UNIVERSIDAD CATOLICA DE LA SANTISIMA CONCEPCION

FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y FISICA APLICADAS

Ecuaciones Diferenciales (IN1008C)

Laboratorio 9

Series de Fourier

La idea de estos laboratorios es visualizar algunos fenomenos que ocurren con las series de Fourier.

Especcamente nos centraremos en el Teorema de convergencia y el fenomeno de Gibbs.

1. Dada una funcion f : [, ] R. Se dene la M -esima suma de Fourier trigonometrica de la

funcion f(x), como

sM (x) =a0

2+

M?

n=1

(an cos(nx) + bn sin(nx))

donde a0 =1

?

f(x) dx, an =1

?

f(x) cos(nx) dx y bn =1

?

f(x) sin(nx) dx. Construir un

programa function para cada una de las funciones

(a) f(x) = 1, x 0 y f(x) = 1

2, 0 < x < (en azul).

(b) f(x) = x, x (en azul).

(c) f(x) =

?x2 + 1 si x < 0

x2 si 0 < x (en azul).

que graque la funcion y su correspondiente M -esima suma de Fourier trigonometrica (en rojo).

La function debe tener como parametro M . Indicacion: se sugiere que los coecientes a0, an y bn

se calculen por el metodo tradicional con el n de obtener una expresion explcita para ellos. Si

alguien lo resuelve usando algun comando de Matlab, pues felicidades y bienvenido, ya que eso nos

muestra que ha aprendido.

2. Dada una funcion f : [, ] R. Se dene la M -esima suma de Fourier trigonometrica de la

funcion f(x), como

sM (x) =a0

2+

M?

n=1

(an cos(nx) + bn sin(nx))

donde a0 =1

?

f(x) dx, an =1

?

f(x) cos(nx) dx y bn =1

?

f(x) sin(nx) dx.

En 1903, el matematico hungaro L. Fejer, propuso una nueva forma de sumar los terminos de la

serie de Fourier. Simplemente se trata de sumar los promedios de las sumas parciales y pasar al

lmite. Se obtiene as una nueva sucesion de funciones que produce convergencia incluso en algunos

casos en los que la serie original no la tiene.

En otras palabras, se dene la M-esima suma de Fejer como:

M (x) =1

M + 1

M?

N=0

sN (x)

donde sN (x) representa a la N-esima suma de Fourier. De esta forma la suma de Fejer sera:

s(x) = limM

M (X).

El objetivo de este ejercicio es comparar la convergencia de ambas sumas. Para ello se pide construir

un programa function en Matlab que graque la funcion f(x) = x, x (en azul), su

1

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correspondiente M -esima suma de Fourier trigonometrica (en rojo) y su correspondiente M -esima

suma de Fejer (en verde). La function debe tener como parametro M . Indicacion: se sugiere que

los coecientes a0, an y bn de la serie de Fourier se calculen por el metodo tradicional con el n de

obtener una expresion explcita para ellos.

RAL/HCC/RCJ/CLG/FST/fst.

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