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El Contrato Didáctico y las Prácticas
Comunicativas en el Aula de Matemáticas
Sindy Paola Joya Cruz
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Facultad de Ciencias y Educación
Maestría en Educación
Bogotá, Colombia
2016
El Contrato Didáctico y las Prácticas
Comunicativas en el Aula de Matemáticas
Sindy Paola Joya Cruz
Trabajo de investigación presentado como requisito para optar al título de
Magíster en Educación
Directora
Magíster Deissy Milena Narváez Ortiz
Modalidad: Profundización
Grupo de Investigación MESCUD
(Matemáticas Escolares Universidad Distrital)
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Facultad de Ciencias y Educación
Maestría en Educación
Bogotá, Colombia
2016
Dedicatoria
A mis padres por toda la comprensión y apoyo,
A Felipe por la familia que somos.
Agradecimientos
A los estudiantes y profesora del curso 701 por su
disposición y participación en este trabajo,
A Deissy Narváez por posibilitar la elaboración de este
proyecto con sus ideas y aclaraciones,
A Orlando Lurduy, Gabriel Mancera y Rodolfo Vergel por
cada uno de los aportes y orientaciones a lo largo de
muchos años.
REGISTRO ACADÉMICO ESTÁNDAR - RAE
1. Información General
Tipo de
documento Trabajo de Grado de Maestría
Acceso al
documento Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Título del
documento
El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de
Matemáticas
Autor(es) Sindy Paola Joya Cruz
Director Deissy Milena Narváez Ortiz
Publicación Bogotá. Universidad Distrital Francisco José de Caldas, 2016.
Palabras Claves Contrato Didáctico, Prácticas Comunicativas, Etnografía, Cláusula de
Control Semántico
2. Descripción
Este trabajo evidencia algunos datos empíricos en los que se identifican manifestaciones
del contrato didáctico (Brousseau, 1986b), las cuales fueron caracterizadas mediante el uso
de instrumentos y métodos de la investigación etnográfica. Este estudio se desarrolló en
clases de matemáticas de un grupo de grado séptimo de un colegio distrital de Bogotá. Los
resultados describen que la ocurrencia de Efectos del contrato didáctico interviene de
manera negativa en la significación de las matemáticas que hacen los estudiantes y que
muchas de sus respuestas y comportamientos se catalogan como erróneos o inexplicables
debido a que las acciones desarrolladas se ejecutan bajo Cláusulas nocivas del contrato
didáctico.
3. Fuentes
Se referencian 36 documentos, referidos al Contrato Didáctico, Prácticas Comunicativas,
Metodología de investigación etnográfica y aquellos que teorizan respecto a la teoría de
situaciones didácticas. A continuación se resaltan los más relevantes:
Brousseau, G. (1986b). Fundamentos y Métodos de la Didáctica. Universidad Nacional de
Córdoba, Argentina.
Brousseau, G. & Warfield, V. (1999). El caso de Gaël: El estudio de un niño con
dificultades matemáticas. The Journal of Mathematical Behavior, 18(1), 1-40.
Calderón, D. (2012). El lenguaje en las matemáticas escolares. En B. D'Amore, J. Godino,
D. Calderón, C. Vasco, O. León & A. Sáenz Ludlow, Perspectivas en la Didáctica
de las Matemáticas (1st ed., pp. 79-110). Bogotá, Colombia.
D'Amore, B. (2006). Didáctica de la Matemática. Bogotá: Magisterio.
Fandiño, M. (2010). Múltiples aspectos del aprendizaje de la matemática: Evaluar e
intervenir en forma mirada y específica. Bogotá: Magisterio.
Jiménez, A., Suarez, N., & Galindo, S. (2010). La comunicación: Eje en la clase de
matemáticas. Praxis & Saber, 1(2), 173-202.
Murillo, J. & Martínez, C. (2010). Investigación etnográfica. Métodos de investigación
educativa en educación especial. Universidad Autónoma de Madrid.
4. Contenidos
En el primer capítulo se presenta la delimitación del problema, recurriendo a
planteamientos del proceso de construcción del problema, los objetivos, pregunta de
investigación y antecedentes del estudio.
En el segundo capítulo se expresan los referentes teóricos y conceptuales concernientes al
contrato didáctico, efectos y cláusulas presentes en el contrato didáctico y a la
comunicación en el aula de matemáticas.
En el tercer capítulo se detalla la metodología etnográfica, caracterizando el diseño, el
escenario de investigación, técnicas usadas y la manera de realizar la recolección de la
información.
El cuarto capítulo expone las categorías de análisis en tres ramas: (1) Clausulas y Efectos
(2) Funciones del uso de la lengua y (3) Prácticas comunicativas.
El quinto capítulo da cuenta de los análisis desarrollados de acuerdo a las fuentes teóricas
y la recolección de información. Se analizan 12 situaciones referidas a las tres categorías
descritas en el capítulo 4.
Por último, el capítulo seis presenta las conclusiones y la descripción de algunas
inquietudes investigativas.
5. Metodología
Se utiliza la Etnografía Educativa (Murillo y Martínez, 2010, p.3) ya que centra su atención,
en “[…] descripciones detalladas de situaciones, eventos, personas, interacciones y
comportamientos que son observables”. En este sentido, se realiza la observación,
descripción y análisis de 3 sesiones de clase de matemáticas, de aproximadamente dos
horas cada una, de un grupo de grado séptimo de un colegio distrital en la ciudad de Bogotá,
que tienen como eje de sus prácticas el uso de Números Enteros. Para ello, se muestran 12
situaciones referidas a efectos, cláusulas y prácticas comunicativas.
6. Conclusiones
Algunas de las conclusiones de este trabajo son:
Las prácticas comunicativas de los estudiantes durante el desarrollo de las sesiones
evidencian la importancia de reconocer en la matemática los sistemas de signos, para
transmitir información específica. En este sentido, una descripción del objeto matemático
números enteros corresponde a un juego semántico en el que pretende caracterizarse de la
mejor manera posible el uso de sus propiedades, aunque en ocasiones en el esfuerzo del
docente por hacer comunicativa una idea, se pierda el objeto matemático.
A su vez, los efectos son condiciones en las que actúa el profesor en una situación de
enseñanza del objeto matemático, realizando determinadas intervenciones, con poco valor
cognitivo (mínimo significado) para el estudiante. Y las cláusulas son la forma de actuar
del estudiante, independientemente a si se encuentra presente el docente o no, ya que
corresponden al condicionamiento ante una situación problema.
Finalmente, las acciones del docente y los estudiantes, no son del todo espontáneas, de
hecho, todas se corresponden a una respuesta ante el contrato didáctico que se ha apropiado
en el aula, en el que se requiere de diversas formas de comunicación y actuación.
Elaborado por: Sindy Paola Joya Cruz
Revisado por: Deissy Milena Narváez Ortiz
Fecha de elaboración del Resumen: 25 09 2016
Tabla de contenido
Introducción 14
1. Delimitación del problema 16
1.1 Problema de Investigación 16
1.2 Objetivos 18
1.3 Pregunta de investigación 19
1.4 Antecedentes 19
2 Marco teórico 25
2.1 Contrato Didáctico 28
2.2 Efectos del Contrato Didáctico 30
2.3 Cláusulas del Contrato Didáctico 33
2.4 Comunicación en el Aula de Matemáticas 37
3 Marco Metodológico 43
3.1 Diseño y Escenario 44
3.2 Técnicas e Instrumentos 46
3.3 Recolección y Procesamiento de datos 47
4 Categorías de análisis 49
4.1 CATEGORÍA 1: Manifestaciones del Contrato Didáctico: Efectos y Cláusulas 49
4.2 CATEGORÍA 2: Funciones del uso de la lengua: Representación. 52
4.3 CATEGORÍA 3: Prácticas Comunicativas: Funciones de Comunicación. 53
5 Análisis de datos 54
5.1 Análisis Clase 1 55
5.2 Análisis Clase 2 64
5.3 Análisis Clase 3 75
6 Conclusiones y resultados 84
7 Referencias Bibliográficas 90
8 Anexos 94
8.1 Anexo 1: Rejilla para la revisión de documentos 94
8.2 Anexo 2: Elementos destacados en diferentes documentos 94
8.3 Anexo 3: Tabulación de Datos Bibliométricos 99
8.4 Anexo 4: Esquemas para la caracterización de situaciones a-didácticas. 102
8.5 Anexo 5: Transcripción de los episodios de clase 106
Índice de Ilustraciones, Tablas e Imágenes
ILUSTRACIONES
Ilustración 1. Relación triángulo didáctico y comunicación educativa (Autino et al. 2011) 22
Ilustración 2. El triángulo: Maestro, Estudiante, Saber. (D’Amore, 2006, p. 231). ............. 27
Ilustración 3. Relaciones y aspectos visualizados ................................................................ 43
Ilustración 4. Fases de acuerdo a Murillo y Martínez (2010). .............................................. 44
Ilustración 5. Acciones a desarrollar para el procesamiento de la información. .................. 48
Ilustración 6. Esquema de acción. Reconstrucción de imagen (Brousseau, 1986b, p. 29). 102
Ilustración 7. Esquema de comunicación. Reconstrucción de imagen (Brousseau, 1986b, p.
46). ...................................................................................................................................... 103
Ilustración 8. Esquema de validación explícita. Tomado de Brousseau (1986b, p. 49). .... 104
TABLAS
Tabla 1. Situación didáctica y Situación a-didáctica, de acuerdo a Panizza (2003)............. 26
Tabla 2. Efectos del Contrato Didáctico ............................................................................... 33
Tabla 3. Cláusulas del Contrato Didáctico ........................................................................... 36
Tabla 4. Funciones de Representación. ................................................................................ 40
Tabla 5. Funciones de Comunicación. ................................................................................. 40
Tabla 6. Prácticas Compartidas, de acuerdo a Fandiño (2009, en D’Amore et al. 2010, p.
150) ....................................................................................................................................... 41
Tabla 7. Rejilla para observación de clase. .......................................................................... 47
Tabla 8. CATEGORÍA 1: Manifestaciones del Contrato Didáctico: Efectos y Cláusulas... 51
Tabla 9. CATEGORÍA 2: Funciones del uso de la lengua: Representación. ....................... 52
Tabla 10. CATEGORÍA 3: Prácticas Comunicativas: Funciones de Comunicación. .......... 53
Tabla 11. Observables Clase 1 – Categoría 1 ....................................................................... 56
Tabla 12. Clase 1. Situación 1. Efecto Jourdain. .................................................................. 57
Tabla 13. Clase 1. Situación 2. Cláusula de Control Semántico. ......................................... 59
Tabla 14. Observables Clase 1 – Categoría 2 ....................................................................... 60
Tabla 15. Clase 1. Situación 3. Función de Expansión Discursiva ...................................... 61
Tabla 16. Observables Clase 1 – Categoría 3 ....................................................................... 62
Tabla 17. Clase 1. Situación 4. Función Instrumental .......................................................... 63
Tabla 18. Observables Clase 2 – Categoría 1 ....................................................................... 66
Tabla 19. Clase 2. Situación 5. Efecto Jourdain. .................................................................. 67
Tabla 20. Clase 2. Situación 6. Cláusula: Todos los problemas tienen solución ligada solo a
los datos numéricos. ............................................................................................................. 69
Tabla 21. Observables Clase 2 – Categoría 2 ....................................................................... 70
Tabla 22. Clase 2. Situación 7. Función Apofántica. ........................................................... 71
Tabla 23. Observables Clase 2 – Categoría 3 ....................................................................... 72
Tabla 24. Clase 2. Situación 8. Función Informativa. .......................................................... 73
Tabla 25. Observables Clase 3 – Categoría 1 ....................................................................... 76
Tabla 26. Clase 3. Situación 9. Efecto Topaze. .................................................................... 77
Tabla 27. Clase 3. Situación 10. Cláusula de Control Semántico. ....................................... 78
Tabla 28. Observables Clase 3 – Categoría 2 ....................................................................... 80
Tabla 29. Clase 3. Situación 11. Función Apofántica. ......................................................... 81
Tabla 30. Observables Clase 3 – Categoría 3 ....................................................................... 82
Tabla 31. Clase 3. Situación 12. Función Personal .............................................................. 83
Tabla 32. Instrumento para la revisión de documentos. ....................................................... 94
Tabla 33. Elementos destacados en el documento de Azcárate (1994). ............................... 95
Tabla 34. Elementos destacados en el documento de Gascón (1997). ................................. 95
Tabla 35. Elementos destacados en el documento de D’Amore y Martini (1997). .............. 96
Tabla 36. Elementos destacados en el documento de Morales, Joya y Quintero (2010). .... 96
Tabla 37. Elementos destacados en Autino, Digión, Llanos, Marcoleri, Montalvetti y Soruco
(2011). .................................................................................................................................. 97
Tabla 38. Elementos destacados en el documento de Jiménez, Suárez y Galindo (2010). .. 97
Tabla 39. Elementos destacados en el documento de Triana (2012).................................... 98
Tabla 40. Elementos destacados en el documento de Jaramillo, Morales y Varela (2006). 99
Tabla 41. Registro de aproximación bibliométrica a núcleos temáticos. ........................... 102
Tabla 42. Anexo: Transcripción apartados de Clase 1. ...................................................... 116
Tabla 43. Anexo: Transcripción apartados de Clase 2. ...................................................... 133
Tabla 44. Anexo: Transcripción apartados de Clase 3. ...................................................... 143
IMÁGENES (FOTOGRAFÍAS)
Imagen 1. “Tabla de división entre signos” .......................................................................... 57
Imagen 2. Estudiante que no se siente autorizado a usar el signo (+) en la solución de una
división ................................................................................................................................. 59
Imagen 3. División ............................................................................................................... 61
Imagen 4. Listado de palabras asociadas a la operación resta. ............................................. 67
Imagen 5. Solución del Problema #2. (Registro de la docente) ........................................... 68
Imagen 6. Solución del Problema #2. (Registro de un estudiante)....................................... 69
Imagen 7. Estudiantes “encontrando” la operación indicada. .............................................. 71
Imagen 8. Diagrama, operaciones y solución del Problema #1(Registro docente) .............. 73
Imagen 9. Operaciones y solución del Problema #1(Registro de un estudiante) ................. 73
Imagen 10. Estudiante y Profesora realizando la revisión de problemas. ............................ 77
Imagen 11. Estudiante presentando un problema que no necesita cálculos para su solución
.............................................................................................................................................. 81
Imagen 12. Docente a la estudiante que hay palabras clave que resuelven el problema...... 82
Imagen 13. División ........................................................................................................... 107
Imagen 14. “Tabla de división entre signos” ...................................................................... 108
Imagen 15. Producción de estudiante: Partes de la división en un ejemplo ....................... 108
Imagen 16. Justificación formal de un estudiante. ............................................................. 109
Imagen 17. Dictados para aclarar la explicación de clase. ................................................. 110
Imagen 18. Solución de divisiones entre enteros desarrollada por el estudiante. .............. 112
Imagen 19. Estudiantes a los que se les dificulta dividir por varias cifras. ........................ 112
Imagen 20. Estudiante que no se siente autorizado a usar el signo (+) en la solución de una
división ............................................................................................................................... 113
Imagen 21. Listado de palabras asociadas a la operación suma. ........................................ 118
Imagen 22. Listado de palabras asociadas a la operación resta. ......................................... 118
Imagen 23. Palabras asociadas a las operaciones básicas (Registro de un estudiante). ..... 119
Imagen 24. Indicaciones de cómo se debe resolver un problema. ..................................... 121
Imagen 25. Estudiantes siguiendo el dictado de la docente. .............................................. 122
Imagen 26. Diagrama inicial elaborado por la docente para resolver el Problema #1 ....... 123
Imagen 27. Diagrama consecutivo elaborado por la docente para resolver el Problema #1
............................................................................................................................................ 123
Imagen 28. Diagrama, operaciones y solución del Problema #1(Registro docente) .......... 124
Imagen 29. Operaciones y solución del Problema #1(Registro de un estudiante) ............. 124
Imagen 30. Dictado de la docente. Problema #2. Ejercicio tomado de libro. .................... 125
Imagen 31. Solución del Problema #2. (Registro de la docente) ....................................... 126
Imagen 32. Solución del Problema #2. (Registro de un estudiante)................................... 126
Imagen 33. Dictado de la docente. Problema #3. Ejercicio tomado de libro. .................... 126
Imagen 34. Estudiantes “encontrando” la operación indicada. .......................................... 127
Imagen 35. Estudiantes indicando cuál es la operación que resuelve el Problema #3 ....... 127
Imagen 36. Solución del Problema #3 (Registro de la docente) ........................................ 128
Imagen 37. Solución del Problema #3 (Registro de un estudiante).................................... 128
Imagen 38. Organización del aula de clase en filas. ........................................................... 129
Imagen 39. Estudiante resolviendo el Problema #4 en el tablero ....................................... 129
Imagen 40. Estudiantes que muestran la solución del ejercicio a la docente ..................... 130
Imagen 41. Solución del Problema #4 (Registro de estudiante y docente en el tablero) ... 131
Imagen 42. Problema #2 (Registro de un estudiante .......................................................... 131
Imagen 43. Manera de escribir velocidades (Registro de la docente). ............................... 132
Imagen 44. Problema #4 (Registro de un estudiante) ......................................................... 133
Imagen 45. Estudiantes presentando la tarea para revisión ................................................ 133
Imagen 46. Registro de una tarea calificada por la docente. .............................................. 133
Imagen 47. Estudiante que solicita se le califique la tarea. ................................................ 134
Imagen 48. Datos para la construcción de un problema (Registro de la docente). ............ 135
Imagen 49. Estudiante buscando aprobación del problema que se inventó. ...................... 135
Imagen 50. Docente aprobando los problemas diseñados por una estudiante.................... 136
Imagen 51. Estudiante presentando un problema que no necesita cálculos para su solución.
............................................................................................................................................ 136
Imagen 52. Estudiante que diseña un problema sin considerar la información dada. ........ 137
Imagen 53. Docente a la estudiante que hay palabras clave que resuelven el problema.... 138
Imagen 54. Datos dados por la docente para el diseño de problemas. ............................... 138
Imagen 55. Estudiante y Profesora realizando la revisión de problemas. .......................... 139
Imagen 56. Docente comparando sus respuestas con las de un estudiante. ....................... 140
Imagen 57. Estudiante solicita explicación de los términos de un problema ..................... 140
Imagen 58. Estudiante en busca de validación de respuestas ............................................. 141
Imagen 59. Docente dando indicaciones a una estudiante para resolver ejercicios ........... 141
Imagen 60. Estudiante que no se siente autorizada a usar datos implícitos. ...................... 143
Imagen 61. Docente dando explicaciones finales de la clase. ............................................ 143
Universidad Distrital – Maestría en Educación – Sindy Joya Introducción
El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 14 ~
Introducción
En Educación Matemática hay una gran cantidad de investigaciones, desde diferentes
perspectivas, que refieren a las interacciones y a las formas como éstas dificultan o favorecen
la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas que tienen lugar en el aula. Refiriendo a las
investigaciones que tienen en cuenta las relaciones en la triada didáctica (Chevallard, 1982,
en D’Amore, 2006) y a la Didáctica de las Matemáticas como ciencia, podemos indicar que
autores como Godino (2010), Brousseau (1986b) y D’Amore (2006), han problematizado la
enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, reconociendo que la Didáctica de la
Matemática tiene como objetivo identificar, caracterizar y comprender los fenómenos y los
procesos que condicionan la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas (D’Amore,
2006, p. 111).
Para comprender algunos de los procesos que tienen lugar en el aprendizaje de las
matemáticas, Brousseau (1978, citado en D’Amore, 2006, p.113) explicitó la idea de
Contrato Didáctico, desde el estudio de las causas del fracaso electivo en matemáticas. Desde
lo planteado por Brousseau, el origen del contrato didáctico se remonta precisamente al
estudio de un caso de fracaso escolar, el caso de Gaël (Brousseau y Warfield, 1999), en el
que se señala que algunos comportamientos del estudiante en el abordaje de situaciones
matemáticas son producto de interpretaciones que hace de las indicaciones del profesor
dentro de una situación didáctica.
Dichos comportamientos se reflejan a través de efectos (terminología propuesta por
Brousseau) y cláusulas (terminología propuesta por Chevallard), que han sido estudiados,
analizados y ejemplificados a partir de casos particulares en los que se indica su aparición en
la solución de una situación didáctica. Sin embargo, rastrear manifestaciones de efectos y
cláusulas se constituye en problema de investigación, ya que a pesar de que existe
documentación teórica al respecto, son muy pocas las evidencias con datos empíricos
suficientes que soporten dicha información.
Por lo tanto, este trabajo se orienta a la descripción, caracterización y análisis de situaciones
en un aula de matemáticas, en la que se evidencian algunos de los efectos y cláusulas
descritos del contrato didáctico.
Universidad Distrital – Maestría en Educación – Sindy Joya Introducción
El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 15 ~
Para realizar dicha caracterización se tiene en cuenta tres fuentes teóricas: la primera
corresponde a los Efectos del contrato didáctico (Brousseau, 1986b); la segunda a las
Cláusulas del contrato didáctico (D’Amore, 2006; Chevallard, 1982, en D’Amore, 2006); y
la tercera a las Prácticas Comunicativas (Fandiño, 2009). Se presenta como hipótesis que a
partir de la observación y análisis de las prácticas comunicativas en el aula, se pueden
evidenciar con mayor claridad situaciones relativas al contrato didáctico.
Con este propósito y usando la Etnografía Educativa como método (Murillo y Martínez,
2010), se realiza la observación, descripción y análisis de diferentes sesiones de clase de
matemáticas del curso 701, en un colegio público en la ciudad de Bogotá, en las que se aborda
el objeto matemático Números Enteros. Posteriormente, se muestra cómo el análisis de las
prácticas comunicativas en el aula de matemáticas puede ser interpretado a partir de las
diferentes manifestaciones del contrato didáctico.
Debido a que el objeto matemático que se identifica es los Números Enteros y la intención
de enseñanza que se tiene es el uso adecuado de propiedades y operaciones en este conjunto
numérico, las sesiones de clase se desarrollan en torno a reglas y procedimientos que son
sugeridos por la docente para permitir que los estudiantes desarrollen “adecuadamente” una
serie de intervenciones, preguntas y respuestas. Estas situaciones, enmarcadas en diferentes
prácticas comunicativas, son analizadas inicialmente a partir de la caracterización realizada
por Fandiño (2009), en la que se identifica que una práctica comunicativa es una práctica
compartida, que se especifica en el reconocimiento y exposición de ideas matemáticas que
deben ser defendidas y validadas.
De igual manera, con base en las ideas de Brousseau (1986b) y las interpretaciones
desarrolladas por D’Amore (2006) se proponen categorías de análisis. Estas categorías, si
bien no son muestra total de las interacciones que se llevan a cabo en las diferentes aulas de
matemáticas, dan muestra de aproximaciones que pueden ser analizadas en otros contextos.
Dentro de los hallazgos, se describe la Cláusula de Control Semántico, en la cual el estudiante
no logra reconocer si la respuesta que produce tiene un significado coherente con la pregunta
propuesta. Así mismo, se realiza una caracterización de prácticas comunicativas en relación
al objeto matemático números enteros y de la relación existente entre las acciones del docente
y de los estudiantes a la luz de cláusulas y efectos del contrato didáctico.
Universidad Distrital – Maestría en Educación – Sindy Joya Delimitación del Problema
El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 16 ~
1. Delimitación del problema
En este capítulo se contextualiza el problema de investigación, se realiza la determinación de
objetivos, se plantea explícitamente la pregunta de investigación y se identifican algunos
antecedentes respecto al tema específico de esta investigación.
1.1 Problema de Investigación
La Teoría de Situaciones Didácticas (TSD) de Brousseau (1986b) vincula aspectos
emergentes de la relación entre los elementos de la Tríada Didáctica: Profesor, Estudiante y
Saber. En las relaciones presentes, se resalta la de Profesor-Estudiantes, más aún por la
presencia de prácticas de tipo comunicativo que inciden en la enseñanza-aprendizaje de las
matemáticas; las cuales a su vez producen algunos efectos y cláusulas en el marco de un
contrato didáctico establecido tácitamente en clase.
Por ejemplo, en D’Amore (2006, p. 117) se referencia que a un grupo de estudiantes de cuarto
de primaria se les presentó la siguiente información: “Un pastor tiene 12 ovejas y 6 cabras.
¿Cuántos años tiene el pastor?” A lo cual los estudiantes respondieron: “Dieciocho”. 1 En
esta situación es evidente la ocurrencia de al menos dos hechos: por un lado, el docente da
una serie de informaciones (hechos, datos, nombres), instrucciones y preguntas que espera
que el estudiante interprete “adecuadamente”; y por el otro, el estudiante tiene la expectativa
de responder descifrando la intención comunicativa del profesor, a través de lo que reconoce
en los datos y con los algoritmos que le son próximos.
Todavía cabe considerar que en esta situación se “exige” una respuesta, ya que los estudiantes
están convencidos de que todos los problemas matemáticos tienen solución; sin embargo,
dada la información, se debe comprender que el estudiante señala una respuesta, no porque
no reconozca las matemáticas o sus diversos razonamientos, sino porque está sujeto a una
interacción que se ha desarrollado en la clase, en la cual sabe que al realizarse una pregunta,
él, como estudiante deberá responderla.
1 Este problema fue dado a conocer por Stella Baruk, en su libro: La edad del capitán, del error en matemáticas
(1985), el cual está basado en una carta escrita por el novelista francés Gustave Flaubert (autor de Madame
Bovary) en 1843, problema que es retomado y analizado posteriormente por los investigadores del IREM de
Grenoble, entre ellos Brousseau.
Universidad Distrital – Maestría en Educación – Sindy Joya Delimitación del Problema
El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 17 ~
De lo anterior se desprende que el Contrato Didáctico (Brousseau, 1986b) está presente en el
aula de matemáticas, ya que se asigna un rol a cada uno de los participantes y ellos responden
de acuerdo a éste; por ejemplo, el docente de preguntar y el estudiante de responder. Un rol
que si bien no fue enmarcado abiertamente ha sido la forma de interacción en el aula. Cabe
resaltar que dicho rol no puede señalarse como positivo o negativo, ya que está sujeto a las
circunstancias con las cuales se realicen las aproximaciones, intervenciones e interacciones
en el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas.
Se aclara sin embargo que, en casos como el expuesto por D’Amore (2006, p. 117) al referirse
a la edad del pastor, pueden intervenir también una variedad de dificultades que los
estudiantes encuentran en el aprendizaje y en la práctica del aula (D’Amore, Fandiño,
Marazzani y Sbaragli, 2010, p. 151). Una de estas dificultades es conocida como fracaso
electivo.2
Brousseau y Warfield (1999) posteriormente, desarrollan observaciones referidas al fracaso
electivo en matemáticas, remitiéndose al Caso de Gaël.3 En el cual identifican aspectos que
afectan negativamente el aprendizaje de las matemáticas y que llaman la atención sobre la
necesidad de estudiar más profundamente el contrato didáctico en el aula. Algunos de estos
aspectos son: el no reconocimiento del sentido de una pregunta, la incapacidad de mantener
una idea ante la contradicción de otro, manifestaciones de sumisión o dependencia frente a
una autoridad como el maestro o un adulto, el no uso de diferentes estrategias para verificar
una respuesta y hábitos en los que se evita el enfrentamiento a problemas matemáticos, así
como cualquier situación que implique la construcción de conocimiento.
Interesa llegar a esto porque el Caso de Gaël puede ser equiparable con el de muchos
estudiantes que a diario se encuentran en las aulas y que al parecer muestran un desempeño
deficiente en matemáticas; su fracaso, puede que no sea atribuible a dificultades de
aprendizaje, sino a formas de actuar que se establecen en el aula, producto de la comunicación
entre docente y estudiantes, o relaciones entre el estudiante y el saber mismo, las cuales son
relativas a las expectativas de cada uno y que no son interpretadas por otros.
2 Denominación usada por Brousseau y Pérez (1981), referidas al caso de Gaël. 3 Un niño de 8 años al que se le atribuyen características que se relacionan a estudiantes con dificultades en el
aprendizaje.
Universidad Distrital – Maestría en Educación – Sindy Joya Delimitación del Problema
El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 18 ~
A causa de ello, se identifica que la comunicación representa un papel indispensable en las
relaciones entre los elementos de la triada didáctica, ya que de ella dependen algunas de las
interacciones que se dan en torno al saber. Particularmente, la comunicación se caracteriza
por la transmisión e intercambio de información que se presenta con mayor recurrencia en el
aula de matemáticas y por tanto, como ya se hizo notar, la necesidad de ponerlo en manifiesto.
Por lo tanto, el problema de investigación, surge como la necesidad de caracterizar
manifestaciones del contrato didáctico en un aula de matemáticas a través de prácticas
comunicativas; toda vez que no existen suficientes ejemplos, así como instrumentos,
investigaciones o situaciones que permitan a la comunidad de educadores matemáticos,
tomar consciencia de las mismas para el reconocimiento de efectos y cláusulas del Contrato
Didáctico en torno a la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas.
1.2 Objetivos
Objetivo General
Caracterizar manifestaciones del contrato didáctico en un aula de matemáticas a la luz de las
prácticas comunicativas de estudiantes de grado séptimo en una institución educativa en la
ciudad de Bogotá. 4
Objetivos Específicos
● Reconocer episodios de clase en los que se manifiesten acciones o comportamientos
del profesor y los estudiantes, asociados a los Efectos (Brousseau, 1986a) y las
Cláusulas (Chevallard, en D’Amore, 2006) del Contrato Didáctico reportados en
estudios precedentes.
● Identificar y describir prácticas comunicativas entre estudiante y profesor (Fandiño,
2009) mediante la observación de episodios de clase de matemáticas y el
reconocimiento de manifestaciones del contrato didáctico.
4 Entiéndase una manifestación como aquella situación en la cual se observa (evidencia) la ocurrencia de un
efecto o una cláusula del contrato didáctico.
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El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 19 ~
1.3 Pregunta de investigación
¿Qué manifestaciones del Contrato Didáctico pueden observarse en las Prácticas
Comunicativas entre profesor y estudiantes, de un curso de grado séptimo de un colegio
distrital de Bogotá?
1.4 Antecedentes
En el marco de la Maestría en Educación con Énfasis en Educación Matemática, de la
Universidad Distrital Francisco José de Caldas (Bogotá, Colombia) y para los fines de este
trabajo, se desarrolla una revisión de bases de datos, sobre producción bibliográfica respecto
a tres núcleos temáticos: (1) Contrato Didáctico, (2) Comunicación en el aula de matemáticas
y (3) Etnografía como metodología de investigación. Esta elaboración tiene como fin
reconocer la literatura de carácter científico, los autores que la producen, así como algunos
análisis, metodologías y conclusiones existentes respecto a las mismas. De acuerdo con la
documentación encontrada se presenta una síntesis conceptual de investigaciones y trabajos
que se relacionan con el problema formulado.
La revisión y registro se desarrolla mediante la “Rejilla para la revisión de documentos” (Ver
Anexo 1), la cual permitió rastrear una serie de elementos, que aporten a la toma de decisiones
metodológicas en este estudio, en particular formas de actuación validadas que sean útiles
para el análisis oportuno, detallado de los datos y, sobre todo, que den muestra de la relación
existente entre el contrato didáctico y la comunicación. Con el uso de esta rejilla, se reconoce
en los documentos analizados que diversos autores se han aproximado a la idea de contrato
didáctico desde adhesiones a lo propuesto por Brousseau (1986b) y distanciamientos con
pretensión de complementar las ideas que sustentan las interacciones entre los elementos de
la tríada didáctica.
A continuación se realiza una descripción de algunos de los documentos revisados; en cada
uno se señala el anexo correspondiente en el que se presenta la rejilla diligenciada con cada
una de las características que se han considerado relevantes, en particular los objetivos del
estudio, la metodología y los resultados.
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El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 20 ~
El primer núcleo temático refiere al Contrato Didáctico, con estas indicaciones, Azcárate
(1994, p. 2) (Ver Anexo 2.1) menciona una definición de contrato didáctico, reconociéndola
como:
[...] los derechos y los deberes tanto de los alumnos como del profesor; y éste
es el responsable de la coherencia de los enunciados, de acuerdo con aquellas
normas que forman parte de la cultura escolar,…. el papel de los estudiantes
es el de dar una respuesta, de acuerdo con la lógica del contrato escolar.
Aunque es una interpretación que se aleja de la idea original de Contrato Didáctico, dados
los términos nuevos que incorpora, se deja como evidencia que, aunque para un estudiante,
una situación no tenga sentido, él se siente obligado a responder ya que es el contrato que
tiene con el profesor; contrato en el cual se debe presentar una solución para determinar si
sabe hacer los procedimientos matemáticos necesarios.
Pasemos ahora a Gascón (1997) (Ver Anexo 2.2), quien da un indicio de la existencia de
cambios sustanciales en el contrato de acuerdo con los niveles educativos, este aporte
permitió tomar decisiones sobre el nivel educativo en que se tomarían los datos. Al respecto
plantea que la responsabilidad didáctico-matemática deja de ser exclusiva del profesor y se
convierte en responsabilidad compartida con el estudiante a nivel universitario. De igual
manera, se identifica la transposición didáctica como las modificaciones que surgen a las
obras matemáticas para poder ser enseñadas; el cambio de contrato que se ejemplifica del
paso de secundaria a universidad y la caracterización de los fenómenos relativos a la
matemática escolar, dan muestra de algunos obstáculos epistemológicos en el proceso no
homogéneo de estudio de las matemáticas, los cuales plantean como objetivo modificar la
estructura y las funciones de los dispositivos didácticos existentes.
Por otro lado, D’Amore y Martini (1997) (Ver Anexo 2.3) realizan un estudio en el que
identifican la influencia y el papel de la delegación formal como una de las cláusulas
existentes. Allí se caracteriza y ejemplifica cinco parámetros que dan vía a una adecuada
interpretación de las situaciones, ya que permiten identificar características observables y
analizables respecto a las cláusulas que puedan manifestarse en un aula de clases de
matemática. Este documento presenta características para determinar cómo pueden ser
mostrados los ejemplos de solución de un grupo de estudiantes, a través de registros
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El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 21 ~
fotográficos en los que se describe posteriormente las interpretaciones que mencionan los
estudiantes.
El segundo núcleo temático hace referencia a la Comunicación en el aula de matemáticas,
particularmente a elementos que deben ser considerados cuando se hace resolución de
problemas. Se considera inicialmente a Morales, Joya y Quintero (2010) (Ver Anexo 2.4);
quienes si bien no se refieren directamente a la comunicación, evidencian el análisis de
intervenciones que determinan las respuestas de un grupo de estudiantes frente a una
situación problema, posterior a una validación en la que intervienen a través de diferentes
representaciones (gráfica, tabular, gestual, textual), para hacer considerar a las otras personas
la validez de las afirmaciones propias.
Por otro lado, se interpreta la comunicación educativa de acuerdo a los señalamientos de
Ojalvo (1995, en Autino, Digión, Llanos, Marcoleri, Montalvetti y Soruco, 2011, p. 3) (Ver
Anexo 2.5), quien señala que es:
[…] todo proceso inseparable de la actividad docente, donde intervienen
diversas prácticas de interacción. Estas prácticas se pueden expresar en el
aula, a través de diferentes lenguajes: el escolar, el magisterial, el lenguaje de
los alumnos y el lenguaje de los textos, como así también en las metodologías
de enseñanza-aprendizaje y en las relaciones que establece la escuela con su
contexto social.
En Autino et al. (2011) se señala también que los posibles factores que se oponen al
aprendizaje de las matemáticas y que interfieren en la comunicación educativa, son
obstáculos de diferente tipología: ontogénicos, didácticos y epistemológicos. Por otro lado,
se reconoce que las dimensiones situacionales, condicionan la comunicación y consecuencia
de ello es que la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas se ve condicionado a las
respuestas que se enmarcan es esas dimensiones. De igual manera, Autino et al. (2011, p.
11) proponen un esquema que visualiza la relación de los elementos de la triada didáctica y
los elementos de la comunicación educativa.
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El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
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Ilustración 1. Relación triángulo didáctico y comunicación educativa (Autino et al. 2011)
En este esquema se evidencia la existencia de un contexto en relación al saber matemático;
el código y el mensaje que debe ser comunicado; así como el profesor y el alumno en un
doble rol de receptor-emisor.
Entre tanto, en los planteamientos de Jiménez, Suárez y Galindo (2010, p. 7) (Ver Anexo
2.6), se destaca que la comunicación desempeña un papel importante en la clase de
matemáticas, ya que debe percibirse más allá del lenguaje simbólico que pretende ser
comunicado, con el fin de favorecer los procesos de particularizar, generalizar, conjeturar
y convencer. De igual manera, se reconoce que, si los elementos del triángulo didáctico se
encuentran realmente relacionados, la clase de matemáticas se convertirá en un núcleo de
aprendizaje (Jiménez et al. 2010, p. 20). Para ello, utilizar la pregunta como herramienta
didáctica, permite obtener información que no se tiene y ayuda a los estudiantes a pensar a
través de la validación de sus argumentos. En este documento, también se señala que la
respuesta debe ser analizada por el docente, para que éste lleve al estudiante a realizar
conjeturas que se enmarquen en los objetivos de la clase; por tanto, el docente debe dar un
tiempo necesario para que los estudiantes piensen la respuesta que darán y no ser solo él
quien pregunta y responde.
