Transformaciones geométricas anamórficas

INVERSIÓN

DIBUJO TÉCNICO II. 2º bach. IES Sánchez Cantón

CONCEPTO DE POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA

Antes de centrarnos en el concepto de inversión, es necesario dar un primer apunte relativo al concepto de potencia de un punto respecto de una circunferencia, concepto que estudiaremos con más detalle en el tema de tangencias. Se trata de una propiedad geométrica que relaciona una circunferencia con un punto (que puede ser exterior, interior o perteneciente a ella). Esta propiedad nos permite demostrar que las rectas secantes trazadas a una circunferencia desde un punto P (en la figura es exterior), quedan seccionadas por la circunferencia según segmentos en los que siempre se cumple que su producto es un valor constante: PA x PB = PC x PD =K (constante)

A este producto constante se le denomina potencia del punto P respecto a la circunferencia. Cuando la recta secante alcanza su posición límite y se convierte en tangente, los dos segmentos son idénticos, por lo que el valor de la potencia será igual al segmento tangente PT elevado al cuadrado. Dicho segmento tangente, al ser único para cada punto y circunferencia, se convierte en el segmento representativo de la potencia.

Evidentemente, para que se mantenga la constante, los segmentos deberán ser inversamente proporcionales (si uno aumenta, el otro disminuirá, y viceversa). Se pueden considerar tres casos en la potencia:

-Cuando el punto P es exterior, la potencia será positiva (los segmentos siempre tendrán idéntico sentido). -Cuando el punto es interior, la potencia es negativa (segmentos de sentido opuesto); en este caso, el segmento tangente no podrá ser el representativo de la potencia, puesto que no existe. -Si el punto P pertenece a la circunferencia, entonces tendrá lógicamente potencia nula.

PA x PB = PC x PD = PT x PT = PT2 = K (constante)

CONCEPTO de INVERSIÓN

La Inversión es una transformación geométrica anamórfica en la que a una figura corresponde otra y en la que se cumple que:

Dos puntos inversos (A, A’) están alineados con un punto fijo llamado Centro de Inversión (O),El producto de la distancia de un punto al Centro de Inversión por la distancia de su inverso al Centro de Inversión es constante (K) y se llama Potencia de Inversión.Esto quiere decir que OA·OA’ = OB·OB’ = OT·OT = K

Trazando sucesivas rectas secantes a esta circunferencia encontramos más puntos y sus inversos. Puesto que K es constante, cuanto mayor sea OA, menor será OA’, es decir, cuando más alejado esté un punto A del Centro O, más cerca estará su inverso A’ del Centro O (los segmentos serán siempre inversamente proporcionales).

Existe una distancia para la cual un punto A y su inverso son coincidentes: Se trata del punto de tangencia. El punto T coincide con su inverso y para él también se cumple que

OT·OT = K

Por tanto,

OT = Raíz cuadrada de K

Todos los puntos situados a la misma distancia del centro de inversión que este punto T son dobles (coinciden punto y su inverso). Por ello definirán un lugar geométrico particular que se denomina Circunferencia de Puntos Dobles (CPD).

La circunferencia que pasa por A-A' y B-B' es sin embargo una circunferencia doble, ya que será siempre inversa de sí misma, pero no contendrá más puntos dobles que los de tangencia trazados desde el centro O de inversión.

La inversión es transformación en la que se preserva la incidencia: si dos elementos son tangentes o se cortan en un punto P, sus inversas serán también tangentes o se cortarán en el punto inverso del punto P. Esta propiedad nos será de gran utilidad a la hora de resolver más adelante algunos de los casos de tangencia.

Circunferencia de Puntos Dobles o Circunferencia de Autoinversión

La Circunferencia de Puntos Dobles (o circunferencia de autoinversión) es por lo tanto el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen sus inversos en sí mismos. Estos puntos equidistan del Centro de Inversión una distancia igual a la raíz cuadrada de la Potencia de Inversión K. Dicha equidistancia viene por lo tanto determinada por el segmento tangente trazado desde el centro de inversión O a la circunferencia que pasa por dos pares de puntos inversos.

Cómo dibujar la Circunferencia de Puntos Dobles:

En realidad es muy sencillo. Dibuja una circunferencia que contenga a los puntos inversos A-A’; traza la recta tangente a dicha circunferencia desde el Centro de Inversión, con su correspondiente un punto de tangencia T.

La circunferencia con centro en O y radio O-T es la Circunferencia de Puntos Dobles CPD

Puedes comprobar que el segmento tangente se mantendrá invariable, independientemente de la circunferencia que hayas utilizado pasando por A y A´. Si trazas desde O cualquier recta que corte a la circunferencia. los puntos B y B´serán igualmente puntos inversos. Los puntos de corte con la CPD serán inversos de sí mismos (serán además los puntos de tangencia de las rectas que pasan por el centro de inversión).

