Jana Rodriguez Hertz Cálculo 3 - Facultad de Ingenieríajana/www2/calculo_3_files/clase... · 2014. 3. 23. · rotor campos conservativos el operador nabla el operador nabla el operador

rotor campos conservativos

Rotor y campos conservativos

Jana Rodriguez HertzCálculo 3

IMERL

7 de marzo de 2012


el operador nabla

el operador nabla

el operador nablael operador nabla

es

∇ =(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

)


el operador nabla

el operador nabla

el operador nablael operador nablaes

∇ =(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

)


el operador nabla

ejemplo

ejemplo

f : Ω ⊂ R3 → R diferenciable

⇒∇f =

(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z

)gradiente de f


el operador nabla

ejemplo

ejemplo

f : Ω ⊂ R3 → R diferenciable⇒

∇f =(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z

)

gradiente de f


el operador nabla

ejemplo

ejemplo

f : Ω ⊂ R3 → R diferenciable⇒

∇f =(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z

)gradiente de f


rotor

rotor de un campo

rotor de XX : Ω ⊂ R3 → R3 campo diferenciable

rotor de X

∇∧ X =

∣∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

X1 X2 X3

∣∣∣∣∣∣∣

rot X =(∂X3∂y− ∂X2

∂z,∂X1∂z− ∂X3

∂x,∂X2∂x− ∂X1

∂y

)


rotor

rotor de un campo

rotor de XX : Ω ⊂ R3 → R3 campo diferenciablerotor de X

∇∧ X =

∣∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

X1 X2 X3

∣∣∣∣∣∣∣

rot X =(∂X3∂y− ∂X2

∂z,∂X1∂z− ∂X3

∂x,∂X2∂x− ∂X1

∂y

)


rotor

rotor de un campo

rotor de XX : Ω ⊂ R3 → R3 campo diferenciablerotor de X

∇∧ X =

∣∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

X1 X2 X3

∣∣∣∣∣∣∣rot X =

(∂X3∂y− ∂X2

∂z,∂X1∂z− ∂X3

∂x,∂X2∂x− ∂X1

∂y

)


ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1X(x , y , z) = (x , xy ,1)

rot X =

∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z

x xy 1

∣∣∣∣∣∣∣

= (0,0, y)


ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1X(x , y , z) = (x , xy ,1)

rot X =

∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z

x xy 1

∣∣∣∣∣∣∣ = (0,0, y)


ejemplos

ejemplo 2

ejemplo 2X = (xy ,− sin z,1)

rot X =

∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z

xy − sin z 1

∣∣∣∣∣∣∣

= (cos z,0,−x)


ejemplos

ejemplo 2

ejemplo 2X = (xy ,− sin z,1)

rot X =

∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z

xy − sin z 1

∣∣∣∣∣∣∣ = (cos z,0,−x)


ejemplos

ejemplo 3

campo planoX = (P,Q) campo plano

rot X =

∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z

P Q 0

∣∣∣∣∣∣∣

=

(0,0,

∂Q∂x− ∂P∂y

)


ejemplos

ejemplo 3

campo planoX = (P,Q) campo plano

rot X =

∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z

P Q 0

∣∣∣∣∣∣∣ =(

0,0,∂Q∂x− ∂P∂y

)


ejemplos

el rotor y las rotaciones

el rotor y las rotaciones - aplicación - sólido rígido

v velocidad de Q


ejemplos



v velocidad de Q~ω vector velocidadangular de Q


ejemplos



v velocidad de Q~ω vector velocidadangular de Qr vector posición de Q


ejemplos



v velocidad de Q~ω vector velocidadangular de Qr vector posición de Qα = r sin θ


ejemplos



v velocidad de Q~ω vector velocidadangular de Qr vector posición de Qα = r sin θ‖v‖ = ωα

= ωr sin θ


ejemplos



v velocidad de Q~ω vector velocidadangular de Qr vector posición de Qα = r sin θ‖v‖ = ωα = ωr sin θ


ejemplos



~ω vector velocidadangular de Qr vector posición de Qα = r sin θ‖v‖ = ωα = ωr sin θ⇒v = ~ω ∧ r

