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LA METODOLOGÍA

DIDÁCTICA DE LAS

MATEMÁTICAS A TRAVÉS

DE LOS DESAFÍOS

Elaborado por:

Alberto Vázquez Santamaría

Irene Abigail Camarillo Bautista

Martha Patricia Crowson Rivera

LA METODOLOGÍA DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS A TRAVÉS DE LOS DESAFÍOS

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INTRODUCCIÓN:

La formación matemática que permite a los individuos enfrentar con éxito los problemas de la vida cotidiana depende, en gran medida, de los

conocimientos adquiridos, habilidades y actitudes desarrolladas durante la Educación Básica. De acuerdo con los Programas de estudio 2011, refiere que “El

planteamiento central en cuanto a la metodología didáctica que se sugiere para el estudio de las matemáticas, consiste en utilizar secuencias de situaciones

problemáticas que despierten el interés de los alumnos y los inviten a reflexionar, a encontrar diferentes formas de resolver los problemas y a formular

argumentos que validen los resultados. Al mismo tiempo, las situaciones planteadas deberán implicar justamente los conocimientos y las habilidades que se

quieren desarrollar”.

En este sentido, los Desafíos matemáticos Libro para el maestro y Libro para el alumno 2014-2015 de primero a sexto grados -apegados totalmente a lo

establecido en el enfoque didáctico de las mismas- presentan actividades diseñadas conforme a los contenidos del programa; razón por la cual el taller La

metodología didáctica de las matemáticas a través de los desafíos pretende que los participantes se apropien de ésta, de una forma práctica, con la

finalidad de ofrecer las condiciones necesarias a los participantes, a fin de que apoyen a los docentes frente a grupo para que trabajen de acuerdo con lo

establecido en los programas de estudio.

Con la seguridad que el manejo adecuado de la metodología didáctica de las matemáticas por parte del docente garantizará un cambio radical en la visión

de éste y de los alumnos con respecto a la asignatura, quien observará cómo sus estudiantes buscan la manera para resolver cada desafío, interpretan,

argumentan, debaten, analizan, colaboran, aprovechan el tiempo, se acostumbran a los retos.

En el presente documento encontrará actividades dirigidas a resolver los desafíos matemáticos como punto de partida para que comprendan la

metodología de la asignatura, la relación existente entre ésta y las cuatro competencias matemáticas, la secuenciación existente entre los contenidos y la

gradualidad de los mismo; finalmente, la importancia y necesidad de realizar una planificación poniendo en juego los desafíos matemáticos.

“Dime algo y lo olvidaré, enséñame algo y lo recordaré, pero

hazme partícipe de algo y lo aprenderé” (Proverbio chino)


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Propósitos

Que los participantes:

Comprendan los momentos de la Metodología didáctica que se plantea en los programas de estudio 2011 a través de la resolución de Desafíos

Matemáticos.

Reconozcan la relación que existe entre la implementación de la metodología didáctica y el desarrollo de las cuatro competencias matemáticas

planteadas en los programas de estudio.

Analicen la relación que existe entre los desafíos, intención didáctica, contenidos y aprendizajes esperados de la asignatura de matemáticas para

conocer su secuenciación y gradualidad.

Reflexionen sobre lo fundamental de planificar y evaluar la clase de matemáticas.

Materiales

Plan y programas de estudio 2011.

Desafíos matemáticos Libro para el alumno y Libro para el Maestro de 1º a 6º grados.

Documento de trabajo del taller La metodología didáctica de las matemáticas a través de los desafíos.

Planificaciones.

Instrumento de evaluación.


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Actividades Los desafíos matemáticos

1. En esta actividad trabajaremos con un problema adaptado de una anécdota narrada en el hermoso libro “El hombre que calculaba”, de Malba Tahan,

cuya lectura recomendamos ampliamente.

Consigna 1. Organizados en equipos de 4 a 6 elementos resuelvan el siguiente Desafío Matemático:

El Capitán de un barco anuncia que a la mañana siguiente, al desembarcar, a tres de sus marineros les sería repartida como recompensa una cantidad de

monedas de oro que colocó en una bolsa. Uno de los marineros despierta antes que los demás y decide tomar su parte de la recompensa por adelantado.

Al querer distribuir en tres partes iguales las monedas se dio cuenta que la división no era exacta ya que sobraba una moneda. Para evitar problemas con

sus compañeros, tiró la moneda sobrante al mar, tomó su parte y se fue a dormir de nuevo. Por la mañana, el ayudante del capitán, que desconocía la

cantidad original de monedas en la bolsa, sustrajo una de ellas para él y enseguida reunió a los tres marineros a los que repartió equitativamente el resto.

Si el ayudante del capitán entregó 23 monedas a cada uno de los tres marineros, ¿Cuántas monedas había en la bolsa originalmente y cuántas le tocaron al

marinero madrugador?

Consigna 2. Supongamos ahora que los tres marineros se hubieran levantado por la noche (en diferentes momentos) y decidido, cada uno, tomar su parte

por adelantado. Supongamos también, que cada uno de los tres se hubiera encontrado con la misma situación que el marinero madrugador de arriba y

hubiera procedido en la misma forma que éste, es decir, tirar una moneda de la bolsa al mar, dividido las restantes en tres partes iguales y tomar una de

esas partes para él, dejando las restantes para que fueran repartidas.

Si de nuevo por la mañana, el ayudante del capitán, después de quedarse con una moneda, reparte equitativamente el resto dándole a cada marinero 23

monedas, ¿Cuántas monedas había en la bolsa originalmente, y cuántas le tocaron a cada marinero?


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Consigna 3. Consideremos finalmente otra versión de la historia. En esta versión hay también un marinero madrugador que procede exactamente como se

relata en la pregunta de la consigna 1, sólo que ahora la información que se tiene es la siguiente:

Si el ayudante del capitán reparte equitativamente las monedas que quedan en la bolsa (después de apropiarse una) y después de esta repartición al

marinero madrugador le tocaron en total 78 monedas, ¿Cuántas monedas había en la bolsa originalmente, y cuántas le tocaron a cada uno de los otros dos

marineros?

Consigna 4. Supongamos ahora otra vez que los tres marineros se levantaron por la noche (en diferentes momentos), se encontraron con la situación que

antes describimos para el marinero madrugador y procedieron igual que éste.

Si de nuevo por la mañana, el ayudante del capitán, después de quedarse con una moneda, reparte equitativamente el resto y después de esta repartición,

al tercer marinero madrugador (el que se levanta más tarde) le tocaron en total 78 monedas, ¿Cuántas monedas había en la bolsa originalmente, y cuántas

le tocaron a cada marinero?

Metodología didáctica de las matemáticas

2. Discutan en equipo y después en plenaria en torno a lo siguiente:

¿Qué ventajas implica haber trabajado en equipo?

¿Qué papel jugaron los participantes en la actividad?

Los momentos que siguieron para resolver el Desafío matemático.

Compartan en plenaria los momentos identificados.

3. Revisen el Anexo 2 Desafíos matemáticos (pág. 14).

Con base en la lectura y los momentos vividos completen el Esquema 1.