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El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 23 ~
Y el tercer núcleo temático que refiere a la Etnografía como método de investigación,
explicitando algunas investigaciones en las que se hace referencia a dicho método y el
análisis a la luz de su interpretación metodológica.
En este sentido Triana (2012) (Ver Anexo 2.7), presenta un estudio con un enfoque
metodológico de orden cualitativo, de diseño etnográfico apoyado en elementos cuantitativos
para el análisis de los resultados que surgieron a partir de observación directa y el empleo de
un cuestionario de preguntas abiertas. De acuerdo a este autor, el enfoque cualitativo
especifica que la investigación inicia examinando el mundo y en este proceso se desarrolla
una teoría coherente con lo que se ha observado (Sampieri, 2008, en Triana, 2012, p. 63).
Debido a ello, es un proceso inductivo que va de lo particular a lo general, que se caracteriza
por definir la problemática a partir de la recolección de datos que registra las situaciones,
eventos, personas, interacciones, entre otros.
De acuerdo a los planteamientos de Jaramillo, Morales y Varela (2006) (Ver Anexo 2.8), el
alumno sólo adquiere conocimiento cuando es capaz de contextualizar el saber ajeno a
indicaciones intencionales (Situación a-didáctica) y por tanto en la Teoría de las Situaciones
Didácticas, las fases de Acción, Formulación, Validación e Institucionalización deben
utilizarse en la resolución de problemas como fuente y criterio de la elaboración de saber.
Este estudio también es de carácter cualitativo etnográfico, en el que se realiza una
aproximación teórico experimental a las rutas de estudio y aprendizaje en el aula. Por lo cual,
de acuerdo a lo descrito por Blanco (1991, en Jaramillo et al. 2006, p. 45) este tipo de
investigación se destaca por: (1) Los datos registrados se manifiestan con palabras más que
con números. (2) Los datos cualitativos, son altamente descriptivos en los procesos. (3) Se
hace énfasis en el lenguaje, la interpretación de hechos y el punto de vista del actor. (4) El
análisis cualitativo es fundamentalmente descriptivo-interpretativo. (5) La etnografía
educativa disminuye la distancia entre la investigación educativa y la práctica docente, por
lo cual aporta descripciones de contextos, actividades y diálogos de los participantes.
Finalmente, teniendo en cuenta los tres núcleos temáticos abordados como antecedentes,
preciso señalar que los autores mencionados son aquellos que brindan algunas herramientas
para un mejor análisis de acuerdo a los fines de esta investigación. No obstante, dentro de la
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bibliografía existente y referida a los tres núcleos es posible encontrar diversos trabajos a
nivel de pregrado, maestría y doctorado.
En el Anexo 3, se hace referencia a la tabulación de algunos datos bibliométricos respecto a
la teoría de las situaciones didácticas y el contrato didáctico, publicados desde 1986 hasta
2014. Algunos de ellos analizados en el primer núcleo y otros presentes en el marco teórico
de este trabajo. En dicho anexo la clasificación de los mismos se hace teniendo en cuenta el
tipo de publicación bajo los siguientes ítems: Artículo, Capítulo de libro, Libro, Módulo,
Presentación, Revista, Tesis de Pregrado, Tesis de Especialización, Tesis de Maestría, Tesis
de Doctorado y Traducción.
Este registro corresponde a parte de la producción científica en español, ya que son
reconocidos en otros idiomas, trabajos como los de Sarrazy (1995); Sarrazy (2002);
Sekiguchi (2005); Elia, Gagatsis, Panaoura, Zachariades y Zoulinaki (2009); y Pierce, Stacey
y Wander (2010). De igual manera, este estudio se nutre parcialmente de la obra de D’Amore
et al. (2010) en la que aparece un capítulo dedicado al estudio del contrato didáctico y en el
que dichos autores referencian algunas obras para la aproximación conceptual. La frecuencia
relativa de producciones en torno al contrato didáctico en aulas colombianas, o al menos
latinoamericanas desde el estudio bibliométrico realizado, es mínimo, tal y como se observa
en el Anexo 3: Tabulación de Datos Bibliométricos.
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El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 25 ~
2 Marco teórico
El presente capítulo expone la recopilación teórica y conceptual que da cuenta de la idea de
Contrato Didáctico (Brousseau, 1986b), particularmente de la incidencia de Efectos
(Brousseau, 1986b) y Cláusulas (Chevallard, 1988, en D’Amore, 2006; y D’Amore, 2006),
así como la relación existente entre el fracaso electivo en matemáticas y las Prácticas
Comunicativas (Fandiño, 2009) que determinan la actuación del docente y los estudiantes en
consideración a un objeto matemático. De igual manera, algunos de los constructos que se
evidencian en este capítulo permitieron la consolidación de observables y categorías de
análisis, así como el reconocimiento de algunos ejemplos que hacen referencia a la ruptura
del contrato didáctico.
Para iniciar, se realiza una delimitación conceptual que corresponde a la caracterización de
Didáctica de la Matemática (Brousseau, 1989), Teoría de las Situaciones Didácticas
(Brousseau, 1986a) y Situaciones Didácticas y A-didácticas (Panizza, 2003).
En este sentido y para las pretensiones de este trabajo, se identifica que la Didáctica de la
Matemática desde la idea de Brousseau (1989, en D’Amore, 2006, p. 93), hace referencia a:
“una ciencia que se interesa en la producción y comunicación de los conocimientos
matemáticos, y en lo que esta producción y esta comunicación tienen de específico”. Por lo
tanto, debe tenerse en cuenta que Brousseau considera como un solo sistema el fenómeno de
enseñanza–aprendizaje de las matemáticas. Como complemento a esta idea, D’Amore (2006,
p. 93) menciona que la Didáctica de la Matemática como ciencia presenta como objetos de
estudio a las operaciones esenciales de la difusión de los conocimientos y las instituciones y
actividades que tienen como objetivo facilitar las operaciones.
Justamente Brousseau (1986, en Panizza, 2003, p. 2), para plantear el carácter científico de
la Didáctica de las Matemáticas, crea la Teoría de las Situaciones Didácticas (TSD); la cual
es descrita como una teoría de la enseñanza, que busca las condiciones para una génesis
artificial de los conocimientos matemáticos, bajo la hipótesis de que los mismos no se
construyen de manera espontánea. Es así como, la TSD es categorizada como constructivista
(Panizza, 2003), ya que el estudiante debe ser quien se adapta al medio (factor de
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~ 26 ~
contradicciones, de dificultades, de desequilibrios), con el fin de manifestar nuevas
respuestas que den muestra del aprendizaje.
La TSD está determinada a su vez por la existencia de las situaciones didácticas y las
situaciones a-didácticas; en el siguiente esquema se recogen los aspectos y características de
ellas, de acuerdo a lo expuesto por Brousseau (1982, en Panizza, 2003, pp. 3-4):
SITUACIÓN DIDÁCTICA SITUACIÓN A-DIDÁCTICA
Def
inic
ión
Conjunto de relaciones establecidas explícita y/o
explícitamente entre un alumno o un grupo de
alumnos, un cierto medio (que comprende
eventualmente instrumentos u objetos) y un
sistema educativo (representado por el profesor)
con la finalidad de lograr que estos alumnos se
apropien de un saber constituido o en vías de
constitución.
Toda situación que, por una parte, no puede ser
dominada de manera conveniente sin la puesta
en práctica de los conocimientos o del saber que
se pretende y que, por la otra, sanciona las
decisiones que toma el alumno (buenas o malas)
sin intervención del maestro en lo concerniente
al saber que se pone en juego.
Car
acte
ríst
icas
1. Situaciones de acción, sobre un medio para
evidenciar conocimientos implícitos.
2. Situaciones de formulación, para que al
comunicar (emisor y receptor) se comprenda
el mensaje.
3. Situaciones de validación, para enunciar
afirmaciones y determinar su veracidad.
1. Necesidad de conocimientos para hacer
evolucionar el aprendizaje.
2. Existencia de retroacción de las
condiciones para juzgar los resultados.
3. No intervención del maestro en relación al
saber (Devolución).
Tabla 1. Situación didáctica y Situación a-didáctica, de acuerdo a Panizza (2003).
De acuerdo con esta descripción, es necesario dejar claro que la situación a-didáctica se
enfoca en el aprendizaje, lo cual no significa que el docente debe “estar ausente” de la
actividad, sino que debe preparar el medio para que las condiciones estén dadas y el
estudiante llegue por sus propios medios a la adquisición del conocimiento.
La puesta en escena de la TSD posibilita el reconocimiento de tres esquemas para la
caracterización de las situaciones a-didácticas (Brousseau, 1986a, p. 45): Esquema de la
acción, Esquema de la Comunicación y Esquema de la validación explícita (Ver Anexo 4).
Estos esquemas si bien se refieren a las situaciones a-didácticas, también revelan algunas
interacciones que se dan dentro de la triada didáctica, particularmente aquellas que describen
validaciones del conocimiento matemático, el código lingüístico que lo compone y el
mensaje que es transmitido. En estos esquemas se evidencia también la existencia de una
relación asimétrica entre docente (jugador que propone) y estudiante (jugador oponente).
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~ 27 ~
Sin embargo, parte de la relación entre docente y estudiante se encuentra determinada en la
Triada Didáctica expuesta por Chevallard (1997, p. 4); la cual es un sistema didáctico al que
pertenecen tres componentes: Maestro, Estudiante y Saber (Matemático). Por lo tanto, la
relación va más allá de un juego de entre dos personas y se extiende a un tercer elemento que
es trascendental en esta teoría: el saber matemático. El esquema que propone Chevallard
(1982, en D’Amore, 2006, p. 231) para distinguir el triángulo didáctico es el siguiente:
Ilustración 2. El triángulo: Maestro, Estudiante, Saber. (D’Amore, 2006, p. 231).
En este esquema se reconoce que el Maestro es un sujeto institucional y pedagógico (Cornu
y Vergnioux, 1992, en D’Amore, 2006, p. 232). De igual forma, la herramienta esencial de
su práctica es el texto del saber (…), en las variaciones que él se permite imponerle
(Chevallard, 1997, p. 14). Por tanto, debe posibilitar la enseñanza a través de una buena
transposición didáctica de un objeto de saber.
Un segundo elemento del esquema es el Estudiante, quien es un sujeto biológico y
epistémico (Cornu y Vergnioux, 1992, en D’Amore, 2006, p. 232); este sujeto pone en acción
como instrumentos los objetos conocidos, amplía el campo de aplicación, reconoce la
insuficiencia y debe recurrir a nuevos instrumentos (D’Amore, 2006, p. 237).
El tercer elemento es el Saber Sabio, el saber matemático, el cual se identifica por ser el
saber académico, el saber oficial. Sin embargo, para que el Saber Sabio sea presentado en el
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~ 28 ~
aula de matemáticas, es necesario realizar una Transposición Didáctica,5 la cual se
caracteriza por ser la comprensión que se tiene respecto a las nociones del Saber Sabio, para
determinar cuál es el saber por enseñar y así mismo reconocer cuál es el saber enseñado
realmente. Esta transposición, según Chevallard (1985, en D’Amore, 2006, p. 235), debe
caracterizarse porque el saber enseñado no se encuentre ni muy cerca ni muy lejos del saber
sabio.
2.1 Contrato Didáctico
En el proceso de observación de niños con fracaso electivo, surgió la necesidad de crear el
concepto de Contrato Didáctico (Brousseau, 1990, p.5), cuya mención ya se había presentado
como hipótesis de investigación en 1980. De acuerdo con los planteamientos de Brousseau,
todo saber enseñado trae consigo la conformación de un Contrato Didáctico que tiene en
cuenta la enseñanza–aprendizaje de las matemáticas y la relación entre docentes y
estudiantes. Por ejemplo, Chevallard (1997, p. 22) señala que un desempeño del alumno
esperado por el docente al factorizar una ecuación, es el reconocimiento de ciertas ocasiones
de uso de las nociones matemáticas consideradas como herramientas de la actividad
matemática. Sin embargo, para clarificar la forma como se relaciona la enseñanza-
aprendizaje, Brousseau (1986a) define el contrato didáctico como un:
[…] conjunto de comportamientos del profesor que son esperados por los
alumnos y al conjunto de comportamientos de los alumnos que el profesor
espera de ellos. Ese contrato es el conjunto de reglas que determinan, una
pequeña parte explícitamente, pero sobretodo implícitamente, en lo que cada
socio de la relación didáctica deberá hacer y, lo que de alguna manera deberá
exigir al otro.
Esta noción, sin embargo, ha presentado diversas interpretaciones, de manera implícita y
explícita, como las señaladas por Azcárate (1994); Gascón (1997); D’Amore y Martini
(1997); Joya y Morales (2011); y Niño, Forero y Cipagauta (2013). Conforme a ello, a
continuación, se presentan algunas de esas interpretaciones. Particularmente, Gascón (1997,
p. 2), señala que el Contrato Didáctico es:
5 Deformación o transformación del conocimiento para que la enseñanza de un determinado saber sea posible;
teniendo en cuenta, que ese saber enseñado conserva elementos del saber. Específicamente, Chevallard (1997,
p. 5) señala que el saber enseñado debe aparecer conforme al saber a enseñar.
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El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
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[…] una noción teórica que solo toma su sentido preciso cuando se emplea a
nivel de sistema didáctico en el marco de la teoría de las situaciones didácticas
(Brousseau, 1986) […] el contrato didáctico […] [está] constituido por las
cláusulas que son comunes a todos los contratos didácticos que pueden
establecerse actualmente en la enseñanza de las matemáticas […]
En este sentido, Gascón (1997, p. 6) manifiesta respecto a las cláusulas del contrato didáctico
que son relativas a la institución, a la organización matemática y a los dispositivos didácticos
que se presentan continuamente en el aula. Igualmente, Chevallard (1988) resalta que “Las
cláusulas del contrato didáctico organizan las relaciones que alumnos y enseñantes
mantienen con el saber. El contrato regula con mucho detalle la cuestión. Cada noción
enseñada, cada tarea propuesta se halla sometida a su legislación”.
Conforme a esto, las cláusulas son vistas como normas o reglas que dan la impresión de tener
bajo control la situación de enseñanza-aprendizaje. No obstante, van más allá, pues delimitan
las acciones a las que se sienten comprometidos docentes y estudiantes; acciones que surgen
de la concepción que se tiene de la escuela y la matemática, que se reflejan en acuerdos
implícitos y explícitos en el aula. Sin embargo, la idea de cláusula del contrato didáctico será
desarrollada más adelante.
Ahora bien, muchos de los acuerdos que se señalan en el contrato didáctico no cumplen con
el ideal de aprendizaje y se presenta la ruptura del contrato didáctico, ya que esto implica una
ruptura de la tradición escolar o de la concepción matemática (Montiel, 2002, p. 127). Sin
embargo, dados los ideales de la TSD, es justo en las rupturas donde se producen nuevos
aprendizajes (Montiel, 2002, p. 164). Por lo tanto también es necesario aclarar, como
menciona Castañeda, Hernández-Morales y González-Polo (2016, p. 101) que:
[…] como Brousseau (1987) lo señala, el contrato didáctico no es una
enfermedad de la relación didáctica, sólo muestra que el aprendizaje de las
matemáticas no se reduce a memorizar algoritmos y conocer definiciones. En
este sentido el contrato didáctico no es un fenómeno que obstruya el
aprendizaje, ni es una condición negativa para el desarrollo de la clase, ya que
su ruptura, así como la autonomía y la responsabilidad en el estudiante no son
determinantes en el aprendizaje, aunque sí lo favorecen.
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Finalmente, el contrato didáctico surge como una idea para estudiar el fracaso electivo en
matemática (Brousseau y Warfield, 1999),6 de igual manera, es necesario evidenciar algunos
de los acuerdos y manifestaciones presentes en él; para ello se describe a continuación los
efectos y las cláusulas del contrato didáctico.
2.2 Efectos del Contrato Didáctico
Los efectos han sido reportados por Brousseau (1986b, p. 6), y se refieren al profesor en una
situación de enseñanza en relación a un objeto matemático. También son conocidos como
fenómenos de la didáctica, ya que están ligados al control de la transposición didáctica y
pueden afectar a toda una comunidad durante generaciones.
Es importante destacar que, para los fines de este trabajo, la manifestación que se reconoce
de los efectos son las situaciones en la que los estudiantes contestan con el mínimo de
significados, ya que el profesor actúa generando intervenciones que no hacen posible el
aprendizaje. Se debe tener en cuenta además que en el efecto interviene siempre el objeto
matemático. Para identificar estos fenómenos, a continuación se referencian los seis que
fueron descritos por Brousseau (1986b, pp. 6-10) y que dan muestra de las relaciones
existentes en cada uno de ellos.
2.2.1 Efecto Topaze y el control de la incertidumbre.
El conocimiento pretendido desaparece y solo queda el juego de palabras como “aplica esta
regla”, asociado a una representación que desconoce el objeto matemático. En el Efecto
Topaze (Brousseau, 1986b, p. 6) se evidencian cambios de preguntas por parte del docente
para llevar a un estudiante a una respuesta específica que es considerada como muestra de
aprendizaje. Las intervenciones son por tanto condicionadas para el estudiante, lo dejan sin
posibilidades de respuesta y termina mencionando aquello que se esperaba de él desde el
inicio, aunque no sea consciente de ello. El estudiante se siente a gusto solo porque encontró
la aprobación del docente en algo de lo que dijo. Y el docente también se siente a gusto
porque escuchó la respuesta que cree da muestra de conocimiento.
6 Dicha idea será analizada desde la relación con las Prácticas Comunicativas.
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~ 31 ~
2.2.2 Efecto Jourdain o el malentendido fundamental.
Se presenta cuando el profesor considera que el estudiante se debe aprender una regla porque
siempre se va a usar, generando esquemas mal formados. El Efecto Jourdain hace referencia
a procedimientos que muestra el docente y que deben realizar los estudiantes para “una
correcta” solución. El docente espera que el estudiante realice procesos similares que señalen
comprensión de la forma como debe resolverse (D’Amore et al. 2010, p. 182); sin embargo,
el estudiante solo repite procesos, lo que no significa necesariamente la apropiación de
objetos matemáticos. Esto deja también la percepción de que el estudiante da una respuesta
correcta, siguiendo las instrucciones o imitando las acciones del docente, no por tanto
evidenciando el conocimiento matemático.
2.2.3 Efecto Dienes.
El docente cree que: si el diseñador afirma que el instrumento funciona, funcionará también
en mi clase y con mis estudiantes (Brousseau, 1986b, p. 17). En este sentido, el docente solo
hace uso de un instrumento diseñado para la enseñanza de las matemáticas, bajo unas
perspectivas didácticas específicas, pero se olvida de realizar adaptaciones, que permitan
paulatinamente un uso adecuado y que alcance los objetivos para los cuales ha sido diseñado.
En consecuencia a la falta de intervención del docente como mediador del saber (Brousseau,
1986, en D’Amore et al. 2010, p. 179), el estudiante no da muestra del conocimiento ya que
no es capaz de realizar cambios o transferencias en el saber. Así mismo el instrumento pierde
el valor didáctico que se deseaba alcanzar con él.
2.2.4 Deslizamiento metacognitivo.
Surge cuando una actividad de enseñanza ha fracasado (Brousseau, 1986b, p. 8) y el docente
utiliza sus propios instrumentos alejados del conocimiento matemático, provocando otras
dificultades. Para superar las dificultades, se señalan nuevos objetos de enseñanza, que
terminan por alejar al estudiante de las intenciones reales de enseñanza-aprendizaje que se
pretendían y limitándose solo al uso adecuado de un nuevo instrumento.
2.2.5 Uso abusivo de la analogía.
La analogía es un recurso que puede favorecer el aumento de conocimiento en los estudiantes
(Brousseau, 1986b, p. 9), particularmente cuando es utilizada de manera coherente al saber
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~ 32 ~
sabio; sin embargo su uso inadecuado repercute en la aparición del Efecto Topaze, lo que
representa la desaparición total del objeto matemático que se desea explicar.
2.2.6 Envejecimiento de las situaciones de enseñanza.
El docente reproduce las situaciones de enseñanza cierta cantidad de veces, con diferentes
grupos de estudiantes y no obtiene los mismos resultados; esto hace que se cuestione sobre
la efectividad de la actividad y lleva a pensar en los aspectos que debe cambiar, para la
renovación de sus situaciones didácticas (Brousseau, 1986b, p. 10).
A continuación se presenta un esquema en el que se resumen los fenómenos que fueron
descritos:
FENÓMENOS DE LA DIDÁCTICA
Efecto Topaze
El docente realiza sugerencias disfrazando la respuesta que espera del
estudiante, a través de preguntas o palabras que se asemejan a la
respuesta esperada.
El estudiante sigue los indicios, adivinando la respuesta que debe dar,
como si no le quedará más opción. En ocasiones aunque señale la
respuesta no es consciente de ella, o no le asigna algún sentido.
Efecto Jourdain
El docente trata de evitar discusiones sobre el sentido del conocimiento
matemático que está tratando, pues prevé un posible fracaso, así que
prefiere darle importancia a normas o a juegos de lenguaje (desprovisto
de sentido) que ayudarán a que se tenga éxito sobre tareas específicas
aunque no se construyan significados.
El estudiante imita un esquema y lo memoriza sin saber por qué, para
qué y cuándo usarlo; sin mayor comprensión de los objetos matemáticos
involucrados. El profesor le da estatus de conocimiento erudito (o
fundamental) a estos esquemas, juegos de palabras o claves que el
estudiante reconoce.
Efecto Dienes
El docente usa instrumentos didácticos de los cuales espera obtener los
mismos resultados que los diseñadores, sin realizar ningún tipo de
adaptación para garantizar su efectividad. El profesor no comprueba que
hubo aprendizaje, pues lo supone como consecuencia inmediata del uso
del instrumento.
El estudiante no da muestra del conocimiento esperado, empleando solo
un instrumento que no pasó por la intervención del docente y por tanto
le es imposible realizar transferencias en el saber.
Deslizamiento
Metacognitivo
El docente emplea diversos instrumentos alejados del conocimiento
matemático, para que los estudiantes se acerquen al objeto, sin embargo,
los termina alejando del mismo. Motivado por un ejercicio
metacognitivo, considera que todos los estudiantes recorren exactamente
el mismo proceso para llegar a construir un aprendizaje determinado.
El estudiante se distancia del conocimiento matemático pretendido para
reconocer nuevos objetos de enseñanza.
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El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 33 ~
Uso Abusivo de la
Analogía
El docente usa analogías para que los estudiantes se apropien de un saber,
pero su uso repetitivo, hace que los estudiantes generen ideas
inadecuadas o malentendidos al considerar demasiados aspectos en la
analogía que pueden no ser convenientes para tratar el objeto
matemático.
El estudiante recae en la aparición de un Efecto Topaze, ya que
representa la desaparición total del objeto matemático que se desea
explicar.
Envejecimiento de las
Situaciones de
Enseñanza
El docente repite actividades cierta cantidad de veces (días, meses, años),
sin realizar modificaciones didácticas. Esto lo lleva a proponer la misma
situación que considera fue efectiva en un momento dado.
En otro caso, el docente realiza modificaciones a la situación previendo
que sus estudiantes no enfrenten errores que ha evidenciado en
implementaciones anteriores de esta misma situación. Así, empieza a dar
pistas e instrucciones que hacen que la situación se simplifique tanto, que
el estudiante ya no se encuentra obstáculos que le permitan resignificar
el conocimiento. Tabla 2. Efectos del Contrato Didáctico
Estos seis fenómenos de la didáctica, según Brousseau (1986b, p. 6) construyen un “modelo”
de los protagonistas en presencia, de las relaciones y de las restricciones que los vinculan.
2.3 Cláusulas del Contrato Didáctico
Las cláusulas han sido reportadas por Chevallard (1988) y analizadas con otros ejemplos por
D’Amore (2006), y corresponden a la actuación del estudiante frente al saber matemático
independientemente a si está o no el docente. La presencia del docente no es necesaria como
tal ya que se evidencia su “existencia” a través de las interacciones, respuestas y acciones del
estudiante, las cuales suelen estar sujetas a las palabras o actuaciones que han sido
reproducidas por el docente.
Es importante destacar que, para los fines de este trabajo, la manifestación que se reconoce
de las cláusulas son situaciones en las que se evidencia que el estudiante responde de manera
diferente en dos contextos, el escolar y fuera del aula; o mediante el señalamiento de ideas
sujetas a sus interpretaciones de lo que es hacer matemáticas.
Para identificar las cláusulas, a continuación se referencian siete que están descritas en
D’Amore et al (2010, pp. 156-168) y que dan muestra de las relaciones existentes en cada
una de ellas. Adicionalmente, se presenta la Cláusula Número 8, la cual he denominado
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El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 34 ~
“Cláusula de Control Semántico” de acuerdo a algunas descripciones realizadas por
D’Amore (2006, p. 125) y que permiten la consideración de este elemento.
2.3.1 Todo problema tiene una solución.
El estudiante se las ingenia para contestar un problema en el que los datos dados no son
adecuados para responder a una pregunta específica. El caso más conocido es el de la edad
del capitán reportado en Baruk.7 Esta es una cláusula de confianza en el docente o hacia la
imagen de la matemática, ya que los estudiantes creen que siempre hay solución. Esta
concepción permanece a menos de que ocurra algo que demuestre contradicción. Cuando
exista dicha contradicción, el estudiante puede señalar que el problema no se puede resolver
y por tanto hay ruptura del contrato.
2.3.2 Todos los problemas tienen solución ligada a los datos netamente numéricos.
El estudiante se enfrenta con un problema y reconoce que tiene una solución ligada
únicamente a los datos numéricos que aparecen en el enunciado (D’Amore et al. 2010, p.
166). Si no se presentan dichos datos, el estudiante “inventa” una respuesta incoherente, pero
con la que se siente cómodo. O bien usa los datos una vez, en el orden del enunciado, con las
operaciones cercanas a él y sin tener en cuenta otras implicaciones.
2.3.3 Exigencia de la justificación formal.
El estudiante piensa que las operaciones o procedimientos son necesarios para que un
problema sea realmente resuelto y por tanto tiene que descubrir cuál es el algoritmo correcto,
lo cual viene señalado por una regla explícita que ha manifestado el docente con anterioridad
(deben justificar su respuesta). Sin embargo, existen muchas situaciones que no requieren de
cálculos para ser solucionadas, pero el estudiante se siente obligado a escribir una
organización lógica y formal más exigente (D’Amore et al. 2010, p. 169).
2.3.4 El docente no asigna problemas sin solución.
El estudiante considera que cualquier situación que le presente el docente se puede resolver.
Es similar a la cláusula de que todo problema tiene una solución. Sin embargo, este tiene
7 Estudio publicado por Stella Baruk en 1985 y el IREM de Grenoble, de acuerdo a Brousseau (1990, pp. 5-6).
La situación es: “En un barco hay 26 corderos y 10 cabras. ¿Cuál es la edad del capitán?”
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El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 35 ~
relación directa con el docente ya que, por la idea que tiene el estudiante de la escuela, se
piensa que el docente tiene un papel evaluador de las respuestas que produzca, por lo tanto
de que puede resolver el problema.
2.3.5 Un problema real es diferente a un problema escolar.
El estudiante identifica que los problemas escolares son condiciones artificiales diseñadas
por el docente para que él realice cálculos (D’Amore et al. 2010, p. 158) y que los problemas
reales son las situaciones que se dan fuera del aula, que son ciertas y que no necesariamente
necesitan de cálculos para dar una solución.
2.3.6 Si el problema no tiene solución, el docente lo notifica.
El estudiante espera que cuando el problema no tiene solución el docente le avise sobre ello,
para que así él se dé cuenta de la incoherencia que impide buscar una respuesta. Sin embargo,
esto imposibilita que el estudiante esté atento a las situaciones que se presentan y siempre
permanezca a la espera de las indicaciones del docente sobre todos y cada uno de los
problemas.
2.3.7 Delegación formal.
El estudiante cree que su única responsabilidad es saber qué operación realizar y con cuáles
números, y es totalmente independiente a él los resultados e interpretaciones que puedan
asignarse a dichos resultados. En pocas palabras, le toca al algoritmo o mejor aún a la
máquina (D’Amore et al. 2010, p. 168) dar cuenta de la coherencia.
2.3.8 Cláusula de Control Semántico.
El estudiante desconoce la naturaleza de la pregunta, por lo tanto su respuesta no es objetiva
para los planteamientos que el profesor espera sean evidenciados. Es así como el estudiante
considera que existen “trucos” matemáticos cuando quiere referirse a “errores” en los
problemas (D’Amore, 2006, p. 125), particularmente a como están planteados. Sin embargo,
lo que ocurre es que el estudiante no logra controlar que la respuesta sea semánticamente
coherente con la pregunta propuesta. Un ejemplo es el caso del problema planteado por
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El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 36 ~
Schoenfeld (1987 en D’Amore, 2006, p. 124) que se refiere a soldados que deben ser
transportados en autobuses.8
Estas ocho cláusulas del contrato didáctico, caracterizan algunas de las acciones del
estudiante en relación al saber matemático. A continuación se presenta un esquema en el que
se resumen los elementos que fueron descritos:
CLÁUSULAS DEL CONTRATO DIDÁCTICO
Todo problema tiene una
solución.
El estudiante contesta un problema en el que los datos dados
no son adecuados para responder a una pregunta específica.
Todos los problemas tienen
solución ligada solo a los datos
numéricos.
El estudiante se enfrenta con un problema y reconoce que
tiene una solución ligada únicamente a los datos numéricos
que aparecen.
Exigencia de la justificación
formal.
El estudiante piensa que las operaciones o procedimientos
son necesarios para que un problema sea realmente resuelto.
El docente no asigna problemas
sin solución.
El estudiante considera que cualquier situación que le
presente el docente se puede resolver.
Un problema real es diferente a
un problema escolar.
El estudiante identifica que los problemas escolares son
condiciones artificiales diseñadas por el docente.
Si el problema no tiene solución,
el docente lo notifica.
El estudiante espera que cuando el problema no tiene
solución el docente le avise sobre ello.
Delegación formal. El estudiante cree que su única responsabilidad es saber qué
operación realizar y con cuáles números.
Cláusula de Control Semántico. El estudiante desconoce la naturaleza de la pregunta, por lo
tanto su respuesta no es objetiva. Tabla 3. Cláusulas del Contrato Didáctico
Ahora bien, Brousseau (1986b, pp. 22-27) también se refiere a paradojas como elementos
presentes en el contrato didáctico, sin embargo en los análisis que se plantean no se hará
referencia a ello ya que las pretensiones de este trabajo están orientadas a los efectos y
cláusulas. Las cláusulas del contrato didáctico están determinadas, de acuerdo a Chevallard
(1988, en D’Amore et al. 2010), en tanto “[…] organizan las relaciones que alumnos y
enseñantes mantienen con el saber; y las prácticas comunicativas están presentes en dicha
relación.
Como ya ha sido mencionado, todo saber enseñado trae consigo la conformación de un
Contrato Didáctico que tiene en cuenta la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. Para
poder analizar al respecto, es necesario reconocer las manifestaciones de lo que ha sido
8 “Un autobús del ejército transporta 36 soldados. Si 1128 soldados deben transportarse en autobús al campo de
entrenamiento ¿Cuántos autobuses deben usarse?”.
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El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 37 ~
descrito como efectos y cláusulas. Para ello, se identifica que el campo de manifestaciones
es extenso, por lo tanto se hace referencia exclusivamente a aquellas que refieren a la
comunicación, particularmente a las Prácticas Comunicativas (Fandiño, 2009).
2.4 Comunicación en el Aula de Matemáticas
Partiendo de que el contrato didáctico es importante para estudiar las causas del fracaso
electivo en matemática, es decir el típico fracaso en matemática de los estudiantes que, más
o menos, parecen… arreglárselas con las otras materias (D’Amore, 2006, p. 113). Se señala
que, los estudiantes tratan de evitar situaciones que les generen conflicto utilizando diferentes
estrategias; algunas de ellas corresponden a evasión de preguntas y a tener el menor contacto
o comunicación posible con otro interlocutor.
De acuerdo a Morales, Joya y Quintero (2010), la cultura de clase está asociada a la forma
como el estudiante asume su rol y admite el de otros; y a la manera como el profesor, en
ocasiones esta permeado de la inducción, voluntaria o no, de respuestas que no
necesariamente están vinculadas a los saberes propios de la escuela. Conforme a ello, surge
nuevamente el interrogante ¿Por qué hay estudiantes académicamente brillantes pero
incapaces de pensar matemáticamente ante una situación problema?
Una posible respuesta se encuentra en el fortalecimiento de la competencia específica
denominada comunicación en matemática, la cual presenta los siguientes componentes
(Fandiño, 2010, pp. 160-164):
● Sintaxis específica y símbolos oportunos: Los cuales deben usarse con
claridad, pertinencia y exactitud. No es algo espontáneo, requiere de un
proceso cultural que el estudiante debe hacer propio durante el transcurso de
la vida escolar.
● Organización de la presentación: Lo cual requiere de diversas formas de
comunicación que deben tener claridad, lógica y eficacia. Esta organización
debe ser coherente con la comunicación oral y luego con la comunicación
escrita.
● Pertinencia y calidad de la presentación: Debe diferenciarse entre
argumentos que son claros y los que no. Por tanto, el argumento debe
discutirse de forma tal para que sea justo, claro y completo.
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El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 38 ~
● Uso de diversas formas de comunicación: Elegir un medio, el cual cuenta
con un sistema de signos específico. Aunque se identifica que un resultado
puede ser comprendido mejor si se utilizan varios sistemas de signos.
● Empeño dado al diálogo: Los argumentos o razonamientos deben ser
claros, pertinentes y profundos, favoreciendo la actividad comunicativa del
estudiante.
● Consideración de los argumentos y de las razones de los otros: teniendo en
cuenta la eficacia, lógica y pertinencia de los argumentos de otros, tomando
distancia de los argumentos propios.
Por otro lado, Fandiño (2010, p. 134) señala que una de las mayores dificultades en el aula
es que la comunicación es asimétrica, especialmente porque se reconoce en mayor medida la
dirección del docente hacia el estudiante; en la cual el docente actúa como si la recepción se
diera por completo, únicamente con el acto comunicativo, obviando la idea de la diferencia
entre el lenguaje del estudiante y el lenguaje del docente.
Eso no significa que sólo debe usarse un lenguaje común en el aula, por el contrario, el
lenguaje común debe favorecer la aparición del lenguaje específico, y a medida que los
estudiantes van haciendo uso de él, se comprende y usa de manera más apropiada, pues la
enseñanza es comunicación (D’Amore 2006, p. 259) y tiene como uno de sus objetivos
favorecer el aprendizaje y la comprensión a través del lenguaje.
Esto implica que el docente debe hacer uso en su clase, en ese proceso de enseñanza, del
lenguaje común y del lenguaje matemático, permitiendo así la apropiación del lenguaje
específico. De lo contrario (visto como posible cláusula del contrato didáctico), los
estudiantes terminan repitiendo frases o consideraciones que ellos suponen el docente ha
querido señalar, limitándose a repetir las palabras que usa el profesor, sin comprender
realmente lo que significan y los contextos en los que tienen sentido.
Pero hay otra consideración, en los primeros años escolares, donde aún no existe una
apropiación teórica fuerte, se reflexiona que una buena descripción del concepto matemático
comunica significativamente la idea que se pretende (Fandiño, 2010, p. 137); esto pone de
manifiesto que dichas descripciones no son tal cual la definición misma, por lo que se
presentan como “juegos semánticos”, ya que existe más de una lógica posible (aunque en la
práctica escolar no sea así), que permite el aprendizaje del concepto.
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El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 39 ~
Con estas interpelaciones, quizás se pueda responder a la pregunta planteada respecto a ¿Por
qué hay estudiantes académicamente brillantes pero incapaces de pensar matemáticamente
ante una situación problema? Sin embargo, es importante revisar la otra cara del asunto. Ya
se ha hecho mención a la comunicación en el sentido docente → estudiante, pero ¿Qué pasa
con la comunicación del estudiante hacia el docente?
Pues bien, Fandiño (2010, pp. 142-149) expone que la comunicación matemática en este
sentido presenta una incomprensión:
El docente (receptor) espera una cierta comunicación que no coincide con
aquella propuesta por el estudiante (emisor). Por ello, se observa el lenguaje
de la matemática en el aula con intención comunicativa con el objetivo de
hacer que quien escucha aprenda
Aquí vale la pena considerar que de acuerdo con Jiménez, Suárez y Galindo (2010, p. 179),
en los Lineamientos Curriculares y Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas se
establece un papel predominante a la comunicación en la clase de matemáticas, entendiendo
la comunicación como:
[…] un proceso de interacción social en el que se favorecen la negociación de
significados, el consenso, el diálogo y el debate, acciones mediante las cuales
se alcanzan procesos esenciales para el desarrollo del pensamiento
matemático, como la conjeturación y la argumentación (Jiménez et al. 2010,
p. 174)
En este sentido, Jiménez et al. (2010, p. 179) destacan que la comunicación en la clase de
matemáticas debe ser percibida más allá del lenguaje simbólico que pretende ser comunicado,
con el fin de favorecer los procesos necesarios en la matematización (particularizar,
generalizar, conjeturar y convencer). Esto encuentra coherencia con lo que señala Fandiño
(2010, p. 133) al decir que saber comunicar la matemática es una meta cognitiva específica,
ya que existen algunos estudiantes que aparentemente han construido conceptos
matemáticos, sin embargo, se les dificulta comunicarlo.
