JUEGOS BIPERSONALES DE SUMA NULA

CON PAGO CONVEXO

Miguel Mart(n D(az

En este articulo se estudia un juego bipersonal de suma nula cuando el espacio de estrategias puras de! primer jugador es un conjunto compacto de R, el espacio de estrategias puras del segundo jugador es un conjunto compacto de un espacio vectorial normado cualquiera y la funci6n de pago es continua para el prirner jugador para cada estrategia del segundo juga- dor, y continua y convexa para el segundo jugador para cada estrategia del primero.

E1 caso en que Y e s un subconjunto cerrado y acotado de R y la funci6n continua conjuntamente en ambas variables con las derails hip6tesis igual puede verse en (Ref. 3 p~g. 89 y el caso en que X es arbitrario Yes un subconjunto cerrado y aco- tado de R con pago continuo y convexo para el segundo juga- dor puede verse en (Ref. 2 p~g. 51 ).

Un juego bipersonal de suma nula, en fo rma normal , est~ defini-

do po r (X Y K); en donde X presenta el espacio de estrategias puras

del j uga do r J1 ; Y e s el espacio de estrategias puras del j u g ad o r J2 Y

K es una funci6n real def inida en Xx Y que presenta el pago de

J2 a J l .

Siguiendo a Wald i n t roduc imos en X × X la func i6n real d d e

finida as/:

para:

d(x~ x2) = s u p y ~ y K ( x ~ y ) - k(x2 y)

x l X 2 E X

S u p o n d r e m o s que K verifica la hip6tesis:

H 1 . -

d(Xl x~)= O o x~ - x~

d ( y l y2) = O o yl =Y2

(1)

Estas hip6tesis no son restrictivas, pues, si por ejemplo no se ve-

rifica la primera de ellas, considerarfamos en lugar del espacio X el

cociente de dicho espacio para la relaci6n de equivalencia:

xl ~ x2 d (xl x2 )= 0

Con esta hip6tesis d define por medio de (1) una m6trica en X

y (2) define una m6trica en Y.

Siempre llamaremos d a estas mftricas, sea con relaci6n a uno

u otro espacio.

Llamaremos (P Q K) a la extensi6n mixta del juego.

Supondremos que~

Existe una o-~ilgebra definida en X que llamaremos A, y P es el

conjunto de todas las probabilidades p que se pueden definir sobre A.

B ser~i una o-~lgebra de Y, y Q es espacio de probabilidades

sobre B..

Ahora supondremos las siguientes hip6tesis:

H 2.-- A y B contienen los con]untos discretos de X y de Y

respectivamen te. H 3 . - K (x y) es acotada y medible en X × Y.

Medible con relaci6n a la o-6lgebra engendrada por (A × B).

Con esta hip6tesis podemos definir la funci6n:

K (p q)=fx.~r k (x y) dp dq

para p e P ' q ~ Q

De modo amilogo en ( 1 ) y (2) definimos:

d(p~ P2) =st~QIK(p~ q ) - K(p2 q)l (3)

d(q~ q~) = sup I K(p q ~ ) - K ( p q2)l (5) pEP

Con estas hip6tesis se verifican los siguientes teoremas, cuya de-

mostraci6n puede verse en: Ref. 4 p~g. 33

Teorema 1 . - Si X es condicionalmente compacto respecto de

d, Y e s condicionalmente compacto respecto a d.

Recordamos que condicionalmente compacto quiere decir que de

4

toda sucesi6n se puede ex t rae r una sucesi6n de Cauchy.

Teorema 2 . - Si el espacio P es separable respecto a la mdtrica

d, el con]unto de estrategias mixtas con soporte finito es denso en P.

Esto quiere decir que para todo :

e > 0 ; y v p E P

existe una estrategia p * c o n sop or te f ini to tal que se verifica:

K (p* q) >~ K (p q)

para:

v q ~ Q

Teorema 3 . - Si X es condicionalmente compacto respecto a d

el ]uego (P Q K) tiene valor.