Circunferencia doble

(Punto doble, inverso de sí mismo)

Características de la Inversión

1. Dos pares de puntos inversos no alineados forman siempre una circunferencia (son concílicos).

2. Dados dos puntos A, B y sus inversos A’, B’, las rectas A-A’ y B-B’ son antiparalelas de las rectas A-B y A’-B’.

Esto quiere decir que el ángulo que forma la recta A-A’ con A’-B’ y con A-B son iguales que los que forma la recta B-B’ con A-B y con A’-B’ respectivamente.

3. Si K>0, la inversión es positiva. Un punto y su inverso estarán siempre al mismo lado del centro de inversión. Si la razón K<0, la inversión se considera negativa (segmentos de sentido opuesto). En este último caso la inversión no tiene puntos dobles, ya que el centro de inversión será siempre interior a cualquier circunferencia que pase por dos pares de puntos inversos y no existirá recta tangente.

Elementos dobles en la Inversión

Los elementos o “figuras dobles” en la inversión son aquellos que se transforman en sí mismos. Son 3:

1. Una recta que pasa por el centro de inversión. Siempre coincidirá con su inversa, ya que todos sus puntos y sus correspondientes inversos estarán alineados con el centro.

2. La circunferencia de puntos dobles o circunferencia de autoinversión: todos sus puntos son dobles, por lo que será inversa de sí misma. Sólo existirán puntos dobles si la inversión es de potencia k>0. Si la inversión es de potencia k<0, un punto y su inverso estarán a ambos lados del centro; no tendrá entonces puntos dobles.

3. La circunferencia doble, determinada por 2 puntos y sus inversos. Será siempre inversa de sí misma, pero no es una circunferencia de puntos dobles, como en el caso anterior. Sus únicos puntos dobles los determinarán las rectas tangentes trazadas desde O (serán coincidentes con los puntos de corte con la circunferencia de autoinversión).

Formas para determinar una Inversión

Una Inversión puede venir determinada de 3 maneras diferentes:

1. Dado el Centro de Inversión y un par de puntos inversos2. Dado el Centro de Inversión y la Potencia de Inversión3. Dados dos pares de puntos inversos no alineados.

Veamos a continuación cada uno de los casos:

1. Dado el Centro de Inversión O y un par de puntos inversos A, A’, determinar el punto inverso de B.

Por dos pares de puntos inversos pasará siempre una circunferencia. Para determinar una circunferencia necesitaremos únicamente tres puntos, que serán A, A´y B. Dibujaremos la circunferencia que pasa por A, A’ y B. Para ello trazamos las mediatrices de los segmentos A-A’ y A-B y determinamos el punto C, centro de la circunferencia que buscamos. Para determinar el inverso de B, uniremos el punto con el centro de inversión y obtendremos B’. Cualquier otra secante trazada desde O determinará nuevos puntos inversos.

2. Dado el Centro de Inversión O y el valor de la inversión OT, determinar el punto inverso de A

OT será el segmento representativo de la constante de inversión. La tangente desde O a cualquier circunferencia que pase por un par de puntos inversos tendrá la medida de este segmento.

Dibujaremos una circunferencia de radio OT con centro en el Centro de Inversión O. Como hemos visto antes, ésta es la Circunferencia de Puntos Dobles.

Elegimos un punto T cualquiera de esta circunferencia, que lógicamente será un punto doble, inverso de sí mismo. La circunferencia que pase por A y T siendo tangente al segmento OT nos permitirá obtener la solución. Para ello dibujaremos la mediatriz del segmento AT y el radio perpendicular al segmento tangente OT en el punto doble T. En la intersección de ambas rectas se encuentra el centro C de la circunferencia de radio CT que contendrá el inverso de A. Uniendo el centro de inversión O con A determinaremos el inverso A´de dicho punto.

3. Dados dos pares de puntos inversos A, A’ y B, B’, determinar el punto inverso de D.

Primero determinaremos el centro de inversión O, que estará en la intersección de las rectas A-A’ con B-B’. Una vez determinado, ya podemos proceder como en el caso 1: dibujamos la circunferencia que pasa por los puntos A, A’ y D. Uniendo O con D obtendremos su inverso D’ sobre dicha circunferencia.

Los 5 casos de inversión

A continuación veremos los 5 casos posibles de inversión. Los podrás aplicar a cualquier problema que se te presente.