= (−ωy , ωx ,0)


ejemplos



~ω vector velocidadangular de Qr vector posición de Qα = r sin θ‖v‖ = ωα = ωr sin θ⇒v = ~ω ∧ r = (−ωy , ωx ,0)


ejemplos



α = r sin θ‖v‖ = ωα = ωr sin θ⇒ v = ~ω∧ r = (−ωy , ωx ,0)⇒

rot v =

∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z

−ωy ωx 0

∣∣∣∣∣∣∣


ejemplos



‖v‖ = ωα = ωr sin θ⇒ v = ~ω∧ r = (−ωy , ωx ,0)⇒

rot v =

∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z

−ωy ωx 0

∣∣∣∣∣∣∣rot v = (0,0,2ω)

= 2~ω


ejemplos



‖v‖ = ωα = ωr sin θ⇒ v = ~ω∧ r = (−ωy , ωx ,0)⇒

rot v =

∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z

−ωy ωx 0

∣∣∣∣∣∣∣rot v = (0,0,2ω) = 2~ω


ejemplos


el rotor y las rotaciones - aplicación - fluido

X velocidad en (x , y , z)


ejemplos



X velocidad en (x , y , z)∇∧ X = 2 velocidadangular


ejemplos



X velocidad en (x , y , z)∇∧ X = 2 velocidadangular∇∧ X(x , y , z) = ~0⇒ elfluido no tiene remolinosen (x , y , z)


ejemplos



∇∧ X = 2 velocidadangular∇∧ X(x , y , z) = ~0⇒ elfluido no tiene remolinosen (x , y , z)la ruedita gira con el fluido,pero no alrededor de sueje


ejemplos



∇∧ X(x , y , z) = ~0⇒ elfluido no tiene remolinosen (x , y , z)la ruedita gira con el fluido,pero no alrededor de suejeesto es lo que pasa con unlíquido que se desagota


campo irrotacional

campo irrotacional

campo irrotacional

X : Ω→ R3 campo vectorial

X campo irrotacionalsi

rot X ≡ ~0


campo irrotacional

campo irrotacional

campo irrotacional

X : Ω→ R3 campo vectorialX campo irrotacional

sirot X ≡ ~0


campo irrotacional

campo irrotacional

campo irrotacional

X : Ω→ R3 campo vectorialX campo irrotacionalsi

rot X ≡ ~0


campo irrotacional

ejemplo

ejemplo

X(x , y , z) =(y ,−x ,0)x2 + y2

es irrotacional en su dominio

rot X =(

0,0,∂

∂x

(−x

x2 + y2

)− ∂∂y

(y

x2 + y2

))

rot X =(

0,0,−(x2 + y2)− 2x2 + (x2 + y2)− 2y2

(x2 + y2)2

)

= ~0


campo irrotacional

ejemplo

ejemplo

X(x , y , z) =(y ,−x ,0)x2 + y2

es irrotacional en su dominio

rot X =(

0,0,∂

∂x

(−x

x2 + y2

)− ∂∂y

(y

x2 + y2

))

rot X =(

0,0,−(x2 + y2)− 2x2 + (x2 + y2)− 2y2

(x2 + y2)2

)= ~0


campos conservativos


campos conservativosX campo vectorial

X campo conservativo o de gradientessi

X = ∇f




campos conservativosX campo vectorialX campo conservativo o de gradientes

siX = ∇f




campos conservativosX campo vectorialX campo conservativo o de gradientessi

X = ∇f



ejemplo 1

ejemplo 1

X = (x ,y ,z)√x2+y2+z2

= (fx , fy , fz)?

f =∫

xdx√x2 + y2 + z2

=√

x2 + y2 + z2 + Cyz

f =∫

ydy√x2 + y2 + z2

=√

x2 + y2 + z2 + Cxz

f =∫

zdz√x2 + y2 + z2

=√

x2 + y2 + z2 + Cxy

⇒ ∇f = X



ejemplo 2

ejemplo 2X = (y , x ,1)

= (fx , fy , fz)?f = yx + Cyzf = yx + Cxz

⇒ f (x , y , z) = xy + z

f = z + Cxycumple ∇f = X



ejemplo 2

ejemplo 2X = (y , x ,1) = (fx , fy , fz)?

