Breve historia de las ecuaciones diferenciales

Estas notas pretenden mostrar una brevehistoria de las ecuaciones diferenciales. Se hapretendido dar mas enfasis a las ideas que alas biografıas de los matematicos creadores dela teorıa. En la siguiente direccionhttp://www-groups.dcs.st-and.ac.uk

se halla una coleccion de biografıas de losmatematicos mas famosos.

La mayor parte de estas notas historicasesta sacadas de [1].

1. Ecuaciones diferenciales de 1er orden

Los primeros intentos para resolver proble-mas fısicos mediante el calculo diferencial afinales del siglo XVII llevaron gradualmentea crear una nueva rama de las matematicas,a saber, las ecuaciones diferenciales. A media-dos del siglo XVIII las ecuaciones diferencialesse convirtieron en una rama independiente ysu resolucion un fin en sı mismo.

Ya Newton (los creadores del calculo in-finitesimal fueron Leibniz y Newton) ob-servo que si dny/dxn = 0, entonces y(x) esun polinomio de grado n− 1, en particular, ydepende de n constantes arbitrarias, aunqueesta afirmacion tuvo que esperar hasta el sigloXIX para poder ser demostrada con rigor (lademostracion estandar actual usa el teoremadel valor medio). Los matematicos de la epocacon frecuencia usaban argumentos fısicos: siy(t) denota la posicion en el tiempo t de unapartıcula, entonces dy/dt es su velocidad. Sidy/dt = 0, se tiene que la velocidad es nula, esdecir, la partıcula no se mueve y su posicion,por tanto, permanece constante.

En 1693 Huygens habla explıcitamente deecuaciones diferenciales y en el mismo ano,Leibniz dice que las ecuaciones diferencialesson funciones de elementos del triangulo ca-racterıstico.

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-dx

dyds

Figura 1: El triangulo caracterıstico.

En 1690, Jacques Bernouilli planteo el pro-blema de encontrar la curva que adopta unacuerda flexible, inextensible y colgada de dospuntos fijos, que Leibniz llamo catenaria (dellatın cadena). Galileo penso que esta cur-va era una parabola, mientras que Huygensprobo que esto no era correcto.

-

6 cc

a b

Figura 2: Una catenaria.

En 1691, Leibniz, Huygens y Jean Bernouil-li publicaron soluciones independientes. La deJean Bernouilli es la que se encuentra habi-tualmente en los textos de mecanica:

Consideremos un cable homogeneo sujetopor sus dos extremos (que suponemos a lamisma altura) y que distan 2a uno del otroy sea ρ la densidad del cable. Sea y = y(x) lafuncion que describe la posicion del cable. Porconveniencia se asumira que la altura mınimadel cable ocurre en x = 0 (o en otras palabras,y′(0) = 0).

1

-

6s s

��

��

ccx

y�T0

��

��3

T

θ

a

Figura 3: Deduccion de la ecuacion de la cate-naria.

Sea (x, y) un punto arbitrario del cable (porconveniencia lo situamos en el tramo positivode las x; en otro caso, el razonamiento es com-pletamente igual) y pensemos en las fuerzasque actuan en el trozo de cable desde el pun-to de altura mınima hasta (x, y):

El peso P. Si m es la masa y s es la lon-gitud del trozo considerado del cable, setiene m = ρs y por tanto, P = (0,−gρs),donde g es la aceleracion terrestre.

La fuerza T0 que ejerce la parte izquierdadel cable sobre el punto de altura mıni-ma. Se tiene T0 = (−‖T0‖, 0)

La fuerza T que ejerce la parte derechadel cable sobre el extremo derecho (x, y)del trozo de cable considerado. Obser-vando la figura 3 se tiene que T =‖T‖(cos θ, sen θ).

La condicion de equilibrio es P+T0 +T = 0.O componente a componente:

‖T0‖ = ‖T‖ cos θ, gρs = ‖T‖ sen θ.

Dividiendo ambas expresiones.

tan θ =gρs

‖T0‖. (1)

A partir de ahora, denotaremos c = gρ/‖T0‖.Como (vease la figura 1)

dy/dx = tan θ, (ds)2 = (dx)2 + (dy)2,

si derivamos (respecto a x) la ecuacion (1), seobtiene

d2y

dx2= c

√(dx)2 + (dy)2

dx.

O escrito de otro modo,

d2y

dx2= c

√1 +

(dy

dx

)2

.