1. Inversa de una recta que pasa por el Centro de Inversión

La solución es la misma recta, ya que todos los puntos de la recta y sus correspondientes puntos inversos estarán alineados con el centro. ¡Ojo! Esto no significa que cada punto sea inverso de sí mismo. Esto sólo ocurrirá en los puntos de la recta que sean también pertenecientes a la Circunferencia de Puntos Dobles. Significa que un punto contenido en esa recta tendrá su inverso en la misma recta.

¿Cómo obtener, en este caso, el punto inverso? Resolvemos el problema, dados un Centro de Inversión O, un par de puntos inversos A, A’ y un punto B, del cual queremos obtener su inverso.

Utilizamos para la solución un punto C aleatorio que no pertenezca a la recta y dibujamos la circunferencia que contiene a A, A’ y C. Por la propiedad de que dos pares de puntos inversos siempre forman una circunferencia, podemos asegurar que C’, inverso de C, estará en esta circunferencia; obtenemos C´uniendo C con el centro de inversión. De esta manera tenemos un punto y su inverso, pero no pertenecientes a la recta.Dibujamos ahora la circunferencia que pasa por C, C’ y B. En el punto de corte de esta segunda circunferencia con la recta A-A’ se encuentra la posición de B’, inverso del punto B.

2. Inversa de una recta que no pasa por el Centro de Inversión

En este caso, la solución es una circunferencia que sí pasa por el centro de inversión. Se cumple además que la recta que une el Centro de Inversión con el centro de la circunferencia es perpendicular a la recta dada.

Vemos la solución del caso, dados el Centro de Inversión O, un par de puntos inversos A, A’ y una recta r.

Tomamos un punto cualquiera B de la recta y determinamos su inverso B’, haciendo pasar una circunferencia por A, A’ y B. Si hacemos lo mismo con sucesivos puntos de la recta, veremos que los puntos inversos que vamos determinando conforman un lugar geométrico, una circunferencia que será por tanto la figura inversa de la recta r.

El centro de la circunferencia estará en la perpendicular a la recta r trazada desde el centro de inversión O. La circunferencia pasará por el centro de inversión O, y con B´, inverso del punto B, determinaremos su centro (mediatriz del segmento OB´).

El centro de inversión será a su vez el punto inverso de los puntos del infinito de la recta r.

3. Inversa de una circunferencia que pasa por el Centro de Inversión

La solución será una recta que no pasa por el centro de inversión. Este sería el caso complementario del anterior.

Dados un Centro de Inversión O, un par de puntos inversos A-A' y una circunferencia de centro C, la recta inversa que buscamos será perpendicular a la recta O-C. Por tanto, una vez dibujada la recta OC, su perpendicular que pasa por por el punto A’ será la solución buscada.

4. Inversa de una circunferencia que no pasa por el Centro de Inversión

En este caso, la solución es otra circunferencia, que, como veremos, será además homotética de la primera.

Dados el Centro de Inversión O, un par de puntos inversos A-A' y una circunferencia de centro C, solucionamos el caso:

Unimos el centro C de la circunferencia con el Centro de Inversión. Sobre esta recta estará necesariamente el centro de la circunferencia inversa que buscamos. Con el mismo razonamiento, dibujamos ahora la recta tangente a la circunferencia desde el Centro de Inversión (arco capaz de 90º con centro en el punto medio del segmento OC). Determinamos el punto de tangencia T.

Determinamos su punto inverso T´utilizando como en casos anteriores la circunferencia A,A´,T. Como en la inversión se conservan las incidencias y tangencias, el inverso T’ del punto de tangencia T se encontrará en la circunferencia que buscamos, que será igualmente tangente a la recta OT (ello implica además que ambas circunferencias serán también homotéticas). Trazando por el punto T’ una perpendicular a la recta OT definiremos el centro de la circunferencia inversa.

5. Inversa de una circunferencia que pasa por un par de puntos inversos

Importante! Cada punto de la circunferencia no es inverso de sí mismo, sino que cada punto de la circunferencia tiene su inverso sobre la propia circunferencia. Únicamente serán inversos de sí mismos los puntos de la circunferencia determinados por las rectas tangentes trazadas desde el centro O de inversión.

Esto se basa en la 1ª característica de la Inversión, enunciada al principio: dos pares de puntos inversos no alineados forman siempre una circunferencia (son concíclicos siempre).

En este último caso, la circunferencia es inversa de sí misma.

ALGUNOS DATOS MÁS: de la misma forma que para el plano, se define la inversión respecto a una esfera en el espacio, y de las propiedades de la inversión en el plano, se obtienen propiedades análogas de la inversión en el espacio; en particular, una esfera que pasa por el origen se transforma en un plano paralelo al plano tangente a la esfera en el centro de inversión, lo cual ha dado origen, entre otras aplicaciones, a la proyección estereográfica empleda en la cartografía terrestre, y a instrumentos náuticos como el astrolabio.