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Esquema 1. Momentos de la metodología didáctica de la matemática.

En plenaria compartan uno o dos esquemas y comenten sus conclusiones respondiendo la siguiente pregunta desde su función:

¿Qué podemos hacer para que el docente reflexione sobre las ventajas que aporta esta metodología a su trabajo y al aprendizaje de sus alumnos?

4. Lean el siguiente texto tomado del artículo: “Matemáticas escolares y competencia matemática”, de Salvador Llinares.

En una clase de matemáticas de Primaria, el maestro presenta una tarea matemática a sus alumnos para conseguir un objetivo. En ese momento se define

un contexto en el que el maestro, el contenido matemático y los alumnos interaccionan con el fin de que los alumnos desarrollen la competencia

matemática que configura el objetivo de enseñanza. Desde esta perspectiva sistémica, las situaciones de enseñanza están determinadas por:

Las características de la tarea matemática presentada (lo que puede demandar la tarea del resolutor).

Lo que el maestro hace y las características de las interacciones que se generan.

Lo que los alumnos aportan a la situación, hagan en ella y su actitud.

METODOLOGÍA DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS

Acción Responsable de llevarla a cabo

Primer momento

Segundo momento

Tercer momento

Cuarto momento


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Al conjunto de actividades, ejercicios, problemas, etc. Que el maestro puede plantear a sus alumnos para desarrollar la capacidad matemática, lo

llamaremos «tarea matemática» por economía de lenguaje.

Algunas veces las características de las tareas que los maestros plantean a sus alumnos y las interacciones que se producen en el aula entre el maestro, los

alumnos y el contenido matemático definen un determinado nivel de exigencia cognitiva y social que puede potenciar un determinado aprendizaje. Por

ejemplo, si la experiencia de un alumno en el aula de matemáticas se reduce a escuchar lo que dice el maestro, leer lo que pone el libro de texto y repetir

ejercicios de cálculo en los que sólo hay que procurar que el resultado sea correcto, lo que aprende este alumno puede ser simplemente el memorizar

algoritmos de cálculo y generar una idea sobre las matemáticas escolares reducida a una colección de procedimientos de cálculo.

El significado dado a la actividad matemática por parte del alumno (lo que hace con la tarea para resolverla, sea individual o en grupo) será diferente si las

actividades son del tipo de formulación, representación, resolución y/o comunicación de problemas matemáticos a partir de una situación. Esta actividad

matemática es la que permitirá desarrollar en los alumnos una determinada «competencia didáctica» a lo largo del tiempo. En esta situación existen tres

elementos que deben ser caracterizados para poder llegar a maximizar la práctica de enseñar matemáticas:

1. El significado de «matemáticamente competente».

2. Las características de la «tarea matemática» dirigidas a desarrollar la competencia matemática.

3. Las características de la clase que apoyan la generación de la competencia matemática.

Llegar a ser matemáticamente competente está vinculado al desarrollo de la comprensión del contenido matemático. Cuando se comprenden las nociones

y procedimientos matemáticos se pueden utilizar de manera flexible adaptándolos a situaciones nuevas y permitiendo establecer relaciones entre ellos y

ser utilizados para aprender nuevo contenido matemático. Así, comprender está vinculado a saber cuál es el significado y cómo funcionan los

procedimientos, cómo se relacionan unos con otros y por qué funcionan de la manera en que lo hacen. Por tanto, debemos determinar características de

las aulas de matemáticas que potencian el desarrollo de la competencia matemática y cuáles pueden ser las características de las tareas (actividades,

problemas, ejercicios, etc.) que el maestro puede utilizar para conseguir este fin.

Contesten en plenaria: ¿Qué tipo de actividades son las que permitirán que los alumnos desarrollen una determinada competencia matemática?

Maestro

Tarea matemática

(Contenido matemático)

Estudiantes

Contextos


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¿Qué significa que los profesores ayuden a los alumnos a estudiar matemáticas en lugar de que solo les enseñen?

¿Cuáles son los obstáculos que enfrenta un profesor que ayuda a sus alumnos a estudiar matemáticas y qué sugerencias pueden hacer para

superarlos?

Competencias matemáticas 5. En equipo comenten cómo la actividad realizada se vincula con el desarrollo de las competencias matemáticas que se plantean en los programas

de estudio y compartan sus conclusiones.

Resolver problemas de manera autónoma

Comunicar información matemática

Validar procedimientos y resultados

Manejar técnicas eficientemente

6. Observen el video editado por la Dirección General de Desarrollo Curricular. Posteriormente comenten:

¿Cómo trabajan sus maestros los desafíos matemáticos?

¿Cómo podrías orientar su trabajo para mejorarlo?

Tablas de contenidos 7. Organizados en equipos completen el formato.

Busquen los contenidos que se relacionan con el AE de 1º a 6º grados.

Elijan un grado y completen el formato que les entregará el coordinador.

Al concluir comenten con base en las siguientes preguntas.

¿Qué dificultad tuvieron para realizar esta actividad?

¿Qué relación observan que existe entre los contenidos, AE y desafíos?


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8. El coordinador les presentará las tablas de contenidos. Anexo 5.

Realicen algunos comentarios generales sobre:

La utilidad de las tablas.

La gradualidad y secuenciación de contenidos.

Planificación y evaluación 9. Organizados en equipos, analicen las diferentes planificaciones de la asignatura de matemáticas elaboradas por docentes.

¿Qué ventajas y dificultades encuentran en cada una?

¿Cuál sería la más adecuada de acuerdo a la metodología para trabajar los desafíos? ¿Por qué?

¿Qué relevancia le conceden a la planificación para el desarrollo de la clase de matemáticas?

10. De manera individual realiza una planificación de un desafío, considerando la metodología propuesta en el programa de matemáticas.

Intercambien la planificación con su compañero y realicen las observaciones y/o sugerencias que consideres pertinentes de acuerdo con la

metodología, apoyándote en el instrumento.

Compartan una o dos planificaciones con el grupo.


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Productos de la sesión

Resolución del desafío

Tabla de Aprendizaje esperado

Planificación

Bibliografía

Balbuena C. H. (2008). Antología El desarrollo de competencias matemáticas en la educación básica. SEP. México.

SEP. 2011. Programas de estudio 2011. Guía para el maestro. Educación Básica Primaria, 1º a 6º grados. México.

Sociedad Matemática Mexicana y Universidad de Sonora. (2010) Diplomado La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. México.


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ANEXOS Anexo 1

Programas de estudio 2011 / Guía para el Maestro

Primaria / Sexto grado Enfoque didáctico La formación matemática que permite a los individuos enfrentar con éxito los problemas de la vida cotidiana depende en gran parte de los conocimientos

adquiridos y de las habilidades y actitudes desarrolladas durante la educación básica. La experiencia que vivan los alumnos al estudiar matemáticas en la

escuela puede tener como consecuencias: el gusto o rechazo, la creatividad para buscar soluciones o la pasividad para escucharlas y tratar de reproducirlas,

la búsqueda de argumentos para validar los resultados o la supeditación de éstos al criterio del docente.

