Investigación e IIM Ingeniería de la Madera · Revista del Laboratorio de Mecánica de la Madera ... elemento finito se ha convertido en una herramienta de cálculo popular son

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Investigación e IIM Ingeniería de la Madera Volumen 12 Número 1 Abril, 2016 Revista del Laboratorio de Mecánica de la Madera

División de Estudios de Posgrado

Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera

Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo ISSN: 2395-9320 Verificación del comportamiento elástico de la madera de Acer rubrum y de Abies balsamea por el método del elemento finito. Javier Ramón Sotomayor Castellanos y Saúl Antonio Hernández Maldonado Coeficientes de higroelasticidad en flexión estática de la madera de Pinus douglasiana procedente de Michoacán. Javier Ramón Sotomayor Castellanos y José María Villaseñor Castellanos

Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 12, Número 1, Abril 2016

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Investigación e Ingeniería de la Madera, Volumen 12, No. 1, enero-abril 2016. Publicación cuatrimestral editada por la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, Av. Francisco J. Mújica, s/n. Ciudad Universitaria. Código Postal 58030. Teléfono y Fax (443) 322-3500. www.investigacioneingenieriadelamadera.umich.mx [email protected] Editor: Javier Ramón Sotomayor Castellanos. Reserva de Derechos al Uso Exclusivo No. 04-2014-103117440700-203. ISSN: 2395-9320. Ambos otorgados por el Instituto Nacional del Derecho de Autor. Responsable de la última actualización de este número, Laboratorio de Mecánica de la Madera, División de Estudios de Posgrado, Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera, Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, Javier Ramón Sotomayor Castellanos. Av. Francisco J. Mújica, s/n. Ciudad Universitaria. C.P. 58030. Teléfono y Fax (443) 322-3500, fecha de la última modificación: 30 de abril de 2016. Diseño y formación: Laboratorio de Mecánica de la Madera, División de Estudios de Posgrado, Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera. Portada: Joel Benancio Olguín Cerón y Javier Ramón Sotomayor Castellanos. Publicado digitalmente en Morelia, Michoacán, México. Abril de 2016.

Consulta electrónica: www.academia.edu www.researchgate.net, http://laboratoriodemecanicadelamadera.weebly.com/ http://www.investigacioneingenieriadelamadera.umich.mx/index.php/madera/index. Derechos reservados: ©Laboratorio de Mecánica de la Madera, División de Estudios de Posgrado, Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera y ©Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo. Editor de la revista: Javier Ramón Sotomayor Castellanos Comité editorial de la revista: Luz Elena Alfonsina Ávila Calderón Marco Antonio Herrera Ferreyra David Raya González Investigación e Ingeniería de la Madera está registrada en: Latindex y Open Journal systems.

mailto:[email protected]

http://www.academia.edu/


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Contenido

Verificación del comportamiento elástico de la madera de

Acer rubrum y de Abies balsamea por el método del elemento finito.

Javier Ramón Sotomayor Castellanos y Saúl Antonio Hernández

Maldonado .......................................................................................................... 4

Coeficientes de higroelasticidad en flexión estática de

la madera de Pinus douglasiana procedente de Michoacán.

Javier Ramón Sotomayor Castellanos y José María Villaseñor Aguilar ....... 36


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Verificación del comportamiento elástico de la madera de Acer rubrum y de

Abies balsamea por el método del elemento finito.

Javier Ramón Sotomayor Castellanos1

Saúl Antonio Hernández Maldonado2

Resumen

Se modeló el comportamiento mecánico en compresión de la madera de Acer

rubrum y de Abies balsamea y empleando el método del elemento finito, se

estimaron los módulos de elasticidad, de rigidez y coeficientes de Poisson. El

objetivo de esta investigación es el de verificar los resultados experimentales de las

características elásticas de la madera de Acer rubrum y de Abies balsamea,

comparándolos con los resultados numéricos estimados con el método del elemento

finito. Se verificaron igualmente los resultados del método del elemento finito con

los valores evaluados con modelos de predicción de características elásticas de la

madera. Los resultados de la investigación, revelaron que los valores promedio

obtenidos experimentalmente, dentro de ciertos márgenes, son congruentes con los

resultados obtenidos empleando el método del elemento finito.

Palabras clave: método del elemento finito, características elásticas, ortotropía,

Acer rubrum, Abies balsamea.

Abstract

Using finite element method, Acer rubrum and Abies balsamea wood behavior in

compression was modeled. Modulus of elasticity, modulus of rigidity and Poisson´s

ration were estimated. The objective of this investigation is to verify the experimental

1 Profesor. Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera, UMSNH. [email protected] 2 Exalumno. Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera, UMSNH.


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results of the elastic characteristics of Acer rubrum and of Abies balsamea,

comparing them to the numeric results estimated employing the Finite Element

Method. Finite element method results were compared also with elastic parameters

predicted by statistical models. The results of the investigation, revealed that the

average values obtained experimentally, within certain margins, are congruent with

the results obtained employing the finite element method.

Key words: finite element method, elastic characteristics, orthotropic, Acer rubrum,

Abies balsamea.

Introducción

La determinación experimental de las características elásticas de la madera es

compleja. Por una parte, la instrumentación de los procedimientos experimentales

es ardua, y por otra, el análisis e interpretación de resultados es igualmente

complicada.

Una posible solución a esta problemática, es emplear métodos numéricos para el

modelado de procesos esfuerzo-deformación. Este enfoque de modelado numérico,

puede simplificar los procesos experimentales, ahorrar tiempo y proporcionar datos

útiles como referencia.

Método del elemento finito

El análisis de los procesos y fenómenos físicos que ocurren en el estudio del

comportamiento mecánico de la madera, implica la consideración de múltiples

parámetros. Por ejemplo, densidad, contenido de humedad y dirección de la fibra.

Estas variables están asociadas a la composición química de la madera, a su

estructura anatómica y geométrica, así como a sus propiedades de variabilidad

(Dávalos, 2005).


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Una solución a esta problemática es la verificación de modelos teóricos y de

resultados experimentales, por medio de procedimientos numéricos. El método del

elemento finito es la técnica que recientemente ha sido empleada con resultados

satisfactorios en Ciencias, Tecnología e Ingeniería de la Madera (Mackenzie-

Helnwein et al. (2005), Tabiei y Wu (2000), Vasic et al. (2005), Smith et al. (2007),

Hunt y Gu (2006), Gu y Hunt (2006 y 2007), Hunt et al. (2008), Fortino et al. (2009).

El principal postulado del método del elemento finito es qué dominios complejos

pueden ser discretizados y representados por un ensamblaje de elementos simples

y de tamaño finito (Vasic et al., 2005). Esta idea permite la descripción de un

problema global empleando un sistema de ecuaciones diferenciales, el cual

considera la compatibilidad entre los elementos y los requerimientos de las

condiciones de frontera.

El método del elemento finito puede ser utilizado para modelar procesos físicos. Por

ejemplo, en problemas de Mecánica del medio continuo y de transferencia de masa

y calor. Para el caso de Ciencias, Tecnología e Ingeniería de la madera, el método

es útil, entre otros ejemplos, en el estudio del comportamiento mecánico de la

madera, en el cálculo de la resistencia y en la predicción de la ruptura en estructuras

de madera, así como en el estudio de procesos de secado.

Los fundamentos y aplicaciones del método del elemento finito son descritos, entre

otros autores por: Zienckiewicz y Taylor (1988; 1989), Cook (1995), Bathe (1996) y

Desai y Kundu (2001). Y respecto a la aplicación y desarrollo del método del

elemento finito en Ciencias y Tecnología de la Madera, Mackerle (2005) realizó la

revisión de los artículos más relevantes publicados entre 1995 y 2004.

El método del elemento finito es un procedimiento de aproximación numérica para

la solución aproximada de la distribución de variables de campo, por ejemplo:

presión, temperatura y campo electromagnético, en el dominio espacial considerado

(Suárez, 2005). El dominio se divide en varios elementos cuya geometría es muy


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simple, a los cuales se les aplican las leyes físicas conocidas. Una función continua

de la variable desconocida, es aproximada usando funciones lineales por

segmentos en cada subdominio o elemento formado por nodos. Las incógnitas son

los valores discretos de la variable del campo en los nodos.

Enseguida, se establecen principios adecuados que establecen ecuaciones para los

elementos, luego de lo cual los elementos se ligan entre sí. Este proceso conduce

a un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas válidas en todo el

sistema o domino, las cuales pueden resolverse de manera sencilla para aproximar

finalmente a la variable de campo.