Precisamente Brousseau (1988, en D’Amore, 2006, p. 253), refiere a que el acto de enseñanza
(con todo lo comunicativo que lo acompaña) recae en las problemáticas mucho más amplias
de la comunicación, éste es un dato comprobado y que ahora se da por descontado; de igual
manera, señala la importancia de identificar, apropiadamente, la relación que tiene la
comunicación y su incidencia en la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. Al respecto
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El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 40 ~
Calderón (2012, p. 95) expone que el uso de la lengua implica la existencia de dos tipos de
funciones:
2.4.1 Funciones de Representación.
Se consideran de acuerdo a la perspectiva de Duval (1999, en Calderón, 2012, p. 95) y son
aquellas que funcionan cuando estamos produciendo un discurso:
FUNCIONES DE REPRESENTACIÓN
Función Referencial Función Apofántica Función de Expansión
Discursiva
Instaurar el sujeto del que se habla
mediante al menos cuatro aspectos:
● Designación: Señalar o nombrar
objetos (círculo, triángulo, etc.).
● Categorización: Usar nombres para
los objetos (el número, el cuadrado).
● Determinación: Emplear
pronombres, artículos, adjetivos,
nombres, etc. (este, aquel, el
cuadrado mayor).
● Descripción: Realizar frases
completas (la primera serie, el
cuadrado de la derecha).
Producir enunciados
completos con atribuciones
y valores sociales, [...]
equivalente a la producción
de predicados sobre los
objetos y de puntos de vista
sobre ellos y sus relaciones.
Establecer la continuidad
temática de acuerdo con la
trama propuesta por el
sujeto (negando,
acumulando características
o relaciones, estableciendo
sustituciones).
Tabla 4. Funciones de Representación.
2.4.2 Funciones de Comunicación.
Se consideran de acuerdo a la perspectiva de Halliday (1982, en Calderón, 2012, p. 95) y son
aquellas que funcionan para posibilitar el posicionamiento del sujeto hablante frente a su
interlocutor:
FUNCIONES DE COMUNICACIÓN
Instrumental Reguladora Interactiva Personal Heurística Imaginativa Informativa
Para
satisfacer
necesidades.
Para regular el
comportamiento
de los demás
(“Haz lo que yo
quiero”).
Para
involucrar a
otras
personas.
Para
identificar
y
manifestar
el yo.
Para
explorar el
mundo
exterior e
interior.
Para crear un
mundo
propio, para
fingir.
Para
comunicar
nuevas ideas
Tabla 5. Funciones de Comunicación.
Conforme a las funciones anteriores, Calderón (2012, p. 97) señala que, en el contexto del
aula de matemáticas, las condiciones de participación oral, exigen el desarrollo de prácticas
matemáticas; en este sentido, la clase es una comunidad de prácticas compartidas (D’Amore
et al. 2010, p. 150), la cual tiene como propósito la construcción de conocimiento
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El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 41 ~
matemático. Como complemento de esta idea, Fandiño (2009, en D’Amore et al. 2010, p.
150) enuncia cinco categorías de prácticas compartidas, las cuales servirán posteriormente
para el análisis de este trabajo:
PRÁCTICAS COMPARTIDAS
Prácticas
conceptuales
Prácticas
algorítmicas o
ejecutivas
Prácticas
estratégicas o
resolutivas
Prácticas
comunicativas Prácticas semióticas
Construcción
cognitiva de
los conceptos
matemáticos.
Construcción
de habilidades
en el cálculo,
en la
memorización.
Estrategias
puestas en
práctica en
situaciones
problemáticas.
Defensa de la
construcción
personal sobre temas
de matemáticas
frente a contrarios.
Habilidad de dominar
las representaciones
de los objetos
matemáticos en
varios registros
semióticos y las
transformaciones de
uno en el otro
(tratamiento y
conversión). Tabla 6. Prácticas Compartidas, de acuerdo a Fandiño (2009, en D’Amore et al. 2010, p. 150)
Es necesario señalar que las prácticas compartidas y en particular las comunicativas, deben
llevar a que el estudiante use la terminología convirtiéndola en algo habitual y espontáneo,
así como a la extracción de información de diferentes textos; todo esto con el fin de
comunicar información específica, que tenga congruencia para el docente y que de muestra
del uso del conocimiento matemático.
Así mismo que la Práctica Comunicativa:
Hace referencia no sólo a la enseñanza, sino también al aprendizaje; la
práctica comunicativa, más que ninguna otra y por su propia naturaleza, es
una práctica colectiva y, de hecho, lo requiere como un requisito; se trata de
exponer sus propias ideas sobre temas de matemática (por ejemplo, en
situaciones de discusión colectiva); se trata de defender la propia
construcción personal (validación) frente a escépticos o contrarios (por
ejemplo, durante una situación a-didáctica); se trata de responder a preguntas
específicas del docente etc. (Fandiño 2009, en D’Amore et al. 2010, p. 150)
Conforme a ello, se asume que las prácticas comunicativas van más allá de las respuestas que
realiza el estudiante, por tanto, se adapta la definición dada por Fandiño y se establece que:
las Prácticas Comunicativas son las interacciones entre docente y estudiante en las cuales se
exponen ideas matemáticas de enseñanza y aprendizaje; estas ideas se identifican a través del
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El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 42 ~
intercambio de información, validaciones, preguntas y respuestas, ya sea entre los mismos
estudiantes o en relación con el docente.
En conclusión, considerando los aspectos señalados con anterioridad es necesario realizar
observaciones en aulas reales para analizar las manifestaciones del contrato didáctico y su
relación con la comunicación.
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El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 43 ~
3 Marco Metodológico
Dadas las consideraciones establecidas en los antecedentes y el marco teórico, a continuación
se hace referencia a un esquema en el que se evidencian algunos de los aspectos más
importantes en relación al proyecto.
Ilustración 3. Relaciones y aspectos visualizados
La Etnografía Educativa (Murillo y Martínez, 2010, p.3) como método de investigación
centra su atención, en “[…] descripciones detalladas de situaciones, eventos, personas,
interacciones y comportamientos que son observables”. Ya que de acuerdo a la investigación
etnográfica expuesta por Anthony Giddens (Murillo y Martínez, 2010), permite conocer los
comportamientos de un grupo específico de personas y a su vez realizar entrevistas que
permitan profundizar en los comportamientos observados.
Por lo tanto, la etnografía educativa aborda aspectos subjetivos en la investigación
cualitativa, se enfoca en hallar los acontecimientos cotidianos con el fin de aportar datos
significativos, de la forma más descriptiva posible, para luego interpretarlos y comprender
e intervenir adecuadamente en esa realidad particular de cada aula (Murillo y Martínez,
2010, p.7). Bajo estas consideraciones la etnografía educativa identifica la forma como la
educación se desarrolla en el aula de clase observada.
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El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 44 ~
La observación se realiza a través de una toma de video y se utiliza como instrumento de
recopilación y análisis paralelo una rejilla que recrea el diario de observador, señalando
cláusulas y efectos que se observan en cada una de las intervenciones de prácticas
comunicativas (sujetas al objeto matemático). Los datos obtenidos permiten reflexionar sobre
el significado e incidencia del contrato didáctico, así como una interpretación de las
manifestaciones en prácticas comunicativas durante el proceso de enseñanza-aprendizaje de
las matemáticas. Conforme a ello, las fases que proponen Murillo y Martínez (2010, p. 9), en
las cuales pueden caracterizarse categorías para interpretar la comunicación en el aula de
matemáticas y el contrato didáctico son:
Ilustración 4. Fases de acuerdo a Murillo y Martínez (2010).
A continuación se describen y desarrollan estas fases; considerando que algunas de ellas se
llevan a cabo al mismo tiempo.
3.1 Diseño y Escenario
Se obtiene información empírica a través de una descripción cualitativa del ambiente escolar,
para contextualizar a los sujetos y las posibles interpretaciones de las condiciones que
deciden sus conductas, y de los resultados tal y como ellos mismos los perciben (Murillo y
Selección del
diseño
El Contrato
Didáctico y las
Prácticas
Comunicativas en
el Aula de
Matemáticas
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El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 45 ~
Martínez, 2010, p. 10). Para ello se tiene en cuenta aspectos relacionados con la ubicación
del colegio, el tipo de estudiantes que acuden a él, el curso observado, los estudiantes del
mismo, la temática que el profesor desarrolla en clase y las prácticas que lleva a cabo.
El lugar donde se realiza la observación es el Colegio Distrital Class que se encuentra ubicado
en la localidad de Kennedy (Bogotá, Colombia); cuenta con tres sedes para la formación de
estudiantes desde grado preescolar hasta educación media, en donde se desarrolla el
programa de articulación con la educación superior en convenio con la Escuela de Artes y
Letras. Es una de las instituciones reestructuradas por la Secretaría de Educación de Bogotá,
para cubrir las necesidades educativas y de seguridad de los estudiantes y docentes. Para el
desarrollo de este proyecto, en esta institución se realizaron tres fases metodológicas:
1) La observación de ocho sesiones de clase de matemáticas, cada una de
aproximadamente hora y media, correspondientes al primer bimestre académico del
curso 701 (Jornada Mañana), el cual tiene como eje de prácticas el uso de Números
Enteros, en particular al uso de propiedades en operaciones básicas;
2) La descripción de las clases de acuerdo a una rejilla de observación sujeta a efectos y
cláusulas que han sido relacionados con prácticas comunicativas en el aula; y
3) El análisis de tres de estas sesiones considerando los observables que serán
evidenciados en las categorías, así como las reflexiones a que haya lugar en cada
episodio seleccionado.
El curso 701 está conformado por 25 estudiantes en edades entre los 11 y los 15 años. La
organización que se establece en la clase de matemáticas ha sido designada por la docente,
quien exige que se realice una distribución en filas, cada una con 4 o 5 estudiantes. La razón
por la cual la docente exige dicha organización en el aula, es porque según ella los estudiantes
se distraen hablando con otros compañeros¸ así que se asume que de esta manera habrá la
menor distracción posible entre ellos. Durante las sesiones observadas, los estudiantes
mantienen dicha organización, aunque en ocasiones la docente debe indicarles que asuman
nuevamente la estructura de las filas, toda vez que en clases de otros docentes esta
organización no se presenta.
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El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 46 ~
En las clases de matemáticas observadas se distinguieron habitualmente al menos tres
momentos; en el primero, la docente realiza la explicación del tema de acuerdo a un diseño
curricular establecido. El segundo momento es donde la docente presenta una serie de
situaciones problema y da la posibilidad a algunos estudiantes de realizar intervenciones para
aclarar dudas. El tercer momento de la clase es la resolución de las situaciones problema, en
ella los estudiantes pueden dirigirse personalmente a la docente para aclarar dudas
particulares y concluir con la actividad asignada. Para garantizar la entrega de los trabajos
asignados, la profesora firma los cuadernos y califica numéricamente en cada clase las
actividades de la sesión anterior.
Con lo anterior se establece una “fotografía” de la práctica escolar que se desarrolla en la
clase de matemáticas del curso 701. De igual manera, ésta fotografía corresponde a una
descripción cualitativa del ambiente escolar.
3.2 Técnicas e Instrumentos
La técnica usada es la observación y los instrumentos corresponden a registros video gráficos
y la elaboración de una rejilla. El papel del observador es no participante, en aras de no
interferir con los procesos o acontecimientos naturales que se dan en estos espacios de
formación. Sin embargo, se tiene claro que la presencia del investigador y la toma de datos
en video puede modificar las acciones de los participantes. Realizar éste tipo de observación,
permite describir los grupos sociales y las escenas que se presentan en el transcurso de la
clase.
Respecto a la observación, se consideran los aportes de Bonilla-Castro y Rodríguez (2000,
p. 118), quienes señalan que observar “…implica focalizar la atención de manera
intencional, sobre algunos segmentos de la realidad que se estudia, tratando de captar sus
elementos constitutivos y la manera cómo interactúan entre sí, con el fin de reconstruir
inductivamente la dinámica de la situación”. En este sentido, algunos de los aspectos más
relevantes para usar ésta técnica son: la formulación de preguntas que determinan cuáles van
a ser los elementos a considerar en los registros, para focalizar la atención en las conductas
más relevantes.
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El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 47 ~
Por lo tanto, para la observación se considera una rejilla que permite contextualizar de forma
más detallada lo que ocurre en la clase observada, a la luz de las comprensiones teóricas, así
como la reconstrucción de la sesión de clase, presentación de interpretaciones y análisis de
las acciones de profesor y estudiante. En esta rejilla se señalan los efectos y cláusulas del
contrato didáctico que son observados de acuerdo a las prácticas comunicativas:
Video
Numeración de video Fecha Lugar y Curso
Situación
Presentación de la actividad o situación sobre la cual se dan las interacciones de los participantes
de la clase de matemáticas.
Minuto Transcripción Observación
Intervalo de
tiempo en el
que se da un
suceso
específico.
Escritura de conversación, diálogo, imágenes
u otras fuentes que se desarrollan en un
momento particular, manteniendo la
naturaleza de la información.
Determinar cuál es el aspecto al
que se corresponde en relación a
las categorías de análisis.
Tabla 7. Rejilla para observación de clase.
Dentro de esta rejilla se consideraron también algunas producciones escritas de los
estudiantes; las cuales son descritas y analizadas para caracterizar los efectos y cláusulas del
contrato didáctico y las manifestaciones de prácticas comunicativas.
3.3 Recolección y Procesamiento de datos
Se “observa todo” (Murillo y Martínez, 2010) desde las percepciones del docente y los
estudiantes, para generar esquemas que relacionan aspectos teóricos y prácticos desde la TSD
propuesta por Brousseau. En este sentido, los datos suministrados permiten reflexionar sobre
su significado e incidencia para la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, así como la
interpretación de la realidad, los efectos, las cláusulas y las prácticas comunicativas.
Ahora bien, las sesiones de clase descritas corresponden al registro realizado en tres clases
de matemáticas. Para la recolección de información se tienen en cuenta las técnicas e
instrumentos referenciados con anterioridad, la utilización de una cámara de video y una
grabadora de sonido.
Adicionalmente, el procesamiento de datos recogidos en las sesiones de clase, se realiza
durante todas las fases descritas, ya que implica un análisis constante de lo que se observa
para poder interpretarlo. Considerando lo expuesto por Murillo y Martínez (2010, pág. 14):
Universidad Distrital – Maestría en Educación – Sindy Joya Metodología
El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 48 ~
“A medida que va obteniendo los datos, genera hipótesis, realiza múltiples análisis,
reinterpreta y formula nuevas hipótesis sobre determinadas relaciones entre los conceptos
generales los fenómenos observados”, se construye y enriquece la teoría para poder
conceptualizar, agrupar, dotar de sentido y generar categorías que clasifiquen los datos de
acuerdo con la teoría.
Ilustración 5. Acciones a desarrollar para el procesamiento de la información.
En consecuencia, la triangulación de la información contrasta las interpretaciones desde la
información y datos presentados en la recolección de datos de la encuesta y las evidencias de
clase en video registros.
En este sentido, se realizan descripciones y análisis que señalan prácticas comunicativas y
existencia del contrato didáctico, teniendo en cuenta los aspectos señalados por Brousseau
(1986b, 1999), D’Amore (1997, 2001, 2006, 2010) y Fandiño (2009, 2010).
Observar Describir CaracterizarEntrevistar (Opcional)
Análizar Reflexionar
Universidad Distrital – Maestría en Educación – Sindy Joya Categorías de Análisis
El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 49 ~
4 Categorías de análisis
Considerando la etnografía como metodología de investigación, el análisis se establece a
través de datos cualitativos, los cuales son organizados, analizados, interpretados y validados
de acuerdo a lo que señalan Bonilla-Castro y Rodríguez (2000, p. 131). En este sentido, es
importante ordenar la información de acuerdo a los principales parámetros (codificación) que
estructuran el conocimiento del grupo estudiado (identificación de patrones). Por tanto, las
categorías de análisis corresponden a los fundamentos teóricos en cuanto a contrato didáctico,
funciones de la lengua y prácticas comunicativas. Estos elementos se señalan en las
siguientes tablas; en ellas se resalta las descripciones y observables que son usados para la
organización y análisis de la información.
4.1 CATEGORÍA 1: Manifestaciones del Contrato Didáctico: Efectos y Cláusulas
CATEGORÍA 1:
MANIFESTACIONES DEL CONTRATO DIDÁCTICO
EFECTOS (acciones sujetas al profesor)
DESCRIPCIÓN OBSERVABLES EN
ESTUDIANTE DOCENTE
Efecto: Topaze
El estudiante sigue los indicios,
adivinando la respuesta que debe dar,
como si no le quedará más opción. Aunque
señale la respuesta no es consciente de
ella, o no le asigna algún sentido.
El docente realiza sugerencias disfrazando
la respuesta que espera del estudiante, a
través de preguntas o palabras que se
asemejan a la respuesta esperada.
Efecto:
Jourdain
El estudiante imita un esquema y lo
memoriza sin saber por qué, para qué y
cuándo usarlo; sin mayor comprensión de
los objetos matemáticos involucrados.
El docente evita discusiones sobre el sentido
del conocimiento matemático que está
tratando, pues prevé un posible fracaso.
El docente le da estatus de conocimiento
erudito (o fundamental) a esquemas, juegos
de palabras o claves (desprovistos de
sentido) que el estudiante reconoce y que
ayudan a que se tenga éxito sobre tareas
específicas aunque no se construyan
significados.
Efecto: Dienes
El estudiante no da muestra del
conocimiento esperado, empleando solo
un instrumento que no pasó por la
intervención del docente y por tanto le es
imposible realizar transferencias en el
saber.
El docente usa instrumentos didácticos de
los cuales espera obtener los mismos
resultados que diseñadores, sin realizar
ninguna adaptación que garantice su
efectividad.
El docente no comprueba los aprendizajes,
pues supone son consecuencia inmediata del
uso del instrumento.
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El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 50 ~
Efecto:
Deslizamiento
Metacognitivo
El estudiante se distancia del conocimiento
matemático pretendido para reconocer
nuevos objetos de enseñanza.
El docente, motivado por un ejercicio
metacognitivo, considera que todos los
estudiantes recorren exactamente el mismo
proceso para construir un aprendizaje
determinado.
El docente emplea diversos instrumentos
para que los estudiantes se acerquen a un
objeto matemático, sin embargo los termina
alejando.
Efecto: Uso
abusivo de la
analogía
El estudiante recae en la aparición de un
Efecto Topaze, ya que representa la
desaparición total del objeto matemático
que se desea explicar.
El docente usa analogías para que los
estudiantes se apropien de un saber; pero su
uso repetitivo hace que se generen ideas
inadecuadas o malentendidos, que pueden
no ser convenientes al tratar el objeto
matemático.
Efecto:
Envejecimiento
de las
Situaciones de
Enseñanza
El estudiante recibe las pistas e
instrucciones que hacen que la situación se
simplifique tanto, que ya no encuentra
obstáculos que le permitan resignificar el
conocimiento.
El docente repite actividades cierta cantidad
de veces, sin realizar modificaciones
didácticas. Esto lo lleva a proponer la misma
situación que considera fue efectiva en un
momento dado.
El docente realiza modificaciones a la
situación previendo que sus estudiantes no
enfrenten errores que ha evidenciado en
implementaciones anteriores de esta misma
situación.
CLÁUSULAS (acciones sujetas al estudiante)
DESCRIPCIÓN OBSERVABLES EN
ESTUDIANTE DOCENTE
Cláusula: Todo
problema tiene
una solución
El estudiante contesta un problema de
manera inapropiada, haciendo uso de datos
que no son oportunos para responder a una
pregunta específica.
El docente presenta una situación problema
en la que los datos no son apropiados para
dar una solución; sin embargo, espera que el
estudiante se dé cuenta del error o la
incoherencia y especifique las razones de la
misma.
Cláusula: Todos
los problemas
tienen solución
ligada solo a los
datos numéricos
El estudiante se enfrenta a un problema y
reconoce que tiene solución, la cual se
relaciona únicamente con los datos
numéricos que aparecen en los
enunciados.
El docente introduce información nueva de
acuerdo a las condiciones de la situación,
que posibilitan mayor comprensión y
coherencia; sin embargo los nuevos datos
son considerados por los estudiantes como
información adicional que no hace parte del
problema a resolver.
Cláusula:
Exigencia de la
justificación
formal
El estudiante escribe una organización que
cree lógica o realiza algoritmos específicos
aunque no los considere necesarios, ya que
piensa que en matemáticas siempre se
deben hacer cálculos.
El docente exige al estudiante que las
respuestas estén acompañadas de
algoritmos, como evidencia a un
razonamiento o construcción de
conocimiento matemático.
Cláusula: El
docente no
asigna
problemas sin
solución
El estudiante considera que cualquier
situación que le presente el docente se
puede resolver, y que su respuesta debe
evidenciar los conocimientos adquiridos
hasta el momento.
El docente asigna un problema sin solución
de manera intencional y espera que el
estudiante identifique las razones por las
cuales no es posible obtener una respuesta
que satisfaga las condiciones del problema.
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~ 51 ~
Cláusula: Un
problema real
es diferente a
un problema
escolar
El estudiante identifica que los problemas
escolares poseen condiciones artificiales
diseñadas por el docente o presentados en
los libros de texto, con la pretensión de
evaluar la adquisición o apropiación de un
objeto matemático.
El docente presenta condiciones artificiales
para simular situaciones reales que
requieren el uso de un conocimiento
específico; sin embargo, dichas condiciones
son ajenas al estudiante y a su contexto.
Cláusula: Si el
problema no
tiene solución,
el docente lo
notifica
El estudiante espera que el docente
intervenga dando pistas, indicaciones o
sugerencias, en la resolución de un
problema que no tiene solución.
El docente notifica a través de pistas,
sugerencias o palabras clave, que el
problema no puede ser solucionado y que el
estudiante debe descubrir la incoherencia de
la situación.
Cláusula:
Delegación
formal
El estudiante cree que su única
responsabilidad es saber qué operación
realizar y con cuáles números, para que
haya validez de sus razonamientos.
El docente cuestiona al estudiante respecto a
los algoritmos que debe utilizar para
solucionar una situación y espera identificar
el razonamiento que el estudiante realiza con
los datos.
Cláusula:
Control
Semántico
El estudiante desconoce la naturaleza de la
pregunta, por lo tanto su respuesta no es
objetiva, ya que considera que lo
importante no es comprender si no
resolver el problema.
El estudiante no se siente autorizado a usar
un dato que no aparece explícitamente en
el texto del problema, por lo cual, las
posibles soluciones carecen del sentido
propio de la situación.
El docente realiza intervenciones para que el
estudiante se dé cuenta de la incoherencia de
la respuesta ante una pregunta específica.
Tabla 8. CATEGORÍA 1: Manifestaciones del Contrato Didáctico: Efectos y Cláusulas.
Desde la categoría anterior, se hace referencia a los efectos (acciones sujetas al profesor) y
las cláusulas (acciones sujetas al estudiante). Cabe aclarar que en todo caso la existencia del
docente implica la existencia del estudiante, independientemente si los efectos refieren al
profesor o las cláusulas al estudiante, razón por la cual, la acción de uno implica la acción
del otro.
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~ 52 ~
4.2 CATEGORÍA 2: Funciones del uso de la lengua: Representación.
CATEGORÍA 2:
FUNCIONES DEL USO DE LA LENGUA
FUNCIÓN DE REPRESENTACIÓN
DESCRIPCIÓN OBSERVABLES EN
ESTUDIANTE DOCENTE
Designación
(Función
Referencial)
El estudiante señala objetos de acuerdo a
características perceptibles que ya reconoce
(triángulo, círculo,..).
El docente utiliza frases, símbolos,
convenciones y terminología matemática, que
considera el estudiante debe aprender para dar
cuenta de los objetos matemáticos involucrados
en la clase.
Categorización
(Función
Referencial)
El estudiante asigna nombres a los objetos
matemáticos involucrados (el número x, el
cuadrado de y...)
El docente solicita de manera formal al
estudiante el uso de nombres que determinan
cada uno de los objetos matemáticos a los que
se hace referencia.
Determinación
(Función
Referencial)
El estudiante emplea pronombres, artículos,
adjetivos, nombres, etc., para establecer
relaciones entre los objetos matemáticos y
los argumentos usados al resolver
situaciones presentadas por el profesor.
(Este, aquel, el cuadrado mayor).
El docente presenta situaciones que involucran
objetos matemáticos específicos y espera que el
estudiante establezca relaciones entre dichos
objetos y las situaciones presentadas.
Descripción
(Función
Referencial)
El estudiante elabora frases completas que
representan relaciones espaciales entre los
registros que se desarrollan (la primera
serie, el cuadrado de la derecha) con el fin
de hacer valer su punto de vista matemático.
El docente emplea frases, oraciones y esquemas
que establecen relaciones profundas entre
objetos matemáticos involucrados, para
caracterizarlos, describirlos y ampliar la
información relacionada con los mismos.
Función
Apofántica
El estudiante produce enunciados completos
con atribuciones (afirmación o negación),
equivalentes a la producción de predicados
sobre los objetos y puntos de vista sobre
ellos y sus relaciones.
De igual manera, organiza y sostiene sus
ideas recurriendo a diferentes formas de
comunicación (esquemas, diagramas,
bosquejos).
El docente presenta situaciones que
problematizan al estudiante para que éste pueda
afirmar o negar respecto a los objetos de los que
se hace referencia.
Función de
Expansión
Discursiva
El estudiante establece una continuidad
temática de acuerdo con la trama propuesta
(negando, acumulando características o
relaciones, estableciendo sustituciones).
El docente establece conexiones ente un saber
matemático y otro, a través de enunciados, con
el fin de que el estudiante pueda dar cuenta de
ambos, sus relaciones, vínculos, diferencias,
entre otros.
Tabla 9. CATEGORÍA 2: Funciones del uso de la lengua: Representación.
En esta categoría se hace referencia a las funciones del uso de la lengua, por medio de las
funciones de representación, desde el rol que realiza el docente y el estudiante. Si bien la
función de comunicación hace referencia inicialmente al uso de las funciones de la lengua,
para realizar el análisis de la información se enmarca en la categoría de prácticas
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El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 53 ~
comunicativas en aras de identificar la defensa de la construcción personal sobre temas de
matemáticas frente a las construcciones de otros (estudiantes y profesor).
4.3 CATEGORÍA 3: Prácticas Comunicativas: Funciones de Comunicación.
CATEGORÍA 3:
PRÁCTICAS COMUNICATIVAS
FUNCIÓN DE COMUNICACIÓN
DESCRIPCIÓN OBSERVABLES EN
ESTUDIANTE DOCENTE
Función
Instrumental
El estudiante realiza o responde preguntas y
solicita aclaraciones para satisfacer
necesidades respecto al objeto matemático
(¿Qué significa potencia?).
El docente presenta situaciones, esquemas y
representaciones respecto al objeto matemático
con el fin de caracterizar los términos y
relaciones matemáticas.
Función
Reguladora
El estudiante realiza enunciados con el
intención de regular el comportamiento de
los demás (“Haz lo que yo quiero”).
El docente orienta al estudiante respecto a las
acciones que debe desarrollar para que el objeto
matemático sea abordado de manera adecuada.
Función
Interactiva
El estudiante escucha los argumentos y los
razonamientos de otros, y los toma en
consideración, para involucrar a otras
personas en la construcción de un objeto
matemático.
El docente utiliza las intervenciones de los
estudiantes para una aparente construcción de
significados y objetos matemáticos.
Función
Personal
El estudiante considera únicamente los
argumentos que él mismo produce,
identificando y manifestando
exclusivamente el yo. (“Yo tengo razón
porque soy mejor en matemáticas”)
El docente valida o refuta los argumentos de los
estudiantes en relación al objeto matemático.
Función
Informativa
El estudiante realiza transformaciones y
cambios de registro, para comunicar nuevas
ideas conforme a las concepciones del
objeto matemático que pretende enunciar.
El docente realiza transformaciones y cambios
de registro, para comunicar al estudiante
aspectos específicos del objeto matemático.
Tabla 10. CATEGORÍA 3: Prácticas Comunicativas: Funciones de Comunicación.
En esta categoría se hace referencia a las prácticas comunicativas conforme a las
interacciones con el objeto matemático y las interacciones entre docente y estudiante, a través
de la caracterización de las funciones de comunicación.
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El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 54 ~
5 Análisis de datos
A continuación, se presenta un análisis donde se hace énfasis en las manifestaciones del
contrato didáctico (efectos y cláusulas), las funciones del uso de la lengua y las prácticas
comunicativas, que se desarrollan en las clases de matemáticas del curso 701, durante tres
sesiones de clase, cuyas transcripciones corresponden al Anexo 5. Para la lectura de estos
anexos debe tenerse en cuenta que:
Cada sesión de clase se encuentra fragmentada en un promedio de 8 videos, con una
duración de 15 minutos cada uno; esto con el fin de facilitar el traslado de la información
a diferentes dispositivos. Se debe considerar, por ejemplo, que el Video 1-4, corresponde
a la clase uno y la parte cuatro.
Los aspectos que se encuentran dentro de la rejilla corresponden exclusivamente a los
fragmentos que dan información correspondiente a las categorías. En ocasiones se
incluyen imágenes para ampliar la información.
Cada línea de participación se encuentra diferenciada por el código {L#}, donde el # es
equivalente a la numeración de la línea.
La información que se encuentra entre llaves [ ], hace referencia a aclaraciones o
anotaciones del observador en la transcripción del episodio, señalando tonos de voz,
pausas, movimientos y acciones desarrolladas por los personajes. Debe aclararse sin
embargo que estos elementos corresponden a aspectos semióticos que no serán
analizados.
La información que aparece en “cursiva” y entre comillas, hace referencia a problemas,
ejercicios o situaciones que presenta la docente para el desarrollo de actividades.
A cada estudiante se le asignó un número en el proceso de transcripción, para diferenciar
su participación en la clase. Se evidenció que la mayoría de las intervenciones son
realizadas por el mismo grupo de estudiantes.
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~ 55 ~
5.1 Análisis Clase 1
La Clase 1, desarrollada el 23 de Febrero de 2016, corresponde al Anexo 5.1. Durante esta
sesión se realiza la práctica de divisiones con números enteros. El objetivo planteado por la
docente es finalizar el uso de operaciones básicas en ese conjunto numérico y empezar a
pensar en problemas y aplicaciones.
La clase se desarrolla en tres momentos, el MOMENTO 1 corresponde a la introducción, en
la que estudiantes y docente retoman conceptos previos respecto a la división, recordando las
partes que la componen y su relación inversa con la multiplicación, a través de algunos
ejemplos. En el MOMENTO 2, se realizan operaciones sencillas con números enteros para
identificar la ley de signos que debe ser utilizada en cada situación. Finalmente, en el
MOMENTO 3, la docente asigna una serie de ejercicios para que los estudiantes practiquen
divisiones con números enteros.
Durante esta sesión se observa que la clase se lleva a cabo desde la explicación de la docente,
ejemplos que evidencian pasos o procedimientos a seguir y el desarrollo de una actividad por
parte de los estudiantes. De igual manera, se reconoce que la mayoría de las intervenciones
son realizadas por la docente y la participación de los estudiantes está condicionada a la
explicación de la clase. Sin embargo, se evidencia también que un grupo específico de
estudiantes es el que responde a las preguntas y solicita aclaraciones sobre el desarrollo de
procedimientos en ejercicios específicos. Los otros estudiantes, quienes no pertenecen a
dicho grupo, esperan la participación de otros para aclarar dudas y en menor medida se
dirigen personalmente a la docente para que ella valide y verifique las soluciones realizadas.
De acuerdo a la información presentada en los registros de video y las rejillas de análisis,
durante la Clase # 1 se identifican 17 evidencias de observables de manifestaciones del
contrato didáctico, relacionadas con efectos y cláusulas (Categoría 1); 17 evidencias de
acciones relacionadas con las funciones del uso de la lengua (Categoría 2); y 19 evidencias
de prácticas comunicativas (Categoría 3).
A continuación se describe por cada una de las categorías, algunos apartes del episodio para
analizar la información.
Universidad Distrital – Maestría en Educación – Sindy Joya Análisis de datos
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~ 56 ~
5.1.1 Clase 1: Categoría 1.
En la Categoría 1, Manifestaciones del Contrato Didáctico, se evidencia que los observables
de mayor recurrencia son el Efecto Jourdain (4) y la Cláusula de Control Semántico (3).
CLASE 1
CATEGORÍA 1
Subcategoría Descripción Total por
descripción
Efectos
Efecto: Topaze 3
Efecto: Jourdain 4
Efecto: Dienes 0
Efecto: Deslizamiento Metacognitivo 1
Efecto: Uso abusivo de la analogía 1
Efecto: Envejecimiento de las Situaciones de Enseñanza 0
Cláusula
Cláusula: Todo problema tiene una solución 0
Cláusula: Todos los problemas tienen solución ligada solo a los datos
numéricos 1
Cláusula: Exigencia de la justificación formal 2
Cláusula: El docente no asigna problemas sin solución 1
Cláusula: Un problema real es diferente a un problema escolar 0
Cláusula: Si el problema no tiene solución, el docente lo notifica 0
Cláusula: Delegación formal 2
Cláusula: Control Semántico 3
Tabla 11. Observables Clase 1 – Categoría 1
Con el fin de realizar el análisis de esta información, a continuación se realiza descripción,
transcripción y reflexiones de los episodios desarrollados en el transcurso de la Clase 1 y que
hacen referencia a efectos y cláusulas presentes en el contrato didáctico que se lleva a cabo
en ésta aula de clase.
5.1.1.1 Situación 1. Efecto Jourdain
Se seleccionan las líneas de transcripción {L21} - {L28} donde la docente evita discusiones
sobre el sentido del conocimiento matemático que está tratando y por tanto le da estatus de
conocimiento erudito (o fundamental) a esquemas, juegos de palabras o claves (desprovistos
de sentido) que el estudiante reconoce y que ayudan a que se tenga éxito sobre tareas
específicas aunque no se construyan significados. En este caso, tal conocimiento refiere a
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~ 57 ~
una tabla de signos que se considera imprescindible para la solución de las divisiones entre
números enteros.
Video 1-1
Minuto Transcripción Observación
inicial
09:20
-
11:03
{L21}Profesora: Ahora, como nosotros estamos dividiendo números enteros.
¿Cierto? Entonces necesitamos utilizar los signos de esas cantidades que vamos
a dividir ¿Vale?... Entonces vamos a manejar una regla de la división que es
igual a la regla de los signos de la multiplicación. ¿Bien? Entonces vamos a
escribir una tablita, lo mismo que hicimos que día. [La profesora empieza a
diligenciar una tabla en el tablero] Dividido y acá la tablita para escribir los
signos, positivo, negativo, positivo y negativo ¿Vale? Y lo vamos a llenar. Lo
mismo. Decíamos, más por más nos da más, entonces lo mismo decimos: más
dividido entre más nos da… más o positivo ¿Bien? Acá, menos, o bueno [la
profesora mueve la cabeza manifestando negación frente a lo que acaba de
decir]. Más dividido entre menos ¿Nos da?
{L22}Estudiantes: Menos
{L23}Profesora: ¡Menos! Entonces menos dividido entre más
{L24}Estudiante 1: Más
{L25}Estudiante 2: Menos
{L26}Profesora: Menos porque son signos contrarios. Y menos dividido entre
menos, más. Signos iguales como más dividido más, me da más. Y menos
dividido menos me da más. Listo. Es igualita que la de la multiplicación. ¿Si?
O sea, si yo pongo acá por [señalando en la tabla el símbolo de división] es la
misma. ¿Listo? Pero sirve para la división ¿Ok?
Imagen 1. “Tabla de división entre signos”
{L27}Estudiante 4: ¿También sirve para la división?
{L28}Profesora: Entonces es la misma ley de los signos de la multiplicación
la de la división. ¿Vale? Entonces trabajamos de la misma manera.
Categoría 1
Efecto
Jourdain
Categoría 2
Función
Apofántica
Categoría 3
Función
Instrumental
Tabla 12. Clase 1. Situación 1. Efecto Jourdain.
Se selecciona este apartado ya que la docente desarrolla una serie de procedimientos que
espera sean relacionados con esquemas anteriores, abordados en la multiplicación de
números enteros, e imitados como herramientas importantes para la solución de situaciones.
La actitud de la docente (D’Amore et al. 2010, p. 170) es una de las conductas que se señalan
en cuanto a poseedor del conocimiento, ya que se intenta una transmisión directa sin pasar
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El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 58 ~
por intervenciones o mediaciones que lleven al estudiante a verificar la autenticidad de dicha
información.