El planteamiento central en cuanto a la metodología didáctica que se sugiere para el estudio de las Matemáticas consiste en utilizar secuencias de

situaciones problemáticas que despierten el interés de los alumnos y los inviten a reflexionar, a encontrar diferentes formas de resolver los problemas y a

formular argumentos que validen los resultados. Al mismo tiempo, las situaciones planteadas deberán implicar justamente los conocimientos y habilidades

que se quieren desarrollar.

Los avances logrados en el campo de la didáctica de la matemática en los últimos años dan cuenta del papel determinante que desempeña el medio,

entendido como la situación o las situaciones problemáticas que hacen pertinente el uso de las herramientas matemáticas que se pretende estudiar, así

como los procesos que siguen los alumnos para construir conocimientos y superar las dificultades que surgen en el proceso de aprendizaje. Toda situación

problemática presenta obstáculos; sin embargo, la solución no puede ser tan sencilla que quede fija de antemano, ni tan difícil que parezca imposible de

resolver por quien se ocupa de ella. La solución debe construirse en el entendido de que existen diversas estrategias posibles y es necesario usar al menos

una.

Para resolver la situación, el alumno debe usar sus conocimientos previos, los cuales que le permiten entrar en la situación, pero el desafío consiste en

reestructurar algo que ya sabe, sea para modificarlo, ampliarlo, rechazarlo o volver a aplicarlo en una nueva situación.

El conocimiento de reglas, algoritmos, fórmulas y definiciones sólo es importante en la medida en que los alumnos lo puedan usar hábilmente para

solucionar problemas y que lo puedan reconstruir en caso de olvido; de ahí que su construcción amerite procesos de estudio más o menos largos, que van

de lo informal a lo convencional, tanto en relación con el lenguaje como con las representaciones y procedimientos. La actividad intelectual fundamental en

estos procesos de estudio se apoya más en el razonamiento que en la memorización; sin embargo, no significa que los ejercicios de práctica o el uso de la


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memoria para guardar ciertos datos, como las sumas que dan 10 o los productos de dos dígitos, no se recomienden; al contrario, estas fases de los procesos

de estudio son necesarias para que los alumnos puedan invertir en problemas más complejos.

A partir de esta propuesta, los alumnos y el docente se enfrentan a nuevos retos que reclaman actitudes distintas frente al conocimiento matemático e

ideas diferentes sobre lo que significa enseñar y aprender. No se trata de que el docente busque las explicaciones más sencillas y amenas, sino de que

analice y proponga problemas interesantes, debidamente articulados, para que los alumnos aprovechen lo que ya saben y avancen en el uso de técnicas y

razonamientos cada vez más eficaces.

Es posible que el planteamiento de ayudar a los alumnos a estudiar matemáticas, con base en actividades de estudio basadas en situaciones problemáticas

cuidadosamente seleccionadas, resultará extraño para muchos docentes compenetrados con la idea de que su papel es enseñar, en el sentido de transmitir

información. Sin embargo, vale la pena intentarlo, ya que abre el camino para experimentar un cambio radical en el ambiente del salón de clases; se notará

que los alumnos piensan, comentan, discuten con interés y aprenden, mientras que el docente revalora su trabajo. Este escenario no se halla exento de

contrariedades, y para llegar a él es preciso estar dispuesto a superar grandes desafíos como:

a) Lograr que los alumnos se acostumbren a buscar por su cuenta la manera de resolver los problemas que se les plantean, mientras el docente observa y

cuestiona localmente en los equipos de trabajo, tanto para conocer los procedimientos y argumentos que se ponen en práctica como para aclarar ciertas

dudas, destrabar procesos y lograr que los alumnos puedan avanzar. Aunque habrá desconcierto, al principio, de los alumnos y del docente, vale la pena

insistir en que sean los primeros quienes encuentren las soluciones. Pronto se empezará a notar un ambiente distinto en el salón de clases; esto es, los

alumnos compartirán sus ideas, habrá acuerdos y desacuerdos, se expresarán con libertad y no habrá duda de que reflexionan en torno al problema que

tratan de resolver.

b) Acostumbrarlos a leer y analizar los enunciados de los problemas. Leer sin entender es una deficiencia muy común, cuya solución no corresponde sólo a

la comprensión lectora de la asignatura de Español. Muchas veces los alumnos obtienen resultados diferentes que no por ello son incorrectos, sino que

corresponden a una interpretación distinta del problema; por lo tanto, es necesario averiguar cómo interpretan la información que reciben de manera oral o

escrita.

c) Lograr que aprendan a trabajar de manera colaborativa. Es importante porque ofrece a los alumnos la posibilidad de expresar sus ideas y de

enriquecerlas con las opiniones de los demás, ya que desarrollan la actitud de colaboración y la habilidad para argumentar; además, de esta manera se

facilita la puesta en común de los procedimientos que encuentran. Sin embargo, la actitud para el trabajo colaborativo debe fomentarse por los docentes,

además de insistir en que cada integrante asuma la responsabilidad de la tarea que se trata de resolver, no de manera individual sino colectiva; por ejemplo,

si la tarea consiste en realizar un problema, cualquier integrante del equipo debe estar en posibilidad de explicar el procedimiento que se utilizó.


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d) Saber aprovechar el tiempo de la clase. Se suele pensar que si se pone en práctica el enfoque didáctico que consiste en plantear problemas a los

alumnos para que los resuelvan con sus propios medios, discutan y analicen sus procedimientos y resultados, no alcanza el tiempo para concluir el

programa. Por lo tanto, se decide continuar con el esquema tradicional en el que el docente “da la clase”, mientras los alumnos escuchan aunque no

comprendan. La experiencia muestra que esta decisión conduce a tener que repetir, en cada grado, mucho de lo que aparentemente se había aprendido; de

manera que es más provechoso dedicar el tiempo necesario para que los alumnos adquieran conocimientos con significado y desarrollen habilidades que les

permitan resolver diversos problemas y seguir aprendiendo.

e) Superar el temor a no entender cómo piensan los alumnos. Cuando el docente explica cómo se resuelven los problemas y los alumnos tratan de

reproducir las explicaciones al resolver algunos ejercicios, se puede decir que la situación está bajo control. Difícilmente surgirá en la clase algo distinto a lo

que el docente ha explicado, incluso muchas veces los alumnos manifiestan cierto temor de hacer algo diferente a lo que hizo el docente. Sin embargo,

cuando éste plantea un problema y lo deja en manos de los alumnos, sin explicación previa de cómo se resuelve, usualmente surgen procedimientos y

resultados diferentes, que son producto de cómo piensan los alumnos y de lo que saben hacer. Ante esto, el verdadero desafío para los docentes consiste

en ayudar a los alumnos a analizar y socializar lo que produjeron.

Este rol es la esencia del trabajo docente como profesional de la educación en la enseñanza de las Matemáticas. Ciertamente reclama un conocimiento

profundo de la didáctica de esta asignatura que “se hace al andar”, poco a poco, pero es lo que puede convertir a la clase en un espacio social de

construcción de conocimiento.