Por supuesto, esto es una ecuacion de segundoorden; pero haciendo el cambio v = dy/dx, seconvierte en

dv

dx= c

√1 + v2. (2)

Problema 1: Resuelva la ecuacion (2). Useahora y′(0) = 0 para deducir que la ecuacion dela catenaria es

y(x) =1c

cosh(cx) + B, (3)

donde B es una constante arbitraria. ¿Que sig-nificado fısico o geometrico posee B?

El siguiente problema propone otra manerade resolver la ecuacion (2) usando la teorıade las ecuaciones diferenciales lineales de or-den 2:

Problema 2: Eleve al cuadrado (2) y deriveesta nueva ecuacion respecto a x para obtenerd2v/dx2 = c2x. Halle ahora v = v(x) y obtengade nuevo (3).

La catenaria cumple otra importantepropiedad: de entre todas las curvas de longi-tud dada, la que minimiza la energıa potenciales precisamente la catenaria. Si y : [−a, a] →IR es la funcion que describe la forma de la

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catenaria (vease la figura 3), ρ es la densidaddel cable y g es la aceleracion de terrestre, laenergıa potencial de un elemento infinitesimalde masa, dm, es

dE = gydm = gyρds = gρy√

1 + y′2,

donde ds es el elemento diferencial de longitudde arco. La catenaria minimiza∫ a

−agρy(x)

√1 + y′(x)2dx,

si la longitud de la cuerda es constante, esdecir ∫ a

−a

√1 + y′(x)2dx es constante.

El estudio de funciones minimizantesllevo al descubrimiento del calculo de varia-ciones por Euler a mediados del siglo XVIIIy Lagrange a finales del siglo XVIII mejoro yamplio los metodos de Euler.

Por otra parte, acabamos de ver que la cate-naria se puede obtener por dos caminos dis-tintos: a partir de las leyes de Newton o co-mo la curva que minimiza una cierta magni-tud fısica. Se vio que muchos problemas fısicosposeen esta dualidad. La reformulacion de lasleyes fısicas por medio de funciones minimi-zantes fue hecha por Hamilton a mediados delsiglo XIX.

Leibniz descubrio la tecnica de separacionde variables en 1691: Indico como se resuelve

ydx

dy= f(x)g(y).

Tambien redujo en el mismo ano la ecuacionhomogenea dy/dx = f(y/x) a una separablede primer orden del modo usual: con el cambioy = vx. En 1694, Leibniz, publico la resolu-cion de la ecuacion

dy

dx+ p(x)y = q(x).

En 1694, Leibniz y Jean Bernouilli estu-diaron el problema de encontrar la familiade curvas que cortan con un angulo dado auna familia de curvas dadas. Jean Bernouillisenalo que este problema es importante paradeterminar las trayectorias de los rayos de luzque recorren un medio no uniforme porque di-chos rayos cortan ortogonalmente los llama-dos frentes de luz. El problema fue resueltode forma general e independiente por Leibnizy por Jean Bernouilli en 1698. El metodo em-pleado es el mismo que se usa hoy en dıa.

Jean Bernouilli planteo el problema de de-terminar el movimiento de un proyectil en unmedio cuya resistencia es proporcional a unapotencia de la velocidad. La ecuacion diferen-cial es en este caso

mdv

dt= mg − kvn. (4)

Problema 3: Resuelva la ecuacion (4) cuandon = 2. Deduzca que en este caso se tiene

v(t) = af(t) + 1f(t)− 1

,

donde a =√

mg/k y f(t) = e2(t+C)/a, sien-do C una constante arbitraria. Pruebe quelımt→∞ v(t) = a. Esta es la razon de quelos paracaidistas bajen con velocidad practica-mente constante. Explique fısicamente el com-portamiento estacionario de la velocidad cuandom o k crecen.

Tambien fueron identificadas las ecuacionesdiferenciales de primer orden exactas, es de-cir, las ecuaciones M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0para las cuales existe una funcion z = z(x, y)tal que dz = Mdx + Ndy. Clairaut en 1739dio la condicion ∂M/∂y = ∂N/∂x, condicionque fue dada de forma independiente por Eu-ler en 1734. Si se tiene dz = M(x, y)dx +N(x, y)dy = 0, como remarcaron Euler yClairaut, la solucion es z = cte.