Se identifica de acuerdo a D’Amore et al. (2010, p. 174) que el estudiante pierde todo control
crítico sobre su propio aprendizaje, y se limita al uso de las reglas que la docente indicó. Ya
que su pretensión termina siendo que sus respuestas sean equivalentes a las de la docente o
al menos a aquellas en las que ella evidencia aprobación.
De igual manera este episodio refleja apartados del Efecto Topaze, ya que como menciona
D’Amore et al. (2010, p. 174): “El estudiante proporciona la respuesta esperada por el
profesor, pero no siempre se da cuenta de haberla obtenido, sino a través de la aprobación
explicita del docente”. La manifestación visualizada, se reconoce en las respuestas del
estudiante y la validación de la docente.
Finalmente, se podría deducir que el planteamiento de la docente al indicar exclusivamente
la tabla de signos para la división entre enteros, corresponde a un envejecimiento de la
situación de enseñanza, en la que para evitar los obstáculos que pueden darse en la
apropiación del saber, se realizan modificaciones didácticas en la que es mejor entregarles
una tabla para que sea imitada.
5.1.1.2 Situación 2. Cláusula de Control Semántico.
Se seleccionan las líneas de transcripción {L96} - {L99} donde el estudiante busca respuestas
respecto al uso de signos en los números enteros, pues desconoce la naturaleza de la pregunta
y su respuesta no es objetiva para los planteamientos que ha realizado el docente. De igual
manera, en este episodio, el estudiante no se siente autorizado a usar un dato que no aparece
explícitamente en el texto del problema, por lo cual, las posibles soluciones carecen del
sentido propio de la situación; y el docente realiza intervenciones, para que el estudiante se
dé cuenta de la incoherencia de la respuesta y conteste coherentemente ante la pregunta
planteada.
En este episodio, se identifica que el estudiante aún no reconoce la relación entre números
naturales y números enteros positivos, razón por la cual, identifica que los números enteros
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El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 59 ~
siempre deben estar acompañados por un signo (+) o (-) que le da el carácter al conjunto
numérico.
Video 1-4
Minuto Transcripción Observación
inicial
03:39
-
04:02
{L96}Estudiante 12: [Se levanta del puesto y se dirige hacia el lugar
donde se encuentra la docente]. ¡Profe, profe! ¿Por qué ahí no va
signo? [Señala una de las divisiones realizadas como ejemplo].
{L97}Profesora: Porque como acá es positivo, entonces no es
necesario ponerle el más. Si fuera negativo sí era obligatorio ponerle
el menos.
Imagen 2. Estudiante que no se siente autorizado a usar el signo (+) en la solución de una división
{L98}Estudiante 12: O sea que cuando esté así, ¿Es un más?
{L99}Profesora: Depende. Si ambos son positivos, da positivo. [El
estudiante se aleja].
Categoría 1
Cláusula de
Control
Semántico
Categoría 2
Función
Descripción
Categoría 3
Función
Instrumental
Tabla 13. Clase 1. Situación 2. Cláusula de Control Semántico.
El estudiante identifica la manera en la que debe operar con signos, sin embargo es incapaz
de usar el símbolo positivo como anteposición a una respuesta numérica entre la división de
dos números enteros positivos (28/7). Aunque sabe cómo operar entre enteros, desconoce la
naturaleza de la situación y no sabe si es apropiado asignar el signo positivo a una solución,
que esta seguida de una serie de ejemplos en los que al haber resultados negativos siempre
se asigna el signo de menos.
Este tipo de eventos generan condicionamiento en el estudiante, por un lado, para la búsqueda
de aprobación y por el otro la incapacidad de control semántico entre un ejercicio, situación
o problema y su respectiva solución. Si bien el estudiante no dimensiona el control semántico
presente en esta situación, deja en evidencia que su actuar está condicionado a las
interacciones que ha desarrollado con la docente. En este sentido, en la cláusula de Control
Semántico el estudiante no logra controlar si la respuesta es coherente con la pregunta
propuesta (D’Amore, 2006, p. 125).
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~ 60 ~
5.1.2 Clase 1: Categoría 2.
En la Categoría 2, Funciones del uso de la lengua, se evidencia que los observables de mayor
recurrencia son Función Designación (4), Función Apofántica (4) y Función de Expansión
Discursiva (4).
CLASE 1
CATEGORÍA 2
Subcategoría Descripción Total por
descripción
Función Referencial
Designación 4
Categorización 2
Determinación 2
Descripción 1
Función Apofántica Función Apofántica 4
Función de Expansión Discursiva Función de Expansión Discursiva 4
Tabla 14. Observables Clase 1 – Categoría 2
A continuación se realiza descripción, transcripción y reflexión de un episodio que se
relaciona con la Función de Expansión Discursiva.
5.1.2.1 Situación 3. Función de Expansión Discursiva
Las líneas de transcripción a observar son {L16} - {L20} donde la docente realiza una
explicación respecto a operaciones inversas y utiliza analogías para hacerle comprender al
estudiante el saber específico. Allí, el estudiante intenta establecer una continuidad temática
de acuerdo con la trama propuesta, en particular acumulando características o relaciones entre
situaciones. Sin embargo, la docente establece conexiones ente un saber matemático y otro,
a través de enunciados, proposiciones y explicaciones, con el fin de que el estudiante pueda
dar cuenta de ambos, sus relaciones, vínculos, diferencias, entre otros.
Video 1-1
Minuto Transcripción Observación
inicial
07:15
-
08:24
{L16} Profesora: Recordemos que la división es una operación que es inversa
de la multiplicación ¿Por qué es inversa? Porque nosotros cuando tenemos dos
números; por ejemplo, voy a coger el número… veintiocho [escribe en el
tablero] ¿Vale? Y el número veintiocho es el resultado de multiplicar dos
números entre sí ¿Vale?... ¿Qué números multiplicados me dan veintiocho?
Categoría 1
Efecto: Uso
abusivo de la
analogía
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~ 61 ~
{L17} Estudiante 5: [Levanta la mano pidiendo la palabra, la profesora lo
observa y con una sonrisa acepta su intervención] Cuatro por siete.
Imagen 3. División
{L18} Profesora: ¡Cuatro por siete! [Escribe en el tablero los dos números]
Cuatro por siete, listo. ¿Qué pasa si yo cojo el número veintiocho y lo divido
por ejemplo entre cuatro?... Me da siete veces ¿Cierto?... Entonces digo siete
por cuatro veintiocho, ¿A veintiocho?
{L19} Estudiantes: Cero [Varios estudiantes contestan al tiempo]
{L20} Profesora: ¿Cierto? En ese caso, si yo cojo dos números que sean
factores como cuatro y siete, al multiplicarse me dan veintiocho y ahora si cojo
el veintiocho y lo divido entre uno de los dos, entre cuatro, por ejemplo, me da
el otro número, siete. ¿Vale? Por eso son operaciones inversas.
Categoría 2
Función de
Expansión
Discursiva
Categoría 3
Función
Informativa
Tabla 15. Clase 1. Situación 3. Función de Expansión Discursiva
Se evidencia en este episodio que la intención comunicativa de la docente, en el afán de hacer
que la idea de operaciones inversas entre división y multiplicación sea entendida por los
estudiantes, direcciona su explicación a ejemplos que distorsionan la intención de dicha idea.
En el ejemplo que se desarrolla, la pretensión de interpretar las operaciones inversas termina
siendo el desarrollo de divisiones con verificación de sus resultados. Por tanto, la analogía
utilizada como recurso (Brousseau, 1986b, p. 9), hace que se presente un Efecto Topaze, ya
que hay desaparición total del objeto matemático pretendido.
Brousseau (1986b, p. 9) señala además que la analogía es una práctica natural: si los
alumnos han fracasado en su aprendizaje, es necesario darles una nueva oportunidad sobre
el mismo tema. Razón por la cual, la docente acude a los medios que considera son más
próximos a los estudiantes y que les permite comprender la razón de las situaciones.
Los estudiantes evidentemente establecen una continuidad temática entre multiplicación y
división y aparentemente acumulan características y relaciones entre las operaciones a las
que deben hacer referencia. Sin embargo, posteriormente se identifica que las divisiones que
se realizan no tienen como residuo cero y por tanto la explicación se extiende a números
racionales. La clase olvida la intención de identificar las operaciones inversas y direcciona
sus intereses a la solución de diferentes divisiones.
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~ 62 ~
5.1.3 Clase 1: Categoría 3.
En la Categoría 3, Prácticas Comunicativas, se evidencia que el observable de mayor
recurrencia es la Función Instrumental (7).
CLASE 1
CATEGORÍA 3
Subcategoría Descripción Total por
descripción
Función de Comunicación
Función Instrumental 7
Función Reguladora 3
Función Interactiva 3
Función Personal 3
Función Informativa 3
Tabla 16. Observables Clase 1 – Categoría 3
A continuación se realiza descripción, transcripción y reflexión de un episodio que se
relaciona con la Función Instrumental.
5.1.3.1 Situación 4. Función Instrumental
Las líneas de transcripción a observar son {L76} – {L80} donde el estudiante responde
preguntas y solicita aclaraciones para satisfacer necesidades respecto al objeto matemático
que corresponde a divisiones entre números enteros; particularmente al uso de la ley de
signos que ha sido descrita en la clase con anterioridad. Allí, la docente presenta situaciones
respecto al objeto matemático con el fin de caracterizar los términos y relaciones matemáticas
existentes para que los estudiantes puedan apropiarse de dichas características y
transformarlas para el trabajo en diferentes ejercicios.
Video 1-2
Minuto Transcripción Observación
inicial
02-34
-
03:20
{L76}Profesora: Miremos en ejemplos entonces chicos. [Escribe en el tablero
cuatro ejercicios de división]. Bueno, hasta el momento he puesto cuatro
divisiones, las más sencillas del mundo, ¿Por qué son las más sencillas? Porque
son de una sola cifra y son números pequeñitos que nosotros podemos trabajar
fácilmente, eh, solamente mirando la operación. Entonces, lo único extraño de
acá es la forma como la he puesto, vale. [Los estudiantes observan las divisiones
con algo de incertidumbre].
{L77}Estudiante 10: No entendí
{L78}Profesora: Tranquilos, solamente es que como los números enteros
pueden ser positivos y negativos… Lo que pasa es que como son enteros
positivos o negativos, pues yo puedo dividir números positivos entre positivos,
Categoría 1
Cláusula
Delegación
Formal
Categoría 2
Función
Apofántica
Categoría 3
Función
Instrumental
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El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 63 ~
negativas con positivos, negativos entre negativos y no pasa nada. Esta es una
forma de escribirlos, vale. Alguien me puede decir, menos por menos ¿Cuánto
me da?
{L79}Estudiantes: Más [Varios estudiantes contestan al tiempo, otros solo
miran a la docente en espera de la respuesta]
{L80}Profesora: ¡Más! Si yo le quiero poner un más, acá lo pongo
[Refiriéndose al cociente] Si no, no es necesario. Pero si es menos, sí es
importante que lo escribamos, vale. [Un estudiante levanta la mano y pide
resolver la división, la docente lo pasa por alto]. Ciento veinte divido diez, es
doce. [El estudiante responde también]. De forma que probamos, doce por diez,
ciento veinte y a ciento veinte, cero. Sí lo hago de esta manera, vale.
Tabla 17. Clase 1. Situación 4. Función Instrumental
El estudiante en una función comunicativa, intenta posicionarse a través del objeto
matemático frente a la docente, sin embargo la función instrumental descrita se refleja en la
docente, quien es la encargada de realizar en primera instancia la solución de las situaciones
o ejercicios que se presentan. Se observa además, que la docente no cuestiona a los
estudiantes respecto a las reglas que debe utilizar para solucionar las divisiones, pero muestra
interés en que respondan correctamente a algo que en la clase se ha denominado la tabla de
signos.
El estudiante cree que su única responsabilidad es saber cómo realizar las operaciones y cómo
nombrarlas correctamente, por lo tanto se adecua a usar la terminología que menciona la
docente, convirtiéndola en parte de su lenguaje y comunicando la información específica a
la que debe hacer referencia y que además da cuenta del reconocimiento del objeto
matemático.
Finalmente, aunque se asume que las prácticas comunicativas van más allá de las respuestas,
se establece que las interacciones entre docente y estudiante deben estar mediadas por la
exposición de ideas matemáticas de enseñanza y aprendizaje.
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~ 64 ~
5.2 Análisis Clase 2
La Clase 2, desarrollada el 24 de Febrero de 2016, corresponde al Anexo 5.2. Durante esta
sesión se realiza práctica de análisis, proceso y solución a situaciones problema relacionadas
con el uso de operaciones básicas con números enteros. Las situaciones problema presentadas
corresponden a escenarios propuestos por la docente o existentes en algunos libros de texto
escolar que son usados regularmente por la docente para la preparación de los ejercicios de
clase. El objetivo de la clase, de acuerdo a los señalamientos de la docente es que los
estudiantes puedan determinar las características de un problema y por tanto lleguen a una
solución adecuada del mismo.
La clase se desarrolla en cuatro momentos: el MOMENTO 1 corresponde a la elaboración
de unas listas, en las que aparecen palabras relacionadas con las operaciones de suma, resta,
multiplicación y división, esto con el fin de que los estudiantes reconozcan qué operación
deben desarrollar en cada situación; en el MOMENTO 2, se determinan los pasos que se
deben seguir para responder correctamente un problema, estos pasos son construidos entre
docente y estudiantes, de acuerdo a las actividades que han desarrollado en clase con
anterioridad y que determinan características frecuentes en la resolución de los ejercicios; el
MOMENTO 3 es orientado en su mayoría por la docente y corresponde a la presentación de
cuatro situaciones problema que son resueltos por la docente con ayuda de intervenciones de
algunos estudiantes, garantizando que la solución siga las pistas de los listados elaborados en
el momento 1 y los pasos descritos en el momento 2; durante el MOMENTO 4, la docente
realiza un dictado de cuatro situaciones problema que deben ser solucionados por los
estudiantes, dado el tiempo de la sesión, dicha actividad queda programada como tarea para
la casa.
Se observa durante ésta sesión que con la intención de que los estudiantes puedan resolver,
sin ayuda, las situaciones propuestas, se genera una serie de mecanismos que los orientan,
evitando así que enfrenten una situación de conflicto cognitivo y en consecuencia el
desarrollo sea más oportuno. Sin embargo, se identifica que esta intervención termina
produciendo en los estudiantes condicionamientos ante palabras que no necesariamente se
corresponden con una única operación como es el caso de dar, ya que puede asociarse con
sumar o restar, dependiendo del personaje desde el que se mire la situación.
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~ 65 ~
Por otro lado, se reconoce que en ésta sesión la docente permite a los estudiantes caracterizar
pasos o secuencias de acuerdo a su propia experiencia; y finalmente, algunas de las
situaciones presentadas involucraban más de un algoritmo, por tanto los estudiantes debían
reconocer en cada una cuál o cuál eran las acciones necesarias para llegar a una solución.
De acuerdo a la información presentada en los registros de video y las rejillas de análisis,
durante la Clase # 2 se identifican 36 evidencias de observables de manifestaciones del
contrato didáctico, relacionadas con efectos y cláusulas (Categoría 1); 27 evidencias de
acciones relacionadas con las funciones del uso de la lengua (Categoría 2); y 31 evidencias
de prácticas comunicativas (Categoría 3). A continuación se describe por cada una de las
categorías, algunos apartes del episodio para analizar la información.
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~ 66 ~
5.2.1 Clase 2: Categoría 1.
En la Categoría 1, Manifestaciones del Contrato Didáctico, se evidencia que los observables
de mayor recurrencia son el Efecto Jourdain (8) y la Cláusula Exigencia de la Justificación
Formal (4).
CLASE 2
CATEGORÍA 1
Subcategoría Descripción Total por
descripción
Efectos
Efecto: Topaze 4
Efecto: Jourdain 8
Efecto: Dienes 7
Efecto: Deslizamiento Metacognitivo 1
Efecto: Uso abusivo de la analogía 1
Efecto: Envejecimiento de las Situaciones de Enseñanza 1
Cláusula
Cláusula: Todo problema tiene una solución 0
Cláusula: Todos los problemas tienen solución ligada solo a los datos
numéricos 3
Cláusula: Exigencia de la justificación formal 4
Cláusula: El docente no asigna problemas sin solución 0
Cláusula: Un problema real es diferente a un problema escolar 2
Cláusula: Si el problema no tiene solución, el docente lo notifica 0
Cláusula: Delegación formal 3
Cláusula: Control Semántico 2
Tabla 18. Observables Clase 2 – Categoría 1
Con el fin de realizar el análisis de ésta información, a continuación se realiza descripción,
transcripción y reflexión de los episodios desarrollados en el transcurso de la Clase 2 y que
hacen referencia a efectos y cláusulas presentes en el contrato didáctico que se lleva a cabo
en ésta aula de clase.
5.2.1.1 Situación 5. Efecto Jourdain.
Las líneas de transcripción a observar son {L37} - {L47} donde la docente en compañía del
curso determinan palabras clave para saber qué operación usar en una situación problema.
De esta manera los estudiantes podrán imitar un esquema al relacionar palabras específicas
con algún algoritmo. Así mismo, la docente da importancia a la claridad de las palabras para
que los estudiantes reconozcan la tarea que deben realizar con cada significado.
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~ 67 ~
Video 2-2
Minuto Transcripción Observación
inicial
07:14
–
08:15
{L37} Profesora: Ahora, pensemos en la operación resta. Cuando yo hablo de
resta, qué me indica que… [interrumpida por el estudiante]
{L38} Estudiante 1: Sacó
{L39} Profesora: Sacó, bueno, sacó. La palabra sacar.
{L40} Estudiante 6: Le quitó
{L41} Profesora: Quitar
{L42} Estudiante 7: Regalar
Imagen 4. Listado de palabras asociadas a la operación resta.
{L43} Profesora: Regalar [duda y revisa las palabras que se escribieron en el
listado de suma]. Bueno, regalar también sirve en este caso, entonces también
puede ser.
{L44} Estudiante 8: Prestar
{L45} Profesora: Restar
{L46} Estudiante 8: ¡Prestar!
{L47} Profesora: Bueno, prestar... También cuando, por ahí ahorita alguien me
la dijo [señala a un grupo de estudiantes]... La diferencia. ¿Sí? ¿Cuál es la
diferencia entre lo que tiene Carlitos y Martica por ejemplo?... Si uno tiene tanto
y el otro tiene tanto. Cierto, entonces la palabra diferencia me indica que se debe
hacer una resta. … Bueno, esas son algunas. Posiblemente se nos ocurran más
o encontremos más cuando resolvamos problemas.
Categoría 1
Efecto Jourdain
Categoría 2
Función
Categorización
Categoría 3
Función
Informativa
Tabla 19. Clase 2. Situación 5. Efecto Jourdain.
Se selecciona este apartado porque se evidencia la generación de esquemas mal formados,
teniendo en cuenta que el conjunto numérico del que se está haciendo uso es el de los números
enteros y por tanto hace falta realizar aclaraciones al respecto de las palabras que pueden ser
asociadas a las operaciones consideradas como básicas.
D’Amore et al. (2010, p. 182) señala que en cierta medida el docente considera que sus
estudiantes deben aprender una regla, que considera general, y que será usada de manera
arbitraria siempre que se presente el caso. Es así como el esquema mal formado puede
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El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 68 ~
referirse en este caso, por ejemplo, a la palabra “Quitar” asociada a la operación resta; la cual
no corresponde de manera apropiada en el uso de números negativos.
De acuerdo con esto, el estudiante termina repitiendo y realizando procesos que no adjudican
necesariamente la apropiación del objeto matemático números enteros sino el seguimiento
de instrucciones o imitando las acciones que fueron realizadas por la docente.
5.2.1.2 Situación 6. Cláusula: Todos los problemas tienen solución ligada solo a los datos
numéricos.
Las líneas de transcripción a observar son {L197} - {L205} donde el estudiante se enfrenta
a un problema matemático y reconoce que tiene una solución, la cual se relaciona
directamente con los datos numéricos que aparecen en el enunciado. Sin embargo, la
información presentada no es suficiente, ya sea por los términos implementados o por la falta
de información explicita. En este caso, la docente debe introducir información de acuerdo a
las condiciones de la situación, para que los estudiantes comprendan en mayor medida la
situación y hallen coherencia entre las implicaciones.
Video 2-6
Minuto Transcripción Observación
inicial
09:00
–
11:01
{L197} Profesora: Rápido, vamos a hacer la socialización. Entonces ojo.
Cuando hablamos de saldos en las cuentas, saldo es lo que me quedó. Sí,
entonces quiere decir que Andrea, terminando, o empezando el mes tenía un
guardadito ahí seguramente del mes anterior, que era de 300……
{L198} Estudiante 2: ¡325000!
Imagen 5. Solución del Problema #2. (Registro de la docente)
{L199} Profesora: ¡325000! Entonces 325000 [Escribe en el tablero]. Eso fue
lo que tenía por ahí ahorradito. Pero, al terminar el mes como le pagaron su
sueldo y gastaría algo y le quedaron 2750000 [Escribe la cifra sobre el valor
anterior]. Me piden que haga la diferencia. Y la diferencia es la operación….
¡Resta! ¿Ok niñas? Es restar, la palabra diferencia es clave. Restamos, entonces
cero, cero, cero, diez menos cinco es cinco… cuatro menos dos es dos, siete
menos tres…
{L200} Estudiante 9: Cinco
Categoría 1
Cláusula
Todos los
problemas
tienen solución
ligada solo a
los datos
numéricos.
Categoría 2
Función
Apofántica
Categoría 3
Función
Informativa
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~ 69 ~
{L201} Profesora: ¿Siete menos tres?
{L202} Estudiantes: Cuatro
{L203} Profesora: Cuatro…. Entonces 2´425.000… Ustedes concluyen, el
nuevo saldo o la diferencia perdón [Borra la respuesta que estaba escribiendo].
La diferencia es de…
{L204} Estudiante 5: La diferencia es de 2´425.000 de saldo
Imagen 6. Solución del Problema #2. (Registro de un estudiante)
{L205} Profesora: Bueno, la diferencia es 2´425.000 entre los saldos. O la
diferencia entre los saldos es de… Bien, entonces siempre que hablemos de
plata, de cuentas, estamos hablando en ese caso de operaciones, pues podemos
colocar problemas de suma o resta.
Tabla 20. Clase 2. Situación 6. Cláusula: Todos los problemas tienen solución ligada solo a los datos numéricos.
Se selecciona este episodio no porque carezca de solución sino porque el resultado es
producto de unas organizaciones en las que se consideran los datos de la situación. En dicha
situación se solicita calcular el saldo final de una cuenta de ahorro posterior a unas
transacciones específicas. La percepción que tiene el estudiante de la matemática es que todos
los problemas tienen una solución específica (D’Amore et al. 2010, p. 156), ya que hasta el
momento no se han encontrado con una situación en la que no exista solución. Por lo tanto,
el estudiante sabe que debe usar los datos de acuerdo al enunciado y reconociendo las
palabras clave que se relacionan a operaciones específicas.
Finalmente, el estudiante se enfrenta con un problema y reconoce que tiene una solución
ligada únicamente a los datos numéricos que aparecen en el enunciado (D’Amore et al. 2010,
p. 166). Y usa los datos bajo el mismo registro que realiza la docente.
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~ 70 ~
5.2.2 Clase 2: Categoría 2.
En la Categoría 2, Funciones del uso de la lengua, se evidencia que el observable de mayor
recurrencia es la Función Apofántica (8).
CLASE 2
CATEGORÍA 2
Subcategoría Descripción Total por
descripción
Función Referencial
Designación 5
Categorización 6
Determinación 4
Descripción 4
Función Apofántica Función Apofántica 8
Función de Expansión Discursiva Función de Expansión Discursiva 0
Tabla 21. Observables Clase 2 – Categoría 2
A continuación se realiza el análisis de un episodio que se relaciona con la Función
Apofántica.
5.2.2.1 Situación 7. Función Apofántica
Las líneas de transcripción a observar son {L209} - {L221} donde el docente presenta
situaciones que problematizan al estudiante para que éste pueda afirmar o negar respecto a
los objetos de los que se hace referencia. El estudiante produce enunciados completos con
atribuciones en las que señala relaciones entre los objetos y organiza ideas recurriendo a
diferentes formas de comunicación (esquemas, diagramas, bosquejos).
Video 2-7
Minuto Transcripción Observación
inicial
03:29
–
04:08
{L209} Profesora: Bien, qué operaciones tenemos que hacer.
{L210} Estudiante 14: ¡Una suma!
{L211} Estudiante 15: No
{L212} Profesora: ¿Una suma?
{L213} Estudiante 2: Una multiplicación.
{L214} Estudiante 1: Una división.
{L215} Profesora: ¿Multiplicación? ¿De acuerdo?
{L216} Estudiantes: [Algunos responden sí y otros no].
{L217} Profesora: ¿Y solamente multiplicación y ahí termino?
{L218} Estudiantes: [No saben qué responder]
{L219} Profesora: ¿Multiplicación y división?
Categoría 1
Efecto Topaze y
Cláusula de
Delegación
formal
Categoría 2
Función
Designación y
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El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 71 ~
Imagen 7. Estudiantes “encontrando” la operación indicada.
{L220} Estudiante 14: Una multiplicación y una resta.
{L2221} Profesora: Sí señor, una multiplicación y una resta, porque me dicen
cuántos kilómetros le faltaran por resolver, digo, por recorrer.
Función
Apofántica
Categoría 3
Función
Personal
Tabla 22. Clase 2. Situación 7. Función Apofántica.
Se selecciona este apartado, ya que es el docente quien presenta una situación para
problematizar al estudiante para que éste pueda afirmar o negar respecto a los objetos de los
que se hace referencia. Sin embargo, se evidencia también la presencia de un Efecto Topaze
al realizar inducción de respuestas y la aparición de la Cláusula de Delegación Formal cuando
el estudiante aparentemente cree que su única responsabilidad es saber qué operación realizar
y con cuáles números. Se evidencia que la mayoría de los estudiantes no reconocen el sentido
de la situación y ya que la pregunta de la docente (qué operaciones tenemos que hacer) es
equivalente solo a los procedimientos necesarios, los estudiantes optan por “encontrar” la
respuesta. Si no es una operación, será otra.
D’Amore et al. (2010, p. 168) señala que el estudiante cree que su única responsabilidad es
saber qué operación realizar y con cuáles números. En este sentido, el estudiante se olvida
casi por completo de la interpretación que se pueda realizar de la situación así como del
razonamiento de acuerdo a las indicaciones en el mismo. Por lo tanto no puede cumplir con
una Función Apofántica, pues no está en la condición de producir ningún tipo de enunciados,
ni para verificar ni para negar. En este caso, el estudiante tampoco puede dar puntos de vista
sobre las relaciones de los objetos a los que está haciendo referencia. Se observa además, que
de acuerdo al contrato didáctico que está establecido en el aula, los estudiantes responderán
arbitrariamente y la docente escuchará y tomará la respuesta que espera, así haya más
estudiantes que no se den cuenta de la operación que deberían reconocer. Finalmente,
D’Amore et al. (2010, p. 167) indica que en este tipo de situaciones, los estudiantes se limitan
a encontrar el algoritmo que es necesario, pero se desentienden totalmente del resultado del
mismo.
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~ 72 ~
5.2.3 Clase 2: Categoría 3.
En la Categoría 3, Prácticas Comunicativas, se evidencia que el observable de mayor
recurrencia es la Función Informativa (10).
CLASE 2
CATEGORÍA 3
Subcategoría Descripción Total por
descripción
Función de Comunicación
Función Instrumental 7
Función Reguladora 9
Función Interactiva 1
Función Personal 4
Función Informativa 10
Tabla 23. Observables Clase 2 – Categoría 3
A continuación se realiza el análisis de un episodio que se relaciona con la Función
Informativa.
5.2.3.1 Situación 8. Función Informativa
Las líneas de transcripción a observar son {L153} – {L167} donde el estudiante y la docente
realizan transformaciones y cambios de registro, para comunicar nuevas ideas conforme a las
concepciones del objeto matemático que pretenden enunciar.
Video 2-5
Minuto Transcripción Observación
inicial
07:42
–
08:45
{L153} Profesora: Entonces formalicemos la operación que vamos a hacer. ¿Qué
sumo y qué resto?
{L154} Estudiante 7: Suma 3000 + 2000
{L155} Profesora: Sumo cuánto
{L156} Estudiante 7: 3000 + 2000
{L157} Profesora: 3000 metros más 2000 metros
{L158} Estudiante 5: Se resta por 1500 metros
{L159} Profesora: Y le resto 1500 metros
{L160} Profesora: Y vamos a resolver. Nosotros ya sabemos que cuando tenemos
cantidades enteras del mismo signo se suman. Entonces 3000 + 2000 me da…
{L161} Estudiantes: 5000
{L162} Profesora: ¡5000 metros! Porque estoy hablando de metros y le resto
ahora la cantidad negativa 1500 metros. Entonces ¿Cuánto me da esto?
{L163} Estudiantes: 3500, algunos dicen 2500 o 4500
Categoría 1
Cláusula
Exigencia de la
justificación
formal
Categoría 2
Función
Descripción
Categoría 3
Función
Informativa
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~ 73 ~
Imagen 8. Diagrama, operaciones y solución del Problema #1(Registro docente)
{L164} Estudiante 5: Queda volando a 3500
{L165} Profesora: Bueno, 3500 metros. [Escribe en el tablero]. No me sirve que
yo solamente ponga el problema y ya escribí 3500 metros y yo no sé si eso es la
solución o qué es. Entonces cuando hablamos de problemas es importante que con
nuestras palabras escribamos cuál es la solución. Entonces yo escribo: “El avión
continúa volando...”
Imagen 9. Operaciones y solución del Problema #1(Registro de un estudiante)
{L166} Estudiante 16: A 3500 metros
{L167} Profesora: “A 3500 metros de altura”. Listo.
Tabla 24. Clase 2. Situación 8. Función Informativa.
El docente presenta un registro gráfico de la situación, sin embargo, a la hora de solucionar
la situación recurre a la representación de algoritmos que transforman la información
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~ 74 ~
diseñada en los diagramas. El estudiante identifica que en los dos registros la solución es la
misma, sin embargo considera que la representación gráfica era más apropiada para la
situación y no era necesario la presentación de algoritmos. Lo cual recae también en la
aparición de la Cláusula de la Exigencia de la justificación formal.
D’Amore et al. (2010, p. 169) señala que el estudiante realiza una organización lógica y
formal más exigente. En este sentido, los estudiantes consideran que las operaciones o
procedimientos son necesarios para que un problema sea realmente resuelto, ya que un dibujo
no significa el total de la situación.
Finalmente, se reconoce de acuerdo a Calderón (2012, p. 98) que el acto de escribir implica
una reconstrucción del conocimiento que se tiene y una reflexión del lenguaje que se usa,
con el fin de realizar un tratamiento adecuado a los objetos que se relacionan. De igual
manera, la realización de la plenaria, establece un desarrollo de la oralidad sobre los aspectos
matemáticos, sus implicaciones y su validación respecto a la situación que pretende
solucionarse.
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~ 75 ~
5.3 Análisis Clase 3
La Clase 3, desarrollada el 01 de Marzo de 2016, corresponde al Anexo 5.3. Durante esta
sesión se elaboran situaciones problema por parte de los estudiantes a partir de datos
suministrados por la docente. En estas producciones la docente realiza revisiones para validar
la elaboración y planteamiento de preguntas. El objetivo de la clase, se enmarca en que los
estudiantes puedan plantear, desarrollar y resolver situaciones creadas por ellos mismos.
La clase se desarrolla en tres momentos, el MOMENTO 1 corresponde a la asignación de
datos por parte de la docente, para que cada estudiante invente una situación problema en la
que pueda hacer uso de ellos; en el MOMENTO 2, la docente revisa algunos de los
planteamientos realizados por los estudiantes, según el caso los valida o solicita realizar
cambios y la solución correspondiente; en el MOMENTO 3, la docente asigna cinco
ejercicios, indicando nuevos datos para que los estudiantes planteen otras situaciones, en las
que adicionalmente solicita que utilicen varias operaciones.
En el desarrollo de ésta clase se observa que los estudiantes inicialmente temen participar y
presentar una solución o planteamiento de un problema; sin embargo, dadas las
intervenciones de la docente, la mayoría de los estudiantes realizan consideraciones e intentos
de diseñar y resolver situaciones utilizando los números enteros. La docente por su parte,
tiene un papel de validador, en el que determina si las situaciones están bien planteadas y
solucionadas; de igual manera asume el papel de evaluador al considerar las interpretaciones
que realizan cada uno de los estudiantes en comparación con ideas de meses anteriores.
De acuerdo a la información presentada en los registros de video y las rejillas de análisis,
durante la Clase # 3 se identifican 31 evidencias de observables de manifestaciones del
contrato didáctico, relacionadas con efectos y cláusulas (Categoría 1); 22 evidencias de
acciones relacionadas con las funciones del uso de la lengua (Categoría 2); y 25 evidencias
de prácticas comunicativas (Categoría 3). A continuación se describe por cada una de las
categorías, algunos apartes del episodio para analizar la información.
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~ 76 ~
5.3.1 Clase 3: Categoría 1.
En la Categoría 1, Manifestaciones del Contrato Didáctico, se evidencia que los observables
de mayor recurrencia son el Efecto Topaze (5) y la Cláusula de Control Semántico (11).
CLASE 3
CATEGORÍA 1
Subcategoría Descripción Total por
descripción
Efectos
Efecto: Topaze 5
Efecto: Jourdain 3
Efecto: Dienes 1
Efecto: Deslizamiento Metacognitivo 0
Efecto: Uso abusivo de la analogía 0
Efecto: Envejecimiento de las Situaciones de Enseñanza 0
Cláusula
Cláusula: Todo problema tiene una solución 1
Cláusula: Todos los problemas tienen solución ligada solo a los datos
numéricos 1
Cláusula: Exigencia de la justificación formal 4
Cláusula: El docente no asigna problemas sin solución 0
Cláusula: Un problema real es diferente a un problema escolar 1
Cláusula: Si el problema no tiene solución, el docente lo notifica 0
Cláusula: Delegación formal 4
Cláusula: Control Semántico 11
Tabla 25. Observables Clase 3 – Categoría 1
Con el fin de realizar el análisis de ésta información, a continuación se realiza descripción,
transcripción y reflexión de los episodios desarrollados en el transcurso de la Clase 3 y que
hacen referencia a efectos y cláusulas presentes en el contrato didáctico que se lleva a cabo
en ésta aula de clase.
5.3.1.1 Situación 9. Efecto Topaze.
Las líneas de transcripción a observar son {L66} - {L83} donde la Docente en diálogo con
la Estudiante 17, intenta hacerle comprender cuáles son los procedimientos a desarrollar para
que la solución de una situación específica sea correcta. Allí, la estudiante sigue los indicios,
adivinando la respuesta que debe dar, como si no le quedará más opción. Y aunque señala la
respuesta no es consciente de ella, o no le asigna algún sentido.
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~ 77 ~
Video 3-4
Minuto Transcripción Observación
inicial
13: 45
-
15:14
{L66} Profesora: Tu primero. [Señala a la estudiante que se encuentra frente
al escritorio de la docente].
Imagen 10. Estudiante y Profesora realizando la revisión de problemas.
{L67} Profesora: 26 menos 3. ¿Y por qué menos 3?... Volvemos a leer tu
problema a ver si entendemos mejor.
{L68} Estudiante 17: [Con cara de preocupación].
{L69} Profesora: [Lee el problema propuesto por la estudiante]. “Ana en su
coche fue a viajar e iba a 26 Km/h y Ricardo en su coche iba a 13 Km/h. ¿Cuál
es la diferencia de kilómetros entre Ana y Ricardo al cabo de tres horas?” Ok.
¿Al cabo de tres horas qué tengo que hacer? Encontrar la distancia de cómo va
Ana y de cómo va Ricardo ¿Cierto?
{L70} Estudiante 17: Si
{L71} Profesora: Entonces ¿Cómo encuentras lo que recorrió Ana? Ana iba a
26. Pusiste 26 menos 3 ¿Para qué?
{L72} Estudiante 17: Menos trece ¿No?
{L73} Profesora: No, 26 por 3 es 78, entonces eso es lo que recorrió quién…
{L74} Estudiante 17: Ana
{L75} Profesora: ¡Ana!... Eso fue lo que recorrió Ana. Ahora 13 por 3 es 39,
listo, ¿eso quién lo recorrió?
{L76} Estudiante 17: Eh…. mmm Ricardo.
{L77} Profesora: ¡Ricardo! Listo, ahora ¿Qué tenemos que hacer?
{L78} Estudiante 17: Sumar esto con esto [Señala los dos resultados
anteriores]
{L79} Profesora: Pero acá dice ¿Cuál es la diferencia en kilómetros entre Ana
y Ricardo al cabo de tres horas? Entonces ¿Van en la misma dirección o en
sentidos contrarios? Eso no lo dice el problema.
{L80} Estudiante 17: [No responde nada].
{L81} Profesora: Como dice diferencia yo supongo que tengo que hacer una
resta, porque la palabra diferencia significa eso ¿Recuerdas?
{L82} Estudiante 17: ¡Sí, toca restar!
{L83} Profesora: Entonces tendríamos que corregir y hacer 78 menos 3, porque
ahí dice que es diferencia. Listo. De resto ya estaría todo bien.
