Introduccion al Tema 6 Tema 5. Intervalos de confianzahalweb.uc3m.es/esp/Personal/personas/amalonso/esp/e1tema6.pdf · Introduccion al Tema 6 Tema 5. Intervalos de confianza Definición

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Introduccion al Tema 6

Tema 5. Intervalos de confianzaDefinicion.Ejemplos de intervalos de confianza.Determinacion del tamano muestral.

¿Esta θ en el intervalo deconfianza?

Tema 6. Contraste de hipotesisConceptos fundamentales.Contrastes para la media y la varianza en poblaciones normales.Contrastes con muestras grandes.Relacion entre los intervalos de confianza y los contrastes dehipotesis.Determinacion del tamano muestral.

Estadıstica I Andres M. Alonso

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Distribucion temporal del temario

1 2 3 4 5 6 7 8 9Tema 1 T T T PTema 2 T T T P T T T P PTema 3 T T T P T T T P PTema 4 T T T P T T T P PTema 5 T T T P T T T P PTema 6 T T T P T T T P PTema 7 T T T P T T T P P

7 7 7 7 6 6 6 6 6 580 0 0 7 0 0 0 6 6 19T denota una hora de clase de teorıa

P denota una hora de clase practica


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Tema 6. Contraste de hipotesis

Los contenidos a desarrollar en este tema son los siguientes:

Conceptos fundamentales:

• Hipotesis nula y alternativa.• Errores de tipo I y II.• Funcion de potencia de un contraste.• Nivel de significacion.• Hipotesis unilaterales y bilaterales.

Contrastes para la media y la varianza en poblaciones normales: casos deuna y dos poblaciones.

Contrastes con muestras grandes.

Relacion entre los intervalos de confianza y los contrastes de hipotesis.

Determinacion del tamano muestral.

Lecturas recomendadas: Secciones 10.1 a 10.6 del libro de Pena (2005) y elcapıtulo 9 de Newbold (2001).


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Contrastes de hipotesis

contrastar.contrastar.contrastar.contrastar.

(Del lat. contrastāre). 1. 1. 1. 1. tr. Ensayar o comprobar y fijar la ley, peso y valor de las monedas o de otros objetos de oro o plata, y sellar estos últimos con la marca del contraste cuando ejecuta la operación el perito oficial.

2. 2. 2. 2. tr. Comprobar la exactitud de pesas y medidas por ministerio público, para que estén ajustadas a la ley, y acreditarlo sellándolas.

3. 3. 3. 3. tr. Comprobar la exactitud o autenticidad de algoalgoalgoalgo.

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En estadıstica, el contraste de hipotesis tiene la finalidad de decidir si una de-terminada hipotesis sobre la distribucion en estudio es confirmada o invalidadaa partir de las observaciones de una muestra.


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Ejemplos de hipotesis

Las proximas elecciones municipales en Getafe otorgara dos escanos alpartido “Vientos de Pueblo”. Los partidos polıticos quieren contrastar esaafirmacion para posibles pactos pre–electorales ¿Como?

Una companıa recibe un gran cargamento de piezas. Solo acepta el envıo sino hay mas de un 5 % de piezas defectuosa. ¿Como tomar una decision sinverificar todas las piezas?

Un investigador quiere saber si una propuesta de reforma fiscal es acogidade igual forma por hombres y mujeres ¿Como puede verificar esa conjetura?

Estos ejemplos tienen algo en comun:

a) Se formula la hipotesis sobre la poblacion.

b) Las conclusiones sobre la validez de la hipotesis se basaran en la informacionde una muestra.


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Ejemplo 1. Se tienen dos monedas, una correcta (es decir la probabilidad decara/cruz es 1/2) y una trucada (con probabilidad de cara igual a 3/4). Sedecide jugar con una de las dos monedas seleccionada al azar, pero antes deempezar a jugar se permite realizar un experimento de dos tiradas. El objetivoes contrastar la hipotesis (H0) de p = 1/2.

(a) Escriba el espacio muestral:

X = {(c, c), (c, x), (x, c), (x, x)}.

(b) ¿Cual(es) resultado(s) le harıan pensar que la hipotesis es falsa?

