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enciclopedia, demostraciones
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La enciclopedia de las demostraciones
Escrito por Imanol Perez
1. Teorıa de numeros 6
1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Infinitud de los numeros primos . . . . . . . . . . . 6
1.3. Irracionalidad de√
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4. Postulado de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5. Irracionalidad de e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6. El caso n = 4 del ultimo teorema de Fermat . . . . 16
1.7. Divergencia de la serie armonica . . . . . . . . . . . 18
1.8. Divergencia de la suma de los inversos de los numeros
primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.9. Problema de Basilea . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.10. Identidad de Cassini . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6
2. Algebra 24
2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2. Teorema fundamental del algebra . . . . . . . . . . 24
2.3. El binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3. Analisis 29
3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2. Regla de Barrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3. Regla de l’Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4. Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5. Teorema del valor medio de Cauchy . . . . . . . . . 34
3.6. Calculo de la integral de Gauss . . . . . . . . . . . 35
7
3.7. Formula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4. Otros 38
4.1. Los puentes de Konigsberg . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2. Demostracion sin palabras de la formula para calcu-
lar el area de un cırculo . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3. Demostracion sin palabras de que la cardinalidad de
la recta de los numeros reales es la misma que la de
un intervalo de la recta de los numeros reales . . . . 41
4.4. Demostracion sin palabras de la suma de los primeros
n numeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5. Problemas no resueltos de las matematicas 42
5.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2. Hipotesis de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
8
5.3. Conjetura de Goldbach . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.4. Conjetura de Collatz . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.5. P contra NP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.6. Conjetura de los numeros primos gemelos . . . . . . 46
5.7. Existencia de numeros perfectos impares . . . . . . 47
6. Bibliografıa 49
9
1. Teorıa de numeros
1.1. Introduccion
La teorıa de numeros es la rama de las matematicas que estu-
dia las propiedades de los numeros y es una de las primeras ramas
de la matematica en ser estudiadas. Euclides, Fermat y Euler son
algunos de los matematicos mas importantes en esta rama. Hoy
en dıa sigue habiendo problemas irresueltos como la conjetura de
Goldbach, segun el cual todos los numeros pares pueden expresarse
como suma de dos numeros primos.
1.2. Infinitud de los numeros primos
La infinitud de los numeros primos fue demostrada por primera
vez por Euclides utilizando el reductio ad absurdum, metodo que el
mismo invento.
10
Supongamos que los numeros primos son finitos. Sea A el con-
junto de todos los numeros primos: A = p1, p2, p3, ..., pn. Sea S el
producto de todos los numeros primos mas uno:
S = p1 · p2 · ... · pn + 1
S puede ser compuesto o primo. Si es compuesto, debe de haber
un pi ∈ A tal que pi divide a S. Sin embargo:
p1 · p2 · ... · pn + 1
pi=p1 · ... · pi−1 · pi · ... · pn + 1
pi=
p1 · ... · pi−1 · pi+1 · ... · pn +1
pi
El cual no es un numero entero. Por lo tanto, S ha de ser primo.
Como esto es una contradiccion del supuesto original, el conjunto
de los numeros primos no puede ser finito.
1.3. Irracionalidad de√
2
Para esta demostracion se utilizara el descenso infinito, aunque
existen numerosas demostraciones utilizando otros metodos.
11
Supongamos que√
2 es racional. Por lo tanto, se puede escribir
de la siguiente manera:
√2 =
p
q
Donde p y q son enteros positivos. Ahora se demostrara que√
2
es igual a otra fraccion cuyo denominador tambien es positivo y
menor que q. Esto implicarıa que se podrıa encontrar una sucesion
de numeros enteros positivos decreciente infinitamente, lo cual no
es posible. Operando en la expresion anterior obtenemos que:
2 =p2
q2
Multiplicando ambos lados por q2 obtenemos:
2q2 = p2
Utilizando esta igualdad, tenemos que:
p2 − pq = 2q2 − pq ⇒ p(p− q) = q(2q − p)⇒ p
q=
2q − pq − p
12
Comop
q=√
2:
√2 =
2q − pq − p
Ahora se vera que 0 < p− q < q. Como
(p
q
)2
= 2:
1 <
(p
q
)2
< 4⇒ 1 <p
q< 2⇒ q < p < 2q ⇒ 0 < p− q < q
Por tanto, hemos encontrado otro numero entero positivo me-
nor que q tal que este numero es el denominador de una fraccion
equivalente a√
2. Si repetimos lo anterior con esta nueva fraccion
encontrarıamos otro entero positivo de estas caracterısticas, crean-
do una sucesion de numeros enteros positivos decreciente infinita-
mente. Como esto es imposible, la suposicion inicial de que√
2 es
racional ha de ser falsa y, por lo tanto,√
2 ha de ser irracinal.