Categoría 1
Efecto Topaze
y Cláusula de
Control
Semántico
Categoría 2
Función de
Expansión
Discursiva
Categoría 3
Función
Interactiva
Tabla 26. Clase 3. Situación 9. Efecto Topaze.
Se selecciona este apartado ya que la docente pretende evaluar el procedimiento desarrollado
por la estudiante; sin embargo al darse cuenta que los procedimientos son incorrectos y que
la estudiante no comprende cuál es la operación que debe realizar, a pesar de sus
orientaciones, termina por indicarla abruptamente (D’Amore et al. 2010, p. 173).
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El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 78 ~
Brousseau (1986b, p. 6) señala que el docente sugiere la respuesta bajo códigos didácticos
cada vez más transparentes, por lo cual el acto de enseñanza queda limitado a que si aparece
la palabra diferencia se debe hacer una resta (lo cual se considera correcto para la situación,
pero no puede generalizarse ya que contradice las propiedades del conjunto de los números
enteros) y por tanto lo esencial del trabajo no fue la elaboración del estudiante.
Finalmente, como señala Brousseau (1986b, p. 7), si los conocimientos en la mira
desaparecen completamente, es el "efecto Topaze" el que está presente; ya que la docente
termina negociando (prácticamente sugiriendo la respuesta que desea) para que la estudiante
realice las operaciones que se consideran apropiadas para la situación. En consecuencia, la
estudiante se siente a gusto porque “encontró” la aprobación de la docente.
5.3.1.2 Situación 10. Cláusula de Control Semántico.
Las líneas de transcripción a observar son {L143} - {L99} donde la estudiante busca
respuestas respecto al uso de signos en los números enteros, ya que desconoce la naturaleza
de su uso y su interés se limita a resolver el problema para obtener la aprobación de la
docente. Por su parte, la docente realiza intervenciones para que la estudiante se dé cuenta de
la incoherencia del planteamiento desarrollado.
Video 3-6
Minuto Transcripción Observación
inicial
07:50
-
09:00
{L143} Estudiante 17: Mire, ¿Sería así? “En Cartagena a las dos de la tarde
los grados centígrados es 15°, a las 5:00 pm de la tarde los grados centígrados
es 8° y a las 10:00pm de la noche los grados centígrados es de 3 ¿Cuál será el
grado de Cali si en Cartagena está 15° a las 2, 8° a las 5 y 3° a las 10?”
{L144} Profesora: Pero esos datos no son suficientes para decir cuál es la
temperatura de Cali, porque no se dijo nada especial. Más bien como todo lo
hiciste con la ciudad de Cartagena la pregunta sería ¿Cuál será?… ehhh… o sea
¿Cuántos grados habrá bajado la temperatura desde las dos hasta las cinco? y
¿Cuántos grados habrá bajado desde las cinco hasta las diez? Porque tiene que
ser una pregunta lógica porque ahí no tiene nada que ver Cali…. Listo, venga
le reviso su tarea de los problemas. [La estudiante cambia de problema para
evadir la conversación].
Categoría 1
Cláusula de
Control
Semántico
Categoría 2
Función
Apofántica
Categoría 3
Función
Personal
Tabla 27. Clase 3. Situación 10. Cláusula de Control Semántico.
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~ 79 ~
Se selecciona este episodio ya que en él, una estudiante realiza el planteamiento de una
situación que se considera sin sentido; ya que relaciona datos que no son relacionados
oportunamente de la manera que se encuentra indicada en el planteamiento de la Estudiante
17.
Señales similares son las indicadas en D’Amore et al. (2010, p. 159) cuando refiere a que hay
contradicciones entre las expectativas y las declaraciones explicitas de los estudiantes; en
especial cuando se identifica que su pretensión no es comprender sino resolver el problema.
Sin embargo, aunque el control semántico se encuentra presente, es el docente quien hace
referencia a dicha incoherencia en la situación; la Estudiante 17 no sabe qué responder al
respecto y opta por cambiar de conversación. Posteriormente en las líneas de conversación
{L160} - {L163} la misma estudiante presenta una pregunta que la docente si considera cómo
valida, pero que de cierta manera ha sido inducida en ella; ya que no tiene control sobre la
información que está señalando. Finalmente, D’Amore et al. (2010, p. 167) señala que
cuando existe control semántico, los estudiantes se dan cuenta de la incoherencia de la
situación y la respuesta; y por tanto ajustaran o darán muestra de error.
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~ 80 ~
5.3.2 Clase 3: Categoría 2.
En la Categoría 2, Funciones del uso de la lengua, se evidencia que el observable de mayor
recurrencia es la Función Apofántica (8).
CLASE 3
CATEGORÍA 2
Subcategoría Descripción Total por
descripción
Función Referencial
Designación 2
Categorización 0
Determinación 3
Descripción 4
Función Apofántica Función Apofántica 8
Función de Expansión Discursiva Función de Expansión Discursiva 5
Tabla 28. Observables Clase 3 – Categoría 2
A continuación se realiza descripción, transcripción y reflexión de un episodio que se
relaciona con la Función Apofántica.
5.3.2.1 Situación 11. Función Apofántica
Las líneas de transcripción a observar son {L35} - {L41} donde la docente no valida una
situación presentada por un estudiante, pues se considera que no problematiza por no exigir
el uso de algoritmos para su solución. La estudiante por su parte, no sostiene una posición,
con el enunciado propuesto y se limita a aceptar las intervenciones de la docente. Sin
embargo, se reconoce que la estudiante no está en la capacidad de afirmar o negar respecto a
los objetos de los que se hace referencia, ya que no dimensiona las atribuciones a las que se
hacía referencia.
Video 3-2
Minuto Transcripción Observación
inicial
03:11
–
03:57
{L35} Estudiante 13: Profe mire ¿Si me quedó bien?
{L36} Profesora: [Recibe el cuaderno y realiza la lectura] “Ana y Ricardo
tienen unos autos de carreras. El primero va a 26 Km y el segundo a 13 Km.
¿Cuál llegó primero a la meta al cabo de tres horas?”. Yo ahí respondo fácil,
sin hacer nada.
{L37} Estudiante 13: ¿Por qué?
{L38} Profesora: Porque el que lleva mayor velocidad ¿Cierto? es el que va a
ganar
Categoría 1
Cláusula
Exigencia de la
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{L39} Estudiante 13: Si, ammm….
Imagen 11. Estudiante presentando un problema que no necesita cálculos para su
solución
{L40} Profesora: Iba a 26 Km, ¡Listo ya! Resolví, no tuve que hacer
operaciones. Ves. Entonces hay que mejorar acá [señala el cuaderno]. Entonces
¿Cuál llegó de primero al cabo de tres horas? ¿Vale?
{L41} Estudiante 13: [Mueve la cabeza ]
justificación
formal
Categoría 2
Función
Apofántica
Categoría 3
Función
Personal
Tabla 29. Clase 3. Situación 11. Función Apofántica.
Se selecciona esta manifestación teniendo en cuenta que los estudiantes deben diseñar
situaciones problemas de acuerdo a datos que son asignados por la docente. En la situación
diseñada por la Estudiante 13 se observa que para su solución no es necesario realizar
algoritmos o uso de datos numéricos; por el contrario, para la solución solo se requiere de
comprender el desplazamiento que realiza cada personaje. Sin embargo, al presentarle este
diseño a la docente, ella indica que el planteamiento es inapropiado ya que no debe hacer
ninguna operación para resolverlo.
Adicionalmente, se observa que si bien la Estudiante 13 realiza este diseño, ante las
intervenciones de la docente declina de su idea y vuelve a ser partícipe del contrato didáctico;
en el que identifica que siempre se deben hacer cálculos para solucionar problemas
matemáticos.
Posturas similares a la ejemplificada con anterioridad, es la presentada por D’Amore et al.
(2010, p. 169), quien señala que una regla explicita que es manifestada por la docente es
aquella en la que solicita que todas las respuestas deben ser justificadas numéricamente a
través del uso de algoritmos para que la solución sea válida.
Finalmente, la relación entre lenguaje y matemáticas está demarcada por unas matemáticas
escolares, en las que los propósitos de aprendizaje planteados por la docente contribuyen a
la discusión sobre la relación existente sobre procesos argumentativos, en los que el
estudiante debe realizar prácticas particulares, mediadas por los conocimientos que se
presentan en el aula de clase.
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~ 82 ~
5.3.3 Clase 3: Categoría 3.
En la Categoría 3, Prácticas Comunicativas, se evidencia que el observable de mayor
recurrencia es la Función Personal (11).
CLASE 3
CATEGORÍA 3
Subcategoría Descripción Total por
descripción
Función de Comunicación
Función Instrumental 5
Función Reguladora 3
Función Interactiva 2
Función Personal 11
Función Informativa 4
Tabla 30. Observables Clase 3 – Categoría 3
A continuación se realiza el análisis de un episodio que se relaciona con la Función Personal.
5.3.3.1 Situación 12. Función Personal
Las líneas de transcripción a observar son {L55} - {L59} la docente valida los planteamientos
de una estudiante en relación al objeto matemático solicitado, sin embargo, la estudiante no
es consciente de los procedimientos que debe desarrollar ante una situación que ella misma
diseño. En este caso, la docente realiza la sugerencia de manera directa, impidiendo que la
estudiante reconozca la naturaleza de la situación.
Video 3-2
Minuto Transcripción Observación
inicial
12:44
-
13:20
{L55}Estudiante 24: [Entrega el cuaderno]
{L56} Profesora: “Ana y Ricardo tienen que viajar en un mismo sentido pero
en vehículo diferente. Ana conduce a 26 Km/h y Ricardo a 13 Km/h. ¿Cuál es
la distancia entre los dos?” Bien.
{L57}Estudiante 24: Profe una pregunta. ¿Cómo sé si hago una resta o una
suma?
Imagen 12. Docente a la estudiante que hay palabras clave que resuelven el problema.
Categoría 1
Efecto Topaze
y Cláusula de
Control
Semántico
Categoría 2
Función
Determinación
Categoría 3
Función
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El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 83 ~
{L58} Profesora: Se sumarían porque yo digo qué distancia los separa,
entonces se suma lo de aquí para allá y lo de aquí para allá [Refiriéndose a un
punto de inicio y dos destinos]
{L59}Estudiante 24: Ok
Personal y
Función
Instrumental
Tabla 31. Clase 3. Situación 12. Función Personal
Durante las sesiones de clase observadas, es recurrente encontrar que la docente realiza
asignación de actividades de acuerdo a los avances que han desarrollado los estudiantes en
el transcurso de la clase.
Esta acción se considera relacionada directamente con el Efecto Dienes (Brousseau, 1986b,
p. 17) ya que se trata de una descripción y de una sistematización de algunas prácticas de
enseñanza en uso, como la repetición de problemas o de ejemplos semejantes para inducir
una respuesta tipo. Conforme a esto, en la clase de matemáticas del curso 701 es habitual
que los estudiantes usen expresiones que refieren a las palabras del docente en la resolución
de ejercicios, así como el desarrollo de operaciones bajo los mismos registros de la docente.
Aunque de manera directa no identifiquen cuáles son los procedimientos que deben
desarrollar al usar algunos términos.
Por lo tanto, se señala que el proceso dinámico de la clase no deja otro lugar al docente que
el de la elección de materiales y la presentación de trabajos (Brousseau, 1986b, p. 18). Ya
que, considera que el comportamiento cognitivo del estudiante está sujeto a un juego de
evolución, en el que tanto las reglas propuestas son las mismas que se enseñan (presentar
ejercicios, hacer explicaciones, entregar las tareas, organizar los datos), como las que se
aprenden.
Queda de manifiesto una confusión sistemática en la que se considera que un estudiante es
bueno en matemáticas si es capaz de realizar una serie de operaciones y registros que
satisfagan las orientaciones del docente. En consecuencia, la tarea como instrumento no
genera resultados didácticos positivos, solamente la búsqueda recurrente de un proceso
valorativo por parte de los estudiantes.
Universidad Distrital – Maestría en Educación – Sindy Joya Conclusiones
El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 84 ~
6 Conclusiones y resultados
En este capítulo se presentan resultados, reflexiones, conclusiones y algunas limitaciones
respecto al estudio realizado en relación al contrato didáctico y las prácticas comunicativas.
Los resultados deben propiciar reflexiones en relación a las prácticas que cada docente
desarrolla en su aula de clase y las implicaciones de éstas en el proceso de enseñanza y
aprendizaje de las matemáticas. De acuerdo con esto, serán usados para clarificar la necesidad
de que el docente realice nuevas representaciones o situaciones que posibiliten en mayor
medida la adquisición de cualquier objeto matemático por parte del estudiante y contribuyan
a superar las consecuencias de falta de aprendizaje.
Es pertinente indicar que los elementos expuestos, hacen referencia a implicaciones teóricas
y episodios de clases de matemáticas observados en el curso 701 y de ningún modo se usan
para establecer juicios valorativos respecto al desempeño de la docente en el proceso de
enseñanza de los números enteros, más bien se encaminan a problematizar, describir y
analizar el contrato didáctico que tiene lugar en el aula y que está demarcado por las
actuaciones en relación con el objeto matemático números enteros.
Sin embargo se entiende que dicho contrato didáctico puede darse de la misma forma,
independientemente del objeto matemático que se aborde, ya que las prácticas en el aula no
son del todo espontáneas y se relacionan con una serie de efectos y cláusulas. De igual
manera, aunque en diferentes documentos se habla sobre ellos, es importante realizar una
caracterización de cada uno. Para tal fin, en este trabajó se determinó que los efectos son
condiciones en las que el profesor actúa sobre una situación de enseñanza, realizando
determinadas intervenciones, con poco valor cognitivo o con mínimo significado para el
estudiante, haciéndole creer que ha comprendido el objeto matemático; las cláusulas son
condiciones en las que el estudiante actúa para dar cuenta del saber matemático,
independientemente a si está o no el docente, ya que en cierta medida, el estudiante renuncia
a pensar por sí mismo y se dirige a realizar acciones cercanas a lo propuesto por el docente,
incluso si no comprende.
En este trabajo se asignó el nombre de Cláusula de Control Semántico al desconocimiento,
por parte del estudiante, de la naturaleza (sentido, significado, interpretación) de las
Universidad Distrital – Maestría en Educación – Sindy Joya Conclusiones
El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 85 ~
situaciones propuestas, lo cual impide que realice un adecuado tratamiento de los objetos
matemáticos involucrados y sus implicaciones contextuales.
En consecuencia, se evidencia que el estudiante responde a las situaciones de manera
incoherente, no porque carezca de la capacidad para hacer matemáticas, sino porque
abandona el significado de la pregunta. De acuerdo con esta actuación del estudiante,
siguiendo los planteamientos de D’Amore (2006, p. 125) y las observaciones realizadas en
el presente estudio, se reconoce que la discusión sobre la Cláusula de Control Semántico
aporta al reconocimiento de que en matemáticas, más que usar datos numéricos, es
importante considerar el análisis y la forma como los estudiantes le dan sentido a la solicitud
explicita de la situación.
Es preciso señalar que aunque la Cláusula de Control Semántico no había sido descrita o
analizada en estudios relacionados con el Contrato Didáctico, sí ha sido visualizada desde
investigaciones en resolución de problemas, teniendo en cuenta que los análisis se han
dirigido a destacar que cuando un estudiante resuelve una situación se fija únicamente en el
uso que debe darle a datos numéricos explícitos en la situación. Esto permite suponer que en
las investigaciones existentes se ha pasado por alto discusiones de este tipo, dado el interés
por caracterizar los comportamientos esperados por docente y estudiantes en relación al
objeto matemático y el uso de la información presentada.
Por ejemplo en la Situación 11, en la que una estudiante propone un problema respecto a la
temperatura en la ciudad de Cartagena, se percibe que las implicaciones mencionadas por
ella, no tienen relación con la temperatura que pueda darse en la ciudad de Cali:
En Cartagena a las dos de la tarde los grados centígrados es 15°, a las 5:00
pm de la tarde los grados centígrados es 8° y a las 10:00pm de la noche los
grados centígrados es de 3 ¿Cuál será el grado de Cali si en Cartagena está
15° a las 2, 8° a las 5 y 3° a las 10?
Ante esta falta de control semántico, la docente intenta persuadir a la estudiante para que
reconozca que los datos no son suficientes para llegar a relacionar las temperaturas en las dos
ciudades mencionadas; acude a explicaciones en las que menciona la lógica como elemento
fundamental para plantear situaciones problema. Sin embargo, la estudiante no identifica con
Universidad Distrital – Maestría en Educación – Sindy Joya Conclusiones
El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 86 ~
claridad su equivocación e intenta realizar el cambio de la situación únicamente para
satisfacer los requerimientos de la docente.
De otro lado, refiriendo a lo desarrollado por la docente en cuanto a la descripción del objeto
matemático números enteros, se dirá que corresponde a un juego semántico en el que ella
pretende caracterizar de la mejor manera posible el conjunto numérico y sus propiedades; no
obstante, dichas descripciones terminen incluyendo elementos de referencia que impiden el
logro de esto. Un ejemplo de esto corresponde al Video 1-2, minuto 03:21 a 05:18, donde la
docente indica que:
Otra forma de escribir la división es simplemente escribirlo como fracción
¿Recuerdan? Por acá lo voy a poner [Escribe la fracción correspondiente al
ejemplo]. Es lo mismo que escribir menos ciento veinte entre menos diez y
de esta manera también lo puedo simplificar y digo: menos por menos, más;
ciento veinte dividido diez pues me da doce, vale. Son dos formas distintas
de escribirlo, en ambas estoy dividiendo, ok. Ustedes de pronto estaban más
acostumbrados… Son dos formas distintas de escribirlo, ustedes estaban más
familiarizados con esta que es la que han venido trabajando desde primaria
[Se refiere a la diferencia entre la escritura de fracción y división] pero lo
podemos escribir así.
Aquí, a pesar del esfuerzo de la docente por hacer comunicativa la idea, pierde de vista el
objeto matemático que se está trabajando en la clase con los estudiantes, ya que realiza un
uso abusivo de la analogía entre fracción y división desconociendo las propiedades del
conjunto numérico y usando un lenguaje que el estudiante puede identificar de forma
inadecuada. Al respecto Fandiño (2010, p. 134), señala que en ocasiones el docente
desconoce la diferencia entre su lenguaje y el del estudiante, y actúa como si la recepción se
diera por completo, únicamente con el acto comunicativo, es decir como si la presentación
de las situaciones en el aula fuera garante de la apropiación del conocimiento por parte del
estudiante.
Así mismo, las responsabilidades del profesor y el estudiante, permiten identificar la
existencia de una relación asimétrica entre ellos, ya que el primero es quien establece los
conocimientos que se movilizan en el aula, así como las situaciones por medio de las cuales
será presentado; y el segundo es el responsable por la apropiación de dicho conocimiento.
Universidad Distrital – Maestría en Educación – Sindy Joya Conclusiones
El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 87 ~
Lo anterior permite validar la idea de que en la clase de matemáticas, la docente presenta un
saber de manera determinada, asignando un sentido a los objetos matemáticos modificados
por la transposición didáctica y establece representaciones de los objetos que deben ser
aprendidos por los estudiantes. No obstante, los estudiantes deben dar cuenta del
conocimiento pretendido a través de respuestas a situaciones didácticas y a-didácticas en las
que establezcan el uso de objetos matemáticos específicos.
Por otro lado, desde los análisis desarrollados se señala que las funciones de expansión
discursiva (Calderón, 2012, p. 95), son las más importantes en el aula de matemáticas, así
como las que más se perciben en el presente estudio, ya que en ellas el estudiante establece
una continuidad temática de acuerdo con la trama propuesta del objeto matemático (negando,
acumulando características o relaciones, estableciendo sustituciones), y el docente establece
conexiones entre ese saber matemático y otro, a través de enunciados, con el fin de que el
estudiante pueda dar cuenta de ambos, a través de relaciones, vínculos y diferencias.
En este sentido, refiriendo a las prácticas comunicativas entre estudiantes o en relación con
la docente en la clase, se perciben interacciones donde se da un intercambio de información,
donde se movilizan ideas matemáticas de enseñanza y aprendizaje. Dichas prácticas se
orientan a favorecer que el estudiante use la terminología matemática adecuada y la convierta
en algo habitual y espontáneo, para que pueda llegar a comunicar información específica,
que sea congruente para el docente y los otros estudiantes y que además de muestra del
conocimiento matemático alcanzado.
Así mismo, las prácticas comunicativas más complejas son las que dan lugar a mejores
aprendizajes, ya que en ellas se hace referencia a algunas de las Funciones de Comunicación
(Instrumental, Reguladora, Interactiva, Personal e Informativa), que permiten identificar su
aparición de manera recurrente en relación con efectos y cláusulas del contrato didáctico y
no son independientes a las interacciones en el aula.
En este sentido y de acuerdo a Fandiño (2010, pp. 160-164), la competencia específica
comunicación en matemática debe caracterizarse por la existencia de sintaxis específica,
símbolos oportunos, organización de la presentación, pertinencia, uso de diversas formas de
comunicación, empeño dado al diálogo y la consideración de los argumentos y de las razones
Universidad Distrital – Maestría en Educación – Sindy Joya Conclusiones
El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 88 ~
de los otros. En este sentido, las prácticas comunicativas de los estudiantes durante el
desarrollo de las sesiones evidencian la importancia de reconocer en la matemática los
sistemas de signos, para transmitir información específica.
En consecuencia, desde las evidencias se puede exponer que el grupo estudiado muestra
patrones en los que el contrato didáctico, las funciones de la lengua y las prácticas
comunicativas, hacen referencia a la organización de la clase. En particular, los efectos que
más se presentan son Jourdain, Topaze y Efecto Dienes; las cláusulas con mayor incidencia
son Control Semántico y Exigencia de la Justificación Formal; las funciones del uso de la
lengua más demarcadas son Apofántica y Expansión Discursiva; y las prácticas
comunicativas desde las funciones comunicativas señalan en mayor proporción de las
funciones Instrumental, Interactiva e Informativa.
A partir de las consideraciones mencionadas, es posible reconocer que la formación de
docentes de matemáticas debe ir encaminada a identificar el tratamiento de los objetos
matemáticos de manera más consciente, caracterizando las acciones que se realizan en la
clase, evitando caer en manifestaciones de falta de aprendizaje o la generación de solo
preguntas y respuestas cifradas por parte de los estudiantes. La formación de docentes debe
mostrarse conforme al enriquecimiento de las situaciones de enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas, para llegar a la consolidación del conocimiento de objetos matemáticos.
De igual manera, se identifica que fueron caracterizadas manifestaciones en relación a efectos
y cláusulas presentes en el curso 701 durante el desarrollo de las clases de matemáticas; estas
manifestaciones identifican acciones y comportamientos de la docente y los estudiantes en
comparación con elementos teóricos descritos por Brousseau (1986b) y D’Amore (2006) en
los que se señala que los diferentes fenómenos pueden ser descritos, explicados y analizados
a la luz de motivaciones más complejas como las descritas por Fandiño (2010) y Calderón
(2012) al referirse al lenguaje y la comunicación en el aula de matemáticas.
Estos resultados, confirman por un lado la necesidad del estudio explícito del contrato
didáctico y la comunicación en el aula de matemáticas, ya que el reconocimiento de los actos
de enseñanza de las matemáticas requieren de un lenguaje específico determinado por el
docente en el aula y la imitación del mismo por parte del estudiante, aunque no comprenda
Universidad Distrital – Maestría en Educación – Sindy Joya Conclusiones
El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 89 ~
la totalidad de los esquemas, palabras o representaciones usados; por otro, la inevitable
importancia de observar la resolución de situaciones problema más allá de una solución
correcta o no, haciendo uso de las matemáticas, para prestar atención a la semántica de las
situaciones y su incidencia en la presentación de resultados.
Finalmente, se encuentran los dos marcos teóricos muy útiles para el análisis de las
situaciones de enseñanza de las matemáticas, sin embargo las conexiones entre los dos son
hasta ahora una exploración que puede ser más revelador al realizar un análisis de más
sesiones de forma detallada. Por lo tanto, se requiere realizar futuras investigaciones
asociadas al contrato didáctico y la comunicación discursiva, dando paso también al lenguaje
corporal y gestual. Para lo cual se demanda un nivel de detalle más amplio en la observación.
Universidad Distrital – Maestría en Educación – Sindy Joya Bibliografía
El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 90 ~
7 Referencias Bibliográficas
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Universidad Distrital – Maestría en Educación – Sindy Joya Anexos
El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 94 ~
8 Anexos
En este capítulo se relacionan los anexos correspondientes a rejillas de revisión de
documentos, tabulación de datos de consulta, esquemas para la caracterización de situaciones
a-didácticas y la transcripción de los episodios de clase.
8.1 Anexo 1: Rejilla para la revisión de documentos
La “Rejilla para la revisión de documentos” permite establecer una serie vínculos entre
diversos elementos, con el fin de establecer argumentos teóricos que hagan posible un
análisis oportuno, detallado y que de muestra de la relación existente entre el contrato
didáctico y la comunicación.
NOMBRE DEL DOCUMENTO Autor
Año / Ciudad Tipo de publicación Objetivo – Pregunta
de investigación
Metodología de
investigación
Principales
resultados
Conclusiones del
trabajo (a fines)
Tabla 32. Instrumento para la revisión de documentos.
8.2 Anexo 2: Elementos destacados en diferentes documentos
Los documentos que se relacionan a continuación corresponden a la exploración realiza
usando como instrumento de indagación teórica la “Rejilla para la revisión de documentos”.
8.2.1 Anexo: Azcárate (1994)
Reflexiones en torno al contrato didáctico y los errores de los alumnos en clase de
matemáticas Autor Carmen Azcárate
Año / Ciudad 1994 Tipo de
publicación Artículo
Objetivo –
Pregunta de
investigación
Identificar un comportamiento de estudiantes y profesores, que se aplica a todas las
situaciones escolares y, en particular, a los trabajos ligados a la resolución de problemas
propuestos en clase de matemáticas (Azcárate, 1994, p.2). Metodología
de
investigación
Utilización de ejemplos significativos referenciados de Yves Chevallard (1988), Centeno
(1988) y una prueba del Magisterio (1989), en las que se evidencia que los estudiantes
desconocen el sentido lógico de las respuestas que dan a una situación matemática.
Universidad Distrital – Maestría en Educación – Sindy Joya Anexos
El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
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Principales
resultados
De acuerdo a los planteamientos de Brousseau (1983, en Azcárate, 1994, p. 3), se considera
que el error es consecuencia de un conocimiento inadaptado, lo que determina algunas
características del obstáculo cognitivo, las cuales deben ser percibidas por el profesor para
que éste cree las condiciones necesarias que permitan superar el obstáculo.
Conclusiones
del trabajo
(a fines)
El docente debe crear un ambiente el error desempeñe un papel importante, para que éste
sea punto de partida en diversas situaciones de las acciones de los estudiantes. De igual
manera, el error debe permitir que los estudiantes realicen reflexiones en torno a las
prácticas o actividades que están desarrollando. Se tiene en cuenta, además, que es importante que los docentes realicen una visión crítica
de sus propias clases, para posteriormente darse cuenta de los posibles obstáculos
cognitivos que encuentran los estudiantes y ayudar a superarlos adecuadamente. Tabla 33. Elementos destacados en el documento de Azcárate (1994).
8.2.2 Anexo: Gascón (1997)
Cambios en el contrato didáctico: el paso de estudiar matemáticas en secundaria a
estudiar matemáticas en la universidad Autor Josep Gascón
Año / Ciudad 1997, Zaragoza (España). Tipo de
publicación Revista: Suma
Objetivo –
Pregunta de
investigación
Analizar el tránsito de la enseñanza de las matemáticas de secundaria a la universidad, visto
como un problema didáctico, ligado al contrato didáctico para caracterizar obstáculos
epistemológicos.
Metodología
de
investigación
Se realiza desde el planteamiento de un problema didáctico caracterizado por ser problemas
relativos al estudio de las matemáticas (Chevallard, Bosch y Gascón, 1997, en Gascón,
1997 p.2), a través de la revisión de tres principios metodológicos: Fenómenos didácticos,
Análisis de la actividad matemática escolar y Contrato didáctico.
Principales
resultados
Dados estos fenómenos, se hace indispensable investigar cómo se modifican las cláusulas
del contrato didáctico y cuáles son las que aparecen por primera vez a nivel universitario y
las que desaparecen. Conclusiones
del trabajo
(a fines)
Dependiendo de la institución en la que se encuentre, con su organización matemática
concreta, se reconoce el contrato didáctico como la noción clave para analizar el proceso
de estudio. Tabla 34. Elementos destacados en el documento de Gascón (1997).
8.2.3 Anexo: D’Amore y Martini (1997)
Contrato didáctico, modelos mentales y modelos intuitivos en la resolución de
problemas escolares típicos Autor Bruno D’Amore y Bertha Martini
Año / Ciudad 1997 Tipo de
publicación Revista de Didáctica de las Matemáticas
Objetivo –
Pregunta de
investigación
Estudiar la influencia y el papel de la delegación formal como una de las cláusulas del
contrato didáctico.
Universidad Distrital – Maestría en Educación – Sindy Joya Anexos
El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
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Metodología
de
investigación
Se plantea a algunos estudiantes entre 10 y 18 años un ejemplo tomado de Schoenfeld
(1987, en D’Amore y Martini, 1997, p. 26) respecto a la división no entera, en el que es
necesario contextualizar la situación para dar una respuesta adecuada.
Principales
resultados
La Cláusula de delegación formal se caracteriza por ser una situación en la que se omite la
información de contexto de la cual surge un problema y se limita exclusivamente a los
cálculos y a la respuesta numérica. Conclusiones
del trabajo
(a fines)
Se establecen posibles causas del comportamiento de los resolutores, entre las que se
encuentra la delegación formal, el establecimiento de un modelo general del problema,
modelo mental de la situación, modelo intuitivo de la operación y el uso de la lengua natural. Tabla 35. Elementos destacados en el documento de D’Amore y Martini (1997).
8.2.4 Anexo: Morales, Joya y Quintero (2010)
Resolviendo Problemas. Una mirada a la validación en el aula de matemáticas. Autor Ruben Morales, Sindy Joya y Erik Quintero.
Año / Ciudad 2010 / Bogotá (Colombia)
Tipo de
publicación Artículo – ASOCOLME
Objetivo –
Pregunta de
investigación
Los niños desde situaciones sencillas pueden ejemplificar de manera perfecta la toma de
decisiones en matemáticas, vinculándolas a la forma de decidir, argumentar, proponer,
refutar, responder y experimentar, propias de la cultura en la que se encuentran inmersos.
¿Cómo negocian y logran los niños construir acuerdos, para dar respuesta a un problema?
Metodología
de
investigación
Estudio de caso en el que se observó y analizó el proceso de elaboración de significados y
respuestas a situaciones problema, de estudiantes de grado cuarto y quinto.
Se analizan las intervenciones que determinan respuestas grupales de los estudiantes.
Principales
resultados
La interpretación del sujeto como poseedor de una idea de validez y constructor de
acuerdos, le permite formular respuestas a situaciones problema y hacer que los otros
consideren dichas ideas.
Conclusiones
del trabajo
(a fines)
Los estudiantes realizan representaciones mentales, como estrategia individual, la cual
posteriormente someten a validación de acuerdo a reglas sociales establecidas en el grupo,
a través de diferentes procesos de comunicación se llega a producción grupal que es
aceptada por la mayoría de los estudiantes del grupo.
Tabla 36. Elementos destacados en el documento de Morales, Joya y Quintero (2010).
8.2.5 Anexo: Autino et al. (2011)
Obstáculos didácticos, ontogénicos y epistemológicos identificados desde la
comunicación en el aula de Matemática Autor Beatriz Autino, Marisa Digión, Lydia Llanos, María Marcoleri, Pablo Montalvetti y Olga
Soruco.
Año / Ciudad 2011 / Recife (Brasil)
Tipo de
publicación Artículo – CIAEM
Objetivo –
Pregunta de
investigación
Socializar los resultados obtenidos del análisis de una encuesta semi-estructurada a
estudiantes que re-cursaron la primera asignatura del Área Matemática: Algebra y
Geometría Analítica; su finalidad fue detectar, en el entorno áulico, obstáculos
comunicacionales que dificultan el proceso educativo.
Universidad Distrital – Maestría en Educación – Sindy Joya Anexos
El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
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Metodología
de
investigación
Técnicas de estadística descriptiva y análisis de datos textuales.
Se indagó sobre los obstáculos comunicacionales que dificultan el proceso educativo.
Principales
resultados
La participación activa de docentes y alumnos en el aula, señala que la información tiene
sentido y significado a nivel cognitivo, comunicativo e interpersonal.
La información obtenida se registra a través de un cuadro en el que se interpretan las
opiniones de los estudiantes sobre los “obstáculos” que tuvieron para regularizar la materia,
de acuerdo a los tres niveles señalados con anterioridad.
Se señala que los obstáculos no son solo por el actuar del docente, sino que también vienen
determinados por cuestiones socio-culturales en los que están inmersos los estudiantes.
Conclusiones
del trabajo
(a fines)
Existen obstáculos comunicacionales en la dinámica del proceso de enseñanza-
aprendizaje, que pueden ser categorizados en tres grandes grupos: didácticos,
epistemológicos y ontogenéticos, y son atribuibles al docente, al saber, al estudiante y al
contexto educativo, social y cultural.
Tabla 37. Elementos destacados en Autino, Digión, Llanos, Marcoleri, Montalvetti y Soruco (2011).
8.2.6 Anexo: Jiménez et al. (2010)
La comunicación: Eje en la clase de matemáticas Autor Alfonso Jiménez, Nury Suárez y Sandra Galindo
Año / Ciudad 2010 / Tunja (Colombia).
Tipo de
publicación Revista Praxis & Saber
Objetivo –
Pregunta de
investigación
Establecer puntos de análisis alrededor de la comunicación en la clase de matemáticas, para
reflexionar sobre la mejora de los procesos de comunicación y disminuir las dificultades en
el aprendizaje de la matemática (Jiménez, Suárez y Galindo, 2010, p.7).
Metodología
de
investigación
Se utiliza el interaccionismo simbólico como aproximación, ya que esta promueve una
visión sociocultural sobre las fuentes y el crecimiento del conocimiento (Jiménez et al.
2010, p.16), teniendo en cuenta que la comunicación es entendida como proceso social en
el que se presentan interacciones entre individuos de una cultura.
Principales
resultados
Se presentan tres metáforas de acuerdo a Sierpinska (en Jiménez et al. 2010, p.19) para
poder comprender los diferentes papeles que puede representar la comunicación en la clase
de matemáticas:
1. Los alumnos hablan, el profesor escucha.
2. Los profesores hablan, los estudiantes escuchan.
3. Profesores y alumnos en diálogo.
Se presentan dos tipos de interacción de acuerdo a Sierpinska (en Jiménez et al. 2010, p.20):
1. Afirmativo (¡Eso es!)
2. Interrogativo (¿Está seguro?)
Conclusiones
del trabajo
(a fines)
Se observa que el trabajo en grupo favorece la comunicación, ya que los estudiantes
expresan libremente sus ideas, aunque tengan dificultades para escribirlas.
La comunicación oral o escrita es un aspecto central de lo que se aprende en matemáticas,
ya que cada estudiante tiene la responsabilidad de la decisión y acción en el grupo.
Utilizar la pregunta como herramienta didáctica, hace posible que el estudiante se encuentre
en duda constante y por tanto tenga la necesidad de comprobar y no solo de responder.
Tabla 38. Elementos destacados en el documento de Jiménez, Suárez y Galindo (2010).
Universidad Distrital – Maestría en Educación – Sindy Joya Anexos
El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 98 ~
8.2.7 Anexo: Triana (2012)
La importancia de los juicios de valor en el desarrollo del pensamiento crítico desde
la comprensión de micro-relatos. Autor Edna Triana
Año / Ciudad 2012 / Bogotá (Colombia) Tipo de
publicación Tesis de Maestría
Objetivo –
Pregunta de
investigación
Caracterizar el pensamiento crítico de acuerdo a Lipman (1997, en Triana, 2012, p. 17)
como un pensamiento de orden superior, ya que es un proceso comprensivo y reflexivo que
examina sus procedimientos, perspectivas y puntos de vista para emitir un juicio de valor.
Metodología
de
investigación
Investigación cualitativa de diseño etnográfico. El documento presenta una propuesta didáctica para el desarrollo del pensamiento crítico
en estudiantes de secundaria, articulado a la comprensión de micro-relatos y el empleo de
estrategias cognitivo lingüísticas en el pensamiento crítico.
Principales
resultados
Dentro de las estrategias cognitivo lingüísticas que inciden en la elaboración del modelo
mental, priman el reconocimiento de palabras y la contextualización del texto. El empleo de micro-relatos, por sus características estructurales, necesita un lector activo
que emplee estrategias cognitivo lingüísticas que desarrollen el proceso reflexivo del
pensamiento crítico y la comprensión, convirtiéndolo en un texto adecuado para promover
juicios de valor.