Uno de los postulados fundamentales del método del elemento finito es que el

comportamiento de cualquier fenómeno en un sistema, depende de la geometría

del dominio o sistema, de las propiedades del material, de las condiciones iniciales,

de las de frontera y de las de carga.

De acuerdo con Suárez (2005), las principales razones por las cuales el método del

elemento finito se ha convertido en una herramienta de cálculo popular son por una

parte que tiene una gran analogía física con el ensamblado de partes que es típico

de la Ingeniería estructural, mecánica, biofísica, etc., y por tanto, es

conceptualmente muy intuitivo. Y por otra, el método tiene una gran capacidad para

trabajar con formas geométricas complejas empleando elementos simples de forma

arbitraria.

La premisa básica en Ingeniería moderna es que los modelos pueden ser usados

para extrapolar o predecir el comportamiento de materiales de Ingeniería más allá

del rango de datos experimentales. Para el caso del comportamiento mecánico de

la madera y debido a su complejidad, los modelos numéricos pueden representar

de manera eficiente esta fenomenología.


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Sin embargo, el método del elemento finito y otras técnicas numéricas no pueden

remplazar totalmente a las observaciones experimentales. Con el objeto de

desarrollar buenas prácticas de Ingeniería, es aconsejable entonces combinar el

análisis numérico con datos experimentales.

La solución de problemas de Ingeniería empleando el método del elemento finito

puede ser estructurada en ocho pasos (Desai y Kundu, 2001). Para el caso del

análisis de un volumen elemental de materia, sometido a un proceso esfuerzo-

deformación, como es el caso del comportamiento elástico de la madera, las etapas

son las siguientes:

1. Discretizado y configuración del elemento.

2. Selección de modelos o funciones de aproximación.

3. Definición de las incógnitas deformación gradiente de desplazamiento y de las

relaciones constitutivas deformación-desplazamiento.

4. Derivación ecuaciones del elemento.

5. Ensamblaje de ecuaciones de elementos para obtener ecuaciones globales e

introducir condiciones de frontera.

6. Solución de las incógnitas primarias.

7. Solución de cantidades derivadas.

8. Interpretación de resultados.

El método del elemento finito ha sido empleado con éxito en investigación en

Ciencias y Tecnología de la madera:

Mackerle (2005) realizó la revisión de artículos publicados relacionados con la

aplicación del método del elemento finito al estudio del comportamiento físico y

estructural de la madera y de productos compuestos y derivados de ella. Esta

revisión bibliográfica comprende el periodo de 1995 a 2004. Mackerle plantea que

el método del elemento finito es la técnica empleada frecuentemente para analizar

los fenómenos físicos en la especialidad de la mecánica estructural, de sólidos y de


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fluidos, así como para la solución de problemas de campo. El autor organiza las

referencias de acuerdo a las diferentes aplicaciones del método del elemento finito

en el estudio de la madera. Un primer enfoque es la investigación de la madera

como material de construcción: propiedades materiales y mecánicas, esfuerzos de

crecimiento, uniones y conexiones con madera, problemas de mecánica de la

ruptura, propiedades termales y procesos de secado. Además, Mackerle refiere un

segundo punto de vista donde el método del elemento finito se emplea en el estudio

de productos y estructuras de madera: madera aserrada, madera reconstituida,

vigas laminadas y estructuras.

Chassagne et al. (2006), empleando el método del elemento finito, formularon un

modelo tridimensional para estudiar el fenómeno de flujo de deformaciones de la

madera. Su modelo es capaz de describir el fenómeno de flujo y de recuperación

de deformaciones bajo condiciones de contenido de humedad variables. El modelo

va asociado a una formulación para el análisis de fenómenos no lineales e higro-

viscoelásticos. La relación constitutiva es un modelo de Maxwell generalizado, en la

cual las funciones del tiempo de relajación de esfuerzos, dependen de la variación

y velocidad del flujo de masa de agua en la madera y del nivel de esfuerzos. Sus

resultados concluyen que el método del elemento finito es una herramienta

computacional eficiente, capaz de reproducir la respuesta experimental de pruebas

de flujo de deformaciones y de relajación de esfuerzos.

Nairn (2007) estudió la variación del módulo de elasticidad en el plano radial-

tangencial de madera sólida empleando el método del elemento finito. La variable

relacionada fue la variación en el patrón de los anillos de crecimiento y la orientación

de la dirección de la fibra. El autor utilizó probetas de forma de paralelepípedo

asociadas a un modelo elástico y ortotrópico cilíndrico de la madera. Nairn comparó

los resultados entre dos enfoques: por una parte modeló la estructura de la madera

como un sólido homogéneo y en contraparte, configuró la madera como un material

compuesto por multicapas. Cada una de las capas estaba compuesta por madera

temprana y tardía. Sus resultados entre los dos enfoques fueron similares,


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confirmando así, la posibilidad de idealizar a la madera para estudios numéricos

como un material homogéneo y de medio continuo.

Vidal-Sallé y Chassagne (2007) empleando el método del elemento finito,

propusieron un modelo que refiere a las ecuaciones constitutivas para la madera,

considerándola como un material ortotrópico y con propiedades viscoelásticas no

lineales. El modelo tridimensional propuesto considera como variables al flujo de

deformaciones asociadas al efecto mecánosorcivo y al cambio en el contenido de

la humedad de la madera. La propuesta está basada en un modelo reológico

generalizado de Maxwell. Sus resultados mostraron la habilidad del método

numérico para la predicción de la evolución del campo de esfuerzos en tres

dimensiones.

Ormarsson et al. (2010) formularon un modelo para estudiar el desarrollo de

esfuerzos de crecimiento en árboles con el método el elemento finito. A partir de

elementos con características de sólidos y asimétricos, membranas cilíndricas,

vigas multicapas y tridimensionales, los autores mejoraron el modelado

introduciendo las variables dependientes del tiempo, es decir, el flujo de

deformaciones y el relajamiento de esfuerzos, la heterogeneidad y el

endurecimiento progresivo, ocasionado por el acomodo de los anillos de crecimiento

del plano leñoso. Sus resultados confirmaron la utilidad del método del elemento

finito en el estudio del comportamiento biomecánico del árbol.

Buksnowitz et al. (2010) empleando el método del elemento finito compararon

resultados experimentales y numéricos de la distribución de esfuerzos alrededor de

nudos en la madera. Sus experiencias consistieron en observar la distribución de

esfuerzos en probetas de Picea A. solicitadas en tensión longitudinal. El modelo

micromecánico empleado incluyó la orientación local de la fibra y las constantes

elásticas de la madera y del tejido alrededor del nudo. Sus resultados

experimentales, medidos con la técnica del patrón electrónico tridimensional de


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interferometría (3D electronic speckle pattern interferometry), coincidieron con los

datos numéricos del campo de deformaciones simulados.

Una aplicación del método del elemento finito, es la validación de modelos teóricos

del comportamiento mecánico de la madera y su relación con sus características

elásticas:

Tabiei y Wu (2000) validaron un modelo material de la madera con características

de ortotropía y no linealidad. Para su validación, implementaron un código de

simulación en tres dimensiones. Tabiei y Wu hacen referencia a un modelo de la

madera como un material homogéneo, continuo y ortotrópico. Los autores

demostraron que pueden ser trazadas curvas experimentales si se seleccionan

correctamente los parámetros no lineales que se utilizan en el modelado empleado

en el método del elemento finito. Estas características son las constantes de

Ingeniería: módulos de elasticidad y coeficientes de Poisson y la velocidad de

aplicaciones a las solicitaciones mecánicas.

Dávalos (2005) desarrolló un modelo de homogenización en dos dimensiones para

determinar las propiedades elásticas de la madera. El modelo es útil para determinar

el estado de esfuerzos a nivel micro y macro estructural. El análisis de esfuerzos y

desplazamientos fue realizado empleando el método del elemento finito. El

investigador realizó pruebas en flexión y compresión en seis especies de maderas

mexicanas. Otra variable estudiada, fue el contenido de humedad en la madera. Las

predicciones del modelo coincidieron satisfactoriamente con los resultados

experimentales, confirmando de esta manera la utilidad del método del elemento

finito en el estudio del comportamiento elástico de la madera.