R = {(c, c)}.

(c) Si decide rechazar H0 si se observa R, ¿que errores puede cometer? Calculela probabilidad de cada error.

Error Descripcion ProbabilidadTipo I Rechazar H0 cuando es cierta (1/2)2

Tipo II Aceptar H0 cuando es falsa 1− (3/4)2


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Definicion 1. Un contraste de hipotesis es cualquier particion del espaciomuestral, X , en dos regiones disjuntas: una region crıtica o de rechazo, R, yuna region de aceptacion Rc = X \R.

Ejemplo 1.

(d) Teniendo en cuenta el apartado (b). Proponga un contraste de hipotesispara H0 : p = 1/2.

X = R ∪Rc = {(c, c)} ∪ {(c, x), (x, c), (x, x)}.

(e) Proponga otro contraste.

X = R∗ ∪Rc∗ = ∅ ∪ {(c, c), (x, c), (x, c), (x, x)}.

(f) Calcule las probabilidades de cada tipo de error para el contraste propuestoen (e).

Error Descripcion ProbabilidadTipo I Rechazar H0 cuando es cierta 0Tipo II Aceptar H0 cuando es falsa 1


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Metodologıa del contraste de hipotesis - 1

1. Fijar, en funcion de las hipotesis y del contexto del problema, una cota parala probabilidad de cometer el error de tipo I, que denominamos nivel designificacion del contraste, α.

2. Excluir todos los contrastes cuya region crıtica, R, no satisfaga la condicion:

Pr {R|H0} ≤ α

3. Entre los contrastes no excluidos, seleccionar el contraste que minimice laprobabilidad del error de tipo II.

Neyman–Pearson

Ejemplo 1.

(g) Obtenga todos los contrastes de nivel α = (1/2)2.

(h) ¿Cual utilizarıa?


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Funcion de potencia

Definicion 2. Si las hipotesis pueden expresarse en terminos de un parametro,θ ∈ Θ, esto es si H0 : θ ∈ Θ0 y HA : θ ∈ ΘA, se denomina funcion depotencia del contraste con region crıtica R, a la probabilidad de rechazar H0

si el valor del parametro es θ:

β(θ) = Pr {R|θ} .

Observacion 1: Un contraste tiene nivel α si β(θ) ≤ α para θ ∈ Θ0.

Observacion 2: Cuando θ ∈ ΘA, la probabilidad del error de tipo II es: 1− β(θ).

Ejemplo 1.

(i) Suponga que en lugar de dos monedas tenemos un “continuo” de monedascon probabilidad p de cara. Calcule la funcion de potencia del contraste conregion crıtica R = {(c, c)}.


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Metodologıa del contraste de hipotesis - 2

En un problema (parametrico) donde las hipotesis pueden expresarse enterminos de un parametro, H0 : θ ∈ Θ0 y HA : θ ∈ ΘA:

1. Fijar, en funcion de las hipotesis y del contexto del problema, el nivel designificacion del contraste, α.

2. Excluir todos los contrastes cuya region crıtica, R, no satisfaga la condicion:

Pr {R|θ} ≤ α,

para todo θ ∈ Θ0.

3. Entre los contrastes no excluidos, seleccionar el contraste que maximice lafuncion de potencia en θ ∈ ΘA.

Probabilidad del error de tipo II = 1− β(θ)


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H0 cierta H0 falsa H0 cierta H0 falsa

Rechazo H0 Error de tipo I Rechazo H0 Pr(R | H0)

No rechazo H0 Error de tipo II No rechazo H0 Pr(NR | HA)

1. En el contraste de hipotesis se prima a la hipotesis nula (neutra).

2. Podemos hacer la probabilidad del error de tipo I tan pequena como queramos, PERO esto

hace que aumente la probabilidad del error de tipo II.

3. Un contraste de hipotesis puede rechazar la hipotesis nula.

4. Un contraste de hipotesis NO puede probar la hipotesis nula.

5. Si aceptamos la hipotesis nula, debe interpretarse como que las observaciones no han

aportado evidencia para descartarla.