Teorema 4 . - Si X es compacto respecto a d, el ]uego (P Q K)

tiene valor," J~ tiene una estrategia mixta Optima y para V,: > 0 tie-

ne una estrategia finita mixta e-dptima," J2 tiene para Ve > 0 una es-

trategia con soporte finito e-Optima.

Este t eo rema es una consecuenc ia inmedia ta de los anter iores .

Teorema 5 . - Si X es separable respecto a d, P es separable res-

pecto a d, y si X es compacto respecto a d, P es compacto respec,

t o a d .

Vamos a es tudiar un juego en el que adem~is de las hip6tesis

ya menc ionadas H 1, H 2, H 3 se verif ican las hip6tesis:

H 4 . - X es un con]unto compacto de R.

Esto respecto a la mdtr ica real que no debe confund i r se con

con la m~trica d.

H 5 . - Y e s un subcon]unto compacto y convexo de un espacio

vectorial normado; supondremos que yo vs ~. Siendo yo el con]un-

to de puntos interiores d e Y.

La distancia en t re dos p u n t o s Yl , Y2 de Y vendrfi r epresen tada

por IlYl - Y2 ]l.

H 6 . - Para Vx E X la funcidn en y K (x y) es continua y con-

vexa en Y, y continua en x E X para Vy E Y.

Es decir:

V y * ~ Y , V e > O,?[~ > O 5

tal que se verifica:

si:

KOc y) - K (x y*)l

(Y - y*)ll < 8

Sea x cualquier punto de X.

No supondremos que esto se vefifique uni formemente en x, es

decir que por lo general depender~ de x y de y naturalmente.

Dicho de otra manera no suponemos ni que la familia de fun-

clones sea equicontinua ni que cada una de las funciones sea uni-

formemente continua.

Convexa quiere decir que para X tal que:

O < . X ~ I y V x e X y l , Y 2 ¢ Y

se verifica:

K [ x l , X yl +(1 - X ) y 2 ] ~< X K (X y l ) +(1 - X ) K ( x l Y2)

Demostraremos que si se verifican las hip6tesis anteriores tie-

ne valor el juego (P Q K), ,12 tiene una estrategia pura 6ptima, J1

tiene una estrategia mixta 6ptima y para Ve > 0 tiene una estrate-

gia e-6ptima con soporte finito.

Recordamos algunas definiciones:

p * ~ P

es 6ptima si y s61o si:

K ( p * y ) > l v para r y e Y

siendo v el valor del juego y K(p y) definida asf:

K (p y) = fx K (x y) dp

p* ~ P es e-6ptima si y s61o sfse verifica:

K(p*y)>lv-e p a r a V y ~ Y

De un modo an~ilogo se definirfa para J2 :

q * ~ Q es 6ptima si se verifica:

K (x q*) <. v para Vx E X

6

q* ~ Q es e-6pt ima si se verifica:

K (x q*) <<, v + e p a r a V x ~ X

en donde :

K (x q) = f~yK (x y) dq

Lama 1 . - X es separable respecto a la mdtrica d.

En e fec to se sabe ver p o r e jemplo* que el con jun to de todas las

func iones reales acotadas y cont inuas definidas e n un espacio m6-

t r ico c o m p a c t o es separable respec to a la m6trica.

sup I f , (x) - f2 (x) l X

en donde :

x E E

Esta m6trica coincide con la def inida en (1) y la familia de fun-

ciones en Y K (x y) cuando x varfa en X es un subcon jun to del es-

pacio de todas las funciones con t fnuas .

Lama 2 . - Para:

V y * E yo , e > O

cualquiera existe 6 > 0 tal q u e s i :

y E yo y IlY - Y*II < 6

se verifica:

Demostraci6n:

Sea:

d (y y*) < e

y * ~ Y y e > 0

arbi t rar io. T o m a m o s n > 0 de tal m o d o que:

Y ~ E I =~ y E yo Ily - y * l l < r/

lo que es posible po r ser yo ab ie r to no vacio.

