La Circunferencia

Profesor: Javier Trigoso T. Matemática 1

1

LA CIRCUNFERENCIA

DEFINICIÓN Se llama circunferencia a la sección cónica generada al cortar un

cono recto con un plano perpendicular al eje del cono.

La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos del

plano que equidistan de un punto fijo llamado centro (C).

La distancia constante del centro a todos los puntos de la circunferencia recibe el nombre de radio.

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

A partir de la definición vamos a deducir la ecuación de una

circunferencia que tenga el centro en el origen de coordenadas y

radio r.

Si P(x; y) es un punto que pertenece a la circunferencia

entonces la distancia de P al centro es:

ryx)0;P(d 22

Elevando al cuadrado

2 2 2x y r

Esta es la ecuación canónica de la circunferencia de centro (0; 0) y radio r

P (x;y)

O

r

X

Y

http://es.wikipedia.org/wiki/Secci%C3%B3n_c%C3%B3nica

http://es.wikipedia.org/wiki/Cono_(geometr%C3%ADa)


2

Si P(x; y) es un punto que pertenece a la circunferencia con centro en

C (h; k) y radio igual a r, entonces la distancia de P al centro es:

r)ky()hx()C;P(d 22

Elevando al cuadrado:

2 2 2x h y k r

Esta es la ecuación ordinaria de la circunferencia de centro (h; k) y radio r

ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA

Desarrollando la fórmula anterior obtenemos:

22222 rkky2yhhx2x

Ordenando:

0rkhky2yhx2x 22222

Haciendo: -2h = D; -2k = E; h2 + k2 – r2 = F y reemplazando en la ecuación

anterior, obtenemos:

2 2x y Dx Ey F 0

Conocida como la ecuación general de la circunferencia.

O

X

Y

P (x;y)

C (h;k)

r


3

PARA LA CLASE…

01. Determina el centro y el radio de

cada una de las siguientes

circunferencias:

100yx 22

64y)2x( 22

121)3y(x 22

49)1y()1x( 22

50)4y()5x( 22

02. Deduce la ecuación de cada una de

las siguientes circunferencias:

centro en (-3; 5) y radio 2

centro en (2; -5) y radio 3

centro en (4; 0) y radio 2

centro en (0; -2) y radio 1

03. Determina la ecuación de la

circunferencia que satisface las

siguientes condiciones:

centro en (0; 0) y pasa por

(-3; 4)

centro en (3; -2) y pasa por

(11; -2)

centro en (2; 4) y tangente al eje X

centro en (-3; -2) y tangente al eje

Y.

04. Los puntos P (2; 5) y Q (-4; -3) son

los extremos del diámetro de una

circunferencia. Determina el centro, el

radio y la ecuación de esta.

05. Halla la ecuación de la

circunferencia cuyo centro está sobre

el eje Y y que pasa por los puntos

(2; 2) y (6; -4).


circunferencia que pasa por el origen

de coordenadas y tiene su centro en el

punto de intersección de las rectas: L1: x – 2y = 1; L2: x + 3y = 6


circunferencia que pasa por el punto

(-3; 4) y es concéntrica con la

circunferencia de ecuación:

06y2x6yx 22

08. Determina el centro y el radio de

cada uno de las siguientes

circunferencias:

2y10yx6x 22

15y6yx8x 22

77y9x12x9 22

127y32y16x8x16 22

09. Encuentra el valor de “m” para que

la ecuación my8yx10x 22 represente a una circunferencia de

radio 8.


circunferencia que pasa por los puntos

(3; -7), (6; 2) y (8; -2)

(2; 2), (-2; 6), y (-4; 0)

11. Encuentra la ecuación de la

circunferencia circunscrita al

triángulo de vértices (0; -1), (4; -5)

y (0; -9)

12. Calcula la longitud de la cuerda que

determina la recta L: x = 3 al cortar

a la circunferencia de ecuación:

08y6x4yx 22


4

13. La ecuación de una circunferencia

es 20)3y()4x( 22 . Halla la

ecuación de la tangente a esta

circunferencia en el punto (6; 7)

14. La ecuación de una circunferencia

es 5)3y()2x( 22 . Halla la

ecuación de la tangente a dicha


(3; 3).


