En el análisis no importa si k1 está sujeta a m1 o a m2, puesto que sólo interesa una soluciónhasta el momento en el que x2 alcanza un máximo. Es decir, la solución para el rebote no senecesita. Las ecuaciones diferenciales son fáciles de obtener. Éstas sonm1x¨1 + k1(x1 - x2) = 0m2x¨2 + k2x2 - k1(x1 - x2) = 0 (4-54)La solución analítica del par de ecuaciones (4-54) es armónica y se estudia en un curso sobrevibraciones mecánicas.12 Si se conocen los valores de las m y de las k, la solución puede obtenerse fácilmente usando un programa como MATLAB.4-18 Cargas aplicadas en forma súbitaUn caso simple de impacto se ilustra en la figura 4-28a. En ella, un peso W cae una distanciah y golpea una viga en voladizo con rigidez EI y longitud l. Se desea encontrar la deflexiónmáxima y el momento flexionante máximo en la viga, debido al impacto.En la figura 4-28b se muestra un modelo abstracto del sistema. Mediante la tabla A-9-1se obtiene que la constante del resorte es k = F/y = 3EI / l3. La masa de la viga y amortiguamiento podrían tomarse en cuenta, pero para este ejemplo se considerarán despreciables. Elorigen de la coordenada y corresponde al punto donde el peso se libera. Son necesarios dosdiagramas de cuerpo libre, los cuales se muestran en las figuras 4-28c y d. El primero corresponde a y = h y el segundo a y > h para tomar en cuenta la fuerza de resorte.Ahora, para cada uno de estos diagramas de cuerpo libre puede escribirse la ley deNewton, estableciendo que la fuerza de inercia (W/g)ÿ es igual a la suma de las fuerzas externas que actúan sobre el peso. Entonces, se tieneW gy ¨ = W y = hW gy ¨ = -k(y - h) + W y > h(a)En el enunciado matemático del problema también debe incluirse el conocimiento de que elpeso se libera con una velocidad inicial cero. El par de ecuaciones (a) constituye una serie deecuaciones diferenciales por partes. Cada ecuación es lineal, pero cada una de ellas es aplicable sólo para cierto rango de y. La solución del conjunto es válida para todos los valores de t,12Vea William T. Thomson y Marie Dillon Dahleh, Theory of Variations with Applications, Prentice Hall, 5a. ed.,1998.Figura 4-28a) Un peso en caída librea una distancia h sobre elextremo libre de una viga.b) Modelo equivalente de unresorte. c) Cuerpo libre delpeso durante la caída.d) Cuerpo libre del pesodurante la detención.hWW WWW

yyyk(y � h)b) c) y = h d) y > hkhWya)EI, l04Budynas0141-203.indd 184 8/10/07 13:39:27CAPÍTULO 4 Deflexión y rigidez 185pero sólo se tiene interés en los valores de y hasta el momento en que el resorte o la estructuraalcanzan su deflexión máxima.La solución para la primera ecuación en el conjunto esy = gt 22y = h (4-55)y esto se verifica por sustitución directa. La ecuación (4-55) ya no es válida después de quey = h; a éste se le llamará tiempo t1. Entoncest1 = 2h/g (b)Diferenciando la ecuación (4-55) para obtener la velocidad day ? = gt y = h (c)y, por lo tanto, la velocidad del peso en t = t1, esy ?1 = gt1 = g 2h/g = 2gh (d)Al pasar de y = 0 a y = h, se necesita resolver la segunda ecuación del conjunto (a). Esconveniente definir un nuevo tiempo t � = t - t1. Así t� = 0 en el instante que el peso chocacon el resorte. Aplicando su conocimiento de las ecuaciones diferenciales, debe encontrar quela solución esy = A cos ?t + B sen ?t + h + Wky > h (e)donde? = kgW (4-56)es la frecuencia circular de vibración. Las condiciones iniciales para el movimiento de la vigaen t� = 0, son y = h y y ? = y ?1 = v2gh (despreciando la masa de la viga, la velocidad es lamisma que la del peso en t� = 0). Sustituyendo las condiciones iniciales en la ecuación (e) seobtiene A y B, y la ecuación (e) se convierte eny = - Wkcos ?t +2W hksen ?t + h +W ky > h (f)Sea -W/k = C cos f y v2W h/k = C sen f, donde puede demostrarse que C = [(W/k)2 +2Wh/k]1/2. Sustituyendo esto en la ecuación (f) y usando una identidad trigonométrica se obtiene

y = Wk2+2W hk1/2cos[?t - f] + h +W ky > h (4-57)La deflexión máxima del resorte (viga) ocurre cuando el término del coseno en la ecuación(4-57) es la unidad. A lo anterior se designa como d y, después de reacomodar términos, sedetermina que esd = ymáx - h = Wk+W k1 +2hkW1/2(4-58)Ahora la fuerza máxima que actúa en el resorte o estructura se determina que esF = kd = W + W 1 + 2hkW1/2(4-59)04Budynas0141-203.indd 185 8/10/07 13:39:28186 PARTE UNO FundamentosObserve en la ecuación, que si h = 0, entonces F = 2W. Esto significa que cuando el peso selibera mientras permanece en contacto con el resorte, no ejerce ninguna fuerza sobre aquél,aunque la fuerza mayor es el doble del peso.La mayoría de los sistemas no son tan ideales como se analizaron aquí, por lo que debetenerse cuidado acerca de su uso en relaciones de sistemas no ideales.PROBLEMAS4-1 A menudo se considera que las estructuras están compuestas por una combinación de elementos y vigasen tensión y torsión. Cada uno de estos elementos se analiza por separado para determinar su relaciónfuerza-deflexión y su constante de resorte. Entonces es posible obtener la deflexión de una estructura,considerándola como un ensamble de resortes conectados en serie y en paralelo.a) ¿Cuál es la constante del resorte equivalente de tres resortes en serie?b) ¿Cuál es la constante del resorte equivalente de tres resortes en paralelo?c) ¿Cuál es la constante del resorte equivalente de un solo resorte en serie con un par de resortes enparalelo?4-2 En la figura se muestra una barra sometida a torsión OA empotrada en O, apoyada en A y conectada aun voladizo en AB. La constante del resorte de la barra de torsión es kT, en newton-metros por radián yla del voladizo es kC, en newtons por metro. ¿Cuál es la constante del resorte equivalente con base en ladeflexión y, en el punto B?

Problema 4-2 LOARBFlyProblema 4-3xlTd1d24-3 Un resorte de barra de torsión consiste en una barra prismática, generalmente de sección transversalcircular, la cual se tuerce en un extremo y se mantiene firme en el otro para formar un resorte rígido. Uningeniero necesita uno más rígido que el usual y, por lo tanto, considera fijar ambos extremos y aplicarel par de torsión en algún punto en la parte central del claro, como se muestra en la figura. Si la barrapresenta diámetro uniforme, es decir, si d = d1 = d2, investigue de qué forma dependen el ángulo de torsión, el par de torsión máximo y la razón de resorte de la ubicación x donde se aplique el par de torsión.Sugerencia: Considere dos resortes en paralelo.