1.4. Postulado de Bertrand
El postulado de Bertrand establece que para todo n > 1 existe
al menos un primo p tal que n < p < 2n.
13
Figura 1: Joseph Bertrand. Parıs, 11 de marzo de 1822 - 5 de abril de 1900
Sea x un entero positivo mayor que 1. Definimos ν(x) como:
ν(x) =∑
p≤x, p primo
log(p)
Consideremos ahora lo siguiente:
ψ(x) = ν(x) + ν(x12 ) + ν(x
13 ) + ν(x
14 ) + ... (1)
log[x]! = ψ(x) + ψ(12x) + ψ(1
3x) + ... (2)
Siendo [x] la parte entera de x. De (1) se tiene que:
14
ψ(x)− 2ψ(√x) = ν(x)− ν(x1
2) + ν(x1
3)− ... (3)
Y de (2) obtenemos:
log[x]!− 2 log[12x]! = ψ(x)− ψ(x1
2) + ψ(x1
3)− ... (4)
Puesto que tanto ν(x) como ψ(x) son funciones crecientes, ob-
tenemos a partir de (3) y (4) las siguientes desigualdades:
ψ(x)− 2ψ(√x) ≤ ν(x) ≤ ψ(x) (5)
ψ(x)− ψ(12x) ≤ log[x]!− 2 log[1
2x]! ≤ ψ(x)− ψ(1
2x) + ψ(1
3x) (6)
Por otro lado, puede demostrarse que:
log(Γ(x))− 2 log(Γ12x+ 1
2) ≤ log[x]!− 2 log[1
2x]! ≤
log(Γ(x+ 1))− 2 log(Γ12x+ 1
2) (7)
Ahora, ayudandonos de la aproximacion de Stirling, segun el
cual n! ≈ nn · e−n ·√
2πn, obtenemos de (7) que:
15
log[x]!− 2 log[12x]! < 3
4x, si x > 0 (8)
log[x]!− 2 log[12x]! > 2
3x, si x > 300 (9)
Uniendo ahora la informacion proporcionada por (6), (8) y (9)
se ve que:
ψ(x)− ψ(12x) < 3
4x, si x > 0 (10)
ψ(x)− ψ(12x) + ψ(1
3x) > 2
3x, si x > 300 (11)
Si se toma la expresion (10) y si se sustituye x por 12x, 1
4x, 1
8x, . . .
y se suman los resultados, se obtiene que:
ψ(x) < 32x, si x > 0 (12)
Uniendo en este punto la informacion proporcionada por (5) y
(12) se llega a que:
16
ψ(x)− ψ(12x) + ψ(1
3x) ≤
≤ ν(x) + 2ψ(√x)− ν(1
2x) + ψ(1
3x) <
< ν(x)− ν(12x) + 1
2x+ 3
√x
(13)
Por otra parte, es evidente que:
16x− 3
√x ≥ 0, si x ≥ 324
Por lo tanto se tiene que:
ν(2x)− ν(x) > 0, si x ≥ 162
Esto demostra el postulado de Bertrand para x > 162, ya que
como ν(x) era la suma de los logaritmos de todos los numeros pri-
mos menores que x, y como ν(2x) > ν(x), se tiene que entre x y 2x
tiene que haber algun primo para que ν(2x) sea mayor que ν(x). Si
a continuacion se comprueba el postulado de Bertrand para todo
x < 162, se demostrara el postulado de Bertrand.
17
1.5. Irracionalidad de e
Asumamos que e es racional. Por lo tanto, se puede escribir de
la forma:
e =a
b
Definimos ahora x como:
x = b!
(e−
b∑n=0
1
n!
)(1)
Como e =a
b:
x = b!
(a
b−
b∑n=0
1
n!
)= a(b− 1)!−
b∑n=0
b!
n!
El primer termino es entero, y cada fraccion en la suma es un
entero ya que n ≤ b para cada termino. Por lo tanto, x es un
entero. Ahora se demostrara que 0 < x < 1, lo cual supondrıa una
contradiccion con lo dicho anteriormente, lo que supondrıa que e
no es racional.