f = yx + Cyzf = yx + Cxz

⇒ f (x , y , z) = xy + z




ejemplo 2

ejemplo 2X = (y , x ,1) = (fx , fy , fz)?f = yx + Cyz

f = yx + Cxz

⇒ f (x , y , z) = xy + z




ejemplo 2

ejemplo 2X = (y , x ,1) = (fx , fy , fz)?f = yx + Cyzf = yx + Cxz

⇒ f (x , y , z) = xy + zf = z + Cxycumple ∇f = X



ejemplo 2

ejemplo 2X = (y , x ,1) = (fx , fy , fz)?f = yx + Cyzf = yx + Cxz

⇒ f (x , y , z) = xy + z

f = z + Cxy

cumple ∇f = X



ejemplo 2

ejemplo 2X = (y , x ,1) = (fx , fy , fz)?f = yx + Cyzf = yx + Cxz ⇒ f (x , y , z) = xy + zf = z + Cxy

cumple ∇f = X



ejemplo 2

ejemplo 2X = (y , x ,1) = (fx , fy , fz)?f = yx + Cyzf = yx + Cxz ⇒ f (x , y , z) = xy + zf = z + Cxycumple ∇f = X


potencial escalar

potencial escalar

potencial escalar

X : Ω→ R3 campo vectorial

f potencial escalar de Xsi

∇f = X


potencial escalar

potencial escalar

potencial escalar

X : Ω→ R3 campo vectorialf potencial escalar de X

si∇f = X


potencial escalar

potencial escalar

potencial escalar

X : Ω→ R3 campo vectorialf potencial escalar de Xsi

∇f = X


potencial escalar

campo de gradientes y superficies de nivel

teoremaf : R3 → R diferenciable

(x0, y0, z0) ∈ S ⊂ f−1(c) superficie de nivel⇒

∇f (x0, y0, z0) ⊥ S

vector perpendicular a la superficie de nivel

f (α(t)) = c curva contenida en la superficie Sα(0) = (x0, y0, z0)⇒ ∇f (x0, y0, z0).α′(0) = 0


potencial escalar


teoremaf : R3 → R diferenciable(x0, y0, z0) ∈ S ⊂ f−1(c) superficie de nivel

⇒∇f (x0, y0, z0) ⊥ S




potencial escalar


teoremaf : R3 → R diferenciable(x0, y0, z0) ∈ S ⊂ f−1(c) superficie de nivel⇒

∇f (x0, y0, z0) ⊥ S




potencial escalar



∇f (x0, y0, z0) ⊥ S

vector perpendicular a la superficie de nivelf (α(t)) = c curva contenida en la superficie S

α(0) = (x0, y0, z0)⇒ ∇f (x0, y0, z0).α′(0) = 0


potencial escalar



∇f (x0, y0, z0) ⊥ S

vector perpendicular a la superficie de nivelf (α(t)) = c curva contenida en la superficie Sα(0) = (x0, y0, z0)

⇒ ∇f (x0, y0, z0).α′(0) = 0


potencial escalar



∇f (x0, y0, z0) ⊥ S

vector perpendicular a la superficie de nivelf (α(t)) = c curva contenida en la superficie Sα(0) = (x0, y0, z0)⇒ ∇f (x0, y0, z0).α′(0) = 0


potencial escalar

demostración

demostración

f (α(t)) = c ∀t

⇒ ddt f (α(t)) = 0x regla de la cadena∇f (α(0)).α′(0) = 0


potencial escalar

demostración

demostración

f (α(t)) = c ∀t⇒ ddt f (α(t)) = 0

x regla de la cadena∇f (α(0)).α′(0) = 0


potencial escalar

demostración

demostración

f (α(t)) = c ∀t⇒ ddt f (α(t)) = 0x regla de la cadena

∇f (α(0)).α′(0) = 0


potencial escalar

demostración

demostración

f (α(t)) = c ∀t⇒ ddt f (α(t)) = 0x regla de la cadena∇f (α(0)).α′(0) = 0


potencial escalar

ejemplo 1

ejemplo 1encontrar un vector unitario ⊥ a la superficiez = x2y2 + y + 1 en (0,0,1)

f (x , y , z) = x2y2 + y + 1− zsuperficie S = f−1(0)⇒ ∇f (0,0,1) ⊥ S en (0,0,1)divido por la norma y obtengo vector unitariorespuesta:

v =∇f (0,0,1)‖∇f (0,0,1)‖

=(0,1,−1)√

2


potencial escalar

ejemplo 1

ejemplo 1encontrar un vector unitario ⊥ a la superficiez = x2y2 + y + 1 en (0,0,1)f (x , y , z) = x2y2 + y + 1− z

superficie S = f−1(0)⇒ ∇f (0,0,1) ⊥ S en (0,0,1)divido por la norma y obtengo vector unitariorespuesta:

v =∇f (0,0,1)‖∇f (0,0,1)‖

=(0,1,−1)√

2


potencial escalar

ejemplo 1

ejemplo 1encontrar un vector unitario ⊥ a la superficiez = x2y2 + y + 1 en (0,0,1)f (x , y , z) = x2y2 + y + 1− zsuperficie S = f−1(0)