Conclusiones
del trabajo
(a fines)
El diseño que se desarrolla corresponde a investigación-acción, considerando la propuesta
de Elliot (1994, en Triana, 2012, p.63). La comprensión de lectura fortalece el proceso de reflexión del pensamiento crítico y la
construcción de los juicios de valor al ser medida por estrategias cognitivo lingüísticas. Las
cuales unifican los procesos en un solo objetivo: aportar un significado coherente para
emitir un juicio de valor sobre lo comprendido en el texto. Tabla 39. Elementos destacados en el documento de Triana (2012).
8.2.8 Anexo: Jaramillo, Morales y Varela (2006)
Recolección, organización y sistematización de información en el marco de la
investigación, rutas de estudio y aprendizaje procesos de interacción y trabajo
individual del estudiante. Autor Lady Jaramillo, Ricardo Morales y Luz Varela.
Año / Ciudad 2006 / Bogotá (Colombia) Tipo de
publicación Tesis de Pregrado
Objetivo –
Pregunta de
investigación
El trabajo del profesor es re-contextualizar y re-personalizar el conocimiento para que el
estudiante trabaje sobre el problema, de tal modo que siga un proceso similar al del
matemático. Por tanto, el docente debe intervenir de manera adecuada, sin dar la solución.
Metodología
de
investigación
Respecto a la recolección de información se establecen cuatro procedimientos de
observación: (1) Sistemas descriptivos: Dinámica general de la clase, roles e interacciones en el aula,
trabajo individual del estudiante y los procesos de interacción. (2) Registros tecnológicos: Grabaciones con cámara de video (3) Modos de observación: Participante – No participante, y (4) Técnicas: Entrevistas y cuestionarios.
Universidad Distrital – Maestría en Educación – Sindy Joya Anexos
El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
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Principales
resultados
Se reconoce la importancia de un conocimiento práctico y teórico que éste relacionada con
el fin de generar adecuadamente formación profesional que sea útil para el desarrollo como
docentes. Ser un profesional que investiga sobre su propia práctica posibilita reconocer los problemas
o dificultades que se presentan dentro del aula de clase y por ende asumir la realidad escolar.
Conclusiones
del trabajo
(a fines)
La perspectiva constructivista según la cual los alumnos y los profesores tienen un conjunto
de concepciones y creencias sobre la profesión, las matemáticas, lo didáctico, las
matemáticas escolares, entre otros. Estas concepciones son también instrumentos
cognitivos para poder interpretar la realidad y comportarse afectiva y cognitivamente a
través de ella (Jaramillo, Morales y Varela, 2006, p. 190). Es necesario reconocer que las interacciones entre profesor y alumnos deben estar regidas
por normas, que en ocasiones no son explícitas, además de entender la importancia de
negociación de los significados como una manera de dar cuenta de cómo los estudiantes
desarrollan la comprensión de las nociones matemáticas. Tabla 40. Elementos destacados en el documento de Jaramillo, Morales y Varela (2006).
8.3 Anexo 3: Tabulación de Datos Bibliométricos
En este anexo, se hace referencia a algunos datos bibliométricos respecto a la teoría de las
situaciones didácticas y el contrato didáctico, publicados desde 1986 hasta 2014. Para ello,
se tiene en cuenta el tipo de publicación bajo los siguientes ítems: Artículo, Capítulo de libro,
Libro, Módulo, Presentación, Revista, Tesis de Pregrado, Tesis de Especialización, Tesis de
Maestría, Tesis de Doctorado y Traducción.
# AÑO AUTOR TÍTULO TIPO
NÚCLEO
TEMÁTICO
1 1986a Brousseau Guy Fundamentos y Métodos de la
Didáctica de las Matemáticas
Revista Didáctica de la
Matemática
2 1989 Brousseau Guy Utilidad e interés de la didáctica para
un profesor
Traducción Didáctica de la
Matemática
3 1994 Azcárate Carmen Reflexiones en torno al contrato
didáctico y los errores de los alumnos
en clase de matemáticas
Artículo Contrato Didáctico
4 1995 Bonilla Elssy y
Rodríguez
Penélope
Más allá del dilema de los métodos Libro Metodología
5 1995 Sarrazy Bernard Le contrat didactique Revista Contrato Didáctico
6 1997 Chevallard Yves Transposición didáctica. Del saber
sabio al saber enseñado
Libro Transposición
Didáctica
Universidad Distrital – Maestría en Educación – Sindy Joya Anexos
El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 100 ~
7 1997 D'Amore Bruno
y Martini Berta
Contrato didáctico, modelos mentales
y modelos intuitivos en la resolución
de problemas escolares típicos
Revista Contrato Didáctico
8 1997 Gascón Josep Cambios en el contrato didáctico: el
paso de estudiar matemáticas en
secundaria a estudiar matemáticas en
la universidad
Revista Contrato Didáctico
9 1999 Brousseau Guy y
Warfield
Virginia
El caso de Gaël: El estudio de un niño
con dificultades matemáticas
Revista Teoría de
Situaciones
Didácticas
10 1999 Rico Luis y
Sierra Modesto
Didáctica de la Matemática e
Investigación
Capítulo Didáctica de la
Matemática
11 2002 D'Amore Bruno
y Fandiño
Martha
Un acercamiento analítico al
"triángulo de la didáctica"
Revista Teoría de
Situaciones
Didácticas
12 2002 Montiel Gisela Una caracterización del contrato
didáctico en un escenario virtual
Tesis Maestría Contrato Didáctico
13 2003 Panizza Mabel Conceptos básicos de la teoría de
situaciones didácticas
Capítulo Teoría de
Situaciones
Didácticas
14 2005 Sadovsky
Patricia
La Teoría de Situaciones Didácticas:
un marco para pensar y actuar la
enseñanza de la matemática.
Capítulo Teoría de
Situaciones
Didácticas
15 2006 Jaramillo Lady,
Morales Ricardo
y Varela Luz
Recolección, organización y
sistematización de información en el
marco de la investigación, rutas de
estudio y aprendizaje procesos de
interacción y trabajo individual del
estudiante.
Tesis Pregrado Metodología
16 2009 Enciso Sandra,
Sánchez Diana y
Muñoz Liz
El desarrollo de la práctica profesional
docente a partir de la planeación y
aplicación de unidades didácticas
basadas en resolución de problemas
Artículo Metodología
17 2009 García Gloria,
Salazar Claudia,
Mancera Gabriel,
Camelo
Francisco y
Romero Julio
Dilemas y tensiones que enmarcan el
significado de la competencia
matemática: ¿Soluciones de
problemas en contextos reales?
¿Soluciones significativas para la vida
social? ¿Formación para participar
activamente en la vida democrática?
Revista Resolución de
Problemas
18 2010 De Oliveira
Sinval
Escola, professor e aluno: A
fragmentação cultural na sala de aula
Capítulo Aula de
Matemáticas /
Tríada didáctica
Universidad Distrital – Maestría en Educación – Sindy Joya Anexos
El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 101 ~
19 2010 Riaño Álvaro y
Adame Fabio
Reflexión sobre la idoneidad didáctica
del profesor. Diseño y gestión de una
nueva secuencia de actividades sobre
proporcionalidad en grado séptimo.
Tesis Pregrado Teoría de
Situaciones
Didácticas
20 2010 Vergel Rodolfo La noción de contrato didáctico Presentación Contrato Didáctico
21 2011 Joya Sindy y
Morales Ruben
Fragmentación Cultural en el Aula Artículo Aula de
Matemáticas /
Contrato Didáctico
22 2011 Peña Andrés y
Cardona
Oswaldo
Una propuesta de intervención en el
aula fundamentada en la ingeniería
didáctica como metodología de
investigación para la enseñanza-
aprendizaje de la noción de función.
Tesis Pregrado Ingeniería
Didáctica
23 2012 Arboleda
Armando
El contrato didáctico en la educación
superior: Elementos para su
comprensión
Revista Contrato Didáctico
24 2012 Rico Luis Aproximación a la investigación en
Didáctica de la matemática
Revista Didáctica de la
Matemática
25 2012 Triana Edna La importancia de los juicios de valor
en el desarrollo del pensamiento
crítico desde la comprensión de micro-
relatos.
Tesis Maestría Metodología
26 2013 Garzón Angélica Propuesta didáctica para la enseñanza
de las propiedades de reflexión de las
cónicas por medio de la metodología
de resolución de problemas.
Tesis Maestría Resolución de
Problemas
27 2013 Niño Galia,
Forero Diana y
Cipagauta Juan
El cómic como alternativa pedagógica
en la enseñanza de las ciencias
sociales
Tesis
Especialización
Contrato Didáctico
28 2013 Triviño Juan Didáctica de la Matemática Módulo Didáctica de la
Matemática
29 2014 García Víctor Aplicación de la ingeniería didáctica
como metodología para favorecer el
desarrollo de competencias a partir de
los sistemas de ecuaciones lineales
Tesis Maestría Ingeniería
Didáctica
30 2014 Villa Antoni y
Callejo Luz
¿Pensar en clase de matemáticas? Capítulo Resolución de
Problemas
31 s.f. Brousseau Guy Investigaciones en Educación
Matemática
Ingeniería
Didáctica
Universidad Distrital – Maestría en Educación – Sindy Joya Anexos
El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 102 ~
32 2001 D'Amore Bruno Influencias del contrato didáctico y de
sus cláusulas en las actividades
matemáticas en la escuela primaria
Capítulo Contrato Didáctico
Tabla 41. Registro de aproximación bibliométrica a núcleos temáticos.
8.4 Anexo 4: Esquemas para la caracterización de situaciones a-didácticas.
Brousseau (1986a, p. 45), señala la existencia de tres esquemas para la caracterización de las
situaciones a-didácticas:
Esquema de la acción: Acción sin interlocutor, donde un alumno que reflexiona
naturalmente en su juego está en una situación a-didáctica efectiva de acción, pero
interioriza y simula de alguna manera una situación de validación (Brousseau, 1986a, p. 46).
En este sentido, el esquema de acción posibilita que cada juego propuesto sea examinado y
comparado con juegos anteriores.
Ilustración 6. Esquema de acción. Reconstrucción de imagen (Brousseau, 1986b, p. 29).
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~ 103 ~
Esquema de la comunicación: El medio comprende un sistema receptor y/o emisor con el
cual el jugador intercambia mensajes. Los mensajes intercambiados están bajo el control de
códigos lingüísticos, formales o gráficos y por tanto los hacen funcionar.
Ilustración 7. Esquema de comunicación. Reconstrucción de imagen (Brousseau, 1986b, p. 46).
Al realizar la combinación de medios y condiciones, se puede influenciar el sentido del
mensaje, donde se reconoce también la evolución de códigos (lenguaje natural a formal), los
cuales deben ser suficientemente analizados para determinar si realmente se refieren al
mismo objeto.
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~ 104 ~
Esquema de la validación explícita: Favorecen la aparición de mensajes que pueden tener
una forma muy cercana al discurso matemático y que son concretamente significativas para
cierto medio (Brousseau, 1986b, p. 50). Existen entonces dos jugadores, uno que propone y
un oponente, por tanto, la relación es asimétrica y debe ponerse en acción los conocimientos
y saberes matemáticos para adoptar el proceso de refutación si piensa que la declaración del
otro es incorrecta. Para ello se identifican diferentes tipos de refutaciones: Refutación
Pragmática y Refutación intelectual.
Ilustración 8. Esquema de validación explícita. Tomado de Brousseau (1986b, p. 49).
De igual manera, Brousseau (1994, en Panizza, 2003, p. 14) señala que la institucionalización
es el reconocimiento de doble sentido entre la consideración “oficial” del objeto de
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El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 105 ~
enseñanza por parte del alumno, y del aprendizaje del alumno por parte del maestro. Lo
cual, se considera complementario a la devolución ya que:
En la devolución el maestro pone al alumno en situación a-didáctica o pseudo
a-didáctica. En la institucionalización, define las relaciones que pueden tener
los comportamientos o las producciones “libres” del alumno con el saber
cultural o científico y con el proyecto didáctico: da una lectura de estas
actividades y les da un status (Brousseau, 1986, en Panizza, 2003, p. 14).
Lo que determina por tanto la instauración de conclusiones, que sean producto real de las
fases señaladas y no solo el establecimiento de lo que el profesor ya considera necesario. En
consecuencia, de estos aspectos y de lo señalado al referirme a algunas consideraciones sobre
la Didáctica de la matemática, en el siguiente apartado se profundiza sobre la relación entre
los componentes de la Tríada Didáctica.
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El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 106 ~
8.5 Anexo 5: Transcripción de los episodios de clase
En las descripciones que se observan a continuación se evidencian varios aportes, en los que
fue necesario identificar y diferenciar los que corresponden a cláusulas y efectos; esto
teniendo en cuenta que la brecha que los separa es muy pequeña, por tanto en algunos casos
se elige a qué tipo de efecto o cláusula se va a hacer referencia.
8.5.1 Anexo: Clase 1.
Video 1
Video 1-1 23 de febrero del 2016 Colegio Class / Jornada Mañana / 701
Situación
La sesión de clase comienza a las 6:35 am (Minuto 3:12). La actividad matemática corresponde a práctica
de divisiones con números enteros. El objetivo planteado por la docente es dar por finalizado el uso de
operaciones básicas en ese conjunto numérico y empezar a pensar en problemas y aplicaciones.
Minuto Transcripción Observación
inicial
04:08
-
06:02
{L1} Profesora: Para el día de hoy, vamos a trabajar división. Recuerden que
para hoy teníamos [Interrupción de algunos estudiantes]
{L2} Estudiantes: Noooooo
{L3} Profesora: [Habla más fuerte] Para hoy tenemos una actividad, una
tareíta, y la voy a calificar terminando la clase. [Retoma su tono de voz habitual]
Mejor dicho les voy a recoger cuaderno o los voy llamando a penas coloque la
actividad. ¿Bien? La idea es que hoy vamos a trabajar división para que la
próxima clase ya hagamos una actividad. Entonces la próxima clase ya
empezamos a trabajar aplicaciones de todas las operaciones que hemos visto
con números enteros. ¿Bien?
{L4} Profesora: Saquen su cuaderno por favor y escriben un título que diga
división de números enteros [Los estudiantes sacan los cuadernos de la maleta,
se acomodan, buscan esferos y hablan entre ellos. La profesora se dirige al
grupo al que había llamado la atención para asegurarse que sigan la instrucción
dada]
{L5} Estudiante 1: Profe, ¿Cómo era el título?
{L6} Profesora: División de números enteros. ¡Rápido! [la docente busca entre
sus cosas, marcadores y borrador para tablero] ¿Listos?
{L7} Estudiante 2: ¡No profe!
Categoría 1
No Aplica
Categoría 2
Función de
Expansión
Discursiva
Categoría 3
Función
Reguladora
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~ 107 ~
06:03
-
06:59
{L8} Profesora: ¿Qué recordamos nosotros de la operación división? [Se dirige
al tablero]
{L9} Estudiante 3: Nada…
{L10} Profesora: ¿Nada? [Con un poco de admiración ante la respuesta]
¿Nadie recuerda nada de la división?
{L11} Estudiante 3: Noooo….
{L12} Estudiante 4: ¡Sí!
{L13} Profesora: ¿Qué recuerdas de la división?
{L14} Estudiante 4: Eh….
{L15} Profesora: ¿Nadie se acuerda nada? Bueno está bien, entonces les voy a
dictar.
{L15} Estudiante 2: ¡No profe!
Categoría 1
Efecto Topaze
Categoría 2
Función de
Determinación
Categoría 3
Función
Instrumental
07:15
-
08:24
{L16} Profesora: Recordemos que la división es una operación que es inversa
de la multiplicación ¿Por qué es inversa? Porque nosotros cuando tenemos dos
números; por ejemplo, voy a coger el número… veintiocho [escribe en el
tablero] ¿Vale? Y el número veintiocho es el resultado de multiplicar dos
números entre sí ¿Vale?... ¿Qué números multiplicados me dan veintiocho?
{L17} Estudiante 5: [Levanta la mano pidiendo la palabra, la profesora lo
observa y con una sonrisa acepta su intervención] Cuatro por siete.
Imagen 13. División
{L18} Profesora: ¡Cuatro por siete! [Escribe en el tablero los dos números]
Cuatro por siete, listo. ¿Qué pasa si yo cojo el número veintiocho y lo divido
por ejemplo entre cuatro?... Me da siete veces ¿Cierto?... Entonces digo siete
por cuatro veintiocho, ¿A veintiocho?
{L19} Estudiantes: Cero [Varios estudiantes contestan al tiempo]
{L20} Profesora: ¿Cierto? En ese caso, si yo cojo dos números que sean
factores como cuatro y siete, al multiplicarse me dan veintiocho y ahora si cojo
el veintiocho y lo divido entre uno de los dos, entre cuatro, por ejemplo, me da
el otro número, siete. ¿Vale? Por eso son operaciones inversas.
Categoría 1
Efecto: Uso
abusivo de la
analogía
Categoría 2
Función de
Expansión
Discursiva
Categoría 3
Función
Informativa
09:20
-
11:03
{L21}Profesora: Ahora, como nosotros estamos dividiendo números enteros.
¿Cierto? Entonces necesitamos utilizar los signos de esas cantidades que vamos
a dividir ¿Vale?... Entonces vamos a manejar una regla de la división que es
igual a la regla de los signos de la multiplicación. ¿Bien? Entonces vamos a
escribir una tablita, lo mismo que hicimos que día. [La profesora empieza a
diligenciar una tabla en el tablero] Dividido y acá la tablita para escribir los
signos, positivo, negativo, positivo y negativo ¿Vale? Y lo vamos a llenar. Lo
mismo. Decíamos, más por más nos da más, entonces lo mismo decimos: más
dividido entre más nos da… más o positivo ¿Bien? Acá, menos, o bueno [la
profesora mueve la cabeza manifestando negación frente a lo que acaba de
decir]. Más dividido entre menos ¿Nos da?
Categoría 1
Efecto
Jourdain
Categoría 2
Función
Apofántica
Categoría 3
Función
Instrumental
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~ 108 ~
{L22}Estudiantes: Menos
{L23}Profesora: ¡Menos! Entonces menos dividido entre más
{L24}Estudiante 1: Más
{L25}Estudiante 2: Menos
{L26}Profesora: Menos porque son signos contrarios. Y menos dividido entre
menos, más. Signos iguales como más dividido más, me da más. Y menos
dividido menos me da más. Listo. Es igualita que la de la multiplicación. ¿Si?
O sea, si yo pongo acá por [señalando en la tabla el símbolo de división] es la
misma. ¿Listo? Pero sirve para la división ¿Ok?
{L27}Estudiante 4: ¿También sirve para la división?
{L28}Profesora: Entonces es la misma ley de los signos de la multiplicación
la de la división. ¿Vale? Entonces trabajamos de la misma manera.
Imagen 14. “Tabla de división entre signos”
11:12
-
12:02
{L29}Profesora: Cuando nosotros tenemos este veintiocho, este cuatro, este
siete y este cero. [Escribe los números, como parte de la división que se
soluciona] Esos tienen unos nombres especiales ¿Cierto? ¿Quién me dice cómo
se llama este numerito que yo tengo acá en la división [Señala el número
veintiocho]
{L30}Estudiante 6: El numerador.
{L31}Profesora: ¿Numerador?
{L32}Estudiante 5: Dividendo
{L33}Profesora: El dividendo, bien. ¡Muy bien! [El estudiante hace gestos de
alegría con las manos y el rostro] Quiere decir que es el número que se divide…
Este numerito que me [Señala el número cuatro]
{L34}Estudiantes: Divisor.
{L35}Profesora: Divisor… Este numerito que da el resultado de la división
[Señala el número siete]
{L36}Estudiantes: Cociente
{L37}Profesora: Cociente, muy bien. ¿Y este numerito? [Señala el número
cero]
{L38}Estudiantes: Residuo
{L39}Profesora: Bueno, residuo.
Imagen 15. Producción de estudiante: Partes de la división en un ejemplo
Categoría 1
Efecto Topaze
Categoría 2
Función de
Designación
Categoría 3
Función
Interactiva
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~ 109 ~
12:03
-
12:50
{L40}Profesora: ¿Alguien me quiere contar cómo se prueba una división para
saber si está bien o mal hecha?
{L41}Estudiante 3: Nooo
{L42}Estudiante 5: [Levanta la mano eufóricamente] Si profe, ¡Yo! ¡Yo!
{L43}Profesora: Bueno, dale tú. [Señala al estudiante afirmando que puede
contestar]
Imagen 16. Justificación formal de un estudiante.
{L44}Estudiante 5: Se multiplican los dos… el divisor con el cociente.
{L45}Profesora: El divisor con el cociente, muy bien. ¿Y toca hacer algo más?
{L46}Estudiante 5: Si, si hay… otro como…. No cero, para sumar.
{L47}Profesora: O sea si el residuo es diferente de cero se le suma ¿Vale?
{L48}Estudiante 7: Completa o incompleta
{L49}Profesora: Aja, ¿Qué pasa si el residuo es cero? ¿Cómo se llama la
división?
{L50}Estudiantes: Incompleta…. Exacta, inexacta…. [Se oyen diferentes
voces]
{L51}Profesora: ¿Si es cero se llama?
{L52}Estudiantes: Exacta.
{L53}Profesora: ¡Exacta! Si no es cero ¿Se llama?
{L54}Estudiante 5: Inexacta [En coro con otros estudiantes]
Categoría 1
Cláusula
Exigencia de la
justificación
formal.
Categoría 2
Función de
Expansión
Discursiva
Categoría 3
Función
Interactiva
12:51
-
15:20
{L55}Profesora: Inexacta, bien. Entonces apuntemos eso para que no se nos
vaya a olvidar. Entonces escriban ahí
{L56}Estudiante 8: Nota [En voz alta]
{L57}Profesora: ¿Vale? Nota, como nota, como lo hacemos siempre.
{L58}Estudiante 9: Espera profe.
{L59}Profesora: Entonces escriban una notica para que recordemos cosas
importantes. [Dicta dos párrafos en los que señalan las características de una
división exacta e inexacta, y la forma de realizar la verificación del resultado en
cada caso.] Entonces escribamos la primera: “si el residuo…” Vamos a hacer
dos noticas; primera, “si el residuo de la división es cero entonces la división
Categoría 1
Efecto
Jourdain
Categoría 2
Función de
Categorización
Categoría 3
Función
Informativa
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~ 110 ~
es exacta” [La profesora habla de manera pausada para que los estudiantes
puedan copiar lo que ella dice]
{L60}Estudiante 8: Pero…
{L61}Profesora: Bueno, vale. Escribámosle el pero. “Pero si no es cero se
llama”… ¿Cómo?
{L62}Estudiantes: Inexacta [Se oye nuevamente en coro]
{L63}Profesora: “Inexacta”, listo.
{L64}Estudiante 9: ¿Se llama cómo, profe?
{L65}Profesora: Inexacta [Camina hacia el estudiante que acaba de
preguntar]...
{L66}Estudiante 9: ¿Con equis, cierto profe?
{L67}Profesora: [La profesora asiente la cabeza como medio de afirmación]
Y segundo de la notica: “Para probar una división multiplicamos el cociente
por el divisor y sumamos el residuo… es decir…”.
Imagen 17. Dictados para aclarar la explicación de clase.
{L68}Profesora: Paren ahí un momentico. Si entonces yo multiplico el
cociente por el divisor, y sumo el residuo ¿Qué tiene que pasar?
{L69}Estudiante 10: Tiene que ser… [La profesora voltea para mirar quién
habla] tiene que ser igual al dividendo.
{L70}Profesora: ¡Nos tiene que quedar igual al dividendo! Entonces escriban,
[Vuelve a dictar]: “este resultado debe ser igual al dividendo”.
15:36
-
16:40
{L71}Profesora: ¿Todos copiaron la tablita?
{L72}Estudiantes: Nooooo… Siiiiiii [Se oyen las dos respuestas]
{L73}Profesora: Todos me copian la tabla de los signos.
{L74}Estudiante 8: ¿La división también se copia?
{L75}Profesora: También cópienlo por favor. ¡Claro! Porque cuando ustedes
vayan a estudiar eso les recuerda cómo se llama cada término y es importante
que eso lo tengamos claro en todo momento, vale. Porque son palabras que cada
rato estamos utilizando cuando hablamos de división; entonces cuando diga
divisor ustedes ya se acuerdan a qué parte de la división no estamos refiriendo.
O si dicta uno un problema, entonces uno ya sabe cómo acomodar los términos.
Categoría 1
Cláusula
Exigencia de la
justificación
formal
Categoría 2
No Aplica
Categoría 3
Función
Reguladora
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~ 111 ~
Video 1-2
Minuto Transcripción Observación
inicial
02-34
-
03:20
{L76}Profesora: Miremos en ejemplos entonces chicos. [Escribe en el tablero
cuatro ejercicios de división]. Bueno, hasta el momento he puesto cuatro
divisiones, las más sencillas del mundo, ¿Por qué son las más sencillas? Porque
son de una sola cifra y son números pequeñitos que nosotros podemos trabajar
fácilmente, eh, solamente mirando la operación. Entonces, lo único extraño de
acá es la forma como la he puesto, vale. [Los estudiantes observan las divisiones
con algo de incertidumbre].
{L77}Estudiante 10: No entendí
{L78}Profesora: Tranquilos, solamente es que como los números enteros
pueden ser positivos y negativos… Lo que pasa es que como son enteros
positivos o negativos, pues yo puedo dividir números positivos entre positivos,
negativas con positivos, negativos entre negativos y no pasa nada. Esta es una
forma de escribirlos, vale. Alguien me puede decir, menos por menos ¿Cuánto
me da?
{L79}Estudiantes: Más [Varios estudiantes contestan al tiempo, otros solo
miran a la docente en espera de la respuesta]
{L80}Profesora: ¡Más! Si yo le quiero poner un más, acá lo pongo
[Refiriéndose al cociente] Si no, no es necesario. Pero si es menos, sí es
importante que lo escribamos, vale. [Un estudiante levanta la mano y pide
resolver la división, la docente lo pasa por alto]. Ciento veinte divido diez, es
doce. [El estudiante responde también]. De forma que probamos, doce por diez,
ciento veinte y a ciento veinte, cero. Sí lo hago de esta manera, vale.
Categoría 1
Cláusula
Delegación
Formal
Categoría 2
Función
Apofántica
Categoría 3
Función
Instrumental
03:21
–
05:18
{L80a} Profesora: Otra forma de escribir la división es simplemente escribirlo
como fracción ¿Recuerdan? Por acá lo voy a poner [Escribe la fracción
correspondiente al ejemplo]. Es lo mismo que escribir menos ciento veinte entre
menos diez y de esta manera también lo puedo simplificar y digo: menos por
menos, más; ciento veinte dividido diez pues me da doce, vale. Son dos formas
distintas de escribirlo, en ambas estoy dividiendo, ok. Ustedes de pronto estaban
más acostumbrados [llama la atención a una estudiante que está hablando]…
Son dos formas distintas de escribirlo, ustedes estaban más familiarizados con
esta que es la que han venido trabajando desde primaria [Se refiere a la
diferencia entre la escritura de fracción y división] pero lo podemos escribir así.
{L81}Estudiante 8: ¡Profe, profe!
{L82}Profesora: Señor
{L83}Estudiante 8: Esta fácil porque solo es, lo mismo que solo toca dividir y
de acuerdo a los signos se le pone.
{L84}Profesora: Aja, claro, si la división es exacta uno lo puede poner
generalmente así, también. Voy a escribir… miremos la otra [Resuelve los otros
tres ejemplos].
Categoría 1
Efecto
Jourdain
Categoría 2
Función
Apofántica
Categoría 3
Función
Informativa
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~ 112 ~
Imagen 18. Solución de divisiones entre enteros desarrollada por el estudiante.
{L85}Profesora: Listo, hice tres divisiones, las más sencillas del mundo.
{L86}Estudiante 6: ¡Cuatro!
{L87}Profesora: Bueno, cuatro divisiones. Perdón. Cuatro divisiones. Muy
amable por corregir.
Video 1-4
Minuto Transcripción Observación
inicial
02:00
-
03:37
{L88}Profesora: Quiero que me alcen la mano las personas, honestamente, ¿A
quién se le dificulta dividir por varias cifras? o sea cuando yo divido por dos,
por tres… [Cuenta la cantidad de estudiantes que levantan la mano]
{L89}Profesora: Catorce, bajen.
{L90}Estudiante 11: Yo solo sé por una
{L91}Profesora: ¿Tú solamente sabes por una? Voy a hacer una cosa
Fernanda, eh, para todos los que de pronto se les dificulta, es más, algunos ni
siquiera, me dicen que, por varias cifras, algunos ni siquiera saben por una; si
yo les pongo un número grandote, 5’345.800 algo y lo divido entre nueve, ni
siquiera esa la pueden hacer. Entonces vamos a repasar división, vamos a
mirarlo de varias formas, algunos las hacen restando, otros directo y la idea es
que hoy todos salgan aprendiendo división.
Imagen 19. Estudiantes a los que se les dificulta dividir por varias cifras.
{L92}Estudiante 6: ¿Actividad profe? [El estudiante dice algo a la docente en
voz baja].
{L93}Profesora: [La docente responde en voz alta] ¡Ah! Y a algunos también
se les dificulta hacer divisiones con números decimales, ¿Cierto?
{L94}Estudiantes: Siiii [Coro de varios estudiantes].
{L95}Profesora: Cuando ya es inexacta y uno sigue dividiendo para encontrar
las cifras decimales después de la comita, después de la coma, ya les muestro.
Categoría 1
Cláusula Todos
los problemas
tienen solución
ligada solo a
los datos
numéricos
Categoría 2
Función
Apofántica
Categoría 3
Función
Reguladora
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~ 113 ~
03:39
-
04:02
{L96}Estudiante 12: [Se levanta del puesto y se dirige hacia el lugar donde se
encuentra la docente]. ¡Profe, profe! ¿Por qué ahí no va signo? [Señala una de
las divisiones realizadas como ejemplo].
{L97}Profesora: Porque como acá es positivo, entonces no es necesario
ponerle el más. Si fuera negativo si era obligatorio ponerle el menos.
Imagen 20. Estudiante que no se siente autorizado a usar el signo (+) en la solución de una división
{L98}Estudiante 12: O sea que cuando esté así, ¿Es un más?
{L99}Profesora: Depende. Sí ambos son positivos, da positivo. [El estudiante
se aleja].
Categoría 1
Cláusula de
Control
Semántico
Categoría 2
Función
Descripción
Categoría 3
Función
Instrumental
06:03
-
08:02
{L100}Estudiante 14: Profe yo lo hago sin calculadora.
Profesora: Bueno, empecemos con esta, bien. Solamente la hice con una cifra,
pero, pero cogí más números, no tan sencillita como las que hice hace un
momentico, bien. ¿La quieres hacer acá?
{L101}Estudiante 14: No, acá [Señala el cuaderno].
{L102}Profesora: A bueno, entonces hazla en tu cuaderno para que
comparemos. Lo primero es hacer la ley de signos, entonces digo, este número
de acá es positivo y este es negativo, entonces más dividido entre menos…
menos, negativo. Ahora digo, ojo, como es una cifra uno separaría una cifra
¿Cierto?
{L103}Estudiante 5: No cabe, toca tomar dos.
{L104}Estudiante 14: ¡No cabe, no cabe!
{L105}Profesora: Cinco es menor que ocho, entonces no cabe, entonces ¿Qué
tenemos que hacer? Separara mejor dos cifras. Y ahora sí, ocho por qué no se
me pasa de cincuenta y dos.
{L106}Estudiante 14: Ocho por seis.
{L107}Profesora: ¡Ocho por seis! Cuarenta y ocho ¿Cierto? Si digo ocho por
siete me da ¿Cuánto?
{L108}Estudiante 5: Cincuenta y seis.
{L109}Profesora: Cincuenta y seis, y ya se me pasa de cincuenta y dos, vale.
Mire, yo no sé, eh, eh, que día en una clase con los niños de grado once y
entonces teníamos que hacer un ejercicio de división y le dije a un niño hágalo.
¿Si? De grado once, y el niño no pudo hacer la división y el niño “profe es que
yo no sé hacer esas divisiones” [refiriéndose a la respuesta del estudiante de
once], entonces una compañerita le dijo “Claro, si eso es muy sencillo”.
Entonces no sé si esto que voy a hacer les ayuda, pero lo voy a hacer. La niña
hace la lista y ustedes pueden hacer la lista de la tabla del ocho hasta el nueve,
por ejemplo, ocho por una igual a ocho [la docente comienza a escribir en el
tablero lo que ella ha denominado la lista de la tabla del ocho].
Categoría 1
Efecto
Jourdain
Categoría 2
Función
Designación
Categoría 3
Función
Interactiva
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~ 114 ~
{L110}Estudiantes: Ahhhh, sí. [Se oye en varios estudiantes la respuesta de
afirmación respecto a lo que la docente este realizando]. Ahhh ya.
{L111}Profesora: Ocho por dos, igual a [Un estudiante interrumpe].
{L112}Estudiante 14: Profe, ¿Sabe cuál es más fácil? La calculadora
{L113}Profesora: No porque ustedes la tienen que hacer.
{L114}Estudiantes: ¡Ahhh! [Voz de inconformidad].
{L115}Profesora: ¡Ustedes se tienen que saber las tablas! [La profesora
termina de escribir todo el listado de la tabla del ocho].
08:30
-
09:06
{L116}Profesora: Bueno, entonces estamos mirando cuántas veces cabe ocho
en cincuenta y dos, entonces miro por acá [Señala la tabla].
{L117}Estudiante 14: Seis
{L118}Profesora: Ya en cincuenta y seis se me pasó, entonces está en seis
veces. Cierto, entonces escribo seis [En el cociente]. Seis por ocho,
{L119}Estudiante 5: Ya, ya la hice. [La docente se acerca mientras habla].
{L120}Profesora: Cuarenta y ocho, cierto. Y de cuarenta y ocho a cincuenta y
dos ¿Cuánto hay?... Cuatro, lo escribo y bajo la siguiente cifra [Continúa
resolviendo la división en el tablero hasta finalizar. La división tiene como
residuo uno].
Categoría 1
Cláusula El
docente no
asigna
problemas sin
solución
Categoría 2
Función
Categorización
Categoría 3
Función
Personal
10:20
–
13:08
{L121}Profesora: Voy a probar entonces que el resultado que nosotros hicimos
está bien, vamos a probar, vamos a practicar lo que nosotros dijimos hace un
momento. Lo voy a escribir por acá: La Prueba [Escribe en el tablero para
empezar a hacer la verificación]. ¿Qué multiplico con qué?
{L122}Estudiante 5: El… [Revisa el tablero para verificar los nombres de las
partes de la división] el divisor con el cociente.
{L123}Profesora: Seiscientos sesenta y uno, mira cómo se lee esto. ¡Pero ojo!
Ese me dio negativo, entonces digo menos seiscientos sesenta y uno. ¿Lo
multiplico por quién?
{L124}Estudiantes: Por el divisor. [Coro]
{L125}Profesora: Por el divisor, que es…
{L126}Estudiantes: Ocho
{L127}Estudiante 5: Menos ocho.
{L128}Profesora: Menos ocho. Resolvamos. [Realiza la multiplicación; se
observa que la docente siempre repite en voz alta las operaciones que está
realizando para que los estudiantes la sigan en la escritura y pronunciación].
Categoría 1
Efecto Topaze
Categoría 2
Función
Determinación
Categoría 3
Función
Instrumental
Universidad Distrital – Maestría en Educación – Sindy Joya Anexos
El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 115 ~
{L129}Estudiante 14: Si profe ¡Si da, si da! [La docente continúa resolviendo
la operación, ignorando el comentario del estudiante].
{L130}Profesora: Y me da cinco mil ochenta [la docente reacciona
sorprendida]. ¿Y por qué me quedó así, mal? Multipliqué mal [Vuelve a hacer
la operación, en voz alta nuevamente, en esta ocasión los estudiantes responden
a las multiplicaciones que hace la docente]. Bien, ahora sí. Está bien. Ok. Bien.
¿Hasta ahí hay problema?
{L131}Estudiantes: Noooo…
{L132}Profesora: No. Vale. Les voy a hacer una pregunta. Si yo, escuchen. Si
yo quisiera continuar esta división ¿La puedo continuar o no?
{L133}Estudiante 15: Siiii. Porque es inexacta.
{L134}Profesora: Porque es inexacta, vale, a veces, escúchenme, a veces las
divisiones inexactas se pueden continuar hasta que uno les encuentre residuo
cero. A veces no, porque a veces son infinitas. Bien, entonces ¿Cómo sabemos
qué tanto hacemos? Lo que hacemos nosotros generalmente es encontrar dos
[hace referencia con los dedos] cifras decimales. Bien, para saber más o menos
qué tan exacto es. Si en dos cifras decimales no nos da, nosotros generalmente
trabajamos con esas dos, que es la aproximación que siempre hacemos y porque
no necesitamos saber exactísimamente cuánto nos da. Voy a hacerlo con rojo,
para encontrar la parte… hasta que encontremos dos cifras decimales [Se
resuelve la división, incluyendo dos cifras decimales].
Categoría 1
Efecto
Deslizamiento
Metacognitivo
Categoría 2
Función de
Expansión
Discursiva
Categoría 3
Función
Personal
Video 1-5
Minuto Transcripción Observación
inicial
05:25
-
10:30
{L135}Profesora: Niños copian su actividad. Voy a empezar a llamar para
calificarles la tarea de la clase pasada.
