INVETARIOS

El inventario se usa en la mayor parte de las actividades de manufactura, servicio, distribucin y venta, y debido a que puede resaltar la rentabilidad y la competitividad, se estudia amplia-mente en el sector de manufactura. Qu es inventario? Qu aspectos, problemas y compleji-dades estn asociados con l? Para entender estas preguntas se analiza un sistema sencillo de manufactura-distribucin, una tienda de donas. La mayora de las personas estn familiariza-das con este tipo de operacin.

Al entrar a la tienda, se observan charolas con toda clase de donas, que es el inventario de productos terminados de la tienda. Las donas se hornean y se ponen en charolas para que cuando entra un cliente a la tienda se le pueda servir de inmediato. Este inventario ejciste debi-do a un receso temporal entre dos actividades en este caso abastecimiento (el proceso de hor-neado) y demanda (el cliente). Otro tipo de inventario en este sistema es la materia prima: harina e ingredientes necesarios para preparar las donas. ste tambin representa ima pausa entre el abastecimiento (obtencin de materia prima) y la demanda (proceso de cocinar las donas).

Se observarn las decisiones que tiene que tomar el dueo respecto al inventario. La pri-mera decisin es la cantidad, cuntas donas de cada tipo preparar o cunta harina e ingredientes ordenar. La segunda decisin concierne al tiempo, esto es, cundo hacer un pedido p(j>r la canti-dad dada. Deben hacerse las donas cuando la charola est vaca o cuando quedan 10 donas? Debe ordenarse harina una vez a la semana o cuando baja a cierta cantidad mnima?

Estas dos decisiones estn afectadas por la demanda del producto terminado cuntas do-nas se vendern en las siguientes horas o das. Esta demanda es incierta. No se sabe de ante-mano cundo o cuntos clientes vendrn a la tienda ni cuntas donas de cada tipo comprarn. Lo ms que se puede hacer es pronosticar esta demanda.

Para tomar en cuenta la incertidumbre, el dueo puede tener una cantidad grande de donas disponibles, pues requiere estar listo para responder a cualquier demanda futura. Lia sancin por hacer esto puede ser quedarse con muchas donas sin vender que se desperdician Cuando se "enfran". Por otro lado, si los clientes quieren cierta dona que no hay, se incurrir eiji una san-cin diferente, al menos la prdida del ingreso por el faltante.

Lo que gradualmente se revela es que incluso para este ejemplo sencillo el tema de inven-tarios no es obvio. Es un elemento clave en la rentabilidad de la tienda de donas. En las organi-zaciones de manufactura con cientos de productos, el problema del inventario es an jns com-plejo y difcil de resolver.

CAPTULO 6: INVENTARIOS: SISTEMAS DE DEMANDA INDEPENDIENTE 219

1 CONCEPTOS DE INVENTARIOS

El ejemplo de las donas muestra que el inventario es un sistema importante y complejo y que se debe comprender su naturaleza antes de analizarlo. Esta seccin se usar para hacer justo eso. Primero, se ampla el estudio del papel que juega el inventario. Los sistemas de inventarios tie-nen terminologa especfica, que se presenta a continuacin. Despus se identifican los costos de inventario y se presentan algunas medidas de efectividad para estos sistemas. Se concluye con el anlisis de las polticas comunes y la relevancia de los modelos de inventarios.

1.1 El papel que juega el inventario

Hasta ahora, slo se ha descrito el inventario, pero no se ha definido. Entre las muchas defini-ciones disponibles, se ha seleccionado la siguiente:

Una cantidad de bienes bajo el control de una empresa, guardados durante algn tiempo para satisfa-cer una demanda futura.

Para el sector de manufactura, tales bienes son principalmente materiales: materia prima, uni-dades compradas, productos semiterminados y terminados, refacciones y materiales de consu-mo.

Esta definicin reitera lo que se observ en el ejemplo de las donas. El inventario es un "amortiguador" entre dos procesos: el abastecimiento y la demanda. El proceso de abasteci-miento contribuye con bienes al inventario, mientras que la demanda consume el mismo inven-tario. El inventario es necesario debido a las diferencias en las tasas y los tiempos entre el abas-tecimiento y la demanda, y esta diferencia se puede atribuir tanto a factores internos como externos. Los factores endgenos son cuestiones de poltica, pero los exgenos son incontrola-bles. Entre los factores internos estn las economas de escala, el suavizamiento de la opera-cin y el servicio al cliente. El factor exgeno ms importante es la incertidumbre.

Las economas de escala pueden hacer que un inventario sea deseable aun cuando sea po-sible balancear el suministro y la demanda. Existen ciertos costos fijos asociados con la pro-duccin y la compra; stos son los costos de preparacin y los costos de ordenar, respectiva-mente. Para recuperar este costo fijo y reducir el costo unitario promedio se pueden comprar o producir muchas unidades. Estos tamaos de lote grandes se ordenan con poca frecuencia y se colocan en inventario para satisfacer la demanda futura.

El suavizamiento de la operacin se usa cuando la demanda vara con el tiempo. Anti-congelante o acuamotos seran algunos ejemplos. El inventario acumulado en periodos de de-manda baja se usa para satisfacer la demanda alta de otros periodos; ello permite que las insta-laciones de produccin operen a una tasa relativamente constante de produccin, caracterstica deseable en la manufactura.

El servicio a clientes es otra razn para mantener un inventario. El inventario se forma para poder cumplir de inmediato con la demanda, lo que lleva a la satisfaccin del cliente.

La incertidumbre se present en el ejemplo de las donas. Una manera de evadir la incerti-dumbre es mantener en inventario ms unidades de las pronosticadas como demanda; esto evita la posibilidad de quedarse sin unidades si la demanda real excede al pronstico. Este inven-tario adicional se llama inventario de seguridad. El proceso de reabastecimiento es otra fuente de incertidumbre que puede justificar mantener un inventario de seguridad. El tiempo de entre-

220 PLANEACIN Y CONTROL DE LA PRODUCCIN

ga es el tiempo que transcurre entre emitir una orden y recibirla. Cuando el tiempo dje entrega es incierto, puede ser que no se reciba la orden en la fecha planeada. El inventario de sjeguridad ofrece cierta proteccin contra un paro en la produccin por la incertidumbre en el tiempo de entrega.

El papel del inventario descrito hasta el momento es opcional. Existe una razn distinta por completo para mantener un inventario, la explotacin del mercado. Con frecuencjia las pe-culiaridades del mercado son la causa de que un inventario llegue a ser una ventaja econmica. La fluctuacin en los precios del mercado puede justificar la adquisicin de ms materia prima que la requerida para la demanda estimada. Se resalta el hecho de que esto es altamentje especu-lativo y debe dejarse a la funcin de finanzas en la organizacin y no a los administradores de operaciones. De acuerdo con lo anterior, no se analizar ms el papel del inventario

1.2 Terminologa de inventario

En el ejemplo de la tienda de donas, se identific la demanda como incierta y se mencionaron dos tipos de inventario, materia prima y producto terminado. Se definirn formalmeijite distin-tos tipos de ambientes de demanda y varias clases de inventarios.

El ambiente de demanda se puede clasificar en dos grandes categoras: determinstico o estocstico e independiente o dependiente. Deerminsdco o estocstico. Determinstico significa que se conoce con certidumbre la de-manda futura de un artculo en inventario; esta demanda aleatoria se llama estocstica. Cada caso requiere un anlisis diferente. El caso estocstico es ms realista, pero su manejo es ms complicado. Demanda independiente o dependiente. La demanda de un artculo no relacionada con otro artculo y afectada principalmente por las condiciones del mercado se llama demanda indepen-diente. Los ejemplos incluyen ventas al menudeo o producto terminado en la manufactura. La demanda dependiente es muy comn en la manufactura (la demanda de una unidad s0 deriva de la demanda de otra). Un ejemplo sera un automvil, llantas y tuercas. Cada vehculo requiere cuatro llantas y cada llanta requiere tuercas. La demanda de automviles es independiente; las llantas y las tuercas tienen una demanda dependiente. Aqu se tiene una jerarqua de tres nive-les, llamada estructura del producto. As, un vehculo genera la demanda de cuatro llantas (sin contar la de refaccin) y 16 tuercas. En el ejemplo de las donas, la demanda de donas es inde-pendiente, y la demanda de harina es dependiente. Este captulo estudia sistemas d$ demanda independiente; el captulo 7 examina los sistemas de demanda dependiente. Se hace notar que una parte de los anlisis es comn a los dos sistemas.

Los tipos de inventario en los sistemas de produccin se clasifican segn el valbr agrega-do durante el proceso de manufactura. Las clasificaciones son materia prima, producto en pro-ceso (PEP) y productos terminados. A continuacin se definir cada tipo.

La materia prima incluye todos los materiales requeridos para los procesos de manufactu-ra y ensamble. Normalmente son los siguientes: Material que necesita ms procesamiento (harina, madera, barras de acero) Componentes que forman parte de un producto tal como estn (chips de computjadora, tor

nillos) Artculos de consumo (soldadura, electrodos, pegamento, tornillos)


El producto en proceso (PEP) es inventario en el sistema de produccin que espera para ser procesado o ensamblado y puede incluir productos semiterminados (una tuerca roscada pe-ro sin recubrimiento) o subensambles (cinescopios de televisor).

Los productos terminados son las salidas de los procesos de produccin, en ocasiones llamados artculos finales cualquier mercanca, un automvil, una camisa, un refresco. La demanda de productos terminados por lo general es independiente. Los productos terminados de una organizacin de manufactura pueden ser materia prima para otra; por ejemplo, las llan-tas para los automviles.

1.3 Costos de inventaro

Se define un inventario como una "cantidad de un bien"; como tal, incurre en costos. El costo de compra es obvio. Otros tipos de costos son el costo de ordenar (de preparacin), el costo de almacenaje, el costo por faltantes y el costo de operacin del sistema. Se explicar cada uno en detalle.

El costo de compra es el costo por artculo que se paga a un proveedor (llamado tambin costo de materiales). Sea c el costo unitario y Q el nmero de unidades compradas (tamao del lote). Entonces el costo total de compra es cQ,una funcin lineal de Q. En algunos casos el pro-veedor tiene una tabla de costos basada en la cantidad comprada. Este costo unitario es una fun-cin de Q y el costo de compra es una funcin ms compleja (vea la seccin 2.1.3).

Si se fabrica una unidad, c incluye tanto el costo del material como el costo variable para producirla. El costo total de manufactura para un lote de produccin es cQ.