18
El numero e esta definido como e =∞∑n=0
1
n!. Insertando esto en
(1) y operando tenemos que:
x =∞∑
n=b+1
b!
n!
Para cada termino de la sumatoria tenemos que:
b!
n!=
1
(b+ 1)(b+ 2)(b+ 3)...(b+ (n− b))≤ 1
(b+ 1)n−b
Cambiando el ındice de la sumatoria a k = n− b y utilizando la
formula para la serie geometrica infinita, se tiene que:
x =∞∑
n=b+1
b!
n!<
∞∑k=1
1
(b+ 1)k=
1
b+ 1
(1
1− 1b+1
)=
1
bl1
Como no hay ningun numero natural entre el 0 y el 1, hemos
llegado a una contradiccion, y por lo tanto e ha de ser irracional.
19
1.6. El caso n = 4 del ultimo teorema de Fermat
El ultimo teorema de Fermat, formulado por Pierre de Fermat
en 1637, establece que si n es un numero natural mayor que 2
entonces no existen numeros enteros no nulos a, b y c tales que
an+ bn = cn. Supongase que existen tres numeros x, y y z tales que
x4 + y4 = z4. Esto se puede reescribir como (x2)2 + (y2)2 = (z2)2.
Por lo tanto, (x2, y2, z2) ha de ser una terna pitagorica. Como toda
terna pitagorica ha de tener la forma (2pq, p2−q2, p2 +q2) podemos
igualar (x, y, z) y (2pq, p2 − q2, p2 + q2) miembro por miembro:
x2 = 2pq
y2 = p2 − q2
z2 = p2 + q2
Donde 0 < q < p y p y q tienen distinta paridad. De la segunda
ecuacion obtenemos que y2+q2 = p2 y, por lo tanto, y, q y p forman
otra terna pitagorica. Por lo tanto:
q = 2ab
y = a2 − b2
20
p = a2 + b2
Donde 0 < b < a y a y b tienen distinta paridad. Sustituyendo
obtenemos que:
x2 = 2pq = 4ab(a2 + b2)
Por lo que ab(a2 + b2) ha de ser el cuadrado de x2. Como ab y
(a2 + b2) son primos relativos, tanto ab como (a2 + b2) han de ser
cuadrados. Supongamos que a = X2 y b = Y 2. Esto es suficiente
para aplicar el descenso infinito, ya que suposicion que se hizo al
principio es que z4 era un cuadrado, no una cuarta potencia. Dicho
de otro modo, si x e y son enteros positivos tales que x4 + y4 es
un cuadrado la demostracion anterior nos permite encontrar otros
dos enteros positivos, X e Y , tales que X4 + Y 4 es un cuadrado.
Ademas:
X4 + Y 4 = a2 + b2 = p < p2 + q2 = z2 < z4 = x4 + y4
Por lo que se tiene una sucesion infinita decreciente de numeros
enteros positivos. Como esto no es posible, queda probado el ultimo
21
teorema de Fermat para el caso n = 4.
1.7. Divergencia de la serie armonica
La serie armonica es la siguiente:
∞∑n=1
1
n
Para demostrar su convergencia, ordenaremos la serie y lo com-
paramos con la siguiente serie:
∞∑n=1
1
n= 1 +
(1
2
)+
(1
3+
1
4
)+
(1
5+
1
6+
1
7+
1
8
)+ ... >
> 1+
(1
2
)+
(1
4+
1
4
)+
(1
8+
1
8+
1
8+
1
8
)+... = 1+
1
2+
1
2+
1
2+...
Como esta ultima serie diverge, entonces queda demostrado que
la serie armonica tambien lo hace.
22
1.8. Divergencia de la suma de los inversos de los numeros
primos
Para demostrar la divergencia de la suma de los inversos de
los numeros primos, consideremos primero la serie armonica y la
formula del producto de Euler:
∞∑n=1
1
n=∏p
1
1− p−1
Tomando logaritmos en ambos lados y utilizando la serie de
Taylor de log(1− x) tenemos que:
log
(∞∑n=1
1
n
)= log
(∏p
1
1− p−1
)=∑p
log
(1
1− p−1
)=
=∑p
− log(1− p−1) =∑p
(1
p+
1
2p2+
1
3p3+ ...
)=(∑
p
1
p
)+∑p
1
p2
(1
2+
1
3p+
1
4p2+ ...
)<(∑
p
1
p
)+∑p
1
p2
(1 +
1
p+
1
p2+ ...