6. Por el contrario, si rechazamos la hipotesis nula es porque se esta razonablemente seguro

(Pr(R|H0) ≤ α) de que H0 es falsa y estamos aceptando implıcitamente la hipotesis

alternativa.


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Tipos de hipotesis

Hipotesis simple: H0 : θ = θ0.

Hipotesis compuesta: H0 : θ ∈ Θ0 y Θ0 tiene mas de un elemento.

• Hipotesis unilaterales:

◦ H0 : θ ≤ θ0 vs HA : θ > θ0 .

◦ H0 : θ ≥ θ0 vs HA : θ < θ0 .

• Hipotesis bilaterales:

◦ H0 : θ = θ0 vs HA : θ 6= θ0 .

◦ H0 : θ ∈ [θ1, θ2] vs HA : θ /∈ [θ1, θ2] .


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Ejemplo 1.

Hipotesis simple vs simple: H0 : p = 1/2 vs HA : p = 3/4.

Hipotesis unilaterales:

{H0 : p ≤ 1/2 vs HA : p > 1/2H0 : p ≥ 1/2 vs HA : p < 1/2 .

Hipotesis bilaterales: H0 : p = 1/2 vs HA : p 6= 1/2 .

Ejemplo 2.

Las proximas elecciones municipales en Getafe otorgara dos escanos al partido “Vientos

de Pueblo”. Los partidos polıticos quieren contrastar esa afirmacion para posibles pactos

pre–electorales. H0 : NE = 2 vs NE 6= 2 .

Una companıa recibe un gran cargamento de piezas. Solo acepta el envıo si no hay mas de

un 5% de piezas defectuosas. H0 : p ≤ 0,05 vs HA : p > 0,05 .

Un investigador quiere saber si una propuesta de reforma fiscal es acogida de igual forma

por hombres y mujeres. H0 : pH = pM vs HA : pH 6= pM .


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Nivel crıtico ppp

Definicion 3. El nivel crıtico ppp (o p–valor) es el nivel de significacion maspequeno para el que la muestra obtenida obligarıa a rechazar la hipotesis nula.

El p-valor es la probabilidad (calculada bajo H0) de obtener un resultadoque sea menos compatible con H0 que el resultado obtenido con la muestra(x1, x2, . . . , xn).

El p-valor depende de la muestra (x1, x2, . . . , xn).

Puede considerarse como el apoyo que la hipotesis nula recibe de lasobservaciones de la muestra:

• Si el p-valor es menor que el nivel de significacion prefijado, el apoyo aH0 es escaso y por tanto H0 debe rechazarse.

• Si el p-valor es mayor que el nivel de significacion prefijado, el apoyo aH0 es suficiente y por tanto H0 no debe rechazarse.


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Calculo del nivel crıtico ppp

I Contraste unilateral por la derecha: H0 : θ ≤ θ0 vs HA : θ > θ0

Valor observado del estadıstico de contraste: T (x1, x2, . . . , xn) = t.Region crıtica: R = {(x1, x2, . . . , xn) : T (x1, x2, . . . , xn) > k}.p-valor = Pr(T ≥ t |θ = θ0).

I Contraste unilateral por la izquierda: H0 : θ ≥ θ0 vs HA : θ < θ0

Valor observado del estadıstico de contraste: T (x1, x2, . . . , xn) = t.Region crıtica: R = {(x1, x2, . . . , xn) : T (x1, x2, . . . , xn) < k}.p-valor = Pr(T ≤ t |θ = θ0).

I Contraste bilateral: H0 : θ = θ0 vs HA : θ 6= θ0

Valor observado del estadıstico de contraste: T (x1, x2, . . . , xn) = t.Region crıtica: R = {(x1, x2, . . . , xn) : T (x1, x2, . . . , xn) < k1} ∪{(x1, x2, . . . , xn) : T (x1, x2, . . . , xn) > k2}.p-valor = mın

(2 Pr(T ≤ t |θ = θ0); 2 Pr(T ≥ t |θ = θ0)

).


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Conceptos fundamentales: X• Hipotesis nula y alternativa.• Errores de tipo I y II.• Funcion de potencia de un contraste.• Nivel de significacion.• Hipotesis unilaterales y bilaterales.