Un costo de ordenar el costo de preparar y controlar la orden es aquel en que se incu-rre cada vez que se coloca una orden con el proveedor. Es independiente del tamao del lote que se compra y, por lo tanto, es un costo fijo denotado por A. Sin embargo, el costo anual de ordenar, que se estudiar ms adelante, depende del tamao del lote. Para un lote fabricado, el costo fijo est dominado por el costo de preparacin, que incluye el costo de preparar la mquina para la corrida de produccin (tiempo ocioso de la mquina y mano de obra) y quiz algunos costos de materiales para el arranque debido a rechazos iniciales. Se usa la misma notacin, A, para el costo de preparacin.

El costo total de comprar o producir un lote es

A + c Q

Consiste en una componente fija A y una componente variable cQ. El inventario compromete el capital, usa espacio y requiere mantenimiento, y todo cuesta

dinero. Esto se llama costo de almacenaje o de mantener el inventario e incluye lo siguiente:

Costo de oportunidad Costos de almacenaje y manejo Impuestos y seguros Robos, daos, caducidad, obsolescencia, etctera.

El costo de almacenar comienza con la inversin en el inventario. El dinero comprometido no puede obtener rendimientos en otra parte. Este costo es un costo de oportunidad, que por lo general se expresa como un porcentaje de la inversin. El valor ms bajo de este costo de opor-

222 PLANEACiN Y CONTROL DE LA PRODUCCIN

tunidad es el inters que ganara el dinero en una cuenta de ahorros. La mayor parte de las em-presas tienen mejores oportunidades que las cuentas de ahorros y muchas tienen una tasa mni-ma de retorno, que usan para evaluar inversiones, normalmente llamada costo de capital. La misma tasa se puede usar como parte del costo de mantener el inventario.

Los costos se calculan como un porcentaje de la inversin en inventario y se suman al cos-to de oportunidad, esto genera el costo total de mantener el inventario. Entonces, si el c^sto de capital es 25% anual y otros tipos de costo suman un 10% adicional, el costo total de alnjiacena-je ser 35%. Es decir, por cada dlar invertido en inventario, durante un ao, se pagan 35 centa-vos. Se define

i = costo total de mantener inventario (expresado como porcentaje)

ste es el costo de mantener $ 1 de inventario durante una unidad de tiempo. Debido a qifie el in-ventario casi siempre se mide en unidades y no en dlares, y recordando que el costo de una unidad es c, se obtiene

h = ic

donde h es el costo de mantener una unidad en inventario durante una unidad de tiempo, expre-sado en dlares. Los valores tpicos anuales de i van de 25 a 40%, pero i puede llegar hasta 60%.

En el ejemplo de la tienda de donas, se introdujo el concepto de costo por faltante, Un fal-tante ocurre cuando existe una demanda de un producto que no se tiene. Un faltante puede sur-tirse atrasado o perderse; la demanda de bienes durables con frecuencia se satisface con atraso. As, si la tienda no tiene el televisor que desea, usted puede estar dispuesto a esperar h^sta que lo tengan. Por otro lado, la demanda puede perderse si la tienda de donas no tiene el ^ipo que quiere. Si usted va a otro lado se llama venta perdida.

En ambos casos se paga una sancin. Si la demanda se pierde, la pena ms importante es la ganancia perdida y la prdida de la buena voluntad. Si la demanda se surte atrasada existe un costo adicional al expedirla, costos de registro en libros y la reputacin de un mal servicio al cliente. Lo comn es que un faltante de material para produccin se surta atrasado, por tanto, la sancin es que la produccin se detiene, volver a arrancarla y tal vez la entrega tarda del pro-ducto final al cliente.

Existen dos tipos de costos por faltantes. Uno es el resultado de que falte una unidad; el otro considera el tiempo que la unidad falta.

Se define:

n = costo de faltante por unidad n = costo de faltante por unidad que falta por unidad de tiempo

Casi siempre se usa TI para las ventas perdidas; los faltantes usan ambas. Observe que es para los faltantes lo que h es para el inventario. Es difcil estimar el costo por faltantes y puede ser una estimacin subjetiva.

Por ltimo, existen costos relacionados con la operacin y el control de los sistenkas de in-ventario, que reciben el nombre de costo de operacin del sistema. Este costo puede ser gran-de; incluye, por ejemplo, el costo de computadoras y programas para el control del inventario. Irnicamente, la mayora de los modelos de inventarios se desarrollaron antes o muy al princi-pio de la era de las computadoras y este costo con frecuencia no se tomaba en cuenta.


1.4 Medidas de efectividad

El inventario es, en trminos bsicos, una entidad de servicio. Si el inventario satiface la de-manda cuando ocurre, entonces el servicio es perfecto; de otra manera hay problemas con el servicio. Proporcionar un alto nivel de servicio no es gratis. El estudio de los sistemas de inven-tarios es un anlisis de trueques entre los beneficios y los costos de mantenerlos. La meta es maximizar los beneficios al mismo tiempo que se minimiza el costo, una difcil misin. Esa meta es an ms compleja cuando el inventario contiene muchos artculos diferentes.

Primero se estudian los costos; los beneficios se ven como un costo de oportunidad. Ms adelante se examinan los modelos que hace alusin al beneficio de los servicios. Existen dos enfoques para medir la efectividad, un enfoque de modelado y un enfoque gerencial.

El enfoque de modelado optimiza el sistema de inventarios. El criterio que se emplea en la mayora de los modelos es minimizar el costo; aunque, en principio, tambin se podra usar maximizacin. Estos criterios son equivalentes para la mayora de los sistemas de inventario, porque la ganancia es la diferencia entre el precio y el costo. Aqu se estudian los modelos de costo porque son ms sencillos. Otra razn es que mientras que el costo es un hecho, los precios son una poltica. Los costos se conocen y los precios pueden diferir por polticas administrati-vas o por presin del mercado.

Una medida de efectividad comn para los sistemas de inventario es el costo total prome-dio mnimo por unidad de tiempo. Una unidad de tiempo puede ser das, semanas, meses o aos. El costo total incluye los elementos de costo que se definieron. Se usa el promedio porque los costos de almacenaje y faltantes son proporcionales al nivel de inventario que puede variar durante el periodo. Para calcular el costo total promedio se promedia el inventario o los faltan-tes en el tiempo y se multiplican por h o .

El enfoque gerencial casi siempre se usa para sistemas de inventarios de mltiples artcu-los. La meta inmediata es reportar el tamao del inventario a la gerencia. Una medida del tamao del inventario es la inversin total en la fecha del reporte. Se multiplica la cantidad disponible de cada artculo por su costo y se suma el resultado para todos los artculos. Para obtener una medida relativa sobre si se tiene "demasiado" o "muy poco" inventario o para comparar el desempeo con los "estndares industriales" y con el de los competidores se usan otras dos me-didas:

Inversin en inventario total Meses de abastecimiento = ----------------------------------------------------

Demanda promedio pronosticada ($/mes) 12 [demanda promedio pronosticada ($ / mes)]

y Rotacin del inventario anual = ----------- -------------------------------------------- Inversin en inventario total

La primera medida indica cunto tiempo se podr satisfacer la demanda futura con el inventa-rio disponible; la segunda indica la rapidez de rotacin del inventario; mientras ms alto sea el valor, ms baja ser la inversin en inventario. Estas medidas cambian un poco con los diferen-tes objetivos y con los tipos de inventario (materia prima, producto terminado). Para verificar el desempeo futuro, se usa el pronstico de demanda y para la evaluacin del desempeo pa-sado se usa la demanda real. Una manera rpida de calcular la rotacin del inventario a partir de la hoja de balance de una compaa es

Valor de las ventas Rotacin de inventario = ----------------------------

Valor de Inventario

La comparacin de esta cifra con la rotacin para otras compaas o los estndares industriales da una indicacin del desempeo de la operacin del inventario.

1.5 Polticas de inventario

El elemento principal que afecta el inventario es la demanda. Desde el punto de vista del con-trol de la produccin, se supone que la demanda es una variable incontrolable. Existen! tres fac-tores importantes en un sistema de inventario, llamados variables de decisin, que se pueden controlar:

Qu debe ordenarse? (decisin de variedad) Cundo debe ordenarse? (decisin de tiempo) Cunto debe ordenarse? (decisin de cantidad)

Para entender mejor estas decisiones de inventarios, se examina un sistema de un solo ar-tculo. La decisin de variedad es irrelevante y las otras dos se toman usando dos polticas de control de inventarios diferentes, conocidas como de revisin peridica y de revisin dontinua.

Poltica de revisin peridica. Se verifica el nivel del inventario /, en intervalos de tiempo fi-jo, digamos una semana, un mes o cualquier tiempo T, llamado periodo de revisin, y pe coloca una orden si / es menor que cierto nivel predeterminado i?, llamado punto de reorden (decisin de tiempo). El tamao de la orden Q es la cantidad requerida para aumentar el inventario a un nivel predeterminado S (decisin de cantidad). El tamao de Q vara de un periodo a otro. La fi-gura 6-1 presenta esta poltica suponiendo que la demanda es de una unidad a la vez y que las rdenes se entregan instantnemente. En tx el nivel del inventario est por arriba del punto de reorden i?,por lo que no se ordena. En el siguiente tiempo de revisin t2, Tperiodos despus de tx, I, < R y se ordenanQ = S - I, unidades. Con frecuencia se hace referencia a esta poltica como poltica peridica o poltica de tiempo fijo.

Poltica de revisin continua. En esta poltica el nivel del inventario se controla continua-mente. Cuando el nivel llega al punto de reorden R (decisin de tiempo), se ordena iina canti-dad fijaQ(decisin de cantidad). sta es una poltica continua (Q, R),o poltica de cantidad fija de reorden. La figura 6-2 presenta esta poltica suponiendo entrega instantnea de la orden y demanda de una unidad a la vez.


CAPITULO 6: INVENTARIOS: SISTEMAS DE DEMANDA INDEPENDIENTE 225

Antes de la era de las computadoras, los sistemas de revisin peridica eran ms populares porque su manejo manual era ms sencillo. Con las computadoras disponibles en cualquier parte, la implantacin de las polticas de revisin continua se ha facilitado. La revisin conti-nua tiene ciertos mritos sobre la revisin peridica; sin embargo, esta ltima todava tiene un lugar, como se ver cuando se estudien las decisiones de control (seccin 4.2).

1.6 Relevancia de los modelos de inventarios

Muchos modelos de inventarios clsicos se desarrollaron en la era de las teoras clsicas de la administracin. En el captulo 2 se estudi la teora emergente que lleva a la manufactura de clase mundial y que toma un punto de vista sobre el inventario completamente distinto: reducir el inventario todo lo que se pueda, en lugar de optimizarlo. As, existe un dilema al presentar muchos de los modelos clsicos. Si a la luz de las nuevas teoras de produccin son obsoletos, por qu ensearlos? La respuesta de los autores es que pensamos que son tan relevantes en el "nuevo ambiente" como lo fueron antes.