Fortino et al. (2009) utilizando el método del elemento finito, realizaron un análisis

numérico del comportamiento de estructuras de madera, diseñadas para su empleo

con condiciones de servicio, tales que los esfuerzos mecánicos van asociados a las

variaciones en el contenido de humedad de la madera. Su estudio se basa en un


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modelo constitutivo, ortotrópico, viscoelástico y considerando el efecto mecano-

sorcivo. Este modelo reológico está caracterizado por cinco mecanismos de

deformación y la formulación termodinámica, utiliza el enfoque de la energía libre

de Helmholtz, expresado como una función de la temperatura, el contenido de

humedad, la deformación total, la deformación viscoelástica y la deformación

ocasionada por el efecto mecano-sorcivo. Para validar este modelo, los autores

utilizaron datos experimentales de probetas de madera aserrada de Pinus sylvestris,

de pequeñas dimensiones de 10 x 20 mm2 de sección transversal. Sus resultados

permitieron confirmar la ventaja de emplear un enfoque numérico en la resolución

de problemas complejos relacionados con la respuesta mecánica de la madera.

El método del elemento finito también ha sido empleado en la solución de problemas

de fenómenos de transferencia de masa y de energía en la madera:

Datos experimentales

Hernández (2010) determinó experimentalmente las características elásticas de la

madera de Acer rubrum y Abies balsamea. El enfoque teórico empleado, fue el

modelo general del comportamiento, que el autor deduce a partir de la ley general

de comportamiento elástico:

ij = Sijkl kl (1)

Donde:

ij = Tensor de deformaciones

S𝐢𝐣𝐤𝐥 = Tensor de constantes elásticas

kl = Tensor de esfuerzos

Con:

i, j, k, l ∈ {1, 2, 3}, con la convención de índices repetidos.


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Para el caso de la madera, idealizada como un sólido elástico, macroscópicamente

homogéneo, de medio continuo y con simetrías materiales y elásticas de tipo

ortotrópico, las constantes de elasticidad S𝒊𝒋 de la ecuación (1), la ley de

comportamiento elástico de la madera se escribe en términos de las características

elásticas de la madera como:

[ εR

εT

εL

εTL

εLR

εRT]

=

[

1

ER

- TR

ET

- LR

EL

0 0 0

- RT

ER

1

ET

- LT

EL

0 0 0

- RL

ER

- TL

ET

1

EL

0 0 0

0 0 01

GTL

0 0

0 0 0 01

GLR

0

0 0 0 0 01

GRT]

[ R

T

L

τTL

τLR

τRT]

(2)

y con las simetrías:

- TR

ET

= - RT

ER

- LR

EL

= - RL

ER

- LT

EL

= - TL

ET }

(3)

En las ecuaciones (1), (2) y (3), los símbolos son:

ε = Deformación unitaria

= Esfuerzo normal

𝛕 = Esfuerzo cortante

R = Dirección radial.

T= Dirección tangencial


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L = Dirección longitudinal

E = Módulo de elasticidad

G = Módulo de rigidez

= Coeficiente de Poisson

La determinación experimental de estas características elásticas es compleja. Por

una parte, la instrumentación de los procedimientos experimentales es ardua, y por

otra, el análisis e interpretación de resultados es igualmente complicada. Una

posible solución a esta problemática, es emplear métodos numéricos para el

modelado de procesos esfuerzo-deformación, necesarios para la determinación de

las características elásticas de la madera. Este enfoque de modelado numérico,

puede simplificar los procesos experimentales, ahorrar tiempo y proporcionar datos

útiles como referencia. Los resultados de la simulación pueden asimismo predecir,

con las debidas reservas, los parámetros en cuestión, y pueden igualmente

corroborar datos experimentales.

Modelos de predicción

Sliker et al. (1993 y 1994) propusieron modelos de predicción lineales para estimar

características elásticas de maderas angiospermas, empleando como variable

independiente la densidad del material. Las pruebas realizadas en tensión utilizaron

probetas recortadas de placas. Para las pruebas de compresión, los autores

utilizaron probetas compuestas de cubos de madera. El contenido de humedad fue

del 12 %.

Mackenzie-Helnwein et al. (2005) realizaron pruebas en compresión y tensión

biaxiales y mixtas de maderas de gimnospermas. A partir de sus resultados, los

investigadores proponen modelos de predicción lineales para módulos de

elasticidad, de rigidez y para coeficientes de Poisson. La característica de referencia

de la madera fue su densidad. El contenido de humedad fue del 12 %.


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Hernández (2010) estableció modelos estadísticos para predecir teóricamente

valores de las características elásticas de la madera, a partir de un parámetro simple

e intrínseco de la madera como es la densidad. Para seleccionar el tipo de regresión

que será el modelo de predicción, realizó un estudio comparativo entre varios

modelos estadísticos. Los modelos analizados fueron regresiones simples (lineales

y exponenciales), múltiples y polinomiales. El modelo estadístico seleccionado fue

del tipo:

CE = a ρ (4)

Donde:

CE = Característica elástica

ρ = Densidad de la madera (g/cm3)

a = Constante particular a cada grupo taxonómico y característica elástica

El anexo 1 presenta los modelos de predicción para características elásticas de

maderas de especies angiospermas y gimnospermas. En la Tabla presentada se

sintetiza las regresiones estadísticas lineales simples para estimar una

característica elástica de una madera a partir de su densidad.

Objetivo

Verificar datos experimentales de las características elásticas de la madera de A.

rubrum y de A. balsamea, comparándolos con los resultados numéricos estimados

con el método del elemento finito.


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Materiales y métodos

Modelado

Para el modelado numérico se empleó el programa informatizado COMSOL

Multiphysics® software, versión 3.5a. Para definir el material y la geometría para las

pruebas numéricas, se emplearon los datos de las configuraciones de los ensayos

mecánicos y los resultados experimentales para las especies de A. rubrum y de A.

balsamea, obtenidos en Hernández (2010).

El procedimiento para verificar los resultados experimentales versus los datos por

el modelado con el método el elemento finito se esquematiza en las Figuras 1 y 2,

y consistió en las siguientes etapas:

Modelado de la probeta: El inicio del modelado consiste en definir el tipo de prueba,

el enfoque del análisis, la geometría de la probeta, las características del material y

la configuración de la prueba a realizar. Todos estos datos específicos a un

modelado, se capturan en la primera ventana que presenta el programa informático.

A continuación se ingresa al programa COMSOL Multiphysics® y se capturan el tipo

de material, las coordenadas y variables que se van a utilizar, los datos

experimentales según el tipo de material y la orientación de la carga con sus

restricciones. La rutina general para modelar pruebas mecánicas en el programa

COMSOL Multiphysics©, puede ser consultado en Hernández Maldonado (2010).

Construcción del mallado: Esta operación la realiza automáticamente el programa,

pero se pueden modificar los parámetros globales y el tamaño del mallado, entre

otros parámetros.

Resolución del modelo: Esta etapa la realiza el programa con el comando resolver

y como resultado, el programa muestra en la pantalla un diagrama de la geometría


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del material, en términos de desplazamientos así como la interpretación de los

resultados.

Pos-procesado de los resultados

A partir de los resultados iniciales, es posible procesarlos, si se requiere modificar

cargas y restricciones, y de esta forma, obtener nuevos resultados correspondientes

a los incrementos de las cargas aplicadas con nuevas restricciones, simulando de

esta manera una prueba mecánica en condiciones casi estáticas, como es el caso

de la investigación.

Cálculo de deformaciones: Esta operación consiste en calcular las deformaciones

unitarias correspondientes a los desplazamientos, según las direcciones de las

cargas y de la geometría de modelado.

Cálculo de regresiones para el intervalo elástico: Las regresiones se calculan a partir

de los puntos obtenidos para cada una de las simulaciones correspondientes a cada

esfuerzo aplicado sobre la probeta modelada.

Cálculo de características elásticas: Las características elásticas se calculan a partir

de las pendientes de las regresiones calculadas para el intervalo elástico

comprendido entre el 20 y 40 % del límite elástico de la madera.

Comparación de resultados del método del elemento finito con los experimentales:

Finalmente, los resultados teóricos estimados por el método del elemento finito

(Tabla 1) son comparados con los resultados experimentales provenientes de los

ensayos mecánicos de compresión obtenidos por Hernández (2010).

En el Anexo 2 se presenta el procedimiento general para la solución de problemas

de Ingeniería empleando el Método del elemento finito.


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Figura 1. Procedimiento para verificar los resultados experimentales versus los

resultados por modelado con el método del elemento finito.