Sea:

* Ref. 1 p~ig. 217

ti = min [-~-- 7 °

Sea:

y E yo

Existen:

~ c 4 M ] ; M > K ( x , y ) , V x E X , y E Y

tal que Ily - y*ll < 77

z, z' ~ Y ° , X; X' O <~ X'<~ I , O <~ X <~ I

tales que se verifica:

(4) I I z - y * l l = ~ ; y * = ( 1 - X ) y + X z

(5) I I z ' - y * i l = ~ ; y = ( 1 - X ' ) y * + X ' z '

Supongamos que fuera:

K (x y ) >i k (x y*)

tomando z' de modo que se tenga (5) se puede escribir:

Ig (x y ) - g (x y *)1 = g (x) (1 -X ' ) y*+ X'z'~

<~ ( 1 - X ' ) K ( x , y*)+ X' K (x, z') - K (x, y*) =

= X' [K(x , z ' ) - K ( x , y*)] <~ 2 X 'M (6)

de (5) deducimos:

X'= Y - Y *

y susti tuyendo en (6) obtenemos:

.6 > I l y -y* l l ~ IK (x, y ) - K (x, y*) l < e

Por otra parte si fuera:

K (x, y ) <~ K (x, y*)

tomando z de modo que se verifique (4) se puede escribir:

I K ( x y ) - K ( x y * ) I = K ( x , ( 1 - X ) y* +X,) - K ( x y*) <~

<<. ( l - X ) K (x y*) - K (x y*) + ?t K (x z) ~ z X M

De (4) deducimos:

k - {lY - Y'~II IIZ - y II

~< ItY --Y*II n /2

y s u s t i t u y e n d o en (7) o b t e n e m o s :

IlY - Y ~ I I < O =~ I K ( x y ) - K ( x y * ) / < e

C o m o esto se verifica en cua lquier caso, y u n i f o r m e m e n t e en y e Y

se deduce f ina lmente"

I l Y - Y * I I < 0 ~ d ( y y * ) = sup I K (x, y) - K ( x y*) I< e x E X

c.q.d.

Coro ia r io 1.- Si la familia de func iones en y K ( x y ) es con t i -

nua p a r a

V y E Y _ y o

Y es c o m p a c t o respec to a d, en e f ec to ; de la h ip6tes is y del lema se

deduce que la famil ia de func iones K (x y ) es e q u i c o n t f n u a respec-

to a y al variar x en X para V y E Y.

Es to quiere decir que:

y j ~ Y j = 1 , 2 . . . . . y E Y

0 lira IlY - Yjll = 0 ~ d (y yj) J~- j--~.

p o t lo t a n t o c o m o Y es c o m p a c t o r e spec to a la n o r m a es c o m p a c t o

r e spec to a la dis tancia d.

En este caso p o d e m o s apl icar los resu l tados del t e o r e m a 4.

Corolario 2.- yo es separable a la m~tr ica d; en e fec to ;

Y ° C Y

que es c o m p a c t o respec to a ia n o r m a , y p o r t an to separable res-

pec to a la n o r m a , ap l icando el l e m a se deduce que y0 es separable

r e spec to a d.

Si la famii ia de funciones :

9

K x(y)= K ( x y )

no es equicont/nua en Y - yo puede ocurrir que Y no sea condicio-

nalmente compacto, como demuestra el siguiente e jemplo

Sea la famlia de funciones reales K i (y), en donde:

] = i , 2 ,3 . . . . . .

y var/a el intervalo

en donde:

real [0 2]jdefinidas asi:

K ( l y )= I 2 - si y > t si 0 <~ ), <<.1

K (j + 1, y) =l

2 - y si O<.O<~yj

K (j, yi) - 1 + O'-Yi) (2-K (j yL) . 2 -yj

1 1

Es f~icil comprobar q u e e n este caso se cumplen todas las hip6-

tesis, y el espacio

X = ( 1 , 2 , 3 . . . . )

no es condicionalmente compacto, pot lo tanto segfn el teorema 1,

Y no ser~i condicionalmente compacto respecto a la m~trica d.

Teorema.- Si se verifican las hip6tesis H1, H2, H3, H4, HS, H6, el juege ( P (2 K) tiene un valor, J2 tiene una estrat6gia 6ptima pura

Jl tiene una estrat6gia mixta 6ptima, y para

v e > O

J1 tiene una estrat6gia finita e-6ptima.