circunferencia concéntrica a la

circunferencia

017y6x4yx 22 y que sea tangente a la recta

L: 3x - 4y + 7 = 0



(1; 3) y (3; -1) y cuyo centro está en la recta: L1: x - 3y + 2 = 0



(1; 4) y que es tangente a la

circunferencia de ecuación

05y2yx6x 22 en el

punto (-2; 1).


circunferencia que está inscrita en el

triángulo cuyos lados son las rectas:

L1: 4x + 3y – 21=0, L2: 3x – 4y –22

= 0 y L3: x + 6 = 0

PARA LA CASA…

01. Los puntos P (3; -5) y Q (-1; 3) son

los extremos del diámetro de un

círculo. Determina el centro, el radio y

la ecuación del círculo.


circunferencia que tiene su centro en

el punto de intersección de las rectas:

L1: x + 3y = -3, L2: x + y = -1, y

su radio es igual a 5.



A (7; -5) y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas L1: 7x - 9y

– 10 = 0; L2:2x - 5y + 2 = 0

04. Determina el radio de la


0y6x8yx 22

A. 2 B. 3

C. 4 D. 5

05. Determina el diámetro de la


49)7y()3x( 22

A. 3u B. 5u C. 7u D. 14u

06. Halla el área del círculo, si P (6; 0)

y Q (0; 6)

A. 6π u2

B. 24π u2

C. 12π u2 D. 36π u2

Q

X

Y

P


5

07. Halla la ecuación general de la

circunferencia de centro (–5; 12)

y radio 13. A. x² + y² + 10x – 24y = 0

B. x² + y² - 10x + 24y = 0

C. x² + y² + 24x – 10y = 0

D. x² + y² - 24x + 10y = 0

08. Una circunferencia de centro

(3; -2) pasa por el punto (12; 0).

Indica otro punto por donde pasa esta

circunferencia. A. (9; 5) B. (7; 8)

C. (10; 3) D. (8; 6)

09. Dada la ecuación

07y4y3x3 22 , encuentra

su centro.

A. (0; -3/2) B. (0; -2/3)

C. (3/2; 0) D. (2/3; 0)

10. La circunferencia

018y2x9yx 22 , en qué

puntos intercepta al eje X?

A. (0; 3) y (0; 6)

B. (0; 0) y (3; 6)

C. (-3; 0) y (-6; 0)

D. (3; 0) y (6; 0)

11. Halla la ecuación de la circunferen-

cia de centro (-4; -1) y que es

tangente a la recta 3x+2y-12=0

A. (x - 4)² + (y - 1)² = 52

B. (x + 4)² + (y + 1)² = 52

C. (x + 4)² + (y - 1)² = 52

D. (x - 4)² + (y + 1)² = 52

12. Halla la longitud de la

circunferencia cuya ecuación es:

62y20y25x30x25 22

A. 3π B. 6π

C. π 3 D.2π 3

13. Calcula el área del círculo cuya

circunferencia está representada por

la ecuación

0=17+ 4y+24x-4y²+4x²

A. 2π u2 B. 3π u2 C. 4π u2 D. 5π u2



A (1; -4) y B (5; 2) y que tiene su centro en la recta: L1: x – 2y + 9 = 0

A. B.

C. D.

15. La circunferencia de centro (3; 4)

y tangente al eje X, corta al eje Y en

los puntos A y B. Determina la longitud

de la cuerda AB.

A. 4 B. 5

C. 7 D.2 7


circunferencia que pasa por el punto P

(1; 0), sabiendo que es concéntrica a la

circunferencia representada por la

ecuación 0 = 13 + 8y - 2x - y² +x²

A. (x - 1)² + (y - 4)² = 16

B. (x + 1)² + (y - 4)² = 16

C. (x - 1)² + (y + 4)² = 9

D. (x + 1)² + (y + 4)² = 16

17. El diámetro de una circunferencia

es el segmento de recta definido por

los puntos: A (-8; -2) y B (4; 6). Obtén

la ecuación de dicha circunferencia.

A. (x - 2)² + (y - 2)² = 52

B. (x + 2)² + (y - 2)² = 52

C. (x + 2)² + (y + 2)² = 52

D. (x - 2)² + (y + 2)² = 52


6

18. Determina el valor de M para que

la circunferencia de ecuación

M=8y+6x-y²+x² , tenga como

radio 2.