)=(∑
p
1
p
)+
(∑p
1
p(p− 1)
)=
(∑p
1
p
)+ C
23
Siendo C una constante menor que 1. Puesto que la suma de los
recıprocos de los primeros n numeros enteros positivos es asintotica
a log(n) ( es decir, su ratio se acerca a 1 cuando n se acerca a
infinito ) se tiene:
∞∑n=1
1
n≈ log(n) si n→∞
Sustituyendolo en la expresion de arriba y despreciando la cons-
tante C cuando n tiende a infinito, concluimos que:
1
2+
1
3+
1
5+
1
7+ ... = log log(∞)→∞
1.9. Problema de Basilea
El problema de Basilea consiste en encontrar la suma de los in-
versos de los cuadrados de los numeros naturales, es decir, encontrar
el valor de:
∞∑n=1
1
n2
24
Euler demostro que el valor de la suma era π2
6. Para demostrarlo,
consideremos el desarrollo de sin(x) utilizando la serie de Taylor:
sin(x) = x− x3
3!+x5
5!− ...
Dividimos ambos lados entre x y tenemos que:
sin(x)
x= 1− x2
3!+x4
5!− ...
Las raıces desin(x)
xson nx, donde n es un numero entero. Asu-
mamos que podemos expresar esta serie infinita como producto de
factores lineales dados por las raıces, de la misma forma que hace-
mos con los polinomios finitos:
sin(x)
x=(
1− x
π
)(1 +
x
π
)(1− x
2π
)(1 +
x
2π
)... =(
1− x2
π2
)(1− x2
4π2
)...
Si calculamos la multiplicacion veremos que el coeficiente de x2
es:
25
−(
1
π2+
1
4π2+
1
9π2+ ...
)= − 1
π2
∞∑n=1
1
n2
Del desarrollo de la serie de Taylor tenemos que el coeficiente
de x2 ha de ser − 13!
= −16. Como los dos coeficientes han de ser
iguales, tenemos que:
−1
6= − 1
π2
∞∑n=1
1
n2
Y, por lo tanto:
π2
6=∞∑n=1
1
n2
1.10. Identidad de Cassini
La identidad de Cassini establece que, si Fk es el k-esimo numero
de Fibonacci, entonces Fn+1Fn−1−F 2n = (−1)n. Se demostrara por
induccion. Para n = 1, se ve que se cumple que F2F0−F 21 = (−1)1.
Supongamos que la identidad es cierta para n = k: Fk+1Fk−1−F 2k =
(−1)k. Entonces, ha de ser cierta para n = k + 1:
26
Fk+2Fk − F 2k+1 = (Fk + Fk+1)Fk − F 2
k+1 (1)
= F 2k + FkFk+1 − F 2
k+1 (2)
= F 2k + FkFk+1 − Fk+1 (Fk + Fk−1) (3)
= F 2k + FkFk+1 − FkFk+1 − Fk+1Fk−1 (4)
= F 2k − Fk+1Fk−1 (5)
= (−1)(Fk+1Fk−1 − F 2
k
)(6)
= (−1) (−1)k (7)
= (−1)k+1 (8)
(9)
27
2. Algebra
2.1. Introduccion
El algebra es la rama de las matematicas que estudia las es-
tructuras, las relaciones y las cantidades (en el caso del algebra
elemental). Su origen se romonta a los antiguos babilonios, que
habıan desarrollado un avanzado sistema aritmetico con el que fue-
ron capaces de hacer calculos en una forma algebraica. Utilizaron
este sistema para encontrar valores desonocidos.
2.2. Teorema fundamental del algebra
El teorema fundamental del algebra establece que todo poli-
nomio en una variable de grado n = 1 con coeficientes reales o
complejos tiene por lo menos una raız (real o compleja). Para la
demostracion, consideremos p un polinomio de grado n, siendo p
una funcion entera. Para cada m positivo, existe un numero real y
positivo r tal que:
28
|p(z)| > m, si |z| > r
Si p no tiene raıces, entonces la funcion f = 1p
es una funcion
entera con la propiedad de que para cualquier numero real ε > 0,
∃r positivo tal que:
|f(z)| < ε, si |z| > r
Por lo tanto, la funcion f es acotada. Sin embargo, segun el
teorema de Liouville si f es una funcion entera y acotada, f ha de
ser una constante, lo cual es imposible. Por lo tanto, f no puede ser
entera y p tiene como mınimo una raız. En consecuencia, p puede
escribirse como el siguiente producto:
p(z) = (z − z1)q(z)
Siendo z1 una raız de p y q un polinomio de grado n − 1. Si
repetimos estos pasos n− 1 veces, llegamos a la conclusion que:
p(z) = k(z − z1)(z − z2) · · · (z − zn)
29
Donde z1, z2, z3 ... zn son las raıces de p y k es una constante. De
esta manera queda demostrado el teorema fundamental del algebra.