Datos experimentales Material ortotrópico

Ex, Ey, Ez Gxy, Gyz, Gxz νxy, νyz, νxz

1, 2, 3 x, y, z u, v, w R, T, L

Orientación de la carga y de las

restricciones

Definir las características del

material

Definir la geometría de la

probeta

Definir el tipo de prueba y de análisis

Comparar los resultados del método del elemento finito con los experimentales

Modelar la prueba

Definir la configuración de

la prueba

Sólido

Tri-dimensional

Carga-deformación

Construir mallado

Resolver modelo

Post-procesar resultados

Calcular deformaciones:

εx= u

x εy=

v

y εz=

w

z

Calcular regresiones para el intervalo elástico

Calcular características elásticas:

ER, ET, EL, GTL, GLR, GRT, νRT, νTR, νRL, νLR, νTL, νLT

Resultados: desplazamientos x, y, z

Modificar restricciones Modificar cargas en el intervalo elástico

Ingresar al programa COMSOL Multiphysics®


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To define material and test:

Model Navigator: New

Space dimension: 3D

Application models: Structural Mechanics Module

Solid Stress-Strain: Static Analysis

To define object:

Task bar: Draw: Block

Style: Solid; Base: Corner

Length: x: Dimension in direction X

y: Dimension in direction Y

z: Dimension in direction Z

To define material:

Physics: Subdomain settings: subdomain

Material: Material model: Orthotropic material

Input values of: Ex, Ey, Ez; xy, yz, xz; Gxy, Gyz, Gxz

To define constraints and loads:

Physics: Boundary settings

Constraint

Boundary settings: Select boundary selection: 1, 2, 3…

In boundary selected: Standard notation: select: Rx, Ry, Rz

Load

Boundary settings: Select boundary selection: 1, 2, 3…

In boundary selected: Standard notation: input: Fx, Fy, Fz

Meshing:

Mesh: Mesh parameters

Mesh parameters: Global

Predefined mesh sizes: Coarser

Remesh

Solving:

Solve: Solve problem

Post processing:

Post processing: Surface: Predefined quantities: x, y, z displacement

Boundary selection

Figura 2. Rutina general para modelar pruebas mecánicas en COMSOL

Multiphysics©.


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Resultados

La Tabla 1 que presenta los resultados de la investigación, está compuesta por 3

tipos de datos. Los resultados calculados por el método del elemento finito (MEF),

los datos experimentales (EXP) Hernández (2010) y los parámetros estimados por

los modelos de predicción para maderas angiospermas (MPA) y para maderas

gimnospermas (MPG) determinados por Hernández (2010). En el Anexo 1, se

presentan los modelos de predicción para estimar los valores de las características

elásticas por el mismo autor.

Los valores de las características elásticas de la madera calculados empleando el

método del elemento finito, se determinaron a partir de la correlación, para el caso

de los módulos de elasticidad ER,T,L, de relaciones esfuerzo-deformación

correspondientes a las direcciones de solicitación de cada simulación. Para el caso

del cálculo de los coeficientes de Poisson νR,T,L, estos parámetros se determinaron

a partir de las correlaciones deformación-deformación correspondientes a las

direcciones de solicitación de cada simulación.

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Tabla 1. Densidad, contenido de humedad y características elásticas de Acer rubrum y Abies balsamea.

ρ H ER ET EL GTL GLR GRT

νRT νTR νRL νLR νTL νLT kg/m3 % MPa MPa MPa MPa MPa MPa

Acer rubrum

MEF 651 12 1467 1005 11834 - - - 0,393 0,406 0,058 0,539 0,044 0,513

EXP 651 9 1431 960 11879 826 1138 354 - - 0,063 0,525 0,041 0,550

MPA 651 12 1754 1007 14562 903 1197 383 0,756 0,388 0,050 0,415 0,034 0,539

MEF/EXP - - 2,5 4,5 -0,4 - - - - - -8,6 2,5 6,8 -7,2

MEF/MPA - - -19,6 -0,2 -23,1 - - - -92,4 4,4 13,8 23,0 22,7 -5,1

Abies balsamea

MEF 0,393 12 863 635 11550 - - - 0,156 0,150 0,026 0,339 0,021 0,403

EXP 0,393 10 861 633 11617 575 745 261 - - 0,025 0,451 0,022 0,464

MPG 0,393 12 862 542 11024 671 722 74 0,456 0,297 0,036 0,378 0,023 0,431

MEF/EXP - - 0,02 0,3 -0,6 - - - - - 3,8 -11,5 -4,8 -15,1

MEF/MPG - - 0,1 14,6 4,6 - - - -192,3 -98,0 -38,5 -11,5 -9,5 -6,9


22

Discusión

En la Tabla 1, se detallan las diferencias porcentuales entre los valores calculados

con el método del elemento finito y los datos experimentales (MEF/EXP). Para el

caso de la madera de A. rubrum y de A. balsamea, las diferencias entre los valores

ER, ET y EL calculados experimentalmente y los estimados numéricamente son

similares. Su variación se sitúa en un intervalo de -0,4 a 4,5. Para el caso de los

coeficientes de Poisson νR,T,L, las diferencias van de -15,1 a +6,8.

Para las desigualdades entre los valores calculados y los datos de las

características estimadas con los modelos de predicción (MEF/MPG y MEF/MPG),

las diferencias porcentuales entre los valores ER, ET y EL, de A. rubrum y de A.

balsamea, se encuentran entre -23,1 y 14,6.

Los coeficientes de Poisson νRT y νTR, éstos presentan diferencias importantes que

van de -192,3 a 4,4. Si se excluyen las diferencias para los coeficientes νRT y νTR,

las discrepancias van de -38,5 a 23.

Estos resultados pueden ser explicados por los siguientes argumentos:

Por una parte, los parámetros obtenidos durante las pruebas de laboratorio, implican

simplificaciones para entender mejor el proceso experimental. Entre otros

supuestos, la homogeneidad de la madera y la correcta orientación de las aristas

de las probetas no coinciden necesariamente con la estructura real de la madera.

Igualmente, las distribuciones del contenido de humedad y de la temperatura en la

madera no se consideran como fuentes de variación en los resultados. Finalmente,

pueden existir errores sistemáticos en el laboratorio durante la medición de las

cargas y de los desplazamientos aplicados.

Por otra parte, el modelado con el método del elemento finito es en sí mismo una

interpretación idealizada de las condiciones reales del fenómeno en estudio. Por


23

ejemplo, las restricciones de los desplazamientos en los límites de la geometría de

las probetas modeladas pueden no corresponder necesariamente a la respuesta en

el laboratorio de las probetas reales de madera durante los procesos esfuerzo-

deformación realizados.

Respecto a las diferencias numéricas entre los valores de las características

elásticas determinadas experimentalmente y los valores de las características

estimadas numéricamente, las variaciones son mínimas si se comparan con las

diferencias entre los resultados estimados por los modelos estadísticos de

predicción. La Figura 3 esquematiza las proporciones de los resultados obtenidos

según los tres enfoques: método del elemento finito (MEF), datos experimentales

(EXP) y resultados estimados con modelos de predicción (MPA y MPG).

Este resultado sugiere que el método del elemento finito es preciso para simular el

comportamiento de un proceso particular para una probeta específica. En contraste,

el método del elemento finito es impreciso para estimar el comportamiento elástico

de una especie de madera, el cual está a su vez, estimado estadísticamente.

Para el caso de los módulos de elasticidad ER, ET y EL, las diferencias entre

resultados del método del elemento finito y los modelos estadísticos de predicción

son importantes según la especie y el módulo en cuestión. Por ejemplo, las

diferencias entre resultados para el módulo EL de A. rubrum y para el módulo ET de

A. balsamea son importantes.


24

Figura 3. Comparación de módulos de elasticidad entre los tres enfoques: MEF:

método del elemento finito, EXP: datos experimentales, MPG: modelos de

predicción gimnospermas y MPA: modelos de predicción angiospermas.

Sin embargo, para una misma especie, la diferencia entre los resultados es

pequeña. Para ilustrar este hecho, se observa que las diferencias son mínimas entre

los datos del módulo ER de A. rubrum y los del módulo ET de A. balsamea.

Esta tendencia es diferente para los valores de los coeficientes de Poisson. Si se

comparan los valores de modelado por el método del elemento finito, con los valores

0

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

16,000

MEF EXP MPA

MPa

Acer rubrumER ET EL

0

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

16,000

MEF EXP MPG

MPa

Abies balsameaER ET EL


25

correspondientes obtenidos por modelado con un método estadístico, las

diferencias son importantes y varían independientemente de la especie o las

direcciones de ortotropía de la madera.

Es necesario hacer notar que la correcta determinación experimental de los

coeficientes de Poisson es compleja, debido a la heterogeneidad del material y a la

dificultad para posicionar la instrumentación en la superficie de la madera.

Conclusiones

Los valores promedio obtenidos experimentalmente, dentro de ciertos márgenes,

son congruentes con los resultados obtenidos empleando el método del elemento

finito.