Pensamos que aun en el pasado, una de las mayores ventajas de los modelos de inventarios era la visin que proporcionaban. De cientos de modelos de inventarios desarrollados, el que ms se ha usado es el modelo del lote econmico (EOQ), que se desarroll en 1915! Un gran beneficio que se obtiene al usar diferentes modelos de sistemas de inventarios es la compren-sin del comportamiento de estos sistemas, las relaciones entre los diferentes parmetros y va-riables y la sensibilidad respecto a las inexactitudes en los datos. Esta comprensin prevaleca en el pasado y ser muy importante en el futuro. Por ejemplo, en un sistema de inventarios real con 100 000 artculos es difcil calcular y actualizar el costo por faltante para cada artculo. Sin embargo, al entender el impacto del costo por faltantes a partir de los costos que se obtienen en los modelos, los sistemas de inventarios se administran mejor. Otro ejemplo es la reduccin del tiempo de preparacin; sus implicaciones se pueden estudiar y entender usando modelos de in-ventarios.

Aun hoy, el inventario no es un mal. Para ilustrar, la planta GM Saturn opera uno de los sistema de justo a tiempo (sin inventario) ms exigentes en Estados Unidos (Woodruff et al, 1992). Pero encontraron que era necesario agregar ms inventario entre departamentos como un amortiguador, para que fuera menos probable que se retrasara el ensamble final.

Como se ha establecido, los modelos de inventario clsicos son importantes no slo por los resultados que se obtienen, sino tambin por el mayor entendimiento del comportamiento del sistema. El ingeniero industrial o el administrador de operaciones del futuro debe entender los modelos clsicos con el fin de ayudar a desarrollar los modelos futuros.

Este captulo est orientado a las decisiones y dividido en tres reas principales: decisiones de cantidad, decisiones de tiempo y decisiones de control. El siguiente captulo analiza los sis-temas de demanda dependiente.

SECCIN 1 EJERCICIOS

6.1. Utilice la definicin de inventario para clasificar las siguientes entidades como "inventario" o "sin inventario". Explique Mercanca en una tienda


Agua en un depsito Dinero en una cuenta de ahorros rboles en un bosque Troncos cortados en una fbrica de pulpa Cuerdas de alambre para puentes Barras de acero en una fbrica metalrgica Una mina de hierro Brandy en barriles en una destilera Botella de brandy en casa

6.2. Enumere y explique unos cuantos factores exgenos que contribuyan a la necesidad de inventario. 6.3. Sponga que la demanda de un producto se conoce con certidumbre. Todava se requiere un in

ventario? Por qu? Proporcione un ejemplo. 6.4. Considere un producto como una bicicleta que se est fabricando. Haga un bosquejo sencillo de

ese producto e identifique lo siguiente:

a) Artculos con demanda independiente y dependiente b) Inventario de materia prima c) Inventario en proceso d) Inventario de productos terminados

6.5. Un embotellador de refrescos sabe que el desglose de sus costos es el siguiente: Costo de materia prima para un galn de refresco, $ 1.80 Costo de embotellado para un galn de refresco, $ 1.20 Costo de una botella vaca de 1/12 galn, $0.05 Costo de preparacin para una corrida de embotellado $5000 Costo de mantener inventario, 35% anual

a) Evale c, el costo total unitario de produccin. b) Cul es el costo total de produccin para tamaos de lote de 1000,10 000,50 000 y 100 000

botellas de 1/12 galn? c) Sea

A

Grafique y = f{Q). Qu puede concluir?

d) La compaa estima la demanda en 10 000 botellas diarias. La poltica es tener un inventario de producto terminado correspondiente a 5 das de demanda. Cul es la inversin en este in-ventario?

) Evale el costo de mantener el inventario en dlares por ao.

6.6. La compaa A tiene $10 millones en inventario, el equivalente al abasto de tres meses. La com paa B, que est en la misma lnea de negocios, tiene $5 millones en inventario el equivalente a una rotacin de inventario de 4 (esto es, cuatro ciclos de inventario por ao). Analice esta situa cin.

6.7. Una hoja de balance tiene siempre un elemento de "bienes actuales", que representa la inversin en inventario. La OPCABLE Company fabrica cables de fibra ptica. Su hoja de balancje para el 31 de diciembre de 1996 mostraba un rendimiento total de $50 millones y bienes actuales por $10 millones.

) D un aproximado de los meses de abasto y la rotacin del inventario para este ao. b) Si el "estndar de la industria" es de seis rotaciones de inventario anuales, qu puede decirle a la administracin de OPCABLE?


6.8. La OPCABLE Company hizo un anlisis de costos de sus sistemas de materiales y obtuvo los si-guientes datos para los ltimos seis meses. Calcule el costo total promedio por mes.

Costo de ordenar Costo de almacenar Costo de compra Mes ($1000) ($1000) ($ millones)

1 5 200 5 2 8 180 4 3 6 220 6 4 7 170 2 5 190 6 4 180 5

6.9. Tres compaas en la industria electrnica tienen los siguientes ciclos de inventario: Compaa A 6 Compaa B 8 Compaa C 4

Qu compaa tendr el menor costo de mantener inventario? Explique por qu. 6.10. Considere las tres variables de decisin en los sistemas de inventarios. Analice las relaciones en

tre ellos. 6.11. Compare las dos polticas de revisin de inventarios para los casos de ambientes de demanda de-

terminstica y estocstica. 6.12. Adems de las dos polticas de revisin de inventario "puras", puede haber una poltica "hbrida".

a) D un ejemplo en el que una poltica hbrida sea til. b) Muestre la grfica para una poltica "hbrida" (como las de las figuras 6-1 y 6-2).

6.13. Las siguientes situaciones representan ambientes "tipo inventario" que se encuentran en la vida diaria. Clasifquelas segn si, por implicacin, usan una poltica de revisin peridica o continua. Explique.

El tanque de gasolina de un automvil El dinero en una cuenta de cheques Los alimentos en un refrigerador Las botellas de vino en una cava El aceite del motor de un vehculo

6.14. La compaa METCUT lo contrat para trabajar en su departamento de costos. Ellos acaban de comprar un nuevo paquete de software para inventarios y, entre otras cosas, tienen que darle el va lor de A. Su primera tarea es obtener este valor usando los registros histricos, con los siguientes datos.

1. Costo de preparacin de equipo $2002. Costo de carga/descarga por artculo $1.80 3. Corrida inicial de prueba por lote $15/lote 4. Costo de preparacin de una $120 orden de produccin por lote, tiempo estndar y dibujos 5. Costo de capital 25% anual6. Costo de manejo de una unidad $2/unidad


2 DECISIONES DE CANTIDAD

Esta seccin analiza una de las decisiones ms importantes relacionadas con los sistemas de in-ventarios: la decisin de cantidad (es decir, cunto ordenar). Esta decisin tiene un impacto considerable a nivel del inventario que se mantiene y, por esto, influye directamente en ios cos-tos de inventario.

Se presentan los modelos ms comunes desarrollados a lo largo de muchos aos y se anali-zan juntos para proporcionar un panorama claro de lo que se ha hecho. El factor comn de estos modelos es que manejan una demanda conocida y un solo artculo (excepto por la parte de la seccin 2.1.4 que cubre modelos de varios artculos restringidos en recursos) y todos se pueden extender a un ambiente de artculos mltiples, si no hay dependencia entre ellos. Ms an, se pueden aplicar en un ambiente de produccin al igual que en otros ambientes, tales cojno ven-tas al menudeo. Con algunos ajustes, se aplican a inventarios de materia prima, productos ter-minados y en algunos casos a inventarios de PEP.

Por lo general, los modelos para decisiones de cantidad se llaman modelos de tamao de lote. Existen muchos de ellos, aqu se agruparon bajo dos grandes rubros:

Modelos estticos de tamao de lote que se usan para demanda uniforme (constante) du rante el horizonte de planeacin.

Modelos dinmicos de tamao de lote que son modelos empleados para cambiar la de manda durante el horizonte de planeacin. Se supone que la demanda es conocida con cer tidumbre, lo que en ocasiones se llama demanda irregular.

Es posible una subclasificacin; la estructura general de esta seccin y los modelos analizados aparecen en la figura 6-3.

2.1 Modelos estticos de tamao de lote

Un ambiente de demanda constante y uniforme no es comn en el mundo real. Sin embargo, es un punto de inicio conveniente para desarrollar modelos de inventarios y lograr entender las re-laciones dentro de un sistema de inventarios. Se desarrollan cuatro modelos en esta Categora (vea la figura 6-3).

2.1.1 Cantidad econmica a ordenar (EOQ)

ste es el modelo fundamental de los modelos de inventarios; Harris los introdujo en 1915. Tambin se conoce como la frmula de Wilson, ya que fue l quien promovi su uso. La impor-tancia de este modelo es que todava es uno de los modelos de inventarios que ms se usan en la industria, y sirve como base para modelos ms elaborados.

Se supone el siguiente ambiente para la toma de decisiones: Existe un solo artculo en el sistema de inventario.

La demanda es uniforme y determinstica y el monto es de D unidades por unidad de tiempo da, semana, mes o ao. Se usar la demanda anual, pero puede ser cualquier otra unidad, siempre y cuando el resto de los parmetros se calculen en la misma unidad de tiempo.


FIGURA 6-3 Clasificacin de los modelos de tamao de lote

No se permiten faltantes. No hay un tiempo de entrega (tiempo desde que se coloca la orden hasta que se recibe). Toda la cantidad ordenada llega al mismo tiempo; esto se llama tasa de reabastecimiento

infinito.

Este modelo es adecuado para la compra de materia prima en produccin o para el ambiente de ventas al menudeo. La variable de decisin para este modelo es Q, el nmero de unidades a or-denar, un nmero entero positivo. Los parmetros de costo se conocen con certidumbre y son los siguientes:

c = costo unitario ($/unidad) i = costo total anual de mantener el inventario (% por ao)

h = ic - costo total anual de mantener el inventario ($ por unidad por ao) A = costo de ordenar ($/orden)

Adems, se define D = demanda por unidad de tiempo T = longitud de ciclo, el tiempo que transcurre entre la colocacin (o recepcin)

de rdenes sucesivas de abastecimiento K(Q) = costo total anual promedio como una funcin del tamao de lote Q

It = inventario disponible en el tiempo t (cantidad real de material que hay en almacn)

El concepto bsico de este modelo es crear un balance entre dos costos opuestos, los costos de ordenar y los costos de almacenar. El costo de ordenar es un costo fijo; si se ordena ms, el costo por unidad ser menor. El costo de almacenar es un costo variable que disminuye si el in-ventario que se tiene disminuye. Este balance se logra minimizando K(Q\ el costo total anual promedio.

Una herramienta til al analizar los sistemas de inventarios es la geometra del inventario, una descripcin grfica de /;, que se muestra en la figura 6-4.