2.3. El binomio de Newton
A continuacion se demostrara por induccion el binomio de New-
ton, el cual establece que:
(a+ b)n =n∑k=0
(n
k
)an−kbk
Vemos que para el caso n = 1 se cumple que:
(a+ b)1 =1∑
k=0
(1
k
)a1−kbk = a+ b = (a+ b)1
Supongamos ahora que es cierto para todo n = k:
(a+ b)k =k∑i=0
(k
i
)ak−ibi
Si se cumple para todo k, tambien ha de cumplirse para k + 1:
30
(a+ b)k+1 =k+1∑i=0
(k + 1
i
)ak+1−ibi
Como (a+ b)k+1 = (a+ b) · (a+ b)k, y si aplicamos la hipotesis
inicial, obtenemos que:
(a+ b)k+1 = (a+ b) · (a+ b)k =
= (a+ b) ·k∑i=0
(k
i
)ak−ibi = a
k∑i=0
(k
i
)ak−ibi+
+bk∑i=0
(k
i
)ak−ibi =
=k∑i=0
(k
i
)ak+1−ibi +
k∑i=0
(k
i
)ak−ibi+1 =
=
(k
0
)ak+1 +
k∑i=1
(k
i
)ak+1−ibi+
+k+1∑i=1
(k
i− 1
)ak−(i−1)bi =
=
(k
0
)ak+1 +
k∑i=1
(k
i
)ak+1−ibi+
+k∑i=1
(k
i− 1
)ak−(i−1)bi +
(k
k
)bk+1 =
=
(k + 1
0
)ak+1 +
k∑i=1
[(k
i
)+
(k
i− 1
)]ak+1−ibi+
+(k+1k+1
)bk+1 =
(k + 1
0
)ak+1 +
k∑i=1
(k + 1
i
)ak+1−ibi+
31
+(k+1k+1
)bk+1 =
k+1∑i=0
(k + 1
i
)ak+1−ibi
32
3. Analisis
3.1. Introduccion
El analisis empezo a desarrollarse a partir del surgimiento del
calculo en el siglo XVII. Sin embargo, algunos matematicos griegos
ya hicieron un uso informal de los conceptos de lımite y convergen-
cia.
3.2. Regla de Barrow
La regla de Barrow, tambien conocido como el segundo teore-
ma fundamental del calculo, establece que dada una funcion f(x)
continua en el intervalo [a, b] y si F (x) es una funcion primitiva de
f(x), entonces∫ baf(x)dx = F (b)− F (a).
Para la demostracion, consideremos que:
F (x) =
∫ x
a
f(t)dt
33
El primer teorema fundamental del calculo establece que:
F ′(x) = f(x) = g′(x)∀x ∈ [a, b]
Por lo tanto,
∃c ∈ R : ∀x ∈ [a, b], F (x) = g(x) + c
Observamos que
0 = F (a) = g(a) + c
Y, por lo tanto, c = −g(a). Sustituyendo tenemos que:
F (x) = g(x)− g(a)
Si x = b, tenemos que:
∫ b
a
f(t)dt = F (b) = g(b)− g(a)
34
Que es lo que se querıa demostrar.
3.3. Regla de l’Hopital
La regla de L’Hopital establece que siendo f(x) y g(x) dos
funciones definidas en el intervalo [a, b], y f(c) = g(c) = 0, con
c ∈ (a, b) y g′(x) 6= 0 si x 6= c, y ademas f(x) y g(x) son derivables
en (a, b), entonces:
lımx→+c
f(x)
g(x)= lım
x→+c
f ′(x)
g′(x)
Para la demostracion, asumamos que tanto f(x) como g(x) son
derivables en c. Como f(c) = g(c) = 0, f(x)g(x)
se puede escribir de la
siguiente forma:
f(x)
g(x)=f(x)− f(c)
g(x)− g(c)=
f(x)− f(c)
x− cg(x)− g(c)
x− c
Como tanto f(x) como g(x) son derivables en c, utilizamos la
definicion de la derivada y tenemos que:
35
lımx→+c
f(x)
g(x)= lım
x→+c
f(x)− f(c)
x− cg(x)− g(c)
x− c
= lımx→+c
f ′(x)
g′(x)
3.4. Teorema del valor medio
El teorema del valor medio establece que si f(x) es continua en
[a, b] y derivable en (a, b) entonces existe un c dentro del intervalo
abierto (a, b) tal que:
f ′(c) =f(b)− f(a)
b− a
Esto implica que la tangente de f(x) en c es paralela a la secante
que pasa por los puntos P (a, f(a)) y R(b, f(b)).