Contrastes para la media y la varianza en poblaciones normales: casos deuna y dos poblaciones.

Contrastes con muestras grandes.




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Contrastes de hipotesis en una poblacion normal

Contrastes sobre µ:

H0 : µ = µ0 (σ conocida); R ={|x− µ0| > zα/2

σ√n

}H0 : µ = µ0 (σ desconocida); R =

{|x− µ0| > tn−1;α/2

s√n

}H0 : µ ≤ µ0 (σ conocida); R =

{x− µ0 > zα

σ√n

}H0 : µ ≤ µ0 (σ desconocida); R =

{x− µ0 > tn−1;α

s√n

}H0 : µ ≥ µ0 (σ conocida); R =

{x− µ0 < z1−α

σ√n

}H0 : µ ≥ µ0 (σ desconocida); R =

{x− µ0 < tn−1;1−α

s√n

}


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Contrastes de hipotesis en una poblacion normal

Contrastes sobre σ:

H0 : σ = σ0; R ={

n−1σ2

0s2 /∈

[χ2

n−1;1−α/2 , χ2n−1;α/2

]}H0 : σ ≤ σ0; R =

{n−1σ2

0s2 > χ2

n−1;α

}H0 : σ ≥ σ0; R =

{n−1σ2

0s2 < χ2

n−1;1−α

}


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Contrastes de hipotesis en una poblacion normal - Ejemplo

Ejemplo 3. Sea X la variable ”rentabilidad de cierto tipo de fondos deinversion tras una apreciacion fuerte del marco con respecto al dolar”. Seconsidera que la media de esta variable es 15. Un economista afirma quedicha rentabilidad media ha variado, por lo que lleva a cabo un estudioen las condiciones resenadas anteriormente sobre una muestra de 9 fondoscuya media muestral resulta ser de 15,308 y cuya varianza muestral corregida(cuasivarianza) es 0,193.

a) Especificando las hipotesis necesarias, contrastar la afirmacion deleconomista al 5 %.

b) A partir del resultado de a), razonar si el intervalo de confianza para lamedia (centrado en x) al 95 % contendra o no al valor 15.

Volveremos a este apartado

c) Acotar el p-valor. Si el contraste se hubiera realizado al 10 %, ¿aceptarıamosla hipotesis de que la media de la rentabilidad es 15 tras una apreciacionfuerte del marco con respecto al dolar? Razonar brevemente la respuesta.


20

a) Hipotesis asumidas: X1, ..., Xn es una m.a.s. de una poblacion N (µ, σ2).

H0 : µ = 15 vs H1 : µ 6= 15

Rechazaremos H0 a nivel del 5 % si

∣∣∣∣x−µ0sx√

n

∣∣∣∣ > tn−1;α2

Tenemos que

∣∣∣∣15,308−150,44√

9

∣∣∣∣ = 2,1 > t8;0,025 = 2,306. ⇒⇒⇒ ¿?

b) Por la dualidad intervalos de confianza-contrastes de hipotesis, 15 (valordel parametro apuntado en H0) ha de pertenecer al intervalo de confianza

descrito en el enunciado. Volveremos a este apartado

c) p-valor = 2P (t8 > 2,1).

p-valor ∈ (0,05, 0,1), entonces con α = 0,1 no rechazarıamos H0.


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Contrastes en dos poblaciones normales independientes

Contrastes sobre µ1 − µ2:

H0 : µ1−µ2 = d0 (σ1, σ2 conocidas); R ={|x− y − d0| > zα/2

√σ2

1n1

+ σ22

n2

}H0 : µ1−µ2 = d0 (σ1 = σ2); R =

{|x− y − d0| > tn1+n2−2;α/2 sp

√1n1

+ 1n2

}H0 : µ1 − µ2 = d0 (σ1 6= σ2); R =

{|x− y − d0| > tf ;α/2

√s21

n1+ s2

2n2

}

H0 : µ1 − µ2 ≤ d0 (σ1, σ2 conocidas); R ={

x− y − d0 > zα

√σ2

1n1

+ σ22

n2

}

H0 : µ1 − µ2 ≤ d0 (σ1 = σ2); R ={

x− y − d0 > tn1+n2−2;α sp

√1n1

+ 1n2

}H0 : µ1 − µ2 ≤ d0 (σ1 6= σ2); R =

{x− y − d0 > tf ;α

√s21

n1+ s2

2n2

}Estadıstica I Andres M. Alonso

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Contrastes en dos poblaciones normales independientes