La técnica experimental y la numérica son complementarias. El método del

elemento finito funciona de manera óptima con datos experimentales confiables y

permite generar información adicional. Estos nuevos datos pueden a su vez

retroalimentar nuevas mediciones experimentales, y de esta forma, enriquecer la

comprensión del fenómeno estudiado, en este caso, el comportamiento elástico de

la madera.

La estrategia experimental empleada en esta investigación, permitió verificar los

resultados experimentales de las características elásticas de la madera de A.

rubrum y de A. balsamea, comparándolos con los resultados numéricos estimados

empleando el método del elemento finito.

Agradecimientos

A los Profesores Ying Hei Chui de la Universidad de New Brunswick, Canadá, y

Mario César Suárez Arriaga de la Universidad Michoacana de San Nicolás de

Hidalgo, México. La investigación se llevó a cabo gracias al apoyo del Consejo


26

Nacional de Ciencia y Tecnología, México, y al de la Coordinación de la

Investigación Científica de la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo.

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29

Anexo 1. Modelos de predicción para características elásticas de maderas de

especies angiospermas y gimnospermas (Hernández, 2010).

Angiospermas Gimnospermas

CE = a ρ R2 CE = a ρ R2

ER = 2695 ρ 0,93 ER = 2194 ρ 0,97

ET = 1548 ρ 0,81 ET = 1379 ρ 0,98

EL = 22370 ρ 0,97 EL = 28052 ρ 0,97

GTL = 1387 ρ 0,96 GTL = 1708 ρ 0,97

GLR = 1840 ρ 0,97 GLR = 1839 ρ 0,96

GRT = 588 ρ 0,80 GRT = 188 ρ 0,87

νRT = 1,1614 ρ 0,80 νRT = 1,1677 ρ 0,94

νTR = 0,5954 ρ 0,88 νTR = 0,7562 ρ 0,94

νRL = 0,0765 ρ 0,77 νRL = 0,0827 ρ 0,79

νLR = 0,6378 ρ 0,84 νLR = 0,9617 ρ 0,93

νTL = 0,0529 ρ 0,89 νTL = 0,0578 ρ 0,77

νLT = 0,8277 ρ 0,83 νLT = 1,0955 ρ 0,92


30

Anexo 2. Procedimiento para la solución de problemas de Ingeniería empleando el

Método del elemento finito.

La solución de problemas de Ingeniería empleando el Método del elemento finito

puede ser estructurada en ocho pasos (Desai y Kundu, 2001). Para el caso del

análisis de un volumen elemental de materia, sometido a un proceso esfuerzo-

deformación, como es el caso del comportamiento elástico de la madera, las etapas

son las siguientes:

1. Discretizacion y configuración del elemento.

Esta etapa se realiza dividiendo el volumen del cuerpo en estudio en un número de

pequeños cuerpos llamados elementos finitos. Las intercesiones de los lados de los

elementos son llamados puntos nodales y las interfaces entre los elementos son

llamados planos nodales.

2. Selección de modelos o funciones de aproximación.

En esta etapa se selecciona el patrón o la figura de las incógnitas, las cuales pueden

ser para el caso que nos ocupa, desplazamientos o esfuerzos. Los puntos nodales

de los elementos sirven para escribir funciones matemáticas que describen la forma

de la distribución de las variables desconocidas en el dominio de un elemento.

Funciones de tipo series polinomiales y trigonométricas pueden ser utilizadas para

este propósito. Si definimos u como una variable, la función de interpolación

polinomial es:

u = N1u1+ N2u2+ N3u3+ … + Nnun (A1)

Donde:

u1, u2, u3, …,un = Valores de las incógnitas en los puntos nodales.

N1, N2, N3, …,Nn = Valores de las funciones de interpolación.


31

3. Definición de las incógnitas deformación gradiente de desplazamiento y de las

relaciones constitutivas deformación-desplazamiento:

εx = du

dx (A2)

Donde:

εx = Deformación en la dirección x.

u = Desplazamiento en la dirección x.

Y la relación esfuerzo-deformación:

σx = Ex εx (A3)

Donde:

𝜎x = Esfuerzo en la dirección x.

Ex = Módulo de elasticidad en la dirección x.

4. Derivación ecuaciones del elemento.

Estas ecuaciones se postulan en términos generales y por lo tanto pueden ser

usadas en todos los elementos del cuerpo discretizado. Entre otros métodos para

el establecimiento de estas relaciones se utilizan los métodos de energía y el

método residual. Por ejemplo, para la energía potencial se establece:

Πp= U + Wp (A4)

Donde:

Πp = Energía potencial.

U = Energía de deformación interna.

Wp = Potencial de las cargas externas.


32

Y para el método de residuos ponderados, el cual está basado en minimizar los

residuos que permanecen de una solución aproximada, los cuales son substituidos

en las ecuaciones diferenciales de gobierno del problema. Esta idea de

minimización puede ser matemáticamente expresada como:

∫R(x) Wi(x) dx = 0D

(A5)

Donde:

R(x) = Función de minimización.

Wi (x) = Funciones ponderadas.

D = Dominio del cuerpo en consideración.

i = 1, 2,…, n.

Los métodos de la energía potencial (A4) y de los residuos ponderados (ecuación

A5) llevan a las ecuaciones que describen el comportamiento de un elemento

genérico, las cuales son comúnmente expresadas como:

[k] {q} = {Q} (A6)

Donde, para problemas específicos de análisis de esfuerzos:

[k] = Matriz de rigidez de los elementos.

{q} = Vector de desplazamientos nodales de los elementos.

{Q} = Vector de las fuerzas nodales actuando en los elementos.

5. Ensamblaje de ecuaciones de elementos para obtener ecuaciones globales e

introducir condiciones de frontera.

Una vez establecidas las ecuaciones para un elemento genérico (ecuación A6), se

procede a generar ecuaciones para otros elementos utilizando esta ecuación


33

recursivamente. Este proceso de ensamblado está basado en los principios de

compatibilidad y continuidad. Es decir, es necesario que el cuerpo en estudio

permanezca continuo y que sus puntos nodales permanezcan contiguos después

de que un esfuerzo se aplique, provocando deformaciones unitarias. Esto significa

que los desplazamientos de dos puntos adyacentes o consecutivos deben tener

valores idénticos.

Para los problemas específicos de esfuerzo-deformación, las ecuaciones de

ensamblado se pueden expresar en notación matricial como:

[K] {r} = {R} (A7)

Donde:

[K] = La matriz ensamble de las propiedades de los elementos.

{r} = Vector de ensamble de las incógnitas en los nodos.

{R} = Vector de ensamble de los parámetros actuando en los nodos.

El análisis hasta esta etapa permite conocer las propiedades de un cuerpo o

estructura en estudio. La ecuación (A7) explica la capacidad de un cuerpo para

soportar fuerzas aplicadas. Desde el punto de vista de la Ingeniería, este

comportamiento depende también de las condiciones circundantes en servicio,

llamadas restricciones.

En el caso de materiales de Ingeniería, estas restricciones son las condiciones de

frontera, las cuales son necesarias para predecir cómo el material se comportará.

Para reflejar las condiciones de frontera de un cuerpo por aproximación del

elemento finito, representado por la ecuación (A7), usualmente es necesario

modificarla solo para condiciones específicas de frontera geométrica.


34

6. Solución de las incógnitas primarias.

La ecuación (A7) adaptada para las condiciones de frontera, es un conjunto de

ecuaciones algebraicas simultáneas, lineales o no lineales, las cuales pueden ser

escritas en forma estandarizada como:

K11 r1+ K12 r2+ …+ K1n rn = R1

K21 r1+ K22 r2+ …+ K2n rn = R2

…

Kn1 r1+ Kn2 r2+ …+ Knn rn = Rn}

(A8)

Donde:

Knn = Las propiedades de los elementos en los nodos nn.

rn = Desplazamientos incógnitas en el nodo n.

Rn = Fuerzas actuando en el nodo n.

El sistema de ecuaciones (A8) puede resolverse por el método de eliminación

Gaussiano o por métodos iterativos.

Al final de esta etapa se han resuelto las incógnitas primarias r1, r2,…, rn, que en

nuestro caso son los desplazamientos.

7. Solución de cantidades derivadas.

Algunas veces, cantidades derivadas o secundarias deben ser calculadas a partir

de las incógnitas primarias. En el caso de problemas esfuerzo-deformación tales

cantidades pueden ser deformaciones, esfuerzos, momentos y fuerzas cortantes.