Para la demostracion, definamos la funcion g(x) como la recta
que pasa por el punto P y R:
g(x) = f(a) +f(b)− f(a)
b− a(x− a)
36
Figura 2: Representacion grafica del Teorema de valor medio
Despues, definimos ψ(x) de la siguiente manera:
ψ(x) = f(x)− g(x) = f(x)−[f(a) +
f(b)− f(a)
b− a(x− a)
]
Observamos que ψ(a) = ψ(b) = 0. Ademas, como f(x) es conti-
nua en [a, b] y derivable en (a, b), ψ(x) tambien tiene que serlo. Por
lo tanto, ψ(x) satisface las condiciones del teorema de Rolle, y por
lo tanto, ha de existir un c ∈ (a, b) tal que:
0 = ψ′(c) = f ′(c)− f(b)− f(a)
b− a
37
Y, por lo tanto:
f ′(c) =f(b)− f(a)
b− a
3.5. Teorema del valor medio de Cauchy
El teorema del valor medio de Cauchy establece que, si f(x) y
g(x) son continuas en [a, b] y derivables en (a, b), entonces existe
algun c ∈ (a, b) tal que:
f ′(c)
g′(c)=f(b)− f(c)
g(b)− g(a)
Para la demostracion, definamos ψ(x) de la siguiente forma:
ψ(x) = [g(b)− g(a)] · [f(x)− f(a)]− [f(b)− f(a)] · [g(x)− g(a)]
Se tiene que ψ(a) = ψ(b) = 0. Por lo tanto, segun el teorema de
Rolle, ha de existir un c ∈ (a, b) tal que ψ′(c) = 0. Derivando ψ(x)
se tiene que:
38
ψ′(x) = [g(b)− g(a)] · f ′(x)− [f(b)− f(a)] · g′(x)
Como ψ(c) = 0:
0 = [g(b)− g(a)] · f ′(c)− [f(b)− f(a)] · g′(c)
Y, despejando, obtenemos que:
f ′(c)
g′(c)=f(b)− f(c)
g(b)− g(a)
3.6. Calculo de la integral de Gauss
La integral de Gauss es la siguiente:
∫ +∞
−∞e−x
2
dx =√π
Para su calculo utilizaremos el calculo integral de dos variables.
Mediante el teorema de Fubini, la integral puede ser escrita co-
mo:
39
∫R2
e−(x2+y2)dxdy =
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞e−(x
2+y2)dxdy =(∫ +∞
−∞e−x
2
dx
)·(∫ +∞
−∞e−y
2
dy
)=
(∫ +∞
−∞e−x
2
dx
)2
Por otro lado, aplicando un cambio de coordenadas a coordena-
das polares:
∫R2
e−(x2+y2)dxdy =
∫ 2π
0
∫ +∞
0
re−r2
drdθ = 2π
∫ +∞
0
re−r2
dr = π
Por lo tanto, tenemos que
∫ +∞
−∞e−x
2
dx =√π.
3.7. Formula de Euler
La formula de Euler establece que eiz = cos z + i sin z.
Utilizando la serie de Taylor para las funciones ex, cosx y sinx
tenemos que:
ex =x0
0!+x1
1!+x2
2!+x3
3!+ ... (1)
40
cosx =x0
0!− x2
2!+x4
4!− ...
sinx =x1
1!− x3
3!+x5
5!− ...
Tomando (1) y haciendo x = iz tenemos que:
eiz =(iz)0
0!+
(iz)1
1!+
(iz)2
2!+
(iz)3
3!+ ... =
z0
0!+z1
1!− z2
2!− z3
3!+z4
4!+z5
5!− ... =
(z0
0!− z2
2!+z4
4!− ...
)+ i
(z1
1!− z3
3!+z5
5!− ...