{L136}Estudiantes: Noooo. [Se escucha en varios estudiantes negación ante la
propuesta de la docente, sin embargo, ella lo pasa por alto y comienza a llamar
a estudiantes para la revisión de tarea].
[La profesora llama a una estudiante, la cual se acerca con el cuaderno en la
mano. La docente comienza a revisar la solución de la tarea, comparándola con
un cuaderno en el que ella ha resuelto los ejercicios propuestos]
{L137}Profesora: Menos por menos te da más.
{L138}Estudiante 16: [Reacciona con preocupación, quizás por lo que ese
error se refleje en la nota que obtendrá].
{L139}Profesora: Menos por menos da más. Y por menos, da menos [la
docente escribe en el cuaderno de la estudiante una X por cada ejercicio
incorrecto y un ✔ por cada acierto].
{L140}Estudiante 16: [Espera en silencio a que la profesora revise].
{L141}Profesora: La mitad de la tarea, o sea... intentaste hacerla. Tienes que
corregir por favor. [Coloca una nota en la planilla, equivalente a 2,5 en una
escala de 1 a 5]
{L142}Estudiante: [Recibe el cuaderno y se retira].
Categoría 1
Cláusula de
Control
Semántico
Categoría 2
No Aplica
Categoría 3
Función
Personal
Universidad Distrital – Maestría en Educación – Sindy Joya Anexos
El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 116 ~
10:30
–
11:05
{L143}Estudiante 17: [Le muestra una división que está desarrollando] Si
multiplico veinte por veinte y me queda cero, ¿Ahí qué hago?
{L144}Profesora: Y ya. Ya no tienes que encontrar un valor decimal porque
es exacta.
{L145}Estudiante 17: [Parece que no comprende la razón que da la docente,
abre nuevamente el cuaderno y le muestra la división otra vez].
{L146}Profesora: Claro, multiplica veinte por veinte y verás que te da
cuatrocientos. Cuando es exacto no tienes que buscar cifras decimales
{L147}Estudiante 17: [La estudiante se retira sin decir nada, pero sorprendida
porque hizo cálculos correctos].
Categoría 1
Cláusula de
Control
Semántico
Categoría 2
Función
Designación
Categoría 3
Función
Instrumental
Video 1-8
Minuto Transcripción Observación
inicial
00:35
–
01:20
{L152}Estudiante 2: ¿Me explica ésta parte? [Se acerca a la docente]. Cinco y
cuatro, vea, doce por…
{L153}Profesora: ¡Ah! Es menos doce, ¡Menos doce! [Revisa el ejercicio de
la estudiante] Pero mira te falta, este se suma. El resultado se multiplica por
treinta y seis. El signo. Te falta comprender.
{L154}Estudiante 2: Si. [Señala el cuaderno]
{L155}Profesora: Cuarenta y dos menos treinta y seis.
{L156}Estudiante 2: [Se aleja] Ocho.
{L157}Profesora: [Asiente con la cabeza].
Categoría 1
Cláusula
Delegación
formal
Categoría 2
Función
Designación
Categoría 3
Función
Instrumental
Tabla 42. Anexo: Transcripción apartados de Clase 1.
Universidad Distrital – Maestría en Educación – Sindy Joya Anexos
El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 117 ~
8.5.2 Anexo: Clase 2.
Video 2 Video 2-2 24 de febrero del 2016 Colegio Class / Jornada Mañana / 701
Situación La sesión de clase comienza a las 6:45 am (Minuto 02:13). La actividad matemática corresponde a práctica de
situaciones problema que se resuelven a través de operaciones básicas con números enteros. Los problemas
presentados corresponden a situaciones propuestas por la docente o existentes en libros de texto escolares que
son usados regularmente por la docente para la preparación de los ejercicios de clase.
Minuto Transcripción Observación
inicial
02:13
-
04:05
{L1} Profesora: Bueno mis amores, el día de hoy vamos a trabajar con el siguiente
tema. {L2} Estudiante 1: Geometría {L3} Profesora: No hoy no tenemos geometría. Geometría es la otra semana. {L4} Estudiante 1: ¡Ay no! {L5} Profesora: Ustedes ya saben sus horarios y los tienen que tener bien
copiados. [La institución maneja dos horarios rotativos, uno para cada semana;
debido a la actividad académica de profundización con estudiantes de grados
superiores y la carga académica de los docentes que la dirigen]. {L6} Estudiante 2: ¿Entonces hoy en qué clase estamos? {L7} Profesora: Matemáticas. Entonces tienen una tarea de división. {L8} Estudiante 3: ¡Sí! {L9} Estudiante 1: Noooo {L10} Profesora: Entonces, les estaba diciendo, para hoy vamos a trabajar
solución de problemas de todo lo que hemos hecho, o sea, suma, resta,
multiplicación y división. Bien. Vamos hoy a trabajar problemas de libros, la
próxima clase ustedes van a inventarse los problemas. Listo. Entonces pónganle
más bien cuidado a cuáles son las características de un problema. Bien, antes de
empezar a solucionar y a dictarles problemas, quiero que me digan algo importante
¿Ustedes qué tienen en cuenta para resolver problemas? ¿Qué es importante
cuando vamos a solucionar problemas?
Categoría 1
No Aplica
Categoría 2
No Aplica
Categoría 3
Función
Instrumental
04:55
–
05:30
{L11} Estudiante 3: Mirar los signos {L12} Profesora: ¿Mirar qué? {L13} Estudiante 3: Los símbolos {L14} Profesora: O sea… Ay perdón no borré el tablero…. ¿Tener en cuenta los
símbolos de qué? ¿De la resta, la multiplicación? {L15} Estudiante 4: ¡Profe yo sé! Yo tengo en cuenta que… ¿Cuánta diferencia
tiene si uno quiere tener lo mismo y que alguien tiene algo?
{L16} Profesora: Mire, ¿Por qué digo esto? ¿Por qué es importante tener en cuenta
que utilizamos para saber o para poder solucionar un problema? Porque existen
palabras especiales que nos indican operaciones y antes de…. por eso quiero que
hagamos el listado por aquí y lo escribamos para que tengamos en cuenta eso
cuando solucionemos y sabemos si es un problema de multiplicación, si es de
suma, si es de resta o si es de operaciones combinadas. ¿Qué tenemos que hacer?
Categoría 1
Efecto
Deslizamiento
Metacognitivo
Categoría 2
Función
Designación
Categoría 3
Función
Reguladora
05:31
–
07:13
{L17} Profesora: Entonces, cuando hablamos de problemas hay palabras que me
indican que vamos a sumar ¿Como cuáles?... Que me indiquen suma…. (Los
estudiantes permanecen en silencio]. {L18} Profesora: Yo digo… Eh… El niño Carlitos, eh tenía ahorrado en su casa
$10.000. Pero el fin de semana su tía Augusta le regaló $10.000 más. ¿Cuánto
tiene? {L19} Estudiante 3: [Levanta la mano] Veinte {L20} Profesora: ¿Veinte? {L21} Estudiante 1: Veinte mil pesos más. {L22} Profesora: Bueno, ¿Qué me indicó que yo hice una suma?
Categoría 1
Efecto Jourdain
Categoría 2
Función
Categorización
Categoría 3
Función
Informativa
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~ 118 ~
{L23} Estudiante 5: ¡Suma! [Algunos estudiantes hablan al tiempo, no se
distingue la voz de nadie] {L24} Profesora: ¿Y cuál fue la palabra clave para saber que era una suma? {L25}Estudiantes: ¡Le regaló! [responden al tiempo] {L26} Profesora: Le regaló. [La docente escribe en el tablero] Listo, entonces en
ese caso quiere decir que le voy a agregar. Bien. La misma palabra, agregar, cuando
yo le digo agréguele tanto. Eso también significa que hay una suma. ¿Qué otra cosa
me puede indicar que hay una suma? {L27} Estudiante 6: Sume {L28} Profesora: Bueno, que yo diga la palabra sume. Vale, sume o sumar.
[escribe en el tablero]
Imagen 21. Listado de palabras asociadas a la operación suma.
{L29} Estudiante 1: Póngale {L30} Profesora: ¿Señor? {L31} Estudiante 1: Póngale {L32} Profesora: Póngale [escribe en el tablero] {L33}Estudiante 1: o poner. {L34} Profesora: ¿Qué otra cosa? {L35} Estudiantes: [mencionan varias palabras, la profesora escribe algunas de
ellas] {L36} Profesora: Añadir, Colocar…. esas son algunas palabras que me indican,
en este caso, que se va a hacer una suma.
07:14
–
08:15
{L37} Profesora: Ahora, pensemos en la operación resta. Cuando yo hablo de
resta, qué me indica que… [interrumpida por el estudiante] {L38} Estudiante 1: Sacó {L39} Profesora: Sacó, bueno, sacó. La palabra sacar. {L40} Estudiante 6: Le quitó {L41} Profesora: Quitar {L42} Estudiante 7: Regalar {L43} Profesora: Regalar [duda y revisa las palabras que se escribieron en el
listado de suma]. Bueno, regalar también sirve en este caso, entonces también
puede ser.
Imagen 22. Listado de palabras asociadas a la operación resta.
{L44} Estudiante 8: Prestar {L45} Profesora: Restar {L46} Estudiante 8: ¡Prestar!
Categoría 1
Efecto Jourdain
Categoría 2
Función
Categorización
Categoría 3
Función
Informativa
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~ 119 ~
{L47} Profesora: Bueno, prestar... También cuando, por ahí ahorita alguien me la
dijo [señala a un grupo de estudiantes]... La diferencia. ¿Si? ¿Cuál es la diferencia
entre lo que tiene Carlitos y Martica por ejemplo?... Si uno tiene tanto y el otro
tiene tanto. Cierto, entonces la palabra diferencia me indica que se debe hacer una
resta. … Bueno, esas son algunas. Posiblemente se nos ocurran más o encontremos
más cuando resolvamos problemas.
08:16
–
09:43
{L48} Profesora: Algo que me indique que hay la multiplicación. {L49} Estudiantes: [tiene el doble, el triple] {L50} Estudiante 5: Por lo menos, Carlitos tiene el triple que Juanito. Y Juan tiene
tres monedas. ¿Cuánto tiene Carlitos, Juanito? {L51} Profesora: ¡Perfecto! ¡Si! El doble, el triple, el cuádruple, el quíntuple,
etcétera. Cierto ¿Qué más? {L52} Estudiante 1: ¿Gana?..... Ah no. {L53} Estudiante 9: Multiplica. {L54} Profesora: La palabra multiplicar, vale. {L55} Estudiante 10: Cuando hay que sumar varias veces. Sería sumas… cinco
veces {L56} Profesora: La palabra tantas veces, n veces, ok. Mire, cuando digo Sandra
tiene cinco veces el dinero que tiene Martín ¿Cierto? Entonces, que yo diga tantas
veces, quiere decir que voy a multiplicar. Entonces eso también. [Se acerca a
escribir en el tablero]. Entonces voy a poner n, para que entendamos que ese es el
número, n veces. Listo., y eso va indicar en ese caso que ponemos el numerito. {L57} Estudiante 10: [susurra] {L58} Profesora: ¿Señor?.... {L59} Estudiante 10: ¿Lo copiamos? {L60} Profesora: Ya ahorita lo copiamos…. La palabra “por”, simplemente que
yo diga “por”. También indica que vamos a hacer una multiplicación.
Categoría 1
Efecto Jourdain
Categoría 2
Función
Categorización
Categoría 3
Función
Informativa
09:44
–
11:48
{L61} Profesora: Ahora, para la operación división. {L62} Estudiante 1: Partir {L63} Profesora: ¡Partir! o repartir también…. ¿Qué más? {L64} Estudiante 8: Dividir {L65} Profesora: La palabra dividir. {L66} Estudiante 8: ¡Repartir! {L67} Profesora: La palabra repartir ya está. {L68} Estudiante 9: ¡Agrupar! {L69} Profesora: Agrupar, vale…. Otra palabra por ahí.
Imagen 23. Palabras asociadas a las operaciones básicas (Registro de un estudiante).
Categoría 1
Efecto Jourdain
Categoría 2
Función
Categorización
Categoría 3
Función
Informativa
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~ 120 ~
{L70} Estudiantes [Se escuchan varias voces] {L71} Estudiante 4: Como clasificar…. Como darle a cada uno.
{L72} Profesora: Entonces la palabra repartir y ya la tenemos. Cuando yo digo
repartir entre o repartir para... ¿Cierto? {L73} Profesora: Bueno, ahora sí. {L74} Estudiante 5: Separar {L75} Profesora: Separar, de pronto sí. {L76} Estudiante 7: ¡Agregar! {L77} Estudiante 5: ¡Nooo! No sirve. {L78} Profesora: Agregar sirve para la suma. {L79} Estudiante 11: Tomar, coger,... {L80} Profesora: En ese caso no mucho…. Pues bueno, vamos a dejar hasta ahí y
después miramos si nos aparecen más. Cópienme esas por favor. [Los estudiantes
se acomodan para sacar cuadernos]. Apunten esas palabras que son importantes
para que cuando veamos un problema y no estemos seguros pues simplemente nos
vamos a dar cuenta qué operación es la que nos están pidiendo.
12:08
–
12:45
{L81} Estudiante 5: ¿Profe va a calificar la tarea? {L82} Profesora: Sí señor, pero tú sabes que como primero avanzo en la
explicación y luego si califica la tarea al final de la clase o recogemos los cuadernos
al final si no alcanzamos. Esa es la dinámica siempre porque nunca califico antes
de explicar…. Mientras copian yo tomo la asistencia. {L83} Estudiante 5: Profe ponga una actividad y…. {L84} Estudiantes: Noooooo [muchas voces. La profesora continúa con la
búsqueda de la lista].
Categoría 1
Cláusula
Exigencia de la
Justificación
Formal
Categoría 2
Función
Apofántica
Categoría 3
Función
Reguladora
Video 2-4
Minuto Transcripción Observación
inicial
00:47
-
04:35
{L85} Profesora: Cuando vayan terminando de copiar piensen la pregunta que
escribí en el tablero: “¿Qué es importante para solucionar un problema?”.
{L86} Profesora: Bueno, vamos a empezar con esta pregunta: “¿Qué es
importante para solucionar un problema?”, entonces ¿Qué es lo primero que
hacemos cuando tenemos un problema? [Varios estudiantes levantan la mano] {L87} Estudiante 5: [Espera la señal de la docente] ¡Primero lo leemos hasta
entenderlo! {L88} Profesora: [En un listado de viñetas que ha escrito en el tablero]. Voy a
escribir primero: “leer hasta entender” {L89} Estudiante 6: Muchas veces {L90} Estudiante 13: ¡Comprobar! {L91} Estudiante 5: Las veces que sea necesario {L92} Profesora: ¡Muy bien! [Muchos estudiantes hablan al tiempo]. Esperen un
momento, aclaremos la primera. Por ahí ya me lo dijeron todos, leer hasta entender
las veces que sea necesario, listo. Eso lo hemos dicho siempre porque, ustedes,
algunos tienen mejor comprensión de lectura que otros. Entonces unos entienden
a la primera o a la segunda vez. Otros entienden hasta la quinta. Si toca leerlo cinco
veces, seis veces, ¡Lo hacemos! Vale. Después de eso ¿Qué haríamos?
{L93} Estudiante 7: Resolver {L94} Estudiante 5: Analizar {L95} Profesora: Antes de resolverlo hay otra cosa.
{L96} Estudiante 15: Saber la operación. {L97} Profesora: Saber, identificar qué operación vamos a hacer. [Se acerca a
escribir en el tablero]. Bueno, en ese “identificar operaciones” pues es un proceso
de análisis, de reflexión, que nos induce a eso. ¿Cierto? Después de eso, ahora sí…
Categoría 1
Efecto Jourdain
Categoría 2
Función
Apofántica
Categoría 3
Función
Reguladora
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~ 121 ~
Entonces, acá, identificar operaciones ya, ¿Ahora qué es?… sumarlas, o, operar
mejor dicho. [Escribe en el tablero] “Operar”. Vale…. Bien, vamos a operar.
Identifican las operaciones. Cierto…. ¡Perdón! [Borra el último paso del tablero].
Antes de operar, las vamos a plantear ¿No? Que es escribir cómo nos quedaría esa
operación, qué sumo con qué, qué multiplico con qué ¿Cierto? “Plantear” [Escribe
en el tablero] y luego si “Resolver”. ¿Después de resolver qué hacemos?
Imagen 24. Indicaciones de cómo se debe resolver un problema.
{L98} Estudiante 5: Pues, hacer la..., {L99} Estudiante 7: Mirar la respuesta… {L100} Profesora: ¿Cómo? {L101} Estudiante 7: ¿Probar? {L102} Profesora: ¡Probar! Nosotros vamos a probar [Escribe en el tablero] lo
que hicimos.... “Probar”, bien. Que es verificar el resultado ¿Vale? {L103} Estudiante 1: ¡Ah! {L104} Profesora: ¿De acuerdo? {L105} Estudiantes: Si [Responden varios]. {L106} Profesora: Verificamos el resultado, bien y ya. En el caso de que no nos
dé en el último paso. ¿Qué tenemos que hacer? {L107} Estudiante 5: ¡Probar! {L108} Profesora: ¿Después de probar? {L109} Estudiante 5: ¡Rectificar! {L110} Estudiante 1: ¡Volverlo a hacer! {L111} Profesora: Bueno, vamos a ver. Si yo pruebo y me quedó bien, entonces
ya se terminó ahí. {L112} Estudiante 7: Pero si me quedó mal…. {L113} Profesora: Pero si me quedó mal, rectificamos, corregimos, miramos otra
vez todo el proceso. ¿Listo? {L114} Estudiante 10: ¿Para qué?
{L115} Profesora: Para poder entender bien qué es lo que está pasando y qué es
lo que me piden. Entonces puede ocurrir que estos sean los pasos. A veces acá en
el intermedio es complejo [identificar operaciones y plantear]. Pero no siempre.
Que no se nos olvide siempre esto cuando tengamos que resolver problemas….
Escriben los pasos.
Video 2-5
Minuto Transcripción Observación
inicial
02:00
–
04:54
{L116} Profesora: Problema Número 1 ¿Listo? {L117} Estudiante 1: ¿Problema qué?
[Problema # 1 –
Avión]
Categoría 1
Efecto Dienes y
Cláusula Todos
los problemas
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~ 122 ~
Imagen 25. Estudiantes siguiendo el dictado de la docente.
{L118} Profesora: Número 1 [Los estudiantes se acomodan en sus puestos].
Entonces copiemos este [La profesora revisa un libro de texto], dice: “Un avión
que vuela a 3000 metros de altura asciende 2000 metros más y al poco tiempo por
un temporal desciende 1500 metros y continúa volando a esta altura”. {L119} Estudiante 7: ¡Profe yo ya sé qué es! {L120} Profesora: ¿Ya lo resolviste? {L121} Estudiante 7: No…. {L122} Profesora: ¡Ah!... Y continúa volando a esta altura. Pregunta, entonces la
pregunta es “¿A qué altura continúa volando?”.
tienen solución
ligada solos a
los datos
numéricos
Categoría 2
Función
Determinación
Categoría 3
Función
Personal
04:55
–
07:41
{L123} Profesora: Creo que ya todos lo entendieron. {L124} Estudiantes: ¡Sí! [Varios] {L125} Estudiantes: ¡No! [Varios] {L126} Profesora: ¿Tienen que volverlo a leer? {L127} Estudiante 7: ¡Si profe! {L128} Profesora: Bueno, entonces vuélvanlo a leer y me dicen qué operaciones
tengo que hacer. {L129} Estudiantes: Suma, resta…. Una suma, una resta. [Varios estudiantes
gritan sus respuestas] {L130} Profesora: Una suma y una resta. ¿Están de acuerdo?
Categoría 1
Cláusula
Delegación
formal y Efecto
Jourdain
Categoría 2
Función
Designación
Categoría 3
Función
Interactiva
{L131} Estudiantes: Si [Muchos guardaron silencio] {L132} Estudiante 7: ¿Por qué una suma y una resta? {L133} Estudiante 5: Porque si {L134} Profesora: Bueno, alguien no sabe porque toca hacer sumas y restas
¿Cierto?... Bueno, vamos a pensar en el avioncito, vale. Acá es importante de
pronto, entonces que hagamos una gráfica. Entonces yo voy a suponer mi hermoso
avión [dibuja en el tablero]. Soy una dura para hacer aviones chinos, vean. Voy a
hacer un helicóptero. {L135 }Estudiantes: [Se ríen] {L136} Estudiante 12: ¡Huy profe que lindo! {L137} Profesora: Helicóptero. Él está volando a 3000 metros de altura. Entonces
yo voy a decir por acá [Dibujo]
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~ 123 ~
Imagen 26. Diagrama inicial elaborado por la docente para resolver el Problema #1
{L138} Profesora: Esta es la altura de 3000 metros. Listo. {L139} Estudiante 8: Profe pero es un helicóptero, no un avión. {L140} Profesora: Bueno…. No importa. {L141} Estudiante 5: Profe, descender es para bajo. Entonces lo que sigue es
bajar. {L142} Profesora: Ok. Ascender significa ir hacia arriba y descender hacia abajo. {L143} Estudiante 10: Resta, quitarle. {L144} Profesora: Se fijan que aparecieron dos nuevas palabras que nos sirven
para sumar y para restar. Ascender para sumar y descender para restar….
¿Entonces qué pasó? Dijo que ascendió o que descendió primero. {L145} Estudiantes: ¡Ascendió! {L146} Profesora: Ascendió, entonces subió de aquí para allá 2000 metros. O sea
que quedó por acá a esta altura [Señala el dibujo].
Imagen 27. Diagrama consecutivo elaborado por la docente para resolver el Problema #1
{L147} Profesora: Y ahora quedó a 5000 ¿No?... ¿Luego qué pasó? {L148} Estudiante 1: Cinco mil menos mil quinientos. {L149} Profesora: Desciende 1500 ¿Cierto? Entonces ahora, le voy a poner
flechita acá. Bajó 1500 metros. {L150} Estudiante 11: ¡Profe queda volando a 2500 metros! {L151} Profesora: ¿A 2500? {L152} Estudiante 5: ¡No, a 3500!
07:42
–
08:45
{L153} Profesora: Entonces formalicemos la operación que vamos a hacer. ¿Qué
sumo y qué resto? {L154} Estudiante 7: Suma 3000 + 2000 {L155} Profesora: Sumo cuánto {L156} Estudiante 7: 3000 + 2000 {L157} Profesora: 3000 metros más 2000 metros {L158} Estudiante 5: Se resta por 1500 metros {L159} Profesora: Y le resto 1500 metros
{L160} Profesora: Y vamos a resolver. Nosotros ya sabemos que cuando tenemos
cantidades enteras del mismo signo se suman. Entonces 3000 + 2000 me da… {L161} Estudiantes: 5000 {L162} Profesora: ¡5000 metros! Porque estoy hablando de metros y le resto
ahora la cantidad negativa 1500 metros. Entonces ¿Cuánto me da esto?
{L163} Estudiantes: 3500, algunos dicen 2500 o 4500
Categoría 1
Cláusula
Exigencia de la
justificación
formal
Categoría 2
Función
Descripción
Categoría 3
Función
Informativa
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~ 124 ~
Imagen 28. Diagrama, operaciones y solución del Problema #1(Registro docente)
{L164} Estudiante 5: Queda volando a 3500 {L165} Profesora: Bueno, 3500 metros. [Escribe en el tablero]. No me sirve que
yo solamente ponga el problema y ya escribí 3500 metros y yo no sé si eso es la
solución o qué es. Entonces cuando hablamos de problemas es importante que con
nuestras palabras escribamos cuál es la solución. Entonces yo escribo: “El avión
continúa volando...”
{L166} Estudiante 16: A 3500 metros {L167} Profesora: “A 3500 metros de altura”. Listo.
Imagen 29. Operaciones y solución del Problema #1(Registro de un estudiante)
08:46
–
09:26
{L168} Estudiante 5: ¡Profe, profe, profe! {L169} Profesora: ¿Señor? {L170} Estudiante 5: Será que para resolver los problemas en vez de hacer… yo
lo hago en una hojita y escribo en el cuaderno la solución. {L171} Profesora: ¡No! Vamos a hacer todo el proceso en el cuaderno. ¿Si? De
forma que si yo les tengo que evaluar algo, yo me doy cuenta de todo lo que usted
pensó y qué fue lo que pasó… Si ven, yo tuve que hacer una gráfica posiblemente
para poder entender… o para poderles explicar a ustedes. ¡Válido! La gráfica me
sirve, fue parte del proceso. Entonces es importante. Si tienen que hacer una
operación multiplicación, ¡Pues se hace ahí en la hoja! Para eso estamos
resolviendo. ¿Bien? {L172} Estudiante 5: Ok [Responde desanimado] {L173} Profesora: Entonces no piensen que eso es lo feo, eso es lo bonito de ver
qué hacen ustedes para solucionar un problema. Copiemos este para poder hacer
el ejemplo número dos de problemas.
Categoría 1
Cláusula
Exigencia de la
justificación
formal
Categoría 2
Función
Apofántica
Categoría 3
Función
Reguladora
Video 2-6
Minuto Transcripción Observación
inicial
Universidad Distrital – Maestría en Educación – Sindy Joya Anexos
El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 125 ~
02:34
–
04:56
{L174} Profesora: Listo ejemplo número dos.
Imagen 30. Dictado de la docente. Problema #2. Ejercicio tomado de libro.
{L175} Estudiantes: Noooo [Algunos aún están copiando la solución del ejemplo
anterior]. {L176} Profesora: Les dicto. {L177} Estudiante 17: Espere profe. {L178} Profesora: Escriban ahí: “Al iniciar el mes el saldo de la cuenta de
ahorros” {L179} Estudiante 16: El qué {L180} Profesora: Ya les explico qué significa saldo para que todos entiendan.
[Continúa dictando el problema]. “Al iniciar el mes el saldo de la cuenta de
ahorros de Andrea es 325000 y al finalizar el nuevo saldo es de 2´750.000.
Calcular la diferencia entre los dos saldos.” {L181} Estudiante 5: Diferencia…. ¿Es restar profe? {L182} Profesora: Sí señor.
[Problema # 2 –
Saldo de cuenta
de Ahorros]
Categoría 1
Efecto Dienes
Categoría 2
Función
Determinación
Categoría 3
Función
Instrumental
04:57
–
09:00
{L183} Estudiante 5: Profe ese si nosotros lo hacemos. {L184} Profesora: Ok, háganlo. {L185} Estudiante 1: Nooo. {L186} Profesora: Fácil, solamente… {L187} Estudiante 5: Si, usted solamente hace la resta. {L188} Profesora: Aja. Ahí estaba la palabra clave para saber qué operación
hacer. Listo. De una. {L189} Estudiante 7: La pregunta cómo es profe. {L190} Profesora: La pregunta es calcular la diferencia entre los dos saldos. {L191} Estudiante 6: Ya sé. {L192} Profesora: Listo ¡Empiecen! {L193} Estudiante 1: No profe. {L194} Estudiante 6: ¡Profe ya! [La profesora se acerca al estudiante, revisa el
cuaderno y solicita realizar una corrección. Firma el cuaderno del estudiante]. {L195} Estudiante 17: Profe [La profesora le indica que escribió mal el número.
Varios estudiantes llaman a la profesora, ella se acerca uno por uno y revisa. A los
estudiantes que presentan la solución de manera correcta les firma el cuaderno, a
los que no les explica dónde se equivocaron. Algunas de las equivocaciones
corresponden a que escribieron mal el número, no lo ordenaron adecuadamente en
la resta o realizaron mal la misma]. {L196} Profesora: Listo, vamos a corregirlo para todos porque ya la mayoría están
terminando. ¿Cierto?... ¿Ustedes también?... [Se acerca a otra estudiante]... A
bueno, estás calculando la diferencia. [Revisa cuadernos de otro grupo de
estudiantes].
Categoría 1
Cláusula
Delegación
Formal y Efecto
Topaze
Categoría 2
Función
Apofántica
Categoría 3
Función
Informativa y
Función
Reguladora
09:00
–
11:01
{L197} Profesora: Rápido, vamos a hacer la socialización. Entonces ojo. Cuando
hablamos de saldos en las cuentas, saldo es lo que me quedó. Sí, entonces quiere
decir que Andrea, terminando, o empezando el mes tenía un guardadito ahí
seguramente del mes anterior, que era de 300…… {L198} Estudiante 2: ¡325000!
{L199} Profesora: ¡325000! Entonces 325000 [Escribe en el tablero]. Eso fue lo
que tenía por ahí ahorradito. Pero, al terminar el mes como le pagaron su sueldo y
Categoría 1
Cláusula Todos
los problemas
tienen solución
ligada solo a los
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~ 126 ~
gastaría algo y le quedaron 2750000 [Escribe la cifra sobre el valor anterior]. Me
piden que haga la diferencia. Y la diferencia es la operación…. ¡Resta! ¿Ok niñas?
Es restar, la palabra diferencia es clave. Restamos, entonces cero, cero, cero, diez
menos cinco es cinco… cuatro menos dos es dos, siete menos tres…
Imagen 31. Solución del Problema #2. (Registro de la docente)
{L200} Estudiante 9: Cinco {L201} Profesora: ¿Siete menos tres? {L202} Estudiantes: Cuatro {L203} Profesora: Cuatro…. Entonces 2´425.000… Ustedes concluyen, el nuevo
saldo o la diferencia perdón [Borra la respuesta que estaba escribiendo]. La
diferencia es de… {L204} Estudiante 5: La diferencia es de 2´425.000 de saldo
Imagen 32. Solución del Problema #2. (Registro de un estudiante)
{L205} Profesora: Bueno, la diferencia es 2´425.000 entre los saldos. O la
diferencia entre los saldos es de… Bien, entonces siempre que hablemos de plata,
de cuentas, estamos hablando en ese caso de operaciones, pues podemos colocar
problemas de suma o resta.
datos
numéricos.
Categoría 2
Función
Apofántica
Categoría 3
Función
Informativa
Video 2-7
Minuto Transcripción Observación
inicial
00:45
–
03:28
{L206} Profesora: Ejemplo tres…. Bueno…. Tercero,
Imagen 33. Dictado de la docente. Problema #3. Ejercicio tomado de libro.
[Problema # 3 –
Automóvil]
Categoría 1
Efectos Dienes
Categoría 2
Función
Determinación
Categoría 3
Función
Instrumental y
Función
Reguladora
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~ 127 ~
“Un automóvil parte de una ciudad A [la docente aclara que significa que no se le
pone nombre a la ciudad, que es una ciudad cualquiera] hacia una ciudad B
distante 500 Kilómetros” ¿Qué quiere decir eso? {L207} Estudiante 4: La distancia. Que la distancia es 500 Kilómetros. {L208} Profesora: Que la distancia entre ciudad y ciudad es de 500 Kilómetros.
Vale, pregunta “¿Cuántos kilómetros le faltaran por recorrer si ha estado viajando
durante 5 horas a una velocidad de 65 kilómetros por hora?”
03:29
–
04:08
{L209} Profesora: Bien, qué operaciones tenemos que hacer. {L210} Estudiante 14: ¡Una suma! {L211} Estudiante 15: No {L212} Profesora: ¿Una suma? {L213} Estudiante 2: Una multiplicación. {L214} Estudiante 1: Una división.
Imagen 34. Estudiantes “encontrando” la operación indicada.
{L215} Profesora: ¿Multiplicación? ¿De acuerdo? {L216} Estudiantes: [Algunos responden sí y otros no]. {L217} Profesora: ¿Y solamente multiplicación y ahí termino? {L218} Estudiantes: [No saben qué responder] {L219} Profesora: ¿Multiplicación y división? {L220} Estudiante 14: Una multiplicación y una resta. {L2221} Profesora: Sí señor, una multiplicación y una resta, porque me dicen
cuántos kilómetros le faltaran por resolver, digo, por recorrer.
Categoría 1
Efecto Topaze y
Cláusula de
Delegación
formal
Categoría 2
Función
Designación y
Función
Apofántica
Categoría 3
Función
Personal
04:09
–
06:00
{L222} Profesora: ¿Qué multiplico con qué? {L223} Estudiantes: [Se escuchan varias voces] 500, el 65. {L224} Profesora: 65 por 5. ¿Por qué estas? Porque es la velocidad de cada
kilómetro por hora. {L225} Estudiante 5: Eso da 325 kilómetros por hora. {L226} Profesora: ¿Eso me da 325? Sí señor. {L227} Estudiante 6: Y 325 - 500. {L228} Profesora: Bueno, entonces habrá recorrido 325 kilómetros en 5 horas.
¿Cierto? Pero ¿Cuánto tiene que recorrer en total? {L229} Estudiante 1: 500 kilómetros.
Imagen 35. Estudiantes indicando cuál es la operación que resuelve el Problema #3
{L230} Profesora: Listo, como tiene que recorrer los 500 kilómetros.
Categoría 1
Cláusula
Exigencia de la
justificación
formal
Categoría 2
Función
Determinación
Categoría 3
Función
Reguladora y
Función
Personal
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~ 128 ~
{L231} Estudiante 1: Entonces se resta. {L232} Profesora: ¿Cierto? Entonces se lo resto. 500 menos 325. [Escribe en el
tablero]. ¿Cuánto nos da? {L233} Estudiante 15: 175 kilómetros.
Imagen 36. Solución del Problema #3 (Registro de la docente)
{L234} Profesora: 175 kilómetros. Ahora ya tengo la respuesta pero debo
concluir. ¿Cómo concluimos nuestro problema? ¿Qué dirían ustedes? {L235} Estudiante 1: Le faltan 175 kilómetros para llegar a la ciudad B. {L236} Profesora: Listo, le faltan 175 kilómetros para llegar a la ciudad B, porque
así la llamamos en el problema. Listo. Ok.
Imagen 37. Solución del Problema #3 (Registro de un estudiante)
{L237} Profesora: Fácil ¿Cierto? Pero deben darse cuenta que es con cuidadito
que nosotros pensamos y vamos organizando en nuestra cabecita qué es lo que toca
hacer. Y algunos me imagino que cuando no entienden entonces les toca volver a
leer a ver qué es lo que toca hacer. Siempre eso ténganlo presente ahí. Copien la
solución de ese. Video 2-8
Minuto Transcripción Observación
inicial
00:50
–
02:40
{L238} Profesora: El siguiente, ¿Es tercer problema? {L239} Estudiantes: Cuarto {L240} Profesora: Ok, cuarto problema. {L241} Estudiante 13: Espere profe. {L242} Profesora: “Una persona viajando en su auto a una velocidad constante
de 70 kilómetros por hora recorre 1300 kilómetros. Determinar durante cuánto
tiempo viajó.
[Problema # 4 –
Duración de un
viaje]
Categoría 1
Efecto Dienes
Categoría 2
Función
Categorización
Categoría 3
No Aplica
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~ 129 ~
Imagen 38. Organización del aula de clase en filas.
02:41
–
03:00
{L243} Profesora: Listo. ¿Qué operación tienen que hacer? {L244} Estudiantes: División, suma. {L245} Profesora: ¿División? ¿De acuerdo? {L246} Estudiantes: Si {L247} Profesora: ¿No serán sumas, no serán restas? {L248} Estudiantes: No {L249} Profesora: ¿No? División, bueno.
Categoría 1
Efecto Topaze
Categoría 2
Función
Designación
Categoría 3
Función
Reguladora
03:01
–
08:05
{L250} Profesora: ¿Qué dividen en este caso? {L251} Estudiante 13: 1500 por 70. {L252} Profesora: 1300 entre 70. Vale y entonces, bueno. ¿Quién quiere hacer la
división? {L253} Estudiante 6: ¡Yo! [La profesora se acerca y le entrega el marcador, el
estudiante pasa al frente]. {L254} Estudiante 17: Yo…. mmm {L255} Profesora: ¿Tú querías pasar? {L256} Estudiante 6: Bueno, pase. [Devuelve el marcador a la profesora]. {L257} Profesora: Aprovecha, aprovecha [Entrega marcador a la estudiante] esta
oportunidad. {L258} Estudiante 5: Aproveche que todavía hay caballeros. {L259} Profesora: Si, hay dos caballeros.
Imagen 39. Estudiante resolviendo el Problema #4 en el tablero
{L260} Estudiantes: [Algunos se enumeran entre ellos, haciendo referencia a que
también son caballeros]. {L261} Estudiante 17: [La estudiante pasa al tablero y comienza a resolver la
división. Utiliza el proceso desarrollado el día anterior, en el que se realizaba el
listado de la tabla de multiplicar necesaria, en este caso del 70].
Categoría 1
Cláusula de
Control
Semántico
Categoría 2
Función
Descripción
Categoría 3
Función
Reguladora
{L262} Estudiante 10: ¿Profe si la hago en el cuaderno me da puntos? {L263} Profesora: Bueno. [Al poco tiempo varios estudiantes se acercan con el
cuaderno para que la profesora les revise].