⇒ ∇f (0,0,1) ⊥ S en (0,0,1)divido por la norma y obtengo vector unitariorespuesta:

v =∇f (0,0,1)‖∇f (0,0,1)‖

=(0,1,−1)√

2


potencial escalar

ejemplo 1

ejemplo 1encontrar un vector unitario ⊥ a la superficiez = x2y2 + y + 1 en (0,0,1)f (x , y , z) = x2y2 + y + 1− zsuperficie S = f−1(0)⇒ ∇f (0,0,1) ⊥ S en (0,0,1)

divido por la norma y obtengo vector unitariorespuesta:

v =∇f (0,0,1)‖∇f (0,0,1)‖

=(0,1,−1)√

2


potencial escalar

ejemplo 1

ejemplo 1encontrar un vector unitario ⊥ a la superficiez = x2y2 + y + 1 en (0,0,1)f (x , y , z) = x2y2 + y + 1− zsuperficie S = f−1(0)⇒ ∇f (0,0,1) ⊥ S en (0,0,1)divido por la norma y obtengo vector unitario

respuesta:

v =∇f (0,0,1)‖∇f (0,0,1)‖

=(0,1,−1)√

2


potencial escalar

ejemplo 1

ejemplo 1encontrar un vector unitario ⊥ a la superficiez = x2y2 + y + 1 en (0,0,1)f (x , y , z) = x2y2 + y + 1− zsuperficie S = f−1(0)⇒ ∇f (0,0,1) ⊥ S en (0,0,1)divido por la norma y obtengo vector unitariorespuesta:

v =∇f (0,0,1)‖∇f (0,0,1)‖

=(0,1,−1)√

2


potencial escalar

ejemplo 2

ejemplo 2 - aplicación - líneas equipotenciales2 conductores, uno con carga ⊕ otro con carga

se establece un potencial eléctrico φ : R3 → Rsuperficies de nivel de φ: superficies equipotencialesel campo eléctrico es E = −∇φE ⊥ (superficies equipotenciales)

líneas equipotenciales


potencial escalar

ejemplo 2

ejemplo 2 - aplicación - líneas equipotenciales2 conductores, uno con carga ⊕ otro con carga se establece un potencial eléctrico φ : R3 → R

superficies de nivel de φ: superficies equipotencialesel campo eléctrico es E = −∇φE ⊥ (superficies equipotenciales)



potencial escalar

ejemplo 2

ejemplo 2 - aplicación - líneas equipotenciales2 conductores, uno con carga ⊕ otro con carga se establece un potencial eléctrico φ : R3 → Rsuperficies de nivel de φ: superficies equipotenciales

el campo eléctrico es E = −∇φE ⊥ (superficies equipotenciales)



potencial escalar

ejemplo 2

ejemplo 2 - aplicación - líneas equipotenciales2 conductores, uno con carga ⊕ otro con carga se establece un potencial eléctrico φ : R3 → Rsuperficies de nivel de φ: superficies equipotencialesel campo eléctrico es E = −∇φ

E ⊥ (superficies equipotenciales)



potencial escalar

ejemplo 2

ejemplo 2 - aplicación - líneas equipotenciales2 conductores, uno con carga ⊕ otro con carga se establece un potencial eléctrico φ : R3 → Rsuperficies de nivel de φ: superficies equipotencialesel campo eléctrico es E = −∇φE ⊥ (superficies equipotenciales)



potencial escalar




el rotor de un gradiente es cero


teoremaf : Ω ⊂ R3 → R función C2

⇒rot(∇f ) = ~0



el rotor del gradiente es cero

demostración

rot(∇f ) =

∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z

fx fy fz

∣∣∣∣∣∣∣ = (fzy − fyz , fxz − fzx , fyx − fxy ) = ~0




demostración

rot(∇f ) =

∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z

fx fy fz

∣∣∣∣∣∣∣

= (fzy − fyz , fxz − fzx , fyx − fxy ) = ~0




demostración

rot(∇f ) =

∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z

fx fy fz

∣∣∣∣∣∣∣ = (fzy − fyz , fxz − fzx , fyx − fxy )

= ~0




demostración

rot(∇f ) =

∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z

fx fy fz

∣∣∣∣∣∣∣ = (fzy − fyz , fxz − fzx , fyx − fxy ) = ~0

rotorel operador nablarotorejemploscampo irrotacional

campos conservativoscampos conservativospotencial escalarel rotor de un gradiente es cero

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