FIGURA 6-4 Geometra del inventa-rio EOQ

Se supone que el nivel de inventario es Q en el tiempo cero. Cuando pasa el tiempo, el in-ventario se agota a una tasa de D unidades por ao (es decir, la pendiente de la recta del inventa-rio es -D). Cuando el nivel de inventario llega a cero, se ordenan Qunidades. Como s|e supone que el tiempo de entrega es cero y la tasa de reabastecimiento es infinita, el nivel de inventario se elevar a Q de inmediato y el proceso se repetir. Debido a la geometra del inventario, en ocasiones este mtodo se llama modelo de diente de sierra.

Este patrn se llama un ciclo y puede haber varios ciclos en un ao. Sea T la lorigitud del ciclo del inventario. De la geometra del inventario se observa que

Este resultado se puede obtener de manera intuitiva, ya que el nivel del inventario flucta entre OyQ, por lo que el promedio esQ/2. El nivel mximo de inventario es

Uc = Q Existen tres tipos de costos: costo de compra, costo de ordenar y costo de mantener inven-

tario. Para cada ciclo, los costos son


Observe que en lo anterior, h T es el costo de mantener una unidad en inventario durante T uni-dades de tiempo.

Para obtener el costo promedio anual K(Q), se multiplica el costo promedio por ciclo por el nmero de ciclos, que es l/T. Se obtiene

Como /T = D/Q, el costo total anual promedio es

Se quiere encontrar el valor de la variable de decisin Q que minimiza K(Q). Esto se logra re-solviendo la ecuacin

Como la segunda derivada de K{Q) es positiva, K(Q)es una funcin convexa y alcanza su m-nimo en el punto donde la derivada es cero. Al resolver la ecuacin anterior se llega a

Q*se conoce como la cantidad econmica a ordenar o lote econmico o EOQ. La figura 6-5 es una descripcin grfica de K(Q). La curva de K{Q) es la suma de tres cur-

vas individuales, que representan las componentes de la funcin K(Q). Q* ocurre en el punto de interseccin de las curvas para hQ/2 y AD/Q; ah es donde se balancean los dos costos opuestos, el costo de ordenar y el costo de mantener el inventario. (En general, el mnimo de la

Un bosquejo de K(Q) para el ejemplo 6-1


suma de las dos funciones no tiene que ocurrir en la interseccin.) El costo de compra anual cD no afecta el valor de Q*.

Al sustituir el valor de Q* en K(Q), y despus de algunas manipulaciones algebraicas, se obtiene el costo total anual promedio mnimo:

El costo anual de ordenar (de preparacin) es AD/Q* y el costo anual de almacenar es h(Q*/2).

Ejemplo 6-1. Lote econmico. Un pequeo taller de soldadura usa varillas para soldar i una tasa uniforme. Marvin, el dueo, compra las varillas a un proveedor local. l estima que la demanda anual es de alrededor de 1000 libras. Para colocar una orden, tiene que gastar cerca de $3 60 por la llamada telefnica y el papeleo. Marvin paga $2 por libra de varilla y sus costos de almacenaje estn basados en una tasa anual de 25%. Analice el sistema.

Solucin. Pimero se identifican los parmetros.

A = $3.60 por orden D = 1000 libras por ao c = $2 por libra i = 25% anual

h = 0.25 x $2 = $0.5 por libra por ao El tamao del lote econmico es

Es mejor para Marvin ordenar 120 libras. l debe colocar una orden cada T = 120/1000 = 0.12 aos, es decir, 1.44 meses. El costo total anual promedio es

El hecho de que los costos anuales de almacenar y de ordenar sean iguales no debe sor-prender. Se demostr que el ptimo se encuentra en la interseccin de las dos curvas. Este pro-blema tambin se puede resolver sobre la base de cantidades mensuales o semanales. Se sugiere al estudiante que intente esto como prctica adicional.

La suposicin de un tiempo de entrega de cero es limitante, pero se relajar cuando se ana-licen las decisiones de tiempo (seccin 3). Otras extensiones de la frmula del EOQ incluyen la sensibilidad de K(Q*)a. los errores enQ* y a la ampliacin de la suposicin de que no se admi-ten faltantes.

Sensibilidad de K(Q*). En el mundo real en ocasiones no es prctico ordenar exactamente Q* unidades. Suponga, por ejemplo, que Q* = 1357y que el artculo de inters vien; en cajas de 1000 unidades cada una. Deben ordenarse una o dos cajas? Esta pregunta lleva a examinar


la sensibilidad de la funcin K(Q) a las desviaciones de Q respecto al valor ptimo Q*. Esta sen-sibilidad se mide con la razn

Cuando no hay desviacin (Q = Q*),el valor de esta razn es 1. Para facilidad de clculo, se ig-nora el costo de compra cD en esta razn, ya que no cambia la forma general de la curva de cos-to sino simplemente la mueve hacia arriba una cantidad cD. Se obtiene

La descripcin grfica de esta funcin aparece en la figura 6-6. La forma de esta grfica sugiere que colocar una orden ms grande que Q* (es decir, Q/Q* > 1) costar menos que una orden ms pequea por la misma cantidad.

Ejemplo 6-2. Sensibilidad de los EOQ. Suponga que las varillas de soldadura del ejemplo 6-1 se ordenan en paquetes de 75 libras cada uno. Cuntos paquetes debe ordenar Marvin?

Solucin. En el ejemplo 6-1, el lote econmico es 120 libras y la nueva cantidad a ordenar debe ser un paquete (75 libras) o dos (150 libras). Si se aplica el anlisis de sensibilidad se obtiene


2. Se establece Q = 150; entonces

A: (150)/A: (120) = (1/2x150/120+ 120/150) = 1.025

Marvin tendr mejores resultados si ordena dos paquetes cada vez. En la figura 6-6 se da la descrip-cin grfica de K(Q)/K(Q*), suponiendo que las varillas se pueden comprar una a la vez.

2.1.2 Cantidad econmica a producir (EPQ) con extensiones

Esta extensin del modelo EOQ relaja la suposicin de una tasa de reabastecimiento infinita. En su lugar se tiene una tasa finita, que es lo normal para artculos fabricados, en donde el lote se entrega a travs del tiempo de acuerdo con la tasa de produccin.

Tambin se permite que ocurran faltantes y se cumplan las rdenes atrasadas, suponiendo que existe un nivel mnimo de atraso que la administracin est dispuesta a tolerar. Los faltan-tes ocurren en los sistemas de produccin debido a falta de material, falta de capacidad o am-bas. Recuerde que un faltante tiene dos costos asociados, n y n (seccin 1.3). Como n es para el faltante lo que h es para el inventario, se evala de la misma manera, considerando el faltante promedio. Como n es el costo por faltante (sancin), se necesita conocer el faltante mximo para evaluarlo. Sea

\\i = tasa de produccin, medida en las mismas unidades que la demanda Q = tamao del lote de produccin A = costo de preparacin c = costo unitario de produccin B, = nivel de faltante (orden atrasada) en el tiempo t B = nivel promedio de faltantes b = mxB,

La geometra del inventario para este caso se muestra en la figura 6-7. Se supone que en el tiempo cero el nivel de inventario es -b. En este punto se emite una or-

den de produccin por Q unidades y como el tiempo de entrega es cero, la produccin comienza de inmediato. La tasa de produccin es i|/,pero como al mismo tiempo hay una demanda, la tasa de reabastecimiento neta es iy - D y la recta de reabastecimiento tiene una pendiente positiva. Una vez que se han fabricado Q unidades, el inventario alcanza su valor mximo, /mx, y la pro-duccin se detiene. El inventario se agota a la tasa de la demanda D. Cuando el nivel de inventa-rio alcanza -b, la produccin se reanuda y el ciclo se repite.

Siguiendo un procedimiento bsico similar al del caso del lote econmico:


Geometra del inventa-rio: EPQ con faltantes

El inventario disponible es positivo durante T2+ T3, mientras que los faltantes se surten durante T{ y T4. La produccin se lleva a cabo durante Tp = Tx + T2, mientras que el agotamiento del in-ventario ocurre durante TD = T3 + T4. De la geometra del inventario se obtiene

Para obtener la ecuacin para K (Q, b),se necesitan IyB. Ambos se obtienen de la geome-

tra del inventario. De nuevo, stos son promedios por ciclo.

que despus de introducir los trminos para 7mx ,T2yT3 lleva a

De la geometra del inventario:

Para obtener K(Q*, b*), se sustituyen Q* y b* en AT(0, b).

Si 7i = 0, Q* y >* tendrn valores positivos finitos. Si T > OyTi es suficientemente gran-de, se puede obtener un valor negativo en el denominador del radical en Q*. En este caso no de-ben permitirse faltantes, es decir, b* = 0. Sin = 0 y n > 0, se puede demostrar que la poltica ptima es no permitir faltantes o no almacenar el artculo. En el ltimo caso, toda la demanda se va a rdenes atrasadas antes de satisfacerla. En el ambiente de manufactura esto se llama pro-ducir por pedido.

Ej emplo 6-3. EPQ con faltantes. SuperSauce produce un aderezo de ensalada. La demanda de es-te aderezo es alrededor de 400 libras por mes y SuperSauce puede fabricarlo a una tasa de 2000 libras por mes. Para iniciar la produccin, tienen que verificar y limpiar las mquinas en forma exhaustiva y cada preparacin cuesta $ 120. El costo de producir este aderezo es $3 por libra y el costo de mante-nerlo en inventario se estima en 20% anual. Si la demanda de este aderezo excede a lo disponible en inventario la orden se surte despus. La administracin piensa que los faltantes incurren en dos tipos de costo, la prdida de buena voluntad y una sancin por el faltante. La prdida de la buena voluntad se estima en $0.1 por libra que falta y la sancin se estima en $ 1.2 por libra que falta por mes. Analice este problema.

Solucin. Los parmetros del problema son

A = $120 por preparacin / = 20% anual

c = $3 por libra h = 0.2 x $3 == $0.6 por libra por ao it - $0.1 por libra t = $1.2 por libra por mes = $14.4 por libra por ao

D = 400/mes = 4800/ao

\\i = 2000/mes = 24 000/ao

El costo total anual de inventario es



= 25.76 = 26

El tamao del lote econmico es 1605 libras, el nivel mximo de rdenes atrasadas es 26 ibras y la produccin toma 4800/24 000 = 20% del tiempo. El costo total anual del inventario es

Del modelo EPQ con faltantes se obtienen dos casos especiales, EPQ sin faltantjes y EOQ con faltantes.