Demostraeion.- Sea Y' un subconjunto cualquiera de yo com-

pacto y convexo (respecto a la estructura H 5)

Consideremos la extensi6n mixta del juego:

10

( x Y' K) (P Q'K)

en donde Q' c Q tal que:

q e Q ' c , q ¢ Q y q (Y ' )= 1

K (x y) es la restricci6n de la funci6n K definida anteriromente a

X x Y ' . Aplicando el corolario 1 del lema anterior, se tiene:

Existe el valor del juego (P Q'K) que llamaremos v',y para:

V e > O

existen estratdgias mixtas finitas para ambos jugadores e-6ptimas.

Entonces, si q* es una estrat6gia e-6ptima para J2, se tendril:

:lqTy ; j = 1 ,2 . . . . n con y / E Y 'q7 ~>0 £ q ; = 1 j = l

y tales q u e

K(x q*) <~ v' +e

siendo:

K (x q) = l K (x y) d q*

pero, en virtud de la convexidad se tiene"

n

Z K ( x y ; ) q 7 j = l

y como'

/'l

x (x ¢;, K(x, Z j = l

/=1

por ser Y' convexo se tendri l

yTq )

v' + e >~ K (x y*) par~:VxEX

Consideremos ahora e; + 0 y una sucesi6n de estratdgias Y'i" ei-6ptimas de J2, en el juego (P Q' K), en virtud de la compacti-

cidad, podemos suponer, sin p6rdida de generalidad, que:

lim Ily*i-y*ll= 0 con y * ¢ Y' i - - ) . ~

11

del corolar io 1 st deduce:

l i m d ( Y * i y *) = 0 i - - ~

y de aqui se deduce:

lira K (x y * i ) = K (x 3'*)

por Io tanto:

, '+ K ( x y * ) ~ < ~ e. I

y c o m o e i ~, 0 se tiene:

K (x y *) <~ v'

es decir y* es 6pt ima.

Sea e > 0 arbitrario, cons ide remos una sucesidn de co n ju n to s

compa c to s y convexos de E, que ver i f iquen:

(a) yi c yo p a r a i = 1 ,2 . . . . . yi c yi+l

o o

(b) u y. = yo i : l t

Esto siempre es posible en un espacio vectorial no rmado , pues

bastarti t oma r los homotd t i cos de Y t o m a n d o el cen t ro de h o m o t e -

cia inter ior y his razonones de homotdc ias :

r i, r < 1 r i ~ 1

Sea ahora el juego:

(p Qi K)

en donde Qi c Q se define asi:

q ~ Qi ~, q ~ Q y q ( y i ) = 1

Sea Y i u n a estratOgia 6p t ima de J~.

Por ser Y c ompac to , p o d e m o s suponer , sin p6rdida de genera-

lidad, que:

lim IV i - - Y*II = O, con v* E Y

12

La sucesi6n vi, siendo vi el valor del juego (P Qi K) es decrec ien te , .

p e r t an to :

lira v. = v* ! i - -+~

Vamos a demost ra r que v* es el valor del juego (P Q K), y y*

una estrat6gia 6p t ima de J2.

Por la cont inu idad de K (x y) en y para V x E X se t iene:

lim Ily i - Y*II = 0 ~ l i ra K (x yi) = K (x yY) i . - . + ~ i . - +

y c o m o :

K (x yi ) ~ Pi y lim v i = X* i . - . +

se obtiene"

K ( x y * ) ~ v * para V x E X

que:

Bastarfi demost ra r ahora, que JI tiene una estratdgia p*, tal

K (p y)>l v - e para y E Y

En efec to :

Para: i = l , 9 ~ . . .

existe una estrat6gia mixta finita P*i ' e-6pt ima para J1, en el juego:

(p Qi K)

es decir:

* ] = 1 , 2 . . . . n i con x.*. E X * ~>0 Xij P *ij " ~! Pij n ,

!