Con el enfoque didáctico que se sugiere se logra que los alumnos construyan conocimientos y habilidades con sentido y significado, como saber calcular el

área de triángulos o resolver problemas que implican el uso de números fraccionarios; asimismo, un ambiente de trabajo que brinda a los alumnos, por

ejemplo, la oportunidad de aprender a enfrentar diferentes tipos de problemas, a formular argumentos, a emplear distintas técnicas en función del

problema que se trata de resolver, y a aprovechar el lenguaje matemático para comunicar o interpretar ideas.

Estos aprendizajes adicionales no se dan de manera espontánea, independientemente de cómo se estudia y se aprende la matemática. Por ejemplo, no se

puede esperar que los alumnos aprendan a formular argumentos si no se delega en ellos la responsabilidad de averiguar si los procedimientos o resultados,

propios y de otros, son correctos o incorrectos. Dada su relevancia para la formación de los alumnos y siendo coherentes con la definición de competencia

que se plantea en el Plan de estudios, en los programas de Matemáticas se utiliza el concepto de competencia matemática para designar cada uno de estos

aspectos; en tanto que al formular argumentos, por ejemplo, se hace uso de conocimientos y habilidades, pero también entran en juego las actitudes y los

valores, como aprender a escuchar a los demás y respetar sus ideas.


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Anexo 2 Libro para el alumno / Libro para el maestro

Ciclo escolar 2014-2015.

Desafíos matemáticos

El Plan de estudios 2011 para la educación básica señala, acertadamente, que las actividades de aprendizaje–deben representar desafíos intelectuales para

los estudiantes, con el fin de que formulen alternativas de solución-. Este señalamiento se ubica en el contexto de los principios pedagógicos, en particular

el que se refiere a la planificación, considerados como -condiciones esenciales para la implementación del currículo-.

El planteamiento central en cuanto a la metodología didáctica que se sugiere para el estudio de las Matemáticas, consiste en utilizar secuencias de

situaciones problemáticas que despierten el interés de los alumnos y los inviten a reflexionar, a encontrar diferentes formas de resolver los problemas y a

formular argumentos que validen los resultados.

Las secuencias didácticas se desglosan en planes de clase, constituyen una propuesta básica para que los docentes

puedan realizar, cotidianamente, un trabajo planificado, con actividades diseñadas en función del contenido que

se va a estudiar y con intenciones didácticas premeditadas, en las que se describe el tipo de recursos, ideas o

instrumentos que se pretende pongan en juego los alumnos. Además, incluyen una reflexión anticipada sobre lo

que puede ocurrir durante la gestión de la actividad y algunos elementos con los que el maestro pueda apoyar a

los alumnos en el análisis de lo que éstos producen.


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• Desafío

Situación a la que alguien se enfrenta para resolver de acuerdo a las condiciones de sus saberes. El desafío es algo positivo; a través de él se puede poner a

prueba que tanto está dispuesto un individuo a enfrentarse y resolver aspectos importantes de la vida y progresar en aquello que saben hacer. Sin

embargo, a veces se muestra como algo negativo porque las personas no entienden el verdadero sentido de esto.

• Reto

Acción difícil de llevar a cabo que supone un estímulo y un desafío. Cosa difícil que alguien se propone como objetivo.

Sin embargo para este contexto de aprendizaje los consideramos como:

Los Desafíos son secuencias de situaciones problemáticas que demandan a docentes y alumnos la utilización de las herramientas matemáticas que se quiere

aprendan. Los Desafíos ponen tanto a alumnos como a docentes en situación de estudiar, de producir conocimientos nuevos, que les permiten reformular,

ampliar o rechazar aquellos que han construido en otras secuencias de situaciones problemáticas; plantean además la necesidad de hablar sobre la práctica

docente, como actividad profesional que puede mejorar en el hacer cotidiano.

Características.

Contiene desafíos intelectuales, vinculados al estudio de las matemáticas, que apoyan la labor diaria de los docentes.

Está apegado al programa oficial y cubre todos los contenidos, ejes y aprendizajes esperados correspondientes a cada grado escolar.

Tiene un formato ágil para que los maestros analicen los desafíos previamente a su puesta en práctica en el aula.

Fue elaborado por docentes con un conocimiento amplio y profundo sobre la didáctica de las matemáticas, y se tomó en cuenta la experiencia del

trabajo en las aulas.

Es un material probado por un gran número de supervisores, directores y docentes de educación primaria.


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¿Cómo está organizado el libro para el alumno?

• De primero a sexto grado, están distribuidos en cinco bloques que son congruentes con los contenidos que se manejan en cada uno de los bloques

de la asignatura de matemáticas.

• El número de Desafíos Matemáticos es variable de acuerdo al grado, por lo que se sugiere que el docente los distribuya a lo largo del bimestre, en

concordancia con los contenidos que se trabajan en cada uno de los bloques del Programa de Matemáticas.

Los Desafíos Matemáticos se deben trabajar en el orden en que se presentan

• Es muy importante que se trabajen en el orden en que se presentan en el Libro del Alumno y del Maestro, dado que a medida que se avanza en su

resolución, el nivel de complejidad es mayor, y cada Desafío Matemático es la base para resolver los siguientes, por lo que se recomienda no

saltarse ninguno de ellos y no dejar ninguno sin resolver, debido a que cada contenido que se trabaja en un Desafío Matemático específico no sólo

es el antecedente del siguiente en el grado en el que se aplica, sino que también constituye un precedente para los demás grados.

Cuatro aspectos que conforman cada uno de los Desafíos.

Intención didáctica.

Describen el tipo de recursos, ideas, procedimientos y saberes que se espera pongan en

juego los alumnos, ante la necesidad de resolver el desafío que se les plantea. Dado que se

trata de una anticipación, lo que ésta sugiere no necesariamente sucederá, en cuyo caso

hay que reformular la actividad propuesta.


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Consigna

Se muestra la actividad o problema que se va a plantear, la organización de los alumnos para realizar

el trabajo (individualmente, en parejas, en equipos o en grupo) y, en algunos casos, lo que se permite

hacer o usar y también lo que no se permite.

Consideraciones previas.

Contienen elementos para que el docente esté en mejores condiciones de apoyar a los alumnos en el

análisis de las ideas que producirán: explicaciones breves sobre los conceptos que se estudian,

posibles procedimientos de los alumnos, dificultades o errores que quizá enfrenten, sugerencias para

organizar la puesta en común y preguntas para profundizar en el análisis, entre otros.


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Observaciones posteriores.

Se anotan en cada uno de los desafíos con la intención de que el docente reflexione

sobre su propia práctica y sobre la eficacia de la consigna.

Podrán aprender realmente matemáticas nuestros alumnos.

Para garantizar en lo posible de que esto ocurra tenemos que comprometernos a trabajar con los desafíos para:

Favorecer el estudio de nuevos conocimientos matemáticos

Generar ideas y formular alternativas para resolver situaciones problemáticas.