En este caso, se prohiben los faltantes estableciendo el costo por faltantes como infinito. Es obvio que no se planean faltantes para este C que b = 0. Las ecuaciones de costo se convierten en

haciendo b = 0 en la ecuacin de costo anterior. De la misma manera se obtiene

Q* = En este caso el valor de Q* es mayor que en el caso EOQ, porque (1 - D/\\i) < 1. Sin

embargo, el valor de 7 es menor que antes, debido a que en un periodo se combina el abastecimiento con el agotamiento. El trmino (1 - D\\i) es la tasa de abasto efectiva. Observe cue cuando \\i - oo, se obtiene el EOQ.

so, por lo


Ejemplo 6-4. Lote econmico de produccin. La compaa Rainbow Paint Manufacturing tiene una variada lnea de productos. Uno de ellos es la pintura de ltex. Rainbow puede fabricar pintura a una tasa anual de 8000 galones. El costo unitario de producir un galn de pintura es $0.25 y el costo anual de mantener el inventario es 40%. Antes de cada corrida de produccin se realiza la limpieza y verificacin de las operaciones a un costo de $25. Analice este problema.

Solucin. La informacin bsica para la produccin de la pintura de ltex es

A = $25 por preparacin i =40% anual c = $0.25 por galn

h = 0.40 x $0.25 = $0.10 por galn por ao D = 4000 galones por ao \\i = 8000 galones por ao

El costo total de inventario promedio anual est dado por

es decir, hay dos ciclos por ao. En cada uno la produccin se lleva a cabo durante Tp/T del ciclo, o la mitad del tiempo. Se sugiere al lector que dibuje la geometra del inventario para este ejemplo.

Este caso tiene una tasa infinita de reabastecimiento en la que se permiten faltantes. Cuando \\i -> se obtiene


Ejemplo 6-5. EOQ con faltantes. Jane, entre otros productos, vende solventes. La demanda es muy estable de 500 galones al ao. El costo de colocar una orden es $50 y por cada galn Jane paga $2. El costo de mantenerlo en inventario es 20% anual. Si la demanda excede el inventario, Jane esti-ma que habr dos tipos de costos asociados con la orden atrasada. La prdida de la buena voluntad es de $0.2 por unidad faltante y un costo de "contabilidad" de $0.2 por unidad faltante por ao. Analice este problema.

Solucin. Los distintos parmetros son

A = $50 D = 500 galones /ao i

= 20% c = $2 /unidad h = ic = $0.4 unidades-ao 7t

= 0.2 por galn t = 0 . 2 por galn por ao

Como Jane permite faltantes, el costo anual promedio del inventario es

y la cantidad econmica a ordenar y el nivel mximo ptimo de faltantes sern

El costo mnimo total anual promedio es

Como Q * = 500 es igual aD, el ciclo de reorden es un ao. El porcentaje de tiempo que el inventario est agotado se puede encontrar con la razn

Se sugiere al lector que dibuje la geometra del inventario para este ejemplo.


2.1.3 Descuentos por cantidad

El modelo EOQ supone que el costo unitario es constante, independientemente de qu cantidad se compre. En realidad, los proveedores pueden inducir a sus clientes a colocar rdenes ms grandes ofrecindoles descuentos por cantidad. Si la cantidad comprada es mayor que una can-tidad especfica de "precio con descuento", el costo por unidad se reduce. Es prctica comn incluir esta poltica de descuento en las cotizaciones publicadas.

La tendencia del comprador es aprovechar esta situacin, en especial si el artculo compra-do se usa todo el tiempo. Sin embargo, la compra de grandes cantidades significa un inventario mayor, con un costo ms alto de almacenaje. Entonces, los ahorros obtenidos por la compra a un costo unitario ms bajo pueden perderse con la acumulacin de un costo de inventario ma-yor. De nuevo se observa la necesidad de balancear costos opuestos. Debe comprarse ms pa-ra aprovechar los descuentos o debe comprarse menos para mantener un inventario bajo, obte-niendo un menor costo de mantener el inventario? Este balance se obtiene modificando el modelo EOQ bsico.

Es comn encontrar dos tipos de planes de descuento. El descuento en todas las unidades aplica el descuento en el precio a todos los artculos, desde el primero, si la cantidad excede el corte del descuento. El otro tipo aplica el descuento slo al precio de las unidades que exceden la cantidad del corte, que es el plan de descuento incremental. Se introduce la notacin para los descuentos por cantidad. A menos que se establezca otra cosa, la notacin es la misma que para EOQ. Sea

m = nmero de cortes de precios q = lmite superior del y-simo intervalo de corte de precio Cj = costo de una unidad en el y-simo intervalo [^ _,, qj] de corte de precio Qj = cantidad EOQ, calculada usando c Qj = la mejor cantidad a ordenar en el intervalo j Q* = cantidad ptima a ordenar para todos los precios Kj (Q) = costo de Q unidades en el intervalo j Kj (Qj) = costo de EOQ unidades en el intervalo j K (QJ) = costo mnimo en el intervalo j K* (Q*) = costo mnimo para todos los precios Cj (Q) = costo de compra de Qunidades en el intervalo j

Por definicin, q0 = Oy qm+, = oo, y lgicamente, c} > cj+v Para el plan de descuento en todas las unidades, el precio de compra de Q unidades es


Ejemplo 6-6. Descuentos por cantidad. Coldpoint es un fabricante de electrodomsticos. La compaa compra cierta componente para sus productos. Southern Electronics y Electro Tech son dos compaas que producen esta componente, y sus productos y servicios son iguales, de manera que comprarn la componente con base slo en el costo. Ambas compaas ofrecen descuentos por cantidad segn el tamao de la orden. No obstante, estas dos empresas tienen diferentes planes de precios. En Southern Electronics, si la cantidad ordenada es menor que 500 (^,) unidades, el precio es $0.60 por unidad; si la cantidad es 500 o ms, pero menos de 1000 (q2), el precio unitario es $0.58; cualquier cantidad mayor o igual a 1000 unidades tiene un precio unitario de $0.56. ElcctroTech ofrece el mismo rango de precios y cantidades; sin embargo, la tasa de descuento se aplica slo a la cantidad ordenada en exceso. Es decir, si la cantidad ordenada es 500 unidades, las primeras 499 cuestan $0.60 y la que sigue cuesta $0.58. Si se ordenan 1000 unidades, las primeras 499 cuestan $0.60 y las siguientes 500 [500,999] cuestan $0.58. Cualquier cantidad mayor o igual a 1000 cuesta $0.56. La tabla 6-1 describe los dos planes de precios.

Cantidad (Q) Southern Electronics ElectroTech

0 < Q < 500 0.600 0.60 500 < 0 < 1000 0.580 0.6 x 500 + 0.58(0 - 500)

1000 < Q < oo 0.560 0.6 x 500 + 0.58 x 500 + 0.56(0 - 1000)

La descripcin grfica de los dos planes se muestra en las figuras 6-8 y 6-9. El coste promedio por unidad, (Cj(Q)/Q), es igual a c en el plan de descuento en todas las unidades y es mayor que c, en el plan de descuentos incremntales (vea la tabla 6-2).

Como antes, el objetivo es encontrar la cantidad Q que mi- nimice el costo total anual promedio. Sea

Descuento en todas las unidades

Descuento incremental


TABLA 6-2 Costo unitario promedio.

Southern Electronic


FIGURA 6-10 Curvas de costo para descuento en todas las unidades

El siguiente ejemplo ilustra este procedimiento.

Ejemplo 6-7- Descuento en todas las unidades. Continuamos con el ejemplo de Coldpoint. La compaa estima que el costo de colocar una orden es $20 y que la demanda anual uniforrr e para esta


subcomponente es 800 unidades. El costo de mantener el inventario es 20% anual. Se desea encon-trar la mejor poltica de compra si la subcomponente se ordena a Southern Electronics.

Solucin. Se observa que los parmetros bsicos de este problema son:

= 520

Paso 2: ^(1000) < K* (>*),por lo que Q * = lOOOy K* (1000) = 520. j = 3 - 1 = 2y se va al paso 1.

Paso 1: Se calcula Q2 con Cj = 0.58:

Como 500 < 525 < 1000, sta es una cantidad factible a ordenar al precio dado; se va al paso 3.

Paso 3: Se calcula

Como 525 > 520, la cantidad econmica a ordenar es 1000 unidades y el costo anual promedio del inventario es $520 a un precio unitario de $0.56. En la figura 6-11 se comparan las tres curvas de costo.

Descuento incremental. Ahora se exminar la opcin de descuento incremental de Electro-Tech presentada en el ejemplo 6-6. Como se muestra en la tabla 6-2, se puede evaluar el costo unitario promedio para cada regin de corte de precios. El costo unitario que se usa para eva-luar el costo total anual promedio es el costo unitario en el intervalo j, es decir, C} (Q)/Q.

Kj(Q) es vlida slo entre los puntos de corte de precios [qj_l, qj]. Se puede demostrar que el punto del costo mnimo nunca ocurrir en el punto de corte de precios (Hadley y Whitin, 1963). Ms an, si la Q ptima para un intervalo est en el intervalo, no hay garanta de que sea la mejor para todos los valores; se debe calcular la mejor Q para cada corte de precios, calcular el costo para cualquier Q que cae dentro de su propia regin y elegir el costo menor. Derivando Kj (Q) e igualando el resultado a cero, la Q ptima para el intervalo j es

donde C(qj_l) es el costo total en el punto de corte j - 1.

El algoritmo para el problema de descuento incremental es

Paso 0: Se hace Q* = 0, K* (>*) = y j = 1.

Paso 1: Se calcula Qj; si qj_l < Q} < q, se calcula Kj {Q}). Si Qj no est en el

intervalo, se establece K; (Qj) = .

FIGURA 6-11


Este procedimiento se ilustra con el ejemplo 6-8.

Ejemplo 6.8. Descuento incremental. Si Coldpoint considera comprar a ElectroTech la compo-nente, cul es la mejor poltica de compra?

Solucin. Recuerde que A = $20, D = 800 unidades/afio e i = 0.20 anual. En la tabla 6-3 se pre-sentan otros datos relevantes y algunos clculos. Se sigue el procedimiento del descuento incremental para encontrar Q *.

Por lo tanto, si Coldpoint coloca un orden con ElectroTech, cada orden debe ser por 643 unida-des y el costo anual promedio es $539.62. Este costo es ms alto comparado con las 1000 unidades y el costo anual promedio de $520 por la compra a Southern Electronics. Es evidente que debe prefe-rirse Southern Electronics, no slo por la ventaja en el costo, sino tambin por la conveniencia de ha-cer menos pedidos al afio como consecuencia de la cantidad a ordenar mayor. En la figura 6-12 se muestran las tres curvas de costo para el plan de descuento incremental. Comprelas con las de la fi-gura 6-11 para el plan de descuento en todas las unidades.

2.1.4 Modelos de artculos mltiples con restriccin de recursos

El modelo clsico del lote econmico (EOQ) es para un solo artculo. Qu pasa cuaindo se tie-ne ms de uno?

