequeño que está en A o en B, pero no en ambos.


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a ) Demuestre que d es una métrica.

b) Calcule d(A, B) en los siguientes casos:

A = {2, 4, 6, . . . , 2n , . . .}, B = {1, 3, 5, . . . , 2n − 1, . . .}.A = {1, 2, 3, 5}, B = {1, 2, 4, 6}.A = {2, 3, 5}, B = {4, 6, 8}.

c ) Sea {X n}, n ∈ N una sucesión creciente de subconjuntos de N. Demuestrque la sucesión {X n} converge a

∞i=1 X i en esta métrica.

14. Sea D = {z ∈ C

|z | ≤ 1}. Definamos d : D × D → R por

d(z, w) = |z − w|, si arg(z ) = arg(w) ó z = 0 ó w = 0.|z | + |w|, en los otros casos.Demuestre que d es una métrica en D.

15. Sea X = {{xi} xi ∈ {0, 1}, i ∈ N}. Definamos d : X × X → R como

d(x, y) =∞i=1

|xi − yi|2i

.

Demuestre que d es una métrica en X . (X, d) es llamado el espacio de Cantor.

16. Sea 0 < α ≤ 1. Definamos d : R×R → R como

d(x, y) = |x − y|α.


17. La métrica de la Oficina Postal. Sea X = R2 y d la métrica euclidiana. Definamo

d̂ : R2

×R2

→ R como

d̂(x, y) =

d(0, x) + d(0, y), si x = y,0, si x = y.

Demuestre que d̂ es una métrica en R2 y que {x}, x ∈ R2, x = 0, es un conjuntabierto.


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2.6. EJERCICIOS. 41

18. Definamos d : R2 ×R2 → R por

d(x, y) =

1/2, si (x1 = y1 y x2 = y2) ó (x1 = y1 y x2 = y2),1, si x1 = y1 y x2 = y2,0, si x = y,

donde x = (x1, x2) y y = (y1, y2).

Pruebe que d es una métrica en R2.

19. Definamos d : R× R → R por

d(x, y) = 1 + |x − y|, si uno y sólo uno de los dos es positivo,|x − y|, en los otros casos.Pruebe que d es una métrica.

20. Sea X = {x1, x2, . . . , xn, . . . }, es decir, X es un conjunto numerable. Demuestreque

d(xi, x j) =

1 +

1

i + j , si i = j,

0, si i = j.

es una métrica. A (X, d) se le conoce como el espacio métrico de Sierpinski.

21. Sea X = {f : N → N | f es función }. Definimos

d(f, g) =∞i=1

|g(i) − f (i)|2i(1 + |g(i) − f (i)|) .

Demuestre que d es una métrica. A (X, d) se le conoce como el espacio de Baire.

22. El siguiente espacio métrico, llamado el espacio nulo de Baire tiene aplicaciones enla teoŕıa de comunicaciones:

Sea Y = {f : N → N | f es funcíon }. Definimos

d(f, g) =

0, si f (i) = g(i) para todo i,1i , si i es el primer ı́ndice tal que f (i) = g(i).



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23. Sea X = N. Demuestre que la función d : N×N → R definida por

d(n, m) = |n − m|

nm

es una métrica en N.

24. Sea X = N×N. Definimos

d

(a, b), (c, d)

= |da − bc|

bd ,

para (a, b), (c, d) ∈ N×N. Demuestre que d es una métrica.

25. Sea (X, d) un espacio métrico. Demuestre:

a ) |d(x, z ) − d(y, z )| ≤ d(x, y), para cada x, y,z ∈ X .b) |d(x, y) − d(z, w)| ≤ d(x, z ) + d(y, w), para cada x, y,z,w ∈ X .c ) |d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y), para cada x, y ∈ X y A ⊂ X .d ) Si A ⊂ B ⊂ A, entonces d(x, A) = d(x, B) = d(x, A), x ∈ X .

26. Sea (X, d) un espacio métrico, sean A, B,C ∈ P (X ).Definamos d : (P (X ) − ∅) × (P (X ) − ∅) por

d(A, B) = ı́nf {d(a, b) a ∈ A, b ∈ B}.a ) ¿Es d una métrica? ¿es una pseudométrica?

b) Si A ∩ B = ∅, demuestre que d(A, B) = 0. ¿Es válido el rećıproco?c ) Si d(A, B) = 0, entonces A ∩ B = ∅. Demuestre que el rećıproco no es ve

dadero, aunque A y B sean cerrados. Sug. En R con la métrica usual, considerA = N y B = {n + 1/2n n ∈ N}.

d ) d(A, B) = d(A, B).

e ) d(A, C )≤

d(A, B) + d(B, C ) + δ (B).

f ) d(A, C ) ≤ d(A, B) + d(A ∪ B, C ) + δ (B).g ) d(A, B ∪ C ) = mı́n{d(A, B), d(A, C )}.

27. Demuestre que si f , g : [a, b] → R son funciones continuas, entonces ba

f (t)g(t) dt

2≤ b

a

f 2(t) dt

ba

g2(t) dt .