Contrastes sobre µ1 − µ2: (continuacion)

H0 : µ1 − µ2 ≥ d0 (σ1, σ2 conocidas); R ={

x− y − d0 < z1−α

√σ2

1n1

+ σ22

n2

}H0 : µ1−µ2 ≥ d0 (σ1 = σ2); R =

{x− y − d0 < tn1+n2−2;1−α sp

√1n1

+ 1n2

}H0 : µ1 − µ2 ≥ d0 (σ1 6= σ2); R =

{x− y − d0 < tf ;1−α

√s21

n1+ s2

2n2

}

Contrastes sobre σ1/σ2:

H0 : σ1 = σ2; R ={s21/s2

2 /∈[Fn1−1;n2−1;1−α/2 , Fn1−1;n2−1;α/2

]}H0 : σ1 ≤ σ2; R =

{s21/s2

2 > Fn1−1;n2−1;α

}H0 : σ1 ≥ σ2; R =

{s21/s2

2 < Fn1−1;n2−1;1−α


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Contrastes en dos poblaciones normales - Ejemplo

Ejemplo 4. Un artıculo de la revista Consumer Reports de noviembre de1983 comparo varios tipos de baterıas. Los promedio de duracion de baterıasAA marca Duracell y de marca Everyday Energizer se denotan como µ1 y µ2,respectivamente.

a) Contrastar la hipotesis nula de que el promedio de duracion de las baterıasmarca Duracell supera en mas de una hora a la duracion media de lasbaterıas marca Everyday. Para cada tipo de baterıa se dispone de unamuestra de tamano 100 que proporciona los siguientes datos: x1 = 4,3horas, s1 = 1,5 horas, x2 = 4,1 horas y s2 = 1,7 horas.

H0 : µ1 − µ2 ≥ 1 vs HA : µ1 − µ2 < 1

Asumimos que las muestras son independientes entre sı, y m.a.s. de N (µ1, σ21)

y N (µ2, σ22), respectivamente.


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El estadıstico de contraste es:

t =x− y − d0√

s21

n1+ s2

2n2

H0∼ tf ,

donde f = entero mas proximo a(s2

1/n1+s22/n2)

2

(s21/n1)2

n1−1 +(s22/n2)2

n2−1

.

t =x− y − (µ1 − µ2)√

s2x

n+

s2y

m

=4,3− 4,1− 1√

1,52

100+

1,72

100

y f es el entero mas cercano a

194,97.

t = −3,53 < t195;1−0,05 = −1,6527 y rechazarıamos H0.

Tablas: t120;0,95 = −1,66 y t∞;0,95 = z0,95 = −1,645


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Contrastes para la media y la varianza en poblaciones normales: casos deuna y dos poblaciones. XContrastes con muestras grandes.




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Contrastes en muestras grandes - Una poblacion

X ∼ B(1, p) (muestras grandes):

H0 : p = p0; R ={|x− p0| > zα/2

√p0(1−p0)

n

}H0 : p ≤ p0; R =

{x− p0 > zα

√p0(1−p0)

n

}H0 : p ≥ p0; R =

{x− p0 < z1−α

√p0(1−p0)

n

}X ∼ Poisson(λ) (muestras grandes):

H0 : λ = λ0; R ={|x− λ0| > zα/2

√λ0/n

}H0 : λ ≤ λ0; R =

{x− λ0 > zα

√λ0/n

}H0 : λ ≥ λ0; R =

{x− λ0 < z1−α

√λ0/n


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Contrastes en muestras grandes - Dos poblaciones

Comparacion de proporciones (muestras grandes e independientes):

X ∼ B(1, p1); (X1, . . . Xn1) m.a.s. de X.Y ∼ B(1, p2); (Y1, . . . Yn2) m.a.s. de Y .