)= cos z + i sin z
41
4. Otros
4.1. Los puentes de Konigsberg
Figura 3: Los puentes de Konigsberg (izquierda) y su simplificacion (de-
recha)
En el rıo de la antigua ciudad de Konigsberg, actual Kalinin-
grado, habıa dos islas, unidas a la ciudad mediante un total de 7
puentes. Los ciudadanos se divertıan tratando de adivinar si era
posible cruzar los 7 puentes sin cruzar dos veces el mismo puente.
Fue Euler quien encontro la solucion al problema. Para ello, sim-
plifico los puentes y las islas tal y como se puede ver en la figura
3. Euler demostro que no era posible cruzar todos los puentes sin
cruzar dos veces por el mismo, puesto que para que esto sea posible
debe haber a lo sumo 2 vertices de grado impar, esto es, debe haber
a lo sumo 2 vertices de la que salgan un numero impar de aristas.
Esto es debido a que para cada vertice tiene que haber una arista
42
que llega al vertice y otra que sale, excepto en el inicio y en el final,
que pueden tener un grado impar.
43
4.2. Demostracion sin palabras de la formula para calcu-
lar el area de un cırculo
44
4.3. Demostracion sin palabras de que la cardinalidad de
la recta de los numeros reales es la misma que la de
un intervalo de la recta de los numeros reales
4.4. Demostracion sin palabras de la suma de los primeros
n numeros naturales
45
5. Problemas no resueltos de las matematicas
5.1. Introduccion
Actualmente existen muchos problemas que no han sido resuel-
tos aun. Algunos fueron propuestos hace unas pocas decadas, pero
otros llevan siglos sin resolverse. En esta seccion se hablara sobre
estos problemas.
5.2. Hipotesis de Riemann
La funcion zeta de Riemann se define de la siguiente manera:
ζ(s) =∞∑n=1
1
ns
Donde s ∈ C. La funcion zeta de Riemann esta estrechamente
relacionada con los numeros primos, tal y como lo mostro Leonhard
Euler:
46
ζ(s) =∞∑n=1
1
ns=∏p∈P
1
1− p−s
Bernhard Riemann conjeturo en 1859 que la parte real de los
ceros no triviales de la funcion zeta de Riemann es 12. Por lo tanto,
todos los ceros no triviales de la funcion zeta de Riemann tendrıan
que encontrarse en la lınea crıtica s = 12
+ it, con t ∈ R.
Riemann menciono por primera vez la hipotesis que lleva su
nombre en su trabajo “Ueber die Anzahl der Primzahlen unter ei-
ner gegebenen Grosse”(Sobre los numeros primos menores que una
magnitud dada). La hipotesis de Riemann esta incluıda en la famo-
sa lista de 23 problemas no resueltos de Hilbert. Tambien es uno de
los Siete Problemas del Milenio propuestos por el Clay Mathemtics
Institute en el ano 2000.
5.3. Conjetura de Goldbach
Segun la conjetura de Goldbach, todo numero par mayor que 2
puede escribirse como suma de dos numeros primos. En realidad,
serıa mas acertado llamarlo la conjetura fuerte de Goldbach, puesto
47
que tambien existe la conjetura debil de Goldbach, segun el cual
todo numero impar mayor que 7 puede escribirse como suma de
tres numeros primos impares. Christian Goldbach, el autor de la
conjetura, menciono por primera vez la conjetura que hoy en dıa
lleva su nombre en una carta dirigida a Euler en 1742. Al igual que
la hipotesis de Riemann, la conjetura de Goldbach es uno de los 23
problemas de Hilbert.
5.4. Conjetura de Collatz
Sea n un entero positivo. Si n es par, entonces dividamos n entre
2. Si, por otro lado, n es impar, multipliquemoslo por 3 y sumemosle
1. Esto es igual a la funcion f : N 7→ N:
f(n) =
n2, si n es par
3n+ 1, si n es impar
Lothar Collatz conjeturo en 1937 que si iteramos un numero
entero positivo n al final siempre alcanzaremos el 1 y, por lo tanto,
el ciclo 4, 2, 1. Todavıa no se ha demostrado este hecho, pero se sabe
que si existe un contraejemplo a la conjetura de Collatz, debera de
48
tener una orbita no acotada o una orbita periodica distinta a la
orbita 4, 2, 1.
La computacion distribuida ha ayudado a comprobar la conjetu-
ra de Collatz para numeros muy altos. En noviembre del ano 2005,
se habıa comprobado la conjetura para todo numero menor que
258. Sin embargo, esto no puede considerarse como demostracion
de la conjetura, puesto que es imposible comprobar la conjetura de
Collatz para todo entero positivo.