* = 0 Z Pij j = l

tales que se verifica: h" 1

K(p[',y~= ~,~ K ( x ~ y ) p ~ >iv i - e para r Y E yi i=1

C o m o (p*i) es una sucesi6n de probabi l idades definidas sobre

13

X, que es un c o n j u n t o c o m p a c t o tie R, se puedc suponer , sin perdi-

da de generalidad, que (p*i) converge una Icy a la probabi l idad p * E P.

Sea v e yo arbitrario, t o m a n d o i suf ic ien temente grande para

que y E yi se tendrti:

K (p*i Y) >'> [/'i e

t o m a n d o 1/mites, (en virtud de un teorema de Hel ly-Bray) que se a-

plica po t set K (x y ) con t i nua cn x) se tiene:

lira K (P '~ i ' . l "J = K (p* y) > v* e

Segfm el lema 1, X es separable respecto a la mdtrica d, y esto

en virtud del t eo rema 5, quiere decir que dado e > 0 arbi t rar io, para

cualquier probabi l idad p definida sobre X, exisle una probabi l idad

discreta p ' , tal que se verifica:

IK(py)-K(p'Y)I< e para r y e Y

Y M,

Por tanto , existe p discreta, tal que se tiene:

K(py)>~v*-e para Vy e yo

(7o m o:

K ( p ' y ) = Y. K (x i y ) p'i i

la serie es u n i f o r m e m e n t e convergente , po t estar m ay o rad a p o r

func i6n K (p y) es c o n t i n u a en y, po r lo tan to :

K ( p ' y ) > v * - - e para v y E Y ° = K ( p y ) > > - v * - e

para VY E Y

Con esto queda d e m o s t r a d o que v* es el valor del juego.

Ademfis del mismo m o d o que antes, p o r ser X c o m p a c t o res-

pec t o a la mdtr ica real, y separable respec to a d0 se demues t ra la cxis-

tencia de una estrategia mix ta 6p t ima , y la exis tencia de una estra-

tdgia mix ta finita e-6ptima.

Si y o = qs, en lugar de Y, cons ide ra r i amos el subespacio vecto-

rial n o r m a d o engendrado po t Y, y los resul tados seguirian s iendo

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v~ilidos.

Teniendo en cuenta el resultado del teorema, se pueden consi-

derar s61amente estratdgias puras para J2, Y podriamos sustituir la hi-

p6tesis de que K (x y) es inedible en A × B por la existencia de la

funci6n:

K ( p y ) = f x K ( x y ) d p

Algunos problemas de estimaci6n pueden quedar encuadrados

dentro de un mod61o de juego del tipo anterior.

Consideremos, pot ejemplo, el siguiente problema de estimaci6n

puntual:

F ( x O)

es una familia de funciones de distribuci6n

O ~ ( a b ) d F ( x O ) = 1

se trata de estimar 0 ; y si el verdadero valor de 0 es

O*E (a b), K(O 0")

es convexa y cont inua en 0 y cont inua en 0 *

x . i = l . . . . . n l

son variables aleatorias reales independientes, con funci6n de distri-

buci6n F (x 0). En el conjunto C, de aplicaciones cont inuas de R n

en (a, b) definimos:

II f II= S u p f ( x , . . . . . x n)

xl . . . . . x E R n rl

Supondremos que el conjunto de estimadores D es un subcon-

jun to compacto y convexo de C

Si consideramos el problema de estimaci6n como un juego, en

en el que:

X = ( a b ) Y = D y K ( O * d ) c o n O * E ( a b ) d c D

i5

k cq:i dcf in id ' , l asf: F k (0 * d) =- J,,k" (u + d (_v~ . . . . . . % ) d / " ( \ U )

~icndo I" (.v ()) la lev com(ii~ dc X~ . . . . . V,,. l.',c:~ulta 13c i lmcnlc quc

C] jLI~'~LO [iL'llt_' t i l l V i l l ( ) r , y c'xi: , ; [ t ' c,/;/¢ P:_- D (]LIC L':,; t l l ' l t l t_'s[rJiLt~zi;I m i n i m a x .

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