Estudiar para aprender, de verificar que los resultados sean correctos, de saber lo que se ha aprendido y lo que falta por aprender.

Promover el trabajo entre pares en busca de la solución a la situación problemática que se presenta.

Apoyar el desarrollo de la comprensión lectora al poner en común lo que se entendió respecto a lo que se plantea en las consignas.

Recomendaciones generales:

Tener confianza en que los alumnos son capaces de producir ideas y procedimientos propios, sin necesidad de una explicación previa por parte del

maestro. Esto no significa que todo tiene que ser descubierto por los alumnos; en ciertos casos las explicaciones del docente son necesarias para

que los estudiantes puedan avanzar.

Hay que aceptar que el proceso de aprender implica marchas y contramarchas, en ocasiones, ante un nuevo desafío los alumnos regresan a

procedimientos rudimentarios que aparentemente habían sido superados. Hay que trabajar para que se adquiera la suficiente confianza en el uso

de las técnicas que se van construyendo.

El trabajo constructivo que se propone con el uso de este material no implica hacer a un lado los ejercicios de práctica, éstos son necesarios hasta

lograr cierto nivel de automatización, de manera que el esfuerzo intelectual se invierta en procesos cada vez más complejos. Dado que los

aprendizajes están anclados en conocimientos previos, se pueden reconstruir en caso de olvido.


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El hecho de que los docentes usen este material para plantear un desafío diario a sus alumnos, significará un avance importante, sin lugar a dudas,

pero sólo será suficiente si se dedica el tiempo necesario para analizar y aclarar las ideas producidas por los alumnos, es decir, para la puesta en

común.

Para estar en mejores condiciones de apoyar el estudio de los alumnos, es trascendental que el docente, previamente a la clase, resuelva el

problema de la consigna, analice las consideraciones previas incluidas en el Libro para el Maestro, además de las Orientaciones Didácticas de la

siguiente dirección electrónica; y realice los ajustes que considere necesarios.

No perdamos de vista que para el trabajo con los desafíos es necesario en sus planificaciones…

Contar con los materiales necesarios para resolver la consigna.

Tener clara la intención didáctica.

Dominar los elementos metodológicos y conceptuales para orientar a los alumnos.

Resolver la consigna sin necesidad de protocolos (dinámicas o recuperación de conocimientos previos). Los conocimientos previos serán utilizados

por el alumno al momento de resolver la consigna, no requiere de un momento anticipado.

Propiciar que los alumnos sean los encargados de resolver la consigna de principio a fin.

¿Qué actividades necesita realizar el profesor al trabajar con los desafíos matemáticos?

Antes de trabajar el Desafío Matemático con los alumnos, el profesor:

- Lee el Desafío Matemático

- Identifica, en la Intención Didáctica:

El para qué se plantea el o los problemas que se presentan en la o las consignas.

Los recursos matemáticos que se espera que los alumnos pongan en juego al resolver el Desafío Matemático, así como las reflexiones que se

pretende haga


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- Resuelve las actividades propuestas en la consigna.

- Revisa las consideraciones previas, para:

Distinguir algunos de los probables procedimientos que pueden utilizar los alumnos en la resolución de los problemas planteados;

Analizar las posibles dificultades o errores que pueden cometer los alumnos y cómo abordarlos sin darles las respuestas.

Confrontar los propios procedimientos que utilizó para resolver el Desafío Matemático.

Reconocer los recursos matemáticos que son necesarios para resolver los problemas que se plantean.

II. DURANTE EL TRABAJO CON EL DESAFÍO MATEMÁTICO

A) PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

- El profesor indica cómo se va a trabajar, individualmente, en binas o en equipos y presenta el Desafío Matemático, es decir, les plantea el problema de la(s)

consigna(s). Se asegura de que todos los alumnos han comprendido en qué consiste lo que van a hacer.

Algunas ocasiones el aplicador presenta una contextualización breve para interesar a los niños en la tarea y generar un ambiente favorable para su

desarrollo. La contextualización es una breve invitación retomando el contexto en el que aparece el desafío; fiesta, juego, etc.

Compromete a todos los alumnos en las actividades.

Incorpora las dudas de los alumnos en la planeación escolar para resolverlas.

B) LA RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA

- Los alumnos trabajan individualmente, en binas o en equipos; se ponen de acuerdo en cómo van a solucionar el problema; movilizan los conocimientos

que han adquirido previamente; formulan explicaciones (verbales o escritas) sobre cómo le hicieron para resolver el problema; plantean argumentos para

fundamentar sus ideas, escuchan con respeto a sus compañeros.

- El profesor monitorea cada uno de los equipos para escuchar las explicaciones y procesos que desarrollan los alumnos. Ofrece orientaciones planteadas en

forma de preguntas que detonan la reflexión para ayudar a los niños en el trabajo que realizan,–no da respuestas, ni señala procedimientos correctos,

tampoco descalifica procesos incorrectos, no corrige- solo orienta. Observa las interacciones entre los alumnos, recupera dudas errores y omisiones que se

presentan en los procesos, para una intervención posterior.


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C) LA PUESTA EN COMÚN

- El profesor alienta a los alumnos a discutir la validez de algunas ideas, procedimientos o resultados. Los ayuda a identificar y analizar las causas de los

posibles errores.

- Los alumnos comunican, muestran a sus compañeros cómo resolvieron el problema; comparan los procedimientos empleados; reconocen los errores en el

procedimiento y los corrigen; reconocen que hay diferentes caminos, formas o procedimientos para llegar a la solución; valoran –con la ayuda del profesor-

el grado de generalidad y pertinencia de esos procedimientos.

La puesta en común se orienta hacia:

- Mostrar al grupo, de manera dinámica, la diversidad de formas que se generaron para resolver un problema.

- Aprovechar la oportunidad para que los alumnos expongan procedimientos divergentes empleados en el Desafío Matemático, con ello se desarrolla

gradualmente un lenguaje matemático. En la puesta en común el maestro ayuda al alumno a expresar sus procedimientos, no lo explica por el niño, sólo lo

apoya para expresar lo que hizo.

- Mostrar una noción o procedimiento experto, orientando la atención de los alumnos a la institucionalización de un saber, es decir el análisis de un

procedimiento para aplicar una fórmula, realizar una operación, resolver un problema.

- Comparar algunos procedimientos para identificar los pasos que se proponen en cada uno para encontrar la solución al problema y reconocer cuál es “más

económico” o “útil” que otro en la percepción del alumno, no del docente.

- Mostrar las relaciones entre diferentes procedimientos.

- Recuperar las dudas más frecuentes de los alumnos y ofrece orientaciones para apoyarle en ese momento y oportunidades para resolverlas

posteriormente.

D) EL CIERRE DE LA ACTIVIDAD

- El profesor cierra el momento de puesta en común, destacando algunas ideas propuestas por los alumnos que servirán de base para continuar con el

estudio y el aprendizaje del contenido que se abordó en el Desafío Matemático. A partir de esto, el profesor juega el rol de “memoria de la clase”. Él

documenta en su mente y posteriormente registra aquellos procesos significativos en la construcción del aprendizaje matemático del grupo y de cada

alumno. Con esta información direcciona la intervención para la mejora.