5.5. P contra NP
Un problema es de tipo P si existe un algoritmo que lo resuelva
en tiempo polinomial. Por otro lado, un problema es de tipo NP si
existe un algoritmo que verifique una solucion en tiempo polinomial.
El problema P contra NP, el cual es uno de los Siete Problemas del
Milenio, consiste en demostrar que P=NP, es decir, que si se puede
comprobar la solucion de un problema en tiempo polinomial, en-
tonces tambien se puede resolver el problema en tiempo polinomial.
Aunque el problema sigue sin solucion, han habido muchos in-
49
tentos a lo largo de los anos. Uno de ellos fue protagonizado por
Vinay Deolalikar, investigador de la empresa HP en Palo Alto. Vi-
nay Deolalikar aseguro que habıa demostrado que P 6= NP . Sin
embargo, la demostracion resulto ser erronea.
5.6. Conjetura de los numeros primos gemelos
Se dice que dos numeros primos p1 y p2 son gemelos si p2 −
p1 = 2. La conjetura de los numeros primos gemelos postula la
existencia de infinitos numeros primos gemelos. Esta conjetura se
puede generalizar, tal y como lo hizo Alphonse de Polignac en 1849.
Ası, Alphonse de Polignac postulo que para todo numero natural
k, existen infinitos pares de numeros primos cuya diferencia es 2k.
A lo largo de los anos se han realizado diversos acercamientos a
la solucion del problema. Uno de ellos fue protagonizado por Erdos,
quien demostro que existe una constante c < 1 tal que existen in-
finitos numeros primos p tal que p0 − p < c ln(p), donde p0 es el
numero primo que sigue a p. En el ano 2005 este resultado fue me-
jorado significativamente tras la demostracion por parte de Daniel
Goldston, Janos Pintz y Cem Yildirim de que el resultado es valido
50
para todo c > 0. Por otro lado, en 1973 Jing-run Chen probo que
existen infinitos numeros primos p tal que p + 2 es, a lo sumo,
producto de dos numeros primos.
Otra generalizacion de la conjetura de los numeros primos es la
conjetura de Hardy-Littlewood. Sea π2(x) la cantidad de numeros
primos p menores que x tal que p+ 2 tambien es primo. Sea C2 la
constante de los numeros primos, definida de la siguiente manera:
C2 =∏p≥3
p(p− 2)
(p− 1)2≈ 0,66016...
La conjetura postula que:
π2(x) ∼ 2C2
∫ x
2
dt
(ln t)2
5.7. Existencia de numeros perfectos impares
Se dice que un numero natural k es un numero perfecto si la
suma de sus divisores (sin tener en cuenta el propio numero) es
igual a sı mismo. El 6 es el menor numero perfecto, puesto que
51
sus divisores son el 1, 2 y el 3, y 1 + 2 + 3 = 6. Actualmente se
desconoce si existen numeros perfectos impares. Sin embargo, si
existieran tendrıan que cumplir algunas condiciones. Por un lado,
el numero perfecto impar debera ser mayor que 10300, debera tener
8 factores primos o mas, excepto si no es divisible entre 3, en cuyo
caso tendra que tener como mınimo 11.
52
6. Bibliografıa
1. Journal of the Indian Mathematical Society. Consulta-do el 17 de junio de 2012.
URL: http://www.imsc.res.in/ rao/ramanujan/CamUnivCpapers/Cpaper24/page1.htm
2. Dos demostraciones de la irracionalidad de raız de 2.Gaussianos. Consultado el 17 de junio de 2012.
URL: http://gaussianos.com/dos-demostraciones-de-la-irracionalidad-de-raiz-de-2/
3. El postulado de Bertrand. Gaussianos. Consultado el 17de junio de 2012.
URL: http://gaussianos.com/el-postulado-de-bertrand/
4. ¿Por que el caso n=4 es tan importante?. Gaussianos.Consultado el 17 de junio de 2012.
URL: http://gaussianos.com/¿por-que-el-caso-n4-es-tan-importante/
5. Mathematical Association of America. Consultado el 17de junio de 2012.
URL: http://www.maa.org/pubs/Calc articles/ma018.pdf
6. Proofs without words. Math Overflow. Consultado el 17 dejunio de 2012.
URL: http://mathoverflow.net/questions/8846?sort=votespage=1
7. Cassini’s Identity. Proof Wiki. Consultado el 17 de juniode 2012.
URL: http://www.proofwiki.org/wiki/Cassini’s Identity
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