La respuesta inmediata y trivial es calcular el EOQ para cada artculo. Para dec irlo de otra manera, el sistema con mltiples artculos se maneja como mltiples sistemas de un artculo. Este procedimiento es adecuado cuando no hay interaccin entre los artculos, como compartir recursos comunes. Los recursos comunes pueden incluir, por ejemplo, presupuesto] capacidad de almacenaje o ambos. Entonces el procedimiento del EOQ ya no es adecuado, ya que estos recursos comunes son limitados y el resultado puede violar la restriccin de recurslos. Por esa razn se necesita una modificacin del modelo EOQ clsico.

Se formula el problema como un modelo de optimizacin restringido y se resuelve usando multiplicadores de Lagrange. En muchas aplicaciones existen slo una o dos restricciones. Pa ra introducir este enfoque se considerar el caso de una restriccin, digamos presupuesto. Se requiere que en cualquier punto en el tiempo, la inversin total en inventario no exceda C dla res, es decir,

donde n es el nmero de artculos. No se tomar en cuenta la posibilidad de que las rdenes es-tn desfasadas y que los niveles mximos de inventario de todos los artculos no ocurran al mis-mo tiempo.

El objetivo todava es minimizar el costo total anual promedio,

donde X es el multiplicador de Lagrange. El multiplicador acta como una penalizacin para re-

ducir cada Qf para minimizar el costo al mismo tiempo que satisfacer la restriccin. El valor mnimo de K se encuentra tomando derivadas parciales de la funcin K{Q, X). Los pasos re-queridos para encontrar la solucin ptima son:

1. Se resuelve el problema no restringido. Si se satisface la restriccin, sta es la solucin p tima.

2. Si no ocurre as, se establece la ecuacin para K(Q, X). 3. Se obtiene Qf resolviendo las (n + 1) ecuaciones dadas por

Se ilustra este procedimiento con el siguiente ejemplo.

Ejemplo 6-9. Artculos mltiples, una restriccin. HiEnd, una pequea compaa de computa-doras, compra dos tipos de lectoras de discos. Debido al bajo volumen que maneja la compaa, el gerente limita la inversin en inventario a un mximo de $5000. El precio de estas dos lectoras es de $50 y $80, respectivamente, y su demanda anual es 250 y 484 unidades, respectivamente. La compa-a tiene un gasto de $50 para procesar la orden de cualquiera de estas lectoras, y el gerente usa un 20% anual para las evaluaciones financieras. Solucin. Se analiza el problema estableciendo los parmetros bsicos:


La ecuacin de Lagrange considera tanto el objetivo como la restriccin y es


Usando estos dos valores se calcula la inversin en inventario:

(50)(50) + (80)(55) = 6900 > 5000 es decir, se viola la restriccin de presupuesto, por lo tanto, se aplica el mtodo de multiplicadores de Lagrange.

Paso 2: La ecuacin de multiplicadores de Lagrange es

Artculos mltiples con restriccin de recursos: extensin. Se mencion que las dos res-tricciones ms comunes en los sistemas de inventarios son espacio y presupuesto. Se extiende el anlisis anterior a un caso de dos restricciones. La formulacin del problema general es

/, es el espacio requerido para una unidad del artculo tipo i y Fes el espacio total disponible.

Este problema es ms complicado, una o ambas restricciones pueden ser inactivas. Por lo tanto, el procedimiento de una sola restriccin cambia como sigue:

1. Se resuelve el problema no restringido. Si ambas restricciones se satisfacen, esta solucin es la ptima.

2. De otra manera se incluye una de las restricciones, digamos la de presupuesto, y se resuel ve el problema de una restriccin para encontrar Qx. Si la restriccin de espacio se satisfa ce, esta solucin es la ptima.

3. De otra manera se repite el proceso slo con la restriccin de espacio. 4. Si las dos soluciones con una restriccin no llevan a la solucin ptima, entonces ambas

restricciones son activas, y debe resolverse la ecuacin de Lagrange con ambas restric ciones:


Este procedimiento se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 6-10. Artculos mltiples: dos restricciones. HiEnd no tiene mucho espacio para alma-cenar las lectoras de discos. Suponga que cada tipo de lectora requiere 10 y 8 unidades de espacio, respectivamente, y cuenta con un total de 500 unidades. Satisfacen los resultados previos la restric-cin de espacio? Resuelva este problema como se necesite.

Solucin. Recuerde el procedimiento en el ejemplo 6-9. Paso 1: Como del ejemplo 6-9 se sabe que la solucin no restringida viola la restriccin de

presupuesto, el paso 2 se puede omitir. Paso 2: Se selecciona una de las restricciones y se resuelve como un problema de una restriccin.

En el ejemplo 6-9 se resolvi el problema con la restriccin de presupuesto. Por lo t anto, se selecciona el presupuesto como la nica restriccin, y se tiene la solucin Q[- 36 y Q'2 = 40.

Paso 3: Se verifica la solucin de la restriccin de presupuesto para ver si se satisface la restriccin de espacio:

(10)(36) + (8)(40) = 680 > 500 Se viola la restriccin de espacio.

Paso 4: Se resuelve el problema de multiplicadores de Lagrange con la restriccin de espacio nada ms.


No viola la restriccin de presupuesto. Las cantidades ptimas a ordenar bajo las restricciones de presupuesto y espacio son Q* = 26, Q% = 33.

Compare estos resultados con los del ejemplo 6-9.

2.1.5 rdenes para mltiples artculos1

Una tendencia comn en la industria actual es reducir el nmero de proveedores y hacer que ca-da uno entregue un nmero ms grande de artculos, tanto en trminos de cantidad como de va-riedad (captulo 2). La lgica es que, por lo general, existe un contrato a largo plazo para todos los artculos que incurren en cierto costo inicial, y despus las entregas se hacen de acuerdo con las rdenes emitidas para cada artculo (incurriendo en un costo de ordenar individual). Se ana-lizar aqu este tipo de ambiente, es decir, un sistema de artculos mltiples con un solo provee-dor. Al hacerlo, se seguir de cerca el modelo presentado por Goyal (1974).

Suponga que se compran n artculos a un solo vendedor. El costo de ordenar tiene dos componentes, un costo principal comn de ordenar A en el que se incurre siempre que se coloca una orden, y un costo de ordenar menor a si se incluye el artculo i en la orden. Se supone que la demanda del artculo i es constante con una tasa de D unidades por periodo (ao). La no-tacin adicional es

N = nmero de rdenes de compra en el periodo de planeacin (un ao) N = nmero de reabastecimiento del artculo i en el periodo de planeacin (un ao) h = costo total anual de mantener el artculo simo en inventario Q = cantidad a ordenar del artculo

K(N) = costo variable total anual promedio para todos los artculos (costos de ordenar y mantener el inventario)

Se supone que se tiene el siguiente ambiente de decisiones: El tiempo de entrega es constante.

No se permiten faltantes (esto es, costo de faltantes infinito). Existe una tasa de reabastecimiento infinita.

Existe un horizonte de tiempo infinito. Las rdenes de compra se colocan a intervalos constantes Un artculo se reabastece en intervalos iguales.

Siguiendo el razonamiento de la formulacin del EOQ, K(N) se puede expresar como


y ste es el nmero de veces que se ordenan artculos tipo i. El recproco de k (esto es, N N) se define como la frecuencia relativa con que se ordena el artculo i. As, si se conoce la fre-cuencia relativa de un artculo, se puede determinar su valor k. Se establece N = N/k, y se llega a

Para n artculos, es posible especificar el valor de k para cada uno mediante una (fombina-cia{klk2t...tkH}.

Suponga que se da una combinacin especfica de {A:,}para i = 1,2,. . . , . Entonjces, para obtener el ptimo se toman las primeras ecuaciones en diferencias de K(N) y se tieiie

Costo anual promedio mnimo como funcin de {k}

Nmero econmico de rd;nes de compra como funcin d:

Cantidad econmica a ordenar del artculo i como funcin de

Los valores anteriores son ptimos para un conjunto dado de {kv k 2 i . . . , k l y . . . \ , k n } . Su-ponga que se puede considerar cambiar de k, a k con el fin de reducir el costo varis ble anual promedio mnimo dado por K* (k). El costo anual promedio mnimo con el valor A: cambiado para el artculo / est dado por


5. La poltica ptima es la siguiente:

a) Nmero ptimo de rdenes de compra por ao:

Ejemplo 6-11. Pedidos de artculos mltiples. Coldpoint decidi comprar todas sus conponen-tes electrnicas a ElectroTech. Negocian un contrato una vez al aflo y el tiempo y papeleo involucra-dos les cuesta $43.50. El valor anual de D, h y a se presentan en la tabla 6-5.

Solucin. A = $43.50. Los valores de H = (hD)la tambin se muestran en la tabla 6-5. Las pasos 2,3 y 4 del algoritmo se muestran en la tabla 6-6, que se puede generar usando una hoja de clculo.

La tasa de cambio para los conjuntos sucesivos de clculos se puede juzgar segn los si guientes resultados.

Costo total anual promedio basdo en {km} = 11 920 Costo total anual promedio basado en {kn} = 11 454

TABLA 6-5 Datos para el ejemplo 6-11

1 1500 2 9 333 2 2 500 3 6 1000 3 4 000 1.25 5 1000 4 10 000 1 1 1000 5 2 500 3 7 1 071 6 4 250 2 5 1 700 7 10 000 1.45 8 1 875 8 12 500 1.6 4.5 4 444 9 20 000 2 7 5 714 10 15 000 2 5 6 000 11 50 000 1 8 6 250 12 9 000 5 6 7 500 13 8 000 8 8 8 000 14 35 000 2 8 8 750 15 10 000 10 1

0 10 000

Costo total anual promedio basado en {ka} = 11 450 Costo total anual promedio basado en {k0} = 11450

{*} = {tf} = {4,2,2,2,2,2,2, 1, 1,1,1, 1, 1, 1, 1} Del

paso 5a) del algoritmo se obtiene

Ai* = 46.6 = 47 El paso 5b) conduce al siguiente nmero ptimo de reabastecimientos por artculo (nmeros re-

dondeados): (12, 23, 23, 23, 23, 23, 23,47, 47, 47,47, 47, 47, 47, 47)

El paso 5c) lleva a la cantidad ptima a ordenar por artculo (nmeros redondeados)

(129, 86, 172,429, 107, 182, 429, 268,429, 321, 1073, 193, 172, 751, 215) Los valores de Q* son menores que los obtenidos usando la frmula del EQO para cada artcu-

lo individual.

Una extensin de este anlisis para el caso en el que se admiten faltantes se puede encon-trar en Kumar y Arora (1990).



SECCIN 2.1 EJERCICIOS

6.15. Una tienda con venta directa de fbrica vende 26 "portaespejos" por mes. El costo de ordenar es $ 1.00 por orden, y el costo de mantener el inventario es $0.3 por unidad por mes a) Suponiendo que no se permiten faltantes, evale la cantidad a ordenar (EOQ). b) Dibuje la geometra del inventario para este caso.