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- El cierre de la actividad se realiza con alguna pregunta que detone la reflexión y valoración del alumno acerca de su proceso de aprendizaje, por ejemplo:

¿Qué aprendiste hoy? ¿Qué fue lo que más te gusto de esta actividad?

III. DESPUÉS DE TRABAJAR CON EL DESAFÍO MATEMÁTICO

OBSERVACIONES POSTERIORES

- En el apartado Observaciones Posteriores registra las dudas errores u omisiones que se apreciaron, los procedimientos expertos y/o erróneos significativos

que potenciaron la oportunidad de aprendizaje o incluso los alumnos que requieren más apoyo.

- Incorpora las dificultades conceptuales o procedimentales que mostraron los alumnos durante el Desafío Matemático en la planeación escolar, para

ayudarlos a superarlas a partir de una intervención precisa y oportuna.

UNA PUESTA EN COMÚN ENTRE MAESTROS

- El maestro conversa con otros compañeros, el Director y/o el Supervisor de zona quienes se recomienda que pudieran haberle observado durante el

trabajo con el Desafío Matemático, sobre:

¿Cómo se desarrolló el trabajo con los alumnos?: Si ellos comprendieron lo que tenían que hacer; intercambiaron ideas acerca de cómo resolver el

problema; pusieron a prueba diversos procedimientos; trabajaron de manera colaborativa para construir la solución; incluyeron a todos sus

compañeros en las actividades, argumentaron sus procedimientos, etc.

La riqueza de la puesta en común: las ideas interesantes que se discutieron con mucha participación por parte de los alumnos, la oportunidad de

realizar un debate matemático sobre el tema del desafío, el reconocimiento de las fortalezas y debilidades en las tareas desempeñadas por el

docente

Es importante que la puesta en común de docentes, se trabaje en torno a las apreciaciones registradas por los posibles observadores en la guía de

observación que se diseñó para este fin y para documentar el seguimiento.

Al término de la actividad es recomendable que cada observador entregue al aplicador la guía donde registro sus observaciones y recomendaciones.

Vale la pena señalar que un observador nunca interviene durante la aplicación del Desafío, él es un testigo mudo que recupera discretamente los procesos

observados. Puede acercarse a las mesas discretamente para apreciar las dinámicas que establecen los alumnos pero no interactúa con ellos.


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Anexo 3 Programas de estudio 2011. Guía para el maestro

Educación básica. Primaria

Competencias matemáticas

A continuación se describen cuatro competencias matemáticas, cuyo desarrollo es importante durante la Educación Básica.

Competencias matemáticas

Resolver problemas de manera autónoma. Implica que los alumnos sepan identificar, plantear y resolver diferentes tipos de problemas o situaciones; por

ejemplo, problemas con solución única, otros con varias soluciones o ninguna solución; problemas en los que sobren o falten datos; problemas o situaciones

en los que sean los alumnos quienes planteen las preguntas. Se trata de que los alumnos sean capaces de resolver un problema utilizando más de un

procedimiento, reconociendo cuál o cuáles son más eficaces; o bien, que puedan probar la eficacia de un procedimiento al cambiar uno o más valores de las

variables o el contexto del problema, para generalizar procedimientos de resolución.

Comunicar información matemática. Comprende la posibilidad de que los alumnos expresen, representen e interpreten información matemática contenida

en una situación o en un fenómeno. Requiere que se comprendan y empleen diferentes formas de representar la información cualitativa y cuantitativa

relacionada con la situación; se establezcan relaciones entre estas representaciones; se expongan con claridad las ideas matemáticas encontradas; se

deduzca la información derivada de las representaciones, y se infieran propiedades, características o tendencias de la situación o del fenómeno

representado.

Validar procedimientos y resultados. Consiste en que los alumnos adquieran la confianza suficiente para explicar y justificar los procedimientos y soluciones

encontradas, mediante argumentos a su alcance que se orienten hacia el razonamiento deductivo y la demostración formal.

Manejar técnicas eficientemente. Se refiere al uso eficiente de procedimientos y formas de representación que hacen los alumnos al efectuar cálculos, con

o sin apoyo de calculadora. Muchas veces el manejo eficiente o deficiente de técnicas establece la diferencia entre quienes resuelven los problemas de

manera óptima y quienes alcanzan una solución incompleta o incorrecta. Esta competencia no se limita a usar mecánicamente las operaciones aritméticas;

apunta principalmente al desarrollo del significado y uso de los números y de operaciones, que se manifiesta en la capacidad de elegir adecuadamente la o

las operaciones al resolver un problema; en la utilización del cálculo mental y la estimación, en el empleo de procedimientos abreviados o atajos a partir de

las operaciones que se requieren en un problema y en evaluar la pertinencia de los resultados. Para lograr el manejo eficiente de una técnica es necesario

que los alumnos la sometan a prueba en muchos problemas distintos. Así adquirirán confianza en ella y la podrán adaptar a nuevos problemas.


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Anexo 4

Organización de las interacciones de los alumnos entre sí y con el maestro1

“Un aspecto central en la enseñanza que propugnamos está constituido por la organización de las interacciones de los alumnos entre sí y con el maestro. En

un plano, la naturaleza y el sentido de esta interacción están contenidos en una concepción educativa general y son (o deberían ser) compartidos por los

enfoques de las diversas áreas. En otro plano, para que cobren pleno sentido, deben articularse específicamente en el área y en función de contenidos

determinados. Hay dos textos de Guy Brousseau muy elocuentes en este sentido:

“Saber matemática no es sólo aprender las definiciones y los teoremas para reconocer la ocasión de utilizarlos y aplicarlos; sabemos bien que hacer

matemática implica que uno se ocupe de los problemas. No hacemos matemática sino cuando nos ocupamos de problemas, pero a veces se olvida que

resolver un problema no es más que una parte del trabajo; encontrar las buenas preguntas es tan importante como encontrar las soluciones. Una

reproducción por parte del alumno de una actividad científica exigiría que actúe, que formule, que pruebe, que construya modelos, lenguajes, conceptos,

teorías, que las intercambie con otras, que reconozca aquellas que son conformes a la cultura, que tome aquellas que le son útiles, etcétera”2

“No se trata sólo de enseñar los rudimentos de una técnica, ni siquiera los fundamentos de una cultura científica: las matemáticas en este nivel (se refiere a

la escolaridad obligatoria) son el primer dominio –y el más importante- en que los niños pueden aprender los rudimentos de la gestión individual y social de

la verdad. Aprenden en él –o deberían aprender en él- no sólo los fundamentos de su actividad cognitiva, sino también las reglas sociales del debate y de la

toma de decisiones pertinente: cómo convencer respetando al interlocutor; cómo dejarse convencer contra su deseo o interés; cómo renunciar a la

autoridad, a la seducción, a la retórica, a la forma, para compartir lo que será una verdad común... Soy de los que piensan que la educación matemática, y

en particular la educación matemática de la que acabo de hablar, es necesaria para la cultura de una sociedad que quiere ser una democracia.