A. -29 B. -21

C.4 D.21


circunferencia que es tangente al eje

X, tiene 10 u de radio y su centro está sobre la recta x – 2y = 0

A. x² + y² + 40x – 20y + 400 = 0

B. x² + y² - 40x + 20y + 400 = 0

C. x² + y² - 40x - 20y + 400 = 0

D. x² + y² - 20x + 40y + 400 = 0


circunferencia cuyo centro está en el

eje X y es tangente a la circunferencia

7=12y-6x-y²+x² en el punto

(-3; 2)

A. (x + 6)2 + y2 = 13

B. (x - 6)2 + y2 = 13

C. x2 + (y + 6)2 = 13

D. x2 + (y - 6) 2= 13


circunferencia que es tangente al eje

de las ordenadas en (0; 6) y cuyo

centro está contenido en la recta y - 3x = 0.

A. (x - 2)² + (y - 6)² = 4

B. (x + 2)² + (y - 6)² = 4

C. (x - 2)² + (y - 6)² = 4

D. (x + 2)² + (y + 6)² = 4

22. Halla la longitud de la

circunferencia que pasa por los

puntosa (3; 0), B (1; 0) y C (0; 1)

A. 22 π u B. 23 π u

C. 2 5 π u D. 5 π u


circunferencia de centro (1; -0,5)

sabiendo que es tangente a la recta 4x + 3y – 15 = 0

A. 4x2 + 4y2 – 8x + 4y – 15 = 0

B. x2 + y2 – 2x + y – 7 = 0

C. x2 + y2 – 4x - 2y + 1 = 0 D. x2 + y2 – 2x + y - 5 = 0

24. Determina la ecuación de la recta

ortogonal a la cuerda común de las

circunferencias:

16=6xy²+x²:C

32=8yy²+x²:C

2

1

A. 3x–4y+16=0 B. 3x+4y-16=0 C. 4x-3y-12=0 D. 4x+3y+12=0

25. Halla las coordenadas de los puntos

de intersección de las circunferencias

dadas por las ecuaciones:

0132y-8xy²+x²:C

096y4x-y²+x²:C

2

1

A. (2;1) y (4;3) B. (1; 2) y (3; 4)

C. (2; 3) y (4; 1) D. (1; 3) y (2; 4)



A(-2; 5), B(4; 3) y C(6; -1)

A. x2 + y2 – 2x - 6y – 38 = 0 B. x2 + y2 + 2x + 4y – 45 = 0

C. x2 + y2 – 2x - 2y - 35 = 0

D. x2 + y2 – 8x - 2y - 8 = 0

27. Determina el área del triángulo

cuyos vértices son N (2; 4) y las

intersecciones de la circunferencia

25=4)²-(y+2)²-(x con el eje de

las abscisas.

A. 6 u2 B. 8 u2

C. 12 u2 D. 16 u2


7

28. El centro de una circunferencia

esta dado por la intersección de las

rectas: L1: y - 2x – 1 = 0 y L2: x +

y = 7. Si pasa por el punto S (6; 2),

halla su ecuación ordinaria.

A. (x + 2)² + (y - 5)² = 25

B. (x - 2)² + (y - 5)² = 25

C. (x - 2)² + (y + 5)² = 25

D. (x - 5)² + (y + 2)² = 25

29. El centro de una circunferencia es

la intersección de las rectas: L1: y - 2x – 1 = 0 y L2: x + y = 7.

Si L3: 5x + 2y + 9 = 0 es tangente a

ella, determina su ecuación ordinaria.

A. (x + 2)² + (y - 5)² = 29 B. (x - 2)² + (y - 5)² = 29

C. (x - 2)² + (y + 5)² = 29

D. (x - 5)² + (y + 2)² = 29

30. Halla la ecuación general de la


A (4; 1) y B (5; -6), y cuyo centro está

sobre la recta L: x + 2y + 5 = 0

A. x² + 4y² + 2x – 4y = 0

B. x² + y² + 2x + 6y – 15 = 0

C. x² + y² - 2x + 6y - 15 = 0

D. x² + y² - 24x + 10y + 9= 0

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