Una vez que las incógnitas primarias son conocidas, es relativamente fácil encontrar

las cantidades secundarias, dado que podemos hacer uso de las relaciones entre

las deformaciones y el desplazamiento y esfuerzo-deformación que fueron definidas

en la etapa tres (ecuaciones A2 y A3).


35

8. Interpretación de resultados.

Esta etapa tiene por objeto traducir los resultados del Método del elemento finito a

una forma que puedan ser usados para fines de análisis y diseño.

El escenario de la investigación es el siguiente: A partir del análisis de la bibliografía,

se visualiza la problemática, de donde se plantea la hipótesis de investigación y con

el objeto de verificar esta proposición, se formulan los objetivos de investigación.

A continuación, se modelan las pruebas mecánicas análogas a las realizadas por

Hernández (2010) y se procede a las simulaciones geométricas.

Finalmente, se comparan los resultados obtenidos por el Método del elemento finito,

versus los datos experimentales, y se concluye la pertinencia de las estrategias

numérica y experimental.


36

Coeficientes de higroelasticidad en flexión estática de la madera de Pinus

douglasiana procedente de Michoacán

Javier Ramón Sotomayor Castellanos1

José María Villaseñor Aguilar 2

Resumen

Con el objetivo de determinar experimentalmente el coeficiente de higroelasticiad

de la madera de Pinus douglasiana, se estudió una muestra representativa durante

un proceso de secado controlado. Se realizaron pruebas de flexión estática, al

mismo tiempo que se calcularon el contenido de humedad y la densidad de la

madera correspondientes al momento del ensayo. A partir de correlaciones

estadísticas, se determinaron los coeficientes de higroelasticidad en el dominio no

higrosaturado. Igualmente, se determinó el punto de saturación de la fibra. El

comportamiento higroelástico de la madera de P. douglasiana, fue dividido en tres

zonas características: la zona de transición que comprende el intervalo de contenido

de humedad entre el 32 y el 24 %, en el cual el coeficiente de higroelasticidad fue

de – 0,07 GPa/%, la zona higroelástica que comprende el intervalo de 24 a 8 % de

contenido de humedad con un coeficiente de higroelasticidad de – 0,20 GPa/%, y la

zona de baja humedad que comprende valores de contenido de humedad entre 8 y

0 % con un coeficiente de higroelasticidad de – 0,08 GPa/%.

Palabras clave: módulo de elasticidad, flexión estática, secado de madera, punto

de saturación de la fibra, densidad de la madera, Pinus douglasiana.

1 Profesor. Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera, UMSNH. [email protected]. 2 Exalumno. Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera, UMSNH.


37

Abstract

With the purpose of determinate experimentally higroelasticity coefficients of Pinus

douglasiana, a wood sample was studied during a drying controlled process. Static

bending tests were carried out and at the same time, wood density and moisture

content were calculated. By means of statistical correlations, higroelasticity

coefficients corresponding to the no higrosaturated domain were determinate. P,

douglasiana wood higroelastic behavior can be divided in tree characteristic zones:

the transition zone with a moisture content between 32 and 24 % with an

higroelasticity coefficient of -0,07 GPa/%, the higroelastic zone that includes a

moisture content interval of 24 to 8 % with an higroelasticity coefficient of -0,20

GPa/%, and a low moisture zone with a moisture content comprise between 8 and

0 % with an higroelasticity coefficient of -0,08 GPa/%.

Key words: modulus of elasticity, static bending, wood drying, fiber saturation point,

wood density, Pinus douglasiana.

Introducción

La madera es un material poroso e higroscópico. La pared celular de la madera

puede retener y eliminar el agua ligada a su estructura fibrosa. Igualmente, en los

lúmenes y espacios intercelulares el material puede contener y liberar agua libre. Si

la madera es sometida a un proceso de secado, en el cual intervienen calor, presión

y humedad relativa, el fenómeno de desorción de agua se verifica.

A una escala de observación macroscópica, la madera es un sólido con propiedades

higroelásticas. El contenido de humedad (H) en la madera plastifica al material

modificando sus dimensiones y su resistencia mecánica. Este fenómeno se verifica

en dos dominios higroscópicos, el primero cuando el contenido de humedad es

superior al punto de saturación de la fibra (PSF), definido como dominio


38

higrosaturado, y el segundo definido como dominio no higrosaturado, cuando la

pared celular no está saturada de agua.

En la presente investigación, se entiende por proceso de secado de la madera, la

extracción de la masa del agua contenida en el material. La extracción de agua es

inducida por la diferencia de presiones al interior de la madera provocada por la

variación de la temperatura y de la humedad relativa en una cámara de

acondicionamiento. Para cada estado de contenido de humedad de la madera que

se experimenta, la temperatura y el contenido de humedad se consideran

distribuidos de manera uniforme en la geometría de las probetas. De esta forma se

evitan gradientes de humedad y esfuerzos internos de secado.

La variación del contenido de humedad de la madera y su efecto en el módulo de

elasticidad en flexión estática ha sido investigado experimentalmente por Green et

al. (1988), Green (1989), Green et al. (1991), Barrett y Lau (1994) y Green y Evans

(2001). Sus criterios de ajuste, independientes de la especie en estudio, se han

incorporado en la Norma Nacional Estadunidense ASTM D 1990-14 (ASTM, 2014).

Sintetizando, estos trabajos proponen que el módulo de elasticidad de la madera

varía en función de su contenido de humedad. Este fenómeno se verifica en el

dominio no higrosaturado de la madera (0 % < H < PSF). Si el contenido de

humedad aumenta, el valor del módulo de elasticidad se incrementa

proporcionalmente. Los autores presentan indicadores que relacionan estos dos

parámetros.

El Laboratorio de Productos Forestales del Servicio Forestal de los Estados Unidos

de América (Forest Products Laboratory, 2010) propone una ecuación para ajustar

las propiedades mecánicas de la madera cuando varía su contenido de humedad

en el dominio no higrosaturado. El contenido de humedad de la madera de

referencia es el contenido de humedad en el cual los ensayos fueron realizados,

usualmente del 12 %. Esta ecuación es de empleo generalizado para maderas

endémicas de los Estados Unidos de América.


39

Las normas técnicas complementarias para diseño y construcción de estructuras de

madera del Gobierno del Distrito Federal, México (Gobierno del Distrito Federal,

2004) proponen factores de modificación por contenido de humedad diferenciando

dos grupos de maderas: Gimnospermas y angiospermas. Estos factores son

aplicables cuando el contenido de humedad de la madera es igual o superior a 18

%. Particularmente, para el módulo de elasticidad en flexión, el factor es igual a la

unidad. Este enfoque considera que, para fines de cálculo estructural, la variación

del módulo de elasticidad de la madera insignificante a partir de este contenido de

humedad. Ordóñez y Dávalos (1966) desarrollan fórmulas generales para ajustar

los valores de resistencia para diseño de elementos estructurales de maderas

gimnospermas mexicanas. Las características mecánicas estudiadas son: módulo

de elasticidad en flexión, resistencia en compresión, tensión paralela a la fibra y

cortante paralelo a la fibra. El contenido de humedad de referencia en la madera es

del 12 %.

Palka (1973) y Guitard (1987) plantean una ecuación general para ajustar los

valores de las características elásticas de la madera, cuando el contenido de

humedad varía en relación al contenido de humedad en el cual se determinaron los

parámetros, usualmente del 12 %. La ecuación introduce un coeficiente

higroelástico que varía desde 0,005 para ajustar valores de coeficientes de Poisson,

hasta valores de 0,030 para módulos de elasticidad y de rigidez. El rango de

variación del contenido de humedad propuesto por Palka comprende desde el

estado anhidro hasta el punto de saturación de la fibra. Por su parte, Guitard sugiere

un rango higroscópico entre 12 y 20 % de contenido de humedad. Estos coeficientes

son propuestos para ajustar parámetros elásticos de cualquier especie.

Unterwieser y Schickhofer (2010) proponen un modelo para ajustar el módulo de

elasticidad en flexión estática de la madera de Picea spp., estimado para un

contenido de humedad mayor al 12 %. Barrett y Hong (2010) proponen un modelo

para ajustar valores del módulo de elasticidad para una especie en particular,


40

cuando su contenido de humedad varía entre 10 y 23 %. Este modelo depende de

las propiedades de encogimiento de cada especie de que se trate.

Los trabajos citados no describen de manera explícita un proceso experimental para

el establecimiento de fórmulas o de parámetros que relacionen la variación de una

característica mecánica con la evolución del contenido de humedad de la madera.