La enseñanza de la matemática no tiene monopolio ni del pensamiento racional ni de la lógica ni de ninguna verdad intelectual, pero es un lugar privilegiado

para su desarrollo precoz”.3

El significado de los conocimientos que adquieren los alumnos proviene también del carácter que adopten las actividades en las que se los produce. Resulta

sustancial provocar la reflexión de los alumnos sobre sus producciones y conocimientos y para ello, la herramienta principal es la organización de

1 Tomado de Parra,C.; Saiz, I. y Sadovsky, P.(1994) “Matemática y su enseñanza” Documento Curricular P.T.F.D.

2 Brusseau, Guy (1986) “Fundamentos y métodos de la didáctica de la matemática” Traducción y edición I.M.A.F. Córdoba 1993.

3 Brousseau, Guy (1991) “¿Qué pueden aportar a los enseñantes los diferentes enfoques de la Didáctica de las Matemáticas?” Revista Enseñanza de las Ciencias, vol. 9 No. 1, España.


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actividades de discusión, de confrontación, en las que hay que comunicar, probar, demostrar, etcétera, actividades que involucran el trabajo en pequeños

grupos, o entre grupos, o en la clase total ordenando y estimulando la participación en función de finalidades bien establecidas y claras para todos.

Sería erróneo creer que todo el conocimiento que se trata en las clases requiere de organizaciones y actividades como las mencionadas. Por el contrario el

docente debe seleccionar aquellas nociones, conceptos, técnicas etcétera que por su importancia, por su complejidad, por la heterogeneidad de

concepciones con las que se vincula, etcétera, merecen un tratamiento como el que se sugiere.

“Algunas pueden estar dadas directamente por el enseñante o por la lectura de un manual. El docente debe definir una estrategia para la organización del

material que va enseñar, para la discusión de los problemas y el aporte directo, y definir una estrategia de adaptación a las reacciones de la clase para una

determinada organización”. 4

Vamos a referirnos a dos momentos importantes en las clases de matemática: la integración entre pares y la puesta en común, advirtiendo que:

si se desea que los alumnos entren en un funcionamiento como el sugerido, cualquiera sea el nivel del que se trate, el docente debe prever un conjunto

de actividades destinadas, justamente, a instalar en su clase nuevas “reglas del juego”. Fundamentalmente dirigidas a que los alumnos aprendan a

realizar una porción mayor de trabajo independiente, a que se escuchen entre ellos, que otorguen valor a la palabra de un compañero y no sólo a la del

maestro, a que aprendan a registrar su trabajo y comunicarlo, a revisar los errores y corregirlos, a asumir responsabilidades en el proceso y su

evaluación. Estos objetivos pueden ser explícitos y se puede comprometer a los alumnos en reflexiones sobre el nivel de logro que respecto de los

mismos van teniendo.

aunque en un primer momento los aspectos de funcionamiento pueden ser prioritarios, las actividades no pueden ser planteadas en el “vacío” sino que

deben plantearse en torno a contenidos específicos. Desde el inicio es necesario analizar qué tipo de actividad para qué tipo de contenido, aunque sin

duda, tanto la experiencia que el docente mismo vaya teniendo en conducir de otra manera sus clases, como la que vayan teniendo los alumnos, van a

favorecer una articulación más afinada entre ambos aspectos. Debemos reconocer que conducir un debate en la clase es de alto desafío para el docente

y tiene muchos requerimientos de formación y de conocimientos. El docente necesita conocer muy bien el contenido de referencia, tener una

representación de las posibles concepciones de los alumnos y saber también a través de qué medios va a hacer evolucionar los conocimientos

producidos en dirección al saber al que se apunta.

4 Douady, R. (1984) “Relación enseñanza-aprendizaje....


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Respecto de las interacciones sociales citaremos al equipo ERMEL5, que plantea:

“Las interacciones entre pares aseguran diversas funciones y pueden tomar formas diversas. Pero ellas no se dan por sí solas y están por lo tanto bajo la

responsabilidad del maestro.

Las interacciones pueden permitir a los niños:

apropiarse de las consignas de una situación: cada niño, frecuentemente después de un tiempo de trabajo individual, expresa, por ejemplo, el modo en

que ha interpretado el enunciado, lo que no ha entendido, lo que le recuerda; la reformulación de otro niño puede permitirle comprender mejor;

confrontar las repuestas elaboradas individualmente, comprender las divergencias eventuales para ponerse de acuerdo en una respuesta única;

comunicar su método de solución y defenderlo contra las proposiciones diferentes si lo juzga necesario;

comprender el proceso de otro, ser capaz de descentrarse de su propia investigación, cuestionarla, interpelarla;

apreciar los elementos positivos de caminos diferentes, evaluar el grado de generalidad de cada uno;

identificar, a menudo de modo no convencional, un procedimiento, un camino “podríamos hacer como hizo Nicolás”;

¡Esta lista no es exhaustiva, aunque es muy ambiciosa!”

Veamos lo que el mismo ERMEL plantea respecto de las puestas en común y de las actividades metacognitivas:

El rol de mediador que juega el maestro se juega en diversos niveles. Es en principio aquel que se dirige a cada niño que le es confiado. Pero su rol se revela

de manera crucial cuando el maestro trabaja con el conjunto de la clase en eso que llamamos “las puestas en común”(...) En efecto es sin duda allí donde

aparece más netamente toda la dimensión de mediación que caracteriza la tarea del docente, a quien pertenece actualizar, hace circular, y si es posible

analizar y poner a discusión por el conjunto de la clase la producción de tal alumno o de tal grupo de alumnos.

Momento esencial de la acción didáctica, toda puesta en común se muestra difícil de conducir. Nosotros vamos primero a poner en evidencia las

dificultades que puede encontrar un docente en esta fase de enseñanza, de manera de poder apuntar mejor a lo que apuntamos.

5 E.R.M.E.L. (1993) Apprentissages numériques et résolution de problémes, Cours élémentaire I.N.R.P., Ed. Hatier, París.


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Estas dificultades se sitúan, en cierto modo, en dos registros opuestos:

Una presentación exhaustiva y fastidiosa de las producciones. Se trata a veces de un momento vivido por los maestros y/o sus alumnos como

“obligado” y del que no se ve casi interés. Mientras que la maestra se consagra concienzudamente a una revisión casi exhaustiva de lo que cada uno ha

hecho, los alumnos no se sienten verdaderamente concernidos por la producción de sus compañeros, se aburren. Este momento es vivido, en este

caso, como una suerte de ritual fastidioso, más o menos lleno de sentido, y ciertamente, muy pobre pedagógicamente.