H0 : p1 − p2 = d0; R ={|x− y − d0| > zα/2

√x(1−x)

n1+ y(1−y)

n2

}

H0 : p1 − p2 ≤ d0; R ={

x− y − d0 > zα

√x(1−x)

n1+ y(1−y)

n2

}

H0 : p1 − p2 ≥ d0; R ={

x− y − d0 < z1−α

√x(1−x)

n1+ y(1−y)

n2

}


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Contrastes en muestras grandes - Ejemplo

Ejemplo 5. La Universidad posee un considerable volumen de ascensores yelevadores en sus tres campus, cuyo mantenimiento realiza una empresa queafirma que al menos el 99 % de los dıas lectivos se encuentran funcionando todoslos ascensores y elevadores. La Universidad ha seleccionado aleatoriamente 41dıas lectivos. Solo en 38 de ellos el funcionamiento de ascensores y elevadoresera total.

a) ¿Es aceptable la hipotesis que afirma la empresa de mantenimiento?

b) La Universidad quiere contrastar si existen diferencias en el porcentaje dedıas lectivos con total funcionamiento de ascensores y elevadores entre susdos campus mas antiguos (G y L) y el campus mas moderno (C). De los 41dıas estudiados, en 38 dıas hubo total funcionamiento en G y L, mientrasque en C hubo en 40 dıas.


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a) Sea p la proporcion de dıas que funcionan todos los ascensores de la

universidad. Queremos contrastar

{H0 : p ≥ 0,99H1 : p < 0,99

El estadıstico de contraste es: Z = p−p0√p0(1−p0)

n

=3841−0,99√0,99×0,01

41

= −4,06.

Utilizando las tablas podemos acotar el p− valor < 0,001 ⇒⇒⇒ ¿?

b) Queremos contrastar

{H0 : p1 = p2

H1 : p1 6= p2, donde p1 es la proporcion de dıas

de total funcionamiento en G y L, y p2 lo es en C.

El estadıstico de contraste es: Z = x−y√x(1−x)

n1+

y(1−y)n2

, donde x = p1 = 38/41 y

y = p2 = 40/41.

Tenemos que |z| = | − 1,03| y el p− valor = 2 Pr(Z > 1,03) = 2× 0,1515 =0,3030. No tenemos evidencia en contra de que ambas proporciones seaniguales.


30



Contrastes para la media y la varianza en poblaciones normales: casos deuna y dos poblaciones. XContrastes con muestras grandes. XRelacion entre los intervalos de confianza y los contrastes de hipotesis.



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Intervalos de confianza y los contrastes de hipotesis

I En la deduccion de los contrastes:

H0 : µ = µ0 (σ conocida); R ={|x− µ0| > zα/2

σ√n

}

H0 : µ1 − µ2 ≤ d0 (σ1, σ2 conocidas); R ={

x− y − d0 > zα

√σ2

1n1

+ σ22

n2

}observamos que existıa una analogıa con la obtencion de los intervalos deconfianza para la media, µ y la diferencia de medias, µ1−µ2, respectivamente:

IC =[x− zα/2

σ√n, x + zα/2

σ√n

]y IC =

[x− y − zα

√σ2

1/n + σ22/m,+∞

].

I Podemos decir que no rechazamos la hipotesis nula a un nivel de significacionα si µ0 y d0 no estan en los intervalos de confianza de nivel (1-α) respectivos.


32

I Esa conclusion no es casual:

Cuando construimos una region de confianza, RC(x1, x2, . . . , xn), para unparametro, θ, buscamos que: Prθ(θ ∈ RC(X1, X2, . . . , Xn)) ≥ 1− α, paracada θ ∈ Θ.

Cuando construimos un contraste de hipotesis, H0 : θ = θ0, o equivalente-mente cuando obtenemos su region de rechazo, RR(θ0), imponemos que:Prθ0((X1, X2, . . . , Xn) ∈ RR(θ0)) ≤ α.

I Entonces,

Conocidas las regiones RR(θ), entonces

RC = {θ ∈ Θ|(x1, x2, . . . , xn) /∈ RR(θ)}es una region de confianza de nivel (1-α) del parametro.