6.16. Harriet es la gerente de compras para la compaa High-Tech. Ahora se enfrenta al siguiente dile ma. Su operacin utiliza 10 000 unidades al ao de conectores para cable de cobre. Elija sabe que se puede fabricar internamente a una tasa de 100 000 unidades al ao a un costo de $40 por unidad. Sin embargo, hay un costo de $5000 asociado a cada corrida de produccin y el cosijo anual de mantener inventario es i = 20%.

Harriet tiene conciencia de los costos y ha decidido obtener una cotizacin de dos proveedo-res externos. La Electronic Hardware Company ofrece un precio de $44 por unidad, siempre que enve un mnimo de 1000 unidades; ellos pueden proporcionar hasta 6000 unidades al ao. Metsamp Company fij el precio en $43.50 por unidad, con un costo fijo de $200 por envo, sin importar la cantidad; ellos pueden proporcionar hasta 4000 unidades al ao. Cul es la poltica ptima que debe usar Harriet, suponiendo que no se permiten faltantes?

6.17. Encuentre la tasa de rotacin ptima ((TR)*) para los siguientes casos: a) El modelo EOQ, sin faltantes b) El modelo EPQ, con faltantes {Sugerencia: Considere el invetario promedio par el caso de

faltantes). 6.18. Considere el caso EPQ con faltantes. Suponga que en lugar de ordenar una cantidad Q *, se ordena

una cantidad $Q *, donde P > 0. Sea = K(Q)-K(Q*)

K(Q*) Desarrolle la ecuacin para 8.

Muestre una grfica de 5 = /(P) y haga observaciones sobre la sensibilidad del sistema de inventario respecto a cantidades a ordenar no ptimas. Puede dibujar una interpretacin prc tica?

6.19. Considere un sistema de inventario con tasa de reabastecimiento infinita. Los faltantos no se sur ten atrasados, sino que se pierden. (ste es el caso de "ventas perdidas".) Suponga qi e la prdida por unidad es n.

Desarrolle el modelo para este caso y muestre los valores ptimos. Pruebe que nunca es pti mo almacenar el artculo y permitir que se pierdan las ventas. (Nota: El costo por faltantes es pro porcional al nmero de unidades que faltan, y no al tiempo transcurrido.)

6.20. La Agrichem Company fabrica un compuesto qumico lquido que se usa en la industria de fertili zantes. El producto es perecedero en cuanto a que se deteriora almacenado.

Con base en registros histricos, la empresa desarroll un modelo de regresin no lineal y en-contr que el costo de almacenar Q galones durante un tiempo t es cQt'" dlares, con ^constante y m > 1. El compuesto se produce en lotes de Qo galones. El costo de preparacin es A dlares. a) Encuentre Q *, suponiendo que no se permiten faltantes y tasa de reabastecimiejnto infinita. b) Evale el costo anual K(Q *). c) Analice el resultado para m = 1 y m > oo.

6.21. La compaa Bike tiene una lnea especial de bicicletas de montaa, para la que se nejcesitan 5000 manubrios al ao. Se pueden comprar por $30 por unidad o producir internamente). El costo de produccin es $20 por unidad, y la tasa de produccin es 20 000 unidades al ao. El (costo de pre paracin es $ 110, mientras que emitir una orden de compra cuesta $25. El costo de mjantener el in ventario es 25% anual.


a) Debe la compaa Bike hacer o comprar el artculo, suponiendo que no se permiten fal tantes?

b) Suponga que se permiten faltantes, con TI = $0.15 por unidad, y n = $7 por unidad por ao. Qu debe hacer Bike ahora?

6.22. Cierto artculo tiene una demanda diaria de 1000 unidades. Se compra por lotes con un costo uni tario de $5 y un costo de ordenar de $80 por orden. El costo anual de mantener el inventario es 30% y los faltantes se satisfacen atrasados con un costo de $2 por unidad por mes. Las rdenes de compra estn programadas de manera que cada 30 das se recibe un lote. Encuentre Q * y b *.

6.23. Toys International tiene varias plantas de fabricacin y ensamble. Una de las plantas de fabrica cin tiene que proveer 640 llantas de juguetes al da a la planta de ensamble. No se permiten fal tantes para asegurar la continuidad del proceso de ensamble. La planta tiene una capacidad de 4200 llantas al da. El costo de preparacin de la produccin es $400 y el costo de almacenaje es $0.30 por unidad por da, mientras que el costo de produccin es $92 por llanta.

a) Evale el costo mnimo promedio diario. b) Eva\eT,Tp,TD,I^. c) Cul es el costo mnimo promedio diario si el costo de preparacin es $4000? Compare.

6.24. Considere el caso de una tasa de reabastecimiento finita, en la cual no se permiten faltantes (figura 6-7). Durante TD, la mquina est ociosa. Suponga que el costo del tiempo ocioso es cd dlares por unidad de tiempo (ya que la mquina se puede usar para fabricar otros productos). Desarrolle una ecuacin para Q * que lleve al costo total mnimo promedio y que incluye el costo del tiempo ocioso.

6.25. Utilice los resultados del problema 6.24 y evale la razn

S c Puede obtener una conclusin sobre el mundo real?

6.26. Lou es el gerente de compras de un fabricante de zapatos que tiene una lnea de botas de escalar fuertes. l compra las agujetas para las botas a distintos proveedores. La demanda es 30 000 pares de agujetas al ao, y no se permiten faltantes. Su principal proveedor tiene el siguiente plan de descuento en todas las unidades:

Cantidad Precio unitario ($) Q < 1000 1.00

1000


6.28. Skatz Company es uno de los fabricantes importantes de patines de ruedas. En su plarita slo en samblan y todas las componentes las compran de proveedores externos. No estn contentos con el proveedor actual de ruedas y decidieron encontrar una nueva fuente para su mejor modelo. La de manda es 400 000 ruedas al ao y han recibido diferentes planes de precios de otros proveedores.

El proveedor A ofrece una tasa pareja de $3 por rueda sin importar la cantidad. El proveedor B tiene el siguiente plan de descuento en todas las unidades: $3.25 por rueda si

la cantidad ordenada es menor que 5000, $3.00 por rueda si la cantidad ordenada es mayor que 5000 y menor que 15 000, y $2.60 por rueda si ordenan ms de 15 000.

El proveedor C ofrece un precio de $3.25 si la orden es menor que 10 000 y $2.8 3 por rueda por cada unidad comprada adicional a las 10 000, usando un descuento incremental.

Los tres proveedores tienen la misma calidad de ruedas. El costo de la orden es $ 150 y el costo de mantener el inventario se toma como 30% anual. a) Evale la cantidad ptima a ordenar. b) Haga una grfica de sus resultados.

6.29. La poltica administrativa de cierta compaa es nunca quedarse sin artculos. El departamento de ventas hizo un anlisis sobre un artculo en particular para evaluar esta poltica. La denjianda es determinstica y constante a travs del tiempo a 625 unidades por ao. El costo unitario del artculo es $50, independientemente de la cantidad ordenada. El costo de colocar una orden efs $5.00 y el costo anual de mantener el inventario es i = 0.20. Las rdenes atrasadas tienen un cojto de $0.20 por unidad por semana. Calcule la poltica ptima de operacin bajo la suposicin ele que no se permiten faltantes y, tambin, suponiendo que hay faltantes al costo indicado. Cul es la prdida anual en dlares causada por la poltica de que no haya faltantes, si las estimaciones del departa mento de ventas son correctas para los parmetros pertinentes?

6.30. Una compaa produce dos artculos, A y B, que son perecederos y se deterioran cuando se alma cenan. Los datos concernientes son

A B Demanda/ao 2000 250 Costo por artculo 50 60 Tasa de costo anual de almacenaje 0.20 0.10 Costo de preparacin 100 480 Costo por faltantes/unidad/aflo 2

La administracin ha establecido la poltica de que la rotacin del inventario total debe ser mayor o igual que 19 (recuerde que la rotacin de inventario se define como la demanda anual de todos los artculos expresada en dlares, dividida entre la inversin total promedio en; inventario).

Determine la poltica ptima de inventario y el costo de la poltica de rotacin jde inventario para la administracin.

6.31. Una compaa constructora requiere 600 Ib anuales de varilla de soldadura de una ajleacin espe-cial. Cada vez que colocan una orden incurren en un costo de $8.00. El precio de coijipra depende de la cantidad ordenada y est dado por

Cantidad Precio Q < 500 $0.30

500 < Q < 1000 0.29 Q > 1000 0.28


Este es un descuento en todas las unidades. Si la tasa de mantener el inventario por dlar por ao es 0.20, cuntas unidades deben ordenarse cada vez que se coloca una orden?

6.32. En el modelo bsico EOQ se supone una tasa de demanda constante D. Suponga que se encuentra la cantidad ptima a ordenar y que se sigue esta poltica, pero en realidad la demanda es D' (con)' > D). De qu manera afectar esto al nmero de rdenes al ao, al inventario prome dio anual y al nmero de faltantes por ao?

6.33. Una compaa ordena una componente a un proveedor. La demanda anual es 6000 componentes y ordenan 1000 de ellas cada 365/60 das. Se permiten faltantes.

a) Suponiendo que la compaa acta de manera ptima, qu puede decir sobre los valores re lativos de los costos de inventario y de ordenar?

b) Si el gerente de control de la produccin le ha informado que cuesta $50 colocar una orden y cada componente cuesta $180, qu comentario hara usted sobre el costo de mantener el in ventario?

c) Qu tamao de lote le recomendara que ordenara?

6.34. Una compaa ordena dos artculos. El artculo 1 cuesta $10 y tiene una demanda anual de 100 unidades y un costo de ordenar de $40. El artculo 2 cuesta $40 y tiene una demanda anual de 180 y costos de ordenar de $20. La tasa por mantener un inventario es 20% al ao. El espacio de alma cn para los dos artculos est limitado y, como son del mismo tamao, no puede haber ms de 40 unidades en total en inventario en ningn momento. Adems, el valor total del inventario debe es tar dentro de un presupuesto de $400 en todo momento. Qu cantidad a ordenar recomendara?

6.35. Una frutera almacena tres productos manzanas, melones y sandas. Las demandas (en tem porada), costos unitarios, costos de ordenar y tamaos de los tres artculos son: manzanas, 2500, 0.50,25.00,1; melones, 1000,1.00,20.00,3; sandas, 600,3.50,30.00,10. Suponga que la tasa de costo de inventario es 10% por temporada. Los lotes econmicos para los tres artculos son 1581, 632 y 321, respectivamente. Sin embargo, la frutera tiene slo 6000 unidades de espacio, donde una manzana es igual a una unidad de espacio. Usando un multiplicador de Lagrange, un estu diante determina los tamaos de lote para el problema restringido en 1392, 536 y 300, con X - 0.37. Un carpintero local puede construir 500 unidades de espacio adicionales por $160.00. Debe la frutera contratar el espacio adicional?