Las fórmulas o modelos propuestos requieren de valores de referencia de contenido

de humedad, usualmente al 12 %, asociados a constantes estimadas a partir de la

observación de valores calculados a diferentes contenidos de humedad. En el

mismo contexto, los modelos suponen para todo el dominio no higrosaturado de la

madera (0 % < H < PSF), una correspondencia lineal entre características

mecánicas y contenido de humedad.

Villaseñor y Sotomayor (2014) proponen una metodología para determinar

coeficientes de higroelasticidad a partir de ondas de esfuerzo. Sus resultados son

específicos para el fenómeno de transmisión de onda en la madera de P.

douglasiana.

El objetivo de esta investigación es determinar experimentalmente los coeficientes

higroelásticos de la madera de P. douglasiana, cuando es solicitada en flexión

estática. Estos coeficientes representan la variación del valor del módulo de

elasticidad por cada cambio porcentual en el contenido de humedad de la madera.

El presente trabajo enfatiza en el rango del contenido de la madera que va desde el

punto de saturación de la fibra (H = 32 %), hasta el estado anhidro de la madera (H

= 0 %). Particularmente, este dominio no higrosaturado se divide en tres zonas:

zona de transición (TR) para el intervalo: 32 % > H > 24 %, zona higroelástica (HE):

24 % > H > 8 %, y zona de baja humedad (BH): 8 % > H > 0 %.


41

Materiales y métodos

Materiales

El material experimental se obtuvo de un árbol de P. douglasiana recolectado en el

área forestal de la Comunidad Indígena de Nuevo San Juan Parangaricutiro,

Michoacán. Su localización geográfica se encuentra entre los paralelos 19° 21' 00"

y 19° 34' 45" de latitud Norte; así como en los meridianos 102° 08' 15" y 102° 17'

30" de longitud Oeste, con respecto al Meridiano de Greenwich. Del ejemplar

seleccionado, se cortó una troza de 0.5 m de diámetro y 1 m de largo a una altura

de 3 m sobre el nivel del suelo. De la troza se recortaron al azar 16 segmentos de

0,12 m x 0,70 m de sección transversal y de 0.5 m de largo y de cada uno de estos

segmentos se recortaron 2 probetas totalizando una muestra de 32 probetas

normalizadas (ISO, 2012). Las dimensiones de las probetas fueron de 0,02 m x 0,02

m x 0,32 m orientadas en las direcciones radial, tangencial y longitudinal con

respecto al plano leñoso. La madera estuvo libre de anomalías de crecimiento y de

madera de duramen.

Pruebas preliminares

Las pruebas preliminares tuvieron como propósito determinar el límite elástico de la

madera y consistieron en ensayos de flexión estática sobre 10 probetas

normalizadas (ISO, 2012) con dimensiones de 0,020 m x 0,02 m x 0,32 m. Para un

contenido de humedad de la madera superior al punto de saturación de la fibra, se

determinó una carga al límite elástico de 1200 N. A partir de este valor se definió un

intervalo de carga para las pruebas definitivas de entre 150 N y 450 N, rango que

representó 12,5 a 37,5 % de la carga al límite elástico. A medida que el contenido

de humedad de la madera disminuyó durante el proceso de secado este intervalo

se redujo. Este rango de trabajo aseguró el carácter no destructivo de los ensayos

de flexión estática.


42

Métodos

Para controlar la variación del contenido de humedad del material de ensayo de

manera discreta, las probetas se colocaron en una cámara climática donde se

reguló la humedad relativa y la temperatura de la cámara de acuerdo a las

condiciones de humedad presentes en la madera.

Para proceder con una sesión de ensayos correspondiente a un estado de

contenido de humedad, se mantuvieron las probetas dentro de la cámara climática

a una humedad relativa y temperatura constante hasta alcanzar el equilibrio interno

en la madera, de esta forma se consiguió una humedad distribuida de manera

homogénea. Una vez que la madera fue estabilizada y con un peso constante de

cada probeta, se procedió a realizar una sesión de ensayos correspondiente a este

estado de humedad, la cual consistió en medir las propiedades físicas de las

probetas y en solicitarlas mecánicamente. Durante cada sesión las probetas se

mantuvieron aisladas de la humedad relativa ambiente y a una temperatura de

laboratorio de 20 °C.

Para el cálculo de parámetros donde la densidad y las dimensiones de la madera

variaron, se realizaron los ajustes necesarios para cada estado de humedad

correspondiente a cada ensayo en particular. Durante el periodo experimental se

ensayaron 48 estados de contenido de humedad y estos corresponden a cada uno

de los puntos presentados en la Figura 1.


43

Figura 1. Proceso de secado de la madera, HR: humedad relativa; T: temperatura;

H: contenido de humedad, t: Tiempo.

Secado de la madera

Con el propósito de disminuir el contenido de humedad en la madera, las probetas

se colocaron en una cámara climática durante 87 días. La humedad relativa (HR)

dentro de la cámara varió de 98 a 0 %. La temperatura (T) varió entre 15 y 103 °C.

El contenido de humedad de la madera (H) varió entre 154 %, que corresponde a

su estado de humedad natural y 0 % correspondiente a su estado anhidro, tal como

se ilustra en la Figura 1. El contenido de humedad correspondiente a cada estado

de humedad de la madera se calculó a partir del peso de la probeta que se midió al

momento del ensayo en relación al peso de la madera medido en el estado anhidro

de las probetas, es decir el peso de la probeta en la última sesión de ensayos.

0

40

80

120

160

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

HR

(%

),

T (

°C),

H

(%

)

t (días)

T

H

HR


44

Flexión estática

La prueba de flexión estática consistió en solicitar la probeta sobre el centro de su

portada de ensayo con una carga estática aplicada en la dirección tangencial. Para

tal fin se utilizó una máquina universal de pruebas mecánicas TiniusOlsen. La

Figura 2 ilustra la geometría del ensayo de flexión estática y el diagrama de la

probeta.

Figura 2. Configuración pruebas de flexión estática. P: carga estática (N); y:

deformación de la probeta (m); L: distancia entre apoyos (m).

Durante las pruebas se midieron para cada probeta sus dimensiones y su peso, de

esta forma se calculó el volumen, el momento de inercia (I) de la sección transversal

de la probeta, la densidad (ρ) y el contenido de humedad (H) de la madera,

parámetros correspondientes al momento de cada ensayo.

El intervalo de carga necesario para trabajar en el dominio elástico en los ensayos

de flexión estática se calculó con los resultados obtenidos en la etapa de ensayos

preliminares. La deformación resultante de este intervalo de carga permitió observar

para cada ensayo, la variación de la rigidez aparente de la madera durante el

proceso de secado. El módulo de elasticidad en flexión estática se calculó con la

fórmula (1):

MOE = ΔP

Δy

L

48 I (1)

L

P

y

L/2 L/2

Probeta


45

Donde:

MOE = módulo de elasticidad en flexión estática

ΔP = intervalo de carga en el dominio elástico

Δy = intervalo de deformación en el dominio elástico

L = distancia entre apoyos

I = momento de inercia de la sección transversal de la probeta

Coeficiente de higroelasticidad

El coeficiente de higroelasticidad de la madera () es definido como el cociente de

la variación del módulo de elasticidad (ΔMOE) entre la variación porcentual en el

contenido de humedad de la madera (ΔH). Los coeficientes de higroelasticidad de

la madera se determinaron a partir de las pendientes de las ecuaciones de regresión

lineales del módulo de elasticidad en función del contenido de humedad de la

madera. El coeficiente de higroelasticidad se calculó con la fórmula (2):

η = ΔMOE

ΔH (2)

Donde:

ΔMOE = variación del módulo de elasticidad

ΔH = variación en el contenido de humedad de la madera

Resultados

La Tabla 1 presenta valores del módulo de elasticidad (P < 0,001) para contenidos

de humedad correspondientes a H = 0 %, H = 12 % y H = 32 % de P. douglasiana.

Igualmente, se presentan valores de densidad (P < 0,001) correspondientes a estos

tres valores de contenido de humedad, Además, para tres zonas del dominio no

higrosaturado, se proponen correlaciones lineales y sus coeficientes de

determinación (R2) asociados (P < 0,001), Los coeficientes higroelásticos () (P <


46

0,001) son las pendientes de las correlaciones correspondientes y presentadas en

la Figura 3.

Tabla 1. Características físicas e higroelásticas de la madera de P. douglasiana.