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Cuando una ecuacion de primer orden noes exacta, es posible muchas veces multipli-carla por una funcion, llamada factor inte-grante, que la convierta en exacta. Aunquese habıa usado esta tecnica en algunas ecua-ciones, fue Euler en 1734 quien se dio cuen-ta que este concepto proporcionaba un meto-do de integracion e introdujo las expresionesque actualmente se usan. Clairaut amplio lateorıa poco mas tarde. Hacia 1740 se conocıanlos metodos elementales de resolucion de lasecuaciones diferenciales de primer orden.

2. Ecuaciones de 2o orden

En sus esfuerzos por tratar el problema dela cuerda vibrante, Jean Bernouilli en 1724,planteo y resolvio la ecuacion d2y/dx2 =k2y. Anteriormente se dedujo la ecuacion quedebe satisfacer un pendulo simple: d2θ/dt +mg sen θ = 0.

u

AAAAAAAA

θ

Figura 4: Un pendulo simple.

Problema 4: Deduzca la ecuacion diferen-cial del pendulo simple. Ayuda: por medio dela ley de conservacion de la energıa debe pro-bar que θ2 = 2mg cos θ, donde el punto denotala derivada respecto al tiempo. A continuacionderive esta ecuacion respecto a t.

Nota: No resuelva la ecuacion θ = mg sen θ,pues no se puede hallar la solucion en terminosde funciones elementales.

Es de destacar que antes de la solucionde Jean Bernouilli, ni se conocıa la solucion

del pendulo simple, ni la que se obtiene trasaproximar sen θ por θ. Euler comenzo a con-siderar ecuaciones de orden superior a uno en1728.

Desde el punto de vista de la concepcionde funcion de la epoca, se disponıa, a par-tir de Newton de un metodo general de inte-gracion de ecuaciones diferenciales medianteel desarrollo de funciones en forma de serie.Por ejemplo, en 1733 Daniel Bernouilli en unartıculo cuyo tıtulo en castellano es “Teore-mas sobre oscilaciones de cuerpos conectadospor un hilo flexible y de una cadena vertical-mente suspendida”, deduce que para una ca-dena de densidad constante en suspension queoscila se tiene

αddx

(x

dy

dx

)+ y = 0, (5)

donde x e y = y(x) tienen el significado quese muestra en la figura siguiente. Resolvere-mos la ecuacion diferencial (5) como DanielBernouilli:

x

y

Figura 5: Una cadena verticalmente suspendi-da.

Por comodidad, supondremos α = 1. Sea

y = A + Bx + Cx2 + Dx3 + · · · , (6)

la funcion que se pretende encontrar. Los si-guientes calculos son faciles de entender si se

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supone que una serie de potencias se puedederivar termino a termino (operacion que has-ta el siglo XIX se suponıa valida):

dy

dx= B + 2Cx + 3Dx2 + · · ·

xdy

dx= Bx + 2Cx2 + 3Dx3 + · · ·

ddx

(x

dy

dx

)= B + 4Cx + 9Dx2 + · · · (7)

Igualando los coeficientes de (6) y (7) setiene

A = B, B = 4C, C = 9D, ...

Todos los coeficientes se pueden poner en fun-cion del primero:

B = A, C =A

4, D =

A

4 · 9, ...

Por tanto, la solucion de (5) es

y = A + Ax +Ax2

4+

Ax3

4 · 9+ · · ·+ Axn

(n!)2+ · · ·

En un artıculo de 1739 “De novo genereoscillationum” (sobre un nuevo tipo de os-cilacion), Euler se ocupo de la ecuacion di-ferencial

Md2y

dt2+ Ky = F sen(ωt)

y descubrio el fenomeno de la resonanciamecanica.

En 1734, Euler afirmaba que podıa resolverla ecuacion

K4 d4y

dx4= y, (8)

que surgio tras estudiar el problema de des-plazamiento tranversal de una barra elasticafijado un extremo y libre el otro. En 1734, elunico metodo disponible por Euler fue la uti-lizacion de series y obtuvo cuatro series dis-tintas.

Problema 5: Resuelva la ecuacion (8).¿Cuales son las cuatro funciones obtenidas porEuler?

Euler desarrolla un metodo en 1743 pararesolver las ecuaciones lineales de orden n decoeficientes constantes: Dada la ecuacion

0 = a0y + a1dy

dx+ a2

d2y

dx2+ · · ·+ an

dny

dxn, (9)

en donde los coeficientes a0, . . . , an son con-stantes, Euler indica que la solucion ha decontener n constantes arbitrarias y que estasolucion vendra dada por la suma de n solu-ciones particulares, cada una de ellas multipli-cada por una constante. Ahora hace el cambioy = eλx, en donde λ es constante y obtiene laecuacion polinomica

0 = a0 + a1λ + a2λ2 + · · ·+ anλn. (10)

Trata por separado cuando esta ecuaciontiene raıces simples, multiples y complejas;con lo que Euler resuelve completamente lasecuaciones lineales homogeneas de coeficientesconstantes.