La proyección estereográfica es un sistema de representación gráfico en el cual se proyecta la superficie de una esfera sobre un plano o superficie de revolución cilíndrica o cónica mediante un conjunto de rectas que pasan por un punto, o foco. El plano o superficies de proyección son tangentes a la esfera. Mercator fue el primer cartógrafo en emplear este sistema de proyección en 1569, dando origen al primer mapa donde se podían trazar rumbos náuticos con líneas rectas, calculando correctamente las distancias.

Mapa según la proyección de Winkel-Tripel (Óswald Winkel 1921, proyección cartográfica azimutal modificada)

proyección cilíndrica(o de Mercator)

proyección cónica proyección azimutal

Mapa de Gerardus Mercator, 1569

EJERCICIOSde

INVERSIÓN

E1. Dada la inversión de centro O y el par de puntos inversos A-A', determina el inverso del punto P.

Solución 1. Inversión de signo positivo. k>0

Solución 2. Inversión de signo negativo. k<0Circunferencia doble A-A'-P

Circunferencia doble A-A'-P

E2. Dada la inversión de centro O y razón k=9, determina el inverso del punto A.

Buscamos en la circunferencia de autoinversión el punto de tangencia trazado desde A. Este punto será doble (inverso de sí mismo).

La circunferencia doble determinada por T-T' y A nos permite determinar el inverso A' buscado.

Vemos además que las rectas AT y AA' son antiparalelas, por lo A'T' será perpendicular a OA. Circunferencia doble A-A'-P

E3. Dada la inversión de centro O y razón k=9, determina el inverso de la recta r.

Buscamos, con la circunferencia de autoinversión el punto A' inverso de A (pié de la perpendicular trazada desde O a la recta r. Procedemos como en el ejercicio anterior, con la ayuda del punto doble T-T'.

Si procedemos de igual forma con los restantes puntos de la recta r, vemos que sus inversos conforman un lugar geométrico, una circunferencia que pasará siempre por el centro de inversión. Su diámetro será OA'.

Por lo tanto, la inversa de una recta que no pasa por el centro de inversión siempre será una circunferencia que sí pasa por dicho centro.

Circunferencia doble A-T-T'

E4. Dada la inversión de centro O y razón k=9, determina el inverso de la circunferencia dada.

A) La circunferencia pasa por el centro de inversión. Su inversa será una recta perpendicular al diámetro que pasa por O, centro de inversión. Utlizaremos la circunferencia de puntos dobles para determinar el inverso de A, por donde pasará la recta inversa buscada.

B) La circunferencia no pasa por el centro de inversión. Su inversa será otra circunferencia homotética de la primera. Utlizaremos la circunferencia de puntos dobles para determinar los inversos de A y B, que estarán situados lógicamente sobre la recta de centros. A' y B' determina el diámetro de la circunferencia inversa buscada.

2 circunferencias inversas serán homotéticas, siendo el centro de homotecia coincidente con el centro de inversión O (la homotecia será directa si k>0 e inversa si k<0)

E5. Dada la inversión de centro O, determina el inverso del triángulo ABC sabiendo que C es el inverso de A.

Si C es el inverso de A, al estar alineados con e centro de inversión, entonces A será a su vez inverso de C. El lado AC será por lo tanto inverso de sí mismo, ya que la recta que lo contiene pasa por el centro de inversión. Tenemos que determinar el inverso del vértice B. La circunferencia doble A-A'-B determina su posición, como vemos en el dibujo.

Representamos los elementos que determinan la figura inversa: El lado AC es inverso de sí mismo, al pertenecer a una recta que pasa por el centro de inversión.El lado BC, al pertenecer a una recta que no pasa por O, tendrá como inversa a la circunferencia OB'C' (que pasa por el centro de inversión). El lado AB, de igual forma, tendrá como inversa a la circunferencia OA'B' (que también pasa por el centro de inversión).

Circunferencia doble A-A'-B

E6. Dada la inversión de centro O, determina el inverso del cuadrilátero ABCD sabiendo que D es el inverso de A.

Si D es el inverso de A, al estar alineados con el centro de inversión, entonces A será a su vez inverso de D. Procederemos entonces de manera análoga al ejercicio anterior.La circunferencia doble que pasa por AA’ y DD’ coincide en este caso con la circunscrita del cuadrilátero, y nos permite determinar simultáneamente los inversos de los vértices B y C. Las circunferencias inversas de AB, BC y CD determinan la solución.

Circunferencia doble A-A'-B