ρ H MOE Intervalo ΔH Correlaciones R2

(kg/m3) (%) (GPa) (%) (GPa/%)

Dominio no higrosaturado

567 32 11,37 TR 32-24 MOE = -0,07 H + 13,6 0,96 -0,07

521 12 14,00 HE 24-8 MOE = -0,20 H + 16,6 0,99 -0,20

495 0 15,56 BH 8-0 MOE = -0,08 H + 15,6 0,99 -0,08

Dominio higrosaturado

- - - - > 32 MOE = 0,002 H + 11,2 0,57 -

ρ = densidad; H = contenido de humedad; MOE = módulo de elasticidad en flexión

estática; TR = zona de transición; HE = zona higroelástica; BH = zona de baja

humedad; ΔH = intervalo de contenido de humedad; R2 = Coeficiente de

determinación; = coeficiente de higroelasticidad.

Figura 3. Módulo de elasticidad (MOE) en función del contenido de humedad (H),

BH: zona de baja humedad; HE: zona higroelástica; TR: zona de transición; HS:

dominio higrosaturado.

11

12

13

14

15

16

0 20 40 60 80 100 120 140 160

MO

E (

GP

a)

H(%)

HS

TR

HE

BH


47

Discusión

La densidad aparente de la madera disminuye a medida que el contenido de

humedad decrece. Este parámetro fue calculado por el cociente entre el volumen,

el cual disminuye a medida que el contenido de humedad se reduce, y el peso de la

materia leñosa, el cual, al estar combinado con el agua embebida, varía igualmente,

La tendencia de la densidad encuentra un punto de inflexión cuando el contenido

de humedad es del 32 %. Este valor coincide con el de la tendencia del módulo de

elasticidad la cual comienza a aumentar (Figura 3). Estos resultados permiten

sugerir que el punto de saturación de la fibra para P. douglasiana es de 32 %.

La densidad de P. douglasiana para un contenido de humedad de 12 %, es de 495

kg/m3, valor que coincide con el rango de valores propuesto por Silva et al. (2010):

470 < ρ < 610 kg/m3. La Tabla 1 y la Figura 3 explican que el módulo de elasticidad

aumenta cuando el contenido de humedad se ve reducido. Para fines de cálculo, el

valor de referencia del módulo de elasticidad es cuando el contenido de la humedad

es del 12 %, es decir: 14 GPa, valor que es mayor al sugerido por Silva et al. (2010):

8,8 GPa < módulo de elasticidad < 12,7 GPa.

En las tendencias de los módulos de elasticidad presentadas en la Figura 3 se

observan cuatro zonas de diferente comportamiento higroscópico de la madera de

P, douglasiana. Como se observa en la Figura 3, en el dominio no higrosaturado 32

% > H > 0 %, se distinguen tres intervalos continuos y con comportamientos

diferentes: el intervalo 32 % > H > 24 % definido como zona de transición (TR), el

rango 24 % > H > 8 % llamado zona higroelástica (HE) y el intervalo 8 % > H > 0 %

definido como zona de baja humedad (BH).

Para la zona de transición los valores del módulo de elasticidad presentan una

tendencia inestable con un coeficiente de determinación R2 ligeramente menor a los

coeficientes de las otras tres zonas. Para la zona higroelástica el módulo de

elasticidad aumenta a medida que el contenido de humedad disminuye y puede ser


48

explicado por una correlación lineal. De la misma manera la tendencia del módulo

de elasticidad correspondiente a la zona de baja humedad presenta una correlación

lineal que aumenta cuando decrece el contenido de humedad de la madera, pero

con una tasa menor si se compara con la zona higroelástica.

Para la zona higrosaturada (HS): 154 % > H > 32 %, la tendencia de los valores de

módulo de elasticidad en la zona higrosaturada son explicados con una correlación

lineal de pendiente 0,002 y con un coeficiente de determinación R2 de 0,57. El punto

de inflexión de las tendencias que separa los dos dominios higroscópicos

corresponde a un valor de contenido de humedad igual a 32 %. De aquí, el módulo

de elasticidad puede ser considerado como constante y mínimo para valores de

H > 32 %, valor que se puede definir como el punto de saturación de la fibra (PSF),

En la Figura 3, para el dominio no higrosaturado se distinguen tres zonas

higroscópicas que coinciden con los intervalos de contenido de humedad: la zona

de transición (TR), la zona higroelástica (HE) y la zona de baja humedad (BH).

La zona de transición es explicada por una correlación con un alto coeficiente de

determinación R2. Este intervalo del contenido de humedad es inestable y es

característico de una zona de saturación de la fibra. La tendencia del módulo de

elasticidad en las zonas higroelástica y de baja humedad es detallada por

ecuaciones lineales y con altos valores de R2, resultado que permite idealizar

coeficientes de higroelasticidad de los módulos en función de la disminución del

contenido de humedad de la madera. Los coeficientes de higroelasticidad de la

madera de P. douglasiana y en flexión estática () es presentado en la Tabla 1.

Los valores de η para P. douglasiana son similares a los coeficientes de ajuste

propuestos por Palka (1973) y Guitard (1987) para módulos de elasticidad radial,

tangencial y longitudinal: 0,01 < β < 0,03. Es conveniente recordar que estos valores

de β para intervalos de H entre 12 y 20 %, no son coeficientes de higroelasticidad

propiamente dicho, se trata en efecto, de parámetros para ajustar valores de

módulos de elasticidad para las diferentes direcciones de ortotropía de la madera.


49

En el caso de esta investigación, se trata del coeficiente de higroelasticidad para un

ensayo de flexión estática.

Conclusiones

Se observa la variación de los módulos de elasticidad correspondientes a las

técnicas flexión estática durante el ciclo completo de desorción de madera de P.

douglasiana. A partir de estos datos, se determinan ecuaciones que describen las

tendencias de estas constantes elásticas de la madera. De esta forma se caracteriza

el comportamiento higroelástico de la madera en función de la disminución de su

contenido de humedad,

El comportamiento higroelástico de P. douglasiana puede ser analizado en dos

dominios higroscópicos: dominio higrosaturado y dominio no higrosaturado. El

dominio higrosaturado comprende el intervalo de contenido de humedad de 154 a

32 %. En el dominio no higrosaturado, es decir, para valores de contenido de

humedad de la madera menores a su punto de saturación de la fibra, el

comportamiento higroelástico de P. douglasiana puede ser dividido en tres zonas

características: la zona de transición que comprende el intervalo de contenido de

humedad entre el 32 y el 24 %, la zona higroelástica que comprende el intervalo de

24 a 8 % de contenido de humedad y la zona de baja humedad que comprende

valores de contenido de humedad entre 8 y 0 %. Estos dominios están divididos por

un punto de inflexión definido como el punto de saturación de la fibra e igual a 32 %

de contenido de humedad.

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52

Laboratorio de Mecánica de la Madera División de Estudios de Posgrado

Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera El laboratorio de Mecánica de la Madera tiene por misión realizar investigaciones sobre el comportamiento mecánico de estructuras y productos compuestos de madera. En el laboratorio se realizan las prácticas de la materia Física de la madera de la Maestría en Ciencias y Tecnología de la Madera y sirve también de laboratorio en la preparación de tesis de Licenciatura y de Maestría de la Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera. Entre otros servicios, el laboratorio realiza estudios de caracterización mecánica por métodos no destructivos de materiales de ingeniería y de productos forestales, Además se cuenta con la experiencia para practicar trabajos In-Situ de inspección y de evaluación de estructuras de madera. El laboratorio tiene el equipo y el personal especializado para efectuar estudios de análisis de calidad de la madera en medio ambiente industrial. El equipo principal de investigación con que cuenta el laboratorio es: - Máquina universal de pruebas mecánicas Tinius Olsen® - Equipo de ondas de esfuerzo Metriguard® - Equipo de ondas de esfuerzo Fakopp® - Equipo de ultrasonido Sylvatest® El laboratorio ha participado en los proyectos de investigación siguientes: - Caracterización del comportamiento al fuego de maderas mexicanas, 2015-2016. - Densificado higro-termo-mecánico de madera, 2014-2015. - Características mecánicas de elementos estructurales de maderas tropicales, 2013-2014. - Características acústicas de maderas para instrumentos musicales, 2009-2011. - Selección de arbolado por métodos no destructivos, 2007-2009. - Evaluación con métodos no destructivos de madera en edificios antiguos, 2003-2007. - Evaluación mecánica de materiales compuestos de madera, 2002-2004. La producción del Laboratorio se divulga en: - http://www.academia.edu/ - http://www.researchgate.net/ - http://laboratoriodemecanicadelamadera.weebly.com/ - http://www.investigacioneingenieriadelamadera.umich.mx/index.php/madera/index - http://www.latindex.org/

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Investigación e IIM Ingeniería de la Madera · Revista del Laboratorio de Mecánica de la Madera ... elemento finito se ha convertido en una herramienta de cálculo popular son