6.36. Considere el modelo determinstico del EOQ cuando se permiten rdenes atrasadas. Como es nor mal, sea Q la demanda, A el costo de ordenar y h el costo de almacenar por unidad por ao. Supon ga que el costo de una orden atrasada por unidad por ao es = ah, donde a es una constante.

a) Determine Q*, el tamao del lote econmico. b) Determine b*, la cantidad ptima de faltantes. c) Grafque Q*/b* contra a.

6.37. La Bench Company es un pequeo fabricante de bancos de madera. Su lnea incluye cuatro tipos de bancos de diferente tamao, material, terminado y color. Los datos relevantes de produccin son:

Tipo de banco 1 2 3 4 Demanda anual (unidades) Costo de preparacin ($) Costo unitario ($) Espacio por unidad (ft2)

1000 6 10 5

5000 10 3 1

10 000 10 5 1

8000 8 2 1.5

Bench tiene un pequeo almacn para bancos terminados con un rea de 1500 ft2. Cada tipo de banco tiene un lugar fijo. Suponiendo que i = 20% anual, calcule las cantidades ptimas que deben almacenarse.


Bench tiene una oferta del doble de espacio de almacn que dar como resultadcj un incre mento de $200 en los gastos anuales. Debe Bench aceptar esta oferta?

6.38. Suponga que Bench, adems de un espacio limitado en el almacn, tambin tiene un limite en el presupuesto de $3800 para inversin en inventario. Calcule las cantidades ptimas que deben al macenarse. Compare con los resultados del problema 6.37.

6.39. Para el caso de descuento incremental, muestre que el punto de costo mnimo nunca ocujrrir en un punto de corte de precios. (Sugerencia: Evale la derivada de K(Q) y K;, +, {Q) en q}, +, jy demues tre que la derivada de Kj+l(Q) es menor que la derivada de K.(Q).

2.2 Modelos de tamao de lote dinmico (TLD)

Los modelos de tamao de lote dinmico surgen cuando la demanda es irregular, es decir, cuando no es uniforme durante el horizonte de planeacin. El anlisis de los modelos de "de-manda irregular" se organiza en cuatro grupos de tcnicas de solucin como sigue:

Reglas simples son reglas de decisin para la cantidad econmica a ordenar que no estn basadas directamente en la "optimizacin" de la funcin de costo, sino que tienen otra: i caracte-rsticas. Se trata de mtodos muy sencillos que son significativos por su amplio uso, en especial en los sistemas de MRP (vea el captulo 7).

Reglas heursticas son aquellas que estn dirigidas al logro de una solucin de bajo costo que no necesariamente es ptima.

Wagner-Whitin es un enfoque de optimizacin de la demanda irregular. Regla de Peterson-Silver es una prueba para determinar cundo la demanda es ijregular.

2.2.1 Reglas simples Existen tres reglas simples que son comunes: demanda de periodo fijo, cantidad a ordenar en el periodo y lote por lote (con seudnimo de "L x L"). Demanda de periodo fijo Este enfo


Cantidad a ordenar para el periodo (COP). sta es una modificacin de la regla anterior, en la que se usa la "estructura" para seleccionar el periodo fijo. El tamao de lote promedio que se busca (por el mtodo que sea) se divide entre la demanda promedio; se obtiene el periodo fi-jo que debe usarse. Si la cantidad a ordenar deseada es 60, entonces el periodo fijo para b) es cinco semanas, ya que la demanda promedio semanal es 12.

Lote por lote (Z, x /,). ste es un caso especial de la regla de periodo fijo; la cantidad a ordenar es siempre la demanda para un periodo. En el ejemplo 6-12b) las cantidades pedidas sern 10, 15,11, etctera. Esta regla reduce el nivel de inventario y, por ende, el costo de mantenerlo; pe-ro el resultado es un mayor costo de ordenar por colocar ms rdenes. Casi siempre se usa para artculos muy caros (en trminos de uso anual del dlar) y para artculos que tienen demanda irregular.

2.2.2 Mtodos heursticos

Un mtodo heurstico es un enfoque que aprovecha la estructura del problema. Mediante el uso de un conjunto de reglas "racionales", obtiene una solucin "buena"; es decir, cercana a la pti-ma o, en ocasiones, la ptima. Los mtodos heursticos se usan cuando no es posible o no es computacionalmente factible obtener el ptimo. Se presentan tres enfoques heursticos comu-nes: Silver-Meal, costo unitario mnimo y balanceo de parte del periodo, tambin conocido co-mo costo total mnimo. El denominador comn es que todos comparten el objetivo del EOQ de minimizar la suma de los costos de preparacin e inventario, pero cada uno emplea un mtodo distinto. Adems, se supone que A y h son constantes para todo el horizonte de planeacin.

Mtodo Silver-Meal (SM) (Silver and Meal, 1973). El principio de esta heurstica es que con-sidera ordenar para varios periodos futuros, digamos m. Intenta lograr el costo promedio mni-mo por periodo para el lapso de mperiodos. El costo considerado es el costo variable, esto es, el costo de ordenar (preparar) ms el costo de mantener el inventario. La demanda futura para los siguientes n periodos est dada y es

( D l t D 2 t . . . , D . )

Sea K(m) el costo variable promedio por periodo si la orden cubre m periodos. Se supone que el costo de mantener inventario ocurre al final del periodo y que la cantidad necesaria para el pe-riodo se usa al principio del mismo. Si se ordena D, para cumplir con la demanda en el periodo 1, se obtiene

K(1) = A Si se ordena D1 + D2 en el periodo 1 para cumplir con la demanda de los periodos 1 y 2, se ob-tiene

K(2)= (A+hD2) donde h es el costo de almacenar una unidad en inventario durante un periodo. Como se alma-cenan D2 unidades un periodo ms, esa cantidad se multiplica por h y para obtener el costo pro-medio para los dos periodos, se divide entre 2. De manera similar

K(3) = (A +hD2 + 2hD3)


y, en general,

Se calcula K(m), m = 1,2,...,m, y se detiene cuando

K(m + 1) > K(m)

es decir, el periodo en el que el costo promedio por periodo comienza a crecer. En el periodo 1 se ordena una cantidad que cumpla con la demanda de los siguientes m periodos; efeto es

Qx = A + D 2 + - - + Dm

en general, Q. es la cantidad ordenada en el periodo iy cubre m periodos futuros. Si njo se emite la orden en el periodo i, entonces Qx es cero. El proceso se repite en el periodo (m + |l)y conti-na durante todo el horizonte de planeacin.

Ejemplo 6-13. Mtodo de Silver-Meal. James, el gerente de una tienda local de coniputadoras, estima que la demanda de discos de 3.5" para los prximos cinco meses ser 100,100,5 3,50 y 210 cajas de 10 discos. Como la demanda es irregular, James aplica el mtodo de Silver-Mea para orde-nar la cantidad correcta. James tiene un costo de $50 por colocar la orden independienter lente de su tamao, y estima que almacenar una caja durante un mes le costar $0.50. Qu le puec e sugerir?

Solucin. Los datos bsicos para este problema son A = $50 h = $0.50 por caja por mes

La demanda, D1, para los siguientes cinco meses es

Mes 1 2 3 4 5 Demanda 100 100 50 50 210

Se aplica la frmula de Silver-Meal para calcular K(m): K(m) = 1/m (A + hD2 + 2hD3 + 3hDA + + (m-1)hDm)

1. m = 1 K(\) = 50

2. m = 2 K(2) = (1/2) (50+(0.5)(l 00))

= 50 < 50 = K(\ ) , continuar 3. m = 3

K(3) = (l/3)(50+(0.5)(100)+(2)(0.5)(50)) = 50 < 50 = K(2), continuar

4. m = 4 K(4) = (l/4)(50+(0.5)(l 00)+(2)(0.5)(50)

+ (3)(0.5)(50)) = 56.25 > KQ) = 50, DETENERSE


La primera cantidad a ordenar es Qx = 100+ 100+ 50 = 250 Se

contina con el procedimiento comenzando en el cuarto mes.

1. m = 1; comienza en el mes 4. #(1) = 50

2. m = 2 K(2) = (l/2)(50+(0.5)(210))

= 72.50 > K(1), DETENERSE La cantidad de la segunda orden es Q4 = 50, y se contina con el procedimiento comenzando en el quinto mes.

1. m = 1; comienza en el mes 5. K(l) = 50

Como no hay informacin adicional, el procedimiento se detiene con Q5 = 210. De acuerdo con las demandas de los cinco meses, se ordenar tres veces, al

principio del primero, cuarto y quinto meses. Las cantidades a ordenar son Q = 25, Q4 = 50 y Q5 = 210. Sin embargo, cuando se disponga de cada nuevo pronstico para un periodo posterior, las cantidades a partir del mes 5 se deben volver a calcular.

Coso unitario mnimo (CUM). Este procedimiento es similar al heurstico de Silver-Meal. La diferencia radica en que la decisin se basa en el costo variable promedio por unidad en lugar de por periodo. Sea

K' (m) = costo variable promedio por unidad si la orden cubre m periodos

Siguiendo el mismo razonamiento que en el caso de Silver-Meals,

Igual que antes, la regla de detencin es

K'(m+l) > K(m)

y Qx = Dl+D2+"- + Dm

De nuevo, el proceso se repite a partir del periodo (m + 1).

Como no se dispone de ms informacin, el procedimiento se detiene. Se ordenar dos veces, una en el primer mes y otra en el tercero. Las cantidades a ordenar son 200 y 310, respectivamente.

Balanceo de periodo fragmentado (BPF). Este mtodo intenta minimizar la suma del costo variable para todos los lotes. Recuerde del anlisis del EOQ que si la demanda es un forme, el costo de ordenar (preparar) es igual al costo de almacenar. Aunque este argumento es correcto para demanda uniforme, no es cierto para demanda irregular, en la que el inventario promedio no es la mitad del tamao de lote. Sin embargo, puede proporcionar soluciones razonables para la demanda irregular.

Para obtener el costo de mantener el inventario se introduce el periodo fragmentado, defi-nido como una unidad del artculo almacenada durante un periodo. Entonces, 10 unidades en



inventario durante un periodo son iguales a 10 periodos fragmentados, lo que es igual a 5 unidades en inventario durante 2 periodos. Sea

PFm = periodo fragmentado para m periodos

As, PFX = 0 PF2 =D2 PF3 = D2+2D3 PFm =D2+2D3+-.+ (m-l)Dm

El costo de mantener el inventario es h(PFm), y se quiere seleccionar el horizonte de pedidos wque cubra, en trminos generales, el costo de ordenar A, esto es,

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