Recıprocamente, dada la region de confianza RC, entonces

RR = {(x1, x2, . . . , xn)|θ0 /∈ RC(X1, X2, . . . , Xn)}es una region de rechazo de un test con tamano menor o igual que α.


33

Ejemplo 6. Obtener intervalos de confianza de nivel 1 − α a partir de lossiguientes contrastes de hipotesis:

a) H0 : µ = µ0 (σ conocida); R ={|x− µ0| > zα/2

σ√n

}.

b) H0 : µ ≤ µ0 (σ conocida); R ={

x− µ0 > zασ√n

}.

c) H0 : µ ≥ µ0 (σ conocida); R ={

x− µ0 < z1−ασ√n

}.

Ejemplo 7. Obtener un contraste de hipotesis de nivel α para H0 : σ2 = σ20,

a partir del siguiente intervalo de confianza:

a) I =[

(n−1)s2

χ2n−1;α/2

, (n−1)s2

χ2n−1;1−α/2

].

Ejercicio: Contrastes para H0 : σ2 ≤ σ20 y H0 : σ2 ≥ σ2

0.


34



Contrastes para la media y la varianza en poblaciones normales: casos deuna y dos poblaciones. XContrastes con muestras grandes. XRelacion entre los intervalos de confianza y los contrastes de hipotesis. XDeterminacion del tamano muestral.


35

Determinacion del tamano muestral

Ejemplo 8. Consideremos el contraste de hipotesis

{H0 : µ = µ0

H1 : µ 6= µ0, donde

µ es la media de una poblacion N (µ, σ2) con σ conocida.

Sabemos que R ={|x− µ0| > zα/2

σ√n

}define un contraste de tamano α.

a) Obtenga la expresion de la funcion de potencia.

β(µ) = Pr(R|µ) = 1− Pr(− zα/2 + µ0−µ

σ/√

n< X−µ

σ/√

n< zα/2 + µ0−µ

σ/√

n

).

b) ¿Como es β(µ) como funcion de n? ¿De σ2? ¿De |µ0 − µ|?

Creciente en n.Decreciente en σ.

Creciente en |µ0 − µ|. ¿β(µ) cuando |µ0 − µ| → 0?


36

I Dado σ2 y prefijado el nivel de significacion, queremos tener una potenciamayor o igual que un β % (valores usuales 90 % o 80 %) cuando las diferenciasentre la media verdadera, µ, y la hipotetica, µ0 supere un valor prefijado, d.

β(µ) = Pr(R|µ) = 1− Φ(zα/2 + µ0−µ

σ/√

n

)+ Φ

(− zα/2 + µ0−µ

σ/√

n

).

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

d = 0.1

d = 0.2

d = 0.3

d = 0.4

d = 0.5 d n0.1 6190.2 1570.3 710.4 410.5 27

Statgraphics


37

Determinacion del tamano muestral con Statgraphics

I Una poblacion:


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Determinacion del tamano muestral con Statgraphics

I Dos poblaciones independientes:


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Recapitulacion


Conceptos fundamentales:• Hipotesis nula y alternativa.

• Errores de tipo I y II.

• Funcion de potencia de un contraste.

• Nivel de significacion.

• Hipotesis unilaterales y bilaterales.

W Conceptos clave eninferencia.

Contrastes para la media y la varianzaen poblaciones normalesContrastes con muestras grandes.

W Ejemplos de interespractico.

Determinacion del tamano muestral. W ¿Cuando y por que?


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Tema 5. Intervalos de confianzaDefinicion.

Ejemplos de intervalos de confianza.


Tema 6. Contraste de hipotesisConceptos fundamentales.

Ejemplos de contrastes de hipotesis.


Su validez dependede las hipotesis asumidas

Tema 7. Diagnosis del modeloContrastes de bondad de ajuste.Transformaciones para conseguir normalidad.Contraste χ2 de independencia y de homogeneidad.


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Introduccion al Tema 6 Tema 5. Intervalos de confianzahalweb.uc3m.es/esp/Personal/personas/amalonso/esp/e1tema6.pdf · Introduccion al Tema 6 Tema 5. Intervalos de confianza Definición