Problema 6: Suponga que λ0 es raız doble de(10). Pruebe que y(x) = xeλ0x es una solucionde (9).

D’Alembert observa que el conocimiento deuna solucion particular y de la solucion gene-ral de la homogenea conduce, por adicion, ala solucion general de la no homogenea. La-grange estudia como obtener soluciones par-ticulares y a el se le debe tambien el metodode variacion de parametros.

3. Sistemas de ecuaciones diferenciales

Los sistemas de ecuaciones diferencialessurgieron en la historia de las matematicascon la misma intencion que las ecuaciones

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diferenciales ordinarias: Analizar cuantitati-vamente determinados sistemas fısicos, enparticular los astronomicos. En el campode la astronomıa los principios fısicos (lasleyes del movimiento de Newton y la ley degravitacion) estaban claros y los problemasmatematicos eran mucho mas profundos. Elproblema matematico fundamental al estu-diar el movimiento de dos o mas cuerpos,moviendose cada uno bajo la accion gravita-toria de los otros es el de resolver un sistemade ecuaciones diferenciales ordinarias.

El primer exito lo obtuvo Newton en losPrincipia al demostrar que a partir de susleyes de movimiento y de la ley de gravitacionuniversal se podıan deducir las tres leyes pla-netarias de Kepler. El problema de los trescuerpos sometidos a una accion gravitatoriacomun fue estudiado intensamente por Euler,Laplace y Lagrange obteniendo solo resulta-dos parciales.

Al no obtener metodos generales para re-solver los sistemas de ecuaciones diferenciales,los matematicos se volcaron con los sistemasde ecuaciones lineales de coeficientes con-stantes. La primera vez que surgio este tipode sistemas fue al estudiar sistemas de muellesacoplados, a partir de la ley de Hooke. Lanocion de polinomio caracterıstico aparece yaexplıcitamente en el trabajo de Lagrange so-bre sistemas de ecuaciones diferenciales pu-blicado en 1774 y en el trabajo de Laplace en1775.

Por otra parte, Laplace desarrollo un meto-do alternativo para hallar la solucion de talessistemas. En el famoso ensayo Theorie an-alytique des probabilites, publicado en 1812,Laplace presento lo que ahora se conoce co-mo la transformada de Laplace para encontrarla solucion de ecuaciones diferenciales linealesde coeficientes constantes. Esta transforma-da sirve tambien para encontrar la solucionde los sistemas lineales de ecuaciones diferen-ciales con coeficientes constantes.

4. Desarrollos posteriores

A principios del siglo XIX se desarrollo unafase en la que se trataba de demostrar algunoshechos dados por validos en el siglo anterior.En 1820 Cauchy probo la existencia de solu-ciones de la ecuacion diferencial y′ = f(t, y)bajo ciertas condiciones. En 1890 Picard es-tablecio un metodo de aproximaciones suce-sivas que permite establecer con precision elteorema de existencia y unicidad de las ecua-ciones diferenciales de orden n.

Posteriormente, Cauchy, al tratar de de-mostrar el mismo teorema para los sistemasde ecuaciones diferenciales, introdujo la no-tacion vectorial que todavıa se utiliza hoyen dıa. Generalizacion que, utilizando losconceptos matriciales introducidos por Cay-ley a mediados del siglo XIX, ayudo a Ja-cobi a resolver completamente los sistemade ecuaciones diferenciales lineales de coefi-cientes constantes donde la matriz del sis-tema es diagonalizable. Posteriormente Jor-dan introdujo lo que hoy se conoce como laforma canonica de Jordan precisamente pararesolver los sistemas lineales de ecuacionesdonde la matriz no es diagonalizable.

Las investigaciones de Poincare sobre la es-tabilidad y periodicidad de las soluciones delsistema solar le condujeron al inicio de lateorıa de las ecuaciones diferenciales no linea-les. Obtuvo a finales del siglo XIX una seriede resultados de ındole cualitativo que fueronmejorados por Bendixson y por Liapunov.

Referencias

[1] El pensamiento matematico: de laantiguedad a nuestros dıas. Alianza Uni-versidad.

Julio Benıtez Lopez.Universidad Politecnica de Valencia7 de Febrero de 2008

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