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2.6. EJERCICIOS. 43

Usando esta desigualdad, demuestre que

d(f, g) = b

a

(f (t) − g(t))2 dt1/2es una métrica en el conjunto

C = {f : [a, b] → R f es continua }

28. Si (Y, d′) es un subespacio métrico de (X, d), pruebe que:

a ) F ⊂ Y es cerrado en Y , si y sólo si, existe L cerrado en X , tal que F = L ∩Y .b) Y es cerrado en X , si y sólo si, todo abierto U en Y , es abierto en X .

c ) Y es cerrado en X , si y sólo si, todo cerrado U en Y es cerrado en X .

d ) Si F ⊂ Y , entonces F Y = F X ∩ Y yo

F Y =

X − (X − F ) ∩ Y .29. Sean (X, d) un espacio métrico, A, B ⊆ X con A = ∅ = B y xo ∈ X . Demuestre

que:

a ) xo ∈ A ⇒ d(xo, A) = 0.b) No siempre se cumple que d(xo, A) = 0 ⇒ xo ∈ A.c ) x ∈ A ⇔ d(x, A) = 0.d ) d(A, B) = ı́nf {d(x, B) x ∈ A} = ı́nf {d(y, A) y ∈ B}.e ) A ∩ B = ∅ ⇒ d(A, B) = 0. f ) No siempre se cumple que d(A, B) = 0 ⇒ A ∩ B = ∅.

30. Sea (R, | · |), pruebe que:

a ) Si S =

x ∈ R

x = 1n, n ∈ N

, entonces

o

S = ∅.S = S ∪ {0}.S ′ = {0}.fr S = S ∪ {0}.

b) Si A =

1

n +

1

m

n, m ∈ N

, entonces (A′)′ = ∅. y

(A)′′′

= ∅.

c ) Existe A ⊂ R, tal queo

A = ∅ y A = R.


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d ) Si E ⊂ R, E = ∅, E es acotado y y = sup E entonces y ∈ E .

31. Sean A, B ⊂ (X, d).a ) ¿Será cierto qué:

i) fr A ⊂ fr A, ii) fro

A ⊂ fr A, iii) fr (A ∪ B) = fr A ∪ fr B?

b) Verifique que si A ∩ B = ∅, entonces fr (A ∪ B) = fr A ∪ fr B.32. Sean (X, d) y A ⊂ X . Verifique la verdad o falsedad de las siguientes proposicione

a ) Si A es finito, entonces A′ = ∅.

b) Sea X = R con la métrica usual, y sea A no numerable, entonces A′

= ∅.c ) Sea A′ numerable, entonces A es numerable.

d ) Si A es numerable , entonces A′ es numerable.

e ) A′ = ∅ ⇒ A es finito.33. Sea (X, d) un espacio métrico. A y B subconjuntos de X . Pruebe que

a ) δ (A) = 0, si y sólo si, A consta de un sólo punto.

b) δ (A) = δ (A).

c ) Si A

⊂B, entonces δ (A)

≤δ (B).

d ) Si A ∩ B = ∅, entonces δ (A ∪ B) ≤ δ (A) + δ (B). ¿Se cumple este resultadosi A ∩ B = ∅?

34. Sea (R2, d2). Calcule d2(x, B), cuando x = (1, 1) y B = B[(1/2, 0), 1/2].

35. Sea (R2, d1). Calcule d1(x, B), donde x y B son los mismos que en el problemanterior.

36. Sea (R2, d2). Calcule d2(A, B), donde

A = {(x, 0)

x > 0} y B = {(x, y)

y = 1/x, x > 0}.

37. En R con la métrica usual, calcule d(x, B), donde

x = 1/2, B =

3 + (−1)nn

n2 + 1

n ∈ N

∪ {3}.

38. Determine el interior, la cerradura y la frontera de los conjuntos siguientes en con la métrica usual.


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2.6. EJERCICIOS. 45

a ) {m + nπ

m, n ∈ N}.

b) {1/n + 1/m m, n ∈ N}.39. Determine el interior, la cerradura y la frontera de los conjuntos siguientes en R2

con la métrica euclidiana.

a ) {(1/n, 1/m) n, m ∈ N}.b) {(x, 0) x ∈ R}.c ) {( p, q ) p, q ∈ Q}.

40. Sean X = {1/n

n ∈ N} ∪ {0}, con la métrica inducida por la métrica usual en Ry A ⊂ X . Pruebe que

a ) Para cada n ∈ N, el conjunto unitario {1/n} es abierto.b) El conjunto {0} no es abierto en X .c ) Si 0 /∈ A entonces A es un conjunto abierto en X .d ) Si 0 ∈ A, entonces A es cerrado en X .

Observaci´ on . Note que en este espacio, un subconjunto de X es abierto ocerrado (o ambos).

41. Sean (X, d) un espacio métrico. x ∈ X y r > 0. Demuestre quea ) B(x, r) ⊂ B[x, r].b) ¿Se cumplirá B(x, r) = B[x, r]?

42. En el espacio métrico (R2, d2) sean los subconjuntos:

A1 = {(x, y) ∈ R2 |x|


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44. Demuestre que la frontera de cualquier conjunto en un espacio métrico es siempr

cerrada.45. Demuestre que si A es un subconjunto de un espacio métrico X , entonces:

(a) int(int(A)) = int(A). (b) A = A.(c) fr(A) ⊂ A ⇔ A es cerrado. (

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Introducción al Análisis de Espacios Métricos