Categoría 1
Cláusula Un
problema real es
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~ 130 ~
Imagen 40. Estudiantes que muestran la solución del ejercicio a la docente
{L264} Estudiante 6: ¡Profe ya! [La docente revisa los cuadernos, solicita a los
estudiantes que hagan la verificación]. {L265} Profesora: ¿Terminaron? {L266} Estudiantes: No / Yo sí. [Varias respuestas].
diferente a un
problema
escolar
Categoría 2
Función
Apofántica
Categoría 3
Función
Informativa
08:06
–
10:00
{L267} Profesora: [Se acerca a la estudiante que está en el tablero]. ¿Terminaste? {L268} Estudiante 17: No {L269} Profesora: Debemos avanzar. Practica las tablas para que en la próxima
te ganes más puntos. [La estudiante entrega el marcador y se sienta]. Listo. {L270} Estudiante 10: ¿Profe cómo sería la respuesta? {L271} Profesora: Pensemos en qué estaba buscando yo. ¿Qué significa este
18,57 que escribió ella? {L272} Estudiante 1: Respuesta {L273} Profesora: ¿Señora? {L274} Estudiante 1: Nada {L275} Profesora: ¿Qué significa este numerito que me dio?
Categoría 1
Cláusula Un
problema real es
diferente a un
problema
escolar y
Cláusula Todos
los problemas
tienen solución
ligada solo a los
datos
numéricos.
Categoría 2
Función
Designación
Categoría 3
Función
Instrumental
{L276} Estudiante 6: Las horas que lleva viajando {L277} Profesora: ¡Las horas que lleva viajando! Entonces ¿Qué concluimos?....
18 horas, pero la otra es parte decimal de una hora ¿Cierto? ¿Si? [Los estudiantes
no responden nada]. O sea es como, 18,5 sería 18 y media hora. Entonces nosotros
decimos: “Viajó durante 18 horas y media”. {L278} Estudiante 5: 18 horas y 57 minutos
{L279} Profesora: ¡No! Dejémoslo como el coma cinco, que sería media hora. El
coma cinco significa media. Entonces “18 horas y media aproximadamente”.
Pongámosle así en este caso porque en este momento no estamos haciendo las
conversiones necesariamente a minutos. Aproximadamente. ¿Listo? Eso es lo que
nosotros queremos averiguar. De todas formas al sacarlo así sabemos que no se
gastó el 18 exacto, sino un espacio más de tiempo que puede ser casi una hora o
algo así. Entonces eso depende de la cifra decimal. Bien, entonces la dejamos hasta
ahí…. ¿Terrible?
Categoría 1
Cláusula Uso
abusivo de la
analogía y
Cláusula de
Control
Semántico
Categoría 2
Función
Apofántica
Categoría 3
Función
Informativa
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~ 131 ~
Imagen 41. Solución del Problema #4 (Registro de estudiante y docente en el tablero)
{L280} Estudiante 5: ¡No, fácil! {L281} Profesora: ¡Fácil cierto!
Video 2-9
Minuto Transcripción Observación
inicial
00:35
–
03:43
{L282} Profesora: Actividad. Primero. Calladitos para que no me toque repetir.
“A las 7:00 am el termómetro marcaba 7 grados centígrados” {L283} Estudiante 9: ¿Grados qué? ¿Cómo se escribe eso? {L284} Profesora: Grados centígrados. Se escribe así [7°C, escribe en el tablero].
Así para que resuman. {L285} Estudiante 1: Profe yo escribí toda la palabra {L286} Profesora: Bueno, no importa, cuando quieras resumirlo lo escribes así
[Señala el tablero]. Listo. [Continúa el dictado]. “A las 12:00 del día la
temperatura había subido 15°C y a la 1:00am del día siguiente había descendido
23°C. ¿Qué temperatura marcaba el termómetro a las 12:00 del día y a la 1:00
am del día siguiente?”
[Dictado de
actividad:
Problema # 1
termómetro]
Categoría 1
Efecto Dienes
Categoría 2
Función
Categorización
Categoría 3
Función
Instrumental
03:44
–
06:11
{L287} Profesora: Segundo. Dice: “El punto de ebullición de un líquido es
104°C”. ¿Cuál es el del agua? {L288} Estudiante 13: ¿Cómo? {L289} Profesora: ¿Cuál es el punto de ebullición del agua? {L290} Estudiante 2: ¡104! {L291} Estudiante 4: ¡45! [Varios estudiantes especulan sobre la respuesta]. {L292} Profesora: [Con la cabeza hace gestos de negación ante todas las
respuestas] {L293} Estudiante 11: ¿180? {L294} Estudiante 15: 100
Imagen 42. Problema #2 (Registro de un estudiante
[Dictado de
actividad:
Problema # 2
cambios de
estado]
Categoría 1
Efecto Dienes y
Efecto Topaze
Categoría 2
Función
Descripción
Categoría 3
Función
Instrumental y
Función
Informativa
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~ 132 ~
{L295} Profesora: ¡Cien! El del agua es 100°, pero ahí estamos mencionando otro
líquido, ¿vale? que es diferente del agua. [Continua con el dictado]. “Y el de
solidificación es de...” {L296} Estudiante 5: ¿Profe tenemos que buscar la tabla periódica? [La profesora
sonríe y continúa con el dictado]. {L297} Profesora: “Y el de solidificación es de -17°C. Calcular la diferencia de
temperatura entre el punto de ebullición y el de solidificación”.
06:12
–
07:00
{L298} Profesora: Alguien me quiere explicar ¿Qué es el punto de ebullición? {L299} Estudiante 6: Cuando algo se pone más…. ¿Caliente? {L300} Estudiante 9: Es cuando sube la temperatura {L301} Estudiante 12: Cuando pasa…. antes del vapor. {L302} Profesora: ¡Antes de que se evapore sí señor! Pero es cuando algo hierve.
Como cuando ustedes hierven el agua. El agua hierve a las 100°C [Hace gestos
con las manos para indicar la ebullición] {L303} Profesora: ¿Y cuál es el punto de solidificación? {L304} Estudiante 5: Cuando baja la temperatura y se congela {L305} Profesora: ¡Cuando se congela! Cuando se vuelve sólido
Categoría 1
Efecto Jourdain
Categoría 2
Función
Descripción
Categoría 3
Función
Instrumental
07:01
–
10:05
{L306} Profesora: Tercero, vamos con el tres. “Dos automóviles parten de una
misma estación en sentidos opuestos. El primero marcha a razón de 70 Kilómetros
por hora” [Se acerca al tablero] Lo pueden escribir así: 70 k -m sobre h [70Km/h].
Imagen 43. Manera de escribir velocidades (Registro de la docente).
{L307} Profesora: Eso significa 70 kilómetros por hora. [Continúa el dictado] “Y
el otro a 90 Km/h. ¿Cuál será la posición de cada automóvil respecto al punto de
partida al cabo de dos horas? y ¿Cuál es la distancia que separa los dos
automóviles?” {L308} Estudiante 11: ¿Profe cuántos son? {L309} Profesora: Cuatro
[Dictado de
actividad:
Problema # 3
Distancia
respecto a un
punto].
Categoría 1
Efecto Jourdain
y Efecto
Envejecimiento
de las
situaciones de
enseñanza
Categoría 2
No Aplica
Categoría 3
No Aplica
10:17
– 14: 03
{L310} Profesora: Cuarto. ¡Ya! {L311} Estudiante 11: Solo tres profe. {L312} Profesora: Pongan ahí, ya es el último, tranquilos. “Juan, Martin, Elvia y
Raquel sacaron fiado un mercado que tenía los siguientes productos: Papel
higiénico por $17.000, arroz por $8.400, sal por $1.500, carne por $20.000
¿Cuánto quedaron debiendo en el supermercado y de a cuánto le toca pagar a
cada uno si pagan igual?”
[Dictado de
actividad:
Problema # 4
Comprar]
Categoría 1
Efecto Dienes
Categoría 2
No Aplica
Categoría 3
No Aplica
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~ 133 ~
Imagen 44. Problema #4 (Registro de un estudiante)
14:04
–
14:32
{L313} Profesora: Solución, empiecen.
Imagen 45. Estudiantes presentando la tarea para revisión
{L314} Estudiante 12: ¿Profe mientras tanto va a revisar la tarea? {L315} Profesora: Voy a empezar a revisar la tarea, entonces cada uno en su
cuaderno juicioso con su trabajo. [Los siguientes treinta minutos son utilizados por
la docente para la revisión de tarea].
Imagen 46. Registro de una tarea calificada por la docente.
Categoría 1
No Aplica
Categoría 2
No Aplica
Categoría 3
Función
Personal
Tabla 43. Anexo: Transcripción apartados de Clase 2.
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~ 134 ~
8.5.3 Anexo: Clase 3.
Video 3
Video 3-1 01 de Marzo del 2016 Colegio Class / Jornada Mañana /
701 Situación
La sesión de clase comienza a las 6:37 am [Minuto 06:11]. La actividad matemática corresponde a la
elaboración de situaciones problema por parte de los estudiantes a partir de datos suministrados por la
docente. En estas producciones la docente realiza revisiones para validar la elaboración y planteamiento de
preguntas. De igual manera posteriormente se revisan las diversas soluciones asignadas a cada problema.
Minuto Transcripción Observación
inicial
00:00
–
00:30
{L1} Estudiante 1: Profe ¿Va a calificar lo de la clase pasada? {L2} Profesora: Si mi amor {L3} Estudiante 1: ¿Y los que tienen revisado les califica primero?
Imagen 47. Estudiante que solicita se le califique la tarea.
{L4} Profesora: Sí [La profesora no presta mucha atención a la pregunta dado
que intenta encender el computador en el que registrará las notas].
Categoría 1
No Aplica
Categoría 2
No Aplica
Categoría 3
No Aplica
06:11
–
07:40
{L5} Profesora: Bueno mis amores buenos días a todos. ¿Cómo les va? Bien,
Juiciosos. Bueno. ¿Cómo les fue con la tarea? ¿Bien? {L6} Estudiante 2: ¡Bien! {L7} Estudiante 3: ¡No! {L8} Profesora: Vamos a hacer lo siguiente, me regalan silencio para ver si
podemos comenzar clase. Mis amores el día de hoy vamos a seguir trabajando
problemas pero esta vez nosotros somos los que nos vamos a inventar los
problemas. Es decir, yo no los voy a sacar del libro, ustedes, yo no les voy a
decir los problemas, solamente les voy a dar unos datos y con esos datos vamos
a tratar de construir problemas. ¿Por qué? Porque nosotros también tenemos
una cabecita que nos ayuda a crear problemas y es más, a veces me doy cuenta
que cuando les dicto un problema ustedes de una vez dicen ehh…. y vamos a
preguntar por la hora o con eso vamos a preguntar tal cosas, y cogen y se me
adelantan tratando de buscar qué es lo que están preguntando o qué es lo que va
a pasar. Entonces esta vez vamos a tratar de construir problemas.
Categoría 1
Cláusula Todo
problema tiene
una solución.
Categoría 2
Función de
Expansión
Discursiva
Categoría 3
Función
Reguladora
07:41
–
10:00
{L9} Profesora: Hagamos un ejemplo ¿Bien? Entonces escribamos los datos.
[Se acerca al tablero]. Ejemplo número uno y al frente datos. Y yo voy a escribir
con esos datos… {L10} Estudiante 4: ¿De la división? {L11} Profesora: Del que sea. De suma, resta, multiplicación o división.
¿Listo? Vamos a colocar “26 Km, 13 Km, 3 horas, Ana y Ricardo” Listo,
mínimos estos datos.
Categoría 1
Cláusula Todos
los problemas
tienen solución
ligada solo a
los datos
numéricos y
Cláusula Un
problema real
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~ 135 ~
Imagen 48. Datos para la construcción de un problema (Registro de la docente).
{L12} Estudiante 5: ¡Ya tengo mi problema! {L13} Estudiante 6: ¿Sólo con esos datos? {L14} Profesora: Yo podría ponerle más datos, poner más preguntas.
Solamente yo puse algunos datos que es lo mínimo que debe tener el problema.
Imagínense tengo 36 estudiantes o 30 estudiantes aquí, me imagino que no
todos van a pensar exactamente igual y van a aparecer 30 problemas diferentes
¿Cierto? Entonces cada uno se va a tratar de inventar un problema con esto y
vamos a mirar qué está bien, qué está mal y de pronto qué debemos mejorar
para aprender a formular problemas. Entonces ¡Empiecen! Con estos datos
vamos a intentar redactar un problema. Para empezar escojan lápiz, con eso si
hay que borrar pues se borra y no hay problema. Lo van escribiendo con eso no
se les olvida y ahoritica vamos a compartir algunos de los problemas de lo que
ustedes han creado a ver si están bien, si están mal y luego si mandamos la
actividad. ¿Listo? Entonces empiecen ya. {L15} Estudiante 7: ¿Cómo profe? {L16} Profesora: Con esos datos. Puse “26 Km, 13 Km, 3 horas, Ana y
Ricardo”. {L17} Estudiante 8: ¿Profe, mientras va calificando? {L18} Profesora: Ahorita la califico. Mientras tanto trabajen en la redacción
del problema. [Durante aproximadamente tres minutos no hay diálogo, los estudiantes de
manera individual escriben sus problemas de acuerdo a la información dada]
es diferente a
un problema
escolar.
Categoría 2
Función de
Expansión
Discursiva
Categoría 3
Función
Informativa y
Función
Instrumental
12:16
–
12:50
{L19} Estudiante 9: [Se acerca al escritorio de la docente para presentarle el
cuaderno]
Imagen 49. Estudiante buscando aprobación del problema que se inventó.
{L20} Profesora: ¿Ya terminaste? {L21} Estudiante 9: Si señora {L22} Profesora: [Lee el ejercicio que escribió el estudiante 9, las únicas
personas que escuchan la información son ellos dos]. “Un conductor llamado
Ricardo recorrió en moto a 26 Km y otra llamada Ana que iba a 13 Km/h.
Recorrieron por tres horas ¿Cuál fue el que más corrió? ¿Cuál ganó?”. Bueno,
está bien si claro, primera pregunta muy bien. Listo, ahora ya tienes el
problema, vas a hacer la solución. Entonces vas a solucionar esto que tú hiciste. {L23} Estudiante 9: ¡Si señora!
Categoría 1
Cláusula
Delegación
Formal
Categoría 2
Función
Apofántica
Categoría 3
Función
Personal
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~ 136 ~
15:36
–
16:03
{L24} Estudiante 10: ¡Listo profe! {L25} Profesora: Miremos, entonces dice: “Ana y Ricardo conducen en carros
separados y parten del mismo punto en direcciones opuestas. Ana marcha a 26
Km/h y Ricardo a 13 Km/h. ¿Cuál es la posición de Ana y de Ricardo al cabo
de tres horas? y ¿Cuál es la distancia que separa a Ana y Ricardo?”. ¡Muy
bien! Ahora lo vas a solucionar. {L26} Estudiante 10: Si.
Categoría 1
Cláusula
Delegación
Formal
Categoría 2
Función
Apofántica
Categoría 3
Función
Personal Video 3-2
Minuto Transcripción Observación
inicial
00:00
–
01:45
{L27} Profesora: [Revisando otro cuaderno]. “Dos carros parten de una
misma estación por lados opuestos. Ana va a 26Km/h y Ricardo a 13 Km/h.
¿Cuánto irán en tres horas cada uno? y ¿Cuál es la distancia que los separa?”
A bueno, corrige ¿Cuánto recorrerá en tres horas cada uno? Listo, a estaría bien
entonces soluciónalo. {L28} Estudiante 11: Voy.
Imagen 50. Docente aprobando los problemas diseñados por una estudiante.
Categoría 1
Cláusula
Delegación
Formal
Categoría 2
Función
Apofántica
Categoría 3
Función
Personal
{L29} Estudiante 12: Yo ahora {L30} Profesora: Vamos a ver qué llevas: “Ana y Ricardo fueron a pasear.
Ricardo maneja a 26 Km/h y Ana maneja a 13 Km cada tres horas”. Bueno,
Ana maneja 13 Kilómetros cada tres horas, o sea que ella va como en bicicleta.
[Sonríe] {L31} Estudiante 12: [Sonríe] {L32} Profesora: O sea que por cada tres horas… Eso es lo que quiere decir
[Sonríe]. Si quieres dejar que ella maneja 13 kilómetros en tres horas está bien,
pero entonces tienes que aclarar en la pregunta ¿Cuánto recorrió Ricardo en
tantas horas? {L33} Estudiante 12: ¡A bueno! {L34} Profesora: Y cuánto recorrerá Ana por ahí en media o en dos o en tantas
horas.
Categoría 1
Efecto Topaze
y Efecto
Jourdain
Categoría 2
Función
Apofántica
Categoría 3
Función
Personal
03:11
–
03:57
{L35} Estudiante 13: Profe mire ¿Si me quedó bien? {L36} Profesora: [Recibe el cuaderno y realiza la lectura] “Ana y Ricardo
tienen unos autos de carreras. El primero va a 26 Km y el segundo a 13 Km.
¿Cuál llegó primero a la meta al cabo de tres horas?”. Yo ahí respondo fácil,
sin hacer nada.
Imagen 51. Estudiante presentando un problema que no necesita cálculos para su
solución.
Categoría 1
Cláusula
Exigencia de la
justificación
formal
Categoría 2
Función
Apofántica
Categoría 3
Función
Personal
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El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 137 ~
{L37} Estudiante 13: ¿Por qué? {L38} Profesora: Porque el que lleva mayor velocidad ¿Cierto? es el que va a
ganar {L39} Estudiante 13: Si, ammm…. {L40} Profesora: Iba a 26 Km, ¡Listo ya! Resolví, no tuve que hacer
operaciones. Ves. Entonces hay que mejorar acá [señala el cuaderno]. Entonces
¿Cuál llegó de primero al cabo de tres horas? ¿Vale? {L41} Estudiante 13: [Mueve la cabeza ]
04:47
–
06:05
{L42} Estudiante 14: [Presenta el cuaderno sin decir nada] {L43} Profesora: Listo, “Ana y Ricardo compraron en el supermercado de
habichuela por $5000, arroz por $7000, carne por $15000, papa por $5000. Si
ellos pagaron $2000 y no les alcanzó ¿Cuánto le toca pagar a cada uno?”
Bueno, ese problema está bien formulado. Pero ¿Dónde están los datos que di
al principio? ¿Dónde están los 26 Km, 13 Km, 3 horas?
Imagen 52. Estudiante que diseña un problema sin considerar la información dada.
{L44} Estudiante 14: [Observa el tablero, sin embargo no responde nada]. {L45} Profesora: Falta incluir esa información. A la próxima debes tratar de
mirarlos y los metes en un problema y te inventas una situación. Bueno, les ha
dado muy parecido [Señala al resto del curso], por los datos, pero habría que
hacer algo. Está bien formulado, por inventar un problema pero no con los datos
que les pedí. Soluciona este pero la próxima vez me haces el favor y le metes
los datos que yo te doy. ¿Listo? {L46} Estudiante 14: [Sin responder mueve la cabeza en modo de afirmación]
Categoría 1
Cláusula de
Control
Semántico y
Efecto
Jourdain
Categoría 2
Función
Descripción
Categoría 3
Función
Interactiva
07:05
–
07:40
{L47} Estudiante 9: [Presenta el cuaderno con el problema y la solución]. {L48} Profesora: Huy estos niños son unos duros para hacer problemas. {L49} Estudiante 9: [Aplaude] {L50} Profesora: Listo. Entonces el que más recorrió fue Ricardo que recorrió
seten…… a bueno. Que recorrió 78 y Ana 39. Acá siempre es importante decir
este es Ricardo y esto fue Ana [Sobre las operaciones realizadas]. {L51} Estudiante 9: ¿Por qué? {L52} Profesora: Porque es un problema entonces cuando uno lea entiende qué
fue lo que pasó. {L53} Estudiante 9: ¿Y la nota? {L54} Profesora: Ya ahorita pasamos es que no tengo la… el computador acá. [Los estudiantes 15 a 23 presentan ejercicios iguales a los ya enunciados].
Categoría 1
Cláusula
Exigencia de la
Justificación
Formal y
Cláusula de
Control
Semántico
Categoría 2
Función
Determinación
Categoría 3
Función
Informativa y
Función
Instrumental
12:44
-
13:20
{L55}Estudiante 24: [Entrega el cuaderno] {L56} Profesora: “Ana y Ricardo tienen que viajar en un mismo sentido pero
en vehículo diferente. Ana conduce a 26 Km/h y Ricardo a 13 Km/h. ¿Cuál es
la distancia entre los dos?” Bien.
Categoría 1
Efecto Topaze
y Cláusula de
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~ 138 ~
{L57}Estudiante 24: Profe una pregunta. ¿Cómo sé si hago una resta o una
suma’ {L58} Profesora: Se sumarían porque yo digo qué distancia los separa,
entonces se suma lo de aquí para allá y lo de aquí para allá [Refiriéndose a un
punto de inicio y dos destinos] {L59}Estudiante 24: Ok
Imagen 53. Docente a la estudiante que hay palabras clave que resuelven el problema.
Control
Semántico
Categoría 2
Función
Determinación
Categoría 3
Función
Personal y
Función
Instrumental
Video 3-4
Minuto Transcripción Observación
inicial
03:05
-
04:40
{L60} Profesora: Bueno, escriban actividad: “Proponer y solucionar
problemas que tengan los datos dados a continuación, utilizando operaciones
de suma, resta, multiplicación y división”. Debe aparecer como mínimo uno de
cada uno y si ya las quieren combinar pues está bien. Entonces van a copiar lo
que estoy poniendo acá.
Imagen 54. Datos dados por la docente para el diseño de problemas.
{L61} Profesora: En el primero pongo unas temperaturas, en el segundo unas
velocidades….
Categoría 1
Efecto Dienes
Categoría 2
Función
Designación y
Función
Descripción
Categoría 3
Función
Reguladora y
Función
Informativa
06:55
-
08:30
{L62} Profesora: Me hacen silencio para aclarar dudas por si acaso. Entonces
pues solo sucedió con una personita en el ejercicio que acabamos de hacer pero
en cada problema van a utilizar los datos que yo puse en cada puntico. Si.
Ustedes mirarán cómo los acomodan, si le quieren agregar más datos pues ya
están en la libertad, si quieren agregarle el nombre de personas, ciudades o de
animales o la información que ustedes quieren adicionar. Bien, pero mínimo
estos datos [Señala el tablero]. Otra cosa, traten de hacer que la pregunta… {L63} Estudiante 16: ¡Tenga sentido! {L64} Profesora: Que la pregunta tenga sentido con respecto a lo que
escribieron y que no se solucione solamente como pasó ahorita, solamente a
pues tiene más tanto, a pues recorrió más tal, o pasó a tal hora, sino de tratar de
ponerle algo interesante a cada pregunta. ¡Empiecen!
{L65} Profesora: Como van a empezar a formular sus problemas y a
solucionarlos, entonces yo voy a empezar a llamar a calificarles o mejor yo voy
a pasar por sus puestos calificándoles la tareíta pero no les voy a pasar todavía
Categoría 1
Cláusula de
Control
Semántico y
Cláusula
Exigencia de la
justificación
formal
Categoría 2
Función
Determinación
Categoría 3
Función
Informativa
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El Contrato Didáctico y las Prácticas Comunicativas en el Aula de Matemáticas
~ 139 ~
la nota porque el computador está descargado. Después la paso. ¿Bien? Pero
voy a calificarles.
13: 45
-
15:14
{L66} Profesora: Tu primero. [Señala a la estudiante que se encuentra frente
al escritorio de la docente].
{L67} Profesora: 26 menos 3. ¿Y por qué menos 3?... Volvemos a leer tu
problema a ver si entendemos mejor. {L68} Estudiante 17: [Con cara de preocupación]. {L69} Profesora: [Lee el problema propuesto por la estudiante]. “Ana en su
coche fue a viajar e iba a 26 Km/h y Ricardo en su coche iba a 13 Km/h. ¿Cuál
es la diferencia de kilómetros entre Ana y Ricardo al cabo de tres horas?” Ok.
¿Al cabo de tres horas qué tengo que hacer? Encontrar la distancia de cómo va
Ana y de cómo va Ricardo ¿Cierto?
Imagen 55. Estudiante y Profesora realizando la revisión de problemas.
{L70} Estudiante 17: Si {L71} Profesora: Entonces ¿Cómo encuentras lo que recorrió Ana? Ana iba a
26. Pusiste 26 menos 3 ¿Para qué? {L72} Estudiante 17: Menos trece ¿No? {L73} Profesora: No, 26 por 3 es 78, entonces eso es lo que recorrió quién… {L74} Estudiante 17: Ana {L75} Profesora: ¡Ana!... Eso fue lo que recorrió Ana. Ahora 13 por 3 es 39,
listo, ¿eso quién lo recorrió? {L76} Estudiante 17: Eh…. mmm Ricardo. {L77} Profesora: ¡Ricardo! Listo, ahora ¿Qué tenemos que hacer? {L78} Estudiante 17: Sumar esto con esto [Señala los dos resultados
anteriores] {L79} Profesora: Pero acá dice ¿Cuál es la diferencia en kilómetros entre Ana
y Ricardo al cabo de tres horas? Entonces ¿Van en la misma dirección o en
sentidos contrarios? Eso no lo dice el problema. {L80} Estudiante 17: [No responde nada]. {L81} Profesora: Como dice diferencia yo supongo que tengo que hacer una
resta, porque la palabra diferencia significa eso ¿Recuerdas? {L82} Estudiante 17: ¡Sí, toca restar! {L83} Profesora: Entonces tendríamos que corregir y hacer 78 menos 3,
porque ahí dice que es diferencia. Listo. De resto ya estaría todo bien.
Categoría 1
Efecto Topaze
y Cláusula de
Control
Semántico
Categoría 2
Función de
Expansión
Discursiva
Categoría 3
Función
Interactiva
Video 3-5
Minuto Transcripción Observación
inicial
01:11
-
02:16
{L84} Profesora: [Se acerca a cada estudiante para hacer la revisión de tareas,
en una hoja lleva los procedimientos de los ejercicios para compararlos y
calificar]
{L85} Profesora: Primero esta o esta. {L86} Estudiante 18: A no profe es que yo primero hice la otra. {L87} Profesora: ¿Cuál era el primer ejercicio entonces? {L88} Estudiante 17: Le muestra el cuaderno.
Categoría 1
Cláusula
Exigencia de la
Universidad Distrital – Maestría en Educación – Sindy Joya Anexos
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~ 140 ~
Imagen 56. Docente comparando sus respuestas con las de un estudiante.
{L89} Profesora: [La docente se sienta y realiza una nueva revisión a sus
propias soluciones en comparación con los ejercicios que les dictó a los
estudiantes. Sin embargo el proceso de revisión de tareas es interrumpido por
estudiantes que tienen inquietudes respecto a los ejercicios de la actividad].
Justificación
Formal
Categoría 2
Función
Apofántica
Categoría 3
Función
Personal
02:30
-
03:03
{L90} Estudiante 9: Profe una pregunta [Se acerca a la docente]. {L91} Profesora: Señor {L92} Estudiante 9: ¿Qué significa esto? {L93} Profesora: 15°C {L94} Estudiante 9: Entonces 8°C…. y 3°C… {L95} Profesora: Si… {L96} Estudiante 9: ¿Es el qué?
Imagen 57. Estudiante solicita explicación de los términos de un problema
{L97} Profesora: [Lo mira porque no entiende lo que intenta decir el
estudiante] {L98} Estudiante 9: ¿Esto qué significa? {L99} Profesora: La temperatura se llama eso… entonces digamos que
estamos a 7°C, a mediodía la temperatura ya ha subido… {L100} Estudiante 9: Ahh…. [El estudiante se aleja]
Categoría 1
Cláusula de
Control
Semántico
Categoría 2
Función
Descripción
Categoría 3
Función
Instrumental
05:24
-
07:23
{L101} Estudiante 19: Profe, el problema ¿Así está bien? [Se acerca a la
docente y le muestra el cuaderno].
{L102} Profesora: “En Cali a las 2:00 pm la temperatura es de 15°C, a las
5:00 pm la temperatura es de 8°C. En Bogotá son las 10:00 pm y la altura es
de 3°C. ¿Cuántas horas y las temperaturas son en total?”. Bueno, ¿Cuántas
horas y las temperaturas son en total? ¿O sea que yo tengo que sumar? {L103} Estudiante 19: O sea…. Si {L104} Profesora: ¿Y qué saco con sumar? ¿Qué significa 15 más 8 más 3? Si
esa es la temperatura. {L105} Estudiante 19: Entonces sería dividirlo y ya. {L106} Profesora: Si me preguntas ¿Cuál es el promedio de las temperaturas
entre las ciudades? Sí, pero así sola como la tienes no.
Categoría 1
Cláusula de
Control
Semántico y
Efecto Topaze
Categoría 2
Función de
Expansión
Discursiva
Categoría 3
Función
Instrumental
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~ 141 ~
Imagen 58. Estudiante en busca de validación de respuestas
{L107} Estudiante 19: O sea que ¿Cómo sería la pregunta? {L108} Profesora: La pregunta podría ser ¿Cuál es el promedio de la
temperatura de las tres ciudades? {L109} Estudiante 19: Si, bueno…. ¿Y el problema si está bien? {L110} Profesora: Pues lo que pasa es que como yo puse varias horas, me
imaginé que iban a poner solamente una ciudad y si la temperatura llego a tal,
luego a tal, entonces…. sí, es otra forma. Chévere que pensaras otra cosa. Pero
bueno, en ese caso puedes preguntar por el promedio ¿Vale? {L111} Estudiante 19: Si señora. [Durante el siguiente intervalo de clase, hasta su finalización, son varios los
estudiantes que presentan algún ejercicio a la docente en busca de aprobación].
09:32
-
11:57
{L112} Estudiante 17: ¡Profe califíqueme ya! [La profesora no continúo
revisando la tarea, los estudiantes que la tienen han insistido varias veces en su
revisión]. {L113} Profesora: ¿Qué quieres que te califique? {L114} Estudiante 17: Usted a mí no me quiso calificar la tarea, me revisó fue
lo de hoy. {L115} Profesora: ¿La tarea? A bueno. {L116} Estudiante 17: Mire, ¿Acá tocaba poner el signo? {L117} Profesora: La tarea, ok. No, no es necesario, porque menos dividido
entre menos te da más. Y ya ahí no es necesario escribir el positivo. {L118} Estudiante 17: ¿Y aquí? {L119} Profesora: Menos dividido entre más da menos. Ahí sí toca poner el
signo…. Ahora, ¿O sea que 2 por 20 te da 400? {L120} Estudiante 17: Si {L121} Profesora: ¡No! {L122} Estudiante 17: ¿Dónde? ¿Acá? {L123} Profesora: Acá [Señala la operación en el cuaderno] {L124} Estudiante 17: [Hace operaciones en las manos, mientras la docente
habla con otro estudiante].
Imagen 59. Docente dando indicaciones a una estudiante para resolver ejercicios
{L125} Profesora: Es que está pendiente la del problema ¿Cierto? {L126} Estudiante 17: Si…. Mire profe, menos entre menos da más. Entonces
acá también sería más. Son más ¿Cierto? Mire profe. {L127} Profesora: Estos son los que yo les puse y los problemas son estos
Categoría 1
Efecto
Jourdain
Categoría 2
Función de
Designación
Categoría 3
Función
Reguladora
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~ 142 ~
{L128} Estudiante 17: Mire, menos entre menos da más. {L129} Profesora: Sí {L130} Estudiante 17: Menos entre más da… {L131} Profesora: ¿Cuánto te da? {L132} Estudiante 17: Menos {L133} Profesora: Menos, pero se escribe antes del número. {L134} Estudiante 17: ¿Y Acá también? {L135} Profesora: Sí [La estudiante se dirige a su puesto]
13:33
-
13:56
{L136} Estudiante 17: Profe me explica. Es que no entendí bien. {L137} Profesora: Esos son los datos, entonces invéntate un problema. Coge
con lápiz y lo escribes con lápiz ¿Listo? {L138} Estudiante 17: Sí. {L139} Profesora: Entonces tiene 2, 5, 10, 15, 8 y 3 grados. {L140} Estudiante 17: ¿Eso es grados o centígrados? [Refiriéndose a “°C”] {L141} Profesora: Grados centígrados, eso es temperatura. Listo, con eso
haces el problema. {L142} Estudiante 17: Sí.
Categoría 1
Cláusula de
Delegación
formal y
Cláusula de
Control
Semántico
Categoría 2
Función
Descripción
Categoría 3
Función
Personal Video 3-6
Minuto Transcripción Observación
inicial
07:50
-
09:00
{L143} Estudiante 17: Mire, ¿Sería así? “En Cartagena a las dos de la tarde
los grados centígrados es 15°, a las 5:00 pm de la tarde los grados centígrados
es 8° y a las 10:00pm de la noche los grados centígrados es de 3 ¿Cuál será el
grado de Cali si en Cartagena está 15° a las 2, 8° a las 5 y 3° a las 10?” {L144} Profesora: Pero esos datos no son suficientes para decir cuál es la
temperatura de Cali, porque no se dijo nada especial. Más bien como todo lo
hiciste con la ciudad de Cartagena la pregunta sería ¿Cuál será?… ehhh… o sea
¿Cuántos grados habrá bajado la temperatura desde las dos hasta las cinco? y
¿Cuántos grados habrá bajado desde las cinco hasta las diez? Porque tiene que
ser una pregunta lógica porque ahí no tiene nada que ver Cali…. Listo, venga
le reviso su tarea de los problemas.
Categoría 1
Cláusula de
Control
Semántico
Categoría 2
Función
Apofántica
Categoría 3
Función
Personal
09:00
-
11:08
{L145} Estudiante 17: La primera toca hacer una división y marcaba 143. La
dos es 187°. {L146} Profesora: Este sí, este no [Señala en el cuaderno los que están bien y
mal]. El primero marcaba 143. {L147} Estudiante 17: 143 Km/h y el otro… {L148} Profesora: No porque ahí uno iba a 70Km y el otro iba a 90Km durante
dos horas. No mi amor, era solamente multiplicarlas por dos y luego hallar la
distancia, sumarlos.
{L149} Estudiante 17: Quedaron debiendo $46900 [Se refiere al siguiente
ejercicio] en el supermercado. {L150} Profesora: Bueno y ¿Cuánto le tocó a cada uno? {L151} Estudiante 17: ¿Cómo así? {L152} Profesora: Tocaba decir de a cuánto le toca a cada uno y dividir de a
cuatro personas lo que se quedaba debiendo.
{L153} Estudiante 17: No. Cuatro personas no eran, eran dos. {L154} Estudiante 15: Eran cuatro. {L155} Profesora: Eran cuatro mi amor.
Categoría 1
Cláusula de
Control
Semántico
Categoría 2
Función de
Expansión
Discursiva
Categoría 3
Función
Personal
Universidad Distrital – Maestría en Educación – Sindy Joya Anexos
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~ 143 ~
Imagen 60. Estudiante que no se siente autorizada a usar datos implícitos.
{L156} Estudiante 17: Entonces porque en mi problema decían dos. {L157} Profesora: ¿Dónde lo copiaste? {L158} Estudiante 17: Vea, Juana, Martín, Elvia y Raquel. {L159} Profesora: ¡Juana, Martín, Elvia y Raquel!... Sacaron fiado del
supermercado ¿Si? Entonces ¿Cuánto le toca pagar a cada uno si pagan por
igual? Entonces falta la división…. Está regular la tarea, debes hacer la
corrección, yo te voy a dejar ahorita 2.5 [Correspondiente a la nota] porque
hiciste la mitad. Vale. Corrige y la entregas.
12:18
-
12:40
{L160} Estudiante 17: Mire profe ¿Cuánto bajó la temperatura desde las dos
hasta las cinco, y de las cinco cuántos grados bajó…? {L161} Profesora: Hasta las diez. Listo {L162} Estudiante 17: Hasta las diez…. Toca resolverla. {L163} Profesora: Y la resuelves, si señora.
Categoría 1
Efecto Topaze
y Cláusula de
Control
Semántico
Categoría 2
Función
Apofántica
Categoría 3
Función
Personal
Video 3-8
Minuto Transcripción Observación
inicial
03:45
-
05:02
{L164} Profesora: ¿La mayoría ya terminó de hacer problemas? {L165}Estudiantes: Sí / No {L166} Profesora: Niños yo creo que muy posiblemente, de pronto no
terminen, pero la idea es que lo lleven para la casa y termínenlo. Hoy no les
alcancé a pasar las noticas, pero la próxima clase se las paso y califico a los que
faltan, si es necesario recoger cuadernos la próxima clase, lo hago. O sea
mañana, así que mañana hacemos la clase normal y recojo los cuadernos al
final.
Imagen 61. Docente dando explicaciones finales de la clase.
{L167} Estudiante 17: Profe ¿Cuándo nos toca geometría? {L168} Profesora: ¿Mañana es geometría? {L169}Estudiantes: Sí / No {L170} Estudiante 9: No porque mañana es miércoles, los jueves. {L171}Estudiantes: Ahh {L172} Profesora: Entonces mañana matemáticas [Suena el timbre de cambio
de clase y los estudiantes se retiran del salón]. A los que no les revisé lo hago
mañana.
Categoría 1
No Aplica
Categoría 2
No Aplica
Categoría 3
No Aplica
Tabla 44. Anexo: Transcripción apartados de Clase 3.