Una corrección. A la inversa, después de haber dado un tiempo de investigación a sus alumnos, el maestro puede creer que es su deber poner

rápidamente las cosas en su lugar. Concibe entonces la puesta en común como la ocasión privilegiada de comunicar a la clase –en fin- la “buena

solución”, aquella que él ha visto desde el inicio de la clase. Pero, al hacer esto, el maestro substituye totalmente a los niños, a quienes niega el trabajo y

la palabra. Distribuye las críticas y los elogios y confunde, de hecho, la puesta en común con la corrección (con lo que esta palabra puede tener de

reductor, incluso de punitivo). Al imponer muy rápido, o al recibir, en una mirada más benevolente, un procedimiento particular, el docente hace un

corto circuito, a menudo incluso sin saberlo, de lo que es el interés mayor de una puesta en común.

La no intervención. Advertido de esos riesgos, el docente puede caer en otra trampa, aquella que consiste en prohibirse toda intervención, de manera

de no interferir en la investigación de los niños. El se impone silencio, se retrae totalmente de la situación, librando a los alumnos a ellos mismos.

Pero..¿se puede legítimamente esperar que estos últimos exhiban espontáneamente sus metodologías, alcancen a comunicar sus procedimientos

originales, acepten no repetir lo que ya ha dicho otro, y sobre todo, devengan capaces de considerar en perspectiva la situación particular que acaban

de estudiar?

(...) De hecho, y nosotros pensamos que esta primera observación permitirá en parte evitar el formalismo evocado precedentemente, es necesario en

principio comprender que no existe una única forma para las puestas en común, por la simple razón de que no tienen todas las mismas funciones. En efecto,

la función de una puesta en común depende en parte del objetivo asignado a la situación propuesta:

a) Si la situación es una situación de investigación muy abierta, nueva para los alumnos, cuyo objetivo es principalmente aprender a investigar, se espera

que los alumnos se comprometan en procedimientos muy variados. La puesta en común consiste entonces en poner el acento sobre la riqueza y la

diversidad de procedimientos empleados. La maestra va a tratar de armar un inventario de procedimientos efectivamente utilizados por sus alumnos,

de manera de poner en evidencia e incluso valorizar la multiplicidad, la originalidad. Es importante en este caso que la maestra sepa aprovechar la

ocasión de desarrollar los modos de pensar llamados “divergentes”, indispensables para la creatividad matemática. Pero tendrá que organizar la

presentación y el análisis de los diferentes procedimientos de manera rápida y dinámica para conservar la atención de sus alumnos, no cansarlos,

porque eso conduciría a que se quede sola trabajando en el pizarrón.


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b) En el sentido opuesto, si la situación apunta a la estabilización de una noción o de un procedimiento experto, la puesta en común es el momento de la

institucionalización de ese saber. La atención de todos los niños debe ser focalizada sobre ese elemento de saber, para que devenga una indicación

segura de la que la palabra de la maestra se ha hecho eco. Es el eje del pensamiento convergente el que determina el estilo de esta puesta en común.

Aun cuando los discursos no son siempre eficaces y no son suficientes, lo que diga la maestra debe permitir a cada niño comprender lo que se busca que

adquiera, precisar lo que se acaba de hacer, adherir a los medios que se han elegido para ello. Estas marcas, estas indicaciones, provistas en el momento

adecuado, le evitan a los alumnos sentirse llevados por caminos difusos y en los que no distinguen las salidas, los resultados.

c) Entre esos dos casos extremos, en los que el trabajo del maestro no puede definirse de manera idéntica, o en los que el desarrollo de la puesta en

común es diferente, existe, con seguridad, toda una gama de situaciones posibles. Puede tratarse, por ejemplo, no de un simple inventario exhaustivo

de procedimientos, sino a partir de un análisis que ha podido hacer el maestro antes de la puesta en común, de focalizar la atención sobre algunos de

ellos, de manera de ayudar a los alumnos a tomar conciencia de su especificidad: tal parece más económico, tal otro más “astuto”. El rol del maestro

es entonces permitir a los niños construir poco a poco, mentalmente, una suerte de jerarquía de los procedimientos utilizados, organización que debe

permanecer flexible, siendo el principio de economía, con frecuencia, función de las capacidades de cada uno.

d) Una puesta en común puede igualmente ser un momento privilegiado para ayudar a los niños a poner en evidencia las relaciones que existen entre

diferentes procedimientos, las filiaciones, los parentescos. (...) El pasaje de un procedimiento conocido a uno nuevo, reconocido como equivalente, no

se produce para todos los niños en el mismo momento. El rol del maestro puede consistir entonces en señalar los niños que han utilizado

procedimientos “vecinos”, es decir, que ellos pueden comunicárselos e incluso apropiárselos.

Función general de las puestas en común

Sin embargo, a pesar de esta evidente diversidad el docente no debe perder de vista la dimensión fundamental y transversal a todas las puestas en común:

se trata siempre de un momento de intercambio, de explicitación, de debate, en el cual el lenguaje (principalmente oral pero muchas veces escrito o con

apoyo en representaciones) va a jugar un rol determinante para permitir la elucidación del pensamiento.

Poner en común, hacer público

Hay, por lo tanto, que hacer aceptar progresivamente a los alumnos las exigencias de una comunicación racional. No solamente los alumnos deben

aprender –y pueden hacerlo en estos momentos- las reglas de la comunicación colectiva, sino que deben igualmente aprender a formular su propio

pensamiento de manera de hacerlo accesible a otro, es decir, comenzar a explicitarlo, a justificarlo. Al mismo tiempo, aprender a tener en cuenta el

pensamiento del otro, a contestar un argumento o a solicitar una explicación. Cierto, se trata de un trabajo de largo aliento y que alcanzará un desarrollo

mucho más importante en el último ciclo de la primaria, pero que impone justamente una práctica regular, frecuente, rigurosa de la discusión colectiva.


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Antes de estar plenamente interiorizada, la elucidación del propio pensamiento, la justificación de su punto de vista, se construye de manera interactiva: es

al ensayar responder a los “¿por qué?” y a los “¿cómo?” de los otros alumnos y del maestro, que cada uno es llevado a volver sobre sus propias acciones,

describirlas, a defenderlas, a tomar conciencia de su pertinencia y de su validez. Recíprocamente, es al interrogar los caminos de otros que cada uno puede,

si la distancia cognitiva no es demasiado grande, hacer suyo un nuevo procedimiento, ampliar el campo de sus posibilidades.

Así, gracias a las exigencias colectivas de confrontación, sin cesar recordadas por el maestro, durante las puestas en común, el alumno toma poco a poco

conciencia de su actividad mental: identificar los nuevos conocimientos, medir el grado de dominio adquirido (“yo sé que es lo que sé”), pero también

reconocer lo que todavía no logra hacer solo (“sé que es lo que tengo que aprender todavía”) y los medios de los que dispone para alcanzar ese objetivo.

Estas tomas de conciencia se traducen, cada vez que se encuentra el medio de hacerlo, por un trazo escrito. (...)

Estas tomas de conciencia múltiples traducen la importancia que todo docente debe dar a las actividades metacognitivas, es decir, a todo aquello que puede

permitirle al sujeto volver sobre sus acciones, sus procesos intelectuales, sobre sus propias adquisiciones, poderosa palanca de progreso en el aprendizaje.

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